2paskaita

Turinys 

1 Skaitinis integravimas (labai trumpai) 

Paprastųjų diferencialinių lygčių 

skaitiniai sprendimo metodai 

Olga Štikonienė 

Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 

2 Diferencialinės lygtys 

3 Eulerio metodas 

4 Konvergavimo analizė 

5 Daugiapakopiai Rungės ir Kutos metodai 

Dvipakopiai Rungės ir Kutos metodai 

Tripakopiai Rungės ir Kutos metodai 

6 PDL sistemos 

7 Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teoriją - pavyzdžiai 

Skaitiniai metodai (MIF VU) PDL skaitiniai sprendimo metodai 1 / 41 


Skaitinis integravimas (labai trumpai) 

Sudėtinė kairiųjų stačiakampių formulė 


Sudėtinė dešiniųjų stačiakampių formulė 

 

b 

a 

∫ b 

N∑ 

∫ xi 

N∑ 

f (x)dx = f (x)dx ≈ K N = f (x i−1 )h. 

a 

i=1 

x i−1 i=1 

N 

x 

N 

 

 

i 

N 

xi 1 

h = b − a 

i1 

 

i1 i1 

N 

Sudėtinė kairiųjų stačiakampių formulė 

f(x)dx f(x)dx K f(x )h 

f(x) 

∫ b 

N∑ 

∫ xi 

N∑ 

f (x)dx = f (x)dx ≈ D N = f (x i )h. 

a 

i=1 

x i−1 

x 

N 

i=1 

i 

Sudėtinė dešiniųjų stačiakampių formulė 

N 

b 

 

 

 

N i 1 i 

a 

f(x)dx f(x)dx D 

f(x )h 

x 

i1 i1 

f(x) 

h = b − a 

N 

b 

a 

h 

N 

x 0 h x 1 h x 2 h x 3 h x 4 

x 

b 

a 

h 

N 

x 0 h x 1 h x 2 h x 3 h x 4 

x 




Sudėtinė trapecijų formulė 


Sudėtinė Simpsono formulė 

Sudėtinė trapecijų formulė 

∫ b 

N∑ 

∫ xi 

N∑ f (x i−1 ) + f (x i ) 

b 

N 

x 

N 

i 

f (x)dx = f (x)dx ≈ T N = f(x 

i1 

) f(x 

i) 

f(x)dx 

h i 

a 

a 

i=1 

x i−1 

f(x)dxTN 

 

h 

x 

i 

i1 

2 

i1 i1 

2 

b a 

i=1 

h 

T N = h 

i 

xi x ( f (x 

i1, h 

f (x0 ) + 2f (x 1 ) + · · · + 2f (x N−1 ) + f (x N ) ) 

0 ) 2f(x N1 ) 2f(x 

i ) 2f(x 

N1 ) f(x 

N ) 

2 

2 

b 

a 

h 

N 

Dalimis Sudėtinė kvadratinė Simpsono aproksimacija formulė 

N – lyginis skaičius, h = b−a 

N 

1 4 1 

1 4 1 1 4 1 

1 4 1 

f(x) 

4 

2 

4 

2 

f(x) 

2 

4 

1 

h i = x i − x i−1 , 

h = b−a 

N 

x 0 h x 1 h x 2 h x 3 h x 4 

x 

1 

…... 

x 0 h x 1 h x 2 h x 3 h x 4 x N-2 x N-1 x N 

x 




Sudėtinė Simpsono formulė 

Taikoma, kai yra lyginis skaičius dalinių intervalų. 

∫ b ∫ x2 

∫ x4 

∫ xN 

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + · · · + f (x)dx 

a 

x 0 x 2 x N−2 

Kiekvienam daliniam integralui taikoma Simpsono formulė 

(h i = h = const). 

