KONSP.pdf

Įvadas 1 

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2. Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas . . . . . . 5 

4. Diferencialinės lygtys, matematiniai modeliai . . . . . . . . . . . 6 

4.1. Šilumos laidumo lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

4.2. Hidrodinamikos ir akustikos lygtys . . . . . . . . . . . . . 8 

4.3. Stygos svyravimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

4.4. Atsitiktinis judėjimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

4.5. Kitos žinomos lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

5. Susijusios (papildomos) sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

5.1. Pradinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

5.2. Kraštinės sąlygos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

6. Paprasti pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1 SKYRIUS. Pirmosios eilės lygtys 19 

1. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2. Kvazitiesinė lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3. Charakteristikų metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

4. Charakteristikų metodo pavyzdžiai . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5. Egzistavimo ir vienaties teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

2 SKYRIUS. Antros eilės tiesinės lygtys su dviem nepriklausomais 

kintamaisiais 33 

1. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

2. Klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . 35 

4. Parabolinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . . 37 

5. Elipsinės lygties kanoninis pavidalas . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3 SKYRIUS. Vienmatė banginė lygtis 41 

1. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

2. Kanoninis pavidalas ir bendrasis sprendinys . . . . . . . . . . . . 41 

3. Koši uždavinys ir Dalambero formulė . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 SKYRIUS. Kintamųjų atskyrimo metodas 49 

1. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

2. Šilumos laidumo lygtis su homogeninėmis kraštinėmis sąlygomis 49 

3. Kintamųjų atskyrimas bangų lygčiai . . . . . . . . . . . . . . . . 54 

4. Energetinis metodas ir vienatis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

5 SKYRIUS. Elipsinės lygtys 61 

1. Įvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

2. Elipsinių uždavinių pagrindinės savybės . . . . . . . . . . . . . . 61 

3. Maksimumo principas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

4. Maksimumo principo taikymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Įvadas 

O. Štikonienės paskaitų konspektas, parengtas pagal vadovėlį Y. Pinchover and J. Rubinstein, 

An Introduction to Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 

2005 

1. Pagrindiniai apibrėžimai ir sąvokos 

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis (arba matematinės fizikos lygtys) 

apibūdina sąryšį tarp nežinomos funkcijos ir jos dalinių išvestinių. DL dalinėmis 

išvestinėmis dažnai taikomos fizikoje ir technikoje. Pastaraisiais metais 

labai padidėjo DL dalinėmis išvestinėmis taikymas biologijoje, chemijoje, kompiuterių 

moksluose (ypač vaizdo apdorojime ir grafikoje) ir ekonomikoje. Visose 

šiose srityse yra sąveika tarp kelių nepriklausomų kintamųjų, bandoma apibrėžti 

šių kintamųjų funkcijas ir modeliuoti įvairius procesus užrašant atitinkamas 

šių funkcijų diferencialines lygtis. Jei nežinomos funkcijos (-jų) reikšmė tam 

tikru momentu priklauso tik nuo to, kas vyksta lokaliai, taško aplinkoje, gaunama 

diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis. Bendrasis diferencialinės lygties 

dalinėmis išvestinėmis pavidalas funkcijai u(x1, x2, . . . , xn) yra 

F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1 , ux2 , . . . , uxi , . . . ) = 0, (1.1) 

čia x1, x2, . . . , xn yra nepriklausomieji kintamieji, u – nežinoma funkcija ir uxi 

žymi dalinę išvestinę ∂u/∂xi. Bendruoju atveju, sprendžiant lygtį, reikalaujama 

papildomų sąlygų, pavyzdžiui, pradinių sąlygų (kaip dažnai daroma paprastųjų 

diferencialinių lygčių teorijoje) arba kraštinių sąlygų. Diferencialinių lygčių dalinėmis 

išvestinėmis sprendimo analizė turi daug aspektų. Klasikinio požiūrio, 

kuris dominavo XIX a., esmė buvo sukurti metodus, leidžiančius surasti išreikštinį 

sprendinį. Kadangi matematinės fizikos lygčių sprendimas labai svarbus įvairiose 

fizikos šakose, kiekvieną svarbų matematinį pasiekimą, kuris leido išspręsti 

naują DL dalinėmis išvestinėmis uždavinių klasę, lydėjo didelė pažanga fizikoje. 

Pavyzdžiui, Hamiltono pasiūlytas charakteristikų metodas leido padaryti 

didelę pažangą optikoje ir mechanikoje. Furjė metodas leido išspręsti šilumos 

laidumo ir bangų sklidimo uždavinius, o Gryno funkcijų taikymas leido plėtoti 

elektromagnetizmo teoriją. Sprendžiant DL dalinėmis išvestinėmis ryškiausia 

pažanga buvo pasiekta per pastaruosius 50 metų plėtojant skaitinius metodus, 

kurie leidžia naudoti kompiuterius (bent jau teoriškai, praktikoje vis dar yra 

daug neįveiktų kliūčių). Po techninės pažangos sekė teorinė pažanga leidžianti 

geriau suprasti sprendinio struktūrą ir rasti tam tikras sprendinio savybes 

prieš atliekant skaičiavimus kompiuteriu, o kartais net ir be pilno sprendimo.

DL dalinėmis išvestinėmis teorinė analizė įdomi ne tik akademiškai, bet turi ir 

daug taikymų. Reikėtų pabrėžti, kad egzistuoja labai sudėtingos lygtys, kurios 

negali būti išspręstos net ir superkompiuterių pagalba. Viskas, ką galime padaryti 

tokiais atvejais – bandyti gauti kokybinę informaciją apie sprendinį. Labai 

svarbus klausimas yra susijęs su uždavinio formulavimu (lygties ir papildomų 

sąlygų užrašymas). Bendru atveju, lygtis yra kilusi iš fizikinio ar inžinerinio 

uždavinio modelio. Taigi nėra savaime akivaizdu, kad modelis yra geras, t.y. 

kad jis veda prie išsprendžiamos DL dalinėmis išvestinėmis. Be to, yra pageidautina, 

kad daugeliu atvejų sprendinys būtu vienintelis, ir kad jis būtu stabilus 

esant mažam duomenų (sąlygų) pokyčiui. Diferencialinių lygčių teorinis supratimas 

leidžia mums patikrinti, ar šios sąlygos yra įvykdytos. Kaip matysime, 

yra daug būdų, kaip išspręsti DL dalinėmis išvestinėmis, kiekvienas taikomas 

tam tikros klasės lygtims. Todėl yra svarbu turėti išsamią lygties analizę prieš 

ją sprendžiant. Pagrindinis teorinis klausimas yra nustatyti, kada uždavinys, 

kurį sudaro lygtis ir papildomos sąlygos, yra teisingai suformuluotas. Prancūzų 

matematikas Jacques Hadamard (1865-1963) įvedė korektiškumo sąvoka. Pagal 

jo apibrėžimą, uždavinys yra vadinamas korektišku, jeigu jis tenkina visas tris 

sąlygas: 

1. Egzistavimas. Egzistuoja uždavinio sprendinys. 

2. Vienatis. Yra ne daugiau kaip vienas sprendinys. 

3. Stabilumas. Maži pokyčiai lygtyje arba papildomuose sąlygose duoda 

mažus sprendinio pokyčius. 

Jei nors vienos iš šių sąlygų neišpildyta, sakoma, kad uždavinys yra nekorektiškas. 

Daugelis klasikinių matematinės fizikos uždavinių yra korektiški. 

2. Klasifikacija 

Egzistuoja keletas diferencialinių lygčių klasifikacijų. Kai kurias iš jų dabar 

aprašysime: 

• Lygties eilė. Klasifikacija pagal lygties eilę. Lygties eilė apibrėžiama 

kaip aukščiausios išvestinės eilė. Jei aukščiausios išvestinės eilė yra k, tai 

diferencialinės lygties eilė yra k. Pavyzdžiui, utt−uxx = f(x, t) – antrosios 

eilės lygtis, o ut + uxxxx = 0 – ketvirtosios eilės lygtis. 

• Tiesinės lygtys. Kita klasifikacija į dvi grupes: tiesinė, arba netiesinė 

lygtis. Lygtis yra vadinama tiesine, jei diferencialinėje lygtyje (1.1) F 

yra tiesinė funkcija ir nežinomos funkcijos u, ir jos išvestinių atžvilgiu. 

Pavyzdžiui, x 7 ux+e xy uy+sin(x 2 +y 2 )u = x 3 yra tiesinė lygtis, o u 2 x+u 2 y = 

1 yra netiesinė lygtis. 

Netiesinės lygtys dažnai dar skirstomos pagal netiesiškumo tipą. Pavyzdžiui, 

šios dvi lygtys yra netiesinės: 

uxx + uyy = u 3 , (2.1) 

uxx + uyy = |∇u| 2 u, (2.2) 

4

5 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

Čia |∇u| žymi funkcijos u gradiento normą. Nors (2.2) lygtis yra netiesinė 

u atžvilgiu, ji yra tiesinė funkcija auksčiausios eilės išvestinių atžvilgiu. 

Toks netiesiškumas vadinamas kvazitiesiniu. Netiesiškumas (2.1) lygtyje 

yra tik pagal nežinomą funkciją, tokios lygtys dažnai vadinamos pusiau 

tiesinėmis (semilinear). 

• Skaliarinė lygtis ir lygčių sistema. DL su viena nežinoma funkcija 

vadinama skaliarine lygtimi. m lygtys su l nežinomomis funkcijomis 

vadinamos m lygčių sistema. 

3. Diferencialiniai operatoriai ir superpozicijos principas 

Tegu C k (D) žymi visų k kartus tolydžiai diferencijuojamų srityje D funkcijų 

aibę. Pažymėkime C 0 (D) (arba C(D)) tolydžiųjų funkcijų iš D aibe. k-osios 

eilės diferencialinės lygties sprendinys yra k kartų diferencijuojama funkcija. 

Aibės C k funkciją, tenkinančią k-osios eilės diferencialinę lygtį, vadinsime 

klasikiniu (arba stipriu) diferencialinės lygties sprendiniu. Reikėtų pabrėžti, 

kad kartais taip pat nagrinėsime neklasikinius sprendinius. Tokie sprendiniai 

vadinami silpnais sprendiniais. Atkreipkite dėmesį, kad bendru atveju sprendžiami 

uždaviniai, sudaryti iš diferencialinės lygties ir papildomų sąlygų. Siekiant, 

kad stiprus DL sprendinys būti stiprus viso uždavinio sprendinių, tam 

tikri reikalavimai keliami ir papildomoms sąlygoms. 

Atvaizdis iš vienos funkcijų erdvės į kitą funkcijų erdvę vadinamas operatoriumi. 

Operatoriaus L veiksmą į funkciją u žymėsime L[u]. Šioje kurso dalyje 

nagrinėsime operatorius, apibrėžtus (funkcijų) dalinėmis išvestinėmis. Tokie 

operatoriai, kurie faktiškai yra skirtingų C k klasių atvaizdai, vadinami diferencialiniais 

operatoriais. 

Operatorius, kuris tenkina sąryšį 

L[a1u1 + a2u2] = a1L[u1] + a2L[u2], 

čia a1 ir a2 yra konstantos ir u1, u2 – funkcijos, vadinamas tiesiniu operatoriumi. 

Tiesinė diferencialinė lygtis apibrėžia tiesinį operatorių: lygtis gali būti užrašyta 

kaip L[u] = f, čia L – tiesinis operatorius, o f – funkciją. 

Tiesinė diferencialinė lygtis L[u] = 0 vadinama homogenine lygtimi. 

Example. Operatorius L = ∂ 2 /∂x 2 − ∂ 2 /∂y 2 , lygtis 

yra homogeninė, o 

yra nehomogeninė. 

L[u] = uxx − uyy = 0 

L[u] = uxx − uyy = x 2 

Tiesiniai operatoriai atlieka svarbų vaidmenį matematikoje, ypač matematinės 

fizikos lygčių teorijoje. Svarbi jų savybė yra superpozicijos principas: jei bet 

kuriems i, 1 ≤ i ≤ n funkcija ui tenkina tiesinę diferencialinę lygtį L[ui] = fi, tai

tiesinė kombinacija v := n i=1 αiui tenkina diferencialinį lygtį L[v] = n i=1 αifi. 

Atskiru atveju, jei kiekviena funkcija u1, u2, . . . , un tenkina homogeninę lygtį 

L[u] = 0, tai bet kuri šių funkcijų tiesinė kombinacija irgi tenkina šią lygtį. 

Superpozicijos principas leidžia konstruoti sprendinį iš atskirų sprendinių. Taip 

pat superpozicijos principas reikalingas tiesinės diferencialinės lygties sprendinio 

vienaties įrodyme. 

4. Diferencialinės lygtys, matematiniai modeliai 

Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis plačiai naudojamos moksle ir technologijose. 

Pagrindiniai fizikos dėsniai matematiškai aprašo įvairius gamtos reiškinius 

laike ir erdvėje. Pavyzdžiui, labai didelio mastelio reiškinius (astronominis 

mastas) valdomi gravitacijos dėsnių. Elektromagnetizmo teorija kontroliuoja 

daugelį kasdienės veiklos reiškinių, o kvantinė mechanika naudojama atomo 

masto reiškinių apibūdinimui. Tačiau pasirodo, kad daug svarbių uždavinių, 

susiję su daugelio objektų sąveika, ir todėl sunku naudoti pagrindinius fizikos 

dėsnius jų apibūdinimui. Pavyzdžiui, kodėl mes nenukrentame ant grindų sėdėdami 

ant kėdės. Pagrindinė priežastis yra elektros jėgos tarp sudarančių kėdę 

atomų. Šios jėgos padaro kėdę tvirtą. Akivaizdu, kad neįmanoma išspręsti 

elektromagnetizmo lygčių (Maksvelo lygtys) apibūdinančių sąveiką tarp tokios 

daugybės objektų. Kitas pavyzdys yra dujų srautas. Kiekviena molekulė paklūsta 

Niutono dėsniams, bet mes negalime praktiškai spręsti uždavinio tokiam 

skaičiui molekulių. Todėl daugelyje taikymų svarbu nagrinėti paprastesnius modelius. 

Formuluojant tokius modelius pagrindinis priėjimas yra apibrėžti naujus dydžius 

(temperatūra, slėgis, įtampa,...), kurie apibūdina pagrindinių mikroskopinius 

dydžių suvidurkintas (apibendrintas) makroskopines reikšmes, prisilaikant 

keleto pagrindinių principų, tokių kaip masės tvermės dėsnis, judesio kiekio 

tvermės dėsnis, energijos tvermės dėsnis, ir t.t., ir taikyti šiuos principus makroskopiniams 

dydžiams. Dažnai reikia tam tikrų papildomų prielaidų tam, kad 

susietume skirtingus makroskopinius dydžius. Optimaliu atveju norėtume pradėti 

nuo fundamentalių dėsnių ir apskaičiuoti (suvidurkinti) juos tam, kad gautume 

paprastesnį modelį. Tačiau dažnai tai padaryti yra labai sunku ir, vietoj 

to, kartais pagrindiniai principai papildomi eksperimentų rezultatais. Erdvinius 

kintamuosius žymėsime raidėmis x, y, z, o laiko kintamąjį žymėsime t. 

4.1. Šilumos laidumo lygtis 

1811 m. Prancūzijos akademija pasirinko šilumos laidumo uždavinį savo metiniam 

apdovanojimui. Prizas buvo įteiktas prancūzų matematikui Jean Baptiste 

Joseph Fourier (1768-1830) už du svarbius rezultatus. Jis užrašė tinkamą diferencialinę 

lygtį ir sukūrė jos sprendimo metodą. Pagrindinė Furjė pasiūlyta 

idėja buvo energijos tvermės dėsnis. Paprastumo dėlei, tarkime, kad medžiagos 

tankis ir šiluminė talpa yra pastovios erdvėje ir laike, ir sunormuojame jas į 1. 

Todėl galima susieti šilumos energiją su temperatūra. Tegul D yra fiksuota sritis 

erdvėje, jos kraštą pažymėkime ∂D. Galima užrašyti sukauptos D energijos 

6

7 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

pokytį tarp laikų t ir t + ∆t 

 

[u(x, y, z, t + ∆t) − u(x, y, z, t)]dV 

= 

D 

t+∆t 

t 

 

q(x, y, z, t, u)dV dt − 

D 

t+∆t 

t 

 

∂D 

B(x, y, z, t, u) · ndSdt, 

(4.1) 

čia u – temperatūra, q yra šilumos šaltinių intensyvumas srityje D, B šilumos 

srautas per kraštą, dV ir dS yra erdvės ir paviršiaus integravimo elementai, o n 

yra vienetinis vektorius nukreiptas į išorę ∂D normalės kryptimi. Pastebėsime, 

kad šilumos išsiskyrimas gali būti neigiamas (šaldytuvas, oro kondicionierius), 

kaip ir šilumos srautas. 

Bendru atveju šilumos išsiskyrimas priklauso nuo išorinių šaltinių, kurie nepriklauso 

nuo temperatūros. Kai kuriais atvejais (pvz., termostatų valdomas 

oro kondicionierius), jis priklauso nuo temperatūros, bet ne nuo jos išvestinės. 

Todėl sakykime, kad q = q(x, y, z, t, u). Norėdamas užrašyti šilumos srautą 

kaip funkcionalą Furjė panaudoja eksperimentinį pastebėjimą, kad šiluma teka 

„iš karštesnės vietos į šaltesnę vietą“. Iš matematinės analizės žinoma, kad 

greičiausiai funkcija auga gradiento kryptimi. Todėl Furjė postulavo 

B = −k(x, y, z) ∇u. (4.2) 

Formulė (4.2) vadinama Furjė šilumos laidumo dėsniu. Teigiama funkcija k 

vadinama šilumos laidumo (arba Furjė) koeficientu. Koeficiento k reikšmė priklauso 

nuo terpės, kurioje sklinda šiluma. Vienalytėje srityje tikimės, kad k yra 

konstanta. 

Įstatysime formules dydžiams q ir B į (4.1). Integralams pagal t pritaikysime 

vidutinės reikšmės teoremą, padalinsime abi lygties pusės iš ∆t ir pereisime prie 

ribos, kai ∆t → 0. Gauname 

 

 

utdV = q(x, y, z, t, u)dV + k(x, y, z) ∇u · ndS. (4.3) 

D 

D 

Atkreipkite dėmesį, kad lygties dešinėje pusėje antrame dėmenyje integruojama 

pagal srities kraštą. Taikydami Gauso teoremą pereisime nuo paviršinio 

integralo prie tūrinio: 

 

[ut − q − 

D 

∇ · (k ∇u)]dV = 0, (4.4) 

čia ∇· žymi divergencijos operatorių. 

Dabar ir veliau mums bus reikalingas sekantis rezultatas. 

0.1 lema. Tegul h(x, y, z) yra tolydi funkcija, tenkinanti 

h(x, y, z)dV = 0 bet 

Ω 

kurioje srityje Ω. Tada h ≡ 0. 

Įrodymas. Įrodinėkime prieštaros būdu. Tegul egzistuoja taškas P = (x0, y0, z0) 

toks, kad h(P ) = 0. Neprarandant bendrumo, h(P ) > 0. Kadangi h tolydi, tai 

∂D

egzistuoja sritis D0 (ji gali būti ir labai maža), kuriai priklauso P , ir ε > 0, toks, 

kad h > ε > 0 kiekviename srities D0 taške. Todėl 

D0 hdV > εVol(D0) > 0, o 

tai prieštarauja lemos prielaidai. 

Pastebėsime, kad integralinis energijos balansas (4.4) teisingas (tinka) bet 

kurioje srityje D. Darydami prielaidą, kad visos pointegralinės funkcijos yra 

tolydžiosios, gauname DL dalinėmis išvestinėmis 

ut = q + ∇ · (k∇u). (4.5) 

Atskiru atveju, kai difuzijos koeficientas yra konstanta ir srityje D nėra šilumos 

šaltinių, gauname klasikinę šilumos laidumo lygtį 

ut = k∆u, (4.6) 

čia ∆u žymi svarbų operatorių uxx+uyy+uzz. Net nesprendžiant lygties, galima 

pastebėti, kad reikalinga prielaida, jog šilumos laidumo lygties sprendinys ir kai 

kurios jo išvestinės yra tolydžiosios funkcijos. 

4.2. Hidrodinamikos ir akustikos lygtys 

Skysčius ir dujas sudaro didelis molekulių skaičius, todėl neįmanoma aprašyti 

elektromagnetizmo arba kvantinės mechanikos teorijomis. Nuo XVIII a. mokslininkai 

kūrė modelius ir lygtis makroskopiniams dydžiams, tokiems kaip temperatūra, 

slėgis, greitis ir t.t. Kaip jau buvo paaiškinta, šios lygtys grindžiamos 

tvermės dėsniais. 

Paprasčiausias skysčio (ar dujų) aprašymas naudoja tris funkcijas apibūdinančias 

skysčio būseną bet kuriame laiko ir erdvės taške: 

• tankis (masė tūrio vienetui) ρ(x, y, z, t); 

• greitis u(x, y, z, t); 

• slėgis p(x, y, z, t). 

Paprastumo dėlei, tarkime, kad temperatūra yra konstanta. Pradėsime nuo 

masės tvermės dėsnio. Nagrinėkime skysčio elementą užimantį sritį D. Tarkime, 

kad medžiaga nei sukuriama, nei dingsta. Taigi srityje D bendra masė nesikeičia: 

d 

dt 

 

D 

ρdV = 0. (4.7) 

Skysčio krašto judėjimas aprašomas greičio komponentu u statmena ∂D kryptimi. 

Taigi, galima užrašyti 

 

 

∂ 

ρdV + ρu · ndS = 0. (4.8) 

∂t 

D 

∂D 

čia n žymi krašto ∂D vienetinę išorinę normalę. Taikydami Gauso teoremą 

gauname 

[ρt + 

D 

∇ · (ρu)]dV = 0. (4.9) 

8

9 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

Kadangi D yra bet kokia sritis, pritaikę 1.1 lemą, gauname masės transporto 

lygtį 

ρt + ∇ · (ρu) = 0. (4.10) 

Toliau reikalaujame, kad skystis tenkintų judesio kiekio tvermės dėsnį. Skystį 

srityje D kiekviename taške veikia gravitacija ir ant krašto ∂D veikia slėgis 

skysčio, kuris yra D išorėje. Pažymėsime −→ g laisvojo kritimo pagreitį. Paprastumo 

dėlei, nenagrinėsime trinties jėgų tarp gretimų skysčio molekulių. Niutono 

judėjimo dėsnis sako, kad judesio kiekio pokytis lygus skystį veikiančiai jėgai: 

d 

dt (mv) = F.. Todėl 

 

 

d 

ρudV = − pndS + ρgdV. (4.11) 

dt D 

∂D 

D 

Įkelsime diferencijavimą pagal t po integralu ir, pritaikant (4.10), gauname 

 

[ρut + ρ(u · 

D 

 

∇)u]dV = (− 

D 

∇p + ρ −→ g )dV. (4.12) 

Iš čia seka diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis 

ut + (u · ∇)u = − 1 

ρ ∇p + −→ g . (4.13) 

Jau gavome dvi diferencialines lygtis trims nežinomoms funkcijoms (ρ, u, p). 

