Matematinė ekonomika

MATEMATIN ˙E EKONOMIKA:
BENDROJI EKONOMIN ˙E PUSIAUSVYRA
Rimas Norvaiša
E-paštas: norvaisa @ktl.mii.lt
Vilnius, 2003 spalis

Turinys
1 ˛Ivadas 1
1.1 Kas yra matematin˙e ekonomika? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros apžvalga . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Individualus alternatyv ˛u pasirinkimas 10
2.1 Alternatyv ˛u laukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Naudingumo funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Alternatyv ˛u lauko savyb˙es ir pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Atskleistoji preferencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Main ˛u rinka 28
3.1 Vartotojo problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Išlaidos ir netiesioginis naudingumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Vartotojo paklausos d˙esnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Main ˛u bendroji pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Konkurencin˙es rinkos pusiausvyra 45
4.1 Gamyba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Rinkos bendroji pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Pareto efektyvumas ir pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Ekonominiai sprendimai esant neapibr˙ežtumui 60
5.1 Apibr˙ežtis ir neapibr˙ežtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Vidurkin˙e nauda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Investuotojo pasirinkimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A Matematika 73
A.1 Atitiktis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A.2 Nejudamo taško teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.3 Atskyrimo teoremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B Terminai 79
Literat ūra 79
ii

Skyrius 1
˛Ivadas
Ekonomik ˛a reikia studijuoti ne tam, kad išmokti gatavus atsakymus ˛i ekonominius klausimus,
bet tam, kad išmokti kaip išvengti ekonomist ˛u apgaul˙es
Joana Robinson, 1903-1983
1.1 Kas yra matematin˙e ekonomika?
Jei trumpai ir apytikriai, tai matematin˙e ekonomika yra neoklasikin˙es ekonomikos teorijos dalis.
Jei tiksliau, tai reikia aptarti kas sudaro ekonomikos teorij ˛a ir kas yra neoklasikin˙e ekonomika.
Neoklasikin˙e ekonomikos teorija. Ekonomikos teorija yra sudedamoji ir svarbiausioji ekonomikos
mokslo dalis. Greta ekonomikos teorijos, ekonomikos moksl ˛a sudaro makroekonomika,
ekonometrika, taikomoji ekonomika, ekonomikos filosofija ir metodologija bei ekonomin˙es
minties istorija.
Tuo pačiu, ekonomikos moksl ˛a galima skirstyti ir pagal j˛i sudarančias ˛ivairias mokyklas
bei kryptis. Dominuojančia tarp vis ˛u j ˛u yra vadinamoji neoklasikin˙e mokykla arba ekonomika.
Šios mokyklos poži ūrio esm˙e yra ta, kad ekonominio visuomen˙es vystymosi pasekm˙e yra
ekonomin˙es rinkos pusiausvyra, realizuojama individuali ˛u jos nari ˛u racionaliu elgesiu esant
ribotai pasirinkimo laisvei. Tarp kit ˛u ekonomikos mokslo mokykl ˛u neoklasikin˙e ekonomika
išsiskiria savo prielaidomis apie gamybos proceso technologines galimybes ir apie individuali ˛u
vartotoj ˛u pasirinkimo formas. Pavyzdžiui yra tariama, kad firma maksimizuoja savo peln ˛a esant
„duotai" rinkos kainai. Visuomen˙es nari ˛u elgesys yra racionalus ta prasme, kad kiekvieno iš j ˛u
pasirinkimas tarp alternatyvi ˛u vertybi ˛u yra pilnas ir tranzityvus. Kiekvienas individas renkasi
maksimizuodamas racional ˛u pasirinkim ˛a, ribojam ˛a pradiniu ˛inašu ir egzistuojanči ˛u vertybi ˛u
kiekiu. Šios ir kitos neoklasikin˙es mokyklos prielaidos apie ekonomin˛i visuomen˙es nari ˛u elges˛i
leidžia pagr˛isti (matematiškai ˛irodyti) min˙etosios ekonomin˙es rinkos pusiausvyros egzistavimo
galimyb˛e.
Neoklasikin˙es ekonomikos mokykloje galima išskirti keturias pagrindines kryptis ir daugel˛i
speciali ˛u jos sriči ˛u. Pusiausvyrinis ekonominio vystymosi poži ūris daugiau ar mažiau atsispindi
1

visose šios mokyklos kryptyse. Pirm ˛aj ˛a, teorin˛e neoklasikin˙es mokyklos krypt˛i, sudaro: pasirinkimo
teorija, bedrosios pusiausvyros teorija ir lošim ˛u teorija. Didesn˙e ši ˛u teorij ˛u dalis sudaro
tai, kas vadinama mikroekonomika. B ūtent ši, teorin˙e neoklasikin˙es mokyklos kryptis, yra labiausiai
dominuojama pusiausvyros poži ūrio. Mažiausiai šio poži ūrio poveikis yra ˛ižvelgiamas
ekonometrikoje, kuri ˛a sudaro tiek statistika tiek ir ekonomika. Ekonometrika naudoja realius
ekonomikos duomenis ir statistinius sprendimus tam, kad ˛ivertinti ˛ivairius modelius ir j ˛u parametrus.
Makroekonomika, trečioji neoklasikin˙es mokyklos kryptis, nagrin˙eja tokius bendrus
ekonomikos reiškinius kaip biznio ciklai ir ekonominis augimas. Šiuolaikini ˛u ekonomist ˛u vystoma
makroekonomikos teorija smarkiai remiasi pusiausvyriniu ekonomikos reiškini ˛u poži ūriu,
išplaukiančiu iš racionalaus individ ˛u elgesio. Racionalaus elgesio sureikšminimas, dar vadinamas
homo economicus, yra neoklasikinio poži ūrio vystymosi pasekm˙e ir skiriamasis bruožas.
Dž. M. Keinso (John Maynard Keynes) Bendrojoje teorijoje [10] – svarbiausiame XX-ojo
amžiaus ekonomin˙es minties k ūrinyje – makroekonomikos ryšys su individualaus pasirinkimo
ypatyb˙emis nebuvo taip sureikšminamas. Ketvirt ˛aj ˛a krypt˛i sudarantys neoklasikin˙es mokyklos
darbai yra susij˛e su taikomaja ˛ ekonomika, plačiausia ekonomist ˛u veiklos sritimi, taip pat
atspindi pusiausvyrin˛i ekonomikos teorijos paveiksl ˛a. Tačiau taikomieji darbai bendr ˛a rinkos
pusiausvyros poži ūr˛i papildo naujais aspektais. Taikomosios ekonomikos sritimis yra laikomos
tarptautin˙es prekybos teorija, darbo ekonomika ir finans ˛u ekonomika, atitinkančios skirtingas
ekonomines rinkas.
Dabar galima pasakyti konkrečiau, kad matematin˙e ekonomika apima pasirinkimo teorij
˛a, bendr ˛aj ˛a pusiausvyros teorij ˛a ir lošim ˛u teorij ˛a. Neoklasikin˙e ekonomikos teorija nuo savo
atsiradimo pradžios – XIX amžiaus vidurio – matematik ˛a laik˙e pagrindine priemone analizuojant
ekonomin˛e realyb˛e. Matematika buvo ne antraeilis dalykas, o tuo metu prad˙etos realizuoti
programos esm˙e: ekonomikos disciplin ˛a paversti griežtu kiekybiniu mokslu, lygiaverčiu astronomijai
ir fizikai. Šios programos ˛id˙eja ir realizavimo pradžia yra priskiriama Léon Walras
(1834–1910), d˙el ko neoklasikin˙e ekonomika kartais vadinama Walras’o ekonomika (angl. Walrasian
Economics). Kadangi šios programos realizavimas t˛es˙esi apie šimt ˛a penkiasdešimt met ˛u,
pagrindin˙e ekonomin˙es teorijos dalis – bendroji ekonomin˙e pusiausvyra – tur˙ejo gana skirtingas
formas. Paskutinis šio vystymosi etapas, kurio pradži ˛a galima laikyti apie 1950-uosius metus,
yra susij˛es su Kenneth J. Arrow, Gerard Debreu, Lionel W. McKenzie ir kit ˛u mokslinink ˛u darbais.
Neoklasikin˙es mokyklos ištakos. Klasikine vadinama ekonomin˙es minties mokykla, atstovaujama
Adam Smith ir David Ricardo ir laikoma pirm ˛aja šiuolaikin˙es ekonomikos mokykla.
Klasikin˙e ekonomika akcentavo laisvosios prekybos naud ˛a, rinkos polink˛i ˛i pusiausvyr ˛a ir
vert˙es teorija pagr˛ista darbo s ˛anaudomis (angl. labor theory of value). Klasikin˛e ekonomikos
mokykl ˛a keit˙e tokios ekonomin˙es minties mokyklos (angl. marginalist schools), kurios vert˙es
šaltin˛i mat˙e santykiniame naudingume (angl. marginal utility), o ne gamybos kaštuose.
Kitos ekonomikos mokyklos. Šalia neoklasikin˙es mokyklos egzistuoja daug kit ˛u ekonomikos
mokykl ˛u. Tarp j ˛u viena žymiausi ˛u yra austr ˛u ekonomin˙e mokykla. Taip yra vadinama
ekonomin˙es minties sritis, kurios pradininkais buvo austrai Carl Menger (1840–1921), F. A.
Hayek (1899–1992) ir Ludwig von Mises (1881–1973), o toliau vystoma daugiausia amerikie-
2

či ˛u ekonomist ˛u tarp kuri ˛u žymiausias yra Murray N. Rothbar (1926–1995). Išskyrus poži ūr˛i ˛i
pusiausvyr ˛a, ši kryptis turi labai daug bendro su neoklasikine mokykla. Pavyzdžiui, abi mokyklos
kapitalizm ˛a laiko valstyb˙es geriausia socialine–ekonomine sistema. Neoklasikams ji yra
geriausia tod˙el, kad pasižymi s ˛alygomis b ūtinomis rinkos pusiausvyrai egzistuoti. Priešingai,
austr ˛u ekonomistai remia kapitalizmo sistem ˛a d˙el jos geb˙ejimo prisitaikyti prie pusiausvyros
nebuvimo. J ˛u manimu rinkos pusiausvyra realiame pasaulyje yra negalima, nes ji yra abstrakti
mokslin˙e konstrukcija. Austr ˛u tradicija vietoje pusiausvyros id˙ejos remiasi ˛i verslininko (angl.
entrepreneur) vaidmen˛i rinkoje. Verslininkas siekdamas pelno padaro kapitalizm ˛a lanksčia ir
prisitaikančia socialine sistema. Šiuo poži ūriu lyginant su feodalizmu ar socializmu, kapitalizmas
laikomas prisitaikančia sistema. Austr ˛u mokykla taip pat ypating ˛a d˙emes˛i skiria ekonomini
˛u sprendim ˛u neapibr˙ežtumui nagrin˙eti, atmesdama neoklasik ˛u tuo tikslu naudojam ˛a tikimybi ˛u
teorija grindžiam ˛a model˛i kaip trivial ˛u. J ˛u tvirtinimu, prielaida apie tikimybinio mato egzistavim
˛a yra nereali. Tačiau kapitalizmas b ūdamas silpnai susijusia sistema, yra geriausiai prisitaik˛es
neapibr˙ežtumui. Dar vienas skirtumas tarp neoklasikin˙es ir austr ˛u mokyklos atsiranda poži ūryje
˛i matematikos vaidmen˛i ekonomikoje. Austr ˛u mokyklos atstovai tiki, kad real ūs duomenys
ir j ˛u tyrimas yra beverčiai nes yra generuoti nepusiausvirin˙es ekonomikos. Be to, j ˛u nuomone
visuomen˙e n˙era j ˛a sudaranči ˛u individ ˛u aritmentine suma ir tod˙el matematika nepaj˙egi tirti
visuomen˙es elges˛i. Daugiau apie austr ˛u ekonomin˙es mokyklos id˙ejas galima sužinoti iš šios
teorijos ˛ivado [3].
Kitos ekonomikos teorijos ir j ˛u skiriamieji bruožai:
• institucionalizmas – kritiškas abstrakčiam ir bendram teorizavimui, o svarbiausiu laikantis
ekonominio elgesio apibudinima konkrečios institucijos kontekste. Taikomieji neoklasik
˛u ir institucionalist ˛u darbai kartais yra labai panaš ūs;
• marksizmas – toliau vysto K. Markso vert˙es teorija besiremianti panašiais ˛i neoklasik ˛u
metodais;
• Keynes’o (makro)ekonomika – makroekonomikos analiz˙e grindžiama pri˙ejimu nuo „viršaus"
(makro-) ˛i „apači ˛a" (mikro-) priešinga kryptimi nei neoklasikin˙e analiz˙e;
• post-Keynes’o ekonomika - kritiška neoklasikin˙es ekonomikos atžvilgiu ir ypating ˛a svarb ˛a
priskirianti neapibr˙ežtumui ekonomikoje;
• Sraffos ekonomika - paremta Sraffos preki ˛u gamybos remiantis prek˙emis samprata;
• dinamin˙e ekonomika - taikanti netiesin˙es dinamini ˛u sistem ˛u ir chaoso teorijas ekonomikoje;
• evoliucin˙e ekonomika - laikanti ekonomik ˛a besivystančia sistema panašiai kaip Darvino
evoliucijos teorija.
Detalesn˛i čia išvardint ˛u ekonomikos teorij ˛u ˛ivertinim ˛a galima rasti S. Keen’o knygoje [9, 14
skyrius]. Min˙etoje knygoje autorius pažymi jog nei viena iš ši ˛u ekonomikos krypči ˛u gal˙et ˛u
pretenduoti ˛i vienintel˙es XXI amžiaus ekonomin˙es teorijos vard ˛a. Tačiau kiekviena iš j ˛u yra
pakankamai stipri toje srityje, kurioje yra silpna neoklasikin˙e ekonomika. Tik˙etina, kad šiame
3

amžiuje dominuojančia tur˙et ˛u tapti ta ekonomin˙e teorija kuri akcentuoja šiuolaikin˙es kapitalistin˙es
ekonomikos dinamik ˛a. ˛Ivadas ˛i šiuolaikin˛e ekonomik ˛a, kuris nesiremia viena kuria nors
ekonomine teorija, yra pateikiamas Stretono (H. Stretton) knygoje [16].
Anksčiau išvardinom tokias keturias neoklasikin˙es ekonomikos kryptis: ekonomikos teorija,
makroekonomika, ekonometrika ir taikomoji ekonomika. Be j ˛u egzistuoja ir labai svarb ˛u
vaidmen˛i vaidina ekonomikos filosofija ir metodologija, bei ekonomin˙es minties istorija. Pirmam
susipažinimui su ekonomin˙es minties istorija verta perskaityti T. G. Buchholz knyg ˛a [2],
o lietuvi ˛u kalba R. Heilbroner knyg ˛a [6].
1.2 Bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros apžvalga
Šiame skyrelyje glaustai apib ūdinama preki ˛u rinkos pusiausvyra paprastai vadinama bendr ˛aja
ekonomine pusiausvyra. Ši pusiausvyra išsamiai nagrin˙ejima 4 skyriuje.
Ekonomin˙es veiklos šaltiniais yra preki ˛u vartojimas ir j ˛u gamyba. Pagal ekonomin˙es veiklos
pob ūd˛i rinkos dalyviai yra dviej ˛u r ūši ˛u: vartotojai ir gamintojai. Tǎciau svarbiausia preki ˛u
rinkoje yra pačios prek˙es, kurios yra ekonomin˙es veiklos priemon˙e ir tikslas. Preki ˛u kaina yra
rodiklis, kuris nurodo preki ˛u stygiaus laipsn˛i (angl. scarcity). Šio rodiklio – kainos – susidarymo
mechanizmas grindžiamas vadinam ˛aja ekonomine pusiausvyra. Tokiu b ūdu bendrosios
ekonomin˙es pusiausvyros pagrindin˙es s ˛avokos yra pusiausvyra, prek˙es ir kaina. Tiksliau, bendroji
ekonomin˙e pusiausvyra paaiškina tokios preki ˛u kainos susidarymo mechanizm ˛a rinkoje,
kuriai esant optimaliai paskirstomi ištekliai tarp rinkos dalyvi ˛u. Kitaip tariant, pusiausvyra reiškia
toki ˛a rinkos busen ˛a, išreikšt ˛a preki ˛u kainomis ir j ˛u kiekiais, kad preki ˛u paklausa yra lygi j ˛u
pasi ūlai, o visi rinkos dalyviai realizuoja savo tikslus.
Nagrin˙ejamos bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros teorijos pradininkais apie 1950-uosius
metus tapo Kenneth Arrow ir Gerard Debreu. Pirm ˛a kart ˛a ir pilnai ši ˛a teorij ˛a išd˙est˙e Debreu
savo knygoje „Vert˙es teorija" [4]. Arrow–Debreu teorij ˛a apibudina trys pagrindin˙es prielaidos:
• g˙eryb˙es kaip prek˙es skiriasi pagal savo buvimo (pristatymo) viet ˛a ir tokiu b ūdu prek˙e
nepriklauso nuo vietos;
• g˙eryb˙es kaip prek˙es skiriasi pagal savo buvimo (pristatymo) laik ˛a ir tokiu b ūdu prek˙e
nepriklauso nuo laiko;
• preki ˛u pristatymo sutartis atsižvelgia ˛i galimas ateities ˛ivyki ˛u aplinkybes, tokiu b ūdu išvengiant
˛ivyki ˛u tikimyb˙es s ˛avokos.
Arrow-Debreu teorijos pagrindiniais teiginiais yra bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros egzistencijos
teorema, bei pirmoji ir antroji fundamentaliosios gerov˙es teoremos.
Prek˙es ir kainos. Preke (angl. commodity) vadinama tokia g˙eryb˙e, kuri ˛a galima pirkti ar
parduoti, o jos vienetai yra lygiaverčiai. Ta pati g˙eryb˙e gali b ūti skirtinga kaip prek˙e priklausomai
nuo vietos, kurioje ji randasi ir nuo laiko, kada ji prieinama. Pavyzdžiui, preke yra tokia
ekonomin˙e g˙eryb˙e kaip grybai. Aišku, kad tos pačios r ūšies grybai gali tur˙eti skirtingas kainas
skirtingose vietose ir skirtingu laiku. Tod˙el grybai tampa preke jei žinomas j ˛u kiekis, r ūšis, bei
4

kur ir kada juos galima pirkti ar parduoti. Tokia prek˙es samprata pagal kuri ˛a, ji skiriasi priklausomai
nuo laiko ir vietos, išplaukia iš to, kad ekonomin˙e veikla yra nagrin˙ejama statin˙eje, o ne
dinamin˙eje b ūsenoje. Kita ekonomini ˛u vertybi ˛u r ūšis yra paslauga. Pavyzdžiui - matematikos
mokymas. Ši paslauga ˛ivertinama žini ˛u kiekiu perduotu, pavyzdžiui, per dvi valandas. Matematikos
paskaitai priskyr˛e viet ˛a ir laik ˛a, gauname prek˛e. Be to, abiem atvejais reikia sutarti d˙el
prek˙es matavimo vienet ˛u. Pirmuoju atveju tokiu vienetu gal˙et ˛u b ūti kilogramas, o antruoju –
vienos valandos ilgio paskaita.
Toliau nagrin˙ejama rinka, kurioje yra baigtinis skaičius ℓ skirting ˛u preki ˛u. Kiekviena iš ši ˛u
preki ˛u, žymima indeksu h ∈ {1, . . . , ℓ} ir tapatinama su jos kiekiu išreikštu realiu skaičiumi
xh. Rinkos veik˙ejui (vartotojui) teigiamas skaičius xh reiškia jo ˛isigyjamos prek˙es kiek˛i, o
neigiamas skaičius xh reiškia tokios prek˙es perdavim ˛a kitam rinkos veik˙ejui. Pavyzdžiui, x1 =
2 gali reikšti ˛isigyjim ˛a dviej ˛u kilogram ˛u gryb ˛u kiek˛i, x2 = −4 – keturios valandos matematikos
paskait ˛u skaitym ˛a mokytojui arba x2 = 4 – šios paskaitos klausymo mokiniui. Tokiu b ūdu
preki ˛u rinkinys yra vektorius x = (x1, . . . , xℓ), o visa preki ˛u rinkini ˛u aib˙e X yra Euklidin˙es
erdv˙es R ℓ aib˙e vadinama vartojimo aibe arba preki ˛u aibe. Preki ˛u rinkinio x = (x1, . . . , xℓ)
koordinat˙e xh yra teigiama jei vartotojas ˛isigyja h-tosios prek˙es xh vienet ˛u, ir ji yra neigiama
jei vartotojas atiduoda atitinkam ˛a kiek˛i preki ˛u.
Prek˙es kaina yra dydis, kur˛i reikia mok˙eti dabar tam, kad ˛isigyti vien ˛a šios prek˙es vienet ˛a.
Kaina yra matas to, už kiek j ˛a galima ˛isigyti. Kaina n˙era prek˙es vidin˙e savyb˙e, bet priklauso nuo
išorini ˛u aplinkybi ˛u – technologijos lygmens, vietos, laiko ir pan. Tolesniame nagrin˙ejime d˙el
paprastumo pinigai kaip tarpin˙e prek˙e nenaudojama ir tod˙el nesinaudosime pinig ˛u teorija. Vietoje
pinig ˛u, kiekvienam h-tosios prek˙es vienetui yra priskiriamas realus skaičius ph – vadinamas
jo kaina. Priklausomai nuo to ar ph yra teigiama, nulis ar neigiama tarsime, kad h-toji prek˙e yra
atitinkamai reta, neribota ar kenksminga. Kainos sistema yra vektorius p = (p1, . . . , pℓ) ∈ R ℓ .
Preki ˛u rinkinio x = (x1, . . . , xℓ) kaina atitinkanti kainos sistem ˛a p = (p1, . . . , pℓ) yra skaliarin˙e
sandauga
ℓ
p·x = phxh. (1.1)
h=1
Vis ˛u kainos sistemas sudaranči ˛u vektori ˛u p = (p1, . . . , pℓ) aib˛e žym˙esime P ⊂ R ℓ .
Ekonomikos veik˙ejai. Kita svarbi s ˛avoka yra ekonomikos veik˙ejas (angl. economic agent).
Jie yra skiriami ˛i dvi kategorijas: gamintojai ir vartotojai. Gamintojai paruošia piln ˛a gamybos
plan ˛a, t. y. nusprendžia kiek, ko ir pagal koki ˛a technologij ˛a bus gaminamos prek˙es. Panašiai,
vartotojai nusprendžia savo piln ˛a vartojimo plan ˛a, t. y. numato koki ˛u ir kiek preki ˛u bus suvartojama.
Svarbu nepamiršti, kad šie planai yra sudaromi dabar, kadangi, kaip min˙eta, ekonomika
nagrin˛ejama statin˙eje b ūsenoje. Kita svarbi ekonomikos veik˙ej ˛u tyrimo prielaida yra „neriboto
numatymo" galimyb˙e. Tai reiškia, kad ekonomikos veik˙ejai pasižymi absoliučia ir neribota
toliariagiškumo savybe.
Tai kas pasakyta, dar nepilnai apibudina ekonomikos veik˙ejus. Taip pat yra b ūtina apibr˙ežti
veik˙ej ˛u tikslus. Gamintoj ˛u tikslas yra maksimalus pelnas esant duotoms ekonomin˙ems s ˛alygoms.
Vartotoj ˛u tikslas yra maksimalios naudos siekis turimomis s ˛alygomis (nulis valand ˛u darbo
ir tona aukso yra nerealus siekis). Ekonomikos veik˙ej ˛u „godumas" yra j ˛u aktyvumo šaltinis,
5

kuris ir sudaro nagrin˙ejamos neoklasikin˙es teorijos kit ˛a fundamentali ˛a prielaid ˛a: ekonomikos
veik˙ej ˛u begalin˛i egoizma. ˛
Vartojimas. Kaip min˙eta, vartotojas yra vienas iš ekonomikos veik˙ej ˛u. Pavyzdžiui, tai gali
b ūti individas, šeima ar kita bendr ˛u interes ˛u vienijama grup˙e. Vartotojas numato savo vartojimo
plan ˛a, arba trumpiau – vartojim ˛a – sudaryt ˛a iš preki ˛u rinkini ˛u. Šis pasirinkimas yra ribotas d˙el
galim ˛u preki ˛u aib˙es fizinio ribotumo ir d˙el rinkos ribotumo.
Tarsime, kad vartotojo preki ˛u pasirinkimas yra ribojamas aibe X ⊂ R ℓ . Taigi, bet kuris
preki ˛u rinkinys yra išreiškiamas vektoriumi x = (x1, . . . , xℓ) ∈ X. Paprastai yra tariama,
kad pasirinkim ˛u aib˙e išpildo tam tikras s ˛alygas. Kaip taisykl˙e tokios s ˛alygos atsiranda d˙el
matematinio ˛irodymo reikalavim ˛u. Neretai tokias s ˛alygas galima interpretuoti ir ekonomiškai.
Pavyzdžiui, mes tarsime, kad aib˙e X yra iškila, t. y. jei x1 , x2 ∈ X tai λx1 + (1 − λ)x2 ∈ X bet
kuriam λ ∈ (0, 1).
Kitas svarbus vartotojo pasirinkimo ribojimas yra jo pasirinkimo kriterijus. Pasirinkimo kriterijui
nusakyti yra naudojamas aib˙es X binarinis santykis , t. y. bet kuris poaibis ⊂ X ×X.
Pasirinkimams charakterizuoti naudojam ˛a binarin˛i santyk˛i vadinsime preferencija. Toliau
bus tariama, kad preferencija yra racionali, kas reikš, kad binarinis santykis yra pilnas ir tranzityvus.
Pora (X, ) sudaryta iš pasirinkim ˛u aib˙es ir racionalios preferencijos bus vadinama
preki ˛u lauku. Dar vienas pasirinkimo kriterijus yra gaunamas naudojant vadinam ˛aj ˛a naudingu-
mo funkcija. ˛
Tarsime, kad rinkoje yra n vartotoj ˛u ir kiekvien ˛a iš j ˛u žym˙esime indeksu i ∈ {1, . . . , n}.
Kiekvieno vartotojo pasirinkim ˛u aib˙e gali b ūti skirtinga. Tod˙el i-tojo vartotojo pasirinkim ˛u aib˛e
žym˙esime Xi, o jo preferencij ˛a pasirinkim ˛u aib˙eje Xi žym˙esime i. Aukščiau min˙etas rinkos
ribojimas pasireiškia per kainos sistem ˛a p ∈ P . Toliau taip pat tariama, kad i-tasis vartotojas
turi pradin˛i turt ˛a wi, sudaryt ˛a iš pradinio ˛inašo ir pelno gauto iš akcij ˛u. Tokiu b ūdu rinkos
ribojimas yra išreiškiamas s ˛alyga: preki ˛u rinkinys xi ∈ Xi yra leistinas, jei p · xi ≤ wi. Aib˙e
toki ˛u preki ˛u xi ∈ Xi toliau vadinama biudžetine aibe, t. y. aib˙e
βi(p, wi) := {xi ∈ Xi: p · xi ≤ wi}.
Gamyba. Gamybos ir gamintoj ˛u aprašymas iš esm˙es yra panašus ˛i vartojimo ir vartotoj ˛u aprašym
˛a. Gamintojo tikslas yra nustatyti gamybos plan ˛a (visai ateičiai). Matematiškai tai reiškia
pasirinkim ˛a vektoriaus y = (y1, . . . , yℓ) tarp vis ˛u aib˙es Y ⊂ R ℓ element ˛u. Aib˙e Y yra ribojama
technologijos ir ištekli ˛u, toliau vadinama gamybos aibe.
Tarsime, kad rinkoje yra m gamintoj ˛u ir kiekvien ˛a iš j ˛u žym˙esime indeksu j ∈ {1, . . . , m}.
V˙elgi, kiekvienam gamintojui j gamybos aib˙e Yj gali b ūti skirtinga. Kaip ir vartojimo atveju
gamybos aib˙e bus ribojama tam tikromis matematin˙emis savyb˙emis.
Esant duotai kainos sistemai p ∈ P ir gamybos planui yj ∈ Yj, gamybos pelnas yra skaliarin˙e
sandauga p · yj. Gamintojo tikslas – maksimizuoti peln ˛a duotai kainos sistemai, t. y. rasti
tok˛i gamybos plan ˛a y ∗ j , kad
p · y ∗ j = sup{p · yj: yj ∈ Yj} =: πi(p). (1.2)
6

Rinkos pusiausvyra. Iš pradži ˛u apibr˙ešime m ūs ˛u nagrin˙ejamos rinkos ekonomikos elementus:
• Rinkoje yra n vartotoj ˛u i ∈ {1, . . . , n} ir m gamintoj ˛u j ∈ {1, . . . , m}. Iš viso rinkoje
funkcionuoja m + n ekonomini ˛u veik˙ej ˛u.
• Kiekvienas vartotojas i ∈ {1, . . . , n} turi savo pasirinkim ˛u aib˛e Xi ⊂ R ℓ ir savo preferencijos
santyk˛i i aib˙eje Xi.
• Kiekvienas gamintojas j ∈ {1, . . . , m} turi savo gamybin˛e aib˛e Yj ⊂ R ℓ , ribojanči ˛a jo
technologinius pasirinkimus.
• Kiekvienas vartotojas i ∈ {1, . . . , n} turi pradin˛i ˛inaš ˛a ei = (ei1, . . . , eiℓ) ∈ Xi ⊂ R ℓ .
Tegul xi ∈ Xi ir yj ∈ Yj. Tokie preki ˛u rinkiniai {xi}, {yj} ir {ei} ˛igalina apibr˙ežti tai, kas
vadinama visumine pertekline paklausa:
n m n
Z({xi}, {yj}) := xi − yj − ei. (1.3)
i=1 j=1 i=1
Privati nuosavyb˙e m ūs ˛u nagrin˙ejamoje ekonomikoje apibr˙ežiama taip:
• vartotojui i ∈ {1, . . . , n} priklauso tokia θij ∈ [0, 1] dalis j ∈ {1, . . . , m} gamintojui
priklausančio pelno, kad n i=1 θij = 1 kiekvienam j.
Tada, duotai kainos sistemai p ∈ P , galima apskaičiuoti i-tojo vartotojo pradin˛i turta˛ m
wi = wi(p) := p · ei + θijπj(p) ∈ R,
j=1
kai πj(p) yra j-tojo gamintojo pelnas (1.2). Žinant pradin˛i turt ˛a wi ir kainos sistem ˛a p ∈ P ,
i-tojo vartotojo biudžeto aib˙e yra βi(p, wi).
D˙el trumpumo, ekonomika vadinsime rinkin˛i
E = E({Xi, i, ei}, {θij}, {Yj}, P ), (1.4)
sudaryt ˛a iš aukščiau apibr˙ežt ˛u element ˛u. Šios ekonomikos b ūsena vadinsime bet kur˛i rinkin˛i
({xi}, {yj}, p), kuriame xi ∈ Xi, yj ∈ Yj ir p ∈ P .
Tarkime, kad E yra (1.4) ekonomika. Šios ekonomikos b ūsen ˛a ({x ∗ i }, {y ∗ j }, p ∗ ) vadinsime
rinkos pusiausvyra, jei galioja (a), (b) ir (c), čia
(a) kiekvienam i, x ∗ i yra biudžeto aib˙es βi(p ∗ , wi(p ∗ )) maksimalus elementas;
(b) kiekvienam j, y ∗ j yra peln ˛a maksimizuojantis gamybos planas, t. y. p ∗ · y ∗ j = πj(p ∗ );
(c) visumin˙e perteklin˙e paklausa Z({x ∗ i }, {y ∗ j }) = 0.
Pusiausvyros problema. Duotai kainos sistemai p ∈ P , i-tasis vartotojas pasirenka maksimal
˛u element ˛a xi iš savo biudžeto aib˙es, t. y.
xi ∈ φi(p) := {x ∈ βi(p, wi(p)): (∀z ∈ βi(p, wi(p))) [x i y]}.
7

Tuo tarpu j-tasis gamintojas pasirenka peln ˛a maksimizuojant˛i gamybos plan ˛a yj, t. y.
yj ∈ ψj(p) := {y ∈ Yj: (∀ z ∈ Yj) [p·y ≥ p·z]}.
Sud˙ej˛e gauname atitinkamai visumin˛e paklaus ˛a ir visumin˛e pasi ūl ˛a:
n
φ(p) := φi(p) ir
m
ψ(p) := ψj(p).
i=1
j=1
Kadangi tiek φi(p), tiek ψj(p) gali b ūti aib˙es sudarytos iš didesnio nei vienas elementas, čia
naudojama aibi ˛u sud˙etis A + B := {x + y: x ∈ A, y ∈ B}. Gautos aib˙es ir vis ˛u vartotoj ˛u
pradini ˛u turt ˛u suma w(p) := n i=1 wi(p), apibr˙ežia aib˛e
ζ(p) := φ(p) − ψ(p) + w(p), (1.5)
kuri ˛a sudaro visumin˙es perteklin˙es paklausos vektoriai (1.3).
Sakysime, kad (1.4) ekonomikos pusiausvyros problema turi sprendin˛i, jei egzistuoja tokia
kainos sistema p ∗ ∈ P , kad 0 ∈ ζ(p ∗ ). Jei tokia kaina p ∗ egzistuoja ir yra vienintel˙e, tai sakoma,
kad (1.4) ekonomikos pusiausvyros problema turi vienintel˛i sprendin˛i. Tokiu b ūdu m ūs ˛u
tikslas nustatyti tokias s ˛alygas (1.4) ekonomikai, kada pusiausvyros problema turi (vienintel˛i)
sprendin˛i.
Tarkime, kad visumin˙es perteklin˙es paklausos vektori ˛u aib˙e (1.5) yra sudaryta iš vieno elemento
su kiekviena kainos sistema p ∈ P . Tokiu atveju ζ yra funkcija apibr˙ežta aib˙eje P ⊂ R ℓ
ir reikšmes ˛igyjanti aib˙eje R ℓ . Savo ruožtu, pusiausvyros problema turi sprendin˛i, jei vektorin˙e
lygtis ζ(p) = 0 turi sprendin˛i. Tai yra klausimas ar lygči ˛u sistema
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ζ1(p1, . . . , pℓ) = 0,
· · ·
ζℓ(p1, . . . , pℓ) = 0,
turi sprendin˛i? Šios lygči ˛u sistemos sprendinio paieška maždaug atitinka t ˛a pusiausvyros egzistavimo
ir vienatinumo problemos form ˛a, kuri ˛a jai suteik˙e Walras’as.
Kitas ekonomin˙es pusiausvyros problemos sprendimo etapas vadinamas stabilumo tyrimu.
Stabilumo klausimas iškyla bandant suvokti ar egzistuoja rinkos „j˙egos" stumiančios ekonomin˛e
sistem ˛a pusiausvyros b ūsenos kryptimi? Klasikin˙e ekonomikos teorija rinkos jud˙ejim ˛a ˛i
pusiausvyr ˛a nusako vadinamuoju tâtonnement’o procesu (apgraibomis, aklai – pranc ūz ˛u kalbos
žodis). B ūtent tariama, kad egzistuoja išorinis rinkos „veik˙ejas", vadinamas rinkos aukcionieriumi,
kurio vienintel˙e funkcija yra informuoti ir koordinuoti. Pirmas aukcionieriaus žingsnis
yra skelbti pradin˛e kainos sistem ˛a, tarkim p (1) ∈ P . Rinkos veik˙ejai – vartotojai ir gamintojai
– atsakydami ˛i tai paskelbia savo pasirinkim ˛u rezultatus φ(p (1) ) ir ψ(p (1) ). Antruoju žingsniu
aukcionierius suskaičiuoja atitinkam ˛a visumin˙es perteklin˙es paklausos vektori ˛u aib˛e ζ(p (1) ).
Jei 0 ∈ ζ(p (1) ), tai pusiausvyra pasiekta ir tâtonnement’o procesas baigtas. Priešingu atveju
aukcionierius skelbia nauj ˛a kainos sistem ˛a p (2) ∈ P ir tâtonnement’o procesas t˛esiamas.
Rinkos aukcionieriaus kainos sistemos pasirinkimas remiasi vadinamuoju „pasi ūlos ir paklausos
d˙esniu", kur˛i naudojo Walras’as. Šio d˙esnio esm˙e yra ta, kad jei visumin˙e perteklin˙e
paklausa yra teigiama, t. y. paklausa yra didesn˙e už pasi ūl ˛a, tai kaina yra didinama. Atvirkščiai,
jei visumin˙e perteklin˙e paklausa yra neigiama, t. y. paklausa yra mažesn˙e už pasi ūl ˛a,
8

tai kaina yra mažinama. Besit˛esiantis tâtonnement procesas generuoja kainos sistemos sek ˛a
p (1) , p (2) , . . . , p (k) , . . .. Galima tarti, kad ši seka sudaryta priklausančios nuo laiko kainos siste-
mos funkcijos p(t) = (p1(t), . . . , pℓ(t)), t. y. ph(tk) = p (k)
h
su visais h kuriai nors laiko moment ˛u
sekai t1, t2, . . .. Be to, galima tarti, kad kainos sistema nuo laiko priklauso tolydžiai. Tada „pasi
ūlos ir paklausos d˙esn˛i" galima išreikšti s ˛alyga
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p ′ 1(t) = a1ζ1(p),
· · ·
p ′ ℓ(t) = aℓζℓ(p),
kai a1, . . . , aℓ yra teigiamos konstantos. Šios diferencialini ˛u lygči ˛u sistemos sprendinys, jei
egzistuoja, yra kainos sitemos vektorius p(t). Pusiausvyros b ūsen ˛a atitinka pastovi kainos sistema.
Stabilumo klausimas reiškia ar, prad˙ejus bet kuria kainos sistemos reikšme p (1) = p(t1),
kainos sistema p(t) konverguos link pastovios kainos?
Problemos. Kitos preki ˛u kainos mechanizmo aiškinimo teorijos: klasikin˙e ir marksistin˙e gamybos
kain ˛u analiz˙e, Wassily Leontief’s ˛i˙ejimo-iš˙ejimo analiz˙e, J. von Neumann’o tiesinio
programavimo modelis.
Pastabos. Tarp XXI amžiaus matematikos problem ˛u yra ir problemos susijusios su bendr ˛aja ekonomine pusiausvyra
(žr. 8 problem ˛a Smale (1998)). Kaip buvo min˙eta, čia aptariamas modelis yra statinis ta prasme, kad
kainos nekinta laike.
1.1 Problema. Prapl˙esti bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros matematin˛i model˛i, leidžiant kainoms keistis laike.
Tokia teorija tur˙et ˛u b ūti suderinama su dabar egzistuojančia statine bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros teorija.
S. Smale nuomone b ūt ˛u labai gerai, jei kain ˛u kitimas priklausyt ˛u nuo rinkos veik˙ej ˛u elgesio. Detaliau apie ši ˛a
problem ˛a ir jos matematin˛i formulavim ˛a galima skaityti Smale (1981).
Papildoma literat ūra.
1. S. Smale. Global analysis and economics. Rinkinyje: Handbook of Mathematical Economics 1, eds. K. J.
Arrow ir M. D. Intrilligator, (1981), pp. 331-370. North-Holland, Amsterdam.
2. S. Smale. Mathematical problems for the next century. The Mathematical Intelligencer, 20, No. 2 (1998)
7–15.
9

