PROVE PENETROMETRICHE DINAMICHE S.P.T O S.C.P.T Le ...

FORMULA GEO VER.2.0 - PROGRAM GEO Brescia (copyright 2001) 

PROVE PENETROMETRICHE DINAMICHE S.P.T O S.C.P.T 

Le prove dinamiche continue sono state ideate per lo studio dei 

terreni incoerenti, i dati elaborati per gli strati coesivi quindi, sono da 

considerarsi utili solo per un primo inquadramento del problema. 

Correlazione con SPT. 

Poiché le correlazioni empiriche esistenti in letteratura tra i risultati di 

una prova penetrometrica dinamica ed i principali parametri 

geotecnici del terreno fanno riferimento essenzialmente alle prove 

SPT, occorrerebbe in teoria applicare una correzione ai risultati delle 

prove SCPT, per tenere conto delle diverse modalità esecutive. 

Ciò può essere fatto secondo due criteri differenti: 

• correzione sulla base delle differenti modalità esecutive: 

penetrometri con caratteristiche differenti rispetto all’ SPT (peso 

del maglio, volata, area della punta, ecc.) comportano energie di 

infissione ovviamente differenti; per rapportare il numero di colpi 

dell’ SPT con quelli del dinamico continuo diversi Autori 

propongono l'applicazione del seguente fattore correttivo: 

Cf 

M1 ⋅ H1⋅ P11⋅ Ap1 

= 

M2 ⋅ H2 ⋅ P12 ⋅ Ap2 

dove: 

M2 = peso del maglio SPT (63.5 kg); 

H2 = volata del maglio SPT (75 cm); 

Pl2 = passo di lettura SPT (15 cm); 

Ap2 = area della punta SPT (20.4 cmq); 

M1 = peso del maglio del dinamico continuo; 

H1 = volata del maglio del dinamico continuo; 

Pl1 = passo di lettura del dinamico continuo; 

Ap1 = area della punta del dinamico continuo.

FORMULA GEO VER.2.0 

Il numero di colpi da utilizzare nel calcolo dei parametri geotecnici 

sarà dato da: 

Nspt = CfNscpt 

• correzione sulla base delle litologie incontrate: si è dimostrato, 

nelle correlazioni SPT-SCPT, che generalmente il rapporto fra il 

numero dei colpi misurato con i due strumenti (Nspt/Nscpt) tende 

a 1 per granulometrie grossolane, mentre tende a crescere per 

granulometrie più fini; si suggeriscono le seguenti correlazioni 

proposte in letteratura: 

Correlazione Litologia 

NSPT = 1 x NSCPT Ghiaie e ghiaie sabbiose 

NSPT = 1.25 x NSCPT Sabbie e ghiaie con fine plastico 

NSPT = 1.5 x NSCPT Sabbie con molto fine 

NSPT = 2 x NSCPT Limi 

NSPT = 2.5 x NSCPT Argille limose/sabbiose 

NSPT = 3 x NSCPT Argille 

In ogni caso si tratta di correlazioni empiriche che vanno utilizzate 

con cautela. In particolare, per quanto riguarda la correzione in 

funzione della litologia, questa andrà calibrata sulla base delle 

caratteristiche litologiche locali. 

Poiché esistono molti tipi di penetrometri dinamici con diverse 

caratteristiche, per poter utilizzare i metodi di interpretazione calibrati 

per la SPT è necessario apportare delle correzioni ai risultati ottenuti. 

Muromachi e Kobayashi (1981) hanno presentato una correlazione 

fra N30 (colpi per 30 cm di penetrazione) ed Nspt. Il penetrometro 

usato è l’RTRI-HEAVY, giapponese, con maglio di 63,5 Kg, caduta 

75 cm, dpunta = 5,08 cm, il quale è simile al pemetrometro italiano tipo 

EMILIA-DPSH. I due autori trovano che i dati, rilevati in materiali 

compresi in un’ampia gamma granulometrica e senza tenere conto


dell’attrito laterale lungo la batteria delle aste, consentono la 

seguente relazione : 

N 

30 

Nspt 

= 115 . 

Tenendo invece conto dell’influenza dell’attrito laterale la relazione 

diventa : 

N 

30 

Nspt 

= 1 , 

i risultati quindi in questo caso possono essere utilizzati senza alcuna 

correzione. 

Da alcune indagini italiane la relazione tra N30 e Nspt diventa : 

N 

30 

Nspt 

= 057 . , 

Le prove sono state condotte da Tissoni (1987) in ghiaie sabbiosolimose 

con il penetrometro superpesante Meardi-AGI e dallo Studio 

Geotecnico Italiano con lo stesso penetrometro in depositi sabbioso 

limosi, talvolta con ghiaia fine. 

Uno studio indiano presenta i risultati di prove penetrometriche 

eseguite con penetrometro superpesante (maglio di 63,5 Kg, caduta 

76 cm, dpunta 63,5 cm), in terreni costituiti prevalentemente da 

sabbie, sabbie fini con limo e depositi sabbioso-limoso-argillosi con 

ghiaia. 

La relazione tra N30 e Nspt diventa : 

1.5>N30/Nspt>0.8 

la quale, tenendo conto del maggior diametro di punta rispetto alla 

misura standard (63,5 cm invece di 50,5 cm) assume la seguente 

forma:


0.95>N30/Nspt>0.5, 

vicina alle esperienze italiane. 

Per quanto riguarda il penetrometro medio leggero tipo EMILIA la 

relazione tra N10 (numero di colpi per 10 cm di affondamento) e Nspt 

è la seguente : 

0.7Nspt≥N10≥1.2Nspt 

Conoscendo la natura del terreno e N10 si può ricavare Nspt dalla 

seguente tabella (Vannelli e Benassi, 1983): 

Terreni prevalentemente coesivi Terreni prevalentemente granulari 

N10/Nspt≥0.7-0.8 

N10/Nspt≥0.8-1.0 

per 

per 

8≤N10≤14 

14≤N10≤18 

Determinazione della litologia. 

N10/Nspt≥0.95-1.0 

N10/Nspt≥1.0-1.2 

per 

per 

8≤N10≤15 

15≤N10≤30 

Non esiste attualmente in letteratura una correlazione fra il numero di 

colpi misurato con il penetrometro dinamico e la litologia degli strati 

attraversati. Una correlazione può essere effettuata assimilando la 

procedura d'infissione delle aste e del rivestimento nella prova SCPT 

a quella di pali battuti di piccolo diametro. Per tali tipologie di palo 

esistono in letteratura delle indicazioni dei valori di resistenza laterale 

all’ infissione in funzione delle diverse litologie. Sulla base di questi 

dati e di un'ampia casistica relativa all'esecuzione di prove SCPT in 

litologie differenti, vengono proposte le seguenti correlazioni in 

funzione del rapporto n.colpi della punta / n.colpi del rivestimento:


Rapporto 

Npunta/Nrivestimento 

Litologia 

< 0,25 Argilla 

0,25 - 0,40 Argilla con limo o sabbia 

0,40 - 0,70 Limo 

0,70 - 2,25 Sabbia con limo o limosa 

2,25 – 4 Sabbia o ghiaia con matrice plastica 

> 4 Ghiaia o ghiaia + sabbia 

Stima dei parametri geotecnici. 

Parametri degli strati incoerenti 

I parametri geotecnici calcolabili per terreni incoerenti (componente 

sabbiosa o ghiaiosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con 

i valori di Nspt sono i seguenti: 

• angolo di resistenza al taglio ϕ; 

• densità relativa Dr; 

• modulo di deformazione ( o di Young) E50; 

• modulo edometrico M0; 

• modulo dinamico di taglio G0. 

Angolo di resistenza al taglio ϕ. 

L'angolo di resistenza al taglio del materiale indagato può essere 

valutato attraverso due categorie di metodi: i metodi di correlazione 

diretta Nspt-ϕ e i metodi di correlazione indiretta. Tra i metodi di 

correlazione diretta Nspt-ϕ vanno considerati, in generale, più 

attendibili quelli che esprimono ϕ anche in funzione della pressione 

efficace ϕ agente sullo strato.


Metodi di correlazione diretta 

a) Road Bridge Specification 

Il metodo è valido per sabbie fini o limose e trova le sue condizioni 

ottimali di applicabilità per profondità di prova superiori a 8 - 10 m 

per terreni sopra falda e superiori a 15 m per terreni in falda (σ > 15- 

20 t/mq). 

Il metodo si basa sulla seguente relazione: 

ϕ = 15Nspt + 15 

dove Nspt è il numero di colpi medio misurato nello strato. 

b) Japanese National Railway 

Il metodo è valido per sabbie medie - grosse fino a sabbie ghiaiose 

e trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per profondità 

superiori a 8 - 10 m nel caso di terreni sopra falda e di 15 m per 

terreni immersi in falda (σ> 15-20 t/mq). 


ϕ = 0, 3Nspt + 27 


c) De Mello 

Il metodo di De Mello è valido per le sabbie in genere e per 

qualunque profondità (tranne che per i primi 2 m sotto il p.c.). E' da 

considerarsi inattendibile però per valori di ϕ superiori a 38°. 


ϕ = 19 − 0, 

38σ 

+ 8, 

73Log( 

Nspt 

) 

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq e 

Nspt il numero di colpi medio misurato nello strato.


d) Owasaki & Iwasaki 

Il metodo è valido per sabbie da medie a grossolane fino a 

debolmente ghiaiose. Anche questo metodo trova le sue 

condizioni ottimali di applicabilità per profondità di prova superiori 

a 8 - 10 m per terreni sopra falda e superiori a 15 m per terreni in 

falda (σ>15-20 t/mq). 


ϕ = 20Nspt + 15 


e) Sowers 

Il metodo di Sowers (1961) è valido per le sabbie in genere e trova 

le sue condizioni ottimali di applicabilità per profondità di prova 

inferiori a circa 4 m per terreni sopra falda e inferiori a circa 7 m 

per terreni in falda (σ > 5-8 t/mq). 

La relazione è la seguente: 

f) Malcev 

ϕ = 28 + 0, 

28Nspt 

Il metodo di Malcev (1964) è invece valido per le sabbie in genere e 

per qualunque profondità (tranne che per i primi 2 m sotto il p.c.). E' 

da considerarsi inattendibile per valori di ϕ superiori a 38°. 

( ) 3, 

Log( 

N ) 

ϕ = 20 −5Log 

σ + 73 


Nspt il numero di colpi medio misurato nello strato. 

spt


g) Peck-Hanson & Thornburn 

Il metodo di Peck - Hanson & Thornburn è valido per le sabbie in 

genere e trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per 

profondità di prova inferiori a circa 5 m per terreni sopra falda e 

inferiori a circa 8 m per terreni in falda (pressione efficace inferiore 

a 8-10 t/mq). 

h) Meyerhof 

ϕ = 

27 , 2 + 

0, 

28N 

spt 

Il metodo di Meyerhof (1965) che correla ϕ con Nspt medio dello 

strato in funzione della sua granulometria, è valido per le sabbie in 

genere e trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per 

profondità inferiori a 5 m (relazione 1) e 3 m (relazione 2) nel caso di 

terreni sopra falda e inferiori a 8 m (relazione 1) e 5 m (relazione 2) 

per terreni sotto falda (pressione efficace inferiore a 5-8 t/mq). 

2 

(rel.1) ϕ = 29, 47 + 0, 

46N 

− 0, 

004N 

spt (< 5% di limo) 

spt 

2 

(rel.2) ϕ = 23, 7 + 0, 

57N 

− 0, 

006N 

spt (>5% di limo) 

Metodi di correlazione indiretta 

a) Schmertmann 

spt 

Questo metodo correla ϕ con la densità relativa dello strato in 

funzione della sua composizione granulometrica. 

Il metodo è valido per sabbie e ghiaie in genere. Facendo 

riferimento ad un altro parametro , affetto generalmente da errore 

non trascurabile, i valori di ϕ vengono ad essere quasi sempre 

sovrastimati. 

ϕ = 28 + 0, 

14Dr 

Sabbia fine 

ϕ = 31 , 5 + 0, 

115Dr 

Sabbia media 

ϕ = 34 , 5 + 0, 

10Dr 

Sabbia grossa 

ϕ = 38+ 0, 

08Dr 

Ghiaia


Densità relativa. 

La densità relativa viene valutata attraverso correlazioni applicabili 

solo nel caso di terreni prevalentemente sabbiosi . 

In presenza di depositi ghiaiosi si ottengono valori eccessivamente 

elevati e quindi a sfavore della sicurezza: in questo caso si 

consiglia di adottare il valore più basso fra quelli calcolati con metodi 

differenti. 

a) Gibbs & Holtz 

Il metodo di Gibbs & Holtz (1957) è valido per le sabbie da fini a 

grossolane pulite, per qualunque valore di pressione efficace, in 

depositi normalmente consolidati. Nel caso di depositi ghiaiosi il 

valore di Dr(%) viene sovrastimato, nel caso di depositi limosi viene 

sottostimato. 

Dr(%) 

= 21 

Nspt 

σ + 0, 

7 


Nspt il numero di colpi medio misurato nello strato. 

Il metodo fornisce generalmente valori in eccesso rispetto agli altri, 

nei primi metri di approfondimento della prova. 

b) Schultze & Mezembach 

Il metodo di Schultze & Mezembach (1961) è valido per le sabbie da 

fini a ghiaiose, per qualunque valore di pressione efficace, in depositi 

normalmente consolidati. Nel caso di depositi ghiaiosi il valore di 

Dr(%) viene sovrastimato, nei depositi limosi viene sottostimato. 

( Dr% 

) = 0, 

478ln 

( N ) − 0, 

262ln 

( σ) 

2, 

84 

ln + 

spt


c) Skempton 

Il metodo è valido per le sabbie da fini a grossolane, per qualunque 

valore di pressione efficace, in depositi normalmente consolidati. 

Nel caso di depositi ghiaiosi il valore di Dr(%) viene sovrastimato, 

nei depositi limosi viene sottostimato. 


Dr(%) 

= 100 

⎛ 

⎞ 

⎜ 

98 

N ⎟ 

s pt 

⎜ σ ⎟ 

⎜ 32 + 0. 

288σ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

dove: 

σ = pressione efficace in kPa; 

Nspt = numero di colpi medio nello strato. 

Modulo di deformazione (modulo di Young). 


Il metodo è valido per le sabbie in genere. La relazione non 

considera l'influenza della pressione efficace, che porta a parità di 

Nspt ad una diminuzione di E con la profondità. 


E( kg/ 

cmq) 

= 2BNspt 

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato e B è una costante 

variabile in funzione della litologia: 

B Litologia 

4 sabbia fine 

6 sabbia media 

10 sabbia grossolana


b) Terzaghi 

Il metodo è valido per sabbia + ghiaia e sabbia pulita. La relazione 

non considera l'influenza della pressione efficace, che porta a 

parità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità. 


E ( MPa) = B Nspt 

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato mentre B è una 

costante pari a 7 Mpa. La relazione va considerata inattendibile per 

Nspt molto bassi o molto alti Nel primo caso E risulta 

eccessivamente elevato, nel secondo caso eccessivamente basso. 

c) D’Appolonia et Alii. 

Il metodo di D’Appolonia è valido per sabbia+ghiaia e sabbie 

sovraconsolidate. Il metodo non considera l'influenza della pressione 

efficace, che porta a parità di Nspt ad una diminuzione di E con la 

profondità. 

E ( kg / cmq) 

= 7, 

71Nspt 

+ 191 (Ghiaia + sabbia) 

E ( kg / cmq) 

= 10, 

63N 

spt + 375 (Sabbia SC) 

d) Schultze e Menzebach. 

Il metodo di Schultze e Menzebach è valido per sabbia sotto falda. Il 

metodo non considera l'influenza della pressione efficace, che porta 

a parità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità. 

E( 

kg/ 

cmq) 

= 5, 

27N 

spt + 76


e) Webb. 

Il metodo di Webb è valido per sabbia sotto falda o sabbia con fine 

plastico. Il metodo non considera l'influenza della pressione efficace, 

che porta a parità di Nspt ad una diminuzione di E con la profondità. 

E ( kg / cmq) 

= 4, 

87Nspt 

+ 73 (Sabbia satura) 

E ( kg / cmq) 

= 3, 

22N 

spt + 16 (Sabbia con fine plastico) 

Modulo edometrico. 

a) Farrent. 

Il metodo di Farrent è valido per le sabbie in genere. Il metodo non 

considera l'influenza della pressione efficace, che porta a parità di 

Nspt ad una diminuzione di M con la profondità. 

b) Menzebach e Malcev. 

M ( kg / cmq) 

= 7, 

1N 

Il metodo di Menzebach e malcev è valido per le sabbie in genere. Il 

metodo non considera l'influenza della pressione efficace, che porta 

a parità di Nspt ad una diminuzione di M con la profondità. 

M ( kg / cmq) 

= 3, 

54Nspt 

+ 38 (Sabbia fine) 

M ( kg/ 

cmq) 

= 4, 

46N 

spt + 38 (Sabbia media) 

M ( kg/ 

cmq) 

= 10, 

46N 

spt + 38 (Sabbia + ghiaia) 

M ( kg / cmq) 

= 11, 

84Nspt 

+ 38 (Sabbia ghiaiosa) 

spt


Modulo di deformazione di taglio. 

a) Ohsaki & Iwasaki 

Il metodo di Ohsaki & Iwasaki, valido per le sabbie pulite o con fine 

plastico (limo o argilla), si basa sulla seguente relazione: 

G t mq aNspt b 

0 ( / ) = 

dove Nspt è il numero di colpi medio nello strato mentre a e b sono 

costanti dipendenti dalla granulometria del deposito secondo il 

seguente schema: 

Parametri degli strati coesivi. 

a b Granulometria 

650 0.94 Sabbie pulite 

1182 0.76 Sabbie con fine plastico 

I parametri geotecnici calcolabili per terreni coesivi (componente 

limosa o argillosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con i 

valori di Nspt sono i seguenti: 

• coesione non drenata Cu; 

• modulo edometrico Ed; 

• rapporto di sovraconsolidazione OCR; 


Coesione non drenata. 

La prova penetrometrica non fornisce, in generale, valori attendibili 

per i terreni coesivi. Ci si può orientare nella scelta dei valori di Cu 

proposti di seguito considerando che:


• nessuna correlazione tiene conto delle pressioni efficaci e del 

grado di sovraconsolidazione ( OCR ); 

• i metodi si applicano ad argille non sensitive e portano ad una 

sotto stima di Cu, nel caso di materiali con elevato indice di 

sensibilità ; 

• vista la non trascurabile dispersione dei dati, i metodi vanno 

applicati con prudenza e solo per stime di primo riferimento. 

a) Terzaghi & Peck 

Il metodo è valido per argille di media plasticità e si basa sulla 

seguente relazione: 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

067N 

b) DM-7 (Design Manual for Soil Mechanichs) 

u 

Il metodo è valido per le argille in genere e si basa sulle seguenti 

relazioni: 

c) Sanglerat 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

038N 

(argille a bassa plasticità) 

u 

u 

spt 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

074N 

(argille a media plasticità) 

u 

spt 

c ( kg/ 

cmq) 

= 0, 

125N 

(argille ad alta plasticità) 

spt 

Il metodo è valido per argille di media e bassa plasticità e si basa 

sulle seguenti relazioni: 

c ( kg/ 

cmq) 

= 0, 

125N 


u 

u 

u 

spt 

c ( kg/ 

cmq) 

= 0, 

100N 

(argille limose) 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

067N 

(argille limo-sabbiose) 

spt 

spt 

spt


d) Shioi - Fukui 

Il metodo è valido per argille di media e alta plasticità e si basa sulle 

seguenti relazioni: 


a) Stroud e Butler 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

025N 


u 

u 

spt 

c ( kg / cmq) 

= 0, 

05N 

(argille ad alta plasticità) 

spt 

Il metodo è valido per argille di media plasticità e bassa plasticità si 

basa sulla seguente relazione: 

E ( kg/ 

cmq) 

= 5N 


d 

d 

spt 

E ( kg/ 

cmq) 

= 6N 

(argille a bassa plasticità) 

Rapporto di sovraconsolidazione. 

a) Ladd e Foot 

Si basa sulla seguente relazione: 

spt 

Cu 

OCR = ( ) 

KK 

. 

σ 

dove: 

Cu = coesione non drenata dello strato (Kg/cmq); 

σ = pressione efficace a metà strato (Kg/cmq); 

KK = 7-Kp, parametro correttivo in funzione della profondità. 

Kp viene calcolato come illustrato dalla seguente tabella: 

125


Profondità media 

dello strato, P(m) 

P


Calcolo della portanza di fondazioni superficiali. 

a) Formula di Meyerhof 

Meyerhof ha proposto le seguenti relazioni: 

Nspt 

Qamm( 

KPa) 

= Kd , per B>1.2 m 

0. 

08 

Nspt 

Qamm( KPa) 

= , per B≤1.2 m 

005 . 

dove: 

Kd = 1 + 0.33(D/B), per Kd≤1.33); 

Nspt = numero di colpi di punta medio nello strato; 

D = profondità di posa della fondazione; 

B = larghezza della fondazione. 

Questa relazione ha il vantaggio di legare il valore della portanza 

oltre che alle caratteristiche del terreno anche alla geometria della 

fondazione. 

Va usata nei terreni prevalentemente incoerenti. Da notare che la 

formula fornisce direttamente la portanza ammissibile, senza che sia 

necessario introdurre ulteriori coefficienti di sicurezza. 

b) Formula degli Olandesi 

La formula degli Olandesi si basa sulla seguente relazione : 

dove: 

P (kg) = peso del maglio; 

H (cm) = volata del maglio; 

2 

P H 

Qlim( 

Kg/ 

cmq) 

= 

20ApRf 

( P + Pa)


Ap (cmq) = area della punta; 

Rf (cm) = rifiuto medio, dato dal rapporto fra lunghezza del 

tratto d'avanzamento e numero di colpi per tratto 

d'avanzamento (per es.30/Nscpt per penetrometri 

pesanti tipo Meardi); 

Pa (kg) = peso della colonna di aste. 

La Formula degli Olandesi rispetto a quella di Meyerhof non 

permette di correlare la portanza alle caratteristiche geometriche 

della fondazione, e in particolare al parametro D (profondità di posa 

della fondazione). Va quindi usata con molta prudenza e solo per 

stime di massima. 

c) Parry 

Il metodo di Parry si basa sulla seguente relazione : 

30Nspt 

Qamm( 

KPa) 

= 

Fs 

dove: Fs = coefficiente di sicurezza, di solito posto uguale a 3. 

Calcolo dei cedimenti di fondazioni superficiali. 

I cedimenti nel programma vengono calcolati con le relazioni 

proposte da Schmertmann, per gli strati incoerenti, e da Terzaghi, 

per gli strati coesivi, passando attraverso la stima del modulo di 

deformazione o edometrico, con le metodologie di calcolo presentate 

in precedenza. 

Metodo semplificato di Terzaghi 

Si tratta di un metodo speditivo utile per avere una prima indicazione 

dell'ammontare del cedimento. La relazione è la seguente:


dove: 

s dH Qz 

= 

Ed 

dH = spessore dello strato; 

Qz = incremento di pressione dovuto al sovraccarico 

applicato dalla fondazione a meta strato, calcolabile 

con uno dei metodi descritti nel precedente capitolo; 

Ed = modulo edometrico dello strato. 

Il calcolo va esteso a tutti gli strati di fondazione e i risultati sommati. 

Il cedimento totale sarà quindi espresso dalla seguente relazione: 

n 

∑ 1 

S si , 

= 

i= 

dove n è il numero degli strati di fondazione. 

Metodo di Schmertmann 

Il metodo di Schmertmann viene usato per calcolare il cedimento 

immediato e secondario di terreni incoerenti ed ha la seguente 

espressione: 

Iz 

S C C Q 

E dH 

n ⎛ ⎞ i 

= 1 2 ∑⎜ 

⋅ ⎟ 

⎝ ⎠ 

i= 

1 

dove: 

Q = carico netto applicato sulla fondazione; 

C1 = 1-0.5(σ/Q), fattore correttivo per tenere conto 

dell'approfondimento della fondazione dove σ è la 

pressione efficace al piano di posa della fondazione 

C2 

(C1≥0.5); 

i 

= 1 + 0.21log ( T/0.1), fattore correttivo per tenere conto 

del cedimento secondario dove T è il tempo di calcolo 

del cedimento in anni;


σ = pressione efficace al piano di posa della fondazione; 

n = numero degli strati; 


Ei 

Izi 

= modulo di deformazione dello strato i-esimo; 

= fattore d'influenza per tenere conto della diffusione del 

carico netto applicato sulla fondazione nel terreno; ha 

una distribuzione di tipo triangolare che dipende dalla 

geometria della fondazione. 

Calcolo della portanza di un palo. 

La portanza ammissibile di un palo viene generalmente valutata con 

la relazione: 

dove: 

Q 

+ Ql 

punta aterale 

Qamm( t) 

= 

− 

Fs 

P 

palo 

Qpunta = portanza di punta del palo; 

Qlaterale = portanza laterale del palo; 

Ppalo = peso del palo; 

Fs = fattore di sicurezza (di solito≥2,5); 

Per correlare Qpunta e Qlaterale con Nspt il programma utilizza il metodo 

di Meyerhof. 

a) Meyerhof. 

Valido solo per pali infissi, la Qpunta e la Qlaterale vengono calcolate con 

le seguenti relazioni: 

dove: 

Q ( t) 

= 0, 

2A 

laterale 

Q ( t) 

= 40A 

punta 

lat 

base 

N 

N 

spt 

spt


Alat = area laterale del palo in mq; 

Abase = area di base del palo in mq.


PROVA PENETROMETRICA STATICA 

Introduzione. 

L' interpretazione della prova penetrometrica statica (CPT) avviene 

generalmente in cinque fasi distinte: 

• discretizzazione del terreno indagato in livelli caratterizzati da 

valori di Rp e Rl relativamente costanti per tutto lo spessore dello 

strato; 

• stima della litologia del livello attraverso le metodologie di 

Begemann, Schmertmann, Robertson, ecc… 

• calcolo dei parametri geotecnici associati agli strati; 

• riepilogo della stratigrafia e dei parametri geotecnici dei singoli 

strati. 

Determinazione della litologia. 

Il programma utilizza tre metodi: 

• metodo di BEGEMANN (1965); 

• metodo di SCHMERTMANN (1978); 

• metodo di ROBERTSON (1990). 

Metodo di Begemann 

Il metodo di BEGEMANN considera il rapporto tra Rp e Rl come 

parametro indicativo delle variazioni litologiche. In particolare l’Autore 

suggerisce le seguenti correlazioni: 

Rapporto Rp/Rl Litologia 

Rp/Rl < 15 Argilla organica e torba 

15 < Rp/Rl < 20 Limo e/o argilla inorganica 

30 < Rp/Rl < 60 Limo sabbioso e sabbia limosa 

Rp/Rl > 60 Sabbie o sabbia più ghiaia 

1


Va ricordato che tali correlazioni sono valide solo per terreni 

immersi in falda. 

Metodo di Schmertmann. 

Il metodo di SCHMERTMANN considera come indicativo della 

litologia della verticale indagata il rapporto delle resistente Fr (con 

Fr%=100 Rl/Rp), secondo il grafico seguente: 

2


Metodo di Robertson. 

Il metodo di Robertson, più recente rispetto a quelli sopra proposti, 

considera come indicativo della litologia il confronto fra i parametri 

Q ( resistenza di punta normalizzata) e F (rapporto delle resistenze 

normalizzato) del terreno indagato. Q e F in pratica hanno le 

seguenti espressioni: 

Rp −σ 

Q = 

σ 

'v0 v0 

⎡ Rl 

F = 100⎢ 

⎣Rp 

−σ 

dove: 

Rp(kg/cmq)= Resistenza alla punta del penetrometro statico 

Rl(kg/cmq)= Resistenza laterale del penetrometro statico 

σv0(kg/cmq)= Pressione litostatica totale 

σ’v0(kg/cmq)= Pressione litostatica efficace 

Il grafico che permette l’identificazione del tipo litologico in funzione 

di Q e F è il seguente: 

v0 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

3


Robertson introduce anche il parametro Ic (Indice del tipo di 

comportamento del terreno) definito come: 

( ) ( ) 2 

2 

3 . 47 − LogQ + + 1. 

22 

Ic = LogF 

Il parametro Ic può essere correlato empiricamente al contenuto di 

fine del terreno attraverso la relazione 

4


3. 25 

FC % = 1. 

75Ic 

− 3. 

7 . 

5


Stima dei parametri geotecnici. 

Parametri degli strati incoerenti 

I parametri geotecnici calcolabili per terreni incoerenti (componente 

sabbiosa o ghiaiosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con 

i valori di Rp sono i seguenti: 

• angolo di resistenza al taglio ϕ; 

• densità relativa Dr; 

• modulo di deformazione ( o di Young) E50; 

• modulo edometrico M0; 


Angolo di resistenza al taglio j . 

L'angolo di resistenza al taglio del materiale indagato può essere 

valutato attraverso due categorie di metodi: i metodi di correlazione 

diretta Rp-ϕ e i metodi di correlazione indiretta. Tra i metodi di 

correlazione diretta Rp-ϕ vanno considerati, in generale, più 

attendibili quelli che esprimono ϕ anche in funzione della pressione 

efficace agente sullo strato. 

6


Metodi di correlazione diretta 

a) Durgunouglu-Mitchell 

Il metodo è valido per sabbie N.C., non cementate (per sabbie S.C. 

va aumentato di 1-2°). 


ϕ = 14. 4 + 4. 

8ln 

Rp − 4. 

5lnσ 

dove Rp(kg/cmq) è la resistenza di punta media misurata nello strato 

e σ(kg/cmq) è la pressione litostatica efficace a metà strato. 

b) Meyerhof 


ϕ = 17 + 4. 

49Rp 

dove Rp(kg/cmq) è la resistenza di punta media misurata nello 

strato. 

La relazione non è applicabile per ϕ< 32° e ϕ> 46°. Nel caso di 

sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare il valore di ϕ 

trovato di 1-2°. In sabbie cementate va tenuto presente che ad un 

aumento di Rp può non corrispondere automaticamente un 

aumento di ϕ , per cui in questi casi i risultati vanno utilizzati con 

cautela. 

La relazione non valuta, nella correlazione Rp-σ, l'influenza della 

pressione efficace. Quindi i valori dell'angolo di resistenza al taglio 

ottenuti con questo metodo risulteranno: 

• per modeste profondità (H < 5-6 m) più bassi del reale; 

• per elevate profondità (H > 14-15 m) più alti del reale. 

c) Caquot 


7


⎛ Rp ⎞ 

ϕ = 9. 

8 + 4. 

96ln⎜ 

⎟ 

⎝ σ ⎠ 


Rp la resistenza alla punta media misurata nello strato, sempre in 

kg/cmq. 

La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità in sabbie 

N.C. (normalmente consolidate) e non cementate per profondità 

maggiori di 2 metri (terreni saturi) o maggiori di 1 metro (terreni non 

saturi). Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre 

aumentare il valore di ϕ trovato di 1-2°. In sabbie cementate va 

tenuto presente che ad un aumento di Rp può non corrispondere 

automaticamente un aumento di ϕ , e quindi il valore calcolato va 

utilizzato con prudenza. 

d) Koppejan 


⎛ Rp ⎞ 

ϕ = 5. 

8+ 

5. 

21ln 

⎜ ⎟ 

⎝ σ ⎠ 



kg/cmq. 

La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità in sabbie 


maggiori di 2 metri (terreni saturi) o di 1 metro (terreni non saturi). 

Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare il 

valore di ϕ trovato di 1-2°. 

In sabbie cementate va tenuto presente che ad un aumento di Rp 

può non corrispondere automaticamente un aumento di ϕ , e quindi 

per questi terreni occorre utilizzare con una certa cautela i valori 

ottenuti. 

8


e) De Beer 


⎛ Rp ⎞ 

ϕ = 5. 

9 + 4. 

76ln 

⎜ ⎟ 

⎝ σ ⎠ 



kg/cmq. 

La relazione trova le sue condizioni ottimali di applicabilità per sabbie 


maggiori di 2 metri (terreni saturi) o di 1 metro (terreni non saturi). 

Nel caso di sabbie S.C. (sovraconsolidate) occorre aumentare il ϕ 

trovato di 1-2 °. 

In sabbie cementate va tenuto presente che ad un aumento di Rp 

può non corrispondere automaticamente un aumento di ϕ , e quindi i 

valori ottenuti vanno considerati con estrema cautela. 

Metodi di correlazione indiretta 


Questo metodo correla ϕ con la densità relativa dello strato in 

funzione della sua composizione granulometrica. 

Il metodo è valido per sabbie e ghiaie in genere. Facendo 

riferimento ad un altro parametro , affetto generalmente da errore 

non trascurabile, i valori di ϕ vengono ad essere quasi sempre 

sovrastimati. 

ϕ = 28 + 0, 

14Dr 

Sabbia fine 

ϕ = 31 , 5 + 0, 

115Dr 

Sabbia media 

ϕ = 34 , 5 + 0, 

10Dr 

Sabbia grossa 

ϕ = 38+ 0, 

08Dr 

Ghiaia 

9


Densità relativa. 

La densità relativa viene valutata attraverso correlazioni applicabili 

solo nel caso di terreni prevalentemente sabbiosi . 

In presenza di depositi ghiaiosi si ottengono valori eccessivamente 

elevati e quindi a sfavore della sicurezza: in questo caso si 

consiglia di adottare il valore più basso fra quelli calcolati con metodi 

differenti. 

a) Harman 

Il metodo è valido per le sabbie da fini a grossolane pulite, per 

qualunque valore di pressione efficace, in depositi normalmente 

consolidati. 

⎛ Rp 

Dr(%) 

= 34. 

36ln 

⎜ 0. 

7 

⎝12. 

3σ 


Rp(kg/cmq) la resistenza di punta media misurata nello strato. 

b) Schmertmann 

Si basa sulla seguente relazione: 

Dr% 

= −97. 

8+ 

36. 

6ln 

Rp − 

Modulo di deformazione (modulo di Young). 


⎞ 

⎟ 

⎠ 

26. 

9ln 

σ 

Il metodo è valido per le sabbie in genere normalmente consolidate. 

La relazione non considera l'influenza della pressione efficace, 

che porta a parità di Rp ad una diminuzione di E con la profondità. 

10



a) Robertson e Campanella. 

E( kg / cmq) 

= 2. 

5Rp 

Il metodo di Robertson e Campanella è valido per le sabbie in 

genere. Si basa sulla seguente relazione 

M ( kg / cmq) 

= 0. 

03Rp 

+ 11. 

7σ 

+ 0. 

79Dr% 

dove σ è la pressione litostatica efficace a metà strato in kg/cmq, 

Rp(kg/cmq) la resistenza di punta media misurata nello strato e Dr la 

densità relativa in percentuale. 

11


Modulo di deformazione di taglio. 

a) Imai e Tomauchi 

Il metodo, valido per tutti i tipi di terreno, si basa sulla seguente 

relazione: 

G ( kg/ 

cmq) 

= 28Rp 

0 

0. 

611 

dove Rp è la resistenza di punta media nello strato. 

Parametri degli strati coesivi. 

I parametri geotecnici calcolabili per terreni coesivi (componente 

limosa o argillosa dominante) attraverso le correlazioni dirette con i 

valori di Rp sono i seguenti: 

• coesione non drenata Cu; 

• modulo edometrico Ed; 

• rapporto di sovraconsolidazione OCR; 

• modulo dinamico di taglio G0; 

• indice di compressione vergine Cc; 

Coesione non drenata. 

a) Lunne e Eide 

Il metodo è valido per argille in genere e si basa sulla seguente 

relazione: 

Rp −σ 

cu( kg/ 

cmq) 

= 

20. 

7 − 0. 

18IP 

dove: 

Rp(kg/cmq)= Resistenza alla punta media dello strato 

IP Indice di plasticità medio dello strato 

12


σ(kg/cmq)= Pressione litostatica efficace a metà strato 


a) Mitchell e Gardner 

Il metodo, valido per argille in genere, si basa sulla seguente 

relazione: 

E d 

( kg/ 

cmq) 

= αRp 

dove Rp è la resistenza alla punta media dello strato e α è un 

coeffficiente variabile in funzione del tipo di terreno, secondo la 

seguente tabella: 

Terreno α 

CL Per 0.7>Rp α=5 

Per 2>Rp>0.7 α=3.5 

Per Rp>2 α=1.7 

ML Per 2>Rp α=2 

Per 2


dove: 

Cu = coesione non drenata dello strato (Kg/cmq); 

σ = Pressione efficace a metà strato (Kg/cmq); 

KK = 7-Kp, parametro correttivo in funzione della profondità. 

Kp viene calcolato come illustrato dalla seguente tabella: 

Profondità media 

dello strato, P(m) 

P


Indice di compressione vergine. 


Per una stima di massima del parametro Cc è possibile utilizzare la 

relazione di Schmertmann: 

⎛ 2cu 

⎞ 

Cc = 0. 

09 − 0. 

055Log⎜ 

⎟ 

⎝ σ ⎠ 

dove cu è la coesione non drenata media dello strato e σ la pressione 

litostatica efficace media a metà strato. 

15


Calcolo della portanza di fondazioni superficiali. 

a) Formula di Meyerhof 

Meyerhof ha proposto le seguenti relazioni: 

dove: 

Rp 

Qamm( 

KPa) 

= 4 Kd , per B>1.2 m 

0. 

08 

Rp 

Qamm ( KPa) 

= 4 , per B≤1.2 m 

0. 

05 

Kd = 1 + 0.33(D/B), per Kd


( ) 5 . 1 

300 

Qlim( kg/ 

cmq) 

= 48 − 0. 

009 − Rp (per fondazioni rettangolari); 

nel secondo da: 

Qlim( kg/ 

cmq) 

= 2 + 0. 

28Rp 

(per fondazioni nastriformi); 

Qlim( kg/ 

cmq) 

= 5 + 0. 

34Rp 

(per fondazioni rettangolari). 

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un 

opportuno coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale 3. 

c) Terzaghi 

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno strato 

coesivo. 

Nel primo caso la Qlim dello strato è data da: 

Q 1 q 2 

lim( kg/ 

cmq) 

= γ DN + 0. 

5Bγ 

N 

in cui: Nq=Rp/0.8 e Ny=Rp/0.8; 

nel secondo caso: 

γ 

⎡ ⎛ B ⎞⎤ 

Qlim( kg/ 

cmq) 

= 2Kq⎢1 

+ 0. 

3⎜ 

⎟⎥ 

⎣ ⎝ L ⎠⎦ 

in cui: Kq = Rp/15, B=larghezza della fondazione e L=lunghezza della 

fondazione. 

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un 

opportuno coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale 3. 

17


Calcolo dei cedimenti di fondazioni superficiali. 

I cedimenti nel programma vengono calcolati con le relazioni 

proposte da Schmertmann, per gli strati incoerenti, e da Terzaghi, 

per gli strati coesivi, passando attraverso la stima del modulo di 

deformazione o edometrico, con le metodologie di calcolo presentate 

in precedenza. 

Metodo semplificato di Terzaghi. 


dell'ammontare del cedimento. La relazione è la seguente: 

dove: 

s dH Qz 

= 

Ed 


Qz = incremento di pressione dovuto al sovraccarico 

applicato dalla fondazione a metà strato, calcolabile 

con uno dei metodi descritti nel precedente capitolo; 

Ed = modulo edometrico dello strato. 

Il calcolo va esteso a tutti gli strati di fondazione e i risultati sommati. 

Il cedimento totale sarà quindi espresso dalla seguente relazione: 

n 

∑ 1 

S si , 

= 

i= 

dove n è il numero degli strati di fondazione. 

18


Metodo di Schmertmann. 

Il metodo di Schmertmann viene usato per calcolare il cedimento 

immediato e secondario di terreni incoerenti ed ha la seguente 

espressione: 

dove: 

Iz 

S C C Q 

E dH 

n ⎛ ⎞ i 

= 1 2 ∑⎜ 

⋅ ⎟ 

⎝ ⎠ 

i= 

1 

Q = carico netto applicato sulla fondazione; 

C1 = 1-0.5(σ/Q), fattore correttivo per tenere conto 

dell'approfondimento della fondazione dove σ è la 

pressione efficace al piano di posa della fondazione 

(C1≥0.5); 

C2 = 1 + 0.21log ( T/0.1), fattore correttivo per tenere conto 

del cedimento secondario dove T è il tempo di calcolo 

del cedimento in anni; 

σ = pressione efficace al piano di posa della fondazione; 

n = numero degli strati; 


Ei = modulo di deformazione dello strato i-esimo; 

Izi = fattore d'influenza per tenere conto della diffusione del 

carico netto applicato sulla fondazione nel terreno; ha 

una distribuzione di tipo triangolare che dipende dalla 

geometria della fondazione. 

i 

19


Calcolo della portanza di un palo. 

La portanza ammissibile di un palo viene generalmente valutata con 

la relazione: 

dove: 

Q 

+ Ql 

punta aterale 

Qamm( t) 

= 

− 

Fs 

P 

palo 

Qpunta = portanza di punta del palo; 

Qlaterale = portanza laterale del palo; 

Ppalo = peso del palo; 

Fs = fattore di sicurezza (di solito≥2,5); 

Per correlare Qpunta e Qlaterale con Rp il programma utilizza il metodo 

di Meyerhof. 

a) Meyerhof. 

Valido solo per pali infissi e trivellati, la Qpunta e la Qlaterale vengono 

calcolate con le seguenti relazioni: 

dove: 

Alat 

Abase 

Qlaterale lat 

Qlaterale lat 

Qpunta ( t) 

= Abase 

( t) 

= A Rp (per livelli coesivi); 

( t) 

= 2A 

Rp (per livelli incoerenti); 

Rp 

= area laterale del palo in mq; 

= area di base del palo in mq. 

20


FONDAZIONI SUPERFICIALI 

Capacità portante di una fondazione superficiale. 

Introduzione. 

Per fondazione s'intende una struttura adatta a trasmettere il peso del 

fabbricato e le altre forze agenti sulla sovrastruttura al terreno. I carichi 

trasmessi da una struttura al terreno di fondazione non devono superare la 

massima resistenza al taglio mobilitabile dal terreno stesso. Nel caso ciò 

avvenisse la conseguenza sarebbe la rottura degli strati portanti, che si 

manifesterebbe con ampie deformazioni non tollerabili dalla sovrastruttura. 

Il valore della resistenza al taglio massima mobilitabile, e quindi il carico 

massimo teorico che può essere applicato dal fabbricato, viene definito 

capacità portante limite del terreno di fondazione. 

Vengono definite superficiali le fondazioni in cui sia verificata la 

disuguaglianza: 

(1) D < 4 x B; 

in cui D è la profondità di posa della fondazione dal piano campagna e B la 

dimensione del lato corto della fondazione stessa. Dove la 1) non è 

soddisfatta si parla invece di fondazioni profonde. 

Portanza del terreno attraverso relazioni analitiche. 

Introduzione. 

Il comportamento teorico del terreno di fondazione sottoposto 

all'applicazione di un carico viene generalmente schematizzato secondo le 

indicazioni di Terzaghi (1943). Si suppone quindi che, per una fondazione 

ruvida, nel terreno caricato del peso del fabbricato si possano individuare tre 

zone a comportamento meccanico e reologico differente: 

I) zona, geometricamente assimilabile ad un cuneo, in cui il terreno 

mantiene un comportamento elastico e tende a penetrare negli strati 

1


sottostanti, solidalmente con la fondazione; questo cuneo forma un angolo 

uguale a Phi 

(Phi = angolo di resistenza al taglio del terreno su cui poggia la fondazione) 

rispetto all'orizzontale secondo Terzaghi, uguale a 45°+Phi/2 secondo 

Meyerhof,Vesic e Brinch Hansen; 

II) zona di scorrimento radiale, rappresentabile graficamente da una serie di 

archi di spirale logaritmica per Phi>0 o di cerchio per Phi=0, dove avviene 

la trasmissione dello sforzo applicato dal cuneo di materiale che costituisce 

la zona I alla zona III; 

III) zona che si oppone alla penetrazione del cuneo della zona I nel terreno; 

si assume teoricamente che assuma la forma di un triangolo isoscele con 

un'inclinazione dei due lati uguali rispetto all'orizzontale di 45°-Phi/2; sulla 

supeficie di questa zona agisce, con effetto stabilizzante, il peso del terreno 

sopra il piano di posa della fondazione ed altri eventuali sovraccarichi. 

Si ha la rottura del terreno di fondazione quando il carico applicato dal 

cuneo della zona I supera la resistenza passiva della zona III. In questo caso 

la zona I penetrerà nel terreno di fondazione, che tenderà a rifluire 

lateralmente lungo la zona di scorrimento plastico, dando luogo a 

rigonfiamenti superficiali. 

Si può giungere alla rottura del terreno attraverso tre modalità differenti: 

a) rottura di tipo generalizzato: in terreni addensati e/o consolidati la 

resistenza al taglio mobilitata aumenta rapidamente per piccoli incrementi di 

deformazione; al superamento della portanza limite il terreno si rompe e 

subisce grosse deformazioni; riportando in grafico gli sforzi applicati e le 

deformazioni relative risulta facilmente identificabile il valore della 

resistenza al taglio massima; 

b) rottura di tipo locale: in terreni sciolti e/o scarsamente consolidati la 

resistenza al taglio mobilitata aumenta gradualmente in relazione a 

significativi incrementi di deformazione; risulta difficile individuare in 

questo caso di resistenza al taglio massima, superata la quale si ha la rottura 

del terreno, in quanto qui il fenomeno avviene con maggiore gradualità; 

2


c) rottura di tipo intermedio: presenta caratteristiche intermedie fra la rottura 

di tipo generalizzato e locale. 

Numerose sono le relazioni analitiche proposte per valutare la capacità 

portante di una fondazione superficiale. Le più utilizzate, e attendibili, sono 

quelle di Terzaghi, Meyerhof, Vesic e Brinch Hansen. 

Formula di Terzaghi (1943). 

La formula di Terzaghi ha la seguente forma: 

(2) Qlim = c x Nc x sc + y1 x D x Nq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy; 

in cui: Nc,Nq,Ny = fattori adimensionali di portanza legati rispettivamente 

al contributo di terreni con coesione, al terreno posto sopra al piano di posa 

della fondazione e agli strati di coesione nulla; 

Terzaghi per questi fattori propone le seguenti relazioni: 

(3) Nq = a 2 /[ 2 x cos2 (45 + Phi/2)] 

dove (4) a = exp[(0.75 x Pi - Phi/2) x tg(Phi)]; 

(5) Nc = (Nq -1) x cotg(Phi) 

(6) Ny = [tg(Phi)/2] x [ (Kp/cos 2 (Phi)) - 1] 

dove: Kp=fattore di portanza proposto da Terzaghi, approssimabile 

con la seguente relazione: 

(7) Kp= A0 + A1 x Phi + A2 x Phi 2 + A3 x Phi 3 + A4 x Phi 4 ; 

in cui: 

A0,A1,A2,A3,A4=fattori del polinomio interpolatore. 

3


(si tenga presente però che lo stesso Terzaghi consiglia di utlizzare il 

valore di Ny ricavato da Meyerhof [vedi paragrafo successivo]); 

c = coesione del terreno; 

y1=peso di volume medio del terreno sopra il piano di posa; 

y2=peso di volume sotto il piano di posa; 

B=larghezza della fondazione (dimensione del lato corto); 

D=profondità di posa della fondazione; 

sc,sy=fattori di forma dati da: 

sc = 1.0 per fondazioni nastriformi; 

sc = 1.3 per fondazioni quadrate; 

sy= 1.0 per fondazioni nastriformi; 

sy=0.8 per fondazioni quadrate. 

La formula di Terzaghi fornisce generalmente valori di portanza 

sovrastimati tranne nel caso di terreni coesivi sovraconsolidati; deve essere 

utilizzata solo per fondazioni molto superficiali, dove cioè sia verificata la 

disuguaglianza: 

Formula di Meyerhof (1951). 

D


sc,sq,sy=fattori di forma, dati da: 

(10) Nc = (Nq -1) x cotg(Phi); 

(11) Ny = (Nq - 1) x tg(1.4 x Phi); 

(12) sc =1 + 0.2 x Kp x B/L; 

dove Kp=tg 2 (45 + Phi/2) e L=lato lungo della fondazione; 

(13) sq = sy = 1 + 0.1 x Kp x B/L per Phi>0; 

(14) sq = sy = 1 per Phi=0; 

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento, dati da: 

(15) dc = 1 + 0.2 x sqr(Kp) x D/B; 

(16) dq = dy = 1 + 0.1 x sqr(Kp) x D/B per Phi>0; 

(17) dq = dy =1 per Phi=0; 

ic,iq,iy=fattori correttivi per l'inclinazione dei carichi, dati da: 

(18) ic = iq = (1 - I°/90); 

dove I°=inclinazione del carico rispetto alla verticale; 

(19) iy = (1 - I°/Phi°) 2 per Phi>0; 

(20) iy=0 per Phi=0. 

A differenza della formula di Terzaghi, la relazione di Meyerhof può essere 

impiegata per qualunque tipo di terreno e per profondità di posa fino a D= 4 

x B. Non può essere utilizzata per fondazioni su pendio o per fondazioni con 

base ruotata. 

Formula di Brinch Hansen (1970). 

Deriva dalla formula di Meyerhof , dalla quale differisce per i valori dei 

fattori correttivi di forma, di approfondimento, d'inclinazione dei carichi e 

per il fattore di portanza Ny e per l'introduzione di fattori correttivi relativi 

5


al caso di fondazione su pendio e di fondazioni con base ruotata. Ha la 

seguente espressione: 

(21) Qlim = c x Nc x sc x dc x ic x bc x gc + sq x y1 x D x Nq x dq x iq x bq 

x gq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy x dy x iy x by x gy (per Phi>0); 

(22) Qlim = 5.14 x Cu x (1 + sc + dc -ic -bc - gc) + y1 x D (per Phi=0); 

in cui: Nc,Nq,Ny=fattori adimensionali di portanza, dove Nc e Nq hanno la 

stessa forma dei corrispondenti parametri della relazione di Meyerhof 

(equazioni 9 e 10) e Ny è dato da: 

(23) Ny = 1.5 x (Nq -1) x tg(Phi); 

sc,sq,sy=fattori di forma, dati da: 

(24) sc = 0.2 x B/L per Phi=0; 

(25) sc = 1 + (Nq/Nc) x (B/L) per Phi>0; 

(26) sq = 1 + (B/L) x tg(Phi); 

(27) sy = 1 - 0.4 x (B/L); 

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento, dati da: 

(28) dc = 0.4 x k per Phi=0; 

dove k=D/B per D/B1 

(29) dc = 1 + 0.4 x k; 

(30) dq = 1 + 2 x tg(Phi) x [1 - sen(Phi)] 2 x k; 

(31) dy = 1. 

ic,iq,iy=fattori correttivi per carichi inclinati, dati da: 

(32) ic = 0.5 - 0.5 x sqr[1 - H/(A x c)] per Phi=0; 

(33) ic = iq - (1 - iq)/(Nq -1) per Phi>0; 

(34) iq = [1 - 0.5 x H /(V + A x c x cotg(Phi))] 5 ; 

(35) iy = [1 - 0.7 x H /(V + A x c x cotg(Phi))] 5 per b°=0; 

6


(36) iy = [1 - (0.7-b°/450) x H /(V + A x c x cotg(Phi))] 5 per b°>0; 

dove H=componente longitudinale del carico; 

V=componente assiale del carico; 

b°=inclinazione della base della fondazione rispetto all'orizzontale; 

A=area effettiva della fondazione; 

bc,bq,by=fattori correttivi per l'inclinazione della base della 

fondazione, dati da: 

(37) bc = b°/147 per Phi=0; 

(38) bc = 1 - b°/147 per Phi>0; 

(39) bq = exp[-2 x b(rad) x tg(Phi)]; 

(40) by = exp[-2.7 x b(rad) x tg(Phi)]; 

gc,gq,gy=fattori correttivi per fondazioni su pendio, dati da: 

(41) gc = p°/147 per Phi=0; 

(42) gc = 1 - p°/147 per Phi>0; 

(43) gq = gy = (1 - 0.5 x tg p°) 5 . 

A differenza della formula di Terzaghi, la relazione di Brinch Hansen può 

essere impiegata per qualunque tipo di terreno e per profondità di posa fino 

a D= 4 x B. Può essere utilizzata inoltre per fondazioni su pendio o per 

fondazioni con base ruotata. 

Formula di Vesic (1973). 

Deriva dalla formula di Brinch Hansen, dalla quale differisce per i valori dei 

fattori correttivi per carichi inclinati, per fondazioni su pendio, per 

fondazioni con base ruotata e per una diversa definizione del fattore di 

portanza Ny. Ha la seguente espressione: 

(44) Qlim = c x Nc x sc x dc x ic x bc x gc + sq x y1 x D x Nq x dq x iq x bq 

x gq + 0.5 x y2 x B x Ny x sy x dy x iy x by x gy (per Phi>0); 

7


(45) Qlim = 5.14 x Cu x (1 + sc + dc -ic -bc - gc) + y1 x D (per Phi=0); 

in cui: Nc,Nq,Ny=fattori adimensionali di portanza, dove Nc e Nq hanno la 

stessa forma dei corrispondenti parametri della relazione di Meyerhof 

(equazioni 9 e 10) e Ny è dato da: 

(46) Ny = 2 x (Nq +1) x tg(Phi); 

sc,sq,sy=fattori di forma di valore uguale a quelli proposti da Brinch 

Hansen (eq.24,25,26 e 27); 

dc,dq,dy=fattori correttivi per l'approfondimento di valore uguale a 

quelli proposti da Brinch Hansen (eq.28,29,30 e 31); 

ic,iq,iy=fattori correttivi per carichi inclinati, dati da: 

(47) ic = 1 - m x H / (A x c x Nc) per Phi=0; 

dove m=(2 + B/L)/(1 + B/L) per H parallelo a B; 

m=(2 + L/B)/(1 + L/B) per H parallelo a L; 

(48) ic = iq - (1 - iq)/(Nq -1) per Phi>0; 

(49) iq = [1 - H /(V + A x c x cotg(Phi))] m ; 

(50) iy = [1 - H /(V + A x c x cotg(Phi))] (m+1) ; 

bc,bq,by=fattori correttivi per l'inclinazione della base della 

fondazione, dati da: 

(51) bc = b°/147 per Phi=0; 

(52) bc = 1 - b°/147 per Phi>0; 

(53) bq = by = (1 - b x tg(Phi)) 2 ; 

gc,gq,gy=fattori correttivi per fondazioni su pendio, dati da: 

(54) gc = p°/147 per Phi=0; 

(55) gc = 1 - p°/147 per Phi>0; 

(56) gq = gy = (1 - tg p°) 2 . 

8


La relazione di Vesic fornisce risultati non dissimili da quelli ottenibili con 

la formula di Brinch Hansen, anche se quest'ultima risulta essere più diffusa 

e usata. 

Formula di Froelich (1935). 

A differenza delle relazioni viste nei precedenti paragrafi la formula di 

Froelich non fornisce la capacità portante limite della fondazione bensì 

quella 

critica. Per portanza critica s'intende quel carico oltre il quale si hanno i 

primi fenomeni di plasticizzazione del terreno, con deformazioni 

significative. E' applicabile in particolare in terreni di fondazione con rottura 

di tipo locale. La formula ha la seguente espressione: 

(57) Qcrit = Ncrit x [y1 x D + C x cotg(Phi)] per Phi>0; 

con Ncrit=Pi/[cotg(Phi) - (Pi/2 - Phi)] (con Phi in radianti); 

Pi=Pi greco; 

D=profondità di posa 

(58) Qcrit = Pi x c per Phi=0. 

Determinazione del carico d'esercizio. 

Il carico da applicare sul terreno viene ricavato dal valore della portanza 

limite o critica, adottando un opportuno coefficiente di sicurezza. Nel caso 

venga utilizzato il valore della capacità portante limite, il coefficiente di 

sicurezza utilizzato per Legge e per consuetudine è posto uguale 3. La 

portanza d'esercizio in questo caso è data quindi da: 

(59) Qes = Qlim/3. 

Volendo utilizzare il valore della portanza critica si consiglia generalmente 

di impiegare un coefficiente di sicurezza uguale a 1.5: 

(60) Qes = Qcrit/1.5. 

9


Fondazioni con carichi eccentrici. 

Nel caso alla fondazione siano applicati dei momenti il carico non risulta più 

centrato, ma eccentrico. Se con Q indichiamo il valore del carico applicato 

alla fondazione e con Mb e Ml i momenti agenti rispettivamente lungo il 

lato corto e lungo della fondazione, l'eccentricità del carico sarà data da: 

(61) eb = Mb/Q; 

(62) el = Ml/Q; 

con eb = eccentricità lungo il lato corto della fondazione; 

el = eccentricità lungo il lato lungo della fondazione. 

Il calcolo della capacità portante in questo caso andrà eseguito, utilizzando 

le formule viste nei paragrafi precedenti, inserendo però nel calcolo, come 

suggerito da Meyerhof, i valori di B e L corretti come segue: 

Calcolo del valore y1 x D. 

(63) B' = B - 2 x eb; 

(64) L' = L - 2 x el. 

Nel caso il profilo del terreno sia irregolare, per cui si abbiano spessori di 

terreno differenti lungo i due lati della fondazione (rispetto al lato corto 

della stessa) o nel caso in cui vi sia la presenza di sovraccarichi, come 

fabbricati, terrapieni, ecc., in prossimità della fondazione, il prodotto y1 x D 

(peso di volume del terreno sopra il piano di posa della fondazione per la 

profondità di posa della stessa) diventa di più difficile valutazione. In questi 

casi si consiglia di procedere come segue: 

a) si calcolino i 2 valori medi dei prodotti y1 x D (P1 e P2) lungo i due lati 

della fondazione; 

b) si trasformino eventuali sovraccarichi in altezza di terra equivalente e si 

sommino ai prodotti y1 x D già calcolati; 

c) si introduca nel calcolo della capacità portante il valore minore fra P1 e 

P2. 

10


Calcolo della capacità portante in terreni stratificati. 

La profondità sotto il piano di posa della fondazione da prendere in 

considerazione nel calcolo della portanza può essere stimata dalla relazione 

(Meyerhof, 1953): 

(65) H = 0.5 x B x tg(45 + Phi/2); 

H è in pratica la profondità a cui si spinge il cuneo di terreno solidale con la 

fondazione (zona I). Se all'interno di questo intervallo di profondità 

ricadono più strati, la scelta dei parametri geotecnici da introdurre nel 

calcolo della portanza diventa più problematica. 

Per un terreno di fondazione multistrato vanno distinti in generale tre casi: 

a) caso in cui gli strati sono costituiti da terreni dotati di sola coesione 

(Phi=0); 

b) caso in cui gli strati siano costituiti da terreni con Phi>0 e c>0; 

c) caso in cui gli strati siano costituiti da un'alternanza di terreni coesivi 

(Phi=0) e incoerenti (Phi>0). 

Caso a). 

Meyerhof e Brown (1969) propongono di adottare la seguente procedura: 

1) si esegue il rapporto fra la coesione del primo strato sotto il piano di posa 

della fondazione e quello immediatamente successivo: 

Rc = c1/c2; 

2) se Rc è minore di 1 si calcola il nuovo valore del fattore di portanza Nc 

come segue: 

(66) Nc = (1.5 x d/B) + 5.14 x Rc (Nc


3) se Rc è maggiore o uguale a 1, vanno calcolati i due fattori parziali: 

(67) Nc1 = 4.14 + (0.5 x B/d); 

(68) Nc2 = 4.14 + (1.1 x B/d); 

e quindi se ne fa una media per ottenere il fattore Nc: 

(69) Nc = 2 x [Nc1 x Nc2 /(Nc1 + Nc2)]. 

4) il fattore Nc calcolato va quindi inserito nelle formule di calcolo della 

capacità portante di Meyerhof, Vesic o Brinch Hansen. 

5) il valore di Qlim calcolato va quindi confrontato con il carico di 

schiacciamento del primo strato dato dalla relazione: 

(70) Qpz = 4 x c1 + y1 x D; 

si adotta come capacità portante il minore dei due valori. 

La (70) assume generalmente valori molto bassi solo nel caso di strati 

coesivi scarsamente consolidati. 

Caso b). 

Purushothamaray et alii (1974) nel caso di un terreno a due strati propone la 

seguente soluzione: 

1) si calcola un valore di Phi medio del terreno dato da: 

(71) Phi' = [d x Phi1 + (H - d) x Phi2] / H; 

in cui: Phi1 e Phi2 = angolo d'attrito dello strato 1 e 2; 

2) si calcola un valore medio di c: 

(72) c' = [d x c1 + (H - d) x c2] / H; 

in cui: c1 e c2 = coesione degli strati 1 e 2; 

12


3) s'inseriscono i valori di c' e Phi' in una delle equazioni per il calcolo della 

portanza viste in precedenza; 

4) nel caso il primo strato presentasse delle caratteristiche meccaniche 

scadenti, si esegue la verifica allo schiacciamento (eq. 70) e si confronta il 

risultato con il valore di Qlim calcolato nel punto 3), adottando come 

capacità portante il minore dei due valori. 

La procedura ovviamente può essere estesa ad un numero qualsiasi di strati. 

Caso c). 

Bowles (1974) propone la seguente procedura nel caso di terreno a due 

strati: 

1) si calcola, con i metodi visti, la Qlim del primo strato (quello 

immediatamente sotto il piano di posa della fondazione) (Qlim1); 

2) si calcola la Qlim del secondo strato (Qlim2), usando i valori di c e Phi 

del secondo strato e introducendo nel prodotto y1 x D il peso di volume del 

primo strato ed il suo spessore; 

3) si calcola la Qlim complessiva dei due strati attraverso la relazione: 

(73) Qlim' = Qlim2 + [p x Pv x K x tg(Phi)/A] + (p x d x c/A); 

in cui: A=area della fondazione=B x L; 

p=perimetro della fondazione=2 x B + 2 x L; 

d=spessore del primo strato; 

P=pressione efficace dal piano di posa della fondazione al tetto dello 

strato inferiore; 

K=tg(45 + Phi/2) 2 ; 

4) si confronta il valore di Qlim1 con Qlim' e si adotta come portanza il 

minore dei due. 

Anche in questo caso il procedimento può essere esteso a tre e più strati. 

13


Effetti sulla portanza della variazione di B e D. 

Dall'osservazione dell'equazioni proposte da Terzaghi, Meyerhof, Brinch 

Hansen e Vesic per il calcolo della capacità portante si può notare che 

generalmente all'aumentare di B e D la Qlim tende a crescere. In particolare 

a piccoli incrementi di D, mantenendo invariato B, corrispondono spesso 

notevoli aumenti della Qlim. Quest'effetto è più vistoso nei terreni 

incoerenti, dove il termine dell'equazione legato a Nc è nullo e quello legato 

a Nq diventa dominante. 

Gli incrementi di Qlim all'aumentare di B sono invece più contenuti in 

quanto il termine legato a Ny spesso è trascurabile. Da notare però che in 

terreni 

stratificati si può anche verificare che ad un incremento di B segua una 

diminuzione di Qlim: ciò accade in presenza di strati con caratteristiche 

meccaniche scadenti posti sotto strati con caratteristiche migliori. In questi 

casi è consigliabile effettuare il calcolo della portanza, utilizzando un range 

abbastanza ampio di valori di B, per individuare la Qlim massima e minima 

in funzione del lato corto della fondazione. 

Correzione di Terzaghi della portanza limite. 

Tutte le equazioni per il calcolo della capacità portante presentate in 

precedenza si basano sul presupposto che il terreno di fondazione abbia un 

comportamento descrivibile dalla legge di Coulomb: 

(74) T = c + Pef x tg(Phi); 

in cui: T=resistenza al taglio del terreno; 

Pef=pressione efficace del terreno. 

I dati sperimentali confermano che il campo di validità della (74) è limitato 

all'intervallo di Qammissibile che va da 0 a 4.5 kg/cmq circa. Oltre i 4.5 kg/cmq 

la relazione sforzi - resistenza al taglio non è più di tipo lineare, come 

nell'eq. 74, ma assume una forma più complessa. L'uso delle formule per il 

calcolo della portanza fuori dal campo di validità della (74) conduce a valori 

della Qlim sovrastimati. 

14


Terzaghi (1943) ha proposto una correzione da applicare ai parametri 

coesione e angolo d'attrito del terreno, nei casi in cui risulti dal calcolo una 

Qam>4.5 kg/cmq, per tener conto della non linearità della relazione sforzi - 

resistenza al taglio. In pratica ha suggerito di utilizzare nel calcolo valori 

ridotti di Phi e c, calcolati come segue: 

c' = (2/3) x c; 

Phi' = atang[(2/3) x Phi]. 

Lo stesso tipo di correzione viene proposta da Terzaghi per terreni dove è 

prevedibile una rottura del terreno di tipo locale. Nella pratica per 

distinguere 

fra terreni con rottura di tipo locale e generale si può utilizzare il seguente 

criterio: 

a) rottura di tipo locale: probabile nei terreni che abbiano un densità relativa 

(Dr%) inferiore a 20 e/o una coesione (c) minore di 0.25 kg/cmq; in questo 

caso si consiglia di procedere al calcolo della Qlim adottando i valori ridotti 

di c e Phi: 

c' = (2/3) x c; 

Phi' = atang[(2/3) x Phi]; 

b) rottura di tipo generale: probabile nei terreni che abbiano una Dr%>=70 

e/o una coesione maggiore o uguale a 1 kg/cmq; in questo caso nel calcolo 

vanno impiegati i valori reali di c e Phi; 

c) rottura di tipo intermedio: probabile nei terreni con Dr%>=20 e =0.25 kg/cmq e c


Secondo quanto proposto dai due Autori la portanza può essere valutata con 

uno dei metodi già visti, impiegando i seguenti fattori di portanza: 

Nq = tg 6 (45 + Phi/2); 

Nc = 5 x tg 4 (45 + Phi/2); 

Ny = Nq +1. 

Il valore della Qlim ottenuto va poi ridotto in base al valore del parametro 

RQD: 

Qlim' = Qlim x (RQD%/100) 2 . 

Il limite di questo procedimento è nella difficolta di ottenere per ammassi 

rocciosi valori attendibili di Phi e c. D'altra parte raramente la Qlim è un 

fattore limitante nel caso di fondazioni su roccia. 

Correzioni da applicare all'angolo d'attrito in condizioni sismiche. 

Le sollecitazioni indotte da un sisma possono, nel caso di terreni incoerenti 

ben addensati, indurre il fenomeno della dilatanza, cioè un aumento di 

volume del materiale conseguente ad una diminuzione del suo grado di 

addensamento (espresso dal parametro densità relativa). Poichè nei terreni 

incoerenti esiste un legame fra grado di addensamento e angolo d'attrito 

interno, una diminuzione della prima grandezza conduce ad una 

diminuzione anche della seconda. 

Due sono le correzioni presentate in questo programma: quella di Vesic e 

quella di Sano. 

a)Criterio di Vesic. 

Secondo questo Autore per tener conto del fenomeno della dilatanza nel 

calcolo della capacità portante è sufficiente diminuire di 2° l'angolo d'attrito 

degli strati di fondazione. Il limite di questo suggerimento è nel fatto che 

non tiene conto dell'intensità della sollecitazione sismica (espressa 

16


attraverso il parametro accelerazione sismica orizzontale massima). Questo 

criterio pare però trovare conferma nelle osservazioni fatte in occasione di 

diversi eventi sismici. 

b)Criterio di Sano. 

L'Autore propone di diminuire l'angolo d'attrito degli strati portanti di una 

quantità data dalla relazione: 

Dp = arctg[Amax /sqr(2)]; 

dove Amax è l'accelerazione sismica orizzontale massima. 

Questo criterio, rispetto a quello di Vesic, ha il vantaggio di prendere in 

considerazione anche l'intensità della sollecitazione sismica. L'esperienza 

però dimostra che l'applicazione acritica di questa relazione può condurre a 

valori eccessivamente cautelativi della Qlim. 

Le correzioni di Sano e di Vesic si applicano esclusivamente a terreni 

incoerenti ben addensati: è errato applicarle a terreni sciolti o mediamente 

addensati, dove le vibrazioni sismiche producono il fenomeno opposto a 

quello della dilatanza, con aumento del grado di addensamento e 

dell'angolo d'attrito. 

Per quanto riguarda la coesione (drenata e non), le osservazioni confermano 

che le sollecitazioni sismiche vi inducono effetti del tutto trascurabili. 

Portanza del terreno attraverso correlazioni empiriche con i dati di 

prove in situ. 

Correlando i dati ricavati da alcuni tipi di prove in situ con la capacità 

portante della fondazione, è possibile ottenere rapidamente un'indicazione di 

massima dei carichi che il terreno può tollerare. E' consigliabile verificare 

comunque in seguito la validità di quest'indicazione con i metodi analitici, 

più completi e attendibili. 

Portanza attraverso correlazioni con le prove CPT. 

17


Vengono qui descritte le relazioni di Schmertmann e di Terzaghi. 

a) Formula di Schmertmann. 

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno strato coesivo. 


(75) Qlim (kg/cmq) = 28 - 0.0052 x (300 - Rp) 1.5 (per f.nastriformi); 

(76) Qlim (kg/cmq) = 48 - 0.009 x (300 - Rp) 1.5 (per f.rettangolari); 

nel secondo: 

(77) Qlim (kg/cmq) = 2 + 0.28 x Rp (per f.nastriformi); 

(78) Qlim (kg/cmq) = 5 + 0.34 x Rp (per f.rettangolari). 

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un opportuno 

coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 3. 

b) Formula di Terzaghi. 

Si distingue il caso di un strato incoerente da quello di uno strato coesivo. 


(79) Qlim (kg/cmq) = y1 x D x Nq + 0.5 x B x Ny; 

in cui: Nq=Rp/.8 e Ny=Rp/.8; 

nel secondo caso: 

in cui: Kq = Rp/15. 

(80) Qlim (kg/cmq) = 2 x Kq x [1 + 0.3 x (B/L)]; 

Per ricavare la portanza d'esercizio la Qlim va divisa per un opportuno 

coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 3. 

18


Portanza attraverso correlazioni con le prove SPT e SCPT. 

Vengono qui descritte la relazione di Meyerhof e la formula degli Olandesi. 

a) Formula di Meyerhof. 


(81) Qamm (kPa) = (Nspt/0.08) x Kd; 

con Kd = 1 + 0.33 x (D/B) (con Kd


La Formula degli Olandesi rispetto a quella di Meyerhof non permette di 

correlare la portanza alle caratteristiche geometriche della fondazione, e in 

particolare al parametro D (profondità di posa della fondazione). Va quindi 

usata con molta prudenza e solo per prime stime. La portanza ricavata con la 

relazione (82) fornisce direttamente la portanza ammissibile, quindi il 

coefficiente di sicurezza deve essere posto uguale a 1. 

Calcolo del coefficiente di sottofondazione. 

Si definisce pressione di contatto la pressione unitaria che la fondazione 

esercita in ciascun punto d'appoggio sul terreno di fondazione. Per modulo o 

coefficiente di sottofondazione si definisce la relazione che esiste fra la 

pressione di contatto in ogni punto della fondazione e la relativa 

deformazione del terreno: 

(83) k = Q/s. 

Generalmente ci si basa sull'ipotesi che il modulo k sia costante sotto ogni 

punto della fondazione, come proposto da Winkler e da Westergaard. Se ciò 

si può verificare nel caso di fondazioni rigide, per fondazioni elastiche 

l'assunzione non è più valida. L'utilizzo di k anche per il dimensionamento 

di platee e reticoli di travi rimane nonostante questo ancora diffuso, 

mancando metodi di calcolo più attendibili e uguale semplicità. 

Numerose sono le relazioni proposte in letteratura per il calcolo di k. 

Vengono qui descritte le formule di Bowles, Terzaghi e Vesic, tra le più 

citate ed usate. 

Formula di Bowles. 

Bowles (1974) propone la seguente relazione: 

(84) k (kN/mc) = 40 x Qlim. 

20


Si tratta di una formula di semplice utilizzo, ma che generalmente conduce a 

valori di k eccessivamente conservativi. Si consiglia di usarla solo per 

ottenere una prima indicazione. 

Formula di Vesic. 

Vesic (1961) ha proposto la seguente relazione che correla k con il modulo 

di elasticità del terreno e della fondazione: 

(85) k (kg/cmc) = (1/B) x 0.65 x [(Et x B 4 )/(Ef x If)] 1/12 x Et/(1 - p 2 ); 

in cui: Et (kg/cmq)= modulo di deformazione dello strato di fondazione; 

Ef (kg/cmq)= modulo elastico della fondazione; 

If (cm4)=momento d'inerzia della fondazione; 

B (cm)=lato corto della fondazione; 

p=rapporto di Poisson. 

Poichè il prodotto 0.65 x [(Et x B 4 )/(Ef x If)] 1/12 ha generalmente un valore 

prossimo all'unità, la (85) può essere semplificata come segue: 

Formula di Terzaghi. 

(86) k (kg/cmc) = (1/B) x Et/(1 - p 2 ). 

Terzaghi (1955) ha suggerito di correlare il coefficiente di sottofondazione 

con il valore del modulo di reazione kp calcolato con una prova su piastra di 

lato uguale a 30 cm. La correlazione proposta è la seguente: 

(87) k (kg/cmc) = kp x [(B + 30)/(2 x B)] 2 per terreni incoerenti; 

(88) k (kg/cmc) = kp/(1.5 x B) per terreni coesivi. 

Correlando kp con il numero di colpi medio dello strato di fondazione, 

attraverso la relazione: 

21


(89) kp (kg/cmc) = 1 / (7.8 x Q / N); 

in cui: Q (kg/cmq)=carico applicato sulla fondazione; 

N=numero di colpi SPT medio nello strato di fondazione; 

è possibile ricavare k direttamente dai dati di una prova penetrometrica 

dinamica. 

Distribuzione del sovraccarico nel terreno di fondazione. 

Introduzione. 

L'applicazione del sovraccarico della fondazione conduce ad una variazione 

dello stato tensionale del terreno. Il carico applicato tende a diffondersi fino 

al suo completo assorbimento. Generalmente si ammette che il sovraccarico 

si annulli ad una profondità, sotto il piano di posa della fondazione, 

variabile da 1 a 4 volte B (B=lato corto della fondazione). 

E' importante eseguire una stima di come il carico si diffonde negli strati di 

fondazione, in quanto indispensabile per il successivo calcolo dei cedimenti. 

Vengono di seguito descritti tre procedimenti, fra i più utilizzati e collaudati, 

per la valutazione della diffusione del sovraccarico nel terreno: il metodo 

semplificato, il metodo di Reimbert ed il metodo di Newmark. 

Metodo semplificato. 

Si suppone che il sovraccarico netto applicato sul terreno di fondazione, cioè 

il peso della sovrastruttura al netto, eventualmente, del peso del terreno 

asportato sopra il piano di posa della fondazione, si diffonda con un angolo 

di circa 63° rispetto alla verticale. In pratica alla quota z sotto il piano di 

posa della fondazione la pressione indotta dalla fondazione è data dalla 

relazione: 

(90) pz = Q/[(B + z) x (L + z)]; 

in cui: Q=carico netto applicato dalla fondazione; 

B=lato corto della fondazione; 

22


L=lato lungo della fondazione. 

Confrontato con metodi più sofisticati, come quello di Newmark, non si 

notano in genere grandi divergenze per profondità comprese fra 1xB e 4xB. 

Se ne sconsiglia l'utilizzo invece nell'intervallo di profondità 0 - 1xB. 

Metodo di Newmark. 

Si basa sul presupposto che il terreno di fondazione possa essere assimilato 

ad uno spazio semiinfinito a comportamento perfettamente elastico, 

omogeno e isotropo. Deriva dall'integrazione su un'area rettangolare o 

quadrata di dimensioni B x L (B=lato corto della fondazione, L=lato lungo 

della fondazione) delle equazioni di Boussinesq. 

In pratica l'incremento di pressione netta indotta dal carico applicato dalla 

fondazione alla quota z sotto il piano di posa, lungo la verticale che passa 

per uno degli angoli dell'area BxL, è dato da: 

(91) pz = [Q/(4 x Pi)] x (m1 + m2); 

in cui: m1=[2 x M x N x sqr(V) x (V + 1)] / [(V + V1) x V]; 

m2=atang[(2 x M x N x sqr(V))/(V1 - V)]; 

dove M=B/z; 

N=L/z; 

V=M 2 + N 2 + 1; 

V1=(M x N) 2 ; 

Pi=Pi greco. 

Per stimare la diffusione del sovraccarico nel terreno lungo più verticali, 

occorre dividere l'area B x L in più rettangoli o quadrati con gli spigoli 

coincidenti al punto di passaggio della verticale, calcolare e quindi sommare 

i contributi delle singole aree. 

Il metodo di Newmark è ampiamente utilizzato e fornisce generalmente 

risultati a favore della sicurezza. In alcuni casi però, in particolare in terreni 

23


stratificati incoerenti o con alternanze di strati coesivi e incoerenti, dove 

cioè ci si allontana notevolmente da un comportamento perfettamente 

elastico del terreno, i valori ottenibili con Newmark risultano 

eccessivamente cautelativi. 

24


Metodo di Reimbert. 

Rispetto ai metodi descritti in precedenza, quello di Reimbert ha il pregio di 

considerare nel calcolo anche le caratteristiche meccaniche del terreno, 

precisamente l'angolo d'attrito del terreno e il suo grado di addensamento. 

Dato un carico netto applicato alla fondazione Qp, alla quota z sotto il piano 

campagna si avrà un'incremento della pressione netta dato da: 

(92) pz = (2/Pi) x Qp/[(Fb + (z x Fa) 2 ] per fondazioni quadrate; 

(93) pz = (1.9/Pi) x Qp/[(Fb + (z x Fa) 2 ] per fondazioni rettangolari; 

(94) pz = 0.75 x Qp/(Fb + z x Fa) per fondazioni nastriformi; 

in cui: Fb=0.564 x B (fondazioni quadrate); 

Fb=0.564 x sqr(B x L) (fondazioni rettangolari); 

Fb=B/2 (fondazioni nastriformi); 

Fa=cotg(Phi) per Phi=30°. 

Il metodo di Reimbert fornisce risultati più attendibili, rispetto al metodo di 

Newmark, in terreni stratificati incoerenti o con alternanze di strati 

incoerenti e coesivi. Rispetto al metodo di Newmark è però meno 

collaudato. Non è utilizzabile inoltre per il primo metro sotto il piano di 

posa della fondazione. 

Calcolo dei cedimenti del terreno di fondazione. 

Introduzione. 

Anche se la pressione esercitata sul terreno di fondazione non supera il 

valore calcolato, si possono, in alcuni casi, manifestare delle deformazioni 

nel terreno non tollerabili dall’opera. 

25


I cedimenti sono dovuti alla deformazione elastica e plastica del terreno e, 

nel caso di terreni poco permeabili (argille e limi), al processo di lenta 

espulsione dell’acqua contenuta al loro interno (consolidazione). 

Poichè le caratteristiche geotecniche del terreno variano da punto a punto, 

così come spesso variano da punto a punto anche le condizioni di carico, i 

cedimenti possono assumere localmente valori differenti. 

Il cedimento calcolato in un punto prende il nome di cedimento assoluto; la 

differenza fra i cedimenti assoluti misurati in due o più punti prende il nome 

di cedimento differenziale. 