Tam kad sudarytume sistemą, reikia trečiosios lygties. Atkreipkite dėmesį, kad 

energijos tvermės dėsnis jau buvo įtrauktas darant prielaidą, kad temperatūra 

yra pastovi. Papildoma lygtis gali būti panaši į 

p = f(ρ), (4.14) 

čia funkcija f yra nustatoma skysčio (arba dujų). Pilną sistemą, kurią sudaro 

(4.10) (4.13) ir (4.14) yra vadinama Eulerio skysčio srauto lygtimis. Šias lygtys 

užrašė šveicarų matematikas Leonhard Euler (1707 -1783) 1755 m. 

Jei atsižvelgti į trintį tarp skysčio molekulių, atsiranda papildomas dėmuo 

lygtyje. Ši trintis yra vadinama klampumo. Labai svarbus atvejis yra kai klampaus 

skysčio tankis yra konstanta. Jis aprašo daugelį su vandens tėkme susijusių 

reiškinių. Šis atvejis pirmą kartą buvo nagrinėtas prancūzų inžinieriumi Claude 

Navier (1785-1836) 1822 m., vėliau jį studijavo britų matematikas George 

Gabriel Stokes (1819 -1903). Jie užrašė lygtis: 

ρ ut + (u · ∇)u = µ∆u − ∇p, (4.15) 

∇ · u = 0. (4.16) 

Parametras µ vadinamas skysčio klampumas. Atkreipkite dėmesį, kad (4.15) 

- (4.16) yra kvazitiesinių lygčių sistema. Navjė ir Stokso sistema sudaro hidrodinamikos 

pagrindą. Ši lygčių sistema yra aktyviai tyrinėjama ir naudojama 

daugybėje taikymų (lėktuvų ir laivų dizainas, kraujo tėkmė arterijose, rašalo 

tekėjimas spausdintuve, paukščių ir žuvų judėjimas ir taip toliau). Tačiau vis 

dar neįrodytas Navier-Stokes lygčių korektiškumas, t.y. glodaus sprendinio egzistavimas 

(viena iš Millenium Mathematics Prize problemų).

0.1 pav. Stygos svyravimai 

0.1 pastaba. Daugelis chemijos, biologijos ir ekologijos uždavinių nagrinėja kokio 

nors substrato pernešimą pastoviu greičiu. Tegul C(x, y, z, t) žymi substrato 

koncentraciją. Tarkime, kad srauto greitis nepriklauso nuo koncentracijos, tada 

substrato plitimas aprašomas (4.10) lygtimi 

Ši lygtis vadinama konvekcijos lygtimi. 

4.3. Stygos svyravimai 

10 

Ct + ∇ · (Cu) = 0. (4.17) 

Daug skirtingų reiškinių yra susiję su tampraus kūno svyravimais. Banginė 

lygtis taip pat aprašo garso bangos generavimą (pavyzdžiui, stygos arba būgno 

membranos svyravimai). Nagrinėkime stygos skersinius svyravimus su amplitude 

u(x, t), čia x yra erdvinė koordinatė, t – laikas. Tegul ρ yra stygos ilgio vieneto 

masė. Tarkime, kad ρ yra konstanta. Nagrinėkime mažą intervalą (−δ, δ). 

Lygiai taip pat, kaip ir ankstesniam poskyryje aprašysime dvi jėgas, veikiančias 

stygą (0.1 paveikslas): išorinė gravitacijos jėga veikia skersine y kryptimi (vienetinį 

stygos ilgį veikiančią jėgą žymėkime f(x, t)), ir vidinė jėga T , veikianti 

tarp gretimų stygos elementų. Ši vidinė jėga vadinama tamprumo jėga. Ji veikia 

stygos elementą iš abiejų galų: T+ veikia stygą iš dešinės, o T− – iš kairės. 

Tarkime, kad tamprumo jėga veikia stygos liestinės kryptimi, ir yra proporcinga 

stygos pailgėjimui. Tegul teisingas dėsnis (Huko dėsnis) 

T = D 1 + u 2 xêτ , (4.18) 

čia D yra konstanta, priklausanti nuo medžiagos, iš kurios pagaminta styga, ir 

êτ yra vienetinis vektorius stygos liestinės kryptimi. Tai empirinis dėsnis, t. y. 

jis kyla iš eksperimentinių stebėjimu. Iš antro Niutono dėsnio 

δ 

−δ 

ρuttdl = 

δ 

−δ 

f(x, t)dl + ê2 · ( T+ − T−) = 

δ 

−δ 

f(x, t)dl + 

δ 

(ê2 · 

−δ 

T )xdx, 

čia dl ilgio elementas, ir ê2 = (0, 1). Naudojant (4.18) dėsnį ir formulę liestinės 

vektoriui êτ = (1, ux)/ 1 + u 2 x, galima užrašyti 

ê2 · T = D 1 + u 2 xê2 · êτ = Dux.

11 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

Įstatome šią lygtį į antrąjį Niutono dėsnį ir gauname sąryšį tarp integralų 

δ 

ρutt 

−δ 

1 + u 2 xdx = 

δ 

−δ 

 

f(x, t) 1 + u2 

x + Duxx dx. 

Kadangi ši lygtis teisinga bet kokiam intervalui, pagal 1 lema dar kartą gauname 

utt − 

c2 uxx = 

1 + u2 x 

f(x, t) 

. (4.19) 

ρ 

čia c = D/ρ yra bangos greitis. 

Silpnų svyravimų atveju amplitudė yra maža, ir galima naudoti supaprastintą 

prielaida |ux| ≪ 1. Tada 

utt − c 2 uxx = 1 

f(x, t). (4.20) 

ρ 

Taigi, anksčiau aprašyta garso banginė lygtis taip pat tinka aprašyti kai kurias 

tampriąsias bangas. 

0.2 pastaba. Gavome stygos skersinių virpesių lygtį. Norėdami išanalizuoti išilginius 

svyravimus, Niutono dėsnyje jėgas projektuojame liestinės kryptimi. 

Gauname, kad įtampos jėgos tankis išilgine kryptimi 

∂ 

 

 

1 + u2 

x 

D = 0. 

∂x 1 + u2 x 

Tai reiškia, kad panaudotas Huko (4.18) dėsnis yra ekvivalentus prielaidai, kad 

nevyksta stygos išilginiai virpesiai! 

4.4. Atsitiktinis judėjimas 

Atsitiktinį smulkių dalelių judėjimą pirmą kartą aprašė 1827 m. britų biologas 

Robertas Brownas (1773–1858). Todėl jis vadinamas Brauno judėjimu. Pirmasis 

Brauno judėjimo matematinis modelis buvo sukurtas Einšteinu 1905 metais. Jis 

pasiūlė modelį, kuriame dalelė esanti plokštumos taške (x, y) per mažą laiko 

intervalą δt šuoliais šoka į vieną iš gretimų taškų (x ± δx, y ± δx). Einšteinas 

parodė, kad prie tam tikrų prielaidų dydžiams δx ir δt, tikimybė, kad dalelė 

bus rasta taške (x, y) laiko momentu t aprašoma šilumos laidumo lygtimis. Jo 

modelis turi daug taikymų fizikoje, biologijoje, chemijoje, ekonomikoje ir kt. 

Parodysime, kaip gauti diferencialinę lygtį Brauno judėjimo teorijos tipiniame 

uždavinyje. 

Nagrinėkime dalelę dvimatėje srityje D. Kad būtų paprasčiau, apsiribokime 

atveju, kai D yra vienetinis kvadratas. Įveskime tinklą, dalijantį D į N 2 

identiškų mažų kvadratų su viršūnėmis (xi, yj). Kiekvienos kraštinės ilgis δx. 

Dalelė iš vidinio taško (xi, yj) per laiko intervalą δt patenka į vieną iš gretimų 

taškų su ta pačia tikimybe. Kai dalelė pasiekia srities kraštą, ji miršta.

Klausimas Kokia yra vidutinė gyvenimo trukmė u(x, y) dalelės, kuri pradeda 

savo gyvenimą taške (x, y), kai ribos 

δx → 0, δt → 0, 

(δx) 2 

4δt 

12 

= k? (4.21) 

Akivaizdu, kad dalelė, pradedanti savo gyvenimą viename iš kraštiniu tašku, 

miršta iš karto: 

u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂D. (4.22) 

Kai (x, y) yra vidinis taškas, per laiko intervalą δt su ta pačia tikimybe dalelė 

gali patekti į jį iš vieną iš keturių jos artimiausių kaimynų. Tai aprašo skirtumų 

lygtis 

u(x, y) = δt+ 1 

 

u(x−δx, y)+u(x+δx, y)+u(x, y −δx)+u(x, y +δx) . (4.23) 

4 

Tarkime, kad u ∈ C 2 , tada lygties dešinėje pusėje visas funkcijas galima 

išskleisti Teiloro eilutėmis. Dalijant abi lygties (4.21) puses iš δt ir pereinant 

prie ribos, gauname 

∆u(x, y) = − 1 

, (x, y) ∈ D. (4.24) 

k 

Tokio tipo lygtis vadinama Puasono lygtimi. 

Ištirtas modelis turi daugybę taikymų. Vienas iš jų susijęs su akcijų kainų 

kitimo analize. Daugelis akcijų rinkos modelių yra pagrįsti prielaida, kad kainos 

keičiasi atsitiktinai. Pavyzdžiui, kad brokeris perka akcijas už tam tikrą 

kainą. Iš anksto jis nusprendžia parduoti, jei jų kaina siekia viršutinę riba m2 

(norėdamas gauti pelno) ar apatinę m1 (sumažinti nuostolius esant dideliam 

akcijų kurso kritimui atveju). Kiek laiko vidutiniškai tarpininkas turi akcijų, 

darant prielaidą, kad akcijų kainos kitimas atitinka Brauno judėjimą? Tai yra 

vienmatė modelio versija. Lygtis ir atitinkamos kraštinės sąlygos 

4.5. Kitos žinomos lygtys 

ku ′′ 

(m) = −1, u(m1) = u(m2) = 0. (4.25) 

• Laplaso lygtis. Daugelis iki šiol išnagrinėtų modelių susiję su operatoriumi 

∆u = ∂2 u 

∂x 2 + ∂2 u 

∂y2 + ∂2u ∂z 

Šis operatorius vadinamas laplasianas. Laplaso lygtis yra viena iš svarbiausiu 

DL dalinėmis išvestinėmis 

2 . 

∆u = 0. (4.26) 

Ši lygtis yra Puasono lygties atskiras atvejis, savo darbe apie gravitaciją ją 

užrašė prancūzų matematikas Pierre-Simon Laplace (1749-1827) 1780 m.

13 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

Laplaso lygties sprendiniai vadinami harmoninėmis funkcijomis. Laplaso 

lygtis turi labai daug taikymu, pavyzdžiui, šilumos laidumo uždavinyje 

temperatūros laukas yra harmoninis, kai pasiekta pusiausvyrą. Lygtis yra 

labai svarbi mechanikoje, elektromagnetizme, tikimybių teorijoje, kvantinėje 

mechanikoje, gravitacijos teorijoje, biologijoje ir kt. 

• Minimalaus paviršiaus lygtis. 

Uždavinys: rasti paviršių, einantį per erdvinį uždarą kontūrą tokį, kad 

paviršiaus plotas būtų minimalus. J. Plateau (1801–1883), 1849 m. 

Minimalių paviršių tyrimas prasidėjo nuo Puasono ir Plato darbų. Pagal 

Puasono teoremą, paviršiaus, skiriančio dvi fizines aplinkas, kurios yra 

pusiausvyroje, vidutinis kreivumas yra proporcingas slėgio skirtumui šiose 

aplinkose. Tokių paviršių pavyzdžiai: muilo burbulai ir muilo plėvelė ant 

sudėtingo vielos kontūro. 

Lagranžas parodė, kad minimalaus paviršiaus grafikas tenkina antros eilės 

netiesinę DL dalinėmis išvestinėmis: 

(1 + u 2 y)uxx − 2uxuyuxy + (1 + u 2 x)uyy = 0. (4.27) 

Kai minimalaus paviršiaus kreiviai yra maži, t.y. ux, uy ≪ 1, (1.40) netiesinė 

lygtis gali būti aproksimuota Laplaso lygtimi. 

• Biharmoninė lygtis. Tamprumo teorijos plokščio uždavinio lygtis. Plonos 

tamprios plokštelės pusiausvyros būseną aprašo amplitudės funkcija 

u(x, y) – plokštelės nuokrypis nuo horizontalios padėties. Galima įrodyti, 

kad funkcija u tenkina lygtį 

∆ 2 u = ∆(∆u) = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0. (4.28) 

Ši lygtis vadinama biharmonine, kuri yra ketvirtosios eilės diferencialinė 

lygtis. 

• Šredingerio lygtis. Šredingerio lygtis yra pagrindinė kvantinės mechanikos 

lygtis, aprašanti kvantinių dalelių elgesį. Šią lygtį 1926 metais pasiūlė 

austrų fizikas Ervinas Šredingeris. Kompleksinės banginės funkcijos ψ 

modulio kvadratas (ψψ ∗ ) nusako tikimybės rasti dalelę tam tikrame taške 

tankį 

− 2 

∆ψ + V ψ = i∂ψ , (4.29) 

2m ∂t 

čia V yra žinoma funkcija (potencialas), m - dalelės masė ir yra Planko 

konstanta padalinta iš 2π. 

• Kitos lygtys. Dar yra daug kitų diferencialinių lygčių, kurios yra svarbios 

įvairių mokslo ir technikos uždavinių tyrime. Pavyzdžiui, Maksvelo 

lygtys elektromagnetizme, reakcijos ir difuzijos lygtis aprašanti cheminių 

reakcijų modelį, tamprumo lygtis, Korteweg-de-Vries lygtis atskirai bangai, 

netiesinė Šredingerio lygtis netiesinėje optikoje ir supertakiuosiuose 

skysčiuose, Ginzburgo ir Landau superlaidumo lygtis, Einšteino lygtys 

bendrojoje reliatyvumo teorijoje (aprašo gravitaciją), ir daug daugiau.

5. Susijusios (papildomos) sąlygos 

Bendru atveju diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis turi be galo daug 

sprendinių. Siekiant gauti vienintelį diferencialinės lygties sprendinį reikia pridėti 

papildomas sąlygas. Kokio tipo sąlygos gali būti? Atsakymas priklauso nuo 

nagrinėjamos diferencialinės lygties tipo. Trumpai apžvelgsime bendras sąlygas 

ir naudodami pavyzdžius paaiškinsime jų fizikinę reikšmę. 

5.1. Pradinės sąlygos 

Nagrinėkime konvekcijos lygtį (4.17) su viena erdvine dimensija kaip pirmosios 

eilės diferencialinės lygties pavyzdį. Nežinoma funkcija C(x, t) aprašo paviršių. 

Galima suformuluoti tokį uždavinį: duota koncentracija tam tikru laiku t0, o 

reikia surasti koncentracija vėlesniais laikais. Sprendžiame diferencialinę lygtį 

su papildoma sąlyga 

CT + ∇ · (Cu) = 0, 

14 

C(x, t0) = C0(x). (5.1) 

Toks uždavinys vadinamas pradiniu. Geometriškai, sąlyga (5.1) nurodo kreivę, 

per kurią turi eiti sprendinys C(x, t). Sąlygą (5.1) galima apibendrinti įvedant 

kreivę Γ, kuri turi priklausyti sprendinio paviršiui taip, kad kreivės Γ projekcija 

plokštumoje (x, t) nebūtinai yra x ašis. 2 skyriuje parodoma, kad esant 

tinkamoms prielaidoms lygčiai ir kreivei Γ, egzistuoja vienintelis diferencialinės 

lygties sprendinys. 

Kitas atvejis, kai natūraliai įvedamos pradinės sąlygos, yra šilumos laidumo 

lygtis (4.6) 

ut = k∆u, 

Tegul duotas temperatūros pasiskirstymas pradiniu laiko momentu, ir rasime 

temperatūros pasiskirstymą vėlesniais laikais. Pradinė sąlyga yra tokio tipo 

u(x, y, z, 0) = u0(x, y, z). 

Paskutiniuose dviejose pavyzdžiuose nagrinėjamos diferencialinės lygtys tik 

su pirma išvestine pagal t. Analogiškai pradiniam uždaviniui paprastųjų diferencialinių 

lygčių teorijoje, pradiniam uždaviniui, į kurį ieina antra išvestinė 

pagal t, reikia dviejų pradinių sąlygų. Panagrinėkime banginę lygtį (4.20) 

utt − c 2 uxx = 1 

f(x, t). 

ρ 

Kaip jau žinome, ši lygtis yra antrasis Niutono dėsnis. Todėl natūralu užduoti 

dvi pradines sąlygas – stygos padėčiai ir greičiui: 

u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (5.2) 

4 skyriuje bus įrodyta, kad banginė lygtis kartu su šiomis sąlygomis yra korektiškas 

uždavinys.

15 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

5.2. Kraštinės sąlygos 

Kitas papildomų sąlygų tipas DL dalinėmis išvestinėmis, turintis daug taikymų, 

yra kraštinės sąlygos. Tai yra sąlygos, nustatančios sprendinio (arba jo išvestinės) 

būseną ant srities krašto. Kaip pavyzdį, vėl nagrinėkime šilumos laidumo 

lygtį 

ut = k∆u, (x, y, z) ∈ Ω, t > 0. (5.3) 

Tarkime, kad Ω yra aprėžta. Siekiant gauti vienintelį sprendinį, reikia užduoti 

ne tik pradines sąlygas, bet ir apibrėžti sprendinio u elgesį ant krašto ∂Ω. 

Išskyrus retą išimtį, nagrinėjamos trijų tipų kraštinės sąlygos. Pirmojo tipo 

kraštinė sąlyga, kai užduodama temperatūra krašte ∂Ω, t.y. 

u(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, (5.4) 

vadinama Dirichle sąlyga vokiečių matematiko Johanas Lejeune Dirichle (1805- 

1859) garbei. Pavyzdžiui, ši sąlyga yra naudojama, kai turime duomenų apie 

matuojamą temperatūrą ant srities krašto, arba kai tiriamas temperatūros pasiskirstymas 

priklausomai nuo įvairių išorinių šilumos sąlygų. 

Taip pat ant krašto gali būti užduota temperatūros išvestinė pagal normalę 

∂nu(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0, (5.5) 

čia ∂n žymi išvestinę normalės kryptimi ant krašto ∂Ω. Ši sąlyga vadinama Neumano 

sąlyga vokiečių matematiko Carl Neumann (1832-1925) garbei. Išvestinė 

normalės kryptimi ∂nu aprašo srautą per kraštą. Pavyzdžiui, nepraleidžiamas 

kraštas modeliuojamas naudojant sąlygą (5.5) f = 0. 

Trečiojo tipo kraštinė sąlyga aprašo ryšį tarp funkcijos u ir jos išvestinę 

normalės kryptimi ant krašto: 

α(x, y, z)∂nu(x, y, z, t) + u(x, y, z, t) = f(x, y, z, t), (x, y, z) ∈ ∂Ω, t > 0. 

(5.6) 

Tai yra trečiojo tipo kraštinė sąlyga. Kartais ji taip pat vadinama Robino sąlyga. 

Nors aprašytos trijų tipų sąlygos yra dažniausiai naudojamos taikymuose, 

yra išimčių. Pavyzdžiui, gali būti užduota u ant krašto dalies ir jos išvestinė 

pagal normalę likusioje krašto dalyje. Tai yra mišrioji kraštinė sąlyga. Kita 

galimybė yra apibendrinti trečiojo tipo sąlygą ir vietoj normalios išvestinės 

naudoti kryptinę išvestinę u bet kuria kryptimi, kuri nėra krašto liestinė. Tai 

vadinama pasvirusia kraštine sąlyga (angl. oblique boundary condition). Dar 

yra nelokaliosios kraštinės sąlygos. Pavyzdžiui, galima pateikti kraštinę sąlyga, 

kai šilumos srautas kiekviename krašto taške lygus temperatūros integralui pagal 

visą kraštą. Iliustruosime kraštinių sąlygų fizikinę prasmę, vėl nagrinėdami 

stygos lygtį 

utt − c 2 uxx = f(x, t), a < x < b, t > 0. (5.7) 

Kai stygos galai užfiksuoti, užduodama Dirichlė kraštinė sąlyga (pav. 0.2 (a)): 

u(a, t) = β1(t), u(b, t) = β2(t), t > 0. (5.8)

tt xx 

When the locations of the end points of the string are known, we supply Dirichlet 

boundary conditions (Figure 1.1(a)): 

u(a, t) = β1(t), u(b, t) = β2(t), t > 0. (1.50) 

Another possibility is that the tension at the end points is given. From our derivation 

of the string equation in Subsection 1.4.3 it follows that this case involves16a a 

b 

(a) (b) 

Figure 1.1 Illustrating boundary conditions for a string. 

0.2 pav. Stygos virpesių kraštinės sąlygos 

Arba galima užduoti įtempimo jėgą stygos galuose. Iš stygos lygties išvedimo 

išplaukia, kad šis atvejis yra susijęs su Noimano kraštine sąlyga 

a 

ux(a, t) = β1(t), ux(b, t) = β2(t), t > 0. (5.9) 

Pavyzdžiui, kai stygos galai gali laisvai judėti skersine kryptimi (Pav. 0.2 (b)), 

užduodama homogeninė Noimano sąlygą, t.y. β1 = β2 = 0. 

6. Paprasti pavyzdžiai 

Pavyzdys 1.4 

Išspręskite lygtį uxx = 0. Nagrinėkime lygtį kaip paprastąją diferencialinę 

lygtį kintamojo x atžvilgiu, o į y žiūrėsime kaip į parametrą. Bendrasis sprendinys 

yra u(x, y) = A(y)x + B(y). Atkreipkite dėmesį, kad sprendinių yra labai 

daug, nes A(y) ir B(y) yra bet kokios funkcijos. 

Pavyzdys 1.5 

Išspręskite lygtį uxy + ux = 0. Galima suvesti uždavinį į paprastąją diferencialinę 

lygtį įvedant v = ux. Nauja funkcija v(x, y) tenkina lygtį vy + v = 0. 

Traktuodami x kaip parametrą, gauname v(x, y) = C(x)e −y . Integruojant v 

gauname sprendinį: u(x, y) = D(x)e −y + E(y). 

