40 Schwerpunkt: Abrechnung Auftraggeber Auftragnehmer σ 2 Prüfung σ 2 Material + σ 2 Herstellung + σ 2 Probenahme + σ 2 Prüfung unabhängige Proben σ 2 Material + σ 2 Herstellung + σ 2 Probenahme ‐ σ 2 Prüfung geteilte Proben Abb. 4: Varianzkomponenten für unabhängige und geteilte Stichproben Abb. 5 Kumulative Stichprobentechnik ((Formel 1)) den. In dem Beispiel in Abb. 5 werden zunächst die Lose 1, 2 und 3 zusammengefasst, sodass der Auftraggeber 3 Proben und der Auftragnehmer 15 Proben zu untersuchen hat. Die Ergebnisse aus den Losen ((Formel 1 bis 3 werden 2)) als KVV 1 bezeichnet und bewertet. Im Folgenden wird das Los 1 ausgelassen und die Ergebnisse der Lose 2, 3 und einem weiteren Los, in diesem Beispiel Los 4, zum KVV 2 zusammengeführt und bewertet. Dieses ((Formel Verfahren 3)) wird fortgesetzt, bis ein nicht konformes Los vorliegt. In diesem Fall wird ein neues KVV gestartet. Dieses Verfahren scheint in Europa oder in Deutschland kaum möglich zu sein, da in ((Formel 4)) der Regel in den USA die Bauabschnitte größer sind. In dem Fall 2 werden durch den Auftraggeber der Straßenbauverwaltungen in der Regel mindestens drei Proben und durch den Auftragnehmer ((Formel sechs 5)) oder mehr Proben untersucht. Diese Stichprobengröße ist ausreichend für eine Validierung mit dem F- und t-Test, wobei allerdings eine noch größere Stichprobenanzahl ((Formel 6)) das Risiko des Auftraggebers und des Auftragnehmers minimieren würde. Der Fall 3 repräsentiert eine große Stichprobe und ((Formel 7)) wurde von einer Straßenbauverwaltung angewendet. Dieser Auftraggeber hatte alle Stichprobenergebnisse eines großen Bauvorhabens zu einem einzigen Los zusammengefasst. Diese Maßnahme kann zu einem ((Formel 8)) F̂ = ( s 1 ((Formel 9)) (x̅ - t Nachteil ⋅ für s) ≤ den µ ≤ Auftragnehmer (x̅ + t ⋅ s) √n √n führen, wenn eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse nicht vorliegt. Seitens der Verfasser des NCHRP Research Report 946 werden für große cu = µ - Losgrößen t ∙ s bis zu 20 Proben genannt. Das gilt √n jedoch nicht für kleine Bauvorhaben. Testverfahren co = µ + t ∙ s √n Für die Validierung der Untersuchungsergebnisse ist zunächst eine Ausreißerprüfung vorzunehmen, die nach den Vorgaben der American Society for Testing and Materials ASTM E178 erfolgen soll. Dazu müssen von den µ1 = µ2 und σ1 = σ2 Untersuchungsergebnissen die Mittelwerte x¯ und Standardabweichungen s vorliegen. Außerdem ist die Signifikanzschranke, µ1 = µ2 und σ1 ≠ z. σ2 B. α = 0,05, für den Freiheitsgrad df = n festzulegen. Liegt der vermutete Ausreißer außerhalb der Grenzen Max und Min, kann dieser Wert als Ausreißer bezeichnet werden: µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 Max = x¯ + t · s und Min = x¯ - t · s Die erste Validierung der Untersuchungsergebnisse µ1 ≠ µ2 und σ1 ≠ σ2 der Straßenbauverwaltung und des Auftragnehmers erfolgt mit dem F-Test und dem t-Test. Der F-Test folgt der Beziehung: s 2 ) 2 t̂ = |x̅1− x̅2| für s1 > s2 √ s 1 2 n1 + s 2 Los 1 Los 2 Los 3 Los 4 n2 Los 5 (1) ((Formel 10)) df = KVV 1: Zusammenfassung Los 1 bis Los 3, (s 1 2 / nn 1 ) n1− 1 ( s 1 2 n1 + s 2 2 n1 ) + (s 2 / n 2 ) n2− 1 KVV 2: Zusamenfassung Los 2 bis Los 4 Probe Auftraggeber Probe Auftragnehmer ((Formel 11)) KVV 3: Zusammenfassung t̂ = |x̅d| Los 3 bis 5 √nn s d 7|2022