Il cedimento assoluto totale è dato dalla somma di tre componenti: 

(95) Stot= Simm + Scon + Ssec; 

in cui: 

Simm=cedimento immediato, dovuto alla deformazione iniziale, senza 

variazione di volume, del terreno caricato; è prevalente nei terreni 

incoerenti(coesione=0), trascurabile in quelli coesivi (coesione>0); 

Scon=cedimento di consolidazione, legato alla variazione di volume del 

terreno saturo, in seguito alla lenta espulsione dell’acqua contenuta al suo 

interno; è dominante nei terreni coesivi, poco permeabili, e trascurabile in 

quelli incoerenti (da mediamente a molto permeabili); 

Ssec=cedimento secondario, dovuto alla deformazione viscosa dello 

scheletro solido del terreno; normalmente trascurabile in tutti i tipi di 

terreno. 

Proprio per le differenti modalità con cui si manifestano i cedimenti nei 

terreni coesivi ed incoerenti, i due casi vanno trattati separatamente. 

Cedimenti nei terreni incoerenti. 

Metodo semplificato di Terzaghi(1943). 


dell'ammontare del cedimento. La relazione è la seguente: 

26


(96) S = DH x Qz / Ed; 

in cui: DH=spessore dello strato; 

Qz=incremento di pressione dovuto al sovraccarico applicato dalla 

fondazione a metà strato, calcolabile con uno dei metodi descritti nel 

precedente capitolo; 

Ed=modulo di deformazione dello strato. 

Il procedimento fornisce in genere valori sovrastimati e va quindi 

controllato con metodi più completi. Il cedimento calcolato corrisponde alla 

sola componente immediata, quella secondaria viene considerata 

trascurabile. Il valore del cedimento calcolato è valido per fondazioni 

flessibili; per fondazioni rigide questo valore va moltiplicato per un fattore 

generalmente posto uguale a 0.75. Inoltre il metodo va applicato solo negli 

strati dove è soddisfatta la condizione: 

con B=lato corto della fondazione. 

Metodo di Schmertmann(1970). 

(97)DH < B; 

E' stato ideato per calcolare il cedimento immediato e secondario di terreni 

incoerenti utilizzando direttamente i dati delle prove penetrometriche 

statiche (CPT). Ha la seguente espressione: 

(98) Stot = C1 x C2 x Q x DH x sommatoria(Iz/E); 

in cui: 

Q=carico netto applicato sulla fondazione; 

C1=fattore correttivo per tener conto dell'approfondimento della fondazione: 

(99) C1 = 1 - 0.5 x (P/Q); 

dove P=Pressione efficace al piano di posa della fondazione; 

C2=fattore correttivo per tener conto del cedimento secondario: 

(100) C2 = 1 + 0.21 x Log ( T/0.1); 

dove: 

27


T=tempo di calcolo del cedimento in anni; 

DH=spessore dello strato; 

E=modulo di deformazione dello strato; i valori di E consigliati da 

Schmertmann sono i seguenti: 

E=2 x Rp (sabbie fini e limo); 

E=3.5 x Rp (sabbie medie); 

E=5 x Rp (sabbia grossolana); 

E=6 x Rp (sabbia e ghiaia); 

con Rp=resistenza alla punta media dello strato; 

Iz=fattore d'influenza per tener conto della diffusione del carico netto 

applicato sulla fondazione nel terreno; ha una distibuzione di tipo 

triangolare che dipende dalla geometria della fondazione: 

fondazioni nastriformi: Iz=0.2 per z=0 - Iz=0.5 per z=B - Iz=0 per z=4xB; 

fondazioni quadrate: Iz=0.1 per z=0 - Iz=0.5 per z=B/2 - Iz=0 per z=2xB; 

fondazioni rettangolari:si risolvono i due casi precedenti e si prende un 

valore interpolato. 

Il procedimento di Schmertmann fornisce risultati attendibili purchè si 

utilizzino i valori di E proposti dall'Autore e venga impiegato per fondazioni 

rigide. Il cedimento calcolato va visto come il massimo cedimento teorico 

prevedibile in funzione del carico netto applicato. 

Metodo di Steinbrenner(1934). 

Consente di calcolare il cedimento immediato di una fondazione 

rettangolare o quadrata, rigida o elastica, di area B x L in corrispondenza di 

uno dei suoi vertici. Si basa sulla Teoria dell'Elasticità, partendo dal 

presupposto che il terreno di fondazione si comporti come un mezzo 

elastico. Ha la seguente espressione: 

(101) Si = Q x B' x [(1 - p 2 )/E] x [I1 + I2 x (1 - 2xp)/(1 - p)] x If; 

in cui: Q=carico netto applicato sulla fondazione; 

B'=B/2 con B=lato corto della fondazione; 

p=coefficiente di Poisson; 

28


E=modulo di deformazione dello strato; 

I1,I2,If=fattori d'influenza per tener conto della distribuzione del 

carico netto in funzione della lunghezza della fondazione, 

della profondità di calcolo sotto al piano di posa e della profondità di 

posa. 

Nel caso di una fondazione elastica è possibile calcolare il cedimento 

immediato lungo più verticali all'interno dell'area caricata, suddividendola in 

rettangoli con i vertici coincidenti con il punto di passaggio della verticale 

di calcolo, valutando i cedimenti per ogni singolo rettangolo e sommando i 

valori ottenuti. 

Nel caso di una fondazione rigida, dove i cedimenti si suppongono uniformi, 

si calcola con la (101) il cedimento nel punto centrale dell'area B x L e lo si 

moltiplica per un fattore riduttivo, generalmente posto uguale a 0.931: 

(102)Sr = Sf x 0.931; 

in cui: Sr=cedimento della fondazione rigida; 

Sf=cedimento della fondazione flessibile; 

Il metodo non prende in considerazione la componente secondaria del 

cedimento, considerata trascurabile. 

Il procedimento di Steinbrenner fornisce risultati attendibili, purchè si tenga 

conto, lungo le verticali di calcolo, della variazione di E per la 

stratificazione del terreno di fondazione e non si assuma, come suggerito da 

alcuni Autori, semplicemente il valore del modulo di deformazione 

immediatamente sotto il piano di posa. 

Metodo di Burland e Burbridge. 

Permette di calcolare il cedimento immediato e secondario di una 

fondazione direttamente dai dati di una prova penetrometrica dinamica. Ha 

la seguente espressione: 

(103)Stot = Fs x Fh x [Pf x (B 0.7 )x(Ic / 3)+(Q - Pf) x (B 0.7 ) x Ic] x Ft; 

29


in cui: Ft = 1 + R3 + R0 x Log(T / 3); 

dove R3=0.3 e R0=0.2 per carichi statici, 

dove R3=0.7 e R0=0.8 per carichi dinamici, 

T=anni di calcolo del cedimento secondario(maggiore di 3); 

Fs = [1.25 x (L / B) / (L / B + .25)] 2 ; 

Ic=fattore che tiene conto della probabilità che il cedimento reale superi 

quello calcolato; viene calcolato come segue: 

Ic50 = 1.706 / (Nspt) 1.4 (probabilità del 50% che il cedimento relae non 

superi quello calcolato) con Nspt=numero di colpi medio dello strato; 

Ic2 = 5.47 / (Nspt) 1.4 (probabilità del 2% che il cedimento reale non superi 

quello calcolato); 

Pf=pressione efficace al piano di posa della fondazione; 

Q=carico applicato alla fondazione; 

B=lato corto della fondazione. 

Fh = fattore che tiene conto dello spessore dello strato maggiormente 

compressibile (Sp); è dato da: 

Fh=1 se Sp>= Zi; 

Fh = (Sp / Zi) x (2 - (Sp / Zi)) se Sp


(104) Ed = 1/mv; 

con mv=modulo di compressibilità volumetrica dello strato. 

Metodo di Steinbrenner. 

Ha la stessa espressione e limiti visti per il procedimento relativo a terreni 

incoerenti; anche in questo caso al posto del modulo di deformazione va 

utilizzato il modulo edometrico. 

Metodo basato sulle prove edometriche. 

Consente il calcolo del cedimento di consolidazione; ha la seguente 

espressione: 

(105)Sc = DH x [Cc/(1 + e0)] x Log[(Pf + dp)/Pf] (strati normalmente 

consolidati); 

(106)Sc = DH x [Cc/(1 + e0)] x Log[(Pf + dp)/Pf] (strati sovraconsolidati 

con dpPc); 

in cui: DH=spessore dello strato; 

Cc=indice di compressione vergine; 

Cr=indice di ricompressione vergine; 

Pf=pressione efficace a metà strato; 

Pc=pressione di sovraconsolidazione a metà strato; 

dp=incremento di pressione a metà strato dovuto al carico applicato 

sulla fondazione; 

e0=indice naturale dei vuoti; 

31


In presenza di terreno multistrato il procedimento va applicato ad ogni 

singolo strato coesivo ed i risultati sommati. 

Per il calcolo del cedimento secondario si utilizza la seguente espressione: 

(108)Ss = DH x Cs x Log(1 + T); 

in cui: Cs=indice di compressione secondario; 

T=tempo di calcolo del cedimento secondario in anni. 

va tenuto presente che il procedimento considera che le deformazioni 

indotte dal sovraccarico applicato sulla fondazione siano di tipo assiale, 

trascurando quelle laterali; ciò può essere considerato ammissibile solo dove 

sia verificata la relazione: 

(109)DH


H=DH nel caso il drenaggio sia consentito da un solo lato dello 

strato; 

cv=coefficiente di consolidazione verticale, fornito dalle prove 

edometriche. 

Per un tempo corrispondente ad una consolidazione del 50% la (110) può 

essere riscritta come segue: 

Cedimenti assoluti e differenziali. 

(111)t = 0.197 x H 2 /cv. 

Elevati cedimenti differenziali (dell’ordine di alcuni centimetri in genere, 

ma a volte anche meno) possono indurre lesioni nell’opera. Partendo dal 

presupposto che a elevati cedimenti assoluti generalmente corrispondono 

elevati cedimenti differenziali, Terzaghi e Peck proposero di considerare 

come valori limite tollerabili cedimenti assoluti di 2,5 cm in terreni 

incoerenti (sabbie e ghiaie) e 4 cm in terreni coesivi (limi e argille). La 

maggiore tolleranza consentita per i materiali dotati di coesione dipende dal 

fatto che in quest'ultimi i cedimenti sono essenzialmente dovuti alla 

consolidazione, quindi distribuiti su intervalli di tempo relativamente ampi, 

fatto che consente alla sovrastruttura di meglio adattarsi alle deformazioni 

del terreno. 

Un sistema meno empirico di procedere consiste nello stimare la distorsione 

angolare fra due o più punti della struttura di cui sia noto il cedimento 

assoluto del terreno di fondazione: 

con 

Dang=distorsione angolare; 

S2=cedimento assoluto nel punto 2; 

S1=cedimento assoluto nel punto 1; 

L12=distanza fra i punti 1 e 2. 

(112) Dang= (S2 -S1)/L12; 

33


In prima approssimazione, sono da considerare tollerabili distorsioni 

angolari inferiori a 1/600 per strutture in muratura e a 1/1000 per strutture in 

calcestruzzo. 

34


Portanza attraverso metodi probabilistici. 

Introduzione. 

Nel calcolo della capacità portante di una fondazione superficiale la maggior 

fonte d'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica del 

terreno, in particolare dalla stima dei parametri coesione e angolo di 

resistenza al taglio ( o angolo d'attrito). 

Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geotecnici utilizzati nel 

calcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenuti dalle 

misure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che si 

osserva in molti casi non è trascurabile, per cui la scelta delle grandezze da 

inserire nel calcolo può diventare problematica. In queste situazioni è 

preferibile far seguire la verifica condotta con un metodo deterministico, 

cioè con uno dei metodi analitici già visti (Terzaghi, Vesic, Meyerhof e 

Brinch Hansen), da un'analisi di tipo probabilistico, che fornisca un'idea 

dell'influenza della dispersione dei dati geotecnici sul valore della portanza. 

Metodi di Montecarlo applicati al calcolo della portanza. 

I metodi di Montecarlo si basano sulla generazione di numeri casuali, scelti 

in determinati intervalli, che godano nel complesso di proprieta' statistiche. 

Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi e' quella detta 'del 

campionamento' che consiste nel dedurre proprieta' generali di un insieme 

grande, studiandone solo un sottoinsieme casuale, giudicato rappresentativo 

dell' insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno le dimensioni del 

campione random, piu' rappresentative saranno le proprieta' dedotte. 

Nel caso di applicazione del metodo al calcolo della portanza di fondazioni 

superficiali, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente: 

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie coesione e angolo 

d'attrito misurate in situ o in laboratorio, supponendo che sia di tipo 

gaussiano ( cioè rappresentate da una curva a campana, con il valore 

centrale corrispondente al valore medio); 

• attraverso un generatore di numeri casuali, si crea una serie, estesa 

quanto si vuole, di valori numerici compresi fra 0 e 1; 

35


• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore della 

coesione e dell'angolo d'attrito, rispettando la curva di distribuzione 

delle probabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che la 

frequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo sia 

uguale alla sua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilità 

del parametro stesso); in questo modo si trasforma la serie di numeri 

casuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori di c 

e ϕ; 

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue il calcolo della 

portanza con tale metodo per ogni coppia di valori di c e ϕ , ricavando il 

rispettivo valore di Qlim; 

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di Qlim 

ottenuti, per esempio sottoforma di istogramma, visualizzando 

l'andamento di tali grandezze. 

L'aspetto del grafico della distribuzione di Qlim consente di valutare se la 

dispersione dei valori di c e ϕ misurata influisce in maniera significativa sul 

calcolo della stabilità del versante. Il metodo di Montecarlo può essere 

impiegato anche per retro-analisi di portanza. Costruendo infatti a tentativi 

delle curve di distribuzione ipotetiche di c e ϕ, si può stimare per quale 

intervallo di questi valori la portanza rientra negli intervalli previsti. 

Il metodo di Montecarlo richiede, per consentire di ottenere delle 

distribuzioni di Qlim valide, che venga generato un numero 

sufficientemente elevato di coppie di parametri c e ϕ, dalle quali ricavare il 

corrispondente valore di Qlim . Normalmente per ottenere distribuzioni 

stabili del coefficiente di sicurezza sono necessarie alcune centinaia di 

verifiche. Il raggiungimento della stabilità delle curve di distribuzione può 

essere valutato, applicando il metodo di Montecarlo su due insiemi di 

verifiche e confrontando quindi le relative distribuzioni con il test del χ 2 . 

Metodo di Rosemblueth applicato al calcolo della portanza. 

Il metodo di Rosemblueth, applicato al calcolo della portanza di una 

fondazione superficiale, consente di ricavare il valore più probabile 

della 

36


portanza (valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scarto 

quadratico medio). 

Si possono utilizzare anche in questo caso come variabili casuali i parametri 

c e ϕ, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè a curva 

a campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto al valore 

centrale). 

Il procedimento da seguire è il seguente: 

• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio di c e 

ϕ (cm e ϕm ) e i rispettivi scarti quadratici medii (sc e sϕ ); 

• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli la Qlim 

relativa alle seguenti combinazioni di parametri: 

1. ( c = c m + s c ϕ = ϕ m + s ϕ )⇒ Qlim 1 

2. ( c = c m + s c ϕ = ϕ m - s ϕ )⇒ Qlim 2 

3. ( c = c m - s c ϕ = ϕ m + s ϕ )⇒ Qlim 3 

4. ( c = c m - s c ϕ = ϕ m - s ϕ )⇒ Qlim 4 

• si calcoli quindi il valore medio di Qlim attraverso la relazione: 

(113) Qlim m = ( Qlim 1 + Qlim 2 + Qlim 3 + Qlim 4 ) / 4; 

e lo scarto quadratico medio con la formula: 

(114) S F =0.5 x √ ( Qlim 1 2 +Qlim2 2 + Qlim3 2 + Qlim4 2 ). 

Anche in questo caso il risultato può essere visto come un'indicazione 

dell'influenza della dispersione dei parametri geotecnici sulla portanza: un 

elevato valore di S F può indicare una non sufficiente caratterizzazione 

geotecnica del terreno. 

La Qlim potrà quindi essere espressa come segue: 

(115) Qlim s = Qlim m ± S F; 

37


indicando che la portanza può variare nell'intervallo compreso fra Qlim = 

Qlim m - S F e Qlim s = Qlim m + S F. 

38


FONDAZIONI SU PALI 

Vengono distinte due tipologie di pali, sia per la diversa procedura di messa in opera, sia per gli 

effetti che producono sulle caratteristiche meccaniche del terreno di fondazione: i pali infissi ed i 

pali trivellati. A parte vengono presi in cosiderazione i micropali tipo tubfix, che pur potendo essere 

inseriti nella categoria generale dei pali trivellati, se ne differenziano per alcune importanti 

caratteristiche, ed ovviamente i tiranti. 

Portanza verticale del palo attraverso formule statiche. 

Pali infissi. 

Sono pali che vengono messi in opera senza l’asportazione del terreno. 

Sono utilizzabili in terreni incoerenti da poco a mediamente addensati, dove la procedura 

d’infissione conduce generalmente ad un miglioramento delle caratteristiche geotecniche. 

Sconsigliabile invece il loro utilizzo in terreni coesivi, nei quali l’infissione porta ad un 

rimaneggiamento degli strati con conseguente scadimento delle caratteristiche geotecniche degli 

stessi. Non sono impiegabili in terreni molto addensati, o con trovanti o livelli cementati. 

Il calcolo della portata di un palo infisso viene effettuata sommando i contributi di portata della 

punta del palo con quello dovuto alla resistenza laterale del fusto. 

Vengono distinti 3 casi. 

Terreni incoerenti. 

PORTATA LATERALE 

• Metodo di Burland 

La relazione di Burland(1973) può essere espressa come segue: 

(1) Qlat= Alat x Pef x K x fw x tg δ; 

con 

Alat = area laterale del palo; 

Pef = pressione efficace del terreno data da: 

Pef =Lpalo γ se Lpalo < 15 x Dpalo; 

Pef =15Dpaloγ se Lpalo > 15 x Dpalo; 

15 x Dpalo = profondità critica per il calcolo della pressione efficace; 

Lpalo=lunghezza del palo; 

Dpalo=diametro o lato medio del palo; 

γ =peso di volume del terreno; 

K =1-sen ϕ‘; 

ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4)ϕ + 10; 

ϕ =angolo d'attrito del terreno prima dell'infissione. 

δ=angolo d’attrito terra-palo, posto generalmente uguale a 20° per pali in acciaio e a (2/3)ϕ‘ per 

pali in calcestruzzo; 

fw=fattore correttivo legato alla tronco-conicità percentuale del palo (tr)del palo;


N.B.:Per tronco-conicita' del palo s'intende la diminuzione percentuale del 

diametro del palo con la profondità nel caso di pali prefabbricati troncoconicità 

(per es. una tronco-conicità del 5% vuol dire che il diametro del 

palo diminuisce di 5 cm per ogni metro di lunghezza del palo stesso). 

ponendo α(°)= arctg(tr/100) 

per α=0 (palo cilindrico) fw=1; 

per α>0 (palo tronco-conico) i valori di fw sono forniti dalla seguente tabella:


ϕ‘ α° fw 

ϕ‘


• Metodo di Meyerhof. 

Si procede come nel metodo di NORDLUND, utilizzando per il parametro K la seguente relazione: 

(2) K = -8.32 + 1.56 x √(ϕ‘); 

con 

d=diametro palo; 

ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ+ 10; 


Il metodo non è applicabile per ϕ ‘


Nq = M1 x M2 x M3 x M4 x Ku; 

dove: 

M1 = 3 / (3 - sen ϕ ‘); 

M2 = Exp( π / 2) - ϕ‘(rad)) x tg ϕ ‘; 

M3 = tg2 (45 + ϕ‘/ 2); 

M4 = Ir u 

U = (4 x sen ϕ‘) / [3 x (1 + sen ϕ‘)]; 

Ir = 1.7 x Dr%; 

Dr% = densità relativa dello strato di base; 

Ku = [1 + 2 x (1 - sen ϕ ‘)] / 3; 

ϕ‘= angolo d'attrito terreno dopo l'infissione, spesso posto uguale a (3/4) ϕ+ 10; 


• Metodo di Janbu. 

dove: 

M1 = [tg ϕ‘ + √(1 + tg 2 ϕ‘ )] 2 

M2 = Exp(2 x (Mu x π / 180) x tg ϕ ‘ ; 

Mu = 60 + 0.45 x Dr% 

Nq = M1 x M2; 

Terreni coesivi normalmente consolidati o leggermente sovraconsolidati (rapporto di 

sovraconsolidazione OCR


Argille molli su terreni coesivi 

compatti 

‡20 0.70 

Terreni coesivi compatti


(9) Nc = (4/3) x [ln (Ir) +1] + 1; 

dove: 

Ir = 12.5 x C; 

C (t/mq) = coesione non drenata dello strato di base. 

Terreni fortemente sovraconsolidati (OCR‡4). 

PORTANZA LATERALE. 

Si procede come nel caso di terreni incoerenti, modificando il fattore k della formula della portanza 

laterale come segue: 

k=(1-sen ϕ)√OCR; 

ϕ=angolo d’attrito del terreno in condizioni drenate. 

PORTANZA DI BASE. 

Si utilizzano le stesse procedure viste per i terreni incoerenti. 

Pali trivellati. 

Sono pali messi in opera con asportazione di terreno. Vengono impiegati in terreni incoerenti da 

mediamente a molto addensati e in terreni coesivi, dove provocano un minor rimaneggiamento 

rispetto ai pali infissi. 

Il calcolo della portanza di un palo trivellato viene eseguito come nel caso di un palo infisso, 

sommando i contributi di portata della punta del palo e del fusto. 

Sono valide in generale le relazioni viste in precedenza per i pali infissi. Nell’applicare tali relazioni 

va tenuto presente però che, a causa del disturbo indotto nei livelli incoerenti dall’asportazione del 

terreno, l’angolo d’attrito palo-terreno da utilizzare andrebbe corretto come segue: 

ϕ‘°=ϕ° - 3°. 

con 

ϕ=angolo d’attrito del terreno prima della messa in opera del palo. 

• Metodo di Mayer. 

La portata laterale è data da: 

con 

ϕ‘=angolo d'attrito del terreno; 


Pef = Pcls x Z; 

Pcls=peso di volume del cls; 

(10) Qlat= Alat x Pef x tg ϕ‘;


Z = profondità critica = altezza della colonna di calcestruzzo, da porre uguale alla lunghezza del 

palo se questa è inferiore agli 8 metri o uguale a 8 se è superiore. 

Micropali tipo tubfix. 

Si procede come nel caso dei pali trivellati, introducendo nel calcolo al posto della lunghezza totale 

del palo e del suo diametro medio la lunghezza ed il diametro presunto del bulbo iniettato. Si 

consiglia però di non utilizzzare la correzione per il rimaneggiamento del terreno (ϕ‘°=ϕ° - 3°) vista 

per i pali trivellati, e di introdurre come profondità critica la profondità media del bulbo iniettato. 

Per il calcolo della portata laterale al posto della formula di Mayer classica si può adottare una 

versione modificata della stessa, che tenga conto della pressione residua d'iniezione. 

• Metodo di Mayer modificato. 

La portata laterale è data da: 

(11) Qlat= Alat x Pef x tg ϕ ‘; 

con 

ϕ‘=angolo d'attrito del terreno; 


Pef = pressione d'iniezione, data da Pin + H x Pcls, 

Pin = pressione residua d'iniezione; 

H = altezza della colonna di calcestruzzo nel foro; 

Pcls=peso di volume del cls; 

occorre tener presente che la Pef non dovrà mai superare un valore massimo fornito dalla relazione 

Pmax = γ x Z x tg (45 + ϕ ‘/2) (pressione massima d'iniezione), dove γ = peso di volume del 

terreno, per impedire il verificarsi di fenomeni di rottura del terreno. 

Z = profondità critica = profondità media del bulbo iniettato. 

Le formule di Mayer e di Nordlund si usano per pali in terreni omogenei; in questi casi 

normalmente si trascura la portata di base. La formula di Meyerhof modificata va utilizzata per 

micropali incastrati in strati con buone caratteristiche sottostanti a strati soffici; in questo caso la 

lunghezza del bulbo va posta uguale all'incastro. 

Tiranti. 

La forza d'esercizio di un tirante può essere calcolata con la formula di Schneebeli: 

(12) Fes= π x D x L x K x Pef ; 

con 

D=diametro di perforazione; 

L=lunghezza dell'ancoraggio; 

Pef =pressione efficace del terreno agente sul punto medio dell'ancoraggio; 

K =coefficiente dato da: 

(13) K = tg(45-ϕ ‘/2) x sen ϕ ‘ x [ (1 + exp(6.28 x tg ϕ ‘) ) /2 ];


ϕ ‘=angolo d'attrito del terreno.


Portanza verticale del palo attraverso formule dinamiche. 

Formule classiche. 

Esistono in letteratura più di 450 formule dinamiche per il calcolo della portata di un palo infisso. 

La maggior parte di queste si riferiscono a situazioni geologiche locali e non sono utilizzabili 

fuori dal contesto per il quale sono state ideate. Questo limite dipende dalla mancanza nelle 

formule in questione di parametri che siano legati direttamente alla litologia del terreno e/o alle 

sue caratteristiche geotecniche. 

Fra le più attendibili si segnalano le relazioni di Janbu, Gates e la formula danese. 

• Formula di JANBU. 

con 

Q (t) = portata verticale del palo in tonnellate; 

Ku = Cd x [1+√(1+l/Cd) ]; 

Cd = 0.75+0.15 x Wp / W; 

l = W x Hx L / (AxExS 2 ); 

W(t) = peso del maglio; 

Wp(t)= peso del palo; 

H(m) = altezza di caduta del maglio; 

S(m) = affondamento del palo per colpo; 

L(m) = lunghezza del palo; 

E(t/mq)= modulo di elasticità del palo; 

A(mq) = area trasversale media del palo; 

(14) Q(t) = (1 / Ku) x (W x H / S); 

Coefficiente di sicurezza da applicare alla (14) =3. 

• Formula di GATES. 

(15) Q(t) = 4 x (ef x W x H) x ln(25 / S); 

con 

ef = efficienza del maglio, variabile nell'intervallo 0.75-1.0 e dipendente dalla modalità di 

sganciamento del maglio; 

H(cm)= altezza di caduta del maglio; 


S(cm)= affondamento del palo per colpo; 

Coefficiente di sicurezza da applicare alla (15) = 3. 

• Formula DANESE. 

con 

(16) Q (t) =(ef x W x H)/[S+√(2 x ef x W x H x L / A x Ep)];


ef= efficienza del maglio (0.75-1.0); 


H(m) = volata del maglio; 

S(m) = affondamento del palo per colpo; 

L(m) = lunghezza del palo; 

A(mq)= area trasversale media del palo; 

Ep(t/mq)=modulo di elasticità del palo; 

Coefficiente di sicurezza =3 

Queste tre relazioni vengono considerate, sulla base di prove di carico su pali, le meno imprecise 

(coefficiente di sicurezza utilizzato = 3). 

Va ricordato che questi risultati vanno utilizzati con cautela ed in assenza di dati che permettano 

l'utilizzo delle formule statiche (caratteristiche meccaniche del terreno e stratigrafia). Inoltre i 

carichi ammissibili determinati faranno riferimento alla situazione immediatamente successiva 

all'infissione e non tengono conto delle variazioni delle caratteristiche meccaniche del terreno con il 

tempo. Lowery suggerisce in questi casi che il carico finale si possa ottenere moltiplicando il carico 

ottenuto dalle relazioni dinamiche per i seguenti coefficienti d'infissione: 

Metodo dell'equazione d'onda. 

Litologia Coef. correttivo 

Argille molli 3 

Argille compatte 2 

Terreni incoerenti 1 

Le formule dinamiche classiche partono dal presupposto che la sollecitazione indotta dall 'impatto 

del maglio sul palo si trasmetta istantaneamente alla punta, producendo una deformazione 

plastica del terreno sottostante (affondamento o rifiuto del palo). 

In realtà l'urto produce un treno d'onde elastiche che si propagano a velocità finita lungo il palo. 

Quest'impulso, raggiunta la punta, viene parzialmente riflesso e torna verso la testa, dove subisce 

un'ulteriore riflessione parziale verso la punta e così di seguito, finchè l'energia elastica non viene 

completamente dissipata. In seguito al passaggio del treno d'onde, il terreno subisce una 

deformazione che puo' essere di tipo elastico (e quindi reversibile) o di tipo plastico (e quindi 

permanente). 

Il metodo dell'analisi dell'equazione d'onda simula il passaggio dell'impulso elastico nel palo e le 

deformazioni che questo induce nel terreno. 

Il programma utilizza la schematizzazione di Smith per la soluzione del problema. 

Si tratta di un metodo alle differenze finite nel quale il palo viene rappresentato come un insieme 

di masse collegate fra loro da molle interne (simulanti l'interazione fra le varie parti del palo) ed 

interagenti con l'esterno attraverso un insieme di molle esterne e smorzatori. 

A differenza dei metodi dinamici classici è possibile far intervenire nel calcolo le caratteristiche 

geologiche e geotecniche del sito, attraverso i parametri Ke (costante elastica delle molle esterne) e 

J (coefficiente di smorzamento). 

Per quanto riguarda l'attendibilita' del metodo, Lowery fornisce per i principali tipi di terreno i 

seguenti intervalli d'errore (con il doppio segno): 

Sabbia 25%


Argilla 40% 

Terreni misti 15% 

Anche in questo caso comunque va tenuto conto che i valori di carico fanno riferimento alle 

condizioni immediatamente successive all'infissione Il metodo, pur fornendo valori in generale 

meno attendibili di quelli ottenuti da metodi statici, ha il vantaggio di permettere un più razionale 

dimensionamento del sistema palo attrezzatura d'infissione, consentendone l'analisi dell'efficienza a 

tavolino.


Svergolamento di pali snelli. 

Calcolo del modulo di reazione orizzontale (Kh). 

Nella progettazione di pali sottoposti a sforzi orizzontali e nella verifica allo svergolamento è 

indispensabile valutare il coefficiente di reazione orizzontale del terreno (Kh). Questo parametro 

serve ad introdurre nel calcolo l'effetto di contenimento operato dal terreno in cui si trova immerso 

il palo. 

Il valore di Kh può essere ottenuto rapidamente attraverso le diverse correlazioni empiriche 

esistenti in letteratura. In particolare nel programma vengono adottate le seguenti relazioni: 

• In terreni coesivi sovraconsolidati (Cu>0.5 kg/cmq). 

(17) Kh(kg/cmc) = Cf x Cu / d (Skempton, 1951); 

con 

Cu (kg/cmq) =coesione non drenata: 

d (cm) = diametro o larghezza del palo 

Cf = coefficiente variabile da 80 a 320 (valore consigliato 120) secondo Skempton, assunto invece 

uguale a 67 da Davisson (1970); 

In questi terreni si ammette che Kh sia costante per tutto lo spessore dello strato. 

• In terreni incoerenti sovraconsolidati (es. terreni glaciali). 

(18) Kh (kg/cmc) = 3.00 x Es / d (Chen, 1978); 

con 

d (cm) = diametro o larghezza del palo. 

Es (kg/cmq) = modulo di deformazione del terreno (E50): 

Anche in questo caso si ammette che il valore di Kh rimanga costante con la profondità. 

• In terreni coesivi normalmente consolidati (Cu


Anche in questo caso si ammette una variazione con la profondità di Kh e si adotta una relazione di 

tipo lineare (vedi eq.19). 

In questo caso per nh si propongono i seguenti valori, espressi in kg/cmc: 

Sabbia sciolta (Dr%30 secca- umida 

e70) secca-umida 

nh=1.792 

satura nh=0.128; 



Per la ghiaia si consiglia di adottare gli stessi valori utilizzati per la sabbia grossa in via cautelativa, 

mancando dati sperimentali diretti per questo materiale. 

Metodi per la verifica allo svergolamento. 

Le procedure di calcolo variano a seconda del tipo di terreno e del fatto che le teste dei pali 

emergano dal terreno o meno. 

• Pali immersi. 

Si tratta di pali la cui testa emerge dal terreno per una lunghezza non superiore ai 50 cm. 

I) Metodo di Timoshenko. 

Nel caso di terreno sovraconsolidato monostrato si può utilizzare il metodo di Timoshenko (1936). 

Il carico critico (carico oltre il quale si ha lo svergolamento del palo) è dato da: 

(20) Pcr (Kg) = (m 2 + b / m 2 ) x Pe; 

con 

m = numero di semionde di svergolamento; 

Pe(Kg)= carico Euleriano per palo libero lateralmente, dato da: 

con 

Ep(Kg/cmq)=modulo elastico del palo 

Jp(cm^4)=momento d'inerzia del palo 

L(cm) = lunghezza del palo; 

b = coefficiente adimensionale dato da: 

(21) Pe (Kg) = π 2 x Ep x Jp / L 2 ; 

(22) b = Kh x d x L 4 / (π 4 x Ep x Jp); 

Per determinare Pcr occorre procedere per tentativi, facendo variare il parametro entro un 

intervallo ragionevole (per es. da 1 a 10) fino ad ottenere un valore minimo per Pcr. 

II) Metodo di Davisson (1963).


Nel caso più frequente di terreno stratificato o di terreno monostrato non sovraconsolidato si può 

utilizzare il metodo di Davisson. 

Secondo tale procedura il carico critico può essere espresso da: 

con 

T = parametro funzione di nh dato da: 

(23) Pcr (Kg) = Vcr x Ep x Jp / T; 

(24) T (cm) = (Ep x Jp / nh) (1/5) ; 

Vcr = fattore di carico adimensionale dipendente dalle condizioni di testa e di base del palo; in 

particolare: 

per pali incastrati in testa e alla base: 

per Zmax>1.8 e


con 

Sr = Ls / R; 

Ls (cm) = [1.442 / (π x (L / l' )] x l'; 

con l'(cm) = π x R; 

R (cm) = [Ep x Jp / (Kh x d)] (1/4) ; 

L(cm) = lunghezza del palo; 

d(cm) = diametro o larghezza del palo; 

Jr = Lu / R; 

con Lu (cm) = lunghezza del palo fuori terra. 

(25) Pcr (kg) = π 2 x Ep x Jp / 4 x (Sr+Jr) 2 x R 2 ; 

N.B. Questa procedura di calcolo è valida solo per lmax>4, con lmax=R/L. 

II) Kh variabile con la profondità. 

Le relazioni sono simili a quelle viste nel caso precedente: 

con 

St = Ls / T; 

Jt = Lu / T; 

T (cm)= (Ep x Jp /nh) (1/5) . 

(26) Pcr (kg) = π 2 x Ep x Jp / 4 x (St+Jt) 2 x T 2 ; 

N.B. Questa procedura di calcolo è valida solo per Zmax>4, con Zmax=L/T. 

• Stima del momento d'inerzia di un palo. 

Il momento d'inerzia di un palo cilindrico rispetto ad una direzione perpendicolare al suo asse è 

dato da: 

(27) J = (π x D 4 ) / 64; 

D = diametro del palo in cm 

Nel caso di un palo non armato D sarà uguale al diametro del palo; nel caso di palo armato con 

tondini d'acciaio,la (27) andrà così modificata: 

con De = diametro esterno dell'anello di tondini; 

Di = diametro interno dell'anello di tondini. 

(28) J = [π x (De 4 - Di 4 )] / 64; 

Nel caso infine di micropali con anima tubolare si utilizzerà ancora la (28), prendendo per De il 

diametro esterno dell'armatura e per Di quello interno.


Analisi di pali soggetti a carichi orizzontali. 

I pali di fondazione possono essere soggetti a forze orizzontali e momenti. E’ necessario quindi in 

tali casi eseguire un'analisi del comportamento del palo sottoposto a queste sollecitazioni. 

Si può eseguire l'analisi attraverso due metodologie differenti: il metodo delle tensioni ammissibili e 

quello dello stato limite ultimo. 

Metodo delle tensioni ammissibili. 

Si parte in questo caso dall'ipotesi che il palo si comporti come una trave infinita appoggiata su un 

suolo perfettamente elastico reagente in entrambi i versi. 

S'introduce nel calcolo il carico orizzontale d'esercizio e l'eventuale momento applicato sulla testa 

del palo e si determinano il momento flettente massimo agente sul palo e la reazione orizzontale 

massima del terreno. 

Gli spostamenti del palo (linea elastica), l'andamento dei momenti e del taglio sono in funzione 

delle condizioni di vincolo in testa (palo incastrato o non) e del parametro 'lunghezza caratteristica 

(o elastica) del palo' definito come segue (Zimmermann): 

(29) λ (cm) = [ ( 4 x E x J) / ( k x D)] (1/4) 

dove 

E (kg/cmq) = modulo elastico del palo; 

J (cm 4 ) = momento d'inerzia del palo; 

D (cm) = diametro o larghezza media del palo; 

k (kg/cmc) = modulo di reazione orizzontale del palo. 

Un palo viene definito rigido (corto) nel caso in cui λ sia minore o uguale a 500 cm, flessibile 

(lungo) nel caso in cui λ sia maggiore di 500 cm. 

Nel caso più comune di palo con testa incastrata impedita a ruotare, ma non a spostarsi, si utilizzano 

le seguenti relazioni. 

I) Andamento degli spostamenti. 

(30) X(z) = [ H / ( k x D x λ)] x e -(z/λ) x [ cos (z/λ) + sen (z/λ) ]; 

con 

H = carico orizzontale applicato alla testa del palo; 

z = profondità di calcolo. 

II) Andamento dei momenti flettenti. 

III) Andamento del taglio. 

(31) M(z) = [ (H x λ) / 2] x e -(z/λ) x [ cos (z/λ) - sen (z/λ) ]. 

(32) T(z) = -H x e -(z/λ) x cos (z/λ). 

Lo spostamento massimo si ha alla testa del palo con il seguente valore:


(33) X max = H / ( k x D x λ). 

Il momento e la reazione massima del terreno hanno invece la seguente espressione: 

Metodo dello stato limite ultimo. 

(34) M max = 0.322 x H x λ / 2; 

(35) σ max = H / ( D x λ). 

La teoria di Broms(1964) permette di valutare il valore del massimo momento flettente e del 

massimo carico orizzontale (carico di rottura) tollerabile dal palo o dal terreno. 

Vengono distinti più casi a seconda della litologia dominante del terreno (coesivo o incoerente), di 

come avviene la rottura (nel palo nel caso di pali lunghi, nel terreno nel caso di pali corti) e del 

vincolo in testa (palo incastrato o libero). 

Terreni coesivi. 

Pali corti. 

Nel caso di pali incastrati la resistenza laterale è data da: 

con 

Cu=coesione non drenata del terreno; 


Lpalo=lunghezza del palo. 

(36)H max =9 x Cu x Dpalo x (Lpalo - 1.5 x Dpalo); 

La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioè costante con la profondità: 

(37)Hz=9 x Cu x Dpalo. 

Il momento flettente massimo è fornito dall'espressione: 

(38)M max = H max x (0.5 x Lpalo + 0.75 x Lpalo); 

Nel caso di pali a testa libera la reazione massima del terreno è data dalla: 

dove: 

Zpalo = sporgenza del palo dal terreno; 

Dpalo = diametro del palo; 

(39)H max = M max / (Zpalo + 1.5 x Dpalo + 0.5 x f);


f = punto d'applicazione del momento flettente massimo; 

Il momento flettente massimo viene fornito dall'espressione: 

con 

g0 = Lpalo - 1.5 x Dpalo - f 

Lpalo = lunghezza del palo; 

f = H max / (9 x Cu x Dpalo) 

Pali lunghi. 

(40) M max = 2.25 x Dpalo x Cu x g0 2 ; 

Nel caso di pali lunghi è il palo che si rompe, per cui il momento flettente massimo va posto uguale 

al momento di plasticizzazione del palo. 

(41)M max = M plast ; 

La reazione massima del terreno , per pali vincolati, è fornita dall'espressione: 

Nel caso di pali a testa libera la (42) diventa: 


Pali corti. 

(42)H max = 2 x M max / (1.5 x Dpalo + 0.5 x f); 

(43) H max = M max / (1.5 x Dpalo + 0.5 x f); 

Nel caso di un palo a testa libera la reazione massima del terreno è data da: 

(44) H max = (0.5 x γ x Dpalo x Lpalo 3 x Kp;) / (Zpalo + Lpalo ); 

con 

γγ = peso di volume del terreno; 

Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ). 

ϕ = angolo d'attrito del terreno; 

Zpalo = sporgenza del palo dal terreno; 

Dpalo = diametro del palo; 

Il momento flettente massimo vale: 

con f = 0.82 x √( H max / Dpalo x γ x Kp;). 

(45) M max = H max x (Zpalo + 2/3 x f);


Nei pali a testa vincolata la (44) va riscritta come segue: 

con 

γ = peso di volume del terreno di fondazione; 

Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ). 

(47) H max = 1.5 x γ x Lpalo 2 x Dpalo x Kp;; 

Il momento flettente massimo è dato dall'espressione: 

(48) M max = 2/3 x H max x Lpalo; 

La reazione del terreno ha qui un andamento di tipo triangolare, cioè crescente linearmente con la 

profondità: 

Pali lunghi. 

(49) Hz=3 x γ x Lpalo x Dpalo x Kp. 

(50) H max = 1.5 x γ x Lpalo 2 x Dpalo x Kp;; 

Come già visto per il caso di terreni coesivi, è il palo che si rompe, per cui il momento flettente 

massimo va posto uguale al momento di plasticizzazione del palo. 

(51)M max = M plast ; 

La reazione massima del terreno , per pali vincolati, è fornita dall'espressione: 

Nel caso di pali a testa libera la (52) diventa: 

(52)H max = 2 x M max / (0.5 x Zpalo + 2/3 x f); 

(53) H max = M max / (0.5 x Zpalo + 2/3 x f).


Portanza di pali soggetti a carichi inclinati. 

Nel caso di pali di fondazione soggetti a carichi inclinati, cioè alla combinazione di carichi verticali 

e orizzontali, occorrerà verificare che siano soddisfatte le due condizioni: 

a)Pvert


Portanza complessiva di una palificata 

Si definisce efficienza della palificata il rapporto fra la portanza del gruppo di pali e la somma della 

portanza dei singoli pali: 

(54)Epalificata = Qpalificata /ΣQpalo; 

Va notato che, mentre in terreni incoerenti l’efficienza è di solito prossima all’unità, o in alcuni casi 

addirittura superiore, a causa dell’addensamento del terreno prodotto dall’infissione dei pali, nei 

terreni coesivi è spesso inferiore a 1. La causa principale è il sovrapporsi dei bulbi di pressione dei 

singoli pali, con la conseguente riduzione del contributo alla capacità portante totale degli stessi. 

Vengono qui proposti due metodi semplificati per la stima dell'efficienza del gruppo di pali. 

Metodo di Terzaghi e Peck. 

Un criterio semplice per determinare la portanza di una palificata in terreni coesivi è quello 

proposto da Terzaghi e Peck (1948): la portanza verticale del gruppo di pali va posta uguale alla 

minore delle due seguenti grandezze: 

a)la portanza data dalla somma delle portanze dei singoli pali; 

b)la portanza di un blocco di terreno di larghezza uguale a Bpalificata (larghezza della palificata), 

lunghezza uguale a Lpalificata (lunghezza della palificata) e profondità corrispondente alla 

lunghezza dei pali, data da: 

(55)Qpalificata=Bpalificata x Lpalificata x Cbase x Nc + 2 x (Bpalificata + Lpalificata) x Lpalo x 

Clat; 

con 

Cbase=coesione del terreno alla base del blocco; 

Clat=coesione del terreno agente lateralmente al blocco; 

Nc=coefficiente di portanza, in genere posto uguale a 9 (Skempton); 


Nei terreni incoerenti invece, per interassi compresi fra 2.5 e 6 Dpalo (Dpalo=diametro o lato medio 

del palo), si può assumere che la portanza complessiva della palificata sia data semplicemente dalla 

somma delle portanze dei singoli pali. 

Poulos e Davis, facendo riferimento all'eq.55, propongono di esprimere l'efficienza del gruppo con 

la seguente relazione: 

(56)1 / η 2 = 1 + (n pali x Qpalo ) 2 / Qpalificata 2 

dove 

η = efficienza del gruppo; 

n pali = numero pali del gruppo; 

Qpalo = portata del palo singolo; 

Qpalificata= portata del blocco di fondazione, definito dalla (55).


Metodo di Converse e Labarre. 

La formula di Converse-Labarre permette di stimare l'efficienza di un gruppo di pali in funzione del 

loro numero, del numero delle file e della spaziatura fra i pali. 

dove 

η = efficienza del gruppo; 

n = numero di pali per fila; 

m = numero di file; 

Φ = arctg ( D / i ); 

D = diametro del palo; 

i = spaziatura dei pali. 

(57) η = 1 - (Φ/90) x [ (n-1) x m + (m - 1) x n] / ( m x n) ; 

Pur essendo una formula molto usata nella pratica, non tenendo in considerazione le caratteristiche 

meccaniche del terreno, va utilizzata con estrema prudenza. 

Interasse dei pali. 

L’interasse, o spaziatura, dei pali è un parametro fondamentale, in quanto influenza direttamente 

l’efficienza di una palificata. Interassi troppo piccoli o troppo grandi infatti possono far diminuire 

drasticamente la portanza complessiva della palificata. In alcuni casi inoltre, per es. per pali infissi 

in terreni incoerenti mediamente o molto addensati, una spaziatura troppo stretta può condurre ad 

un danneggiamento reciproco dei pali. 

Il D.M. 21.1.81 consiglia un interasse minimo di 3Dpalo in qualunque situazione (Dpalo=diametro 

o lato medio del palo), anche se in realtà occorrerebbe tener conto della modalità di messa in opera 

del palo (infisso o trivellato) e del tipo di terreno di fondazione (coesivo o incoerente). 

In generale si consiglia un interasse maggiore di 3Dpalo in argilla, per tener conto del disturbo 

prodotto dalla messa in opera del palo, mentre in sabbia, l’interasse proposto dal D.M.21.1.81 può 

anche essere ridotto a 2.5Dpalo per pali infissi in sabbie sciolte. 

Per una stima di massima, alcuni Autori propongono di utilizzare la seguente relazione: 

dove: 

s (m) = spaziatura dei pali; 

Q (t) = carico applicato sul singolo palo. 

(58) s = √(0.025 x Q); 

Portanza complessiva di una palificata soggetta a carichi orizzontali. 

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppi di pali sottoposti a 

sollecitazioni orizzontali va definito il concetto di efficienza del gruppo. 

Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali il rapporto fra la portanza 

laterale complessiva del gruppo e la somma delle portanze laterali dei singoli pali (vedi espressione 

(54)). 

Valgono in complesso le considerazioni già fatte per i pali caricati verticalmente: in pali fondati in 

terreni incoerenti l’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivi generalmente è 

inferiore.


Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo di pali il minore fra questi 

due valori: 

1. la somma delle portanze laterali dei singoli pali; 

2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla larghezza della palificata 

(lato della palificata perpendicolare alla direzione di carico) e di spessore corrispondente alla 

lunghezza dei pali, cioé: 

(59) Rpalificata = 9 x Cu x Lpalo x (Lpalificata-Cr); 

con 

Lpalificata=larghezza della palificata; 

Cr=il minore fra i valori (1.5Dpalo)e (0.1Lpalo). 

per terreni coesivi e 

per terreni incoerenti. 

(60) Rpalificata = 1.5 x γγ x Lpalo 2 x Lpalificata x Kp.


Distribuzione dei carichi esterni sui pali. 

Si supponga di avere un carico agente sulla palificata con la risultante posizionata nelle coordinate 

generiche X,Y e inclinata lungo l'asse X di un angolo α r , misurato rispetto alla verticale; si vuole 

determinare come questo carico si ripartisce fra i singoli pali del gruppo. 

Il problema può essere risolto utilizzando il procedimento di Nokkentved. 

Lo sforzo assiale complessivo applicato al singolo palo del gruppo è dato dalla relazione: 

dove: 

M1 = Q / Σcos 2 α 

M2 = (tg α h - tg α) / (tg α h - tg α v ) 

M3 = H / (Σcos 2 α x tg α) 

M4 = (tg α - tg α v ) / (tg α h - tg α v ) 

(61) P=cos α x (M1 x M2 + M3 x M4 + M5); 

M5 = M x X' / I 0 

Q = componente verticale della risultante del carico esterno; 

H = componente orizzontale della risultante del carico esterno; 

α = inclinazione rispetto alla verticale del palo; 

α h = arctg (Σcos α x sin α / Σcos 2 α); 

α v = arctg ( Σsin 2 α / Σcos α x sin α); 

M = momento esterno applicato sulla palificata; 

I 0 = Σ X' 2 x cos 2 α 

X' = ascissa della testa del palo singolo relativa al centro elastico del gruppo di pali, data da: X' = X 

- X0 + Y0 x tg α; 

X = ascissa della testa del palo rispetto all'origine delle coordinate; 

X0 = ascissa del centro elastico della palificata, che vale: 

con 

M1 = (Σcos 2 α x X i ) / Σcos 2 α; 

(62)X 0 = (tg α h x M1 - tg α v x M2) / (tg α h - tg α v ); 

M2 = (Σcos 2 α x tg α x X i ) / (Σcos 2 α x tg α); 

Y0 = ordinata del centro elastico della palificata; 

M1 = (Σcos 2 α x X ) / Σcos 2 α; 

M2 = (Σcos 2 α x tg α x X ) / (Σcos 2 α x tg α); 

(63) Y 0 = (M1 - M2) / (tg α h - tg α v ); 

Ovviamente nel caso di carichi inclinati lungo l'asse Y è sufficiente eseguire una rotazione degli 

assi.


Il valore del carico assiale di ogni palo va poi scomposto nella sua componente verticale ed 

orizzontale: 

(64) P vert = P x cos α; 

(65) P oriz = P x sen α. 

I valori ottenuti sono da confrontare con i carichi limite di rottura verticali ed orizzontali del terreno 

e del palo.


Cedimento assoluto della palificata. 

Distribuzione dei carichi esterni in profondità. 

Il calcolo dei cedimenti parte dalla conoscenza della distribuzione dei sovraccarichi indotti nel 

terreno dalla palificata. 

Il programma utilizza per la valutazione di quest'ultima la soluzione delle equazioni di Mindlin 

proposta da Geddes. 

Viene ipotizzato che il terreno si comporti approssimativamente come un semispazio elastico, 

isotropo ed omogeneo. 

Per la determinazione dello sforzo verticale e di taglio agente alla quota z dal piano campagna 

Geddes prende in considerazione tre situazioni: 

• caso in cui i pali portino quasi esclusivamente di punta; 

• caso in cui la portanza laterale del palo si mantenga costante con la profondità; 

• caso in cui la portanza laterale del palo aumenti con la profondità. 

Nel primo caso lo sforzo verticale alla quota generica z può essere espresso con la relazione: 

dove: 

M1 = (1 - 2 x μ) x (z - D) / R 1 3 ; 

M2 = (1 - 2 x μ) x (z - D) / R 2 3 ; 

M3 = 3 x (z - D) 3 / R 1 5; 

(66) σ z = P / [ 8π x (1 - μ)] x ( -M1 + M2 - M3 - M4 - M5); 

M4 = [ 3 x (3 - 4 x μ) x z x (z + D) 2 - 3 x D x (z + D) x (5 x z - D)] / R 2 5 ; 

M5 = 30 x z x D x (z + D) 3 / R 2 7 

R 1 = r 2 + (z - D) 2 ; 

R 2 = r 2 + (z + D) 2 . 

r = distanza radiale dall'asse del palo; 

D = lunghezza del palo. 

Lo sforzo di taglio è invece esprimibile come: 

dove: 

M1 = (1 - 2 x μ) / R 1 3 ; 

M2 = (1 - 2 x μ) / R 2 3 ; 

M3 = 3 x (z - D) 3 / R 1 5; 

(67) τ z = P / [ 8π x (1 - μ)] x ( -M1 + M2 - M3 - M4 - M5); 

M4 = [ 3 x (3 - 4 x μ) x z x (z + D) - 3 x D x (3 x z + D)] / R 2 5 ; 

M5 = 30 x z x D x (z + D) 3 / R 2 7


Valutazione del cedimento. 

Il calcolo del cedimento assoluto del terreno di fondazione della palificata può essere eseguito in 

prima approssimazione, utilizzando la procedura semplificata proposta da Bowles. Si considera il 

cedimento totale come somma di due componenti: 

(68) Stot = Sterreno + Spalo; 

dovute rispettivamente alla deformazione elastica e plastica del terreno e all'accorciamento elastico 

dei pali. 

La grandezza relativa al cedimento del terreno può essere espressa come: 

(69) Sterreno = σ x H / E; 

σ=sovraccarico sul terreno di fondazione alla quota relativa a metà dello spessore dello strato; 

H=spessore dello strato; 

E=modulo di deformazione o edometrico dello strato. 

Nel caso di terreno pluristrato la (68) va applicata ad ogni singolo strato ed i risultati sommati. 

Poichè il metodo richiede che sia verificata la diseguaglianza: 

H < Bfond; 

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o più sottostrati, con spessore uguale 

e uguale modulo di deformazione o modulo edometrico. 

Il cedimento legato all’accorciamento elastico del palo può essere stimato invece con la seguente 

relazione: 

con 

Qpalo=portanza del singolo palo; 

Apalo=area trasversale media del palo; 

Ey=modulo di elasticità del palo. 

(70) Spalo = 0.75 x Qpalo x Lpalo / (Apalo x Ey);


MURI DI CONTENIMENTO 

Coefficiente di spinta attiva del terreno. 

Può essere visto in prima approssimazione come il rapporto minimo 

fra gli sforzi agenti sul piano orizzontale (contenimento ad opera del 

terreno circostante) e quelli agenti sul piano verticale (peso del 

terreno sovrastante ed eventuali sovraccarichi agenti sul piano 

campagna) applicati ad un elemento di terreno in condizioni di 

equilibrio plastico limite: 

(1) K a = P h / P v. 

La spinta attiva si mobilita quando il terreno subisce una 

decompressione (una diminuzione della pressione orizzontale alla 

quale non corrisponda un uguale variazione della pressione verticale, 

come può verificarsi per esempio in seguito ad uno sbancamento) 

con deformazioni dell’ordine dello 0,2-0,3%. 

E’possibile individuare un piano lungo il quale Ka assume il suo 

valore minimo. Questo piano rappresenta una superficie potenziale 

di rottura lungo la quale potrà muoversi il prisma di terreno isolato 

dalla superficie di rottura stessa, che andrà a sollecitare l’eventuale 

opera di contenimento posta a valle. 

I tre modelli più in uso per la stima del valore di Ka e della geometria 

della superficie di rottura sono: 

• il modello di Rankine; 

• il modello di Coulomb; 

• il modello di Caquot-Kerisel. 

Modello di Rankine. 

1


E’ il modello in assoluto più semplice, ma che pone per la sua 

utilizzazione una serie di condizioni che lo rendono spesso non 

applicabile a situazioni reali. 

Posto con ϕ(°) il valore dell’angolo di resistenza al taglio( o d’attrito) 

del terreno, il coefficiente di spinta attiva assume, secondo questo 

modello, il seguente valore: 

(2)Ka=[cos β-√ (cos 2 β-cos 2 ϕ)]/[cos β+√ (cos 2 β-cos 2 ϕ)] 

La superficie potenziale di rottura del terreno è piana e parte dal 

piede dello scavo con un’inclinazione di 45°+ ϕ/2. 

Tale metodo richiede, per poter essere utilizzato, che sia il piano 

orizzontale che quello verticale siano piani principali di sforzo. Nella 

pratica ciò si verifica quando: 

• il paramento interno dell’opera di sostegno sia verticale; 

• non via sia attrito al contatto fra superficie del muro e del 

terreno (angolo d’attrito terre-muro=0). 

Per quanto riguarda quest’ultimo punto va tenuto presente che la 

presenza di sforzi di taglio agenti lungo il paramento interno 

conducono ad una riduzione significativa della spinta attiva. Ignorare 

tali sforzi porta quindi a valori di Ka e della spinta totale della terra a 

favore della sicurezza. 

Modello di Coulomb. 

Nel modello di Coulomb non viene posta la condizione che gli sforzi 

agenti sul piano orizzontale e su quello verticale siano sforzi 

principali. La spinta totale del terreno risulterà quindi inclinata di un 

certo angolo uguale all’angolo d’attrito terra-muro. 

Posto: 

• β = inclinazione del paramento interno del muro; 

• ρ = inclinazione della superficie di rottura del terreno; 

• δ = angolo d’attrito terra-muro; 

2


• ε = inclinazione del versante a monte dell’opera di 

sostegno; 

• ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno; 

il coefficiente di spinta attiva assume la seguente forma: 

(3) K a=sen 2 (β+ϕ)/[sen 2 β sen(β-δ)( 1 + √R p) 2 ] 

con 

R p=sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/sen(β-δ)sen(β+ε)]; 

Il metodo è applicabile alla maggioranza dei casi pratici, con 

un’errore contenuto entro il 5% rispetto a procedimenti più elaborati, 

purchè sia verificata la condizione δ ≤ ϕ/3. 

E’ inoltre richiesto che l’angolo d’inclinazione del pendio a monte sia 

inferiore all’angolo d’attrito del terreno. 

Modello di Caquot-Kerisel. 

Nel caso in cui sia δ>ϕ/3 gli errori che si commettono applicando il 

metodo di Coulomb non sono più trascurabili. 

La superficie potenziale di scorrimento del terreno è assimilabile in 

questo caso ad un arco di spirale logaritmica e non più ad una 

superficie piana. 

Il coefficiente di spinta attiva secondo Caquot-Kerisel è valutabile 

attraverso la seguente relazione: 

con 

p=a b; 

K 0=10 (w f) ; 

in cui: 

a=[cos(β'-ϕ) 2 /cos(β'+δ)]; 

(4) K c = p x K 0; 

3


b={1/[1+√(sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/cos(β'+δ)cos(β'-ε))]} 2 ; 

w=-Log[(1-0.9l 2 - 0.1l 4 )(1 - 0.3l 3 )]; 

f=√(sen ϕ)[2-(tg 2 ε + tg 2 δ)/(2 tg 2 ϕ)]; 

l=(β'-β)/(β'+β+π-2ϕ); 

b 0=(m+ε-r)/2; 

r=arcsen(sen ε/sen ϕ) 

m=2arctg{[cotg δ-√(cotg 2 δ-cotg 2 ϕ)]/(1+cosecϕ)}; 

β‘=90°- β; 

Il modello di Caquot-Kerisel è il più preciso e completo fra quelli 

proposti ed è applicabile a quasi tutte le situazioni che si presentano 

nella pratica. Unica eccezione è rappresentata dalle situazioni in cui 

si abbia un’inclinazione del pendio a monte superiore all’angolo 

d’attrito del terreno. 

Nel caso in cui delta sia minore o uguale a ϕ/3 i metodi di Coulomb e 

di Caquot-Kerisel conducono a risultati praticamente equivalenti. 

Calcolo della spinta attiva del terreno. 

Sulla base della (1), è possibile in prima approssimazione valutare, 

noto K a, la spinta orizzontale del terreno: 

(5) P h = P v K a. 

Nel caso di un terreno omogeneo, privo di coesione ed in assenza di 

falda, sul quale agisca solo la forza di gravità, la (5) potrà essere 

riscritta nel seguente modo: 

(6) P h = γ z K a; 

con γ = peso di volume del terreno; 

z = profondità dal piano campagna. 

4


Il prodotto γ z corrisponde in pratica al peso della colonna litostatica 

alla profondità z. 

Integrando su tutta l’altezza del muro si ottiene: 

(7) S a = 0.5 H 2 γ K a; 

con S a = spinta attiva del terreno. 

La spinta è applicata ad una altezza dal piano di posa del muro 

uguale a: 

(8) l = H/3. 

Alla (7) andranno aggiunte altre componenti di spinta, se presenti, 

dovute alla presenza di: 

• terreni multistrato; 

• falda; 

• terreni coesivi; 

• sovraccarichi esterni; 

• azioni sismiche; 

• pendii a monte con profilo spezzato; 

• pendii a monte con ε > ϕ. 

Terreni multistrato. 

Si prenda in considerazione, come esempio, un terreno a tre strati 

con litologia e/o parametri geotecnici differenti. Il calcolo della spinta 

attiva dovrà procedere nel seguente modo: 

• si applica la (7) ad ogni strato, sostituendo ad H il valore dello 

spessore dello strato e a γ il peso di volume dello strato e a K a il 

valore corrispondente al ϕ dello strato; la (8) sarà data da: 

(9) l s = H s/3 + Σ(da H 1 a H s-1) H; 

5


quindi nel caso di un terreno a tre strati, il punto d’applicazione della 

(7) per lo strato n.3 (il più superficiale) sarà dato da: 

(10) l 3 = H 3/3 + H 2 + H 1. 

• si calcola il contributo come sovraccarico di ogni strato rispetto a 

quelli sottostanti; quindi il contributo totale alla spinta attiva dato 

dallo strato n.1 (il più profondo) sarà: 

Sa 1’=0.5 H 1 2 Ka3 γ 3(contributo dello strato 1) 

Sa 1”=(γ 2H 2+γ 3H 3)H 3 Ka 3(contributo strati 2 e 3 come sovraccarico sullo 

strato 1); 

con un punto d’applicazione dato da: 

l 1=[(H 1/3)Sa 1’+(H 1/2)Sa 1”]/(Sa 1’+Sa 1”). 

Analogamente per lo strato 2 e 3: 


Sa 2”=(γ 3xH 3)H 2 Ka 2(contributo strato 3 come sovraccarico sullo strato 

2); 


Sa 3”= 0; 

l 2={[(H 2/3)+H 1]Sa 2’+[(H 2/2)+H 1]Sa 2”}/(Sa 2’+ Sa 2”); 

l 3={[(H 3/3)+H 2+H 1]Sa 1’+[(H 1/2)+H 2+H 1]Sa 1”}/ (Sa 1’+Sa 1”). 

La spinta attiva totale sarà data quindi da: 

Sa=(Sa 1’+Sa 1”)l 1+(Sa 2’+Sa 2”)l 2+(Sa 3’+Sa 3”)l 3/(Sa 1’+Sa 1”+Sa 2’+Sa 2” 

+Sa 3’+Sa 3”). 

6


Presenza della falda. 

In presenza di falda la relazione (7), per gli strati immersi, si modifica 

come segue: 

(11) S aw =0.5 γ‘ K a H w 2 ; 

con γ‘=peso di volume immerso del terreno; 

H w=altezza della falda rispetto al piano di posa del muro. 

con un punto di applicazione della spinta dato da 

(12) l aw = H w/3. 

Per gli strati sopra falda nella (7) al posto di H va introdotto H-H w, 

cioè l’altezza fuori falda del terreno. 

Il punto d’applicazione della spinta per il terreno non immerso è dato 

da: 

(13) l = H w + (H-H w)/3. 

Vanno inoltre considerati il contributo alla spinta attiva totale dato 

dalla spinta idraulica: 

con punto di applicazione: 

(14) S w = 0.5 H w 2 γw, 

(15) l w = H w/3, 

e quello costituito dal sovraccarico indotto dalla porzione di terreno 

non immersa su quella immersa: 

(16) S a’ = (H-H w)γ H w K a, 

7


con γ = peso di volume del terreno sopra falda, 

e punto d’applicazione dato da: 


(17) l a’ = H w/2. 

La presenza di coesione nel terreno conduce, com’è ovvio, ad una 

riduzione della spinta attiva. 

Ad una profondità z dal piano campagna, supponendo per semplicità 

un terreno omogeneo e privo di falda e sovraccarichi, lo sforzo attivo 

totale sarà dato da: 

con c = coesione del terreno. 

(18) P h = γ z K a - 2 c √K a, 

Il primo termine della (18) (γ z K a) rappresenta la variazione della 

spinta attiva con la profondità in un terreno privo di coesione ( si 

veda la relazione (6) ); il secondo termine è la componente costante 

dovuta alla coesione. 

Integrando su tutta la lunghezza del muro si ha: 

con un punto d’applicazione: 

(19) S a = 0.5 γ H 2 K a - 2c H √K a, 

(20) l a = H/3. 

In prossimità della superficie del pendio a monte del muro (z 

prossimo a zero), il secondo termine della (18) diventa maggiore, in 

valore assoluto, al primo e la spinta attiva assume un valore 

8


negativo. Quindi il livello più superficiale del terreno a tergo del muro 

viene sottoposto a trazione e si fessura. La profondità di questo 

livello si ottiene ponendo Ph=0 nella (18) e risolvendo rispetto a z: 

(21) Z c = 2c / (γ √K a). 

Da questa quota, in cui la spinta attiva si annulla, fino al piano 

campagna il terreno è quindi sottoposto a trazione, si fessura e si 

distacca dal paramento interno del muro. Ai fini del calcolo della 

spinta attiva che agisce sull’opera il contributo di questo livello 

superficiale va quindi posto uguale a zero. Considerando un 

diagramma di spinta triangolare si ottiene: 

(22) S c’ = 0.5(Z c 2 c √K a.) 

Sostituendo a Zc l’espressione (21) si ha quindi: 

(23) S c’ = 2c 2 /γ. 

La (23) rappresenta una termine compensativo della spinta attiva 

negativa che si ha nel livello più superficiale, sottoposto a trazione. 

La (19) andrà modificata di conseguenza come segue: 


(24) S a = 0.5 γ H 2 K a - 2c H √K a + S c’, 

(25) l a = (H - Z c)/3. 

Inoltre, in assenza di un drenaggio efficiente delle acque superficiali 

a monte del muro, le fessure di trazione potrebbero riempirsi 

d’acqua, dando luogo ad un incremento della spinta attiva, valutabile 

come segue: 

(26) S cw = 0.5 Z c 2 , 

9


con un punto d’applicazione della spinta uguale a: 

Sovraccarichi esterni. 

(27) l cw = (H - Z c) + Z c/3. 

Vengono qua presi in considerazione tre tipi possibili di sovraccarichi 

esterni agenti sulla superficie del pendio a monte del muro: 

• sovraccarichi uniformemente ripartiti; 

• sovraccarichi concentrati; 

• sovraccarichi nastriformi. 

Sovraccarichi uniformemente ripartiti. 

Si tratta di carichi esterni di notevole estensione areale, che giunge 

fino al paramento interno del muro, e di intensità uguale in ogni punto 

dell’area sovraccaricata. 

Ponendo q=modulo del sovraccarico, il contributo dato alla spinta 

attiva totale è: 


(28) S u = q H K a [sen β / sen (β+ε)], 

(29) l u = 0.5 H. 

Non è corretto, come proposto da alcuni Autori, trasformare, in 

alternativa, il sovraccarico uniforme in altezza di terra equivalente, 

riscrivendo la (7) nel seguente modo: 

(30) S a = 0.5 γ K a (H + H eq), 

10


con H eq = q [sen β / sen (β+ε)]/γ, 

poichè la (28) presuppone un diagramma di pressione rettangolare, 

la (30) un diagramma di pressione triangolare. 

Sovraccarichi concentrati. 

Un sovraccarico concentrato è un sovraccarico con un’estensione 

areale molto ridotta. Il problema di valutare il contributo alla spinta 

attiva totale di questo tipo di sovraccarico può essere risolto 

attraverso la teoria dell’elasticità, utilizzando l’ equazione di 

Boussinesq: 

(31) σ r = (Q/2π){(3r 2 z/R 5 )-[(1-2μ)/(R 2 +zR)]}. 

in cui: 

σ r = componente radiale della spinta alla quota z sotto il piano 

campagna in un punto di coordinate x,y rispetto al punto di 

applicazione del sovraccarico; 

Q = modulo del sovraccarico; 

r = √(x 2 + y 2 ); 

R = √(r 2 + z 2 ); 

μ = coefficiente di Poisson (che vale mediamente 0.35 nei terreni 

sciolti). 

Attraverso σ r si ricava il valore della spinta orizzontale alla quota z: 

(30) σ h = σ r(x/r). 

Integrando numericamente con un passo fissato in maniera 

appropriata ( per es. 0.1 m), si ottiene il contributo alla spinta attiva 

totale del sovraccarico con un punto d’applicazione dato da: 

(31) l sc = ΣP iH i/ΣP i; 

con 

H i=altezza rispetto al piano di posa del muro; 

11


P i=pressione indotta dal sovraccarico all’altezza H i 

Sovraccarichi nastriformi. 

Si tratta di sovraccarichi di estensione areale significativa, che si 

sviluppano parallelamente alla lunghezza del muro, coprendo solo 

una porzione del pendio a monte dell’opera. L’intensità del 

sovraccarico viene considerata uguale in ogni punto dell’area 

caricata. 

Il problema della stima del contributo alla spinta attiva totale di 

questo tipo di sovraccarico viene ricondotto al caso dei sovraccarichi 

concentrati. In pratica, si suddivide l’area caricata in un numero 

maggiore di aree rettangolari di estensione sufficientemente piccola 

(nel programma si utilizzano superfici di 0.2x0.3 metri) ad ognuna 

delle quali si attribuisce una frazione del sovraccarico, trattato come 

se fosse di tipo concentrato. 

Calcolati i contributi delle singole aree, la spinta totale verrà data 

dalla somma di questi. 

Analogamente si procede per la determinazione del punto 

d’applicazione della spinta. 

Sollecitazioni sismiche. 

Per la stima del contributo alla spinta attiva totale dovuta alle 

eventuali sollecitazioni sismiche, si fa riferimento a quanto proposto 

dal Legislatore (D.M.19/6/84). 

Eseguito il calcolo della spinta attiva totale del terreno in condizioni 

statiche (S a), si procede al calcolo della spinta in condizioni 

dinamiche con gli stessi criteri adottati in precedenza, ponendo però: 

12


α‘ = α +θ; 

ε‘ = ε +θ; 

con α = 90° -β; 

θ = arctg C. 

In base alla categoria sismica alla quale appartiene il sito, viene 

definito un Coefficiente d’Intensità Sismica C, ricavabile dalla 


Categoria Sismicità Coef.Sismico C 

Ex I cat. 12 0.10 

Ex II cat. 9 0.07 

Nuova cat. 6 0.04 

Il valore della spinta totale calcolato (S a’) va quindi moltiplicato per un 

fattore correttivo dato da: 

(32) A = cos 2 (α+θ)/( cos 2 α cos θ). 

L’incremento di spinta sismica si ottiene dalla differenza fra la spinta 

in condizioni dinamiche e quella in condizioni statiche: 

(33) ΔS = S a’ - S a. 

Il suo punto d’applicazione è uguale a: 

(34) lΔ S = (2/3)H. 

Pendii a monte con profilo spezzato. 

Nel caso il pendio a monte del muro possieda un profilo 

caratterizzato da un tratto inclinato seguito da uno sub-orizzontale 

13


non è possibile applicare le relazioni viste per il calcolo del 

coefficiente di spinta attiva. 

Il problema può essere risolto assimilando il pendio ad un piano 

orizzontale(ε = 0) e trattando il terreno al di sopra di questo piano 

come una combinazione di due sovraccarichi nastriformi: il primo, 

con andamento del carico di tipo linearmente crescente con la 

distanza dal muro, corrispondente al tratto inclinato del pendio, il 

secondo, con andamento di tipo lineare uniforme, al tratto suborizzontale. 

Il contributo di questi sovraccarichi alla spinta attiva totale va 

calcolato come già visto per i sovraccarichi nastriformi. Va tenuto 

presente però che, nel tratto di pendio inclinato, alle singole aree di 

carico, in cui va diviso il sovraccarico totale, andrà attribuito una 

frazione di quest’ultimo crescente linearmente con la distanza dal 

muro. 

Pendii a monte con e ‡ j. 

Anche in questo caso le relazioni viste per la stima del coefficiente di 

spinta attiva non sono utilizzabili direttamente. Si deve procedere 

quindi come nel caso f), ponendo ε = 0 e considerando il terreno 

posto al di sopra del piano orizzontale come un sovraccarico di tipo 

nastriforme, con un andamento del carico crescente linearmente con 

la distanza dal muro. 

Verifiche di stabilità del muro . 

Occorre valutare la stabilità dell’opera rispetto: 

• allo slittamento; 

• al ribaltamento; 

• allo schiacciamento. 

14


Verifica del muro allo slittamento. 

Viene eseguita, confrontando le forze orizzontali che tendono a far 

slittare il muro verso valle (forze instabilizzanti) e quelle di verso 

contrario, che si oppongono al movimento (forze stabilizzanti). 

Occorre distinguere fra muri a gravità (e a semigravità) e muri a 

mensola. 

Muri a gravità e a semigravità. 

Forze stabilizzanti. 

La componente complessiva stabilizzante è data da: 

(35) F stab = P l + f a [L m(W muro+S vert+C vert)cos α + L m(S oriz+C oriz)sen α - 

L m W acqua B muro /cos α] + C b B muro /cos α; 

con 

P l=portanza laterale della palificata, se presente; 

f a=tg ϕ m (ϕ m = angolo d’attrito terra-base del muro) ; 

L m=interasse dei contrafforti, se presenti (se assenti si pone L m = 1); 

W muro=peso del muro; 

S vert=componente verticale della spinta delle terre; 

C vert=eventuali carichi esterni verticali agenti sulla sommità del muro; 

α=inclinazione della base rispetto all’orizzontale; 

S oriz=componente orizzontale della spinta delle terre; 

C oriz=eventuali carichi esterni orizzontali agenti sulla sommità del 

muro; 

W acqua=carico idraulico medio al piano di posa del muro = 0.5(H acqua1- 

H acqua2)(H acqua1=altezza dell’acqua rispetto al piano di posa del muro 

a valle; H acqua2=altezza dell’acqua rispetto al piano di posa a monte); 

B muro=larghezza della base del muro; 

15


C b=coesione agente sulla fondazione, posta generalmente uguale a 

(2/3)C, con C = coesione dello strato di terreno su cui posa il muro. 

Nel caso in cui la base del muro non sia inclinata, 

la (35) si riduce alla: 

(36) F stab = P l + f a[L m(W muro+S vert+C vert) - L m W acqua B muro] + C b B muro. 

Viene trascurata, a favore della sicurezza, come suggerito dal 

Legislatore (D.M. 21.1.81.), la spinta passiva della terra agente sul 

piede a valle del muro. 

Forze instabilizzanti. 

La componente complessiva instabilizzante è data da: 

(37) F instab = L m(S oriz+C oriz)cos α. 

Nel caso in cui la base del muro sia orizzontale (α=0), la (37) si 

riduce alla: 

(38) F instab = L m(S oriz+C oriz). 

Muri a mensola. 

Forze stabilizzanti. 

Si definiscono le seguenti grandezze: 

N a = L m(W muro+W terra+S vert+C vert) l cr /B muro; 

con 

W terra=peso del prisma di terra poggiante sulla mensola posteriore; 

16


l cr=larghezza del cordolo, se presente (l cr=0 se assente); 

T a = L m(S oriz+C oriz) l cr /B muro; 

W a = L m s cr γ d cr/2 (peso del prisma triangolare di terreno compreso 

fra il bordo esterno della base e l’estremità del cordolo); 

con 

s cr=spessore del cordolo, se presente; 

γ =peso di volume del terreno su cui poggia il muro; 

d cr=distanza del cordolo dal lato a valle della base. 

N b = L m(W muro+W terra+S vert+C vert)- N a; 

T b = L m(S oriz+C oriz) - N b; 

La componente complessiva stabilizzante è data quindi da: 

(39)Fstab=Pl + Na fa +[(Nb + Wa)cos θ + Tb sen θ]fa’ + C Bef; con 

θ=arctg (scr / dcr)=inclinazione della congiungente il bordo a valle della 

base con l’estremità del cordolo; 

fa=angolo d’attrito terra-muro; 

f a’=angolo d’attrito lungo la superficie di slittamento del muro, che 

può assumere i seguenti valori: 

a) f a’=tg ϕ (ϕ = angolo d’attrito del terreno di fondazione) se è 

presente il cordolo, per cui lo slittamento non avviene lungo la base 

del muro, ma lungo la congiungente bordo esterno-estremità del 

cordolo, che passa nel terreno; 

b) f a’=angolo d’attrito terra-muro, se il cordolo è assente; 

C=coesione agente lungo la superficie di slittamento del muro, che 


17


a) C=C terra ,se il cordolo è presente e quindi la superficie di 

slittamento passa lungo la congiungente bordo esterno della baseestremità 

del cordolo; 

b) C=(2/3)C terra , se il cordolo è assente e la superficie di slittamento 

corrisponde alla base del muro; 

B ef=lunghezza della superficie potenziale di slittamento del muro, che 


a) B ef=[(s cr / sen θ) + l cr] + (B muro- (l cr+d cr), in presenza del cordolo; 

b) B ef=B muro in assenza del cordolo. 

Forze instabilizzanti. 

La componente complessiva instabilizzante è data da: 

(40) F instab=T a + T bcos θ - (N b + W a) sen θ; 

Una volta stimate le componenti stabilizzanti e non delle forze agenti 

sul muro, la misura del grado di stabilità allo slittamento dell’opera è 

dato dal rapporto: 

(39) F sic = F stab / F instab, 

che viene definito Coefficiente di Sicurezza allo slittamento. 

Per legge tale coefficiente non può essere inferiore a 1.3 

(D.M.21.1.81). 

Verifica del muro al ribaltamento. 

La verifica al ribaltamento consiste nello stimare i momenti ribaltanti 

e quelli stabilizzanti agenti sull’opera, riferiti al piede esterno della 

base del muro. 

18


Anche in questo caso occorre distinguere fra verifiche su muri a 

gravità (e a semigravità) e a mensola. 

Muri a gravità e a semigravità. 

Momenti stabilizzanti. 

a) Componente dovuta al peso del muro: 

M s1=L m W muro X b; 

con 

X b=ascissa del baricentro del muro. 

b) Componente dovuta alla spinta attiva verticale della terra. 

M s2=L m S vert(B muro - Y s cos β); 

con 

Y s=altezza del punto d’applicazione della spinta della terra rispetto al 

piano di posa del muro; 

β=inclinazione del paramento interno del muro rispetto all’orizzontale 

(positivo in senso orario). 

c)Componente dovuta alla presenza della palificata. 

M s3=P l (2/3)L palo; 

con 

L palo=lunghezza della palificata; 

P l=portanza laterale della palificata. 

19


d)Componente dovuta alla presenza di carichi esterni verticali agenti 

sulla sommità del muro. 

M s4=L m C vert X b. 

e)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni stabilizzanti 

agenti sulla sommità del muro. 

M s5=M est. 

Anche per questa verifica, tra le componenti stabilizzanti viene 

trascurata la spinta passiva a favore della sicurezza, come suggerito 

nel D.M. 21.1.81. 

Momenti ribaltanti. 

a)Componente dovuta alla spinta attiva orizzontale della terra. 

M r1=L m S oriz(Y s – B murotg α); 

con 

α=inclinazione della base del muro. 

b)Componente dovuta alla presenza di carichi orizzontali esterni 


M r2=L m C oriz H muro; 

con 

H muro=altezza del muro dal piano di posa delle fondazioni. 

c)Componente dovuta alla spinta idraulica sulla base del muro. 

M r3=W acqua B muro L m H w /cos α; 

20


con 

H w=(3H acqua1 + 2H acqua2)B muro/(6H acqua1 + 3H acqua2). 

d)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni ribaltanti 


Muri a mensola. 

Momenti stabilizzanti. 

M r4=M est. 

a) Componente dovuta al peso del muro: 

M s1=L m W muro X b. 

b) Componente dovuta alla spinta attiva verticale della terra. 

M s2=L m S vert(B muro - Y s cos β). 

c) Componente dovuta al peso del terreno poggiante sulla mensola 

posteriore: 

M s3=L m W terra B muro. 

d)Componente dovuta alla presenza della palificata. 