Pavyzdys 1.6 

Raskime banginės lygties −4uxx = sin t + x 2000 atskirąjį sprendinį. Panaudosime 

banginės lygties tiesiškumą. Pagal superpozicijos principą, galima 

išskaidyti u = v + w, taip, kad v ir w yra šių uždavinių sprendiniai 

b 

vtt − 4vxx = sin t, (6.1) 

wtt − 4wxx = x 2000 . (6.2) 

Kiekvienos iš šių lygčių sprendinys gali būti lengvai rastas: 

Tada 

1 

v(x, t) = − sin t, w(x, t) = − 

4 · 2001 · 2002 x2002 . 

u(x, t) = − sin t − 

1 

4 · 2001 · 2002 x2002 .

17 MFL [2013 01 22 (17:15)] 

Yra daug kitų sprendinių. Pavyzdžiui, lengva patikrinti, kad jei pridėsime prie 

sprendinio funkciją f(x − 2t), čia f(s) yra bet kokia du kartus diferencijuojama 

funkcija, gauname naują sprendinį. 

Deja, taip paprastai aprašyti uždaviniai gyvenime pasitaiko retai. Nepaisant 

to, iš šių pavyzdžių galima padaryti keletą naudingų išvadų. Pavyzdžiui, 

dažniausiai naudojamas metodas yra atlikti tokį kintamųjų pakeitimą, kad lygtis 

taptų paprastesne. Taip pat yra naudingas superpozicijos principas, kuris 

leidžia išskaidyti sudėtingą uždavinį į paprastesnius.

1 skyrius 

Pirmosios eilės lygtys 

1. Įvadas 

Pirmos eilės diferencialinės lygties dalinėmis išvestinėmis bendrasis pavidalas: 

F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2, . . . , uxn) = 0, (1.1) 

čia u(x1, x2, . . . , xn) – nežinoma funkcija, F yra žinoma 2n + 1 kintamųjų funkcija. 

Pirmos eilės lygtis aprašo įvairius fizikinius ir technikos procesus, tokius, 

kaip medžiagos pernešimas skysčio srautu ir bangos fronto sklidimas optikoje. 

Vis dėlto jos pasitaiko rečiau nei antros eilės diferencialinės lygtys. 

Erdvėje R 3 nagrinėsime paviršių, kurio grafikas yra u = u(x, y). Užrašykime 

lygtį 

F (x, y, u, ux, uy) = 0. (1.2) 

Lygtis (1.2) yra pakankamai bendra. Praktikoje dažnai pasitaiko paprastesnės 

struktūros lygtys, kurias išspręsti lengviau. Todėl pradėsime nuo paprastų lygčių 

ir pereisime prie sudėtingesnių. Pagrindinė geometrinio sprendimo metodo idėja 

yra tai, kad u(x, y) yra paviršius R 3 , ir kadangi paviršiaus normalė apibrėžta 

vektoriumi (ux, uy, −1), diferencialinė lygtis (1.2) gali būti laikoma kaip lygtis, 

kuri susieja paviršių ir jo normalę (arba jį liečiančią plokštumą). 

2. Kvazitiesinė lygtis 

Nagrinėsime netiesines lygtis, kai netiesiškumą lemia tik nežinoma funkcija u, o 

jos išvestinės į lygtį įeina tiesiškai. Tokia lygtis vadinama kvazitiesine. Bendras 

kvasitiesinės lygties pavidalas 

a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u). (2.1) 

Svarbus kvazitiesinių lygčių atvejis yra tiesinė lygtis: 

a(x, y)ux + b(x, y)uy = c0(x, y)u + c1(x, y), (2.2) 

čia a, b, c0, c1 yra duotosios funkcijos. Prieš kvazitiesinių lygčių bendrosios teorijos 

nagrinėjimą pateiksime paprastą pavyzdį.

20 

2.3 The method of characteristics 25 

y 

Figure 2.1 Integration of (2.5). 

1.1 pav. (2.3) lygties integravimas 

(2) Is there always a solution to (2.5) and an initial condition? At a first sight the answer 

seems positive; we can write a general solution for (2.5) in the form 

u(x, y) = e c0x 

x 

e 

0 

−c0ξ 

 

c1(ξ, y)dξ + T (y) , (2.8) 

where the function T (y) is determined by the initial condition. There are examples, 

however, where such a function does not exist at all! For instance, consider the special 

case of (2.5) in which c1 ≡ 0. The solution (2.8) now becomes u(x, y) = ec0x T (y). 

Replace the initial condition (2.6) with the condition 

u(x, 0) = 2x. (2.9) 

Now T (y) must satisfy T (0) = 2xe−c0x , which is of course impossible. 

(3) We have seen so far an example in which a problem had a unique solution, and an example 

where there was no solution at all. It turns out that an equation might have infinitely 

many solutions. To demonstrate this possibility, let us return to the last example, and 

replace the initial condition (2.6) by 

u(x, 0) = 2e c0x 

1.1 pavyzdys. Tegul a = 1, b = 0, c0 yra konstanta ir c1 = c1(x, y). Nagrinėkime lygtį 

ux = c0u + c1. (2.3) 

Kadangi (2.3) lygtyje nėra išvestinės pagal y, galima šį kintamąjį imti kaip parametrą. 

Iš paprastųjų diferencialinių lygčių teorijos žinoma, kad norint gauti vienintelį 

sprendinį, reikia papildomos sąlygos. Ji užduodama kaip pradinė sąlyga, toks uždavinys 

vadinamas pradiniu uždaviniu arba Koši uždaviniu prancūzų matematiko Augustino 

Luiso Koši (1789–1857) garbei. Bendruoju atveju pradinės sąlygos ušduodamos 

kreivės γ ⊂ Rxy taškuose: u|γ = u0(x, y), arba dar bendriau kreive Γ ⊂ R 

. (2.10) 

Now T (y) should satisfy T (0) = 2. Thus every function T (y) satisfying T (0) = 2 will 

provide a solution for the equation together with the initial condition. Therefore, (2.5) 

with c1 = 0 has infinitely many solutions under the initial condition (2.10). 

We conclude from Example 2.1 that the solution process must include the step 

of checking for existence and uniqueness. This is an example of the well-posedness 

issue that was introduced in Chapter 1. 

2.3 The method of characteristics 

3 xyu, kuri yra 

funkcijos u0(x, y) gra.ikas kreivės γ taškuose. Pavyzdžiui, galima papildyti (2.3) lygtį 

pradine sąlyga 

u(0, y) = y. (2.4) 

Šiame pavyzdyje γ sutampa su y-ašimi, o u0(x, y) = y. Nesunkiai gaunamas šios 

paprastosios diferencialinės lygties sprendinys: 

u(x, y) = e c0x x 

e 

0 

−c0ξ 

 

c1(ξ, y)dξ + y . ✷ (2.5) 

Bendruoju atveju tokie uždaviniai sprendžiami ieškant specialių kintamųjų, 

kuriose lygtis yra paprastesnė (iš tikrųjų, panašios į (2.3)). Prieš tai aprašant, 

padarysime kelias išvadas iš šio pavyzdžio. 

1. Atkreipkite dėmesį, kad integruojama išilgai x krypties (žr. 1.1 pav.) iš 

kiekvieno y ašies taško, kur buvo užduotos pradinės sąlygos, t.y. sprendžiame 

be galo daug diferencialinių (Koši) uždavinių. 

2. Ar visada egzistoja lygties (2.3) su pradinėmis sąlygomis sprendinys? Iš 

pirmo žvilgsnio atsakymas teigiamas, nes galima parašyti bendrajį sprendinį 

u(x, y) = e c0x x 

e 

0 

−c0ξ 

c1(ξ, y)dξ + T (y) , (2.6) 

čia funkcija T (y) apibrėžiama pradinemis sąlygomis. Tačiau yra pavyzdžių, 

rodančių, kad tokios funkcijos neegzistuoja! Pavyzdžiui, nagrinėkime 

(2.3) lygtį su c0 = 1, c1 ≡ 0. Tada (2.6) sprendinys užrašomas kaip 

u(x, y) = exT (y). Vietoj (2.4) pradinės sąlygos imkime 

We solve first-order PDEs by theu(x, method 0) = 2x. of characteristics. This method (2.7) 

was developed 

in the middle of the nineteenth century by Hamilton. Hamilton investigated 

the propagation of light. He sought to derive the rules governing this propagation 

x

21 Pirmosios eilės lygtys [2013 01 22 (17:15)] 

Šiame pavyzdyje γ sutampa su x-ašimi, o u0(x, y) = 2x. Funkcija T (y) 

turi tenkinti T (0) = 2xe −x , o tai neįmanoma. 

3. Iki šiol nagrinėjame uždavinius, kurių sprendinys buvo vienintelis arba 

neegzistavo. Bet lygtis gali turėti be galo daug sprendinių. Paskutiniame 

pavyzdyje pakeiskime (2.4) pradinę sąlygą į 

u(x, 0) = 2e x . (2.8) 

Kiekviena funkcija T (y), tenkinanti pradinę sąlygą T (0) = 2, apibrėžia 

Koši uždavinio sprendinį u(x, y) = e x T (y). Todėl (2.3) lygtis su c1 = 0 ir 

pradine sąlygą (2.8) turi be galo daug sprendinių. 

Iš 1 pavyzdžio seka išvada, kad sprendžiant uždavinį reikia tikrinti sprendinio 

egzistavimą ir vienatį. 

3. Charakteristikų metodas 

Pirmiausia nagrinėsime charakteristikų metodą euristiškai (ne pilnai pagrįstai). 

Vėliau suformuluosime teoremą, kuri garantuoja, kad, esant tinkamoms prielaidoms, 

lygtis kartu su papildoma sąlyga turi vienintelį sprendinį. Charakteristikų 

metodas pagrįstas paviršiaus, kurį sudaro vienparametrinė kreivių šeima, 

kertanti duotą kreivę erdvėje, konstravimu. 

Nagrinėkime bendrą tiesinę lygtį (2.2) ir užrašykime pradines sąlygas parametriškai: 

Γ = Γ(s) = (x0(s), y0(s), u0(s)), s ∈ I = (α, β). (3.1) 

Kreivę Γ vadinsime pradine kreive. 

Tiesinę lygtį (2.2) galima perrašyti skaliarine sandauga 

(a, b, c0u + c1) · (ux, uy, −1) = 0. (3.2) 

Kadangi (ux, uy, −1) yra paviršiaus u normalė, todėl vektorius (a, b, c0u + c1) 

yra liestinėje plokštumoje. Tada sistema 

xt = a x, y , 

yt = b x, y , 

 

ut = c0 x, y u + c1 x, y , 

(3.3) 

apibrėžia erdvines kreives x(t), y(t), u(t) , priklausančias sprendinio paviršiui. 

Ši pirmos eilės diferencialinių lygčių sistema vadinama charakteristinių lygčių 

sistema arba trumpiau, charakteristikų lygtimis. Sprendiniai vadinami lygties 

charakteristikų kreivėmis arba trumpiau, charakteristikomis. Pastebėsime, kad 

(3.3) lygtys yra autonominės, t.y. nėra išreikštos priklausomybės nuo parametro 

t. 

Tam, kad surastume charakteristikų kreivę, reikalingos pradinės sąlygos. 

Reikalausime, kad pradinis taškas priklauso pradinei kreivei Γ, kai t = 0.

28 First-order equations 

x 

u 

initial curve 

characteristic 

curve 

Figure 2.2 Sketch of the method of characteristics. 

1.2 pav. Charakteristikų metodo eskizas 

projection separately: 

Kadangi kiekviena kreivė (x(t), y(t), u(t)) išeina iš skirtingų Γ(s) taškų, todųl 

(x(t, s), y(t, s), u(t, s)). Tada pradinės xt sąlygos = a(x, užrašomos y), yt = b(x, lygtimi y). (2.17) 

In the quasilinear case, this uncoupling of the characteristic equations is no longer 

possible, since the coefficients a and b depend upon u. We also point out that in the 

linear case, the equation for u is always linear, and thus it is guaranteed to have a 

global solution (provided that the solutions x(t) and y(t) exist globally). 

To summarize the preliminary presentation of the method of characteristics, let 

us consult Figure 2.2. In the first step we identify the initial curve Ɣ. In the second 

step we select a point s on Ɣ and solve the characteristic equations (2.13) (or (2.15)), 

using the point we selected on Ɣ as an initial point. After performing these steps for 

all points on Ɣ we obtain a portion of the solution surface (also called the integral 

surface) that consists of the union of the characteristic curves. Philosophically 

speaking, one might say that the characteristic curves take with them an initial piece 

of information from Ɣ, and propagate it with them. Furthermore, each characteristic 

curve propagates independently of the other characteristic curves. 

Let us demonstrate the method for a very simple case. 

Example 2.2 Solve the equation 

ux + u y = 2 

subject to the initial condition u(x, 0) = x 2 . 

The characteristic equations and the parametric initial conditions are 

xt(t, s) = 1, yt(t, s) = 1, ut(t, s) = 2, 

x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = s 2 x(0, s) = x0(s), y(0, s) = y0(s), u(0, s) = u0(s). (3.4) 

Pastebėkime, kad pasirinkome parametrą t taip, kad charakteristikų kreivė priklauso 

Γ, kai t = 0. Atkreipkite dėmesį, kad bendruoju atveju parametrizavimas 

(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) apibrėžia paviršių R 

. 

It is a simple matter to solve for the characteristic curves: 

x(t, s) = t + f1(s), y(t, s) = t + f2(s), u(t, s) = 2t + f3(s). 

3 . 

Charakteristikų metodas taip pat gali būti taikomas (2.1) kvazitiesiniai lygčiai. 

Šiuo atveju turime charakteristikų lygtis 

xt = a(x, y, u), 

yt = b(x, y, u), 

(3.5) 

ut = c(x, y, u), 

su pradinėmis sąlygomis 

x(0, s) = x0(s), y(0, s) = y0(s), u(0, s) = u0(s). (3.6) 

Uždavinys, kurį sudaro lygtis (2.1) ir pradinės sąlygos (3.6), vadinamas kvazitiesinės 

lygties Koši uždaviniu. 

Pagrindinis skirtumas tarp charakteristikų lygčių (3.3), atitinkančių tiesinę 

diferencialinę lygtį, ir (3.5) kvazitiesiniu atveju, yra tai, kad pirmuoju atveju 

pirmosias dvi lygtis (3.3) yra nepriklausomos nuo trečiosios lygties ir pradinės 

sąlygos. 

Vėliau pamatysime charakteristikų kreivių projekcijų (x, y) plokštumoje ypatingą 

vaidmenį. Todėl užrašysime (tiesiniu atveju) šios projekcijos lygtis atskirai: 

xt(t) = a(x, y), yt(t) = b(x, y). (3.7) 

Kvazitiesinei lygčiai, taip atskirti charakteristikų lygtčių negalima, nes koeficientai 

a ir b priklauso nuo u. Atkreipkite dėmesį, kad tiesiniu atveju lygtis 

u visada tiesinė, tai garantuoja, kad egzistuoja globalusis sprendinys (laikant, 

kad sprendiniai x(t) ir y(t) egzistuoja globaliai). 

Norėdami apibendrinti preliminarų charakteristikų metodo aprašymą, panagrinėkime 

1.2 pav. Pirmasis žingsnis – nustatyti pradinę kreivę Γ. Antrasis 

y 

22


žingsnis – pasirinkti tašką s ant Γ ir išspręsti charakteristikų lygtis (3.3) (arba 

(3.5)), naudojant tašką ant Γ, kurį išrinkome kaip pradinį. Atlikus šiuos 

veiksmus, visiems Γ taškams, gauname sprendnio paviršiaus (taip pat vadinamo 

integraliniu paviršiumi) dalį, kurią sudaro charakteristikų kreivių sąjunga. 

Galima sakyti, kad charakteristikų kreivės paima pradinę informaciją iš Γ ir perneša 

ją toliau. Be to, kiekviena charakteristikų kreivė tai dar nepriklausomai 

nuo kitų charakteristikų kreivių. 

Parodysime kaip veikia šis metodas paprasčiausiu atveju. 

1.2 pavyzdys. Išspręskime uždavinį 

ux + uy = 2, u(x, 0) = x 2 . 

Parametrizuokime pradinę sąlygą: Γ = (s, 0, s 2 ). Charakteristikų lygtys ir parametrinės 

pradinės sąlygos 

xt = 1, x(0, s) = s, 

yt = 1, y(0, s) = 0, 

ut = 2 u(0, s) = s 2 . 

Integruojant, galima lengvai gauti charakteristikų kreives: 

x(t, s) = t + f1(s), y(t, s) = t + f2(s), u(t, s) = 2t + f3(s). 

Įstatant pradines sąlygas, gauname 

f1(s) = s, f2(s) = 0, f3(s) = s 2 , t. y. 

x(t, s) = t + s, y(t, s) = t, u(t, s) = 2t + s 2 . 

Taigi turime integralinį paviršių parametrinėje formoje. Norint rasti išreikštinį paviršiaus 

užrašymą kaip funkciją u(x, y) reikia rasti funkcijas (t = t(x, y), s = s(x, y)). 

Šiuo atveju, 

t(x, y) = y, s(x, y) = x − y. 

Taigi integralinis paviršius 

u(x, y) = 2y + (x − y) 2 . 

Šis paprastas pavyzdys galėtų versti mus galvoti, kad kiekvienas pradinis uždavinys 

pirmos eilės DL dalinėmis išvestinėmis turi vienintelį sprendinį. Bet jau 

matėme, kad tai ne taip. Ar (2.1) lygtis su pradinėmes sąlygomis (3.4) yra korektiškas 

uždavinys? Kad būtų paprasčiau, aptarsime uždavinio korektiškumo 

du aspektus: egzistavimą ir vienatį. Taigi klausimas: ar egzistuoja vienintelis 

(2.1) lygties integralinis paviršius, kuriam priklauso pradinė kreivė. 

1. Atkreipsime dėmesį, kad, jei DL dalinėmis išvestinėmis yra tiesinė, charakteristikų 

lygtis yra netiesinė! Iš paprastųjų diferencialinių lygčių teorijos 

žinoma, kad galima nustatyti vienintelio sprendinio egzistavimą tik lokaliai 

(darant prielaidą, kad lygties koeficientai yra glodžiosios funkcijos). 

Kitaip tariant, netiesinių diferencialinių lygčių sprendiniai gali turėti singuliarumą 

netoli pradinio taško, net jei lygtis yra glodi. Iš čia seka, kad 

galima tikėtis daugiausiai tik lokalios egzistavimo teoremos pirmos eilės 

DL dalinėmis išvestinėmis, net ir tiesinės DL dalinėmis išvestinėmis atveju.

2. Integralinio paviršiaus parametrinis užrašymas gali slėpti daugiau sunkumų. 

Sunkumai susiję su atvirkštine transformacija iš (t, s) į (x, y). Prisiminkite, 

kad teorema apie neišreikštinę funkciją teigia, kad tokia transformacija 

yra apverčiama, jei jakobianas J = ∂(x, y)/∂(t, s) = 0. Tačiau 

pastebėsime, kad nors charakteristikų kreives priklausomybė nuo kintamojo 

t gaunama iš DL dalinėmis išvestinėmis, kintamuojo s priklausomybė 

seka iš pradinių sąlygų. Kadangi lygtis ir pradinės sąlygos nepriklauso vienas 

nuo kito, iš čia seka, kad bet kuriai duotajai lygčiai egzistuoja pradinė 

kreivė, ant kurios jakobianas lygus nuliui, ir teorema apie neišreikštinę 

funkciją negali būti taikoma. 

Aprašytas funkcinis uždavinys turi svarbią geometrinę interpretaciją. Išreikštinis 

jakobiano skaičiavimas pradinės kreivės Γ taškuose, naudojant 

charakteristikų lygtis, duoda 

 

 

∂x ∂y 

 

JΓ = 

 

 

∂t 

∂x 

∂s 

∂t 

∂y 

∂s 

 

Γ 

24 

= 

a|Γ b|Γ 

(x0)s (y0)s = (y0)sa|Γ − (x0)sb|Γ, (3.8) 

čia (x0)s = dx0/ds. Taigi jakobianas J = 0 tada ir tik tada, kai vektoriai 

(a|Γ, b|Γ) ir ((x0)s, (y0)s) yra tiesiškai priklausomi. Taigi, J = 0 geometrinė 

interpretacija: Γ projekcija į (x, y) plokštumą liečia charakteristikų 

kreivių projekcijas toje plokštumoje. Kaip taisyklė tam, kad pirmos eilės 

kvazitiesine DL dalinėmis išvestinėmis turėtu vienintelį sprendinį pradinės 

kreivės aplinkoje, turėtų būti J = 0. Ši sąlyga yra vadinama transversalumo 

sąlyga. 

3. Iki šiol nagrinėjame lokalius uždavinius. Taip pat galima susidurti ir su 

globaliais uždaviniais. Pavyzdžiui, charakteristikų kreivė gali kirsti pradinę 

kreivę daugiau nei vieną kartą. Kadangi charakteristikų lygtis korektiška 

su viena pradine sąlyga, tokiu atveju, sprendinys vėl gali turėti 

singuliariškumą. Prisiminkite, kad charakteristikų kreivė perneša pradines 

reikšmes iš susikirtimo su kreive Γ taško. Jei tokių susikirtimo taškų 

yra daugiau nei vienas, informacija iš jų gali būti nesuderinta tarpusavyje 

(konfliktas). 

Panašus globalusis uždavinys yra skirtingų charakteristikų kreivių projekcijų 

į (x, y) plokštumą susikirtimas tarpusavyje. Toks susikirtimas yra 

problemiškas dėl tos pačios priežasties kaip ir charakteristikų kreivės susikirtimas 

su pradine kreive. Kiekviena charakteristikų kreivė perneša 

informaciją nuo pradinės kreivės, ir vėl gali kilti konfliktas dėl susikirtimo. 

4. Kita potenciali problema yra susijusi su charakteristikų lygties sprendinio 

vienaties praradimu. Apie tai galima negalvoti, jei lygties koeficientai 

yra glodžiosios funkcijos (tiksliau, tenkina Lipšico sąlygą). Tačiau, kai 

uždavinys nėra glodus, turėtume į tai atkreipti dėmesį. 

Prieš formuluojant teoremą (2.10 teorema), kuri apima visus aptartus klausimus, 

panagrinėkime keletą pavyzdžių.


4. Charakteristikų metodo pavyzdžiai 

1.3 pavyzdys. 1. Išspręskite lygtį ux = 1 su pradinėmis sąlygomis u(0, y) = g(y). 

Charakteristikų lygtys ir pradinės sąlygos: 

xt = 1, x(0, s) = 0, 

yt = 0, y(0, s) = s, 

ut = 1, u(0, s) = g(s), 

atitinkamai. Parametrinis integralinis paviršius (x(t, s), y(t, s), u(t, s)) = (t, s, t+ 

g(s)). Akivaizdu, kad išreikštinis sprendinys yra u(x, y) = x + g(y). 