Skyrius 2
Individualus alternatyv ˛u pasirinkimas
Šiame skyriuje nagrin˙ejamas pasirinkimas tarp galim ˛u alternatyv ˛u. Alternatyvomis gali b ūti
prek˙es, darbo j˙ega, paslaugos, akcijos ir kitos g˙eryb˙es. Kitame skyriuje nagrin˙ejama atskiras
alternatyv ˛u aib˙es atvejis, kur˛i sudaro preki ˛u rinkos g˙erybi ˛u aib˙e. Šio skyriaus rezultatai toliau
naudojami pasirinkimams preki ˛u rinkoje analizuoti. 5 Skyriuje nagrin˙ejami pasirinkimai tarp
kitokios r ūšies alternatyv ˛u. B ūtent, jei individo pasirinkimo pasekm˙es priklauso nuo nežinom ˛u
ateities ˛ivyki ˛u, tai rinktis tenka tarp toki ˛u ˛ivyki ˛u tikimybi ˛u. Tuo atveju alternatyvomis yra
laikomi tikimybiniai skirstiniai.
Pasirinkim ˛a tarp alternatyv ˛u lemia j ˛u naudingumas tam, kuris renkasi. Ekonomikoje naudingumo
s ˛avoka išreiškia g˙erybi ˛u žmon˙ems suteikiamos laim˙es ar malonumo vertinim ˛a. Pavien˙es
alternatyvos suteikiamas naudingumas gali b ūti skirtingas kiekvienam individui. Tod˙el
šiame skyriuje nagrin˙ejamas atskiro individo alternatyv ˛u pasirinkimas.
Alternatyv ˛u vertinimas gali b ūti arba absoliučiais dydžiais arba santykiniu lyginimu. Pirmuoju
atveju naudingumas vadinamas kiekiniu (angl. cardinal utility), o antruoju – santykiniu
(angl. ordinal utility). Pirmame skyriuje nagrin˙ejamas santykinis naudingumas išreiškiamas
preferencijos s ˛avoka. Antrame skyriuje pereinama prie naudingumo funkcijos, kuri atitinka
kiekin˛i naudingum ˛a.
2.1 Alternatyv ˛u laukas
Racionalioji preferencija. Tegul X yra bet koki ˛u element ˛u aib˙e, o X × X yra Dekarto sandauga,
t. y. aib˙e {(x, y): x ∈ X, y ∈ X}. Aib˙es X binariuoju s ˛aryšiu vadinamas bet kuris
poaibis A ⊂ X × X.
Toliau aib˙es X elementams yra suteikiama alternatyv ˛u interpretacija. Tuo atveju atitinkamai
interpretuosime ir binar ˛uj˛i s ˛aryš˛i A, toliau vadindami j˛i alternatyv ˛u aib˙es X preferencijos
saryšiu ˛ 1 (angl. preference relation) ir žym˙edami j˛i simboliu . Paprastai, vietoje (x, y) ∈
yra rašoma x y ir sakoma, kad "x yra ne blogesnis už y" arba galioja preferencija x y.
Paprasčiausias preferencijos s ˛aryšio pavyzdys yra nelygyb˙es ≥ indukuotas binarusis s ˛aryšis
reali ˛uj ˛u skaiči ˛u aib˙eje R. Kitame pavyzdyje tarkime, kad X = {1, 2, 3}, o preferencij ˛a x y
1 Kitas preferencijos s ˛aryšiui nusakyti naudojamas terminas yra pirmenyb˙e
10

apibr˙ežia savyb˙e: x ≤ y, t. y. mažas skaičius x yra ne blogiau už didel˛i y. Tada
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} ⊂ X × X.
Ekonomin˙eje analiz˙eje labai dažnai tariama, kad preferencijos s ˛aryšiui galioja savyb˙es, kuriomis
tur˙et ˛u pasižym˙eti „racional ūs" žmogaus pasirinkimai.
2.1 Apibr˙ežimas. Alternatyv ˛u aib˙es X preferencijos s ˛aryšis vadinamas racionaliuoju (angl.
rational preference relation), jei jam galioja pilnumo aksioma A.1 ir tranzityvumo aksioma A.2,
t. y.
(A.1) su bet kuriais x, y ∈ X, arba x y arba y x;
(A.2) jei x, y, z ∈ X, x y ir y z tai x z.
Iš alternatyv ˛u aib˙es X ir jos racionaliojo preferencijos s ˛aryšio sudaryta pora (X, ) vadinama
alternatyv ˛u lauku.
Aib˙es X binarusis s ˛aryšis , kuriam galioja A.1 ir A.2 aksiomos, matematikoje vadinamas
visiškuoju pusiautvarkiniu arba tiesiniu pusiautvarkiniu. Tuo tarpu visiškuoju tvarkiniu (angl.
complete ordering) vadinamas toks visiškosios pusiautvarkos binarusis s ˛aryšis , kuriam galioja
antisimetriškumo aksioma: su visais x, y ∈ X, iš x y ir y x išplaukia x = y. Visiškojo
tvarkinio pavyzdžiu yra ≥ nelygyb˙e apibr˙ežta reali ˛uj ˛u skaiči ˛u aib˙eje R. Priminsime, kad aib˙es
X binarusis s ˛aryšis vadinamas simetrišku jei x y tada ir tik tada, kai y x su kiekvienu
x, y ∈ X ir vadinamas refleksyviu jei x x su kiekvienu x ∈ X.
Pilnumo aksiomoje žodžiai „arba ... arba ...." neatmeta galimyb˙es, kad galioja abi preferencijos:
x y ir y x. Šie žodžiai reiškia, kad bent viena iš dviej ˛u preferencij ˛u yra galima.
Be to, pilnumo aksiomoje atveju x = y gaunama išvada, kad preferencija x x galioja su
visais x ∈ X, t. y. racionaliosios preferencijos s ˛aryšis yra refleksyvus. Preferencijos s ˛aryšis yra
neb ūtinai simetriškas ar antisimetriškas.
Alternatyv ˛u aib˙eje X turint preferencijos s ˛aryš˛i , matematikoje ˛iprastu b ūdu galima apibr˙ežti
kitus du binariuosius s ˛aryšius:
(i) griežtos preferencijos saryšiu ˛ vadinamas toks binarusis s ˛aryšis ≻ ⊂ X ×X, kad su visais
x, y ∈ X
x ≻ y tada ir tik tada, kai x y ir ¬[y x]. (2.1)
Griežta preferencija x ≻ y taip pat išreiškiama žodžiais "x yra geresnis už y";
(ii) indiferentiškumo saryšiu ˛ vadinamas toks binarusis s ˛aryšis ∼ ⊂ X × X, kad su visais
x, y ∈ X
x ∼ y tada ir tik tada, kai x y ir y x. (2.2)
Indiferentiškumas x ≻ y taip pat išreiškiamas žodžiais "x ir y yra lygiaverčiai" arba "x-as
yra pakeičiamas y-u".
11

Tarkime, kad (X, ) yra alternatyv ˛u laukas, t. y. yra alternatyv ˛u aib˙es X racionalusis preferencijos
s ˛aryšis. Remiantis 2.2 ir 2.3 pratimais, indiferentiškumo s ˛aryšis ∼ yra refleksyvus,
tranzityvus ir simetrinis. Toks binarusis s ˛aryšis vadinamas ekvivalentumo s ˛aryšiu. Kiekvienam
x ∈ X, ekvivalentumo klas˛e [x] := {y ∈ X: y ∼ x} vadinsime indiferentiškumo aibe. D˙el
ekvivalentumo s ˛aryšio apibr˙ežimo, bet kurios dvi indiferentiškumo aib˙es arba nesikerta arba
sutampa. Jei preferencijos s ˛aryšis yra antisimetriškas, tai [x] = {x} su kiekvienu x ∈ X.
Kad išvengti trivialaus atvejo, toliau tariama, kad egzistuoja tokie x, y ∈ X, kad x ≻ y.
Kitas teiginys papildo racionaliojo preferencijos s ˛aryšio tranzityvumo savyb˛e.
2.2 Lema. Tarkime, kad (X, ) yra alternatyv ˛u laukas ir alternatyvoms x, y, z ∈ X galioja
preferencijos x y ir y z. Griežta preferencija x ≻ z galioja jei galioja bent viena iš
griežt ˛u preferencij ˛u x ≻ y arba y ≻ z.
˛Irodymas. Tarkime, kad griežta preferencija x ≻ z n˙era galima. Tada, remiantis 2.4 pratimu,
yra galima preferencija z x. D˙el preferencijos s ˛aryšio tranzityvumo ir lemos prielaid ˛u,
galime tvirtinti, kad yra galimos preferencijos y x ir z y. Kartu su prielaidom, tai reiškia,
kad galioja y ∼ x ir z ∼ y. Vadinasi n˙era galima nei x ≻ y nei y ≻ z. Šis prieštaravimas
˛irodo, kad griežta preferencija x ≻ z yra galima, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Pasirinkimo aib˙e. Sakykime, kad yra alternatyv ˛u aib˙es X preferencijos s ˛aryšis ir B ⊂ X.
Aib˛e
C(B) := C(B; ) := {x ∈ B: (∀ z ∈ B)[x z]} (2.3)
toliau vadinam ˛a pasirinkimo aibe, sudaro iš aib˙es B šiuo preferencijos s ˛aryšiu pasirinktos alternatyvos.
Aib˙eje B n˙era alternatyv ˛u, kurios b ūt ˛u geresn˙es už aib˙es C(B) alternatyvas. Iš tikro,
jei z ∈ B, x ∈ C(B) ir z ≻ x, tai x z, o to negali b ūti (kod˙el?). Tokiu b ūdu preferencijos
s ˛aryšis apibr˙ežia individo pasirinkim ˛a C(B) iš bet kurio alternatyv ˛u poaibio B ⊂ X. Jei
pasirinkimo aib˙e yra netuščia, tai ji – indiferentiškumo aib˙e (patikrinti!).
V˙eliau, spr˛esdami vartotojo optimalaus pasirinkimo problem ˛a, naudosim˙es pasirinkimo aib˙emis
sudarytomis iš biudžeto aibi ˛u, t. y. aib˙emis
φ(p, w) := C(β(p, w); ) = {x ∈ β(p, w): (∀ z ∈ β(p, w))[x z]}, (2.4)
kai p ∈ P yra kainos sistema ir w yra vartotojo pradinis turtas.
Tokiu b ūdu preferencijos s ˛aryšis ˛igalina pasirinkti „geriausias" alternatyvas iš bet kurio alternatyv
˛u poaibio. Tačiau realiame gyvenime preferencijos s ˛aryšis n˙era žinomas. Tod˙el svarbu
aprašyti proced ūr ˛a, ˛igalinanči ˛a nustatyti pat˛i preferencijos s ˛aryš˛i. Kitas teiginys rodo, kad preferencijos
s ˛aryšio žinojimas yra ekvivalentus vis ˛u pasirinkimo aibi ˛u iš dviej ˛u element ˛u žinojimui.
2.3 Lema. Sakykime, kad yra alternatyv ˛u aib˙es X pilnasis preferencijos saryšis ˛ ir x, y ∈ X.
Tada yra teisinga:
(a) griežta preferencija x ≻ y galioja tada ir tik tada, kai pasirinkimo aib˙e C({x, y}) = {x};
(b) indiferentiškumas x ∼ y galioja tada ir tik tada, kai pasirinkimo aib˙e C({x, y}) =
{x, y};
12

(c) pasirinkimo aib˙e C({x, y}) yra netuščia.
˛Irodymas. ˛Irodysime tik (a). Tarkime, kad galioja griežta preferencija x ≻ y. Tada x y ir
x x, t. y. x ∈ C({x, y}). Jei y ∈ C({x, y}), tai y x, kas prieštarauja prielaidai x ≻ y.
Tod˙el C({x, y}) = {x}.
Dabar tarkime atvirkščiai, kad C({x, y}) = {x}. Pagal prielaidas y ∈ C({x, y}) ir y y.
Tod˙el ¬[y x]. Kadangi, be to, x y, tai x ≻ y. Lemos ˛irodymas baigtas.
Kaip min˙eta, šis teiginys rodo, kad pasirinkimo aibi ˛u iš dviej ˛u element ˛u žinojimas ˛igalina
nustatyti preferencijos s ˛aryš˛i. Savo ruožtu, preferencijos s ˛aryšis ˛igalina anksčiau min˙etu b ūdu
nustatyti pasirinkimo aibes iš bet kuri ˛u alternatyv ˛u poaibi ˛u. Tačiau lieka svarbus klausimas apie
preferencijos s ˛aryšio ir pasirinkimo aibi ˛u savybes, užtikrinančias pasirinkimo „racionalum ˛a".
Šis klausimas yra nagrin˙ejamas toliau 2.4 skyrelyje.
Tolydusis alternatyv ˛u laukas. Paprastai ekonomikoje nagrin˙ejami racionalios preferencijos
s ˛aryšiai pasižymi papildomomis savyb˙emis. Viena iš j ˛u yra tolydumo savyb˙e.
2.4 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad alternatyv ˛u aib˙e X yra topologin˙e erdv˙e. Alternatyv ˛u lauk ˛a
(X, ) ir racional ˛uj˛i preferencijos s ˛aryš˛i vadinsime tolydžiu jei su kiekvienu x ∈ X,
aib˙es L(x) := {y ∈ X: y x} ir R(x) := {y ∈ X: x y} yra uždaros. (2.5)
Nesunku patikrinti, kad aib˙e R(x) yra uždara erdv˙eje X tada ir tik tada, kai y ∈ R(x) jei
y = limk→∞ yk ir yk ∈ R(x) su visais k.
Naudojantis 2.4 Pratimu galima ˛isitikinti, kad aib˙es {y ∈ X: y x} papildinys yra aib˙e
{y ∈ X: x ≻ y}, o aib˙es {y ∈ X: x y} papildinys yra aib˙e {y ∈ X: y ≻ x}. Tod˙el yra
teisingas
2.5 Teiginys. Alternatyv ˛u laukas (X, ) yra tolydus tada ir tik tada, kai su kiekvienu x ∈ X,
aib˙es {y ∈ X: y ≻ x} ir {y ∈ X: x ≻ y} yra atviros.
Nesunku patikrinti, kad toliau apibr˙ežtas preferencijos s ˛aryšis yra racionalus bet atitinkamas
alternatyv ˛u laukas n˙era tolydus (2.8 Pratimas).
2.6 Pavyzdys. Tegul x = (x1, . . . , xℓ) ir y = (y1, . . . , yℓ) yra du Euklidin˙es erdv˙es R ℓ elemenai.
Ab˙ec˙eliniu (angl. lexicographical) vadinamas preferencijos s ˛aryšis (L), jei su bet kuriais x, y ∈
R l , x (L) y tada ir tik tada, kai galioja viena iš trij ˛u s ˛alyg ˛u: (1) x1 > y1; (2) egzistuoja toks k,
2 ≤ k ≤ ℓ, kad xi = yi visiems 1 ≤ i < k ir xk > yk; ar (3) x = y.
Nesunku pasteb˙eti, kad ab˙ec˙elin˙e griežta preferencija x ≻(L) y galioja tada ir tik tada,
kai teisinga viena iš pirm ˛uj ˛u dviej ˛u ab˙ec˙elin˙es preferencijos apibr˙ežimo s ˛alyg ˛u, o ab˙ec˙elinis
indiferentiškumas x ∼(L) y galioja tada ir tik tada, kai x = y.
2.7 Teorema. Sakykime, kad (X, ) yra tolydusis alternatyv ˛u laukas ir B ⊂ X yra kompakti
aib˙e. Tada pasirinkimo aib˙e C(B) yra netuščia ir kompakti.
13

˛Irodymas. Naudojantis (2.5) žym˙ejimu, pasirinkimo aib˙e
C(B) = ∩x∈B[L(x) ∩ B]. (2.6)
Kadangi bet kurios uždar ˛u aibi ˛u šeimos sankirta yra uždara, C(B) yra uždara aib˙e erdv˙eje X.
Be to, C(B) yra kompakti, nes ji yra kompakčios aib˙es B uždaras poaibis. Parodysime, kad
C(B) yra netuščia. Tarkime, kad x1, . . . , xp ∈ B. Remiantis preferencijos s ˛aryšio racionalumu
ir baigtine matematine indukcija išplaukia, kad pasirinkimo aib˙e C({x1, . . . , xp}) yra netuščia,
t. y. tarp x1, . . . , xp alternatyv ˛u egzistuoja neblogesn˙e už visas kitas alternatyva. Tarkime, kad
tokia yra alternatyva xp, t. y. xp xi su visais i = 1, . . . , p. D˙el preferencijos s ˛aryšio tranzityvumo,
L(xp) ⊂ L(xi) su visais i = 1, . . . , p. Tada aibi ˛u sankirta ∩ p
i=1[L(xi) ∩ B] = L(xp) ∩ B
– netuščia. Kadangi alternatyvos x1, . . . , xp ∈ B laisvai pasirinktos, uždar ˛u aibi ˛u šeimos
{L(x) ∩ B: x ∈ B} bet kuri baigtin˙e sankirta yra netuščia. Remiantis A Priedo A.1 Teorema
ir aib˙es B kompaktumu, iš to išplaukia, kad (2.6) lygyb˙es dešin˙e pus˙e yra netuščia, kas ir
˛irodo, kad C(B) yra netuščia. Q. E. D.
Pratimai.
1. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. Irodyti, kad bet kuriam x ∈ X
n˙era galima griežta preferencija x ≻ x.
2. Jei aib˙es X preferencijos santykis yra tranzityvus, tai tranzityv ūs yra griežtos preferencijos
santykis ≻ ir indiferentiškumo santykis ∼.
3. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. ˛Irodyti, kad indiferentiškumo
santykis ∼ yra refleksyvus ir simetrinis.
4. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. ˛Irodyti, kad bet kuriems x, y ∈
X, griežta preferencija x ≻ y teisinga tada ir tik tada, kai ¬[y x].
5. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. ˛Irodyti, kad bet kuriems x, y ∈
X, preferencija x y teisinga tada ir tik tada, kai arba x ≻ y arba x ∼ y.
6. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. ˛Irodyti, kad bet kuriems x, y ∈
X, indiferentiškumas x ∼ y teisingas tada ir tik tada, kai ¬[x ≻ y] ir ¬[y ≻ x].
7. Tarkime, kad aib˙es X preferencijos santykis yra pilnas. ˛Irodyti, kad bet kuriems x, y ∈
X, arba x y arba y ≻ x.
8. ˛Irodyti, kad ab˙ec˙elinis preferencijos s ˛aryšis (L) (2.6 Pavyzdys) yra racionalus bet atitinkamas
alternatyv ˛u laukas (R ℓ , (L)) n˙era tolydus.
14

2.2 Naudingumo funkcija
Šiame skyrelyje nagrin˙ejamas funkcija apibr˙ežiamas preferencijos s ˛aryšis. Tarkime, kad X yra
alternatyv ˛u aib˙e, o u: X → R – funkcija. Su bet kuriais x, y ∈ X sakysime, kad x u y
tada ir tik tada, kai u(x) ≥ u(y). Kai kuriais atvejais patogiau tirti realias reikšmes ˛igyjanči ˛a
funkcij ˛a u, negu tiesiogiai tirti šia funkcija nusakom ˛a preferencijos s ˛aryš˛i u. Tod˙el svarbu
nustatyti kada preferncijos s ˛aryšis yra išreiškiamas funkcija ir jei taip yra, nustatyti atitikim ˛a
tarp funkcijos u ir preferencijos s ˛aryšio u savybi ˛u.
Remiantis tuo, kad (R, ≥) yra visiškai sutvarkyta aib˙e, nesunku ˛isitikinti tuo, kad preferencijos
s ˛aryšis u alternatyv ˛u aib˙eje X yra racionalus. B ūtent yra teisingas
2.8 Teiginys. Jei X yra alternatyv ˛u aib˙e ir u: X ↦→ R – funkcija, tai pora (X, u) yra alternatyv
˛u laukas.
Taigi, bet kuris funkcija apibr˙ežiamas preferencijos s ˛aryšis yra racionalus. Tod˙el apibr˙eždami
naudingumo funkcij ˛a galime tarti, kad preferencijos s ˛aryšis yra racionalus.
2.9 Apibr˙ežimas. Funkcija u: X → R vadinama alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija,
arba sakoma, kad alternatyv ˛u laukas (X, ) yra išreiškiamas naudingumo funkcija u, jei
= u t. y. su visais x, y ∈ X,
u(x) ≥ u(y) tada ir tik tada, kai x y. (2.7)
Sakykime, kad alternatyv ˛u aib˙eje turime racional ˛u preferencijos s ˛aryš˛i. Klausimas: ar toks
s ˛aryšis visada išreiškiamas naudingumo funkcija? Bendru atveju atsakymas ˛i š˛i klausim ˛a yra
neigiamas. Tai išplaukia iš kito teiginio kadangi ab˙ec˙elinis preferencijos s ˛aryšis yra racionalus.
2.10 Teiginys. Sakykime, kad (L) yra alternatyv ˛u aib˙es R 2 ab˙ec˙elinis preferencijos saryšis. ˛
Neegzistuoja funkcija u: R 2 → R tokia, kad u = (L).
˛Irodymas. Tarkime priešingai, kad u: R 2 → R yra tokia funkcija, kad u = (L). Tada su bet
kuriais x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R 2 ,
u(x) ≥ u(y) ⇐⇒ x1 > y1 arba [ x1 = y1 ir x2 ≥ y2 ].
Fiksuokime reali ˛uj ˛u skaiči ˛u por ˛a y2 < x2 ir apibr˙ežkime funkcijas f := u(·, x2), g := u(·, y2).
Naudojantis 2.1 Pratimu, nesunku patikrinti, kad su bet kuriuo realiuoju skaičiumi z, atviras
intervalas (g(z), f(z)) = (u(z, y2), u(z, x2)) yra netuščias. Be to, su bet kuriais dviem realiaisiais
skaičiais z1, z2 intervalai (g(z1), f(z1)) ir (g(z2), f(z2)) nesikerta. Tokiu b ūdu gavome,
kad egzistuoja abipus vienareikšm˙e atitiktis tarp (nesuskaičiuojamos) reali ˛uj ˛u skaiči ˛u aib˙es ir
(skaičios) netušči ˛u bei nesikertanči ˛u atvir ˛u interval ˛u aib˙es. Ši prieštara ˛irodo teigin˛i.
Toliau matysime, kad Euklidin˙eje erdv˙eje bet kuris tolyd ˛u alternatyv ˛u lauk ˛a apibr˙ežiantis
preferencijos s ˛aryšis yra išreiškiamas tolydži ˛aja naudingumo funkcija. Šio fakto ˛irodymas n˙era
lengvas. Tod˙el verta prad˙eti nuo paprastesnio ir tolydumo poži ūriu bendresnio teiginio ˛irodymo.
B ūtent ˛irodysime, kadbaigtin˙es alternatyv ˛u aib˙es racionalusis preferencijos s ˛aryšis visada
išreiškiamas naudingumo funkcija.
15

2.11 Teiginys. Sakykime, kad X yra baigtin˙e alternatyv ˛u aib˙e. Tada kiekvienas alternatyv ˛u
laukas (X, ) yra išreiškiamas naudingumo funkcija.
˛Irodymas. Sakykime, kad yra alternatyv ˛u aib˙es X racionalusis preferencijos s ˛aryšis. Su
kiekvienu x ∈ X, apibr˙ežkime aib˛e R(x) := {z ∈ X: x z} ir skaiči ˛u u(x) := #R(x), kuris
yra aib˙es R(x) element ˛u skaičius. Tai, kad funkcija u yra alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo
funkcija parodysime naudodamiesi 2.2 Pratimu. Sakykime, kad x, y ∈ X.
Iš pradži ˛u tarkime, kad x y. Pakanka parodyti, kad R(x) ⊃ R(y). Tegul z ∈ R(y). Tada
y z. Kadangi x y, remiantis preferencijos s ˛aryšio tranzityvumu, x z, tai yra z ∈ R(x).
Iš čia išplaukia tai, kad R(x) ⊃ R(y).
Dabar tarkime, kad x ≻ y. Kaip ir ankstesniame žingsnyje gauname, kad R(x) ⊃ R(y).
Remiantis 2.4 Pratimu, galioja ¬[y x]. Tod˙el x ∈ R(x) bet x ∈ R(y), tai u(x) = #R(x) >
#R(y) = u(y). Tokiu b ūdu (2.7) ˛irodyta remiantis 2.2 Pratimu. 2.11 Teiginio ˛irodymas baigtas.
Sakykime, kad u yra alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija. Jei x ∈ X ir r :=
u(x), tai
{z ∈ X: u(z) ≥ r} = {z ∈ X: z x}
{z ∈ X: u(z) ≤ r} = {z ∈ X: x z}.
ir
(2.8)
Tokiu b ūdu, jei funkcija u yra tolydi, tai visos šios aib˙es yra uždaros ir tod˙el alternatyv ˛u laukas
(X, ) yra tolydusis. Toliau parodysime, kad pakankamai bendroje alternatyv ˛u aib˙eje X
teisingas atvirkščias teiginys. Atskiru atveju jis teisingas, kai alternatyv ˛u aib˙e yra bet kuris
Euklidin˙es erdv˙es R ℓ poaibis.
2.12 Teorema. Sakykime, kad X yra skaičia˛ atvir ˛u aibi ˛u baz˛e turinti topologin˙e erdv˙e, o alternatyv
˛u laukas (X, ) yra tolydus. Tada jis yra išreiškiamas tolydžiaja ˛ naudingumo funkcija.
˛Irodymas. Tegul U1, U2, . . . yra skaiti atvir ˛u aibi ˛u baz˙e erdv˙eje X. Su kiekvienu x ∈ X,
apibr˙ežkime
N(x) := {n ∈ N: x ≻ z, ∀ z ∈ Un} ir v(x) :=
n∈N(x)
čia suma lygi nuliui jei N(x) = ∅. Jei y x, tai N(y) ⊇ N(x) ir tod˙el v(y) ≥ v(x). Tarkime,
kad y ≻ x. Kadangi aib˙e G(y) := {z ∈ X: y ≻ z} yra atvira, egzistuoja tokia baz˙es atviroji
aib˙e Un, kad x ∈ Un ir Un ⊂ G(y). Tod˙el v(y) > v(x) kadangi n ∈ N(y) bet n ∈ N(x).
Remiantis 2.2 Pratimu, v yra naudingumo funkcija. Tačiau funkcija v neb ūtinai tolydi.
Tolydžios naudingumo funkcijos ˛irodymui naudosim˙es tokia funkcijos tolydum ˛a užtikrinančia
savybe. Sakykime, kad S yra reali ˛uj ˛u skaiči ˛u aib˙e. Šios aib˙es spraga (angl. lacuna)
vadinamas toks su S nesikertantis ir neišsigim˛es reali ˛uj ˛u skaiči ˛u intervalas, kurio galai (t. y.
tikslieji viršutinis ir apatinis r˙ežiai) priklauso S. Didžiausia aib˙es S spraga vadinama plyšiu
(angl. gap).
2.13 Lema. Tolydžiojo alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija g: X → R yra tolydi jei
vaizdo aib˙es g(X) plyšys yra atviras.
16
1
;
2n

˛Irodymas. Funkcija g yra tolydi tada ir tik tada, kai su bet kuriuo r ∈ R
aib˙e U(r) := {z ∈ X: g(z) ≤ r} yra uždara, t. y. g – pusiautolydi iš apačios, ir
aib˙e V (r) := {z ∈ X: g(z) ≥ r} yra uždara, t. y. g – pusiautolydi iš viršaus.
Parodysime, kad iš tikro aib˙es U(r) ir V (r) yra uždaros su bet kuriuo r ∈ R.
I atvejis: r ∈ g(X), t. y. r = g(x) su kuriuo nors x ∈ X. Tada aib˙es U(r) ir V (r) yra
uždaros d˙eka (2.8) s ˛aryši ˛u su g vietoje u ir d˙el (X, ) alternatyv ˛u lauko tolydumo.
II atvejis: r priklauso atviram g(X) plyšiui, t. y. r ∈ (a, b) ir a, b ∈ g(X). Tada
U(r) = {z ∈ X: g(z) ≤ r} = {z ∈ X: g(z) ≤ a} ir
V (r) = {z ∈ X: g(z) ≥ r} = {z ∈ X: g(z) ≥ b}.
Šios aib˙es yra uždaros remiantis I atveju.
III atvejis:
Tolydžiosios naudingumo funkcijos egzistavimo ˛irodymui užbaigti pakanka parodyti, kad
egzistuoja tokia funkcija f: v(X) → R, kuri yra did˙ejanti, o jos vaizdas gali tur˙eti tik atvirus
plyšius. Tada trokštama tolydžioji naudingumo funkcija yra kompozicija u := f◦v. Taigi liko
pasiremti teiginiu:
2.14 Lema. Sakykime, kad S yra reali ˛uj ˛u skaiči ˛u aib˙e. Egzistuoja tokia did˙ejanti funkcija
f: S → R, kurios vaizdo f(S) plyšiai yra atviri intervalai.
Šis teiginys vadinamas „plyšio lema" (angl. Gap Lemma). Originalus šio teiginio ˛irodymas
yra pateiktas Debreu [5, 12 Skyrius]. „Plyšio lema" yra fundamentalus naudingumo funkcij ˛u
teorijos rezultatas, iš kurio išplaukia daug gyli ˛u šios teorijos išvad ˛u ir taikym ˛u. Šiuo metu yra
žinoma keletas skirting ˛u šios lemos ˛irodym ˛u. 2.12 Teoremos ˛irodymas baigtas.
Tegul u yra alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija, o φ: u(X) ↦→ R yra did˙ejanti,
t. y. griežtai monotonin˙e, funkcija. Tada kompozicija φ◦u yra to paties alternatyv ˛u lauko
(X, ) naudingumo funkcija. Teisingas ir atvirkščias teiginys. Tarkime, kad u ir v yra dvi to
paties alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcijos. Tada egzistuoja tokia did˙ejanti funkcija
ψ: u(X) ↦→ R, kad v = φ◦u. Iš tikr ˛uj ˛u, su kiekvienu r ∈ u(X) ⊂ R, apibr˙ežkime φ(r) := v(x);
čia x yra bet kuris aib˙es u −1 (r) := {x ∈ X: u(x) = t} elementas. Toks apibr˙ežimas yra korektiškas,
kadangi u −1 (r) yra alternatyv ˛u lauko (X, ) indiferentiškumo aib˙e (patikrinti). Be
to, funkcija φ yra did˙ejanti: jei s, t ∈ u(X) ir s > t, tai x ≻ y su bet kuriais x ∈ u −1 (s),
y ∈ u −1 (t), ir tod˙el φ(s) = v(x) > v(y) = φ(t). Pagaliau v(x) = φ(u(x)) teisinga su visais
x ∈ X pagal φ apibr˙ežim ˛a. Tokiu b ūdu ˛irodytas
2.15 Teiginys. Sakykime, kad u, v: X ↦→ R yra funkcijos ir u yra alternatyv ˛u lauko (X, )
naudingumo funkcija. Tada v taip pat yra (X, ) naudingumo funkcija tada ir tik tada, kai
egzistuoja tokia did˙ejanti funkcija φ: u(X) ↦→ R, kad v = φ◦u.
17

Pratimai.
1. Funkcija u: X ↦→ R yra alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija tada ir tik tada,
kai išpildyta (a) ir (b), čia
(a) su visais x, y ∈ X, y ≻ x tada ir tik tada, kai u(y) > u(x);
(b) su visais x, y ∈ X, y ∼ x tada ir tik tada, kai u(y) = u(x).
2. Funkcija u: X ↦→ R yra alternatyv ˛u lauko (X, ) naudos funkcija tada ir tik tada, kai
išpildyta (a) ir (b), čia
(a) su visais x, y ∈ X, jei y x tai u(y) ≥ u(x);
(b) su visais x, y ∈ X, jei y ≻ x tai u(y) > u(x).
2.3 Alternatyv ˛u lauko savyb˙es ir pavyzdžiai
Toliau šiame skyrelyje tariama, kad alternatyv ˛u aib˙e X yra Euklidin˙es erdv˙es R ℓ poaibis. Tai
yra atskiras topologin˙es erdv˙es atvejis, kurioje yra apibr˙ežtos tiesin˙es operacijos, suderintos su
topologija apibr˙ežiama naudojantis skaliarine sandauga (detaliau paaiškinta Priede). Ši papildoma
matematin˙e strukt ūra leidžia išskirti ir tirti subtilesnes alternatyv ˛u aib˙es savybes.
Iškilumas. Šiose paskaitose aptariamoji bendrosios ekonomin˙es pusiausvyros versija iš esm˙es
remiasi aib˙es iškilumo savybe. Priminsime, kad tiesin˙es erdv˙es aib˙e X vadinama iškila jei,
kartu su bet kuriais šios aib˙es elementais x, y, jai taip pat priklauso elementai λx + (1 − λ)y
su kiekvienu λ ∈ (0, 1). Greta alternatyv ˛u aib˙es iškilumo, bus reikalaujama ir panašios, toliau
apibr˙ežiamos, alternatyv ˛u lauko savyb˙es.
2.16 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad alternatyv ˛u aib˙e X ⊂ R ℓ yra iškila. Alternatyv ˛u laukas
(X, ) vadinamas iškilu jei yra iškila aib˙e {z ∈ X: z x} su visais x ∈ X.
Kaip matysime, alternatyv ˛u lauko iškilumas reiškia, kad indiferentišk ˛u alternatyv ˛u „mišinys"
yra neblogesnis už kiekvien ˛a j ˛u atskirai. Iš tikro, alternatyv ˛u lauko iškilumo apibr˙ežimas
ekvivalentus bet kuriai iš kitoje lemoje formuluojam ˛u savybi ˛u (b) ir (c), o si ūloma iškilumo
interpretacija išplaukia iš (b) savyb˙es.
2.17 Lema. Sakykime, kad alternatyv ˛u aib˙e X ⊂ R ℓ yra iškila. Alternatyv ˛u lauko (X, )
savyb˙es (a), (b) ir (c) yra ekvivalenčios:
(a) (X, ) yra iškilas;
(b) su bet kuriais x, y ∈ X, jei y x, tai λy + (1 − λ)x x su kiekvienu λ ∈ [0, 1];
(c) aib˙e {z ∈ X: z ≻ x} yra iškila su visais x ∈ X.
18

˛Irodymas. (a) ⇒ (b): Jei x, y ∈ X ir y x, tai x, y ∈ {z ∈ X: z x} = L(x). Kadangi
L(x) aib˙e yra iškila, tai λy + (1 − λ)x ∈ L(x) su kiekvienu λ ∈ [0, 1]. Iš čia ir išplaukia (a)
savyb˙e.
(b) ⇒ (c): Tegul λ ∈ [0, 1]. Parodysime, kad iš y ≻ x ir z ≻ x išplaukia λy +(1−λ)z ≻ x.
Remiantis pilnumo aksioma A.1, galioja arba z y arba y z. Pirmuoju atveju, (b) s ˛alygos
d˙eka, λz + (1 − λ)y y. Remiantis 2.2 Lema, iš pastarojo s ˛aryšio ir y ≻ x gauname, kad
λz + (1 − λ)y ≻ x. Antruoju atveju, ta pati išvada išplaukia analogiškai pasinaudojus tuo, kad
z ≻ x. Tokiu b ūdu ˛irod˙eme (c) savyb˛e.
(c) ⇒ (a): Tarkime, kad (a) savyb˙e neteisinga. Tada egzistuoja tokios alternatyvs x, y, z ∈
X ir λ ∈ (0, 1), kad z x, y x bet λz + (1 − λ)y x neteisinga. Tada naudojantis 2.4
Pratimo teiginiu, teisingas x ≻ λz + (1 − λ)y s ˛aryšis. Remiantis 2.2 Lema, iš šio s ˛aryšio kartu
su z x išplaukia s ˛aryšis z ≻ λz + (1 − λ)y. Simetriški samprotavimai leidžia tvirtinti, kad
y ≻ λz + (1 − λ)y. Remiantis (c) savybe, tada yra teisingas λz + (1 − λ)y ≻ λz + (1 − λ)y
s ˛aryšis, kuris prieštarauja 2.1 Pratimo teiginiui. Vadinasi (a) savyb˙e teisinga. 2.17 Lemos
˛irodymas baigtas.
Neretai alternatyv ˛u lauko savybes galima charakterizuoti j˛i išreiškiančios naudingumo funkcijos
savyb˙emis. Taip yra ir su alternatyv ˛u lauko iškilumu; tokia j˛i išreiškiančios naudingumo
funkcijos savyb˙e yra kvazi-˛igaubtumas.
2.18 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad X ⊂ R ℓ . Funkcija u: X ↦→ R vadinama kvazi-˛igaubta jei
u(λx + (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)} su visais x, y ∈ X ir su bet kuriais λ ∈ [0, 1].
Toliau formuluojama min˙etoji iškilumo charakterizacijos savyb˙e. Jos ˛irodymas si ūlomas
kaip pratimas skaitytojui.
2.19 Teiginys. Sakykime, kad alternatyv ˛u laukas (X, ) yra išreiškiamas naudingumo funkcija
u: X → R. Tada (X, ) yra iškilas tada ir tik tada, kai u yra kvazi-˛igaubta.
Pirmajame skyrelyje buvo nagrin˙ejama pasirinkimo aib˙e parodant, kad tam tikrais atvejais
ji yra netuščia. V˙eliau parodysime (3.2 Teorema), kad tokia aib˙e, tiksliau biudžeto aib˙e, yra
sudaryta iš vienintelio elemento jei ji pasižymi toliau apibr˙ežiama savybe (palygink j ˛a su 2.17
Lemos (b) savybe) .
2.20 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad X ⊂ R ℓ . Alternatyv ˛u laukas (X, ) vadinamas griežtai
iškilu jei tokioms alternatyvoms x, y ∈ X, kad x = y ir x y, griežta preferencija λx + (1 −
λ)y ≻ y galioja su kiekvienu λ ∈ (0, 1).
Griežtai iškilo alternatyv ˛u lauko indiferentiškumo aib˙e neturi atkarp ˛u. Be to, griežtai iškilo
alternatyv ˛u lauko (X, ) naudingumo funkcija u tenkina savyb˛e: u(λx + (1 − λ)y) > u(y) su
visais λ ∈ (0, 1) jei x, y ∈ X, x = y ir x y.
Monotoniškumas. Toliau aptariama preferencijos s ˛aryšio savyb˙e išreiškia individo poreikio
tokioms alternatyvoms, kaip g˙eryb˙es, pob ūd˛i. Alternatyv ˛ukiekio (o ne suteikiamo naudingumo)
lyginimas Euklidin˙eje erdv˙eje gali b ūti išreikštas ˛iprasta nelygybe tarp vektori ˛u. B ūtent, tarp
19

et kuri ˛u Euklidin˙es erdv˙es R ℓ vektori ˛u x = (x1, . . . , xℓ) ir y = (y1, . . . , yℓ) yra apibr˙ežtas
binarusis s ˛aryšis x ≥ y reiškiantis, kad xi ≥ yi su visais i = 1, . . . , ℓ.
2.21 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad X ⊂ R ℓ yra alternatyv ˛u aib˙e ir yra šios aib˙es racionalusis
preferencijos s ˛aryšis. Alternatyv ˛u laukas (X, ) vadinamas silpnai monotoniniu jei su kiekvienu
x, y ∈ X iš nelygyb˙es x ≥ y išplaukia preferencija x y. Jei iš nelygybi ˛u x ≥ y ir
x = y išplaukia griežta preferencija x ≻ y tai alternatyv ˛u laukas (X, ) vadinamas stipriai
monotoniniu.
Nesunku pasteb˙eti, kad stipriai monotoninis alternatyv ˛u laukas taip pat yra silpnai monotoninis.
Preferencijos s ˛aryšio stipraus monotoniškumo savyb˛e galima interpretuoti kaip individo
„godumo" išraiška: nepriklausomai nuo esamo gerov˙es lygmens, bet koks alternatyv ˛u rinkinio
padid˙ejimas suteikia griežtai stipresn˛i pasitenkinim ˛a.
Tarkime, kad yra alternatyv ˛u aib˙es R ℓ + racionalusis preferencijos s ˛aryšis. Su kiekvienu
x ∈ R ℓ +, apibr˙ežkime
u(x) := sup {r ≥ 0: x re = (r, . . . , r)}, (2.9)
kai e := (1, . . . , 1) ∈ R ℓ + yra vienetinis vektorius, o tuščios aib˙es supremumas yra −∞. Parodysime,
kad u yra naudingumo funkcija jei alternatyv ˛u laukas yra tolydus ir stipriai monotoninis.
2.22 Teorema. Sakykime, kad alternatyv ˛u laukas (R ℓ +, ) yra tolydus ir stipriai monotoninis.
Tada (2.9) saryšiu ˛ apibr˙ežta funkcija u: R ℓ + → R+ yra tolydžioji alternatyv ˛u lauko (Rℓ +, )
naudingumo funkcija.
˛Irodymas. Tarkime, kad x ∈ R ℓ +. Kadangi x ≥ 0 (= 0e) ir tod˙el x 0 d˙el alternatyv ˛u lauko
silpno monotoniškumo, aib˙e {r ≥ 0: x re} netuščia. Be to, ši aib˙e yra apr˙ežta. Jei ne, tai su
visais pakankamai dideliais n, ne ≥ x ir x ne. D˙el griežto monotoniškumo, x ne ≻ x.
Remiantis 2.2 Lema x ≻ x - prieštaravimas ˛irodantis, kad {r ≥ 0: x re} aib˙e apr˙ežta. Tod˙el
u(x) < +∞ ir (2.9) korektiškai apibr˙ežia funkcij ˛a u: R ℓ + → R+.
Parodysime, kad u yra alternatyv ˛u lauko (R ℓ +, ) naudingumo funkcija. Kadangi (R ℓ +, )
yra tolydus, remiantis (2.9) apibr˙ežimu gauname, kad
u(x)e ∼ x (2.10)
su kiekvienu x ∈ R ℓ +. Iš čia nesunkiai išplaukia, kad u(x) = u(y) tada ir tik tada, kai x ∼ y.
Remiantis 2.1 Pratimu, pakanka parodyti, kad u(x) > u(y) tada ir tik tada, kai x ≻ y. Jei
u(x) > u(y), tai d˙el stipraus monotoniškumo
x u(x)e ≻ u(y)e y
ir tod˙el x ≻ y remiantis 2.2 Lema. Atvirkščiai, jei x ≻ y, tai
u(x)e x ≻ y u(y)e
ir tod˙el u(x)e ≻ u(y)e remiantis 2.2 Lema. Jei b ūt ˛uu(x) ≤ u(y), tai gautume prieštaravim
˛a paskutinei išvadai d˙el silpno monotoniškumo ir 2.4 Pratimo. Tod˙el u(x) > u(y). Iš čia
išplaukia, kad u yra naudingumo funkcija.
20