M s4=P l(2/3)L palo. 

e)Componente dovuta alla presenza di carichi esterni verticali agenti 

sulla sommità del muro. 

M s5=L m C vert X b. 

21


f)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni stabilizzanti 


Momenti ribaltanti. 

M s6=M est. 

a)Componente dovuta alla spinta attiva orizzontale della terra. 

M r1=L m S oriz Y s; 

b)Componente dovuta alla presenza di carichi orizzontali esterni 


M r2=L m C oriz H muro. 

c)Componente dovuta alla presenza di momenti esterni ribaltanti 


M r3=M est. 

Valutate le componenti stabilizzanti e ribaltanti, la misura del grado 

di stabilità rispetto al ribaltamento dell’opera è dato dal rapporto: 

(40) F sic = ΣM stabilizzanti / ΣM ribaltanti. 

che viene definito Coefficiente di Sicurezza al ribaltamento. 

Per legge tale coefficiente non può essere inferiore a 1.5 

(D.M.21.1.81). 

Verifica del muro allo schiacciamento. 

22


La verifica allo schiacciamento consiste nella stima del rapporto fra 

portanza della fondazione del muro e la somma delle componenti 

verticali delle forze che agiscono sulla base dell’opera: 

Se il muro poggia su fondazioni superficiali si ha: 

(41)F sic=3B eb cos α Q amm /(W muro+W terra+S vert+C vert); 

con 

F sic=coefficiente di sicurezza allo schiacciamento; 

B eb = lunghezza della base del muro corretta per l’eccentricità dei 

carichi verticali; 

Q amm=portanza ammissibile del terreno di fondazione; 

α=inclinazione della base del muro (per muri a gravità). 

Nel caso di fondazioni su pali, la (41) va riscritta come segue: 

(42)F sic= 2.5P m /(W muro+W terra+S vert+C vert); 

con 

P amm=portata della palificata. 

La (42), come suggerito dal Legislatore (D.M. 21.1.81), deve risultare 

maggiore o uguale a 2. 

Pressioni massime e minime sul terreno. 

Per il calcolo della pressione massima e minima applicate dal 

muro sul terreno si utilizzano le seguenti relazioni: 

(43) P max=(N vertcos α/B)(1+6e cos α/B) 

P min=(N vertcos α/B)(1-6 e cos α/B); 

con 

Nvert=risultante dei carichi verticali: 

N vert=(W muro+W terra+S vert+C vert) per muri a mensola; 

23


N vert=(W muro+S vert+C vert) per muri a gravità o a semigravità; 

B=larghezza effettiva della fondazione; 

α=inclinazione della base (per muri a gravità); 

e=distanza dal punto d'applicazione della risultante dei carichi 

verticali dal centro della base = B/2-r 

in cui r=(ΣM stabilizzanti - ΣM ribaltanti)/N vert; 

se la risultante dei carichi verticali cade entro il terzo medio della 

base (e < B/6); 

(43’) P max=(2N vert)/[3(B/2-e)] P min=0; 

se la risultante dei carichi verticali cade fuori dal terzo medio della 

base (e > B/6); 

con H =altezza del muro. 

(43”) Pmax=(2N)/H Pmin=0; 

se la risultante dei carichi verticali coincide con il terzo medio della 

base (e = B/6). 

Generalmente nei muri a gravità e a semigravita' è richiesto che sia 

verificata la condizione e


La portanza è una grandezza che fornisce un’indicazione della 

pressione o del carico massimo ammissibile dal terreno di 

fondazione, senza che questo subisca rottura per taglio o cedimenti 

non tollerabili dall’opera. 

Occorre distinguere fra fondazioni superficiali e fondazioni su pali 

(profonde). 

Fondazioni superficiali. 

Portanza del terreno di fondazione. 

Sono considerate tali quelle in cui sia verificata la disuguaglianza: 

D fond ≤ B fond; 

con 

D fond=profondità di posa della fondazione; 

B fond=larghezza della fondazione (lato più corto). 

Nella determinazione della portanza influiscono sia la geometria della 

fondazione (principalmente la larghezza, la lunghezza e la profondità 

di posa), sia, ovviamente, le caratteristiche geotecniche del terreno. 

Fra le numerose relazioni empiriche e semi-empiriche per il calcolo 

della portanza note in letteratura, una delle più attendibili e verificate 

è quella proposta da Brinch Hansen (1970). 

Terreni con angolo d’attrito maggiore di 0. 

Nel caso in cui sia ϕ>0 (terreni incoerenti o coesivi in condizioni 

drenate), la relazione di Brinch Hansen assume la seguente forma: 

(44)Q lim=CN cs cd ci cg cb c + γ 1D fondN qs qd qi qg qb q + 0.5B fondN γ γ 2s γ d γ i γ g γ b γ ; 

25


in cui 

C=coesione del terreno; 

γ 1=peso di volume del terreno sopra il piano di posa della 

fondazione; 

γ 2=peso di volume del terreno sotto il piano di posa della fondazione; 

con N q, N c, N γ = fattori di portanza; 

N q=e k tg 2 (45°+ϕ/2) (k=π tg ϕ); 

N c=(N q-1)cotg ϕ; 

N γ =1.5(N q-1)tg ϕ. 

s q, s c, s γ = fattori di forma; 

s q=1+(B fond/L fond)tg ϕ (L fond = lunghezza della fondazione); 

s c=1+(N q/N c)(B fond/L fond); 

s c=1 per fondazioni nastriformi (L fond>5B fond); 

s γ =1-0.4(B fond/L fond). 

d q, d c, d γ = fattori di approfondimento; 

d q=1+2tg ϕ (1-senϕ) 2 k; 

k=D fond/B fond per D fond/B fond ≤ 1; 

k=arctg(D fond/B fond)(in rad) per D fond/B fond > 1; 

d c=1+0.4k 

d γ =1 

i q, i c, i γ = fattori per l’inclinazione del carico; 

i q=[1 - 0.5Q oriz/(Q vert + L fond B fond C a cotg ϕ)] 5 ; 

Q oriz=componente orizzontale del carico; 

Q vert=componente verticale del carico; 

C a=coesione agente sulla base della fondazione=(2/3)C 

26


i c=i q - (1- i q)/(N q-1) 

i γ =[1 - 0.7Q oriz/(Q vert + L fond B fond C a cotg ϕ)] 5 con base della 

fondazione non inclinata; 

i γ =[1 - (0.7-η/450)Q oriz/(Q vert + L fond B fond C a cotg ϕ)] 5 con base della 

fondazione inclinata; 

η (°)=inclinazione della base; 

Nel caso della fondazione di un muro di contenimento le grandezze 

Q oriz e Q vert si ottengono come segue: 

Q oriz= S oriz+C oriz; 

Q vert= W muro+W terra+S vert+C vert; 

in cui Q oriz≤ Q verttg δ + L fond B fond C a; 

δ=angolo d’attrito terra-fondazione. 

g q, g c, g γ = fattori per fondazioni su pendio; 

g q=(1-0.5tg β) 5 ; 

β=inclinazione del pendio; 

g c=1-(β°/147) ; 

g γ = g q. 

b q, b c, b γ = fattori per fondazioni con base inclinata; 

b q=exp(-2ηtg ϕ) 

η=inclinazione della base; 

b c= 1-η°/147; 

b γ = exp(-2.7ηtg ϕ); 

Terreni con angolo d’attrito uguale a 0. 

In terreni coesivi in condizioni non drenate (ϕ=0) la (44) assume la 

seguente forma: 

27


(45)Q lim=5.14C(1+s c+d c-i c-g c-b c) + γ 1D fond; 

con i parametri s c, d c, i c, g c, b c modificati come segue: 

s c=0.2B fond/L fond; 

d c=0.4k; 

i c=0.5 - 0.5√[1-Q oriz/ (L fond B fond C a)]; 

g c=β°/147; 

b c=η°/147. 

In presenza di carichi eccentrici, come nel caso della fondazione di 

un muro di contenimento, nel calcolo della (44) e della (45) va 

introdotta una larghezza ed una lunghezza della fondazione corretta 

come segue: 

L’ fond= L fond - 2e cl; 

B’ fond= B fond - 2e cb. 

con 

e cl=eccentricità del carico rispetto al lato lungo della fondazione; 

e bl=eccentricità del carico rispetto al lato corto della fondazione; 

I due parametri e cl, e bl verrano valutati in un successivo paragrafo. 

La portanza calcolata con le relazioni (43) e (44) rappresenta la 

pressione massima tollerabile dal terreno di fondazione. Per Legge 

(D.M.21.1.81) questo valore deve essere ridotto, per ottenere la 

portanza d’esercizio, dividendolo per un coefficiente di sicurezza, che 

non può essere inferiore a 3. 

(46) Q es = Q lim/3. 

Il criterio di Coulomb (vedi relazione 68), che descrive l’andamento 

della resistenza al taglio del terreno al variare della pressione di 

confinamento e sul quale si basa la relazione di Brinch Hansen, può 

essere considerato valido solo per valori di τ (resistenza al taglio) 

inferiori a circa 5 kg/cmq. Nel caso la (46) fornisca valori superiori a 

28


questo limite sarà necessario procedere ad una correzione di Q am 

come suggerito Terzaghi e Peck. La correzione andrà effettuata 

modificando i valori della coesione e dell’angolo di resistenza al 

taglio (angolo d’attrito) del terreno come segue: 

C’= (2/3) C; 

tg ϕ‘= (2/3) tg ϕ; 

ripetendo quindi il calcolo della portanza del terreno. 

Cedimenti assoluti del terreno. 

Anche se la pressione esercitata sul terreno di fondazione non 

supera il valore calcolato con la (46), si possono, in alcuni casi, 

manifestare delle deformazioni nel terreno non tollerabili dall’opera. 

I cedimenti sono dovuti alla deformazione elastica e plastica del 

terreno e, nel caso di terreni poco permeabili (argille e limi), al 

processo di lenta espulsione dell’acqua contenuta al loro interno 

(consolidazione). 

Poichè le caratteristiche geotecniche del terreno variano da punto a 

punto, così come spesso variano da punto a punto anche le 

condizioni di carico, i cedimenti possono assumere localmente valori 

differenti. 

Il cedimento calcolato in un punto prende il nome di cedimento 

assoluto; la differenza fra i cedimenti assoluti misurati in due o più 

punti prende il nome di cedimento differenziale. 

Il cedimento assoluto totale è dato dalla somma di tre componenti: 

(47)S tot= S imm + S con + S sec; 

in cui: 

S imm=cedimento immediato, dovuto alla deformazione iniziale, senza 

variazione di volume,del terreno caricato; è prevalente nei terreni 

incoerenti (coesione=0), trascurabile in quelli coesivi (coesione>0); 

S con=cedimento di consolidazione, legato alla variazione di volume 

del terreno saturo, in seguito alla lenta espulsione dell’acqua 

29


contenuta al suo interno; è dominante nei terreni coesivi, poco 

permeabili, e trascurabile in quelli incoerenti (da mediamente a molto 

permeabili); 

S sec=cedimento secondario, dovuto alla deformazione viscosa dello 

scheletro solido del terreno; normalmente trascurabile in tutti i tipi di 

terreno. 

Cedimenti in terreni incoerenti. 

Un metodo semplificato per stimare il cedimento immediato di un 

terreno di fondazione prevalentemente incoerente è fornito dalla 

relazione di Schleicher: 

(48)S imm=Q vertI(1-μ 2 )/E; 

con 

Q vert=carico verticale applicato alla fondazione; 

E=modulo elastico (o di deformazione) del terreno; 

μ=coefficiente di Poisson=0.5 (terreni saturi, in condizioni non 

drenate); 

I=fattore di influenza, ottenibile attraverso le relazioni di 

Schmertmann: 

I=0.6 z; per z ≤ 1; 

I=0.6 - 0.2(z-1); per 1 < z ≤ 4; 

con z=profondità dal piano di posa della fondazione in metri. 

Nel caso di un terreno pluristrato la (47) va applicata ad ogni singolo 

strato ed i risultati sommati. 

Cedimenti in terreni coesivi. 

30


In prima approssimazione, i cedimenti per consolidazione di un 

terreno prevalentemente coesivo possono essere ottenuti attraverso 

la relazione: 

(49)S con=H Δσ/E d; 

con 


Δσ=sovraccarico indotto dal muro alla quota dal piano di posa della 

fondazione equivalente a metà dello spessore dello strato; 

E d=modulo edometrico dello strato; 

Il sovraccarico Δσ può essere stimato approssimativamente con la 

relazione: 

(50)Δσ =(Q vert-γ1D fond)/[(B fond + z tg 27°)(L fond + z tg 27°)]; 

Nel caso di un terreno pluristrato la (49) va applicata ad ogni singolo 



H 

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o più 

sottostrati, con spessore uguale e uguale modulo di deformazione o 

modulo edometrico. 

Elevati cedimenti differenziali (dell’ordine di alcuni centimetri in 

genere, ma a volte anche meno) possono indurre lesioni nell’opera. 

Partendo dal presupposto che a elevati cedimenti assoluti 

generalmente corrispondono elevati cedimenti differenziali, Terzaghi 

e Peck proposero di considerare come valori limite tollerabili 

cedimenti assoluti di 2,5 cm in terreni incoerenti (sabbie e ghiaie) e 4 

cm in terreni coesivi (limi e argille). 

31


Un sistema meno empirico di procedere consiste nello stimare la 

distorsione angolare fra due o più punti della struttura di cui sia noto 

il cedimento assoluto del terreno di fondazione: 

χ ang= (S 2 -S 1)/L 12; 

con 

χ ang=distorsione angolare; 

S 2=cedimento assoluto nel punto 2; 

S 1=cedimento assoluto nel punto 1; 

L 12=distanza fra i punti 1 e 2. 

In prima approssimazione, sono da considerare tollerabili distorsioni 

angolari inferiori a 1/600 per strutture in muratura e a 1/1000 per 

strutture in calcestruzzo. 

Fondazioni su pali. 

In assenza di strati portanti in prossimità del piano di posa delle 

fondazioni, si può rendere necessario l’utilizzo di fondazioni su pali. 

Vengono distinte due tipologie di pali, sia per la diversa procedura di 

messa in opera, sia per gli effetti che producono sulle caratteristiche 

meccaniche del terreno di fondazione: i pali infissi ed i pali trivellati. A 

parte vengono presi in cosiderazione i micropali tipo tubfix, che pur 

potendo essere inseriti nella categoria generale dei pali trivellati, se 

ne differenziano per alcune importanti caratteristiche. 

32


Portanza verticale del palo. 

Pali infissi. 

Sono pali che vengono messi in opera senza l’asportazione del 

terreno. 

Sono utilizzabili in terreni incoerenti da poco a mediamente 

addensati, dove la procedura d’infissione conduce generalmente ad 

un miglioramento delle caratteristiche geotecniche. Sconsigliabile 

invece il loro utilizzo in terreni coesivi, nei quali l’infissione porta ad 

un rimaneggiamento degli strati con conseguente scadimento delle 

caratteristiche geotecniche degli stessi. Non sono impiegabili in 

terreni molto addensati, o con trovanti o livelli cementati. 

Il calcolo della portata di un palo infisso viene effettuata sommando 

i contributi di portata della punta del palo con quello dovuto alla 

resistenza laterale del fusto. 

Vengono distinti 3 casi. 


In questo tipo di terreno la portanza laterale può essere valutata 

attraverso la relazione di Burland(1973): 

(51) Q lat= A lat P ef K f w tg δ; 

con 

A lat = area laterale del palo; 

P ef = pressione efficace del terreno data da: 

P ef =L palo γ se L palo < 15 D palo; 

P ef =15D paloγ se L palo > 15 D palo; 

L palo=lunghezza del palo; 

D palo=diametro o lato medio del palo; 

γ =peso di volume del terreno; 

33


K =1-sen ϕ‘; 

ϕ‘=(3/4)ϕ + 10; 

ϕ =angolo d'attrito del terreno. 

δ =angolo d’attrito terra-palo, posto =20° per pali in acciaio e =(2/3)ϕ‘ 

per pali in calcestruzzo; 

f w=fattore correttivo legato alla tronco-conicità percentuale del palo 

(t r)del palo; 

N.B.:Per tronco-conicita' del palo s'intende la diminuzione 

percentuale del diametro del palo con la profondità nel caso di pali 

prefabbricati tronco-conicità (per es. una tronco-conicità del 5% 

vuol dire che il diametro del palo diminuisce di 5 cm per ogni metro 

di lunghezza del palo stesso). 

ponendo ω(°)= arctg(t r/100) 

per ω=0 (palo cilindrico) f w=1; 

per ω>0 (palo tronco-conico) i valori di f w sono forniti dalla seguente 

tabella: 

ϕ‘ ω° f w 

ϕ‘


con 

A base = area della base del palo; 

(52)Q base = (A base P ef N q)- W palo; 

Nq =fattore adimensionale di portata sec.Berantezev; 

Nq =10 m ; 

m =-0.764 + 0.76 ϕ‘; 

W palo = peso del palo. 

Terreni coesivi normalmente consolidati o leggermente 

sovraconsolidati (rapporto di sovraconsolidazione OCR


Argille molli su terreni coesivi 

compatti 


Il calcolo della portanza di un palo trivellato viene eseguito come nel 

caso di un palo infisso, sommando i contributi di portata della punta 

del palo e del fusto. 

Nell’applicare le relazioni viste in precedenza va tenuto presente che, 

a causa del disturbo indotto nei livelli incoerenti dall’asportazione del 

terreno, l’angolo d’attrito da utilizzare dovrà essere corretto come 

segue: 

ϕ‘°=ϕ° - 3°. 

con ϕ=angolo d’attrito del terreno prima della messa in opera del 

palo. 

Micropali tipo tubfix. 

Si procede come nel caso dei pali trivellati, introducendo nel calcolo 

al posto della lunghezza totale del palo e del suo diametro medio la 

lunghezza ed il diametro presunto del bulbo iniettato. 

Portanza complessiva della palificata. 

Si definisce efficienza della palificata il rapporto fra la portanza del 

gruppo di pali e la somma della portanza dei singoli pali: 

(55)E palificata = Q palificata /ΣQ palo; 

Va notato che, mentre in terreni incoerenti l’efficienza è di solito 

prossima all’unità, o in alcuni casi addirittura superiore, a causa 

dell’addensamento del terreno prodotto dall’infissione dei pali, nei 

terreni coesivi è spesso inferiore a 1. La causa principale è il 

sovrapporsi dei bulbi di pressione dei singoli pali, con la conseguente 

riduzione del contributo alla capacità portante totale degli stessi. 

Un criterio semplice per determinare la portanza di una palificata in 

terreni coesivi è quello proposto da Terzaghi e Peck (1948): la 

37


portanza verticale del gruppo di pali va posta uguale alla minore delle 

due seguenti grandezze: 

a)la portanza data dalla somma delle portanze dei singoli pali; 

b)la portanza di un blocco di terreno di larghezza uguale a B palificata 

(larghezza della palificata), lunghezza uguale a L palificata (lunghezza 

della palificata) e profondità corrispondente alla lunghezza dei pali, 

data da: 

(56)Q palificata=B palificata L palificata C base N c + 2(B palificata + L palificata)L palo C lat; 

con 

C base=coesione del terreno alla base del blocco; 

C lat=coesione del terreno agente lateralmente al blocco; 

N c=coefficiente di portanza, in genere posto uguale a 9 (Skempton); 

L palo=lunghezza del palo. 

Nei terreni incoerenti invece, per interassi compresi fra 2.5 e 6 D palo 

(D palo=diametro o lato medio del palo), si può assumere che la 

portanza complessiva della palificata sia data semplicemente dalla 

somma delle portanze dei singoli pali. 

Interasse dei pali di una palificata. 

L’interasse, o spaziatura, dei pali è un parametro fondamentale, in 

quanto influenza direttamente l’efficienza di una palificata. Interassi 

troppo piccoli o troppo grandi infatti possono far diminuire 

drasticamente la portanza complessiva della palificata. In alcuni casi 

inoltre, per es. per pali infissi in terreni incoerenti mediamente o 

molto addensati, una spaziatura troppo stretta può condurre ad un 

danneggiamento reciproco dei pali. 

Il D.M. 21.1.81 consiglia un interasse minimo di 3Dpalo in qualunque 

situazione (Dpalo=diametro o lato medio del palo), anche se in realtà 

occorrerebbe tener conto della modalità di messa in opera del palo 

(infisso o trivellato) e del tipo di terreno di fondazione (coesivo o 

incoerente). 

38


In generale si consiglia un interasse maggiore di 3D palo in argilla, per 

tener conto del disturbo prodotto dalla messa in opera del palo, 

mentre in sabbia, l’interasse proposto dal D.M.21.1.81 può anche 

essere ridotto a 2.5D palo per pali infissi in sabbie sciolte. 

Cedimento assoluto della palificata. 

Il calcolo del cedimento assoluto del terreno di fondazione della 

palificata può essere eseguito in prima approssimazione, utilizzando 

la procedura semplificata proposta da Bowles. Si considera il 

cedimento totale come somma di due componenti: 

(57) S tot = S terreno + S palo; 

dovute rispettivamente alla deformazione elastica e plastica del 

terreno e all'accorciamento elastico dei pali. 

La grandezza relativa al cedimento del terreno può essere espressa 

come: 

(58) S terreno = Δσ H / E; 

Δσ=sovraccarico sul terreno di fondazione alla quota relativa a metà 

dello spessore dello strato; può essere calcolata attraverso la (50), 

prendendo in considerazione l’intervallo di profondità compreso fra 

(2/3)L palo e 2 L palo, con L palo=lunghezza del palo; 


E=modulo di deformazione o edometrico dello strato. 

Nel caso di terreno pluristrato la (58) va applicata ad ogni singolo 



39


H 

strati di spessore superiore a questo limite vanno divisi in due o più 

sottostrati, con spessore uguale e uguale modulo di deformazione o 

modulo edometrico. 

Il cedimento legato all’accorciamento elastico del palo può essere 

stimato invece con la seguente relazione: 

(59) S palo = 0.75 Q palo L palo / (A palo E y); 

con 

Q palo=portanza del singolo palo; 

A palo=area trasversale media del palo; 

E y=modulo di elasticità del palo. 

Per quanto riguarda il discorso sulla compatibilità dei cedimenti con 

la struttura, si veda quanto detto per le fondazioni superficiali. 

Portanza di un palo soggetto a carichi laterali. 

Portanza del palo singolo. 

I pali di fondazione di un muro sono soggetti a forze laterali e 

momenti. E’ necessario quindi valutare anche la resistenza laterale 

del terreno di fondazione. 

Si utilizza la teoria di Broms(1964) applicata a pali rigidi a testa 

incastrata, distinguendo fra fondazioni in terreni coesivi e fondazioni 

in terreni incoerenti. 


40


La resistenza laterale è data da: 

(60)R lat=9 C u D palo (L palo - 1.5 D palo); 

con 


D palo=diametro o lato medio del palo; 

L palo=lunghezza del palo. 

La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, 

cioè costante con la profondità: 


(61)R z=9 C u D palo. 

In questo caso la (60) va riscritta come segue: 

(62) R lat=1.5 γ L palo 2 Dpalo K p; 

con 

γ = peso di volume del terreno di fondazione; 

K p=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ). 

La reazione del terreno ha qui un andamento di tipo triangolare, cioè 

crescente linearmente con la profondità: 

(63) R z=3 γ L palo D palo K p. 

Sia alla (60) che alla (62) va applicato un coefficiente di sicurezza 

(con un valore minimo di 2.5 secondo il D.M.21.1.81) per ottenere le 

portanze d’esercizio: 

(64)R es=R lat/F s; 

41


con 

F s=coefficiente di sicurezza. 

Portanza della palificata. 

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per 

gruppi di pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito il 

concetto di efficienza del gruppo. 

Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali 

il rapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e la 

somma delle portanze laterali dei singoli pali (vedi espressione (55)). 

Valgono in complesso le considerazioni già fatte per i pali caricati 

verticalmente: in pali fondati in terreni incoerenti l’efficienza spesso è 

prossima all’unità, in pali in terreni coesivi generalmente è inferiore. 

Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del 

gruppo di pali il minore fra questi due valori: 


2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale 

alla larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolare 

alla direzione di carico) e di spessore corrispondente alla 

lunghezza dei pali, cioé: 

Terreni coesivi: 

(65)R palificata=9 C u L palo(L palificata-C r); 

con 

L palificata=larghezza della palificata; 

C r=il minore fra i valori (1.5D palo)e (0.1L palo). 

Terreni incoerenti: 

42


(66) R palificata=1.5 γ L palo 2 Lpalificata K p. 

Portanza di pali soggetti a carichi inclinati. 

I pali di fondazione di un muro di contenimento sono soggetti a 

carichi inclinati, cioè alla combinazione di carichi verticali e 

orizzontali. In questo caso occorrerà verificare che siano soddisfatte 

le due condizioni: 

a)P vert


La procedura di calcolo prende in considerazione tutte le forze e/o i 

momenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazione 

della stabilita' globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dalla 

statica. 

Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolato 

attraverso il rapporto fra la resistenza di taglio massima disponibile 

lungo la superficie di rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungo 

tale piano: 

(67) F sic = T max / T mob; 

con 

F sic= coefficiente di sicurezza; 

T max= resistenza di taglio massima; 

T mob= sforzo tangenziale mobilitato. 

All'equilibrio(T max=T mob)F sic deve essere ovviamente uguale a 1. 

Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando F sic 

risulta maggiore di 1 (T max>T mob), instabile in caso contrario 

(T max


degli sforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura puo' 

innescare il fenomeno franoso. 

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova in 

condizioni di stabilita' globale. 

Impostazione della procedura di calcolo. 

Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi di 

stabilita' di un pendio in terra occorre ipotizzare che siano verificate 

le seguenti condizioni: 

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versante 

di larghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurando 

l’interazione laterale fra tale striscia ed il terreno contiguo; 

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deve 

essere esprimibile attraverso la legge di Coulomb: 

(68) T max = c + γ h tg ϕ; 

con 

T max = resistenza di taglio massima del terreno; 

c= coesione del terreno; 

γ= peso di volume del terreno; 

h= profondita' della superficie di rottura; 

ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno. 

c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio i 

parametri geotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deve 

essere la stessa: in caso contrario la resistenza al taglio mobilitata 

dovrebbe essere espressa nel seguente modo: 

(69) T mob = (c/F sicc) + (γ h tg ϕ/F sicp); 

45


con 

F siic =coefficiente di sicurezza legato a c; 

F sicp =coefficiente di sicurezza legato a ϕ; 

introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno, 

con ovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema; 

d) deve aversi una distribuzione omogenea degli sforzi tangenziali 

mobilitati (T mob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questo 

significa che in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento i 

parametri dell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lo 

stesso valore. 

Per limitare l'errore introdotto nel calcolo da quest’ultima ipotesi, la 

superficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle procedure 

di calcolo note in letteratura, suddivisa in piu' settori (conci), 

all'interno dei quali si considera realizzata la condizione di 

omogeneita' di T mob. Nella pratica i limiti dei conci vengono fatti 

cadere dove vi sia una variazione significativa di ϕ, c e γ del terreno 

o in corrispondenza di variazioni significative nel profilo topografico 

del versante. 

Questo modo d'impostare il problema conduce pero' all'introduzione 

nella risoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modo 

in cui interagiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci. 

In definitiva nel calcolo del valore di F sic intervengono le seguenti 

incognite(n=numero dei conci preso in considerazione): 

a) le forze normali (N) agenti sulla base del concio ( n incognite); 

b) le forze tangenziali (T) agenti sulla base dei conci ( n incognite); 

c) i punti, sulla base del concio, di applicazione delle forze normali e 

tangenziali (n incognite); 

d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione dei 

conci ( n-1 incognite); 

e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci 

(n-1 incognite); 

46


f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci, 

delle forze d) ed e) (n-1 incognite); 

g) il coefficiente di sicurezza F sic (1 incognita). 

In totale il problema comporta l'introduzione di 6n-2 incognite. 

Per la sua risoluzione sono disponibili: 

a) 3n equazioni d'equilibrio; 

b) n equazioni del tipo: 

con 

l = lunghezza del concio; 

(70) T = (c l + N tg ϕ)/F sic; 

che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed F sic. 

c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e T 

cada a meta' della base del concio. 

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzione 

analitica del problema. 

Perche' si possa arrivare alla determinazione di F sic occorrerebbero 

ovviamente tante equazioni quante sono le incognite. 

In realta' perche' il problema sia staticamente determinato, e quindi 

risolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numero 

delle incognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n). 

Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendo 

nell'analisi ulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardano 

generalmente la distribuzione delle forze lungo le superfici di 

separazione dei conci. Le varie procedure di risoluzione del 

problema differiscono essenzialmente per la schematizzazione che 

viene fatta di questa distribuzione. 

47


Metodo di risoluzione di Fellenius. 

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agenti 

sulle superfici di separazione dei conci siano orientate 

parallelamente alla base dei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato che 

la superficie potenziale di scivolamento sia circolare. 

Posto: 

(71) N i=W concio(i) cos α i; 

con 

W concio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo; 

α i=inclinazione della base del concio i-esimo; 

N i=componente normale alla base del concio di W concio(i). 

Imponendo l’equilibrio dei momenti rispetto al centro della superficie 

circolare di scivolamento potenziale del pendio, si può scrivere: 

(72) ΣR sen α i W concio(i)=ΣR T i; 

in cui il prodotto R sen α i rappresenta il braccio di W concio(i). 

Sostituendo nella (72) a T i la sua espressione, data dalla (70), si 

ottiene infine: 

(73)F sic = Σ(C i L concio(i)+N i tg ϕ i) / Σ sen α i W concio(i); 

con 

C i=coesione agente lungo la base del concio i; 

L concio(i)=lunghezza della base del concio i; 

ϕ i=angolo d’attrito agente lungo la base del concio i; 

Introducendo nella (73) il contributo dovuto alla presenza di falda 

idrica, di sovraccarichi a monte del muro, di carichi esterni, di azioni 

sismiche e di eventuali fondazioni su pali che intercettino la 

superficie di scorrimento, si ottiene: 

48


(74) F sic = Σ[C i L concio(i) + S monte(i) cos α i + P pali(i) sen α i + C vert(i) cos α i + 

C oriz(i) sen α i + (N i-h falda(i) L concio(i)-a sisma W concio(i) sen α i)tg ϕ i] / Σ 

[(W concio(i) + C vert(i) + S monte(i))sen α i + (C oriz(i) - P pali(i))cos α i; 

in cui: 

S monte(i)=sovraccarichi agenti sulla superficie del concio i; 

C vert(i)=carico verticale agente sulla sommità del muro; 

C oriz(i)=carico orizzontale agente sulla sommità del muro; 

a sisma=accelerazione sismica orizzontale; 

h falda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i; 

P pali(i)=portanza laterale unitaria (per metro di larghezza) della 

palificata; 

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di F sic 

rispetto a metodi più rigorosi, soprattutto in terreni coesivi e/o 

sovraconsolidati. 

L’errore è comunque a favore della sicurezza. 

Sollecitazioni in un muro a contrafforti. 

Le sollecitazioni sulla parete e sulla mensola di fondazione di un 

muro a contrafforti vengono calcolate come nel caso di una piastra, 

utilizzando la procedura semplificata di Grashof. Si considerà cioè 

una ripartizione dei carichi secondo due ordini di strisce 

perpendicolari, in cui si suppone divisa la piastra. Il criterio 

presuppone che la piastra si possa considerare sollecitata da un 

carico distribuito costante di valore pari al valore medio del 

diagramma di carico reale. 

In pratica le ordinate del diagramma di carico andranno moltiplicate 

per i seguenti fattori: 

49


C x=L y 4 /(K Lx 4 + Ly 4 ) Cy=1-Cx; 

con 

L y=altezza della parete del muro (per la piastra corrispondente alla 

parete del muro) o larghezza della mensola posteriore (contrafforti 

interni) o anteriore (contrafforti esterni)(per la piastra corrispondente 

alla mensola di fondazione); 

L x =I contra - S contra; 

in cui 

I contra =interasse dei contrafforti; 

S contra =spessore dei contrafforti. 

K =coefficiente uguale a 1.77 per la piastra di parete (tre lati in 

condizioni d’incastro e uno in condizioni di semincastro) o per la 

mensola di fondazione in presenza di cordolo, e a 1.5 per la mensola 

di fondazione in assenza di cordolo (tre lati in condizioni d’incastro e 

uno libero). 

Il diagramma di carico parallelo al muro è dato quindi da: 

quello perpendicolare al muro: 

S x=S tot C x; 

Sy=Stot Cy; con 

Stot=diagramma di carico in assenza di contrafforti. 

50


DIAFRAMMI 

Coefficienti di spinta del terreno. 

COEFFICIENTE DI SPINTA ATTIVA. 

Il coefficiente di spinta attiva può essere visto in prima approssimazione 

come il rapporto minimo fra gli sforzi agenti sul piano orizzontale 

(contenimento ad opera del terreno circostante) e quelli agenti sul piano 

verticale (peso del terreno sovrastante ed eventuali sovraccarichi agenti sul 

piano campagna) applicati ad un elemento di terreno in condizioni di 

equilibrio plastico limite: 

(1) Ka = Phmin / Pv. 

La spinta attiva si mobilita quando il terreno subisce una decompressione 

(una diminuzione della pressione orizzontale alla quale non corrisponda un 

uguale variazione della pressione verticale, come può verificarsi per 

esempio in seguito ad uno sbancamento) con deformazioni dell’ordine dello 

0,2-0,3%. 

E’possibile individuare un piano lungo il quale Ka assume il suo valore 

minimo. Questo piano rappresenta una superficie potenziale di rottura lungo 

la quale potrà muoversi il prisma di terreno isolato dalla superficie di rottura 

stessa, che andrà a sollecitare l’eventuale opera di contenimento posta a 

valle. 

COEFFICIENTE DI SPINTA PASSIVA. 

Comprimendo orizzontalmente il terreno e mantenendo inalterata la 

pressione verticale, il valore di Ph aumenta fino a raggiungere un valore 

massimo. Questa condizione viene chiamata stato di equilibrio plastico 

limite superiore o stato passivo e raggiungibile solo in seguito a notevoli 

deformazioni del terreno (2% - 4%). Lo stato passivo si genera normalmente 

nel terreno a valle di un opera di sostegno in seguito a spostamenti che 

1


questa subisce per le spinte del terreno a monte e ha come effetto di 

contrastare il movimento dell’opera stessa. 

I due modelli più in uso per la stima del valore di Ka e Kp sono: 

· il modello di Rankine; 

· il modello di Coulomb. 

Modello di Rankine. 

E’ il modello in assoluto più semplice, ma che pone per la sua utilizzazione 

una serie di condizioni che lo rendono in alcuni casi non applicabile a 

situazioni reali. 

Posto con ϕ(°) il valore dell’angolo di resistenza al taglio( o d’attrito) del 

terreno, il coefficiente di spinta attiva assume, secondo questo modello, il 

seguente valore: 

(2)Ka = tg 2 (45°- ϕ/2); 

La superficie potenziale di rottura del terreno è piana e parte dal piede dello 

scavo con un’inclinazione di 45°+ ϕ/2. 

Il coefficiente di spinta passiva invece può essere valutato con la relazione: 

(3)Kp = tg 2 (45°+ ϕ/2). 

Tale metodo richiede, per poter essere utilizzato, che sia il piano orizzontale 

che quello verticale siano piani principali di sforzo. Nella pratica ciò si 

verifica quando: 

· il paramento interno dell’opera di sostegno sia verticale; 

· non via sia attrito al contatto fra superficie del diaframma e del 

terreno (angolo d’attrito terra-diaframma=0). 

Per quanto riguarda quest’ultimo punto va tenuto presente che la presenza di 

sforzi di taglio agenti lungo il paramento interno conducono ad una 

2


riduzione significativa della spinta attiva. Ignorare tali sforzi porta quindi a 

valori di Ka e della spinta totale della terra a favore della sicurezza. 

Modello di Coulomb. 

Nel modello di Coulomb non viene posta la condizione che gli sforzi agenti 

sul piano orizzontale e su quello verticale siano sforzi principali. La spinta 

totale del terreno risulterà quindi inclinata di un certo angolo uguale 

all’angolo d’attrito terra-diaframma. 

Posto: 

· β = inclinazione del paramento interno dell’opera; 

· ρ = inclinazione della superficie di rottura del terreno; 

· δ = angolo d’attrito terra-diaframma, di solito posto uguale a 

arctg[2/3 x tg(ϕ)]; 

· ε = inclinazione del versante a monte dell’opera di sostegno; 

· ϕ = angolo di resistenza al taglio del terreno; 

il coefficiente di spinta attiva assume la seguente forma: 

(4) Ka=sen 2 (β+ϕ)/[sen 2 β sen(β-δ)( 1 + √Rp) 2 ] 

con 

Rp=sen(ϕ+δ)sen(ϕ-ε)/[sen(β-δ)sen(β+ε)]; 

Il coefficiente di spinta passiva è invece dato dalla 

(5) Kp=sen 2 (β-ϕ)/[sen 2 β sen(β-δ)( 1 - √Rp) 2 ] 

con 

Rp=sen(ϕ-δ)sen(ϕ+ε)/[sen(β-δ)sen(β+ε)]; 

Il metodo è applicabile alla maggioranza dei casi pratici, con un’errore 

contenuto entro il 5% rispetto a procedimenti più elaborati, purchè sia 

verificata la condizione δ ≤ ϕ/3. 

3


Calcolo della spinta attiva e passiva del terreno. 

Sulla base della (1), è possibile in prima approssimazione valutare, noto Ka, 

la spinta attiva orizzontale del terreno: 

(6) Ph = Pv Ka. 

Nel caso di un terreno omogeneo, privo di coesione ed in assenza di falda, 

sul quale agisca solo la forza di gravità, la (6) potrà essere riscritta nel 

seguente modo: 

con γ = peso di volume del terreno; 

z = profondità dal piano campagna. 

(7) Ph = γ z Ka; 

Il prodotto γ z corrisponde in pratica al peso della colonna litostatica alla 

profondità z. 

Integrando su tutta l’altezza del diaframma si ottiene: 

(8) Sa = 0.5 H 2 γ Ka; 

con Sa = spinta attiva del terreno. 

La spinta è applicata ad una altezza dal piano di posa del diaframma uguale 

a: 

(9) l = H/3. 

Alla (8) andranno aggiunte altre componenti di spinta, se presenti, dovute 

alla presenza di: 

· terreni multistrato; 

· falda; 

· terreni coesivi; 

· sovraccarichi esterni; 

4


· azioni sismiche; 

· pendii a monte con profilo spezzato; 

Terreni multistrato. 

Si prenda in considerazione, come esempio, un terreno a tre strati con 

litologia e/o parametri geotecnici differenti. Il calcolo della spinta attiva 

dovrà procedere nel seguente modo: 

· si applica la (8) ad ogni strato, sostituendo ad H il valore dello spessore 

dello strato e a γ il peso di volume dello strato e a Ka il valore 

corrispondente al ϕ dello strato; la (9) sarà data da: 

(10) ls = Hs/3 + Σ(da H1 a Hs-1) H; 

quindi nel caso di un terreno a tre strati, il punto d’applicazione della (8) per 

lo strato n.3 (il più superficiale) sarà dato da: 

(11) l3 = H3/3 + H2 + H1. 

· si calcola il contributo come sovraccarico di ogni strato rispetto a quelli 

sottostanti; quindi il contributo totale alla spinta attiva dato dallo strato 

n.1 (il più profondo) sarà: 

Sa1’=0.5 H1 2 Ka3 γ3(contributo dello strato 1) 

Sa1”=(γ2H2+γ3H3)H3 Ka3(contributo strati 2 e 3 come sovraccarico sullo 

strato 1); 


Analogamente per lo strato 2 e 3: 

l1=[(H1/3)Sa1’+(H1/2)Sa1”]/(Sa1’+Sa1”). 


5


Sa2”=(γ3xH3)H2 Ka2(contributo strato 3 come sovraccarico sullo strato 2); 


Sa3”= 0; 

l2={[(H2/3)+H1]Sa2’+[(H2/2)+H1]Sa2”}/(Sa2’+ Sa2”); 

l3={[(H3/3)+H2+H1]Sa1’+[(H1/2)+H2+H1]Sa1”}/ (Sa1’+Sa1”). 

La spinta attiva totale sarà data quindi da: 

Sa=(Sa1’+Sa1”)l1+(Sa2’+Sa2”)l2+(Sa3’+Sa3”)l3/(Sa1’+Sa1”+Sa2’+Sa2” 

+Sa3’+Sa3”). 

Presenza della falda. 

In presenza di falda la relazione (7), per gli strati immersi, si modifica come 

segue: 

(12) Saw=0.5 γ‘ Ka Hw 2 ; 

con γ‘=peso di volume immerso del terreno; 

Hw=altezza della falda rispetto al piano di posa del diaframma. 

con un punto di applicazione della spinta dato da 

(13) law = Hw/3. 

Per gli strati sopra falda nella (8) al posto di H va introdotto H-Hw, cioè 

l’altezza fuori falda del terreno. 

Il punto d’applicazione della spinta per il terreno non immerso è dato da: 

(14) l = Hw + (H-Hw)/3. 

6


Vanno inoltre considerati il contributo alla spinta attiva totale dato dalla 

spinta idraulica: 

con punto di applicazione: 

(15) Sw = 0.5 Hw 2 γw, 

(16) lw = Hw/3, 

e quello costituito dal sovraccarico indotto dalla porzione di terreno non 

immersa su quella immersa: 

(17) Sa’ = (H-Hw)γ Hw Ka, 

con γ = peso di volume del terreno sopra falda, 

e punto d’applicazione dato da: 


(18) la’ = Hw/2. 

La presenza di coesione nel terreno conduce, com’è ovvio, ad una riduzione 

della spinta attiva. 

Ad una profondità z dal piano campagna, supponendo per semplicità un 

terreno omogeneo e privo di falda e sovraccarichi, lo sforzo attivo totale 


con c = coesione del terreno. 

(19) Ph = γ z Ka - 2 c √Ka, 

Il primo termine della (19) (γ z Ka) rappresenta la variazione della spinta 

attiva con la profondità in un terreno privo di coesione ( si veda la relazione 

(7) ); il secondo termine è la componente costante dovuta alla coesione. 

7


Integrando su tutta la lunghezza del diaframma si ha: 


(20) Sa = 0.5 γ H 2 Ka - 2c H √Ka, 

(21) la = H/3. 

In prossimità della superficie del pendio a monte del diaframma (z prossimo 

a zero), il secondo termine della (19) diventa maggiore, in valore assoluto, 

al primo e la spinta attiva assume un valore negativo. Quindi il livello più 

superficiale del terreno a tergo del diaframma viene sottoposto a trazione e 

si fessura. La profondità di questo livello si ottiene ponendo Ph=0 nella (19) 

e risolvendo rispetto a z: 

(22) Zc = 2c / ( γ √Ka). 

Da questa quota, in cui la spinta attiva si annulla, fino al piano campagna il 

terreno è quindi sottoposto a trazione, si fessura e si distacca dal paramento 

interno del diaframma. Ai fini del calcolo della spinta attiva che agisce 

sull’opera il contributo di questo livello superficiale va quindi posto uguale 

a zero. Considerando un diagramma di spinta triangolare si ottiene: 

(23) Sc’ = 0.5(Zc 2 c √Ka.) 

Sostituendo a Zc l’espressione (22) si ha quindi: 

(24) Sc’ = 2c 2 /γ. 

La (24) rappresenta una termine compensativo della spinta attiva negativa 

che si ha nel livello più superficiale, sottoposto a trazione. 

La (20) andrà modificata di conseguenza come segue: 

(25) Sa = 0.5 γ H 2 Ka - 2c H √Ka + Sc’, 

8



(26) la = (H - Zc)/3. 

Inoltre, in assenza di un drenaggio efficiente delle acque superficiali a 

monte del diaframma, le fessure di trazione potrebbero riempirsi d’acqua, 

dando luogo ad un incremento della spinta attiva, valutabile come segue: 

(27) Scw = 0.5 Zc 2 , 

con un punto d’applicazione della spinta uguale a: 


(28) lcw = (H - Zc) + Zc/3. 

Vengono qua presi in considerazione tre tipi possibili di sovraccarichi 

esterni agenti sulla superficie del pendio a monte del diaframma: 

· sovraccarichi uniformemente ripartiti; 

· sovraccarichi concentrati; 

· sovraccarichi nastriformi. 

Sovraccarichi uniformemente ripartiti. 

Si tratta di carichi esterni di notevole estensione areale, che giunge fino al 

paramento interno del diaframma, e di intensità uguale in ogni punto 

dell’area sovraccaricata. 

Ponendo q=modulo del sovraccarico, il contributo dato alla spinta attiva 

totale è: 

(29) Su = q H Ka [sen β / sen (β+ε)], 

9



(30) lu = 0.5 H. 

Non è corretto, come proposto da alcuni Autori, trasformare, in alternativa, 

il sovraccarico uniforme in altezza di terra equivalente, riscrivendo la (8) nel 

seguente modo: 

(31) Sa = 0.5 γ Ka (H + Heq), 

con Heq = q [sen β / sen (β+ε)]/γ, 

poichè la (29) presuppone un diagramma di pressione rettangolare, la (31) 

un diagramma di pressione triangolare. 

Sovraccarichi concentrati. 

Un sovraccarico concentrato è un sovraccarico con un’estensione areale 

molto ridotta. Il problema di valutare il contributo alla spinta attiva totale di 

questo tipo di sovraccarico può essere risolto attraverso la teoria 

dell’elasticità, utilizzando l’ equazione di Boussinesq: 

(32) σr = (Q/2π){(3r 2 z/R 5 )-[(1-2μ)/(R 2 +zR)]}. 

in cui: 

σr = componente radiale della spinta alla quota z sotto il piano campagna 

in un punto di coordinate x,y rispetto al punto di applicazione del 

sovraccarico; 

Q = modulo del sovraccarico; 

r = √(x 2 + y 2 ); 

R = √(r 2 + z 2 ); 

μ = coefficiente di Poisson (che vale mediamente 0.35 nei terreni sciolti). 

Attraverso σr si ricava il valore della spinta orizzontale alla quota z: 

(30) σh = σr(x/r). 

10


Integrando numericamente con un passo fissato in maniera appropriata ( per 

es. 0.1 m), si ottiene il contributo alla spinta attiva totale del sovraccarico 


(31) lsc = ΣPiHi/ΣPi; 

con 

Hi=altezza rispetto al piano di posa del diaframma; 

Pi=pressione indotta dal sovraccarico all’altezza Hi. 

Sovraccarichi nastriformi. 

Si tratta di sovraccarichi di estensione areale significativa, che si sviluppano 

parallelamente alla lunghezza del diaframma, coprendo solo una porzione 

del pendio a monte dell’opera. L’intensità del sovraccarico viene 

considerata uguale in ogni punto dell’area caricata. 

Il problema della stima del contributo alla spinta attiva totale di questo tipo 

di sovraccarico viene ricondotto al caso dei sovraccarichi concentrati. In 

pratica, si suddivide l’area caricata in un numero maggiore di aree 

rettangolari di estensione sufficientemente piccola (nel programma si 

utilizzano superfici di 0.2x0.3 metri) ad ognuna delle quali si attribuisce una 

frazione del sovraccarico, trattato come se fosse di tipo concentrato. 

Calcolati i contributi delle singole aree, la spinta totale verrà data dalla 

somma di questi. 

Analogamente si procede per la determinazione del punto d’applicazione 

della spinta. 


Per la stima del contributo alla spinta attiva totale dovuta alle eventuali 

sollecitazioni sismiche, si fa riferimento a quanto proposto dal Legislatore 

(D.M.19/6/84). 

11


Eseguito il calcolo della spinta attiva totale del terreno in condizioni statiche 

(Sa), si procede al calcolo della spinta in condizioni dinamiche con gli stessi 

criteri adottati in precedenza, ponendo però: 

α ‘ = α + θ; 

ε ‘ = ε + θ; 

con α = 90° - β; 

θ = arctg C. 

In base alla categoria sismica alla quale appartiene il sito, viene definito un 

Coefficiente d’Intensità Sismica C, ricavabile dalla seguente tabella: 

Categoria Sismicità Coef.Sismico C 

Ex I cat. 12 0.10 

Ex II cat. 9 0.07 

Nuova cat. 6 0.04 

Il valore della spinta totale calcolato (Sa’) va quindi moltiplicato per un 


(32) A = cos 2 (α + θ)/( cos 2 α cosθ). 

L’incremento di spinta sismica si ottiene dalla differenza fra la spinta in 

condizioni dinamiche e quella in condizioni statiche: 

(33) ΔS = Sa’ - Sa. 

Il suo punto d’applicazione è uguale a: 

(34) l ΔS = (2/3)H. 

12


Pendii a monte con profilo non orizzontale. 

Nel caso il pendio a monte del diaframma possieda un profilo non 

orizzontale e con andamento irregolare qualsiasi è possibile procedere 

assimilando il pendio ad un piano orizzontale(ε = 0) e trattando il terreno al 

di sopra di questo piano come una serie di sovraccarichi nastriformi di 

larghezza ridotta (per es. 0,1 m). Il modulo del sovraccarico viene calcolato 

con la relazione: 

(35) Q (t/m) = Δl x h x γ; 

dove: 

Δl = larghezza dell’area caricata (per es. 0,1 metri); 

h = altezza media della colonna di terreno; 

γ = peso di volume del terreno. 

Il contributo di questi sovraccarichi alla spinta attiva totale va calcolato 

come già visto per i sovraccarichi nastriformi. 

Per il calcolo della spinta passiva totale valgono le stesse considerazioni e le 

medesime procedure di calcolo viste per quella attiva. In questo caso al 

posto del coefficiente di spinta attiva Ka andrà utilizzato ovviamente quello 

di spinta passiva Kp. Inoltre il fattore 2c H √Kp , legato alla presenza della 

coesione andrà preso con il segno + e quindi sommato alle altre componenti 

di spinta. 

13


Calcolo del carico d’esercizio di un tirante. 

Il carico limite di un tirante può essere calcolato in un terreno incoerente 

con la formula di Schneebeli: 

(36) Tlim (t) = π x D x L x K x Pef ; 

con 

D (m)=diametro di perforazione; 

L (m)=lunghezza dell'ancoraggio; 

Pef (t/mq)=pressione efficace del terreno agente sul punto medio 

dell'ancoraggio; 

K =coefficiente dato da: 

(37) K = tg(45-ϕ ‘/2) x sen ϕ‘ x [ (1 + exp(6.28 x tg ϕ‘) ) /2 ]; 

ϕ ‘=angolo d'attrito del terreno. 

La forza d’esercizio è data invece dalla relazione: 

(38) Tes (t) = Tlim / Fs; 

dove Fes è il coefficiente di sicurezza, generalmente posto uguale a 2,5. 

In un terreno coesivo la (36) può essere riscritta come segue: 

(39) Tlim (t) = π x D x L x cu ; 

dove cu è la coesione non drenata del terreno in t/mq. In questo caso si può 

notare che il carico limite del tirante non dipende dalla profondità di 

ancoraggio del bulbo nel terreno. 

14


Calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti di un diaframma. 

Nel calcolo delle sollecitazioni indotte su un diaframma, si assume 

normalmente che a monte dell’opera agisca la spinta attiva del terreno, 

contrastata a valle dalla spinta passiva generata dallo spostamento del 

diaframma, agente sul tratto interrato dell’opera, e da eventuali tiranti. 

Tralasciando le procedure di calcolo classiche (Blum, Tschebotarioff, ecc...) 

, utilizzabili solo in situazioni semplici, il problema della verifica di un 

diaframma viene qui affrontato, assimilando il diaframma ad una trave 

appoggiata su un terreno a comportamento elasto-plastico. 

z 

x 

F 

Schema di una trave. 

Si assume l’asse x parallelo al lato lungo della trave (vedi figura 35) e si 

indica con F la forza per unità di lunghezza agente sulla trave (trave di 

larghezza unitaria). L’equilibrio lungo l’asse z, perpendicolare all’asse x, 

richiede che siano soddisfatte la relazioni: 

(40) dQ / dx = -F; 

(41) dM / dx = Q; 

dove Q è la forza di taglio e M il momento flettente. Combinando la (40) e 

la (41) si ottiene: 

(42) d 2 M / dx 2 = -F. 

Ipotizzando inoltre che la rotazione dw/dx, con w uguale allo spostamento 

laterale, sia minore di 1, si può scrivere: 

15


(43) EI d 2 w / dx 2 = -M; 

in cui EI è la rigidità della trave data dal prodotto del modulo elastico del 

materiale costituente la trave per il momento d’inerzia della stessa. 

Combinando le equazioni (42) e (43) si ottiene: 

(44) EI d 4 w / dx 4 = F. 

Nel caso di trave appoggiata su terreno, la (42) e la (44) possono essere 

riscritte come segue: 

(45) d 2 M / dx 2 = -F + kw; 

(46) EI d 4 w / dx 4 = F - kw; 

dove il prodotto kw rappresenta la reazione del terreno e k è il coefficiente 

di reazione del terreno. 

L’andamento dei momenti flettenti e del taglio agenti in ogni punto del 

diaframma viene fornito quindi dalla risoluzione analitica o numerica delle 

equazioni differenziali (43) e (45). 

Nel programma si adotta una soluzione numerica basata sul metodo delle 

differenze finite, che comporta l’approssimazione dei quozienti differenziali 

con differenze finite. In pratica il diaframma viene suddiviso in n tratti di 

lunghezza uguale d (d=xi+1 - xi) e ogni sezione viene immaginata sottoposta 

ad un carico uniformemente distribuito q e ad un carico concentrato P nel 

punto xi. 

16


Z 

P i 

qi+1 

Q i Q i+1 

X i X i+ 1 

Schema per il calcolo con le differenze finite. 

La procedura di calcolo viene ripetuta sia per il lato a monte, dove agisce la 

spinta attiva, che per il lato a valle, dove invece agisce la spinta passiva. In 

pratica la reazione del terreno viene scomposta in due parti: una 

proporzionale allo spostamento laterale ed una costante. In funzione 

dell’entità dello spostamento la spinta del terreno aumenta o diminuisce 

all’interno dei due valori limite corrispondenti alla spinta attiva (limite 

inferiore) e alla spinta passiva (limite superiore). Se lo spostamento del 

diaframma è piccolo la reazione del suolo rientra nel campo elastico, nel 

caso però superi un certo valore si entra nel campo plastico. All’interno del 

campo elastico le deformazioni del terreno sono reversibili, togliendo il 

carico cioè si annullano. Nel campo plastico invece le deformazioni 

diventano permanenti. In una serie di cicli di carico e scarico quindi la 

deformazione plastica si accumula e la reazione elastica si attiva per 

spostamenti ogni volta superiori. In un terreno a comportamento elastoplastico 

la reazione del suolo all’interno della sezione i-esima può essere 

rappresentata quindi dalla relazione: 

(47) Ri = ki ( wi - wi) + Di; 

dove 

k = coefficiente di reazione del terreno; 

w = spostamento medio della sezione; 

w = spostamento medio plastico cumulato della sezione; 

X 

17


D = reazione del terreno nel campo plastico. 

Il valore di k viene ricavato dalla formula: 

dove 

(48) k = (sp - sa) / Δv; 

sp = spinta passiva del terreno; 

sa = spinta attiva del terreno; 

Δv = differenza fra lo spostamento del terreno fra lo stato attivo e passivo 

(in inglese stroke); 

Il valore di Δv tende a diminuire con l’aumentare dello stato di 

addensamento o la consistenza del terreno. Qui di seguito vengono riportati 

alcuni valori indicativi. 

Litologia Δv 

Argilla molle 0,04 - 0,05 

Argilla dura 0,01 - 0,02 

Sabbia sciolta 0,05 - 0,15 

Sabbia densa 0,02 - 0,08 

18


Verifica al sifonamento 

In presenza di filtrazione di acqua sul fondo scavo è consigliabile effettuare 

una verifica al sifonamento. Un metodo semplificato che consente di 

quantificare la sicurezza dell’opera relativamente a questo problema è 

quello di Terzaghi. Il procedimento si basa sulla relazione: 

Dγ' 

Fs = 

h γ 

dove: 

D = profondità d’infissione del diaframma; 

γ’ = peso di volume immerso del terreno all’interno del quale è 

infisso il diaframma; 

ha = eccesso di pressione interstiziale alla profondità D, che può 

essere posta, a favore della sicurezza uguale 0.5H, con 

H=profondità dello scavo; 

= peso di volume dell’acqua; 

γa 

L’opera si considera generalmente verificata se il coefficiente di sicurezza è 

superiore a 1. 

a 

a 

19


Dimensionamento di massima di una berlinese 

Viene di seguito descritta una metodologia semplificata per il 

dimensionamento di massima di una berlinese proposta dall’Ing.A. 

Mammino (1994). La procedura di calcolo richiede, oltre alle caratteristiche 

geotecniche del terreno e dei sovraccarichi eventualmente presenti a monte, 

alcuni input riguardanti la geometria dell’opera. In particolare vengono 

richiesti i seguenti dati: 

• l’interasse dei micropali (im); 

• la distanza dal piano campagna della prima fila di tiranti (i0); 

• l’interasse orizzontale della prima fila di tiranti (ds); 

• l’interasse orizzontale della fila di tiranti più profonda (di); 

• il carico d’esercizio dei tiranti della prima e dell’ultima fila (T1 e Tn). 

Alcuni di questi parametri sono stimabili direttamente, altri invece 

richiedono una procedura a tentativi fino all’ottenimento della 

configurazione ottimale dell’opera. 

INTERASSE DEI MICROPALI. 

Generalmente nelle berlinesi i micropali vengono messi in opera con un 

interasse superiore al loro diametro, lasciando cioè uno spazio vuoto fra palo 

e palo. L’effetto arco che si genera impedisce infatti al terreno di rifluire 

attraverso le fenditure. La quantificazione di questo fenomeno, e di 

conseguenza la stima dell’interasse massimo fra palo e palo in funzione 

delle caratteristiche geotecniche del terreno, non è però semplice. 

Utilizzando alcune semplificazioni è comunque possibile avere almeno un’ 

indicazione di massima dell’entità del fenomeno. 

Dato uno scavo di larghezza L, la stima della spinta delle terre che agisce 

lungo la parete dello scavo ad una quota z dal piano campagna, ridotta per 

l’effetto arco, può essere ottenuta attraverso la formula proposta da 

Schneebeli: 

(49) σz = γ L Ka [1 - e -sen(2ϕ) (z/L) ] / sen(2ϕ); 

20


dove: 

Ka = coefficiente di spinta attiva; 

γ = peso di volume del terreno; 

ϕ = angolo d’attrito del terreno; 

z = quota di calcolo della spinta. 

con L→∞ il valore di σz tende a quello calcolabile con la classica relazione: 

(50) σz = γ z Ka; 

valida per fronti di scavo larghi, in assenza dell’ effetto arco. 

Nel caso di una berlinese con z uguale ad alcuni metri e L generalmente 

inferiore a 1 metro, il termine [1 - e -sen(2ϕ) (z/L) ] tende ad essere molto 

prossimo all’unità e quindi può essere trascurato. La (49) allora si riduce 

alla: 

(51) σz = γ L Ka / sen(2ϕ). 

In assenza di sostegno la spinta σz espressa nella (51) può essere contrastata 

solo dalla coesione del terreno. Ad una generica quota z dal piano campagna 

l’azione di contenimento della coesione viene espressa dalla formula: 

(52) σz = 2 c √ Ka; 

dove c è la coesione del terreno. Eguagliando la (51) e la (52) si può 

ottenere quindi una stima della distanza massima fra i pali per evitare 

fenomeni di scavernamento: 

(53) L = 2 c sen(2ϕ) / γ √Ka. 

A titolo d’esempio si fornisce una tabella con i valori di L in funzione di c 

per un terreno con ϕ=30° e γ=1.8 t/mc. Il coefficiente di spinta attiva Ka, 

calcolato con la relazione di Rankine (formula (2)), ha un valore uguale a 

0.333. 

21


c (t/mq) L (m) 

0.1 0.17 

0.2 0.33 

0.3 0.50 

0.4 0.67 

0.5 0.83 

0.6 1.00 

0.7 1.17 

0.8 1.33 

0.9 1.50 

1.0 1.67 

DISTANZA DAL P.C. DELLA PRIMA FILA DI TIRANTI. 

La distanza i0 massima dal piano campagna della prima fila di tiranti può 

essere determinata risolvendo l’equazione: 

dove: 

a = (pb -pt) / 3s1; 

b = pt; 

d = π (de 4 - di 4 ) σa / 16 im de; 

in cui: 

(54) a i0 3 + b i0 2 +d = 0; 

pb = spinta della terra alla base del primo strato; 

pt = spinta della terra al tetto del primo strato; 

s1 = spessore del primo strato; 

de = diametro esterno dei micropali; 

di = diametro interno dei micropali; 

im = interasse dei micropali; 

σa = trazione ammissibile dell’acciaio. 

INTERASSE ORIZZONTALE DELLA PRIMA E DELL’ULTIMA FILA 

DI TIRANTI. 

22


Gli interassi orizzontali della prima e dell’ultima fila di tiranti non posso 

essere stimati direttamente. Occorre operare a tentativi, introducendo dei 

valori iniziali, che potranno poi essere corretti fino ad ottenere una 

disposizione ottimale. Per ragioni esecutive l’interasse dei tiranti viene 

posto uguale ad un multiplo dell’interasse dei micropali. Come indicazione 

di massima, per la fila superiore si può porre inizialmente un valore 

dell’interasse uguale 7-9 volte im e per la fila inferiore un valore di 4-5 volte 

im, dove im è l’interasse dei micropali. 

CARICO D’ESERCIZIO DEI TIRANTI DELLA PRIMA E 

DELL’ULTIMA FILA. 

Ipotizzando che la prima fila di tiranti sia posta alla quota i0 e l’ultima a 

fondo scavo, utilizzando la formula (36) o (39) si calcolano i rispettivi valori 

dei carichi d’esercizio dei tiranti (T1 e Tn). Si passa quindi alla stima dei 

parametri R0 e N0, che verranno utilizzati più avanti nella procedura di 

calcolo: 

dove: 

T1 

Tn 

h1 

hn 

(55) R0 = (Tn - T1) / (hn - h1); 

(56) N0 = T1 - R0 h1. 

= carico d’esercizio dei tiranti della prima fila; 

= carico d’esercizio dei tiranti a fondo scavo; 

= quota della prima fila di tiranti = i0; 

= quota dell’ultima fila di tiranti = altezza dello scavo. 

Valutati i parametri di input, si passa al calcolo vero e proprio. 

Si definiscono i parametri Wa, Wb e Wc come segue: 

Wa = 0.5 K0 γ; 

Wb = (ds - di) / 2H; 

Wc = K0 q; 

dove: 

= coefficiente di spinta a riposo del terreno; 

K0 

23



ds = interasse della prima fila di tiranti; 

di = interasse dell’ultima fila di tiranti; 

q = eventuale carico uniforme. 

Si calcola quindi il parametro h1 con la relazione: 

(57) h1 = [ 1 /(2 Wa ds) ] [√ ( Wc 2 ds 2 + 4 N0 Wa ds) - Wcds]; 

Il valore di h1 ricavato va quindi utilizzato per ottenere i coefficienti W0, 

W1, W2 e W3. 

W0 = N0 + (R0/2)h1 + Wa ds h1 2 - Wa Wb h1 3 + Wc ds h1 - Wc Wa h1 2 ; 

W1 = (R0/2) - Wcds - Wa Wb h1 2 ; 

W2 = Wads +Wc Wb + Wa Wb h1; 

W3 = Wa Wb. 

Si calcola quindi la grandezza h2, risolvendo l’equazione: 

(58) W3h2 3 + W2h2 2 + W1h2 +W0 = 0. 

Si ricalcolano quindi i fattori W0, W1, W2 e W3, introducendo h2 al posto di 

h1 e risolvendo nuovamente la (58) per ottenere h3. 

La procedura va ripetuta n volte, finchè non si ottiene hn+1 > H, con H 

uguale alla profondità di scavo della berlinese. La grandezza n indica il 

numero di file di tiranti necessarie per la stabilità dell’opera. 

L’interasse verticale della i-esima fila di tiranti si ottiene quindi attraverso la 

seguente relazione: 

(59) ii = 2 ( hi - ∑k=0→i-1ik); 

La profondità dal piano campagna delle singole file di tiranti si ottiene 

semplicemente dalla: 

(60) Zi = ∑k=0→i-1ik; 

24


L’interasse orizzontale dei tiranti nella i-esima fila di tiranti si ricava invece 

dalla formula: 

(61) di = d1 + [(dn- d1) / (Zn - Z1)] (Zi - Z1); 

Infine il carico d’esercizio dei tiranti della fila i-esima si ottiene con la: 

(62) Ti = R0 Zi + N0. 

Nel caso la configurazione ottenuta non risulti soddisfacente, si può ripetere 

il calcolo, variando per esempio l’interasse della prima e dell’ultima fila di 

tiranti oppure modificando la geometria dei tiranti stessi (lunghezza, 

inclinazione, ecc...). 

25


STABILITA’ DI VERSANTI IN TERRA 

Definizione del problema. 

Le procedure di analisi di stabilta' di un pendio in terra, attraverso la 

valutazione dell'equilibrio limite, consistono nella stima di un coefficiente di 

sicurezza alla traslazione e/o alla rotazione del volume di terra compreso fra 

la superficie del versante ed una superficie di taglio potenziale imposta. 


momenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazione della 

stabilita' globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dalla statica. 

Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolato attraverso il 

rapporto fra la resistenza di taglio massima disponibile lungo la superficie 

di rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungo tale piano: 

con 

Fsic= coefficiente di sicurezza; 

Tmax= resistenza di taglio massima; 

Tmob= sforzo tangenziale mobilitato. 

(1) Fsic = Tmax / Tmob; 

All'equilibrio(Tmax=Tmob) Fsic deve essere ovviamente uguale a 1. 

Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando Fsic risulta 

maggiore di 1 (Tmax>Tmob), instabile in caso contrario (Tmax


degli sforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura puo' 

innescare il fenomeno franoso. 

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova in condizioni 

di stabilita' globale. 


Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi di 

stabilita' di un pendio in terra occorre ipotizzare che siano verificate le 

seguenti condizioni: 

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versante di 

larghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurando l’interazione laterale 

fra tale striscia ed il terreno contiguo; 

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deve essere 

esprimibile attraverso la legge di Coulomb: 

(2) Tmax = c + γ h tg ϕ; 

con 

Tmax = resistenza di taglio massima del terreno; 





c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio i parametri 

geotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deve essere la stessa: in 

caso contrario la resistenza al taglio mobilitata dovrebbe essere espressa 

nel seguente modo: 

(3) Tmob = (c/Fsicc) + (γ h tg ϕ/Fsicp); 

con 

Fsiic =coefficiente di sicurezza legato a c; 

Fsicp =coefficiente di sicurezza legato a ###; 

76


introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno, con 

ovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema; 


mobilitati (Tmob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questo significa 

che in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento i parametri 

dell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lo stesso valore. 


superficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle procedure di 

calcolo note in letteratura, suddivisa in piu' settori (conci), all'interno dei 

quali si considera realizzata la condizione di omogeneita' di Tmob. Nella 

pratica i limiti dei conci vengono fatti cadere dove vi sia una variazione 

significativa di γ, c e ϕ del terreno o in corrispondenza di variazioni 

significative nel profilo topografico del versante. 

Questo modo d'impostare il problema conduce pero' all'introduzione nella 

risoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modo in cui 

interagiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci. 

In definitiva nel calcolo del valore di Fsic intervengono le seguenti 






d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione dei conci ( n- 

1 incognite); 

e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci (n-1 

incognite); 

f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci, delle 

forze d) ed e) (n-1 incognite); 

g) il coefficiente di sicurezza Fsic (1 incognita). 





77


(4) T = (c l + N tg ϕ)/Fsic; 

con 


che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed Fsic. 

c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e T cada a 

meta' della base del concio. 

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzione analitica 

del problema. 

Perche' si possa arrivare alla determinazione di Fsic occorrerebbero 


In realta' perche' il problema sia staticamente determinato, e quindi 

risolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numero delle 

incognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n). 

Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendo nell'analisi 

ulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardano generalmente la 

distribuzione delle forze lungo le superfici di separazione dei conci. Le 

varie procedure di risoluzione del problema differiscono essenzialmente 

per la schematizzazione che viene fatta di questa distribuzione. 

78


Risoluzione con i metodi dell'equilibrio limite 

Metodo di Fellenius. 

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agenti sulle 

superfici di separazione dei conci siano orientate parallelamente alla base 

dei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato che la superficie potenziale di 

scivolamento sia circolare. 

Posto: 

(5) Ni=Wconcio(i) cos αi; 

con 

Wconcio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo; 

αi=inclinazione della base del concio i-esimo; 

Ni=componente normale alla base del concio di Wconcio(i). 



(6) ΣR sen αi Wconcio(i)=ΣR Ti; 

in cui il prodotto R sen αi rappresenta il braccio di Wconcio(i). 

Sostituendo nella (6) a Ti la sua espressione, data dalla (4), si ottiene infine: 

(7)Fsic = Σ(Ci Lconcio(i)+Ni tg ϕi) / Σsen αi Wconcio(i); 

con 

Ci=coesione agente lungo la base del concio i; 

Lconcio(i)=lunghezza della base del concio i; 

ϕi=angolo d’attrito agente lungo la base del concio i; 

Introducendo nella (7) il contributo dovuto alla presenza di falda idrica si 

ottiene: 

(8) Fsic = ΣCi Lconcio(i) + (Ni-hfalda(i) Lconcio(i))tg ϕi] / ΣWconcio(i) 

sen αi ; 

79


in cui: 

hfalda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i; 

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di Fsic rispetto a 

metodi più rigorosi, soprattutto in terreni coesivi e/o sovraconsolidati. 

L’errore è comunque a favore della sicurezza. 

Metodo di risoluzione di Bishop (semplificato). 

Con il metodo di Bishop semplificato si pone la condizione che le forze 

verticali agenti sulle superfici di separazione dei conci siano trascurabili. Di 

conseguenzai singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forze 

orientate lungo l'orizzontale. 

Viene inoltre supposto che la superficie potenziale di scivolamento sia 

circolare. 

La resistenza al taglio massima disponibile lungo la superficie potenziale 

di rottura e' data, per ogni concio da: 

(9) T i max = X i / (1 + Y i / F s ); 

con X i = ( c + (g x h - g w x h w ) x tg ϕ) x dx / cos α 

con g w = peso di volume dell'acqua; 

h w = altezza dell'acqua sulla base del concio; 

dx = lunghezza del concio lungo l'orizzontale; 

α = inclinazione del concio sull'orizzontale. 

Y i = tg α x tg ϕ 

La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio e' per ogni 

concio data da: 

con Z i = g x h x dx x sen α 

(10) T i mob = Z i 

Il coefficiente di sicurezza del pendio viene, sulla base della (1), espresso 

come segue: 

80


(11) F s = ∑(i=1-n) T i max / ∑(i=1-n)T i mob 

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che e' la grandezza da 

determinare, viene a comparire anche al numeratore della (11) attraverso 

l'espressione della T max (equazione (9)). Di conseguenza non sara' 

possibile la risoluzione diretta della (11). 

La procedura da adottare in questo caso dovra' essere di tipo iterativo, fino 

all'ottenimento della convergenza su un valore praticamente costante di Fs. 

Questi sono i passi da seguire: 

1. si introduce un valore iniziale di Fs (per es. 1) e si risolve la (11); 

2. il nuovo valore di Fs (Fs') ottenuto viene confrontato col valore di 

partenza; 

3. se la differenza supera un limite prefissato ( es. Fs'-Fs>0.001), si 

ritorna al passo a), inserendo nella (11), al posto del valore di 

partenza di Fs, il nuovo valore calcolato; 

4. se la differenza rimane contenuta nel limite indicato, l'elaborazione va 

interrotta: il coefficiente di sicurezza cercato e' Fs'. 

Generalmente il procedimento richiede dalle quattro alle otto iterazioni per 

convergere. 

Il metodo di Bishop richiede che siano, per tutti i conci, rispettate le due 


• s' = (g x h - g w x h w - c x tg α / Fs)/(1+Y / Fs) > 0 

con s' = pressione normale agente sulla base del concio; 

• cos α x (1 + Y/Fs) > 0.2. 

In caso contrario il metodo puo' condurre a valori del coefficiente di 

sicurezza non realistici. 

Il metodo va applicato preferibilmente su versanti costituiti da terreni 

omogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche geotecniche, o, 

al limite, su terreni in cui la stratificazione non porti a contatto litologie a 

81


comportamento meccanico significativamente diverso (per esempio sabbia 

su argilla); se ne sconsiglia l'uso anche 

in presenza di terreni fortemente sovraconsolidati. 

Confrontando il metodo di Bishop semplificato con la sua versione 

completa, si ottengono differenze massime nei valori dei coefficienti di 

sicurezza non superiori all'uno percento. Rispetto ad altri metodi piu' 

rigorosi, come il Morgenstern-Price, lo scarto non supera il 5%, tranne nel 

caso, di scarso interesse pratico, in cui sia Fs



come segue: 

(14)Fs = ∑(i=1-n)T i max / ∑(i=1-n)T i mob 

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che e' la grandezza da 


l'espressione della T max (equazione (12)). Di conseguenza non sara' 


La procedura da adottare in questo caso dovra' essere di tipo iterativo,come 

nel caso del metodo di Bishop, fino all'ottenimento della convergenza su un 

valore praticamente costante di Fs. 




partenza; 


ritorna al passo a), inserendo nella (7), al posto del valore di partenza 

di Fs, il nuovo valore calcolato; 


interrotta: il coefficiente di sicurezza cercato e' Fs'. 


convergere. 


eterogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche geotecniche, o 

fortemente sovraconsolidati. In questi casi infatti la superficie potenziale di 

rottura avra' probabilmente forma irregolare, lontana dalla circolarita'. 

Il metodo di Janbu puo' condurre, rispetto ad altri metodi piu' rigorosi, come 

il Morgenstern-Price, a scarti non trascurabili, soprattutto in presenza di 

superfici potenziali di rottura profonde o in presenza di forte coesione. E' 

quindi consigliabile l'introduzione di un fattore correttivo che minimizzi tale 

scarto. 

Janbu suggerisce per tale coefficiente la seguente forma: 

83


(15) f = 1 + K x [ d/l - 1.4 x (d/l) 2 ]; 

con 

l = lunghezza del segmento retto congiungente il piede del versante con 

la sua estremita' superiore; 

d = scarto massimo fra la congiungente il piede del versante e l' estremità 

superiore e la superficie potenziale di scivolamento, misurato lungo la 

perpendicolare del primo; 

K = costante uguale a 0.31 in terreni privi di coesione (c=0) e a 0.5 per 

terreni coesivi (c>0). 

Il coefficiente di sicurezza corretto e' dato quindi da: 

(16) Fs' = f x Fs 

con Fs = coefficiente di sicurezza non corretto. 

Metodo di risoluzione di Spencer 

Nel metodo di Spencer si pone la condizione che le forze d'interazione 

lungo le superfici di divisione dei singoli conci siano orientate 

parallelamente fra loro ed applicate nel punto medio della base del concio. 

Si tratta, nella sua espressione analitica, di un' estensione del metodo di 

Bishop semplificato, ed è quindi valido per superfici di scivolamento subcircolari. 

La forza d'interazione fra i conci applicata nel punto medio della base del 

concio i-esimo è data da: 

(17) Q i = [(c x l /Fs) x (W cos α - h x g w x l x sec α) x tg ϕ / Fs - W sen α] / 

(cos (α-θ) x m a 

con m a =1+ [tg ϕ x tg(α-θ)] / Fs 

θ = angolo d'inclinazione della forza Q i rispetto all'orizzontale. 

Imponendo l'equilibrio dei momenti rispetto al centro dell'arco descritto 

dalla superficie di scivolamento si ha: 

(18) ∑ Q i x R x cos(α-θ)=0; 

84


con R= raggio dell'arco di cerchio. 

Imponendo l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali si ha 

rispettivamente: 

(19) ∑ Q i cos θ=0; 

(20)∑ Q i sen θ=0. 

Con l'assunzione delle forze Q i parallele fra loro, si può anche scrivere: 

(21) ∑ Q i =0. 

Il metodo propone di calcolare due coefficienti di sicurezza: il primo (Fsm) 

ottenibile dalla (18), legato all'equilibrio dei momenti; il secondo (Fsf) dalla 

(21), legato all'equilibrio delle forze. In pratica si procede risolvendo le (18) 

e le (21) per un dato intervallo di valori dell'angolo teta, considerando come 

valore unico del coefficiente di sicurezza quello per cui si abbia Fsm=FsF. 

Il metodo è valido per superfici di scivolamento circolari e quindi presenta 

le stesse limitazioni di applicabilità del metodo di Bishop semplificato. 

Applicazione della rottura progressiva a superfici di scivolamento in 

terreni sovraconsolidati. 

In terreni sovraconsolidati, con comportamento meccanico assimilabile a 

quello di una roccia, il collasso di un versante o di un fronte di scavo 

avviene per il fenomeno della rottura progressiva; alla rottura delle parti più 

sollecitate, le cui caratteristiche di resistenza precipitano verso termini 

residui, segue infatti la ridistribuzione delle tensioni in eccesso con 

conseguente crisi di porzioni sempre maggiori che conducono al collasso 

globale. 

Di tale effetto, difficilmente implementabile in un codice di calcolo 

automatico basato sull’equilibrio limite, se ne può tenere in conto attraverso 

due approcci: 

a) con l’attribuzione dei parametri residui ai conci con coefficiente di 

sicurezza FS(n) < 1 

b) considerando la cessione degli esuberi di forze agenti sulla base di 

conci con FS(n) < 1 ai conci limitrofi. 

85


La prima procedure appare più semplice e percorribile. 

Secondo questa metodologia e considerando il metodo di Bishop 

semplificato si può procedere attraverso le seguenti fasi: 

1) si determina il valore di FS globale 

2) si stimano i valori di FS(n) relativi ai singoli conci 

3) s’individuano i conci a rottura per scivolamento (dove cioè FS(n)


Piu' problematico e' il caso di un versante costituito in prevalenza da 

terreni coesivi argille e limi plastici). 

Le verifiche di stabilita' vanno sempre, tranne che in casi particolari, 

condotte considerando le condizioni a lungo termine, che sono le piu' 

sfavorevoli alla sicurezza. Vanno quindi utilizzati i parametri geotecnici 

angolo di resistenza al taglio e coesione drenati. 

Nel caso di pendii costituiti da terreni coesivi normalmente consolidati, in 

frane di neoformazione, va utilizzato l'angolo d'attrito di picco ( la coesione 

drenata in questo caso e' nulla). 

Per versanti in argilla o limo sovraconsolidati e non fessurati, sempre per 

frane di neoformazione, vanno impiegati l'angolo di resistenza al taglio di 

picco e la coesione drenata. In presenza di fessure diffuse va ipotizzato un 

annullamento a lungo termine della coesione, che va quindi trascurata. 

Per verifiche di stabilita' su versanti gia' mobilizzati da eventi franosi passati 

puo' essere impiegato per il calcolo solo l'angolo di resistenza al taglio 

residuo, ponendo uguale a zero la coesione. 

Nel caso di analisi di stabilita' a breve termine (per esempio per scavi 

provvisori) puo' essere utilizzata la coesione non drenata, ignorando l'angolo 

di resistenza al taglio. 

Calcolo dell'influenza di carichi esterni e di opere di sostegno sulla 

stabilità del versante. 