2. Lygtį nekeisime, bet pakeisime pradines sąlygas į u(x, 0) = h(x). Charakteristikų 

lygtis ir pradinės sąlygos 

xt = 1, x(0, s) = s, 

yt = 0, y(0, s) = 0, 

ut = 1, u(0, s) = h(s). 

Šiuo atveju parametrinės sprendinys 

x(t, s), y(t, s), u(t, s) = t + s, 0, t + h(s) . 

Tačiau dabar, transformacija (x(t, s), y(t, s)) negali būti apverčiama (negalime 

išspręsti t + s = x, 0 = y). Geometriškai tai paaiškinama paprastai: kaip 

pradinės kreivės projekcija, taip ir charakteristikų kreivės projekcija, yra x ašis. 

Atskiru atveju, kai h(x) = x+C, čia C yra konstanta, gauname u(t, s) = s+t+C. 

Tada nereika apversti (x(t, s), y(t, s)) transformacijos, nes u = x+C+f(y) su bet 

kokia diferencijuojama funkcija f(y), tokia, kad f(0) = 0 (nevienatis). Tačiau, 

su bet kuria kita funkcija h uždavinys neturi sprendinio. 

Atkreipkite dėmesį, kad pradiniai sąlygai u(x, 0) = h(x) jakobianas: 

JΓ = 

 

 

a|Γ b|Γ 

 

 

(x0)s (y0)s = 

 

 

 

 

1 0 

1 0 

 

 

 

= 0. (4.1) 

Kai J = 0 intervale (kaip buvo pavyzdyje), uždavinys arba neturi sprendinio, arba 

sprendinių yra be galo daug. 

Tiesinės diferencialinės lygties atveju charakteristikų kreivės projekcija (x, y) plokštumoje 

dažnai irgi vadinama charakteristika. Yra keletas būdų apskaičiuoti charakteristikas. 

• Vienas iš jų yra išspręsti pilną charakteristikų lygčių sistemą, po to rasti sprendinio 

projekciją (x, y) plokštumoje. Pažymėsime, kad charakteristikų kreivės 

projekcija užduodama sąlyga s = const. Įstatant šią sąlygą į lygtį s = s(x, y) 

randame išreikštinę charakteristikų lygtį. 

• Kitas spendimo metodas tinka tik tiesinėms DL dalinėmis išvestinėmis. Iš tiesiškumo 

seka, kad pirmosios dvi charakteristikų lygtys nepriklauso nuo u. Todėl 

jos gali būti surandomos tiesiogiai. 

Charakteristikų lygtys yra autonominės, jos (tiesinės lygties atveju) gali būti užrašytos 

kaip pirmosios eilės paprastosios diferencialinės lygtys 

dy b(x, y) 

= 

dx a(x, y) .

1.4 pavyzdys. Šis pavyzdys bus reikalingas sprendžiant tiesinę lygtį (3 skyrius) 

Jos charakteristikų kreivės lygtys 

dx 

dt 

26 

a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0. (4.2) 

= a(x, y), 

dy 

dt 

= b(x, y), 

reiškia, kad sprendinys u yra pastovus ant charakteristikų, kurias apibrėžia diferencialinė 

lygtis 

dy 

dx 

du 

dt 

= 0 

b(x, y) 

= . (4.3) 

a(x, y) 

Pavyzdžiui, kai a = 1, b = √ −x gauname, kad u yra konstanta ant kreivės 3 

y + 2 

(−x) 3/2 = const. 

1.5 pavyzdys. Išspręskite lygtį ux + uy + u = 1, jei pradinės sąlygos 

Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos 

u = sin x, kai y = x + x 2 , x > 0. 

xt = 1, x(0, s) = s, 

yt = 1, y(0, s) = s + s 2 , 

ut + u = 1, u(0, s) = sin s. 

Apskaičiuokime jakobianą ant pradinės kreivės: 

 

 

J|Γ = 

 

∂x 

∂t 

∂y 

∂t 

 

 

 

 

 

= 

 

a|Γ 

(x0)s 

b|Γ 

(y0)s 

 

 

 

= 

 

 

 

 

∂x 

∂s 

∂y 

∂s 

Γ 

1 1 

1 1 + 2s 

 

 

 

= 2s. (4.4) 

Todėl kiekviename taške, kuriame s = 0, egzistuoja vienintelis sprendinys. Srityje 

x > 0 sprendinys turi būti vienintelis. Parametrinis integralinis paviršius 

 

 

x(t, s), y(t, s), u(t, s) = (s + t, s + s 2 + t, 1 − (1 − sin s)e −t ). 

Norint rasti atvirkštinę transformaciją (x(t, s), y(t, s)), įstatome x išraišką į lygtį kintamajam 

y ir gauname s = (y − x) 1/2 . Kvadratinės šaknies ženklas buvo pasirinktas 

pagal sąlyga x > 0. Tada t = x − (y − x) 1 2 . Iš čia išreikštinis integralinis paviršius 

Sprendinys yra tik srityje 

u(x, y) = 1 − [1 − sin(y − x) 1/2 ]e −x+(y−x)1/2 

. 

D = {(x, y)|y > x}, 

ir yra nediferencijuojamas taške (0, 0). Geometrinis paaiškinimas yra 1.3 pav. Matome, 

kad charakteristikos, einančios per koordinačių pradžią, krypties koeficientas 

lygus 1, tai sutampa su pradinės kreivės projekcijos krypties koeficientu. Transversalumo 

sąlyga netenkinama. Jeigu spresime uždavinį visiems x, tuomet charakteristikos 

kirstų pradinės kreivės projekciją y = x + x 2 dvejuose taškuose, ir turėtume nevienareikšmiškumą: 

gautame kita paviršių dėl nevienareikšmiško kvadratinės šaknies ženklo 

s = −(y − x) 1/2 .


2.4 Examples of the characteristics method 33 

projection 

of Γ 

Figure 2.3 The characteristics and projection of Ɣ for Example 2.5. 

the initial curve there. Namely, the transversality condition does not hold there (a 

fact we already expected from our computation of the Jacobian above). Indeed the 

violation of the transversality condition led to nonuniqueness of the solution near 

the curve 

{(x, y) | x < 0 and y = x + x 2 }, 

which is manifested in the ambiguity of the sign of the square root. 

Example 2.6 Solve the equation −yux + xuy = u subject to the initial condition 

u(x, 0) = ψ(x). 

The characteristic equations and the associated initial conditions are given by 

xt =−y, yt = x, ut = u, (2.27) 

x(0, s) = s, y(0, s) = 0, u(0, s) = ψ(s). (2.28) 

Let us examine the transversality condition: 

 

 

J = 0 

s 

 

1 0 

=−s. (2.29) 

Thus we expect a unique solution (at least locally) near each point on the initial 

curve, except, perhaps, the point x = 0. 

The solution of the characteristic equations is given by 

(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) 

= ( f1(s) cos t + f2(s) sin t, f1(s) sin t − f2(s) cos t, e t 1.3 pav. Charakteristikos ir Γ projekcijos pavyzdyje 2.5 

1.6 pavyzdys. Išspręskite lygtį −yux + xuy = u, kai pradinės sąlygos u(x, 0) = ψ(x). 


xt = −y, x(0, s) = s, 

yt = x, y(0, s) = 0, 

ut = u, u(0, s) = ψ(s), 

Panagrinėkime transversalumo sąlygą: 

 

 

J = 0 s 

 

1 0 = −s. (4.5) 

Vienintelis sprendinys turėtų būti kiekvieno pradinės kreivės taško aplinkoje (bent 

lokaliai), išskyrus, galbūt, tašką x = 0. Charakteristikų lygčių sprendinys yra 

 

 

x(t, s), y(t, s), u(t, s) = f1(s) cos t + f2(s) sin t, f1(s) sin t + f2(s) cos t, e 

f3(s)). 

Substituting the initial condition into the solution above leads to the parametric 

integral surface 

t 

f3(s) . 

Įstatant pradines sąlygas į šį sprendinį, gauname parametrinį integralinį paviršių 

 

 

x(t, s), y(t, s), u(t, s) = s cos t, s sin t, e t 

ψ(s) . 

Išreikštinis sprendinio pavidalas 

u(x, y) = ψ( x2 + y2 

) exp arctan y 

x 

 

. 

Galima lengvai patikrinti, kad charakteristikos sudaro vienparametrinę apskritimų šeimą 

(žr. 1.4 pav.). Kiekviena iš jų du kartus kerta pradinės kreivės projekciją (x ašyje). 

Jakobianas J = 0 koordinačių pradžioje. Bet sprendinys yra vienintelis, nes pasirenkamas 

ψ argumento kvadratinės šaknies teigiamas ženklas, tai susiaurina pradinės 

kreivės projekciją iki spindulio {x > 0}, kuriame charakteristika ją kerta tik vieną 

kartą. 

y 

x 

char. 

(x(t, s), y(t, s), u(t, s)) = (s cos t, s sin t, e t ψ(s)). 

1.7 pavyzdys. Išspręskite lygtį ux + 3y 2/3 uy = 2 su pradine sąlyga u(x, 1) = 1 + x. 


xt = 1, x(0, s) = s, 

yt = 3y 2/3 , y(0, s) = 1, 

ut = 2, u(0, s) = 1 + s.

34 First-order equations 

char. 

y 

projection of Γ 

Figure 2.4 The characteristics and projection of Ɣ for Example 2.6. 

Isolating s and t we obtain the explicit representation 

u(x, y)=ψ( x 2 +y 2 

y 

 

)exp arctan . 

x 

It can be readily verified that the characteristics form a one-parameter family of 

circles around the origin (see Figure 2.4). Therefore, each one of them intersects 

the projection of the initial curve (the x axis) twice. We also saw that the Jacobian 

vanishes at the origin. So how is it that we seem to have obtained a unique solution? 

The mystery is easily resolved by observing that in choosing the positive sign for 

the square root in the argument of ψ, we effectively reduced the solution to the ray 

{x > 0}. Indeed, in this region a characteristic intersects the projection of the initial 

curve only once. 

Example 2.7 Solve the equation ux + 3y2/3u y = 2 subject to the initial condition 

u(x, 1) = 1 + x. 

The characteristic equations and the associated initial conditions are given by 

xt = 1, yt = 3y 2/3 , ut = 2, (2.30) 

x(0, s) = s, y(0, s) = 1, u(0, s) = 1 + s. (2.31) 

In this example we expect a unique solution in a neighborhood of the initial curve 

since the transversality condition holds: 

 

 

J = 1 

3 

 

1 0 

=−3= 0. (2.32) 

The parametric integral surface is given by 

x(t, s) = s + t, y(t, s) = (t + 1) 3 1.4 pav. Charakteristikos ir Γ projekcijos 6 pavyzdyje 

2.4 Examples of the characteristics method 35 

y 

char. 

projection of Γ 

1 

x 

char. 

char. 

Figure 2.5 Self-intersection of characteristics. 

for y. We obtain y = (x + 1 − s) 

, u(t, s) = 2t + 1 + s. 

Before proceeding to compute an explicit solution, let us find the characteristics. For 

this purpose recall that each characteristic curve passes through a specific s value. 

Therefore, we isolate t from the equation for x, and substitute it into the expression 

3 , and, thus, for each fixed s this is an equation 

for a characteristic. A number of characteristics and their intersection with the 

projection of the initial curve y = 1 are sketched in Figure 2.5. While the picture 

indicates no problems, we were not careful enough in solving the characteristic 

equations, since the function y2/3 is not Lipschitz continuous at the origin. Thus the 

characteristic equations might not have a unique solution there! In fact, it can be 

easily verified that y = 0 is also a solution of yt = 3y2/3 . But, as can be seen from 

Figure 2.5, the well behaved characteristics near the projection of the initial curve 

y = 1 intersect at some point the extra characteristic y = 0. Thus we can anticipate 

irregular behavior near y = 0. Inverting the mapping (x(t, s), y(t, s)) we obtain 

t = y 1/3 − 1, s = x + 1 − y 1/3 . 

Hence the explicit solution to the PDE is u(x, y) = x + y1/3 1.5 pav. Charakteristikų savikirtimai 

Šiame pavyzdyje bus vienintelis sprendinys pradinės kreivės aplinkoje, nes tenkinama 

transversalumo sąlyga: 

 

 

J = 1 3 

 

1 0 = −3 = 0. (4.6) 

Parametrinis integralinis paviršius 

x(t, s) = s + t, y(t, s) = (t + 1) 

, which is indeed 

singular on the x axis. 

3 , u(t, s) = 2t + 1 + s. 

Lengva gauti, kad y = (x + 1 − s) 3 . Kiekvienam fiksuotam s tai yra charakteristikos 

lygtis. Keletas charakteristikų ir jų susikirtimai su pradinės kreivės y = 1 projekcija 

pavaizduoti 1.5 pav. Tačiau mes nepakankamai atsargiai išsprendėme charakteristikų 

lygtis. Funkcija y 2/3 netenkina Lipšico sąlygos x ašyje. Taigi charakteristikų lygtis čia 

gali turėti ne vienintelį sprendinį! Lengva patikrinti, kad y = 0 taip pat yra lygties yt = 

3y 2/3 sprendinys. Tačiau, kaip matosi iš 1.5 pav., charakteristikos pradinės kreivės 

y = 1 projekcijos aplinkoje kerta papildomą charakteristiką y = 0. Transformacijos 

(x(t, s), y(t, s)) atvirkštinė 

Example 2.8 Solve the equation (y + u)ux + yuy t = y = x − y subject to the initial 

conditions u(x, 1) = 1 + x. 

This is an example of a quasilinear equation. The characteristic equations and the 

initial data are: 

1/3 − 1, s = x + 1 − y 1/3 . 

Taigi DL dalinėmis išvestinėmis išreikštinis sprendinys yra u(x, y) = x + y 1/3 , kuris 

yra singuliarus x ašyje. 

1.8 pavyzdys. Išspręskite lygtį (i) (y+u)ux xt = y + +yuy u, = (ii) x−y yt = suy, pradine (iii) sąlyga ut = xu(x, − y, 1) = 1+x. 

x(0, s) = s, y(0, s) = 1, u(0, s) = 1 + s. 

Let us examine the transversality condition. Notice that while u is yet to be found, 

the transversality condition only involves the values of uonthe initial curve Ɣ. It 

is easy to verify that on Ɣ we have a = 2 + s, b = 1. It follows that the tangent 

to the characteristic has a nonzero component in the direction of the y axis. Thus 

it is nowhere tangent to the projection of the initial curve (the x axis, in this case). 

x 

28


Tai yra kvazitiesinės lygties pavyzdys. Charakteristikų lygtis ir pradinės sąlygos: 

(i) xt = 1, x(0, s) = s, 

(ii) yt = y, y(0, s) = 1, 

(iii) ut = x − y, u(0, s) = 1 + s. 

Transversalumo sąlygą yra apibrėžta tik ant pradinės kreivės Γ. Lengva patikrinti, kad 

Γ taškuose a = 2+s, b = 1. Iš to seka, kad charakteristikų kreivės krypties koeficientas 

turi nenulinę komponentę y ašies kryptimi, t.y. jos neliečia pradinės kreivės projekcijos. 

Tą patį galima apskaičiuoti tiesiogiai: 

 

 

J = 

 

2 + s 1 

1 0 

 

 

 

= −1 = 0. (4.7) 

Darome išvadą, kad intergalinis paviršius egzistuoja bent jau Γ aplinkoje. Iš charakteristikų 

lygties (ii) ir atitinkamos pradinės sąlygos randame y(t, s) = e t . Sudėjus 

charakteristikų lygtis (i) ir (iii), gauname (x + u)t = x + u. Todėl randame 

u+x = (1+2s)e t . Spręsdami (i), gauname x(t, s) = (1+s)e t −e −t ir u(t, s) = se t +e −t . 

Pastebėsime, kad x−y = se t −e −t . Tada gauname u = 2/y +(x−y). Sprendinys nėra 

globalus (jis išsigimsta x ašyje), bet jis yra korektiškas pradinės kreivės aplinkoje. 

5. Egzistavimo ir vienaties teorema 

Apibendrinsime tiesinių ir kvazitiesinių lygčių atveju gautus rezultatus į bendrą 

teoremą. 

1.1 apibrėžimas. Nagrinėkime kvazitiesinę lygtį (2.1) su pradine sąlyga (3.6), 

kuri apibrėžiama kaip integralinio paviršiaus pradinė kreivė. Sakoma, kad lygtis 

ir pradinė kreivė Γ taške s tenkina transversalumo sąlygą, jei charakteristika, 

išeinanti iš Γ(s) projekcijos, kerta Γ projekciją transversaliai: 

 

 

J|t=0 = 

xt(0, 

 

s) yt(0, s) 

 

xs(0, s) ys(0, s) = 

 

 

 

a|Γ 

 

b|Γ 

 

(x0)s (y0)s = 0. 

1.1 teorema. [Egzistavimo ir vienaties teorema] Tarkime, kad kvazitiesinės (2.1) 

lygties koeficientai yra glodžiosios funkcijos pradinės kreivės (3.6) aplinkoje. 

Tarkime, kad transversalumo sąlyga išpildyta kiekviename pradinės kreivės intervalo 

(s0 −2δ, s0 +2δ) taške s. Tada Koši uždavinys (2.1), (3.6) turi vienintelį 

sprendinį pradinės kreivės aplinkoje (t, s) ∈ (−ε, ε)×(s0−δ, s0+δ). Jei transversalumo 

sąlyga neišpildyta s reikšmių intervale, tada Koši uždavinys (2.1), (3.6) 

arba neturi sprendinio, arba turi be galo daug sprendinių. 

Įrodymas. Egzistavimo ir vienaties teorema paprastiems diferencialinėms lygtims 

(3.5) su pradine sąlyga (3.6), garantuoja vienintelės charakteristikų kreivės 

kiekviename pradinės kreivės taške egzistavimą. Charakteristikų kreivių šeima 

duoda parametrinį paviršiaus pavidalą. Transversalumo sąlyga reiškia, kad parametrinis 

pavidalas duoda glodų paviršių. Patikrinsime, kad taip sukonstruotas 

paviršius iš tikrųjų apibrėžia (2.1) PDL sprendinį. Užrašome 

ũ = ũ(x, y) = u t(x, y), s(x, y) ,

ir apskaičiuojame 

aũx + bũy = a(uttx + ussx) + b(utty + ussy) = ut(atx + bty) + us(asx + bsy). 

Bet charakteristikų lygtis ir sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklė duoda 

1 = tt = atx + bty, 0 = st = asx + bsy. 

Todėl aũx + bũy = ut = c, t.y. ũ yra (2.1) lygties sprendinys. 

Tam, kad parodytume, kad kitų integralinių paviršių nėra, įrodysime, kad 

sukonstruotos charakteristikų kreivės turi priklausyti intergaliniam paviršiui. 

Kadangi charakteristikų kreivė prasideda ant integralinio paviršiaus, reikia tik 

parodyti, kad ji ten ir lieka. Tai intuityviai aišku, nes charakteristikų kreivė, 

pagal apibrėžimą, kiekviename paviršiaus taške statmena paviršiaus normalei. 

Taip pat akivaizdu, kad kreivė palieka paviršių tik tuo atveju, jei jos liestinės 

projekcija į paviršiaus normalę nelygi nuliui. Šis paprastas geometrinis paaiškinimas 

gali būti paremtas tiksliu skaičiavimu: užrašysime duotą integralinį 

paviršių tokiu pavidalu u = f(x, y). Tegul (x(t), y(t), u(t)) yra charakteristikų 

kreivė. Tarkime, kad u(0) = f(x(0), y(0)). Apibrėžkime funkciją 

Diferencijuojant pagal t, gauname 

Įstatome (3.5) į šią lygtį 

Ψ(t) = u(t) − f(x(t), y(t)). 

Ψt = ut − fx(x, y)xt − fy(x, y)yt. 

Ψt = c(x, y, Ψ + f) − fx(x, y)a(x, y, Ψ + f) − fy(x, y)b(x, y, Ψ + f). (5.1) 

Tačiau iš pradinės sąlyos seka, kad Ψ(0) = 0. Nesunku patikrinti (naudojant 

(2.1)), kad Ψ(t) ≡ 0 yra (5.1) PDL sprendinys. Kadangi, lygties koeficientai yra 

glodieji, ji turi vienintelį sprendinį. Taigi Ψ ≡ 0 yra vienintelis sprendinys, ir 

kreivė (x(t), y(t), u(t)) iš tikrųjų yra ant integralinio paviršiaus. Todėl anksčiau 

parametriniu pavidalu gautas integralinis paviršius yra vienintelis. 

Kai transversalumo sąlyga netenkinama palei s reikšmių intervalą, charakteristika 

sutampa su Γ projekcija. 

• Jei charakteristikų lygties sprendinys yra kreivė, kuri nesutampa su pradine 

kreive, tai pradinės kreivės liestinė tam tikrame taške negali būti jokio 

integralinio paviršiaus liestinei šiame taške. Kitaip tariant, pradinė sąlyga 

prieštarauja lygčiai, ir todėl Koši uždavinio sprendinys neegzistuoja. 

• Jei charakteristikų kreivė sutampa su pradine kreive tame taške, tai yra be 

galo daug būdų, kaip pratęsti ją į integralinį paviršių, kuriam ji priklauso. 

Todėl šiuo atveju yra be galo daug Koši uždavinio sprendinių. 

Aprašysime metodą, leidžianti surasti sprendinių šeimą. Pasirinkame kreivės 

Γ tašką P0 = (x0, y0, u0). Konstruojame naują pradinę kreivę Γ ′ 

, einančią per 

30


P0, kuri nėra Γ liestinė taške P0. Išspręskime naują Koši uždavinį, kurį sudaro 

(2.1) ir nauja pradinė kreivė Γ ′ 

. Pirmoji teoremos dalis garantuoja sprendinio 

vienatį, nes išpildyta transversalumo sąlyga. Yra be galo daug būdų pasirinkti 

tokią pradinę kreivę Γ ′ 

, todėl gauname be galo daug sprendinių. ⊓⊔ 

Panagrinėkime pavyzdžius, kas atsitinka, kai transversalumo sąlyga neišpildyta 

kai kuriuose intervaluose. 

1.9 pavyzdys. Nagrinėkime Koši uždavinį ux + uy = 1, u(x, x) = x. Parodysime, kad 

jis turi be galo daug sprendinių. 

Transversalumo sąlyga niekur nėra tenkinama. Tačiau charakteristikų kryptis yra 

(1, 1, 1), ir tai yra pradinės kreivės kryptis. Taigi, pradinė kreivė pati yra charakteristikų 

kreivė. Vadinasi egzistuoja be galo daug sprendinių. Norint rasti šiuos sprendinius, 

užrašysime uždavinį 

ux + uy = 1, u(x, 0) = f(x), 

bet kuriai f, tenkinančiai f(0) = 0. Nesunkiai randamas sprendinys u(x, y) = y + 

f(x − y). 