√n µ1 = µ2 und σ1 = σ2 µ1 µ2 und σ1 σ2 ((Formel 9)) t̂ = |x̅1− x̅2| √ s 1 2 n1 + s 2 2 n2 Schwerpunkt: Abrechnung 41 µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 µ1 µ2 und σ1 σ2 mit den Freiheitsgraden df 1 = n 1 – 1 und df 2 = n 2 – 1. Dabei kleiner ( als s 1 2 die entsprechenden Prüfgrößen Fˆ oder tˆ , ist die n1 + s 2 n1 ) wird die zahlenmäßig größere Standardabweichung ((Formel 10)) s aus df Nullhypothese = (s 2 µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 1 / nn H 0 abzulehnen und die Alternativhypothese H A ist anzunehmen. In diesem Fall erfolgt eine 1 beiden µ1 µ2 Stichproben und σ1 ) + (s 2 / n 2 ) σ2 n1− 1 n2− 1 als s 1 und die kleinere als s 2 bezeichnet. Für den t-Test schlägt der NCHRP Research Report 946 zweite Validierung, bei der nach folgendem Schema vorgegangen wird: für die erste Validierung den Welch-t-Test vor. Der Student-t-Test µ1 ≠ µ2 und kommt σ1 ≠ σ2 erst bei einer möglichen weiteren µ1 µ2 und σ1 σ2 ((Formel 11)) t̂ = |x̅d| √nn (4) Validierung, die aufgrund einer Ablehnung der Nullhypothese H 0 erfolgt, zur Anwendung. Bei dem Vergleich von Dabei bezeichnet x¯ d den Mittelwert der Differenzen s d zwei Testgruppen ergeben sich fast immer unterschiedliche F̂ Standardabweichungen, s 1 F̂ = ( s 1) 2 zwischen allen Untersuchungsergebnissen der Straßen- 2 für s1 > s2 s 2 für s1 s2 deren Differenz der Welcht-Test berücksichtigt. Für den Welch-t-Test ist folgende geteilten Proben gewonnen werden (Abb. 6). Die Stanbauverwaltung und des Auftragnehmers, die aus den s 2 Berechnung nachstehend aufgeführt: dardabweichung s d berechnet sich aus den einzelnen t̂ = |x̅1− t̂ |x̅1− x̅2| Differenzen der Untersuchungsergebnisse bezogen auf x̅2| √ s s 1 2 1 2 n1 s 2 (2) n1 + s 2 den Mittelwert x¯ d . Die Prüfgröße ist mit der Signifikanzschranke, beispielsweise α = 0,05, bei dem Freiheitsgrad n2 n2 df = n – 1 zu vergleichen. Ist die Prüfgröße kleiner als der Der zugehörige Freiheitsgrad df wird wie folgt ermittelt: t-Wert der Signifikanzschranke α, wird die Nullhypothese H 0 nicht abgelehnt, da die paarweise Differenz zwischen ( s ( s 1 2 n1 1 2 + s n1 + s 2 n1 2 ) den Ergebnissen der Straßenbauverwaltung und dem df = n1 ) df (s 2 1 / nn (s 2 1 ) 1 / nn 1 ) + (s 2 + (s / n 2 2 ) n1− 1 n2− / n (3) Auftragnehmer nicht von null verschieden ist. Durch diese 12 ) n1− 1 n2− 1 zweite Validierung wird das Los angenommen. Wenn die Da in der Regel die Berechnung nach (3) für den Freiheitsgrad df keine ganzzahligen Ergebnisse ergibt, ist auf Daten des Auftragnehmers nicht anerkannt. In diesem Fall Nullhypothese H 0 allerdings abgelehnt wird, werden die die t̂ nächstgelegene = |x̅d| t̂ |x̅d| √nn ganze Zahl abzurunden. Die Prüfgrößen für Fˆ d werden ausschließlich die Ergebnisse der Straßenbauverwaltung für die Abrechnung verwendet. Als fiktives Bei- s √nn d und tˆ sind mit den entsprechenden Signifikanzschranken, beispielsweise α = 0,05 (statistische Sicherheit spiel soll eine Untersuchung des Bindemittelgehaltes von 95 %), zu vergleichen. Ist die Signifikanzschranke α durch den Auftraggeber und Auftragnehmer dienen. Abb. 6: Ablaufschema für die Validierung der Untersuchungsergebnisse Probenahme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Ausreißerbewertung 1. Validierung Auftraggeber prüft 3 Proben, z.B. Probe Nr. 3, Nr. 9 und Nr. 13 Ausreißer festgestellt Ausreißertest Auftagnehmer prüft alle Proben, außer den 3 Proben des Auftraggebers (Nr. 3, Nr. 9, Nr. 13) keine Ausreißer F‐ u. Welch‐t‐Test für den Vergleich der Ergebnisse validiert 2. Validierung keine Übereinstimmung Alle 15 Proben sind vom Auftraggeber und Auftragnehmer zu untersuchen, die Differenzen der einzelnen Ergebnisse sind zu berechnen Die Ergebnisse des Auftraggebers sind für Abrechnung maßgebend nicht validiert t‐Paardifferenzentest zum Vergleich der Ergebnisse validiert Die Ergebnisse des Auftragnehmers sind für die Abrechnung maßgebend 7|2022
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