Tarkime, kad limn→∞ xn = x erdv˙eje R ℓ +. Parodysime, kad u(xn) → u(x) kai n → ∞.
Sakykime, kad taip n˙era. Tada egzistuoja toks begalinis posekis {u(x ′ n)}, kuris nepriklauso
kuriai nors u(x) aplinkai. Kadangi erdv˙eje R ℓ + konverguojanti seka yra apr˙ežta, o preferencijos
s ˛aryšis yra silpnai monotoniškas, tai seka {u(x ′ n)} yra apr˙ežta. Be to, iš kiekvienos apr˙ežtos
reali ˛uj ˛u skaiči ˛u sekos galima išrinkti konverguojant˛i posek˛i. Tod˙el galime tarti, kad u(x ′ n) →
α su n → ∞ kuriam nors α = u(x). Tarkime, kad α > u(x) ir β := [α+u(x)]/2. Kadangi
α > β, u(x ′ n) > β ir tod˙el u(x ′ n)e ≻ βe su visais pakankamai dideliais n. Remiantis
(2.10), x ′ n ∼ u(x ′ n)e su visais n. Kadangi nagrin˙ejamas alternatyv ˛u laukas tolydus, o x ′ n → x,
iš čia išplaukia, kad u(x)e ∼ x βe – prieštaravimas tam, kad β > u(x). Simetriški
argumentai rodo, kad prieštaravimas gaunamas ir tuo atveju, kai α < u(x). Tod˙el prielaida,
kad begalinis posekis {u(x ′ n)} nepriklauso kuriai nors u(x) aplinkai, yra negalima. Vadinasi
u(xn) → u(x) su n → ∞, t. y. naudingumo funkcija u tolydi. Teoremos ˛irodymas baigtas.
Sakykime, kad (R ℓ , ) yra stipriai monotoninis alternatyv ˛u laukas. Bet kurioje šio lauko
alternatyv ˛u vektoriaus aplinkoje yra už j˛i didesni ir tod˙el griežtai geresni alternatyv ˛u vektoriai.
Neretai pakaks vienos šios savyb˙es, d˙el ko pateisinamas kitas apibr˙ežimas.
2.23 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad X ⊂ R ℓ ir · yra Euklidin˙es erdv˙es norma. Alternatyv ˛u
laukas (X, ) vadinamas lokaliai nepasotinamu (angl. local nonsatiation), jei duotiems x ∈ X
ir ɛ > 0 egzistuoja toks alternatyv ˛u vektorius y ∈ X, kad x − y < ɛ ir y ≻ x. alternatyv ˛u
laukas (X, ) vadinamas nepasotinamu, jei kiekvienam x ∈ X egzistuoja toks alternatyv ˛u
vektorius y ∈ X, kad y ≻ x.
Lokalus nepasotinamumas reiškia, kad bet kurios alternatyvos kiekvienoje aplinkoje visada
egzistuoja geresn˙e alternatyva. Lokaliai nepasotinamo g˙erybi ˛u lauko indifirentiškumo aib˙es
negali tur˙eti netuščio vidaus ir šia prasme jos yra „plonos".
Panagrin˙esime kelet ˛a naudingumo funkcijos pavyzdži ˛u.
Tobulieji pakaitalai. Sakykime, kad realieji skaičiai a > 0 ir b > 0. Naudingumo funkcija
u(x) = ax1 + bx2, x = (x1, x2) ∈ R 2 +, (2.11)
apibr˙ežtas alternatyv ˛u laukas (X, ), X ⊂ R 2 + vadinamas tobulaisiais pakaitalais. Šio alternatyv
˛u lauko indiferentiškumo aib˙e
{(x1, x2) ∈ R 2 +: ax1 + bx2 = c}, c > 0,
yra atkarpa, kurios nuolydis (angl. slope) yra pastovus dydis −(a/b) nes x2 = c/b − (a/b)x1, o
alternatyvos yra keistinos santykiu a/b. Alternatyvas interpretuojant g˙eryb˙emis, dvi g˙eryb˙es yra
tobulaisiais pakaitalais, jei vartotojas nor˙et ˛u vien ˛a iš j ˛u keisti kita pastoviu santykiu. Pavyzdžiui,
kai a = b = 1, vienodai geistinamomis alternatyvomis gal˙et ˛u b ūti skirting ˛u spalv ˛u pieštukai.
Šio alternatyv ˛u lauko indiferentiškumo aib˛e sudaro tokios alternatyvos (x1, x2) ∈ R 2 +, kad x1 +
x2 = const. Apskritai, tobulieji pakaitalai yra iškilas bet ne griežtai iškilas alternatyv ˛u laukas.
21

Tobulieji papildiniai. Sakykime, kad realieji skaičiai a > 0 ir b > 0. Naudingumo funkcija
u(x) = min{ax1, bx2}, x = (x1, x2) ∈ R 2 +, (2.12)
apibr˙ežtas alternatyv ˛u laukas (X, ), X ⊂ R 2 + vadinamas tobulaisiais papildiniais. Alternatyvas
interpretuojant g˙eryb˙emis, tobulieji papildiniai yra g˙eryb˙es, kurios visada vartojamos kartu
ir pastoviu santykiu. Kai a = b = 1, toki ˛u g˙erybi ˛u pavyzdžiu gal˙et ˛u b ūti dešiniosios ir kairiosios
kojos batai. Šiuo atveju (2.12) naudingumo funkcija išreiškiamas preferencijos s ˛aryšis
nurodo, kad vartotoj ˛a domina tik maksimalus iš x1 ir x2 sudaryt ˛u por ˛u skaičius. Apskritai, tobulieji
papildiniai taip pat yra iškilas bet ne griežtai iškilas alternatyv ˛u laukas. (2.12) naudingumo
funkcija naudojama gamybos funkcijai apibr˙ežti vadinamosios Leontief’o technologijos atveju.
Cobb’o–Douglas’o naudingumo funkcija. Sakykime, kad realieji skaičiai c > 0 ir d > 0.
Naudingumo funkcija
u(x) = x c 1x d 2, x = (x1, x2) ∈ R 2 +, (2.13)
apibr˙ežtas alternatyv ˛u laukas (R 2 +, ) vadinamas Cobb’o–Douglas’o alternatyv ˛u lauku. Kaip
žinome, monotonin˙e naudingumo funkcijos transformacija nekeičia alternatyv ˛u lauko. Pak˙el˛e
naudingumo funkcij ˛a laipsniu 1/(c+d) ir pažym˙ej˛e ɛ := c/(c+d), gauname t ˛a pat˛i alternatyv ˛u
lauk ˛a išreikšt ˛a tokia naudingumo funkcija:
v(x) = x ɛ 1x 1−ɛ
2 , x = (x1, x2) ∈ R 2 +. (2.14)
P. Douglas buvo XX amžiaus Čikagos universiteto ekonomistas o Ch. Cobb buvo Amerikos
koledžo matematikas. (2.13) naudingumo funkcija taip pat yra naudojama gamybos funkcijai
apibr˙ežti vadinamosios Cobb’o–Douglas’o technologijos atveju.
CES naudingumo funkcija. Sakykime, kad realieji skaičiai a > 0, b > 0 ir 0 < ρ < ∞.
CES naudingumo funkcija (angl. the constant elasticity of substitution) yra
u(x) = [ax ρ
1 + bx ρ
2] 1/ρ , x = (x1, x2) ∈ R 2 +.
Kai ρ = 1 gauname tobul ˛uj ˛u pakaital ˛u naudingumo funkcij ˛a (2.11).
Pratimai.
1. ˛Irodyti 2.19 Teigin˛i.
2. Parodyti, kad tobul ˛uj ˛u pakaital ˛u alternatyv ˛u laukas (R 2 +, ) yra tolydus, stipriai monotoninis,
iškilas bet ne griežtai iškilas.
3. Parodyti, kad tobul ˛uj ˛u papildini ˛u alternatyv ˛u laukas (R 2 +, ) yra tolydus, silpnai monotoninis
bet ne stipriai monotoninis, iškilas bet ne griežtai iškilas.
4. Parodyti, kad Cobb’o–Douglas’o alternatyv ˛u laukas (R 2 +, ) yra tolydus, stipriai monotoninis
ir griežtai iškilas. (˛Irodant pastar ˛aj ˛a savyb˛e galima naudotis (2.14) išraiška,
funkcijos u ↦→ u ɛ , 0 < ɛ < 1, ˛igaubtumu ir tuo, kad iš ab ≥ 1 išplaukia a + b ≥ 2.)
22

5. Parodyti, kad CES naudingumo funkcijos parametrui ρ → 0 riboje gaunama Cobb’o–
Douglas’o naudingumo funkcija (2.14) su ɛ = a/(a + b).
6. Parodyti, kad CES naudingumo funkcijos parametrui ρ → −∞ riboje gaunama Leontief’o
naudingumo funkcija (2.12) su a = b = 1.
7. Alternatyv ˛u aib˙es X preferencijos s ˛aryšis vadinamas monotoniniu, jei su bet kuriais
x, y ∈ X ir y ≫ x galioja griežta preferencija y ≻ x; čia y = {yi} ≫ {xi} = x
reiškia yi > xi su kievienu i. Parodyti, jog tranzityvus, lokaliai nepasotinamas ir silpnai
monotoninis preferencijos s ˛aryšis yra monotoninis.
2.4 Atskleistoji preferencija
Ankstesniuose skyreliuose apibr˙ež˙eme ir nagrin˙ejome racional ˛uj˛i preferencijos s ˛aryš˛i ir naudingumo
funkcij ˛a. Žinant individo preferencijas, nesunku apibudinti jo pasirinkimus. Tačiau
preferencijos s ˛aryšis neegzistuoja tikrov˙eje išreikštiniame pavidale. D˙el to kyla klausimas, ar
galima nustatyti preferencijos s ˛aryš˛i bei jo savybes netiesiogiai – stebint individo elges˛i? Atsakydami
˛i š˛i klausim ˛a pasinaudosime tuo, kad iš principo galima steb˙eti ˛ivairius individo pasirinkimo
atvejus esant skirtingoms alternatyv ˛u aib˙ems. Žinant tokio pasirinkimo rezultatus galima
tik˙etis sukonstruoti steb˙et ˛aj˛i pasirinkim ˛a atitinkančius preferencijos s ˛aryš˛i ir naudingumo funkcij
˛a. Tokia pasirinkimo rekonstrukcija yra vadinama atskleistosios preferencijos analize (angl.
revealed preference analysis).
Pasirinkimo strukt ūra. 2.1 skyrelyje jau iliustravome preferencijos ir pasirinkimo tarpusavio
priklausomyb˛e apibr˙eždami (2.3) lygybe pasirinkimo aib˛e C(B; ) ⊂ X. Toliau ši ˛a aib˛e
žym˙esime su žvaigždute:
C ∗ (B) ≡ C ∗ (B, ) := {x ∈ B: (∀ y ∈ B)[x y]} ⊂ B (2.15)
su bet kuria alternatyv ˛u aibe B ⊂ X. Remiantis 2.7 Teorema, jei (X, ) yra tolydusis alternatyv
˛u laukas ir aib˙e B ⊂ X kompakti, tai pasirinkimo aib˙e C ∗ (B) netuščia. Sakykime, kad B ∗
žymi alternatyv ˛u aib˙es X vis ˛u netušči ˛u ir kompakči ˛u paibi ˛u klas˛e, o (X, ) yra tolydusis alternatyv
˛u laukas. Tada (2.15) pasirinkimo aib˙es apibr˙ežia tai, k ˛a vadinsime pasirinkimu C ∗ (·).
Tiksliai kalbant, pasirinkimas yra atitiktis iš aib˙es B ∗ ˛i aib˛e X:
C ∗ (·): B ↦→ C ∗ (B; ) ⊂ B, ∀B ∈ B ∗ . (2.16)
Priminsime, jog atitiktimi (angl. correspondence) φ iš aib˙es S ˛i aib˛e T vadinama taisykl˙e, su
kiekvienu elementu s ∈ S, priskirianti netušči ˛a poaib˛i φ(s) ⊂ T . Jei su kiekvienu s ∈ S, aib˛e
φ(s) sudaro tik vienas T elementas, tai φ vadinama funkcija arba atvaizdžiu (daugiau apie tai
bus Priede).
2.24 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad X yra alternatyv ˛u aib˙e ir B yra netušči ˛u X poaibi ˛u klas˙e.
Pasirinkimu (angl. choice) vadinsime toki ˛a atitikt˛i C(·) iš B ˛i X, kad C(B) ⊂ B su kiekvienu
B ∈ B. Tokia pora (B, C(·)) vadinama X pasirinkimo strukt ūra(angl. choice structure).
23

Atskleistieji preferencijos saryšiai. ˛ Sakykime, kad žinoma alternatyv ˛u aib˙es X pasirinkimo
strukt ūra(B, C(·)). Yra keletas b ūd ˛uX aib˙eje apibr˙ežti preferencijos s ˛aryš˛i naudojantis duot ˛aja
pasirinkimo strukt ūra.
Pirmuoju b ūdu preferencijos s ˛aryšis apibr˙ežiamas taip. Aib˙es X alternatyv ˛u por ˛a x, y ir
poaib˛i B ∈ B susiesime s ˛aryšiu x ∗ B y jei x, y ∈ B ir x ∈ C(B). Aib˙es X pasirinkimo
strukt ūra (B, C(·)) alternatyvoms x, y ∈ X atskleidžia preferencijos saryš˛i ˛ ∗ , jei egzistuoja
tokia aib˙e B ∈ B, kad x ∗ B y. Kitaip tariant, alternatyvoms x, y ∈ X
[x ∗ y] ⇔ (∃ B ∈ B)[x ∗ B y].
Žodžiais toks s ˛aryšis gal˙et ˛u b ūti taip išreikštas: „atskleistax esant neblogesniu už y".
Kitas preferencijos s ˛aryšio atskleidimo b ūdas gaunamas prisiminus 2.3 Lem ˛a. B ūtent, alternatyvoms
x, y ∈ X pasirinkimo strukt ūra (B, C(·)) atskleidžia preferencijos saryš˛i ˛ ∗ 2, jei
{x, y} ∈ B ir x ∈ C({x, y}). Kitaip tariant, alternatyvoms x, y ∈ X
x ∗ 2 y ⇐⇒ B := {x, y} ∈ B ir x ∗ B y.
Žym˙ejimas ∗ 2 atspindi tai, kad preferencijos s ˛aryš˛i atskleidžia pasirinkimas tik iš dviej ˛u alternatyv
˛u.
Sakykime, kad yra alternatyv ˛u aib˙es X racionalusis preferencijos s ˛aryšis. Pasirinkimo
strukt ūra (B ∗ , C ∗ ) atskleidžia preferencijos s ˛aryšius ∗ 2 ir ∗ . Koks yra ryšis tarp ši ˛u trij ˛u
s ˛aryši ˛u? Remiantis min˙et ˛aja 2.3 Lema, ∗ 2 ≡ . Be to, nesunku matyti, kad jei x ∗ 2 y tai x ∗
y. Atvirkščiai, sakykime, kad preferencijos s ˛aryš˛i x ∗ y atskleidžia pasirinkimo strukt ūra
(B ∗ , C ∗ ). Tada egzistuoja tokia B ∈ B ∗ , kad x, y ∈ B ir x ∈ C ∗ (B) ir iš čia išplaukia, kad
x y. Tod˙el visi trys preferencijos s ˛aryšiai sutampa.
Tačiau bendru atveju, abiem b ūdais apibr˙ežti atskleistieji preferencijos s ˛aryšiai yra skirtingi
kaip rodo toks pavyzdys. Sakykime, kad X = {x, y, z} ir pasirinkimas C(·) apibr˙ežiamas
lygyb˙emis:
{x} = C({x, y}), {y} = C({y, z}), {x} = C({x, z}), {y} = C({x, y, z}). (2.17)
Remiantis griežtos preferencijos ir indiferentiškumo apibr˙ežimais (2.1) ir (2.2), kiekvienu iš
dviej ˛u b ūd ˛u atskleidžiami tokie s ˛aryšiai:
x ∼ ∗ y, y ≻ ∗ z ir x ≻ ∗ z
x ≻ ∗ 2 y, y ≻ ∗ 2 z ir x ≻ ∗ 2 z.
Be čia pamin˙et ˛uj ˛u dviej ˛u preferencijos s ˛aryšio atskleidimo b ūd ˛u galimi ir kiti b ūdai (žr. Sen
[15]). Tačiau jie sutampa tarpusavyje jei juos atskleidžianti pasirinkimo strukt ūra yra normali
toliau aptariama prasme.
Normalioji pasirinkimo strukt ūra. Sakykime, kad (B, C(·)) yra alternatyv ˛u aib˙es X pasirinkimo
strukt ūra. Jei B ∈ B ir x ∈ C(B), tai x ∗ z su kiekvienu z ∈ B ir tod˙el
x ∈ C ∗ (B; ∗ ). Kitaip tariant, su kiekviena aibe B ∈ B, galioja s ˛aryšis
C(B) ⊂ C ∗ (B; ∗ ).
Kaip teigia tolesnis apibr˙ežimas, pasirinkimo strukt ūr ˛a vadinsime normali ˛aja jei galioja atvirkščias
s ˛aryšis.
24

2.25 Apibr˙ežimas. Alternatyv ˛u aib˙es X pasirinkimo strukt ūra(B, C(·)) vadinama normaliaja ˛
arba pasirinkimas C(·) vadinamas normaliuoju, jei C(B) = C∗ (B; ∗ ) su kiekviena B ∈ B.
Kitas teiginys rodo, kad (2.17) lygyb˙emis apibr˙ežta pasirinkimo strukt ūra n˙era normalioji.
2.26 Teiginys. Sakykime, kad (B, C(·)) yra alternatyv ˛u aib˙es X normalioji pasirinkimo strukt
ūra. Tada teisingos(a) ir (b) savyb˙es; čia
(a) jei aib˙es X pavien˙es ir porin˙es alternatyvos priklauso klasei B, tai atskleistieji preferencijos
saryšiai ˛ ∗ ir ∗ 2 sutampa;
(b) C(C(B)) = C(B) su kiekviena B ∈ B.
˛Irodymas. (a): Tarkime, kad x ∗ y. Kadangi x ∈ C({x}), x ∗ x. Iš čia išplaukia, kad
x ∈ C ∗ ({x, y}; ∗ ). D˙el pasirinkimo strukt ūros normalumo,x ∈ C({x, y}) = C ∗ ({x, y}; ∗ ),
t. y. x ∗ 2 y. Kadangi atvirkščioji implikacija teisinga visada, atskleistieji preferencijos s ˛aryšiai
∗ ir ∗ 2 sutampa.
(b): Tarkime, kad B ∈ B ir x ∈ C(B) = C ∗ (B; ∗ ). Tada x ∗ z su kiekviena z ∈ B.
Kadangi C(B) ⊂ B, x ∗ z su kiekviena z ∈ C(B), t. y. x ∈ C ∗ (C(B); ∗ ) = C(C(B)). Iš
čia išplaukia, kad C(B) ⊂ C(C(B)). Kadangi atvirkščias s ˛aryšis teisingas visada, tai C(B) =
C(C(B)).
Tačiau pasirinkimo strukt ūros normalumas neišplaukia nei iš savyb˙es (a) nei iš savyb˙es (b)
kaip rodo toks pavyzdys. Sakykime, kad X = {x, y, z} ir pasirinkimas C(·) apibr˙ežiamas
lygyb˙emis:
{x} = C({x, y}), {y} = C({y, z}), {x, z} = C({x, z}), {x} = C({x, y, z}). (2.18)
Remiantis griežtos preferencijos ir indiferentiškumo apibr˙ežimais (2.1) ir (2.2), kiekvienu iš
dviej ˛u b ūd ˛u atskleidžiami tokie s ˛aryšiai:
x ≻ ∗ y, z ≻ ∗ y ir x ∼ ∗ z
x ≻ ∗ 2 y, z ≻ ∗ 2 y ir x ∼ ∗ 2 z.
Be to, nesunku patiktinti, kad (2.18) pasirinkimui galioja C(C(B)) = C(B) su kiekviena aibe
B ∈ B. Tačiau C ∗ ({x, y, z}; ∗ ) = {x, z} = {x} = C({x, y, z}), t. y. (X, C(·)) n˙era
normalioji pasirinkimo strukt ūra.
Silpnoji atskleistosios preferencijos aksioma. Toliau formuluojama pasirinkimo strukt ūros
s ˛alyga garantuoja atskleistosios preferencijos s ˛aryšio racionalum ˛a.
2.27 Apibr˙ežimas. Sakoma, kad alternatyv ˛u aib˙es X pasirinkimo strukt ūrai (B, C(·)) galioja
silpnoji atskleistosios preferencijos aksioma arba SAPA (angl. weak axiom of revealed preference),
jei galiojant atskleistajam preferencijos s ˛aryšiui x ∗ y ir su bet kuria aibe B ′ ∈ B iš
s ˛alyg ˛u x ∈ B ′ ir y ∈ C(B ′ ) išplaukia s ˛alyga x ∈ C(B ′ ).
25

Jei alternatyv ˛u aib˙es X preferencijos s ˛aryšis yra racionalus, tai ar pasirinkimo strukt ūrai
(B ∗ , C ∗ (·)) galioja SAPA? Anksčiau jau mat˙eme, kad atskleistasis preferencijos s ˛aryšis ∗
sutampa su . Tod˙el, jei x ∗ y, tai x y. Be to, jei B ′ ∈ B ∗ , x ∈ B ′ ir y ∈ C ∗ (B ′ ), tai y z
su kiekvienu z ∈ B ′ . Iš čia, d˙el tranzityvumo, x z su kiekvienu z ∈ B ′ , t. y. x ∈ C ∗ (B ′ ).
Taigi, atsakymas ˛i klausim ˛a yra teigiamas.
Nesunku matyti, kad (2.17) pavyzdyje pasirinkimai C({x, y}) = {x} ir C({x, y, z}) = {y}
nesuderinami su SAPA. Kitas pavyzdys: sakykime, kad X = {x, y, z} ir B = {{x, y}, {x, y, z}}.
Apibr˙ežkime pasirinkim ˛a C1(·):
C1({x, y}) = {x} ir C1({x, y, z}) = {x}.
Pasirinkimas C1(·) atskleidžia x ∗ y ir x ∗ z bet C1(·) neatskleidžia preferencijos s ˛aryšio
tarp y ir z. Tačiau pasirinkimo strukt ūrai (B, C1(·)) galioja SAPA. Apibr˙ežkime pasirinkim ˛a
C2(·):
C2({x, y}) = {x} ir C2({x, y, z}) = {x, y}.
Dabar atskleistas preferencijos s ˛aryšis y ∗ x ( kaip ir kiti s ˛aryšiai y ∗ z, x ∗ y ir x ∗ z).
Tačiau x ∈ C2({x, y} ir y ∈ C2({x, y}), t. y. pasirinkimo strukt ūrai(B, C2(·)) negalioja SAPA.
2.28 Teorema. Sakykime, kad B yra tokia alternatyv ˛u aib˙es X poaibi ˛u klas˙e, kuriai priklauso
visos vieno, dviej ˛u ir trij ˛u element ˛u aib˙es. Pasirinkimo strukt ūrai(B, C(·)) galioja SAPA tada ir
tik tada, kai šios pasirinkimo strukt ūros atskleistasis preferencijos saryšis ˛ ∗ yra racionalusis
ir pasirinkimas C(·) yra normalusis.
˛Irodymas. Sakykime, kad (B, C(·)) atskleistasis preferencijos s ˛aryšis ∗ yra racionalusis ir
pasirinkimas C(·) yra normalusis. Tarkime, kad x ∗ y, B ′ ∈ B, y ∈ C(B ′ ) ir x ∈ B ′ .
Kadangi pasirinkimas C(·) yra normalusis, y ∗ z su visais z ∈ B ′ . Tranzityvumo aksiomos
d˙eka, iš čia išplaukia, kad x ∗ z su visais z ∈ B ′ . Tod˙el x ∈ C ∗ (B ′ ; ∗ ) = C(B ′ ), t. y. galioja
SAPA.
Dabar sakykime, kad pasirinkimo strukt ūrai (B, C(·)) galioja SAPA. Su bet kuriais x, y ∈
X, B := {x, y} ∈ B ir tod˙el C(B) = ∅. Tai reiškia, kad arba x ∈ C(B) arba y ∈ C(B), t. y.
atskleistajam preferencijos s ˛aryšiui ∗ galioja pilnumo aksioma. Tarkime, kad x ∗ y, y ∗ z
ir B ′ := {x, y, z} ∈ B. Remiantis SAPA, jei z ∈ C(B ′ ), tai y ∈ C(B ′ ) ir jei y ∈ C(B ′ ) tai
x ∈ C(B ′ ). Kadangi C(B ′ ) = ∅, tai x ∈ C(B ′ ) visada ir tod˙el x ∗ z, t. y. atskleistajam
preferencijos s ˛aryšiui ∗ galioja tranzityvumo aksioma. Liko parodyti, kad C(·) pasirinkimas
yra normalusis. S ˛aryšis C(B) ⊂ C ∗ (B; ∗ ) galioja ∗ preferencijos s ˛aryšio apibr˙ežimo d˙eka.
˛Irodysime priešingo s ˛aryšio teisingum ˛a. Tarkime, kad x ∈ C ∗ (B; ∗ ), t. y. x ∗ y su visais
z ∈ B. Kadangi C(B) = ∅, egzistuoja y ∈ C(B) ⊂ B. Tada x ∗ y ir x ∈ C(B) remiantis
SAPA, t. y. pasirinkimas C(·) yra normalusis.
Pratimai.
1. Sakykime, kad X = {x, y, z}, B = {{x, y}, {x, y, z}} ir C({x, y}) = {x}. Tam, kad
pasirinkimo strukt ūrai (B, C(·)) galiot ˛u SAPA b ūtina, kad C({x, y, z}) = {x}, = {z}
arba = {x, z}.
26

2. Pasirinkimo strukt ūrai(B, C(·)) galioja SAPA tada ir tik tada, kai galioja savyb˙e: sakykime,
kad B, B ′ ∈ B, x, y ∈ B ir x, y ∈ B ′ ; jei x ∈ C(B) ir y ∈ C(B ′ ) tai {x, y} ⊂ C(B)
ir {x, y} ⊂ C(B ′ ).
3. Sakykime, kad (B, C(·)) yra alternatyv ˛u aib˙es X pasirinkimo strukt ūra. Apibr˙ežkime du
preferencijos s ˛aryšius:
x ≻ ∗ y ⇐⇒ x ∗ y ir ¬[ y ∗ x ];
x ≻ ∗∗ y ⇐⇒ [ ∃ B ′ ∈ B ]: x, y, ∈ B ′ , x ∈ C(B ′ ) ir y ∈ C(B ′ ).
Parodyti, kad preferencijos s ˛aryšiai ≻ ∗ ir ≻ ∗∗ sutampa jei pasirinkimo strukt ūrai(B, C(·))
galioja SAPA.
Pastabos. Naudingumo (angl. utility) s ˛avoka susijusi ne tik su ekonomika. Naudingumas arba utilitarizmas
taip pat išreiškia doktrin ˛a pagal kuri ˛a naudingumo maksimizavimas yra moralinis kriterijus naudojamas visuomen˙es
organizavime. Ši doktrina gim˙e mokslo apie visuomen˛e, tiksliau visuomen˙es pasirinkimo (angl. social choice)
teorijos, kontekste. Utilitarizmo pradininkai Jeremy Bentham (1748–1832) ir John Stuart Mill (1806–1876) man˙e,
kad visuomen˙e tur˙et ˛u siekti vis ˛u jos nari ˛u visuminio naudingumo maksimizavimo: „daugumai žmoni ˛u daugiausia
laim˙es".
Papildoma literat ūra.
1. K. J. Arrow. Social Choice and Individual Values. Second Edition. Cowles Foundation, Yale University
Press, 1963.
27

Skyrius 3
Main ˛u rinka
Kart ˛a ˛i negyvenam ˛a sal ˛a pateko kunigas, fizikas ir ekonomistas. Su savimi jie tur˙ejo maisto tik
vienoje konserv ˛u d˙ežut˙eje, tačiau jie netur˙ejo atidariklio. Ryt ˛a jie sutar˙e, kad vis ˛a dien ˛a kiekvienas
iš j ˛u galvos kaip atidaryti d˙ežut˛e ir po to v˙el susitiks vakare. Kaip ir tar˙esi, susitik˛e vakare, jie iš
eil˙es išd˙est˙e savo pasi ūlymus. Kunigas pasi ūl˙e pasimelsti. Fizikas pasi ūl˙e konserv ˛u d˙ežut˛e tiek
˛ikaitinti, kad ji sprogt ˛u ir kiekvienas gal˙et ˛u pasigauti po gabaliuk ˛a. O ekonomistas savo si ūlym ˛a
prad˙ejo sakydamas: „Tarkime, kad mes turime atidarikl˛i ...."
Anekdotas paplit˛es tarp ček ˛u fizik ˛u ir ekonomist ˛u
Šiame skyriuje nagrin˙ejami mainai g˙erybi ˛u (angl. goods) rinkoje, vadinamoje main ˛u rinka
(angl. exchange market). Tariama, kad main ˛u rinkoje egzistuoja ribotas kiekis g˙erybi ˛u, kurias
reikia paskirstyti tarp rinkos veik˙ej ˛u. Gamyba main ˛u rinkoje nevyksta ir tod˙el nauj ˛u g˙erybi ˛u
nesukuriama.
G˙erybi ˛u skirstimo mechanizmas main ˛u rinkoje grindžiamas g˙erybi ˛u kaina. Skyriaus pabaigoje
parodoma, kad egzistuoja tokia g˙erybi ˛u kaina, kuriai esant visos g˙eryb˙es paskirstomos tarp
main ˛u rinkos veik˙ej ˛u maksimaliai patenkinant j ˛u norus.
3.1 Vartotojo problema
Vartotojo problema yra: žinant g˙erybi ˛u kain ˛a ir savo pradin˛i turt ˛a, iš ˛iperkam ˛u g˙erybi ˛u aib˙es,
vadinamos biudžeto aibe, reikia pasirinkti naudingiausi ˛u g˙erybi ˛u aib˛e. Šiame skyrelyje nustatomos
s ˛alygos, kada ši problema turi sprendin˛i, kada jis yra vienintelis ir panašiai.
Biudžeto aib˙es. Tarsime, kad nagrin˙ejamoje main ˛u rinkoje yra ℓ g˙erybi ˛u. G˙eryb˙e yra sutapatinama
su indeksu h ∈ {1, . . . , ℓ}, o jos kiek˛i galima charakterizuoti realiuoju neneigiamu skaičiumi
xh. Tokiu b ūdu vektoriusx = (x1, . . . , xℓ), Euklidin˙es erdv˙es R ℓ + elementas, išreiškia tam
tikr ˛a g˙erybi ˛u rinkinio kiek˛i. Apskritai g˙erybi ˛u kiekis rinkoje gali b ūti ribotas ir galim ˛u g˙erybi ˛u
rinkini ˛u aib˙e X, Euklidin˙es erdv˙es R ℓ + poaibis, vadinama vartojimo aibe. Dažniausiai tarsime,
kad vartojimo aib˙e X yra uždara, iškila ir apr˙ežta. Kiekvienos iš preki ˛u xh, h ∈ {1, . . . , ℓ},
kaina yra realus skaičius ph lygus pinig ˛u kiekiui reikalingam ˛isigyti vien ˛a šios prek˙es vienet ˛a.
28

Tokiu b ūdup = (p1, . . . , pℓ) yra vektorius Euklidin˙eje erdv˙eje R ℓ + vadinamas kainos sistema, o
preki ˛u rinkinio x = (x1, . . . , xℓ) kaina yra skaliarin˙e sandauga p·x = ℓ h=1 phxh.
Biudžeto aib˛e sudaro tos g˙eryb˙es, iš kuri ˛u renkasi vartotojas. Vis ˛u pirma, šis pasirinkimas
yra apribotas rinkoje egzistuojanči ˛u g˙erybi ˛u rinkiniu ir j ˛u kiekiais. Šis ribojimas toliau išreiškiamas
pasirinkimu iš vartotojui prieinamos g˙erybi ˛u aib˙es X ⊂ R ℓ . Toliau visada yra tariama,
kad 0 ∈ X.
Greta g˙erybi ˛u ištekli ˛u kiekio fizinio ribotumo, vartotojo pasirinkimas yra ribojamas ir ekonomin˙emis
s ˛alygomis. B ūtent, jo pasirinkimas yra ribojamas tomis g˙eryb˙emis, kurias jis gali
˛ipirkti. Ekonomines s ˛alygas lemia g˙erybi ˛u kainos sistema p ir vartotojo pradinis turtas ≥ 0, išreikštas
ta pačia valiuta kaip ir kainos. Toliau pora (p, w) vadinama kainos–turto b ūsena. Taigi,
duotai kainos–turto b ūsenai(p, w), g˙erybi ˛u rinkinys x ∈ X yra ˛iperkamas jei jo kaina neviršija
pradinio turto, t. y. p·x ≤ w. Tokiu b ūdu fizinis ir ekonominis g˙erybi ˛u rinkini ˛u ribotumas yra
nusakomas aibe
β(p, w) = {x ∈ X: p·x ≤ w} = X ∩ p −1 ((−∞, w]) (3.1)
vadinama biudžeto aibe. Pastarojoje lygyb˙eje kainos sistema p tapatinama su Euklidin˙es erdv˙es
funkcionalu, t. y. p žymi tiesin˛e tolydži ˛aj ˛a funkcij ˛a apibr˙ežt ˛a p(x) = p·x su visais x ∈ R ℓ .
Hiperplokštuma p−1 (w) := {x ∈ X: p·x = w} toliau vadinama biudžeto hiperplokštuma. Kaip
buvo sakyta skyrelio pradžioje, esant duotai kainos–turto b ūsenai (p, w), vartotojo problema˛ sudaro preki ˛u rinkinio x pasirinkimas iš biudžeto aib˙es β(p, w).
D˙el paprastumo toliau tariama, kad g˙erybi ˛u rinkinio ir kainos sistemos vektoriai neneigiami,
t. y. X ⊂ R ℓ + ir p ∈ R ℓ +. Kadangi 0 ∈ X, tai 0 ∈ β(p, w) su kiekvienu (p, w) ∈ R ℓ+1
+ . Tod˙el
taisykl˙e
R ℓ+1
+ ∋ (p, w) ↦→ β(p, w) ⊂ X
apibr˙ežia atitikt˛i β iš R ℓ+1
+ ˛i X toliau vadinam ˛a biudžeto atitiktimi (žr. A.1 Pried ˛a).
Toliau tariama, kad galioja dvi prielaidos apie kainas. Pirmoji prielaida teigia, kad su kiekviena
preke h ∈ {1, . . . , ℓ} egzistuoja jos kaina ph ∈ R. Tokiu b ūdu su kiekvienu preki ˛u
rinkiniu x ∈ X yra susieta kainos sistema p = (p1, . . . , pℓ) ∈ R ℓ ir šio rinkinio kaina yra
skaliarin˙e sandauga (1.1).
Antroji prielaida teigia, kad kainos nepriklauso nuo vartotojo. Tokia prielaida gal˙et ˛u b ūti
pateisinama tais atvejais, kai kiekvieno vartotojo i ∈ {1, . . . , n} prek˙es poreikis sudaro tik
maž ˛a dal˛i tos prek˙es visumin˙es paklausos.
3.1 Teorema. Sakykime, kad vartojimo aib˙e X ⊂ R ℓ + yra kompakti ir iškila. Tada biudžeto
atitiktis β iš R ℓ+1
+ ˛i X pasižymi (a), (b) ir (c) savyb˙emis; čia
(a) β yra nulin˙es eil˙es teigiamai homogeniška atitiktis aib˙eje R ℓ+1
+ , t. y. β(λp, λw) = β(p, w)
su kiekvienu λ > 0 ir (p, w) ≥ 0;
(b) su kiekviena kainos-turto b ūsena(p, w) ≥ 0, biudžeto aib˙e β(p, w) yra kompakti ir iškila;
(c) β yra tolydi tokioje kainos-turto b ūsenoje(p, w) ≥ 0, kurioje inf{p·x: x ∈ X} < w.
˛Irodymas. Tarkime, kad (p, w) ≥ 0 ir λ > 0. Savyb˙e (a) išplaukia iš lygybi ˛u
β(λp, λw) = {x ∈ X: (λp)·x ≤ (λw)} = β(p, w).
29