Atkreipkite dėmesį, kad Koši uždavinys 

ux + uy = 1, u(x, x) = 1, 

nėra išspręndžiamas, nes transversalumo sąlyga netenkinama, o pradinė kreivė nėra 

charakteristikų kreivę. Todėl sprendinio nėra. 

1.1 pastaba. 1 teorema neišnagrinėja visų atvejų. Kai transversalumo sąlyga 

neišpildyta izoliuotuose taškuose (kaip buvo kai kuriuose nagrinėtuose pavyzdžiuose). 

Sunku suformuluoti universalų teiginį. Vietoj to, kiekvienas atskiras 

atvejis turi būti tiriamas atskirai.

2 skyrius 

Antros eilės tiesinės lygtys 

su dviem nepriklausomais kintamaisiais 

1. Įvadas 

Šiame skyriuje suklasifikuosime antros eilės tiesines lygtis su dviem nepriklausomais 

kintamaisias į tris tipus: hiperbolinės (pvz., banginė lygtis), parabolinės 

(pvz., šilumos laidumo lygtis) ir elipsinės lygtys (pvz., Laplaso lygtis). Pasirodo, 

kad to pačio tipo lygčių sprendiniai turi daug bendrų kokybinių savybių. 

Parodysime, kad atliekant kintamųjų pakeitimą, lygtis gali būti pertvarkyta į 

kanoninį pavidalą, susijusį su jos tipu. 

2. Klasifikacija 

Nagrinėjama lygtis turi formą 

L[u] = auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = g, (2.1) 

čia a, b, . . . , f, g duotos funkcijos nuo x, y, ir u(x, y) yra nežinoma funkcija. Patogumo 

dėlei užrašome daugiklį 2 prieš koeficientą b. Tarkime, kad koeficientai 

a, b, c vienu metu negali būti lygūs nuliui. Operatorius 

L0[u] = auxx + 2buxy + cuyy 

yra vadinamas operatoriaus L pagrindine dalimi. Daugelis lygties (2.1) sprendinių 

pagrindinių savybių nustatomos pagal pagrindinę dalį, tiksliau, pagal diskriminanto 

δ(L) := b 2 − ac ženklą, pagal kurį ir klasifikuosime lygtis. 

2.1 apibrėžimas. Sakoma, kad lygtis (2.1) yra hiperbolinė taške (x, y), jei 

δ(L)(x, y) = b(x, y) 2 − a(x, y)c(x, y) > 0, 

parabolinė taške (x, y), jei δ(L)(x, y) = 0, ir elipsinė taške (x, y), jei δ(L)(x, y) < 

0. 

Tegul Ω ⊂ R 2 yra sritis. Lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, 

elipsinė) srityje, jei ji yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elipsinė) visuose 

taškuose (x, y) ∈ Ω.

2.2 apibrėžimas. Transformacija (ξ, η) = ξ(x, y), η(x, y) yra vadinama koordinačių 

keitimu (arba neišsigimusia transformacija), jei jos jakobianas J := 

ξxηy − ξyηx nelygus nuliui bet kuriame taške (x, y). 

2.1 lema. Tiesinės antros eilės DL dalinėmis išvestinėmis dviejų kintamųjų lygties 

tipas yra invariantas keičiant koordinates. Kitaip tariant, lygties tipas nepriklauso 

nuo koordinačių sistemos. 

Įrodymas. Tegul 

L[u] = auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = g, (2.2) 

ir tegul (ξ, η) = ξ(x, y), η(x, y) neišsigimusi transformacija. Pažymėkime 

w(ξ, η) = u(x(ξ, η), y(ξ, η)). w yra to paties tipo antros eilės lygtis sprendinys. 

Naudojant sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname 

ux = wξξx + wηηx 

uy = wξξy + wηηy 

uxx = wξξξ 2 x + 2wξηξxηx + wηηη 2 x + wξξxx + wηηxx 

uxy = wξξξxξy + wξη(ξxηy + ξyηx) + wηηηxηy + wξξxy + wηηxy 

uyy = wξξξ 2 y + 2wξηξyηy + wηηη 2 y + wξξyy + wηηyy. 

Įstatome šias formules į (2.2), matome, kad, w tenkina tiesinę lygtį: 

l[w] := Awξξ + 2Bwξη + Cwηη + Dwξ + Ewη + F w = G, 

čia tiesinio operatoriaus l pagrindinės dalies koeficientai: 

A(ξ, η) = aξ 2 x + 2bξxξy + cξ 2 y, 

B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy, 

C(ξ, η) = aη 2 x + 2bηxηy + cη 2 y. 

Koeficientų (D, E, F ) prie žemesnės eilės išvestinių apskaičiuoti nereikia, nes 

lygties tipas nustatomas tik pagal pagrindinės dalies (t.y. antros eilės) koefici- 

entus. Koeficientai tenkina lygtį 

 

A 

B 

B 

C 

 

= 

ξx ξy 

ηx ηy 

a b 

b c 

ξx ηx 

ξy ηy 

Pažymėsime šio keitimo jakobianą raide J. Apskaičiuosime determinantus lygties 

abiejuose pusėse 

−δ(l) = AC − B 2 = J 2 (ac − b 2 ) = −J 2 δ(L). 

Tai reiškia, kad lygties tipas nesikeičia atliekant neišsigimusias transformacijas. 

⊓⊔ 

Pagrindinės matematinės fizikos lygtys – šilumos laidumo, banginė ir Laplaso 

lygtys yra antros eilės tiesinės lygtis. Nesunku patikrinti, kad banginė lygtis yra 

hiperbolinė, šilumos laidumo lygtis yra parabolinė, o Laplaso lygtis – elipsinė. 

Bendru atveju, jei (2.1) lygtis yra hiperbolinė (atitinkamai, parabolinė, elipsinė) 

srityje D, tada galima rasti tokią koordinačių sistemą, kurioje lygtis turi 

paprastesnį, taip vadinamą kanoninį pavidalą. 

 

34

35 Antros eilės tiesinės lygtys [2013 01 22 (17:15)] 

2.3 apibrėžimas. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas 

l[w] = wξη + l1[w] = G(ξ, η), 

čia l1 yra pirmos eilės tiesinis diferencialinis operatoriaus, G yra funkcija. 

Parabolinės lygties kanoninis pavidalas 

Elipsinės lygties kanoninis pavidalas 

l[w] = wξξ + l1[w] = G(ξ, η), 

l[w] = wξξ + wηη + l1[w] = G(ξ, η), 

Pastebėsime, kad hiperbolinės lygties kanoninio pavidalo pagrindinė dalis nesutampa 

su banginiu operatoriumi. Vėliau bus parodyta, kad tiesinis koordinačių 

keitimas perveda banginę lygtį į wξη = 0. 

3. Hiperbolinės lygties kanoninis pavidalas 

2.1 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra hiperbolinė srityje D. Egzistuoja 

koordinačių sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą 

l[w] = wξη + l1[w] = G(ξ, η), 

čia w(ξ, η) = u x(ξ, η), y(ξ, η) yra pirmos eilės tiesinės diferencialinis operatorius, 

ir G yra funkcija, priklausanti nuo (2.1). 

Įrodymas. Neprarandant bendrumo, galima daryti prielaidą, kad ∀(x, y) ∈ D a(x, y) = 

0. Reikia rasti tokias funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), kad 

A(ξ, η) = aξ 2 x + 2bξxξy + cξ 2 y = 0, 

C(ξ, η) = aη 2 x + 2bηxηy + cη 2 y = 0. 

Lygtis ξ = ξ(x, y) ir η = η(x, y) yra to paties tipo, todėl pakanka išspręsti vieną 

lygtį. Ši pirmos eilės lygtis nėra kvazitiesinė, bet kadangi ji yra ξ kvadratinė 

forma, ją galima užrašyti kaip dviejų tiesinių daugiklių sandaugą 

1 

a 

 

aξx + (b − b 2 − ac)ξy 

Taigi, reikia išspręsti dvi tiesines lygtis: 

 

aξx + (b + b 2 − ac)ξy 

 

= 0. 

aξx + (b + √ b 2 − ac)ξy = 0, (3.1) 

aξx + (b − √ b 2 − ac)ξy = 0, (3.2) 

Siekiant gauti neišsigimusią transformaciją ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) pasirinksime 

(3.1) sprendinį kaip ξ, o (3.2) sprendinį kaip η. 

Šios lygtys yra 2.4 pavyzdžio atskiras atvejis. (3.1) charakteristikų lygtys 

dx 

dt 

= a, 

dy 

dt = b + b 2 − ac, 

dξ 

dt 

= 0.

ξ yra konstanta kiekvienoje charakteristikoje. Charakteristikos yra lygties 

dy 

dx = b + √ b2 − ac 

a 

sprendiniai. 

Funkcija η yra konstanta charakteristikoje 

⊓⊔ 

36 

(3.3) 

dy 

dx = b − √ b2 − ac 

. (3.4) 

a 

2.4 apibrėžimas. Lygčių (3.3) ir (3.4) sprendiniai yra vadinami lygties L[u] = 

g dvejomis charakteristikų šeimomis(arba charakteristikų projekcijomis). 

2.1 pavyzdys. Nagrinėkime Trikomi lygtį: 

uxx + xuyy = 0, x < 0. (3.5) 

Ieškosime atvaizdžio q = q(x, y), r = r(x, y), kuris perveda lygtį į kanoninį pavidalą. 

Charakteristikų lygtys 

dy± 

dx = ±√ −x. 

Jų sprendiniai yra 3 

2 y± ± (−x)3/2 = const. Taigi, nauji nepriklausomi kintamieji yra 

Akivaizdu, kad 

q(x, y) = 3 

2 y + (−x)3/2 , r(x, y) = 3 

2 y − (−x)3/2 . 

qx = −rx = − 3 

2 (−x)1/2 . 

Apibrėžkime v(q, r) = u(x, y). Pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę 

ux = − 3 

2 (−x)1/2vq + 3 

2 (−x)1/2vr, uy = 3 

(vq + vr), 

2 

uxx = − 9 

9 

9 

3 

xvqq − xvrr + 2 xvqr + 4 4 4 4 (−x)1/2 (vq − vr), 

uyy = − 9 

(vqq + 2vqr + vrr). 

4 

Įstatydami šias išraiškas į Trikomi lygtį, gauname 

uxx + xuyy = −9(q − r) 2/3 vq − 

 

vr 

vqr + = 0. 

6(q − r) 

2.2 pavyzdys. Nagrinėkime lygtį 

uxx − 2 sin(x)uxy − cos 2 (x)uyy − cos(x)uy = 0. (3.6) 

Rasime koordinačių sistemą, s = s(x, y), t = t(x, y), kurioje lygtis turi kanoninį 

pavidalą. Parodysime, kad šioje koordinačių sistemoje lygtis yra vst = 0 ir rasime 

bendrąjį sprendinį. 

Charakteristikų lygtys 

dy± 

dx 

 

= − sin x ± sin2 x + cos2 x = − sin x ± 1.


ir jų sprendiniai yra y± = cos x ± x + const. Reikiama transformacija yra 

s(x, y) = cos x + x − y, t(x, y) = cos x − x − y. 

Nagrinėkime funkciją v(s, t) = u(x, y), įstatome ją į (3.6), gauname 

vss(− sin x + 1) 2 + 2vst(− sin x + 1)(− sin x − 1) + vtt(− sin x − 1) 2 

+vs(− cos x) + vt(− cos x) − 2 sin x vss(sin x − 1) + vst(sin x − 1) 

+vst(sin x + 1) + vtt(sin x + 1) − cos 2 x[vss + 2vst + vtt] − cos x(vs − vt) = 0. 

Taigi, −4vst = 0, ir kanoninis pavidalas vst = 0. 

Lengva patikrinti, kad bendrasis sprendinys v(s, t) = F (s)+G(t) ∀F, G ∈ C 2 (R). 

Taigi lygties (3.6) bendrasis sprendinys 

u(x, y) = F (cos x + x − y) + G(cos x − x − y). 

4. Parabolinės lygties kanoninis pavidalas 

2.2 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra parabolinė srityje D. Egzistuoja 

koordinačių sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą 

l[w] = wξξ + l1[w] = G(ξ, η), 

čia w(ξ, η) = u x(ξ, η), y(ξ, η) yra pirmos eilės tiesinis diferencialinis operatorius, 


Įrodymas. Kadangi b 2 −ac = 0, galime daryti prielaidą, kad ∀(x, y) ∈ D a(x, y) = 

0. Reikia rasti tokias funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), kad B(ξ, η) = C(ξ, η) = 

0 visuose (x, y) ∈ D. Pakanka parodyti, kad C = 0, nes iš lygties paraboliškumo 

tada seka, kad B = 0. Taigi, reikia rasti tokią funkciją η, kad lygtis 

C(ξ, η) = aη 2 x + 2bηxηy + cη 2 y = 1 

a (aηx + bηy) 2 = 0 

turi sprendinį. Iš čia išplaukia, kad η yra pirmos eilės tiesinės lygties 

aηx + bηy = 0 (4.1) 

sprendinys. Vadinasi, sprendinys η yra pastovus kiekvienoje charakteristikoje, 

t.y. kreivėje, kuri yra lygties 

dy b 

= (4.2) 

dx a 

sprendinys. Liko sukonstruoti antrąjį nepriklausomą kintamąjį ξ, vienintelis 

apribojimas yra tai, kad transformacijos jakobianas J = 0 srityje D, galima 

paimti bet kokią tokią funkciją ξ. Pastebėkime, kad parabolinė lygtis turi tik 

vieną charakteristikų šeimą, o hiperbolinė lygtis turi dvi šeimas. 

⊓⊔

2.3 pavyzdys. Įrodysime, kad lygtis 

x 2 uxx − 2xyuxy + y 2 uyy + xux + yuy = 0 (4.3) 

yra parabolinė ir rasime jos kanoninį pavidalą; rasime bendrąjį sprendinį pusplokštumoje 

x > 0. 

Nustatome a = x 2 , 2b = −2xy, c = y 2 , todėl b 2 − ac = x 2 y 2 − x 2 y 2 = 0 ir lygtis 

yra parabolinė. Charakteristikos lygtis yra 

dy y 

= − 

dx x . 

ir jos sprendinys yra xy = const. Todėl apibrėžiame η(x, y) = xy. Antrasis kintamasis 

gali būti ξ(x, y) = x. Sakykime, v(ξ, η) = u(x, y). Įstatydami naujas koordinates ξ ir 

η į (4.3), gauname 

Taigi, kanoninis pavidalas 

x 2 (y 2 vηη + 2yvξη + vξξ) − 2xy(vη + xyvηη + xvξη) 

+x 2 y 2 vηη + xyvη + xvξ + xyvη = 0. 

ξ 2 vξξ + ξvξ = 0, 

arba vξξ + (1/ξ)vξ = 0. 

Imdami w = vξ, gauname pirmosios eilės diferencialinę lygtį wξ + (1/ξ)w = 0. Jos 

sprendinys yra ln w = − ln ξ + ˜ f(η), arba w = f(η)/ξ. Taigi, v tenkina 

 

f(η) 

v = vξdξ = wdξ = dξ = f(η) ln ξ + g(η). 

ξ 

Tada (4.3) lygties bendrasis sprendinys u(x, y) = f(xy) ln x + g(xy), čia f, g ∈ C 2 (R) 

yra bet kokios realiosios funkcijos. 

5. Elipsinės lygties kanoninis pavidalas 

Kanoninės koordinačių sistemos skaičiavimas yra šiek tiek subtilesnis elipsinės 

lygties atveju nei hiperbolinės arba parabolinės lygties atveju. Vis dėlto su 

papildoma prielaida, kad pagrindinės lygties dalies koeficientai yra realiosios 

analizinės funkcijos, lygties suvedimo į kanoninį pavidalą procedūra yra gana 

panaši į hiperbolinį atvejį. 

2.5 apibrėžimas. Tegul D yra sritis plokštumoje. Sakoma, kad funkcija f : 

D → R yra realioji analizinė funkcija srityje D, jeigu kiekviename taške (x0, y0) ∈ 

D, egzistuoja konverguojanti laipsnių eilutė šio taško (x0, y0) aplinkoje N 

f(x, y) = 

∞ 

k=0 j=0 

k 

aj,k−j(x − x0) j (y − y0) k−j . 

2.3 teorema. Tarkime, kad (2.1) lygtis yra elipsinė srityje D. Tarkime, kad 

koeficientai a, b, c yra realiosios analizinės funkcijos srityje D. Egzistuoja koordinačių 

sistema (ξ, η), kurioje lygtis turi kanoninį pavidalą 

wξξ + wηη + l1[w] = G(ξ, η), 

čia w(ξ, η) = u x(ξ, η), y(ξ, η) yra pirmos eilės tiesinės diferencialinis operatorius, 


38


Įrodymas. Neprarandant bendrumo galima daryti prielaidą, kad a(x, y) = 0 

visuose (x, y) ∈ D. Raskime funkcijas ξ = ξ(x, y), η = η(x, y), tenkinančias 

A(ξ, η) = C(ξ, η), B(ξ, η) = 0: 

A(ξ, η) = aξ 2 x + 2bξxξy + cξ 2 y = C(ξ, η) = aη 2 x + 2bηxηy + cη 2 y, (5.1) 

B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy = 0. (5.2) 

Tai yra dviejų netiesinių pirmos eilės lygčių sistema. Pagrindinis sunkumas 

elipsinės lygties atveju yra tai, kad (5.1) - (5.2) neatskirtos. Siekiant atskirti šias 

lygtis, naudosime kompleksinę plokštumą ir analitiškumo prielaidą. Užrašykime 

(5.1) - (5.2) sistemą kaip 

a(ξ 2 x − η 2 x) + 2b(ξxξy − ηxηy) + c(ξ 2 y − η 2 y) = 0, (5.3) 

aξxiηx + b(ξxiηy + ξyiηx) + cξyηyi = 0. (5.4) 

Apibrėžkime kompleksinę funkciją φ = ξ + iη. Sistema (5.3) - (5.4) yra ekvivalenti 

lygčiai (kompleksinių reikšmių) 

aφ 2 x + 2bφxφy + cφ 2 y = 0. 

Gavome tokią pat lygtį kaip hiperboliniu atveju. Tačiau elipsinės lygties atveju 

šį lygtis neturi jokio realaus sprendinio, arba, kitaip tariant, elipsinė lygtis neturi 

charakteristikos. Kaip ir hiperboliniu atveju, užrašysime kaip dviejų tiesinių 

lygčių sandaugą, bet dabar x, y yra kompleksiniai kintamieji. Iš karto kyla 

sprendinio egzistavimo ir vienaties netrivialus klausimas. Yra žinoma, kad jei 

šių pirmos eilės tiesinių lygčių koeficientai yra realios analizinės funkcijos, tai 

jas galima išspręsti naudojant tą pačią procedūrą kaip ir realiuoju atveju. Be 

to, dviejų lygčių sprendiniai yra kompleksiškai jungtiniai. Taigi, reikia išspręsti 

lygtį 

aφx + (b ± i ac − b 2 )φy = 0. (5.5) 

Kaip ir anksčiau, sprendiniai φ, ψ yra konstantos ant charakteristikų, kurios yra 

apibrėžtos kompleksinėje plokštumoje: 

dy 

dx = b ± i√ac − b2 . (5.6) 

a 

Hiperboliniu atveju, naujoje koordinačių sistemoje lygties forma 

4vφψ + · · · = 0. 

Tai dar ne elipsinės lygties kanoninis pavidalas su realiaisiais koeficientais. Grįžtame 

prie realiųjų kintamųjų ξ ir η, naudodami tiesinę transformaciją 

ξ = Reφ, η = Imφ. 

Kadangi ξ ir η yra sistemos (5.1) - (5.2) sprendiniai, darytina išvada, kad 

pereinant prie kintamųjų ξ ir η lygtis turės kanoninį pavidalą. 

⊓⊔

2.4 pavyzdys. Nagrinėkime Trikomi lygtį: 

40 

uxx + xuyy = 0, x > 0. (5.7) 

Raskime kanoninę transformaciją q = q(x, y), r = r(x, y) ir atitinkamą kanoninį pavidalą. 

Charakteristikų diferencialinės lygtys yra dy/dx = ± √ −x, jų sprendiniai yra 3 

y ± 2 

i(x) 3/2 = const. Taigi, kanoniniai kintamieji yra q(x, y) = 3 

2 y ir r(x, y) = −(x)3/2 . 

Akivaizdu, kad 

Tegul v(q, r) = u(x, y). Tada 

qx = 0, qy = 3 

3 

, rx = − 

2 2 (x)1/2 , ry = 0. 

ux = − 3 

2 (x)1/2vr, uy = 3 

2 vq 

uxx = 9 

3 

xvrr − 4 4 (x)−1/2vr, uyy = 9 

4 vqq. 

Įstatome šias išraiškas į Trikomi lygtį ir gauname kanoninį pavidalą 

1 

9 

 

uxx + uyy = vqq + vrr + 

x 4 

1 

3r vr 

 

= 0.

3 skyrius 

Vienmatė banginė lygtis 

1. Įvadas 

Šiame skyriuje ištirsime vienmatę banginę lygtį realiųjų skaičių ašyje. Panaudosime 

lygties kanoninę formą, kad parodytume, jog Koši uždavinys yra korektiškas. 

Be to, išvesime paprastas sprendinių formules. Taip pat aptarsime kai 

kurias svarbias banginės lygties sprendinių savybes, kurios taip pat yra būdingos 

ir kitiems hiperboliniams uždaviniams. 

2. Kanoninis pavidalas ir bendrasis sprendinys 

Homogeninė banginė lygtis vienmačiu atveju yra 

utt − c 2 uxx = 0 − ∞ ≤ a < x 0, (2.1) 

čia c ∈ R yra bangos greitis. Norėdami gauti banginės lygties kanoninę formą, 

apibrėžkime naujus kintamuosius 

ξ = x + ct, η = x − ct, 

ir pažymėkime w(ξ, η) = u(x(ξ, η), t(ξ, η)). Naudodami sudėtinės funkcijos diferencijavimo 

taisyklę funkcijai u(x, t) = w(ξ(x, t), η(x, t)), gauname 

ir 

Taigi, 

ut = wξξt + wηηt = c(wξ − wη), ux = wξξx + wηηx = wξ + wη, 

utt = c 2 (wξξ − 2wξη + wηη), uxx = wξξ + 2wξη + wηη. 

utt − c 2 uxx = −4c 2 wξη = 0. 