Con Sn indichiamo la componente normale al piano potenziale di taglio 

della somma delle forze applicate sulla superficie della base del concio da 

sovraccarichi esterni (Si). La sua espressione è la seguente: 

(23) S n = S i x (sen β x cos α + cos β x sin α); 

con 

α=inclinazione della base del concio. 

β=inclinazione dei sovraccarichi rispetto all'orizzontale, crescente in senso 

antiorario. 

87


La grandezza S n va sommata, nell'equazioni dei metodi di calcolo visti in 

precedenza, alla componente della forza normale N dovuta al peso del 

concio i (vedi eq.4) 

Con St indichiamo la componente tangenziale al piano potenziale di taglio 

della somma delle forze applicate sulla superficie del concio da 


(24) S t = S i x (cos β x cos α - sen β x sen α); 

La grandezza St va sommata alla componente della forza tangenziale T 

dovuta al peso del concio (vedi eq.4). 

L'effetto di un sovraccarico sul pendio e' quindi duplice: si ha una 

variazione positiva o negativa (a seconda dell'inclinazione del sovraccarico 

rispetto alla superficie potenziale di rottura ) sia delle forze normali sia di 

quelle tangenziali, con conseguente modifica dei valori della resistenza al 

taglio massima e di quella mobilitata. 


L’analisi dell’influenza delle sollecitazioni sismiche sulla stabilità globale di 

un versante può essere condotta attraverso due approcci differenti: 

1. si può introdurre la semplificazione che il sisma agisca come un sistema 

di forze sul pendio di intensità e verso costante per tutta la durata 

dell’evento sismico (metodo pseudostatico); 

2. si può introdurre nel calcolo un sistema di forze che tenga conto delle 

variazioni di verso ed intensità della sollecitazione sismica durante l’evento 

(metodo dinamico). 

La seconda procedura (metodo dinamico), pur conducendo a valutazioni più 

realistiche, richiede la conoscenza o la simulazione di un accelerogramma di 

riferimento, che fornisca per ogni istante dell’evento sismico l’andamento 

delle accelerazioni subite dal pendio. Questi dati non sono però di facile 

acquisizione, fatto che limita in pratica l’utilizzo di questo approccio. 

Il programma utilizza il metodo pseudostatico, metodo meno preciso di 

quello dinamico (fornisce in genere stime a favore della sicurezza della 

stabilità globale), ma che presenta il vantaggio di essere di facile 

88


applicazione. Gli unici dati richiesti in questo caso sono la accelerazione 

massima orizzontale e, eventualmente, verticale subita dal versante durante 

il sisma. 

Il valore Ago (accelerazione massima orizzontale), in mancanza di 

valutazioni migliori può essere scelto fra quelli proposti dalle Norme 

tecniche per le costruzioni in zona sismica del GNDT: 

• Ago = 0.15 in zone con grado di sismicità uguale a 6; 

• Ago = 0.25 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria); 

• Ago = 0.35 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria); 

oppure fra quelli indicati dalla Normativa vigente: 

• Ago = 0.04 in zone con grado di sismicità uguale a 6; 

• Ago = 0.07 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria); 

• Ago = 0.10 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria); 

Per il parametro Agv (accelerazione massima verticale) una stima può 

essere fatta applicando la relazione proposta da Tezcan et alii (1971): 

Agv = f x Ago; 

con f = fattore di trasformazione variabile da 0.5 a 0.67. 

Si tenga presente comunque che la Normativa vigente propone, in 

condizioni normali, di trascurare Agv. 

Il programma applica il metodo pseudostatico alla stabilità attraverso due 

procedure differenti: il criterio delle forze orizzontali e quello di Binnie. 

Criterio delle forze orizzontali 

Una valutazione dell’effetto di un sisma sulla stabilità di un versante può 

essere fatta, supponendo che, durante l’intervallo di tempo in cui si ha la 

manifestazione dell’evento sismico, su ogni singolo concio venga applicata 

una forza orizzontale, diretta verso l’esterno, di modulo uguale a: 

(25)Fsisma = Ago x Pc 

89


con Ago = accelerazione sismica orizzontale max; 

Pc = peso del concio. 

Se con Ssisma indichiamo la sollecitazione sismica applicata al concio iesimo: 

(26)Ssisma = Ago x Vc x y 

con Vc = volume del concio; 

y = peso di volume medio del terreno costituente il concio;: 

le componenti normali e tangenziali di questa forza saranno date 

rispettivamente da: 

(27a)Sn = -Ssisma sen(alfa) 

(27b)St = Ssisma cos(alfa) 

con alfa = inclinazione della base del concio rispetto all’orizzontale. 

La sollecitazione sismica conduce quindi da una parte alla diminuzione delle 

forze normali applicate sulla base del concio, dall’altra porta ad un aumento 

delle forze tangenziali sulla base stessa. L’effetto complessivo è quello 

quindi di abbassare il valore del coefficiente di sicurezza. Questo criterio 

non è applicabile a pendii con superfici di scivolamento potenziali molto 

profonde, poiché in questo caso si avrebbe una sovrastima eccessiva delle 

forze agenti, con un conseguente abbassamento sproporzionato del 

coefficiente di sicurezza. 

Criterio di Binnie. 

Secondo questo criterio l’azione delle forze sismiche può essere simulata, 

effettuando la verifica sul pendio ruotato di un angolo dato dalla relazione: 

J = arctg[Ago/(1+Agv)] 

In pratica viene aumentata l’inclinazione media del versante, con 

conseguente abbassamento del coefficiente di sicurezza. 

Nel metodo si propone inoltre di moltiplicare il peso dei singoli conci per un 


90


fc = √[(1+Agv) 2 +Ago 2 ]. 

Il criterio può essere applicato a pendii con superficie potenziale di 

scivolamento qualsiasi, ma può condurre ad errori, soprattutto per valori 

elevati di Ago e Agv, nel caso sia presente la falda. 

Criterio di Singh e Anbalagan. 

Basandosi sull’analisi, effettuata con programmi di calcolo, di centinaia di 

pendii in condizioni differenti, gli Autori hanno ricavato una semplice 

correlazione fra il coefficiente di sicurezza in condizioni dinamiche e quello 

in condizioni statiche: 

Fsdin=Fsstat/(1+3.3 Ago) 

La relazione, pur essendo di tipo empirico, ha dimostrato di fornire risultati ragionevoli 

nelle varie condizioni. Va comunque confrontato con quello ricavabile da metodi analitici, 

come quello di Binnie. 

Tiranti. 

La tirantatura di un versante potenzialmente instabile cerca di conseguire il 

duplice obiettivo di introdurre forze tangenziali (St) che si oppongano a 

quelli instabilizzanti dovuti alla forza di gravità (diminuzione di T nell'eq.4) 

e di aumentare lei forze normali (Sn) agenti sulla base del concio 

(incremento di N nell'eq.4). 



con 

alfa=inclinazione della base del concio i-esimo; 

b=180°-i, con i=inclinazione del tirante rispetto all'orizzontale contato in 

senso orario; 

Si=carico d'esercizio del tirante. 

Nel posizionare e dimensionare i tiranti va tenuto presente che: 

91


• il bulbo d'ancoraggio deve trovarsi ad una profondità superiore a quella 

della superficie potenziale di scivolamento, per poter esercitare la sua 

azione stabilizzante; 

• l'inclinazione ottimale del tirante può essere valuta con la relazione : 

(30) iottimale = tan phi/Fs 

con 

phi=angolo di resistenza al taglio del terreno; 

Fs=coefficiente di sicurezza da raggiungere con l'intervento. 

Reticolo di micropali. 

La stabilizzazione di un versante può essere ottenuta anche attraverso la 

messa in opera di un reticolo di pali di piccolo diametro (micropali). 

L'effetto che si cerca di ottenere in questo caso è di incrementare la 

resistenza al taglio mobilitabile lungo la superficie di scivolamento, 

creando un complesso pali-terreno che si comporti come un insieme 

omogeno, rispetto ale sollecitazioni a cui è sottoposto il pendio. Questa 

azione di armatura del pendio può essere introdotta nel calcolo, supponendo 

un incremento virtuale della resistenza meccanica del terreno costituente il 

versante. 

Supponendo, a favore della sicurezza, che l'angolo di resistenza al taglio del 

terreno rimanga invariato, si può esprimere il miglioramento delle 

caratteristiche meccaniche del pendio incrementando il parametro coesione. 

La procedura è descritta di seguito. 

• Si calcola l'area resistente equivalente del micropalo singolo attraverso 

la relazione: 

(31) Ae = Acls + Co x Aacciaio; 

con 

Acls=area trasversale del micropalo; 

Aacciaio=area dell'armatura d'acciaio. 

Co=coef. di omogeneizzazione. 

• Si valuta l'incremento della superficie potenziale di scivolamento con la 

formula: 

(32) DS=Co x Nm x Ae; 

92


in cui 

Co=Coefficiente di omogenizzazione palo-terreno dato da: 

(33) Co=Ep/Et; 

dove: 

Ep=modulo di elasticità del calcestruzzo; 

Et=modulo di deformazione media del terreno; 

Nm=numero di file di micropali per metro verticale. 

• Si determina l'incremento della coesione lungo la superficie potenziale 

di scivolamento con la relazione: 

(34) Dc = (ci + Smi x tan phii) x DS / ∑ li 

dove: 

ci=coesione media del concio i-esimo; 

phii=angolo di resistenza al taglio media nel concio i-esimo; 

Smi=pressione efficace media agente sulla base del concio i-esimo 

∑li=sommatoria delle lunghezze delle basi dei singoli conci. 

• Si stima infine coesione virtuale per ogni concio, da usare nella verifica 

di stabilità, con la relazione: 

(35) Cv = Ci + DC. 

Come nel caso dei tiranti è evidente che il reticolo di micropali per svolgere 

un'azione stabilizzante deve andare ad appoggiarsi ad una profondità 

superiore a quella della superficie potenziale di scivolamento. 

Muri e gabbionate. 

Opere di stabilizzazione superficiali, come muri e gabbionate, vanno 

considerati , nella verifica di stabilità del pendio, sia per il loro effetto come 

sovraccarichi verticali sia per l'azione di contenimento che esercitano sul 

terreno a monte . I due effetti vanno calcolati come segue: 

93


• il sovraccarico verticale è dato dalla somma del peso dell'opera, muro o 

gabbionata, e della componente verticale della spinta delle terre a tergo 

dell'opera stessa; 

• l'azione di contenimento va posta uguale alla componente orizzontale 

della spinta delle terre. 

Va tenuto presente che quest'ultima spinta entra in azione solo per superfici 

potenziali di scivolamento che vadano ad intersecare la base dell'opera: per 

superfici più profonde il muro o la gabbionata agiscono solo come 

sovraccarichi, senza espletare funzione di contenimento. 

Nel calcolo della stabilità del pendio, l'effetto delle due spinte è quello di 

modificare le forze tangenziali (St) e normali (Sn) agenti sulla base del 

concio. Numericamente questo può essere espresso dalle relazioni (23) e 

(24), modificate come segue: 

• nel caso l'opera agisca come sovraccarico verticale (b=90°): 

(36) Sn = Sv x cos(alfa) ; 

(37) St = Sv x sin(alfa); 

con 

Sv=modulo del sovraccarico verticale; 

alfa=inclinazione della base del concio. 

• nel caso invece l'opera svolga azione di contenimento (b=0°): 

(38) Sn = So x sin(alfa); 

(39) St = So x cos(alfa); 

con 

So=modulo della spinta orizzontale delle terre. 

Palificate. 

Palificate con pali di grosso diametro che resistano a forze orizzontali 

possono essere impiegati nella stabilizzazione di pendii. L'azione di 

contenimento della palificata può essere calcolata considerando prima 

l'effetto del palo singolo e quindi del gruppo di pali. 

94


Pali singoli. 

Verrà presa in considerazione la teoria di Broms(1964) applicata a pali 

rigidi a testa incastrata, distinguendo fra pali fondati in terreni coesivi e pali 

fondati in terreni incoerenti. 



(40)Rlat=9 Cu Dpalo (Lpalo - 1.5 Dpalo); 

con 




La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioè 

costante con la profondità: 

(41)Rz=9 Cu Dpalo. 

95




con 

γ = peso di volume del terreno ; 

Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ). 

(42) Rlat=1.5 γ Lpalo 2 Dpalo Kp; 



Portanza della palificata. 

(43) Rz=3 γ Lpalo Dpalo Kp. 

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppi 

di pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito il concetto di 

efficienza del gruppo. 

Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali il 

rapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e la somma delle 

portanze laterali dei singoli pali . In pali fondati in terreni incoerenti 

l’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivi 

generalmente è inferiore. 

Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo di 

pali il minore fra questi due valori: 


2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla 

larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolare alla 

direzione di carico) e di spessore corrispondente alla lunghezza dei pali, 

cioé: 

96


Terreni coesivi: 

(44)Rpalificata=9 Cu Lpalo(Lpalificata-Cr); 

con 



Terreni incoerenti: 

(45) Rpalificata=1.5 γ Lpalo 2 Lpalificata Kp. 

Azione di stabilizzazione della palificata. 

L'azione di contenimento della palificata interviene nel calcolo della stabiltà 

del pendio, modificando le forze normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla 

base del concio. 

Le relazioni utilizzate sono quelle già viste in precedenza: 

(46) Sn = R palificata x sin a ; 

(47) St = -R palificata x cos a; 

con 

R palificata = portanza laterale della palificata; 

a = inclinazione della base del concio. 

Geotessili. 

La resistenza meccanica del terreno può essere migliorata con l'introduzione 

di rinforzi in geotessili. Il singolo rinforzo, intercettando la superficie 

potenziale di scivolamento, isola un cuneo di terreno a monte che, in caso 

d'instabilità, tende a muoversi verso l'esterno. Il geotessile si oppone a 

questo movimento, sviluppando lungo la superficie di contatto terra-rinforzo 

97


una forza d'attrito diretta verso l'interno del pendio. Numericamente questa 

forza può essere espressa nel seguente modo: 

(48) Fr = Cf x tg phi x Lg x sv x Lf / Fsg 

con 

Cf = coefficiente d'attrito terra-rinforzo (normalmente varibile da 0.5 a 1); 

phi = angolo di resistenza al taglio del terreno; 

Lg = larghezza del rinforzo (posto in questo caso uguale a 1 metro); 

sv = pressione efficace agente sul rinforzo; 

Lf = tratto di rinforzo compreso fra la superficie di scivolamento ed il piano 

campagna (tratto in cui si sviluppa la forza d'attrito); 

Fsg = coefficiente di sicurezza (di solito posto uguale a 1.5). 

Anche in questo caso l'azione di contenimento della Fr, calcolata con la 

(48), interviene nel calcolo della stabiltà del pendio, modificando le forze 

normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla base del concio. 


(49) Sn = Fr x sin a ; 

(50) St = -Fr x cos a; 

con 


Tension crack. 

In presenza di movimenti franosi incipienti o in evoluzione, è frequente la 

formazione in superficie di fratture di trazione (tension crack). Queste oltre 

a rappresentare vie preferenziali per l'infiltrazione delle acque superficiali 

nel corpo di frana, possono portare alla formazione di ristagni superficiali, 

agenti come sovraccarichi sul pendio. 

La variazione delle forze normali e tangenziali agenti sulla superficie del 

concio è data da: 

(51) Sn = yw x hw x sin a ; 

(52) St = yw x hw x cos a; 

98


con 

yw = peso di volume dell'acqua; 

hw = altezza dell'acqua nella tension crack; 


Va ricordato anche che fratture di trazione superficiali possono formarsi in 

terreni coesivi per essiccazione. 

Effetto dell'acqua sulla stabiltà dei versanti. 

Come è possibile constatare dall'osservazione delle formule utilizzate nei 

metodi dell'equilibrio limite (vedi eq. 8, 9, 12, 17), la falda viene fatta 

intervenire nel calcolo in due modi: 

• attraverso l'introduzione del carico idrostatico in diminuzione delle forze 

normali agenti sulla base del concio; 

• attraverso l'utilizzo nelle verifiche del peso di volume immerso del 

terreno. 

Attenzione. 

Occorre non confondere il peso di volume immerso del terreno con il peso 

di volume saturo. 

Il peso di volume saturo è dato dalla somma del peso per unità di volume 

dello scheletro solido del terreno e del peso dell'acqua gravitativa infiltrata 

nei pori beanti dello stesso. 

Il peso di volume immerso è uguale invece al peso di volume saturo 

diminuito dalla spinta di galleggiamento. 

Per esempio, se il peso di volume saturo del terreno è uguale a 2 t/mc ed il 

peso di volume dell'acqua è 1 t/mc, il peso di volume immerso del terreno 


peso di volume saturo - peso di volume dell'acqua = 2 -1 = 1 

Nel caso in cui siano presenti carichi idraulici superficiali (corsi d'acqua, 

laghi, ristagni ecc...) la superficie del pendio, a favore della sicurezza, può 

essere considerata permeabile. Questo comporta che il terreno costituente il 

pendio venga considerato saturo e trattato come se si fosse in presenza di 

falda. Ciò, da un punto di vista del calcolo porta ad una parziale 

99


compensazione dell'effetto, generalmente stabilizzante (perchè di solito 

applicati al piede del versante) dei carichi idraulici superficiali. 

Un caso particolare è quello costituito da pendii dove la circolazione idrica 

sia limitata a livelletti di terreno più permeabili di spessore limitato e dove 

quindi non sia possibile individuare una vera e propria falda. In questi casi 

trattare le venute d'acqua come falda, disegnando una superficie di 

filtrazione continua, può condurre ad errori grossolani. Questi errori nel caso 

di terreno con phi>0 (condizioni drenate) sono a favore della sicurezza, ma 

in terreni con phi=0 (condizioni non drenate) risultano al contrario a sfavore 

della sicurezza. Si consideri, per esempio, un pendio costituito 

prevalentemente da terreni argillosi: nel caso phi=0, utilizzando per 

semplicità la relazione di Fellenius, l'eq. (8) diventerà: 

(53) Fsic = ΣCi Lconcio(i) / Σ Wconcio(i) sen αi . 

Effettuando la verifica in assenza di falda e poi ripetendola con la falda si 

noterà che il coefficiente di sicurezza tenderà ad aumentare, in contrasto 

con quello che indica l'esperienza. Da una punto numerico il risultato si 

spiega con il fatto che in presenza di falda, mentre il numeratore della (53) 

non viene modificato, il denominatore risulterà diminuito, e quindi il 

coefficiente di sicurezza aumentato, per l'utilizzo nel calcolo del peso di 

volume immerso del terreno. 

In questa situazione si consiglia di effettuare la verifica in assenza di falda e 

di introdurre l'effetto della circolazione idrica limitata, diminuendo il valore 

della coesione, per effetto del rammollimento del terreno, ed aumentando il 

peso di volume del terreno, per tener conto della sua parziale saturazione. 

Metodi di analisi probabilistica. 

Introduzione. 

In una verifica di stabilità di pendii in terra la maggior fonte 

d'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica del 

terreno, in partcolare dalla stima dei parametri coesione e angolo di 

resistenza al taglio ( o angolo d'attrito). 

Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geotecnici utilizzati nel 

calcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenuti dalle 

misure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che si 


100




cioè con uno dei metodi dell'equilibrio limite, da un'analisi di tipo 

probabilistico, che fornisca un'idea dell'influenza della dispersione dei dati 

geotecnici sul valore del coefficiente di sicurezza. 

Metodi di Montecarlo applicati alla verifica di stabilita'. 


in determinati intervalli, che godano nel complesso di proprieta' statistiche. 

Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi e' quella detta 'del 

campionamento' che consiste nel dedurre proprieta' generali di un insieme 



campione random, piu' rappresentative saranno le proprieta' dedotte. 

Nel caso di applicazione del metodo alla verifica di stabilità di pendii in 

terra, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente: 

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie coesione e angolo 

d'attrito misurate in situ o in laboratorio, supponendo che sia di tipo 

gaussiano ( cioè rappresentate da una curva a campana, con il valore 

centrale corrispondente al valore medio); 



• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore della 

coesione e dell'angolo d'attrito, rispettando la curva di distribuzione 

delle probabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che la 




casuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori di c 

e ϕ; 

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue la verifica di 

stabilità con tale metodo per ogni coppia di valori di c e ϕ , ricavando il 

rispettivo coefficiente di sicurezza F s ; 

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di F s ottenuti, 

per esempio sottoforma di istogramma, visualizzando l'andamento di tali 

coefficienti rispetto ad un valore di riferimento (per es. rispetto al valore 

di Legge 1,3). 

101


L'aspetto del grafico della distribuzione di F s consente di valutare se la 


calcolo della stabilità del versante. Nel caso, per esempio, in cui il valore 

medio di F s sia maggiore di 1.3, ma una percentuale significativa delle 

verifiche effettuate con il metodo di Montecarlo ricada sotto tale limite, si 

può trarre la conclusione che la dispersione dei parametri geotecnici sia 

eccessiva e non permetta di fornire una risposta precisa al problema della 

stabilità del versante: in questo caso si rende necessaria una migliore 

caratterizzazione geotecnica del terreno. 

Il metodo di Montecarlo può essere impiegato anche per retro-analisi di 

stabilità. Costruendo infatti a tentativi delle curve di distribuzione ipotetiche 

di c e ϕ, si può stimare per quale intervallo di questi valori il pendio risulta 

stabile. Il confronto fra la distribuzione dei parametri geotecnici ipotizzata e 

quella misurata permette di trarre delle conclusioni sulla stabilità globale del 

pendio. 


distribuzioni di F s valide, che venga generato un numero sufficientemente 

elevato di coppie di parametri c e ϕ, dalle quali ricavare il corrispondente 

valore di F s . Normalmente per ottenere distribuzioni stabili del coefficiente 

di sicurezza sono necessarie alcune centinaia di verifiche. Il raggiungimento 

della stabilità delle curve di distribuzione può essere valutato, applicando il 

metodo di Montecarlo su due insiemi di verifiche e confrontando quindi le 

relative distribuzioni con il test del χ 2 . 

Metodo di Rosemblueth applicato alla verifica di stabilità. 

Il metodo di Rosemblueth, applicato allla verifica di stabilità di un pendio in 

terra, consente di ricavare il valore più probabile del coefficiente di 

sicurezza ( valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scarto 



c e ϕ, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè a curva 

a campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto al valore 

centrale). 


• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio di c e 

ϕ (c m e ϕ m ) e i rispettivi scarti quadratici medii (s c e s ϕ ); 

102


• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli il coefficiente 

di sicurezza relativo alle seguenti combinazioni di parametri: 

1. ( c = c m + s c ϕ = ϕ m + s ϕ )⇒ F s1 

2. ( c = c m + s c ϕ = ϕ m - s ϕ )⇒ F s2 

3. ( c = c m - s c ϕ = ϕ m + s ϕ )⇒ F s3 

4. ( c = c m - s c ϕ = ϕ m - s ϕ )⇒ F s4 

• si calcoli quindi il valore medio di F s attraverso la relazione: 

(54) F m = ( F s1 +F s2 + F s3 + F s4 ) / 4; 


(55) S F =0.5 x √ ( F s1 2 +Fs2 2 + Fs3 2 + Fs4 2 ). 


dell'influenza della dispersione dei parametri geotecnici sulla stabilità del 

versante: un elevato valore di S F può indicare una non sufficiente 

caratterizzazione geotecnica del terreno, fatto di cui tener conto in particolar 

modo quando il valore di F m sia prossimo al valore di 1.3. Il coefficiente di 

sicurezza potrà quindi essere espresso come segue: 

(56) F s = F m ± S F; 

indicando che il coefficiente di sicurezza può variare nell'intervallo 

compreso fra F s = F m - S F e F s = F m + S F. 

103


Casi particolari 

Pendio illimitato 

Nel caso di con una frana di scorrimento allungata dove l’influenza delle porzioni del piede 

e della testa sono trascurabili possono essere utili per il calcolo del coefficiente di sicurezza 

le equazioni del pendio illimitato. 

Il fattore di sicurezza ha la seguente espressione : 

dove: 

ϕ = angolo d’attrito interno; 

β = inclinazione del pendio. 

tg 

Fs = 

tg 

ϕ 

β 

Tale espressione è valida per terreno incoerente asciutto e per terreno immerso in acqua in 

quiete. 

In uno scorrimento esteso, caratteristico di tipi di movimenti che avvengono dove un 

mantello di materiale viene eroso dagli agenti atmosferici o una lamina di materiale si 

sposta sopra un materiale molto più coerente ad una certa profondità, è probabile che il 

flusso sia parallelo alla superficie del pendio. In questo caso l’espressione del coefficiente 

di sicurezza diventa la seguente : 

dove: 

γ' cosβtgϕ 

Fs = 

sen β γ ' γ 

( + ) 


β = inclinazione del pendio; 

γ’ = peso di volume immerso del terreno; 

γw = peso di volume dell’acqua. 

Nel caso di terreno coerente l’espressione del coefficiente di sicurezza diventa : 

dove: 


β = inclinazione del pendio; 


c = coesione. 

c cosβ 

Fs = 

γ ( tgβ − tgϕ) 

w 

104


3.5.2 Metodo di Taylor 

Il metodo di Taylor permette di ricavare per un determinato valore di ϕ (angolo di attrito 

interno) e di β (inclinazione del pendio) l’altezza critica, Hc, del pendio che si rompe con 

un cerchio passante per il piede del pendio. 

La formula di Taylor è la seguente : 

Hc Ns c 

= ⋅ γ 

dove: 

Ns = fattore di stabilità in funzione di ϕ e di β; 

c = coesione; 

γ = peso di volume del terreno. 

Ns è un numero puro e può essere ricavato dal grafico di Fig. 3.4. 

105


Nel caso ϕ sia uguale a zero (argilla molle normalmente consolidata o sottoconsolidata 

poggiante su uno strato di terreno molto compatto), per ricavare Hc si può utilizzare ancora 

la (3.50), nella quale però Ns dipende da β e dal fattore di profondità nd, che ha la seguente 

espressione: 

H1 + H 

nd = 

H 

dove H è l’altezza del pendio dal p.c. e H1 la profondità del piede del versante dallo starto 

compatto. In questo caso Ns viene ricavato dal grafico di Fig. 3.5. 

106


Se β>53° il franamento avviene con un cerchio al piede. Se β


Classificazione dei fenomeni franosi 

La classificazione dei fenomeni franosi 

più usata e utile per i suoi criteri di 

scientificità e praticità, è la 

classificazione di Varnes(1978).Tale 

classificazione è basata sul tipo di 

movimento tra corpo di frana e terreno 

in posto al quale sono legate sia la forma 

della superficie di scorrimento, sia 

quella del corpo di frana. Il tipo di 

movimento può essere determinato con 

relativa facilità e senza grandi incertezze 

attraverso osservazioni di superficie o 

con indagini speditive nel sottosuolo. 

Un’importante ragione della popolarità 

della classificazione di Varnes sono i 

diagrammi dei movimenti franosi che la 

accompagnano. 

Varnes fa riferimento agli “slope 

movements” (movimenti di versante), e 

include inoltre alcuni fenomeni che non 

possono considerarsi frane in senso 

stretto, quali le deformazioni lente 

superficiali o profonde dei pendii. 

Queste si differenziano per la velocità 

del movimento ma assumono una 

notevole importanza in quanto possono 

precedere movimenti franosi veri e 

propri. 

La classificazione di Varnes comprende 

sei classi : 

1. Crolli. Il movimento avviene 

prevalentemente nell’aria, il 

fenomeno comprende la caduta 

libera, salti, rimbalzi, rotolamento di 

frammenti di roccia o di terreno 

sciolto. 

2. Ribaltamenti. In questo caso si 

sviluppano forze che causano un 

movimento ribaltante attorno ad un 

punto di rotazione situato al di sotto 

del baricentro della massa 

interessata. 

3. Scorrimenti. Si tratta di spostamenti 

per taglio lungo una o più superfici ; 

tali superfici sono visibili e possono 

essere ricostruite. Gli scorrimenti si 

distinguono in rotazionali e 

traslativi: i primi sono dovuti a forze 

che producono un momento di 

rotazione attorno ad un punto posto 

sopra del centro di gravità della 

massa. Gli scorrimenti traslativi si 

verificano in prevalenza lungo una 

superficie piana o debolmente 

ondulata la quale corrisponde spesso 

a discontinuità strutturali (faglie, 

giunti di fessurazione o 

stratificazione, passaggi tra strati di 

litologia diversa, contatto fra roccia 

n posto e detrito sovrastante). 

4. Espansioni laterali. Sono movimenti 

diffusi in masse fratturate. Spesso 

l’espansione laterale della roccia o 

del terreno sciolto è dovuta alla 

liquefazione o alle deformazioni 

plastiche del materiale sottostante. 

Alcune volte invece, prevalentemente 

in roccia, non si riconosce né una 

superficie basale di scivolamento, né 

una zona di deformazioni plastiche 

definite. 

5. Colamenti. In ammassi rocciosi si 

verificano deformazioni continue, sia 

superficiali che profonde. I 

movimenti differenziali che si 

sviluppano sono lenti e possono 

avvenire lungo più superfici di taglio, 

provocare piegamenti o 

rigonfiamenti. Nei terreni sciolti i 

movimenti sono simili a quelli dei 

fluidi viscosi. Le superfici di 

108


scorrimento nella massa che si 

muove non sono visibili o hanno 

breve durata. Il limite tra la massa in 

movimento e il materiale in posto può 

essere una superficie netta di 

movimento differenziale oppure una 

zona di scorrimenti distribuiti. Il 

movimento varia da estremamente 

lento a estremamente rapido. 

6. Fenomeni complessi. Il movimento 

risulta dalla combinazione di due o 

più dei cinque tipi principali sopra 

descritti. Molte sono le frane 

complesse ma in genere un tipo di 

movimento predomina sugli altri. 

Ogni classe è ulteriormente suddivisa in 

base al tipo di materiale interessato dal 

fenomeno franoso per un totale di 

diciotto tipi. 

88


89


90


STIMA DELL’INTENSITA’ CRITICA DI PRECIPITAZIONE METEORICA PER 

L’INNESCO DI FRANE IN COLTRI DETRITICHE 

Stima della curva di possibilità climatica. 

Partendo dai dati pluviometrici forniti da una stazione di misura, è possibile eseguire le 

elaborazioni necessarie per ottenere le curve che descrivono l’altezza delle precipitazioni 

(h) in funzione della loro durata (t). L’equazione che collega queste due variabili ha la 

seguente forma: 

h (mm) = a t n ; 

dove a = variabile funzione del tempo di ritorno; 

n = costante per un dato valore di t; 

e prende il nome di curva segnalatrice di possibilità climatica o pluviometrica. 

Tale equazione permette, per esempio, di calcolare l’altezza meteorica (h) relativa ad una 

precipitazione di 30 minuti (t), con un tempo di ritorno di 10 anni. 

I dati pluviometrici necessari al calcolo sono reperibili sugli Annali Idrologici delle stazioni 

pluviografiche. Su tali documenti vengono generalmente fornite, in forma di tabella, le 

massime precipitazioni registrate anno per anno, per determinate durate di riferimento. 

Normalmente si distinguono i dati relativi alle precipitazioni con durata inferiore ad 1 ora 

(piogge di notevole intensità e breve durata), da quelle di durata superiore. Le durate di 

riferimento sono generalmente standard, prendendo in considerazione durate di 10, 15, 

30, 45 minuti, nel caso di piogge brevi ed intense, e di 1, 3, 6, 12 e 24 ore nel caso di 

precipitazioni orarie. 

N t = 10 minuti t = 15 t = 30 t = 45 minuti anno 

. 

minuti minuti 

1 17.0 19.0 22.4 30.4 1985 

2 10.6 14.2 21.0 29.6 1986 

3 5.4 7.8 15.8 30.2 1987 

4 9.2 10.4 23.0 35.8 1988 

Tabella 1 - precipitazioni di durata inferiore a 1 h. 

N 

. 

t = 1 h t = 3 h t = 6 h t = 12 h t = 24 h anno 

1 10.0 20.0 22.0 33.4 43.4 1985 

2 37.0 38.0 39.8 39.8 41.0 1986 

3 28.0 31.2 31.2 43.8 61.2 1987 

4 54.0 68.6 71.2 71.2 71.2 1988 

Tabella 2 - precipitazioni di durata superiore a 1 h. 

Una stima sufficientemente attendibile della curva segnalatrice di possibilità climatica 

richiede l’utilizzo di registrazioni che coprano almeno un intervallo di 30-35 anni. Minore 

l’intervallo di registrazione minore l’attendibilità dei risultati. 

Volendo ricavare le curve relative a precipitazioni di durata superiore ad un’ora (Tabella 2), 

bisogna procedere come segue: 

91


• per ogni durata di riferimento, si ordinano e si numerano i valori delle precipitazioni 

ricavati dagli Annali Idrologici, regolarizzati con il metodo di Gumbel (vedi di seguito), in 

senso decrescente, ponendo quindi i valori massimi registrati per ogni intervallo di 

tempo sulla prima riga della tabella, quelli minini sull’ultima; di conseguenza, se per 

esempio l’intervallo di registrazione è di 30 anni, la prima riga sarà indicata con il 

numero 30, l’ultima con il numero 1. 

• utilizzando i dati di ogni riga e impostando un calcolo di regressione, si ricavano i valori 

dei parametri a e n relativi ad ogni anno; il numero identificativo di ogni riga rappresenta 

il tempo di ritorno dell’evento meteorico; nel caso, per esempio, di un’intervallo di 

registrazione di 30 anni, si ricavano 30 curve segnalatrici di possibilità climatica ( quindi 

30 valori di a e di n); i parametri a e n relativi alla prima riga sono quelli riferiti ad eventi 

meteorici di durata inferiore ad 1 h con tempo di ritorno di 30 anni, quelli dell’ultima riga 

ad eventi meteorici con tempo di ritorno di 1 anno. 

Lo stesso va adottato per durate pluviometriche inferiori ad 1 h (Tabella 1), quando questa 

è disponibile. 

Ricavate le curve, si potrà notare che, mentre n rimane più o meno costante, il parametro 

a tende ad assumere valori differenti in funzione del tempo di ritorno, tendendo a crescere 

con esso. 

Attraverso procedure statistiche è possibile ricavare stime del parametro a anche per 

tempi di ritorno superiori al numero massimo di registrazioni annuali disponibili. 

Il metodo statistico utilizzato generalmente è quello di Gumbel. Di seguito viene esposta la 

procedura da seguire. 

• Eseguito il calcolo delle curve segnalatrici di possibilità climatica per gli N anni di cui si 

dispongono le registrazioni pluviometriche, si ordinano i valori di a ricavati in ordine 

crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, il valore N a quello minimo. 

• Si calcolano gli N rapporti: 

Pi = i / (N + 1); 

con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondente 

valore di a non venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono di definire la 

scala dei tempi di ritorno: 

Ti = 1 / (1 - Pi). 

• Si riportano le N coppie di valori (Ti, ai) in un diagramma semilogaritmico (l’ asse X - 

l’asse dei tempi di ritorno - va costruito in scala logaritmica), interpolando fra i punti una 

retta: il diagramma consente di ricavare il valore di a per qualsiasi tempo di ritorno. 

Per ottenere, per esempio, l’altezza di precipitazione per un evento meteorico di durata 

corrispondente a 1,3 ore, con tempo di ritorno di 50 anni, si procede come segue: 

dal diagramma Tempo di ritorno - Parametro a si ricava il valore di a corrispondente ad un 

tempo di ritorno di 50 anni; 

1. si calcola il parametro n facendo la media dei valori di n ottenuti dalle curve segnalatrici 

di possibilità pluviometrica; 

2. si introducono infine i valori di a e n nella relazione h = a x t n ; ponendo t = 1.3 ore. 

92


E’ evidente che l’estrapolazione del parametro a non deve andare troppo oltre il periodo di 

registrazione. 

93


Prove di permeabilità. 

Introduzione 

Nei materiali sciolti, permeabili per porosità, nei quali è verificata la legge di Darcy, la 

permeabilità si esprime attraverso il coefficiente di permeabilità k che ha le dimensioni di 

cm/s o m/s. Nelle rocce, permeabili per fessurazione, nelle quali non è valida la legge di 

Darcy, la permeabilità si indica attraverso il valore degli assorbimenti d’acqua misurati in 

fori di sonda, espressi in litri assorbiti per ogni metro di lunghezza di foro, e della 

pressione usata nella prova. Talvolta il coefficiente k è usato per definire la permeabilità 

degli ammassi rocciosi, ma assume in questo caso un significato orientativo. 

Il coefficiente di permeabilità di un terreno viene sempre determinato con difficoltà e 

presenta spesso un notevole grado di incertezza; i valori sperimentali , salvo nei casi in cui 

il terreno è omogeneo ed isotropo, sono infatti affetti da errori che possono anche essere 

di un intero di grandezza. 

La scelta del metodo di prova va effettuata in funzione del tipo di terreno e della precisione 

desiderata. 

L’attendibilità delle prove, come suggerito dall’AGI nelle “Raccomandazioni sulla 

programmazione ed esecuzione delle indagini geotecniche” (giugno 1977), può essere 

migliorata adottando i seguenti accorgimenti: 

• conoscenza della distribuzione delle pressioni neutre nel terreno prima della prova; 

• conoscenza esatta , per quanto possibile, del profilo stratigrafico; 

• realizzazione con la prova di condizioni di moto laminare in regime permanente; 

• adozione in tutte le prove che comportano immissione d’acqua nel terreno, di acqua 

limpida. 

Prove in pozzetto. 

Le prove in pozzetto sono adatte soprattutto per terreni granulari e forniscono una 

valutazione della permeabilità dei terreni superficiali al di sopra del livello di falda. 

Vengono eseguite in pozzetti cilindrici o a base quadrata con pareti verticali o inclinate. 

Si dividono in: 

• prove a carico costante, effettuate cioè riempiendo d’acqua il pozzetto e misurando la 

portata necessaria per mantenere costante il livello; 

• prove a carico variabile, effettuate misurando la velocità di abbassamento in funzione 

del tempo. 

Le condizioni necessarie perchè le prove siano significative sono le seguenti: 

• il terreno deve essere saturato preventivamente in modo da stabilire un regime di flusso 

permanente; 

• la profondità del pozzetto deve essere pari a circa 1/7 dell’altezza del fondo dal livello di 

falda; 

• il diametro (o il lato di base) del pozzetto deve essere almeno 10 - 15 volte il diametro 

massimo dei granuli del terreno; 

• il terreno sia omogeneo, isotropo e con coefficiente di permeabilità 

k >10 -6 m/s 

94


A) Pozzetto circolare. 

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti relazioni: 

a) Prove a carico costante: 

q 

k = 

πdh 

con 

q = portata assorbita a livello costante; 

hm = altezza dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4); 

d = diametro del pozzetto. 

b) Prove a carico variabile: 

con 

m 

( h2 

− h1 

) 

( t2 

t1) 

hm 

d 

k = 

32 − 

hm = altezza media dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4); 

d = diametro del pozzetto; 

t2-t1 = intervallo di tempo; 

h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 . 

B) Pozzetto quadrato. 

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti relazioni: 


con 


h = altezza dell’acqua nel pozzetto (h > d/4); 

b = lato della base del pozzetto. 


q 

k = 

2⎛ 

h ⎞ 

b ⎜27 

+ 3⎟ 

⎝ b ⎠ 

h 

k = 

t 

2 

2 

− h1 

⎛ hm 

⎞ 

1+ 

⎜2 

⎟ 

⎝ b ⎠ 

−t 

1 ⎛ hm 

⎞ 

⎜27 

+ 3⎟ 

⎝ b ⎠ 

95


con 





96


Prove in foro di sondaggio 

Le prove in foro di sondaggio permettono di determinare la permeabilità di terreni al di 

sopra o al di sotto del livello di falda. Possono essere eseguite durante la trivellazione del 

foro a diverse profondità oppure alla fine della trivellazione sul solo tratto terminale. 

Per l’esecuzione delle prove è necessario che: 

• le pareti della perforazione siano rivestite con una tubazione per tutto il tratto del 

sondaggio non interessato dalla prova; 

• nel caso di terreni che tendono a franare o a rifluire, il tratto di prova deve essere 

riempito con materiale filtrante di granulometria adatta ed isolato mediante un tampone 

impermeabile. 

Le prove si dividono in prove a carico costante o a carico variabile. 

A) Prove a carico costante. 

Le prove a carico costante si eseguono misurando la portata necessaria per mantenere 

costante il livello dell’acqua nel foro, in condizioni di regime costante. Si possono eseguire 

anche nel terreno al di sopra del livello di falda; in questo caso è necessario saturare 

preventivamente il terreno in modo da stabilire un regime di flusso permanente. 

1)Raccomandazioni A.G.I. (1977) 

Il coefficiente di permeabilità è dato dalla: 

con 

q = portata immessa; 

h = livello dell’acqua in foro; 

m = coefficiente di forma = 2,85D 

con D= diametro del foro 

(N.B.: per prove sopra il livello di falda, h è misurato rispetto alla base del foro). 

2) Hvorslev (1951) Wilkinson (1968) 

k = 

q 

mh 

Il coefficiente di permeabilità è sempre dato dalla: 

k = 

in questo caso però il coefficiente m assume valori differenti, in funzione delle condizioni di 

filtrazione, secondo la tabella: 

q 

mh 

97


Condizioni Coefficiente 

Filtro sferico in terreno uniforme 2πD 

Filtro emisferico al confine con uno strato 

confinato 

πD 

Fondo filtrante piano al confine con uno strato 

confinato 

2D 

Fondo filtrante piano in terreno uniforme 2, 

75D 

Tubo parzialmente riempito al confine con uno 2D 

strato confinato 

8LKh 

1+ 

πDK 

v 

Tubo parzialmente riempito in terreno uniforme 2, 

75D 

11LKh 

1+ 

πDK 

v 

Filtro cilindrico al confine con uno strato 

3πL 

confinato 

2 

⎡3L 

⎛ 3L 

⎞ ⎤ 

ln ⎢ + 1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎢⎣ 

D ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 

Filtro cilindrico in terreno uniforme 

Dove: 

3πL 

2 

⎡3L 

⎛ 3L 

⎞ ⎤ 

ln ⎢ + 1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎢⎣ 

D ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 

L= Lunghezza del tratto filtrante; 

Kh= Permeabilità orizzontale del terreno; 

Kv= Permeabilità verticale del terreno. 

Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima approssimazione 

uguale a 10. 

3) Zagar (1953) 

3a) Terreno saturo 

Si applica sempre la relazione: 

in questo caso però il coefficiente m assume i seguenti valori: 

m = 5, 

7r 

se il foro è aperto solo sul fondo; 

2 

⎛ L ⎞ 

4πr 

⎜ ⎟ − 1 

⎝ 2r 

m = 

⎠ Se il foro è aperto anche lateralmente 

⎡ 

2 

L 

⎤ 

⎢ 

⎛ L ⎞ 

ln + ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢2r 

⎥ 

⎣ 

⎝ 2r 

⎠ 

⎦ 

con r=raggio del foro e L=lunghezza del tratto filtrante. 

3b) Terreno non saturo 

k = 

q 

mh 

98


Nel caso in cui il livello dell’acqua nel foro di prova sia ad una quota superiore rispetto al 

livello della falda, la relazione vista in precedenza non è più applicabile. 

Definiti Hu la differenza di quota fra il livello dell’acqua nel foro e il livello della falda e r’ il 

rapporto fra il raggio del foro e l’area della superficie filtrante, si calcola il parametro Y 

secondo la relazione: 

Y 

100h 

= −1 

, 0556 + 0, 

035 

dove h è l’altezza media dell’acqua nel foro rispetto al fondo del foro stesso. Nel caso 

risulti Log10(Hu/L)>Y, dove L è la lunghezza del tratto filtrante, per il calcolo di K si applica 

la relazione: 

dove C è fattore ricavabile dalla formula: 

q 

k = 

Cr'h 

Hu 

100L 

C = C1 

+ ( C2 

− C1) 

Log10 

h 

h 

C1 = 60, 

96 + 0, 

152 

r 

h 

C2 = 104, 

58 + 0, 

822 

r 

Nel caso invece in cui sia Log10(Hu/L)≤Y si applica la relazione: 

q 

k = 

⎛ r ⎞ 

⎜C 

+ 4 ⎟r' 

( Hu 

+ h − L) 

⎝ r' 

⎠ 

L 

dove C = 6 , 247 + 0, 

797 

r 

Si tenga presente che la procedura è in questo caso applicabile solo se sono verificate le 

condizioni h>5L e L>10r’. 

B) Prove a carico variabile. 

Le prove a carico variabile al di sotto del livello di falda si dividono in Prove di risalita e 

Prove di abbassamento. Le prove di risalita si eseguono abbassando il livello dell’acqua 

nel foro di un’altezza nota e misurando la velocità di risalita del livello. Le prove di 

abbassamento si eseguono riempiendo il foro d’acqua per un’altezza nota e misurando la 

velocità di abbassamento del livello. Le prove di abbassamento possono essere eseguite 

anche nel terreno al di sopra del livello di falda; in questo caso il terreno deve essere 

preventivamente saturato. 


99


Per le prove a carico variabile il coefficiente di permeabilità è dato dalla: 

con 

k = 

C 

L 

A 

h 

ln 

h 

1 

( t2 

− t1 

) 2 

A = area di base del foro di sondaggio; 

h1 e h2 = altezza dei livelli d’acqua nel foro rispetto al livello della falda indisturbata o al 

fondo del foro stesso agli istanti t1 e t2; 

t1 e t2 = tempi ai quali si misurano h1 e h2; 

CL = coefficiente di forma dipendente dell’area del foro di sondaggio e dalla lunghezza del 

tratto di foro scoperto. 

Per il coefficiente CL sono suggeriti i seguenti valori: 

L >> d CL = L 

L≤ d CL = 2πd+L 

dove L è la lunghezza del tratto di foro scoperto e d il diametro del foro. 



k = 

C 

L 

A 

h 

ln 

h 

1 

( t2 

− t1 

) 2 

in questo caso però il coefficiente CL assume valori differenti, in funzione delle condizioni 

di filtrazione, secondo la tabella: 


Filtro sferico in terreno uniforme 

2πD 


confinato 

πD 


confinato 

2D 


75D 



8LKh 

1+ 

πDK 

v 


75D 

11LKh 

1+ 

πDK 

v 

Filtro cilindrico al confine con uno strato 3πL 

confinato 

2 

⎡3L 

⎛ 3L 

⎞ ⎤ 

ln ⎢ + 1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎢⎣ 

D ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 

100



Dove: 

Lunghezza del tratto filtrante; 

L= 



3πL 

2 

⎡3L 

⎛ 3L 

⎞ ⎤ 

ln ⎢ + 1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎢⎣ 

D ⎝ D ⎠ ⎥⎦ 

Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima approssimazione 

uguale a 10. 

5) Zagar (1953) 

Si applica la relazione: 

⎛ h h ⎞ 2 − 1 

r 

⎜ 

t t ⎟ 

2 

π 

k 

⎝ 2 − 1 

= 

⎠ 

m h 

dove r è il raggio del foro e hm la profondità media dell’acqua nel foro. 

Il coefficiente m assume i seguenti valori: 

m = 5, 

7r 


2 

⎛ L ⎞ 

4πr 

⎜ ⎟ − 1 

⎝ 2r 

m 

⎠ 

= 

Se il foro è aperto anche lateralmente 

⎡ 

2 

L 

⎤ 

⎢ 

⎛ L ⎞ 

ln + ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢2r 

⎥ 

⎣ 

⎝ 2r 

⎠ 

⎦ 


3.2.4 Stima della permeabilità da analisi granulometriche. 

Esistono in letteratura numerose correlazioni empiriche che permettono di stimare la 

permeabilità di un mezzo poroso, passando attraverso l’analisi della curva granulometrica. 

Pur non potendo sostituire le determinazioni in sito, tali formule possono essere utili per 

una prima determinazione di k in terreni sabbiosi. Di seguito vengono elencate e descritte 

le dieci relazioni più usate, indicando per ognuna di essa il campo di applicabilità. Tutte, 

per semplicità, vengono espresse nella forma: 

( / ) 

e C 

g 

K m s = φ 

v 

2 ( ) d n 

dove: 

g =accelerazione di gravità=9,81 (m/s 2 ); 

v =coefficiente di viscosità dell’acqua, variabile in funzione della 

m 

101


temperatura, secondo la seguente tabella: 

T (°C) 0 5 10 15 20 30 50 

V 

(mq/s) 

1,78 

10 -6 

1,52 

10 -6 

1,31 

10 -6 

1,14 

10 -6 

C = costante; 

φ(n) = funzione della porosità del terreno; 

= diametro efficace dei granuli. 

de 

1,01 

10 -6 

0,81 

10 -6 

0,55 

10 -6 

Le formule presentate differiscono fra loro per i diversi valori adottati delle grandezze C, 

φ(n) e de. 

Si ricorda infine che la porosità del terreno può essere stimata in prima approssimazione 

attraverso la relazione empirica: 

n = 0 , 255 + 

η ( 1 0, 

83 ) 

dove η= d60/d10 è il coefficiente di uniformità del terreno. 

1. Formula di Hazen. 

Nella formula di Hazen le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumono 

i seguenti valori: 

C =6 10 -4 

φ(n) = [ 1+ 10( 

n − 0, 

26) 

] 

de =d10 

La formula è applicabile nelle seguenti condizioni: 

0,1 mm < de < 3 mm e η


⎛ n − 0, 

13⎞ 

φ(n) = ⎜ ⎟ 

3 

⎝ 1− 

n ⎠ 

de =d10 

2 

La formula è applicabile nel caso di sabbie grossolane. 

4. Formula di Beyer. 

Nella formula di Beyer le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumono 

i seguenti valori: 

C =6 10 -4 Log10 (500/η) 

φ(n) =1 

de =d10 


0,06 mm < de < 0,6 mm e 1


Nella formula di Kozeny le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K 

assumono i seguenti valori: 

C =8,3 10 -3 

φ(n) = ( ) 2 

3 

n 

1− n 

g d 

3 Δgi 

di 

+ di 

1/de = + ∑Δgi 

dove Δgi è la frazione di peso del 

g d 

2 di 

2di 

di 

campione compresa fra il diametro maggiore e minore (di g e 

di d ) dei granuli del passante i-esimo 


8. Formula di Zunker. 

Nella formula di Zunker le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K 


C 

=2,4 10 -3 per sabbie uniformi con granuli arrotondati 

=1,4 10 -3 per sabbie grossolane con granuli arrotondati 

=1,2 10 -3 per sabbie eterogenee 

=0,7 10 -3 per sabbie eterogenee, argillose con granuli a spigoli vivi 

in alternativa si può inserire un valore medio di 1,55 10 -3 

φ(n) 

⎛ n ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝1− 

n ⎠ 

1/de 

3 Δgi 

= + 

2 d 

i 

2 

∑ 

Δgi 

d 

g 

i 

d 

d 

i 

d 

g 

− d 

i i 

g d 

( ln d − ln d ) 

i 

d 

i 

dove Δgi è la frazione di 

peso del campione compresa fra il diametro maggiore e minore 

(di g e di d ) dei granuli del passante i-esimo 

La formula è applicabile nel caso di sabbie da fini a grossolane. 

9. Formula di Zamarin. 

Nella formula di Zamarin le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K 


C =8,3 10 -3 

n 

φ(n) = ( 1− 

n) 

3 

( 1, 

275− 

1, 

5n)2 

2 

g 

3 Δgi 

ln di 

− ln di 

1/de = + ∑Δgi 

g d 

2 d 

d − d 

i 

i 

i 

d 





10. Formula USBR. 

104


Nella formula USBR le grandezze da introdurre nella relazione di calcolo di K assumono i 

seguenti valori: 

C =4,8 10 -4 d20 0,3 

φ(n) =1 

de =d20 

La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η< 5. 

105


Stima dell’intensità e della durata critica di precipitazione per l’innesco di movimenti 

franosi in coltri detritiche. 

Stima dello spessore critico di una copertura detritica. 

I movimenti franosi che coinvolgono coperture detritiche in senso lato, cioè quei depositi 

derivanti dal disfacimento meteorico e dalla frammentazione meccanica del substrato 

roccioso, in genere sono caratterizzati da una notevole estensione in senso longitudinale 

rispetto allo spessore del materiale coinvolto. Tale tipo di frana può essere analizzato in 

maniera efficace attraverso il metodo del pendio illimitato (Skempton, 1957), supponendo 

cioè una superficie di scivolamento piana, parallela al profilo topografico e di lunghezza 

indefinita. Un’altra osservazione è che spesso la mobilitazione del detrito avviene in 

seguito a saturazione del materiale in corrispondenza di eventi meteorici intensi. E’ 

possibile, utilizzando la relazione di Skempton nel caso di terreni saturi, valutare lo 

spessore della coltre detritica necessario per raggiungere la condizione di equilibrio limite 

(forze stablizzanti=forze instabilizzanti). In questa situazione il coefficiente di sicurezza 

calcolato con la formula del pendio illimitato è uguale a 1 e lo spessore di materiale 

corrispondente viene definito critico. 

Lo spessore critico può essere quindi calcolato direttamente attraverso la relazione: 

h crit 

c 1 

= 

cos 

γ ⎛ γ' 

⎞ 

⎜ 

⎜tgβ 

− tgϕ 

γ ⎟ 

⎝ ⎠ 

dove: 

c (t/mq) = coesione drenata del terreno; 

ϕ (°) = angolo di resistenza al taglio del terreno; 

γ (t/mc) = peso di volume saturo del terreno; 

γ’(t/mc) = peso di volume immerso del terreno; 

β (°) = inclinazione del versante. 

E’ evidente che, nel caso di terreno con coesione nulla, lo spessore critico sarà sempre 

uguale a zero e quindi perde significato tutta la verifica seguente. 

Stima dell’intensità e della durata critica di precipitazione. 

Il modello, messo a punto da Wallace (1977) e Pradel e Raad (1993), prevede il verificarsi 

della seguente serie di eventi: 

su un versante assimilabile ad un pendio illimitato, secondo la definizione di Skempton, si 

verifica una precipitazione meteorica di intensità superiore alla permeabilità del terreno; si 

considerano nulli gli apporti idrici provenienti da monte e l’effetto dell’evapotraspirazione, 

ipotizzando che i due fenomeni si compensino; 

lo strato superficiale inizia a saturarsi e il fronte di saturazione, al proseguire della 

precipitazione, tende ad approfondirsi sempre più; 

quando lo spessore della coltre saturata dalla pioggia è uguale o leggermente superiore 

allo spessore critico, calcolato con la verifica di stabilità, si ha l’innesco del movimento 

franoso. 

Nel caso la precipitazione duri meno del tempo necessario al fronte di saturazione per 

raggiungere lo spessore critico non si avrà alcun movimento franoso. 

2 

β 

106


Utilizzando il modello di infiltrazione di Green e Ampt (1911) è possibile stabilire il tempo 

minimo necessario, perché si abbia la saturazione dello spessore critico: 

Δθ 

⎡ ⎛ P ⎞⎤ 

ris + D 

tmin = ⎢D 

− Pris 

ln 

⎜ 

⎟ 

⎟⎥ 

k ⎣ ⎝ Pris 

⎠⎦ 

dove: 

Δθ = porosità efficace residua data da (1-s) θ, in cui s è il 

grado di saturazione iniziale del terreno e θ è la porosità 

efficace; 

k (mm/h) = permeabilità del terreno; 

D (mm) = spessore critico 

Pris (mm) = pressione di risaturazione, stimabile, nota la curva 

granulometrica del terreno, con la relazione 12/d10, dove 

d10 è il diametro del passante al 10%. 

Di conseguenza una delle condizioni perché si abbia l’innesco del movimento franoso è 

che sia tprec≥tmin (durata della precipitazione). 

Nel caso inoltre l’intensità della precipitazione sia inferiore alla permeabilità del terreno 

non si potranno instaurare le condizioni di saturazione, in quanto l’acqua infiltrata viene 

allontanata troppo rapidamente. 

Per un determinato valore di durata è possibile stimare l’intensità di precipitazione minima, 

perchè si possa creare un fronte di saturazione: 

I 

min 

Δθ 

⎡ ⎛ Pris 

+ D ⎞⎤ 

D + P 

( mm/ 

h) 

= ⎢D 

− Pris 

ln ⎥ 

t 

⎜ 

⎣ 

P ⎟ 

⎝ ris ⎠⎦ 

D 

Facendo variare t, partendo da un valore minimo uguale al tmin calcolato, si può ottenere 

una curva, che, su un grafico in scala bilogaritmica, disponendo sulle ordinate le intensità 

di precipitazione e in ascissa le durate, fornisce l’indicazione dell’intensità minima di 

precipitazione, associata ad una determinata durata, necessaria per l’innesco della frana. 

In pratica tutte le precipitazioni con una durata minima superiore a tmin e con un’intensità 

che si colloca sopra la curva disegnata possono produrre il movimento franoso. 

Per poter fare delle previsioni sulla frequenza, in un determinato versante, di eventi di 

movimentazione della coltre detritica, è necessario confrontare la curva Durata-Intensità, 

determinata con il modello, con le curve di possibilità climatica stimate partendo dai dati di 

piovosità del bacino per diversi tempi di ritorno. 

Nella figura che segue in blu è indicata la curva del modello e in nero la curva di possibilità 

climatica per un determinato tempo di ritorno. La zona in rosso racchiude tutte le possibili 

combinazioni di durata e intensità di precipitazione che possono innescare, nel versante 

preso in esame, un movimento franoso con una frequenza uguale al tempo di ritorno della 

curva climatica. 

ris 

107


108


STABILITA’ DI VERSANTI IN ROCCIA 

Stabilità globale dell'ammasso roccioso. 


Le procedure di analisi di stabiltà globale di un pendio in roccia, attraverso 

la valutazione dell'equilibrio limite, consistono nella stima di un coefficiente 

di sicurezza alla traslazione e/o alla rotazione del volume di roccia 

compreso fra la superficie del versante ed una superficie di taglio potenziale 

imposta. 


momenti agenti lungo il piano di taglio, fornendo una valutazione della 

stabilità globale attraverso le equazioni d'equilibrio fornite dalla statica. 

Il coefficiente di sicurezza globale del pendio viene calcolato attraverso il 

rapporto fra la resistenza di taglio massima disponibile lungo la superficie 

di rottura e gli sforzi tangenziali mobilitati lungo tale piano: 

con 

Fsic= coefficiente di sicurezza; 

Tmax= resistenza di taglio massima; 

Tmob= sforzo tangenziale mobilitato. 

(1) Fsic = Tmax / Tmob; 

All'equilibrio(Tmax=Tmob) Fsic deve essere ovviamente uguale a 1. 

Il pendio potrebbe essere considerato in teoria stabile, quando Fsic risulta 

maggiore di 1 (Tmax>Tmob), instabile in caso contrario (Tmax


a) Coefficiente di sicurezza inferiore a 1: il pendio si trova in condizioni di 

instabilità globale. 

b) Coefficiente di sicurezza compreso fra 1 e 1.3: il pendio si trova in 

condizioni prossime all'equilibrio limite; anche un piccolo incremento degli 

sforzi tangenziali sulla superficie potenziale di rottura può innescare il 

fenomeno franoso. 

c) Coefficiente di sicurezza superiore a 1.3: il pendio si trova in condizioni 

di stabilità globale. 


Nell'applicare le equazioni della statica al problema dell'analisi di stabilità 

di un pendio in roccia occorre ipotizzare che siano verificate le seguenti 

condizioni: 

a) la verifica va eseguita prendendo in esame una striscia di versante di 

larghezza unitaria (solitamente di 1 metro), trascurando l’interazione laterale 

fra tale striscia e la roccia contigua; 

b) la resistenza al taglio lungo la superficie potenziale di rottura deve essere 

esprimibile attraverso la legge di Coulomb: 

(2) T max = c + γhtgϕ; 

con 

Tmax = resistenza di taglio massima del terreno; 





c)la precisione con cui vengono stimati in sito o in laboratorio i parametri 

geotecnici coesione e angolo di resistenza al taglio deve essere la stessa: in 

caso contrario la resistenza al taglio mobilitata dovrebbe essere espressa 

nel seguente modo: 

2


T 

mob 

c 

F 

iscc 

con 

Fsiic =coefficiente di sicurezza legato a c; 

Fsicp =coefficiente di sicurezza legato a ϕ; 

= 

γhtgϕ 

+ 

Fiscϕ 

introducendo nel calcolo due coefficienti di sicurezza invece di uno, con 

ovvie complicazioni nella risoluzione analitica del problema; 


mobilitati (Tmob) lungo la superficie potenziale di rottura. Questo significa 

che in ogni punto del piano ipotetico di scivolamento i parametri 

dell'equazione di Coulomb c, ϕ, γ ed h devono avere lo stesso valore. 


superficie di scivolamento viene, nella maggior parte delle procedure di 

calcolo note in letteratura, suddivisa in più settori (conci), all'interno dei 

quali si considera realizzata la condizione di omogeneità di Tmob. Nella 

pratica i limiti dei conci vengono fatti cadere dove vi sia una variazione 

significativa di ϕ c e γ del terreno o in corrispondenza di variazioni 

significative nel profilo topografico del versante. 

Questo modo d'impostare il problema conduce però all'introduzione nella 

risoluzione analitica di nuove incognite che esprimono il modo in cui 

interagiscono fra loro, lungo le superfici divisorie, i vari conci. 

In definitiva nel calcolo del valore di Fsic intervengono le seguenti 






d) le forze orizzontali agenti lungo le superfici di separazione dei conci ( n- 

1 incognite); 

3


e) le forze verticali agenti lungo le superfici di separazione dei conci (n-1 

incognite); 

f) i punti di applicazione, sulle superfici di separazione dei conci, delle 

forze d) ed e) (n-1 incognite); 

g) il coefficiente di sicurezza Fsic (1 incognita). 





con 


T = (c l + N tg ϕ)/Fsic; 

che collegano fra loro, per ogni concio, le incognite N, T ed Fsic. 

c) n equazioni ottenute ponendo che il punto di applicazione di N e T cada a 

metà della base del concio. 

In totale quindi sono disponibili 5n equazioni per la soluzione analitica 

del problema. 

Perchè si possa arrivare alla determinazione di Fsic occorrerebbero 


In realtà perchè il problema sia staticamente determinato, e quindi 

risolvibile, mancano ancora n-2 equazioni (la differenza fra il numero delle 

incognite,6n-2, ed il numero delle equazioni disponibili, 5n). 

Le equazioni mancanti possono essere ottenute introducendo nell'analisi 

ulteriori ipotesi semplificatrici. Tali ipotesi riguardano generalmente la 

distribuzione delle forze lungo le superfici di separazione dei conci. Le 

varie procedure di risoluzione del problema differiscono essenzialmente 

per la schematizzazione che viene fatta di questa distribuzione. 

4


Differenza con il caso di un pendio in terra. 

CRITERIO DI ROTTURA DI HOEK & BROWN. 

A differenza di quanto avviene nei versanti in terra, in quelli in roccia per la 

descrizione della resistenza al taglio del materiale costituente il pendio non 

può generalmente essere utilizzato il criterio di rottura di Coulomb: 

Tmax = c + γ h tg ϕ; 

dove c = coesione del terreno; 

γ h = pressione di confinamento; 

ϕ = angolo d'attrito del terreno. 

Questo infatti indica una correlazione fra resistenza al taglio del materiale e 

pressione di confinamento di tipo lineare, mentre negli ammassi rocciosi 

tale correlazione è chiaramente di tipo non lineare. 

D'altra parte l'applicazione dei metodi classici per la verifica di stabilità di 

un versante (Fellenius, Bishop, ecc...) richiedono che il materiale, terra o 

roccia, sia descrivibile attraverso i parametri c e ϕ. 

E' necessaria quindi una correlazione che leghi queste due grandezze a 

quelle utilizzate normalmente per la descrizione del comportamento 

meccanico dell'ammasso roccioso. 

Hoek e Brown descrivono una procedura che consente l'applicazione delle 

formule classiche dell'equilibrio limite di pendii in terra anche al caso di 

ammassi rocciosi. 

La forma generale del criterio di rottura di Hoek & Brown è la seguente: 

dove: 

⎡ σ3 

⎤ 

(3)σ1 = σ3' + σc 

⎢mb 

+ s 

⎣ σ 

⎥ ; 

c ⎦ 

mb = valore della costante m per gli ammassi rocciosi; 

s, a = costanti dipendenti dalle caratteristiche dell’ammasso 

a 

5


σc = 

roccioso; 

resistenza alla compressione monassiale della roccia intatta; 

σ1 σ3 = sforzi principali in tensioni efficaci. 

La determinazione dei parametri a, s e mb viene fatta in funzione della 

qualità dell’ammasso roccioso, quantificata dall’indice BasicRMR(76). Il 

BasicRMR(76) corrisponde alla somma dei primi quattro termini della 

classificazione di Bieniawski del 1976, alla quale va aggiunto un quinto 

termine, relativo alle condizioni idrauliche dell’ammasso, assunto sempre 

pari a 15 (ammasso completamente asciutto). Si tenga presente che l’indice 

BasicRMR(76) corrisponde numericamente all’indice GSI (Geological 

Strength Index). 

Sulla base del valore stimato dell’indice BasicRMR(76), si distinguono i 

seguenti casi: 

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate di qualità da buona a 

media per i quali sia BasicRMR(76)≥25, si ha: 

a = 0.5; 

⎛ GSI −100⎞ 

mb = mi 

exp⎜ 

⎟ ; 

⎝ 28 ⎠ 

⎛ GSI −100⎞ 

s = exp⎜ 

⎟ ; 

⎝ 9 ⎠ 

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate per i quali sia 

BasicRMR(76)


• in tutti i casi in condizioni rimaneggiate o disturbate (ammassi rocciosi 

scavati con esplosivo o alterati e detensionati), si ha: 

⎛ GSI −100⎞ 

mb = mi 

exp⎜ 

⎟ ; 

⎝ 14 ⎠ 

⎛ GSI − 100⎞ 

s = exp⎜ 

⎟ (solo nel caso BasicRMR≥25, altrimenti s=0); 

⎝ 6 ⎠ 

Per quanto riguarda la stima dei valori di mi, costante per i diversi litotipi, in 

assenza di dati sperimentali, si può fare riferimento alla seguente tabella: 

7


8


STIMA DEI VALORI DI ci E ji. 

Poiché il criterio di Hoek e Brown esprime una curva di tipo non lineare, i 

valori di coesione e angolo di resistenza al taglio variano in funzione dello 

sforzo normale efficace (σn' ) agente sulla base dei singoli conci. 

ån' viene definito come segue: 

in cui: 

(4)σn' = γ h cos α - γw hw (metodo di Fellenius); 

γ h - γw hw - C tg α/ F 

(4’) ån' = (altri metodi); 

1 + tg ϕ tg α/ F 

γ = peso di volume dell'ammasso roccioso; 

h = spessore medio del concio; 

γw=peso di volume dell'acqua; 

hw=spessore medio della colonna d'acqua nel concio; 

α = inclinazione della base del concio; 

F = coefficiente di sicurezza. 

I valori della coesione e dell’angolo di resistenza al taglio istantanei da 

impiegare nel calcolo si ricavano dalle seguenti relazioni: 

9


• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate di qualità da buona a 

media per i quali sia BasicRMR(76)≥25: 

⎡ ⎛ 1 1 

2 

ϕi '= arctan⎢4hcos ⎜30 

+ arcsin 

⎣⎢ 

⎝ 3 h 

( miσn 

'+ 

σc 

) 

h = 1+ mi 

c 

16 

3 2 ; 

σ 

ci '= τ −σn 

'tanϕ 

i ; 

mi 

τ = σc ( cot ϕi '−cosϕi ' ) ; 

8 

3 

⎞ ⎤ 

⎟ −1⎥ 

⎠ ⎦⎥ 

• per ammassi rocciosi in condizioni indisturbate per i quali sia 

BasicRMR(76)


δσ 

δσ 

1 

3 

= 1+ 

a 

amb τ ( σ σ ) 

δσ1 

= n − 3 ; 

δσ 

⎛σ3 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝σ 

⎠ 

c 

a−1 

Dalle formule di regressione lineare: 

3 

(caso GSI


Il criterio di rottura di Hoek & Brown andrebbe utilizzato in teoria solo in 

presenza di rocce intatte o ammassi rocciosi altamente fratturati, dove 

l’ammasso roccioso nella sua globalità può essere considerato come un 

mezzo omogeneo ed isotropo. Non deve essere applicato in situazioni 

intermedie, dove le superfici di discontinuità presenti vadano ad influenzare 

il comportamento geomeccanico dell’ammasso. In questi casi problemi 

d'instabilità potranno aversi esclusivamente per singoli blocchi o porzioni di 

versante isolati dall'intersezione dei giunti di discontinuità meccanica 

presenti. Questo tipo di problema andrà affrontato con una procedura 

sostanzialmente differente (vedi 'Stabilità di cunei isolati'). 

Risoluzione con i metodi dell'equilibrio limite 

Le instabilità di interi versanti o di importanti parti di versanti in roccia, 

avvengono per superfici circolari o subcircolari solo in presenza delle 

seguenti caratteristiche geostrutturali e geomeccaniche: 

• Pendio costituito da rocce altamente fratturate fino a cataclasate (“waste 

or crushed rock mass”), con comportamento a grande scala 

tendenzialmente simile a quello dei terreni e discontinuità non isorientate 

(“random”) in cui si verificano le condizioni: 

• basso grado di “interlocking” ovvero di intercompenetrazione 

e reciproco incastro dei volumi rocciosi unitari determinati 

dalle superfici di discontinuità 

• dimensioni dei volumi rocciosi unitari isolati dalle 

discontinuità, trascurabili nei confronti delle dimensioni del 

pendio. Questa situazione si verifica nei confronti dei versanti 

fortemente estesi in rapporto al reticolo fratturativo presente; 

si tratta quindi di un fenomeno che risente in maniera 

piuttosto evidente del decadimento delle caratteristiche di 

resistenza per il cosiddetto“effetto scala”. Tale fenomeno 

contraddistingue i cosiddetti “sackung” (“Deep Seated Mass 

Rock Creep”) che consistono in frane di versante di grosse 

dimensioni. 

• Pendio costituito da rocce con una o più famiglie di superfici di 

discontinuità geostrutturale-geomeccanica disposte sfavorevolmente alla 

giacitura del pendio o con direzione prossima alla stessa. Le superfici di 

12


discontinuità geostrutturale-geomeccanica possono essere di origine 

singenetica, tettonica o metamorfica ( o post-tettonica o postmetamorfica) 

e possono essere inclinate in qualsiasi modo rispetto al 

pendio purché la loro direzione sia prossima allo stesso (± 20° da “Rock 

Slope Engineering”) ovvero le superfici siano “cinematicamente 

ammissibili”. E’ il caso prevalentemente considerato nella presente 

trattazione. 

• Pendio costituito da rocce tenere e/o suoli molto compatti e 

sovraconsolidati dove il comportamento complessivo a grande scala è 

quello rispettivamente di un mezzo omogeneo isotropo continuo e dei 

terreni. 

• Pendio costituito da rocce completamente alterate dai fenomeni di 

“weathering” dove il comportamento è quello dei terreni. 

Fig. 1 Scivolamento subcircolare in roccia fratturata con discontinuità non 

isorientate (“random”) 

Superfici di rottura subcircolari possono verificarsi in tutti i casi in cui esiste 

una combinazione delle precedenti quattro tipologie di caratteristiche 

geostrutturali e geomeccaniche. 

Con riferimento alla classificazione proposta da Aydan et Alii, che classifica 

la tipologia di rottura nei versanti in roccia essenzialmente sui criteri di 

classificazione di tipo C [Froldi], ovvero determinati dalle strutture o 

insieme di strutture coinvolte nella rottura, questi fenomeni rientrano nella 

classe II della Fig. 2. In particolare modo essi combinano taglio lungo la 

matrice rocciosa e scivolamento lungo le discontinuità preesistenti. 

13


Fig. 2 Classificazione di Aydan et Alii di rottura su pendii in roccia 

Questa eventualità è individuata anche da Jaeger che suggerisce il caso 

particolare di un pendio con discontinuità a franappoggio con diverse 

possibili superfici di rottura (vedi Fig. 3); 

14


Fig. 3 Possibilità di rottura su roccia e discontinuità secondo Jaeger 

a titolo di esempio eclatante e internazionalmente riconosciuto riporta la 

frana del Vajont (vedi Fig. 4). 

Fig. 4 Frana del Vajont (9 Ottobre 1963) 

Di seguito sono illustrati alcuni esempi di pendii in roccia con potenziale 

formazione di superfici di rottura circolari o subcircolari in base alle relative 

caratteristiche geostrutturali e geomeccaniche. 

Nb. : In tutti i casi le discontinuità devono risultare con direzione prossima 

(± 20°) a quella del pendio; qualora posseggano discontinuità con 

15


immersione reggipoggio di elevata inclinazione, le superfici di potenziale 

scivolamento non devono ricalcare dette discontinuità nella parte alta del 

pendio ovvero le analisi all’equilibrio limite a conci non contemplano 

superfici a tetto con conseguenti stati di sforzo a trazione. 

1. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immergente a 

contropoggio 

2. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immergente a debole 

franappoggio (in caso di pronunciato franappoggio prevale lo 

scivolamento planare “plane failure” 

3. Pendio con una sola famiglia di discontinuità immersa a reggipoggio 

4. Pendio con due o più famiglie di discontinuità in combinazioni di 

assetti geostrutturali variabili 

5. Pendio con due o più famiglie di discontinuità con giaciture 

orizzontali e verticali 

6. Pendio con una o più famiglie di discontinuità e con contatto 

formazionali, stratigrafici e/o tettonici particolari. 

Metodo di Fellenius. 

Con il metodo di Fellenius si pone la condizione che le forze agenti sulle 

superfici di separazione dei conci siano orientate parallelamente alla base 

dei conci stessi. Viene inoltre ipotizzato che la superficie potenziale di 

scivolamento sia circolare. 

Posto: 

(5) Ni=Wconcio(i) cos αi; 

con 

Wconcio(i)=peso del volume di terra compreso nel concio i-esimo; 

αi=inclinazione della base del concio i-esimo; 

Ni=componente normale alla base del concio di Wconcio(i). 



(6) ΣR sen αi Wconcio(i)=ΣR Ti; 

16


in cui il prodotto R sen αi rappresenta il braccio di Wconcio(i). 

Sostituendo nella (6) a Ti la sua espressione, data dalla (4), si ottiene infine: 

(7)Fsic = ΣCi Lconcio(i)+Ni tg ϕi) / Σ sen αi Wconcio(i); 

con 

Ci=coesione agente lungo la base del concio i; 

Lconcio(i)=lunghezza della base del concio i; 

ϕi=angolo d’attrito agente lungo la base del concio i; 

Introducendo nella (7) il contributo dovuto alla presenza di falda idrica si 

ottiene: 

(8) Fsic = Σ[Ci Lconcio(i) + (Ni-hfalda(i) Lconcio(i))tg ϕi] / ΣWconcio(i) 

sen αi ; 

in cui: 

hfalda(i)=altezza della falda rispetto alla base del concio i; 

Il metodo di Fellenius conduce generalmente a sottostime di Fsic rispetto a 

metodi più rigorosi. L’errore è comunque a favore della sicurezza. 

Metodo di risoluzione di Bishop (semplificato). 

Con il metodo di Bishop semplificato si pone la condizione che le forze 


conseguenzai singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forze 


Viene inoltre supposto che la superficie potenziale di scivolamento sia 

circolare. 


di rottura è data, per ogni concio da: 

(9) T i max = X i / (1 + Y i / F s ); 

17


con X i = ( c + (g x h - g w x h w ) x tg ϕ) x dx / cos α 






La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio è per ogni concio 

data da: 

con Z i = g x h x dx x sen α 

(10) T i mob = Z i 


come segue: 

(11) F s = ∑(i=1-n) T i max / ∑(i=1-n)T i mob 

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che è la grandezza da 


l'espressione della T max (equazione (9)). Di conseguenza non sarà 


La procedura da adottare in questo caso dovrà essere di tipo iterativo, fino 

all'ottenimento della convergenza su un valore praticamente costante di Fs. 




partenza; 

18



ritorna al passo a), inserendo nella (11), al posto del valore di 

partenza di Fs, il nuovo valore calcolato; 


interrotta: il coefficiente di sicurezza cercato è Fs'. 


convergere. 

Il metodo di Bishop richiede che siano, per tutti i conci, rispettate le due 


• s' = (g x h - g w x h w - c x tg α / Fs)/(1+Y / Fs) > 0 

con s' = pressione normale agente sulla base del concio; 

• cos α x (1 + Y/Fs) > 0.2. 

In caso contrario il metodo può condurre a valori del coefficiente di 

sicurezza non realistici. 


omogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche 

geomeccaniche, o, al limite, su terreni in cui la stratificazione non porti a 

contatto litologie a comportamento meccanico significativamente diverso ; 

se ne sconsiglia l'uso anche in presenza di terreni fortemente 

sovraconsolidati. 

Confrontando il metodo di Bishop semplificato con la sua versione 

completa, si ottengono differenze massime nei valori dei coefficienti di 

sicurezza non superiori all'uno percento. Rispetto ad altri metodi più 

rigorosi, come il Morgenstern-Price, lo scarto non supera il 5%, tranne nel 

caso, di scarso interesse pratico, in cui sia Fs


Nel metodo di Janbu semplificato si pone la condizione che le forze 


conseguenza i singoli conci interagiscono fra di loro solo attraverso forze 


Questo metodo, a differenza di quello di Bishop, consente di verificare 

superfici potenziali di scivolamento di forma qualsiasi. 


di rottura è data, per ogni concio, da: 

(12) T i max = X i / (1+Yi/Fs); 

con X i = [c+(g x h-g w x h w ) x tg ϕ] x [1+(tg ϕ 2 )] x dx 






La resistenza al taglio mobilitabile lungo il piano di taglio è per ogni concio 

data da: 

con Z i = g x h x dx x tg α 

(13) T i mob = Z i 


come segue: 

(14)Fs = ∑(i=1-n)T i max / ∑(i=1-n)T i mob 

Si noti che il coefficiente di sicurezza Fs, che è la grandezza da 


20


l'espressione della T max (equazione (12)). Di conseguenza non sarà 


La procedura da adottare in questo caso dovrà essere di tipo iterativo,come 

nel caso del metodo di Bishop, fino all'ottenimento della convergenza su un 

valore praticamente costante di Fs. 




partenza; 


ritorna al passo a), inserendo nella (7), al posto del valore di partenza 

di Fs, il nuovo valore calcolato; 


interrotta: il coefficiente di sicurezza cercato è Fs'. 


convergere. 


eterogenei, dal punto di vista litologico e delle caratteristiche 

geomeccaniche. In questi casi infatti la superficie potenziale di rottura avrà 

probabilmente forma irregolare, lontana dalla circolarità. 

Il metodo di Janbu può condurre, rispetto ad altri metodi più rigorosi, come 

il Morgenstern-Price, a scarti non trascurabili, soprattutto in presenza di 

superfici potenziali di rottura profonde o in presenza di forte coesione. E' 

quindi consigliabile l'introduzione di un fattore correttivo che minimizzi tale 

scarto. 

Janbu suggerisce per tale coefficiente la seguente forma: 

(15) f = 1 + K x [ d/l - 1.4 x (d/l) 2 ]; 

con l = lunghezza del segmento retto congiungente il piede del versante 

con la sua estremità superiore; 

21


d = scarto massimo fra la congiungente il piede del versante e l' 

estremità superiore e la superficie potenziale di scivolamento, 

misurato lungo la perpendicolare del primo; 

K = costante uguale a 0.31 in terreni privi di coesione (c=0) e a 

0.5 per terreni coesivi (c>0). 