Savyb˙es (b) ˛irodymui pasteb˙esime, kad aib˙e p −1 ((−∞, w]) yra uždara ir iškila. Kadangi aib˙e
X yra iškila ir kompakti pagal prielaid ˛a, tai tokia yra ir biudžeto aib˙e išreiškiama sankirta (3.1).
˛Irodysime (c) savyb˛e. Tarkime, kad (p0, w0) yra tokia kainos–turto b ūsena, kurioje c :=
inf{p0·x: x ∈ X} < w0. Pradžiai patikrinsime, kad biudžeto atitiktis β yra dalinai tolydi iš
išor˙es taške (p0, w0) naudodamiesi (A.1) kriterijumi. Tarkime, kad (pn, wn) → (p0, w0) su
n → ∞ ir xn ∈ β(pn, wn) su kiekvienu n. Su kiekvienu n, β(pn, wn) ⊂ X ir X yra apr˙ežta
aib˙e. Tod˙el apr˙ežta yra ir seka {xn}. Euklidin˙eje erdv˙eje iš apr˙ežtos sekos galima išrinkti
konverguojant˛i posek˛i. Tarkime, kad posekis x ′ n → x0 su n → ∞. Kadangi pn·x ′ n ≤ wn su
kiekvienu n, o skaliarin˙e sandauga yra tolydi funkcija, tai pn·x ′ n → p0·x0 su n → ∞. Iš čia ir
išplaukia, kad p0·x0 ≤ w0, t. y. x0 ∈ β(p0, w0). Tod˙el kad biudžeto atitiktis β yra dalinai tolydi
iš išor˙es taške (p0, w0).
Dabar patikrinsime, kad biudžeto atitiktis β yra tolydi iš vidaus taške (p0, w0) naudodamiesi
(A.2) kriterijumi. Tarkime, kad (pn, wn) → (p0, w0) ir x0 ∈ β(p0, w0), t. y. p0·x0 ≤ w0. Reikia
rasti toki ˛a sek ˛a {xn} ⊂ X, kad pn·xn ≤ wn su kiekvienu n ir xn → x0 su n → ∞. Pirma
tarkime, kad p0·x0 < w0. Tada egzistuoja toks n0, kad pn·x0 < wn su visais n ≥ n0. Su
kiekvienu n < n0, paimkime bet kur˛i xn ∈ β(pn, wn), o su kiekvienu n ≥ n0 paimkime
xn := x0. Tada seka {xn} tenkina trokštam ˛a savyb˛e. Dabar tarkime, kad p0·x0 = w0. Kadangi
c < w0, egzistuoja toks z0 ∈ X, kad c ≤ v0 := p0·z0 < w0. Biudžeto hiperplokštumos
p −1
0 (w0) ir p −1
0 (v0) nesikerta ir yra ortogonalios vektoriui p0. Kadangi (pn, wn) → (p0, w0) su
n → ∞, egzistuoja toks numeris n0, kad su visais n ≥ n0, biudžeto hiperplokštuma p −1
n (wn)
kerta ties˛e, kurioje guli atkarpa jungianti taškus x0 ∈ p −1
0 (w0) ir z0 ∈ p −1
0 (v0) vieninteliame
taške ˜xn ir ˜xn → x0 su n → ∞. Su kiekvienu n < n0, paimkime bet kur˛i xn ∈ β(pn, wn), o
su kiekvienu n ≥ n0 paimkime xn lyg ˛u vektoriui ˜xn jei jis guli tarp z0 ir x0 (vadinasi priklauso
aibei X) ir lyg ˛u x0 priešingu atveju. Taip apibr˙ežta seka {xn} tenkina trokštam ˛a tolydumo iš
vidaus savyb˛e. Tolydumas iš išor˙es ir vidaus reiškia, kad atitiktis β yra tolydi taške (p0, w0), k ˛a
ir reik˙ejo ˛irodyti.
Walras’o paklausos atitiktis. Vartotojo problema – pasirinkimas iš biudžeto aib˙es – sprendžiama
naudojantis 2 Skyriuje nagrin˙etu pasirinkimu, pagr˛istu vartotojo preferencijos s ˛aryšiu.
Taigi, toliau tariama, kad g˙erybi ˛u aib˙eje X ⊂ R ℓ + yra apibr˙ežtas racionalusis preferencijos s ˛aryšis
, t. y. pora (X, ) yra alternatyv ˛u laukas, kuris toliau šiame ir kitame skyriuje vadinamas
g˙erybi ˛u lauku. Be to, tariama, kad g˙erybi ˛u laukas (X, ) yra tolydus. Remiantis 2.12 Teorema
toks g˙erybi ˛u laukas išreiškiamas tolydži ˛aja naudingumo funkcija u: X → R.
Kaip anksčiau aptarta, su kiekviena kainos–turto b ūsena(p, w) ∈ R ℓ+1
+ vartotojas renkasi iš
biudžeto aib˙es β(p, w) apibr˙ežtos (3.1) s ˛aryšiu. Prisimenant paklausos aib˙es C(B; ) apibr˙ežim
˛a (2.3) atveju B = β(p, w) ir s ˛aryš˛i (2.4), vartotojo paklausos aib˙e yra
φ(p, w) := C(β(p, w); ) = {x ∈ β(p, w): (∀ z ∈ β(p, w))[x z]}
= {x ∈ β(p, w): u(x) ≥ u(z) su kiekvienu z ∈ β(p, w)} (3.2)
=: argmax{u(x): x ∈ β(p, w)}.
Sakysime, kad b ūsenoje(p, w) ∈ R ℓ+1
+ vartotojo optimalaus pasirinkimo problema turi sprendin˛i
jei aib˙e φ(p, w) yra netuščia. Toliau nurodomos s ˛alygos, kurioms esant vartotojo optimalaus
pasirinkimo problema turi sprendin˛i ir jis yra vienintelis.
30

3.2 Teorema. Sakykime, kad vartojimo aib˙e X ⊂ R ℓ + yra uždara ir g˙erybi ˛u laukas (X, ) yra
tolydus. Tada vartotojo optimalaus pasirinkimo problema
(a) turi sprendin˛i su kiekviena kainos–turto b ūsena(p, w) ≫ 0;
(b) turi sprendin˛i su kiekviena kainos–turto b ūsena(p, w) ≥ 0, jei aib˙e X yra apr˙ežta;
(c) turi vienintel˛i sprendin˛i su kiekviena kainos–turto b ūsena (p, w) ≫ 0, jei aib˙e X yra
iškila ir g˙erybi ˛u laukas (X, ) yra griežtai iškilas.
˛Irodymas. Tarkime, kad kainos–turto b ūsena(p, w) ≫ 0 ir c := minh ph > 0. Biudžeto aib˙e
β(p, w) yra netuščia (jai priklauso nulis), uždara ir apr˙ežta nes 0 ≤ xh ≤ w/c su kiekvienu h ∈
{1, . . . , ℓ}. Remiantis Weierstrass’o teorema, kompakčioje aib˙eje β(p, w) tolydžioji funkcija u
pasiekia maksimali ˛a reikšm˛e, t. y. teisinga (a) savyb˙e.
Dabar tarkime, kad (p, w) ≥ 0. Remiantis (3.1) išraiška, biudžetin˙e aib˙e β(p, w) netuščia,
apr˙ežta ir uždara, nes tokia yra aib˙e X. Tod˙el, kaip ir anksčiau, teisinga (b) savyb˙e.
Galiausiai tarkime, kad (p, w) ≫ 0, aib˙e X yra iškila ir g˙erybi ˛u laukas (X, ) yra griežtai
iškilas. Be to, tarkime, kad egzistuoja du skirtingi vektoriai x, y ∈ φ(p, w). Tada u(x) = u(y)
ir (x + y)/2 ∈ β(p, w) kadangi aib˙e X yra iškila. Iš kitos pus˙es, kadangi g˙erybi ˛u laukas
(X, ) yra griežtai iškilas, u((x + y)/2) > u(y) = u(x). Tai reiškia prieštaravim ˛a x-o ir y-o
maksimalumui, kas ir ˛irodo kad aib˙e φ(p, w) turi vienintel˛i element ˛a, t. y. teisinga (c) savyb˙e.
3.2 Teoremos ˛irodymas baigtas.
Jei su kiekviena kainos–turto b ūsena(p, w) ∈ D ⊂ R ℓ+1
+ vartotojo optimalaus pasirinkimo
problema turi sprendin˛i, tai taisykl˙e
R ℓ+1
+ ⊃ D ∋ (p, w) ↦→ φ(p, w) ⊂ X
apibr˙ežia atitikt˛i φ iš D ˛i X, kuri toliau vadinama Walras’o paklausos atitiktimi. Tuo atveju
kai su kiekvienu (p, w) ∈ D aib˛e φ(p, w) sudaro vienas elementas, tai φ vadinama Walras’o
paklausos funkcija.
3.3 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad α ≥ 0. Atitiktis ψ iš aib˙es T ˛i aib˛e S yra α eil˙es teigiamai
homogeniška, jei ψ(λs) = λ α ψ(s) su kiekvienu λ > 0 ir s ∈ T .
Matysime, kad Walras’o paklausos atitiktis yra nulin˙es eil˙es teigiamai homogeniška. Ši
savyb˙e reiškia, kad vartotojo pasirinkimas nesikeičia jei kaina ir turtas kinta proporcigai.
3.4 Teorema. Sakykime, kad vartojimo aib˙e X ⊂ R ℓ + yra kompaktas, o g˙erybi ˛u laukas (X, )
yra tolydus ir lokaliai nepasotinamas. Tada Walras’o paklausos atitiktis φ iš R ℓ+1
+ ˛i X pasižymi
(a), (b) ir (c) savyb˙emis; čia
(a) φ yra nulin˙es eil˙es teigiamai homogeniška atitiktis aib˙eje R ℓ+1
+ , t. y. φ(λp, λw) = φ(p, w)
su kiekvienu λ > 0 ir (p, w) ≥ 0;
(b) su kiekviena kainos–turto b ūsena (p, w) ≫ 0, φ(p, w) ⊂ p −1 (w), t. y. galioja Walras’o
d˙esnis: su kiekvienu x ∈ φ(p, w), p·x = w;
31

(c) φ yra tolydi iš išor˙es bet kuriame aib˙es R ℓ+1
++ taške.
˛Irodymas. (a): Tarkime, kad (p, w) ≥ 0 ir λ > 0. Remiantis tokia pat savybe biudžeto aibei
β(p, w) (žr. 3.1 Teorem ˛a) turime lygybes
φ(λp, λw) = {x ∈ β(λp, λw): ( ∀ z ∈ β(λp, λw) )[x z] } = φ(p, w),
˛irodančias nulin˙es eil˙es teigiamo homogeniškumo savyb˛e atitikčiai φ.
(b): Tarkime priešingai, egzistuoja tokie (p, w) ir x ∈ φ(p, w), kad p·x < w. Tada rutulys
B(x, r) su centru x ir spinduliu r := w − p·x yra x aplinka priklausanti biudžeto aibei β(p, w).
Remiantis g˙erybi ˛u lauko (X, ) lokaliu nepasotinamumu, egzistuoja toks y ∈ B(x, r), kad
y ≻ x. Kadangi y ∈ β(p, w), tai prieštarauja tam, kad x y. Tod˙el φ pasižymi (b) savybe.
(c): Ši ˛a savyb˛e ˛irodysime remdamiesi A.4 Teoremos išorinio tolydumo kriterijumi (A.1).
Tarkime, kad (p0, w0) ≫ 0, (pn, wn) → (p0, w0) kai n → ∞ ir xn ∈ ψ(pn, wn) su kiekvienu
n. Kadangi ψ(pn, wn) ⊂ X su kiekvienu n ir X yra kompaktas, tai egzistuoja ˛i x konverguojantis
posekis {x ′ n}. Reikia parodyti, kad x ∈ φ(p0, w0), t. y. u(x) ≥ u(y) su kiekvienu
y ∈ β(p0, w0). Kadangi g˙erybi ˛u laukas (X, ) yra tolydus, remiantis 2.12 Teorema, galime
tarti, kad naudingumo funkcija u yra tolydžioji. Tarkime, kad y ∈ β(p0, w0). Su kiekvienu n,
apibr˙ežkime skaiči ˛u
σn :=
wn
max{pn·y, wn}
∈ [0, 1].
Kadangi skaliarin˙e sandauga ir maksimumo funkcija yra tolydžiosios, tai
lim
n→∞ σn =
w0
max{p0·y, w0}
Su kiekvienu n, yn := σny ∈ β(pn, wn), u(xn) ≥ u(yn) ir yn → y kai n → ∞. Kadangi
x ′ n → x kai n → ∞, iš čia išplaukia, kad u(x) ≥ u(y). Tod˙el x ∈ β(p0, w0) ir atitiktis β yra
tolydi iš išor˙es taške (p0, w0), k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Paklausos aibi ˛u pavyzdžiai. Sakykime, kad (R 2 +, ) yra tobul ˛uj ˛u pakaital ˛u g˙erybi ˛u laukas,
apibr˙ežtas naudingumo funkcija (2.11) su a = b = 1. Vartotojo su tokiu g˙erybi ˛u lauku optimalus
pasirinkimas yra nusakytas s ˛aryšiu:
= 1.
⎧
⎪⎨ (w/p1, 0) kai p2 > p1,
φ(p, w) = p
⎪⎩
−1 (w) kai p2 = p1,
(0, w/p2) kai p2 < p1,
(3.3)
su kiekviena kainos–turto b ūsena (p, w) = (p1, p2, w) ≫ 0. Ši optimalaus pasirinkimo problema
visada turi sprendin˛i. Tačiau sprendinys n˙era vienintelis kai abiej ˛u g˙erybi ˛u kainos yra
lygios. Tai neprieštarauja 3.2 Teoremai kadangi tobul ˛uj ˛u pakaital ˛u g˙erybi ˛u laukas n˙era griežtai
iškilas. Paklausos aib˙e (3.3) rodo, kad bus pasirinkta ta g˙eryb˙e, kurios kaina yra mažesn˙e. Jei
abiej ˛u g˙erybi ˛u kaina vienoda, tai optimalus pasirinkimas yra visa biudžeto hiperplokštuma.
32

Kitas pavyzdys. Sakykime, kad (R 2 +, ) yra tobul ˛uj ˛u papildini ˛u g˙erybi ˛u laukas, apibr˙ežtas
naudingumo funkcija (2.12) su a = b = 1. Vartotojo su tokiu g˙erybi ˛u lauku optimalus
pasirinkimas yra nusakytas s ˛aryšiu:
φ(p, w) = (w/(p1 + p2), w/(p1 + p2)) (3.4)
su kiekviena kainos–turto b ūsena (p, w) = (p1, p2, w) ≫ 0. Pagal š˛i pasirinkim ˛a abi g˙eryb˙es
vartojamos kartu ir tod˙el vartotojas išleist ˛u visus savo pinigus g˙erybi ˛u poroms, kuri ˛u kaina yra
p1 + p2.
Šiais konkrečiais dviem atvejais vartotojo optimalaus pasirinkimo problemos sprendimas
yra paprastas. Kai kuriais kitais atvejais yra naudinga pasinaudoti funkcij ˛u ekstremum ˛u paieškos
metodais.
Funkcijos ekstremum ˛u paieška. Funkcijos ekstremumu vadinamas taškas iš jos apibr˙ežimo
srities, kuriame ˛igyjama maksimalioji arba minimalioji reikšm˙e. Prad˙esime nuo b ūtinos
ekstremum ˛u egzistavimo s ˛alygos plokštumoje apibr˙ežtoms funkcijoms.
3.5 Teorema. Sakykime, kad f, g: R 2 ↦→ R yra tolydžiai diferencijuojamos funkcijos. Tarkime,
kad maksimuma˛ arba minimuma˛ funkcija f ˛igyja tokiame taške z ∈ {x ∈ R 2 : g(x) = 0},
kuriame ∇g(z) = 0, tada egzistuoja toks realusis skaičius λ, vadinamas Lagrange daugikliu,
kad
∇f(z) = λ∇g(z).
Ši teorema pagrindžia vadinam ˛aj˛i Lagrange daugiklio metod ˛a, kurio pagalba galima rasti
funkcijos f ekstremum ˛a žinant, kad jis egzistuoja funkcijos g nulio aib˙eje. B ūtent toks taškas
z, jei jis egzistuoja, turi tenkinti lygči ˛u sistem ˛a:
⎧ ∂L ∂u
∂g
⎪⎨ (z) = (z) − λ ∂x1 ∂x1 ∂x1
∂L ∂u
∂g
(z) = (z) − λ
⎪⎩
∂x2 ∂x2 ∂x2
∂L(z)
= g(z) = 0
∂λ
(z) = 0
(z) = 0
(3.5)
čia L(x1, x2, λ) := f(x1, x2) − λg(x1, x2). Išsprend˛e sistem ˛a atžvilgiu z1 ir z2 gauname ekstremumo
z koordinates.
Jei funkcija f yra C 2 , tai nesunkiai galima nustatyti jos ekstremumo tip ˛a. Tuo tikslu tarkime,
kad
∆ := D 2 1f(z)D 2 2f(z) − (D1D2f(z)) 2 .
3.6 Teorema. Tegul f: R 2 ↦→ R yra C 2 funkcija taško z aplinkoje ir ∆ = 0. Tada funkcija f
turi:
(i) taške z lokal ˛u minimuma˛ jei ∆ > 0 ir D2 1f(z) > 0,
(ii) taške z lokal ˛u maksimuma˛ jei ∆ > 0 ir D2 1f(z) < 0,
(iii) taškas z yra balno taškas jei ∆ < 0.
33

Cobb’o-Douglas’o g˙erybi ˛u laukas. Tarkime, kad (R 2 +, ) yra g˙erybi ˛u laukas apib˙ežtas naudingumo
funkcija (2.13). Kadangi g˙erybi ˛u laukas yra griežtai iškilas, remiantis 3.2 Teorema,
vartotojo optimalaus g˙erybi ˛u pasirinkimo problema turi vienintel˛i sprendin˛i. Šiam sprendiniui
rasti naudosim˙es Lagrange daugiklio metodu. Tuo tikslu pakanka ištirti naudingumo funkcijos
(2.14) logaritmin˛e transformacij ˛a:
u(x1, x2) = a ln x1 + (1 − a) ln x2, 0 < a < 1.
Kadangi Cobb’o-Douglas’o g˙erybi ˛u laukas yra lokaliai nepasotinamas, remiantis 3.4 Teorema,
atitinkama paklausos atitiktis φ ˛igyja reikšmes:
φ(p1, p2, w) = argmax{u(x1, x2): p1x1 + p2x2 = w}.
(3.5) sistema su f := u ir g(z) := p1z1 + p2z2 − w, z = (z1, z2), ˛igyja pavidal ˛a:
(a/z1, (1 − a)/z2) = λ(p1, p2),
p1z1 + p2z2 = w.
Išsprend˛e ši ˛a sistem ˛a atžvilgiu z1 ir z2, gauname ekstremumo tašk ˛a
Kadangi
D 2 1u(z) = − a
z2 , D
1
2 2u(z) = −
aw
z = (z1, z2) = , (1 − a)w
p1
p2
. (3.6)
1 − a
z2 , D1D2u(z) = 0 ir ∆ =
2
1(1 − a)
z2 1z 2 ,
2
Remiantis 3.6 Teorema, (3.6) yra maksimumo taškas. Su visais (p1, p2, w) ≫ 0 yra apibr˙ežta
Walras’o paklausos funkcija φ, ˛igyjanti reikšm˛e φ(p1, p2, w) = {z}.
3.2 Išlaidos ir netiesioginis naudingumas
3.7 Apibr˙ežimas. Tegul (X, ) yra vertybi ˛u laukas ir S ⊂ R ℓ+1 . Jei kiekvienam (p, w) ∈ S
egzistuoja toks y ∈ X, kad φ(p, w) = {y} ir p·y = w, tai yra apibr˙ežtos paklausos funkcija
(angl. demand function)
S ∋ (p, w) ↦→ x(p, w) := y ∈ X,
ir netiesiogin˙e naudingumo funkcija (angl. indirect utility function)
S ∋ (p, w) ↦→ v(p, w) := u(y) = max{u(x): x ∈ X, p·x = w}.
Pagal apibr˙ežim ˛a, v(p, w) = u(x(p, w)) visiems (p, w) ∈ S, tai yra netiesiogin˙e naudingumo
funkcija v yra paklausos funkcijos x ir naudingumo funkcijos u kompozicija, arba v = u◦x.
Jei paklausos funkcija ir netiesiogin˙e naudingumo funkcija yra apib˙ežtos aib˙eje S, tai kiekviename
šios aib˙es taške vartotojo optimalaus pasirinkimo problema turi vienintel˛i sprendin˛i.
34

3.8 Išvada. Tegul X ⊂ R ℓ yra uždara, iškila ir apr˙ežta iš apačios aib˙e, 0 ∈ X ir tegul (X, )
yra griežtai iškilas, lokaliai nepasotinamas ir tolydus vertybi ˛u laukas. Tada paklausos funkcija
x ir netiesiogin˙e naudingumo funkcija v yra apibr˙ežtos aib˙eje {(p, w) ∈ R ℓ : (p, w) > 0}.
Toliau ˛irodoma keletas savybi ˛u paklausos ir netiesioginio naudingumo funkcijoms.
Tegul aib˙e S yra k ūgis, tai yra kiekvienam λ > 0, λz ∈ S jei z ∈ S. Funkcija f: S ↦→ R
yra vadinama k-tos eil˙es homogenine funkcija jei f(λz) = λ k f(z) visiems λ > 0 ir z ∈ S.
3.9 Teorema. Tegul X ⊂ R ℓ + yra uždara ir iškila aib˙e ir tegul (X, ) yra griežtai iškilas,
lokaliai nepasotinamas ir tolydus vertybi ˛u laukas. Tada funkcijos x, v yra apibr˙ežtos aib˙eje
S := {(p, w): p > 0, w > 0} ir abiem funkcijoms yra teisinga:
(a) yra nedid˙ejančios atžvilgiu p ir yra nemaž˙ejančios atžvilgiu w;
(b) nulin˙es eil˙es homogenin˙es funkcijos;
(c) tolydin˙es;
(d) kiekvienam w > 0, aib˙es {p ∈ R ℓ +: x(p, w) y}, y ∈ X, ir {p ∈ R ℓ +: v(p, w) ≤ c},
c ≥ 0, yra iškilos.
˛Irodymas. Teiginio (a) ˛irodymui, tegul w > 0. Jei p ′ ≥ p, tai β(p ′ , w) ⊂ β(p, w). Kadangi
x(p, w) y visiems y ∈ β(p, w), tai x(p, w) x(p ′ , w) nes x(p ′ , w) ∈ β(p ′ , w). D˙el tos
pačios priežasties, turime v(p ′ , w) ≤ v(p, w). Kitos tvirtinimo dalies ˛irodymas yra analogiškas.
Teiginio (b) ˛irodymui pasteb˙ekime, kad biudžetinei aibei yra teisinga: kiekvienam λ > 0
β(λp, λw) = β(p, w) visiems (p, w) ∈ S.
Tod˙el remiantis funkcij ˛u x ir v apibr˙ežimu, kiekvienam λ > 0
x(λp, λw) = x(p, w) ir v(λp, λw) = v(p, w) visiems (p, w) ∈ S.
Teigin˛i (c) pakanka ˛irodyti funkcijai x, kadangi v = u◦x o naudingumo funkcija u yra
tolydi d˙el vertybi ˛u lauko tolydumo. Tarkime, kad (p, w) ∈ S ir (pn, wn) → (p, w) kai n → ∞
Euklidin˙es erdv˙es R ℓ+1 atstumo prasme. Pakanka parodyti, kad
xn := x(pn, wn) → x := x(p, w), kai n → ∞, (3.7)
erdv˙eje R ℓ . Kiekvienas vektorius xn = (xn,i) ∈ β(pn, wn), ir kiekviena jo koordinat˙e xn,i ≤
sup n≥1(wn/pn,i) < ∞ kas rodo, jog seka {xn: n ≥ 1} yra apr˙ežta. Tokiu b ūdu tam, kad ˛irodyti
(3.7) pakanka parodyti, kad kiekvienas sekos {xn: n ≥ 1} posekis konverguoja ˛i x. Apsiribosime
tuo atveju, kai pati seka konverguoja tarkime ˛i kok˛i nors vektori ˛u y ∈ X. Parodysime, kad
y = x. Kiekvienam n, yra teisinga
p·y − w = (p − pn)·y + pn·(y − xn) + wn − w,
nes pn·xn = wn remiantis 3.4 Teiginiu. Dešinioji šios lygyb˙es pus˙e art˙eja ˛i nul˛i kai n → ∞
kadangi skaliarin˙e sandauga yra tolydi ir sup n |pn| < ∞. Tod˙el p·y = w, o u(y) ≤ u(x)
35

nes x yra maksimumo taškas biudžetin˙eje aib˙eje β(p, w). Tarkime, kad ɛ := u(x) − u(y) >
0. Kadangi p > 0, kiekviena x-o aplinka turi netušči ˛a sankirt ˛a su biudžetine aibe β(pn, wn)
visiems pakankamai dideliems n. Tegul V yra tokia x-o aplinka, kad u(z) > u(y)+ɛ/2 visiems
z ∈ V . Tada bet kuriam z ∈ V ∩ β(pn, wn), u(xn) < u(z) visiems pakankamai dideliems n d˙el
u tolydumo. Tai prieštarauja xn apibr˙ežimui, ir tokiu b ūdo ˛irodo, kadu(y) = u(x). Remiantis
3.2 Teorema, x yra vienintelis ir tod˙el y = x.
Teiginio (d) ˛irodymui tarkime, kad y ∈ X ir w > 0. Tegul p ′ , p ′′ ∈ {p ∈ R ℓ +: x(p, w)
y}, λ ∈ [0, 1] ir p(λ) := λp ′ + (1 − λ)p ′′ . Tada
β(p(λ), w) ⊂ β(p ′ , w) ∪ β(p ′′ , w). (3.8)
Jei taip n˙era, tai egzistuoja toks x ∈ X, kad p(λ)·x ≤ w bet p ′ ·x > w ir p ′′ ·x > w, tai yra
p(λ)·x > w. Prieštaravimas ˛irodo (3.8). Kadangi biudžetin˙es aib˙es ir dešinioji (3.8) s ˛aryšio
pus˙e yra kompaktai, tolydi funkcija u jose ˛igyja maksimali ˛a reikšm˛e. Elementams, kuriuose
˛igyjami šie maksimumai, yra teisingas s ˛aryšis:
x(p(λ), w) = argmax{u(x): x ∈ β(p(λ), w)}
argmax{u(x): x ∈ β(p ′ , w) ∪ β(p ′′ , w)} y.
Tai reiškia, kad aib˙e {p ∈ R ℓ +: x(p, w) y} yra iškila. Kitos aib˙es iškilumo ˛irodymas yra
analogiškas. 3.9 Teoremos ˛irodymas baigtas.
Išlaid ˛u funkcija. Bet kuriam a ∈ X, tegul Xa := {x ∈ X: x a}. Tegul S ⊂ {(p, a): p ∈
R ℓ +, a ∈ R ℓ }. Jei kiekvienam vektoriui (p, a) ∈ S, aib˙e
argmin{p·x: x ∈ Xa} := {x ∈ Xa: p·x ≤ p·y visiems y ∈ Xa}
turi vienintel˛i element ˛a x, tai apibr˙ešime σ(p, a) := x. Šios reikšm˙es apibr˙ežia funkcij ˛a σ:
S ∋ (p, a) ↦→ σ(p, a) ∈ X.
3.10 Teiginys. Tegul aib˙e X ⊂ R ℓ + yra uždara ir iškila o vertybi ˛u laukas (X, ) yra griežtai
iškilas ir tolydus. Tada funkcija σ yra apibr˙ežta aib˙eje S := {(p, a) ∈ R ℓ + × R ℓ +: p > 0}. Jei be
to vertybi ˛u laukas yra silpnai monotoninis, tai šiai funkcijai ir vektoriui (p, a) ∈ S yra teisinga:
(a) σ(p, a) ∼ a;
(b) funkcija σ: S ↦→ X yra tolydi;
˛Irodymas. Tegul (p, a) ∈ S ir tegul M(p, a) := {x ∈ Xa: p·x ≤ p·a}. Nesunku pasteb˙eti,
kad
argmin{p·x: x ∈ Xa} = argmin{p·x: x ∈ M(p, a)}.
Kadangi M(p, a) yra netuščias kompaktas, tolydi funkcija x ↦→ p·x šioje aib˙eje ˛igyja savo minimum
˛a. Tarkime, kad minimali reikšm˙e ˛igyjama daugiau ne viename taške, tai yra egzistuoja
du tokie vektoriai y, z ∈ Xa ir be to z y. Kadangi vertybi ˛u laukas (X, ) yra griežtai iškilas,
36

vektorius (y + z)/2 ≻ a. D˙el (X, ) tolydumo, egzistuoja toks x ∈ X, kad x ≤ (y + z)/2
ir x ≻ a. Kadangi kainos vektorius p > 0, p·x < p·y = p·z. Tai yra prieštaravimas minimalumui,
kas ˛irodo minimumo vienatinum ˛a ir tuo pačiu ˛irodo funkcijos reikšm˙es σ(p, a)
egzistavim ˛a bet kuriam (p, a) ∈ S.
Teiginio (a) ˛irodymui, tegul (p, a) ∈ S. Pagal funkcijos apibr˙ežim ˛a, σ(p, a) a. Tarkime,
kad σ(p, a) ≻ a. Jei σ(p, a) = 0, tai a ≥ σ(p, a) ir, d˙el silpno monotoniškumo, a σ(p, a),
kas yra negalima. Tod˙el σ(p, a) ≥ 0. D˙el vertybi ˛u lauko tolydumo egzistuoja toks vektorius
x ∈ X, kad σ(p, a) ≥ x ir x ≻ a. Bet kadangi p > 0, tai gauname prieštaravim ˛a p·σ(p, a) >
p·x minimalumui. Tod˙el teiginys (a) yra teisingas.
Tegul p ∈ R ℓ + ir u ≥ 0.
e(p, u) := min{p·x: x ∈ X, u(x) ≥ u}.
Engelio ir paklausos kreiv˙es. Paklausos funkcij ˛a x(p1, p2, w) = (x1, x2) galima užrašyti ir
taip:
x1 = x1(p1, p2, w) ir x2 = x2(p1, p2, w).
Fiksav˛e (p1, p2) ir keisdami w gauname pajam ˛u poveikio kreiv˛e. Ši kreiv˙e nupiešta koordinači ˛u
sistemoje (x1, w) vadinama Engelio kreive. Fiksav˛e (p2, w) ir keisdami p1 gauname kainos
poveikio kreiv˛e. Ši kreiv˙e nupiešta koordinači ˛u sistemoje (x1, p1) vadinama paklausos kreive.
Ši ˛u kreivi ˛u pavyzdžius ir iliustracijas galima rasti [17] knygos aštuntame skyriuje.
3.3 Vartotojo paklausos d˙esnis
Vartotojo paklausos d˙esniu vadinamas paklausos ir kainos kitimas priešingomis kryptimis, t. y.
did˙ejant kainai paklausa maž˙eja ir atvirkščiai. Šiame skyrelyje parodoma, kad tam tikromis
s ˛alygomis vartotojo paklausos d˙esnis galioja kompensuotiesiems kainos pokyčiams.
Toliau šiame skyrelyje tariama, kad Walras’o paklausos atitiktis pasižymi nulin˙es eil˙es homogeniškumu
ir išpildo Walras’o d˙esn˛i.
Silpnoji atskleistosios preferencijos aksioma.
3.11 Apibr˙ežimas. Walras’o paklausos funkcijai φ galioja SAPA, jei su bet kuriomis dviem
kainos–turto b ūsenomis(p, w) ir (p ′ , w ′ ) teisinga implikacija:
jei p·φ(p ′ , w ′ ) ≤ w ir φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ) tai p ′ ·φ(p, w) > w ′ . (3.9)
Parodysime, kad SAPA paklausos funkcijai yra atskiras SSPA atvejis pasirinkimo strukt ūrai
(žr. 2.27 Apibr˙ežim ˛a). Sakykime, kad φ yra Walras’o paklausos funkcija, B := {β(p, w): p ≫
0, w > 0} ir su kiekvienu (p, w) ∈ R ℓ+1
++ C(β(p, w)) := φ(p, w). Tada (B, C(·)) yra X ⊂ R ℓ +
pasirinkimo strukt ūra. Nesunku patikrinti, kad (B, C(·)) galioja SAPA tada ir tik tada, kai φ
galioja SAPA.
37

Iš tikr ˛uj ˛u, tarkime, kad SAPA galioja funkcijai φ. Taip pat tarkime, kad B = β(p, w),
B ′ = β(p ′ , w ′ ), x B y, x ∈ B ′ ir y ∈ C(B ′ ). Tada
x = φ(p, w), y = φ(p ′ , w ′ ), p·φ(p ′ , w ′ ) ≤ w ir p ′ ·φ(p, w) ≤ w ′ . (3.10)
Kadangi φ yra funkcija, tai x ∈ C(B ′ ) tada ir tik tada, kai x = y. Jei x = y, tai remiantis (3.9),
teisinga griežta nelygyb˙e p ′ ·φ(p, w) > w ′ - prieštaravimas (3.10), ˛irodantis, kad SKA galioja
pasirinkimo strukt ūrai(B, C(·)).
Dabar tarkime, kad SAPA galioja pasirinkimo strukt ūrai (B, C(·)). Taip pat tarkime, kad
(p, w), (p ′ , w ′ ) ∈ R ℓ+1
++ , x := φ(p, w), y ∈ φ(p ′ , w ′ ), x = y ir p·y ≤ w. Tada
x ∈ C(β(p, w)), y ∈ β(p, w) ir y ∈ C(β(p ′ , w ′ )).
Remiantis pirmais dviem s ˛aryšiais, x ∗ y. Be to, remiantis SAPA pasirinkimo strukt ūrai, jei
x ∈ β(p ′ , w ′ ), tai x ∈ C(β(p ′ , w ′ )). Tod˙el x = y – prieštaravimas, ˛irodantis, kad x ∈ β(p ′ , w ′ ),
t. y. p ′ ·φ(p, w) > w ′ . Tokiu b ūdu SAPA galioja funkcijaiφ.
3.12 Lema. Sakykime, kad φ yra tokia Walras’o paklausos funkcija, kuriai galioja Walras’o
d˙esnis. Funkcijai φ galioja SAPA tada ir tik tada, kai ji galioja su visais kompensuotaisiais
kainos pokyčiais.
˛Irodymas. Pakanka parodyti, kad negaliojant SAPA egzistuoja tokie kompensuotieji kainos
pokyčiai, kuriems taip pat SAPA negalioja. Tarkime, kad (p ′ , w ′ ) ir (p ′′ , w ′′ ) yra dvi tokios
kainos–turto b ūsenos kurioms SAPA negalioja, t. y.φ(p ′ , w ′ ) = φ(p ′′ , w ′′ ),
p ′′ ·φ(p ′ , w ′ ) ≤ w ′′
ir p ′ ·φ(p ′′ , w ′′ ) ≤ w ′ .
Jei bent viename iš ši ˛u s ˛aryši ˛u teisinga lygyb˙e, tai p ′′ − p ′ yra kompensuotasis kainos pokytis ir
lemos ˛irodymas baigtas. Tod˙el tarkime, kad
p ′′ ·φ(p ′ , w ′ ) < w ′′
Tada egzistuoja (kod˙el?) toks λ ∈ (0, 1), kad
ir p ′ ·φ(p ′′ , w ′′ ) < w ′ . (3.11)
(λp ′ + (1 − λ)p ′′ )·φ(p ′ , w ′ ) = (λp ′ + (1 − λ)p ′′ )·φ(p ′′ , w ′′ ).
Pažym˙ekime p := λp ′ + (1 − λ)p ′′ ir w := p·φ(p ′ , w ′ ). Remiantis Walras’o d˙esnio išvada,
w ′ = p ′ ·φ(p ′ , w ′ ). Tada naudodamiesi pim ˛aja (3.11) nelygybe, gauname
λw ′ + (1 − λ)w ′′ > λp ′ ·φ(p ′ , w ′ ) + (1 − λ)p ′′ ·φ(p ′ , w ′ ) = w
Walras’o d˙esnis = p·φ(p, w)
= λp ′ ·φ(p, w) + (1 − λ)·φ(p, w)
Tod˙el arba p ′ ·φ(p, w) < w ′ arba p ′′ ·φ(p, w) < w ′′ . Tarkime, kad galioja pirmoji alternatyva.
Tada φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ), p·φ(p ′ , w ′ ) = w ir p ′ ·φ(p, w) < w ′ , o tai prieštarauja SAPA kompensuotam
kainos pokyčiui iš (p ′ , w ′ ) ˛i (p, w). Galiojant antrajai alternatyvai, prieštaravimas
gaunamas simetriniu b ūdu. Lemos ˛irodymas baigtas.
38