Tai banginės lygties kanoninė forma. (wξ)η = 0, todėl wξ = f(ξ), ir w = 

f(ξ)dξ + G(η). Vadinasi lygties wξη = 0 bendrasis sprendinys turi formą 

w(ξ, η) = F (ξ) + G(η), 

kur F, G ∈ C 2 (R) yra dvi laisvai pasirenkamos funkcijos. Pradiniuose kintamuosiuose 

bendras banginės lygties sprendinys yra 

u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct). (2.2)

Kitaip tariant, jei u yra vienmatės banginės lygties sprendinys, tai egzistuoja 

dvi realiosios funkcijos F, G ∈ C 2 , tenkinančios (2.2) lygtį. Taip pat, bet kurios 

dvi funkcijos F, G ∈ C 2 apibrėžia banginės lygties sprendinį naudojant formulę 

(2.2). 

Fiksuotam t0 > 0, funkcijos G(x − ct0) grafikas yra tos pačios formos, kaip 

funkcijos G(x) grafikas, išskyrus tai, kad jis yra šiek tiek pastumtas į dešinę per 

atstumą ct0. Todėl, funkcija G(x − ct) aprašo bangas judančias į dešinę greičiu 

c. Funkcija F (x + ct) analogiškai aprašo bangas keliaujančias į kairę tuo pačiu 

greičiu c. 

Lygtis (2.2) rodo, kad bet koks banginės lygties sprendinys yra dviejų tokių 

bėgančių bangų suma. Šis pastebėjimas leis mums gauti grafinį sprendinių 

atvaizdavimą. 

Norėtume praplėsti lygties (2.2) galiojimo ribas. Pastebėkime, kad bet kurioms 

dviem gabalais tolydžioms funkcijoms F, G, lygtis (2.2) apibrėžia gabalais 

tolydžią funkciją, kuri yra dviejų į priešingas kryptis keliaujančių bangų superpozicija. 

Be to, galima rasti dvi glodžių funkcijų sekas, {Fn} ir {Gn}, bet 

kuriame taške konverguojančias į F ir G, bet kuriame uždarame aprėžtame 

intervale, neturinčiame netolydžių taškų. Funkcija 

un(x, t) = Fn(x + ct) + Gn(x − ct) 

yra tinkamas banginės lygties sprendinys, bet ribinė funkcija funkcija u(x, t) = 

F (x + ct) + G(x − ct) yra ne būtinai du kartus diferenciuojama, ir todėl gali 

nebūti sprendiniu. Sakysime, kad funkcija u(x, t), tenkinanti (2.2) su gabalais 

tolydžiomis funkcijomis F ir G, yra apibendrintas banginės lygties sprendinys. 

Aptarkime bendrąjį banginės lygties sprendinį, t.y. (2.2). Plokštumoje (x, t) 

dvi šeimos tiesių 

x − ct = const, x + ct = const, 

yra vadinamos banginės lygties charakteristikomis Charakteristikos yra tiesės 

su krypties koeficientais ±1/c. Pasirodo, kad, kaip ir pirmosios eilės lygtims, 

„informacija“ perduodama šiomis kreivėmis. 

Dabar susipažįstame su viena svarbiausių charakteristikų savybe. Tarkime, 

kad fiksuotu laiku t0, sprendinys u yra glodi funkcija, išskyrus viename taške 

(x0, t0). Aišku, arba F nėra glodi taške x0 + ct0 ir/arba funkcija G nėra glodi 

taške x0 −ct0. Yra dvi charakteristikos, kurios eina per tašką (x0, t0). Tai tiesės 

x − ct = x0 − ct0, x + ct = x0 + ct0. 

Todėl bet kuriuo laiko momentu t1 = t0, sprendinys yra glodus, išskyrus viename 

ar dviejuose taškuose ((t1, x−) ir/arba (t1, x+)) 

−ct1 = x0 − ct0, x+ + ct1 = x0 + ct0. 

Todėl singuliarumai (neglodieji taškai) banginėje lygtyje sklinda tik charakteristikomis 

(žr. 3.1 pav.). Šis reiškinys būdingas hiperbolinėms lygtims, singuliarumai 

neišsilygina, o keliauja baigtiniu greičiu. Toks elgesys yra priešingas, 

nei parabolinėms ir elipsinėms lygtims, kur, kaip bus parodyta tolesniuose skyriuose, 

singuliarumai nedelsiant išlygina. 

42

By the d’Alembert formula 

43 Vienmatė banginė lygtis [2013 01 22 (17:15)] 

4.4 Domain of dependence and region of influence 83 

t 

x + ct = x 0 + ct 0 x − ct = x 0 − ct 0 

L 

∆ 

x 0 − ct 0 

(x 0 ,t 0) 

B 

R 

x 0 + ct 0 

Figure 4.1 Domain of dependence. 

3.1 pav. Grafinis sprendimo metodas. 

x 

x0+ct0 

3. Koši uždavinys ir Dalambero formulė 

u(x0, t0) = f (x0 + ct0) + f (x0 − ct0) 

+ 

2 

1 

g(s)ds. (4.12) 

2c x0−ct0 

Koši uždavinys vienmatei homogeninei banginei lygčiai yra 

erefore, the value of u at the point (x0, t0) is determined by the values of f at 

e vertices of the characteristic base and by uttthe − values c of g along this base. Thus, 

x0, t0) depends only on the part of the initial data that is given on the interval 

0 − ct0, x0 + ct0]. Therefore, this interval is called domain of dependence of u 

the point (x0, t0). If we change the initial data at points outside this interval, 

e value of the solution u at the point (x0, t0) will not change. Information on 

change in the data travels with speed c along the characteristics, and therefore 

ch information is not available for t ≤ t0 at the point x0. The change will finally 

fluence the solution at the point x0 at a later time. Hence, for every point (x, t)in 

fixed characteristic triangle, u(x, t) is determined only by the initial data that are 

ven on (part of) the characteristic base (see Figure 4.1). Furthermore, if the initial 

ta are smooth on this base, then the solution is smooth in the whole triangle. 

We may ask now the opposite question: which are the points on the half-plane 

0 that are influenced by the initial data on a fixed interval [a, b]? The set of all 

ch points is called the region of influence of the interval [a, b]. It follows from the 

scussion above that the points of this interval influence the value of the solution 

at a point (x0, t0) if and only if [x0 − ct0, x0 + ct0] ∩ [a, b] = ∅. Hence the initial 

ta along the interval [a, b] influence only points (x, t) satisfying 

x − ct ≤ b, and x + ct ≥ a. 

ese are the points inside the forward (truncated) characteristic cone that is defined 

the base [a, b] and the edges x + ct = a, x − ct = b (it is the union of the regions 

IV of Figure 4.2). 

Assume, for instance, that the initial data f, g vanish outside the interval [a, b]. 

en the amplitude of the vibrating string is zero at every point outside the influence 

2uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, (3.1) 

u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞. (3.2) 

Klasikinis Koši uždavinio (3.1) - (3.2) sprendinys yra funkcija u, kuri yra 2 

kartus tolydžiai diferencijuojama visiems t > 0, u ir ut yra tolydžios, kai t ≥ 0, 

ir tenkinamos lygtys (3.1) - (3.2). 

Prisiminkite, kad bendrasis banginės lygties sprendinys turi formą 

u(x, t) = F (x + ct) + G(x − ct). (3.3) 

Mūsų tikslas yra rasti F ir G, tenkinančias pradines sąlygas (3.2). Įstatydami 

t = 0 į (3.3) gauname 

u(x, 0) = F (x) + G(x) = f(x). (3.4) 

Diferencijuodami (3.3) pagal t ir įstatydami t = 0, turime 

ut(x, 0) = cF ′ (x) − cG ′ (x) = g(x). (3.5) 

Suintegravę (3.5) intervale [0, x] gauname 

F (x) − G(x) = 1 

x 

g(s)ds + C, (3.6) 

c 0 

kur C = F (0) − G(0). (3.4) ir (3.6) tiesinė dviejų algebrinių lygčių sistema 

nežinomiesiems F (x) ir G(x). Šios sistemos sprendinys 

F (x) = 1 

1 

2f(x) + 2c 

G(x) = 1 

1 

2f(x) − 2c 

x 

0 

x 

0 

Įstatome šias išraiškas į sprendinį (3.3), gauname formulę 

u(x, t) = 

f(x + ct) + f(x − ct) 

2 

C g(s)ds + 2 , (3.7) 

C g(s)ds − 2 , (3.8) 

+ 1 

2c 

x+ct 

x−ct 

g(s)ds, (3.9)

kuri vadinama Dalambero formule. Atkreipkite dėmesį, kad kartais (3.7) - (3.8) 

taip pat naudingos, nes jos duoda pirmyn ir atgal sklindančių bangų formules. 

Toliau pateikiami pavyzdžiai iliustruoja Dalambero formulę. 

3.1 pavyzdys. Nagrinėkime Koši uždavinį 

utt − uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, 

⎧ 

0 

⎪⎨ 

x + 1 

u(x, 0) = f(x) = 

⎪⎩ 

1 − x 

0 

−∞ < x < −1, 

−1 ≤ x ≤ 0, 

0 ≤ x ≤ 1 

1 < x < ∞. 

⎧ 

⎪⎨ 0 −∞ < x < −1, 

ut(x, 0) = g(x) = 1 

⎪⎩ 

0 

−1 ≤ x ≤ 1, 

1 < x < ∞. 

(a) Raskite u taške (1, 1/2). 

(b) Aptarkite sprendinio u glodumą. 

(a) Naudodami Dalambero formulę, randame, kad 

Kadangi 3 

3 2 

12 

2 

g(s)ds = 1 12 

u(1, 1 

2 

3 

1 

> 1, f( ) = 0. Taip pat, 0 ≤ 2 2 

3 1 

f( ) + f( 2 2 ) = ) 

+ 

2 

1 

3 

2 

g(s)ds. 

2 1 

2 

1ds = 1 

1 1 

. Taigi u(1, ) = 2 2 2 . 

≤ 1, todėl f( 1 

2 

44 

1 

) = . Akivaizdu, kad 

2 

(b) sprendinys nėra klasikinis, nes u ∈ C 1 . Be to, u yra apibendrintas uždavinio 

sprendinys. Atkreipkite dėmesį, kad nors g nėra tolydi, tačiau sprendinys u yra tolydi 

funkcija. Singuliarumai sprendinyje sklinda charakteristikomis, kertančiomis singulia- 

rumus pradinių sąlygų tiesėje t = 0. Tai yra charakteristikos x ± t = −1, 0, 1. Taigi, 

) aplinkoje. 

sprendinys yra glodus taško (1, 1 

2 

Koši uždavinio korektiškumas seka iš Dalambero formulės. 

3.1 teorema. Pasirinkime T > 0. Koši uždavinys (3.1) - (3.2) srityje −∞ < 

x < ∞, 0 ≤ t ≤ T yra korektiškas, jei f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R). 

Įrodymas. Egzistavimas ir vienatis seka iš Dalambero formulės. Iš tiesų, ši formulė 

duoda mums sprendinį, ir parodo, kad bet kuris Koši uždavinio sprendinys 

būtinai lygus Dalambero sprendiniui. Atkreipkite dėmesį, kad iš mūsų glodumo 

prielaidos (f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R)) seka, kad u ∈ C 2 (R × (0, ∞)) C 1 (R × 

[0, ∞)), ir todėl Dalambero sprendinys yra klasikinis. 

Liko įrodyti Koši uždavinio stabilumą, t.y. turime parodyti, kad nedidelių 

pradinių sąlygų pokyčiai sukelia nedidelius sprendinio pokyčius. Tegul ui yra 

du Koši uždavinio su pradinėmis sąlygomis fi, gi sprendiniai, čia i = 1, 2. Jei 

|f1(x) − f2(x)| < δ, |g1(x) − g2(x)| < δ, visiems x ∈ R, tada visiems x ∈ R ir 

0 ≤ t ≤ T 

|u1(x, t) − u2(x, t)| ≤ |f1(x+ct)−f2(x+ct)| 

+ 1 

2c 

x+ct 

x−ct |g1(s) − g2(s)|ds ≤ 1 

2 

2 

(δ + δ) + 1 

2c 

+ |f1(x−ct)−f2(x−ct)| 

2 

2ctδ ≤ (1 + T )δ.

45 Vienmatė banginė lygtis [2013 01 22 (17:15)] 

4.4 Domain of dependence and region of influence 85 

3a −5a 

t3 = 

2c 2 

a 

t 2 = c 

a 

t 1 = 2c 

t 0 = 0 

t,u 

−2a 2a 

−3a 

2 

−a 

2 

−a 

2 

−a a 

a 5a 

2 2 

a 

2 

Figure 4.3 The graphical method. 

3.2 pav. Grafinis sprendimo metodas. 

the present problem these are the points x =±a. We also draw the lines t = ti 

that will serve 

Todėl, 

us as the 

bet 

abscissas 

kokiam 

(x 

ε 

axes) 

> 0, pasirenkame 

for the graphs of 

δ < 

the 

ε/(1 

functions 

+ T ). 

u(x, 

Tada 

ti). 

su visais x ∈ R ir 

Note that the ordinate 0 ≤ t ≤ of T the turime coordinate system is used as the t and the u axes (see 

Figure 4.3). 

|u1(x, t) − u2(x, t)| < ε. 

Consider the time t = t1. The forward wave has traveled a/2 units to the right, 

and the backward ⊓⊔ wave has traveled a/2 units to the left. The support (the set 

of points where the function is not zero) of the forward wave at time t1 is the 

3.1 pastaba. 1. Koši uždavinys yra nekorektiškas srityje −∞ < x < ∞, t ≥ 0. 

interval [−a/2, 3a/2], while [−3a/2, a/2] is the support of the backward wave at 

t1. Therefore, the2. support D’Alembert of the solution formulė at t1taip is the pat interval teisinga [−3a/2, srityje 3a/2], −∞ i.e. < the x < ∞, T < t ≤ 0, 

region of influence of Koši [−a, uždavinys a]att = t1. taip Now, patatkorektiškas the intersection šioje ofsrityje. the supports Fizikinė of interpretacija – 

the two waves (the interval procesas [−a/2, yra grįžtamas. a/2]) u takes the value 1 + 1 = 2, while on the 

intervals [−3a/2, −a/2), (a/2, 3a/2], where the supports do not intersect, u takes 

the value 1. Obviously, Grafinis u = metodas 0 at all other sprendžiant points. Koši uždavinį bangų lygčiai: 

Consider the time t2 = a/c. The support of the forward (backward) wave is 


[0, 2a] ([−2a, 0], respectively). Consequently, the support of the solution u is 

[−2a, 2a], i.e. the region of influenceutt of −[−a, c a] att = t2. The intersection of 

the supports of the two waves is the point x = 0, where u takes the value 2. On the 

intervals [−2a, 0), (0, 2a], u is 1. Obviously, u = 0 at all other points. 

At the time t3 = 3a/2c, the support of the forward (backward) wave is 

[a/2, 5a/2] ([−5a/2, −a/2], respectively), and there is no interaction between 

the waves. Therefore, the solution at these intervals equals 1, and it equals zero 

otherwise. 

To conclude, the first step of the graphical method is to compute and to draw the 

graphs of the forward and backward waves. Then, for a given time t, we shift these 

2 uxx = 0 − ∞ < x < ∞, t > 0, 

 

2 |x| ≤ a, 

u(x, 0) = f(x) = 

0 |x| > a. 

ut(x, 0) = g(x) = 0 − ∞ < x < ∞. 

Nubraižysime sprendinio u(t, x) grafiką laiko momentais tk = ka/2c, čia k = 0, 1, 2, 3. 

Taikant Dalambero formulę, užrašome sprendinį u kaip tiesioginės ir atbulinės bangų 

suma 

f(x + ct) + f(x − ct) 

u(x, t) = . 

2 

Kadangi šios bangos yra gabalais tolydžiosios funkcijas, kiekvienu momentu t sprendinys 

u irgi yra gabalais tolydi funkcija, priklausanti nuo x, jos reikšmės u = 0, 1, 2. 

Plokštumoje (x, t) brėžiame charakteristikų tieses, kurios laiko momentu t = 0 

eina per taškus, kuriose pradinė funkcija yra neglodi. Šiame uždavinyje tai yra taškai 

3a 

2 

x

x = ±a. Taip pat nubraižykime tieses t = tk, kurias naudosime kaip abscises (x ašis), 

braižydami funkcijų u(x, tk) grafikus. (žr. 3.2 pav.). 

Nagrinėkime laiką t = t1. Tiesioginė banga pajudėjo į dešinę per a/2, o atbulinė – 

į kairę per a/2. Laiko momentu t1 tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [−a/2, 3a/2], 

o atbulinė banga – intervale [−3a/2, a/2]. Todėl, laiko momentu t1 sprendinys nelygus 

nuliui intervale [−3a/2, 3a/2]. Intervale [−a/2, a/2]) u įgyja reikšmę 1 + 1 = 2, o 

intervaluose [−3a/2, −a/2), (a/2, 3a/2], kur bangos nesikerta (neinterferuoja), u įgyja 

reikšmę 1. Akivaizdu, kad u = 0 visur kitur. 

Nagrinėkime laiką t2 = a/c. Tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [0, 2a], atbulinė 

– [−2a, 0]. Todėl sprendinys u nelygus nuliui intervale [−2a, 2a] (taške x = 0 

funkcija lygi 2, kituose šio intervalo taškuose – 1). 

Kai t3 = 3a/2c funkcija u lygi vienetui intervaluose [a/2, 5a/2] ([−5a/2, −a/2]) 

(nėra sąveikos tarp bangų). 


utt − uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, 

u(x, 0) = f(x) = 0, −∞ < x < ∞, 

 

ut(x, 0) = g(x) = 

0 

1 

x < 0, 

x ≥ 0, 

− ∞ < x < ∞. 

Raskite sprendinių u(x, tk), tk = k, k = 1, 4 grafikus. 

Pagal Dalambero formulę 

u(x, t) = 1 

0 

g(s)ds + 

2 x−t 

1 

2 

x+t 

0 

max{0, x − t} 

g(s)ds = − + 

2 

max{0, x + t} 

. 

2 

Tiesioginė ir atbulinė bangos yra gabalais tiesinės funkcijos, todėl sprendinys u(·, t) 

bet kokiu laiko momentu t taip pat yra gabalais tiesinė kintamojo x funkcija. 

Plokštumoje (x, t) brėžiame charakteristikų tieses sklindančias iš taškų, kur pradinės 

sąlygos nėra glodžios, t.y. x = 0. Taip pat nubraižykime tieses t = tk, kurias 

naudosime kaip abscises (x ašis), braižydami funkcijų u(x, tk) grafikus. 

Laiko momentu t = 1, tiesioginė banga pajudėjo vienetu į dešinę, o atbulinė bangą 

– vienetu į kairę. Tiesioginė banga nelygi nuliui intervale [1, ∞), o atbulinė – [−1, ∞). 

Todėl sprendinys nelygus nuliui intervale [−1, ∞). Akivaizdu, kad intervale [−1, 1] 

sprendinys yra tiesinė funkcija u = (x + 1)/2. Intervale [1, ∞) tiesioginė banga turi 

krypties koeficientą −1/2, o atbulinė turi krypties koeficientą 1/2. Todėl sprendinys 

yra u = 1 (dviejų bangų superpozicija). 

Analogiškai piešiamas grafikas, kai t = 4. 

Sprendinį galima užrašyti kaip 

⎧ 

⎪⎨ 0 x < −t, 

x+t 

u(x, t) = −t ≤ x ≤ t 

⎪⎩ 

2 

t x > t. 

46

86 The one-dimensional wave equation 

two shapes to the right and, respectively, to the left by ct units. Finally, we add the 

two graphs. 

In the next example we use the graphical method to investigate the influence of 

the initial velocity on the solution. 

Example 4.7 Find the graphs of the solution u(x, ti), ti = i, i = 1, 4 for the prob- 

47 lem 

Vienmatė banginė lygtis [2013 01 22 (17:15)] 

utt − uxx = 0 −∞ < x < ∞, t > 0, 

u(x, 0) = f (x) = 0, 

 

0 

ut(x, 0) = g(x) = 

1 

x < 0, 

x ≥ 0. 

−∞ < x < ∞, 

We apply d’Alembert’s formula to write the solution as the sum of forward and 

backward waves: 

u(x, t) = 1 

0 

g(s)ds + 

2 x−t 

1 

x+t 

max{0, x − t} 

g(s)ds =− + 

2 0 

2 

max{0, x + t} 

. 

2 

Since both the forward and backward waves are piecewise linear functions, the 

solution u(·, t) for all times t is a piecewise linear function of x. 

We draw in the plane (x, t) the characteristics emanating from the points where 

the initial condition is nonsmooth. In our case this happens at just one point, namely 

x = 0. We also depict the lines t = ti that form the abscissas for the graph of u(x, ti) 

(see Figure 4.4). 

x = −t 

−4 −1 

t,u 

t = 4 

t = 1 

1 4 

t = 0 

x = t 

Figure 4.4 The graphical solution for Example 4.7. 

3.3 pav. 3 pavyzdžio grafinis sprendimas. 

x

4 skyrius 

Kintamųjų atskyrimo metodas 

1. Įvadas 

Furjė metodas yra vienas iš dažniausiai taikomų ir efektyvių diferencialinių lygčių 

dalinėmis išvestinėmis sprendimo metodų. Pavadinimai: kintamųjų atskyrimo 

metodas, tikrinių reikšmių metodas, Furjė metodas. 

Bendra schema: pagrindinė ideja – uždavinio sprendimas suvedamas į pagalbinių 

uždavinių su mažesniu kintamųjų skaičiumi sprendimą. Jei uždavinys 

yra dvimatis, tai pagalbiniai uždaviniai priklauso nuo vieno kintamojo. Taigi 

diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sprendimas suvedamas į paprastųjų 

diferencialinių lygčių sprendimą. 

2. Šilumos laidumo lygtis su homogeninėmis kraštinėmis 

sąlygomis 

Nagrinėkime tokį šilumos laidumo uždavinį baigtiniame intervale: 

ut − kuxx = 0 0 < x < L, t > 0, (2.1) 

u(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0, (2.2) 

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (2.3) 

kur f yra pradinės sąlygos, o k yra teigiama konstanta. Siekiant, kad (2.2) būtų 

suderinama su (2.3), tarkime, kad išpildyta suderinamumo sąlyga 

f(0) = f(L) = 0. 

Lygtis ir sritis schematiškai pavaizduotos 4.1 pav. Šilumos laidumo lygtis aprašo 

temperatūros raidą vienalyčiame šilumai laidžiame ilgio L strype (t.y. strypas 

yra siauras, o jo šonuose palaikoma pastovi temperatūra). Strypo temperatūra 

pradiniu laiko momentu t = 0 yra žinoma. 

Tarsime, kad sistemoje nėra vidinių šaltinių, kurie šildo arba vėsina sistemą. 