∫ b 

a 

Arba 

f (x)dx = 

N/2−1 

∑ 

∫ x2i+2 

i=0 

x2i 

S N = b − a 

N−1 

( ∑ 

f (x0 ) + 4 

3N 

i=1,3,5 

f (x)dx ≈ S N = h N−2 

∑ ( 

f (xi ) + 4f (x i+1 ) + f (x i+2 ) ) . 

3 

i=0 

f (x i ) + 2 

N−2 ∑ 

j=2,4,6 

f (x j ) + f (x N ) ) . 



Skaitinio integravimo paklaidos įvertinimo būdai 

Paklaida priklauso nuo intervalų (mazgų) skaičiaus N. 

Reikiama N galima apskaičiuoti iš anksto iš paklaidos įverčiu 

(jei nesunkiai randama funkcijos išvestinė ir jos rėžiai). 

Staciakampių formulės (deš., kair.) 

Trapecijos formulė 

Simpsono formulė 

ε N M 1 

b − a 

2 h. 

(b − a) 

ε N M 2 h 2 . 

12 

ε N M 4 

(b − a) 

180 h4 . 

Skaitiniai metodai (MIF VU) PDL skaitiniai sprendimo metodai 8 / 41

u 

Analizinis Analizinis ir skaitinis ir skaitinis DL sprendimas DL sprendimas 

Diferencialinės lygtys 

Analizinis Analizinis sprendimas sprendimas Skaitinis Skaitinis sprendimas sprendimas 

Analizinis DL sprendimas Skaitinis DL sprendimas 

y(0)=b 

y 

y(0)=b 

y 

1 Surandama sprendinių 

t 

y 

t t t 

•Surandama 

•Surandama 

sprendinių 

sprendinių 

šeima. 

šeima. 

•Pradedame 

•Pradedame 

nuo pradinių 

nuo 

sąlygų 

pradinių sąlygų 

•Pasirenkamas šeima. atitinkantis •Diskretizavimas pagal laiką, salygų. 

•Pasirenkamas atitinkantis •Diskretizavimas pagal laiką, 

pradines sąlygas sprendinys pasirenkamas mažas žingsnis t 

2 pradines Pasirenkamas sąlygas sprendinys atitinkantis pasirenkamas mažas žingsnis t 

•Užrašoma analizine sprendinio •Randamas apytikslis sprendinys 

•Užrašoma analizine sprendinio •Randamas apytikslis sprendinys 

y(t) formulė pradines sąlygas sprendinys. 

kiekvienu laiko momentu 

y(t) formulė 

kiekvienu laiko momentu 

3 •Surandamas diskretusis sprendinys: 

Užrašoma analizinė 

(t 0 ,y 0 ), (t 1 ,y 1 ), 

•Surandamas žingsnis 

… 

diskretusis ∆t. sprendinys: 

(t 0 ,y 0 ), (t 1 ,y 1 ), … 

sprendinio y(t) formulė. 

t 

y 

t 0 , y 0 

t 1 , y 1 

t 2 , y 2 t 3 , 

t 0 , y 0 

t 1 , y 1 

t 2 , y 2 

y 3 

t 3 , y 3 

t t t 

t 

t 

1 Pradedame nuo pradinių 

2 Diskretizavimas pagal laiką, 

pasirenkamas mažas 

3 Randamas apytikslis 

sprendinys kiekvienu laiko 

momentu. 

4 Surandamas diskretusis 

sprendinys: (t 0 , y 0 ), (t 1 , y 1 ), . . . 