Il coefficiente di sicurezza corretto è dato quindi da: 

(16) Fs' = f x Fs 

con Fs = coefficiente di sicurezza non corretto. 

Il metodo di Janbu semplificato si presta inoltre meglio di altre procedure 

alla verifica dell’influenza di superfici di discontinuità geostrutturaligeomeccaniche 

sulla stabilità complessiva. Le porzioni di superficie di 

potenziale scivolamento appartenenti alle superfici subcircolari e/o 

irregolari che ricadono all’interno di un intervallo prefissato intorno ai piani 

di discontinuità ne assumono le relative caratteristiche di resistenza, mentre 

le restanti parti assumeranno le caratteristiche della massa rocciosa nel suo 

complesso. 

In pratica nel calcolo si tiene conto di ciò attraverso la seguente procedura: 

• s’individuano le superfici di discontinuità con valore della direzione di 

immersione contenute entro ± 20° rispetto alla direzione di immersione 

del pendio (asse della sezione) e le relative caratteristiche di: 

a1) distribuzione di frequenza dei valori di immersione 

(dip, b ); 

a2) caratteristiche di resistenza secondo il criterio di Hoek 

& Brown, Mohr-Coulomb o Barton; 

• s’individuano le inclinazioni (a ) (valori di dip) delle basi dei conci della 

massa di potenziale scivolamento; 

• si stima l’intervallo o “cono di confidenza” (± e ), dipendente dalla 

distribuzione di frequenza dei valori di immersione (b ) entro il quale 

applicare alla base del concio le caratteristiche della discontinuità in essa 

compresa. L’intervallo (e ) si può determinare sulla base di: 

c1) un valore prefissato “a priori” 

c2) un valore di ampiezza della classe modale 

22


c3) altri valori di significatività statistica in base alla forma 

di distribuzione di frequenza del campione 

(“gaussiana” o non) 

• si attribuiscono le caratteristiche di resistenza alle basi dei conci quando 

la loro dip (a ) ricade (vedi Fig. 6) all’interno dell’intervallo o “cono di 

confidenza” (± e ) precedentemente definito ovvero quando b - e < a < b 

+ e. Le caratteristiche di resistenza saranno immesse secondo i parametri 

richiesti dal criterio di resistenza prescelto nella fase a2). 

Discontinuit 

K1 

b1, b2 = 

+ e, - e = 

Pendio con superficie di 

scivolamento circolare 

Profilo del pendio 

18°35'30"b1 

- e 

valori di immersione (dip) delle discontinuit 

valori di escursione del "cono di confidenza" intorno alla discontinuit 

Metodo di risoluzione di Spencer. 

Superficie circolare 

+ e 

4°02'20" 

4°04'02" 

59°02'10"b2 

Discontinuit 

K2 

Nel metodo di Spencer si pone la condizione che le forze d'interazione 

lungo le superfici di divisione dei singoli conci siano orientate 

parallelamente fra loro ed applicate nel punto medio della base del concio. 

Si tratta, nella sua espressione analitica, di un' estensione del metodo di 

6°27'30" 

6°58'08" 

+ e 

- e 

23


Bishop semplificato, ed è quindi valido per superfici di scivolamento subcircolari. 

La forza d'interazione fra i conci applicata nel punto medio della base del 

concio i-esimo è data da: 

(17) Q i = [(c l/Fs) (Wcosα - h g w l secα) tg ϕ / Fs - Wsenα] /(cos(α-θ) m a 

con m a =1+ [tg ϕ tg(α-θ)] / Fs 

θ = angolo d'inclinazione della forza Q i rispetto all'orizzontale. 

Imponendo l'equilibrio dei momenti rispetto al centro dell'arco descritto 

dalla superficie di scivolamento si ha: 

con R= raggio dell'arco di cerchio. 

(18) ∑ Q i R cos(α-θ)=0; 

Imponendo l'equilibrio delle forze orizzontali e verticali si ha 

rispettivamente: 

(19) ∑ Q i cos θ=0; 

(20)∑ Q i sen θ=0. 

Con l'assunzione delle forze Q i parallele fra loro, si può anche scrivere: 

(21) ∑ Q i =0. 

Il metodo propone di calcolare due coefficienti di sicurezza: il primo (Fsm) 

ottenibile dalla (18), legato all'equilibrio dei momenti; il secondo (Fsf) dalla 

(21), legato all'equilibrio delle forze. In pratica si procede risolvendo le (18) 

e le (21) per un dato intervallo di valori dell'angolo teta, considerando come 

valore unico del coefficiente di sicurezza quello per cui si abbia Fsm=FsF. 

24


Il metodo è valido per superfici di scivolamento circolari e quindi presenta 

le stesse limitazioni di applicabilità del metodo di Bishop semplificato. 

Applicazione della rottura progressiva a superfici di scivolamento in 

roccia. 

Molto frequentemente se non sempre il collasso di un versante o di un fronte 

di scavo in roccia avviene per il fenomeno della rottura progressiva; alla 

rottura delle parti più sollecitate, le cui caratteristiche di resistenza 

precipitano verso termini residui, segue infatti la ridistribuzione delle 

tensioni in eccesso con conseguente crisi di porzioni sempre maggiori che 

conducono al collasso globale. 

Di tale effetto, difficilmente implementabile in un codice di calcolo 

automatico basato sull’equilibrio limite, se ne può tenere in conto attraverso 

due approcci: 

a) con l’attribuzione dei parametri residui ai conci con coefficiente di 

sicurezza FS(n) < 1 

b) considerando la cessione degli esuberi di forze agenti sulla base di 

conci con FS(n) < 1 ai conci limitrofi. 

La prima procedure appare più semplice e percorribile. 

Secondo questa metodologia e considerando il metodo di Bishop 

semplificato si può procedere attraverso le seguenti fasi: 

1) si determina il valore di FS globale 

2) si stimano i valori di FS(n) relativi ai singoli conci 

3) s’individuano i conci a rottura per scivolamento (dove cioè FS(n)


2) fase di inizio rottura (d, e) 

3) fase di propagazione della rottura (f) 

Fig.1 - Curva sforzi-deformazioni caratteristica. 

Tale comportamento, tipico di un campione di roccia intatta, può in realtà 

differire notevolmente nella pratica nel caso di un ammasso roccioso 

fratturato sottoposto a un tensore di sforzi non monoassiale. 

Esemplificativamente, con riferimento alla Fig. 2, si possono distinguere tre 

tipologie di comportamenti tipo: 

a) elastico-fragile (brittle) 

26


b) elastico perfettamente plastico (ductile) 

c) elastico-plastico con incrudimento (ductile-strain hardening) 

Fig.2 - Tipologie di comportamenti. 

27


Il comportamento elastico-plastico con rammolimento può essere 

considerato un sottotipo dei casi a) e b). 

Nella figura 2 i tre comportamenti sforzi-deformazioni differiscono a causa 

della diversa tensione di confinamento (s3) applicata: al crescere di questa 

si ha una migrazione dal tipo a) al tipo c). 

In generale si possono quindi individuare tre livelli di resistenza, che con 

riferimento al tipo elastico-fragile della Fig. 3 [Brady & Brown], 

corrispondono ai punti A, B, C: 

A = sforzo di “snervamento” (yield strength) 

B = sforzo di picco (peak strength) 

C = sforzo residuo (residual strength). 

Fig.3 - Livelli di resistenza sulla curva intrinseca. 

Il comportamento di tipo b) è di fatto considerato in tutti i metodi di calcolo 

all’equilibrio limite di stabilità di versanti; infatti in esso la resistenza di 

picco coincide con quella residua. 

Il comportamento di tipo a) elastico-fragile è proprio delle rocce; esse 

possono avere comportamento di tipo b) solo se fortemente fratturate o 

alterate. 

In generale comunque è lecito aspettarsi, nel caso degli ammassi rocciosi, 

una caduta di resistenza connessa al superamento della resistenza di picco. 

Detta caduta di resistenza sarà funzione di: 

a) stato fratturativo dell’ammasso 

b) tensione di confinamento nel campo degli sforzi. 

Qualora si applicasse il criterio di rottura di Hoek & Brown si possono 

allora utilizzare come parametri residui quelli ottenuti dalla formulazione 

28


empirica di Priest & Brown che definisce i valori di m,s in funzione del 

parametro RMR. 

Calcolo dell'influenza di carichi esterni e di opere di sostegno sulla 

stabilità del versante. 


Con Sn indichiamo la componente normale al piano potenziale di taglio 

della somma delle forze applicate sulla superficie della base del concio da 


(23) S n = S i x(sen β x cos α + cos β x sin α); 

con 


β=inclinazione dei sovraccarichi rispetto all'orizzontale, crescente in senso 

antiorario. 

La grandezza S n va sommata, nell'equazioni dei metodi di calcolo visti in 

precedenza, alla componente della forza normale N dovuta al peso del 

concio i (vedi eq.4) 

Con St indichiamo la componente tangenziale al piano potenziale di taglio 

della somma delle forze applicate sulla superficie del concio da 



La grandezza St va sommata alla componente della forza tangenziale T 

dovuta al peso del concio (vedi eq.4). 

L'effetto di un sovraccarico sul pendio è quindi duplice: si ha una variazione 

positiva o negativa (a seconda dell'inclinazione del sovraccarico rispetto alla 

superficie potenziale di rottura ) sia delle forze normali sia di quelle 

tangenziali, con conseguente modifica dei valori della resistenza al taglio 

massima e di quella mobilitata. 

29



L'analisi dell'influenza delle sollecitazioni sismiche sulla stabilità globale di 

un versante può essere condotta attraverso due approcci differenti: 

• si può introdurre la semplificazione che il sisma agisca come un sistema 

di forze sul pendio di intensità e verso costante per tutta la durata 

dell'evento sismico (metodo pseudostatico); 

• si può introdurre nel calcolo un sistema di forze che tenga conto delle 

variazioni di verso ed intensità della sollecitazione sismica durante 

l'evento (metodo dinamico). 

La seconda procedura (metodo dinamico), pur conducendo a valutazioni più 

realistiche,richiede la conoscenza o la simulazione di un accelerogramma di 

riferimento, che fornisca per ogni istante dell'evento sismico l'andamento 

delle accelerazioni subite dal pendio. Questo dati non sono però di facile 

acquisizione, fatto che limita in pratica l'utlizzo di questo approccio. 

Il programma utilizza il metodo pseudostatico, metodo meno preciso di 

quello dinamico (fornisce in genere stime a favore della sicurezza della 

stabilità globale), ma che presenta il vantaggio di essere di facile 

applicazione. Gli unici dati richiesti in questo caso sono la accelerazione 

massima orizzontale e, eventualmente, verticale subita dal versante durante 

il sisma. 

Il valore di Ago (accelerazione massima orizzontale), in mancanza di 

valutazioni migliori può essere scelto fra quelli proposti dalle Norme 

tecniche per le costruzioni in zona sismica del GNDT: 

• Ago=0.15 in zone con grado di sismicità uguale a 6; 

• Ago=0.25 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria); 

• Ago=0.35 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria); 

oppure fra quelli indicati dalla Normativa vigente: 

• Ago=0.04 in zone con grado di sismicità uguale a 6; 

30


• Ago=0.07 in zone con grado di sismicità uguale a 9 (ex II categoria); 

• Ago=0.10 in zone con grado di sismicità uguale a 12 (ex I categoria); 

Per il parametro Agv (accelerazione massima verticale) una stima può 

essere fatta applicando la relazione proposta da Tezcan et Alii(1971): 

Agv = f x Ago; 

con f=fattore di trasformazione variabile da 0,5 a 0,67. 

Si tenga presente comunque che la Normativa vigente propone, in 

condizioni normali, di trascurare Agv. 

Il programma applica il metodo pseudostatico alla stabilità attraverso due 

procedure differenti: il criterio delle forze orizzontali e quello di Binnie. 

• Criterio delle forze orizzontali: 

Una valutazione dell'effetto di un sisma sulla stabilità di un versante può 

essere fatta, supponendo che, durante l'intervallo di tempo in cui si ha la 

manifestazione dell'evento sismico, su ogni singolo concio venga applicata 

una forza orizzontale, diretta verso l'esterno, di modulo uguale a: 

(25)Fsisma = Ago x Pc; 

con 

Ago = accelerazione sismica orizzontale max; 

Pc = peso del concio. 

Se con Ssisma indichiamo la sollecitazione sismica applicata al concio iesimo: 

con 

Vc=volume del concio; 

(25') Ssisma= Ag x Vc x y; 

31


y=peso di volume medio del terreno costituente il concio; 

le componenti normali e tangenziali di questa forza saranno date 

rispettivamente da: 

(26a)Sn = - Ssisma sen(alfa); 

(26b)St = Ssisma cos(alfa). 

con alfa=inclinazione della base del concio rispetto all'orizzontale. 

La sollecitazione sismica conduce quindi da una parte alla diminuzione 

delle forze normali applicate sulla base del concio, dall'altra porta ad un 

aumento delle forze tangenziali sulla base stessa. L'effetto complessivo è 

quello quindi di abbassare il valore del coefficiente di sicurezza. Questo 

criterio non è applicabile a pendii con superfici di scivolamento potenziali 

molto profonde, poichè in questo caso si avrebbe una sovrastima eccessiva 

delle forze agenti, con un conseguente abbassamento sproporzionato del 

coefficiente di sicurezza. 

• Criterio di Binnie. 

Secondo questo criterio l'azione delle forze sismiche può essere simulata, 

effettuando la verifica sul pendio ruotato di un angolo dato dalla relazione: 

(27a) θ = arctg [Ago/(1+Agv)]. 

In pratica viene aumentata l'inclinazione media del versante, con 

conseguente abbassamento del coefficiente di sicurezza. 

Nel metodo si propone inoltre di moltiplicare il peso dei singoli conci per un 


(27b) fc = √ [ ( 1 + Agv )² + Ago² ]. 

Il criterio può essere applicato a pendii con superficie potenziale di 

scivolamento qualsiasi, ma può condurre ad errori, soprattutto per valori 

elevati di Ago e Agv, nel caso sia presente la falda. 

32


Tiranti. 

La tirantatura di un versante potenzialmente instabile cerca di conseguire il 

duplice obiettivo di introdurre forze tangenziali (St) che si oppongano a 

quelli instabilizzanti dovuti alla forza di gravità (diminuzione di T nell'eq.4) 

e di aumentare lei forze normali (Sn) agenti sulla base del concio 

(incremento di N nell'eq.4). 



con 

alfa=inclinazione della base del concio i-esimo; 

b=180°-i, con i=inclinazione del tirante rispetto all'orizzontale contato in 

senso orario; 

Si=carico d'esercizio del tirante. 

La presenza dell’elemento strutturale lineare metallico (tirante o chiodo) 

agisce inoltre come sezione resistente al taglio puro lungo la superficie di 

potenziale rottura; in tal caso, allo scopo di rappresentare lo sforzo resistente 

di taglio puro offerto dall’elemento resistente, d’ora in poi chiamato 

“chiodo”, è possibile introdurre un incremento di resistenza (Td) 

nell’ammasso roccioso dovuto al cosiddetto “effetto Dowel” (in italiano 

“effetto tassellatura o incavicchiatura”). 

I presupposti perchè si sviluppi l’ ”effetto Dowel” sono: 

a) elementi di rinforzo passivi ovvero non tesati 

b) sufficiente rigidezza e resistenza dell’ammasso roccioso al contorno 

dell’insieme cementazione-chiodo. 

Secondo Bjurstrom questo effetto dipende da tre parametri dell’insieme 

roccia al contorno-cementazione-chiodo: 

1. il diametro del chiodo (o barra) (˘ b o db) 

33


( s · ) 

2 

Td = db · 0, 

67 · s sc 

dove i parametri sono espressi in: 

db [m] 

sc [MPa] 

ss [MPa] 

In termini di incremento di coesione dovuto all’ “effetto Dowel” - Cd = 

coesione dovuta all’ “ effetto Dowel” – si ha: 

C 

2. la resistenza a compressione monoassiale minore tra quella 

dell’anello di cementazione nel foro e quella dell’ammasso roccioso 

al contorno (s c) 

3. la resistenza allo snervamento del chiodo (o barra) (ss) 

Il contributo allo forza resistente così offerto da ciascun chiodo è pari a : 

d 

n · Td 

= 

s 

T = 0 67d 2 

, σ σ [MPa * m 2 ] ; 

d b s c 

C 

d 

nTd 

= [MPa]; 

s 

dove : 

n = numero di chiodi che interessa la superficie di scivolamento 

s = sviluppo della superficie di scivolamento considerata 

Per inserire l’incremento di resistenza così espresso nelle verifiche di 

stabilità in roccia occorre calcolare i parametri ni e si relativi alla base di 

ciascun i-esimo concio e conseguentemente stimare la componente di 

resistenza (coesione = Cd-i-esimo ) per “effetto Dowel” di ciascuno di essi da 

sommarsi alla coesione dell’ammasso roccioso naturale. 

Nel posizionare e dimensionare i tiranti va infine tenuto presente che: 

• il bulbo d'ancoraggio deve trovarsi ad una profondità superiore a quella 

della superficie potenziale di scivolamento, per poter esercitare la sua 

azione stabilizzante; 

• l'inclinazione ottimale del tirante può essere valuta con la relazione : 

(30) iottimale = tan phi/Fs 

34


con 

phi=angolo di resistenza al taglio del terreno; 

Fs=coefficiente di sicurezza da raggiungere con l'intervento. 

35


Reticolo di micropali. 

La stabilizzazione di un versante può essere ottenuta anche attraverso la 

messa in opera di un reticolo di pali di piccolo diametro (micropali). 

L'effetto che si cerca di ottenere in questo caso è di incrementare la 

resistenza al taglio mobilitabile lungo la superficie di scivolamento, 

creando un complesso pali-terreno che si comporti come un insieme 

omogeno, rispetto ale sollecitazioni a cui è sottoposto il pendio. Questa 

azione di armatura del pendio può essere introdotta nel calcolo, supponendo 

un incremento virtuale della resistenza meccanica del terreno costituente il 

versante. 

Supponendo, a favore della sicurezza, che l'angolo di resistenza al taglio del 

terreno rimanga invariato, si può esprimere il miglioramento delle 

caratteristiche meccaniche del pendio incrementando il parametro coesione. 

La procedura è descritta di seguito. 

• Si calcola l'area resistente equivalente del micropalo singolo attraverso 

la relazione: 

(31) Ae = Acls + 15 x Aacciaio; 

con 

Acls=area trasversale del micropalo; 

Aacciaio=area dell'armatura d'acciaio. 

• Si valuta l'incremento della superficie potenziale di scivolamento con la 

formula: 

(32) DS=Co x Nm x Ae; 

in cui 

Co=Coefficiente di omogenizzazione palo-terreno dato da: 

(33) Co=Ep/Et; 

dove: 

Ep=modulo di elasticità del calcestruzzo; 

36


Et=modulo di deformazione media del terreno; 

Nm=numero di file di micropali per metro verticale. 

• Si determina l'incremento della coesione lungo la superficie potenziale 

di scivolamento con la relazione: 

(34) Dc = (ci + Smi x tan phii) x DS / ∑ li 

dove: 

ci=coesione media del concio i-esimo; 

phii=angolo di resistenza al taglio media nel concio i-esimo; 

Smi=pressione efficace media agente sulla base del concio i-esimo 

∑li=sommatoria delle lunghezze delle basi dei singoli conci. 

• Si stima infine coesione virtuale per ogni concio, da usare nella verifica 

di stabilità, con la relazione: 

(35) Cv = Ci + DC. 

Come nel caso dei tiranti è evidente che il reticolo di micropali per svolgere 

un'azione stabilizzante deve andare ad appoggiarsi ad una profondità 

superiore a quella della superficie potenziale di scivolamento. 

Muri e gabbionate. 

Opere di stabilizzazione superficiali, come muri e gabbionate, vanno 

considerati , nella verifica di stabilità del pendio, sia per il loro effetto come 

sovraccarichi verticali sia per l'azione di contenimento che esercitano sul 

terreno a monte . I due effetti vanno calcolati come segue: 

• il sovraccarico verticale è dato dalla somma del peso dell'opera, muro o 

gabbionata, e della componente verticale della spinta delle terre a tergo 

dell'opera stessa; 

• l'azione di contenimento va posta uguale alla componente orizzontale 

della spinta delle terre. 

37


Va tenuto presente che quest'ultima spinta entra in azione solo per superfici 

potenziali di scivolamento che vadano ad intersecare la base dell'opera: per 

superfici più profonde il muro o la gabbionata agiscono solo come 

sovraccarichi, senza espletare funzione di contenimento. 

Nel calcolo della stabilità del pendio, l'effetto delle due spinte è quello di 

modificare le forze tangenziali (St) e normali (Sn) agenti sulla base del 

concio. Numericamente questo può essere espresso dalle relazioni (23) e 

(24), modificate come segue: 

• nel caso l'opera agisca come sovraccarico verticale (b=90°): 

(36) Sn = Sv x cos α ; 

(37) St = Sv x sin α; 

con 

Sv=modulo del sovraccarico verticale; 


• nel caso invece l'opera svolga azione di contenimento (b=0°): 

Palificate. 

(38) Sn = So x sin α; 

(39) St = So x cos α; 

con 

So=modulo della spinta orizzontale delle terre. 

Palificate con pali di grosso diametro che resistano a forze orizzontali 

possono essere impiegati nella stabilizzazione di pendii. L'azione di 

contenimento della palificata può essere calcolata considerando prima 

l'effetto del palo singolo e quindi del gruppo di pali. 

38


1. Pali singoli 

Verrà presa in considerazione la teoria di Broms(1964) applicata a pali 

rigidi a testa incastrata, distinguendo fra pali fondati in terreni coesivi e pali 

fondati in terreni incoerenti. 

• Terreni coesivi. 


(40)Rlat=9 Cu Dpalo (Lpalo - 1.5 Dpalo); 

con 




La reazione del terreno ha quindi un andamento di tipo rettangolare, cioè 

costante con la profondità: 

• Terreni incoerenti. 

(41)Rz=9 Cu Dpalo. 


con 

γ = peso di volume del terreno ; 

Kp=(1 + sen ϕ)/(1 - sen ϕ). 

(42) Rlat=1.5 γ Lpalo 2 Dpalo Kp; 



39


2. Portanza della palificata. 

(43) Rz=3 γ Lpalo Dpalo Kp. 

Come nel caso di una palificata soggetta a carichi verticali, anche per gruppi 

di pali sottoposti a sollecitazioni orizzontali va definito il concetto di 

efficienza del gruppo. 

Viene definita efficienza di una palificata soggetta a carichi orizzontali il 

rapporto fra la portanza laterale complessiva del gruppo e la somma delle 

portanze laterali dei singoli pali . In pali fondati in terreni incoerenti 

l’efficienza spesso è prossima all’unità, in pali in terreni coesivi 

generalmente è inferiore. 

Si consiglia in generale di utilizzare come portanza laterale del gruppo di 

pali il minore fra questi due valori: 


2. la portanza laterale di un blocco di fondazione di larghezza uguale alla 

larghezza della palificata (lato della palificata perpendicolare alla 

direzione di carico) e di spessore corrispondente alla lunghezza dei pali, 

cioé: 

• Terreni coesivi: 

(44)Rpalificata=9 Cu Lpalo(Lpalificata-Cr); 

con 



• Terreni incoerenti: 

(45) Rpalificata=1.5 γ Lpalo 2 Lpalificata Kp. 

3. Azione di stabilizzazione della palificata. 

40


L'azione di contenimento della palificata interviene nel calcolo della stabiltà 

del pendio, modificando le forze normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla 

base del concio. 


Geotessili. 

(46) Sn = R palificata x sin a ; 

(47) St = -R palificata x cos a; 

con 

R palificata = portanza laterale della palificata; 


La resistenza meccanica del terreno può essere migliorata con l'introduzione 

di rinforzi in geotessili. Il singolo rinforzo, intercettando la superficie 

potenziale di scivolamento, isola un cuneo di terreno a monte che, in caso 

d'instabilità, tende a muoversi verso l'esterno. Il geotessile si oppone a 

questo movimento, sviluppando lungo la superficie di contatto rocciarinforzo 

una forza d'attrito diretta verso l'interno del pendio. Numericamente 

questa forza può essere espressa nel seguente modo: 

(48) Fr = Cf x tg phi x Lg x sv x Lf / Fsg 

con 

Cf = coefficiente d'attrito terra-rinforzo (normalmente varibile da 0.5 a 1); 

phi = angolo di resistenza al taglio del terreno; 

Lg = larghezza del rinforzo (posto in questo caso uguale a 1 metro); 

sv = pressione efficace agente sul rinforzo; 

Lf = tratto di rinforzo compreso fra la superficie di scivolamento ed il piano 

campagna (tratto in cui si sviluppa la forza d'attrito); 

Fsg = coefficiente di sicurezza (di solito posto uguale a 1.5). 

41


Anche in questo caso l'azione di contenimento della Fr, calcolata con la 

(48), interviene nel calcolo della stabiltà del pendio, modificando le forze 

normali (Sn) e tangenziali (St) agenti sulla base del concio. 


(49) Sn = Fr x sin a ; 

(50) St = -Fr x cos a; 

con 


Tension crack. 

In presenza di movimenti franosi incipienti o in evoluzione, è frequente la 

formazione in superficie di fratture di trazione (tension crack). Queste oltre 

a rappresentare vie preferenziali per l'infiltrazione delle acque superficiali 

nel corpo di frana, possono portare alla formazione di ristagni superficiali, 

agenti come sovraccarichi sul pendio. 

La variazione delle forze normali e tangenziali agenti sulla superficie del 

concio è data da: 

(51) Sn = yw x hw x sin a ; 

(52) St = yw x hw x cos a; 

con 

yw = peso di volume dell'acqua; 

hw = altezza dell'acqua nella tension crack; 


Va ricordato anche che fratture di trazione superficiali possono formarsi in 

terreni coesivi per essiccazione. 

Effetto dell'acqua sulla stabiltà dei versanti. 

42


Come è possibile constatare dall'osservazione delle formule utilizzate nei 

metodi dell'equilibrio limite (vedi eq. 8, 9, 12, 17), la falda viene fatta 

intervenire nel calcolo in due modi: 

• attraverso l'introduzione del carico idrostatico in diminuzione delle forze 

normali agenti sulla base del concio; 

• attraverso l'utilizzo nelle verifiche del peso di volume immerso del 

terreno. 

Attenzione. 

Occorre non confondere il peso di volume immerso del terreno con il peso 

di volume saturo. 

Il peso di volume saturo è dato dalla somma del peso per unità di volume 

dello scheletro solido del terreno e del peso dell'acqua gravitativa infiltrata 

nei pori beanti dello stesso. 

Il peso di volume immerso è uguale invece al peso di volume saturo 

diminuito dalla spinta di galleggiamento. 

Per esempio, se il peso di volume saturo del terreno è uguale a 2 t/mc ed il 

peso di volume dell'acqua è 1 t/mc, il peso di volume immerso del terreno 


peso di volume saturo - peso di volume dell'acqua = 2 -1 = 1 

Nel caso in cui siano presenti carichi idraulici superficiali (corsi d'acqua, 

laghi, ristagni ecc...) la superficie del pendio, a favore della sicurezza, può 

essere considerata permeabile. Questo comporta che il terreno costituente il 

pendio venga considerato saturo e trattato come se si fosse in presenza di 

falda. Ciò, da un punto di vista del calcolo porta ad una parziale 

compensazione dell'effetto, generalmente stabilizzante (perchè di solito 

applicati al piede del versante) dei carichi idraulici superficiali. 

Metodi di analisi probabilistica della stabilità globale. 

Introduzione. 

Nella verifica di stabilità di un pendio in roccia la maggior fonte 

d'indeterminazione è costituita dalla caratterizzazione meccanica del 

43


terreno, in particolare dalla stima dei parametri qualità dell'ammasso 

roccioso (indice Q di Barton o RMR di Beniawski) e resistenza alla 

compressione monassiale della roccia, che sono alla base del calcolo dei 

parametri coesione e angolo d'attrito istantaneo della roccia. 

Nei metodi dell'equilibrio limite spesso i parametri geomeccanici utilizzati 

nel calcolo sono ricavati facendo una media ponderata fra i dati ottenuti 

dalle misure eseguite in situ o in laboratorio. La dispersione dei valori che si 




cioè con uno dei metodi dell'equilibrio limite, da un'analisi di tipo 

probabilistico, che fornisca un'idea dell'influenza della dispersione dei dati 

geomeccanici sul valore del coefficiente di sicurezza. 

Metodi di Montecarlo applicati alla verifica di stabilità. 


in determinati intervalli, che godano nel complesso di proprietà statistiche. 

Fra le varie applicazioni possibili di tali metodi, vi è quella detta 'del 

campionamentò che consiste nel dedurre proprietà generali di un insieme 



campione random, più rappresentative saranno le proprietà dedotte. 

Nel caso di applicazione del metodo alla verifica di stabilità di pendii in 

terra, la procedura da seguire potrebbe essere la seguente: 

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie RMR e Rc (resistenza 

alla compressione monassiale) misurate in situ o in laboratorio, 

supponendo che sia di tipo gaussiano ( cioè rappresentate da una curva a 

campana, con il valore centrale corrispondente al valore medio); 



• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore 

dell'indice RMR e della Rc, rispettando la curva di distribuzione delle 

probabilità di queste due grandezze (facendo cioè in modo che la 


44




casuali generati nel punto precedente in una serie di coppie di valori di 

RMR e Rc; 

• scelto un metodo deterministico di calcolo, si esegue la verifica di 

stabilità con tale metodo per ogni coppia di valori di RMR e Rc , 

ricavando il rispettivo coefficiente di sicurezza F s ; 

• si crea la curva di distribuzione della frequenza dei valori di F s ottenuti, 

per esempio sottoforma di istogramma, visualizzando l'andamento di tali 

coefficienti rispetto ad un valore di riferimento (per es. rispetto al valore 

di Legge 1,3). 

L'aspetto del grafico della distribuzione di F s consente di valutare se la 


calcolo della stabilità del versante. Nel caso, per esempio, in cui il valore 

medio di F s sia maggiore di 1.3, ma una percentuale significativa delle 

verifiche effettuate con il metodo di Montecarlo ricada sotto tale limite, si 

può trarre la conclusione che la dispersione dei parametri geomeccanici sia 

eccessiva e non permetta di fornire una risposta precisa al problema della 

stabilità del versante: in questo caso si rende necessaria una migliore 

caratterizzazione geomeccanica dell'ammasso roccioso. 

Il metodo di Montecarlo può essere impiegato anche per retro-analisi di 

stabilità. Costruendo infatti a tentativi delle curve di distribuzione ipotetiche 

di RMR e Rc, si può stimare per quale intervallo di questi valori il pendio 

risulta stabile. Il confronto fra la distribuzione dei parametri geomeccanici 

ipotizzata e quella misurata permette di trarre delle conclusioni sulla 

stabilità globale del pendio. 


distribuzioni di F s valide, che venga generato un numero sufficientemente 

elevato di coppie di parametri RMR e Rc, dalle quali ricavare il 

corrispondente valore di F s . Normalmente per ottenere distribuzioni stabili 

del coefficiente di sicurezza sono necessarie alcune centinaia di verifiche. Il 

raggiungimento della stabilità delle curve di distribuzione può essere 

valutato, applicando il metodo di Montecarlo su due insiemi di verifiche e 

confrontando quindi le relative distribuzioni con il test del χ 2 . 

45


Metodo di Rosemblueth applicato alla verifica di stabilità. 

Il metodo di Rosemblueth, applicato allla verifica di stabilità di un pendio in 

terra, consente di ricavare il valore più probabile del coefficiente di 

sicurezza ( valore medio) ed un'indicazione della sua dispersione (scarto 



RMR e Rc, supponendo una loro distribuzione gaussiana simmetrica (cioè a 

curva a campana con i tratti di sinistra e di destra simmetrici rispetto al 

valore centrale). 


• dai dati misurati in situ o in laboratorio, si calcoli il valore medio di 

RMR e Rc (RMR m e Rc m ) e i rispettivi scarti quadratici medii (s rmr e 

s rc ); 

• utilizzando uno dei metodi dell'equilibrio limite, si calcoli il coefficiente 

di sicurezza relativo alle seguenti combinazioni di parametri: 

1. (Rc = Rc m + s rc RMR = RMR m + s rmr )⇒ F s1 

2. ( Rc = Rc m + s rc RMR = RMR m - s rmr )⇒ F s2 

3. ( Rc = Rc m - s rc RMR = RMR m + s rmr )⇒ F s3 

4. ( Rc =R c m - s rc RMR = RMR m - s rmr )⇒ F s4 

• si calcoli quindi il valore medio di F s attraverso la relazione: 

(54) F m = ( F s1 +F s2 + F s3 + F s4 ) / 4; 


(55) S F =0.5 x √ ( F s1 2 +Fs2 2 + Fs3 2 + Fs4 2 ). 

46



dell'influenza della dispersione dei parametri geomeccanici sulla stabilità 

del versante: un elevato valore di S F può indicare una non sufficiente 

caratterizzazione geomeccanica del terreno, fatto di cui tener conto in 

particolar modo quando il valore di F m sia prossimo al valore di 1.3. Il 

coefficiente di sicurezza potrà quindi essere espresso come segue: 

(56) F s = F m ± S F; 

indicando che il coefficiente di sicurezza può variare nell'intervallo 

compreso fra F s = F m - S F e F s = F m + S F. 

Stabilità dei singoli cunei rocciosi. 

Verifica di un cuneo in roccia 

La scelta del modello di verifica da adottare nell'analisi di stabilità di un 

pendio roccioso dipende essenzialmente dall'assetto strutturale dell'ammasso 

di cui è costituito e non può prescindere da un accurato rilevamento 

geomeccanico del versante stesso e dal riconoscimento delle condizioni 

idrogeologiche che condizionano il sito. 

L'analisi di stabilitàin termini di fattore di sicurezza è quindi subordinata 

alla comprensione dei fenomeni in atto e alla quantificazione 

geometrica e fisica delle grandezze e delle forze in gioco, includendovi 

anche gli eventuali carichi idraulici, sismici, ecc. . 

I fenomeni di instabilità delle scarpate in roccia sono condizionati dallo 

assetto strutturale dell'ammasso roccioso. Il meccanismo del dissesto 

dipenderà quindi dal numero e dall' orientamento delle famiglie di 

discontinuità che interessano l'ammasso roccioso stesso.Se due piani di 

giunto si intersecano tra loro si puòavere, nel caso che questo sia limitato 

da altre due superfici libere costituite dal fronte e dalla superficie del 

versante, la formazione di un cuneo roccioso. Nel caso di scivolamenti 

lungo giunti coniugati appartenenti a famiglie diverse l' analisi della 

stabilitàviene condotta con il metodo dell'equilibrio limite,assumendo che 

47


la resistenza allo scorrimento sia diretta parallelamente alla direzione del 

movimento. 

La soluzione del problema richiede la definizione dei principali elementi 

geometrici del cuneo (angoli, aree e volumi) e della risultante delle varie 

forze agenti. 

Analisi con il test di Markland. 

Un'analisi di tipo speditivo della stabilità dei singoli cunei rocciosi può 

essere fatta utilizzando il test di Markland. 

Il procedimento fornisce un'indicazione qualitativa della stabilità del cuneo 

in funzione del suo orientamento nello spazio e della stima della resistenza 

al taglio mobilitabile lungo i piani di possibile scorrimento. Quest'ultima 

grandezza viene quantificata attraverso il parametro angolo d'attrito di picco 

medio delle discontinuità meccaniche (vedi paragrafo 'Scelta dei parametri 

di resistenza al taglio’). 

Il test prevede quattro situazioni possibili. 

1. Cuneo potenzialmente instabile. 

48


Questa sistuazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio meno 

inclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio di picco mobilitabile 

lungo le superfici potenziali di scorrimento sia inferiore all'inclinazione 

della linea d'intersezione dei piani di scorrimento. 

2. Cuneo stabile. 

49




lungo le superfici potenziali di scorrimento sia superiore all'inclinazione 

della linea d'intersezione dei piani di scorrimento. Si verifica ovviamente 

anche per cunei a reggipoggio o a franapoggio più inclinati del pendio. 

3. Cuneo con stabilità incerta. 

50




lungo le superfici potenziali di scorrimento sia circa uguale all'inclinazione 

della linea d'intersezione dei piani di scorrimento. In questa caso va tenuto 

presente che generalmente l'errore insito nella grandezza angolo di 

resistenza al taglio è di circa 2°, se non addirittura maggiore. Il test di 

Markland non permette in queste condizioni di ottenere un responso preciso 

sulla stabilità del cuneo, per ottenere il quale occorrerà l'impiego di metodi 

più precisi. 

51


4. Cuneo potenzialmente instabile per ribaltamento. 

Questa situazione si verifica quando il pendio ed una delle discontinuità 

sono subverticali con immersione circa uguale. In questo caso il valore 

dell'angolo di resistenza al taglio non influisce sulla stabilità, in quanto si 

può supporre che le due facce della superficie di ribaltamento non siano in 

contatto e quindi non sviluppi un'apprezzabile resistenza al taglio. 

Analisi con il metodo dell'equilibrio limite. 

52


Il piu semplice schema di dissesto tridimensionale fa riferimento ad un 

cuneo di roccia a forma tetraedrica che può avere due superfici libere 

(caso più importante e frequente) o una sola superficie libera.Per il calcolo 

del fattore di sicurezza si consideri il caso di un cuneo simmetrico (con 

due superfici libere) soggetto soltanto alla sola azione del peso proprio.Il 

peso del cuneo puòessere scomposto in due componenti: 

T 12 agente lungo la linea di intersezione 

N 12 normale a tale linea 

Quest'ultima deve essere equilibrata da una reazione tangenziale T N e da 

una reazione normale N, agenti su ciascuna faccia. 

La reazione N determina la massima resistenza allo scorrimento 

mobilizzabile e il coefficiente di sicurezza potrà essere definito come 

segue: 

con: 

(57) Fs = [A x Tr x (N / A)] / û[ (T 12 / 2)ý + T N ý]; 

A = area di ciascun giunto; 

Tr = legge di resistenza assunta (vedi paragrafo 'Scelta dei parametri 

di resistenza al taglio'); 

Per L'equilibrio in direzione perpendicolare alla linea di intersezione deve 

aversi: 

con: 

(58) 2N x sin(i/2) + 2 x TN x cos (i/2) = N 12 = W cos (b 12 ); 

i = angolo compreso fra i due giunti A e B; 

b 12 = inclinazione rispetto all'orizzontale della linea d'intersezione. 

Il problema risulta staticamente indeterminato per cui varie combinazioni di 

N e T N possono fornire coefficienti di sicurezza molto differenti tra loro. 

53


Se si assume T N = 0 si ottiene il coefficiente piùelevato tra quelli possibili 

(metodo del cuneo rigido). 

Per il calcolo della stabilità del cuneo occorre in primo luogo che la 

giacitura dei giunti rispetto al pendio sia tale da consentire cinematismi. 

Occorre che il cuneo sia appoggiato sulla massa rocciosa retrostante. Le 

normali alle facce del cuneo devono essere cioè dirette verso il basso. 

Il fattore di sicurezza di sicurezza può essere calcolato come segue. 

dove: 

(59) Fs = [A1 x TR1 x (N1 / A1) + A2 x TR2 x (N2 / A2)] / T 12 ; 

A1 = area del giunto 1 

A2 = area del giunto 2 

TR1 x (N1/A1) = resistenza disponibile lungo il giunto 1 in 

corrispondenza delle sollecitazioni normali N1/A1; 

TR2 x (N2/A1) = resistenza disponibile lungo il giunto 2 in 

corrispondenza delle sollecitazioni normali N2/A2; 

T 12 = componente del peso del cuneo agente lungo l' intersezione 

dei piani 1 e 2. 

La 3) in realtà può essere considerata valida solo nel caso in cui sia N1>0 e 

N2 > 0, con il cuneo che tende a scivolare lungo la linea d' intersezione dei 

piani 1 e 2. 

Nei casi in cui sia N1 > 0 e N2 < 0 oppure N1 < 0 e N2 > 0 lo scivolamento 

non avviene più lungo l'intersezione dei piani,ma lungo la linea di massima 

pendenza dei piani 1 o 2 rispettivamente. 

Il coefficiente di sicurezza deve essere espresso allora nei seguenti modi: 

(60) Fs = A1 x TR1 x (N1 / A1) / T1 (N1 > 0 e N2 < 0); 

con 

T1 = componente del peso del cuneo agente lungo la linea di 

massima 

pendenza del piano 1 

(61) Fs = A2 x TR2 x (N2 / A2) / T2 (N1 < 0 e N2 > 0); 

54


con 

T2 = componente del peso del cuneo agente lungo la linea di 

massima pendenza del piano 2. 

Nell'ipotesi infine in cui si abbiano N1 < 0 e N2 < 0 (cuneo che si solleva 

rispetto al versante) non esiste alcuna definizione di Fs e si assume una 

generale instabilitàsenza quantificarla numericamente. 

Scelta dei parametri della resistenza al taglio. 

Il comportamento meccanico dei giunti di discontinuità meccanica può 

essere descritto con due criteri alternativi. Supponendo che il giunto 

abbia un comportamento meccanico globale di tipo lineare (la resistenza 

mobilitata cresce linearmente con gli sforzi applicati) può essere utilizzata 

la relazione di Mohr-Coulomb: 

con: 

(62) T = C + (s-u) x Tg ϕ; 

T = reistenza al taglio del giunto; 

s = pressione totale agente sul giunto; 

u = carico idraulico; 

ϕ = angolo di resistenza la taglio del giunto; 

C = coesione del giunto. 

L'esperienza ha peròdimostrato la non corrispondenza di questa ipotesi 

col comportamento reale dell'ammasso roccioso. Più indicato in questo caso 

è l'adozione di un criterio non lineare (la resistenza mobilitata cresce in 

maniera non lineare al crescere degli sforzi efficaci, con un andamento 

di tipo parabolico). 

Barton suggerisce l'adozione del seguente criterio empirico: 

(63) T = Pn x tg [ϕ b + JRC x Log (Pj / Pn) ]; 

55


con: 

T = resistenza la taglio del giunto; 

Pn = pressione normale applicata sul giunto; 

ϕ b = angolo di resistenza la taglio di base del giunto; 

JRC = coefficiente che descrive il grado di rugosità della superficie 

della discontinuità (Joint Roughness Coefficient); 

Pj = resistenza alla compressione monoassiale del giunto. 

Questa relazione ha il suo campo ottimale di applicabilità per valori di 

(Pj/Pn) compresi nell'intervallo 0.01 e 0.3., all'interno del quale ricadono la 

maggior parte dei casi di analisi di stabilità. 

56


MECCANICA DELLE ROCCE 

Modalità d’esecuzione del rilievo geomeccanico. 


Per caratterizzare un ammasso roccioso a comportamento rigido dal punto 

di vista meccanico è necessario eseguire una serie di operazioni che, nel loro 

insieme, costituiscono il rilievo geomeccanico. Nella pratica si distinguono 

generalmente rilievi geomeccanici speditivi, di dettaglio e di grande 

dettaglio. Nel primo caso vanno misurati soltanto alcuni parametri 

fondamentali, nel secondo tutti quelli necessari per la caratterizzazione 

dell'ammasso roccioso e nel terzo caso ulteriori parametri richiesti 

esplicitamente dalla finalità del lavoro. 

Di seguito vengono esposte le operazioni necessarie per un corretto rilievo 

geomeccanico, a partire dalla scelta dell'area su cui effettuare le misure. 

Tutti i dati ricavati dal rilievo andranno utilizzati per la determinazione della 

classe dell'ammasso roccioso studiato, al fine di individuarne 

qualitativamente le caratteristiche meccaniche attraverso le classificazioni 

tecniche di Bieniawski (1973 e successive modifiche), di Wickham (1972) e 

di Barton (1979). 

1


Scelta dell’area di rilievo strutturale A.R.S. 

L'area su cui effettuare il rilievo geomeccanico deve avere specifiche 

caratteristiche: 

• la superficie sulla quale si eseguiranno le misure deve essere il più 

vicino possibile al sito dove verrà realizzata l'opera; se si tratta di una 

caratterizzazione volta all'analisi di stabilità di un versante è opportuno 

effettuare le misure sull'ammasso che costituisce il versante stesso; nei 

casi più generali, l'area scelta deve essere rappresentativa, dal punto di 

vista geologico e strutturale, di una zona più ampia, dove verrà realizzata 

l'opera; 

• la superficie di affioramento deve essere di almeno 50 mq; 

• gli affioramenti dovrebbero essere esposti (preferibilmente) almeno su 

due lati, così da consentire osservazioni più complete. 

Operazioni di rilievo. 

• Descrizione geologica e petrografica dell'ammasso roccioso. 

Andranno descritte la struttura (pieghe, faglie, eteropie), lo stato di 

alterazione dell'ammasso roccioso e tutto quanto può servire per un 

inquadramento più generale (nome formazionale, litologia, particolari 

strutture sedimentarie, ecc.). 

• Operazioni riguardanti le discontinuità 

Orientamento nello spazio. 

In funzione della complessità strutturale dell'ammasso roccioso sarà 

necessario effettuare un certo numero di misure di immersione e 

inclinazione delle famiglie di discontinuità presenti. Il numero di misure da 

effettuare dovrà essere in funzione del grado di fratturazione dell’ammasso 

2


e dell’estensione areale dell’affioramento. Si va quindi da poche decine di 

misure per situazioni strutturali semplici, in indagini di tipo speditivo, a 

parecchie centinaia per situazioni strutturali complesse per indagini di 

dettaglio. 

L'orientazione dei piani di discontinuità delle famiglie andrà rappresentata 

attraverso opportune proiezioni stereografiche (vedi capitolo successivo). E' 

buona norma comunque, prima di iniziare l’esecuzione del rilievo dei dati, 

individuare subito i maggiori sistemi di discontinuità, in base al loro 

orientamento generale nello spazio, e misurare quindi le giaciture dei giunti 

procedendo famiglia per famiglia. 

Misura della spaziatura. 

La spaziatura è la distanza media tra due discontinuità appartenenti alla 

stessa famiglia, misurata perpendicolarmente alle discontinuità stesse. Per 

misurare questo dato si dovrà predisporre un allineamento almeno dieci 

volte maggiore della spaziatura media stimata in prima approssimazione 

(comunque l'allineamento non deve essere mai inferiore ai 2 m) e contare le 

discontinuità della stessa famiglia che vi ricadono. Il valore medio della 

spaziatura sarà dato ovviamente dal rapporto S=L/n (L = lunghezza 

dell'allineamento e n= numero di discontinuità contate). 

Misura dell' intercetta. 

Lungo una traccia prefissata si misurano le distanze fra tutte le discontinuità 

che intersecano lo stendimento (appartenenti a qualsiasi famiglia). E' 

consigliabile effettuare misure lungo due stendimenti tra loro perpendicolari 

(per esempio uno orizzontale ed uno verticale). Si terrà in considerazione il 

valore minore fra quelli misurati. 

Stima della persistenza. 

La persistenza è l'estensione areale percentuale di una discontinuità. Se non 

è possibile verificare l' estensione areale, perchè l'affioramento è esposto 

solo lungo un lato, è sufficiente misurare la persistenza lineare, ovvero la 

continuità espressa in percentuale della traccia della discontinuità rispetto 

all'estensione dell'affioramento. 

3


Per la stima della persistenza lineare media di una famiglia di discontinuità 

si considerano 3 classi: 

- PL < 50% 

- 50%< PL 90% 

Per la stima della persistenza areale (cosa possibile in presenza di almeno 

due superfici di affioramento contigue ed orientate in maniera differente) si 

distinguono ancora 3 classi: 

- PA < 25% 

- 25% < PA 80% 

Se la PA è < 25% la resistenza dell'ammasso roccioso dipende 

esclusivamente dal comportamento meccanico del materiale roccia. Sarà 

invece la resistenza mobilitabile lungo le superfici dei giunti a caratterizzare 

il comportamento meccanico di un ammasso roccioso con PA>80%. 

Rientrano nella classe intermedia tutte le situazioni comprese tra il 25 e 80% 

di PA. 

Lo stesso discorso è valido anche per quanto riguarda la PL, anche se in 

questo caso l’indicazione è meno attendibile. 

Stima del V.R.U. (Volume Roccioso Unitario). 

Bisogna indicare quali sono le dimensioni medie dei volumi rocciosi isolati 

dall'intersezione delle discontinuità. Per la definizione del V.R.U si può 

ricorrere all'indice Jv (numero di giunti per mc): 

dove: 

8 

V. 

R. 

U. 

= 

Jv Jv ... Jv 

Jv= 1/ Spaziatura famiglia 1,2…n; 

1 

2 

n 

4


oppure si fa una media dei volumi più rappresentativi in cui è suddiviso 

l'ammasso roccioso. 

Irregolarità delle discontinuità. 

Una discontinuità è caratterizzata da irregolarità a grande scala 

(ondulazioni) e a piccola scala (rugosità). A grande scala si fanno 

osservazioni qualitative (superfici planari, regolari, ondulate, seghettate), a 

piccola scala si è conveniente utilizzare uno Shape Tracer (pettine di 

Barton). 

I profili, ottenuti attraverso l'adattamento alle irregolarità degli aghi mobili 

cui è costituito lo Shape Tracer, vanno confrontati con i profili di rugosità 

proposti da Barton ad ognuno dei quali corrisponde un coefficiente 

chiamato JRC (Joint Roughness Coefficient -indice della scabrezza delle 

superfici dei giunti-) (10 profili tipo con coefficienti variabili da 0-20 ad 

intervalli di 2). 

5


In linea di principio il valore di J.R.C. potrebbe anche essere ricavato con 

maggior precisione applicando la relazione: 

dove Z è dato dalla: 

J. R. 

C. 

= 32. 

2 + 32. 

47Log10Z 

( ) 

( ) 

∑ + 

= 

− 

= Z 

n 1 

yi 

y 

2 

1 i 

n dx i 1 

in cui: 

n = Numero degli intervalli di ascissa in cui è stato diviso il profilo; 

dx= Ampiezza lungo l’asse x dell’intervallo; 

6


Y Ordinata del profilo. 

Il valore di J.R.C. può essere ottenuto anche in maniera sperimentale, 

attraverso le prove di rotazione proposte da Barton e Choubey, 1977 (Tilt 

Test), utilizzando la relazione: 

dove: 

( α −ϕr 

) 

J. 

R. 

C. 

= 

⎛ J. 

C. 

S. 

⎞ 

Log ⎜ 

⎟ 

10 

⎝ σn 

⎠ 

α (°)= angolo di incipiente scorrimento 

ϕr (°)= angolo di attrito residuo 

σn (MPa)= sforzo normale 

J.C.S.(Mpa) = Joint Compressive Strength (Miller, 1965) 

Nella formula l'angolo d'attrito residuo ϕr(°) può essere assunto circa uguale 

all'angolo d'attrito di base del materiale roccia, ottenuto per scivolamento 

lungo superfici liscie. In alternativa, noto il valore di J.C.S. per la roccia 

sana e per quella alterata può essere ricavato attraverso la relazione: 

dove: 

ϕ 

r 

⎛ J. 

C. 

S. 

⎞ a 

= ϕ − + ⎜ 

⎟ 

b 20 20 

⎝ J. 

C. 

S. 

s ⎠ 

ϕb = angolo d’attrito di base della roccia; 

J.C.S.s=J.C.S. della roccia sana; 

J.C.S.a=JCS della roccia alterata. 

L’angolo d’attrito di base della roccia è quello relativo ad un superficie della 

discontinuità perfettamente levigata, ed è funzione solo della tessitura e 

della composizione mineralogica della roccia. 

In tabella sono riportati alcuni valori indicativi di ϕb per varie litologie: 

7


Litologia ϕb(°) 

Amfibolite 31 

Arenaria 25 - 35 

Basalto 31 - 38 

Calcare 33 - 40 

Conglomerato 35 

Dolomite 27 - 31 

Gesso 30 

Granito 23 - 39 

Gneiss 29 - 35 

Marna 27 

Porfirite 31 

Siltite 27 - 31 

Misura della resistenza sulle superfici. 

Per la valutazione della resistenza meccanica delle superfici dei giunti si 

utilizza il Martello di Schmidt o sclerometro, strumento costituito da un 

cilindro con punta rientrante, che misura la capacità del materiale di 

assorbire l'urto. Le superfici di discontinuità su cui appoggiare lo strumento 

non devono essere troppo rugose (JRC max=8). Inoltre, al di sotto del punto 

dove si effettua la prova non deve esserci una discontinuità entro una 

distanza di almeno 25 cm. 

L'indice del martello di Schmidt può essere correlato con la resistenza alla 

compressione delle superfici di discontinuità J.C.S. attraverso la relazione: 

Log J. 

C. 

S.( 

MPa) 

= 0. 

00088γr 

+ 1. 

01 

dove: 

γ(kN/mc)= Peso di volume della roccia; 

r= Indice del martello di Schmidt. 

10 

8


In alternativa si può utilizzare il seguente grafico, che tiene conto anche 

dell’inclinazione dello strumento rispetto all’orizzontale: 

9


10


Vanno effettuate misure sia su giunti sani che su giunti alterati. La 

differenza dei valori suggerisce il grado di alterazione della roccia. 

E' buona norma confrontare i valori di resistenza ottenuti con queste 

misurazioni con quelli ricavati da prove di Point load, su campioni prelevati 

dall'ammasso roccioso. Per alti valori di resistenza lo sclerometro infatti non 

è affidabile. Si possono avere dispersioni addirittura del 50 % per valori 

compresi tra i 100 e i 150 MPa. 

Misura dell'apertura e del riempimento delle discontinuità. 

Questi dati servono per entrare nelle tabelle di classificazione. 

Le aperture si possono misurare con spessimetro o con calibro, ma è 

sufficiente distinguere le classi considerando i range di valori indicati nelle 

tabelle di classificazione (vedi parametro A4 della Classificazione di 

Bieniawski -che propone valori compresi tra 0 e 30 in funzione dell'apertura 

e del tipo di riempimento- e parametri Jr e Ja della Classificazione di 

Barton, valutati in modo meno soggettivo). 

Condizioni di umidità. 

La valutazione qualitativa delle condizioni di umidità che interessano 

l'ammasso roccioso è indispensabile per entrare nelle tabelle delle 

classificazioni, che assegnano coefficienti variabili a seconda delle 

condizioni idrauliche che caratterizzano l'ammasso roccioso stesso. 

Prove di punzonamento (Point Load Test). 

Sui campioni prelevati si possono eseguire prove di Point Load per risalire 

alla resistenza a compressione monoassiale della roccia. I campioni vanno 

sempre prelevati dall'affioramento e non da blocchi già staccati, alla base 

dello stesso. 

Per provini irregolari (che si preleveranno dal sito studiato) il programma 

utilizza la formula proposta da Greminger: 

Is ( 50)( 

MPa) 

= 

( ) 

( ) 75 . 0 

0. 

138F 

DL 

11


dove: 

Is(50)(MPa)= Indice di point load già rapportato al diametro di riferimento 

(50 mm); 

D(mm)= Distanza fra le punte; 

L(mm)= Lunghezza del campione lungo la superficie di rottura; 

F(N)= Carico a rottura; 

La formula è valida anche per prove assiali su campioni cilindrici. 

Attraverso il parametro è possibile passare alla stima della resistenza alla 

compressione monoassiale della roccia attraverso la relazione: 

C 0( MPa) 

= 24Is( 

50) 

Rappresentazioni stereografiche delle giaciture delle discontinuità. 

Mentre grandezze come la spaziatura delle discontinuità, la loro apertura, i 

valori di JCS e JRC ecc., possono essere rappresentati con efficacia anche 

attraverso semplici istogrammi, le giaciture delle discontinuità richiedono 

per la loro visualizzazione diagrammi particolari, che forniscano 

un’indicazione precisa del loro orientamento nello spazio ed i rapporti 

spaziali fra piano e piano. 

Le giaciture dei piani di discontinuità vengono normalmente visualizzate 

attraverso proiezioni sferiche, equatoriali o polari. Tra le proiezioni più 

usate in questo campo si hanno: 

• la proiezione polare equiareale di Schmidt: 

viene utilizzata per la rappresentazione dei piani di discontinuità, 

visualizzati attraverso i loro poli, cioè attraverso l’intersezione della 

perpendicolare al piano con la sfera; 

12


questa rappresentazione stereografica, essendo equiareale, e quindi 

rispettando i rapporti fra le aree proiettate, consente di effettuare un’analisi 

statistica della distribuzione dei poli, per l’individuazione dei valori di 

giacitura più rappresentativi delle singole famiglie, corrispondenti con le 

zone di massimo addensamento dei poli; 

13


• la proiezione equiangolare di Wulff: 

viene utilizzata per la visualizzazione dei piani di discontinuità più 

rappresentativi, individuati attraverso l’analisi statistica delle giaciture 

misurate in campagna; essendo una proiezione equiangolare, permette di 

mantenere i rapporti angolari fra i diversi piani. 

14


15


Classificazione dell’ammasso roccioso. 

Introduzione. 

I dati ricavati dal rilievo geomeccanico vanno utilizzati per la 

determinazione della qualità dell'ammasso roccioso, esprimibile attraverso 

appositi indici, che hanno lo scopo di permettere una valutazione 

preliminare delle caratteristiche meccaniche dell’ammasso nel suo 

complesso. 

Diverse sono le classificazioni tecniche note in letteratura, le più importanti 

delle quali sono quelle di Deere (1964), Bieniawski (1973 e successive 

modifiche), di Wickham (1972) e di Barton (1979). Ognuna di esse fornisce 

un valore numerico (rispettivamente RMR, RSR e Q) derivato dalla somma 

di indici parziali stimati attraverso la valutazione qualitativa o quantitativa 

dei parametri e delle condizioni viste in precedenza. 

16


Classificazione di Deere (1964). 

Si basa sulla stima del parametro R.Q.D. (Rock Quality Designation), 

definito come la percentuale di recupero di carotaggio in roccia di spezzoni 

con lunghezza superiore ai 10 cm rispetto alla lunghezza totale perforata. 

R.Q.D. (%) = Σ Lunghezza spezzoni >=10 cm 

Lunghezza totale carotaggio 

Il valore di RQD% può essere calcolato, non disponendo di perforazioni, 

attraverso la formula di Palmstrom(1982): 

dove: 

RQD% = 115 - 3.3 x Jv 

Jv= numero di giunti per metro cubo, dato dalla sommatoria dell’inverso 

delle spaziature mediein metri delle famiglie di discontinuità rilevate 

Jv =Σ (1/Spaziatura); 

In alternativa può essere utilizzata la relazione di Priest e Hudson (1976): 

⎛ −0. 

1 ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ S media ⎠ 

⎛ 0. 

1 ⎞ 

RQD% 

= 100e 

⎜ + 1 ⎟ 

⎝ Smedia 

⎠ 

solitamente meno conservativa della precedente. 

La classificazione proposta da Deere è la seguente: 

R.Q.D. (%) Qualità della roccia 

0 - 25 molto scadente 

26 - 50 scadente 

51 -75 discreta 

76 - 90 buona 

91 - 100 eccellente 

17


La classificazione proposta da Deere è puramente qualitativa e fornisce solo 

un’indicazione sul comportamento meccanico dell’ammasso, che andrà 

integrata con altri parametri. 

18


Classificazione di Bieniawski (1973 e successive modifiche). 

La classificazione di Bieniawski tiene conto di 5 parametri relativi allo stato 

della roccia e dell'ammasso roccioso e di un indice di correzione il cui 

valore è funzione dell'orientamento delle discontinuità e del problema 

affrontato (gallerie, versanti e fondazioni). 

I parametri sono: 

RMR = (A1 + A2 + A3 + A4 + A5) - Ic; 

A1 (Resistenza a compressione monoassiale); 

A2 (Rock Quality Designation); 

A3 (Spaziatura delle discontinuità); 

A4 Condizioni dei giunti 

A5 Condizioni idrauliche dei giunti 

Ic Indice di correzione 

Ad ognuno di essi viene assegnato un indice parziale a seconda del valore 

(per , e ) o della condizione. 

Esistono diverse versioni di questa classificazione. Le più usate sono quelle 

del 1976, del 1979 e del 1989. 

19


Classificazione di Bieniawski del 1976 

PARAMETRI INTERVALLI DI VALORI 

RESISTENZA Carico puntuale(Mpa) >8 4-8 2-4 1-2 Non applicabile 

ROCCIA Compressione 

>200 100-200 50-100 25-50 10- 3-10 1-3 

1 INTATTA monoassiale(MPa) 

25 

Indice 15 12 7 4 2 1 0 

2 RQD (%) 90-100 75-90 50-75 25-50 3 1-3 0,3-1 0,05-0,3 5mm o 

scabre non Apertura Apertura riempimento5 mm. 

CONDIZIONE GIUNTI 

continue. 0,5 

IDRAULICHE naturale in sito 

Condizioni generali 

Acqua in debole 

Giunti asciutti Umidi pressione Gravi problemi 

idraulici 

Indice 10 7 4 0 

La somma dei 5 indici parziali fornisce il Basic RMR (BRMR). Il Basic 

RMR in condizioni di giunti asciutti (A5=10) corrisponde numericamente al 

parametro G.S.I. (Geological Strenght Index), grandezza collegata ai fattori 

m, a ed s dell’ammasso roccioso integro (vedi capitolo). Cioè si ha: 

GSI = BRMR76 

(solo per BRMR>18) 

Per la stima dell’indice di correzione Ic si deve fare riferimento alla 


20


Orientamento dei giunti Molto favorevole Favorevole Discreto Sfavorevole Molto sfavorevole 

Gallerie e miniere 0 -2 -5 -10 -12 

Fondazioni Indice 0 -2 -5 -15 -25 

Versanti 

0 -5 -7 -50 -60 

Applicando alla BRMR la correzione Ic si ottiene l’indice RMR, correlato 

alla qualità dell’ammasso roccioso e alle sue caratteristiche meccaniche 

secondo la seguente tabella: 

RMR 0-25 25-50 50-70 70-90 90-100 

CLASSE V IV III II I 

QUALITA’ Molto scadente Scadente Discreta Buona Ottima 

Coesione(Mpa) 0,3 

ϕ(°) 45 

21




RESISTENZA Carico puntuale(Mpa) >10 4-10 2-4 1-2 Non applicabile 

ROCCIA Compressione 

>250 100-250 50-100 25-50 5-25 1-5



alla qualità dell’ammasso roccioso e alle sue caratteristiche meccaniche 

secondo la seguente tabella: 

RMR 0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 



Coesione(Mpa) 0,4 

ϕ(°) 45 

23



Rispetto alle precedenti la classificazione del 1989 si differenzia per due 

aspetti: 

• la possibilità di valutare i parametri A1(resistenza della roccia), A2 

(RQD) e A3 (spaziatura) secondo una curva continua e non per classi 

discrete, come avveniva nelle classificazioni precedenti; 

• la possibilità di ricavare il parametro A4 (condizione dei giunti) in modo 

meno soggettivo, utilizzando una tabella più dettagliata. 

I parametri A1, A2, A3 possono essere ricavato direttamente attraverso i 

seguenti grafici: 

A1: 

A2: 

24


A3: 

25


Il parametro A4 deve essere ricavato attraverso la sommatoria di una serie 

di indici parziali, che tengono in considerazione la rugosità, l’apertura, la 

persistenza lineare, il riempimento e il grado di alterazione dei giunti. 


Lunghezza giunto 20 m 

Indice 6 4 2 1 0 

Apertura giunto Chiuso 5 mm 

Indice 6 5 4 1 0 

Rugosità giunto Molto rugoso Rugoso Leggerm. rugoso Liscio Laminato 

Indice 6 5 3 1 0 

Riempimento Nessuno Compatto5mm Molle5mm 

Indice 6 4 2 2 0 

Alterazione giunti Non alterati Legg.alterati Mediam.alterati Molto alterati Decomposti 

Indice 6 5 3 1 0 

Nell’effettuare la scelta di questi indici parziali si tenga presenti che alcune 

condizioni si escludono a vicenda: per esempio, se è presente un 

riempimento spesso diventerà irrilevante il contributo della rugosità, 

venendo a perdersi il contatto fra le pareti dei giunti. 

26


Infine, il parametro A5 (condizioni idrauliche) andrà calcolato come nella 

classificazione del 1979. 

Come nelle classificazioni precedenti, la somma dei 5 indici parziali 

fornisce il Basic RMR (BRMR). Il Basic RMR in condizioni di giunti 

asciutti (A5=15) può essere correlato anche in questo caso al parametro 

G.S.I. (Geological Strenght Index), grandezza collegata ai fattori m, a ed s 

dell’ammasso roccioso integro (vedi capitolo). Infatti si ha: 

79 5 − 

GSI = BRMR (solo per BRMR>23) 

Per la stima dell’indice di correzione Ic si deve fare riferimento, anche in 

questo caso, alla seguente tabella: 

Orientamento dei giunti Molto favorevole Favorevole Discreto Sfavorevole Molto sfavorevole 

Gallerie e miniere 0 -2 -5 -10 -12 

Fondazioni Indice 0 -2 -5 -15 -25 

Versanti 

0 -5 -7 -50 -60 


alla qualità dell’ammasso roccioso secondo la seguente tabella: 

RMR 0-20 21-40 41-60 61-80 81-100 



I parametri geomeccanici sono invece essere correlati direttamente a BRMR 

(e non a RMR) attraverso le relazioni: 

BRMR 

ϕ( 

° ) = 5+ 

2 

c ( MPa) 

= 0, 

005* 

BRMR 

E( 

GPa) 

= 10 

dove: 

ϕ(°)= Angolo d’attrito dell’ammasso roccioso; 

c(Mpa)= Coesione dell’ammasso roccioso; 

E(Gpa)= Modulo elastico dell’ammasso roccioso; 

BRMR−10 

40 

27


Test di Markland 

La classificazione di Bieniawski può essere applicata anche per la 

caratterizzazione geomeccanica di versanti, se si stabilisce un coefficiente di 

compensazione appropriato. 

Il programma propone l'utilizzo del Test di Markland (1972) (come 

suggerito da R. Pozzi e A. Clerici, 1985) per individuare quantitativamente 

le discontinuità che rappresentano piani di scivolamento in un pendio in 

roccia. 

Il procedimento fornisce un'indicazione qualitativa della stabilità del cuneo 

in funzione del suo orientamento nello spazio e della stima della resistenza 

al taglio mobilitabile lungo i piani di possibile scorrimento. Quest'ultima 

grandezza viene quantificata attraverso il parametro angolo d'attrito medio 

delle discontinuità meccaniche. 

Il test prevede quattro situazioni possibili. 

1. Cuneo potenzialmente instabile. 

28


Questa situazione si verifica per un cuneo roccioso a franapoggio meno 

inclinato del pendio, in cui l'angolo d'attrito medio mobilitabile lungo le 

superfici potenziali di scorrimento sia inferiore all'inclinazione della linea 

d'intersezione dei piani di scorrimento. 

29


2. Cuneo stabile. 



superfici potenziali di scorrimento sia superiore all'inclinazione della linea 

d'intersezione dei piani di scorrimento. Si verifica ovviamente anche per 

cunei a reggipoggio. 

30


3. Cuneo con stabilità incerta. 



superfici potenziali di scorrimento sia circa uguale all'inclinazione della 

linea d'intersezione dei piani di scorrimento. In questa caso va tenuto 

presente che generalmente l'errore insito nella grandezza angolo di 

resistenza al taglio è di circa 2°, se non addirittura maggiore. Il test di 

31


Markland non permette in queste condizioni di ottenere un responso preciso 

sulla stabilità del cuneo, per ottenere il quale occorrerà l'impiego di metodi 

più precisi. 

4. Cuneo potenzialmente instabile per ribaltamento. 

Questa situazione si verifica quando il pendio ed una delle discontinuità 

sono subverticali con immersione circa uguale. In questo caso il valore 

dell'angolo di resistenza al taglio non influisce sulla stabilità, in quanto si 

può supporre che le due facce della superficie di ribaltamento non siano in 

contatto e quindi non sviluppi un'apprezzabile resistenza al taglio. 

32


Una volta identificate le possibili direzioni di movimento è possibile 

definire le condizioni da 'molto favorevole' a 'molto sfavorevole' ed entrare 

nella tabella proposta da Z. T. Bieniawski. 

La condizione 'molto favorevole' è identificabile con l'assenza di direzioni 

critiche. 

Le condizioni 'mediocre' e 'sfavorevole' e 'molto sfavorevole' sono 

identificabili con la presenza di una, due e tre direzioni critiche, 

rispettivamente. 

La condizione 'favorevole' si ha quando non ci sono direzioni critiche, ma 

basta la variazione di pochi gradi nel valore attribuito all'angolo d'attrito di 

base perchè si verifichi la possibilita' di instabilità dei cunei rocciosi. 

Alle condizioni sopra riportate corrispondono i seguenti indici di 

compensazione: 

Condizione Indice 

molto favorevole 0 

favorevole -5 

discreta -25 

sfavorevole -50 

molto sfavorevole -60 

L'indice RMR ottenuto dalla classificazione di Bieniawski, può essere 

inoltre correlato con l'indice Q (Classificazione di Barton) e con RSR 

(Classificazione di Wickham) mediante le seguenti relazioni: 

RMR = 9 ln Q + 44 

−12, 

4 

= 

0, 

77 

RSR 

RMR 

33


Stima delle grandezze m,s e a dell’ammasso roccioso. 

Attraverso il parametro G.S.I. ricavato dalla classificazione di Bieniawski è 

possibile ricavare le grandezze m, s ed a , necessarie per la definizione del 

criterio di rottura di Hoek e Brown, secondo la relazione: 

σ 

1 

⎡ 

= σ3 

+ σc 

⎢ 

⎣ 

σ 

⎤ 

3 mb + s 

σ 

⎥ 

c ⎦ 

dove: 

σ1e σ3= Sforzi principali; 

σc= Resistenza alla compressione monoassiale della roccia intatta. 

Si riconoscono tra casi. 

• Roccia indisturbata e G.S.I.>25. 

= ie m m 

• Roccia indisturbata e G.S.I.≤25. 

GSI−100 

28 

GSI−100 

9 s = e 

a = 0, 

5 

GSI−100 

28 = ie m m 

s = 0 

GSI 

a = 0, 

65 − 

200 

• Roccia disturbata qualunque valore di G.S.I.. 

m 

= m e 

r 

i 

GSI−100 

14 

a 

34


GSI −100 

sr 

= e 6 

a = 0, 

5 

dove: 

mi= grandezza dipendente dalle caratteristiche mineralogiche e 

petrografiche della roccia intatta, ottenibile, in assenza di determinazioni di 

laboratorio più precise, dalla seguente tabella: 

35


Classificazione di Wickham (1972). 

La classificazione di Wickham costituisce il primo sistema di classificazione 

completo apparso in letteratura. 

Si basa sulla stima dell’indice R.S.R.(Rock Structure Rating), così definito: 

RSR = A + B + C. 

Dove A, B e C sono tre indici parziali ricavabili attraverso lo schema 

proposto di seguito: 

• Parametro A: valutazione delle caratteristiche generali della roccia. 

Intervengono la genesi del litotipo, la durezza, l'intensità dei fenomeni 

plicativi. Il campo numerico varia da 6 a 30. 

Si seleziona il tipo litologico nella tabella 1, quindi si entra nella tabella 2. 

Calcolo del parametro A - Tipo litologico - Tabella 1 

Tipo di roccia Dura Mediocre Tenera Alterata 

Ignea 1 2 3 4 

Metamorfica 1 2 3 4 

Sedimentaria 2 3 4 4 

Calcolo del parametro A - Struttura dell'ammasso - Tabella 2 

Massiccia Poco Mediam. Molto 

Fratturata fratturata fratturata 

30 22 15 9 TIPO 1 

27 20 13 9 TIPO 2 

24 18 12 7 TIPO 3 

19 15 10 6 TIPO 4 

• Parametro B: si riferisce alla caratteristiche fisiche delle discontinuità e 

all'orientamento della galleria. 

Il parametro varia da 7 a 45 ed è funzione della spaziatura tra le fratture e 

dell’orientamento relativo tra l'asse del cavo e le discontinuità. 

Bisogna tener conto dell'immersione delle discontinuità rispetto al verso di 

avanzamento della galleria. 

36


Calcolo del parametro B 

Immersione || al fronte di scavo |- al fronte di scavo 

Qualsiasi Pendenza giunti Pendenza giunti 

pendenza Concorde Discorde Concorde o dis corde 

col verso di col verso di col verso di 

Avanzamento avanzamento avanzamento 

Valori inclinazione 0-20 20-50 50-90 20-50 50-90 0-20 20-50 

Roccia int.fratturata 9 11 13 10 12 9 9 

Roccia fratturata 13 16 19 15 17 14 14 

Roccia scar.fratturata 23 24 28 19 22 23 23 

Roccia deb.fratturata 30 32 36 25 28 28 28 

Roccia quasi integra 36 38 40 33 35 36 34 

Roccia integra 40 43 45 37 40 40 38 

• Parametro C: riguarda le caratteristiche fisiche delle discontinuità in 

rapporto alle condizioni idrauliche. 

Il parametro varia tra 6 e 25 e viene assegnato in funzione della somma dei 

parametri A + B ottenuta precedentemente e sulla base di una valutazione 

qualitativa che tiene conto principalmente dell'alterazione, dell'apertura e 

della continuità dei giunti e delle venute d'acqua prevedibili. 

Calcolo del parametro C - somma A+B


Calcolo del parametro C - somma A+B>=45 

Cond.idriche Condizioni dei giunti 

Buona Media Scarsa 

Asciutto 25 22 18 

Scarsa(125 l/ min) 18 14 10 

Condizioni dei giunti: 

Buona = ben chiusi o cementati 

Media = scarsamente bagnati o alterati 

Scarsa = molto bagnati, alterati o aperti 

Il coefficiente RSR (variabile da 19 a 100) cosi' ottenuto si traduce in un 

diverso grado di armatura in funzione delle dimensioni della galleria. 

Questo sistema fa riferimento ad armature ottenute con centine. Solo 

subordinatamente si può estendere ad altre tecniche di supporto (es. bulloni 

e shotcrete). 

Per definire una classe di ammasso roccioso bisogna correlare il valore 

ottenuto di R.S.R. con i valori di R.M.R. o Q, attraverso le relazioni: 

RSR = 0,77 RMR + 12,4 

RSR = 13,3 LogQ + 46 

Questa classificazione è l'unica che tiene in considerazione la natura 

litologica e la genesi delle rocce che costituiscono l'ammasso roccioso. 

38


Classificazione di Barton (1979). 

La classificazione di Barton è basata sull'analisi di 200 casi reali. Il dettaglio 

con cui sono state stilate le tabelle per la definizione numerica dei parametri 

limita estremamente la soggettività delle scelte. 

L’indice Q viene calcolato attraverso la relazione: 

RQDJ rJ 

w 

Q = 

J J SRF 

Le grandezze espresse al secondo membro hanno il seguente significato. 

• RQD % (Rock Quality Designation). 

Tiene conto della suddivisione della massa rocciosa. 

• Jn (Joint Set Number). 

Dipende dal numero di famiglie di giunti presenti nell'ammasso roccioso. 

Viene ricavato dalla seguente tabella: 

Jn (Joint Set Number) Jn 

A Roccia compatta o poche discontinuità 0 - 1 

B Una famiglia di discontinuità 2 

C Una famiglia di discontinuità + random 3 

D Due famiglie di discontinuità 4 

E Due famiglie di discontinuità + random 9 

F Tre famiglie di discontinuità 6 

G Tre famiglie di discontinuità + random 12 

H Quattro famiglie di discontinuità, random, 

intensamente fratturato, 

15 

I Rocce fratturate, terrose 20 

• Jr (Joint Roughness Number). 

Dipende dalla rugosità delle superfici di discontinuità. 

n 

a 

39


Jr (Joint Roughness Number) Jr 

Pareti delle fratture a contatto o con tratti beanti < 10 

cm 

A fratture discontinue 4 

B rugose, irregolari, ondulate 3 

C ondulate, lisce 2 

D ondulate a facce levigate 1.5 

E planari, ruvide o irregolari 1.5 

F planari lisce 1.0 

G planari a facce levigate 

Pareti delle fratture aperte 

0.5 

H minerali argillosi nei giunti, fratture non a 

contatto 

1.0 

I zone sabbiose, ghiaiose o fratturate 1.0 

• Ja (Joint Alteration Number) . 

Dipende dal grado di alterazione delle fratture, dallo spessore e dalla natura 

del riempimento. 

Ja (Joint Alteration Number) Ja 

A Riempimento impermeabile, duro, 

0.75 

strettamente cicatrizzato 

B Bordi fratture inalterati, superfici 

1 

autoreggentesi 

C Bordi fratture leggermente alterati,rivestiti 2 

di minerali non ammorbiditi, particelle 

sabbiose 

D Rivestimento limoso-argilloso o sabbioso- 3 

argilloso 

E Rivestimento di minerali ammorbiditi con 4 

argille rigonfianti 

F Particelle sabbiose, roccia disgregata libera 4 

da argilla 

G Riempimenti di minerali argillosi non 6 

rigonfianti, continui 

H Riempimenti di minerali argillosi 

8 

ammorbiditi 

J Riempimenti di minerali argillosi 

8-12 

rigonfianti 

40


• Jw (Joint Water Number). 

Dipende dalle condizioni idrogeologiche. 

Jw (Joint Water reduction factor) Jw 

A Scavo secco o afflussi minimi(< 5 l/ min 1 

localmente) 

B Sporadici getti del materiale di 

0.66 

riempimento dei giunti 

C Pressioni elevate in rocce competenti con 

giunti non 

riempiti (afflussi sostenuti) 0.5 

D Come C, consistenti getti di materiali dai 0.33 

giunti 

E Colpi d'acqua decrescenti nel tempo 0.2-0.1 

F Colpi d'acqua costanti nel tempo 0.1-0.05 

• S.R.F (Stress Reduction Factor) . 

Dipende dalle tensioni che interessano il cavo della galleria e a seconda che 

l'ammasso roccioso risulti competente, incompetente, spingente oppure 

rigonfiante. E' indicativo quindi dello stato di sollecitazione che interessa 

l'ammasso roccioso. Si può valutare osservando i fenomeni negli immediati 

dintorni dell' ARS (faglie attive, zone di debolezza o rilasci parietali, 

presenza di rocce rigonfiabili, ecc.). 

41


SRF(Stress Reduction Factor) SRF 

Zone deboli interessanti lo scavo - distacchi di volumi di roccia nel 

cavo 

A Zone deboli multiple con argille o rocce disgregate 10 

chimicamente, rocce del contorno del cavo molto 

allentate 

B Singole zone deboli con argille o rocce disgregate 5 

chimicamente (prof. di scavo < 50m) 

C Come B ma con prof. di scavo > 50 m 2.5 

D Zone di frattura multiple in rocce competenti, senza 7.5 

argilla rocce del contorno molto allentate (qualsiasi 

profondità) 

E Singole zone di frattura in rocce competenti, senza 5 

argilla con prof. di scavo < 50 m 

F Come E ma con prof. di scavo > 50 m 2.5 

G Giunti allentati aperti, rocce intensamente fratturate 5 

Sugar cube (qualsiasi profondità) 

Problemi di tensione in rocce competenti 

H Tensione bassa vicino alla superficie 2.5 

J Tensione media 1 

K Tensione alta, struttura molto compatta 0.5-2 

L Scoppi di roccia moderati 5-10 

M Scoppi di roccia forti 10-20 

Roccia compressa, flusso plastico di rocce incompetenti sotto 

pressione 

N Flusso plastico medio, prssione moderata 5-10 

O Flusso plastico forte, pressione forte 10-20 

Roccia rigonfiante, rigonfiamento dipendente dall'acqua 

P Pressione di rigonfiamento media 5-10 

Q Pressione di rigonfiamento forte 10-20 

I tre rapporti della formula hanno un determinato significato fisico: 

• RQD/Jn: definisce la struttura dell'ammasso roccioso e fornisce una 

misura approssimata dei blocchi unitari di roccia. 