Kompensuotieji kainos pokyčiai. Toliau ˛irodoma, kad skyrelio pradžioje min˙etasis vartotojo
paklausos d˙esnis galioja kompensuotiems kainos pokyčiams. B ūtent, kainos pokyt˛i pažym˙ejus
∆p := p ′ − p, o paklausos pokyt˛i pažym˙ejus ∆φ := φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w), nelygyb˛e ∆p·∆φ ≤ 0
galima interpretuoti kaip kainos ir paklausos kitim ˛a priešingomis kryptimis.
3.13 Teorema. Sakykime, kad φ yra tokia nulin˙es eil˙es homogenin˙e Walras’o paklausos funkcija,
kuriai galioja Walras’o d˙esnis. Funkcijai φ galioja SAPA tada ir tik tada, kai su kiekvienu
kompensuotu kainos pokyčiu iš pradin˙es kainos–turto b ūsenos(p, w) ˛i naujaj ˛ a˛ b ūsena(p ˛ ′ , w ′ ),
galioja nelygyb˙e
ir ši nelygyb˙e yra griežta jei φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ).
∆p·∆φ = (p ′ − p)·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] ≤ 0 (3.12)
˛Irodymas. Sakykime, kad funkcijai φ galioja SAPA. Pakanka ˛irodyti (3.12) su griežta nelygybe
kai φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ), nes priešingu atveju akivaizdžiai teisinga lygyb˙e. Taigi, tarkime, kad
φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ). Kadangi kainos pokytis iš p ˛i p ′ yra kompensuotas, tai p ′ ·φ(p, w) = w ′ . Be
to, remiantis Walras’o d˙esnio išvada, p ′ ·φ(p ′ , w ′ ) = w ′ . Iš čia išplaukia, kad
p ′ ·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] = 0. (3.13)
Dar kart ˛a pasinaudojus kompensuoto turto apibr˙ežimu w ′ = p ′ ·φ(p, w) gauname, kad preki ˛u
rinkinys φ(p, w) yra ˛iperkamas esant (p ′ , w ′ ) kainos–turto lygmeniui. Tod˙el remiantis SAPA,
kitas preki ˛u rinkinys φ(p ′ , w ′ ) negali b ūti ˛iperkamas esant (p, w) kainos–turto lygmeniui, t. y.
p·φ(p ′ , w ′ ) > w. Pastaroji nelygyb˙e kartu su kita Walras’o d˙esnio išvada p·φ(p, w) = w, leidžia
teigti, kad
p·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] > 0. (3.14)
Iš (3.13) ir (3.14) išplaukia (3.12) su griežta nelygybe.
Dabar tarkime priešingai, kad (3.12) su griežta nelygybe galioja bet kuriam kompensuotam
kainos pokyčiui iš (p, w) ˛i (p ′ , w ′ ) jei φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ). Jei funkcijai φ SAPA negalioja,
tai remiantis 3.12 Lema, egzistuoja toks kompensuotas kainos pokytis iš (p, w) ˛i (p ′ , w ′ ), kad
φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ), p·φ(p ′ , w ′ ) = w ir p ′ ·φ(p, w) ≤ w ′ . Iš čia ir Walras’o d˙esnio d˙eka, gauname
Tokiu b ūdu
p·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] = 0 ir p ′ ·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] ≥ 0.
φ(p, w) = φ(p ′ , w ′ ) ir (p ′ − p)·[φ(p ′ , w ′ ) − φ(p, w)] ≥ 0,
o tai prieštarauja prielaidai (3.12) su griežta nelygybe. Tod˙el funkcijai φ galioja SAPA. Teoremos
˛irodymas baigtas.
3.4 Main ˛u bendroji pusiausvyra
Paskutiniame skyrelyje nagrin˙ejome rink ˛a, sudaryt ˛a iš vieno vartotojo, kuris, kaip paprastai, yra
tapatinamas su savo vertybi ˛u lauku. Šiame skyrelyje nagrin˙ejama rinka, kuri ˛a sudaro baigtinis
39

vartotoj ˛u kiekis. Esant duotai vertybi ˛u kainai, kiekvienas vartotojas gali pasirinkti tok˛i optimal ˛u
vertybi ˛u rinkin˛i, kur˛i jam leidžia asmeninis biudžetas. Gali atsitikti taip, kad visi vartotojai pasirenka
optimaliai pasidalindami tarp sav˛es visas ˛imanomas vertybes. Tokia b ūsena yra vadinama
daline pusiausvyra kadangi ...?
Tarkime, kad rinkoje yra n vartotoj ˛u pažym˙et ˛u indeksais i ∈ {1, . . . , n}, kurie gali rinktis
tarp ℓ vertybi ˛u pažym˙et ˛u indeksais j ∈ {1, . . . , ℓ}. Vertybi ˛u rinkini ˛u aib˙e X ⊂ R ℓ + viesiems
vartotojams yra ta pati, tačiau kiekvieno vartotojo pasirinkimas yra individualus ir i-tasis vartotojas
yra pilnai nusakytas savo vertybi ˛u lauku (X, i), i = 1, . . . , n. Anksčiau rinkos kainos
vektorius p = (p1, . . . , pℓ) ∈ R ℓ + buvo duotas ir nekintamas, tai yra kaina buvo egzogeninis
kintamasis. Dabar laikysime j˛i endogeniniu kintamuoju ir tod˙el vartotojo pradinis turtas priklausys
nuo esamo kainos vektoriaus p. D˙el šios priežasties i-tojo vartotojo pradinis turtas bus
užduodamas pradiniu ˛inašu (angl. initial endowment) ei = (ei,1, . . . , ei,ℓ) ∈ X, ir tokiu b ūdu
pradinis turtas wi = p·ei = ℓ j=1 pjei,j. priklauso nuo rinkos kainos.
Esant duotam kainos vektoriui p, i-tasis vartotojas renkasi spr˛esdamas optimalaus pasirinkimo
problem ˛a, tai yra jo paklausos aib˙e yra
φi(p, p·ei) = argmax{ui(xi): xi ∈ βi(p, p·ei)},
čia kaip ir anksčiau βi(p, wi) = {xi ∈ X: p·xi ≤ wi} yra biudžetin˙e aib˙e, o ui yra vertybi
˛u lauko (X, i) naudingumo funkcija. Esant jau nustatytoms s ˛alygoms bet kuriam kainos
vektoriui p > 0 kiekvieno vartotojo optimalaus pasirinkimo problema turi vienintel˛i sprendin˛i
xi = (xi,1, . . . , xi,ℓ) := xi(p, p·ei) ∈ β(p, p·ei). Šiuo atveju atsiranda problema: ar vis ˛u
vartotoj ˛u pasirinktas vertybi ˛u vektorius n i=1 xi atitinka esamus išteklius, ribojamus pradini ˛u
˛inaš ˛u suma n i=1 ei? Pasteb˙ekime, kad biudžetin˙e aib˙e riboja tik pasirenkam ˛u vertybi ˛u kain ˛a,
ir šios kainos ribose galima perskirstyti savo turimas vertybes ir mainytis vertyb˙emis tarp skirting
˛u vartotoj ˛u. D˙el to tokia rinka vadinama grynaisiais mainais (angl. pure exchange) - joje
nevyksta vertybi ˛u gamyba.
Vertybi ˛u paskirstymu (angl. allocation) yra vadinamas vektorius
x = (x1, . . . , xn) = {xi} n i=1 ∈ X n := X × · · · × X,
nusakantis vertybi ˛u pasiskirstym ˛a tarp vis ˛u vartotoj ˛u esant duotai kainai. Vertybi ˛u paskirstymas
{xi} n i=1 yra vadinamas leistinu (angl. feasible allocation) jei
Z(x) ≡ Z({xi} n n
i=1) :=
i=1
xi −
n
ei ≤ 0.
Tai yra jei kiekvienai vertybei j ∈ {1, . . . , ℓ}, n i=1 xi,j ≤ n i=1 ei,j. Gryn ˛uj ˛u main ˛u problema
yra klausimas: ar egzistuoja toks kainos vektorius p, kuriam esant kiekvienas vartotojas renkasi
optimaliai ir vis ˛u pasirinkt ˛u vertybi ˛u paskirstymas yra leistinas. Tai yra bendrosios pusiausvyros
problema.
3.14 Apibr˙ežimas. Tarkime, kad P ⊂ R ℓ + \ {0} yra k ūgis. Gryn ˛uj ˛u main ˛u rinkos b ūsena
(p ∗ , x ∗ ) ∈ P × X n yra vadinama Walraso pusiausvyra, jei yra teisinga (a) ir (b), čia
(a) x ∗ i = xi(p ∗ , p ∗ ·ei) su kiekvienu i ∈ {1, . . . , n};
40
i=1

(b) Z(x ∗ ) ≤ 0.
Tokiu b ūdu, b ūsena(p ∗ , x ∗ ) yra Walraso pusiausvyra, jei vartotojams renkantis optimaliai
vertybi ˛u paskirstymas yra leistinas.
3.15 Apibr˙ežimas. o aib˙eje P × (0, ∞) yra apibr˙ežta paklausos funkcij ˛u sistema {xi} n i=1.
Kiekvienam kainos vektoriui p ∈ P ir kiekvienam pradini ˛u ˛inaš ˛u rinkiniui {ei} n i=1, apibr˙ešime
skaičius
n
zi,j(p) := xi,j(p, p·ei) − ei,j, Ej(p) := zi,j(p),
visiems i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , ℓ, ir erdv˙es R ℓ vektorius
zi(p) := xi(p, p·ei) − ei = {xi,j(p, p·ei) − ei,j} ℓ j=1 = {zi,j(p)} ℓ j=1, i = 1, . . . , n.
Šios reikšm˙es aib˙eje P apibr˙ežia vektorini ˛u funkcij ˛u šeima ˛ {zi} n i=1 vadinama˛ perteklin˙es paklausos
sistema, funkcija˛ Ej vadinama˛ j-tosios vertyb˙es pertekline paklausa, ir vektorin˛e funkcija˛
n
z := zi = {Ej} ℓ j=1: P ↦→ R ℓ
i=1
vadinama˛ visumine pertekline paklausa (angl. aggregate excess demand). Kainos vektorius
p∗ ∈ P yra vadinamas Walraso pusiausvyra, jei z(p∗ ) ≤ 0, tai yra Ej(p∗ ) ≤ 0 kiekvienam
j ∈ {1, . . . , ℓ}.
Walraso pusiausvyros egzistencija. Parodysime, kad Walraso pusiausvyra egzistuoja esant
išpildytoms pakankamai bendroms s ˛alygoms. Pirmoji s ˛alyga yra taip vadinamas Walraso d˙esnis:
3.16 Apibr˙ežimas. Sakoma, kad aib˙eje P apibr˙ežtai visuminei perteklinei paklausai z yra teisingas
Walraso d˙esnis jei p·z(p) = 0 visiems kainos vektoriams p ∈ P .
Walraso d˙esnis reiškia, kad visumin˙es perteklin˙es paklausos z(p) kaina yra nulis bet kuriam
kainos vektoriui p. Kaip v˙eliau bus matyti, ši ˛a s ˛alyg ˛a galima interpretuoti kaip main ˛u ekonomikos
paklausos suderinamum ˛a su pasi ūla. Tai yra visos ekonomikos biudžeto apribojimas,
reiškiantis, kad visada paklausos vert˙e turi sutapti su pasi ūlos verte. Toliau parodoma, kad Walraso
d˙esnis yra teisingas kai vis ˛u vartotoj ˛u optimalaus pasirinkimo problemos sprendinys yra
ant biudžetin˙es aib˙es krašto.
3.17 Teiginys. Tegul X ⊂ R ℓ + yra uždara ir iškila aib˙e, ir tegul P ⊂ R ℓ yra griežtai teigiamas
k ūgis. Tarkime, kad kiekvienas iš vertybi ˛u lauk ˛u (X, i), i = 1, . . . , n, yra griežtai iškilas,
lokaliai nepasotinamas ir tolydus, ir 0 = ei ≥ 0, i = 1, . . . , n, yra pradiniai ˛inašai. Tada
aib˙eje P yra apibr˙ežta visumin˙e perteklin˙e paklausa z ir jai yra teisingas Walraso d˙esnis.
41
i=1

˛Irodymas. Remiantis 3.2 Teorema ir 3.4 teiginiu, aib˙eje P × (0, ∞) yra apibr˙ežtos paklausos
funkcijos xi, i = 1, . . . , n ir lygyb˙e p·xi(p, p·ei) = p·ei yra teisinga kiekvienam i = 1, . . . , n
ir visiems kainos vektoriams p ∈ P . Tod˙el visiems p ∈ P yra teisinga lygyb˙e
k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
n
p·z(p) = [p·xi(p, p·ei) − p·ei] = 0,
i=1
Walraso pusiausvyros egzistencijai ˛irodyti remsim˙es Brouwerio nejudamo taško teorema:
3.18 Teorema. (Brouwer) Tegul S ⊂ R ℓ yra netuščia, kompakti ir iškila aib˙e, ir tegul f: S ↦→
S yra tolydi funkcija. Tada f turi nejudama˛ taška, ˛ tai yra egzistuoja toks x ∈ D, kad f(x) = x.
3.19 Teorema. Tarkime, kad visumin˙e perteklin˙e paklausa z: P ↦→ R ℓ yra tolydi, nulin˙es eil˙es
homogenin˙e funkcija ir jai yra teisingas Walraso d˙esnis. Tada egzistuoja Walraso pusiausvyra,
tai yra egzistuoja toks kainos vektorius p ∗ ∈ P , kad z(p ∗ ) ≤ 0.
˛Irodymas. Kadangi visumin˙e perteklin˙e paklausa z yra nulin˙es eil˙es homogenin˙e funkcija,
z(λp) = z(p) bet kuriam kainos vektoriui p ∈ P ir kiekvienam λ > 0. Tod˙el pusiausvyros
kain ˛a pakanka surasti tarp t ˛u p = (p1, . . . , pℓ) ∈ P , kuriems ℓ j=1 pj = 1, tai yra galime
tarti, kad funkcija z yra apibr˙ežta simplekse S ℓ−1 := {p ∈ P : ℓ j=1 pj = 1}. Tegul g =
(g1, . . . , gℓ): S ℓ−1 ↦→ S ℓ−1 yra atvaizdis apibr˙ežtas taip: kiekvienam p = (p1, . . . , pℓ) ∈ S ℓ−1 ,
gj(p) := pj + max{0, Ej(p)}
1 + ℓ , j = 1, . . . , ℓ.
l=1 max{0, El(p)}
Aib˙e S ℓ−1 ir funkcija g tenkina Brouwerio nejudamo taško teoremos s ˛alygas ir tod˙el egzistuoja
toks kainos vektorius p ∗ ∈ S ℓ−1 , kad g(p ∗ ) = p ∗ , tai yra
Parodysime, kad z(p ∗ ) ≤ 0.
Pertvark˛e (3.15) lygyb˛e, turime
p ∗ j + max{0, Ej(p ∗ )}
1 + ℓ l=1 max{0, El(p ∗ )} = p∗ j, j = 1, . . . , ℓ. (3.15)
max{0, Ej(p ∗ )} = p ∗ ℓ
j max{0, El(p
l=1
∗ )}, j = 1, . . . , ℓ.
Kiekvien ˛a lygyb˛e padaugin˛e iš Ej(p ∗ ) ir visas jas sud˙ej˛e, gauname
ℓ
Ej(p
j=1
∗ ) max{0, Ej(p ∗ )} = p ∗ ·z(p ∗ ℓ
) max{0, El(p
l=1
∗ )} = 0
remiantis Walraso d˙esniu. Kiekvienas kairiosios sumos narys yra arba 0 arba (Ej(p ∗ )) 2 . Jei
bent vienas iš Ej(p ∗ ) > 0 tai gauname prieštaravim ˛a tam, kad suma yra lygi nuliui. Vadinasi
Ej(p ∗ ) ≤ 0 visiems j = 1, . . . , ℓ, tai yra z(p ∗ ) ≤ 0, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
42

3.20 Išvada. Tegul X ⊂ R ℓ + yra uždara ir iškila aib˙e, ir tegul P ⊂ R ℓ yra griežtai teigiamas
k ūgis. Tarkime, kad kiekvienas iš vertybi ˛u lauk ˛u (X, i), i = 1, . . . , n, yra griežtai iškilas,
lokaliai nepasotinamas ir tolydus, ir 0 = ei ≥ 0, i = 1, . . . , n, yra pradiniai ˛inašai. Tada
aib˙eje P yra apibr˙ežta visumin˙e perteklin˙e paklausa z ir jai egzistuoja Walraso pusiausvyra.
˛Irodymas. Pagal 3.17 Teigin˛i, visumin˙e perteklin˙e paklausa z yra apibr˙ežta aib˙eje P ir jai yra
teisingas Walraso d˙esnis. Remiantis 3.9 Teoremos (c) teiginiu, kompozicija
p ↦→ (p, p·ei) ↦→ xi(p, p·ei)
yra tolydi aib˙eje P kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}. Tod˙el šioje aib˙eje yra tolydi ir visumin˙e perteklin˙e
paklausa z. Ji taip pat yra nulin˙es eil˙es homogenin˙e funkcija pagal tos pačios 3.9 Teoremos
teigin˛i (b). Tokiu b ūdu yra išpildytos visos 3.19 Teoremos s ˛alygos, iš kurios ir išplaukia trokštama
išvada.
Pasi ūlos ir paklausos lygyb˙e. Lygyb˛e Ej(p) = 0 galima interpretuoti kaip j-tosios vertyb˙es
pasi ūlos n i=1 ei,j lygyb˛e paklausai n i=1 xi,j esant kainai p. Čia panagrin˙esime, kada pasi ūla
lygi paklausai esant Walraso pusiausvyros kainai.
3.21 Teiginys. Tarkime, kad k ūgyje P ⊂ R ℓ + \ {0} yra apibr˙ežta tokia visumin˙e perteklin˙e
paklausa z, kuriai egzistuoja Walraso pusiausvyra ir yra teisingas Walraso d˙esnis. Jei p ∗ ∈ P
yra Walraso pusiausvyros kaina, tai Ej(p ∗ ) = 0 visoms toms vertyb˙ems j ∈ {1, . . . , ℓ}, kurioms
p ∗ j > 0.
˛Irodymas. Tegul p∗ ∈ P yra Walraso pusiausvyros kaina. D˙el Walraso d˙esnio, yra teisinga
lygyb˙e
p ∗ j ′Ej ′(p∗ ) = −
j=j ′
p ∗ jEj(p ∗ ). (3.16)
Kadangi visiems j = 1, . . . , ℓ, p ∗ j ≥ 0 ir Ej(p ∗ ) ≤ 0, dešinioji (3.16) lygyb˙es pus˙e yra neneigiama.
Kadangi p ∗ j ′ > 0, iš čia išplaukia, kad Ej ′(p∗ ) = 0, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Kit ˛a teigin˛i galima interpretuoti taip, kad esant Walraso pusiausvyros kainai, jei egzistuoja
j-tosios vertyb˙es perteklius, tai yra Ej(p ∗ ) < 0, tai ši vertyb˙e nieko nekainuoja.
3.22 Teiginys. Tarkime, kad k ūgyje P ⊂ R ℓ + \ {0} yra apibr˙ežta tokia visumin˙e perteklin˙e
paklausa z, kuriai egzistuoja Walraso pusiausvyra ir yra teisingas Walraso d˙esnis. Jei p ∗ ∈ P
yra Walraso pusiausvyros kaina ir Ej(p ∗ ) < 0, tai p ∗ j = 0.
˛Irodymas. ˛Irodymas išplaukia remiantis (3.16) lygybe ir analogišku argumentu kaip ir 3.21
Teiginio ˛irodyme.
Sakysime, kad j-toji vertyb˙e yra trokštama, jei Ej(p) > 0 esant jos kainai pj = 0.
3.23 Teiginys. Tarkime, kad k ūgyje P ⊂ R ℓ + \ {0} yra apibr˙ežta tokia visumin˙e perteklin˙e
paklausa z, kuriai egzistuoja Walraso pusiausvyra ir yra teisingas Walraso d˙esnis. Jei p ∗ ∈ P
yra Walraso pusiausvyros kaina ir visos vertyb˙es yra trokštamos, tai z(p ∗ ) = 0.
43

˛Irodymas. Tarkime, kad Ej(p ∗ ) < 0 kuriam nors j ∈ {1, . . . , ℓ}. Remiantis 3.22 Teiginiu,
p ∗ j = 0. Bet kadangi visos vertyb˙es yra trokštamos, tai Ej(p ∗ ) > 0. Šis prieštaravimas ˛irodo,
kad prielaida negalima, tai yra z(p ∗ ) = 0.
Cobbo-Douglaso rinkos mainai. Tarkime, kad rinkoje yra dvi vertyb˙es ir du vartotojai, kuri
˛u vertybi ˛u laukai apibr˙ežti naudojant Cobbo-Douglaso naudingumo funckijas. Tarkime, kad
pirmojo vartotojo naudingumo funckija yra u1(x1,1, x1,2) = (x1,1,) a (x1,2) 1−a , 0 < a < 1, ir
pradinis ˛inašas yra e1 = (1, 0), o antrojo vartotojo naudingumo funckija yra u2(x2,1, x2,2) =
(x2,1,) b (x2,2) 1−b , 0 < b < 1, ir pradinis ˛inašas yra e2 = (0, 1). Pirmojo vartotojo paklausos
funkcija yra apibr˙ežta kiekvienam p = (p1, p2) > 0:
x1,1(p, p·e1) = (ap·e1)/p1 = a, x1,2(p, p·e1) = ((1 − a)p·e1)/p2 = ((1 − a)p1)/p2.
Tada z1(p) = {a − 1, (1 − a)p1/p2} ir p·z1(p) = p1(a − 1) + p2(1 − a)p1/p2 = 0. Antrojo
vartotojo paklausos funkcija yra apibr˙ežta kiekvienam p = (p1, p2) > 0:
x2,1(p, p·e2) = (bp·e2)/p1 = bp2/p1, x2,2(p, p·e2) = ((1 − b)p·e2)/p2 = 1 − b.
Tada z2(p) = {bp2/p1, −b} ir p·z2(p) = p2b − p2b = 0. Tokiu b ūdu visumin˙e perteklin˙e
paklausa z = z1 + z2 yra apib˙ežta visame giežtai teigiamame k ūgyje, ir yra teisingas Walraso
d˙esnis. Walraso pusiausvyros kain ˛a gausime išsprend˛e sistem ˛a
E1(p) = z1,1(p) + z2,1(p) = a − 1 + bp2/p1 = 0,
p1 + p2 = 1.
Taigi Cobb-Douglaso rinkos main ˛u Walraso pusiausvyros kaina yra p ∗ 1 = (1 − a)/(b + 1 − a)
ir p ∗ 2 = 1 − p ∗ 1.
44

Skyrius 4
Konkurencin˙es rinkos pusiausvyra
Šiame skyriuje ekonomin˙es pusiausvyros egzistencija nagrin˙ejama tokioje rinkoje, kurioje be
g˙erybi ˛u vartojimo taip pat vyksta g˙erybi ˛u gamyba.
4.1 Gamyba
Technologija. Individuali gamybin˙e firma naudodama vienas vertybes, vadinamas gamybos
s ˛anaudomis, sukuria kitas vertybes, vadinamas gamybos produktais. Šie alternatyv ūs k ūrimo
b ūdai ar metodai ir sudaro gamybos technologij ˛a. Tarkime, kad firma turi reikal ˛a su m abiej ˛u
r ūši ˛u vertyb˙emis toliau žymimas indeksu k ∈ {1, . . . , m}. Jei k-toji vertyb˙e yra skirta gamybos
s ˛anaudoms, tai ji yra vadinama gamybos veiksniu (angl. factor of production), o jos suvartojam ˛a
kiek˛i žym˙esime neigiamu skaičiumi yk ≤ 0. Gamybos veiksniais gali b ūti: žem˙e, darbas,
kapitalas ir žaliavos. Jei k-toji vertyb˙e yra firmos gaminys, tai šios vertyb˙es pagamint ˛a kiek˛i
žym˙esime teigiamu skaičiumi yk ≥ 0. Vis ˛u toki ˛u vertybi ˛u vektorius y = (y1, . . . , ym) =
{yk} m k=1 vadinamas gamybos planu. Visi technologiškai ˛imanomi gamybos planai sudaro aib˛e
Y ⊂ R m vadinam ˛a gamybos aibe.
Gamybos planas y ∈ Y vadinamas (technologiškai) efektyviu, jei n˙era tokio gamybos plano
y ′ ∈ Y , kad y ′ ≥ y ir y ′ = y. Kitaip tariant gamybos planas yra efektyvus jei n˙era b ūdu
pagaminti daugiau esant toms pačioms s ˛anaudoms arba pagaminti tiek pat naudojant mažiau
s ˛anaud ˛u. Tam, kad iliustruoti ši ˛a s ˛avok ˛a tarkime, kad gamybos produktu yra tik viena vertyb˙e,
tai yra kiekvienam y ∈ Y , ym ≥ 0 ir y1 ≤ 0, . . . , ym−1 ≤ 0. Duotam y ≥ 0, tegul
V (y) := {x ∈ R m−1
+ : (−x, y) ∈ Y }
ir V (y) := ∅ jei gamybos veiksni ˛u reikaling ˛u pagaminti y vienet ˛u n˙era. Aib˙e
Q(y) := {x ∈ R m−1
+ : x ∈ V (y) ir x ∈ V (y ′ ) jei y ′ > y}
yra vadinama izokvanta. Izokvanta apibr˙ežia aib˛e gamybos veiksni ˛u reikaling ˛u pagaminti lygiai
y vienet ˛u. Izokvantos vis ˛u gamybos veiksni ˛u aib˛e suskaido ˛i nesikeratnčias aibes - ekvivalentumo
klases. Tod˙el yra galima apibr˙ežti funkcij ˛a
f(x) :=
y jei x ∈ Q(y),
+∞ jei x ∈ ∪y≥0Q(y).
45

Pagal apibr˙ežim ˛a, kiekvienam x ∈ ∪y≥0Q(y), vektorius (x, f(x)) yra efektyvus gamybos planas.
Technologij ˛u pavyzdžiai. Tarkime, kad 0 < a < 1. Cobbo-Douglaso technologijos gamybos
aib˙e erdv˙eje R 3 yra apibr˙ežiama taip:
Y = {(−x1, −x2, y): x1 > 0, x2 > 0, y > 0, y ≤ x a 1x 1−a
2 }.
Šios technologijos gamybos funkcija yra f(x1, x2) = xa 1x 1−a
2 visiems (x1, x2) > 0.
Tarkime, kad a > 0 ir b > 0. Leontievo technologijos gamybos aib˙e erdv˙eje R 3 yra apibr˙ežiama
taip:
Y = {(−x1, −x2, y): x1 > 0, x2 > 0, y > 0, y ≤ min{ax1, bx2}}.
Šios technologijos gamybos funkcija yra f(x1, x2) = min{ax1, bx2} visiems (x1, x2) > 0.
Paprastai neoklasikin˙eje gamybos teorijoje laikoma, kad gamybos aib˙e Y išpildo tokias
s ˛alygas:
(a) Y yra uždara, tai yra jei seka {yi} ⊂ Y ir yi → y ∈ R m , tai y ∈ Y ;
(b) Y yra iškila, tai yra jei y ′ , y ′′ ∈ Y ir λ ∈ [0, 1], tai λy ′ + (1 − λy ′′ ) ∈ Y ;
(c) Y yra monotonin˙e, tai yra jei y ∈ Y ir y ′ ≤ y, tai y ′ ∈ Y .
D˙el sutarto ženklo vartojimo gamybos plano vektoriaus koordinat˙ems, aib˙es Y monotoniškumas
reiškia, kad lyginant su gamybos planu y, pagal gamybos plan ˛a y ′ produkcijos yra pagaminama
mažiau arba tiek pat naudojant tiek pat arba daugiau ištekli ˛u.
Pelno maksimizavimas. Firmos ekonominiu pelnu yra laikomas skirtumas tarp pajam ˛u ir
kašt ˛u. Pajamos ir kaštai priklauso nuo firmos veiksm ˛u: gamybin˙e veikla, gamybos s ˛anaud ˛u
pirkimas, reklamos pirkimas it t.t. Pažym˙ejus veiksmus (v1, . . . , vn), pajamas P (v1, . . . , vn) ir
kaštus K(v1, . . . , vn), pelno maksimizavimo problema ˛igyja išraišk ˛a
max {P (v1, . . . , vn) − K(v1, . . . , vn)}. (4.1)
v1,...,vn
Pajamos ir kaštai priklauso nuo vertybi ˛u kainos, už kuri ˛a parduodami gaminiai ir už kuri ˛a perkamos
s ˛anaudos. Firma negali savavališkai nustatyti kainos. Tam, kad optimizuoti savo veikl ˛a,
firma turi atsižvelgti ˛i dviej ˛u r ūši ˛u apribojimus: technologinius apribojimus ir rinkos apribojimus.
Pirnieji - technologiniai - apribojimai yra išreikšti gamybos aibe Y . Antrieji - rinkos
- apribojimai yra susij˛e su kaina, kuri ˛a firmos gamini ˛u vartotojai ir gamybos s ˛anaud ˛u tiek˙ejai
sutinka mok˙eti už vertybes reikalingas gamybos planui y ∈ Y . Aplamai optimalus pelno maksimizavimo
problemos sprendimas reikalauja nagrin˙eti abu apribojimus kartu. Tačiau paprastai
gamybos modelyje pelno maksimizavimo problema yra nagrin˙ejama esant duotai kainai, tai
yra kaina laikoma egzogeniniu kintamuoju. Taigi firma peln ˛a maksimizuoti gali rinkdamasi tik
gamybos aib˙es ribose. Toks firmos modelis yra vadinamas konkurencine firma.
46

Toliau nagrin˙ejama konkurencin˙es firmos pelno maksimizavimo problema. Tegul y =
(y1, . . . , ym) ∈ Y yra gamybos planas, o p = (p1, . . . , pm) yra kainos vektorius sudarytas
iš vertybi ˛u esanči ˛u gamybos plane y vienet ˛u kain ˛u. Kadangi gamybos plane y = (y1, . . . , ym)
teigiami skaičiai išreiškia gamybin˙es veiklos sukurta vertybes, o neigiami skaičiai išreiškia suvartojamas
vertybes, tai skaliarin˙e sandauga p·y yra lygi pajam ˛u ir kašt ˛u skirtumui, tai yra
firmos pelnui esant kainai p. Tokiu b ūdu pelno maksimizavimo problema (4.1) konkurencin˙es
firmos atveju ˛igyja išraišk ˛a
π(p, Y ) ≡ π(p) = sup{p·y: y ∈ Y }.
Toliau sakysime, kad aib˙eje P yra apibr˙ežta konkurencin˙es firmos pelno funkcija π ≡ πY , jei
aib˙e
ψ(p, Y ) ≡ ψ(p) := argmax{p·y: y ∈ Y } = {y ∈ Y : p·y ≥ p·z ∀ z ∈ Y }
yra netuščia. Nesunku pasteb˙eti, kad π(p) = p·y visiems y ∈ ψ(p).
4.1 Teiginys. Tarkime, kad Y ⊂ R m yra gamybos aib˙e ir k ūgyjeP ⊂ R m + yra apibr˙ežta pelno
funkcija πY . Tada ψ(λp) = ψ(p) visiems λ > 0 ir p ∈ P , o πY yra:
(a) pirmos eil˙es homogenin˙e funkcija, tai yra π(λp) = λπ(p) visiems λ > 0 ir p ∈ P ;
(b) iškila funkcija jei P yra iškila aib˙e;
(c) tolydi iš apačios.
˛Irodymas. Tegul p ∈ P ir y ∈ ψ(p). Tada p·y ≥ p·z visiems z ∈ Y . Iš čia išplaukia, kad
(λp)·y = λ(p·y) ≥ λ(p·z) = (λp)·z
visiems z ∈ Y ir λ > 0. Tod˙el y ∈ ψ(λp) ir π(λp) = λπ(p) visiems λ > 0, kas ˛irodo lygyb˛e
ψ(λp) = ψ(p) ir tvirtinim ˛a (a).
Tarkime, kad p ′ , p ′′ ∈ P ir λ ∈ [0, 1]. Kadangi aib˙e P yra iškila, p := λp ′ +(1−λ ′′ )p ′′ ∈ P
ir tod˙el egzistuoja y ∈ ψ(p). D˙el skaliarin˙es sandaugos tiesiškumo yra teisinga nelygyb˙e
π(p) =
λp ′ + (1 − λ)p ′′
·y = λp ′ ·y + (1 − λ)p ′′ ·y ≤ λπ(p ′ ) + (1 − λ)π(p ′′ ).
Tai reiškia, kad pelno funkcija π yra iškila ir yra teisingas tvirtinimas (b).
Tarkime, kad p0 ∈ P ir ɛ > 0, ir tegul vektorius y0 ∈ ψ(p0). Tada d˙el skaliarin˙es sandaugos
tolydumo, p·y0 ≥ p0·y0 − ɛ visiems p esantiems pakankamai arti p0, Tuo labiau yra teisinga
nelygyb˙e π(p) ≥ π(p0) − ɛ visiems p esantiems pakankamai arti p0, kas ir ˛irodo tvirtinim˛i (c).
Yra teisingas stipresnis pastarojo teiginio tvirtinimas (c) jei papildomai gamybin˙e aib˙e Y
yra kompakti, tai yra tuo atveju pelno funkcija πY yra tolydi savo apibr˙ežimo aib˙eje.
4.2 Lema. Jei Y yra Euklidin˙es erdv˙es R m netuščias kompaktas, o P ⊂ R m , tai funkcija
πY : P → R yra tolydi iš viršaus.
47

˛Irodymas. Tarkime, kad p0 ∈ P ir ɛ > 0. Kadangi skaliarin˙e sandauga yra tolydi dviej ˛u
argument ˛u funkcija, kiekvienam y ∈ Y egzistuoja tokia vektoriaus p0 atvira aplinka U(y) ir
tokia vektoriaus y atvira aplinka V (y), kad p·z ≤ p0·y + ɛ visiems p ∈ U(y) ir z ∈ V (y).
Atviros aplinkos {V (y): y ∈ Y } sudaro aib˙es Y atvir ˛a padengim ˛a. Kadangi Y yra kompaktas,
tai egzistuoja baigtinis Y padengimas V (y1), . . . , V (yk). Tegul U := ∩ k i=1U(yi). Tada U yra
vektoriaus p0 atvira aplinka. Tegul p ∈ U ir tegul y ∈ Y yra laisvai parinktas vektorius.
Egzistuoja toks i ∈ {1, . . . , k}, kad y ∈ V (yi). Kadangi p ∈ U(yi), tai
p·y ≤ p0·yi + ɛ ≤ π(p0) + ɛ.
Kadangi y ∈ Y yra laisvai pasirinktas, tai π(p) ≤ π(p0) + ɛ, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
4.2 Rinkos bendroji pusiausvyra
Šiame skyrelyje yra nagrin˙ejama rinka sudaryta iš vartotoj ˛u ir gamintoj ˛u. Kaip ir rinkos, kuri
˛a sudaro tik vartotojai atveju, yra nustatomos pusiausvyros egzistavimo s ˛alygos. Iš pradži ˛u
pusiausvyros egzistavimas bus ˛irodytas šiek tiek bendresnei sistema negu min˙eta rinka. Kiekvienas
iš šios sistemos nari ˛u vertybes renkasi optimaliai. Nagrin˙ejamas socialin˙es sistemos
modelis ir jos pusiausvyros egzistavimo ˛irodymas buvo pasi ūlyti G. Debreu [4] ir tod˙el j ˛a vadinsime
Debreu socialine sistema.
Debreu socialin˛e sistem ˛a gali sudaryti bet kokia baigtin˙e aib˙e nari ˛u besielgianči ˛u optimaliai
ir tam tikru b ūdu priklausomai nuo vienas kito pasirinkim ˛u. Tarkime, kad socialin˙es sistemos
nario aplink ˛a sudaro visi kiti sistemos nariai. Ta sistemos nario aplinka yra nusakyta aib˙es X
elementu x, o jo vis ˛u galim ˛u veiksm ˛u aib˙e yra Y . Apriori šis narys gali rinktis bet kur˛i aib˙es Y
element ˛a y. Aplinkos poveikis sistemos nario pasirinkimui reiškia, kad jo veiksmai yra ribojami
poaibiu φ(x) ⊂ Y , kuris gali priklausyti nuo to, kok˛i element ˛a x ∈ X pasirenka aplinka, tai
yra lik˛e sistemos nariai. Ir tuo atveju, kai sistemos nario pasirinkimas yra y ∈ φ(x), tai tok˛i
jo pasirinkimo optimalum ˛a charakterizuoja funkcijos f: X × Y ↦→ R reikšm˙e f(x, y). Duotai
aplinkos realizacijai x ∈ X, nagrin˙ejamos sistemos narys ieško tokio elemento y ∈ φ(x), kuris
maksimizuoja funkcij ˛a f(x, ·). Tarkime, kad vis ˛u toki ˛u optimali ˛u veiksm ˛u aib˙e yra
µ(x) = {y ∈ φ(x): f(x, y) = sup
z∈φ(x)
f(x, z)}, x ∈ X. (4.2)
Tuo atveju, kai sistemos narys yra vartotojas, jo optimalaus pasirinkimo problema paprastai turi
vienintel˛i sprendin˛i. Tačiau, kai sistemos narys yra gamintojas, tai optimalaus pasirinkimo
problema gali tur˙eti ne vien ˛a sprendin˛i ir tod˙el µ gali tur˙eti ne vien ˛a element ˛a, tai yra µ gali neb
ūti funkcija. Nagrin˙ejamos socialin˙es sistemos pusiausvyros egzistavimo ˛irodyme parodoma,
kad aib˙e (4.2) tolydžiai priklauso nuo x ir tuo tikslu naudojamas „daugiareikšmi ˛u funkcij ˛u",
vadinam ˛u atitiktimis, aparatas.
Debreu socialin˙es sistemos pusiausvyra. Tarkime, kad S ir T yra aib˙es. Taisykl˛e, kuri kiekvienam
aib˙es S elementui x priskiria netušči ˛a aib˙es T poaib˛i φ(x), vadinsime atitiktimi iš S ˛i T
(angl. correspondence), tai yra atitktis φ yra atvaizdavimas iš S ˛i aib˙es T vis ˛u poaibi ˛u šeim ˛a 2 T .
48

Atitiktis φ vadinama iškila, jei T yra reali vektorin˙e erdv˙e ir kiekvienam x ∈ S, aib˙e φ(x) ⊂ T
yra iškila. Yra sakoma, kad atitiktis φ iš vieno Euklidin˙es erdv˙es poaibio S ˛i kit ˛a Euklidin˙es
erdv˙es poaib˛i T yra pusiautolydi iš viršaus taške x ∈ S (angl. upper hemicontinuous), jei φ
yra apr˙ežta kurioje nors x-o aplinkoje ir visoms tokioms sekoms {xn} ⊂ S ir {yn} ⊂ T , kurioms
yn ∈ φ(xn) visiems n ir kurios konverguoja atitinkamai ˛i x0 ∈ S ir y0 ∈ T , yra teisinga
y0 ∈ φ(x0). Glaustai tariant:
{xn → x0, yn → y0, yn ∈ φ(xn)} ⇒ {y0 ∈ φ(x0)} . (4.3)
Atitiktis φ iš S ˛i T yra vadinama pusiautolydžia iš viršaus aib˙eje S, jei ji yra pusiautolydi iš
viršaus kiekviename taške x ∈ S. Tarkime, kad atitiktis φ iš S ˛i T yra pusiautolydi iš viršaus
aib˙eje S, ir tegul x ∈ S. Pirma, pagal apibr˙ežim ˛a, φ(x) yra apr˙ežta. Antra, apibr˙ežime (4.3)
pa˙em˛e triviali ˛a sek ˛a {xn ≡ x} ∈ S, gauname, kad aib˙e φ(x) yra uždara. Tod˙el φ(x) yra
kompaktas Euklidin˙es erdv˙es poaibyje T .
Dabar galime suformuluoti Bouwerio teoremos apie nejudam ˛a tašk ˛a apibendrinim ˛a atitiktims.
Jei µ yra atitiktis iš S ˛i pači ˛a sav˛e, tai elementas x ∈ S yra vadinamas atitikties µ
nejudamu tašku, jei x ∈ µ(x).
4.3 Teorema. (Kakutani) Tarkime, kad S yra Euklidin˙es erdv˙es netuščias, kompaktus ir iškilas
poaibis, o µ yra pusiautolydi iš viršaus ir iškila atitiktis iš S ˛i S. Tada µ turi nejudama˛ taška. ˛
Toliau bus reikalinga ir atitikties tolydumo s ˛avoka. Yra sakoma, kad atitiktis φ iš vieno
Euklidin˙es erdv˙es poaibio S ˛i kit ˛a Euklidin˙es erdv˙es poaib˛i T yra pusiautolydi iš apačios taške
x ∈ S (angl. lower hemicontinuous), jei kiekvienai sekai {xn} ⊂ S konverguojančiai ˛i element
˛a x0 ∈ S ir kiekvienam y0 ∈ φ(x0), egzistuoja tokia seka {yn} ⊂ T konverguojanti ˛i y0, kad
yn ∈ φ(xn) kiekvienam n. Glaustai tariant:
{xn → x0, y0 ∈ φ(x0)} ⇒ {∃ {yn}: yn → y0, yn ∈ φ(xn)} .
Atitiktis φ iš S ˛i T yra vadinama pusiautolydžia iš apačios aib˙eje S, jei ji yra pusiautolydi iš
apačios kiekviename taške x ∈ S. Na o atitikties tolydumas taške arba aib˙eje yra apibr˙ežiamas
kaip tos atitikties viršutinis ir apatinis pusiautolydumas atitinkamai taške arba aib˙eje.
4.4 Lema. Tegul X ir Y yra Euklidini ˛u erdvi ˛u poaibiai, funkcija f: X × Y ↦→ R ir atitiktis φ
iš X ˛i Y . Jei f ir φ yra tolyd ūs, tai(4.2) lygybe apibr˙ežta atitiktis µ yra pusiautolydi iš viršaus
aib˙eje X.
˛Irodymas. Tarkime, kad seka {xn} ⊂ X konverguoja ˛i x ∈ X, seka {yn} ⊂ Y konverguoja ˛i
y ∈ Y , o yn ∈ µ(xn) kiekvienam n. Reikia parodyti, kad y0 ∈ µ(x0). Kadangi yn ∈ φ(xn) ir
atitiktis φ yra pusiautolydi iš viršaus, y0 ∈ φ(x0). Tod˙el pakanka parodyti nelygyb˛e
f(x0, y0) ≥ f(x0, z) visiems z ∈ φ(x0). (4.4)
Tegul z ∈ φ(x0). Kadangi atitiktis φ yra pusiautolydi iš apačios, egzistuoja tokia seka {zn} ⊂
Y , kuri konverguoja ˛i z ir zn ∈ φ(xn) kiekvienam n. Tod˙el kiekvienam n yra teisinga nelygyb˙e
f(xn, yn) ≥ f(xn, zn). Šioje nelygyb˙eje per˙ej˛e prie ribos kai n → ∞ gauname, kad yra teisinga
(4.4) nelygyb˙e, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
49