PDL + pradinės sąlygos 


du Koši uždavinys (PDL + pradinės sąlygos) 

f ( tu , ) ; t0, (0 tT) 

ut () - tikslusis 

dt 

sprendinys 

Diferencialinis uždavinys 

u(0) 

u0 

Tolygusis diskretusis tinklas 

 

du 

dt = f (t, u), 0 ≤ t ≤ T u(t) - tikslusis sprendinys. 

u(0) = u 0 . 

n: n 

, 0,... , , 

N 

Tolygusis diskretusis tinklas 

T 

ω τ = {t n : t n 

= nτ, - n žingsnis = 0, . . . , N, t N = T}, τ = T N 

N − žingsnis. 

t t n n N t T 

 

t 0 =0 t t 

1 τ t N-1 N =T 

Baigtinių skirtumų uždavinys (paprasčiausias atvejis) 

U n+1 −U n 

τ = f (t n , U n ) 

U 0 = u 0 . 

U n = U(t n ) - PDL sprendinio 

diskretusis artinys. 



Skaitinio sprendimo formulės 

Eulerio metodas 


∫ tn+1 

: 

t n 

du 

dt = f (t, u) ⇒ u(t n+1) − u(t n ) = 

Kairiųjų stačiakampių formulė 

∫ tn+1 

t n 

f (t, u)dt 

U n+1 − U n = τf (t n , U n ) 

Išreikštinis Eulerio 

metodas 

Dešiniųjų stačiakampių formulė 

U n+1 − U n = τf (t n+1 , U n+1 ) 

Neišreikštinis Eulerio 

metodas 

Trapecijų formulė 

U n+1 − U n = τ ( 

f (tn , U n ) + f (t n+1 , U n+1 ) ) Simetrinis Eulerio 

2 

metodas 


Aproksimuoja išvestinę baigtiniu skirtumu 

du 

dt ≈ u n+1 − u n 

t n+1 − t n 

= f (t n , u n ) ⇒ u n+1 = u n + τf (t n , u n ), 

τ = t n+1 − t n . 

Lokali paklaida (Teiloro formulė) 

u n+1 = u n + u ′ nτ + u ′′ τ 2 

n 

2 + · · · + τ N 

u(N) n 

N! + R N, R N = u (N+1) τ N+1 

(ξ) 

(N + 1)! , 

arba 

u n+1 = u n + f (t n , u n )τ + f ′ (t n , u n ) τ 2 

2 + · · · + f (N−1) (t n , u n ) τ N 

N! + O(τ N+1 ). 



Išreikštinis Eulerio metodas - 1 pavyzdys 


Eulerio metodas - 1 pavyzdys 

du 

dt = t√ u, u 0 = 1, 0 ≤ t ≤ 1. 

Analizinis sprendinys 

u = ( 1 + t2 ) 2 

4 

1.6 

du 

dt = t√ u, u 0 = 1, 0 ≤ t ≤ 1. 

u(t)=(1+t 2 /4) 2 

Eulerio metodo aproksimacija: U n+1 = U n + τf n , f n = t n 

√ 

U n 

τ = 0, 5 , U 0 = 1 

U 1 = U 0 + τf (0; 1) = 1 + 0, 5 · 0 · √1 

= 1 

U 2 = U 1 + τf (0, 5; 1) = 1 + 0, 5 · 0, 5 · √1 

= 1, 25 

τ = 0, 25 , U 0 = 1 

U 1 = U 0 + τf (0; 1) = 1 + 0, 25 · 0 · √1 

= 1 

U 2 = U 1 + τf (0, 25; 1) = 1 + 0, 25 · 0, 25 · √1 

= 1, 0625 

U 3 = U 2 + τf (0, 5; 1, 0625) = 1, 0625 + 0, 25 · 0, 5 · √1, 0625 = 1, 191347 

U 4 = U 3 + τf (0, 75; 1, 191347) = 1, 39600. 


τ=0.25 

τ=0.5 

1.5 

τ=0.125 

τ=0.0625 

u(t) 

1.4 

1.3 

1.2 

1.1 

1 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 

t 



Eulerio metodas - 2 pavyzdys 

du 

dt = −u + sin t, u 0 = 1, 

0 ≤ t ≤ π, žingsnis τ = 0, 1π. 