Uždavinys (2.1) - (2.3) yra pradinis kraštinis uždavinys, kuri yra tiesinis ir 

homogeninis. Sąlyga (2.2) vadinama Dirichlet sąlyga. Šio skyriaus pabaigoje, 

taip pat aptarsime kitas kraštines sąlygas. Ieškosime sprendinių, kurie tenkina 

lygtį (2.1) ir kraštines sąlygas (2.2), bei turi tokią formą 

u(x, t) = X(x)T (t), (2.4)

The method of separation of variables 

u = 0 

t 

u t − ku xx = 0 

u = 0 

u(x,0) = f(x) L 

igure 5.1 The initial boundary value problem for the heat equation together with 

he domain. 

4.1 pav. Pradinis kraštinis uždavinys šilumos laidumo lygčiai ir jo sritis. 

ssume that therekur is no Xinternal ir T yra source kintamųjų that heats x (or ir tcools) funkcijos. the system. Kol kas Noteneatsižvelgsime 

į pradinę 

he problem (5.1)–(5.3) sąlygą is (2.3). an initial Mūsų boundary nedomina valuenulinis problemsprendinys that is linear u(x, andt) 

= 0. Todėl ieškosime 

geneous. Recallfunkcijų also thatXtheirboundary T , kurios condition nėra tapatingai (5.2) is called lygios thenuliui. Dirichlet 

ition. At the end of the Differencijuokime present section, we atskirtąjį shall also sprendinį discuss other (2.4) boundary vieną kartą t atžvilgiu ir du kar- 

itions. tus x atžvilgiu. Įstatykime gautas išvestines į lygtį, 

e start by looking for solutions of the PDE (5.1) that XTt 

satisfy = kXxxT. the boundary 

itions (5.2), and have the special form 

Dabar, atliksime paprastą, bet svarbų žingsnį – kintamųjų atskyrimą. Į vieną 

lygybės pusę u(x, t) sukelkime = X(x)T (t), funkcijas priklausančias tik(5.4) nuo x, o į kitą – tik nuo t 

e X and T are functions of the variables x and t, respectively. At this step we 

t take into account the initial condition (5.3). Obviously, we are not interested 

e zero solution u(x, t) = 0. Therefore, we seek functions X and T that do not 

h identically. 

ifferentiate the separated solution (5.4) once with respect to t and twice with 

ct to x and substitute these derivatives into the PDE. We then obtain 

XTt = kXxxT. 

, we carry out a simple but decisive step – the separation of variables step. 

ove to one side of the PDE all the functions that depend only on x and to the 

side the functions that depend only on t. We thus write 

Tt 

kT = X Xxx 

= . (2.5) 

kT X 

x ir t yra nepriklausomi kintamieji. Diferencijuokime (2.5) t atžvilgiu, matome, 

kad egzistuoja konstanta λ (vadinama atskyrimo konstanta) tokia, kad 

Tt Xxx 

= = −λ. (2.6) 

kT X 

Lygtis (2.6) susiveda į šią paprastųjų diferencialinių lygčių sistemą: 

d 

xx 

. (5.5) 

X 

x and t are independent variables, differentiating (5.5) with respect to t 

ies that there exists a constant denoted by λ (which is called the separation 

tant) such that 

2X = −λX, (2.7) 

dx2 dT 

= −λkT, (2.8) 

dt 

Lygtys yra susietos tik atskyrimo konstanta λ. Funkcija u tenkina kraštines 

sąlygas (2.2), tada ir tik tada, kai 

u(0, t) = X(0)T (t) = 0, u(L, t) = X(L)T (t) = 0. 

Kadangi u – ne trivialus sprendinys 

Tt 

kT = X xx 

X(0) = x(L) = 0. 

=−λ. (5.6) 

Todėl X turėtų būti 

X 

kraštinio uždavinio sprendinys 

x 

Tt 

50 

d2X + λX = 0, 

dx2 (2.9) 

X(0) = X(L) = 0. (2.10)

51 Kintamųjų atskyrimo metodas [2013 01 22 (17:15)] 

Nagrinėkime sistemą (2.9) - (2.10). Netrivialus šios sistemos sprendinys yra 

vadinamas tikrine funkcija atitinkančia tikrinę reikšmę λ. Uždavinys (2.9) - 

(2.10) vadinamas tikrinės reikšmės uždaviniu. Kraštinė sąlyga (2.10) vadinama 

(kaip ir DL dalinėmis išvestinėmis atveju) Dirichlet kraštine sąlyga. 

Atkreipkite dėmesį, kad uždavinys (2.9) - (2.10) nėra pradinis kraštinis uždavinys 

paprastąjai DL. (žinome, kad jai egzistuoja vienintelis sprendinys). Greičiau, 

tai yra kraštinis uždavinys. Iš anksto neaišku, ar egzistuoja sprendinys 

bet kokiai λ reikšmei. Kita vertus, jei sugebėsime užrašyti bendrąjį sprendinį 

visoms λ, tada reikia tik patikrinti, kokioms λ sprendinys tenkina pradines 

sąlygas. 

Laimei, (2.9) yra gana paprasta. Tai yra antros eilės tiesinė diferencialinė 

lygtis su pastoviais koeficientais, ir bendrasis sprendinys yra tokios formos: 

• Jei λ < 0, tada X(x) = αe √ −λx + βe √ −λx, 

• Jei λ = 0, tada X(x) = α + βx, 

• Jei λ > 0, tada X(x) = α cos( √ λx) + β sin( √ λx), 

kur α, β yra bet kokie realieji skaičiai. 

Darysime prielaidą, kad λ yra realus, o ne kompleksinis skaičius (bet ir tuo 

sprendimas yra panašus). 

Neigiama tikrinė reikšmė (λ < 0). Bendrąjį sprendinį galime užrašyti 

patogesne forma vietoj eksponenčių naudodami hiperbolines trigonometrines 

funkcijas: 

X(x) = ˜α cosh √ −λx + ˜ β sinh √ −λx (2.11) 

cosh yra griežtai teigiama funkcija, o sinh s turi vienintelę šaknį s = 0. Kadangi 

X(0) = 0, ˜α = 0. Iš antrosios kraštinės sąlygos X(L) = 0 seka, kad ˜ β = 0. 

Todėl uždavinys turi tik trivialų sprendinį, t.y. tikrinis uždavinys (2.9) - (2.10) 

neturi neigiamų tikrinių reikšmių. 

Nulinė tikrinė reikšmė (λ = 0). Bendrasis sprendinys yra tiesinė funkcija 

X(x) = α + βx, turinti daugiausiai vieną šaknį (netrivialiu atveju). Taigi 

gauname, kad tikrinė reikšmė negali būti lygi nuliui. 

Teigiama tikrinė reikšmė (λ > 0). Bendrasis sprendinys, kai λ > 0, yra 

X(x) = α cos( √ λx) + β sin( √ λx). (2.12) 

Įstatome jį į X(0) = 0, gauname α = 0. Iš kraštinės sąlygos X(L) = 0 seka, 

kad sin( √ λL) = 0. Taigi √ λL = nπ, čia n ∈ N. Neigiamų n nenagrinėsime, 

nes jie atitinka tas pačias tikrines reikšmes ir funkcijas. Todėl, λ > 0 yra tikrinė 

reikšmė, tada ir tik tada: 

λ = 

Atitinkamos tikrinės funkcijas yra 

 

nπ 

2 , n = 1, 2, 3, . . . 

L 

X(x) = sin nπx 

L

Visi (2.9) - (2.10) sprendiniai yra begalinė tikrinių funkcijų seka. Kiekviena 

iš jų turi atitinkamą tikrinę reikšmę. Patogu pažymėti: 

Xn(x) = sin nπx 

L , λn = 

 

nπ 

2 , n = 1, 2, 3, . . . 

L 

Prisiminkite iš tiesinės algebros, kad tikrinės reikšmės turi kartotinumą m, jei 

tikrinių vektorių erdvė yra m-matė. Tikrinė reikšmė, turinti kartotinumą 1, yra 

vadinama paprastąja. Naudodami tą pačią terminologiją, matome, kad visos 

tikrinių reikšmių uždavinio (2.9) - (2.10) tikrinės reikšmės λn yra paprastosios. 

Grįžkime prie diferencialinės lygties (2.8). Bendrasis sprendinys yra 

Įstatome λn, gauname 

T (t) = Be −kλt . 

52 

nπ −k( 

Tn(t) = Bne L )2t n = 1, 2, 3, . . . (2.13) 

Mus domina fizikinę prasmę turintys laike gęstantys sprendiniai. Vadinasi, λ > 

0. Todėl galime iš anksto spėti, kad uždavinys (2.9) - (2.10) turi tik teigiamas 

tikrines reikšmes. 

Taigi gavome atskirųjų sprendinių seką 

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = Bn sin nπx nπ 

e−k( L 

L )2t n = 1, 2, 3, . . . (2.14) 

Iš superpozicijos principo aišku, kad bet kuri tiesinė kombinacija 

u(x, t) = 

N 

n=1 

Bn sin nπx nπ 

e−k( L 

L )2t (2.15) 

taip pat yra šilumos laidumo lygties sprendinys, tenkinantis Dirichlet kraštines 

sąlygas. 

Dabar nagrinėkime pradines sąlygas. Tarkime, jos turi formą 

f(x) = 

N 

n=1 

Bn sin nπx 

L 

t.y. tikrinių funkcijų tiesinė kombinacija. Tada šilumos lygties sprendinys yra 

u(x, t) = 

N 

n=1 


e−k( L 

L )2t . 

Taigi, galima išspręsti uždavinį tam tikrai pradinių sąlygų klasei. 

Natūralu klausti, kaip išspręsti turint kitokias pradines sąlygas? 

Puiki (nors ir ne visiškai tuo metu pagrįsta) Furjė idėja buvo ta, kad bet 

kokią funkciją f, tenkinančią kraštines sąlygas galima išskleisti, kaip begalinę


tikrinių funkcijų sin(nπx/L) tiesinę kombinaciją. Kitaip tariant, galime rasti 

konstantas Bn tokias, kad 

f(x) = 

∞ 

n=1 

Bn sin nπx 

. (2.16) 

L 

Tokia eilutė vadinama (apibendrinta) funkcijos f Furjė eilute, Bn, n = 1, 2, . . . 

vadinami (apibendrintais) Furjė koeficientais. 

Apibendrinsime superpozicijos principą ir taikysime jį ir begalinėms atskirtų 

sprendinių eilutėms. Tokią eilutę vadinsime apibendrintuoju sprendiniu, jei 

eilutė tolygiai konverguoja kiekviename stačiakampyje, telpančiame į sritį, kur 

sprendinys yra apibrėžtas. Šis apibrėžimas panašus į banginės lygties apibendrintuosius 

sprendinius nagrinėtus 4 skyriuje. 

Mūsų atveju apibendrintasis superpozicijos principas reiškia, kad formali 

išraiška 

u(x, t) = 

∞ 

n=1 


e−k( L 

L )2t . (2.17) 

yra geras kandidatas būti (2.1) - (2.3) sprendiniu. „Formali“ reiškia, kad mes 

ignoruosime konvergavimo, tolydumo ir glodumo klausimus, o differencijuosime 

panariui. 

Prieš įrodinėdami, kokiomis sąlygomis (2.17) iš tiesų yra sprendinys, reikia 

paaiškinti, kaip skleisti funkciją f Furjė eilute. 

Į šį klausimą galime atsakyti remdamiesi prielaida, kad Furjė eilutė f konverguoja 

tolygiai. Pasirinkime m ∈ N ir padauginkime Furjė eilutę (2.17) iš 

tikrinių funkcijų sin(mπx/L). Tada suintegruokime panariui intervale [0, L]. 

Gauname 

L 

0 

Lengva patikrinti, kad 

sin mπx 

f(x)dx = 

L 

L 

Todėl, Furjė koeficientai 

L 

0 

Bm = L 

0 

0 

sin mπx 

L 

sin mπx 

L f(x)dx 

sin2 mπx 

L 

2 

= 

dx L 

∞ 

n=1 

Bn 

L 

0 

sin mπx 

L 

nπx 

sin dx = 

L 

 

0 

L/2 

m = n 

m = n 

L 

0 

nπx 

sin dx. (2.18) 

L 

(2.19) 

sin mπx 

f(x)dx, m = 1, 2, . . . (2.20) 

L 

Taigi, iš to išplaukia, kad funkcijos f Furjė koeficientai ir Furjė eilutė yra vienareikšmiškai 

nustatomi. Todėl, (2.17), kartu su (2.20) formule formaliai yra 

šilumos lygties sprendinys. Turėdami pradines sąlygas f, galime apskaičiuoti 

Furjė koeficientus ir rasti sprendinį išreikštame pavidale.

3. Kintamųjų atskyrimas bangų lygčiai 

Taikysime kintamųjų atskyrimo metodą vibruojančiai stygai nesant išorinių jėgų 

(stygos galai įtvirtinti). Tegul u(x, t) yra stygos amplitudė taške x, laiko 

momentu t, ir tegul f ir g būna stygos amplitudė ir greitis laiko momentu t = 0. 

Mums reikia išspręsti uždavinį 

utt − c 2 uxx = 0 0 < x < L, t > 0, (3.1) 

ux(0, t) = ux(L, t) = 0 t ≥ 0, (3.2) 

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (3.3) 

ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L, (3.4) 

čia f, g yra žinomos funkcijos ir c yra teigiama konstanta. Suderinamumo 

sąlygos yra 

f ′ (0) = f ′ (L) = g ′ (0) = g ′ (L) = 0. 

Uždavinys (3.1) - (3.4) yra tiesinis pradinis kraštinis uždavinys. Kaip minėta, 

sąlygos (3.2) yra vadinamas Neumann kraštinėmis sąlygomis. Prisiminkime, 

kad pirmajame metodo žingsnyje reikia rasti netrivialų atskirtąjį lygties (3.1) 

sprendinį, t.y. 

u(x, t) = X(x)T (t), (3.5) 

kuris tenkina kraštines sąlygas (3.2). Čia, kaip įprasta, X, T yra kintamųjų x 

ir t funkcijos. Šiame etape nereikia atsižvelgti į pradines sąlygas (3.3) - (3.4). 

Diferencijuojame atskirtąjį sprendinį (3.5) du kartus x atžvilgiu bei du kartus 

t atžvilgiu. Tada įstatome į banginę lygtį 

Atskiriame kintamuosius, 

XTtt = c 2 XxxT. 

Ttt 

c 2 T 

Taigi egzistuoja tokia konstanta λ, kad 

Iš (3.7) lygties seka, 

Ttt 

c 2 T 

54 

Xxx 

= . (3.6) 

X 

= Xxx 

X 

= −λ. (3.7) 

d2X dx2 = −λX, 0 < x < L (3.8) 

d2T dt2 = −λc2T, t > 0. (3.9) 

Pasinaudodami kraštinėmis sąlygomis (3.2) gauname 

ux(0, t) = dX 

dx (0)T (t) = 0, ux(L, t) = dX 

(L)T (t) = 0. 

dx


Kadangi u – ne trivialusis sprendinys, tai 

dX 

dx 

dX 

(0) = (L) = 0. 

dx 

Todėl funkcija X turi būti tikrinių reikšmių uždavinio sprendiniu 

dX 

dx 

d2X + λX = 0, (3.10) 

dx2 dX 

(0) = (L) = 0. (3.11) 

dx 

Šis tikrinių reikšmių uždavinys taip pat vadinamas Neumann uždavinys. 

Jau užrašėme bendrajį DL (3.10) sprendinį: 

• Jei λ < 0, tada X(x) = α cosh √ −λx + β sinh √ −λx, 

• Jei λ = 0, tada X(x) = α + βx, 

• Jei λ > 0, tada X(x) = α cos( √ λx) + β sin( √ λx), 

čia α, β yra bet kokie realieji skaičiai. 

Neigiama tikrinė reikšmė (λ < 0). Kadangi dX/dx(0) = 0, β = 0. 

Iš antrosios kraštinės sąlygos dX/dx(L) = 0 seka, kad sinh √ −λL = 0. Todėl 

uždavinys turi tik trivialų sprendinį, t.y. tikrinis uždavinys (3.10) - (3.11) neturi 

neigiamų tikrinių reikšmių. 

Nulinė tikrinė reikšmė (λ = 0). Bendrasis sprendinys yra tiesinė funkcija 

X(x) = α+βx. Taigi gauname, kad λ = 0 yra tikrinė reikšmė atitinkanti tikrinę 

funkciją X0(x) ≡ 1. 

Teigiama tikrinė reikšmė (λ > 0). Bendrasis sprendinys, kai λ > 0, yra 

X(x) = α cos( √ λx) + β sin( √ λx). (3.12) 

Įstatome jį į dX/dx(0) = 0, gauname β = 0. Iš kraštinės sąlygos dX/dx(L) = 0 

seka, kad sin( √ λL) = 0. Taigi √ λL = nπ, čia n ∈ N. Taigi, λ > 0 yra tikrinė 

reikšmė, tada ir tik tada: 

λ = 

Atitinkamos tikrinės funkcijas yra 

 

nπ 

2 , n = 1, 2, 3, . . . 

L 

X(x) = cos nπx 

L 

Tikrinių reikšmės uždavinio (3.10) sprendiniai (3.11) yra begalinė seka neneigiamų 

nekartotonių tikrinių reikšmių ir jas atitinkančių tikrinių funkcijų. 

Naudokime žymėjimus: 

Xn(x) = cos nπx 

L , λn = nπ 2, n = 1, 2, 3, . . . 

L

Dabar nagrinėsime DL dalinėmis išvestinėmis (3.9), kai λ = λn. Sprendiniai 

T0(t) = γ0 + δ0t, (3.13) 

Tn(t) = γn cos( λnc 2 t) + δn sin( λnc 2 t) n = 1, 2, 3, . . . (3.14) 

Taigi, pradinio kraštinio uždavinio sprendinių sandauga 

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = cos nπx 

L 

An cos cπnt 

L + Bn sin cπnt 

L 

56 

u0(x, t) = X0(x)T0(t) = A0+B0t 

2 , 

 

 

(3.15) 

, n = 1, 2, 3, (3.16) . . . 

Pritaikykime (apibendrintą) superpozicijos principą, 

u(x, t) = A0 + B0t 

2 

+ 

∞ 

n=1 

 

An cos cπnt 

L + Bn sin cπnt 

 

cos 

L 

nπx 

L 

(3.17) 

yra (apibendrintas, arba bent jau formalus) uždavinio (3.1) - (3.4) sprendinys. Į 

Pavyzdys 5.2 rodo, kad sprendinys (3.17) gali būti nagrinėjimas kaip tiesioginės 

ir atbulinės bangų superpozicija. Kitaip tariant, sprendinys (3.17), taip yra 

apibendrintas banginės lygties sprendinys, kaip apibrėžėme 4 skyriuje. 

Belieka rasti sprendinio (3.17) koeficientus An, Bn. Čia naudosime pradines 

sąlygas. Tarkime, kad pradiniai duomenys f, g gali būti išskleisti Furjė 

eilutėmis, ir kad šios eilutės tolygiai konverguoja. Tai yra, 

f(x) = a0 

2 + 

g(x) = ã0 

2 + 

∞ 

n=1 

∞ 

n=1 

an cos nπx 

, (3.18) 

L 

ãn cos nπx 

, (3.19) 

L 

f ir g Furjė koeficientai gali būti rasti dauginant (3.18) iš tikrinių funkcijų 

cos(mπx/L), ir tada integruojant intervale [0, L]. Gauname 

L 

0 

cos mπx a0 

f(x)dx = 

L 2 

Lengvai patikrinti, kad 

L 

0 

cos mπx 

L 

L 

0 

cos mπx 

L 

dx + 

nπx 

cos dx = { 

L 

Todėl, funkcijos f Furjė koeficientai yra 

a0 = 2 

L 

0 f(x)dx 

L 

0 

2 

= 

1dx L 

∞ 

n=1 

an 

L 

0 

cos mπx 

L 

0 m = n 

L/2 m = n = 0 

L m = n = 0. 

L 

0 

cos nπx 

L dx. 

(3.20) 

(3.21) 

f(x)dx. (3.22)


L mπx cos 0 L 

am = 

f(x)dx 

L 

0 cos2 mπx 

L 

2 

= 

dx L 

L 

0 

cos mπx 

f(x)dx, m = 1, 2, . . . (3.23) 

L 

Funkcijos g Furjė koeficientai ãn gali būti skaičiuojami panašiai. Įstatome t = 

0 į (3.17), ir darome prielaidą, kad atitinkamos eilutės konverguoja tolygiai, 

gauname 

u(x, 0) = A0 

2 + 

∞ 

n=1 

An cos nπx 

L 

= f(x) = a0 

2 + 

∞ 

n=1 

an cos nπx 

L 

Prisiminkite, kad (apibendrintieji) Furjė koeficientai randami vienareikšmiškai, 

todėl An = an ∀n ≥ 0. Kad apskaičiuotumėm Bn, formaliai diferencijuosime 

(3.17) panariui pagal t ir įstatysime t = 0. Gauname 

ut(x, 0) = B0 

2 + 

∞ 

n=1 

Bn cos cπn 

L 

cos nπx 

L 

= g(x) = ã0 

2 + 

∞ 

n=1 

ãn cos nπx 

L . 

Todėl, Bn = ãnL/cπn visiems n ≥ 1. Panašiai B0 = ã0. Taigi, uždavinys yra 

išspręstas. Vienaties klausimas bus svarstomas šio skyriaus pabaigoje. 

Yra didelis skirtumas tarp šilumos laidumo uždavinio sprendinio (2.17) ir formalaus 

sprendinio (3.17). Kiekvienas šilumos laidumo sprendinio (2.17) naris 

turi gęstantį eksponentinį daugiklį, kuris yra atsakingas už glodinimo efektą, kai 

t > 0. Priešingai (3.17) lygtyje yra trigonometriniai, o ne gęstantys daugikliai. 

Tai susije su tuo, kad hiperbolinė lygtis išsaugoja duotujų duomenų ypatumus, 

taigi apibendrintų Furjė koeficientų gęsimo greitis ( iki nulio) dažniausiai priklauso 

nuo šios funkcijos glodumo (su prielaidą, kad ši funkcija tenkina kraštines 

sąlygos). 

Pavyzdys 5.2 Išspręskite uždavinį 

utt − 4uxx = 0 0 < x < 1, t > 0, 

ux(0, t) = ux(1, t) = 0 t ≥ 0, 

u(x, 0) = f(x) = cos 2 πx 0 ≤ x ≤ 1, 

ut(x, 0) = g(x) = sin 2 πxcosπx 0 ≤ x ≤ 1. 