Tarkime, kad kiekvienam i ∈ N := {1, . . . , N}, Vi yra netuščias Euklidin˙es erdv˙es poaibis,
o V := V1 × · · · × VN. Kiekvienam v = (v1, . . . , vi, . . . , vN) ∈ V , tegul
ui := vN \i := (v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vN) ∈ Ui := V1 × . . . × Vi−1 × Vi+1 × . . . × VN.
Kiekvienam i ∈ N , tegul fi: Ui×Vi ↦→ R yra funkcija, o φi yra atitiktis iš Ui ˛i Vi. Taip sudarytas
rinkinys {Vi, fi, φi}i∈N yra vadinamas Debreu socialine sistema. Šios sistemos pusiausvyra
laikysime tok˛i element ˛a v∗ = (v∗ i )i∈N ∈ V , kurio kiekviena koordinat˙e v∗ i yra aplinkos v∗ N \i
poveikio aib˙eje φi(v∗ N \i ) ir be to šioje aib˙eje maksimizuoja funkcij ˛a fi(v∗ N \i , ·). Toliau yra šios
s ˛avokos formalus apibr˙ežimas.
4.5 Apibr˙ežimas. Sakoma, kad egzistuoja Debreu socialin˙es sistemos {Vi, fi, φi}i∈N pusiausvyra,
jei egzistuoja toks elementas v∗ ∈ V , kad v∗ i ∈ µi(v∗ N \i ) kiekvienam i ∈ N , čia
µi(ui) := {x ∈ φi(ui): fi(ui, x) = sup
z∈φi(ui)
fi(ui, z)} ⊂ Vi, ui ∈ Ui. (4.5)
Tada elementas v ∗ ∈ V yra vadinamas Debreu socialin˙es sistemos pusiausvyra.
Tokios sistemos pusiausvyros egzistavim ˛a ˛irodysime remdamiesi Kakutani teorema apie
atitikči ˛u nejudam ˛a tašk ˛a. Tolesn˙es teoremos viena iš s ˛alyg ˛u, funkcijos kvazi-˛igaubtumas, yra
nusakyta 2.18 Apibr˙ežime.
4.6 Teorema. Tarkime, kad kiekvienam i ∈ N , Vi yra netuščias, kompaktus ir iškilas Euklidin˙es
erdv˙es poaibis, funkcija fi: Ui × Vi → R yra tolydi ir kvazi-˛igaubta pagal antraj˛i ˛ argumenta,
˛ o atitiktis φi iš Ui ˛i Vi yra tolydi ir iškila. Tada egzistuoja Debreu socialin˙es sistemos
{Vi, fi, φi}i∈N pusiausvyra.
˛Irodymas. Tarkime, kad i ∈ N . Kadangi φi yra pusiautolydi iš viršaus atitiktis, φi(ui) yra
kompaktas kiekvienam ui ∈ Ui. Tod˙el tolydi funkcija fi(ui, ·) maksimum ˛a aib˙eje φi(ui) ˛igyja
kuriame nors taške x ∈ φi(ui), o µi(ui), apibr˙ežta (4.5) s ˛aryšiu, yra vis ˛u toki ˛u tašk ˛u aib˙e.
Kadangi aib˙es µi(ui) ⊂ Vi, ui ∈ Ui, yra netuščios, tai jos apibr˙ežia atitikt˛i iš Ui ˛i Vi kiekvienam
i ∈ N . Kiekvienam v = (v1, . . . , vN) ∈ V , apibr˙ež˛e aib˛e
µ(v) := (µ1(vN \1), . . . , µN(vN \N)) ⊂ V,
gauname atitikt˛i iš V ˛i V . Pagal apibr˙ežim ˛a, elementas v ∗ ∈ V yra {Vi, fi, φi}i∈N pusiausvyra
tada ir tik tada, kai v ∗ ∈ µ(v ∗ ), tai yra tada ir tik tada, kai v ∗ yra atitikties µ nejudamas taškas.
Parodysime, kad atitiktis µ išpildo Kakutani nejudamo taško teoremos s ˛alygas.
Aib˙e V = V1 × · · · × VN yra netuščias, kompaktus ir iškilas Euklidin˙es erdv˙es poaibis,
kadangi tokia yra kiekviena iš aibi ˛u Vi, i ∈ N . Kadangi atitiktis φi ir funkcija fi išpildo
4.4 Lemos s ˛alygas, atitiktis µi yra pusiautolydi iš viršaus aib˙eje Ui kiekvienam i ∈ N . Tegul
˜µi(v) := µi(vN \i) kiekvienam i ∈ N . Tada kiekviena atitiktis ˜µi iš V ˛i Vi yra taip
pat pusiautolydi iš viršaus aib˙eje V nes ˜µi yra formalus µi prat˛esimas. Panašiai tiesiog tikrinant
apibr˙ežim ˛a nesunku ˛isitikinti, jog atitiktis µ = (˜µ1, . . . , ˜µn) taip pat yra pusiautolydi
iš viršaus aib˙eje V . Kiekvienam i ∈ N ir v ∈ V , aib˙e ˜µi(v) yra dviej ˛u aibi ˛u φi(ui) ir
{x ∈ Vi: fi(ui, x) ≥ sup z∈φi(ui) fi(ui, z)} sankirta. Pirmoji aib˙e yra iškila pagal prielaid ˛a, o
50

antroji yra iškila nes fi(ui, ·) yra kvazi-˛igaubta funkcija. Tod˙el iškilomis yra j ˛u sankirtos ˜µi(v),
i ∈ N , bei aib˙e µ(v) = (˜µ1(v), . . . , ˜µN(v)) kiekvienam v ∈ V . Tokiu b ūdu yra išpildytos visos
4.3 Teoremos s ˛alygos, ir tod˙el remiantis šia teorema atitiktis µ turi nejudam ˛a tašk ˛a, k ˛a ir reik˙ejo
˛irodyti.
Šia teorema pasinaudosime toliau ˛irodant rinkos bendrosios pusiausvyros egzistavim ˛a.
Arrow-Debreu ekonomikos pusiausvyra. Skyrelio pradžioje min˙eta vartotoj ˛u ir gamintoj ˛u
rinka yra toliau nagrin˙ejama kaip atskiras Debreu socialin˙es sistemos atvejis. Tokios rinkos
pusiausvyros egzistavim ˛a pirmieji tyr˙e K. J. Arrow ir G. Debreu darbe [1] ir d˙el to ši rinka
toliau yra vadinama Arrow-Debreu ekonomika.
Visi Arrow-Debreu ekonomikos dalyviai gamina, maino ir vartoja t ˛a pači ˛a vertybi ˛u rinkini ˛u
aib˛e sutapatint ˛a su Euklidin˙es erdv˙es R ℓ poaibiu. Kaip jau min˙eta, rinkos dalyviai yra dviej ˛u tip
˛u: vartotojai žymimi indeksais i ∈ {1, . . . , n} ir gamintojai žymimi indeksais j ∈ {1, . . . , m}.
i-tasis vartotojas gali rinktis vertybi ˛u rinkin˛i xi iš individualios vartojimo aib˙es Xi ⊂ R ℓ . Šio
vartotojo pasirinkimo optimalumas priklauso nuo jo vertybi ˛u lauko (Xi, i) ir yra ribojamas
biudžetin˙es aib˙es βi(p, wi) = {x ∈ Xi: p·x ≤ wi}, čia kaip ir anksčiau p ∈ P ⊂ R ℓ + yra
kainos vektorius o wi yra pradinis turtas. Tačiau skirtingai nei anksčiau dabar pradinis turtas
wi, be pradinio ˛inašo ei, taip pat priklausys ir nuo gamintoj ˛u gaunamo pelno tokiu b ūdu. Tarkime,
kad {θij} = {θij: i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m} yra tokie real ūs neneigiami skaičiai,
kad n i=1 θij = 1 kiekvienam j ∈ {1, . . . , m} - s ˛alyga, kurios interpretacija yra ta, kad visa
firmos nuosavyb˙e yra privati, priklauso vartotojams. Pažym˙ej˛e j-tojo gamintojo gaut ˛a peln ˛a rj,
laikysime, jog i-tojo vartotojo pradinis turtas yra wi(p) = p·ei + m j=1 θijrj. Kaip jau buvo
aptarta ankstesniame skyrelyje gamintojas maksimizuoja savo peln ˛a vis ˛u galim ˛u technologij ˛u
atžvilgiu esant duotai kainai. Prisiminkime, kad j-tojo gamintojo-firmos gamybos aib˙e Yj ⊂ R ℓ
yra sudaryta iš vertybi ˛u vektori ˛u yj taip, kad suvartojama vertyb˙e yra su neigiamu ženklu, o
pagaminama vertyb˙e yra su teigiamu ženklu. Tokiu b ūdu duotam kainos vektoriui p ∈ P , k ˛a
tik pamin˙etas j-tojo gamintojo pelnas yra rj = πj(p) = sup{p·y: y ∈ Yj}, ir tod˙el
m
wi(p) = p·ei + θijπj(p),
j=1
kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}. (4.6)
Apibendrinant tai kas išd˙estyta, Arrow-Debreu ekonomika yra laikomas vartotoj ˛u pasirinkimus
nusakantis rinkinys {Xi, i, ei} n i=1, vartotoj ˛u pelno paskirstymo rinkinys {θij}, gamybos
aibi ˛u rinkinys {Yj} m j=1 ir kainos vektori ˛u aib˙e P , arba glaustai Arrow-Debreu ekonomika yra
rinkinys
E = ({Xi, i, ei}, {θij}, {Yj}, P ). (4.7)
Tokios ekonomikos E b ūsena yra vadinamas vartotojo pasirinkt ˛u vertybi ˛u vektorius {xi} n i=1,
gamybos plan ˛u vektorius {yj} m j=1 ir kainos vektorius p ∈ P , arba glaustai b ūsena yra rinkinys
({xi}, {yj}, p). Arrow-Debreu ekonomikos visumin˙e perteklin˙e paklausa yra
n m n
Z ≡ Z({xi}, {yj}) := xi − yj − ei.
i=1 j=1 i=1
51

D˙el ženklo susitarimo vektoriuje yj, visos suvartojamos vertyb˙es yra su pliuso ženklu, o visos
sukuriamos vertyb˙es yra su minuso ženklu. Tokiu b ūdu vektoriaus Z koordinat˙e yra neigiama,
jei atitinkamos vertyb˙es rinkoje yra perteklius, ir yra teigiama, jei tos vertyb˙es rinkoje yra
nepakankamai. Taigi rinka bus subalansuota, jei Z ≤ 0.
4.7 Apibr˙ežimas. Sakysime, kad rinkiniu (4.7) nusakytos Arrow-Debreu ekonomikos E b ūsena
({x ∗ i }, {y ∗ j}, p ∗ ) yra pusiausvyra, jei
(a) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, x ∗ i = xi(p ∗ , wi(p ∗ )), tai yra vartojimo lauk ˛a (Xi, i) ir
biudžeto aib˛e βi(p ∗ , wi(p ∗ )) atitinkantis vienintelis optimalaus pasirinkimo problemos
sprendinys;
(b) kiekvienam j ∈ {1, . . . , m}, y ∗ j ∈ ψj(p ∗ , Yj), tai yra gamybos lauke Yj esant kainai p ∗
peln ˛a maksimizuojantis gamybos planas;
(c) visumin˙e perteklin˙e paklausa Z({x ∗ i }, {y ∗ j}) ≤ 0 ir šio vektoriaus k-toji koordinat˙e yra
lygi nuliui jei p ∗ k > 0.
4.8 Teorema. Tarkime, kad Arrow-Debreu ekonomika˛ E nusako toks rinkinys (4.7), kad
(a) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, aib˙e Xi yra netuščia, iškila, kompakti ir egzistuoja toks ˜xi ∈
Xi, kad ˜xi < ei
(b) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, vertybi ˛u laukas (Xi, i) yra tolydus, iškilas ir lokaliai nepasotinamas;
(c) kiekvienam j ∈ {1, . . . , m}, gamybos aib˙e Yj yra iškila, kompakti ir 0 ∈ Yj;
(d) P ⊂ R ℓ + \ {0} yra k ūgis.
Ekonomika E turi tokia˛ pusiausvyra ˛ ({x∗ i }, {y∗ j}, p∗ ), kad jos visumin˙es perteklin˙es paklausos
kaina p∗ ·Z({x∗ i }, {y∗ j}) = 0.
˛Irodymas. Jei ({x ∗ i }, {y ∗ j}, p ∗ ) yra pusiausvyra ir λ > 0, tai remiantis 3.9 Teoremos teiginiu
(b) ir 4.1 Teiginiu, b ūsena ({x ∗ i }, {y ∗ j}, λp ∗ ) taip pat yra pusiausvyra su ta pačia visumine
pertekline paklausa Z({x ∗ i }, {y ∗ j}). Tod˙el galima tarti, kad P yra simpleksas
S ℓ−1 = {p = {pk} ℓ k=1 ∈ R ℓ +:
pk = 1}.
k
Toliau parodysime, kad Arrow-Debreu ekonomik ˛a E galima laikyti Debreu socialine sistema
sudaryt ˛a iš n vartotoj ˛u, m gamintoj ˛u ir vieno fiktyvaus rinkos dalyvio, kuris renkasi kain ˛a.
Apibr˙ešime toki ˛a Debreu socialin˛e sistem ˛a (Vi, fi, φi)i∈N , kad N = {1, . . . , m + n + 1},
Vi = Xi visiems i = 1, . . . , n, Vi = Yi−n visiems i = n + 1, . . . , n + m ir Vn+m+1 = P . Visos
šios aib˙es yra netušti, kompakt ūs ir iškili Euklidin˙es erdv˙es poaibiai, tai yra jos išpildo 4.6 Teoremos
reikalavimus. Toliau yra apibr˙ežiama socialin˙es sistemos dalyvio pasirinkimo optimalum
˛a ˛ivertinanti funkcija fi kiekvienai ekonomikos b ūsenaiwN = {wi}i∈N := ({xi}, {yj}, p).
Jei i ∈ {1, . . . , n}, tai
fi(wN \i, xi) := ui(xi), xi ∈ Xi, (4.8)
52

čia ui yra vertybi ˛u lauko (Xi, i) tolydi naudingumo funkcija egzistuojanti remiantis 2.12 Teorema.
Taigi funkcija fi yra tolydi, nes nepriklauso nuo pirmojo argumento ir yra kvazi-˛igaubta
pagal antr ˛aj˛i argument ˛a remiantis 2.18 Teiginiu. Toliau, jei i ∈ {n + 1, . . . , n + m}, tai
fi(wN \i, yi−n) := p·yi−n, yi−n ∈ Yi−n. (4.9)
Ši funkcija yra bitiesin˙e ir tod˙el yra tolydi bei kvazi-˛igaubta pagal antr ˛aj˛i argument ˛a. Pagaliau,
jei i = n + m + 1, tai
fi(wN \i, p) := p·Z({xi}, {yj}), p ∈ P. (4.10)
Pastarosios funkcijos maksimizavimas reiškia, kad kaina yra didinama tos vertyb˙es, kurios paklausa
yra didesn˙e už pasi ūl ˛a (perteklin˙e pasi ūla yra teigiama) ir kaina yra mažinama tos vertyb˙es,
kurios paklausa yra mažesn˙e už pasi ūl ˛a (perteklin˙e pasi ūla yra neigiama). Kadangi funkcija
Z yra tiesin˙e atžvilgiu savo argument ˛u, tai funkcija fn+m+1 yra bitiesin˙e ir tod˙el taip pat yra tolydi
bei kvazi-˛igaubta pagal antr ˛aj˛i argument ˛a.
Lieka apibr˙ežti kiekvienam šios sistemos dalyviui jo galim ˛u pasirinkim ˛u aib˛e po to kai
pasirenka visi kiti sistemos dalyviai. Gamintoj ˛u ir fiktyvaus sistemos nario pasirinkim ˛u aib˙es
yra Yj ir P nepriklausomai nuo „aplinkos poveikio". Tai reiškia, kad kiekviena iš atitikči ˛u φi,
i ∈ {n + 1, . . . , n + m + 1} yra iškila ir nekintanti (konstanta), o tod˙el ir tolydi. Kitaip yra su
vartotoj ˛u pasirinkimais. Kiekvienam i ∈ {1, . . . , n} ir p ∈ P , tegul
φi(p) := βi(p, wi(p)) = {x ∈ Xi: p·x ≤ wi(p)}, (4.11)
čia wi(p) yra apibr˙ežta lygybe (4.6). Tai reiškia, kad vartotojo biudžetin˙e aib˙e ribojanti jo
pasirinkim ˛a priklauso nuo kainos. Kadangi 0 ∈ Yj, tai gamintojo pelnas πj(p) ≥ 0 kiekvienam
kainos vektoriui p ∈ P . Be to, kadangi ˜xi < ei, tai p·˜xi < p·ei taip pat kiekvienam kainos
vektoriui p ∈ P . Tod˙el kiekvienam p ∈ P , yra teisinga nelygyb˙e
inf{p·x: x ∈ Xi} < wi(p) (4.12)
kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}. Iš čia išplaukia, kad aib˙e (4.11) yra netuščia kiekvienam i ∈
{1, . . . , n} ir p ∈ P , tai yra φi yra atitiktis iš P ˛i Xi. Kadangi skaliarin˙e sandauga yra bitiesin˙e
funkcija, atitiktis φi yra iškila. Atitikties φi tolydumui parodyti pasteb˙esime, kad
P ∋ p ↦→ (p, wi(p)) ↦→ βi(p, wi(p)) = φi(p) ⊂ Xi, (4.13)
tai yra atitiktis φi yra atitikties P × [0, ∞) ∋ (p, w) ↦→ βi(p, w) ir funkcijos p ↦→ (p, wi(p))
kompozicija. Kadangi pelno funkcija πj yra tolydi aib˙eje P kiekvienam j remiantis 4.1 Teiginiu
ir 4.2 Lema, tai funkcija p ↦→ wi(p), apibr˙ežta (4.6) lygybe, yra tolydi aib˙eje P . Tai, kad
atitiktis βi yra tolydi taške (p, wi(p)) parodoma toliau.
4.9 Lema. Tarkime, kad Euklidin˙es erdv˙es poaibis Xi yra netuščias, kompaktus ir iškilas, o
p0 ∈ P ir w0 > 0 yra tokie, kad c := inf{p0·x: x ∈ Xi} < w0. Tada atitiktis βi iš P × [0, ∞)
˛i Xi yra tolydi taške (p0, w0).
53

˛Irodymas. Nesunku patikrinti, kad βi yra pusiautolydi iš viršaus taške (p0, w0). Iš tikro, jei
(pn, wn) → (p0, w0), xn → x0 ir pn·xn ≤ wn kiekvienam n, tai per˙ejus prie ribos kai n → ∞
yra teisinga p0·x0 ≤ w0.
Parodysime, kad βi yra pusiautolydi iš apačios taške (p0, w0). Tuo tikslu tarkime, kad
(pn, wn) → (p0, w0) ir x0 ∈ βi(p0, w0), tai yra p0·x0 ≤ w0. Reikia rasti toki ˛a sek ˛a {xn} ⊂ Xi,
kad pn·xn ≤ wn kiekvienam n ir xn → x0. Jei p0·x0 < w0, tai pn·x0 < wn visiems pakankamai
dideliems n. Tada pastovi seka {xn ≡ x0} tenkina trokštam ˛a savyb˛e. Priešingu atveju tu-
rime lygyb˛e p0·x0 = w0. Kadangi c < w0, egzistuoja toks z0 ∈ Xi, kad c ≤ v0 := p0·z0 < w0.
Aib˙es p −1
0 (w0) ir p −1
0 (v0) yra nesikertančios R ℓ hiperplokštumos ortogonalios vektoriui p0. Tod˙el
visiems pakankamai dideliems n, hiperplokštuma p−1 n (wn) kerta ties˛e, kurioje guli atkarpa
jungianti taškus z0 ir x0, vieninteliame taške ˜xn. Kai n → ∞, ˜xn → x0. Apibr˙ežkime vektori ˛u
xn lyg ˛u ˜xn jei pastarasis guli tarp z0 ir x0 (vadinasi priklauso aibei Xi) ir lyg ˛u x0 priešingu
atveju. Taip apibr˙ežta seka {xn} tenkina trokštam ˛a savyb˛e. Tod˙el atitiktis βi yra tolydi taške
(p0, w0), k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Kadangi taškas (p, wi(p)) tenkina šios lemos s ˛alyg ˛a d˙eka (4.12) nelygyb˙es, atitiktis βi yra
tolydi šiame taške, ir tod˙el yra tolydi kompozicija (4.13) (˛irodyti), tai yra tolydi atitiktis φi
kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}. Tokiu b ūdu yra išpildytos visos 4.6 Teoremos s ˛alygos, kas reiškia,
jog sukonstruota Debreu socialin˙e sistema (Vi, fi, φi)i∈N turi pusiausvyr ˛a.
Tegul v∗ = ({x∗ i }, {y∗ j}, p∗ ) ∈ V = (Vi)i∈N yra aukščiau apibr˙ežtos Debreu socialin˙es sistemos
pusiausvyra. Parodysime, kad b ūsenav ∗ yra Arrow-Debreu ekonomikos E pusiausvyra.
Kiekvienam j ∈ {1, . . . , m}, y∗ j maksimizuoja (4.9) funkcij ˛a aib˙eje Yj ir tod˙el p∗ ·y∗ j = πj(p∗ ),
tai yra išpildyta 4.7 Apibr˙ežimo (b) s ˛alyga. Kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, x∗ i maksimizuoja (4.8)
funkcij ˛a aib˙eje βi(p∗ , wi(p∗ )). Remiantis 3.2 Teorema ir (4.12) ˛iverčiu, x∗ i yra vienintelis maksimumo
taškas, tai yra x∗ i = xi(p∗ , wi(p∗ )), kas reiškia, kad yra išpildyta 4.7 Apibr˙ežimo (a)
s ˛alyga. Be to, remiantis 3.4 Teiginiu, x∗ i randasi ant biudžeto aib˙es krašto, tai yra
p ∗ ·x ∗ i = wi(p ∗ ) = p ∗ m
·ei + θijp ∗ ·y ∗ j, kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}.
j=1
Sumuodami pagal i ir keisdami sumavimo tvark ˛a, kadangi
i θij = 1 kiekvienam j, gauname,
kad
n
p ∗ ·x ∗ n
i = p ∗ m
·ei + p ∗ ·y ∗ j, tai yra p ∗ ·Z({x ∗ i }, {y ∗ j}) = 0.
i=1
i=1
j=1
Kadangi p ∗ maksimizuoja (4.10) funkcij ˛a, iš paskutin˙es lygyb˙es išplaukia, kad
p·Z({x ∗ i }, {y ∗ j}) ≤ 0 kiekvienam p ∈ P .
Jei bent vienos iš vertybi ˛u visumin˙e perteklin˙e paklausa yra griežtai teigiama, tai pa˙em˛e šios
vertyb˙es kain ˛a lygi ˛a vienetui, o vis ˛u kit ˛u vertybi ˛u kain ˛a lygi ˛a nuliui, gautum˛e prieštaravim ˛a
nelygybei paskutin˙eje išnašoje. Tod˙el Z({x∗ i }, {y∗ j}) ≤ 0, tai reiškia, kad yra išpildyta 4.7 Apibr˙ežimo
(c) s ˛alygos pirmoji dalis. Antroji dalis išplaukia iš to, kad bet kuriam k ∈ {1, . . . , ℓ}
p ∗ kZk({x ∗ i }, {y ∗ j}) = −
p
l=k
∗ l Zl({x ∗ i }, {y ∗ j}) ≥ 0.
Tokiu b ūdu b ūsenav ∗ yra tokia Arrow-Debreu ekonomikos E pusiausvyra, kurios visumin˙es
perteklin˙es paklausos kaina yra nulis, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
54

4.3 Pareto efektyvumas ir pusiausvyra
Praeitame skyrelyje nustatytos s ˛alygos tam, kad Arrow-Debreu ekonomikoje egzistuot ˛u pusiausvyra.
Tačiau vis ˛u pusiausvyros b ūsen ˛u aib˙e, jei ji yra netuščia, gali tur˙eti ne vienintel˛i
element ˛a. Be to, kai kurios pusiausvyros b ūsenos gal˙et ˛u b ūti „geresn˙emis" už kitas pusiausvyros
b ūsenas ta prasme, kad vieniems vartotojams suteikia daugiau vertybi ˛u nesumažinant
j ˛u kitiems vartotojams. Šiame skyrelyje parodoma, kad toki ˛u išskirtini ˛u pusiausvyros b ūsen ˛u
paprastai negali b ūti.
Toliau šiame skyrelyje laikysime, kad Arrow-Debreu ekonomika (4.7) yra tokia, kad
(a) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, aib˙e Xi yra netuščia ir iškila
(b) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, vertybi ˛u laukas (Xi, i) yra tolydus ir griežtai iškilas;
(c) kiekvienam j ∈ {1, . . . , m}, gamybos aib˙e Yj yra netuščia ir iškila.
Žvilgter˙ejus ˛i 4.8 Teorem ˛a nesunku pasteb˙eti, kad išvardintos s ˛alygos negarantuoja pusiausvyros
b ūsenos egzistavim ˛a.
4.10 Apibr˙ežimas. Tarkime, kad Arrow-Debreu ekonomika yra nusakyta (4.7) rinkiniu. Vertybi
˛u rinkinys ({xi}, {yj}) yra vadinamas leistinu, jei xi ∈ Xi kiekvienam i ∈ {1, . . . , n},
yj ∈ Yj kiekvienam j ∈ {1, . . . , m} ir visumin˙e perteklin˙e paklausa Z({xi}, {yj}) ≤ 0. Sakysime,
kad leistinas vertybi ˛u rinkinys ({xi}, {yj}) yra geresnis už kit ˛a leistin ˛a vertybi ˛u rinkin˛i
({x ∗ i }, {y ∗ j}), jei
xi i x ∗ i kiekvienam i ∈ {1, . . . , n} ir (4.14)
xi ≻i x ∗ i kuriam nors i ∈ {1, . . . , n}. (4.15)
Leistinas vertybi ˛u rinkinys yra vadinamas Pareto efektyviu, jei neegzistuoja geresnio leistino
vertybi ˛u rinkinio.
Pareto efektyvumas išreiškia jau skyrelio pradžioje min˙et ˛a nuostat ˛a, pagal kuri ˛a vertybi ˛u
perskirstymas laikomas geru jei kam nors galima padaryti geriau nepabloginant vis ˛u kit ˛u pad˙eties.
4.11 Teorema. Tarkime, kad Arrow-Debreu ekonomikos E kiekvienas vertybi ˛u laukas yra nepasotinamas
(žr. 2.23 Apibr˙ežima). ˛ Jei šios ekonomikos b ūsena({x∗ i }, {y∗ j}, p∗ ) yra pusiausvyra,
tai vertybi ˛u rinkinys ({x ∗ i }, {y ∗ j}) yra leistinas ir Pareto efektyvus.
˛Irodymas. Tegul v∗ = ({x∗ i }, {y∗ j}, p∗ ) yra Arrow-Debreu ekonomikos pusiausvyros b ūsena.
Vertybi ˛u rinkinys ({x∗ i }, {y∗ j}) yra leistinas pagal šios ekonomikos pusiausvyros apibr˙ežim ˛a.
Tarkime, kad jis n˙era Pareto efektyvus. Tada egzistuoja geresnis vertybi ˛u rinkinys ({xi}, {yj}),
tai yra šis vertybi ˛u rinkinys yra leistinas ir yra teisinga (4.14) ir (4.15). Kadangi kiekvienas
vertybi ˛u laukas (Xi, i) yra nepasotinamas egzistuoja tokie vertybi ˛u vektoriai ˜xi ∈ Xi, kad
˜xi ≻i xi kiekvienam i. Be to, kadangi kiekvienas vertybi ˛u laukas (Xi, i) yra griežtai iškilas,
tai
xi(λ) := λ˜xi + (1 − λ)xi ≻i xi i x ∗ i kiekvienam i ir visiems λ ∈ (0, 1).
55

Remiantis 2.2 Lema, yra teisinga
xi(λ) ≻i x ∗ i kiekvienam i ir visiems λ ∈ (0, 1). (4.16)
Kadangi b ūsena({x ∗ i }, {y ∗ j}, p ∗ ) yra pusiausvyra, kiekvienas vertybi ˛u vektorius x ∗ i yra vertingiausias
biudžetin˙eje aib˙eje βi(p ∗ , wi(p ∗ )) (žr. s ˛alyg ˛a (a) 4.7 Apibr˙ežime). Tod˙el ir d˙el (4.16),
xi(λ) ∈ βi(p ∗ , wi(p ∗ )), tai yra
λp ∗ ·˜xi + (1 − λ)p ∗ ·xi = p ∗ ·xi(λ) > wi(p ∗ ) = p ∗ m
·ei + θijπj(p
j=1
∗ )
kiekvienam i ir visiems λ ∈ (0, 1). Šioje nelygyb˙eje per˙ej˛e prie ribos kai λ ↓ 0 gauname, kad
yra teisinga nelygyb˙e
p ∗ ·xi ≥ p ∗ m
·ei + θijπj(p
j=1
∗ ) kiekvienam i.
D˙el (4.15), bent viena iš ši ˛u nelygybi ˛u privalo b ūti griežta. Tod˙el sud˙ej˛e šias nelygybes ir
sukeit˛e sumavimo tvark ˛a gauname, kad
p ∗ · n
xi > p
i=1
∗ · n
m
ei + πj(p
i=1 j=1
∗ ).
Dar kart ˛a pasinaudoj˛e tuo, kad b ūsena ({x ∗ i }, {y ∗ j}, p ∗ ) yra pusiausvyra, galime tvirtinti, kad
πj(p ∗ ) ≥ p ∗ ·yj kiekvienam j ∈ {1, . . . , m} (žr. (b) s ˛alyg ˛a 4.7 Apibr˙ežime). Tod˙el yra teisinga
nelygyb˙e
p ∗ · n
xi > p
i=1
∗ · n
ei + p
i=1
∗ · m
yj .
j=1
Iš kitos pus˙es, kadangi vertybi ˛u rinkinys ({xi}, {yj}) yra leistinas, jo visumin˙e perteklin˙e paklausa
Z({xi}, {yj}) ≤ 0. Padaugin˛e skaliariškai abi pastarosios nelygyb˙es puses iš p ∗ , gauname
priešing ˛a nelygyb˛e
p ∗ · n
xi ≤ p
i=1
∗ · n
ei + p
i=1
∗ · m
yj .
j=1
Šis prieštaravimas ˛irodo, kad ankstesn˙e prielaida apie geresnio vertybi ˛u rinkinio egzistavim ˛a
yra neteisinga. Tod˙el vertybi ˛u rinkinys ({x ∗ i }, {y ∗ j}) yra Pareto efektyvus, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Toliau parodoma, jog yra teisingas atvirkščias teiginys. Tai yra egzistuoja tokia kaina, kuriai
esant Pareto efektyvus vertybi ˛u rinkinys tampa pusiausvyros b ūsena.
4.12 Teorema. Tarkime, kad ({x ∗ i }, {y ∗ j}) yra toks Pareto efektyvus vertybi ˛u rinkinys, kad bent
vienas vartotojas, tarkime i-tasis, yra nepasotinamas vertybi ˛u rinkiniu x ∗ i . Tada egzistuoja toks
kainos vektorius p ∗ ≥ 0, kad
56

(a) kiekvienam j ∈ {1, . . . , m}, y ∗ j yra funkcijos Yj ∋ yj ↦→ p ∗ ·yj maksimumo taškas, tai
yra y ∗ j ∈ ψj(p ∗ , Yj);
(b) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, x ∗ i yra funkcijos {xi ∈ Xi: xi x ∗ i } ∋ xi ↦→ p ∗ ·xi minimumo
taškas.
Prieš ˛irodant ši ˛a teorem ˛a parodysime, kad jos (b) teiginys reiškia vien ˛a iš Arrow-Debreu
ekonomikos pusiausvyros s ˛alyg ˛u.
4.13 Teiginys. Jei yra išpildytos 4.12 Teoremos salygos ˛ ir jei kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, x∗ i
n˙era funkcijos Xi ∋ xi ↦→ p∗ ·xi minimumo taškas, tai iš (b) teiginio išplaukia teiginys
(b∗ ) kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, x∗ i maksimizuoja funkcija˛ βi(p∗ , p∗ ·x∗ i ) ∋ xi ↦→ ui(xi), čia
ui yra vertybio lauko (Xi, i) naudingumo funkcija.
˛Irodymas. Tegul i ∈ {1, . . . , n} ir tegul xi ∈ βi(p ∗ , p ∗ ·x ∗ i ), tai yra xi ∈ Xi yra toks vertybi ˛u
vektorius, kad p ∗ ·xi ≤ p ∗ ·x ∗ i . Parodysime, kad x ∗ i i xi. Pagal prielaid ˛a egzistuoja toks
zi ∈ Xi, kad p ∗ ·x ∗ i > p ∗ ·zi. Kiekvienam λ ∈ [0, 1], apibr˙ežkime vertybi ˛u vektori ˛u xi(λ) :=
λzi + (1 − λ)xi. Kadangi Xi yra iškila, tai xi(λ) ∈ Xi ir be to p ∗ ·xi(λ) < p ∗ ·x ∗ i kiekvienam
λ ∈ (0, 1]. Tod˙el remiantis 4.12 Teoremos (b) teiginiu ir 4 Pratimu, x ∗ i ≻i xi(λ) kiekvienam
λ ∈ (0, 1]. Kadangi vertybi ˛u laukas (Xi, i) yra tolydus, aib˙e {y ∈ Xi: x ∗ i y} yra uždara
ir tod˙el paskutin˙eje nelygyb˙eje per˙ej˛e prie ribos kai λ ↓ 0 gauname, kad x ∗ i i xi, k ˛a ir reik˙ejo
˛irodyti.
Tegul leistinas vertybi ˛u rinkinys ({x ∗ i }, {y ∗ j}) išpildo 4.12 Teoremos (a) tvirtinim ˛a ir 4.13
Teiginio (b ∗ ) tvirtinim ˛a. Taip pat, kiekvienam i ∈ {1, . . . , n}, tegul
visiems i, j. Tada
o visumin˙e perteklin˙e paklausa
ei := x ∗ i − 1
n
m
y
j=1
∗ j ir θij := 1/n
wi(p ∗ ) = p ∗ m
·ei + θijπj(p
j=1
∗ ) = p ∗ ·x ∗ i ,
Z({x ∗ i }, {y ∗ n
j}) = x
i=1
∗ m
i − y
j=1
∗ n
j − ei = 0.
i=1
Tokiu b ūdu, Arrow-Debreu ekonomikosE b ūsena({x ∗ i }, {y ∗ j}, p ∗ ) yra pusiausvyra.
4.12 Teoremos ˛irodymas. Pakeit˛e numeracij ˛a, jei tai yra b ūtina, galime tarti, kad pirmasis
vartotojas (i = 1) yra nepasotinamas vertybi ˛u rinkiniu x ∗ 1. Tegul
M ∗ 1 := {x1 ∈ X1: x1 ≻ x ∗ 1} ir Mi := {xi ∈ Xi: xi x ∗ i }, i = 1, . . . , n.
57

Aišku, kad visos šios aib˙es yra netuščios. Tod˙el galime apibr˙ežti aib˛e:
n m
G := {ei} + Yj − M
i=1 j=1
∗ n
1 − Mi;
i=2
čia Euklidin˙es erdv˙es poaibi ˛u tiesin˙e kombinacija
k Ak yra aib˙e {
k ak: ak ∈ Ak}. Parodysime,
kad aib˙e G neturi teigiam ˛u element ˛u. Tarkime, kad toks elementas egzistuoja, tai yra
n m n
u = ei + yj − xi ∈ G ir u > 0.
i=1 j=1 i=1
Tada Z({xi}, {yj}) = −u < 0, o vertybi ˛u vektoriams {xi} yra teisinga (4.14) ir (4.15) kai i =
1. Tokio vertybi ˛u rinkinio egzistavimas prieštarauja tam, kad vertybi ˛u rinkinys ({x ∗ i }, {y ∗ j})
yra Pareto efektyvus. Tokiu b ūdu iš tikro aib˙e G neturi teigiam ˛u element ˛u. Kadangi aib˙e M ∗ 1
yra iškila remiantis 2.17 Lema, o iškil ˛u aibi ˛u tiesin˙e kombinacija yra iškila, tai aib˙e G yra iškila.
Toliau pasiremsime A.10 Teorema: egzistuoja toks kainos vektorius p ∗ ∈ R ℓ +, kad p ∗ ·u ≤ 0
visiems u ∈ G. Tod˙el visiems x1 ∈ M ∗ 1 , xi ∈ Mi, i ∈ {2, . . . , n}, ir yj ∈ Yj yra teisinga
n
p
i=1
∗ m
·ei + p
j=1
∗ n
·yj ≤ p
i=1
∗ ·xi. (4.17)
Pastaroji nelygyb˙e yra teisinga ir tuo atveju kai x1 ∈ M1. Iš tikro, tegul x1(λ) := λx1+(1−λ)x ∗ 1
bet kuriems x1 ∈ M1 ir λ ∈ [0, 1]. Kadangi vertybi ˛u laukas (X1, 1) yra griežtai iškilas, tai
x1(λ) ≻1 x ∗ 1, tai yra x1(λ) ∈ M ∗ 1 , visiems λ ∈ (0, 1). (4.17) nelygyb˙eje ˛istat˛e x1(λ) vietoje x1
ir per˙ej˛e prie ribos kai λ ↑ 1 gauname, kad ši nelygyb˙e teisinga ir tuo atveju, kai x1 ∈ M1.
Toliau parodoma, kad yra teisingi teoremos (a) ir (b) tvirtinimai. (4.17) nelygyb˙eje pa˙em˛e
xi = x ∗ i ir yj = y ∗ j gauname
n
p
i=1
∗ m
·ei + p
j=1
∗ ·y ∗ n
j ≤ p
i=1
∗ ·x ∗ i .
Iš kitos pus˙es, kadangi vertybi ˛u rinkinys ({x ∗ i }, {y ∗ j}) yra leistinas, ir tod˙el visumin˙e perteklin˙e
paklausa Z({x ∗ i }, {y ∗ j}) ≤ 0, tai yra pastarosios išnašos nelygyb˙e ˛i priešing ˛a pus˛e. Abi kartu
šios nelygyb˙es ˛irodo lygyb˛e
n
p
i=1
∗ n
·ei = p
i=1
∗ ·x ∗ m
i − p
j=1
∗ ·y ∗ j. (4.18)
(4.17) nelygyb˙eje vietoje n i=1 p ∗ ·ei ˛istat˛e jos gaut ˛a (4.18) išraišk ˛a, gauname nelygyb˛e
m
p
j=1
∗ m
·yj − p
j=1
∗ ·y ∗ n
j ≤ p
i=1
∗ n
·xi − p
i=1
∗ ·x ∗ i , (4.19)
kuri yra teisinga visiems xi ∈ Mi ir yj ∈ Yj. Dabar teoremos (a) tvirtinimas gaunamas (4.19)
nelygyb˙eje pa˙emus visus xi = x ∗ i ir visus yj = y ∗ j išskyrus vien ˛a yj ∈ Yj. Analogiškai
teoremos (b) tvirtinimas gaunamas (4.19) nelygyb˙eje pa˙emus visus xi = x ∗ i išskyrus vien ˛a
xi ∈ Mi ir visus yj = y ∗ j. 4.12 Teoremos ˛irodymas baigtas.
58

