Section 5.4 ผู้สังเกตที่มีความเร่ง - ภาควิชาฟิสิกส์ - มหาวิทยาลัยขอนแก่น

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-26และได้มีการทดลองปล่อยลูกเหล็กให้หล่นในเหมืองซึ ่งลึก 188 เมตร เมื่อปี 1831 โดย F. Reichพบว่ามีการเบนออกมาทางทิศตะวันออกโดยเฉลี่ยแล้ว 28 มิลลิเมตรจากจุดทิ้งดิ่ง (Marion andThornton, "Classical Dynamics of Particles and Systems")เนื ้อหาในลําดับต่อไปนี ้ จะเป็นการเตรียมความพร้อมที่จะทําให้เราสามารถผนวกกลไกทางคณิตศาสตร์ เข้ากับหลักการทางฟิสิกส์เพื่อคํานวณระยะเบนออกดังกล่าว โดยที่กระบวนชุดความคิดที่เราจะได้บรรเลงต่อไปนี ้ เป็นท่วงทํานองเดียวกันกับที่นักฟิสิกส์ชั ้นครูอย่าง Newton ได้เคยสําแดงไว้เมื่อราว 330 ปีที่ผ่านมาSection 5.4 ผู ้สังเกตที่มีความเร่ง - Non Inertia Coordinateในการวิเคราะห์ถึงสมบัติของการเคลื่อนที่ของผีเสื ้อ ดังตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา การหมุนของ Lisaซึ ่งอยู ่ในถานะ frame of reference มีผลกระทบต่อเส้นทางการบิน ที่สังเกตเห็น ตลอดจนความเร็วและความเร่ง ของผีเสื ้อขณะเคลื่อนที่นอกจากการสังเกตแล้ว ผู้สังเกตยังจําเป็นต้องทํานายการเคลื่อนที่ของวัตถุ ภายใต้กรอบอ้างอิงที่ตนเองกําหนดขึ ้น แน่นอนว่าในการทํานายการเคลื่อนที่ กฎของ Newton Fnet ma เป็นสมการชิ้นสําคัญที่จะทําให้เราสามารถสร้างสมการการเคลื่อนที่ เหมือนดังที่เราได้ศึกษามาแล้วในบทก่อนๆคําถามมีอยู ่ว่า กฎของ Newton ยังคงเป็นสมการที่เป็นจริงอยู ่ไม่ หากตัวผู้สังเกตเองมีการเคลื่อนที่ ?คําตอบที่ถูกต้องนั ้น เป็นได้ทั ้ง 1) ใช่ และ 2) ไม่ใช่ แล้วแต่กรณี1) ใช่ ในกรณีที่ผู้สังเกตเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หรืออีกนัยหนึ ่ง ความเร่งเป็นศูนย์ ในทางฟิสิกส์เราเรียกผู้สังเกตลักษณะนี ้ว่า "inertia coordinate" ซึ ่งหมายถึง ผู้สังเกต หรือ กรอบอ้างอิงที่มีความเร็วคงที่2) ไม่ใช่ ในกรณีที่ผู้สังเกตมีความเร่ง หรือที่เรียกว่า "non-inertia coordinate" ยกตัวอย่างเช่น ผู้สังเกตอยู ่ภายในรถยนต์ที่กําลังเร่งเครื่องเมื่อสัญญาณจราจรสีเขียวปรากฏขึ ้น หรือผู้สังเกตยืนอยู ่บนม้าหมุน หรือแม้กระทั ้ง คนทุกคนบนโลกที่เฝ้ ามองการบินของนก ด้วยเหตุที่โลกหมุนรอบตัวเองทําให้ตัวเราหมุนไปพร้อมๆกับโลก ส่งผลให้ผู้สังเกตมีความเร่งเข้าสู ่ศูนย์กลางDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-27เมื่อ Lisa ตกอิสระพร้อมๆกับ appleเธอสังเกตเห็น apple หยุดนิ่งyLisaxในกรณีที่ผู้สังเกตมีความเร่งเช่นนี ้ กฎของ Newton ไม่สามารถนํามาใช้ทํานายการเคลื่อนที่ได้หรืออีกนัยหนึ ่ง