• Jr/Ja: tiene conto delle caratteristiche di resistenza meccanica dei giunti. 

Il valore e di questo rapporto viene ridotto in funzione del grado di 

alterazione e dell'apertura dei giunti. 

42


• Jw/SRF: il valore di questo rapporto esprime lo stato di tensione 

efficace che agisce sull'ammasso roccioso. 

L'indice Q system (variabile da 0.001 a 1000) è diviso in 9 intervalli cui 

corrispondono altrettante classi di ammasso roccioso. Gli intervalli sono 

espressi in scala logaritmica. 

Q system 1000-400 400-100 100-40 40-10 10-4 

Descrizione OTTIMO BUONISSIMO MOLTO 

BUONO 

BUONO DISCRETO 

Classe I II III IV V 

Q system 4-1 1-0.1 0.1-0.01 0.01-0.001 

Descrizione SCADENTE MOLTO 

SCADENTE 

SCADENTISSIMA PESSIMA 

Classe VI VII VIII XI 

A differenza di quanto suggerito da Bieniawski, Barton non riporta, nella 

classificazione, indicazioni circa l'orientamento dei giunti in funzione 

dell'orientamento della galleria in quanto (come spiegato dallo stesso 

Autore) i parametri Jn, Jr e Ja giocano un ruolo più importante 

dell'orientazione dei giunti, perchè definiscono il grado di libertà riguardo al 

movimento dei blocchi. Le caratteristiche frizionali delle discontinuità 

possono variare più della componente normale della forza di gravità delle 

discontinuità orientate sfavorevolmente. 

Come visto in precedenza l’indice Q può essere correlato all’indice RMR e 

BRMR della classificazione di Bieniawski con la relazione: 

RMR=9lnQ+44; 

BRMR=9lnQ’+44; 

dove Q’ deriva dall’indice Q, ponendo il rapporto Jw/SRF =1 

43


Portanza di fondazioni su roccia. 

Fondazioni superficiali. 

Per fondazioni superficiali su roccia Stagg e Zienkiewicz (1968) 

propongono l’utilizzo della formula classica di Terzaghi: 

Q c c 1 q 

2 

lim = cN s + γ DN + 0. 

5γ 

BN s 

dove: 

c = coesione dell’ammasso roccioso; 

γ1= peso di volume della roccia sopra il piano di posa; 

γ2=peso di volume della roccia sotto il piano di posa; 

D=profondità di posa della fondazione; 

B=larghezza della fondazione; 

sc = fattore di forma, uguale a 1 per fondazioni nastriformi e a 1.3 per 

fondazioni quadrate o rettangolari; 

sγ = fattore di forma, uguale a 1 per fondazioni nastriformi e a 0.8 per 

fondazioni quadrate o rettangolari; 

Nc, Nq e Nγ = fattori adimensionali di portanza. 

Rispetto alla formula di Terzaghi applicata alle terre, gli Autori citati 

propongono di inserire i seguenti fattori di portanza: 

Nq = tg 6 (45 + ϕ/2); 

Nc = 5 x tg 4 (45 + ϕ/2); 

Nγ =Nq +1. 

dove ϕ=angolo d’attrito dell’ammasso roccioso. 

La Qlim (portanza limite) della fondazione andrà poi corretta in funzione 

del grado di fratturazione della roccia, utilizzando il parametro R.Q.D.(%): 

γ 

γ 

44


Qlim’ = Qlim x (RQD/100) 2 . 

Si tenga presente che questa relazione è inapplicabile nel caso di ammassi 

rocciosi con R.Q.D. molto bassi, inferiori a 30%. 

Vista la difficoltà di quantificare i parametri coesione e angolo d’attrito 

della roccia, in alternativa alla formula di Stagg e Zienkiewicz può essere 

impiegata direttamente la seguente relazione: 

⎛ RQD ⎞ 

Qlim = ⎜0. 

1+ 

0. 

2 ⎟C ⎝ 100 ⎠ 

dove C0 è la resistenza alla compressione monoassiale della roccia. La 

formula è basata su valori tabellati da Bowles. 

Nel caso infine in cui si abbia il valore di RQD prossimo a zero, la portanza 

dell’ammasso roccioso può essere ricavata con le stesse relazioni, che si 

utilizzano per fondazioni su terreni sciolti (Terzaghi, Vesic, Meyerhof, 

Brinch Hansen). 

Fondazioni su pali. 

Nel caso di fondazioni su pali Peck et Alii (1974) propongono di trascurare 

la resistenza laterale, dovuto all’attrito palo-roccia, e di verificare 

semplicemente che il carico applicato sul palo sia inferiore alla resistenza 

alla compressione monoassiale della roccia di base: 

Carico su palo ≤ Res. compressione monoaasiale roccia. 

0 

45


Gallerie 

Analisi dell’interazione roccia – sostegno. 

Viene di seguito trattato l’argomento dell’analisi dell’interazione fra roccia 

e sostegno secondo il metodo semplificato di Hoek e Brown. Questa 

procedura, utile per un primo dimensionamento delle opere di sostegno del 

tunnel, si basa su alcune importanti assunzioni. 

• Geometria del tunnel: si assume una galleria a sezione circolare di 

lunghezza tale da poter trattare il problema solo in due dimensioni. 

• Campo degli sforzi in situ: gli sforzi in situ orizzontali e verticali 

vengono assunti uguali come valore. 

• Pressione dei supporti : si ipotizza che i supporti messi in opera 

esercitino una pressione radiale uniforme sulle pareti del foro. 

• Proprietà del materiale roccia indisturbato: l’ammasso roccioso si 

presume abbia, in condizioni indisturbate, un comportamento di tipo 

lineare - elastico; il criterio di rottura di questo materiale deve essere 

descrivibile attraverso la relazione: 

( ) 5 , 0 2 

mσ σ sσ 

σ = σ + + 

1 3 c 3 c 

• Proprietà del materiale roccia disturbato: l’ammasso roccioso 

disturbato attorno al tunnel viene assunto con comportamento di tipo 

perfettamente plastico e deve soddisfare il seguente criterio di rottura: 

( ) 5 , 0 2 

m σ σ s σ 

σ = σ + + 

1 3 r c 3 r c 

• Deformazioni volumetriche: nelle zone a comportamento elastico sono 

governate dalle costanti elastiche E (modulo di Young) e ν (rapporto di 

Poisson) della roccia; a rottura l’ammasso roccioso subirà un aumento di 

volume e le relative deformazioni saranno calcolate secondo la teoria 

della plasticità. 

46


• Comportamento dipendente dal tempo: si assume che l’ammasso 

roccioso, disturbato e non, non mostri un comportamento dipendente dal 

tempo. 

• Estensione della zona plastica: s’ipotizza che la zona a comportamento 

plastico abbia un’estensione di raggio re, dipendente dalla pressione in 

situ P0, dalla pressione esercitata dai sostegni Pi e dalle caratteristiche 

dell’ammasso roccioso. 

Curva pressioni - deformazione 

Quello che segue è lo schema di calcolo per ottenere la curva pressioni – 

deformazioni necessaria per effettuare il dimensionamento di massima dei 

sostegni della galleria. Lo schema è quello proposto da Hoek e Brown 

(1982). 

Dati di input. 

σc= Resistenza alla compressione monoassiale della roccia intatta; 

m, s= Costanti dell’ammasso roccioso integro; 

E= Modulo di elasticità dell’ammasso roccioso indisturbato; 

ν= Rapporto di Poisson; 

mr, sr= Costanti dell’ammasso roccioso disturbato; 

γr= Peso di volume dell’ammasso roccioso disturbato; 

p0= Pressione in situ; 

ri= Raggio del tunnel. 

Sequenza di calcolo. 

Il calcolo deve essere eseguito ripetendo la sequenza con pi (pressione del 

sostegno) che viene fatto variare da 0 a p0, secondo il passo di calcolo 

desiderato. 

• 

M 

2 

1 ⎡⎛ 

m ⎞ p ⎤ 

0 

= ⎢⎜ 

⎟ + m + s⎥ 

2 ⎢⎣ 

⎝ 4 ⎠ σc 

⎥⎦ 

0 

, 5 

m 

− 

8 

47


• 

• 

D = 

N 

= 

m + 

⎡ p 

⎡ m 

− m 

( p − Mσ 

) 

4⎢ 0 c + s⎥ 

⎣σc 

⎦ 

− Mσ 

0 c r 

2⎢ + 2 ⎥ 

⎣ mrσc 

mr 

⎦ 

s 

⎤ 

0, 

5 

• Per pi>p0-Mσc la deformazione intorno alla galleria è elastica 

u 

r 

( 1+ ν) 

( p − ) 

i = 0 pi 

i E 

⎤ 

• Per pi≤p0-Mσc si ha rottura di tipo plastico intorno alla galleria : 

u 

r 

e 

( + ν) 

= 

E 

1 

e M 

σ 

0, 

5 

⎛ 

⎞ 

2⎜ 

pi 

sr 

N − + ⎟ 

⎜ 

2 ⎟ 

e ⎝ 

mr 

c m r ⎠ 

= e 

r 

ri 

σ 

re 

Per 

r 

< 

r 

3 : R = 2Dln 

r 

i 

re 

Per > 3 : R = 11, 

D 

r 

e 

av 

i 

ue 

⎛ re 

⎞ 

2 ⎜ 

⎟ 

re 

⎝ ri 

= 

⎠ 

2 

⎡⎛ 

r ⎞ ⎤ 

e ⎛ 1 ⎞ 

⎢ − ⎥⎜ 

+ ⎟ 

⎢ 

⎜ 

⎟ 1 1 

⎣⎝ 

ri 

⎠ ⎥ 

⎦ 

⎝ R ⎠ 

2 ⎟ ⎛ ue 

⎞⎛ 

re 

⎞ 

A = ⎜ − e ⎟ 

⎜ av 

⎝ re 

⎠⎝ 

ri 

⎠ 

ui av 

r 

i 

⎛1− 

e ⎞ 

= 1− ⎜ ⎟ 

⎝ 1+ 

A ⎠ 

c 

0, 

5 

2 

2 

e 

i 

0, 

5 

48


• Per la calotta della galleria, diagrammare 

( r − r ) 

pi + γr 

e i 

p 

0 

• Per i piedritti della galleria, diagrammare 

• Per la platea della galleria, diagrammare 

( r − r ) 

pi −γ r e i 

p 

0 

ui in funzione di 

r 

i 


r 

i 


La grandezza p0 − Mσc 

rappresenta la pressione critica, cioè la pressione 

che deve essere contrastata dai sostegni, perché non si abbia la creazione di 

una zona di rottura a comportamento plastico nell’ammasso roccioso. 

Interazione roccia-sostegno 

Di seguito viene presentata la sequenza di calcolo per il dimensionamento 

dei sostegni della galleria (anello di cemento, bulloni e centine). Il 

dimensionamento deve essere eseguito a tentativi, calcolando prima la 

rigidità e la massima pressione sostenibile dal supporto, e disegnando quindi 

la curva del sostegno sul diagramma pressioni-deformazioni elaborato in 

precedenza. Il metodo prevede anche la possibilità di combinare due opere 

di tipo differente, per esempio centine e bulloni, ed elaborare in un’unica 

curva l’azione del supporto combinato. 

Il sostegno è stato dimensionato correttamente, quando si osserverà la curva 

del sostegno stesso intersecare, nel diagramma pressioni-deformazioni, le 

tre curve relative alla calotta, ai piedritti e alla platea. 

r 

i 

pi p0 

49


• Anello di cemento: calcolo della rigidità e della massima pressione 

sostenibile. 

Dati di input: 

Ec= Modulo di elasticità del cls; 

νc= Rapporto di Poisson del cls; 

tc= Spessore dell’anello di cls; 

ri= Raggio della galleria; 

σcc= Resistenza alla compressione monoassiale del cls. 

Rigidità: 

k 

c 

= 

Pressione massima: 

2 

2 

Ec 

[ ri 

− ( ri 

− tc 

) ] 

2 

2 

( 1+ νc 

) [ ( 1− 

2ν 

c ) ri 

+ ( ri 

−t 

c ) ] 

2 

1 ⎡ ( r − ) ⎤ 

i tc 

Psc max σcc⎢1 

− ⎥⎦ 

= 2 

2 ⎣ ri 

50


• Centine: calcolo della rigidità e della massima pressione sostenibile. 


W= Larghezza del blocco di contrasto; 

X= Spessore della sezione della centina; 

As= Area della sezione della centina; 

Is= Momento d’inerzia della centina; 

Es= Modulo di elasticità della centina; 

σys= Resistenza dell’acciaio; 


S= Spaziatura delle centine lungo l’asse della galleria; 

θ (rad)= Angolo fra i blocchi di contrasto; 

tb= Spessore dei blocchi di contrasto; 

Eb= Modulo di elasticità dei blocchi di contrasto. 

Rigidità: 

1 

Sr 

Sr 

θ 

( θ + sinθ 

cosθ 

) 

2Sθt 

W 

3A 

I σ 

3 

i i ⎡ 

⎤ 

= + 

1 

2 

k EsAs 

EsI 

⎢ 

− + 

s 

s 2sin 

θ 

⎥ 

⎣ 

⎦ Eb 

Pressione massima: p 

ssmax 

= 

⎧ 

2Sriθ⎨3I 

⎩ 

s 

s 

ys 

b 

2 

⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 

+ XAs 

⎢ri 

− ⎜t 

b + X ⎟⎥ 

⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 

s 

( ) ⎬ 

⎭ ⎫ 

1− 

cosθ 

• Bulloni: calcolo della rigidità e della massima pressione sostenibile. 


l= Lunghezza del bullone; 

db= Diametro del bullone; 

Eb= Modulo elastico del bullone; 

Q= Rigidità dell’ancoraggio; 

Tbf= Carico limite di sfilamento; 


sc= Spaziatura circonferenziale dei bulloni; 

sl= Spaziatura longitudinale dei bulloni. 

51


Rigidità: ⎟ 1 s ⎛ ⎞ 

csl 

4l 

= ⎜ + Q 

kb ri 

⎝πd 

bEb 

⎠ 

Tbf 

Pressione massima: p sbmax 

= 

scsl 

• Calcolo della curva del sostegno per un sistema singolo. 


k= Rigidità del sostegno considerato; 

psmax= Massima pressione sostenibile dal sostegno; 

ui0= Deformazione iniziale della galleria prima dell’installazione del 

sostegno. 

La curva del sostegno si ricava facendo variare la pressione (pi) da 0 al 

valore di psmax nella relazione: 

⎛u 

p 

⎞ 

i i 

ui ri 

ri 

k ⎟ 0 

= ⎜ + 

⎝ 

• Calcolo della curva del sostegno per un sistema combinato di supporti. 


k1= Rigidità del sostegno 1; 

psmax1= Massima pressione sostenibile dal sostegno 1; 

k2= Rigidità del sostegno 2; 

psmax2= Massima pressione sostenibile dal sostegno 2; 

ui0= Deformazione iniziale della galleria prima dell’installazione del 

sostegno. 

N.B.: si ipotizza che i sostegni vengano messi in opera 

contemporaneamente. 

La curva del sostegno si ricava facendo variare la pressione (pi) da 0 al 

valore di psmax nelle relazioni: 

u 

max 1 

ri 

p 

= 

k 

1 

⎠ 

as max 1 

52


⎛u 

u 

max 2 

u 

12 

ri 

p 

= 

k2 

ri 

pi 

= 

k + k 

as max 2 

( ) 

i 

i 

Per u12


Test di Markland applicato alle gallerie. 

Un’indicazione della stabilità della galleria può essere ricavata attraverso 

l’utilizzo del test di Markland, cioè attraverso la visualizzazione delle 

discontinuità presenti nell’ammasso roccioso su un diagramma equatoriale 

di Wulff. 

Quattro sono le verifiche che vanno condotte. 

• Verifica del distacco di blocchi dalla calotta. 

C’è la possibilità di avere il distacco di blocchi dalla callotta nel caso in cui 

si abbiano almeno tre famiglie di giunti, le cui intersezioni disegnino una 

figura chiusa rispetto al centro del diagramma di Wulff. 

54


• Verifica dello scivolamento di cunei in calotta. 

Si ha la possibilità di scivolamento di cunei di roccia in calotta nel caso in 

cui, l’intersezione fra due piani ricada all’interno del cono d’attrito. 

• Verifica dello scivolamento di cunei lungo i piedritti. 

Si hanno condizioni d’instabilità lungo i piedritti nel caso in cui 

l’intersezione fra due piani ricada all’interno di uno dei due semicerchi, 

ottenuti dall’intersezione dell’asse della galleria con il cono d’attrito. 

55


56


• Verifica della stabilità del fronte. 

In questo caso si procede come visto nel caso della stabilità di versanti. 

57


58


IDROLOGIA 

Coefficiente di deflusso medio annuo di un bacino. 

Per coefficiente di deflusso medio annuo (Cd) si intende il rapporto fra il 

deflusso annuale del corso d'acqua, riferito ad una determinata sezione di 

chiusura, e il volume delle precipitazioni cadute durante lo stesso periodo 

all'interno del suo bacino imbrifero. Non va confuso con il coefficiente di 

afflusso, che è il rapporto fra il volume d’acqua che defluisce in superficie e 

la precipitazione meteorica riferiti ad un unico evento piovoso . 

Il programma utilizza, per il calcolo di questo parametro idrologico, il 

metodo semplificato di Kennessey, applicabile soprattutto a piccoli bacini. 

Questo metodo passa attraverso la stima di tre indici parziali, legati 

rispettivamente all’acclività media del bacino (Ca), alla sua copertura 

vegetale (Cb) e alla permeabilità delle rocce affioranti (Cp), che sono, 

insieme a quelli climatici, i principali fattori influenzanti il volume del 

deflusso superficiale. 

• Acclività media del bacino. 

In generale una maggiore acclività media comporta un aumento del deflusso 

superficiale, sfavorendo il ristagno delle acque meteoriche e di conseguenza 

l'infiltrazione e l'evapotraspirazione. 

• Copertura vegetale del bacino. 

Una fitta copertura vegetale fa diminuire il valore del coefficiente di 

deflusso, sia perchè è maggiore in questi casi il volume d'acqua disperso 

per traspirazione dalle piante, sia perchè la vegetazione tende ad 

ostacolare il deflusso superficiale, rallentandolo e favorendo quindi 

l'infiltrazione. 

• Permeabilità media del bacino. 

E' evidente che un'elevata permeabilità media favorisce l'infiltrazione delle 

acque meteoriche, riducendo di conseguenza il deflusso superficiale. 

• Fattori climatici (piovosità e temperatura) .


Più che dai valori annuali delle precipitazioni e della temperatura, il valore 

del coefficiente di deflusso è influenzato dalla loro distribuzione nel corso 

dell'anno. 

Si possono verificare due casi estremi. 

1. Le massime precipitazioni coincidono con i massimi valori di 

temperatura: in questo caso è da attendersi un'intensa evapotraspirazione, 

con forte riduzione del deflusso superficiale e di conseguenza del 

coefficiente di delfusso. 

2. Le massime precipitazioni coincidono con i minimi valori di 

temperatura: in questo caso è da attendersi una perdita per 

evapotraspirazione minima ed un elevato deflusso superficiale. 

Tutte le altre possibili combinazioni fra valori di temperatura e piovosità si 

collocano ovviamente fra questi due estremi. 

Una stima dell'influenza dei fattori climatici sul valore di Cd può essere 

fatta attraverso l'INDICE DI ARIDITA', definito come segue: 

Ia = [ P / (T+10) + 12 x p / t] / 2 

con : P = afflusso medio mensile; 

T = temp. media annua; 

p e t = afflusso e temperatura del mese più arido. 

Il valore di Ia cresce all'aumentare del rapporto fra precipitazioni totali 

annue e temperatura media annuale e del rapporto fra precipitazioni del 

mese meno piovoso e relativa temperatura mensile. In generale quindi ci 

si deve aspettare, a parità di temperature, un maggior deflusso superficiale 

al crescere dell'altezza delle precipitazioni e viceversa, e a parità di afflusso 

meteorico, un aumento di Cd al diminuire delle temperature. 

Il metodo di Kennessey individua tre intervalli di valori di Ia, ad ognuno dei 

quali corrisponde una serie differente di coefficienti di deflusso parziali.


Coefficiente Valore Ia < 25 25 ≤ Ia ≤ 40 Ia > 40 

Ca-acclività > 35% 0.22 0.26 0.30 

10 - 35 0.12 0.16 0.20 

3.5 - 10 0.01 0.03 0.05 

< 3.5 0.00 0.01 0.03 

Cp-permeabilità Molto bassa 0.21 0.26 0.30 

Bassa 0.17 0.21 0.25 

Mediocre 0.12 0.16 0.20 

Buona 0.06 0.08 0.10 

Elevata 0.03 0.04 0.05 

Cv-vegetazione Roccia 0.26 0.28 0.30 

Pascolo 0.17 0.21 0.25 

Coltivo 0.07 0.11 0.15 

Bosco 0.03 0.04 0.05 

La procedura da seguire per la valutazione del coefficiente di deflusso 

medio annuo secondo Kennessey è la seguente. 

• Si calcola l’Indice di Aridità, utilizzando la relazione vista sopra; 

• Per ogni singolo fattore (acclività, vegetazione e permeabilità) si valuta 

la distribuzione dell'area del bacino all'interno delle categorie viste in 

tabella. 

Esempio, per il fattore vegetazione: Area totale bacino = 16 Kmq, Ia


Esempio per il fattore vegetazione: 

0.03 (coefficiente per la copertura boschiva) x 0.25 = 0.0075; 

0.07 (coefficiente per la copertura a coltivo) x 0.375 = 0.0263; 

0.17 (coefficiente per la copertura a pascolo) x 0.1875 = 0.0319; 

0.27 (coefficiente per la mancanza di vegetazione) x 0.1875 = 0.0506. 

• Si sommano i risultati per ogni singolo fattore, ottenendo i coefficienti 

parziali. 

Esempio per il fattore vegetazione: 

Cv=0.0075+0.0263+0.0319+0.0506=0.116 

• Si sommano i tre coefficienti di deflusso parziali Cv,Ca e Cp e si ottiene 

Cd, coefficiente di deflusso medio annuo del bacino. 

Per quanto riguarda la precisione di questo metodo, facendo un confronto 

con i valori di Cd ottenuti per uno stesso bacino, attraverso misure dirette 

del volume di deflusso, si è valutato che l'errore non superi generalmente il 

10%. Il procedimento di Kennessey non può sostituire quindi la misura 

diretta delle acque di deflusso, ma può fornirne una buona stima nei bacini 

non attrezzati e quindi, in particolare, è utile per bacini arealmente ridotti. 

Va ricordato che il valore di Cd ottenuto rappresenta solo un dato medio, in 

quanto durante l’anno, al modificarsi dei fattori climatici, anche il 

coefficiente di deflusso subisce delle variazioni significative. 

Il metodo di Kennessey consente di valutare infine il bilancio idrologico 

anche solo di singoli settori di bacino, fatto questo utile per la stima, per 

esempio, dell’infiltrazione efficace. Limitando infatti la stima del bilancio 

solo a quelle aree all'interno del bacino che si ritiene siano, per condizioni 

morfologiche e di permeabilità favorevoli, zone d'infiltrazione, si possono 

ottenere valori più attendibili, della quantità d’acqua che s’infiltra nel 

terreno.


Bilancio idrologico di un bacino idrografico. 

Definizioni. 

Il bilancio idrologico è la stima dei volumi idrici che entrano ed escono da 

un bacino idrografico in un determinato intervallo di tempo (generalmente 

un anno). 

In maniera sintetica, può essere espresso nella seguente forma: 

P = D + ET ± DR; 

con P = precipitazioni totali nell’ intervallo di tempo considerato (mm); 

D = deflusso totale (superficiale e sotterraneo) (mm); 

ET= evapotraspirazione reale (mm); 

DR= variazione delle riserve idriche (mm). 

Se i parametri P, D ed ET sono mediati su un lungo intervallo di tempo (per 

esempio 30 anni) DR tende ad annullarsi, perchè nel lungo periodo le 

positive e negative delle riserve si compensano. In questo caso si parla di 

Bilancio Idrologico Annuo Medio. 

Precipitazioni. 

Definito l'intervallo di tempo da utilizzare per mediare i parametri del 

bilancio (per es.20 anni), si procede valutando l'afflusso idrico medio nel 

periodo stesso. 

Il parametro P del bilancio viene espresso generalmente sotto forma di 

altezze meteoriche (mm) ed è ricavabile attraverso la costruzione di una 

Carta delle Isoiete medie annue o più semplicemente attraverso il metodo di 

Thiessen, attraverso l’interpolazione dei valori registrati nelle stazioni di 

misura, facendo attenzione ad escludere punti di misura eccessivamente 

distanti dall’area esaminata e/o in condizioni climatiche differenti. 

Evapotraspirazione reale.


Può essere ricavata direttamente attraverso la formula di Turc o 

indirettamente attraverso la stima dell' evapotraspirazione potenziale 

(formula di Thornthwaite o di Serra). 

• Evapotraspirazione reale secondo Turc. 

E' il volume d'acqua che viene realmente perso per evapotraspirazione. La 

relazione è la seguente: 

ET = P / √(0.9 + P 2 / L 2 ); 

con P(mm) = precipitazioni medie annue; 

L = 300 + 25 x T + 0.05 x T 2 ; 

T(C°) = temperatura media annua dell'aria. 

Questa relazione fornisce risultati soddisfacenti per tutti i climi, anche se 

va utilizzata con prudenza nel caso di piccoli bacini, dove tende a fornire 

valori generalmente sovrastimati. 

• Evapotraspirazione potenziale (EP). 

E' il volume d'acqua massimo che potrebbe essere perso per 

evapotraspirazione. Può non coincidere con ET, quando non vi è sufficiente 

disponibilità idrica nel bacino. La relazione più utilizzata per il calcolo di 

EP è quella di Thornthwaite, che necessita come input solo dei valori della 

temperatura media mensile. 

La formula del Thornthwaite ha la seguente forma: 

EP =K x 16 x (10 x T / ic) a ; 

con EP(mm) = evapotraspirazione media mensile; 

T(C°) = temperatura media mensile dell'aria; 

ic = indice mensile di calore dato da: 

ic = (T / 5) 1.514 ;


con T ≥ 0 (C°) (se T


oppure attraverso il prodotto fra gli afflussi meteorici e il coefficiente di 

deflusso calcolato con il metodo di Kennessey: 

Qs(mm) = P x Cd; 

L'infiltrazione sotterranea viene quindi calcolata per differenza fra gli altri 

parametri del bilancio: 

Ie(mm) = P - ET - QS. 

Può accadere che Ie risulti negativo. Questo si verifica, quando ET presenta 

un valore eccessivamente elevato (per esempio se si applica la formula di 

Turc in bacini arealmente poco estesi). 

Schema del bilancio idrologico secondo Thornthwaite. 

Calcolando l'EP mensile con il metodo di Thornthwaite, è possibile 

costruire uno schema delle variazioni mensili dei volumi idrici entranti ed 

uscenti dal bacino, contenente i seguenti dati: 

riga n.1 precipitazioni mensili; 

riga n.2 evapotraspirazione potenziale mensile; 

riga n.3 differenza P-EP; 

riga n.4 acqua trattenuta dallo strato superficiale (Rs), variabile 

normalmente da 50 a 400 mm (diminuisce con l'aumentare della 

permeabilità dello strato superficiale ed aumenta con il crescere 

della copertura vegetale); 

riga n.5 evapotraspirazione reale, corrispondente a quella potenziale solo 

se si ha P≥EP oppure se P


due parametri (EP-ET). 

Si noti che un aumento del valore di Rs porta ad un valore più elevato di ET 

annuo.


Calcolo delle curve di possibilità climatica. 

Partendo dai dati pluviometrici forniti da una stazione di misura, è possibile 

eseguire le elaborazioni necessarie per ottenere le curve che descrivono 

l’altezza delle precipitazioni (h) in funzione della loro durata (t). 

L’equazione che collega queste due variabili ha la seguente forma: 

h (mm) = a t n ; 

dove a = variabile funzione del tempo di ritorno; 

n = costante per un dato valore di t; 

e prende il nome di curva segnalatrice di possibilità climatica o 

pluviometrica. 

Tale equazione permette, per esempio, di calcolare l’altezza meteorica (h) 

relativa ad una precipitazione di 30 minuti (t), con un tempo di ritorno di 10 

anni. 

I dati pluviometrici necessari al calcolo sono reperibili sugli Annali 

Idrologici delle stazioni pluviografiche. Su tali documenti vengono 

generalmente fornite, in forma di tabella, le massime precipitazioni 

registrate anno per anno, per determinate durate di riferimento. 

Normalmente si distinguono i dati relativi alle precipitazioni con durata 

inferiore ad 1 ora (piogge di notevole intensità e breve durata), da quelle di 

durata superiore. Le durate di riferimento sono generalmente standard, 

prendendo in considerazione durate di 10, 15, 30, 45 minuti, nel caso di 

piogge brevi ed intense, e di 1, 3, 6, 12 e 24 ore nel caso di precipitazioni 

orarie. 

N 

. 

t = 10 minuti t = 15 minuti t = 30 minuti t = 45 minuti anno 

1 17.0 19.0 22.4 30.4 1985 

2 10.6 14.2 21.0 29.6 1986 

3 5.4 7.8 15.8 30.2 1987 

4 9.2 10.4 23.0 35.8 1988 

Tabella 1 - precipitazioni di durata inferiore a 1 h.


N 

. 

t = 1 h t = 3 h t = 6 h t = 12 h t = 24 h anno 

1 10.0 20.0 22.0 33.4 43.4 1985 

2 37.0 38.0 39.8 39.8 41.0 1986 

3 28.0 31.2 31.2 43.8 61.2 1987 

4 54.0 68.6 71.2 71.2 71.2 1988 

Tabella 2 - precipitazioni di durata superiore a 1 h. 

Una stima sufficientemente attendibile della curva segnalatrice di possibilità 

climatica richiede l’utilizzo di registrazioni che coprano almeno un 

intervallo di 30-35 anni. Minore l’intervallo di registrazione minore 

l’attendibilità dei risultati. 

Volendo ricavare le curve relative a precipitazioni di durata superiore ad 

un’ora (Tabella 2), bisogna procedere come segue: 

• per ogni durata di riferimento, si ordinano e si numerano i valori delle 

precipitazioni ricavati dagli Annali Idrologici, regolarizzati con il metodo 

di Gumbel (vedi di seguito), in senso decrescente, ponendo quindi i 

valori massimi registrati per ogni intervallo di tempo sulla prima riga 

della tabella, quelli minini sull’ultima; di conseguenza, se per esempio 

l’intervallo di registrazione è di 30 anni, la prima riga sarà indicata con il 

numero 30, l’ultima con il numero 1. 

• utilizzando i dati di ogni riga e impostando un calcolo di regressione, si 

ricavano i valori dei parametri a e n relativi ad ogni anno; il numero 

identificativo di ogni riga rappresenta il tempo di ritorno dell’evento 

meteorico; nel caso, per esempio, di un’intervallo di registrazione di 30 

anni, si ricavano 30 curve segnalatrici di possibilità climatica ( quindi 30 

valori di a e di n); i parametri a e n relativi alla prima riga sono quelli 

riferiti ad eventi meteorici di durata inferiore ad 1 h con tempo di ritorno 

di 30 anni, quelli dell’ultima riga ad eventi meteorici con tempo di 

ritorno di 1 anno.


Lo stesso va adottato per durate pluviometriche inferiori ad 1 h (Tabella 1), 

quando questa è disponibile. 

Ricavate le curve, si potrà notare che, mentre n rimane più o meno costante, 

il parametro a tende ad assumere valori differenti in funzione del tempo di 

ritorno, tendendo a crescere con esso. 

Attraverso procedure statistiche è possibile ricavare stime del parametro a 

anche per tempi di ritorno superiori al numero massimo di registrazioni 

annuali disponibili. 

Il metodo statistico utilizzato generalmente è quello di Gumbel. Di seguito 

viene esposta la procedura da seguire. 

• Eseguito il calcolo delle curve segnalatrici di possibilità climatica per gli 

N anni di cui si dispongono le registrazioni pluviometriche, si ordinano i 

valori di a ricavati in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore 

massimo, il valore N a quello minimo. 


Pi = i / (N + 1); 

con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che il 

corrispondente valore di a non venga raggiunto o superato. I valori di Pi 

ricavati permettono di definire la scala dei tempi di ritorno: 

Ti = 1 / (1 - Pi). 

• Si riportano le N coppie di valori (Ti, ai) in un diagramma 

semilogaritmico (l’ asse X - l’asse dei tempi di ritorno - va costruito in 

scala logaritmica), interpolando fra i punti una retta: il diagramma 

consente di ricavare il valore di a per qualsiasi tempo di ritorno. 

Per ottenere, per esempio, l’altezza di precipitazione per un evento 

meteorico di durata corrispondente a 1,3 ore, con tempo di ritorno di 50 

anni, si procede come segue: 

dal diagramma Tempo di ritorno - Parametro a si ricava il valore di a 

corrispondente ad un tempo di ritorno di 50 anni; 

1. si calcola il parametro n facendo la media dei valori di n ottenuti dalle 

curve segnalatrici di possibilità pluviometrica; 

2. si introducono infine i valori di a e n nella relazione h = a x t n ; ponendo t 

= 1.3 ore.


E’ evidente che l’estrapolazione del parametro a non deve andare troppo 

oltre il periodo di registrazione.


Stima delle precipitazioni efficaci. 

Per precipitazione efficace s’intende la frazione della precipitazione 

complessiva, non trattenuta dal terreno e dalla vegetazione, che partecipa 

alla formazione del deflusso superficiale. Il rapporto fra precipitazione 

efficace e precipitazione lorda prende il nome di coefficiente di afflusso. 

Il valore della precipitazione efficace dipende principalmente da tre fattori: 

• il grado di saturazione del terreno superficiale al momento del 

verificarsi dell’evento meteorico: maggiore è il grado di saturazione, 

legato ad eventi meteorici precedenti, minore è la capacità del terreno di 

assorbire altra acqua e di conseguenza maggiore è la frazione del volume 

d’acqua precipitato che va ad alimentare il deflusso superficiale; 

• la permeabilità delle litologie superficiali: ovviamente una maggiore 

permeabilità dei terreni superficiali favorisce l’infiltrazione dell’acqua 

meteorica, comportando una conseguente diminuzione del deflusso 

superficiale; 

• l’uso del suolo: la destinazione del suolo influisce notevolmente sul 

volume del deflusso superficiale: una fitta copertura vegetale, per 

esempio, tende a diminuirlo, un’intensa urbanizzazione, diminuendo la 

permeabilità superficiale del terreno, tende viceversa ad aumentarlo.


Metodo Curve Number del Soil Conservation Service. 

Una metodologia per la stima delle precipitazioni efficaci che trova ampia 

applicazione è quella proposta dal Soil Conservation Service (1972). 

Il metodo, detto Metodo del numero di curva (Curve Number), si basa sulla 

relazione: 

Pe = (P - Ia) 2 / (P - Ia + S); 

dove: Pe = altezza di precipitazione efficace (mm); 

P = altezza di precipitazione lorda (mm); 

Ia = assorbimento iniziale (mm); 

S = volume specifico di saturazione (mm). 

La grandezza Ia rappresenta la quantità d’acqua meteorica assorbita 

inizialmente dal terreno e dalla vegetazione: fino all’istante in cui non si ha 

P> Ia il deflusso superficiale è da ritenersi praticamente assente. 

Il parametro S corrisponde al volume idrico trattenuto dal terreno e dalla 

vegetazione, e quindi sottratto al deflusso superficiale, dopo l’istante in cui 

si ha P> Ia : mentre Ia assume un valore costante, S cresce nel corso 

dell’evento meteorico fino a raggiungere un valore massimo. 

Il Metodo del numero di curva correla la grandezza S ad un parametro CN 

funzione della permeabilità della litologia superficiale, dell’uso del suolo e 

del grado di saturazione del terreno prima dell’evento meteorico. Per quanto 

riguarda quest’ultima variabile, il procedimento SCS richiede come input 

l’altezza complessiva di pioggia caduta nei cinque giorni precedenti l’evento 

meteorico preso in esame, definendo tre categorie di umidità: 

AMC Stagione di riposo Stagione di crescita 

I < 13 mm < 36 mm 

II 13 - 28 mm 36 - 53


III > 28 mm > 53 mm 

I termini ‘stagione di riposo’ e ‘stagione di crescita’ si riferiscono alla 

vegetazione; va cioè considerato in quale periodo dell’anno, in relazione alla 

fase di crescita della vegetazione, si è verificato l’evento meteorico 

esaminato. 

In base alla classe di umidità scelta vengono definiti i corrispondenti valori 

di CN, rispettivamente CNI, CNII e CNIII. 

Ricadendo nella categoria di umidità II, è possibile ricavare i valori di CNII 

nel bacino ricorrendo alla seguente tabella: 

USO DEL SUOLO LITOLOGIA 

SUPERFICIALE 

Tipo Trattamento Drenaggio A B C D 

Arato Linee rette ------ 77 86 91 94 

Coltivazione 

per fila 

“ Povero 72 81 88 91 

“ Buono 67 78 85 89 

Isoipse Povero 70 79 84 88 

“ Buono 65 75 82 86 

terrazzato Povero 66 74 80 82 

“ Buono 62 71 78 81 

Graminacee 

allo stato 

iniziale 

Linee rette Povero 65 76 84 88 

“ Buono 63 75 83 87 


“ Buono 61 73 81 84 


“ Buono 59 70 78 81 

Seminativo 

intenso o 

prateria 

Linee rette Povero 66 77 85 89 

“ Buono 58 72 81 85 


“ Buono 55 69 78 83



“ Buono 51 67 76 80 

Pascolo Linee rette Povero 68 79 86 89 

“ Medio 49 69 79 84 

“ Buono 39 61 74 80 


“ Medio 25 59 75 83 

“ Buono 6 35 70 79 

Prato ------- Buono 30 58 71 78 

Bosco ------ Povero 45 66 77 83 

------ Medio 36 60 73 79 

------ Buono 25 55 70 77 

Fattoria ------ ------ 59 74 82 86 

Centri 

commerciali 

------ ------ 89 92 94 95 

Distretti 

industriali 

------ ------ 81 88 91 93 

Area 65% ------ 77 85 90 92 

residenziale impermeabile 

“ 38% 

impermeabile 

------ 61 75 83 87 

“ 30% 

impermeabile 

------ 57 72 81 86 

“ 25% 

impermeabile 

------ 54 70 80 85 

“ 20% 

impermeabile 

------ 51 68 79 84 

Parcheggi 

pavimentati 

------- ------ 98 98 98 98 

Strade asfaltate ------ 98 98 98 98 

“ con fondo in ------ 76 85 89 91 

ghiaia 

“ con fondo in 

terra battuta 

------ 72 82 87 89


Le classi litologiche A, B, C e D sono espressione del grado di permeabilità 

dei depositi superficiali, secondo la seguente tabella: 

Classe litologica Permeabilità 

A Alta 

B Media 

C Bassa 

D Nulla 

Nell’ipotesi che l’evento meteorico esaminato ricada nelle condizioni di 

umidità I o III, per ricavare i corrispondenti valori di CNI e CNIII vanno 

utilizzate le seguenti correlazioni con CNII: 

CNI = CNII / ( 2.3 - 0.013 x CNII); 

CNIII = CNII / (0.43 + 0.0057 x CNII). 

Determinato il parametro CN, a seconda della classe di umidità considerata, 

la grandezza S può essere valutata con l’espressione: 

S (mm) = 254 x [(100 / CN) - 1]; 

Il parametro Ia a sua volta può essere correlato a S attraverso la formula: 

Ia = c x S; 

dove c è un coefficiente di valore variabile fra 0.1 e 0.2 , ma normalmente 

posto uguale a 0.2. 

Avendo stimato Ia e S, nota la precipitazione meteorica lorda, si hanno tutti 

gli elementi per stimare l’altezza di precipitazione efficace. 

Operativamente si procede come segue:


• si costruisce una carta della permeabilità superficiale del bacino in 

esame, considerando le quattro categorie viste in precedenza (A, B, C e 

D); 

• si costruisce una carta dell’uso del suolo del bacino, utilizzando le 

categorie elencate nella tabella per il calcolo di CNII; 

• si incrociano le due carte tematiche assegnando ad ogni sotto-area 

individuata il corrispondente valore di CNII (vedi tabella); 

• si calcola il valore di CNII totale del bacino, facendo una media pesata 

dei valori parziali: se per esempio si sono individuate all’interno del 

bacino 4 sotto-aree con i seguenti valori di CNII e di estensione areale: 

il valore di CNII totale verrà dato da: 

Valori di CNII Area (kmq) 

51 2 

87 3 

35 5 

65 6 

CNII = ( 51 x 2 + 87 x 3 + 35 x 5 + 65 x 6) / (2 + 3 +5 +6) = 58; 

• considerando le precipitazioni totali avvenute nei cinque giorni 

precedenti l’evento esaminato, si individua la classe di umidità da 

introdurre nel calcolo (I, II o III); nel caso si rientri nelle categorie I o III, 

si calcola il valore di CNI o CNIII in funzione di CNII con la relazione 

vista in precedenza; 

• stimato CN si calcola S e Ia; infine nota la precipitazione lorda P si trova 

la precipitazione efficace. 

Il principale pregio di questo metodo è la sua capacità di condurre a 

previsioni quantitative sulla variazione del deflusso superficiale in funzione 

dei cambiamenti che avvengono nell’uso del suolo ( per esempio a causa di 

opere di urbanizzazione). Un limite è nella soggettività che influenza la 

selezione di alcuni parametri, che in alcuni casi può condurre a differenze 

significative nella stima della precipitazione efficace.


Metodo di Rasulo e Gisonni (1997). 

Si tratta di un metodo semplificato, che consente di stimare il 

coefficiente di afflusso di un bacino in funzione del tempo di ritorno 

dell’evento meteorico. La relazione è la seguente: 

dove: 

ca 

cap 

cai 

Aimp 

c = c ( 1− 

A ) + c 

a 

ap 

imp 

= coefficiente di afflusso; 

=coefficiente di afflusso per le aree permeabili del bacino; 

=coefficiente di afflusso per le aree impermeabili del bacino; 

=rapporto fra l’area impermeabile e l’area totale del bacino. 

Sia cap che cai vengono tabellati dagli Autori in funzione del tempo di 

ritorno dell’evento meteorico. 

Tempo di ritorno(anni) cap cai 

10 0.15-0.30 0.70-0.90 

ai 

A 

imp


Elaborazione della pioggia di progetto. 

Il calcolo della portata di massima piena e l’elaborazione del relativo 

idrogramma devono essere preceduti dalla determinazione della 

pioggia di progetto, cioè dell’evento meteorico più gravoso per un 

determinato tempo di ritorno. 

Tre i passaggi necessari per giungere alla sua determinazione: 

1. stima dell’altezza pluviometrica dell’evento; 

2. ragguaglio della pioggia; 

3. costruzione dello ietogramma. 

Stima dell’altezza pluviometrica 

Fissato il tempo di ritorno dell’evento meteorico e la sua durata 

(posta uguale al tempo di corrivazione nel caso si utilizzino i metodi 

cinematici per il calcolo della portata di piena), l’altezza di 

precipitazione meteorica può essere stimata attraverso la curva di 

possibilità climatica della stazione pluviometrica di riferimento (vedi 

paragrafo 3.3): 

n 

h = at 

Nel caso all’interno del bacino o nelle immediate vicinanze siano 

localizzate più stazioni di misura si può procedere alla 

determinazione di h attraverso la seguente procedura: 

4. si stimano i valori di h dalle curve di possibilità climatica di ogni 

stazione; 

5. con il metodo dei topoieti si individuano le aree d’influenza di ogni 

stazione; 

6. si calcola un valore di hmedio facendo la media pesata, in funzione 

dell’area d’influenza di ogni stazione, dei singoli valori di h 

calcolati. 

Calcolo del coefficiente di ragguaglio


Si tratta di un fattore moltiplicativo, variabile da 0 a 1, che serve a 

tener conto del fatto che l’altezza di precipitazione tende a diminuire 

all’aumentare dell’area interessata dall’evento meteorico. L’altezza di 

precipitazione misurata dalla stazione pluviometrica è infatti un dato 

puntuale e va quindi corretto in funzione dell’area sulla quale si 

considera distribuito l’evento piovoso. 

Nel caso di piccoli bacini (fino a 100 kmq) si può utilizzare il criterio 

del DEWC (1981). La relazione su cui si basa il metodo è la 

seguente: 

b 

R =1 − at 

dove: 

a = 0.0394A 0.354 

b = 0.40 – 0.0208ln(4.6-lnA) per A≤20 kmq 

b = 0.40 – 0.00382ln(4.6-lnA) 2 per A>20 kmq 

A = area del bacino in kmq 

Un altro metodo utilizzabile è quello proposto da Desbordes et Alii 

(1982), basato sulla semplice relazione: 

0. 

05 

100 − 

R = A 

dove A è l’area del bacino espressa in kmq. 

Si tenga presente che spesso, in piccoli bacini, a favore della 

sicurezza, il coefficiente di ragguaglio viene posto uguale a 1. 

Calcolato il coefficiente di ragguaglio R, l’altezza di precipitazione 

ragguagliata viene stimata attraverso la relazione: 

Simulazione dello ietogramma 

hr = hR . 

Nel caso si voglia determinare, oltre che il valore della portata di 

massima piena al colmo, anche l’drogramma dell’evento è 

necessario ricostruire il modo in cui l’intensità della precipitazione 

meteorica varia nell’intervallo di durata della pioggia. Il grafico che


mostra l’andamento dell’intensità di precipitazione nel tempo prende 

il nome di ietogramma. In letteratura sono stati proposti diversi 

metodi di calcolo. 

Pioggia di progetto a intensità costante 

Si parte dall’ipotesi che l’intensità della precipitazione rimanga 

costante per tutta la durata dell’evento. In pratica si pone: 

hr 

i ( mm/ 

h) 

= 

t 

dove: 

i = intensità della precipitazione meteorica; 

hr = altezza della pioggia ragguagliata; 

= durata dell’evento meteorico. 

tp 

Pur partendo da un’ipotesi non realistica, si tratta di un metodo molto 

usato nella pratica, soprattutto per bacini molto piccoli. 

Pioggia di progetto con ietogramma triangolare (metodo di 

Chicago)(1953) 

S’ipotizza in questo caso che l’intensità di precipitazione cresca in 

maniera continua fino a raggiungere un picco massimo, oltre il quale 

tende a decrescere gradualmente. La parte crescente della curva è 

fornita dalla relazione: 

n−1 

i( 

t) 

= ant1 

dove: 

a = fattore a della curva di possibilità climatica; 

n = fattore n della curva di possibilità climatica; 

t1 = (rtp – t)/r con t che varia da 0 a rtp 

tp = durata dell’evento meteorico; 

r = posizione del picco, variabile a 0 a 1 e spesso posto = 0.5. 

La parte decrescente del grafico è invece fornita dalla relazione: 

p


i( 

t) 

= ant 

dove: 

t2 = (t-rtp)/r con t che varia da rtp a tp. 

Nella pratica si fissa un passo di calcolo temporale, di solito 1 ora, la 

posizione del picco e si applicano le due relazioni, facendo variare t 

in maniera discreta nell’intervallo 0-tp, con il passo di calcolo scelto. 

Questo metodo, che fornisce rispetto al precedente una 

rappresentazione più realistica dell’andamento dell’intensità della 

precipitazione, può essere usato di fatto per bacini con un’estensione 

areale di almeno alcune centinaia di kmq e per durate di 

precipitazione di almeno alcune ore. L’uso di passi di calcolo troppo 

piccoli (


Curva ipsometrica 

L'analisi dell'assetto morfologico del bacino viene riassunta nella curva 

ipsometrica (o ipsografica percentuale). La curva si traccia in base alle 

altezze e alle rispettive aree cumulate, suddividendo il bacino in intervalli di 

quota (per es.10), dalla quota minima a quella massima, e valutando l’area 

del bacino che ricade in ogni intervallo. Si devono quindi eseguire i rapporti 

tra le aree dei singoli intervalli (a) e l'area totale del bacino (A), e quelli tra i 

dislivelli degli intervalli rispetto al piano di base (h) ed il dislivello totale del 

bacino (H). La funzione della curva che si ottiene è del tipo: 

y = f(x) dove: y=h/H e x=a/A. 

Per integrale della curva ipsometrica s’intende l’area sottesa dalla curva 

rispetto all’asse delle X. 

Dalla curva ipsometrica si ricava l’altezza media del bacino, impiegando la 

relazione: 

Hm = (1 / A) x ∑ ai x hi. 

con A = area totale del bacino; 

ai = area del bacino compresa nell’intervallo i-esimo di quota; 

hi = altitudine media dell’intervallo di quota i-esimo. 

L'analisi della curva ottenuta permette di valutare il grado di evoluzione 

raggiunto dal bacino esaminato. 

In merito allo stadio evolutivo di un bacino si deduce, che esso può trovarsi 

in una delle seguenti fasi. 

FASE GIOVANILE: la curva ipsometrica presenta una prevalente 

convessità verso l'alto con un valore medio 

dell'integrale superiore al 60 %. 

FASE MATURA: la curva è del tipo a flesso con un integrale prossimo 

al 50 %. 

FASE SENILE: la curva ipsometrica presenta una prevalente 

concavità verso l'alto con un valore medio 

dell'integrale inferiore al 30 %. 

Poichè in una curva ipsometrica la distribuzione relativa delle aree e delle 

quote è subordinata alla forma della proiezione orizzontale di quella del


bacino, la curva assume un significato positivo solo se la forma del bacino 

stesso è regolare e di tipo subrettangolare, cosa difficile da verificarsi. 

Quindi bisogna limitare l'analisi alla parte centrale della curva ipsometrica, 

cioè di quella che è compresa tra il 15 e l'85 % dell'area totale, in quanto è 

quella che permette l'indagine appropriata del grado di evoluzione 

raggiunto.


Analisi morfologica del bacino. 

Per l’analisi morfologica, il reticolo del bacino è classificato in funzione dei 

segmenti che sono compresi tra le varie confluenze. Ad ognuno di questi si 

assegna un numero (ordine) che dipende dalla sua posizione nell’ambito 

del reticolo stesso, come proposto da STRAHLER. 

Gerarchizzazione del reticolo idrografico secondo STRAHLER. 

I segmenti del reticolo vengono distinti con un numero d'ordine crescente in 

funzione dei rami di ordine inferiore che vi confluiscono. 

Tutti i segmenti che sono privi di affluenti si dicono di I ordine. Per creare 

un ramo di ordine II è necessaria la confluenza di almeno due rami di 

ordine I, per un ramo di ordine III ne occorreranno almeno due di ordine II, 

ecc.. In generale quindi un segmento di ordine N è dato dalla confluenza di 

almeno due rami di ordine N-1. 

Parametri morfometrici. 

I 

I I I 

I 

II II 

II III 

Gerarchizzazione sec.Strahler. 

I 

I


Si definiscono i seguenti parametri: 

dove: 

Rb=Nu / Nu+1 Rapporto di biforcazione 

Rbd=Nud/Nu+1 Rapporto di biforcazione diretto 

Ib=Rb-Rbd Indice di biforcazione 

Su=(Rb/2)-1 Indice di conservatività 

Ga numero di anomalia gerarchica 

Dga=Ga/A densità di anomalia gerarchica 

Iga= Ga/N1 indice di anomalia gerarchica 

Nu = somma del numero totale di segmenti di ordine u; 

Nud=somma del numero di segmenti di ordine u che confluiscono 

direttamente in quelli d’ordine u+1; 

Nu+1= somma del numero totale di segmenti di ordine u+1; 

A = area totale del bacino; 

N1= numero dei segmenti di I ordine. 

Il rapporto di biforcazione (Rb) fornisce indicazioni sulla struttura 

dell’intero reticolo idrografico. Il valore di Rb da prendere come 

rappresentativo del bacino è quello ottenuto dalla media (aritmetica o 

pesata) degli Rb parziali, riferiti alle singole coppie di ordine u e u+1. Rb 

risulta normalmente compreso tra 3 e 5, con un minimo teorico di 2 (due 

rami di ordine u per ogni ramo di ordine u+1). In generale maggiore è il 

valore di Rb minore è il grado di gerarchizzazione del bacino. Valori 

superiori a 5 sono molto rari e testimoniano di un forte controllo tettonico 

sullo sviluppo del reticolo. 

Bacini con uguale valore di Rb possono essere distinti sulla base dei valori 

del rapporto di biforcazione diretta (Rbd). Per uno stesso bacino, valori 

differenti di Rb e Rbd, stanno ad indicare la presenza di confluenze 

anomale, cioè confluenze di ordine u in segmenti di ordine u+2 o superiore. 

Di maggior significato è quindi l’indice di biforcazione (differenza fra Rb e 

Rbd), che normalmente assume valori compresi fra 0.2 e 4. Valori anormali


si possono riscontrare quando lo sviluppo dei reticoli è fortemente 

controllato da fattori litologici e strutturali. 

Il massimo grado di gerarchizzazione si ha quando l’indice di biforcazione 

assume il valore di 0 (Rb = Rbd), cioè quando tutti i rami di ordine u 

confluiscono nei rami di ordine u+1. Valori prossimi a 0 sono tipici di 

bacini in fase evolutiva matura o senile. Valori elevati di Ib sono tipici di 

bacini in fase giovanile. 

Un caso limite si ha quando Ib=0 e Rb=Rbd=2, cioè quando il reticolo 

fluviale ha massima gerarchizzazione accompagnata da massima 

conservatività (bacini in fase senile). 

Un reticolo conservativo è quello che presenta il numero minimo di 

segmenti necessari a costituire l'ordine più alto del reticolo. La 

conservatività di un reticolo è espressa dall’indice di conservatività (Su), 

che assume come valore minimo 0 (massima conservatività). 

In generale si può dire che il grado di gerarchizzazione, espresso dalla 

grandezza Ib, ed il livello di conservatività, espresso dal parametro Su, 

aumentano nel tempo (Ib e Su che tendono a 0) in relazione all’evolversi del 

reticolo idrografico. Ciò è vero ovviamente in assenza di un forte controllo 

tettonico o litologico (litologie a differente erodibilità) sul reticolo 

idrografico o di eventi che possono interrompere la normale evoluzione del 

reticolo (per es.variazioni improvvise del livello di base). 

Un altro parametro che permette di definire il grado di organizzazione 

gerarchica di un bacino è il numero di anomalia gerarchica, definito come il 

numero minimo di segmenti del I ordine necessari a far divenire il reticolo 

perfettamente gerarchizzato. Analiticamente questa grandezza è espressa 

dalla sommatoria del numero di segmenti anomali di ordine (i) che 

confluiscono in segmenti di ordine (r), con i ≤ r-2, nell'ambito di un bacino 

di ordine (s): 

Ga = ∑da i=1 a s-2 ∑da r=i+2 a s Ni,r x fi,r; 

con Ni,r = numero di segmenti anomali di ordine i che confluiscono in 

segmenti di ordine r; 

fi,r = 2 r-2 - 2 i-1 . 

In generale un valore più elevato di questo parametro indica un minor grado 

di gerarchizzazione del reticolo idrografico. Questa grandezza può essere


utilizzata per ricavare la densità e l’indice di anomalia gerarchica, parametri 

che consentono di confrontare il grado di evoluzione del bacino con altri di 

estensione areale differente ed in condizioni climatiche diverse, cosa che 

non è possibile fare utilizzando le grandezze Ib e Su viste in precedenza. 

Indicazioni più precise sul livello evolutivo di un bacino si possono ottenere 

dal confronto del grado di gerarchizzazione del reticolo con la curva 

ipsometrica: se, ad esempio, un bacino presentasse un basso grado di 

gerarchizzazione ed una curva ipsografica indicante una fase matura, ciò 

potrebbe significare che ci sono state recenti variazioni del livello di base, 

risentite dal reticolo idrografico ma non dal rilievo nel suo insieme. 

Altri parametri morfometrici. 

Oltre ai parametri descritti nel paragrafo precedente, se ne possono definire 

altri. 

• Coefficiente di uniformità (Kc), dato da: 

con Pb=perimetro del bacino; 

A= area del bacino; 

Kc = Pb / (2 x √ π x A); 

• Rapporto di circolarità (Kr), dato da: 

Kr = A / (0.0796 x Pb 2 ); 

ambedue i parametri forniscono una indicazione di quanto il bacino si 

discosta dalla forma circolare (forma raccolta). Valori di Kc e Kr lontani 

dall'unità sono tipici di bacini di forma allungata e viceversa nel caso di Kc 

e Kr prossimi a1. Un bacino raccolto a parità di altri fattori avrà tempi di 

corrivazione minori e piene più improvvise e marcate, con un idrogramma 

caratterizzato da una forma stretta ed appuntita. 

• Densità di drenaggio (Dr), data da: 

Dr = ∑l / A;


con ∑l = somma delle lunghezze di tutti i rami dei vari ordini del reticolo 

idrografico. 

• Frequenza di drenaggio (Fr), data da: 

Fr = N / Ab; 

N = numero dei segmenti idrografici presenti nel bacino (somma dei rami 

dei vari ordini). 

Sono due parametri che forniscono un’indicazione del grado di sviluppo del 

reticolo idrografico. Bassi valori di Dr e Fd sono tipici di bacini poco 

evoluti o impostati su litologie resistenti all'erosione e/o permeabili ed in 

presenza di una fitta copertura vegetale. Mediamente i valori di Dr 

oscillano fra 2 e 4, quelli di Fd fra 6 e 12. 

• Rapporto delle lunghezze (Rl): si ottiene facendo il rapporto fra la 

lunghezza media dei rami di ordine i e la lunghezza media dei rami di 

ordine i-1. 

• Rapporto delle aree (Ra): si ottiene facendo il rapporto fra l’area media 

dei bacini di ordine i e l’area media dei bacini i-1. 

Diagrammi relativi ai parametri morfometrici. 

• Diagramma N.ordine - N.segmenti per ordine. 

Se il reticolo idrografico è organizzato i punti rappresentativi del numero dei 

segmenti fluviali e del loro ordine si devono trovare su una retta, in un 

diagramma semilogaritmico. Se non accade significa che sono presenti 

distribuzioni anomale dei segmenti. 

• Diagramma N. ordine - lunghezza media dei segmenti. 

• Diagramma N. ordine - area media dei sottobacini costituenti il bacino 

idrografico.


• Diagramma N. ordine - pendenza media dei sottobacini costituenti il 

bacino idrografico. 

Le variazioni delle lunghezze, delle aree e delle pendenze devono 

seguire la legge lineare (in scala semilogaritmica) e quindi i grafici 

devono mostrare un andamento rettilineo. Se ciò non accade, vanno 

ricercate le cause per esempio nella differente distribuzione della 

permeabilità nel bacino, nella eterogeneità litologica, nel controllo 

strutturale, ecc.


Portate di massima piena. 

Trascurando le formule empiriche, che forniscono solo stime grossolane e 

necessitano di essere calibrate localmente, i metodi di calcolo più impiegati 

sono quelli cinematici e statistici. 

Metodi cinematici. 

Si tratta di relazioni che si basano sulla stima del tempo di corrivazione (τc) 

del bacino. 

Per tempo di corrivazione s’intende il tempo necessario, perchè le acque di 

afflusso meteorico raggiungano la sezione di chiusura del bacino, rispetto 

alla quale viene eseguito il calcolo della portata di massima piena, partendo 

dai punti più lontani del bacino. Questo parametro è una costante per ogni 

bacino, in quanto funzione esclusivamente della morfologia, delle litologie 

affioranti e della copertura vegetale. 

Un'indicazione dell'ordine di grandezza di τc può essere ottenuto dividendo 

la lungheza totale dell'asta principale per un fattore compreso fra 1 e 2: 

τc (s) = L / (1 o 2) (L in metri). 

Metodi di calcolo più precisi e usati nella pratica sono quelli di Giandotti, di 

Pezzoli, F.A.O e S.C.S.. 

• Formula di Giandotti: 

• Formula di Pezzoli: 

4 

τ ( h) 

= 

c 

S 

b 

0. 

8 

+ 1. 

5L 

H 

0. 

055 

τc 

( h) 

= 

P 

m 

L 

m 

p 

p


• Formula F.A.O.: 

• Formula S.C.S.: 

dove : 

τ 

c 

(min) 

L 

τc 

( h) 

= 

15h 

= 

100 

1. 

15 

p 

0. 

38 

max 

0. 

7 

0. 

8⎡⎛1000 

⎞ ⎤ 

L ⎢⎜ 

⎟ −9 

CN 

⎥ 

⎣⎝ 

⎠ ⎦ 

0. 

5 

1900S 

a 

Sb (kmq) = superficie del bacino; 

Lp (km) = lunghezza dell’asta pricipale; 

Pm (%) = pendenza media del bacino; 

Hm (m) = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura; 

hmax (km) = altezza massima del bacino rispetto alla sezione di 

chiusura. 

L (ft) = lunghezza del corso d’acqua principale esteso fino allo 

spartiacque; 

CN = Curve Number del bacino; 

Sa(%) = inclinazione media del corso d’acqua principale. 

Le quattro relazioni sono impiegabili per bacini di piccola e media 

estensione. La formula di Giandotti fornisce per bacini molto piccoli 

(inferiori a 100 kmq) valori generalmente sovrastimati. 

Stimato il valore di τc è possibile passare alla valutazione delle portate di 

massima piena al colmo. 

Il primo dato che occorre ricavare è la pioggia di progetto, per un tempo di 

ritorno fissato, corrispondente ad una durata uguale al tempo di 

corrivazione. Tale grandezza può essere ricavata attraverso le procedure di 

elaborazione dei dati pluviometrici viste in precedenza.


L’altezza di precipitazione ricavata (h) va introdotta in una delle formule 

cinematiche disponibili in letteratura. Tra le più utilizzate sono le formule 

del metodo razionale, di Giandotti e di Merlo. 

• Formula del metodo razionale. 

Ha la seguente espressione: 

dove: 

Q 

max 

c 

( mc/ 

s) 

= 0. 

278 

τ 

a hA 

Qmax (mc/s) = portata di massima piena al colmo per un dato tempo 

di ritorno; 

ca = coefficiente di afflusso, variabile da 0 a 1 (vedi paragrafo 3.4); 

Sb (kmq) = area del bacino; 

h (mm) = altezza di precipitazione ragguagliata riferita a τc per un 

dato tempo di ritorno; 

τc (h) = tempo di corrivazione. 

Il parametro ca può essere ricavato con uno dei metodi proposti nel 

paragrafo 3.4. In alternativa può essere stimato, in maniera approssimativa 

attraverso relazioni semplificate, come quella di Schaake et Alii (1967): 

dove: 

Aimp 

ic 

c = 0 . 14 + 0. 

65A 

+ 0. 

05i 

a 

= rapporto fra l’area impermeabile del bacino e quella totale; 

= pendenza media, in %, del corso d’acqua principale. 

Nel caso di bacini molto piccoli (area di alcuni kmq) e prevalentemente 

impermeabili il coefficiente di deflusso può anche essere posto, a favore 

della sicurezza, prossimo a 1. 

• Formula di Giandotti. 

imp 

c 

c



ChA 

Qmax 

( mc/ 

s) 

= 0. 

278 

τc 

dove C in bacini con area inferiore ai 300 kmq deve essere posto uguale a 

1.25. In alternativa, Visentini (1938) ha proposto di ricavare il parametro C 


C = 6. 

19A 

dove A è l’area del bacino espressa in kmq. 

−0. 

319 

L’esperienza ha dimostrato, però, che questa relazione tende a sovrastimare 

le portate nel caso di piccoli bacini (poche decine di kmq), in quanto 

inizialmente calibrato su bacini con estensione superiore ai 500 kmq. 

• Formula di Merlo. 


dove: 

Cm = 0.0363 + 0.0295 x ln(Tr); 

Tr (anni) = tempo di ritorno. 

Qmax ( mc/ 

s) 

= CmhA 

Questo metodo è stato calibrato su piccoli bacini, ed è quindi 

particolarmente utile per valutazioni eseguite in tale contesto. 

Per quanto riguarda la scelta del tempo di ritorno da adottare nelle verifiche, 

si tenga presente quanto suggerito nella seguente tabella. 

Tipo di opera Tr (anni) 

Ponti e difese di corsi d’acqua maggiori 100-150


Difese di corsi d’acqua minori 20-30 

Dighe 500-1000 

Bonifiche 15-25 

Fognature urbane 5-10 

Tombini e ponti su piccoli corsi 

30-50 

d’acqua 

Sottopassi stradali 50-100 

Fossi di guardia per strade principali 10-20 

Metodi statistici. 

I metodi statistici affrontano il problema della previsione delle piene, 

partendo dal presupposto che siano fenomeni puramente casuali, che si 

ripetono nel tempo senza alcuna relazione fra loro. 

Il metodo statistico più utilizzato è quello di Gumbel. 

Di seguito viene esposta la procedura da seguire. 

• disponendo di N valori di massima piena annuali (Q), si ordinano tali dati 

in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, il valore 

N a quello minimo. 


Pi = i / (N + 1); 

con i compreso fra 1 e N. Questi rapporti indicano la probabilità che il 

corrispondente valore di Q non venga raggiunto o superato. I valori di Pi 

ricavati permettono di definire la scala dei tempi di ritorno: 

Ti = 1 / (1 - Pi). 

• Si riportano le N coppie di valori (Ti, Qi) in un diagramma 



consente di ricavare il valore di Q per qualsiasi tempo di ritorno. 

E’ evidente che l’estrapolazione dei valori di portata non deve andare troppo 

oltre il periodo di registrazione. 

Stima dell’onda di piena (metodo di Nash).


In alcune situazioni oltre al valore della portata di massima piena al colmo, 

può essere necessario fare una stima dell’andamento dell’onda di piena nella 

sezione di riferimento. In pratica cioè può essere richiesta la previsione 

dell’idrogramma di piena, cioè dell’andamento delle portate in funzione del 

tempo. 

Il metodo di Nash, che permette di costruire l’idrogramma di piena, 

partendo dai dati dell’andamento dell’afflusso meteorico efficace 

(ietogramma), si basa sulla relazione: 

dove: 

Q (m x Δt) = Sb x ∑da i=1 a m e -i x Δt/k x ( i x Δt/k) n-1 x hm-i+1 x Δt; 

[k x Γ(n)] 

Q (m x Δt) = portata all’istante m x Δt, con m che varia da 1 a N, con 

N=numero max d’intervalli temporali considerati; 

Δt (h) = intervallo temporale di calcolo (generalmente posto uguale a 

1 h); 

m = numero dell’intervallo di calcolo; 

Γ(n) = funzione gamma; 

Sb (kmq) = area del bacino; 

hm-i+1 (mm) = afflusso efficace nell’intervallo (m-i+1); 

k,n = coefficienti caratteristici del bacino, che variano normalmente 

nell’intervallo 1-10; 

Il metodo richiede la conoscenza dei parametri k e n, ottenibili per tentativi, 

noti gli idrogrammi di piena ed i relativi ietogrammi di eventi precedenti, 

riferiti alla stessa sezione di chiusura. 

In alternativa le due grandezze k e n possono essere stimate correlandole 

con grandezze geometriche o parametri morfometrici del bacino. In questo 

caso l’idrogramma ottenuto prende il nome di idrogramma sintetico. 

Diverse le correlazioni disponibili in letteratura come suggerito, tra le quali 

citiamo quella di Rosso(1984), Nash (1960) e Mc Sparran (1968). 

• Rosso (1984) 

L’Autore correla i fattori k e n con alcuni parametri morfometrici del 

bacino, attraverso le relazioni:


n = 3.29 x (Rb / Ra) 0.78 x Rl 0.07 ; 

k = 0.70 x [Ra / (Rb x Rl)] 0.48 x (L / v); 

dove: Rb = rapporto di biforcazione del bacino; 

Ra = rapporto delle aree del bacino; 

Rl = rapporto delle lunghezze del bacino; 

L (m)= lunghezza dell’asta principale; 

v(m/s) = velocità media di propagazione dei deflussi nella rete 

idrografica. 

Mentre Rb, Ra, Rl e L sono facilmente ricavabili dall’analisi della 

cartografia, il parametro v è di più difficile valutazione e, almeno in prima 

approssimazione, può essere posto uguale a quello misurato in altri bacini di 

dimensioni e altimetria simili a quello esaminato. Di più immediata 

utilizzazione sono le relazioni di Nash e Mc Sparran. 

• Nash (1960) 

Posto: 

m = 

1 

m = 

2 

n e k possono essere determinati, ricavando le grandezze m1 e m2 attraverso 

le seguenti relazioni: 

m 

nk 

nk 

m 

2 

2 

1 

0. 

3 −0. 

3 

1 = 27. 

6A 

ib 

m 

2 

= 0. 

41L 

dove: 

A = area del bacino espressa in miglia quadrate; 

L = lunghezza del corso d’acqua principale prolungato allo 

spartiacque espressa in miglia (1 miglio= 1.609 km); 

= pendenza media del bacino espressa in parti per 10000. 

ib 

−0. 

1


• Mc Sparran (1968) 

Mc Sparran propone le seguenti relazioni: 

t p 

n = 4. 1 

k1 

t p 

k = 

n −1 

dove tp e k1 hanno le seguenti espressioni: 

0. 

208 −0. 

447 

t p = 5. 

52A 

i 

k 

0. 

297 −0. 

354 

1 = 3. 

34A 

i 

in cui: 

A = area del bacino espressa in miglia quadrate; 

i = pendenza media del corso d’acqua principale in parti per mille.


Erosione di un bacino e trasporto solido. 

Stima dell’erosione di un bacino 

La valutazione quantitativa dell'erosione nei bacini di drenaggio può essere 

affrontata con varie metodologie, che differiscono fra loro sia per il 

significato dei risultati, che per le condizioni di applicabilità. 

• Metodo di Gavrilovic. 

Richiede l'introduzione dei dati geometrici del bacino e di parametri legati 

all'erodibilità (in funzione del tipo di vegetazione, dei litotipi e delle 

condizioni morfologiche) del settore del bacino stesso soggetto ad erosione. 

Viene fornito come risultato la quantità di materiale che può essere perduta 

dal bacino in un anno per erosione. 

La relazione, sui cui si basa il metodo, è la seguente: 

t° 

W ( mc/ 

anno) 

= Fhπ 

+ 0. 

1 1 + 2m 

10 

[ ] 3 

m m 

dove: 

F = area del bacino o sottobacino in kmq; 

h = altezza di precipitazione media annua del bacino in mm; 

t° = temperatura media annua del bacino in °C; 

m1 = fattore legato all’uso del suolo; 

m2 = fattore legato alla litologia superficiale; 

= fattore legato all’acclività del bacino. 

m3 

I fattori m1, m2 e m3 sono ricavabili attraverso le relazioni: 

in cui: 

m 

1 

0. 

2A 

+ 0. 

5B 

+ 0. 

8C 

+ 1. 

0D 

= 

F 

A = superficie del bacino coperta da boschi o frutteti in kmq; 

3


B = superficie del bacino coperta da prati e pascoli in kmq; 

C = superficie del bacino coperta da coltivi in kmq; 

D = superficie del bacino priva di vegetazione. 

1. 

6J 

+ 0. 

8K 

+ 0. 

3L 

+ 1. 

6M 

m2 

= 

F 

in cui: 

J = superficie con rocce incoerenti affioranti in kmq; 

K = superficie con rocce pseudo o semi-coerenti affioranti in kmq; 

L = superficie con rocce coerenti affioranti in kmq; 

M = sviluppo delle faglie in km x 0.1km in kmq. 

m 3 =θ + I 

dove θ è funzione del rapporto V/F e fornisce un’indicazione del grado di 

dissesto morfologico del bacino. V è dato dalla relazione: 

V ( kmq) 

= 0. 

2N 

+ 4. 

2P 

+ 4. 

9Q 

+ 2. 

25R 

+ 0. 

75S 

+ 2U 

in cui: 

N = superficie con aree generalmente franose in kmq; 

P = superficie con frane in rocce sciolte e pseudo e semi-coerenti in 

kmq; 

Q = superficie con forme pseudo calanchive per tettonizzazione in rocce 

coerenti in kmq; 

R = superficie con numerosi crolli in kmq. 

S = superficie con crolli diffusi in kmq; 

U = superficie con valanghe (sviluppo in km x 0.1 km) in kmq. 

Stimato V la grandezza θ si ricava dalla seguente tabella: 

V/F θ 

0 0 

0.5 0.2 

2 0.4 

4 0.6 

6 0.8 

7 0.9


7.5 0.95 

Dove, per valori di V/F intermedi, si può procedere per interpolazione. 

Il fattore I esprime invece l’influenza dell’acclività del bacino e si ricava 

dalla relazione: 

I = 

I mi 

m 

F 

in cui: 

I1 = superficie del bacino in kmq con acclività fra 0-10% ; i1=0.05 





= superficie del bacino in kmq con acclività fra >80% ; i6=2.00 

I6 

6 

∑ 

m= 

1 

La grandezza W ricavata rappresenta la quantità di sedimento disponibile 

nel bacino per il trasporto. La quantità effettiva che transiterà nell’intervallo 

di tempo considerato attraverso la sezione di chiusura è fornita invece dalla 

relazione: 

Q s 

4 PH 

( mc/ 

anno) 

= W 

L + 10 

valida per piccoli bacini, dove: 

P = perimetro del bacino in km; 

H = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura in km; 

L = lunghezza dell’asta principale in km. 

Poichè prende in considerazione tutti i quattro fattori principali che 

condizionano l'entità dell'erosione in un bacino (litologia affiorante, 

copertura vegetale, acclività media e clima), attraverso parametri di 

semplice determinazione, può essere considerato, fra i metodi proposti 

quello che meglio combina semplicità d'uso e attendibilità dei risultati.


Si tratta di un metodo calibrato su un notevole numero di bacini in tutta 

Europa, in condizioni climatiche, morfologiche e litologiche molto 

differenti. 

Può essere utilizzato agevolmente per la realizzazione di una carta della 

erodibilità suddividendo il bacino principale in un numero adeguato di 

sottobacini. 

• Metodi che utilizzano gli indici climatici. 

Viene fornita la portata solida del bacino alla sezione di chiusura attraverso 

le relazioni di Langbein & Schumm e Fournier. 

Langbein & Schumm. 

dove: 

Fournier. 

dove: 

1. 

631 

S( 

mc/ 

kmq) 

= 

1+ 

0. 

0007 

( ) 

( ) 3 , 3 

2, 

3 

0. 

03937P 

0. 

03937P 

S (mc/kmq) =trasporto solido annuo per kmq di bacino; 

P (mm) = precipitazioni annue effettive, stimabili moltiplicando 

l’altezza di precipitazione annua per il coefficiente di deflusso del 

bacino. 

Log 

10 

D ( t / kmq) 

= 2. 

65Log 

s 

10 

2 

2 

⎛ p ⎞ 

⎛ H ⎞ 

⎜ 

⎟ + 0. 

461Log10 

⎜ 

⎟ −1. 

56 

⎝ P ⎠ 

⎝ Sb 

⎠ 

Ds (t/kmq) = trasporto solido annuo per kmq di bacino; 

p (mm) = precipitazioni mese più piovoso; 

P (mm) = precipitazioni totali annue; 

H (m) = altezza media del bacino rispetto alla sezione di chiusura; 

Sb (kmq) = area del bacino.


Si tratta in generale dei procedimenti meno attendibili fra quelli presi in 

considerazione. 

Possono fornire stime significative solo per bacini di notevole estensione, 

dove l'influenza dei fattori morfologia, litologia e copertura vegetale tende 

ad annullarsi. 

• Metodi che utilizzano gli indici morfometrici. 

Si tratta di relazioni empiriche molto semplici di sufficiente attendibilità, 

calibrate essenzialmente su bacini appenninici. 

I parametrici morfometrici utilizzati sono la densità di drenaggio, la densità 

di anomalia gerarchica e l’indice di anomalia gerarchica del bacino. 

Ambedue queste grandezze sono influenzate dal clima, dalla morfologia, 

dalla litologia affiorante e dalla copertura vegetale, fattori che sono, come 

già visto in precedenza, i parametri principali che influenzano l'entità 

dell’erosione. La densità di drenaggio, per esempio, tende ad aumentare al 

crescere dell'altezza delle precipitazioni e dell'erodibilità delle rocce 

affioranti e al diminuire della copertura vegetale e dell'acclività' media del 

bacino. 

Le seguenti relazioni sono state proposte da CICCACCI et Alii. 

dove: 

Log10 Tu 

( 10 

t / kmq) 

= 1. 

82818Log 

D + 0. 

01769ga 

+ 1. 

53034 

Log10 Tu 

( 10 

t / kmq) 

= 2. 

79687Log 

D + 0. 

13985ia 

+ 1. 

05954 

Tu = trasporto solido unitario annuo per kmq di bacino; 

ga = densità di anomalia gerarchica; 

ia = indice di anomalia gerarchica; 

D = densità di drenaggio. 

Va tenuto presente nel loro utilizzo che si tratta di relazioni basate su 

gerarchizzazioni del bacino effettuate in scala 1:25.000. Scale diverse 

tendono a condurre a parametri geomorfici differenti, influenzando in 

maniera non trascurabile la stima del trasporto solido. Si tenga presente 

inoltre che questi metodi prendono in considerazione solo il materiale


trasportato in sospensione, trascurando il materiale trasportato sul fondo e 

quindi tendono a fornire dei valori di trasporto solido sottostimati. 

Anche queste relazioni possono essere utilizzate per la realizzazione di carte 

dell'erodibilità del bacino. 

Stima del trasporto solido lungo l’alveo 

• Metodo di Di Silvio. 

Basato essenzialmente su misure effettuate in bacini delle Alpi venete e 

lombarde, permette di valutare l'entità del trasporto solido lungo l'asta 

principale del bacino in funzione della portata liquida del corso d'acqua. 

La relazione proposta da Di Silvio è la seguente: 

con 

Qs (mc/anno) = (0.027 / 1.8) x [ i 2.1 / (b 0.8 x D50 1.2 )] x (Q0 0.8 x V0); 

V0(mc) = volume idrico di deflusso = Ca x h x Sb x 1000; 

Ca = coefficiente di afflusso del bacino; 

h (mm) = precipitazioni ragguagliate collegate all’evento di piena; 

Sb (kmq) = area bacino; 

i (%) = pendenza asta principale; 

b (m) = larghezza media dell’alveo nel tratto preso in esame; 

D50 (m) = diametro mediano del materiale di fondo; 

Q0 (mc/s) = portata di massima piena nel periodo di riferimento (per 

es. un anno). 

Per valutare il trasporto solido in condizioni ordinarie, nella formula andrà 

inserito il valore della portata di massima piena con tempo di ritorno uguale 

a 1 anno e la relativa altezza di precipitazione. 