Pratimai.
1. Rasti paklausos funkcij ˛a ir netiesioginio naudingumo funkcij ˛a kai vertybi ˛u laukas yra
tobulieji pakaitalai ir tobulieji papildiniai.
2. Tarkime, kad rinkoje yra dvi vertyb˙es j ∈ {1, 2} ir du vartotojai i ∈ {1, 2} su tokiomis
naudos funkcijomis ir pradiniais ˛inašais:
u1(x1,1, x1,2) = a ln x1,1 + (1 − a) ln x1,2, e1 = (0, 1)
u2(x2,1, x2,2) = min{x2,1, x2,2}, e2 = (1, 0),
čia 0 < a < 1. Rasti Walraso pusiausvyros kain ˛a.
Pastabos. Naudingumo funkcijos neegzistavimas.
Papildoma literat ūra.
1. W. M. Gorman. Community preference fields. Econometrica, 21, No 1 (1953), 63-80.
59

Skyrius 5
Ekonominiai sprendimai esant
neapibr˙ežtumui
5.1 Apibr˙ežtis ir neapibr˙ežtis
Ekonominius sprendimus renkam˙es pagal numatomas galim ˛u veiksm ˛u pasekmes. Tačiau dažnai
pasekm˙es priklauso ne tik nuo rinkos dalyvi ˛u veiksm ˛u. Laukiamos pasekm˙es gali b ūti
iškreiptos kit ˛u, nepriklausanči ˛u nuo m ūs ˛u, aplinkybi ˛u. Pavyzdžiui, žem˙es ūkyje blogas oras
gali sumažinti planuojam ˛a derli ˛u. Tuos kitus, nepriklausančius nuo m ūs ˛u, faktorius vadinsime
ateities (pasaulio) b ūsenomisarba scenarijais. Dabarties momentu mes nežinome, kuris iš galim
˛u scenarij ˛u gali ˛ivykti ateityje. Ši ˛a priklausomyb˛e nuo mums nežinom ˛u pasaulio vystymosi
ateityje scenarij ˛u ir vadiname ateities neapibr˙ežtimi. Jei sprendimo pasekm˙es nepriklauso nuo
pasaulio b ūsen ˛u ateityje, tai tok˛i sprendim ˛u pri˙emimo b ūd ˛a vadinameapibr˙ežtimi.
Formaliai samprotaujant tarkime, kad A yra leistin ˛u veiksm ˛u aib˙e, Ω yra galim ˛u ateities
b ūsen ˛u aib˙e ir X yra pasekmi ˛u aib˙e. Be to tarkime, kad kiekvienas veiksmas a ∈ A ir b ūsena
ω ∈ Ω sukuria pasekm˛e x ∈ X. Tokiu b ūdu yra apibr˙ežta pasekmi ˛u funkcija f:
A × Ω ∋ (a, ω) ↦→ x =: f(a, ω) ∈ X, (5.1)
kuri veiksmus ir b ūsenas vaizduoja ˛i pasekmes. Rinkdamiesi veiksm ˛a gauname pasekmes priklausančias
nuo ateities pasaulio b ūsen ˛u. Taigi, veiksmo a ∈ A pasirinkimas reiškia nuo ateities
priklausanči ˛u pasekmi ˛u aib˙es {f(a, ω): ω ∈ Ω} element ˛u pasirinkim ˛a. Tarkime, kad
Ω = {ω1, . . . , ωK} ir A = {a1, . . . , aN} yra baigtin˙es aib˙es. Tada veiksm ˛a an, n ∈ {1, . . . , N},
atitinkanti nuo ateities priklausanči ˛u pasekmi ˛u aib˙e yra vektorius {xn,1, . . . , xn,K}, čia xn,k :=
f(an, ωk), k = 1, . . . , K. Tokiu b ūdu rinkimasis tarp dviej ˛u veiksm ˛ua1 ir a2 reiškia rinkimas˛i
tarp dviej ˛u, nuo ateities priklausanči ˛u, pasekmi ˛u aibi ˛u {x1,1, . . . , x1,K} ir {x2,1, . . . , x2,K}.
Jei funkcija f nepriklauso nuo ateities b ūsen ˛u, tai yraf nepriklauso nuo aib˙es Ω element ˛u,
tai tada sakome, kad sprendimas daromas esant apibr˙ežtumui. Priešingu atveju sakome, kad
sprendimas daromas esant neapibr˙ežtumui. Atkreipsime d˙emes˛i ˛i tai, jog sprendimas, daromas
esant apibr˙ežtumui, nereiškia, kad nagrin˙ejamame pasaulyje n˙era neapibr˙ežties. Tai tik reiškia,
kad m ūs ˛u sprendimai nepriklauso nuo tos neapibr˙ežties.
60

Pasirinkimas esant neapibr˙ežtumui. Nagrin˙ekime firm ˛a, kurios produkcijos kiekis, o tuo
pačiu ir pelno lygis, priklauso nuo panaudojamo darbo j˙egos kiekio d ∈ {1, 2, . . .} =: N. Tegul
Φ = Φ(d) yra pagaminto produkto kiekis, q yra vienos darbo j˙egos atlygis, ir p yra produkcijos
vieneto kaina. Tada firmos pelno funkcija atrodo taip
π(p) := sup
d∈N
{f(d)} = sup{pΦ(d)
− qd},
d∈N
čia f(d) := (p, q)·(Φ(d), −d) = pΦ(d) − qd yra pelno lygis. Šiame pavyzdyje veiksm ˛u aib˛e A
sudaro nat ūrini ˛u skaiči ˛u aib˙e N, o pasekmi ˛u funkcija yra pelnas f.
Šiame pavyzdyje pasekm˙e (tam tikras pelno lygis) priklauso tik nuo veiksmo pasirinkimo
(darbo j˙egos lygio). Tokie, nuo pasaulio vystymosi scenarij ˛u nepriklausomai daromi sprendimai
dažnai n˙era patenkinami realios situacijos modeliai. Gali taip atsitikti, kad firmos pagamintos
produkcijos kiekis, o tuo pačiu ir jos pelno lygis, priklauso nuo, tarkim, oro s ˛alyg ˛u. Tokios
situacijos modeliavimui išskirkime tik dvi b ūsenas: saul˙eta - ω1 ir lietus - ω2. Tada b ūsen ˛u
aib˙e yra Ω = {ω1, ω2}. Tai, kad funkcija Φ priklauso nuo pasaulio b ūsen ˛u yra išreiškiama
˛ivedant nauj ˛a kintam ˛aj˛i: Φ = {Φ(·, ω): ω ∈ Ω} ir f = {f(·, ω): ω ∈ Ω}. Nagrin˙ejamu atveju,
kiekvienam panaudojamos darbo j˙egos kiekiui d ∈ N, yra galimos dvi pasekm˙es: f(d, ω1) ir
f(d, ω2). Aišku, kad sprendimai esant apibr˙ežtumui yra tiesiog atskiras atvejis sprendim ˛u esant
neapibr˙ežtumui. Iš tikro, jei Φ(d, ω1) = Φ(d, ω2) visiems d, tai π(p, ω1) = π(p, ω2) visiems d
ir firmos pelnas nepriklauso nuo oro s ˛alyg ˛u.
Toliau tarkime, kad Φ(d, ω1) = 4 √ d ir Φ(d, ω2) = 2 √ d kiekvienam d ∈ N, o p = (p, q) =
(1, 1). Tada f(d, ω1) = √ d(4 − √ d) ir f(d, ω2) = √ d(2 − √ d). Esant geram orui maksimalus
pelnas π(p, ω1) = 4 pasiekiamas, kai d = 4, o esant blogam orui π(p, ω2) = 1, kai d = 1.
Nagrin˙ejamame pavyzdyje galima rinktis tarp toki ˛u pasekmi ˛u:
(f(d, ω1), f(d, ω2)) =
(3, 1) kai d = 1,
(4, 0) kai d = 4.
Pasirink˛e maksimaliai galim ˛a pelno reikšm˛e kai d = 4 rizikuojame visai netur˙eti pelno jei ora
pasirodys ges ˛as blogas. Tod˙el racionalesniu gali atrodyti sprendimas d = 1, nes šiuo atveju
apsidraudžiame tuo, kad blogiausiu atveju - esant lietui - gausime maksimal ˛u peln ˛a, o esant
saul˙etam orui gausime tik šiek tiek mažesn˛i nei maksimal ˛u peln ˛a. Šis pavyzdys iliustruoja
ekonomini ˛u sprendim ˛u priklausomyb˛e nuo galim ˛u ateities vystymosi scenarij ˛u.
Tarkime, kad vertyb˙e yra apibr˙ežiama tokia pasekmi ˛u funkcija (5.1), kurios reikšmi ˛u aib˙e
yra R. Prisimin˛e 2.1 skyrel˛i, aib˛e
X := {x ∈ R K : x = (f(a, ω1), . . . , f(a, ωK)), a ∈ A}
pavadinkime vertyb˙es rinkini ˛u aibe. Vienas b ūdas ˛ivertinti tokios vertyb˙es pasirinkimus yra,
kaip ir anksčiau, apibr˙ežti vertybi ˛u lauk ˛a (X, ), arba j˛i atitinkanči ˛a naudingumo funkcij ˛a
u: X ↦→ R. Tokiu atveju pasirinkimo tarp galim ˛u pasekmi ˛u problema formuluojama kaip vertybi
˛u pasirinkimo optimizavimo uždavinys:
sup u(f(a, ω1), . . . , f(a, ωK)).
a∈A
Toks pasirinkimas esant neapibr˙ežtumui yra vadinamas nuo b ūsen ˛u priklausom ˛u (angl. statecontingent)
pasekmi ˛u pasirinkimu. Šiame modelyje visos ateities b ūsenos yra vienodai tik˙etinomis.
61

Alternatyvus pasirinkim ˛u b ūdas. Remiantis sukaupta panaši ˛u b ūsen ˛u pasirodymo patirtimi,
galima b ūt ˛u sp˙eti jog lietaus pasirodymo ateityje b ūsena yra arba labai mažai tik˙etina, arba
priešingai - labai tik˙etina. Pirmuoju atveju anksčiau nagrin˙etame pavyzdyje racionalesniu gali
atrodyti pasirinkimas d = 4, o antruoju atveju, racionalesniu - d = 1. Ypač toks pasirinkimas
tampa aktualiu kai pelno reikšm˙es yra dydžiai 3.000.000 ir 4.000.000 Lt, o ne atitinkamai 3
ir 4 Lt kaip anksčiau. Turint omenyje tokios papildomos informacijos panaudojimo galimyb˛e
ekonomikoje dažnai yra daroma prielaida, kad b ūsen ˛u aib˙eje Ω yra apibr˙ežtas tikimybinis
matas Pr, kuris suteikia skaitines reikšmes skirting ˛u b ūsen ˛u pasirodymo tik˙etinumui. Dviej ˛u
b ūsen ˛u atvej ˛u, galima b ūt ˛u tarti, kad arbaPr({ω1}) = 0.9 ir Pr({ω2}) = 0.1, arba atvirkščiai
Pr({ω1}) = 0.1 ir Pr({ω2}) = 0.9.
Taigi tarkime, kad ateities b ūsen ˛u aib˙eje Ω yra apibr˙ežta tikimyb˙e (tikimybinis matas) Pr.
Tai reiškia, kad egzistuoja aib˙es Ω poaibi ˛u σ-algebra F ir tikimybinis matas Pr: F ↦→ [0, 1],
kas ir sudaro taip vadinam ˛a tikimybin˛e erdv˛e (Ω, F, Pr). Taip pat tarkime, kad (X, B) yra
mati erdv˙e, o funkcija f(a, ·): Ω ↦→ X yra mati kiekvienam a ∈ A. Tada bet kuriam a ∈ A,
pasekmi ˛u funkcija f indukuoja tikimybin˛i skirstin˛i µa aib˙eje X: kiekvienam B ∈ B
µa(B) := Pr({ω ∈ Ω: f(a, ω) ∈ B}).
Šis apibr˙ežimas reiškia, kad esant fiksuotam veiksmui a ∈ A, pasekmi ˛u aib˙eje mataus ˛ivykio B
tikimyb˙e yra lygi tikimybei t ˛u ateities b ūsen ˛u, kurias funkcija f = f(a, ·) vaizduoja ˛i aib˛e B.
Taigi pasekmi ˛u aib˙eje indukuotas skirstinys µa priklauso nuo pasirinkto veiksmo a ∈ A. Tod˙el
galima sakyti, jog rinkimasis tarp veiksm ˛u reiškia rinkimas˛i tarp indukuot ˛u pasiskirstym ˛u.
Tarkime, kad pasekmi ˛u aib˙e X = {x1, . . . , xm} yra baigtin˙e. Tada kiekvienas veiksmas
a ∈ A aib˙eje X indukuoja diskret ˛u tikimybin˛i skirstin˛i µa, tai yra kiekvienam mačiam poaibiui
B ⊂ X
µa(B) =
m
k=1
pkδxk (B) = µa({x})δx(B),
x∈X
čia
δx(B) =
1 jei x ∈ B,
0 jei x ∈ B.
ir pk ≡ pk(a) := µa({xk}) = Pr({ω ∈ Ω: f(a, ω) = xk}). Tegul Π(X) yra vis ˛u tikimybini ˛u
skirstini ˛u ant X aib˙e. V˙elgi prisimin˛e 2.1 skyrelyje nagrin˙et ˛a pasirinkim ˛u tarp vertybi ˛u b ūd
˛a ˛ivedant pilna˛ pusiautvarka˛ aib˙eje Π(X) galime gauti naudingumo funkcij ˛a U: Π(X) ↦→ R.
Nesunku matyti, jog tarp aib˙es Π(X) ir simplekso S m−1 egzistuoja abipus vienareikšmis atvaizdavimas
apibr˙ežtas atitikimu tarp µ ∈ Π(X) ir (µ({x1}), . . . , µ({xm})) ∈ S m−1 . Tod˙el piln ˛a
pusiautvark ˛a su naudingumo funkcija V galima ˛ivesti simplekse S m−1 ir tuo pačiu rinktis aib˙eje
S m−1 . Tokiu atveju pasirinkimo tarp pasekmi ˛u problema formuluojama kaip optimizavimo
uždavinys:
sup
a∈A
U(µa) = sup V (p1(a), . . . , pm(a)).
a∈A
Toks alternatyvi ˛uj ˛u tikimybini ˛u skirstini ˛u pasirinkimas remiantis naudingumo funkcija U yra
antroji pasirinkim ˛u forma esant neapibr˙ežtumui.
Pasirinkim ˛u tarp tikimybini ˛u skirstini ˛u iliustracijai galima prisiminti k ˛a tik nagrin˙et ˛a firmos
gamybos pavyzd˛i, kurios produkcijos dydis priklauso nuo oro tokiu b ūdu: Pr({ω1}) = 0.9 ir
Pr({ω2}) = 0.1. Tada darbo j˙egos pasirinkimas d = 4 arba d = 1 indukuoja tokius pasiskirstymus
baigtin˙eje pasekmi ˛u aib˙eje X = {0, 1, 3, 4}:
62

B = {0} B = {1} B = {3} B = {4}
µ4(B) 0.1 0 0 0.9
µ1(B) 0 0.1 0.9 0
Kitoms darbo j˙egos kiekio d reikšm˙ems gautume kitas pasekmi ˛u reikšmes ir jas atitinkančias
tikimybes. Aib˙en X ˛itraukiant naujas (teigiamas) pasekmi ˛u reikšmes gausime pasiskirstymus
sudarytus iš ilgesnio vektoriaus. Tačiau tokie tikimybi ˛u skirstiniai (vektoriai) visada tur˙es tik
dvi nenulines koordinates, kadangi šiame pavyzdyje nagrin˙ejame tik dvi ateities b ūsenas. Racionali
pilna pusiautvarka nagrin˙ejamoje tikimybini ˛u skirstini ˛u aib˙eje tur˙et ˛u teikti pirmenyb˛e
vienai iš lentel˙eje esanči ˛u realizacij ˛u, kuriai - priklauso nuo m ūs ˛u.
5.2 Vidurkin˙e nauda
Praeitame skyrelyje buvo parodyta, kad esant neapibr˙ežtumui ir žinant tikimybin˛i mat ˛a ant b ūsen
˛u aib˙es, ekonominius sprendimus galima formuluoti kaip pasirinkimus tarp tikimybini ˛u skirstini
˛u ant pasekmi ˛u aib˙es X, tai yra kaip pasirinkimus aib˙eje Π(X). Šiame skyrelyje aptarsime
tok˛i aib˙es Π(X) element ˛u racional ˛u pasirinkim ˛a, vadinam ˛a vidurkin˙es naudos hipoteze, kuris
yra išreiškiamas specialaus pavidalo naudos funkcija, vadinama vidurkin˙es naudos funkcija. Iš
vienos pus˙es, labai didel˙e ekonomikos teorijos dalis remiasi vidurkin˙es naudos hipoteze. O iš
kitos pus˙es, egzistuoja daug argument ˛u teigianči ˛u, jog ši hipotez˙e realiai n˙era išpildoma. Prad˙esime
primindami vidurkin˙es naudos hipotez˙es atsiradimo istorijos pradži ˛a.
Bernoulli ir St. Petersburgo paradoksas. Manoma, kad vidurkin˙es naudos hipotez˛e pirm ˛a
kart ˛a suformulavo Danielis Bernoulli 1738 metais. Ji buvo pasi ūlyta kaip St. Petersburgo problemos
sprendimas. Problema kilo d˙el ˛ipročio atsitiktinius ˛ivykius vertinti pagal j ˛u vidurkius.
Buvo pasteb˙eta, jog tokiam tik˙ejimui lyg ir prieštarauja toks pavyzdys-lošimas: simetrin˙e moneta
metama tol kol pasirodo "herbas"; jei pirm ˛a kart ˛a "herbas" pasirod˙e metant monet ˛a n-t ˛aj˛i
kart ˛a (n = 1, 2, . . .), tai išlošiama 2 n dukat ˛u. Kiek užmok˙etum˙ete už galimyb˛e žaisti š˛i lošim ˛a?
Paradoksas yra tas, kad šio lošimo laim˙ejimo vidurkis yra begalinis:
∞
E(w) = (1/2)
n=1
n 2 n = 1 + 1 + · · · = ∞,
o iš kitos pus˙es vargiai rasime žmog ˛u, kuris sutikt ˛u mok˙eti be galo didel˛i mokest˛i už galimyb˛e
žaisti š˛i žaidim ˛a.
Danielio Bernoulli pasi ūlytas paradokso sprendimas si ūlo du dalykus: pirma, rizikinga veikla
tur˙et ˛u b ūti vertinama ne pagal tikimos gr ˛ažosw vidurk˛i bet pagal tikimos naudos u(w) vidurk˛i,
kitais žodžiais tariant pagal vidurkin˛e naud ˛a; antra turto nauda u(w) tur˙et ˛u priklausyti nuo
paties turto w netiesiškai - turtui augant jo naudos pokytis did˙eja maž˙edamas (angl. diminishing
marginal utility). St. Petersburgo lošimo atveju vidurkin˙e nauda yra
∞
Eu(w) = (1/2
n=1
n )u(2 n ) < ∞
63

nes Bernoulli tar˙e, kad netiesin˙e priklausomyb˙e yra u(x) = α log x. Apibendrinant Bernoulli
samprotavim ˛a ekonominiams sprendimams, pasirinkimai esant neapibr˙ežtumui tur˙et ˛u priklausyti
nuo vidurkin˙es naudos
Eu(x) =
Pr({x})u(x),
x∈X
- prielaida, kuri ˛a vadiname vidurkin˙es naudos hipoteze.
Pasirinkimai tarp loterij ˛u. Pereisime prie vidurkin˙es naudos hipotez˙es šiuolaikinio formulavimo.
Sakykime, kad (X, B) yra mati aib˙e, o M(X) yra vis ˛u mat ˛u ant X erdv˙e. Bet kuriems
dviems šios erdv˙es elementams µ ir ν, j ˛u suma yra toks matas µ + ν, kad (µ + ν)(B) :=
µ(B) + ν(B) kiekvienam B ∈ B. Bet kuriam matui µ ir skaičiui r ∈ R, j ˛u sandauga yra toks
matas rµ, kad (rµ)(B) := rµ(B) kiekvienam B ∈ B. Tokiu b ūduM(X) yra tiesin˙e erdv˙e, o
tikimybini ˛u skirstini ˛u ant X aib˙e Π(X) yra jos iškilas poaibis (patikrinti). Toliau laikysime, kad
X = {x1, . . . , xm}. Tada tikimybini ˛u skirstini ˛u ant X aib˛e Π(X) sudaro diskret ūs skirstiniai
µ =
µ({x})δx =
x∈X
m
i=1
piδxi ,
čia pi = µ({xi}), kuriuos, kaip ˛iprasta ekonomikos teorijoje, vadinsime loterijomis.
Toliau formuluojama vidurkin˙es naudos hipotez˙e yra tam tikras pasirinkimas tarp loterij ˛u.
Toki ˛a form ˛a jai suteik˙e von Neumannas ir Morgensternas 1944 metais išleistoje knygoje [12].
5.1 Apibr˙ežimas. Tarkime, kad X = {x1, . . . , xm} yra pasekmi ˛u aib˙e, o Π(X) yra tikimybini
˛u skirstini ˛u ant X aib˙e. Sakoma, kad pasirinkimo santykis aib˙eje Π(X) yra išreiškiamas
vidurkin˙es naudos funkcija, jei egzistuoja tokia funkcija u: X ↦→ R, kad visiems µ, ν ∈ Π(X),
µ ν tada ir tik tada, kai
m
m
µ({xk})u(xk) ≥ ν({xk})u(xk). (5.2)
k=1
k=1
Funkcija u yra vadinama von Neumanno-Morgensterno naudos funkcija, o funkcija
m
U(µ) := µ({xk})u(xk) (5.3)
k=1
yra vadinama vidurkin˙es naudos funkcija (angl. expected utility).
Bet kuriam µ ∈ Π(X), pora (X, 2 X , µ) yra tikimybin˙e erdv˙e, o funkcija u: X ↦→ R yra mati
funkcija, tai yra atsitiktinis dydis erdv˙eje (X, 2 X , µ). Nesunku pasteb˙eti, kad U(µ) apibr˙ežta
(5.3) lygybe yra atsitiktinio dydžio u vidurkis Eu (angl. expectation), d˙el ko U ir yra vadinama
vidurkine naudos funkcija 1 .
von Noimannas ir Morgensternas be kita ko parodyt˙e, kad pasirinkim ˛u tarp loterij ˛u santykis
yra išreiškiamas vidurkin˙es naudos funkcija tada ir tik tada, kai yra išpildytos šios aksiomos:
1 Lietuviškoje ekonomin˙eje literat ūroje angl. terminasexpected utility yra verčiamas terminu laukiamasis naudingumas.
Tačiau (5.3) lygybe apibr˙ežta reikšm˙e neprivalo b ūti "laukiamoji".
64

(A.1) (pilnumo aksioma): bet kuriems µ, ν ∈ Π yra teisinga arba µ ν arba ν µ;
(A.2) (tranzityvumo aksioma): visiems µ, ν, γ ∈ Π, jei µ ν ir ν γ, tai µ γ;
(A.3) (Archimedo aksioma): jei µ, ν, γ ∈ Π ir µ ≻ ν ≻ γ, tai egzistuoja tokie λ1, λ2 ∈ (0, 1),
kad λ1µ + (1 − λ1)γ ≻ ν ir ν ≻ λ2µ + (1 − λ2)γ.
(A.4) (nepriklausomumo aksioma): bet kuriems µ, ν, γ ∈ Π ir λ ∈ [0, 1], µ ν tada ir tik tada,
kai λµ + (1 − λ)γ λν + (1 − λ)γ.
Toliau šiame skyrelyje ˛irodoma (žr. 5.3 Išvad ˛a), min˙etoji von Neumanno ir Morgensterno
teorema. Priminsime, kad 2.1 Skyrelyje pasirinkimo santykis buvo pavadintas racionaliu
jei jis išpildo pirmasias dvi aksiomas: (A.1) ir (A.2). Be to, šios dvi aksiomos garantuoja
tai, jog pasirinkimo santykis yra išreiškiamas naudos funkcija (?). Tod˙el trokštama speciali
naudos funkcijos išraiška yra galima, jei šis pasirinkimo santykis papildomai tenkina kitas dvi
aksiomas: (A.3) ir (A.4).
Šiose dviejose aksiomose pasirodo loterij ˛u tiesin˙e kombinacija. Ekonomikos teorijoje ji yra
vadinama sud˙etine loterija (angl. compound lottery), nes tokios loterijos išloštas laim˙ejimas
yra kita loterija. Tačiau sud˙etin˙e loterija yra išreiškiama per ˛iprast ˛a loterij ˛a naudojant tiesin˙es
operacijos tarp mat ˛u apibr˙ežim ˛a, tai yra bet kuriems µ, ν ∈ Π(X) ir λ ∈ [0, 1], sud˙etin˙e loterija
λµ + (1 − λ)ν yra tokia loterija γ, kad kiekvienam i ∈ {1, . . . , m}
γ({xi}) = (λµ + (1 − λ)ν)({xi}) = λµ({xi}) + (1 − λ)ν({xi}).
ir m i=1 γ({xi}) = 1.
Trečiosios aksiomos pagrindin˙e id˙eja yra ta, kad kokia beb ūt ˛u blogaγ loterija, tam tikra µ
loterijos „priemaiša" gali j ˛a taip modifikuoti, kad sud˙etin˙e loterija λ1µ+(1−λ1)γ tampa geresne
už ν loterij ˛a. Panašiai galima interpretuoti ir šios aksiomos antr ˛aj ˛a dal˛i. Trečioji aksioma turi
tok˛i savo vard ˛a d˙el to, jog ji šiek tiek primena Archimedo princip ˛a: bet kuriems dviems realiems
ir teigiamiems skaičiams u ir v egzistuoja toks nat ūrinis skaičius n, kad nu > v. Be to, ši
aksioma n˙era tokia kontraversine kaip paskutinioji.
Paskutinioji - ketvirtoji - aksioma dar yra vadinama suprastinimo aksioma arba pakeitimo
aksioma. Jos priimtinumas yra grindžiamas maždaug tokiu samprotavimu. Tarkime, kad Jonas
vertina µ loterij ˛a labiau už ν loterij ˛a. O Onut˙e turi monet ˛a, kuri ˛a metant ”pinigas" atsiverčia su
tikimybe λ. Onut˙e si ūlo Jonui pasirinkti vien ˛a iš sud˙etini ˛u loterij ˛u:
(A) jei iškrenta "pinigas" gauni µ loterij ˛a, o jei iškrenta "herbas" gauni kažk ˛a naujo, tarkim γ
loterij ˛a;
(B) jei iškrenta "pinigas" gauni ν loterij ˛a, o jei iškrenta "herbas" gauni γ loterij ˛a.
Nor˙edamas pasirinkti vien ˛a iš ši ˛u dviej ˛u sud˙etini ˛u loterij ˛u Jonas samprotauja taip: "jei iškrenta
"herbas", tai abi loterijos duoda t ˛a pači ˛a γ loterij ˛a ir tod˙el renkuosi A loterij ˛a, nes priešingu
atveju gaučiau savo m˙egstam ˛a µ" loterij ˛a. Jono samprotavimas atrodo pagr˛istas, tačiau vis
tiek nepriklausomumo aksioma sukelia dideles diskusijas. Kai kuri ˛u eksperiment ˛u rezultatai
rodo, jog esant tam tikroms λ reikšm˙ems ir µ, ν, γ loterij ˛u interpretacijoms, visd˙elto dažnai
pasirenkama B loterija. Be abejon˙es tokie rezultatai nereiškia, kad kur nors slypi login˙e klaida.
65

µ({x1}) µ({x2}) µ({x3})
p 0 1 0
q 0.1 0.89 0.01
r 0.1 0 0.9
s 0 0.11 0.89
✻
1
❅
❅❅❅❅❅❅❅❅❅
µ({x1})
✁
0
✁
q
•
p
•
✁ ✁
r
•
s
•
5.1: Lentel˙e
1
5.2: Piešinys
µ({x3})
✲
Vien ˛a iš pirm ˛uj ˛u nepriklausomumo aksiomos tikrinimui skirt ˛u eksperiment ˛u atliko pranc ūz ˛u
ekonomistas Maurice Allais 1952 metais. Tarkime, kad aib˛e X sudaro trys elementai:
x1 = 5.000.000 Lt, x2 = 1.000.000 Lt, x3 = 0.
Nagrin˙ekime keturias loterijas µ ∈ {p, q, r, s} ant X, apibr˙ežtas 5.1 lentel˙eje. M. Allais eksperimento
dalyviai buvo klausiami apie savo pasirinkim ˛a tarp ši ˛u loterij ˛u. Pavyzdžiui, p loterija
reiškia, kad 1.000.000 Lt yra laimimas visada. Tuo tarpu q loterija reiškia, kad 5.000.000 Lt
yra laimimi su tikimybe 0.1, 1.000.000 Lt yra laimimi su tikimybe 0.89 ir nieko nelaimima su
tikimybe 0.01. Lyginant p ir q loterijas, dauguma apklaust ˛uj ˛u minimame eksperimente geriau
pasirinko p negu q. Tai reiškia, kad dauguma tos grup˙es žmoni ˛u 0.1 tikimyb˛e laim˙eti 5.000.000
Lt laiko neverta to, kad su 0.01 tikimybe galima prarasti 1.000.000 Lt.
Toliau, r loterija si ūlo 0.1 tikimyb˛e laim˙eti 5.000.000 Lt ir 0.9 tikimyb˛e nieko nelaim˙eti.
Tuo tarpu s loterija si ūlo 0.11 tikimyb˛e laim˙eti 1.000.000 Lt ir 0.89 tikimyb˛e nieko nelaim˙eti.
Tarp ši ˛u dviej ˛u loterij ˛u dauguma aptariamojo eksperimento dalyvi ˛u pasirinko r loterij ˛a. Na o
tai reiškia, kad dauguma tos grup˙es žmoni ˛u geriau vertina 0.1 tikimyb˛e laim˙eti 5.000.000 Lt
negu papildom ˛a 0.01 dal˛i tikimyb˙es laim˙eti 1.000.000 Lt.
Šio eksperimento rezultatai yra nesuderinami nei su loterij ˛u vertinimu remiantis laim˙ejimo
vidurkiu (prisiminkime St. Petersburgo paradoks ˛a), nei su nepriklausomumo aksioma. Iš tikro,
bet kurio vidurkine naudingumo funkcija U išreiškiamo pasirinkimo santykio pakaital ˛u aib˙es
yra lygiagrečios ties˙es (kod˙el?). Be to, atkarpos jungiančios tašk ˛u poras (p, q) ir (s, r) yra
lygiagrečios (žr. 5.2 Piešin˛i). Tod˙el privalo b ūti teisinga viena iš trij ˛u alternatyv ˛u:
66

(i) U(p) > U(q) ir U(s) > U(r), arba
(ii) U(q) > U(p) ir U(r) > U(s), arba
(iii) U(p) = U(q) ir U(s) = U(r).
Tačiau Allais eksperimento rezultatai rodo, jog dauguma apklaust ˛uj ˛u nesilaiko nei vienos iš ši ˛u
trij ˛u alternatyv ˛u. Išsprend˛e 2 Pratim ˛a gauname kit ˛a b ūd ˛a ˛isitikinti, kad eksperimento rezultatai
prieštarauja nepriklausomumo aksiomai. Tod˙el eksperimente dalyvavusi ˛uj ˛u pasirinkimo negalima
modeliuoti remiantis vidurkine naudos funkcija. Šis eksperimentu patikrinamas tvirtinimas
vadinamas Allais paradoksu.
von Neumanno-Morgensterno Teorema. Šiame paragrafe yra suformuluota ir ˛irodyta anksčiau
jau min˙eta vidurkin˙es naudos hipotez˙es charakterizacija aksiom ˛u pagalba. 5.2 Teorema
yra teisinga pasirinkimui ne tik tarp loterij ˛u bet ir tarp bendresn˙es prigimties element ˛u.
Tegul Π yra iškila aib˙e ir U: Π ↦→ R yra funkcija. Sakysime, kad U yra tiesin˙e, jei visiems
µ, ν ∈ Π,
U(λµ + (1 − λ)ν) = λU(µ) + (1 − λ)U(ν), ∀ λ ∈ (0, 1).
Šiuo atveju terminas "tiesin˙e funkcija" yra apibr˙ežiamas ne tiesin˙eje, bet iškiloje aib˙eje, ir tod˙el
jos apibr˙ežimas skiriasi nuo ˛iprastinio tiesin˙es funkcijos apibr˙ežimo.
5.2 Teorema. Sakykime, kad Π yra tiesin˙es erdv˙es iškilas poaibis, o yra pasirinkimo santykis
aib˙eje Π. Pasirinkimo santykis išpildo (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas tada ir tik tada,
kai egzistuoja tiesin˙e naudos funkcija U: Π ↦→ R išreiškianti .
Be to, jei pasirinkimo santyk˛i išreiškia dvi tiesin˙es naudos funkcijos U, V : Π ↦→ R tai
egzistuoja tokie real ūs skaičiai a ir b > 0, kad V = bU + a, tai yra afinin˙es transformacijos
tikslumu egzistuoja vienintel˙e tiesin˙e naudos funkcija išreiškianti .
Prieš ˛irodant ši ˛a von Neumanno-Morgensterno Teorem ˛a parodysime, kad iš jos išplaukia
vidurkin˙es naudos hipotez˙es aksiomatin˙e charakterizacija.
5.3 Išvada. Tegul X yra baigtin˙e aib˙e, Π(X) yra tikimybini ˛u skirstini ˛u ant X aib˙e, o yra
pasirinkimo santykis aib˙eje Π(X). Pasirinkimo santykis yra išreiškiamas vidurkin˙es naudos
funkcija tada ir tik tada, kai jis tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas. Be to, jei
egzistuoja dvi funkcijos u, v: X ↦→ R, kurioms yra teisinga (5.2), tai egzistuoja tokie real ūs
skaičiai a ir b > 0, kad v = bu + a.
˛Irodymas. Tegul X = {x1, . . . , xm} kuriam nors m ≥ 2. Tarkime, kad pasirinkimo santykis
tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas. Remiantis von Neumanno-Morgensterno
Teorema egzistuoja tiesin˙e išreiškianti naudos funkcija U: Π(X) ↦→ R. Tegul u(x) := U(δx)
kiekvienam x ∈ X. Reikia parodyti, kad yra teisinga (5.2). Kadangi U yra naudos funkcija
pakanka parodyti, kad
m
U(µ) = µ({xi})u(xi),
i=1
kiekvienam µ ∈ Π(X). (5.4)
67

Jei m = 2, tai (5.4) yra teisinga, nes U yra tiesin˙e funkcija. Tarkime, kad m > 2 ir (5.4) yra
teisinga visiems tiems µ kuriems aib˙e I(µ) := {i ∈ {1, . . . , m}: µ({xi}) = 0} turi nedaugiau
kaip k element ˛u ir 2 ≤ k < m. Tarkime, kad µ ∈ Π(X) ir I(µ) turi k + 1 element ˛a. Tada (5.4)
yra teisinga ir tokiam µ, nes U yra tiesin˙e funkcija ir
i∈I(µ) µ({xi}) = 1. Tokiu b ūdu (5.4) yra
teisinga visiems µ ∈ Π(X) remiantis indukcija.
Atvirkščiai tarkime, kad pasirinkimo santykis yra išreiškiamas vidurkin˙es naudos funkcija,
tai yra teisinga (5.2) kuriai nors funckijai u: X ↦→ R ir visiems µ, ν ∈ Π(X). Apibr˙ežkime
funkcij ˛a U: Π(X) ↦→ R (5.4) lygybe. Remiantis (5.2), U yra naudos funkcija išreiškianti . Be
to ji yra tiesin˙e funkcija, nes kiekvienam µ, ν ∈ Π(X) ir λ ∈ [0, 1], yra teisinga
m
m
U(λµ + (1 − λ)ν) = λ µ({xi})u(xi) + (1 − λ) ν({xi})u(xi) = λU(µ) + (1 − λ)U(ν).
i=1
i=1
Tokiu b ūdu, pasirinkimo santykis tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas remiantis
von Neumanno-Morgensterno Teorema. Antrasis išvados teiginys taip pat išplaukia iš von
Neumanno-Morgensterno Teoremos ir tuo pačiu užbaigia išvados ˛irodym ˛a.
Toliau ˛irodoma von Neumanno-Morgensterno Teorema. Jos ˛irodymas yra suskaidytas ˛i
kelet ˛a žingsni ˛u.
5.4 Lema. Sakykime, kad µ, ν ∈ Π, µ ≻ ν ir λ1, λ2 ∈ [0, 1]. Yra teisingos implikacijos:
jei λ2 > λ1 tai λ2µ + (1 − λ2)ν ≻ λ1µ + (1 − λ1)ν, (5.5)
jei λ2 ≤ λ1 tai λ2µ + (1 − λ2)ν λ1µ + (1 − λ1)ν. (5.6)
˛Irodymas. Pirmosios implikacijos ˛irodymui tarkime, kad λ1 = 0. Remiantis (A.4) aksioma ir
3 Pratimu, yra teisinga
λ2µ + (1 − λ2)ν ≻ λ2ν + (1 − λ2)ν = ν = λ1µ + (1 − λ1)ν,
tai yra norima implikacija (5.5) kai λ1 = 0. Dabar tarkime, kad λ1 > 0 ir λ3 := λ1/λ2. Pagal
pirm ˛aj ˛a ˛irodymo dal˛i, turime santyk˛i ζ := λ2µ + (1 − λ2)ν ≻ ν. Tada v˙el remiantis (A.4)
aksioma ir 3 Pratimu, yra teisinga
λ2µ + (1 − λ2)ν = λ3ζ + (1 − λ3)ζ ≻ λ3ζ + (1 − λ3)ν = λ1µ + (1 − λ1)ν,
kas ir ˛irodo (5.5).
Antrosios implikacijos (5.6) ˛irodymas panašus. Iš pradži ˛u tar˛e, kad λ1 = 1, remdamiesi
(A.4) aksioma gauname
λ2µ + (1 − λ2)ν λ2µ + (1 − λ2)µ = µ = λ1µ + (1 − λ1)ν,
tai yra norima implikacija (5.6) kai λ1 = 1. Toliau pažym˙ej˛e λ3 := (1 − λ1)/(1 − λ2), analogiškai
gauname (5.6) kai λ1 < 1.
5.5 Lema. Tarkime, kad µ, ν, ζ ∈ Π, µ ζ ν ir µ ≻ ν. Tada egzistuoja toks vienintelis
λ ∗ ∈ [0, 1], kad ζ ∼ λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν.
68