สมการ F net ma เป็นเท็จ ในมุมมองของผู้สังเกตที่มีความเร่งนั่นเองเพื่อยกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม พิจารณาการเคลื่อนที่ของ apple ที่กําลังตกอิสระดังภาพ แน่นอนว่าในถานะของผู้สังเกต Lisa ซึ ่งกําลังตกอิสระมาพร้อมๆ กัน จะสังเกตเห็น apple หยุดนิ่งเพราะฉะนั ้น ความเร่งที่ของ apple ในมุมมองของ Lisa ก็คือมุมมองของ Lisa a 0 ________________________________ (5.15)แต่เมื่อ Lisa พิจารณา apple เธอพบว่า แรงลัพธ์ที่กระทํากับผลไม้ลูกนี ้มีค่าเท่ากับมุมมองของ Lisa F net mg 0_______________________ (5.16)อันเนื่องมาจากแรงโน้มถ่วงของโลก เพราะฉะนั ้น เมื่อเปรียบเทียบสมการ (5.15) และ สมการ(5.16) จะพบว่า ตามกรอบอ้างอิงของ Lisa แล้วนั ้นF ma เมื่อผู้สังเกตมีความเร่ง ______________________ (5.17)netและในเมื่อผู้สังเกตที่มีความเร่งไม่สามารถสร้างสมการได้ จึงไม่สามารถนํากระบวนการทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วยในการทํานายการเคลื่อนที่ หรือวิเคราะห์การเคลื่อนที่ได้เลยแต่ด้วยวิธีการอันแยบยล การสร้างสมการการเคลื่อนที่ เพื่อที่จะนําไปสู ่การแก้สมการ, ผลเฉลยของสมการ, และในที่สุดการทํานายการเคลื่อนที่นั ้น ยังพอที่จะสามารถกระทําได้ เพียงแต่ว่าDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-28กฎของ Newton ในกรณีที่ผู้สังเกตมีความเร่งนั ้น จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงให้เหมาะสมกับสถานการณ์กล่าวคือ เราสามารถสมมุติแรง 2 แรงที่เข้ามามีส่วนเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ คือ 1) fictitious force( F fictitious ) หรือ แรงเสมือน และ 2) effective force ( F effective ) หรือ แรงลัพธ์ยังผล การที่จะเข้าใจที่มาและธรรมชาติของแรงดังกล่าวนี ้ สามารถทําได้ง่ายที่สุด โดยการพิจารณาตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมใน 2 กรณีด้วยกันตัวอย่าง 1ในกรณีของ Lisa และ apple ที่กําลังตกอิสระมาพร้อมๆกัน Lisa สามารถที่จะสมมุติว่า มีแรงเสมือนที่กําลังกระทํากับ apple ในขณะที่กําลังเคลื่อนที่ นั่นก็คือFfictitious mg ˆjเพื่อให้อธิบายได้ว่า ทําไม apple จึงหยุดนิ่งLisa “สมมุติ” แรงเสมือนขึ้นมาyแรงเสมือน =mg ˆjLisaxนํ้าหนัก =mg ˆjเราจําเป็นจะต้องเน้นยํ ้าว่า แรง Fˆfictitious mg jนั ้นเป็นแรงที่สมมุติขึ ้น (อันเป็นที่มาของคําว่าfictitious ซึ ่งแปลว่า ปลอม หรือ เสมือน) ด้วยเหตุที่แรงดังกล่าวไม่ได้มีอยู ่จริง เป็นแรงที่ Lisaสังเกตเห็นว่ากระทํากับ apple โดยหารู้ไม่ว่า แท้จริงแล้ว แรงดังกล่าวเป็นภาพลวงตาจากการที่Lisa