Il metodo fornisce un’indicazione sul trasporto solido partendo dall’ipotesi 

che ci si trovi in condizioni morfodinamiche di equilibrio, cioè che la 

morfologia dell’alveo e la composizione del materiale di fondo rimanga 

invariata. Va però tenuto presente che episodi catastrofici conducono a 

modifiche profonde nella morfologia dell'alveo (che tenderà ad allargarsi),


nella sua pendenza media (che tenderà ad aumentare) e nella curva 

granulometrica del materiale del letto del corso d'acqua (che tenderà a 

spostarsi verso granulometrie più fini). In questi casi la relazione non è più 

applicabile, a meno di non essere in grado di fare delle previsioni sulle 

variazioni che subirà l’alveo e, soprattutto, sul nuovo valore del D50. Anche 

se viene richiesto come input esclusivamente il D50 del materiale di fondo, il 

metodo tiene conto implicitamente anche del materiale trasportato in 

sospensione e quindi può essere utilizzato per problemi di interrimento di 

bacini. 

• Metodo di Shields. 

Il metodo mette in relazione la portata solida con la portata liquida che 

attraversa una determinata sezione d’alveo e serve a stimare la quantità di 

materiale trasportato sul fondo. Nota la curva granulometrica del materiale 

di fondo alveo, per un determinato valore del diametro dei granuli è 

possibile stimare la quantità di materiale che verrà trasportato sul fondo in 

corrispondenza di una portata liquida imposta. 

La tensione tangenziale necessaria per mettere in movimento un granulo di 

diametro d è data dalla relazione: 

dove: 

φ 

τ 

cr 

( t / mq) 

= φ( 

γ −1)d 

= funzione del numero di Reynolds, che vale, in condizioni di 

moto turbolento, circa 0.06; 

γ(t/mc) = peso specifico del materiale di fondo; 

d(m) = diametro del granulo. 

La tensione tangenziale applicata dalla corrente è invece fornita 

dall’espressione: 

τ = Rhi dove: 

Rh = raggio idraulico del corso d’acqua; 

i = pendenza dell’alveo nel tratto considerato.


Imposta una portata liquida di riferimento (Q), per esempio la portata media 

annuale del corso d’acqua, la portata solida è valutabile attraverso la 

formula: 

τ −τ 

Qs( 

t / s) 

= 10Q 

τ 

cr 

1 

iφB 

γ −1 

dove B è la larghezza dell’alveo. 

La procedura di calcolo, valida per un determinato valore di d, andrà poi 

ripetuta per gli altri diametri presenti nella curva granulometrica. Il trasporto 

di fondo totale sarà dato quindi dalla sommatoria dei singoli valori di Qs 

calcolati in corrispondenza di ogni diametro. 

Questo metodo non permette di valutare la quantità di materiale trasportato 

in sospensione, quindi non può essere utilizzato per problemi di interrimento 

di un bacino. Può essere applicato invece in problemi connessi 

all’interrimento di briglie o altre opere fluviali.


Verifica di sezioni d’alveo. 

Verifiche in condizione di moto uniforme 

La portata che defluisce per una determinata sezione d’alveo è fornita dalla 

relazione: 

dove: 

Q (mc/s) = A x vm; 

A (mq) = area della sezione trasversale dell’alveo; 

vm (m/s) = velocità media della corrente. 

Assumendo il criterio del moto uniforme, cioè immaginando che la linea 

piezometrica abbia la stessa inclinazione dell’alveo nella direzione della 

corrente, criterio valido in corsi d’acqua a debole pendenza, la velocità 

media della corrente può essere espressa dalla relazione (Gauckler- 

Strickler): 

dove: 

vm (m/s) = Ks x Rh 2/3 x (i/100) 1/2 ; 

Ks (m 1/3 s -1 ) = coefficiente di resistenza di Strickler; 

Rh(m) = raggio idraulico = A / Perimetro bagnato; 

i (%) = pendenza dell’alveo nel tratto considerato. 

Valutata la velocità della corrente, noto il valore dell’area della sezione del 

corso d’acqua, si può calcolare la portata smaltibile, da confrontare con la 

portata di piena di riferimento. 

Per i valori di Ks in letteratura vengono proposti i valori presentati nella 

seguente tabella:


Tipo superficie Ks (m 1/3 s -1 CANALI APERTI (Rh ≈1) 

Rivestiti con: 

) 

conglomerati bituminosi 57-75 

mattoni 57-72 

calcestruzzo 57-77 

pietrame ad opera incerta 20-50 

pietre 

Scavati o dragati: 

15-30 

in terra diritti ed uniformi 30-60 

in terra con curve uniformi 20-50 

in terra senza manutenzione o in 20-50 

roccia 

CORSI D’ACQUA MINORI (Rh ≈ 

2) (larghezza in piena


d90 (m) = diametro del passante al 90%. 

Verifiche in condizione di moto permanente 

In questo caso si suppone che la linea piezometrica abbia un’inclinazione 

differente rispetto a quella dell’alveo. Nel caso di un corso d’acqua a portata 

costante , cioè senza immissioni o perdite significative nel tratto verificato, 

il procedimento è quello descritto di seguito. 

1) Si fissa la portata di piena di riferimento per la quale effettuare la verifica 

della sezione. 

2) Si individua, a valle della sezione di verifica, una sezione di controllo, 

posta ad una distanza ΔX, nella quale sia nota l’altezza idrometrica per la 

portata di calcolo o in cui si abbia una situazione di altezza critica. Si ha una 

condizione di altezza idrometrica critica, quando una determinata portata 

passa con la minima energia rispetto al fondo (situazione che si ha per 

esempio in corrispondenza di un salto di fondo). In quest’ultimo caso 

l’altezza idrometrica è ricavabile utilizzando la relazione: 

αc 

2 

Q b 

= 1 3 

gA 

dove: 

Q(mc/s) = portata del corso d’acqua; 

b(m) = larghezza dell’alveo; 

g(m/s 2 ) = accelerazione di gravità = 9.81; 

A(mq) = area della sezione liquida; 

= coefficiente di Coriolis. 

αc 

Il coefficiente di Coriolis deve essere calcolato con la seguente formula: 

α 

c 

= 

n 3 

i 

Atot∑ 2 

i= 1 Ai 

C 

tot 

C


in cui: 

n = numero punti del profilo della sezione –1 

Ai = area della sezione liquida compresa fra il punto (i) e il punto (i+1) 

della sezione; 

Ci = capacità di portata dell’alveo fra il punto (i) e il punto (i+1) della 

2/ 

3 

sezione, data da: C i = KsiAi 

Rhi 

, dove Ksi è il coefficiente di 

scabrezza, sec. Gaukler-Strickler, dell’alveo e Rhi il raggio idraulico 

nel tratto (i); 

Atot = area totale della sezione liquida; 

Ctot = capacità di portata totale dell’alveo, dato dalla sommatoria delle 

capacità di portata dei singoli tratti. 

3) Si calcola la velocità della corrente nella sezione di controllo attraverso la 

relazione: 

v = 

c 

4) Si stima la quota della linea di energia della sezione di controllo con la 

formula: 

2 

v 

Ec = h + z + α 

2g 

dove: 

h = altezza idrometrica rispetto al punto più profondo dell’alveo; 

z = quota s.l.m. del punto più profondo dell’alveo. 

5) Si calcola la pendenza della linea di energia J, sempre nella sezione di 

controllo attraverso il rapporto: 

Q 

A 

tot 

Q 

J c = 

C 

2 

2 

tot


6) Si ipotizza un primo valore a tentativo di altezza idrometrica per la 

sezione di verifica (hv); in genere si utilizza la stessa altezza inserita o 

calcolata per la sezione di controllo. 

7) Si calcola il coefficiente di Coriolis della sezione di verifica, utilizzando 

la stessa procedura vista per la sezione di controllo. 

8) Si stima la pendenza della linea di energia della sezione di verifica con la 

formula: 

2 

Q 

J v = 2 

Ctot 

in cui, ovviamente Ctot è riferito alla sezione di verifica. 

9) Si calcola la quota della linea di energia della sezione di verifica con la 

formula: 

1 

= Ec 

+ ( J v + J ) Δx 

2 

Ev c 

10) Si valuta la quota della linea di energia per il valore fissato di hv con la 

formula: 

2 

Q 

E 'v 

= hv 

+ z v + 2 

2gAv 

dove: 

zv = quota s.l.m. del punto più profondo dell’alveo della sezione di 

verifica; 

Av = area della sezione bagnata nella sezione di verifica 

corrispondente all’altezza idrometrica hv. 

11) Si esegue la differenza fra Ev‘e Ev. Se questa è inferiore a qualche 

millimetro si considera la verifica terminata e hv è l’altezza idrometrica 

cercata. Se questa invece è superiore a qualche millimetro, si calcola una 

correzione Δy da applicare alla hv. La correzione Δy è fornita dalla:


2 

2 

⎡ 1 

vv 

v ⎤ 

c 

Ev 

'−⎢Ec 

+ ( J c + J v ) Δx 

+ kαv 

−αc 

⎥ 

⎢ 2 

2g 

2g 

⎥ 

Δy 

= 

⎣ 

⎦ 

Q b Q b 

1−αv 

± kαv 

gA gA 

2 

v 

3 

v 

in cui: 

k = coefficiente che misura la perdita di energia per espansione o 

contrazione della corrente (per es. per restringimento o allargamento 

della sezione) e varia da 0.1 a 0.3 per le correnti in contrazione e da 0.3 

a 0.5 per le correnti in espansione; ai valori più elevati corrispondono 

le variazioni più brusche; 

bv = larghezza della sezione di verifica. 

12) Si ottiene un nuovo valore corretto di altezza idrometrica sommando hv 

e Δy e si ripete la sequenza di calcolo dal punto 7. 

Attenzione: le coordinate dei due profili d’alveo (controllo e verifica) 

vanno inserite rispetto ad un comune piano di riferimento (per esempio il 

livello del mare). 

2 

v 

3 

v

FORMULA GEO VER.2.0 (ª 2001) – PROGRAM GEO Via Tosio, 28 25121 Brescia 

IDROGEOLOGIA 

Prove di pozzo. 

Introduzione 

Viene definita prova di pozzo l’insieme delle procedure utilizzate per 

il dimensionamento dell’opera di captazione, basate sull’esecuzione 

di emungimenti a portata costante e sulla misura dell’abbassamento 

indotto nel livello della falda all’interno del pozzo. 

Scopo principale della prova è quello di consentire l’individuazione 

della curva caratteristica del pozzo, cioè di quella curva che correla 

la portata emunta con l’abbassamento del livello della falda nel 

pozzo. 

Normalmente le prove di pozzo vengono condotte con una serie di 

gradini di portata di breve durata (1-3 ore) al termine dei quali si 

misura l’abbassamento finale. Al termine di ogni gradino segue un 

interruzione dell’emungimento che consente al livello della falda di 

ritornare approssimativamente al livello iniziale. La portata iniziale 

viene posta generalmente uguale a quella minima della pompa, i 

gradini successivi al doppio, al triplo ecc., della portata del primo 

gradino. L’esecuzione del primo gradino deve essere inoltre 

preceduto da un pompaggio che consenta lo svuotamento dell’opera 

(effetto capacità del pozzo). 

I gradini di prova devono essere almeno tre nel caso di falde 

artesiane e quattro nel caso di falde freatiche. Un numero superiore 

di gradini di portata consente in genere una migliore precisione nella 

stima dei parametri ricavabili dalla prova. 

Le condizioni necessarie perchè la prova sia eseguibile sono le 

seguenti: 

• ci si trovi nelle condizioni di validità della legge di Darcy; 

• il pozzo sia completo, cioè la zona filtrante deve attraversare 

almeno l’80% dello spessore della falda, nel caso di acquiferi


artesiani o semiartesiani, ed i 2/3,3/4 della parte inferiore, nel caso 

di acquiferi freatici; 

• il pozzo sia correttamente sviluppato ed equipaggiato; 

• la superficie piezometrica sia suborizzontale; 

• la portata emunta durante l’esecuzione dei gradini di portata sia 

effettivamente costante (l’errore massimo tollerabile è intorno al 

5%); 

• il raggio del pozzo sia il più piccolo possibile. 

Analisi della curva caratteristica del pozzo. 

Riportando su un grafico lineare lungo le ascisse i valori dei gradini di 

portata e lungo le ordinate gli abbassamenti finali corrispondenti, si 

ottiene una curva chiamata curva caratteristica del pozzo. 

Tale curva può essere espressa analiticamente attraverso la 

relazione: 

in cui: 

(1) s = B x Q + C x Q n ; 

s (m) = abbassamento finale al termine del gradino di portata Q; 

Q (mc/s) = valore del gradino di portata; 

B = costante legata alla componente laminare del deflusso; 

C = costante legata alla componente turbolenta del deflusso; 

n = esponente spesso posto uguale a 2 (Jacob, 1946). 

Il primo tratto della curva è normalmente assimilabile a quello di una 

retta di equazione: 

(2) s = B x Q. 

Infatti in corrispondenza di piccole portate emunte il deflusso 

dell’acqua richiamata dal pozzo è essenzialmente di tipo laminare, 

mentre la componente turbolenta è minima. Il valore di B nella (2) è 

funzione sia dei parametri idrogeologici dell’acquifero (trasmissività e 

coef. di immagazzinamento), che delle carratteristiche del filtro e 

dell’ammasso filtrante.


Al crescere della portata il secondo membro della (1) diventa 

rapidamente predominante. Quando la velocità di filtrazione risulta 

superiore alla velocità critica, cioè quando si passa da un deflusso di 

tipo laminare ad uno di tipo turbolento, la (1) può essere 

approssimata come segue: 

(3) s = C x Q n . 

Il valore di C nella (3) è esclusivamente funzione delle caratteristiche 

del pozzo (diametro del pozzo, tipo di filtro, ecc...) essendo 

indipendente dai parametri idrogeologici dell’acquifero. 

L’aumento del secondo termine della (1) (C x Q n ) conduce ad una 

perdita di rendimento dell’opera, poichè, quando diventa dominante, 

a piccoli aumenti di portata finiscono col corrispondere elevati 

abbassamenti del livello della falda, ed una crescita del deflusso 

turbolento che provoca l’asportazione ed il trascinamento nel pozzo 

di particelle fini, che alla lunga ne provocano l’intasamento. 

La portata alla quale il secondo membro della (1) diventa 

predominante prende il nome di portata critica. E’ possibile definire 

l’efficienza di un pozzo in relazione ad una determinata portata 


BQ 

e% 

= 100 

BQ + CQ 

cioè dal rapporto, espresso in percentuale, fra l’abbassamento 

dovuto alla componente laminare del flusso e quello totale. 

Un’efficienza inferiore al 50% indica una componente turbolenta del 

flusso dominante. 

La forma della curva caratteristica quindi è quasi rettilinea in 

condizioni di deflusso laminare dominante, fortemente convessa nel 

caso di deflusso turbolento prevalente. Nel caso di curva concava la 

prova è da considerarsi non valida o per errori nell’esecuzione delle 

misure o perchè non risultano soddisfatte le condizioni di applicabilità 

della prova viste in precedenza. 

n


Va tenuto presente che la curva caratteristica del pozzo si modifica 

nel corso della vita dell’opera di captazione, con un aumento in 

genere nel tempo della componente turbolenta del deflusso, per 

effetto per esempio dell’intasamento dell’ammasso filtrante da parte 

delle particelle più fini o per la formazione di incrostazioni sul filtro. 

Della diminuzione di rendimento nel corso del tempo dell’opera 

bisogna tener conto nella valutazione della produttività dell’opera, 

cioè nella stima della massima portata che può essere emunta. 

Stima dei parametri B e C della curva caratteristica. 

a) Metodo di Jacob (1946) 

Nell’ipotesi che la curva caratteristica del pozzo sia esprimibile nella 

forma: 

s = B x Q + C x Q 2 , 

dove n cioè viene posto uguale a 2, i parametri B e C possono 

essere ricavati, utilizzando la retta portate-abbassamenti specifici, 

data dalla: 

(4) s/Q = B + C x Q; 

in cui il termine s/Q prende il nome di abbassamento specifico (sq). 

Nel diagramma portate-abbassamenti specifici i punti corrispondenti 

alle misure effettuate nel corso della prova si disporranno lungo una 

retta, il cui coefficiente angolare corrisponde al valore di C. 

C è quindi ricavabile prendendo due punti lungo la retta, per es. i 

punti 1 e 2, e calcolando il rapporto: 

in cui: 

C = (sq2 - sq1) / (Q2 - Q1); 

sq = abbassamento specifico; 

Q = portata. 

B è ottenibile invece dall’intersezione con l’asse delle ordinate (Q=0).


Considerando però la dispersione dei valori misurati è più 

conveniente ricavare i valori di B e C attraverso il metodo dei minimi 

quadrati. In questo caso C viene fornito dall’espressione: 

C = ∑ Qi x sqi / ∑ Qi x Qi; 

mentre il valore di B si ottiene dalla: 

B = sqmedio - C x Qmedio. 

L’analisi della retta espressa dalla (4) permette di individuare 

rapidamente le caratteristiche del deflusso all’interno del pozzo: 

• se la retta passa in prossimità dell’origine (B=0) si può conlcudere 

che il deflusso è prevalentemente di tipo turbolento; 

• se la retta si dispone parallela all’asse delle ordinate (verticale) (C 

x Q = 0) il deflusso è prevalentemente di tipo laminare. 

Il metodo di Jacob ha il vantaggio, rispetto ai metodi descritti di 

seguito, di essere di semplice e rapida applicazione. In realtà la 

pratica ha evidenziato che spesso il fattore n differisce in maniera 

significativa dal valore 2, quindi l’applicazione di questa procedura 

può condurre a risultati inaffidabili. 

b) Metodo di Rorabaugh (1956) 

Riscrivendo la 1) nella forma: 

⎛ s ⎞ 

ln ⎜ − B = ln C + ( n −1) 

ln Q 

Q ⎟ 

⎝ ⎠ 

dove ln indica il logaritmo naturale, si ha l’equazione di una retta con 

coefficiente angolare (n-1). Il parametro C è dato dall’intersezione 

della retta con l’asse delle ordinate, in coefficiente angolare deve 

essere invece trovato, facendo variare a tentativi B fino a quando la 

retta, disegnata in scala bilogaritmica, non si allinea in maniera 

soddisfacente con i dati sperimentali. L’intervallo di variazione di B è 

ridotto, in quanto deve essere soddisfatta la relazione 0 ≤B


infatti valori di B negativi non hanno significato fisico, valori uguali o 

maggiori di s/Q non sono ammissibili, perché renderebbero negativo 

o nullo il termine (s/Q – B). 

Il metodo di Rorabaugh è più affidabile, anche se più laborioso, del 

metodo di Jacob e fornisce risultati soddisfacenti nella maggior parte 

dei casi, purchè ovviamente la curva portata abbassamenti sia del 

tipo 1). 

c) Metodo dei minimi quadrati 

L’analisi della curva 1) può essere condotta, utilizzando il metodo dei 

minimi quadrati. In pratica si tratta di ricercare i valori di B, C e n che 

rendono minimo il valore della: 

Φ = ∑ si 

− s 

dove s è l’abbassamento misurato e s’ l’abbassamento stimato, per 

lo stesso valore di portata, utilizzando la 1). 

Procedendo, seguendo la soluzione proposta da Dragoni (1990), B e 

C possono essere ricavati attraverso le relazioni: 

n' 

2 

( n'+ 

1) 

( sQ 

) Q − ( s Q ) Q 

∑ ' i ∑ i ∑ i i ∑ 

2n' 

2 

∑Qi ∑Qi 

−∑Qi 

∑ 

i 

C = 1 

Q 

' i 

2 

( n'+ 

1) 

( n'+ 

) 

( n'+ 

1) 

( s Q −C 

Q ) 

∑ 

∑ 

∑ 

i i 

B = 2 

Q 

utilizzando un valore di n, qui indicato con n’, imposto a tentativi, 

facendolo variare all’interno dell’intervallo 0-12, intervallo in cui di 

fatto ricadono i valori di n nella pratica. 

Il metodo dei minimi quadrati fornisce generalmente la migliore stima 

possibile dei parametri B, C e n, al prezzo di una difficoltà di 

elaborazione che obbliga all’utilizzo dell’elaboratore elettronico. 

i 

i 

i


Casi con curva di abbassamento anomala. 

Non sempre la curva portata-abbassamenti segue la forma 1). Può 

capitare cioè che utilizzando i tre metodi di calcolo proposti non si 

riescano ad interpolare in maniera soddisfacente i dati sperimentali. 

In questo caso una stima di B può essere ottenuta, applicando il 

metodo d Rorabaugh o dei minimi quadrati solo ai gradini di portata 

più bassi, mentre C ed n possono essere valutati applicando gli 

stessi metodi, ma ai gradini più elevati.


Stima dei parametri di dispersione di un inquinante. 

Prova con due pozzetti ed immissione continua (Fried, 1975). 

Un’indicazione di come un’inquinante si può diffondere nel terreno 

può essere ottenuta attraverso prove di immissione di un tracciante. 

In pratica si opera con due pozzetti, nel primo viene iniettata una 

portata costante insieme al tracciante, nel secondo, posto a valle del 

primo, emungendo la stessa quantità d’acqua, in modo da creare un 

regime di flusso stazionario, viene misurata la variazione di 

concentrazione del tracciante. Indicando con Cmax la concentrazione 

massima rilevata nel pozzetto di misura, è possibile riportare su 

grafico l’andamento del rapporto C/Cmax, dove C rappresenta la 

concentrazione misurata in un determinato istante, in funzione del 

tempo. Supponendo che la curva così costruita sia di tipo gaussiano, 

si può definire la sua deviazione standard attraverso la relazione: 

σ 

t 

= 

( t −t 

) 

84 

dove t84 e t16 indicano, rispettivamente, i tempi in cui si sono misurate 

concentrazioni uguali a 0,84Cmax e 0,16Cmax. Il coefficiente di 

dispersione longitudinale, cioè lungo la direzione di flusso, è dato 

quindi dalla: 

D 

L 

2 

2 

v σt 

= 

2t 

dove v è la velocità di flusso, data dal prodotto della permeabilità del 

terreno per il gradiente idraulico, e t è il tempo nel quale si misura 

una concentrazione uguale a 0,5Cmax. 

La dispersività longitudinale è fornita invece dalla relazione: 

D L 

16 

2 

L 

v 

= α .


Prova con due pozzetti ed immissione saltuaria (Fried, 1975). 

Si procede come nel caso precedente, solo che l’iniezione del 

tracciante non avviene in maniera continua per tutta la durata delle 

misurazioni. La relazione che fornisce il coefficiente di dispersione 

longitudinale si modifica come segue: 

D L 

= 

2 2 [ d − v t ( t −t 

) ] 

max 

( t − t ) 

max 

dove d è la distanza fra i due pozzetti, t0 è la durata dell’immissione e 

tmax è l’istante in cui si misura la massima concentrazione 

dell’inquinante. Anche in questo caso la dispersività longitudinale è 

fornita dalla relazione: 

2 

D L 

L 

v 

= α . 

max 

0 

0


Stima dei parametri idrogeologici dell’acquifero. 

Introduzione. 

La prova di pompaggio è una prova di emungimento di lunga durata 

(almeno 42 ore), con un unico gradino di portata, il cui scopo è quello 

di: 

• determinare i parametri idrogeologici dell’acquifero e 

principalmente la trasmissività ed il coefficiente 

d’immagazzinamento. 

• studiare eventuali limiti, alimentanti o impermeabili, dell’acquifero 

e/o le sue condizioni di omogeneità. 

Per l’interpretazione delle prove di pompaggio si ricorre normalmente 

a due modelli riguardanti le modalità di sviluppo del cono di 

depressione intorno all’opera captante: 

• modello del regime permanente: si suppone che dopo un periodo 

di pompaggio relativamente breve il cono di depressione assuma 

una configurazione ed estensione praticamente costante; 

• modello di regime transitorio: si suppone che le dimensioni del 

cono di depressione aumentino progressivamente in funzione del 

tempo di pompaggio. 

Il modello del regime transitorio si adegua meglio a quanto si osserva 

in realtà e quindi è il più utilizzato. Condizioni di regime semipermanente, 

cioè situazioni in cui l’aumento delle dimensioni del 

cono di depressione, è estremamente lento e graduale, si possono 

verificare per tempi di pompaggio sufficientemente lunghi. 

Per quanto riguarda le condizioni di applicabilità della prova vale 

quanto detto per le prove di pozzo. 

Determinazione dei parametri idrogeologici dell’acquifero. 

A) Regime stazionario. 

Operando in regime stazionario è possibile determinare la 

trasmissività dell’acquifero, ma non il coefficiente di 

immagazzinamento.


La prova di pompaggio viene eseguita, misurando, al termine del 

gradino di portata, gli abbassamenti nei piezometri. Disponendo di 

più piezometri lungo allineamenti diversi è possibile valutare anche 

l’eventuale eterogeneità dell’acquifero, stimando per ogni 

allineamento il valore della trasmissività. 

La prova viene riepilogata su un diagramma semilogaritmico 

abbassamenti/distanza, dove lungo l’asse delle ascisse (in scala 

logaritmica) si pongono le distanze dei piezometri e lungo quello 

delle ordinate gli abbassamenti. 

Si distinguono i casi in cui la prova viene effettuata all’interno di un 

acquifero artesiano, semiartesiano o freatico. 

I) Acquifero artesiano (formula di Thiem). 

La trasmissività media dell’acquifero può essere ricavata dalla 

relazione: 

Tmedio = 0.366 x Q / Δs; 

dove: 

Tmedio(mq/s) = trasmissività media dell’acquifero; 

Q (mc/s) = portata della prova; 

Δs(m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico 

(logaritmi con base decimale) 

II) Acquifero semiartesiano (formula di Hantush-Jacob). 

Si opera come nel caso precedente, valutando la trasmissività media 

dell’acquifero dalla relazione: 


dove: 



Δs (m) = abbassamento relativo ad un ciclo logaritmico 

(logaritmi con base decimale).


Nel caso di falde semiartesiane oltre alla trasmissività ed al 

coefficiente d’immagazzinamento, è necessario stimare altri due 

parametri, che regolano il movimento in senso verticale dell’acqua 

all’interno dello strato semipermeabile: 

• il coefficiente di fuga (o di disperdenza), definito dal rapporto: 

f (s -1 )= K’/ b’; 

in cui: 

K’ = permeabilità dello strato semipermeabile; 

b’ = spessore dello strato semipermeabile; 

che regola lo scambio idrico tra l’acquifero e lo strato 

semipermeabile. 

• il fattore di fuga (o di disperdenza), definito dalla relazione: 

B (m) = √ (T / f); 

in cui: 

T (mq/s) = trasmissività dell’acquifero; 

che regola il flusso passante dall’acquifero allo strato 

semipermeabile. 

Con il procedimento di Hantush e Jacob il parametro B è ricavabile 

dal diagramma semilogaritmico abbassamenti/distanza. B è dato 

dalla relazione: 

dove: 

B = r0 / 1.123; 

r0 = ascissa dell’intersezione della retta con l’asse delle 

distanze; corrisponde in pratica alla distanza per cui si ha un 

abbassamento uguale a zero. 

Noto B, il fattore di fuga f può essere determinato attraverso la 

relazione:


f = T / B 2 . 

Il metodo è valido per B > 3 x b, dove b è lo spessore dell’acquifero. 

Inoltre è applicabile solo a quei piezometri in cui sia verificata la 

relazione: 

r /B ≤ 0.05. 

III) Acquifero freatico (formula di Thiem). 

Si opera come nel caso di una falda artesiana, valutando la 

trasmissività media dell’acquifero sempre attraverso la relazione: 

dove: 





(logaritmi con base decimale). 

In questo caso gli abbassamenti misurati vanno corretti attraverso la 

relazione: 

dove: 

s = s - s 2 / ( 2 x Hfalda); 

s (m) = abbassamenti misurati; 

Hfalda (m) = spessore dello strato acquifero. 

La correzione viene introdotta in quanto, a parità di portata, gli 

abbassamenti misurati in una falda freatica sono maggiori di quelli 

misurabili in una falda artesiana. 

Il metodo è applicabile però solo se è soddisfatta la relazione:


dove: 

smedio / Hfalda ≤ 0.15. 

smedio (m) = abbassamento medio misurato nei piezometri. 

B) Regime transitorio. 

Operando in regime transitorio è possibile determinare la 

trasmissività dell’acquifero ed il coefficiente di immagazzinamento. 

La prova di pompaggio viene eseguita, misurando, a intervalli di 

tempo crescenti in maniera esponenziale gli abbassamenti nel pozzo 

e/o nei piezometri di prova. Al termine della prova si arresta la 

pompa e si misurano, lungo lo stesso intervallo di tempo, gli 

abbassamenti residuali. 

Disponendo di più piezometri si può valutare anche l’eventuale 

eterogeneità dell’acquifero, stimando per ogni piezometro il valore 

della trasmissività. 

La prova viene riepilogata su un diagramma semilogaritmico 

abbassamenti/tempo, dove lungo l’asse delle ascisse (in scala 

logaritmica) si pongono i tempi di misura e lungo quello delle ordinate 

gli abbassamenti. La curva che si genera è approssimabile ad una 

retta, almeno nel caso di acquifero illimitato. Solo nel tratto iniziale 

tale curva si discosta da un andamento rettilineo a causa dell’effetto 

capacità del pozzo, che origina un deflusso di tipo turbolento. 

Si distinguono i casi in cui la prova viene effettuata all’interno di un 

acquifero artesiano, semiartesiano o freatico. 

I) Acquifero artesiano (formula di Jacob). 

Il metodo permette di valutare la trasmissività media dell’acquifero 


dove: 

(1)Tmedio = 0.183 x Q / Δs;





(logaritmi con base decimale). 

Il coefficiente di immagazzinamento è fornito invece dalla: 

dove: 

Smedio = 2.25 x Tmedio x t0 / r 2 ; 

Smedio = coef.d’immagazzinamento dell’acquifero; 

t0 (s) = valore dato dall’intersezione della retta con l’asse dei 

tempi; 

r (m) = distanza del piezometro di riferimento dal pozzo di 

prova o raggio del pozzo nel caso si effettui la prova nel pozzo 

stesso. 

E’ possibile ricavare il valore della trasmissività anche attraverso la 

misura degli abbassamenti residuali dopo l’arresto del pompaggio, 

utilizzando la relazione (1). In questo caso però non è possibile 

valutare il coefficiente d’immagazzinamento. 

II) Acquifero semiartesiano (formula di Hantus). 


relazione: 

dove: 

(2) Tmedio = (0.183 x Q / Δs) x 10 -r / B ; 




(logaritmi con base decimale);




stesso. 

B (m) = fattore di fuga (o di disperdenza), calcolabile con la 

seguente procedura: 

• si stima il parametro si dato da sm/2, dove sm è uguale 

all’abbassamento massimo misurato al termine della prova; 

• si ricava il rapporto r/B attraverso la relazione: 

r / B = 1 / (0,5 10 [0,251 + (si / Δs) / 2] ); 

noto r si ricava quindi B e, attraverso la relazione f = T / B 2 . 

il coefficiente di fuga f. 

Il coefficiente di immagazzinamento è fornito invece dalla: 

dove: 

Smedio = [2.25 x Tmedio x t0 / r 2 ] x r / B; 

Smedio = coef.d’immagazzinamento dell’acquifero; 

t0 (s) = valore dato dall’intersezione della retta con l’asse dei 

tempi; 



stesso. 





III) Acquifero freatico (formula di Jacob). 


relazione:


(3)Tmedio = 0.183 x Q / Δs; 

dove: 




(logaritmi con base decimale); 

In questo caso gli abbassamenti misurati vanno corretti attraverso la 

relazione: 

dove: 

s = s - s 2 / ( 2 x Hfalda); 

s (m) = abbassamenti misurati; 

Hfalda (m) = spessore dello strato acquifero. 

La correzione viene introdotta in quanto, a parità di portata, gli 

abbassamenti misurati in una falda freatica sono maggiori di quelli 

misurabili in una falda artesiana. 

Il metodo è applicabile solo se è soddisfatta la relazione: 

dove: 

smedio / Hfalda ≤ 0.15. 

smedio (m) = abbassamento medio misurato. 





C) Pozzi incompleti. 

Nel caso di pozzi incompleti, cioè di pozzi in cui la colonna filtrante 

non attraversa completamente lo strato acquifero, i metodi di calcolo 

dei parametri idrogeologici visti in precedenza andranno corretti, per 

tener conto della presenza di una componente di flusso non radiale.


In pratica nelle prove di pompaggio eseguite in regime transitorio, gli 

abbassamenti misurati, a parità di portata, nei pozzi incompleti 

risultano superiori a quelli che si avrebbero in pozzi completi, 

essendo la parte filtrante, nel primo caso, inferiore. Applicando senza 

correzioni gli abbassamenti misurati ai normali metodi di calcolo si 

otterebbero valori di trasmissività inferiori a quelli reali. 

In realtà per distanze dal pozzo superiori a circa (1.5-2)B, con 

(B=spessore dell’acquifero) l’effetto dell’incompletezza dell’opera di 

captazione non si risente più: in questi casi si può operare senza 

essere costretti ad applicare correzioni ai dati misurati. 

Nel caso di prove di pompaggio eseguite nel pozzo o in piezometri a 

distanza inferiori dal pozzo di (1.5-2)B, agli abbassamenti va 

applicata una correzione, funzione principalmente della geometria 

del pozzo. 

I) Acquifero artesiano o semiartesiano (correzione di Hantush) 

Hantush (1962) ha proposto di applicare la seguente correzione, nel 

caso comune in cui la parte superiore della colonna filtrante 

corrisponda col tetto dello strato acquifero: 

dove: 

fs = [4 B / (π b)] ∑ [(1/n) K0( n r π/B) cos( n z π/B) sen( n b π/B); 

b = spessore del tratto filtrante; 

z = b/2; 

r = distanza dal pozzo del piezometro di misura; 

K0( n r π/B) = funzione di Bessel nel punto ( n r π/B); 

n = variabile nell’intervallo 1 - ∝ (nella pratica si utilizzano solo 

i primi termini). 

Se si opera, eseguendo le misure direttamente nel pozzo di 

pompaggio, la relazione che fornisce fs si semplifica come segue: 

2B 

⎡⎛ 

b ⎞ 2b 

b ⎛ 2b 

⎞ 

fs = ⎢⎜1− 

⎟ln 

− ln⎜ 

⎟ −0, 

423 

b ⎣⎝ 

B ⎠ r B ⎝ B ⎠ 

b 

B 

2B 

+ b⎤ 

+ 

2B 

−b 

⎥ 

⎦


dove r in questo caso è il raggio del pozzo; 

Il procedimento da seguire per valutare i parametri idrogeologici in 

questo caso è il seguente: 

Q 

• si calcola la trasmissività (T) attraverso la relazione T = 0 , 183 ; 

Δs 

• si determini il valore di fs; 

• si calcoli il coefficiente d’immagazzinamento corretto con la 

t0 

relazione: S = 2, 25T 

exp( fs) 

. 

2 

r 

II) Acquiferi freatici (correzione di Hantush) 

Hantush (1964) ha proposto di applicare la seguente correzione agli 

abbassamenti misurati nel caso di acquiferi freatici: 

2 

s 

s'= 

s − 

2d 

dove d è la lunghezza del tratto filtrante. 

D) Acquiferi limitati. 

I procedimenti di calcolo visti in precedenza consentono la stima dei 

parametri idrogeologici nel caso di acquiferi illimitati. Nel caso di 

acquiferi limitati lateralmente, per la terminazione dello strato 

acquifero contro una barriera stagna (condizione di limite 

impermeabile) o per la presenza di una alimentazione da parte di 

corsi d’acqua superficiali (condizione di limite alimentante) 

l’interpretazione della prova di pompaggio andrà condotta solo sul 

primo tratto rettilineo della curva abbassamenti-tempo o 

abbassamenti-distanza. La presenza infatti di una condizione di 

limite si manifesta nelle curve citate con la comparsa di un secondo 

tratto rettilineo con inclinazione differente dal primo. La pendenza di 

questo secondo segmento di retta sarà superiore al primo nel caso di 

limite impermeabile, sarà inferiore nel caso di limite alimentante.


La distanza teorica del limite può essere valutata attraverso le 

seguenti relazioni: 

dove: 

retta; 

d = (x / 2) √ (ti / t0) (caso di limite impermeabile); 

d = (x / 2) √ (ti / t0) + x/2 (caso di limite alimentante); 

ti = tempo corrispondente all’intersezione dei due segmenti di 

t0 = tempo d’intersezione della prima retta con l’asse dei 

tempi. 

Stima del raggio d’influenza di un pozzo. 

A) In regime stazionario. 

In regime stazionario il raggio d’influenza del pozzo può essere 

stimato attraverso la relazione: 

Rf ( m) 

= 3000s 

dove: 

s(m) = abbassamento misurato nel piezometro o nel pozzo; 

k(m/s) = permeabilità dell’acquifero. 

B) In regime transitorio. 

In condizioni di regime tranistorio il raggio d’influenza del pozzo è in 

funzione del tempo trascorso dall’inizio del pompaggio. In questo 

caso Rf può essere ricavato dalla relazione: 

Tt 

Rf ( m) 

= 1, 

5 

S 

dove: 

T(mq/s) = trasmissività dell’acquifero; 

k


t (s) = tempo trarscorso dall’inizio del pompaggio; 

S = coefficiente d’immagazzinamento.


Simulazione di un flusso idrico in 2 dimensioni. 

Nell’ipotesi di un acquifero omogeneo, illimitato e confinato è 

possibile fornire una soluzione analitica alle equazioni differenziali 

che descrivono il moto di un fluido in un mezzo poroso. In pratica tale 

soluzione consente di descrivere il moto di una singola particella, che 

può essere d’acqua, ma anche eventualmente di un altro fluido, 

soggetta all’influenza di pozzi emungenti o disperdenti in un piano 

XY. 

Si parte dall’ipotesi che il moto della particella inizialmente non sia 

disturbato e che essa si sposti lungo la direzione iniziale di flusso 

(asse X) con una velocità costante. Nel caso di particelle d’acqua 

tale velocità può essere valutata attraverso il prodotto k x i, dove k è 

la permeabilità dell’acquifero e i è il gradiente idraulico. La velocità 

nella direzione perpendicolare (asse Y) a quella di flusso viene posta 

inizialmente uguale a zero. 

Nel momento in cui la particella entra nel raggio d’influenza dei pozzi 

presenti nell’area le componenti della velocità lungo gli assi X e Y si 

modificano come segue (Bear & Verruijt, 1987): 

v 

x 

v 

= v 

y 

0x 

+ 

⎡ 

Q 

⎛ N 

N 

⎞⎤ 

n 

i x x 

∑ ⎢ ⎜ + 

⎟ 

⎟⎥ 

i= 

1 ⎢⎣ 

4naH 

⎝ D1 

D2 

⎠⎥⎦ 

⎡ 

⎛ N 

⎞⎤ 

i y1 

y2 

∑ ⎢ ⎜ + 

⎟ 

⎟⎥ 

i= 

1 ⎢⎣ 

4naH 

⎝ D1 

D2 

⎠⎥⎦ 

= n 

Q 

dove: n = numero dei pozzi; 

Qi = portata del pozzo i-esimo, presa con il segno – se il 

pozzo è emungente, con il segno + se è iniettante; 

a = larghezza dell’area (lungo l’asse Y); 

H = spessore dell’acquifero; 

v0x = velocità iniziale della particella lungo l’asse X; 

Nx = senh[π(x - xi) / a]; 

senh = seno iperbolico; 

x = ascissa della particella; 

N


xi = ascissa del pozzo i-esimo; 

D1 = cosh[π(x - xi) / a] - cos[π(y - yi) / a]; 

cosh = coseno iperbolico; 

y = ordinata della particella; 

yi = ordinata del pozzo i-esimo; 

D2 = cosh[π(x - xi) / a] - cos[π(y + yi) / a]; 

Ny1 = sen[π(y - yi) / a]; 

Ny2 = sen[π(y + yi) / a];


Prove di permeabilità. 

Introduzione 

Nei materiali sciolti, permeabili per porosità, nei quali è verificata la 

legge di Darcy, la permeabilità si esprime attraverso il coefficiente di 

permeabilità k che ha le dimensioni di cm/s o m/s. Nelle rocce, 

permeabili per fessurazione, nelle quali non è valida la legge di 

Darcy, la permeabilità si indica attraverso il valore degli assorbimenti 

d’acqua misurati in fori di sonda, espressi in litri assorbiti per ogni 

metro di lunghezza di foro, e della pressione usata nella prova. 

Talvolta il coefficiente k è usato per definire la permeabilità degli 

ammassi rocciosi, ma assume in questo caso un significato 

orientativo. 

Il coefficiente di permeabilità di un terreno viene sempre determinato 

con difficoltà e presenta spesso un notevole grado di incertezza; i 

valori sperimentali , salvo nei casi in cui il terreno è omogeneo ed 

isotropo, sono infatti affetti da errori che possono anche essere di un 

intero di grandezza. 

La scelta del metodo di prova va effettuata in funzione del tipo di 

terreno e della precisione desiderata. 

L’attendibilità delle prove, come suggerito dall’AGI nelle 

“Raccomandazioni sulla programmazione ed esecuzione delle 

indagini geotecniche” (giugno 1977), può essere migliorata 

adottando i seguenti accorgimenti: 

• conoscenza della distribuzione delle pressioni neutre nel terreno 

prima della prova; 

• conoscenza esatta , per quanto possibile, del profilo stratigrafico; 

• realizzazione con la prova di condizioni di moto laminare in regime 

permanente; 

• adozione in tutte le prove che comportano immissione d’acqua nel 

terreno, di acqua limpida. 

Prove in pozzetto.


Le prove in pozzetto sono adatte soprattutto per terreni granulari e 

forniscono una valutazione della permeabilità dei terreni superficiali 

al di sopra del livello di falda. 

Vengono eseguite in pozzetti cilindrici o a base quadrata con pareti 

verticali o inclinate. 

Si dividono in: 

• prove a carico costante, effettuate cioè riempiendo d’acqua il 

pozzetto e misurando la portata necessaria per mantenere 

costante il livello; 

• prove a carico variabile, effettuate misurando la velocità di 

abbassamento in funzione del tempo. 

Le condizioni necessarie perchè le prove siano significative sono le 

seguenti: 

• il terreno deve essere saturato preventivamente in modo da 

stabilire un regime di flusso permanente; 

• la profondità del pozzetto deve essere pari a circa 1/7 dell’altezza 

del fondo dal livello di falda; 

• il diametro (o il lato di base) del pozzetto deve essere almeno 10 - 

15 volte il diametro massimo dei granuli del terreno; 

• il terreno sia omogeneo, isotropo e con coefficiente di permeabilità 

k >10 -6 m/s 

A) Pozzetto circolare. 

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti 

relazioni: 


q 

k = 

πdhm 

con 


hm = altezza dell’acqua nel pozzetto (hm > d/4);


d = diametro del pozzetto. 


con 

( h2 

− h1 

) 

( t2 

t1) 

hm 

d 

k = 

32 − 


d = diametro del pozzetto; 



B) Pozzetto quadrato. 

Il coefficiente di permeabilità k viene calcolato con le seguenti 

relazioni: 


q 

k = 

2⎛ 

h ⎞ 

b ⎜27 

+ 3⎟ 

⎝ b ⎠ 

con 


h = altezza dell’acqua nel pozzetto (h > d/4); 



h 

k = 

t 

2 

2 

− h1 

⎛ hm 

⎞ 

1+ 

⎜2 

⎟ 

⎝ b ⎠ 

−t 

1 ⎛ hm 

⎞ 

⎜27 

+ 3⎟ 

⎝ b ⎠


con 




h2-h1 = variazione di livello dell’acqua nell’intervallo t2-t1 .


Prove in foro di sondaggio 

Le prove in foro di sondaggio permettono di determinare la 

permeabilità di terreni al di sopra o al di sotto del livello di falda. 

Possono essere eseguite durante la trivellazione del foro a diverse 

profondità oppure alla fine della trivellazione sul solo tratto terminale. 

Per l’esecuzione delle prove è necessario che: 

• le pareti della perforazione siano rivestite con una tubazione per 

tutto il tratto del sondaggio non interessato dalla prova; 

• nel caso di terreni che tendono a franare o a rifluire, il tratto di 

prova deve essere riempito con materiale filtrante di granulometria 

adatta ed isolato mediante un tampone impermeabile. 

Le prove si dividono in prove a carico costante o a carico variabile. 

A) Prove a carico costante. 

Le prove a carico costante si eseguono misurando la portata 

necessaria per mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, in 

condizioni di regime costante. Si possono eseguire anche nel terreno 

al di sopra del livello di falda; in questo caso è necessario saturare 

preventivamente il terreno in modo da stabilire un regime di flusso 

permanente. 


Il coefficiente di permeabilità è dato dalla: 

con 

q = portata immessa; 

k = 

q 

mh


h = livello dell’acqua in foro; 

m = coefficiente di forma = 2,85D 

con D= diametro del foro 

(N.B.: per prove sopra il livello di falda, h è misurato rispetto alla 

base del foro). 



k = 

in questo caso però il coefficiente m assume valori differenti, in 

funzione delle condizioni di filtrazione, secondo la tabella: 




confinato 

πD 


confinato 

2D 


75D 



8LKh 

1+ 

πDK 

v 


75D 

11LKh 

1+ 

πDK 

v 

Filtro cilindrico al confine con uno strato 

3πL 

confinato 

⎡ 

3L 

ln ⎢ + 

⎢ D 

⎣ 

2 

⎛ 3L 

⎞ 

⎤ 

1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎝ D ⎠ ⎥ 

⎦ 

q 

mh



Dove: 




3πL 

⎡ 

2 

1. 

5L 

⎢ 

⎛ 1. 

5L 

⎞ 

ln + 1 + ⎜ ⎟ 

⎢ D 

⎣ 

⎝ D ⎠ 

Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima 

approssimazione uguale a 10. 

3) Zagar (1953) 

3a) Terreno saturo 

Si applica sempre la relazione: 

in questo caso però il coefficiente m assume i seguenti valori: 

m = 5, 

7r 


2 

k = 

⎛ L ⎞ 

4πr 

⎜ ⎟ − 1 

⎝ 2r 

m = 


⎡ 

2 

L 

⎤ 

⎢ 

⎛ L ⎞ 

ln + ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢2r 

⎥ 

⎣ 

⎝ 2r 

⎠ 

⎦ 


3b) Terreno non saturo 

Nel caso in cui il livello dell’acqua nel foro di prova sia ad una quota 

superiore rispetto al livello della falda, la relazione vista in 

precedenza non è più applicabile. 

q 

mh


Definiti Hu la differenza di quota fra il livello dell’acqua nel foro e il 

livello della falda e r’ il rapporto fra il raggio del foro e l’area della 

superficie filtrante, si calcola il parametro Y secondo la relazione: 

Y 

100h 

= −1 

, 0556 + 0, 

035 

dove h è l’altezza media dell’acqua nel foro rispetto al fondo del foro 

stesso. Nel caso risulti Log10(Hu/L)>Y, dove L è la lunghezza del 

tratto filtrante, per il calcolo di K si applica la relazione: 

q 

k = 

Cr'h 

dove C è fattore ricavabile dalla formula: 

Hu 

100L 

C = C1 

+ ( C2 

− C1) 

Log10 

h 

h 

C1 = 60, 

96 + 0, 

152 

r 

h 

C2 = 104, 

58 + 0, 

822 

r 

Nel caso invece in cui sia Log10(Hu/L)≤Y si applica la relazione: 

q 

k = 

⎛ r ⎞ 

⎜C 

+ 4 ⎟r' 

( Hu 

+ h − L) 

⎝ r' 

⎠ 

L 

dove C = 6 , 247 + 0, 

797 

r 

Si tenga presente che la procedura è in questo caso applicabile solo 

se sono verificate le condizioni h>5L e L>10r’. 

B) Prove a carico variabile.


Le prove a carico variabile al di sotto del livello di falda si dividono in 

Prove di risalita e Prove di abbassamento. Le prove di risalita si 

eseguono abbassando il livello dell’acqua nel foro di un’altezza nota 

e misurando la velocità di risalita del livello. Le prove di 

abbassamento si eseguono riempiendo il foro d’acqua per un’altezza 

nota e misurando la velocità di abbassamento del livello. Le prove di 

abbassamento possono essere eseguite anche nel terreno al di 

sopra del livello di falda; in questo caso il terreno deve essere 

preventivamente saturato. 


Per le prove a carico variabile il coefficiente di permeabilità è dato 

dalla: 

con 

k = 

C 

L 

A 

h 

ln 

h 

1 

( t2 

− t1 

) 2 

A = area di base del foro di sondaggio; 

h1 e h2 = altezza dei livelli d’acqua nel foro rispetto al livello della 

falda indisturbata o al fondo del foro stesso agli istanti t1 e t2; 

t1 e t2 = tempi ai quali si misurano h1 e h2; 

CL = coefficiente di forma dipendente dell’area del foro di sondaggio 

e dalla lunghezza del tratto di foro scoperto. 

Per il coefficiente CL sono suggeriti i seguenti valori: 

L >> d CL = L 

L≤ d CL = 2πd+L 

dove L è la lunghezza del tratto di foro scoperto e d il diametro del 

foro. 

4) Hvorslev (1951) Wilkinson (1968)



k = 

C 

L 

A 

h 

ln 

h 

1 

( t2 

− t1 

) 2 

in questo caso però il coefficiente CL assume valori differenti, in 

funzione delle condizioni di filtrazione, secondo la tabella: 




confinato 

πD 


confinato 

2D 


75D 



8LKh 

1+ 

πDK 

v 


75D 

11LKh 

1+ 

πDK 

v 

Filtro cilindrico al confine con uno strato 3πL 

confinato 

⎡ 

3L 

ln ⎢ + 

⎢ D 

⎣ 

2 

⎛ 3L 

⎞ 

⎤ 

1+ 

⎜ ⎟ ⎥ 

⎝ D ⎠ ⎥ 

⎦ 


Dove: 




3πL 

⎡ 

2 

1. 

5L 

⎢ 

⎛ 1. 

5L 

⎞ 

ln + 1 + ⎜ ⎟ 

⎢ D 

⎣ 

⎝ D ⎠


Nel caso non sia noto, il rapporto Kh/Kv può essere inserito in prima 

approssimazione uguale a 10. 

5) Zagar (1953) 

Si applica la relazione: 

⎛ h h ⎞ 2 − 1 

r 

⎜ 

t t ⎟ 

2 

π 

k 

⎝ 2 − 1 

= 

⎠ 

m h 

dove r è il raggio del foro e hm la profondità media dell’acqua nel foro. 

Il coefficiente m assume i seguenti valori: 

m = 5, 

7r 


2 

⎛ L ⎞ 

4πr 

⎜ ⎟ − 1 

⎝ 2r 

m = 


⎡ 

2 

L 

⎤ 

⎢ 

⎛ L ⎞ 

ln + ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢2r 

⎥ 

⎣ 

⎝ 2r 

⎠ 

⎦ 


Prove Lugeon. 

Le prove Lugeon permettono di calcolare la permeabilità o valutare la 

fratturazione degli ammassi rocciosi. Vengono eseguite immettendo, 

in fori di sondaggio, acqua sotto pressione. Nei fori di sondaggio 

viene calato un tubo per l’adduzione dell’acqua con due otturatori 

che consentono di isolare il tratto di foro in cui si vuole effettuare la 

prova. Durante ogni prova vengono misurate: la pressione di 

iniezione, la portata immessa e il tempo di durata della prova dopo 

aver raggiunto le condizioni di regime. Le prove vengono eseguite 

per almeno 5 valori della pressione di iniezione, ciascuno mantenuto 

m


costante per 10, 20 minuti. Si possono eseguire prove in 

avanzamento, interrompendo la trivellazione ogni 2 - 5 metri, oppure 

in risalita quando la trivellazione è terminata. 

La pressione nel tratto di foro in cui viene eseguita la prova è data 

dalla: 

con 

e 

m 

w 

( H H ) 

P = P + γ − 

Pm = pressione letta al manometro; 

H = altezza della colonna d’acqua; 

Hp = perdite di carico in altezza d’acqua 

γw = peso specifico dell’acqua 

Per un mezzo omogeneo ed uniforme, in presenza di un moto 

laminare attorno al foro, il coefficiente di permeabilità è dato dalla: 

con 

q = portata assorbita; 

Pe = pressione nel tratto di foro; 

qγw 

k = 

CP 

2 ⎡⎛ 

L ⎞ ⎤ 

⎢⎜ 

⎟ −1⎥ 

⎢⎣ 

⎝ D ⎠ ⎥⎦ 

C = coefficiente di forma = 2πD 

⎡ 

2 

L 

⎤ 

⎢ 

⎛ L ⎞ 

ln + ⎜ ⎟ −1⎥ 

⎢D 

⎥ 

⎣ 

⎝ D ⎠ 

⎦ 

dove : 

D = diametro del tratto di foro di prova; 

L = lunghezza del tratto di foro di prova 

La permeabilità di un ammasso roccioso può essere valutata 

indirettamente dalla unità di assorbimento Lugeon (U.L.). L’ U.L. 

e 

p


rappresenta la portata d’acqua in litri al minuto assorbita da un tratto 

di foro di lunghezza 1 m, alla pressione di 10 kg/cmq e vale circa 10 -7 

m/s. Il valore di U.L. indicativo della prova si ricava dal diagramma 

assorbimenti-pressione, grafico che ha in ascissa l’assorbimento 

espresso in litri al minuto per metro di foro e in ordinata la pressione 

effettiva. Di seguito vengono elencati i casi possibili: 

a)Moto di filtrazione laminare. 

In questo caso i valori di UL misurati alle varie pressioni risultano 

all’incirca uguali. Come valore di UL si considera la media dei valori. 

b)Moto di filtrazione turbolento. 

Il valore di UL calcolato per la massima pressione risulta il più basso 

di tutta la serie e viene assunto come valore indicativo della prova. 

c)Fenomeni di dilatazione delle fessure. 

In questo caso si nota un netto aumento del valore di UL alla 

massima pressione, mentre i valori misurati alle pressioni intermedie 

sono all’incirca uguali. Si assume come UL indicativo il valore medio 

delle UL alle pressioni basse e intermedie. 

d)Fenomeni di dilavamento delle fessure. 

Si osserva un aumento progressivo delle UL per tutta la durata della 

prova. Come UL rappresentativo si considera quello finale, che sarà 

anche quello maggiore di tutta la serie. 

e)Fenomeni d’intasamento delle fessure. 

Si ha nel corso della prova una progressiva diminuzione dei valori di 

UL. Si assume come valore di UL indicativo quello finale, che sarà 

anche il più basso della serie. 

Stima della permeabilità da analisi granulometriche.


Esistono in letteratura numerose correlazioni empiriche che 

permettono di stimare la permeabilità di un mezzo poroso, passando 

attraverso l’analisi della curva granulometrica. Pur non potendo 

sostituire le determinazioni in sito, tali formule possono essere utili 

per una prima determinazione di k in terreni sabbiosi. Di seguito 

vengono elencate e descritte le dieci relazioni più usate, indicando 

per ognuna di essa il campo di applicabilità. Tutte, per semplicità, 

vengono espresse nella forma: 

( / ) 

e C 

g 

K m s = φ 

v 

2 ( ) d n 

dove: 

g =accelerazione di gravità=9,81 (m/s 2 ); 

v =coefficiente di viscosità dell’acqua, variabile in funzione della 

temperatura, secondo la seguente tabella: 

T (°C) 0 5 10 15 20 30 50 

V (mq/s) 1,78 10 -6 

1,52 10 -6 

1,31 10 -6 

1,14 10 -6 

1,01 10 -6 

0,81 10 -6 

0,55 10 -6 

C = costante; 

φ(n) = funzione della porosità del terreno; 

= diametro efficace dei granuli. 

de 

Le formule presentate differiscono fra loro per i diversi valori adottati 

delle grandezze C, φ(n) e de. 

Si ricorda infine che la porosità del terreno può essere stimata in 

prima approssimazione attraverso la relazione empirica: 

n = 0 , 255 + 

η ( 1 0, 

83 ) 

dove η= d60/d10 è il coefficiente di uniformità del terreno. 

1) Formula di Hazen. 

Nella formula di Hazen le grandezze da introdurre nella relazione di 

calcolo di K assumono i seguenti valori:


C =6 10 -4 

φ(n) = [ 1+ 10( 

n − 0, 

26) 

] 

de =d10 


0,1 mm < de < 3 mm e η


Nella formula di Beyer le grandezze da introdurre nella relazione di 

calcolo di K assumono i seguenti valori: 

C =6 10 -4 Log10 (500/η) 

φ(n) =1 

de =d10 


0,06 mm < de < 0,6 mm e 1


La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η>5. 

7) Formula di Kozeny. 

Nella formula di Kozeny le grandezze da introdurre nella relazione di 


C =8,3 10 -3 

φ(n) = ( ) 2 

3 

n 

1− n 

3 Δgi 

d 

1/de = + ∑Δgi 

2 d 2 

i 

+ d 

g d 

i i 

g d 

di 

di 





8) Formula di Zunker. 

Nella formula di Zunker le grandezze da introdurre nella relazione di 


C 

=2,4 10 -3 per sabbie uniformi con granuli arrotondati 

=1,4 10 -3 per sabbie grossolane con granuli arrotondati 

=1,2 10 -3 per sabbie eterogenee 

=0,7 10 -3 per sabbie eterogenee, argillose con granuli a spigoli vivi 

in alternativa si può inserire un valore medio di 1,55 10 -3 

2 

φ(n) = 

⎛ n ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝1− 

n ⎠ 

1/de 

3 Δgi 

= + ∑Δgi 

2 di 

g d 

di 

− di 

dove Δgi è la frazione di 

g d g d 

di 

di 

( ln di 

− ln di 

) 

peso del campione compresa fra il diametro maggiore e minore 

(di g e di d ) dei granuli del passante i-esimo


La formula è applicabile nel caso di sabbie da fini a grossolane. 

9) Formula di Zamarin. 

Nella formula di Zamarin le grandezze da introdurre nella relazione di 


C =8,3 10 -3 

n 

φ(n) = ( 1− 

n) 

3 

( 1, 

275− 

1, 

5n)2 

2 

g d 

3 Δgi 

ln di 

− ln di 

1/de = + ∑Δgi 


g d 

2 di 

di 

− di 




10) Formula USBR. 

Nella formula USBR le grandezze da introdurre nella relazione di 


C =4,8 10 -4 d20 0,3 

φ(n) =1 

de =d20 

La formula è applicabile nel caso di sabbie medie con η< 5.


MICROZONAZIONE SISMICA 

Premessa 

La valutazione del rischio 1 sismico, in aree ad estensione regionale, viene 

effettuata mediante la , definita come 

l’individuazione di aree che possano essere soggette, in un dato intervallo di 

tempo, ad un terremoto di una certa intensità. 

All’interno di queste aree si possono valutare, con maggior dettaglio, le 

differenze di intensità massima dovute a differenti situazioni geologiche 

locali attraverso procedure il cui insieme costituisce la . Infatti l’esame della distribuzione dei danni prodotti da un 

terremoto nello stesso territorio dimostra che le azioni sismiche possono 

assumere anche a distanze di poche decine di metri caratteristiche differenti 

in funzione delle diverse condizioni locali (morfologia superficiale, 

morfologia del substrato roccioso sepolto, presenza e profondità della falda 

freatica, costituzione e proprietà del sottosuolo, presenza di faglie). 

La microzonazione sismica è volta ad individuare gli strumenti necessari a 

prevedere e a mitigare (attraverso idonei criteri d’uso del territorio) gli 

effetti sismici in una zona di dimensioni urbane. 

1 Con rischio sismico si indica il probabile danno che un determinato sito può subire in 

occasione di un sisma. In maniera analitica può essere espresso come il prodotto della 

pericolosità sismica, della vulnerabilità sismica e della quantificazione economica delle 

realtà danneggiate. La pericolosità sismica può essere direttamente riferita alla vibrazione 

che un sito può subire durante un sisma e la vulnerabilità definisce lo stato di 

conservazione del patrimonio edilizio e delle strutture sociali potenzialmente rese inattive 

dal sisma. Il parametro relativo alla quantificazione delle realtà danneggiate è di 

difficilissima valutazione (se non impossibile comprendendo oltre a edifici o strutture 

produttive anche vite umane e valori artistici o culturali)


Introduzione 

In questa sezione del Manuale verranno esposte le procedure di calcolo 

utilizzate all’interno del programma. Verranno quindi affrontate le 

problematiche relative: 

• alla caratterizzazione del sito da un punto di vista sismico; 

• al calcolo del terremoto di progetto; 

• alla stima degli effetti di sito, in particolare al calcolo dell’amplificazione 

sismica e degli spettri di risposta elastici del terreno; 

• alla valutazione dell’influenza del sisma sul comportamento meccanico 

del terreno. 

Gli argomenti sono stati elencati secondo quello che dovrebbe essere lo 

schema operativo per l’analisi degli effetti di un terremoto su un’opera di 

ingegneria. La caratterizzazione del sito consente di valutare 

qualitativamente la vulnerabilità sismica dell’area indaga. Il calcolo del 

terremoto di progetto permette di stimare la massima intensità sismica 

prevedibile nel sito in corrispondenza di un determinato tempo di ritorno. 

Combinando la caratterizzazione del sito con il terremoto di progetto è 

possibile valutare in modo quantitativo o semi-quantitativo gli effetti di sito 

e in particolare l’accelerazione sismica in superficie. Nota questa grandezza 

si può precedere alla stima delle forze dinamiche agenti sull’opera e agli 

effetti del sisma sul comportamento meccanico del terreno.


Caratterizzazione del sito da un punto di vista sismico. 

Caratterizzazione del terreno 

Per la classificazione del sito è necessario conoscere le caratteristiche 

stratigrafiche del sottosuolo dell’area indagata. In particolare devono essere 

noti: 

1) il numero e lo spessore degli strati di copertura, cioè dei livelli 

sovrastanti il bedrock o il bedrock-like, intendendo con questi termini 

l’eventuale substrato roccioso (bedrock) o uno strato sciolto (bedrocklike) 

con velocità delle onde S nettamente maggiore dei livelli superiori 

(e generalmente con valori oltre i 500-700 m/s); 

2) la velocità delle onde S negli strati di copertura; 

La caratterizzazione può essere effettuata, utilizzando prove 

penetrometriche dinamiche (SPT) o statiche (CPT) o attraverso la sismica a 

rifrazione. 

Caratterizzazione del terreno attraverso prove penetrometriche 

dinamiche (SPT). 

Esistono in letteratura molte formule empiriche che consentono di correlare 

il valore di Nspt (numero di colpi per 30 cm di avanzamento) con la velocità 

delle onde S nel terreno. Nel programma viene utilizzata la relazione di 

Otha e Goto (1978), consigliata dal Manuale internazionale TC4 per la 

zonazione dei rischi geotecnici. La formula, che tiene conto sia dell’età del 

deposito che della sua granulometria dominante, ha la seguente espressione: 

Vs( m / s) 

= 68N 

spt 

dove D(m) è la profondità media dello strato dal piano campagna, E è un 

fattore che tiene conto dell’età del deposito (Tabella I) e F è un coefficiente 

funzione della granulometria dominante dello strato (Tabella II). 

0. 

17 

Età del deposito Fattore E 

Olocene 1.0 

Pleistocene 1.3 

Tabella I 

Granulometria dominante Coefficiente F 

D 

0. 

2 

EF


Argilla 1.00 

Sabbia fine 1.09 

Sabbia media 1.07 

Sabbia grossa 1.14 

Sabbia ghiaiosa 1.15 

Ghiaia 1.45 

Tabella II 

Per la stima della velocità delle onde S nel substrato, in mancanza di dati più 

precisi, come quelli derivanti dalla sismica a rifrazione, un’indicazione può 

essere ottenuta dalla seguente tabella: 

Litologia Range Vp(m/s) 

Calcare 3400 - 5000 

Arenaria 2000 - 4500 

Dolomia 5000 - 6000 

Argillite 2400 - 5000 

Anidrite 3500 - 5500 

Salgemma 4000 - 5500 

Morena 1500 - 2600 

Alluvioni 300 - 1700 

Metamorfiti di basso grado 3000 - 5000 

Metamorfiti di alto grado 5000 - 7000 

Rocce granitoidi e Gneiss 4000 - 6000 

Basalti 5500 - 6300 

Gabbri 6400 - 6800 

Rocce ultrafemiche 7500 - 8400 

La tabella fornisce la velocità delle onde P, dalla quale può essere ricavata la 

Vs utilizzando la relazione: 

1− 

2σ 

Vs( 

m / s) 

= V p 

2 − 2σ 

dove σ è il coefficiente di Poisson dello strato, mediamente uguale a 0.25 

nelle rocce e 0.35 nei terreni sciolti. I valori più bassi per ogni litotipo si 

riferiscono al caso di maggiore fratturazione o minore addensamento.


Caratterizzazione del terreno attraverso prove penetrometriche 

statiche (CPT). 

Anche per le prove penetrometriche statiche esistono in letteratura delle 

relazioni empiriche che collegano qc (resistenza alla punta) con la velocità 

delle onde S del terreno. Nel programma viene utilizzata la formula di 

Barrow e Stokoe (1983), anch’essa consigliata nel Manuale internazionale 

TC4 per la zonazione dei rischi geotecnici. La relazione, valida per tutti i 

tipi di terreno, ha la seguente forma: 

Vs( m / s) 

= α + βqc 

dove α e β sono due coefficienti che valgono rispettivamente 50.6 e 2.1. 

Caratterizzazione del terreno attraverso sismica a rifrazione. 

Una valutazione più precisa delle velocità delle onde S negli strati di 

copertura può essere effettuata attraverso stendimenti di sismica a 

rifrazione. Dall’interpretazione dell’indagine sismica si ottengono i valori 

delle velocità delle onde P, dalle quali, noto il coefficiente di Poisson, si 

ricavano i corrispondenti valori delle velocità delle onde S con la relazione: 

1− 

2σ 

Vs( 

m / s) 

= V p 

2 − 2σ 

dove σ è il coefficiente di Poisson dello strato, mediamente uguale a 0.25 

nelle rocce e 0.35 nei terreni sciolti. 

Il programma Sisma consente di effettuare un’interpretazione semplificata 

di uno stendimento di sismica a rifrazione, nel caso di un terreno costituito 

al massimo di tre strati, con i limiti litologici aventi un’inclinazione 

regolare. Per situazioni morfologiche e stratigrafiche più complesse si 

raccomanda l’utilizzo di software più specifici.


Classificazione del sito 

Metodo basato sulla rigidità degli strati di copertura. 

Proposto da Draft (1989) e adottato nel Chinese Aseismic Design Code for 

Structures, questo metodo propone una classificazione del sito basata sulla 

stima di un parametro, l’indice di sito, funzione del modulo di taglio medio 

e dello spessore degli strati di copertura. Il modulo di taglio medio viene 

stimato con la relazione: 

G( 

kPa) 

γ 

n 

i 

∑hi 

i= 

1 9. 

= n 

in cui: 

h(m) = spessore dello strato i-esimo; 

γ(kN/mc) = peso di volume naturale dello strato i-esimo; 

Vs (m/s) = velocità delle onde S dello strato i-esimo; 

n = numero degli strati di copertura. 

Se lo spessore complessivo degli strati di copertura supera i 20 m vanno 

presi in considerazione nel calcolo solo i livelli fino a tale profondità. 

Secondo questo metodo va considerato come bedrock o bedrock-like 

qualsiasi livello con velocità delle onde S superiore a 500 m/s. 

L’indice di sito viene quindi calcolato con la formula: 

g 

∑ 

i= 

1 

81 

h 

μ = 0 . 6μ 

+ o. 4μ 

dove μg è il contributo del modulo di taglio medio all’indice di sito ed è 

fornito dalla relazione: 

−5 

μ = 1− 

exp − 0. 

66( 

G − 30000) 

10 

Se G>30000 kPa; 

g 

[ ] 

μg 

= 0 

Negli altri casi; 

e μh è il contributo dovuto allo spessore della copertura ed è dato dalla 

relazione: 

2 −2 

= exp − 0. 

916 H −5 

10 

μh 

[ ( ) ] 

i 

V 

h 

2 

si


μh 

= 0 

Se H>80 m 

μh = 1 

Se H≤5 m 

Dove H è lo spessore complessivo della copertura. 

Nel caso in cui sia G>500000 kPa e contemporaneamente H≤5 m bisogna 

porre μh=μg=1. 

La classificazione del sito si ottiene dalla seguente tabella: 

Tipo di sito Rigido Med. rigido Med. soffice Soffice 

Indice di sito 1>μ>0.9 0.9>μ>0.3 0.3>μ>0.1 0.1>μ>0 

In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica si accentua al diminuire 

dell’indice di sito. 

Metodo basato sulla velocità delle onde S negli strati di copertura. 

Proposto dal Chinese Aseismic Design Code for Structures, questo metodo 

propone una classificazione del sito basata sia sulla velocità media delle 

onde S nella copertura sia sullo spessore complessivo della stessa. Lo 

spessore della copertura viene calcolato partendo dal tetto del primo strato 

incontrato, dalla superficie, con velocità delle onde S superiore a 500 m/s. 

Nello schema seguente sono indicate le quattro classi di sito previste dal 

metodo.


In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica si accentua passando 

dalla classe I alla classe IV.


Metodo previsto dall’Eurocodice 8. 

Anche nell’Eurocodice 8 è prevista una classificazione del sito in funzione 

sia della velocità delle onde S nella copertura che dello spessore della stessa. 

Vengono identificate tre classi, la A (a sua volta suddivisa in due sottoclassi, 

la A1 e la A2), la B e la C, ad ognuna delle quali è associato uno spettro di 

risposta elastico. Lo schema indicativo di riferimento per la determinazione 

della classe del sito è il seguente: 

In generale il fenomeno dell’amplificazione sismica diventa più accentuato 

passando dalla classe A1 alla classe C.


Valutazione del sisma di progetto. 

La valutazione del terremoto di progetto, cioè dell’evento sismico di 

riferimento rispetto al quale effettuare il dimensionamento dell’opera, può 

essere eseguita con metodologie diverse. Nel programma Sisma viene 

adottato un approccio probabilistico-statistico, quello di Gumbel, per 

ottenere la massima accelerazione di picco prevedibile nel sito per un 

determinato tempo di ritorno. Quella che segue è la procedura da utilizzare. 

1) Dal Catalogo Sismico si estraggono gli eventi sismici con epicentro 

ricadente all’interno di un’area di 200-300 km di lato (2-3 gradi di 

latitudine e longitudine circa) centrata sul sito indagato. 

2) Si trasformano i valori di intensità sismica degli eventi selezionati nei 

corrispondenti valori di magnitudo con la relazione, consigliata dal 

+ 1. 

93 

G.N.D.T., = 

1. 

78 

I 

M . 

3) Si calcola la distanza di ogni singolo epicentro dal sito indagato e 

quindi, applicando, una delle leggi di attenuazione sismica disponibili in 

letteratura, si stima il moto sismico nel sito per ognuno degli eventi. 

4) Si ordinano i valori di accelerazione (A) ricavati nel sito per ogni evento 

sismico in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, 

il valore N a quello minimo. 

5) Si calcolano gli N rapporti Pi = i / (N + 1), con i compreso fra 1 e N. 

Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondente valore di A 

non venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono di 

definire la scala dei tempi di ritorno Ti = 1 / (1 - Pi). 

6) Si riportano le N coppie di valori (Ti, Ai) in un diagramma 



consente di ricavare il valore di A per qualsiasi tempo di ritorno. 

Fra le leggi di attenuazione sismica più usate in letteratura segnaliamo le 

seguenti: 

Crespellani et al.: 

I mcs = 6 . 39 + 1. 

756M 

− 2. 

746ln 

( R + 7) 

dove I è l’intensità sismica nel sito, R è la distanza ipocentrale in km e M la 

magnitudo del sisma; 

Pugliese e Sabetta:


2 

Log10 A( 

g) 

= −1. 

845 + 0. 

363M 

− Log10 

D + 25 + 0. 

195S 

dove D è la distanza epicentrale in km e S è un coefficiente uguale a 0 per 

siti con copertura profonda e 1 per terreni con copertura superficiale; 

Tento et al.: 

ln( A)( gal) 

= 4. 

73+ 

0. 

52M 

− 0. 

00216R 

−ln( 

R) 

; 

Chiaruttini e Siro: 

Log A)( 

gal) 

= −0. 

20 + 0. 

36M 

−0. 

71Log 

D + 0. 

; 

10 ( 10 

( ) 19 

Kawashima: 

( ) 218 . 1 

bM 

a10 

A( 

gal) 

= 

D + 30 

dove: 

Litologia a b 

Depositi consolidati 987,4 0,216 

Depositi medio consolidati 232,5 0,313 

Depositi soffici 402,8 0,265 

Branno et al.: 

I mcs = I 0 + 2. 70 − 0. 

02D 

− 2. 

70Log10( 

D + 10) 

dove I0 è l’intensità sismica epicentrale. 

Si noti che alcune di queste relazioni forniscono il moto atteso nel sito 

espresso in accelerazione di picco mentre altri come intensità sismica. E’ 

possibile comunque ricavare l’accelerazione sismica corrispondente ad un 

dato valore di intensità sismica, applicando la relazione di Cancani-Sieberg: 

I 

−1. 

0 

3 

A( 

gal) 

= 10 

ricordando che 1 gal=1 cm/s 2 e che quindi per passare da un valore di A 

misurato in gal a uno espresso in g bisogna dividere per 980.7. 

Si noti infine che alcuni di questi metodi calcolano direttamente il moto in 

superficie, comprendendo quindi anche gli effetti di amplificazione dovuti 

alle caratteristiche della copertura.


Stima dell’amplificazione sismica. 

Fattori geomorfologici e stratigrafici locali possono modificare le 

caratteristiche del moto sismico, filtrando le onde nel passaggio dal bedrock 

alla superficie. L’effetto di filtraggio conduce ad una ridistribuzione 

dell’energia con l’amplificazione del moto vibratorio associato ad alcune 

frequenze. Esistono diverse metodologie per la stima dell’amplificazione 

sismica in superficie. Alcune sono basate sull’uso di modelli numerici 

sofisticati, che hanno portato allo sviluppo di programmi di calcolo 

utilizzabili per valutare gli effetti di sito sia in condizioni mono (SHAKE) 

che bidimensionali (FLUSH e QUAD4). Si tratta però di modelli che 

richiedono un input accurato, sia per quanto riguarda le caratteristiche 

geotecniche del terreno, sia per quanto riguarda il moto sismico di 

riferimento e quindi spesso di difficile applicabilità. Sono note in letteratura 

però metodologie più speditive, basate sulle caratteristiche lito-stratigrafiche 

del sito e sulla stima della velocità delle onde S nei livelli di copertura. Si 

tratta di metodi di analisi di II livello, secondo la definizione data nel 

Manuale Internazionale TC4, ad esclusione del metodo di Barosh, che 

rientra fra quelli di livello I. E’ possibile distinguere queste metodologie in 

tre categorie: 

• metodi basati sulle caratteristiche geologiche e goemorfologiche del 

sito; 

• metodi basati sulla stima della velocità delle onde S nella copertura; 

• metodi basati sulle caratteristiche lito-stratigrafiche del sito. 

Metodi basati sulle caratteristiche geologiche e geomorfologiche del 

sito. 

Si tratta di metodologie semplificate per una valutazione esclusivamente 

qualitativa dell’amplificazione sismica basate sulle caratteristiche 

geologiche e geomorfologiche del sito. 

Metodo degli scenari di Barosh (1969) 

Sulla base di osservazioni strumentali, Barosh(1969) ha proposto ventisei 

scenari geologici, scelti fra i più diffusi, distinti in base alle loro


caratteristiche litologiche, idrogeologiche e geomorfologiche, abbinando ad 

ognuno di essi un intervallo d'incremento d'intensità sismica. 

Il vantaggio dell'uso di questi schemi è nella possibilità di ottenere 

rapidamente un valore numerico dell'incremento d'intensità semplicemente 

confrontandoli con la situazione osservata in campagna. I principali 

svantaggi risiedono nel fatto che non tutte le possibili combinazioni dei 

fattori litologia, idrogeologia e geomorfologia sono prese in 

considerazione e nella eccessiva dispersione degli intervalli d'incremento 

legati ad alcuni scenari ( 2 o più gradi).

FORMULA GEO VER.2.0

FORMULA GEO VER.2.0


Metodi basati sulla stima della velocità delle onde S nella copertura. 

Si tratta di metodologie che forniscono il valore del fattore di amplificazione 

spettrale di picco (Medvedev e Midorikawa) o in un determinato intervallo 

di periodi di oscillazione (Borcherdt et al.), attraverso correlazioni 

empiriche fra il fattore di amplificazione e l’impedenza sismica (Medvedev) 

o più semplicemente la velocità delle onde S negli strati copertura. 

Metodo di Medvedev (1960) 

E’ una procedura di calcolo derivante da correlazioni empiriche determinate 

da Medvedev sulla base di registrazioni di eventi sismici in ambiti geologici 

differenti. Nella sua impostazione originaria, il metodo è applicabile solo in 

aree pianeggianti e tiene conto nella risposta sismica dell'influenza dei soli 

fattori litologia e idrogeologia. 

Fondamentale in questo metodo è la definizione della grandezza impedenza 

sismica ( o rigidità sismica), data dal prodotto: 

R( t / mqs) 

= γV 

con 

γ (t/mc) = peso di volume del materiale; 

Vs (m/s) = velocità delle onde S nel materiale. 

Assunto come livello di riferimento il substrato roccioso o, se assente, un 

livello con Vs >700 m/s (bedrock-like), l'incremento d'intensità sismica 

che si produce al passaggio dell'impulso sismico da questo livello alla 

superficie, passando attraverso terreno di copertura è dato da: 

R 

n 1 = 1. 

67 ln 

R' 

con 

R' = impedenza sismica del terreno di copertura; 

R = impedenza sismica del bedrock. 

s


Nel caso di terreno di copertura stratificato il termine R' sarà dato dalla 

media pesata delle impedenze sismiche dei singoli strati: 

n 

∑ 

i= 

iH 

i 

R = 

Htot 

1 

γ 

' 

con 

n= numero di strati presenti nella copertura; 

γi(t/mc)=peso di volume dello strato i-esimo; 

Hi(m) = spessore dello strato i-esimo; 

Htot (m) = spessore totale della copertura. 

La presenza di falde idriche può portare secondo Medvedev ad un ulteriore 

incremento d'intensità, secondo la relazione: 

n 

2 

= e 

2 

−0. 

04H 

con 

e = numero di Nepero; 

H (m) = profondità dal piano campagna della falda più superficiale; 

In formulazioni più recenti però, per tener conto della possibile presenza 

di falde artesiane o sospese, la relazione è stata così modificata: 

n 

2 

= e 

2 

−0. 

04H 

−e 

2 

−0. 

04B 

con 

B (m) = profondità dal piano campagna della base dello strato acquifero; 

Alcuni Autori hanno proposto di introdurre nella relazione classica di 

Medvedev due ulteriori fattori, che tengano conto della morfologia del sito e 

della geometria del substrato: 

n 

3 

n 

4 

= Log 

1+ 10 

1+ 10 

= Log 

( 1+ 

sen β) 

( 1+ 

senα)


con 

β = inclinazione media del pendio; 

α = inclinazione media del substrato di riferimento (α=90° in presenza di 

una faglia). 

Il fattore di amplificazione sismica è quindi fornito dalla relazione: 

[ 1+ Log ( n + n ) ]( n n ) 

Fa = 

10 1 2 3 4 

ed il valore dell’accelerazione di picco in superficie è dato dalla: 

g a = ) ( 

max 

bedrock a F a 

dove abedrock è l’accelerazione sismica nel bedrock. 

Si ritiene comunque che la validità dei fattori n3 e n4 non sia ancora stata 

comprovata a sufficienza da dati sperimentali e quindi si suggerisce di 

usarli con cautela. 

