36 Schwerpunkt: Abrechnung Beispiel aus den USA Statistik für die Abnahme von Straßenbaumaßnahmen Mit rund 6,6 Mio. km besitzen die USA das längste Straßennetz weltweit. (Quelle: Pixabay) Es verwenden 31 Straßenbauverwaltungen der US-Bundesstaaten die Untersuchungsergebnisse der Auftragnehmer für die Abnahme und Abrechnung von Straßenbaumaßnahmen. Entsprechend der US- Bundesverordnung 23 CFR 637B ist die Nutzung von Auftragnehmer- Untersuchungsdaten für die Abrechnung von Baustoffen möglich. Diese Untersuchungsdaten sind allerdings durch die Auftraggeber der Straßenbauverwaltungen der Bundesstaaten zu validieren. Dafür kommen gewöhnlich Hypothesentests – insbesondere F-Tests und t-Tests – zur Anwendung, um zu überprüfen, ob die Ergebnisse der Untersuchungsdaten des Auftragnehmers und des Auftraggebers aus derselben statistischen Population stammen. Von Lothar Drüschner 7|2022
Schwerpunkt: Abrechnung 37 Im Rahmen des National Cooperativ Highway Research Program (NCHRP) wurde wegen der unterschiedlichen Interpretationen des Abnahmeverfahrens durch die Straßenbauverwaltungen eine Überprüfung ((Formel dieses 1)) Abnahmeverfahrens vorgenommen, dessen Ergebnis im Re search Report 946 [1] veröffentlich ist. Dieser Report bildet die Grundlage für diesen Beitrag. Es zeigte sich, dass nur rund ein Drittel der Auftraggeber dieses ((Formel Verfahren 2)) sachgerecht durchführten und über die Hälfte der Auftraggeber verwendeten ausschließlich Untersuchungsergebnisse der Auftragnehmer. Es werden auch geteilte Proben anstelle von unabhängigen Einzelproben ((Formel 3)) miteinander verglichen und es werden ungerechtfertigte Wiederholungstest veranlasst. Dass diese Abnahmemethodik zu Fehlern und zu falschen Zahlungsentscheidungen führen ((Formel 4)) können, ist offensichtlich. Grundsätzlich wird jedoch diesem Abnahmeverfahren misstraut und es wurde anhand von anderen Untersuchungen Fehlverhalten und Betrug festgestellt. Außerdem sind in dem ((Formel Research 5)) Report 946 Hinweise zur Durchführung für die statistische Abnahme enthalten, auf die im Folgenden eingegangen wird. ((Formel 6)) Statistische Testverfahren Faktor t 5;0,05 = 2,571 aus der t-Tabelle anstelle von 1,96 bei einer Standardnormalverteilung entsprechend der Beziehung (x̅ - t √n ⋅ s) ≤ µ ≤ (x̅ + t √n ⋅ s) für µ = 3,9 ± 0,21 %. Somit liegt das Konfidenzintervall innerhalb der Grenzen µ u = 3,69 % und µ o = 4,11 % (Abb. cu 1). Es = µ könnte - t ∙ s auch die Aussage getroffen werden, dass der √n wahre Wert innerhalb dieses Konfidenzintervalls mit der Sicherheit von 95 % zu finden sein wird. Bei dem Hypothesentest zeigt der Auftragnehmer an, co dass = µ ein + t vereinbarter ∙ s √n Bindemittelgehalt von 4,0 % vorliegt. Diese Hypothese wird als Nullhypothese H 0 bezeichnet und beschreibt den Annahmebereich. Die Grenzen für den Annahmebereich können mit den Abkürzungen µ1 = µ2 und σ1 = σ2 µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 Die American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) hat ein Handbuch herausgege- ((Formel 7)) µ1 ≠ µ2 und σ1 ≠ σ2 ben, das die Validierung der Untersuchungsergebnisse des Auftragnehmers und des Auftraggebers beschreibt. Es werden zwei Methoden vorgeschlagen, ((Formel 8)) von denen die F̂ = ( s 1 ) 2 für s1 > s2 s eine auf Hypothesentests und die andere auf dem Vergleich der Auftragnehmertests mit einer Untersuchung 2 Konfidenzintervall durch den Auftraggeber basiert. In der Regel werden für die Hypothesentests F- und t-Tests angewendet, wobei ((Formel 9)) t̂ = |x̅1− x̅2| ‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5 die Daten der Auftraggeber und der Auftragnehmer die √ s 1 2 Mittelwerte mit dem t-Test und die Varianzen mit dem n1 + s 2 µ u = 3,69 % xx = 3,90 % µ o = 4,11 % n2 F-Test verglichen werden. Der Hypothesentest prüft die Abb. 1: Beispiel für Konfidenzintervall (Quelle: Drüschner) sogenannte Nullhypothese H 0 auf ihren Wahrheitsgehalt in der Weise, dass für die vorliegenden Daten bei einem ( bestimmten Signifikanzniveau α eine Ablehnung verneint wird. Dazu ein Beispiel: 1 / nn 1 ) + (s 2 / n 2 ) s 1 2 n1 + s 2 n1 ((Formel 10)) ) df = (s 2 n1− 1 n2− 1 Es wird für eine Baumaßnahme ein Asphalt mit einem Bindemittelgehalt von 4,0 % vereinbart. Es sind insgesamt sechs Bindemittelgehaltsbestimmungen für diese Baumaßnahme ausgeführt worden. ((Formel Der Mittelwert 11)) x¯ ergab t̂ = |x̅d| √nn s d sich zu 3,9 % bei einer Standardabweichung s von 0,20 %. Wie bei technischen Bewertungen üblich, wird mit dem Signifikanzniveau α = 0,05 gerechnet, das entspricht einer statistischen Sicherheit von 95 %. Bei kleinen Stichproben, wie sie hier vorliegen, wird anstelle der Standardnormalverteilung die t-Verteilung angewendet. Ergänzend soll an dieser Stelle der Unterschied zwischen dem Konfidenzintervall und dem Hypothesentest erläutert werden. Beim Konfidenzintervall wird eine Schätzung des Mittelwertes µ auf Basis der Stichprobe von n = 6 Bindemittelgehaltsbestimmungen mit einem Stichprobenmit- Annahmebereich ‐5 Ablehnungsbereich xx = 3,9 % µ = 4,0 % bereich ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3Ablehnungs‐ 4 5 telwert x¯ = 3,9 % vorgenommen. Anhand dieses Beispiels ergibt sich das Konfidenzintervall mit dem Freiheitsgrad df (df steht für degree of freedom) von n – 1 = 5 mit dem Abb. 2: Beispiel für Hypothesentest 7|2022
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