เคลื่อนที่แบบมีความเร่งในมุมมองของ Lisa เมื่อมีแรง 2 แรงที่กระทํากับ apple เธอสามารถที่จะคํานวณแรงลัพธ์ที่ดูประหนึ ่งว่า กระทํากับ apple เรียกว่า "แรงลัพธ์ยังผล" หรือ effective force ซึ ่งประกอบด้วย 2Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-29ปัจจัยคือ 1) แรงลัพธ์ที่แท้จริง ในตัวอย่างที่กล่าวถึงนี ้ ก็คือ F ˆnet mg jและ 2) แรงเสมือนในตัวอย่างที่กล่าวถึงนี ้ ก็คือ Fˆfictitious mg jหรือ เขียนในรูปของสมการได้ว่า Non Inertia Coordinate Feffective = Fnet + Ffictitious___________________ (5.18)แรงลัพธ์ยังผล หรือ F effective (คําว่า "ยังผล" แปลว่า มีผลจริงในทางปฏิบัติ) เป็นแรงที่ Lisaสามารถนํามาสร้างเป็นสมการของ Newton ได้ กล่าวคือNon Inertia CoordinateF effective = ma_________________________ (5.19)ซึ ่งตามตัวอย่างที่เรากําลังกล่าวถึงนี ้ สมการ (5.19) นั ้นเป็นจริงในมุมมองของ Lisa เพราะว่า F ˆ ˆeffective Fnet + Ffictitiousmgjmgj0และ สอดคล้องกับผลการสังเกตของ Lisaที่ว่า apple นั ้นหยุดนิ่งอยู ่กับที่ตัวอย่าง 2อีกตัวอย่างหนึ ่งที่จะทําให้เราเข้าใจแรง fictitious และ แรง F effective ได้ดียิ่งขึ ้น พิจารณามดตัวหนึ ่งที่ยึดเอามวลที่ติดอยู ่กับสปริงเป็นฐานในการสังเกตการเคลื่อนที่ดังภาพF Fnet= mg ˆjˆjmมดคือผู้สังเกตที่มีความเร่งเนื่องจากสั่นไปพร้อมกับสปริงˆiเส้นทางล่นของใบไม้ที่มดสังเกตเห็นเมื่อใบไม้หล่นอย่างอิสระ ผู้สังเกตที่อยู ่นิ่งกับพื ้นย่อมเห็นการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงในแนวดิ่ง แต่มดที่เกาะอยู ่บนสปริง จะสังเกตเห็นการเคลื่อนที่ของใบไม้ ดังภาพข้างต้น ความแตกต่างของผลการสังเกตระหว่างผู้หยุดนิ่งบนพื ้นและมด เกิดจากการที่มดมีความเร่งนั่นเองDr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

้้Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-30ในมุมมองของมด มันสังเกตเห็นใบไม้หล่นลงในแนวดิ่ง ในขณะเดียวกันก็มีการสั่นตามแนวราบควบคู่กันไปด้วย แต่เมื่อมดพิจารณาแรงลัพธ์ที่กระทํากับใบไม้ พบว่า Fnet= mgˆjซึ ่งเป็นแรงที่มีผลเฉพาะแต่ในแกน y เท่านั ้นเพื่ออธิบายการสั่นตามแนวราบของใบไม้ มดจึงจําเป็นต้องสมมุติแรงขึ ้นมา เรียกว่า fictitiousforce ซึ ่งในตัวอย่างที่เรากําลังวิเคราะห์อยู ่นี F kx ˆifictitiousเมื่อผนวกแรงทั ้งสองเข้าด้วยกัน มดสามารถเขียนแรงลัพธ์ยังผลได้ว่า effectiveซึ ่งแรงดังกล่าวสามารถนํามาเขียนเป็นสมการของ Newton ดังสมการ (5.19) ได้ว่าF = kx ˆimgˆjkx ˆ mg ˆmi j a _____________________________ (5.20)ทางซ้ายมือ เป็นแรงที่มีทั ้งองค์ประกอบตามแกน