Metodo di Midorikawa (1987) 

Si tratta di un metodo consigliato nel Manuale TC4 per microzonazioni di II 

livello. Il fattore di amplificazione relativa per il picco di accelerazione è 

fornito dalla relazione: 

0. 

6 

68 − 

V 

F a = s per Vs



Questo metodo non tiene conto degli effetti di amplificazione dovuti a 

irregolarità topografiche o del substrato. 

Metodo di Borcherdt et al. (1991) 

Si tratta anche in questo caso di un metodo consigliato nel Manuale TC4 per 

microzonazioni di II livello. Il fattore di amplificazione calcolato è quello 

medio relativo all’intervallo di periodi di oscillazione 0.4-2 s (AHSA) e non 

quello del picco di accelerazione. La relazione di calcolo è la seguente: 

F 

F 

AHSA 

AHSA 

700 

= per weak motion 

Vs 

600 

= per strong motion 

V 

s 

Il valore dell’accelerazione sismica media in superficie nell’intervallo di 

periodo di oscillazione 0.5-2 s è dato dalla: 

a ( g) 

= a F 

AHSA 

bedrock 


La dicitura weak motion e strong motion serve ad indicare eventi sismici di 

intensità debole(indicativamente fino al grado VII della scala MCS) e forte 

(uguale o superiore al grado VII). In questo metodo il bedrock è identificato 

dal primo strato, partendo dalla superficie, con velocità delle onde S 

superiore o uguale a 700 m/s (weak motion) o a 600 m/s (strong motion). 

Metodi basati sulle caratteristiche lito-stratigrafiche del sito. 

Si tratta di metodologie che consentono di stimare l’amplificazione sismica 

esclusivamente sulla base delle caratteristiche litologiche (tipo di deposito e 

grado di addensamento o consistenza) e stratigrafiche (spessore della 

copertura) del sito. L’output viene presentato sotto forma di Spettro di 

Risposta Elastico, che fornisce la rappresentazione grafica 

dell’accelerazione sismica in superficie in funzione del periodo di 

oscillazione. Un impulso sismico può essere visto come la somma di un 

a


certo numero di onde elastiche, ognuna con frequenza ed ampiezza di 

oscillazione ben definita. Il passaggio del treno d'onde dal bedrock agli 

strati superficiali produce, come si è visto, un amplificazione dell'impulso 

sismico. Questa amplificazione del moto sismico non si manifesta in 

maniera identica in tutto lo spettro delle frequenze, ma tende a 

concentrarsi in intervalli ben delimitati. E' stato evidenziato inoltre che 

l'amplificazione maggiore cade spesso nell'intervallo di periodo 0 - 1 s ( si 

ricorda che T (periodo) = 1 / f(frequenza) ). 

Un edificio sottoposto a sollecitazione sismica entra in oscillazione con un 

periodo che dipende dalle sue caratteristiche strutturali e geometriche. 

Esistono più modalità di vibrazione, ma nei casi più frequenti viene preso 

in considerazione solo il primo modo (T0). 

Negli edifici in muratura T0 è dato da: 

T 0( 

s) 

= 0. 

06 

con 

H (m) = altezza dell'edificio; 

B (m) = larghezza dell'edificio; 

H 

B 

H 

2B 

+ H 

mentre negli edifici intelaiati in cemento armato corrisponde a: 

H 

T0 ( s) 

= 0. 

1 . 

B 

L'importanza dello Spettro di Risposta Elastico del terreno deriva dal fatto 

che se, durante un evento sismico, il terreno vibra con periodo che 

corrisponde a T0, l'edificio entra in risonanza e subisce un’accelerazione 

sismica data dal valore di a(g) letto in ordinata nello spettro in 

corrispondenza del periodo T0. 

Spettro di risposta elastico secondo il D.M. 16.01.1996. 

Secondo la Normativa vigente lo spettro di risposta elastico del terreno può 

essere espresso dalla relazione:


a( g) 

= CIβεR 

. 

C è il coefficiente di intensità sismica espresso dalla relazione: 

−12 

= 

100 

S 

C 

in cui S è il grado di sismicità dell’area indagata. La variabile S, nella 

tripartizione effettuata dal Legislatore dei Comuni dichiarati sismici, 

assume i seguenti valori (in riferimento alle vecchie categorie sismiche): 

Vecchie Categorie Grado di sismicità (S) 

ex I 12 

ex II 9 

di nuova istituzione 6 

Quindi i coefficienti sismici assumono nei tre casi i seguenti valori: 

S C 

12 0.10 

9 0.07 

6 0.04 

I è il coefficiente di protezione sismica, che esprime l'importanza sociale 

dell'opera ed i rischi connessi ad un suo danneggiamento. Per le opere la cui 

resistenza al sisma è di primaria importanza per le necessità di protezione 

civile si assume I=1.4. Per le opere che presentano un particolare rischio per 

le loro caratteristiche d’uso si considera I=1.2. Infine, per le opere che non 

rientrano in queste due categorie si pone I=1. 

La grandezza β, coefficiente di struttura, introduce l'influenza delle 

caratteristiche strutturali nella risposta dell'edificio alle sollecitazioni 

sismiche. Normalmente viene posto uguale a 1, tranne nel caso in cui nella 

struttura dell’edificio vi siano elementi irrigidenti verticali e su quest’ultimi 

si distribuiscano prevalentemente le azioni orizzontali. 

Il parametro ε, coefficiente di fondazione, ha lo scopo di introdurre gli 

eventuali effetti di amplificazione sismica dovuti alle caratteristiche litostratigrafiche 

del terreno di copertura. In presenza di stratigrafie 

caratterizzate da depositi sciolti di spessore variabile da 5 a 20 m,


soprastanti terreni coesivi o litoidi con caratteristiche meccaniche 

significativamente superiori, si assume un valore di 1.3. Negli altri casi si 

pone ε=1. Per una scelta meno soggettiva del valore di ε da adottare può 

essere utile il criterio di Carrara e Rapolla (1987), che propongono di legare 

la variazione di ε al parametro impedenza sismica (o rigidità sismica) del 

terreno di fondazione (cioè del pacco di strati di terreno compresi entro la 

profondità dove viene risentito il sovraccarico). Il coefficiente di 

fondazione in funzione dell'impedenza sismica I si ottiene come segue: 

per I (t/mq s) ≥ 1500 ε = 1; 

per 100 

per I (t/mq s) ≤100 ε = 1.3; 

Si può quindi scegliere di adottare un valore di ε uguale a 1 o a 1.3 a 

seconda del risultato ottenuto applicando il criterio. 

R infine è il coefficiente di risposta sismica. Per esso si assume il seguente 

andamento: 

per T(s) ≤ 8 R(T) = 1; 

per T(s) > 8 R(T) = 0.862/T 2/3 .


Spettro di risposta elastico secondo il G.N.D.T.. 

Il Gruppo Nazionale di Difesa dai Terremoti, nella sua proposta di 

normativa per le costruzioni in zona sismica del 1985, definisce lo spettro di 

risposta elastico del terreno con le relazioni: 

R 

a g) 

= Papicco 

K 

( ; 

Il parametro apicco corrisponde all’accelerazione sismica di picco nel 

bedrock, ricavabile dalla seguente tabella, in funzione della categoria 

sismica in cui ricade il sito: 

S 

apicco(g) 

12 0.35 

9 0.25 

6 0.15 

R è la funzione di amplificazione della risposta rispetto all’accelerazione nel 

bedrock ed il suo andamento dipende dalle caratteristiche lito-stratigrafiche 

del sito, secondo le seguenti espressioni: 

R0 

R T 

T 

1 − 

= 1+ 

per 0≤T≤T1 

1 

R = R per T1≤T≤T0 

0 

R 

R = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T 

T 

0 

0 

r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

per T0≤T 

Le grandezze R0, T1, T0 e r sono legate alle caratteristiche litologiche e 

stratigrafiche del sito. 

A questo proposito sono state individuate due possibili tipologie di terreno, 

ognuna caratterizzata da una risposta sismica differente. 

Terreno di tipo S1 

a) Roccia lapidea, con eventuale strato superficiale di alterazione o 

copertura di spessore massimo uguale a circa 5 metri, o altro materiale


caratterizzato da velocità delle onde Vs superiore a 700 m/s entro la 

profondità d'interesse per le fondazioni dell'edificio. 

b) Depositi di sabbie e ghiaie addensate e/o terreni coesivi compatti, senza 

un substrato a forte contrasto di proprietà meccaniche entro i primi 90 m 

circa dalla superficie, caratterizzati da un aumento graduale delle velocità Vs 

con la profondità, con valori medi compresi nella fascia 250-500 m/s per 

profondità da 5 a 30 m, e nella fascia 350-700 m/s per profondità maggiori. 

Terreni di tipo S2 

a) Depositi sciolti profondi, da poco a mediamente addensati, caratterizzati 

da velocità medie Vs inferiori a 250 m/s a profondit comprese fra 5 e 30 m 

ed inferiori a 350 m/s a profondità maggiori. 

b) Depositi di terreno prevalentemente sabbiosi o argillosi, con spessore 

compreso fra 30 e 90 m e velocità medie Vs inferiori a 500 m/s, poggianti su 

un substrato roccioso a forte contrasto di proprietà meccaniche (Vs dell' 

ordine di 1000 m/s o più). 

Le grandezze R0, T1, T0 e r sono ricavabili dalla seguente tabella: 

Terreno T1 T0 r R0 

S1 0.10 0.35 1 2.5 

S2 0.15 0.80 1 2.2 

P è un fattore correttivo per tenere conto dell’eventuale inclinazione del 

pendio. P è dato da: 

P = 1 + 1.5 i; 

con i = inclinazione del pendio in radianti. 

Se P risultasse superiore a 1.3 si ponga P=1.3. 

K infine è un coefficiente dipendente dalle caratteristiche strutturali 

dell'edificio ed posto uguale generalmente a 3.


Lo spettro di risposta così elaborato è riferito ad un coefficiente di 

smorzamento viscoso (ν) del 5%. Nel caso di valori differenti di ν le 

ordinate del grafico andranno moltiplicate per il fattore (5/ν). 

Spettro di risposta elastico secondo la proposta di Pugliese e 

Sabetta. 

Sulla base delle registrazioni effettuate dalla rete accelerometrica ENEA- 

ENEL relative a 17 terremoti di magnitudo compresa fra 4.6 e 6.8, Pugliese 

e Sabetta (1989) hanno proposto alcuni spettri di risposta elastici in funzione 

delle caratteristiche geologiche dell'area indagata. In particolare sono stati 

individuati tre profili di terreno tipo. 

Terreno tipo a 

Substrato rigido (Vs>800 m/s) affiorante o sub-affiorante (copertura 

inferiore a 5 metri). 

Terreno tipo b 

Depositi sciolti (ghiaie, sabbie, limi e argille) con substrato rigido a 

profondità compresa fra 5 e 20 metri. 

Terreno tipo c 

Depositi sciolti con substrato rigido a profondità superiore ai 20 metri. 

Il modello richiede come input la distanza epicentrale o della faglia e la 

magnitudo del sisma. La distribuzione spettrale è data dalla relazione: 

ln(PSV) = a + b M - ln(R 2 + h 2 ) + e1 S1 + e2 S2; 

con 

PSV (cm/s) = ordinata dello spettro di pseudovelocità; 

M = magnitudo del sisma; 

R (km) = distanza epicentrale o della faglia; 

a,b,h,e1,e2 = coefficienti di regressione (vedi tabelle A e B). 

S1,S2 = variabili uguali a 1 per terreni di tipo b) e c) e uguali a 0 per 

terreni di tipo a). 

Tabella A


Coefficienti di regressione basati sulla distanza di faglia per 14 

frequenze di riferimento. 

Tabella B 

f (Hz) a b e1 e2 h 

0.25 2.400 0.685 0.000 0.130 2.1 

0.33 2.170 0.675 0.000 0.151 2.5 

0.50 1.800 0.650 0.000 0.184 3.1 

0.67 1.510 0.620 0.010 0.210 3.5 

1.00 1.120 0.570 0.050 0.242 1.0 

1.33 0.850 0.530 0.120 0.232 4.4 

2.00 0.400 0.455 0.220 0.156 5.0 

2.50 0.077 0.400 0.210 0.015 5.3 

3.33 0.400 0.315 0.165 0.065 5.7 

5.00 0.550 0.273 0.130 0.000 6.3 

6.67 0.500 0.255 0.130 0.000 6.7 

10.00 0.290 0.245 0.130 0.000 7.3 

15.00 0.035 0.255 0.130 0.000 7.2 

25.00 0.505 0.273 0.130 0.000 5.8 

Coefficienti di regressione basati sulla distanza epicentrale per 14 

frequenze di riferimento. 

f (Hz) a b e1 e2 h 

0.25 2.500 0.725 0.000 0.100 2.6 

0.33 2.250 0.715 0.000 0.108 3.0 

0.50 1.900 0.687 0.000 0.150 3.6 

0.67 1.647 0.660 0.010 0.175 4.0 

1.00 1.280 0.612 0.050 0.208 4.4 

1.33 1.000 0.570 0.120 0.190 4.7 

2.00 0.595 0.500 0.230 0.124 5.0 

2.50 0.281 0.445 0.222 0.078 5.2 

3.33 0.100 0.337 0.185 0.020 5.4


5.00 0.296 0.323 0.161 0.000 5.7 

6.67 0.222 0.310 0.161 0.000 5.9 

10.00 0.019 0.304 0.161 0.000 6.2 

15.00 0.312 0.304 0.161 0.000 6.3 

25.00 0.817 0.330 0.161 0.000 4.7 

In termini di pseudo-accelerazioni (PSA) si ha: 

PSA(f) (g) = PSV 2 π f / g; 

con 

f (1/s) = frequenza di oscillazione; 

g (cm/s 2 ) = accelerazione di gravità = 981; 

Il metodo è applicabile per magnitudo comprese fra 4.5 e 7 e per distanze 

epicentrali o di faglia minori di 200 km. Inoltre si raggiunge una precisione 

maggiore utilizzando la distanza di faglia, se è nota, al posto di quella 

epicentrale. A differenza del metodo ministeriale e di quello G.N.D.T. in 

questo caso è necessario fissare il sisma di riferimento, indicando la 

magnitudo e la distanza epicentrale o di faglia. 

Spettro di risposta elastico secondo l’Eurocodice 8. 

Nell’Eurocodice 8 (CEN, 1994) viene proposto uno spettro di risposta 

elastico caratterizzato dal seguente andamento: 

⎡ T ⎤ 

a ( g) 

= a ⎢1 

+ ( ηβ −1) 

bedrockS 

0 ⎥⎦ per 0≤T


La grandezza abedrock esprime l’accelerazione di picco nel bedrock. 

Il parametro η è il fattore di correzione per lo smorzamento viscoso ed è 

dato da: 

0. 

5 

⎡ 7 ⎤ 

η= ⎢ 

2 

⎥⎦ ≥0.7. 

⎣ + ξ 

Gli altri parametri sono funzione delle caratteristiche litologiche e 

stratigrafiche del sito, secondo la seguente tabella: 

Terreno S β0 K1 K2 Tb Tc Td 

A 1.0 2.5 1.0 2.0 0.10 .040 3.0 

B 1.0 2.5 1.0 2.0 0.15 0.60 3.0 

C 0.9 2.5 1.0 2.0 0.20 0.80 3.0 

Le classi A, B e C si riferiscono alla classificazione del sito da un punto di 

vista stratigrafico e litologico secondo l’Eurocodice 8 (vedi capitolo 4.3.2). 

Anche in questo caso viene richiesta l’adozione di un sisma di progetto, cioè 

la quantificazione dell’accelerazione di picco prevedibile nel bedrock.


Effetti delle sollecitazioni sismiche sui terreni di fondazione 

e sulle opere di sostegno 

Variazioni della resistenza al taglio 

Occorre distinguere fra terreni di fondazione incoerenti e coesivi. Nel primo 

caso è fondamentale, per prevedere il comportamento del terreno sottoposto 

ad azione sismica, conoscere il parametro densità relativa (Dr) del terreno. 

Un terreno molto addensato (Dr%≥70) sottoposto a sollecitazioni di taglio 

tende ad aumentare di volume (fenomeno di dilatanza) fino a raggiungere un 

valore dell'indice dei vuoti critico, oltre il quale cessa l'incremento di 

volume. La densità relativa del materiale in corrispondenza dell'aumento di 

volume diminuisce e l'angolo di resistenza al taglio (ϕ), che è legato 

direttamente al della Dr%,, tende anch'esso ad abbassarsi. 

Per la valutazione della variazione quantitativa di ϕ, si può fare riferimento 

alle proposte di Vesic e Sano. Il primo propone, sempre che la Dr% sia 

maggiore di 70, di tenere conto degli effetti sismici semplicemente 

diminuendo di 2° l'angolo di resistenza al taglio. 

ϕ (°) = ϕ - 2; 

con 

ϕ (°) = angolo di resistenza al taglio in condizioni statiche. 

Il secondo propone una relazione più complessa e cautelativa, che lega la 

diminuzione di ϕ all'intensità della sollecitazione sismica: 

ϕ (°) = ϕ - arctang( C / 1.4142); 

con 

C = coefficiente d'intensità sismica, ricavabile dalla Normativa vigente o, 

secondo l’Eurocodice 8, ponendolo uguale 0.5apicco, dove apicco è 

l’accelerazione sismica di picco.


Nei terreni di fondazione coesivi, in cui la resistenza al taglio è espressa 

in condizioni drenate da un angolo di resistenza al taglio e da una 

coesione (drenata) ed in condizioni non drenate dalla sola coesione (non 

drenata), è stato dimostrato (Carrol, 1963) che l'azione sismica non produce 

variazioni negative nelle caratteristiche meccaniche. 

Calcolo della spinta attiva delle terre in condizioni dinamiche. 

La spinta attiva del terreno in condizioni dinamiche è fornita dalla seguente 

relazione. 

1 

S d = γ 

+ 

2 

2 

( 1± 

kv 

) KH + Sws 

Swd 

dove: 

γ= Peso di volume del terreno; 

H= Altezza del muro; 

K= Coefficiente di spinta attiva in condizioni dinamiche; 

Sws= Spinta dell’acqua in condizioni statiche; 

Swd= Forze idrodinamiche; 

kv= Coefficiente sismico verticale, da porre uguale, secondo l’Eurocodice 

8 a 0.5apicco, dove apicco è l’accelerazione sismica di picco. 

Il valore di K può essere ricavato con la relazione di Mononobe-Okabe: 

K = 

cos 

( ϕ− 

ϑ− 

β) 

⎡ sen( 

ϕ+ 

δ) 

sen( 

ϕ−ϑ 

−ε) 

⎢1 

+ 

cos( 

δ + β + ϑ) 

cos( 

ε − β) 

2 

cosϑcos 

βvos( 

δ + β + ϑ) 

⎣ 

dove: 

ϕ= Angolo di resistenza al taglio del terreno; 

δ= Angolo di attrito terra-muro; 

ε= Inclinazione del pendio a monte rispetto all’orizzontale; 

β= Inclinazione del paramento interno rispetto alla verticale; 

2 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2


θ= ⎟ − ⎛ k ⎞ h 

tan ⎜ 

⎝1 

− kv 

⎠ 

1 

. 

Dove kh è il coefficiente sismico orizzontale posto uguale all’accelerazione 

sismica di picco. 

Per quanto riguarda la spinta dell’acqua, oltre alla componente statica data 

dalla: 

S = γ 

ws 

2 

0. 5 wH 

w 

dove: 

γw= Peso di volume dell’acqua; 

Hw= Altezza dell’acqua rispetto alla base del muro; 

occorre considerare anche il contributo dovuto alle forze idrodinamiche. 

L’angolo θ, in presenza di falda, deve essere corretto come segue: 

ϑ= 

− 

tan 1 

⎛ γ 

⎜ 

⎝γ 

−γ 

w 

k h 

1− 

k 

Nel caso ci si trovi in condizioni di drenaggio impedito (condizioni 

dinamiche impermeabili) Swd viene posto uguale a 0. Nel caso il drenaggio 

non sia impedito (condizioni dinamiche permeabili) Swd è dato dalla 

relazione: 

7 

2 

Swd = γ wk 

hH 

w . 

12 

v 

⎞ 

⎟ 

⎠


LIQUEFAZIONE DEI TERRENI IN CONDIZIONI 

SISMICHE 

Premessa e generalità. 

I fenomeni di liquefazione che interessano i depositi sabbiosi saturi 

dipendono da: 

• proprietà geotecniche dei terreni 

• caratteristiche delle vibrazioni sismiche e loro durata 

• genesi e storia geologica dei terreni 

• fattori ambientali 

Un terreno incoerente saturo, in assenza di sollecitazioni sismiche è soggetto 

soltanto alla pressione litostatica, dovuta al peso dei sedimenti sovrastanti 

(in campo libero e con superficie piana). 

Durante una sollecitazione sismica vengono indotte nel terreno delle 

sollecitazioni cicliche di taglio, dovute alla propagazione delle onde 

sismiche verso la superficie, mentre la pressione litostatica resta costante. 

Per tutta 

la durata della scossa ogni elemento di terreno soggetto ad una serie di 

sforzi tangenziali che cambiano ripetutamente verso ed ampiezza. 

Nel terreno si possono generare fenomeni di liquefazione se la scossa 

sismica produce un numero di cicli tale da far si che la pressione 

interstiziale uguagli la pressione di confinamento. Nei depositi la pressione 

di confinamento aumenta con la profondità, mentre l'ampiezza dello sforzo 

di taglio indotto dal sisma diminuisce. La resistenza alla liquefazione quindi 

è maggiore con la profondità. Quindi, maggiore è la durata di un terremoto 

più alta è la possibilità che si arrivi (maggior numero di cicli) alla 

liquefazione. Inoltre, maggiore è l'ampiezza della vibrazione e della 

deformazione indotta e minore è il numero di cicli necessari per giungere a 

tale condizione. 

Il terreno può essere però soggetto a sforzi di taglio statici dovuti alla 

presenza di strutture in superficie o alla sua particolare posizione (per es. al 

di sotto di un versante). In questo caso l'instaurarsi del fenomeno della


liquefazione dipende, oltre che dalle caratteristiche del sisma, anche dal 

rapporto che si stabilisce tra le tensioni di taglio indotte da quest'ultimo e 

quelle statiche preesistenti al terremoto. 

La probabilità che un deposito raggiunga le condizioni per la liquefazione 

dipende anche dallo stato di addensamento, dalla composizione 

granulometrica, dalle condizioni di drenaggio, dalla storia delle 

sollecitazioni sismiche e dall'età del deposito stesso. 

Tanto minore è il grado di addensamento del materiale (elevato indice dei 

vuoti e bassa densità relativa) tanto maggiore è la probabilità che, a parità di 

altre condizioni, un deposito raggiunga lo stato di liquefazione. 

Anche la distribuzione, la forma delle particelle e il grado di uniformità 

influenzano notevolmente il fenomeno, per le implicazioni che questi fattori 

hanno sulla resistenza al taglio e per il modo di dissiparsi della pressione 

interstiziale in eccesso. 

Per quanto riguarda la storia delle sollecitazioni sismiche su un deposito di 

può affermare che precedenti deformazioni moderate influiscano 

positivamente sulla resistenza del deposito, mentre una storia caratterizzata 

da alti livelli di deformazione (deposito già soggetto a liquefazione) ha 

effetti 

negativi sul potenziale di riliquefazione. 

I depositi sabbiosi con più alto potenziale di liquefazione sono i più recenti. 

A parità di composizione e di altre condizioni lo stesso deposito, se più 

antico, avrà sviluppato legami intergranulari e cementazioni sempre più forti 

con il tempo. Inoltre la struttura di un deposito antico sarà resa più stabile e 

omogenea per gli effetti delle vibrazioni indotte da precedenti terremoti di 

piccola entità.


Introduzione. 

Per liquefazione di un terreno s'intende il quasi totale annullamento della 

sua resistenza al taglio con l'assunzione del comportamento meccanico 

caratteristico dei liquidi. 

Se si esprime la resistenza al taglio attraverso la relazione di Coulomb: 

( σ u) 

ϕ 

τ c v0 tan − + = 

con: 

c = coesione del terreno 

σv0 = pressione litostatica totale agente alla profondità d'indagine 

u = pressione interstiziale dell'acqua 

ϕ= angolo di resistenza al taglio del terreno, 

È evidente che la grandezza si può annullare solo nel caso in cui siano 

verificate le condizioni: 

a) c = 0; 

b) (σv0 - u) = 0; 

(il caso ϕ = 0 non ha importanza pratica, perché può verificarsi solo in 

terreni coesivi in condizioni non drenate, dove però la condizione 

non può ovviamente verificarsi). 

La condizione a) vieta che il fenomeno della liquefazione possa verificarsi 

in terreni coesivi o incoerenti ma con una significativa frazione argillosa o 

limosa plastica. 

La condizione b) si verifica, quando la pressione interstiziale uguaglia la 

pressione totale esercitata ad una data profondità dalla colonna di terreno 

sovrastante e dagli eventuali sovraccarichi presenti in superficie (σv0 = u). In 

definitiva il fenomeno della liquefazione si può manifestare preferibilmente 

in depositi sciolti non coesivi posti sotto falda, in seguito ad eventi che 

producano un forte aumento della pressione interstiziale dell'acqua.


Fattori che predispongono alla liquefazione. 

Di seguito si descrivono, nel dettaglio, i fattori principali che predispongono 

un terreno alla liquefazione, prima di passare ad illustrare i metodi di 

calcolo della suscettibilità. 

Fattori geologici-geotecnici. 

Poichè ai terreni incoerenti sono associati generalmente valori del 

coefficiente di permeabilità relativamente elevati, l'applicazione di 

sovraccarichi graduali (per es. dovuti alla costruzione di un fabbricato) non 

conduce a significativi incrementi di . In questi casi infatti non si 

generano gradienti di pressione fra la zona sollecitata e quella indisturbata 

tali da produrre rapidi flussi idrici fra le due zone. 

I vuoti dello scheletro solido sono quasi sempre sufficientemente larghi da 

non ostacolare questo flusso. Nel caso viceversa di sollecitazioni intense 

sottoposte ad incrementi rapidi, come si verifica durante un evento sismico, 

i gradienti di pressione che si generano possono essere tali da produrre 

elevati flussi idrici dall'interno verso l'esterno. Se il fenomeno si manifesta 

in depositi incoerenti a granulometria relativamente fine (per es. sabbie 

fini), la larghezza limitata dei vuoti dello scheletro tenderà ad ostacolare il 

flusso idrico, con il conseguente sviluppo di elevate pressioni neutre. 

Oltre alla granulometria, altri fattori condizionano la suscettibilità di un 

deposito sciolto al fenomeno della liquefazione. I principali sono la 

profondità del livello potenzialmente liquefacibile ed il suo grado di 

addensamento. Con l'aumentare della profondità del deposito diminuisce la 

probabilità di liquefazione dello stesso durante l'evento sismico. 

È evidente infatti che con l'aumentare della profondità siano richiesti valori 

di sempre più elevati per annullare la pressione litostatica crescente. 

Inoltre con la profondità tende a diminuire anche l'intensità delle 

sollecitazioni indotte dal sisma. L'influenza della pressione litostatica 

permette di spiegare il fenomeno della migrazione della liquefazione dai 

depositi più superficiali a quelli più profondi. 

I livelli meno profondi sono quelli che per primi subiscono la liquefazione, 

che è facilitata dalla minore pressione litostatica. 

Gli strati più profondi, che inizialmente non subiscono il fenomeno, nel 

momento in cui il deposito superiore va in liquefazione risentono di un calo


del peso della colonna di terreno sovrastante, evento che aumenta la 

probabilità che anch'essi subiscano la liquefazione. 

Fondamentale è anche il grado di addensamento del terreno, esprimibile 

attraverso il parametro densità relativa (Dr %). 

I terreni molto addensati, se sollecitati, subiscono un aumento di volume 

(fenomeno di dilatanza) con conseguente diminuzione della Dr %, che tende 

a portarsi verso un valore critico, variante in funzione principalmente della 

granulometria del deposito. L'aumento di volume ha come conseguenza, nei 

depositi saturi, un richiamo dell'acqua dall'esterno verso l'interno, con 

creazione di una di segno negativo (cioè si ha un aumento del termine 

(σv0 - u)). 

L'esatto contrario avviene in terreni poco addensati, dove una sollecitazione 

tende a produrre una diminuzione di volume, con conseguente flusso idrico 

verso l'esterno e la generazione di una disegno positivo (diminuisce il 

valore di (σv0 - u)). 

In conclusione si possono ritenere potenzialmente liquefacibili quei depositi 

sciolti che presentano le seguenti caratteristiche: 

- granulometricamente sono sabbie da fini a medie con contenuto in fine 

variabile generalmente dallo 0 al 25%; 

- si trovano sotto falda; 

- sono da poco a mediamente addensati. 

- si trovano a profondità relativamente basse (di solito inferiori ai 15 metri). 

Fattori legati all'evento sismico. 

Durante un terremoto il terreno può essere visto come sottoposto ad una 

serie di cicli di carico variabili in intensità e numero in funzione della 

magnitudo del sisma stesso. 

In terremoti di elevata magnitudo è sufficiente un numero ridotto di cicli di 

carico per produrre la liquefazione del deposito, poiché ad ogni ciclo è 

associata una sollecitazione dinamica di maggiore intensità. In terremoti di 

minore magnitudo lo stesso effetto lo si ottiene con un numero superiore di 

cicli di carico.


In definitiva quindi una elevata magnitudo del sisma (maggiore intensità 

degli sforzi di taglio applicati al terreno) e una lunga durata dello stesso 

(maggior numero di cicli di carico) rendono più probabile l'iniziarsi della 

liquefazione in un deposito sabbioso saturo. 

È da notare che in livelli sabbiosi già sottoposti in passato a liquefazione lo 

scheletro solido assume configurazioni meno vulnerabili (cresce in pratica il 

grado di addensamento), che rendono meno probabile il ripresentarsi del 

fenomeno. 

Valutazione del sisma di progetto. 

La valutazione del terremoto di progetto, cioè dell’evento sismico di 

riferimento rispetto al quale effettuare la stima della suscettibilità del terreno 

alla liquefazione, può essere eseguita con metodologie diverse. Nel 

programma Liqeuf viene adottato un approccio probabilistico-statistico, 

quello di Gumbel, per ottenere la massima accelerazione di picco 

prevedibile nel sito per un determinato tempo di ritorno. Quella che segue è 

la procedura da utilizzare. 

1) Dal Catalogo Sismico si estraggono gli eventi sismici con epicentro 

ricadente all’interno di un’area di 200-300 km di lato (2-3 gradi di 

latitudine e longitudine circa) centrata sul sito indagato. 

2) Si trasformano i valori di intensità sismica degli eventi selezionati nei 

corrispondenti valori di magnitudo con la relazione, consigliata dal 

+ 1. 

93 

G.N.D.T., = 

1. 

78 

I 

M . 

3) Si calcola la distanza di ogni singolo epicentro dal sito indagato e 

quindi, applicando, una delle leggi di attenuazione sismica disponibili in 

letteratura, si stima il moto sismico nel sito per ognuno degli eventi. 

4) Si ordinano i valori di accelerazione (A) ricavati nel sito per ogni evento 

sismico in ordine crescente, attribuendo il numero 1 al valore massimo, 

il valore N a quello minimo. 

5) Si calcolano gli N rapporti Pi = i / (N + 1), con i compreso fra 1 e N. 

Questi rapporti indicano la probabilità che il corrispondente valore di A 

non venga raggiunto o superato. I valori di Pi ricavati permettono di 

definire la scala dei tempi di ritorno Ti = 1 / (1 - Pi).


6) Si riportano le N coppie di valori (Ti, Ai) in un diagramma 



consente di ricavare il valore di A per qualsiasi tempo di ritorno. 

Fra le leggi di attenuazione sismica più usate in letteratura e utili in questo 

ambito segnaliamo le seguenti: 

Pugliese e Sabetta: 

2 

Log10 A( 

g) 

= −1. 

845 + 0. 

363M 

− Log10 

D + 25 + 0. 

195S 

dove D è la distanza epicentrale in km e S è un coefficiente uguale a 0 per 

siti con copertura profonda e 1 per terreni con copertura superficiale; 

Kawashima: 

( ) 218 . 1 

b 

a10 

A( 

gal) 

= 

D + 30 

dove: 

Litologia a b 

Depositi consolidati 987,4 0,216 

Depositi medio consolidati 232,5 0,313 

Depositi soffici 402,8 0,265 

Metodi di calcolo della suscettibilità alla liquefazione. 

Escludendo dall'esame i metodi analitici e numerici più complessi (per es. i 

metodi agli elementi finiti) che risultano eccessivamente onerosi per i casi 

pratici più comuni, vengono qui presi in esame alcuni fra i più utilizzati 

metodi empirici e semplificati. 

Metodi di calcolo empirici. 

I metodi empirici vengono utilizzati generalmente per fornire una 

valutazione di massima della vulnerabilità di un deposito sabbioso saturo 

alla liquefazione, prendendo in considerazione solo i parametri geologicigeotecnici 

del sito. Accanto a questi si propone anche il metodo di 

Ambraseys, che fornisce, in funzione della distanza epicentrale del sito


indagato, la magnitudo di soglia del sisma necessaria per produrre la 

liquefazione in depositi suscettibili. 

Si tratta di metodi estremamente semplificati, di rapido e semplice impiego, 

utili in particolare per lavori di microzonazione sismica. 

Procedura di Sherif & Ishibashi (1978). 

Il metodo di Sherif & Ishibashi ammette che si possano verificare fenomeni 

di liquefazione solo nei livelli che presentino le seguenti caratteristiche: 

- siano costituiti da sabbie o sabbie limose; 

- si trovino sotto il livello statico della falda; 

- gli strati di copertura non abbiano spessore maggiore di 3 metri. 

Se questi requisiti sono presenti, si prosegue nell'elaborazione, prendendo in 

considerazione la granulometria e l'addensamento del deposito. Il metodo 

richiede che siano condotte su campioni dello strato potenzialmente 

liquefacibile analisi granulometriche. Le curve ricavate vanno confrontate 

con due profili granulometrici di riferimento, uno per granulometrie 

uniformi, l'altro per granulometrie estese (presenza di frazioni argillose o 

ghiaiose). In assenza di analisi granulometriche, va effettuata almeno una 

descrizione sommaria della litologia del deposito, da confrontare con i due 

profili.

FORMULA GEO VER.2.0


Verificato che la granulometria dello strato sia predisponente al manifestarsi 

di fenomeni di liquefazione, per poter emettere un giudizio definitivo sulla 

vulnerabilità del deposito occorre prendere in considerazione il suo grado di 

addensamento, valutato attraverso prove SPT o SCPT. Se il numero di colpi 

ricade, anche parzialmente, nella fascia A, il deposito è liquefacibile, se 

ricade nella fascia C non è liquefacibile. La fascia B infine riguarda strati in 

cui la liquefazione è possibile, ma non probabile. 

Criterio di Youd e Perkins (1978). 

Si tratta di un metodo di ancor più rapida e semplice applicazione del 

precedente. Sulla base del tipo di deposito sedimentario e della sua età, 

viene fornita un indicazione qualitativa del grado di vulnerabilità del 

deposito stesso. 

La probabilità di liquefazione è ricavabile dalla seguente tabella: 

Tipo deposito 

Età del deposito 


Lagunari Alta Moderata Bassa Molto bassa 

Litorali Alta Moderata Bassa Molto bassa 

Riempimenti artificiali 

Non compattati Molto alta ----- ----- ---- 

Compattati Bassa ----- ----- ---- 

Criterio del Chinese Building Code. 

Il Chinese National Code of Aseismic Design for Building (1974) presenta 

un metodo empirico per la valutazione della liquefacibilità di un deposito 

sabbioso sotto falda basato sull’utilizzo della prova S.P.T.. 

Il criterio consente di calcolare, in funzione del sisma di progetto, il numero 

di colpi SPT critico dello strato sabbioso: 

N 

cr 

= N 

0 

[ 0. 

9 + 0. 

1( 

d − d ) ] 

dove: 

N0 = parametro funzione del sisma di progetto secondo la relazione 

empirica N0=43.81ag+3 (ag = accelerazione sismica riferita 

all’accelerazione di gravità); 

ds(m) = profondità media dello strato sabbioso saturo; 

dw(m) = profondità media della falda; 

pc(%) = percentuale di fine presente (d≤0.005 mm) nello strato (se pc


La formula, nota una serie storica di eventi sismici, può essere utilizzata, 

con una procedura simile a quella vista nel paragrafo 4.4, per determinare la 

probabilità di superamento del valore di soglia per un sisma con un 

determinato tempo di ritorno. Quindi, chiamando M la magnitudo del sisma 

attesa nel sito per un determinato tempo di ritorno, se il rapporto M/Ms è 

maggiore o uguale a 1 sarà probabile il verificarsi di fenomeni di 

liquefazione. 

Metodi semplificati. 

Al contrario della maggior parte dei metodi empirici, quelli semplificati 

richiedono che venga definito un sisma di progetto, attraverso l'introduzione 

dell'accelerazione sismica orizzontale massima in superficie e della 

magnitudo di riferimento. 

I dati del sisma di progetto possono essere ricavati attraverso l’analisi 

probabilistica dei dati del Catalogo Sismico Nazionale (paragrafo 4.4) 

oppure, in alternativa, si possono utilizzare i valori proposti dal GNDT 

(Gruppo Nazionale di Difesa dai Terremoti) per le tre categorie sismiche 

previste dalla Legge. 

Coefficiente sismico Acc. Massima(g) 

12 0.35 

9 0.25 

6 0.15 

In questo ultimo caso rimane l’incognita della magnitudo di riferimento da 

utilizzare, che andrà in ogni caso desunta dai dati degli eventi sismici storici 

della zona. 

Tutti i metodi semplificati permettono di esprimere la suscettibilità alla 

liquefazione del deposito attraverso un coefficiente di sicurezza, dato dal 

rapporto fra la resistenza al taglio mobilitabile nello strato ( R ) e lo sforzo 

tagliante indotto dal sisma ( T ). Cioè in pratica si avrà: 

T 

R 

F s = . 

Un deposito dovrà essere considerato suscettibile di liquefazione, se il 

coefficiente di sicurezza sarà minore di 1.


La grandezza T dipende dai parametri del sisma di progetto (accelerazione 

sismica e magnitudo di progetto). R è funzione delle caratteristiche 

meccaniche dello strato, principalmente del suo stato di addensamento, e 

può essere ricavato direttamente attraverso correlazioni con i risultati di 

prove penetrometriche dinamiche, statiche o con i valori delle velocità delle 

onde S ricavati da stendimenti di sismica a rifrazione. 

Calcolo dello sforzo di taglio indotto dal sisma ( T ). 

La grandezza T viene ricavata attraverso la relazione: 

amax 

σv0 

T = 0. 

65 rd 

MSF ; 

g σv0 

' 

dove: 

amax = accelerazione sismica massima; 

g = accelerazione di gravità = 980.7 cm/s 2 ; 

σv0 = pressione verticale totale alla profondità z dal p.c.; 

σv0’ = pressione verticale efficace alla profondità z dal p.c.; 

rd = coefficiente funzione della profondità dal p.c., valutabile 

secondo il seguente schema: 

rd=1-0.00765z per z≤9.15 m 

rd=1.174-0.0267z per 9.157.5. 

2. 

56 

M 

Calcolo della resistenza al taglio mobilitata ( R ). 

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Seed e Idriss 

(1982)


Nel metodo di Seed & Idriss (1982) la resistenza alla liquefazione può 

essere stimata con la seguente formula: 

R = Na/ 

90 

con: 

Na 

⎛ 1. 

7 ⎞ 

= N spt ⎜ + N1 

v 0. 

7 ⎟ 

⎝σ 

+ ⎠ 

σv(kg/cmq) = pressione verticale efficace; 

N1 = 0 se d50(mm)>0.25, 7.5 se d50(mm)≤0.25. 

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs > 1.3. 

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Tokimatsu e 

Yoshimi (1983). 

Nel metodo di Tokimatsu & Yoshimi, inserito nella proposta di Normativa 

Sismica del G.N.D.T.(1984), la resistenza alla liquefazione assume la 


( ) ⎥⎦ ⎤ 

14 

0. 

21 

R = 0. 26⎡ 

⎢⎣ 

0. 

16 Na + Na 

con: 

Na 

⎛ 1. 

7 ⎞ 

= N spt ⎜ + N1 

v 0. 

7 ⎟ 

⎝σ 

+ ⎠ 

σv(kg/cmq) = pressione verticale efficace; 

N1 = 0 per una percentuale di fine pc< 5%, 10 pc+4 per pc≥5 % 

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs > 1.3 (sabbie 

sciolte) o Fs>1.5 (sabbie mediamente addensate). 

Da prove penetrometriche dinamiche – metodo di Iwasaki e al. 

(1984).


Nel metodo di Iwasaki e al. la resistenza alla liquefazione assume la 


⎛ 0. 

35 ⎞ 

R = 0. 

0882N 

'+ 

0. 

7 + 0. 

225 ⎜ 

⎟ 

spt v 

Log10 

⎝ d50 

⎠ 

σ 

(per d50


h =0.000003714. 

N60cs può essere valutato con la relazione: 

N60cs = f a + f b( 

CE 

CN 

Nspt) 

in cui: 

CN = fattore correttivo per l’approfondimento della prova = 

σv in kg/cmq); se CN è maggiore di 2 porre CN = 2; 

1 

( con 

σv 

CE = fattore correttivo per l’efficienza dell’infissione = ER/60 con ER 

l’efficienza del sistema d’infissione usato; 

fa = 0 per una percentuale di fine(FC)≤5%; 

= 

⎛ 190 

exp 

⎞ 

⎜1. 

76 − 2 ⎟ per 5


La grandezza (qc1n)cs rappresenta la resistenza alla punta normalizzata e 

corretta per tenere conto della percentuale di fine presente. 

Il calcolo di (qc1n)cs avviene attraverso i seguenti passaggi. 

• Si calcola la resistenza alla punta e l’attrito laterale specifico 

normalizzati con le relazioni: 

dove: 

qc 

−σv0 

Q = e F = 100 

σ ' 

q 

v0 

c 

f s 

−σ 

qc (kg/cmq) = resistenza alla punta misurata; 

fs (kg/cmq) = attrito laterale specifico misurato; 

σv0(kg/cmq) = pressione verticale totale; 

σv0‘(kg/cmq) = pressione verticale efficace. 

• Si calcola l’indice di tipo dello strato sabbioso con la formula: 

v0 

( ) ( ) 2 

2 

Log F + 1. 22 + Log − 3. 

47 

Ic = Q 

10 

• Si applica una correzione che tenga conto dell’approfondimento della 

prova: 

q c1 

n = CQ 

qc 

dove CQ ⎟ 

v 

⎟ 

⎛ 1 ⎞ 

= ⎜ 

⎝σ 

0' 

⎠ 

L’esponente n viene valutato come segue: 

• se Ic>2.6 allora n=1; 

• se Ic≤2.6 si calcola un primo valore di qc1n, utilizzando n=0.5; quindi 

si ricalcola Ic con la relazione: 

Ic 

( ) ( ) 2 

2 

Log F + 1. 22 + Log q − 3. 

47 

= 10 

10 c1n 

se il nuovo valore di Ic è ancora minore di 2.6 si conferma il valore 

n=0.5, altrimenti si ricalcola qc1n, utilizzando n=0.75; 

• se qc1n>2qc si pone qc1n=2qc . 

• Si introduce la correzione dovuta alla presenza di fine nel livello 

sabbioso: 

10 

n


qc1 n cs Kc 

qc1n 

) ( = , 

dove Kc è uguale a 1, se Ic≤1.64, ed è fornito dalla relazione: 

Kc 4 

= −0. 

403Ic 

3 

2 

+ 5. 

581Ic 

− 21. 

63Ic 

+ 33. 

75Ic 

−17. 

88 

in caso contrario. 

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs>1. 

Da sismica a rifrazione – metodo di Andrus e Stokoe(1997). 

La resistenza alla liquefazione di un deposito sabbioso può essere valutata 

anche attraverso la stima delle velocità delle onde S, partendo dai risultati 

ottenuti attraverso stendimenti di sismica a rifrazione. La relazione è la 

seguente: 

dove: 

2 

⎛ Vs1 

⎞ 0. 

9 

R = 0. 

03 + − 

⎜ ⎟ 

⎝100⎠ 

V 

s1c 

−V 

s1 

0. 

9 

V 

Vs1(m/s) = velocità delle onde S nello strato corretta = 

0' ⎛ 1 ⎞ 

V ⎜ 

⎟ s , dove 

⎝σv 

⎠ 

Vs è la velocità misurata e σv0‘(kg/cmq) è la pressione verticale 

efficace a metà strato; 

Vs1c(m/s) = valore critico delle onde S nel deposito, ricavabile attraverso il 

seguente schema: 

Vs1c(m/s)=220 se la percentuale di fine(FC)35%; 

interpolando per valori intermedi di FC. 

Viene considerato non liquefacibile un deposito in cui sia Fs>1. 

s1 

0. 

25


Interventi per ridurre il rischio di liquefazione. 

Vengono presentati gli elementi per un dimensionamento di massima di tre 

comuni tipi d'intervento miranti ad abbassare il rischio di liquefazione del 

terreno: 

• dreni di ghiaia; 

• metodi dinamici (vibrocompattazione e heavy tamping). 

Non vengono presi in considerazione altri interventi, come per esempio la 

gettiniezione (jet grouting), che hanno applicazioni più generali. 

Dreni di ghiaia. 

Si tratta di colonne verticali di ghiaia spinte all'interno dello strato 

liquefacibile. Un loro dimensionamento di massima può essere fatto per 

tentativi, fissando un diametro (d) del dreno (solitamente maggiore di 0.8m) 

e stimando la spaziatura fra un dreno e l’altro con la relazione: 

S( 

m) 

= d 

( 1+ 

e ) 

dove e0 è l’indice dei vuoti iniziale del livello sabbioso ed e quello che si 

vuole raggiungere ad intervento eseguito. L’indice dei vuoti può essere 

correlato alla densità relativa attraverso la relazione: 

emax 

− e 

Dr = 

emax 

−e 

min 

dove emax ed emin sono i valori dell’indice dei vuoti nel deposito che si hanno 

rispettivamente nelle condizioni di minimo e massimo addensamento. 

In una sabbia pulita sia ha emax ≅ 0.90 e emin ≅ 0.20. 

π 

e 

0 

0 

− e 

;


La densità relativa è a sua volta correlabile con i risultati di una prova SPT 

attraverso la relazione di Skempton: 

Dr = 

N spt 

32 + 0. 

288σv 

' 0 

Il metodo di calcolo è valido per una disposizione a maglia quadrata dei 

dreni. 

Compattazione. 

I metodi dinamici hanno lo scopo di aumentare la densità relativa del 

terreno per mezzo delle vibrazioni prodotte con speciali dispositivi. Nel caso 

di bonifica di depositi potenzialmente liquefacibili, i sistemi più utilizzati 

sono la vibrocompattazione e il metodo heavy tamping. 

Condizioni di applicabilità dei metodi dinamici 

L’efficacia degli interventi di compattazione dipende principalmente dalla 

granulometria del deposito. In livelli con un’elevata percentuale di fine i 

metodi dinamici sono scarsamente efficaci. Thorburn (1975) ha proposto 

uno schema di riferimento per la valutazione dell’applicabilità degli 

interventi. Solo i terreni, le cui curve granulometriche ricadono interamente 

all’interno della fascia di applicabilità proposta, sono bonificabili con queste 

metodologie.


Passante % 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Vibrocompattazione 

Strato n.1 Strato n.2 Limiti di applicabilità 

0,001 0,01 0,1 1 10 100 

La vibrocompattazione consiste nell' inserimento, con spaziatura regolare 

generalmente variante da 1 a 3 metri, di una apposita apparecchiatura 

vibrante nel terreno. L'effetto è quello di produrre localmente una 

densificazione del terreno, la cui entità è funzione della spaziatura delle 

verticali d'intervento. In particolare per sabbie pulite (contenuto in fini 


I valori di Nspti trovati andranno utilizzati in uno dei metodi semplificati per 

la stima del rischio di liquefazione, allo scopo di determinare l'efficacia 

dell'intervento (nuovi valori dei coefficienti di sicurezza). 

Si ricorda che il metodo risulta poco efficace per sabbie con più del 10% di 

contenuto in fini. Il procedimento può essere utilizzato fino a profondità 

comprese fra i 15 e i 20 metri. 

Heavy tamping 

Il metodo dell'heavy tamping consiste nel produrre un incremento della 

densità relativa degli strati liquefacibili attraverso le vibrazioni prodotte 

dallo impatto di una massa lasciata cadere ripetutamente sul terreno. 

Generalmente vengono utilizzati blocchi di calcestruzzo di alcune tonnellate 

di peso con un altezza di caduta che può arrivare fino a 20-30 metri. 

La procedura richiede normalmente 2-3 colpi per mq. Vista la difficoltà di 

stimare a priori l'efficacia dell'intervento è consigliabile eseguire al termine 

un controllo, eseguendo per esempio prove penetrometriche, allo scopo di 

accertare l'effettivo addensamento del terreno raggiunto. Le prove andranno 

spinte fino ad una profondità data da: 

D (m) = (0.65 - 0.80) Pm Hm; 

con: 

Hm (m) = volata della massa battente; 

Pm (t) = peso della massa battente. 

D(m) = profondità massima alla quale si risente l'intervento. 

Si ricorda che il metodo risulta poco efficace per sabbie con più del 10% di 

contenuto in fini.

FORMULA GEO VER.2.0 - PROGRAM GEO Brescia (2001) 

CADUTA MASSI 

Introduzione 

Per caduta massi s'intende il fenomeno di distacco e di successivo movimento verso valle 

di blocchi per lo più isolati e volumetricamente limitati (fino ad un massimo di alcuni metri 

cubi) da pareti rocciose particolarmente acclivi e tettonicamente disturbate. Il passaggio fra 

questo tipo di fenomeno gravitativo e le frane di crollo vere e proprie nella realtà è piuttosto 

sfumato: spesso viene fissato attraverso un criterio geometrico, classificando come frane di 

crollo quegli eventi che coinvolgono almeno alcune centinaia di metri cubi di materiale 

roccioso. Nella pratica ingegneristica è più utile però un criterio di tipo meccanico. Secondo 

tale criterio vanno trattati come fenomeni franosi quei movimenti gravitativi che mettono 

in gioco un'energia cinetica superiore a quella normalmente assorbibile dalle normali opere 

di difesa di tipo passivo (barriere e terrapieni paramassi, ecc.). Tale limite energetico può 

essere posto intorno ai 2000 kJoule. 

Lo studio del fenomeno di caduta massi ha lo scopo di individuare con una 

approssimazione accettabile: 

• la massima distanza percorribile dal masso distaccato; 

• la traiettoria più probabile o più sfavorevole per la realizzazione delle opere di difesa; 

• la massima energia d'impatto che dovrà essere dissipata dalla singola opera di difesa. 

A tal fine l'analisi del problema dovrà essere effettuata in due fasi distinte: 

• fase di rilievo in campagna dei dati relativi a distacchi avvenuti in passato; 

• fase di simulazione numerica complessiva dei distacchi prevedibili per il futuro. 

Analisi del fenomeno di caduta massi 

1


Rilievo di campagna 

Un'accurata indagine di campagna è indispensabile per permettere al geologo di fare 

previsioni sul cinematismo dei blocchi rocciosi in caduta. Non hanno alcun significato, ed 

anzi sono da ritenersi inutili ai fini del dimensionamento delle opere di difesa, le 

simulazioni numeriche non calibrate o calibrate in maniera insufficiente sui dati acquisiti in 

campagna. 

Il rilievo dovrà condurre all'individuazione: 

1) delle aree di distacco dei blocchi rocciosi; queste generalmente corrispondono alle zone 

più fratturate e di maggiore pendenza del versante e sono riconoscibili dalla presenza di 

superfici fresche di distacco, individuabili per il minor grado di alterazione rispetto alla 

parte rimanente dell'affioramento; su tali affioramenti sarà opportuno condurre un rilievo 

geomeccanico speditivo, al fine di caratterizzare l'ammasso roccioso dal punto di vista 

geometrico (numero di famiglie di discontinuità meccaniche, giaciture rappresentative 

delle singole famiglie, spaziature medie ecc...); utile è la stima del volume roccioso 

unitario massimo, calcolabile per es. attraverso la relazione di Hudson e Priest (1979) 

(1) 

V m = 

1 

8 

1 

s s 

(con s1, s 2, s3 = spaziature medie delle tre famiglie principali di discontinuità), che può 

fornire una indicazione delle dimensioni massime dei blocchi che si possono staccare dalla 

parete; 

2) delle traettorie più frequenti seguite dai massi in caduta; queste sono ricostruibili con una 

certa approssimazione individuando sul terreno i solchi lasciati dal rimbalzo o dal 

rotolamento dei singoli massi o i segni d'impatto lungo il pendio contro alberi, manufatti o 

affioramenti rocciosi; è importante anche segnalare le zone di possibile frammentazione 

del blocco roccioso in seguito all'urto contro ostacoli o superfici rigide, individuabili spesso 

per la presenza di schegge abbandonate dal masso nell'impatto; 

3) della distribuzione dei massi al piede del versante; andranno rilevate le distanze dei 

singoli massi dal piede del pendio ed i loro volumi; da questi dati potranno essere ricavati 

le distanze massime e più frequenti percorse dai massi ed i loro volumi massimi e più 

probabili. 

s 

2 

3 

2


Simulazione numerica 

Calibratura del modello 

La simulazione numerica del fenomeno di caduta massi ha lo scopo di permettere la 

costruzione di un modello che permetta di fare delle previsioni sul comportamento 

cinematico di singoli blocchi rocciosi distaccatisi dal versante. 

La calibratura del modello va effettuata sulla base dei dati acquisiti in campagna e non può 

essere considerata accettabile, se non è in grado di riprodurre la situazione osservata 

(traiettorie dei massi, distribuzione degli stessi al piede del versante, ecc...). 

Nel modello il moto viene supposto bidimensionale, cioè svolgentesi nel piano x,z, con il 

pendio discretizzato in una serie di segmenti retti. Il masso inoltre può essere supposto 

puntiforme, considerando cioè solo il moto del suo baricentro, o approssimato ad un 

ellissoide triassiale. 

Il modello richiede che vengano determinate due serie di parametri, una riguardante il 

blocco in caduta, l'altra il versante. 

1) Parametri del blocco roccioso: 

è richiesta l'introduzione delle seguenti grandezze: 

• volume del masso; 

• dimensione dei semiassi a,b,c dell'ellissoide che approssima il masso; 

• peso di volume apparente del blocco; 

• velocità iniziale lungo gli assi x e z (diversa da zero se il blocco è sollecitato 

inizialmente da altre forze oltre alla forza di gravità, per es. da un evento sismico); 

• eventualmente, minima energia d'impatto necessaria per la frantumazione del masso. 

2) Parametri del versante: 

E' richiesta l'introduzione per ogni singolo tratto di pendio di alcuni parametri necessari per 

il calcolo dell'interazione masso-versante. 

a)Coefficiente di restituzione (E) 

Viene definito come il rapporto fra la velocità prima e dopo (V1 / V0 dove V1 è la velocità dopo 

l'urto, V0 prima dell'urto) l'impatto del masso con il terreno; è uguale a zero nel caso di un 

urto completamente anelastico (tutta l'energia cinetica del blocco impattante viene 

3


dissipata sotto forma di calore e la velocità del masso dopo l'urto è uguale a zero), uguale 

a uno nel caso di urto completamente elastico (tutta l'energia cinetica viene conservata ed il 

masso avrà una velocità dopo l'impatto uguale a quella precedente l'urto, cioè V1=V0) e 

compreso fra 0 e 1 nel caso di urto parzialmente elastico (parte dell'energia cinetica viene 

conservata e parte dissipata sotto forma di calore; la velocità del masso sara data da V1= E 

x V0). 

Il valore di E è legato principalmente alla litologia ed alla morfologia del versante. Broili 

(1979) propone di assumere indicativamente valori di E compresi fra 0.75 e 0.8 per impatti 

su roccia o detrito di grossa pezzatura e tra 0.2 e 0.35 per impatti su materiale terroso. 

Altri Autori (Mazzalai, Vuillermin, 1995) propongono invece i seguenti valori indicativi: 

4


Tipo substrato E 

apice di conoide detritico 0,05 - 0,10 

bosco con sottobosco sviluppato, prato 0,05 - 0,15 

copertura detritica con vegetazione folta 0,10 - 0,15 

copertura detritica con vegetazione rada 0,20 - 0,30 

detrito eluviale di spessore ridotto 0,30 - 0,40 

strutture rigide e strade 0,40 - 0,60 

roccia affiorante fratturata 0,60 - 0,70 

roccia affiorante integra 0,75 - 0,85 

Volendo distinguere le compenti normale e tangenziale della velocità del blocco in caduta, 

si possono definire i parametri Ey e Ex (coefficienti di restituzione normale e tangenziale) 

come segue: 

Ey = V1n / V0n [V1n = velocità normale (perpendicolare alla superficie topografica) del 

masso dopo l'urto; V0n = velocità normale del masso prima dell'urto]; 

Ex = V1t / V0t [V1t = velocità tangenziale (parallela alla superficie topografica) del masso 

dopo l'urto; V0t = velocità tangenziale del masso prima dell'urto]. 

Per i valori indicativi di Ey e Ex si presentano qui quelli proposti da Piteau e Clayton (1987) 

e da Hoek (1987). 

Piteau e Clayton 

Tipo substrato Ey Ex 

Roccia compatta 0,8 - 0,9 0,65-0,75 

Detrito misto a grossi massi 0,5 - 0,8 0,45-0,65 

Detrito compatto con piccoli massi 0,4 - 0,5 0,35-0,45 

Scarpate ricoperte da vegetazione 0,2 - 0,4 0,2 - 0,3 

5


Hoek 

Tipo substrato Ey Ex 

Roccia compatta e pulita 0,53 0,99 

Strada asfaltata 0,40 0,90 

Roccia coperta con grossi massi 0,35 0,85 

Conoidi di detrito 0,32 0,82 

Conoidi di detrito con vegetazione 0,32 0,80 

Suolo soffice 0,30 0,80 

b) Angolo d'attrito masso-versante (j ) 

Nei tratti di pendio in cui il masso si muove rotolando o scivolando, l'energia cinetica viene 

dissipata attraverso l'attrito che si sviluppa fra blocco e versante. Quest'attrito viene 

introdotto nel calcolo attraverso il parametro angolo d'attrito masso-versante. Nel caso di 

un blocco che rotola ϕ generalmente possiede valori compresi fra 20° e 35°, con i valori 

inferiori corrispondenti a tratti di pendio in roccia e privi di scabrosità. Nel caso di un 

blocco che scivola (per es. nel caso di un masso lastriforme che si muove tenendo a 

contatto con il terreno la faccia arealmente più estesa) l'attrito ovviamente è superiore. 

Cocco (1991) propone di considerare per la stima dell'angolo d'attrito terra-masso in fase di 

rotolamento tre componenti distinte legate rispettivamente alla natura del terreno, alla 

copertura vegetale e alle asperità del terreno in relazione alle dimensioni del masso. Ogni 

componente fornisce un contributo, dalla cui somma si ottiene l'angolo d'attrito totale. 

Questi i valori dei parametri parziali: 

Natura del terreno Contributo parziale (°) 

Roccia nuda 19,5 

Detrito 21,0 

Alluvioni 26,5 

Morena 26,5 

6


Copertura vegetale Contributo parziale (°) 

Terreno nudo 0,0 

Prato 3,0 

Arbusti 3,5 

Frutteto 6,0 

Bosco ceduo 4,5 

Bosco d'alto fusto 8,5 

Asperità del terreno Contributo parziale (°) 

Nessuna 0 

Piccola 3 

Media 7 

Elevata 11 

c) Frammentazione di un blocco 

Massi che presentano al loro interno superfici di debolezza meccanica (per es. giunti di 

strato) possono, in seguito ad un impatto violento, dividersi in due o più frammenti che 

proseguono il loro movimento verso il piede del versante in maniera indipendente. La 

frammentazione avviene più probabilmente in tratti ben delimitati del pendio in seguito, per 

esempio, ad impatto con ostacoli rigidi. Nella modellazione del fenomeno, si può operare 

inserendo un valore di energia minima d'impatto per il masso oltre la quale si ha la sua 

rottura, oppure, sulla base delle osservazioni effettuate in campagna, si può definire la 

probabilità, per ogni tratto di versante, che in seguito ad un urto il blocco si frantumi (una 

probabilità di frantumazione del 20% in questo caso indicherebbe che il 20% dei massi che 

colpiscono quel tratto di pendio si frantumano). 

Non può invece essere presa in considerazione la possibilità di frantumazione esplosiva 

del blocco roccioso, che si può verificare, in seguito ad impatti particolarmente violenti, 

per la propagazione di un'onda d'urto all'interno del masso. Non è ancora stata messa a 

punto, infatti, una procedura matematica per la simulazione di questi eventi, caratterizzati 

da una velocità dei frammenti molto elevata (30-70 m/s) e da traiettorie di notevole gittata 

(50-160 m) (Paronuzzi, 1989). 

I parametri qui definiti ed in particolare quelli relativi all'interazione masso-versante 

andranno inseriti nel modello procedendo a tentativi, fino ad ottenere simulazioni di 

distacchi con traiettorie compatibili con quelle osservate o ricostruite sul terreno. 

7


Equazioni del moto 

Trascurando la resistenza dell'aria, le forze che condizionano il moto del masso in 

movimento lungo il versante sono la forza di gravità e l'attrito masso-pendio. 

Vengono distinti nella simulazione numerica i tratti di versante in cui il moto avviene per 

caduta libera da quelli in cui avviene per rotolamento o scivolamento. I calcoli vengono 

eseguiti sulla base delle equazioni proposte da Piteau e Clayton (1977) e da Bassato et al. 

(1985). 

a. Masso in caduta libera e traiettoria da saltellamento 

Questo tipo di moto è dominante in pendii con inclinazione superiore ai 45° (Ritchie, 

1963). 

Il masso inizialmente si muove senza mantenere il contatto con il pendio. La velocità finale 

di caduta del masso, cioè quella posseduta immediatamente prima dell'impatto con il 

terreno, secondo le equazioni della meccanica, è data da: 

con 

(2) V = √ 2 x g x d; 

g = 9.807 m/s 2 , accelerazione di gravità; 

d = distanza percorsa in aria dal masso. 

In seguito all'urto con il terreno il blocco viene proiettato in avanti con una velocità data 

da: 

con 

(3) V = √(Vi x senβ) 2 x E + (Vi x cosβ) 2 x (E x 0.3 Log E ); 

Vi = velocità d'impatto; 

β = angolo d'incidenza della traiettoria del masso rispetto 

al versante; 

E = coefficiente di restituzione dell'energia. 

Per quanto riguarda la determinazione dell'angolo di proiezione del blocco nel rimbalzo 

dopo l'impatto (angolo θ), l'esperienza dimostra che non è da ritenersi valida l'assunzione, 

spesso usata nelle simulazioni numeriche, che sia uguale all'angolo d'incidenza. Nella 

simulazione in pratica si può procedere in due modi differenti: si può considerarlo come un 

parametro variabile in maniera del tutto casuale o porlo in funzione di altre grandezze, in 

particolare del coefficiente di restituzione E. Le esperienze condotte da vari Autori 

evidenziano per l'angolo θ valori compresi fra l'orizzontale e la superficie topografica 

qualunque sia l'angolo d'incidenza (Paronuzzi, 1989). Tali valori possono essere 

8


considerati in pratica distribuiti in maniera casuale, in quanto influenzati spesso dalla 

presenza di piccole asperità od ostacoli nel terreno. In alternativa spesso viene utilizzata 

una correlazione con il coefficiente di restituzione E: 

(4) tg θ = E x tg β; 

dove β è l'angolo d'incidenza del masso. 

Data però l'approssimazione con cui è nota la grandezza E, tale approccio andrebbe 

utilizzato solo nell'ambito di una procedura d'analisi di tipo probabilistico (per es. con il 

metodo di Montecarlo). 

b. Masso in rotolamento o scivolamento 

Questo tipo di moto è dominante in pendii con inclinazione inferiore ai 45° (Ritchie, 

1963). 

Il blocco, nel caso di rotolamento, si muove con un moto di rototraslazione lungo il 

pendio, attraverso una serie di piccoli rimbalzi o, nel caso di scivolamento, con un moto di 

traslazione pura, mantenendo il contatto con la superficie del pendio lungo una faccia, 

generalmente la più estesa arealmente. 

La velocità finale del masso al termine del tratto di pendio considerato può essere valutata 


(5) V = √ Vi 2 + (10/7) x g x s x (tg α - tgϕ) 

nel caso di moto per rotolamento, o con la formula: 

(6) V = √ Vi 2 + 2 x g x s x (sen α - tg ϕ x cosα) 

nel caso di moto per scivolamento, 

con 

Vi = velocità iniziale lungo il tratto di pendio considerato; 

s = distanza percorsa dal masso lungo il tratto; 

α = inclinazione del pendio; 

ϕ = angolo d'attrito terra-masso. 

Il passaggio da un moto di rotolamento ad uno di scivolamento, nel caso di un masso 

approssimato da un ellissoide triassiale, avviene quando è verificata la relazione: 

dove: 

(7) E < ΔH x g x m; 

ΔH = differenza fra il semiasse maggiore a e quello minore c (a- 

9


c); 

g = accelerazione di gravità; 

m = massa del blocco; 

E = E = 0,5 x m x V 2 + 0,5 x I x ω 2 , energia totale posseduta dal 

masso; 

V = velocità del blocco; 

I = momento d'inerzia del blocco, uguale a (2/5)mR per un 

masso sferico; 

ω = velocità angolare del blocco (velocità di rotazione del 

masso). 

Nel caso di un blocco sferico ΔH =0, per cui il moto avverrà in pratica solo per 

rotolamento. 

Analisi con metodi probabilistici - Metodo di Montecarlo. 

L'incertezza insita nella scelta delle grandezze da introdurre nella simulazione di caduta 

massi, ed in particolare nei parametri E (coef.di restituzione), ϕ (angolo d'attrito massoversante), 

e V (volume del masso in caduta). consiglia un approccio di tipo probabilstico al 

problema. 

Il metodo probabilistico generalmente utilizzato è quello di Montecarlo. 

Il metodo di Montecarlo si basa sulla generazione di numeri casuali, scelti in determinati 

intervalli, che godano nel complesso di proprietà statistiche. Fra le varie applicazioni 

possibili di tali metodi, vi è quella detta 'del campionamento' che consiste nel dedurre 

proprietà generali di un insieme grande, studiandone solo un sottoinsieme casuale, 

giudicato rappresentativo dell'insieme stesso. E' evidente che maggiori saranno le 

dimensioni del campione random, più rappresentative potranno essere considerate le 

proprietà dedotte. 

Nel caso di applicazione del metodo alla simulazione di caduta massi, la procedura da 

seguire è la seguente: 

• si genera la distribuzione delle variabili aleatorie E (coef. di restituzione), ϕ e V 

misurate in situ o stimate, supponendo che sia di tipo gaussiano ( cioè rappresentate da 

una curva a campana, con il valore centrale corrispondente al valore medio); 

• attraverso un generatore di numeri casuali, si crea una serie, estesa quanto si vuole, di 

valori numerici compresi fra 0 e 1; 

• si associa ad ogni valore numerico casuale della serie un valore di E, ϕ e V, rispettando 

la curva di distribuzione delle probabilità di queste grandezze (facendo cioè in modo 

che la frequenza con cui un certo parametro viene chiamato nel calcolo sia uguale alla 

sua probabilità ricavata dalla curva gaussiana di probabilità del parametro stesso); in 

questo modo si trasforma la serie di numeri casuali generati nel punto precedente in una 

serie di coppie di valori di E, ϕ e V; 

• si esegue la simulazione per ogni terna di valori E, ϕ e V. 

10


L'andamento delle traiettorie di caduta collegata ad ogni terna di E, ϕ e V consente di 

valutare l'influenza della dispersione dei valori di questi parametri sui percorsi di caduta. 

Normalmente per ottenere distribuzioni stabili delle traiettorie sono necessarie alcune 

centinaia di verifiche. 

11


Dimensionamento delle opere di difesa 

Valutata attraverso la simulazione numerica la distribuzione delle traiettorie dei massi in 

caduta lungo il pendio, può essere effettuato un primo dimensionamento delle opere di 

difesa. Queste opere devono essere in grado di intercettare i blocchi rocciosi in caduta e di 

resistere alle sollecitazioni prodotte dagli impatti. 

Vanno effettuate quindi due tipi di verifiche: 

1. Verifica al superamento per proiezione 

Si ripete la simulazione numerica della caduta massi, facendo variare la posizione e 

l'altezza delle opere di difesa. Si valuta quindi di volta in volta come varia la distribuzione 

degli arrivi dei massi a valle e la possibilità, attraverso l'esame delle traiettorie, che i 

blocchi scavalchino le singole opere. 

Alla fine andrà ovviamente adottata quella combinazione di opere che permettano di 

raggiungere la massima efficienza nell'intercettazione dei massi. 

2. Verifica al superamento per sfondamento 

L’opera di difesa deve essere in grado di resistere all'impatto e di dissipare 

l'energia cinetica posseduta dal masso, data da: 

con 

(8) Ec = (1/2) x m x V 2 + (1/2) x I x w 2 ; 

m = peso del masso; 

g = accelerazione di gravità; 

V = velocità di traslazione del baricentro del masso; 

I = momento d'inerzia del blocco; 

w = velocità angolare del blocco. 

Dalla (8) si nota che l'energia cinetica totale posseduta dal masso è data dalla somma di 

una componente dovuta al moto di traslazione del baricentro del blocco ( 0,5 x m x V 2 ) 

ed una legata al moto di rotazione del masso intorno al baricentro stesso ( 0,5 x I x w 2 ). 

Normalmente la seconda componente viene trascurata per la difficoltà di stimare il valore 

della velocità angolare. 

Vengono qui prese in considerazione tre tipi di opere di difesa: le barriere paramassi 

rigide elastiche ed i terrapieni paramassi. Vengono invece trascurate tutte le opere di 

12


difesa attiva (reti addossate, ecc...), che non necessitano di simulazioni numeriche delle 

traiettorie di caduta. 

Barriere paramassi rigide ed elastiche 

Si tratta di reti in fune d'acciaio sostenute da puntoni ancorati nel terreno, poste in opera in 

un numero dispari di campate. L'energia dell' impatto viene 

dissipata dalla deformazione delle funi della rete ed eventualmente, nel caso delle 

paramassi flessibili, anche dai dissipatori di energia. 

Vengono generalmente fatte due ipotesi sulle condizioni d'impatto. 

1) L'urto viene assorbito dalla rete. 

Nella maggioranza dei casi il masso colpisce la rete, che dissipa l'energia cinetica 

dell'impatto trasformandola in calore attraverso la deformazione delle funi d'acciaio. La 

quantità di energia dissipata è calcolabile attraverso la relazione: 

(9) Ed(kgcm) = [ (1/2) x M x Af x Al 2 / L ] x Nf; 

con 

M = modulo elastico delle funi, generalmente intorno ai 220.000 

kg/cmq; 

Af(cmq) = π x Df 2 , area trasversale delle funi 

Df(cm) = diametro delle funi; 

Al(cm) = (ap/100) x L, allungamento massimo delle funi; 

ap = allungamento percentuale della fune, di solito l'8%; 

L(cm) = lunghezza totale della singola fune; 

Nf = numero di funi coinvolte nell'impatto. 

Per la stima di quest'ultimo parametro occorre tener presente l'interasse delle funi e 

confrontarlo con le dimensioni del masso atteso. 

Nelle barriere elastiche, nel caso in cui l'energia dissipabile dalla rete sia minore di quella 

prevista per l'impatto più violento (Ed


con 

Ecmax - Ed = frazione di energia cinetica non dissipata dalla deformazione della 

rete; 

Lc = lunghezza del cappio, generalmente 90 cm; 

Nf = numero di dissipatori che entrano in funzione. 

La pressione di serraggio dei blocchetti di frizione è data invece da: 

con 

(11) Ps(kg/cmq) = Ef / (Ca x Sc); 

Ca(cm) = coefficiente d'attrito acciaio-acciaio, generalmente uguale a 0.2; 

Sc(cmq) = [(2/3)x(π x Df)-(0.2 x 0.2)]x l, superficie di contatto funeblocchetto; 

Df(cm) = diametro della fune; 

l(cm) = lunghezza del contatto fune-blocchetto. 

2) L'urto viene assorbito dai puntoni. 

Nella previsione di un'impatto con uno dei puntoni d'acciaio che sostengono le reti, occorre 

verificare la quantità di energia dissipabile nell'urto e la necessità di eventuali ancoraggi. 

L'energia cinetica dissipata è data da: 

(12) Edp(kgcm) = (1/2) x F 2 x [ H 3 /(3 x Ma x Ja)]; 

con 

F(kg) = Mra x Sa/ H , massima forza assorbita dal puntone in fase 

elastica; 

Mra(cm 3 ) = modulo di resistenza dell'acciaio; 

Sa(kg/cmq) = resistenza a trazione dell'acciaio; 

H(cm) = altezza fuori terra del puntone; 

Ma(kg/cmq) = modulo elastico dell'acciaio; 

Ja(cm 4 ) = momento d'inerzia dell'acciaio. 

La corrispondente massima deformazione elastica dell'acciaio è data da: 

(13) Dmax(cm) = F x [H 3 /(3 x Ma x Ja)]; 

l'energia dissipata dalla deformazione elastica del puntone è sempre molto modesta, se 

confrontata con le energie massime degli impatti. Spesso, nelle barriere elastiche, si 

ancorano i puntoni in testa, per permettere l'assorbimento dell'energia eccedente. 

14


Supponendo che la deformazione dei puntoni rimanga in fase elastica, l'energia cinetica 

assorbita dagli ancoraggi sarà data da: 

(14) Eda(kgcm) = [(1/2) x Mf x Af x Def 2 /H] x Nf; 

con 

Mf(kg/cmq) = modulo elastico della fune; 

Af(cmq) = πx (Df/2) 2 , area trasversale della fune 

Def(cm) = Dmax/cos 2 (τ), allungamento della fune relativa alla massima 

deformazione elastica del puntone; 

τ = angolo fra ancoraggio e puntone; 

Nf = numero degli ancoraggi sollecitati. 

Se si prende in considerazione però la massima deformazione che può essere assorbita 

dalle funi si ottiene: 

(15) Eda(kgcm) = [(1/2) x Mf x Af x Defmax 2 /H] x Nf; 

con 

Defmax(cm) = (Almax /100) x Lc, allungamento massimo sopportabile dalla 

fune d'acciaio; 

Almax = allungamento percentuale massimo della fune; 

Lc(cm) = lunghezza totale della fune. 

Terrapieni paramassi 

Si tratta di una struttura in terra a geometria trapezia, a volte sostenuta da un muro o da una 

gabbionata a monte, completata spesso dalla presenza di un fossato (rocktrap) rivestito da 

materiale a basso coefficiente di restituzione elastico (per es. ghiaia). 

Per il dimensionamento dell'opera vanno effettuate le comuni valutazioni previste per i 

manufatti di materiali sciolti e cioè il calcolo della capacità portante limite e d'esercizio del 

terreno di fondazione, i cedimenti prevedibili 

dello stesso e il calcolo della stabilità dei due lati, a monte e a valle, del terrapieno. 

Per la posa in opera si deve, secondo la comune procedura, stendere il materiale in strati di 

limitato spessore e provvedere di volta in volta al loro costipamento. 

Il manufatto inoltre agisce come sovraccarico sul pendio, alterando la distribuzione 

generale degli sforzi nel terreno. E' quindi necessario verificare l'influenza del terrapieno 

sulla stabilità globale del versante attraverso i comuni procedimenti di analisi 

dell'equilibrio limite (metodi di Bishop semplificato, di Janbu semplificato, ecc...). 

15


A differenza delle barriere paramassi elastiche, un terrapieno dissipa l'energia cinetica 

d'impatto del masso attraverso il lavoro che il masso stesso deve compiere per penetrare 

nella struttura in terra. Va quindi calcolata la profondità di penetrazione del blocco 

roccioso e verificata che sia inferiore allo spessore dell'opera. In caso contrario il 

manufatto va considerato sottodimensionato. 

La profondità di penetrazione può essere valutata con la relazione di Kar (1978), nel caso 

d'impatto diretto con il materiale terroso: 

(16)Zf=[27183/ √(s)] x Nf x (E/ Ea) 1.25 x [P / (d 2.31 )] x (V/1000) 1.25 

con 

s = resistenza alla compressione semplice del terreno (kN/mq); 

Nf = fattore di forma del masso(1 per corpi appuntiti, 0.72 per corpi piatti); 

E = modulo di elasticità del blocco roccioso (kN/mq); 

Ea = modulo di elasticità medio dell'acciaio (circa 206.850x 10 3 ) (kN/mq); 

P = peso del masso (kg); 

d = diametro impronta impatto (m); 

V = velocità d’impatto (m/s). 

La profondità di penetrazione è quindi data da: 

(17) z(cm) = sqr(Zf) x 2 x d, se z/d 2 

Nella pratica, vista la doppia soluzione possibile [(17) e (18)], andrà preso in 

considerazione il valore maggiore, e si dovrà verificare che la rispettiva condizione z/d sia 

rispettata. In caso contrario si assumerà come risultato valido l'altro valore calcolato. 

Nel caso il terrapieno sia sostenuto a monte da un muro o da una gabbionata la (16) va 

riscritta nel seguente modo: 

(19)Zf=[120328/√(s)] x Nf x (E/ Ea) 1.25 x [P / (d 2.8 )] x (V/1000) 1.8 

Se dal calcolo della (19) risultasse che il masso penetra per una profondità superiore allo 

spessore del muro o della gabbionata, occorrerà valutare la velocità residua del blocco 

come segue: 

con 

(20) Vr = (V 1.25 - Vm 1.25 ); 

V = velocità d'impatto del masso; 

Vm = velocità minima necessaria per attraversare il muro o la gabbionata, 

valutabile ponendo il valore dello spessore del muro al posto del 

parametro z nella (17) o nella (18) (a seconda del rapporto z/d 

16


risultante), determinando quindi Zf e risolvendo la (19) rispetto a V. 

La penetrazione del masso dotato di una velocità residua Vr nel terreno costituente il 

terrapieno potrà essere quindi calcolata con la (16). 

Nota la profondità di penetrazione del masso, può essere eseguita una stima 

della forza impulsiva generata dall'impatto. 

Nell'ipotesi di comportamento elasto-plastico del terreno costituente il terrapieno e di un 

carico dinamico variabile nel tempo, la forza impulsiva massima generata dal masso può 

essere calcolata con la relazione di Mc Carty e Carden (1962): 

con 

(21) Fmax(kgf) = K x m x V / T; 

K = costante posta uguale generalmente a 2.022; 

m (kgf) = P/g, massa del blocco roccioso; 

P(kg) = peso del masso; 

g = accelerazione di gravità(9.807 m/s 2 ); 

V(m / s) = velocità d'impatto del masso; 

T (s) = durata dell'impatto; 

Problematica è la determinazione del parametro T, per il quale Kar (1979) e 

Knight (1980) propongono la seguente relazione: 

con 

(22) T(s) = 3.335 x z / V; 

z(m) = profondità di penetrazione del masso; 

V(m / s) = velocità d'impatto del masso. 

17

PROVE PENETROMETRICHE DINAMICHE S.P.T O S.C.P.T Le ...

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