Buvo įrodyta, kad (3.24) uždavinio sprendinys turi pavidalą 

u(x, t) = A0 + B0t 

2 

+ 

(3.24) 

∞ 

(An cos 2nπt + Bn sin 2nπt) cos nπx. (3.25) 

n=1 

Įstatome f į (3.25) ir gauname 

u(x, 0) = A0 

2 + 

∞ 

An cos nπx = cos 2 πx. (3.26) 

n=1 

Funkcijos f Furjė eilutė yra lengvai randama naudojant trigonometrinę tapatybę 

cos 2πx. Kadangi Furjė koeficientai nustatomi vienareikšmiškai, 

cos 2 πx = 1 

2 

+ 1 

2

galima padaryti išvadą, kad 

58 

A0 = 1, A2 = 1 

2 An = 0 ∀n = 0, 2. (3.27) 

Diferencijuodami sprendinį pagal t ir įstatatydami ut(x, 0) į antrąją pradinę 

sąlygą, gauname 

ut(x, 0) = B0 

2 + 

∞ 

Bn2nπ cos nπx = sin 2 πx cos πx. (3.28) 

n=1 

Panašiai, funkcijos g Furjė eilutė gaunama naudojant trigonometrinę tapatybę 

sin 2 πx cos πx = 1 

1 

4 cos πx − 4 cos 3πx. Iš eilutės vienareikšmiškumo seka 

Todėl 

B1 = 1 

8π , B3 = 1 

24π Bn = 0 ∀n = 1, 3. 

u(x, t) = 1 1 

1 

1 

+ sin 2πt cos πx + cos 4πt cos 2πx − sin 6πt cos 3πx. (3.29) 

2 8π 2 24π 

Kadangi (3.29) lygtyje yra tik baigtinis skaičius (glodžių) dėmenų, galima tiesiog 

patikrinti, kad u yra klasikinis uždavinio sprendinys. 

4. Energetinis metodas ir vienatis 

Energetinis metodas yra vienas iš pagrindinių įrankių DL dalinėmis išvestinėmis 

teorijoje. Dažnai taikomas įrodinėjant sprendinio vienatį. Metodas yra pagrįstas 

energijos tvermės dėsniu. Norint įrodyti sprendinio vienatį pakanka įrodyti 

tą homogeninei lygčiai su nulinėmis kraštinėmis ir pradinėmis sąlygomis. 

Homogeniniams uždaviniams galima parodyti, kad energijos integralas yra 

neneigiama ir nedidėjanti laiko t funkcija. Be to, kai t = 0 energija lygi nuliui 

ir todėl, lygi nuliui visiems t ≥ 0. Energetinį metodą taikysime nagrinėtiems 

šiame skyriuje pradiniams ir kraštiniams uždaviniams. 

4.1 pavyzdys. Nagrinėkime Neumano uždavinį vibruojančiai stygai 

utt − c 2 uxx = F (x, t) 0 < x < L, t > 0, (4.1) 

ux(0, t) = a(t), ux(L, t) = b(t) t ≥ 0, (4.2) 

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (4.3) 

ut(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L. (4.4) 

Tegul u1, u2 yra du uždavinio sprendiniai. Pagal superpozicijos principą funkcija 

w := u1 − u2 yra tokio uždavinio sprendinys 

wtt − c 2 wxx = 0 0 < x < L, t > 0, (4.5) 

wx(0, t) = 0, wx(L, t) = 0 t ≥ 0, (4.6) 

w(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ L, (4.7) 

wt(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ L. (4.8)


Apibrėžkime sprendinio w bendrą energiją laiko momentu t kaip 

E(t) := 1 

2 

L 

0 

(w 2 t + c 2 w 2 x)dx. (4.9) 

Pirmasis sumos narys yra stygos bendra kinetinė energija, o antrasis yra bendra potencinė 

energija. Akivaizdu, kad E išvestinė 

Tačiau 

E ′ (t) = d 

 

1 

dt 2 

L 

0 

(w 2 t + c 2 w 2 

x)dx = 

(wxwt) − wxxwt 

∂x 

Įstatant šią tapatybę į (4.10) gauname 

c 2 wxwxt = c 2 ∂ 

E ′ (t) = c 2 L 

1 

2 0 

 

L 

0 

(wtwtt + c 2 wxwxt)dx. (4.10) 

= c 2 ∂ 

(wxwt) − wttwt. 

∂x 

∂ 

∂x (wxwt)dx = c2 (wxwt)| L 0 . (4.11) 

Kraštinė sąlyga (4.6) reiškia, kad E ′ (t) = 0, todėl E(t) = const ir energija yra pastovi. 

Kai t = 0, w(x, 0) = 0, todėl wx(x, 0) = 0. Be to, wt(x, 0) = 0. Taigi energija laiko 

momentu t = 0 yra lygi nuliui. Vadinasi, E(t) ≡ 0. 

Kadangi energijos tankis e(x, t) := w 2 t + c 2 w 2 x ≥ 0, ir jo integralas intervale [0, L] 

yra lygus nuliui, tai w 2 t + c 2 w 2 x ≡ 0, tai reiškia, kad wt(x, t) = wx(x, t) ≡ 0. Taigi, 

w(x, t) ≡ const. Pagal pradines sąlygas w(x, 0) = 0, vadinasi, w(x, t) ≡ 0. Tai užbaigia 

uždavinio (4.1) - (4.4) sprendinio vienaties įrodymą. 

4.2 pavyzdys. Ankstesniam uždavinyje vietoj (nehomogeninių) Neumano kraštinių sąlygų 

imkime Dirichle kraštinės sąlygas 

u(0, t) = a(t), u(L, T ) = b(t), t ≥ 0. 

Analogiškai ankstesniam uždaviniui naudosime tą patį energijos integralą ir atliksime 

tuos pačius veiksmus. Gauname funkcijai w 

E ′ (t) = c 2 (wxwt)| L 0 . (4.12) 

Kadangi, w(0, t) = w(L, t) = 0, tai wt(0, t) = wt(L, t) = 0, todėl, E ′ (t) = 0 ir šiuo 

atveju energija irgi išsilaiko. Įrodymo pabaiga lygiai tokia pati kaip ir ankstesniame 

pavyzdyje. 

4.3 pavyzdys. Energetinis metodas taip pat gali būti taikomas šilumos laidumo uždaviniui. 

Nagrinėkime Dirichle uždavinį 

ut − kuxx = F (x, t) 0 < x < L, t > 0, (4.13) 

ux(0, t) = a(t), ux(L, t) = b(t) t ≥ 0, (4.14) 

u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ L, (4.15) 

Kaip jau buvo paaiškinta, turime įrodyti, kad jei w yra homogeninio uždavinio su 

nulinėmis pradine ir kraštinėmis sąlygomis sprendinys, tada w = 0. Šiuo atveju, 

apibrėžkime energiją: 

E(t) := 1 

2 

L 

0 

w 2 dx. (4.16)

Išvestinė pagal laiką 

E ′ (t) = d 

 

1 

dt 2 

L 

0 

w 2 

dx = 

L 

0 

wwtdx = 

Integruojant dalimis ir įstatant kraštines sąlygas, gauname 

E ′ (t) = kwwx| L 0 − 

L 

0 

k(wx) 2 dx = − 

L 

0 

L 

0 

60 

kwwxxdx. (4.17) 

k(wx) 2 dx ≤ 0, 

todėl energija nedidėja. Iš E(0) = 0 ir E(t) ≥ 0 seka, kad E ≡ 0. Todėl visiems t ≥ 0, 

w(·, t) ≡ 0 ir vienatis įrodyta. Toks pats įrodymas yra ir Neumano uždaviniui ir netgi 

kai yra trečiojo tipo kraštinė sąlyga: 

kai α, β ≥ 0. 

u(0, t) − αux(0, t) = a(t), u(L, t) + βux(L, t) = b(t), t ≥ 0,

5 skyrius 

Elipsinės lygtys 

1. Įvadas 

Šiame skyriuje nagrinėsime elipsines lygtis, ir, vieną iš svarbiausių elipsinių lygčiu 

– Laplaso lygtį: 

∆u = 0. (1.1) 

2. Elipsinių uždavinių pagrindinės savybės 

Nagrinėkime dviejų nepriklausomų kintamųjų funkciją u(x, y), nors didžiają dalį 

teiginių galima nesunkiai apibendrinti daugiamačiams uždaviniams. Paprastumo 

dėlei nagrinėsime kanonines lygtis, bet nebūtinai homogenines. Tegul D yra 

sritis plokštumoje (netuščia, atvira ir jungi aibė D ⊂ R 2 ). Laplaso lygtis 

∆u := uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ D (2.1) 

Funkcija u, tenkinti (2.1), vadinama harmonine funkcija. 

Laplaso lygtis yra Puasono lygties 

∆u = F (x, y), (2.2) 

atskiras atvejis, čia F yra žinoma funkcija. Lygtį (2.2) Prancūzijos matematikas 

Simeon Poisson (1781-1840) taikė sprendžiant įvairius uždavinius susijusius su 

technika, gravitacija, elektra ir magnetizmu. Todėl ji ir vadinama Puasono 

lygtimi. 

5.1 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir Dirichlė kraštinė sąlyga 

su duotąja funkciją g sudaro Dirichlė uždavinį. 

u(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D (2.3) 

5.1 paveikslas iliustruoja Puasono lygtį su Dirichlė kraštine sąlyga. 

5.2 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir Neumano kraštinė sąlyga 

∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D (2.4) 

su duotąja funkciją g, čia n žymi vienetinę išorinę normalę ant krašto ∂D ir ∂n 

žymi išvestine n kryptimi (t. y. ∂n = n · ∇), sudaro Neumano uždavinį.

for a given function g, is called the Dirichlet problem. In Figure 7.1 we depict the 

problem schematically. 

Definition 7.2 The problem defined by Poisson’s equation and the Neumann 

boundary condition 

∂nu(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂ D, 62 (7.5) 

D 

∂D 

u =g 

∆u =F 

Figure 7.1 A schematic drawing for the Poisson equation with Dirichlet boundary 

conditions. 5.1 pav. Puasono lygtis su Dirichlė kraštine sąlyga. 

5.3 apibrėžimas. Puasono lygtis (2.2) ir trečiojo tipo kraštinė sąlyga 

u(x, y) + α(x, y)∂nu(x, y) = g(x, y), (x, y) ∈ ∂D. (2.5) 

čia α ir g duotosios funkcijas, sudaro trečiojo tipo (Robino) uždavinį. 

Taikymuose sritis dažnai būna kampuota, pavyzdžiui, stačiakampis. Prie 

kampo kraštas yra nediferencijojamas, todėl sprendinys nevisada yra toks glodus, 

kaip mes norėtume. Šiame skyriuje, nagrinėsime tik klasikinius sprendinius, 

t.y. sprendinius, priklausančius C 2 (D). Kartais reikės papildomų sąlygų 

ant krašto. Kartais turi apsiriboti sprendiniais iš C 1 ( ¯ D). 

Nagrinėkime Neumano uždavinį. Šilumos srautas per kraštą turi būti lygus 

šilumos šaltinių srities viduje pagaminamam šilumos kiekiui (šilumos balansas). 

Šis paprastas argumentas yra sekančios lemos fizinė apraiška. 

5.1 lema. Neumano uždavinio sprendinio egzistavimui būtina sąlyga yra 

 

 

g(x(s), y(s))ds = F (x, y)dxdy, (2.6) 

∂D 

kur (x(s), y(s)) yra ∂D parametrizavimas. 

Įrodymas. Yra žinoma, kad ∆u = ∇· ∇u. Todėl galima užrašyti Puasono lygtį 

kaip 

∇· ∇u = F. (2.7) 

Integruojant abi lygybės puses srityje D ir naudojant Gauso teoremą, gauname 

 

 

∇u · nds = F dxdy. 

∂D 

Lemos teiginys seka iš kryptinės išvestinės apibrėžimo ir iš kraštinių sąlygų. ⊓⊔ 

Pastebėkime, kad harmoninėms funkcijoms, t.y. Laplaso lygties (F = 0) 

sprendiniams teisinga 

∂nuds = 0 (2.8) 

bet kuriai uždarai kreivėi Γ, priklausančiai D. 

Γ 

D 

D

63 Elipsinės lygtys [2013 01 22 (17:15)] 

3. Maksimumo principas 

Maksimumo principas yra labai svarbus įrankis antros eilės elipsinių lygčių tyrime. 

Pirmiausia užrašysime "silpnąją" šio principo forma. 

5.1 teorema. [silpnas maksimumo principas] Tegul D yra aprėžta sritis, ir 

u(x, y) ∈ C 2 (D) ∩ C( ¯ D) yra harmoninė funkcija srityje D. Tada funkcijos 

u maksimumas D pasiekimas ant krašto ∂D. 

Įrodymas. Nagrinėkime funkciją v(x, y) ∈ C 2 (D) ∩ C( ¯ D) tenkinančią sąlygą 

∆v > 0 srityje D. Parodysime, kad funkcija v negali turėti lokalaus maksimumo 

D. Iš matematinės analizės kurso žinoma, kad, jei (x0, y0) ∈ D yra funkcijos v 

lokalaus maksimumo taškas, tai ∆v ≤ 0, o tai prieštarauja mūsų prielaidai. 

Kadangi u yra harmoninė funkcija, tai v(x, y) = u(x, y) + ε(x 2 + y 2 ) tenkina 

∆v > 0 bet kuriam ε > 0. Pažymėkime M = max∂D u ir L = max∂D(x 2 + y 2 ). 

Iš padarytų funkcijai v prielaidų seka, kad v ≤ M + εL srityje D. Kadangi 

u = v − ε(x 2 + y 2 ), tai u ≤ M + εL srityje D. Kadangi ε gali būti kiek norima 

mažas, gauname, kad u ≤ M srityje D. ⊓⊔ 

5.1 pastaba. Jei u yra harmoninė D, tada −u irgi yra harmoninė srityje D. 

Tačiau bet kokiai A ir bet kuriai funkcijai u teisinga 

min 

A u = − max 

A (−u). 

Todėl harmoninė funkcija u minimumą taip pat įgyja ant krašto ∂D. 

Ši teorema dar neatmeta galimybės, kad funkcija u didžiausią (arba mažiausią) 

reikšmę taip pat pasiekia vidiniame taške. Įrodysime stipresnį rezultatą, 

kuris teigia, kad, jei u nėra konstanta, tada maksimumas (ir minimumas) negali 

būti pasiektas bet kokiame vidiniame taške. Šiam tikslui pirmiausia reikia 

nustatyti vieną svarbią harmoninių funkcijų savybę. 

5.2 teorema. [Vidutinės reikšmės principas] Tegul D yra sritis plokštumoje, u 

yra harmoninė funkcija ir (x0, y0) ∈ D. Tarkime, kad BR ∈ D yra spindulio 

R diskas su centru (x0, y0). Bet kuriam r > 0 pažymėkime Cr = ∂Br. Tada 

u(x0, y0) yra funkcijos u reikšmių apskritimo CR taškuose vidurkis: 

u(x0, y0) = 1 

 

u(x(s), y(s))ds = 

2πR CR 

1 

2π 

2π 

0 

u(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ)dθ. 

(3.1) 

Įrodymas. Tegul 0 < r ≤ R. Užrašykime v(r, θ) = u(x0 + r cos θ, y0 + r sin θ). 

Apibrėžkime funkcijos v integralą pagal θ: 

V (r) = 1 

 

vds = 

2πr Cr 

1 

2π 

2π 

v(r, θ)dθ. 

0

Diferencijojant pagal r gauname 

Vr(r) = 1 

2π 

 

2π 

0 

vr(r, θ)dθ = 1 

2π 

2π 

0 

∂ 

∂r u(x0+r cos θ, y0+r sin θ)dθ = 1 

2πr 

čia paskutinėje lygybėje panaudota (2.8). Taigi V (r) nepriklauso nuo r, tai 

u(x0, y0) = V (0) = lim V (ρ) = V (r) = 

ρ→0 1 

 

u(x(s), y(s))ds 

2πr 

visiems 0 < r ≤ R. ⊓⊔ 

5.2 pastaba. Atvirkštinis teiginys taip pat teisingas, t.y. tolydi funkcija, kuri 

atitinka vidutinės reikšmės savybę srityje D yra harmoninė. 

Įrodysime kitą šiek tiek silpnesnį rezultatą. 

5.3 teorema. Tegul u ∈ C 2 (D) funkcija, turinti vidutinės reikšmės savybę kiekviename 

srities D taške. Tada u yra harmoninė funkcija D. 

Cr 

 

Cr 

64 

∂nuds = 0. 

Įrodymas. Naudosime prieštaros metodą. Tarkime, kad egzistuoja toks taškas 

(x0, y0) ∈ D, kad ∆u(x0, y0) = 0. Neprarasdami bendrumo tarkime, kad 

∆u(x0, y0) > 0. Kadangi ∆u(x, y) yra tolydi funkcija, tai srityje D pakankamai 

mažiems R > 0 egzistuoja spindulio R diskas BR su centru (x0, y0) toks, kad 

∆u > 0 kiekviename BR taške. Pažymėkime šio disko kraštą CR = ∂BR. Tada 

0 < 1 

2π 

 

BR 

∆udxdy = 1 

2π 

= R 

2π 

= R 

2π 

 

CR ∂nuds 

2π 

0 

∂ 

∂R 

∂ 

∂R u(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ)dθ 

2π 

0 

= R ∂ 

∂R u(x0, y0) = 0. 

u(x0 + R cos θ, y0 + R sin θ)dθ 

(3.2) 

čia (3.2) ketvirtoje lygybėje panaudota prielaida, kad u tenkina vidurinės reikšmės 

sąvybę. Tada u yra harmoninė funkcija D ⊓⊔ 

Kitas harmoninių funkcijų maksimumo principas seka iš vidurinės reikšmės 

teoremos. 

5.4 teorema. [stiprus maksimumo principas] Tegul u yra harmoninė funkcija 

srityje D (sritis nebūtinai aprėžta). Jei u pasiekia maksimumą (minimumą) 

vidiniame srities D taške, tai u yra konstanta. 

Įrodymas. Vėl naudokime prieštaros metodą. Tarkime, kad funkcija u įgyja 

maksimumą vidiniame taške q0 ∈ D. Tegul q = q0 taškas iš D. Pažymėkime 

l glodžią kreivę, kurią D jungiančia taškus q0 ir q (žr. 5.2 pav.). Pažymėkime 

kaip dl atstumą tarp l ir krašto ∂D. Nagrinėkime spindulio dl/2 diską B0

where in the fourth equality in (7.15) we used the assumption that u satisfies the 

mean value property. 

As a corollary of the mean value theorem, we shall prove another maximum 

principle for harmonic functions. 

Theorem 7.10 (The strong maximum principle) Let u be a harmonic function 

in a domain D (here we also allow for unbounded D). If u attains it maximum 

(minimum) at an interior point of D, then u is constant. 

Proof Assume by contradiction that u obtains its maximum at some interior point 

q0. Let q = q0 be an arbitrary point in D. Denote by l a smooth orbit in D connecting 

q0 and q (see Figure 7.3). In addition, denote by dl the distance between l and ∂ D. 

65 Elipsinės lygtys [2013 01 22 (17:15)] 

q 

D 

Figure 7.3 A construction for the proof of the strong maximum principle. 

5.2 pav. Stipraus maksimumo principo įrodymo iliustracija. 

aplink taško q0. Iš dl apibrėžimo ir vidurinės reikšmės teoremos seka, kad u 

yra konstanta B0 (kadangi aibės vidurkis negali būti didesnis nei visi aibės 

elementai). Pasirinksime tašką q1 ∈ l ∩ B0 ir pažymėkime B1 diską spindulio 

dl/2 su centru taške q1. Pagal mūsų konstravimą seka, kad u taip pat pasiekia 

maksimumą taške q1. Gauname, kad u taip pat yra pastovi B1. 

Tęsiame toliau tol, kol pasiekiame diską, kuriame yra taškas q. Darome 

išvadą, kad u(q) = u(q0), nes q yra bet kuris taškas. Iš čia seka, kad u yra 

pastovi srityje D. Atkreipkite dėmesį, kad galima pasirinkti q0, q1, . . . , taip, 

kad diskų B0, B1, . . . , Bnl skaičius yra baigtinis, nes ilgis l yra baigtinis, todėl 

visi diskai turi tą patį spindulį. ⊓⊔ 

5.3 pastaba. Stiprus maksimumo principas garantuoja, kad nepastovios harmoninės 

funkcijos negali įgyti maksimumo arba minimumo vidiniuose D taškuose. 

Atkreipkite dėmesį, kad neaprėžtoje srityje funkcijos u maksimumas (minimumas) 

nebūtinai yra įgyjamas ant ¯ D. Pavyzdžiui, funkcija log(x 2 + y 2 ) yra harmoninė 

ir teigiama vienetinio disko išorėje, ji išnyksta ant srities krašto, bet ji 

neturi maksimumo. 

4. Maksimumo principo taikymai 

Maksimumo principo svarbą parodysime įrodant Dirichlė uždavinio sprendinio 

vienatį ir stabilumą. 

5.5 teorema. Nagrinėkime Dirichlė uždavinį aprėžtoje srityje: 

∆u = f(x, y) (x, y) ∈ D 

u(x, y) = g(x, y) (x, y) ∈ ∂D 

Uždavinys turi ne daugiau nei vieną sprendinį klaseje C 2 (D) ∩ C( ¯ D). 

Įrodymas. Naudosime prieštaros metodą. Tarkime, kad egzistuoja du sprendiniai 

u1 ir u2. Pažymėkime jų skirtumą v = u1 − u2. Iš uždavinio tiesiškumo 

seka, kad v yra harmoninė srityje D, ir lygi nuliui ant krašto ∂D. Iš silpno 

maksimumo principo seka, kad 0 ≤ v ≤ 0. Gavome v ≡ 0. ⊓⊔ 

q 1 

q 0

Pažymėkime, kad D aprėžtumas yra būtinas. Nagrinėkime, pavyzdžiui, Dirichlė 

uždavinį 

66 

∆u = 0 x 2 + y 2 > 4, (4.1) 

u(x, y) = 1, x 2 + y 2 = 4. (4.2) 

Lengva patikrinti, kad kiekviena iš funkciju u1 ≡ 1 ir u2(x, y) = (ln x 2 + y 2 )/ ln 2 

yra uždavinio sprendinys (nėra sprendinio vienaties). 

5.6 teorema. Tegul D yra aprėžta sritis, ir u1, u2 ∈ C 2 (D) ∩ C( ¯ D), yra Puasono 

lygties ∆u = f su Dirichlė sąlygomis g1 ir g2 atitinkamai, sprendiniai. 

Tegul Mg = max∂D |g1(x, y) − g2(x, y)|, tada 

max 

D |u1(x, y) − u2(x, y)| ≤ Mg. 

Įrodymas. Pažymėkime v = u1 − u2. Pagal konstrukciją, v yra harmoninė funkcija 

srityje D ir v = g1 − g2 ant ∂D. Todėl iš maksimumo (ir minimumo) 

principo seka, kad 

⊓⊔ 

min 

∂D (g1 − g2) ≤ v(x, y) ≤ max 

∂D (g1 − g2) ∀(x, y) ∈ D. 

− max 

∂D (g2 − g1) ≤ v(x, y) ≤ max 

∂D (g1 − g2) ∀(x, y) ∈ D.

KONSP.pdf

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?