α = √ (2 + √ (2 + √ (2 +… - Matematicamente.it

π 2004
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 1 di 7
α = √ (2 + √ (2 + √ (2 +…
il pigreco nella radice di due
Contenuti:
1.) Il problema
2.) La geometria
3.) La formula
4.) Analisi
5.) Bibliografia essenziale
6.) L’autore
Dott.Ing.Gianbattista Bergonzi
Studio Bergonzi
Corso Paolo Bernacchi 93
21049 Tradate, Varese
www.studiobergonzi.com
Il documento composto da 7 pagine viene emesso in data 9 agosto 2004.

1.) Il problema
La ricerca di algoritmi semplici ed efficienti per la determinazione della geometria delle eliche, ha fornito un
nuovo algoritmo per la definizione di pigreco.
Con elementari passaggi trigonometrici si dimostra la seguente formula per il calcolo di pigreco.
π = φ x √(2-√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …
2.) La geometria
Dato il settore circolare di raggio unitario, illustrato in figura 1, si assume la seguente nomenclatura:
r raggio del settore circolare;
c segmento congiungente i punti 1 e 2;
b segmento congiungente i punti 2 e 3;
L/n segmento congiungente i punti 3 e 4;
Essendo n uguale al numero dei lati del poligono inscritto nel cerchio di raggio r.
Figura 1
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 2 di 7

Assunto per il raggio r il valore unitario r = 1, sussistono le seguenti relazioni:
1.1. c = √ (1-a 2 )
1.2. b = 1 - √(1-a 2 )
1.3. c + b = 1
1.4. L/n = √ (2 – 2 √ (1 - a 2 ))
3.) La formula
Sia assume L pari alla lunghezza della circonferenza di raggio r = 1.
L = 2 x π
La relazione 1.4. diviene la seguente:
1.5. π = n/2 x √ (2 – 2 √ (1 - a 2 ))
posto 2 √ (1 - a 2 ) = α
si ottiene:
1.6. π = n/2 x √ (2 – α)
Assunto:
1.7. n = 2 β
La relazione 1.6. diviene la seguente:
1.8. π = 2 β /2 x √ (2 – α)
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 3 di 7

4.) Analisi
Al variare del numero dei lati del poligono regolare inscritto nel cerchio di raggio unitario, si determinano i
valori del parametro α funzione della lunghezza del lato del poligono.
β = 3 corrisponde all’ottagono
β = 4 corrisponde al poligono di sedici lati
β = 5 corrisponde al poligono di trentadue lati
β = ∞ corrisponde al poligono di infiniti lati ovvero alla circonferenza
si ottengono dalla 1.8 le seguenti risultanze al variare di β
β = 3 α = √ 2 π = 3,061
β = 4 α = √ (2+√ 2) π = 3,1214
β = 5 α = √ (2+√ (2+√ 2)) π = 3,1365
β = 6 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ 2))) π = 3,14033
β = 7 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2)))) π = 3,141277
β = 8 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ 2))))) π = 3,1415138
β = 9 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ 2)))))) π = 3,1415729
β = 10 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ 2))))))) π = 3,1415877
β = 11 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2)))))))) π = 3,14159142
β = 12 α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√( 2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ 2))))))))) π = 3,141592345
β = ∞ α = 2 π = 3,141592654…
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 4 di 7

Conseguenza degli assunti è la seguente formulazione:
lim (π/n) 2 = 0
n→∞
essendo:
(π/n) 2 = 2 - α
La relazione 1.8. può essere sintetizzata nella seguente espressione:
1.9. π = φ x √ (2 – α)
ovvero illustrata dalla seguente espressione:
1.10. π = φ x √(2-√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …
essendo:
φ = 2 β /2
α = √ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+√ (2+ …
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 5 di 7

5.) Bibliografia essenziale
Luigi Amerio - Analisi Matematica con elementi di analisi funzionale vol. I,II, III, UTET;
U. Gasapina – Algebra delle matrici, La Viscontea;
U. Gasapina – Geometria proiettiva, La Viscontea;
E. Marchionna, U. Gasapina - Appunti ed esercizi di geometria, La Viscontea;
Faggioli, Dodero - Trigonometria piana, Ghisetti e Corvi;
Palatini, Faggioli - Elementi di algebra, Ghisetti e Corvi;
Bramanti, Pagani, Salsa - Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli;
Marcellini, Sbordone - Calcolo, Liguori;
R.A. Adams, Calcolo differenziale, vol. I, II, CEA
J. Stewart, Calcolo, vol. 1 e 2, Apogeo
V.I. Arnold – Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti
E. Giusti – Analisi matematica vol. II, Boringhieri
E. Giusti – Esercizi e complementi di analisi matematica vol. II, Boringhieri
J. Cecconi, G. Stampacchia – Esercizi Analisi matematica II, Liguori
W. Rudin – Principles of mathematichal analysis, Mc Graw Hill
P. Marcellini – Analisi matematica due, Liguori
Abenda, Materasso – Analisi Matematica, Esculapio
Abenda, Materasso, Parmeggiani – Esercizi di analisi Matematica, Esculapio
Apostol – Calcolo vol. I, II, III, Boringhieri
Fleming – Function of several variables, Springer
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 6 di 7

6.) L’autore
Gianbattista Bergonzi
Nato a Tradate il 12 giugno 1961, compie studi scientifici presso il Collegio Arcivescovile Fulvio Bentivoglio
guidato da Gian Emilio Gottifredi rettore nell’anno 1979.
La famiglia di mastri muratori lo indirizza presso la facoltà di ingegneria civile del politecnico di Milano ove si
laurea nel 1986, tesi “progetto di grattacielo”, relatori Francesco Martinez Y Cabrera e Giuseppe Turchini.
Dal 1986 al 1989 effettua tirocinio presso i migliori studi di ingegneria ed imprese di costruzioni di Milano,
unitamente alla ricerca ed alla attività accademica svolta presso il dipartimento di ingegneria dei sistemi
edilizi e territoriali del Politecnico di Milano D.I.S.E.T. , l’istituto nazionale di unificazione U.N.I., il comitato
europeo di normalizzazione C.E.N..
Dal 1989 è titolare dello studio di ingegneria Bergonzi che svolge attività di progettazione di edifici civili e
industriali, con specializzazione nel calcolo strutturale, in ambito nazionale ed europeo.
Membro di associazioni nazionali e internazionali di ingegneria, ASSO ingegneri Lombardia, SILP Milano,
ANCONSER tecnologi dell’edilizia, ASCE American society of civil engineers.
Gianbattista Bergonzi “Il pigreco nella radice di due” pagina 7 di 7