˛Irodymas. Remiantis 5.4 Lema, jei toks λ ∗ egzistuoja, tai jis yra vienintelis. Parodysime,
kad trokštamas λ ∗ egzistuoja. Jei ζ ∼ µ arba ζ ∼ ν tai λ ∗ = 1 arba λ ∗ = 0 atitinkamai.
Tod˙el galima tarti, kad µ ≻ ζ ≻ ν. Tegul Λ := {λ ∈ (0, 1]: ζ ≻ λµ + (1 − λ)ν}. Ši aib˙e
yra netuščia nes 0 ∈ Λ ir aprežta nes λ ≤ 1. Tegul λ ∗ := sup{λ: λ ∈ Λ}. Tarkime, kad
µ ≻ ζ ≻ λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν. Remiantis (A.3) aksioma egzistuoja toks λ2 ∈ (0, 1), kad
ζ ≻ λ2µ + (1 − λ2)[λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν] = [λ2 + (1 − λ2)λ ∗ ]µ + [1 − λ2 − (1 − λ2)λ ∗ ]ν.
Tai yra λ ∗ < λ2+(1−λ2)λ ∗ ∈ Λ - prieštaravimas. Dabar tarkime, kad λ ∗ µ+(1−λ ∗ )ν ≻ ζ ≻ ν.
V˙el remiantis (A.3) aksioma egzistuoja toks λ1 ∈ (0, 1), kad
λ1λ ∗ µ + (1 − λ1λ ∗ )ν = λ1[λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν] + (1 − λ1)ν ≻ ζ.
Kadangi λ1λ ∗ < λ ∗ , remiantis 5.4 Lema, λ1λ ∗ ∈ Λ - prieštaravimas. Tod˙el λ ∗ µ+(1−λ ∗ )ν ∼ ζ,
k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
5.2 Teoremos ˛irodymas. Tarkime, kad egzistuoja tiesin˙e naudos funkcija U: Π ↦→ R išreiškianti
pasirinkimo santyk˛i . Reikia ˛irodyti, kad tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4)
aksiomas. Pirmosios dvi aksiomos galioja pasirinkimo santykiui tod˙el, kad jos galioja pilnai
sutvarkytai aibei (R, ≥) ir U išreiškia . D˙el (A.3) aksiomos tegul µ, ν, γ ∈ Π ir µ ≻ ν ≻ γ.
Tada U(µ) > U(ν) > U(γ) remiantis 4.1 Pratimu. Kadangi U(ν) ∈ [U(γ), U(µ)] egzistuoja
toks λ1 ∈ (0, 1), kad
U(ν) < λ1U(µ) + (1 − λ1)U(γ) = U(λ1µ + (1 − λ1)γ)
d˙el funkcijos U tiesiškumo. Dar kart ˛a pasinaudoj˛e 4.1 Pratimu gauname pirm ˛aj˛i norim ˛a santyk˛i
λ1µ + (1 − λ1)γ ≻ ν. Kadangi antrasis santykis gaunamas analogiškai, (A.3) aksioma yra
˛irodyta. D˙el (A.4) aksiomos tegul µ, ν, γ ∈ Π ir λ ∈ [0, 1]. Tegul µ ν. Tada U(µ) ≥ U(ν) ir
U(λµ + (1 − λ)γ) = λU(µ) + (1 − λ)U(γ) ≥ λU(ν) + (1 − λ)U(γ) = U(λν + (1 − λ)γ)
d˙el U tiesiškumo. Lyginant kraštinius narius gauname norim ˛a santyk˛i λµ + (1 − λ)γ λν +
(1 − λ)γ kadangi U išreiškia . Tie patys argumentai atvirkščia tvarka ˛irodo antr ˛aj ˛a aksiomos
dal˛i. Tokiu b ūdu tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas.
Likusi ˛a teoremos dal˛i ˛irodysime esant papildomai s ˛alygai, kad egzistuoja tokie µ, ν ∈ Π,
kad µ ζ ν visiems ζ ∈ Π. Tegul Q := {ζ ∈ Π: µ ζ ν}. Tokiu b ūdu mes tariame, kad
Q = Π.
Sakykime, kad pasirinkimo santykis tenkina (A.1), (A.2), (A.3) ir (A.4) aksiomas. Jei
µ ∼ ν visiems µ, ν ∈ Π, tai apibr˙ež˛e U taip, kad U(µ) := 0 visiems µ ∈ Π gauname, kad
U yra tokio pasirinkimo santykio tiesin˙e naudos funkcija. Toliau tarsime, kad egzistuoja tokie
µ, ν ∈ Π, kad µ ≻ ν. Aib˙e Q yra iškila. Iš tikro, jei ζ1, ζ2 ∈ Q ir λ ∈ [0, 1], tai keturis kartus
pritaik˛e (A.4) aksiom ˛a gauname, kad
µ = λµ + (1 − λ)µ λµ + (1 − λ)ζ2 λζ1 + (1 − λ)ζ2
ν = λν + (1 − λ)ν λν + (1 − λ)ζ2 λζ1 + (1 − λ)ζ2,
69

tai yra λζ1+(1−λ)ζ2 ∈ Q. Jei ζ ∈ Q, tai remiantis 5.5 Lema egzistuoja toks vienintelis λ ∗ , kad
ζ ∼ λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν. Tokiu b ūdu yra apibr˙ežta funkcija Q ∋ ζ ↦→ U(ζ) := λ ∗ . Parodysime,
kad U yra tiesin˙e naudos funkcija aib˙eje Q išreiškianti pasirinkimo santyk˛i .
Tegul ζ, η ∈ Q. Remiantis 5.4 Lema ir funkcijos U apibr˙ežimu, nelygyb˙e U(ζ) > U(η) yra
teisinga tada ir tik tada, kai yra teisingas santykis
U(ζ)µ + (1 − U(ζ))ν ≻ U(η)µ + (1 − U(η))ν, (5.7)
kurio kairioji ir dešinioji pus˙es yra pakeičiamos atitinkamai ζ ir η. Kadangi pasirinkimo santykis
yra racionalus (t.y. išpildo (A.1) ir (A.2) aksiomas), remiantis 2.2 Lema, (5.7) yra teisinga
tada ir tik tada, kai ζ ≻ η.
Tegul ζ, η ∈ Q ir λ ∈ [0, 1]. Kadangi Q yra iškila, tai ξ := λζ + (1 − λ)η ∈ Q ir
ξ ∼ U(λζ + (1 − λ)η)µ + (1 − U(λζ + (1 − λ)η))ν.
Iš kitos pus˙es, remdamiesi tuo, kad ∼ yra ekvivalentumo santykis, o ekvivalentumo klas˙es
išsaugo tiesin˛e strukt ūr ˛a, gauname
ξ ∼ λ[U(ζ)µ + (1 − U(ζ)ν] + (1 − λ)[U(η)µ + (1 − U(η)ν]
= [λU(ζ) + (1 − λ)U(η)]µ + [1 − λU(ζ) − (1 − λ)U(η)]ν.
Palygin˛e pastar ˛uj ˛u dviej ˛u išnaš ˛u dešines puses ir kadangi skaičius λ ∗ 5.5 Lemoje yra vienintelis
gauname funkcijos U tiesiškum ˛a aib˙eje Q.
Liko ˛irodyti antr ˛aj ˛a teoremos dal˛i apie tai, kad afinin˙es transformacijos tikslumu egzistuoja
vienintel˙e tiesin˙e naudos funkcija išreiškianti Tarkime, kad pasirinkimo santyk˛i išreiškia
dvi tiesin˙es naudos funkcijos U, V : Q ↦→ R. Jei µ ∼ ν ir U(ζ) = m o V (ζ) = n visiems ζ ∈ Q,
tai V = U + n − m, tai yra V yra U afinin˙e transformacija. Taigi, tegul µ ≻ ν ir ζ ∈ Q. Tegul
h U (ζ) :=
U(ζ) − U(η)
U(µ) − U(η)
ir h V (ζ) :=
V (ζ) − V (η)
V (µ) − V (η) .
Remiantis 5.5 Lema egzistuoja toks vienintelis λ ∗ ∈ [0, 1], kad ζ ∼ λ ∗ µ + (1 − λ ∗ )ν. D˙el
funkcij ˛u U ir V tiesiškumo, turime lygybes h U (ζ) = λ ∗ = h V (ζ). D˙el kair˙es ir dešin˙es pusi ˛u
lygyb˙es gauname V (ζ) = U(ζ)b + a, čia
b :=
V (µ) − V (ν)
U(µ) − U(ν)
> 0 ir a := −bU(ν) + V (ν).
Kadangi ζ ∈ Q yra laisvai parinktas, teoremos ˛irodymas yra baigtas tuo atveju kai Π = Q.
5.3 Investuotojo pasirinkimai
Praeitame skyriuje min˙etas pavyzdys iliustruoja gamintojo sprendim ˛u priklausomyb˛e nuo ateities
neapibr˙ežtumo. Su panašaus pob ūdžio neapibr˙ežtumu susiduria ir vartotojas bandydamas
investuoti savo santaupas vertybini ˛u popieri ˛u rinkose. Be to, tokiame ekonomini ˛u sprendim ˛u
pavyzdyje nagrin˙esime investuotojo veiksm ˛u priklausomyb˛e nuo laiko.
70

Kaip jau buvo min˙eta ˛ivade, paprasčiausia kapitalo vertyb˙e, kuria prekiaujama vertybini ˛u
popieri ˛u rinkoje, yra akcija nusakoma savo kaina. Tarkime, kad tokioje rinkoje prekiaujama n
akcijomis, o i-tosios akcijos kaina yra diskretaus laiko funkcija Xi = {Xi(t): t = 0, 1, . . . , T }
i ∈ {0, 1, . . . , n}. Taip pat tarkime, kad laiko moment t investuotojas turi ψi(t) kiek˛i i-tosios
akcijos. Tokiu b ūdu funkcijaψi yra apibr˙ežta kiekvienam t ∈ {0, 1, . . . , T }, vektorius ψ(t) :=
(ψ0(t), . . . , ψn(t)) yra vadinamas investuotojo portfeliu laiko momentu t, o funkcij ˛u rinkinys
{ψ0, . . . , ψn} yra vadinamas investuotojo strategija. Vertybini ˛u popieri ˛u rinkos investuotojo
portfelio vert˙e laiko momentu t ∈ {0, 1, . . . , T } yra lygi
n
Vt ≡ V (t) := ψi(t)Xi(t).
i=0
Dviej ˛u b ūsen ˛u vartojimo ir investavimo modelis. Tarsime, kad T = 1, tai yra nagrin˙ejamas
(diskretus) dviej ˛u b ūsen ˛u modelis. Galima laikyti, kad t = 0 yra dabartis, o t = 1 - ateitis.
Dabarties momentu neapibr˙ežtum ˛u n˙era. Ateities neapibr˙ežtumas yra nusakomas baigtine galim
˛u b ūsen ˛u aibe Ω = {ω1, . . . , ωK}. Tokiu b ūdu i-tosios akcijos kainos priklausomyb˙e nuo
pasaulio b ūsen ˛u išreiškiama dar vienu kintamuoju, tai yraXi(1) = {Xi(1, ωk): k = 1, . . . , K}.
Nagrin˙esime investuotojo problemas susijusias su vartojimu ir investavimu ateityje. Vartojimas
dabarties laiko momentu t = 0 yra žinomas dydis, nusakomas realiu skaičiumi c0. Šiuo
laiko momentu turimas turtas, arba pradinis ˛inašas (angl. endowment), yra taip pat realus skaičius
w0. Dal˛i turimo turto investuotojas skiria vertybini ˛u popieri ˛u pirkimui, tai yra investicijai
kurios dydis yra V0. Tod˙el pradiniu laiko momentu t = 0 investuotoj ˛a riboja s ˛alyga:
c0 ≤ w0 − V0. (5.8)
Tuo tarpu laiko momentu t = 1 investuotojo vartojimas c1, turtas w1 ir portfelio vert˙e V1 yra
atsitiktiniai dydžiai susieti s ˛aryšiu:
c1 ≤ w1 + V1. (5.9)
Paprastai yra laikoma, kad portfelio vert˙e Vt pereinant iš b ūsenost = 0 ˛i b ūsen ˛at = 1 kinta tik
d˙el vertybini ˛u popieri ˛u kainos kitimo, o tuo tarpu portfelis ψ(0) = ψ(1).
Nagrin˙ejama problema yra optimalaus vartojimo ir investavimo paieška pereinant iš b ūsenos
t = 0 ˛i b ūsen ˛at = 1. Investuotojas siekia optimizuoti vartojim ˛a {c0, c1} ir portfelio strategij ˛a
ψ := ψ0 = ψ1 taip, kad jo vidurkin˙es naudos funkcija ˛igyt ˛u maksimali ˛a reikšm˛e, tai yra jo
vartojimo-investavimo problema yra
Pratimai.
sup Eu(c0, c1) su s ˛alyga, kad yra teisinga (5.8) ir (5.9).
c0,c1,ψ
1. Tegul p, q, r ir s yra keturios loterijos apibr˙ežtos 5.1Lentel˙eje, o aib˙e X = {5, 1, 0}.
Rasti tokias loterijas ξ, η ant X ir skaiči ˛u λ ∈ [0, 1], kad
p = λp + (1 − λ)p, q = λξ + (1 − λ)p,
r = λξ + (1 − λ)η, q = λp + (1 − λ)η.
71

2. Remiantis praeito pratimo rezultatu parodyti, kad vidurkin˙es naudos pasirinkimas 5.1
Lentel˙es loterijas ˛ivertina taip: p q tada ir tik tada, kai s r.
3. ˛Irodyti, kad nepriklausomumo aksiomoje pasirinkimo santyk˛i galima pakeisti pasirinkimo
santykiu ≻.
Pastabos. Apie vidurkin˛e naud ˛a. Daugiau šia tema galima rasti Fishburn (1982) knygoje. Machina (1982)
yra plati vidurkin˙es naudos teorijos apžvalga, kurioje parodoma, kad didel˙e ekonomin˙es analiz˙es dalis paprastai
besiremianti vidurkin˙es naudos išraiška ištikro gali apsieiti be nepriklausomumo aksiomos.
Papildoma literat ūra.
1. P. Fishburn. The Foundations of Expected Utility. Dordrecht, Reidel, 1982.
2. M. J. Machina. Expected Utility Analysis Without the Independence Axiom. Econometrica, 50 (1982),
277-323.
3. M. J. Machina. Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved. Journal of Economic Perspectives,
1 (1987), 121-154.
72

Priedas A
Matematika
Sakoma, kad aibi ˛u šeima pasižymi baigtin˙es sankirtos savybe, jei bet kuri baigtin˙e šeimos nari ˛u
sankirta yra netuščia.
A.1 Teorema. Topologin˙e erdv˙e X yra kompakti tada ir tik tada, kai erdv˙es X bet kurios uždar
˛u aibi ˛u šeimos, pasižyminčios baigtin˙es sankirtos savybe, sankirta yra netuščia.
A.1 Atitiktis
Daugeliu atveju ekonominiai kintamieji n˙era susij˛e vienareikšmiška atitinkamybe, kaip to reikalauja
matematinis funkcijos apibr˙ežimas: su kiekvienu funkcijos apibr˙ežimo srities elementu
susiejamas vienintelis funkcijos reikšmi ˛u srities elementas. Pavyzdžiui, 3.1 Skyrelyje aprašomi
biudžeto aib˙e ar pasirinkimas, kainos–turto b ūsenai priskiria apskritai ne vienintel˛i g˙erybi ˛u
rinkinio vektori ˛u. D˙el šios priežasties dažnai naudojamasi tokiu funkcijos apibendrinimu:
A.2 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad S ir T yra aib˙es. Atitiktimi (angl. correspondence) ψ iš S ˛i T
vadinama taisykl˙e s ↦→ ψ(s), su kiekvienu elementu s ∈ S priskirianti netušči ˛a aib˛e ψ(s) ⊂ T .
Akivaizdu, kad funkcija yra atskiras atitikties ψ atvejis, kai vis ˛u reikšmi ˛u aib˙es ψ(s) sudarytos
iš vieno elemento. Toliau aptariamas atitikties ψ reikšmi ˛u ψ(s) kitimo priklausomumas
nuo argumento s. B ūtent atitikties tolydumu vadinsime savyb˛e sudaryt ˛a iš toliau apibr˙ežiam ˛u
išorinio ir vidinio tolydumo.
A.3 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad S ir T yra topologin˙es erdv˙es ir ψ yra atitiktis iš S ˛i T .
ψ vadinsime tolydžia iš išor˙es taške s ∈ S (angl. upper hemicontinuous), jei su kiekvienu
aib˙es ψ(s) atviru viršaibiu U egzistuoja tokia s aplinka V , kad ψ(t) ⊂ U su visais t ∈ V . ψ
vadinsime tolydžia iš išor˙es aib˙eje S, jei su kiekvienu s ∈ S, ji yra tolydi iš išor˙es taške s. Taip
pat sakysime, kad ψ galioja išorinis tolydumas taške arba aib˙eje.
Pagal toki ˛a tolydumo s ˛avok ˛a aib˙e ψ(s) negali tapti per daug didele – „sprogti ˛i ˛išor˛e" –
lyginant j ˛a su ψ(s0) kai s yra arti s0. Tačiau toje pačioje situacijoje ψ(s) gali staiga sumaž˙eti,
t. y. „sprogti ˛i vid ˛u". Nesunku pasteb˙eti, kad atitikčiai ψ esant funkcija, jos išorinis tolydumas
73

yra ekvivalentus (funkcijos) tolydumui. D˙el šios priežasties atitiktims n˙era tinkamas kartais
vartojamas pusiautolydumo (angl. semicontinuous) terminas.
Tarkime, kad atitiktis ψ iš S ˛i T yra tolydi iš išor˙es aib˙eje S, ir tegul s ∈ S. Pirma, pagal
apibr˙ežim ˛a, ψ(s) yra apr˙ežta. Antra, apibr˙ežime (A.1) pa˙em˛e triviali ˛a sek ˛a {sn ≡ s} ∈ S,
gauname, kad aib˙e φ(s) yra uždara. Tod˙el φ(s) yra kompaktas Euklidin˙es erdv˙es poaibyje T .
A.4 Teorema. Sakykime, kad S ir T yra Euklidini ˛u erdvi ˛u poaibiai ir ψ yra tokia atitiktis iš S
˛i T , kurios reikšm˙e taške s ∈ S yra kompakti aib˙e. Tuo atveju ψ yra tolydi iš išor˙es taške s tada
ir tik tada, kai su kiekviena konverguojančia seka sn → s ir su kiekviena seka {tn}, sudaryta iš
tn ∈ ψ(sn), egzistuoja ˛i aib˙es ψ(s) elementa˛ konverguojantis posekis {t ′ n}, t. y.
[sn → s, tn ∈ ψ(sn) ∀n] ⇒ [∃ {t ′ n}: t ′ n → t ∈ ψ(s)] . (A.1)
˛Irodymas. Tarkime, kad ψ yra tolydi iš išor˙es taške s, seka sn → s ir seka {tn} sudaryta iš
tn ∈ ψ(sn). Kadangi ψ(s) yra kompaktas, egzistuoja apr˙ežtas ir atviras viršaibis U. Remiantis
A.3 Apibr˙ežimu, egzistuoja tokia s aplinka V , kad ψ(t) ⊂ U su visais t ∈ V . Tada egzistuoja
toks indeksas n ′ ≥ 1, kad su visais n ≥ n ′ , sn ∈ V ir tod˙el tn ∈ ψ(sn) ⊂ U. Euklidin˙eje
erdv˙eje iš bet kurios apr˙ežtos sekos galima išrinkti konverguojant˛i posek˛i ir tod˙el egzistuoja ˛i
element ˛a t ∈ U konverguojantis sekos {tn} posekis {t ′ n}. Tarkime, kad t ∈ ψ(s) ir su kiekvienu
ɛ > 0,
Bɛ := Bɛ(ψ(u)) := {u ∈ T : d(ψ(s), u) := inf{v − u: v ∈ ψ(s)} ≤ ɛ}.
Egzistuoja toks ɛ > 0, kad t ∈ Bɛ. Tačiau visiems pakankamai dideliems n, t ′ n ∈ Bɛ ir tod˙el
t ∈ Bɛ - prieštaravimas, ˛irodantis, kad t ∈ ψ(s).
Priešinga linkme tarkime, kad ψ n˙era tolydi iš išor˙es taške s, t. y. egzistuoja toks aib˙es ψ(s)
atviras viršaibis U, kad su kiekviena s aplinka V , egzistuoja toks sV ∈ V , kad ψ(sV ) ⊂ U.
Tarkime, kad {B1/n(s)} yra seka sudaryta iš rutuli ˛u su centru taške s ir spinduliu 1/n. Su
kiekvienu n egzistuoja sn ∈ B1/n(s) ir tn ∈ ψ(sn) \ U. Kadangi sn → s, (A.1) d˙eka privalo
egzistuoti ˛i aib˙es ψ(s) element ˛a t konverguojantis posekis {t ′ n}. Tačiau aib˙e T \ U yra uždara,
{t ′ n} ⊂ T \ U ir tod˙el riba t negali priklausyti aibei ψ(s) – prieštaravimas, ˛irodantis ψ išorin˛i
tolydum ˛a taške s.
A.5 Apibr˙ežimas. Sakykime, kad S ir T yra topologin˙es erdv˙es ir ψ yra atitiktis iš S ˛i T . ψ
vadinsime tolydžia iš vidaus taške s ∈ S (angl. lower hemicontinuous), jei su kiekviena atvira
aibe U, turinči ˛a netušči ˛a sankirt ˛a su aibe ψ(s), egzistuoja tokia s aplinka V , kad ψ(t) ∩ U = ∅
su visais t ∈ V . ψ vadinsime tolydžia iš vidaus aib˙eje S, jei su kiekvienu s ∈ S, ji yra tolydi iš
vidaus taške s. Taip pat sakysime, kad ψ galioja vidinis tolydumas taške arba aib˙eje.
Na o atitikties tolydumas taške arba aib˙eje yra apibr˙ežiamas kaip tos atitikties išorinis ir
vidinis tolydumas, atitinkamai taške arba aib˙eje.
A.6 Teorema. Sakykime, kad S ir T yra Euklidini ˛u erdvi ˛u poaibiai, ψ yra atitiktis iš S ˛i T ir
s ∈ S. Tuo atveju ψ yra tolydi iš vidaus taške s tada ir tik tada, su kiekviena ˛i s konverguojančia
74

seka {sn} ⊂ S ir su kiekvienu t ∈ ψ(s), egzistuoja tokia seka {tn} ⊂ T konverguojanti ˛i t, kad
tn ∈ ψ(sn) su kiekvienu n, t. y.
[sn → s, t ∈ ψ(s)] ⇒ [∃ {tn}: tn → t, tn ∈ ψ(sn)] . (A.2)
˛Irodymas. Tarkime, kad ψ yra tolydi iš vidaus taške s, seka sn → s kai n → ∞ ir t ∈
ψ(s). Taip pat tarkime, kad su kiekvienu k ∈ N, B1/k(t) yra atviras rutulys su centru taške t ir
spinduliu 1/k. Aišku, kad B1/k(t) ∩ ψ(s) = ∅ su kiekvienu k. Kadangi ψ yra tolydi iš vidaus
taške s, su kiekvienu k, egzistuoja tokia s aplinka Vk, kad ψ(s ′ ) ∩ B1/k(t) = ∅ su kiekvienu
s ′ ∈ Vk. Kadangi sn → s, su kiekvienu k, egzistuoja toks nk ∈ N, kad sn ∈ Vk su kiekvienu
n ≥ nk. Galima tarti, kad nk < nk+1 su visais k. Su kiekvienu k ir n ∈ [nk, nk+1), paimkime
tn ∈ ψ(sn) ∩ B1/k(t). Taip sudaryta seka {tn} išpildo (A.2).
Priešinga linkme tarkime, kad ψ n˙era tolydi iš vidaus taške s, t. y. egzistuoja tokia atvira
aib˙e U, kad U ∩ ψ(t) = ∅ ir bet kurioje s aplinkoje V yra toks taškas sV , kad ψ(sV ) ∩ U = ∅.
Tod˙el egzistuoja tokia ˛i s konverguojanti seka {sn}, kad ψ(sn) ∩ U = ∅. Dabar tarkime, kad
t ∈ U∩ψ(s). Pagal prielaid ˛a egzistuoja tokia ˛i t konverguojanti seka {tn}, kad tn ∈ ψ(sn) ⊂ U c
su kiekvienu n. Kadangi U c uždara, tai riba t taip pat tur˙et ˛u priklausyti U c – prieštaravimas tam,
kad t ∈ U. Prieštaravimas ˛irodo, kad ψ yra tolydi iš vidaus taške s.
A.2 Nejudamo taško teoremos
Yra sakoma, kad funkcija f atvaizduojanti aib˛e K ˛i sav˛e turi nejudama˛ taška, ˛ jei egzistuoja
toks x ∈ K, kad f(x) = x. Tuo atveju, kai K yra Euklidin˙es erdv˙es vienetinis rutulys, o funkcija
f yra tolydi, nejudamo taško egzistavim ˛a ˛irod˙e Brouwer 1912 metais. Jo teorem ˛a galima
laikyti Bolzano vidurini ˛u reikšmi ˛u teoremos tolydžioms funkcijoms, ˛irodytos dar 1817 metais,
apibendrinimu. Šiuo metu egzistuoja labai daug skirting ˛u Brouwer’io teoremos ˛irodym ˛u. Čia
pateikiame vien ˛a iš paprasčiausi ˛u ˛irodim ˛u, pasiskolint ˛a iš Dunford ir Schwartz (1958) knygos.
A.7 Teorema. Tarkime, kad f yra tolydus Euklidin˙es erdv˙es vienetinio rutulio atvaizdavimas ˛i
sav˛e. Tada f turi nejudama˛ taška. ˛
Šios teoremos ˛irodyme remsim˙es tokiu pagalbiniu teiginiu:
A.8 Lema. Tegul R n+1 ∋ x = (x0, x1, . . . , xn) ↦→ g(x) ∈ R n yra be galo diferencijuojama
funkcija, ir tegul Di yra determinantas, kurio stulpeliai yra sudaryti iš n dalini ˛u išvestini ˛u
gx0, . . . , gxi−1 , gxi+1 , . . . , gxn. Tada
n
i ∂
(−1) Di = 0. (A.3)
i=0 ∂xi
˛Irodymas. Kiekvienai porai skirting ˛u indeks ˛u i, j ∈ {0, 1, . . . , n}, tegul Ci,j yra toks determinantas,
kurio pirmas stulpelis yra mišri išvestin˙e gxixj , o lik˛e stulpeliai yra dalin˙es išvestin˙es
gx0, . . . , gxn išd˙estytos indeks ˛u did˙ejimo tvarka ir tarp kuri ˛u n˙era gxi ir gxj . Aišku, kad
75

Ci,j = Cj,i. Remdamiesi determinant ˛u diferencijavimo ir stulpeli ˛u sukeitimo taisykl˙emis, bet
kuriam i ∈ {0, 1, . . . , n} gauname lygyb˛e
∂
∂xi
Di =
(−1)
ji
j−1 Ci,j.
Tod˙el pažym˙ejus σ(i, j) := 1 jei j < i, σ(i, j) := 0 jei j = i ir σ(i, j) := −1 jei j > i, lygyb˙e
i ∂
(−1) Di =
∂xi
n
(−1)
j=0
i+j Ci,jσ(i, j).
yra teisinga kiekvienam i ∈ {0, 1, . . . , n}. Sud˙ej˛e gauname
n
i ∂
n
(−1) Di = (−1)
i=0 ∂xi i,j=0
i+j Ci,jσ(i, j).
Sukeit˛e indeksus vietomis ir pasteb˙ej˛e, kad σ(i, j) = −σ(j, i) gauname, kad
n
(−1)
i,j=0
i+j Ci,jσ(i, j) =
n
(−1)
i,j=0
j+i n
Cj,iσ(j, i) = (−1) (−1)
i,j=0
i+j Ci,jσ(i, j)
Tod˙el kiekviena iš trij ˛u sum ˛u privalo b ūti lygi nuliui. Iščia išplaukia trokštama formul˙e (A.3).
A.7 Teoremos ˛irodymas. Tegul B(0) ≡ B1(0) := {x ∈ R k : |x| ≤ 1} yra Euklidin˙es erdv˙es
R k vienetinis rutulys ir tegul funkcija f: B(0) ↦→ B(0) yra tolydi. Iš pradži ˛u parodysime,
jog teorem ˛a pakanka ˛irodyti tuo atveju, kai f yra begalo diferencijuojama. Iš tikro, remiantis
Weierstrass’o teorema, tolydži ˛a funkcij ˛a f galima tolygiai aproksimuoti begalo diferencijuojamomis
funkcijomis, kurios vienetin˛i rutul˛i atvaizduoja ˛i sav˛e. Tarkime, kad {fn} yra tokia
funkcij ˛u seka. Tada kiekvienam n ≥ 1, egzistuoja toks xn ∈ B(0), kad fn(xn) = xn. Kadangi
Euklidin˙es erdv˙es vienetinis rutulys B(0) yra kompaktas, egzistuoja sekos {xn} posekis {xnk },
konverguojantis ˛i vienetinio rutulio element ˛a x, kuris ir yra funkcijos f nejudamas taškas.
Toliau galime tarti, kad funkcija f yra be galo diferencijuojama. Tačiau tarkime, kad f(x) =
x visiems x ∈ B(0). Tegul realus skaičius a = a(x) yra kvadratin˙es lygties
1 = |x + a(x − f(x))| 2 = a 2 |x − f(x)| 2 + 2a(x, x − f(x)) + |x| 2
didesnioji šaknis, čia (·, ·) žymi skaliarin˛e sandaug ˛a Euklidin˙eje erdv˙eje R k . Tod˙el
|x − f(x)| 2 a = (x, f(x) − x) +
(x, x − f(x)) 2 + (1 − |x| 2 )|x − f(x)| 2 . (A.4)
Kadangi |x − f(x)| = 0 visiems x ∈ B(0), (A.4) išnašoje esantis pošaknis yra teigiamas
visiems |x| = 1. Jei |x| = 1, tai (x, x − f(x)) = 0, kadangi priešingu atveju (x, f(x)) = 1,
o dviej ˛u vektori ˛u, kuri ˛u ilgiai neviršija 1, skaliarin˙e sandauga gali b ūti lygi 1 tada ir tik tada,
kai jie yra lyg ūs. Tokiu b ūdu (A.4) išnašoje esantis pošaknis yra teigiamas visiemsx ∈ B(0).
Kadangi funkcija (0, ∞) ∋ t ↦→ √ t yra be galo diferencijuojama, ir kadangi |x − f(x)| = 0
76

visiems x ∈ B(0), tai (A.4) apibr˙ežia be galo diferencijuojam ˛a funkcij ˛a a: B(0) ↦→ R. Pagal
apibr˙ežim ˛a, a(x) = 0 jei |x| = 1. Kiekvienam t ∈ R, tegul g(t, x) := x + ta(x)(x − f(x)).
Tada g yra begalo diferencijuojama funkcija iš aib˙es R × B(0) ⊂ R k+1 ˛i R k . Kadangi a(x) = 0
visiems |x| = 1, tai dalin˙e išvestin˙e pagal t, gt(t, x) = 0 visiems |x| = 1. O pagal a apibr˙ežim ˛a
gauname, kad |g(1, x)| = 1 visiems x ∈ B(0).
Tarkime, kad D0(t, x) yra determinantas, kurio stulpelius sudaro dalini ˛u išvestini ˛u vektoriai
gx1(t, x), . . . , gxn(t, x), ir tegul
I(t) :=
B(0)
D0(t, x) dx1 · · · dxn.
Kadangi D0(0, x) ≡ 1, I(0) yra lygus rutulio t ūriui ir tod˙el I(0) = 0. Be to I(1) = 0, kadangi
D0(1, x) ≡ 0 d˙el tapatyb˙es |g(1, x)| ≡ 1 (determinanto eilu˙es yra tiesiškai priklausomos, nes
normos išvestin˙e lygi nuliui). Norim ˛a prieštaravim ˛a gausime parod˛e, kad I yra konstanta, tai
yra I ′ (t) = 0 visiems t.
Diferencijuodami I(t) po integralo ženklu ir naudodamiesi (A.3) lygybe gauname, kad I ′ (t)
yra lygi sumai n d˙emen ˛u
±
B(0)
∂
Di(t, x)dx1 . . . dxn, i = 1, . . . , n, (A.5)
∂xi
čia Di(t, x) yra determinantas, kurio stulpeliai yra sudaryti iš vektori ˛u
gt(t, x), gx1(t, x), . . . , gxi−1 (t, x), gxi+1 (t, x), . . . , gxn(t, x).
Tegul Bi žymi vienetin˛i rutul˛i sudaryt ˛a iš n − 1 kintamojo x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn, ir tegul
x +
i := + 1 − (x2 1 + . . . + x2 i−1 + x2 i+1 + . . . + x2 n), o x − i := −x + i .
Taip pat, tegul y + i , y − i ∈ R n yra tokie vektoriai, kuri ˛u j-toji koordinat˙e yra xj jei j = i, o i-toji
koordinat˙e yra atitinkamai x + i arba x − i . Tada kiekvienas iš (A.5) išnašos n integral ˛u yra lygus
±
Bi
Di(t, y +
i )dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxn ∓
Bi
Di(t, y − i )dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxn.
Tačiau |y + i | = |y − i | = 1, ir tod˙el Di(t, y + i ) = Di(t, y − i ) = 0, nes gt(t, x) = 0 jei |x| = 1. Tod˙el
I ′ (t) = 0, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
Toliau parodoma, kad A.7 Teorema yra teisinga bendresnei klasei aibi ˛u negu Euklidin˙es
erdv˙es vienetinis rutulys.
A.9 Išvada. Tarkime, kad f yra tolydus Euklidin˙es erdv˙es netuščio iškilo kompakto atvaizdavimas
˛i sav˛e. Tada f turi nejudama˛ taška. ˛
˛Irodymas. Tegul Br(0) žymi rutul˛i, kurios centras yra nulis o spindulys yra r > 0, ir tegul f
yra tolydus Br(0) atvaizdis ˛i sav˛e. Akivaizdu, kad (1/r)f(r(·)) yra tolydus vienetinio rutulio
atvaizdis ˛i sav˛e. Remiantis A.7 Teorema, egzistuoja toks x ∈ B1(0), kad f(rx) = rx. Kadangi
rx ∈ Br(0), funkcija f turi nejudam ˛a tašk ˛a.
77

Tegul K yra netuščia, iškila ir kompakti Euklidin˙es erdv˙es R k aib˙e, o f yra tolydus K
atvaizdis ˛i sav˛e. Sukonstruosime funkcijos f tolyd ˛u t˛esin˛i ˜ f ˛i vis ˛a Euklidin˛e erdv˛e. Kadangi
K yra kompaktas, egzistuoja tirštas ir skaitus aib˙es K element ˛u poaibis {z1, z2, . . .}. Pažym˙ej˛e
d(x, K) atstum ˛a tarp x ir K, visiems i ≥ 1 ir x ∈ K, apibr˙ežkime
Tada funkcija ˜ f ˛igyjanti reikšmes
γi(x) := max{2 −
|x − zi|
, 0}.
d(x, K)
⎧
⎨ f(x) jei x ∈ K,
˜f(x) :=
⎩
i≥1 2 −i γi(x) −1
i≥1 2 −1 γi(x)f(zi) jei x ∈ K,
yra funkcijos f tolydus t˛esinys ˛i vis ˛a Euklidin˛e erdv˛e R k . Kadangi suma
m
2
i=1
−i −1 m
γi(x) 2
i=1
−1 γi(x)f(zi)
yra apibr˙ežta visiems pakankamai dideliems m = m(x), x ∈ K, ir priklauso aib˙es f(K)
iškilam apvalkalui convf(K), tai ˜ f(R k ) ⊂ convf(K) ⊂ K. Tarkime, kad r > 0 yra toks,
kad K ⊂ Br(0). Remiantis pirm ˛aja ˛irodymo dalimi, egzistuoja funkcijos ˜ f nejudamas taškas
x ∈ Br(0), tai yra ˜ f(x) = x. Kadangi ˜ f(x) ∈ K, tai x ∈ K ir f(x) = ˜ f(x) = x, tai yra
egzistuoja funkcijos f nejudamas taškas, k ˛a ir reik˙ejo ˛irodyti.
A.3 Atskyrimo teoremos
A.10 Teorema. Tarkime, kad Euklidin˙es erdv˙es aib˙e G yra iškila ir neturi teigiam ˛u element
˛u. Tada egzistuoja tokia atskiriančioji hiperplokštuma {x: p·x = 0}, kad p ≥ 0, o aib˙e G
priklauso poerdviui {x: p·x ≤ 0}.
Rekomenduojama literat ūra.
1. Dunford, N. and Schwartz, J. T. Linear Operators. Part I: General Theory. Intersience Publishers, New
York, 1958.
78

Priedas B
Terminai
Naudojam ˛u termin ˛u paaiškinimas:
Lietuviškai Angliškai
g˙eryb˙es goods
naudingumo funkcija utility function
neapibr˙ežtis uncertainty
indiferentiškumo kreiv˙e (aib˙e) indiference curve (set)
preferencijos preferences
turtas wealth
veik˙ejas agent
79

Literat ūra
[1] K. J. Arrow and G. Debreu, Existence of an equilibrium for a competitive economy.
Econometrica, 22 (1954), 265-290.
[2] T. G. Buchholz, New Ideas from Dead Economics: An Introduction to Modern Economic
Thought. Penguin Group, New York, 1990.
[3] G. Callahan, Economics for Real People: An Introduction to the Austrian School. Mises
Institute, US, 2002.
[4] G. Debreu, Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University
Press, 1959.
[5] G. Debreu, Mathematical Economics. Cambridge University Press, 1983.
[6] R. Heilbroner, Didieji Ekonomistai. Amžius, 1995.
[7] W. Hildebrand and A. P. Kirman, Introduction to Equilibrium Analysis. North-Holand
Publ., 1976.
[8] B. Ingrao and G. Israel, The Invisible Hand. Economic Equilibrium in the History of
Science. MIT, Cambridge, 1990.
[9] S. Keen, Debunking Economics. The Naked Emperor of the Social Sciences. Pluto Press,
Australia, 2001.
[10] J. M. Keynes, The General Theory of Employment, Interest and Money. Great Minds
Series. Prometheus Books, New York, 1997 (originally published by Harcourt, Brace &
World, New York, 1936).
[11] A. Mas-Colell, M. D. Whinston and J. R. Green, Microeconomic Theory. Oxford University
Press, 1995.
[12] J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior. Princeton
University press, 1944.
[13] P.C. Nicola, Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century. Springer, Berlin,
2000.
80

[14] P. Samuelson, Foundations of Economic Analysis. Harvard University Press, Cambridge,
Massachusetts, 1947.
[15] A. Sen, Choice functions and revealed preference. Review of Economic Studies, 38 (July
1971), 307-317.
[16] H. Stretton, Economics: A New Introduction. Revised edn. Pluto Press, London, 2000.
[17] H. R. Varian, Microeconomic Analysis. 3rd ed. Norton, New York 1992.
[18] E. R. Weintraub, How Economics Became a Mathematical Science. Duke University
Press, 2002.
81