x และแกน y ทางขวามือ เป็นความเร่งของใบไม้ที่มดควรจะสังเกตเห็น ซึ ่งก็มีความสอดคล้องกัน เพราะมดสังเกตเห็นใบไม้หล่นลงมาพร้อมๆกับสั่นในแนวราบควบคู่กันไป จึงพอจะสรุปได้ว่า สมการ (5.20) นั ้นเป็นจริงจากตัวอย่าง 2 กรณีที่เราได้วิเคราะห์ จะเห็นว่า แรงเสมือน หรือ F fictitious นั ้น มีรูปแบบทางคณิตศาสตร์แตกต่างกันออกไป แล้วแต่ลักษณะการเคลื่อนที่ของผู้สังเกต แรงเสมือนดังกล่าวนีไม่มีอยู ่จริงในธรรมชาติ แต่เป็นผลจากการเคลื่อนที่อย่างมีความเร่งของผู้สังเกตเองถ้าจะวิเคราะห์ให้ละเอียดแล้ว คนที่ยืนบนผิวโลก มีสถานะภาพไม่แตกต่างจากมดน้อยที่บังเอิญเป็นผู้สังเกตที่มีความเร่ง หรือ non inertia coordinate สําหรับเราทุกคนบนผิวโลก การดันทุรังเขียนสมการ F net ma จะทําให้ผลของการทํานายการเคลื่อนที่ผิดพลาด (เล็กน้อย) อันเนื่องมาจากการที่เราล้วนเป็นผู้สังเกตที่มีความเร่ง กล่าวคือหมุนไปพร้อมกับโลกด้วยเหตุนี ้ สมการของการเคลื่อนที่ ซึ ่งผู้ออกแบบปืนใหญ่ใช้ในการทํานายวิถีกระสุนเพื่อที่จะให้เป้ าหมายนั ้นแม่นยําที่สุด จะต้องอยู ่ในรูปของ F effective = ma เมื่อ F effective คือแรงลัพธ์ยังผล ซึ ่งจะมีผลในทางปฏิบัติ และมีค่าเท่าแรงจริง (แรงโน้มถ่วงของโลก) บวกกับแรงเสมือน ที่เราจําเป็นต้องอุปโลกน์ขึ ้นเอง หรือที่เรียกว่า F fictitiousคําถามที่เราจะวิเคราะห์ต่อไปก็คือว่า ในกรณีของผู้สังเกตที่ยืนบนผิวโลกนั ้น fictitious ?F Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011

Classical Mechanics ระดับอุดมศึกษา 5 Rotating Coordinate 5-31Section 5.5 Rotating Coordinate และ Equation of Motionω ตกเหนือAliceLisaR r kˆ ˆjˆr i r x ˆi y ˆ j z kˆออกAlice หยุดนิ่ง ดังนั้น2dF net ma r2m dtภาพ (5.7) แสดงผู้สังเกตสองคน Alice ซึ ่งหยุดนิ่ง และ Lisa หมุนไปพร้อมกับโลกภาพ (5.7) แสดงการบินของผีเสื ้อเมื่อสังเกตโดยผู้สังเกต 2 คนด้วยกัน Lisa เป็นผู้สังเกตที่กําลังหมุนไปพร้อมกับโลก เธอสร้างกรอบอ้างอิงของตัวเอง และวัดพิกัดได้เท่ากับ x, y,z และบอกตําแหน่งของผีเสื ้อด้วย vector r ตําแหน่งผีเสื ้อ วัดโดย Lisa r x ˆi y ˆj zkˆ____________ (5.21)dx dy dz dt dt dtและเมื่อยึดเอาพิกัด x, y,z เป็นตําแหน่ง Lisa ต้องเห็น , , 2 2 2d x d y d z, , 2 2 2dt dt dt เป็นความเร็วและความเร่ง ในมุมมองของเธอ และ dx dy dz dt dt dtความเร็วผีเสื ้อ วัดโดย Lisa v ˆi ˆj kˆ____________ (5.22)ความเร่งผีเสื ้อ วัดโดย Lisa2 2 2 d x ˆ d y ˆ d za i jkˆ2 2 2dt dt dt________ (5.23)Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น teepanis@kku.ac.th Draft Jan 2011