Eulerio Tikslusis metodas sprendinys – pavyzdys (—) 

u = 1, 5e −t du ( h = 0,1 ) 

usin t ; u(0) 1 

dt 

+ 0, 5 sin t − 0, 5 cos t. 

Eulerio metodas - pavyzdys 

du 

usin t, u(0) 1, 0 t , 0,1 . 

dt 

step t y 

1 0.0000000000 1.0000000000 

2 0.3141592654 0.6858407346 

3 0.6283185307 0.5674580652 

4 0.9424777961 0.5738440394 

5 1.2566370614 0.6477258022 

6 1.5707963268 0.7430199565 

7 1.8849555922 0.8237526182 

8 2.1991148575 0.8637463173 

9 2.5132741229 0.8465525934 

Eulerio 10 metodas 2.8274333882 – pavyzdys du 0.7652584356 ( h = 0,05 ) 

u t u(0) ; 

sin 1 

11 3.1415926536 dt 0.6219259596 

Tikslusis sprendinys 

y 15 1,5e t 

0,5sin 05 t-0,5cos 

05 t 

τ = 0, 1π 

τ = 0, 05π (tik brėžinys) 


Konvergavimo analizė 

Eulerio metodo konvergavimo analizė 

Įveskime matą, leidžiantį įvertinti diferencialinio uždavinio 

pakeitimo diskrečiuoju tikslumą: 

T n U := − Un+1 − U n 

τ 

+ σf (t n+1 , U n+1 ) + (1 − σ)f (t n , U n ) 

σ = 0 - išreikštinis Eulerio metodas; 

σ = 1 - neišreikštinis Eulerio metodas; 

σ = 0, 5 - simetrinis Eulerio metodas. 

⇒ T n U = 0, n = 0, 1, . . . , N − 1. 

Baigtinių skirtumų schemos aproksimavimo paklaida (netiktis) 

Ψ n := T n u = − un+1 − u n 

+ σf (t n+1 , u n+1 ) + (1 − σ)f (t n , u n ) 

τ 

u - tikslusis sprendinys 

⇒ T n u = Ψ n , n = 0, 1, . . . , N − 1. 



Baigtinių skirtumų schemos aproksimavimo 

paklaida 

Ψ n = − un+1 − u n 

+ σf (t n+1 , u n+1 ) + (1 − σ)f (t n , u n ) 

τ 

Baigtinių skirtumų schema aproksimuoja PDL, jei 

‖Ψ n ‖ → 0, kai τ → 0. 

Metodo aproksimavimo eilė yra p-toji, jeigu 

‖Ψ n ‖ = O(τ p ), t. y.‖Ψ n ‖ ≤ Cτ p . 

Išreikštinis Eulerio metodas ‖Ψ n ‖ = O(τ), p = 1. 

Neišreikštinis Eulerio metodas ‖Ψ n ‖ = O(τ), p = 1. 

Simetrinis Eulerio metodas ‖Ψ n ‖ = O(τ 2 ), p = 2. 



Skaitinio metodo stabilumas ir konvergavimas 

Apibrėžimas. 

Metodas konverguoja taške t = t n , jei 


‖U n − u(t n )‖ → 0, kai τ → 0. 

Metodas konverguoja intervale [0, T], jei jis konverguoja bet 

kuriame taške t = t n , iš [0, T]: 


max 

n=1,...,N ‖Un − u(t n )‖ → 0, kai τ → 0. 

Metodo tikslumo eilė yra p-toji, jei 

max 

n=1,...,N ‖Un − u(t n )‖ = O(τ p ). 





Metodas yra stabilus, jei 

Teorema. 

‖U n+1 − u(t n+1 )‖ ≤ (1 + C 1 τ)‖U n − u(t n )‖ + C 2 τ‖Ψ n ‖. 

Tegul baigtinių skirtumų metodas (BSM) aproksimuoja PDL Koši 

uždavinį ir ‖Ψ n ‖ = O(τ p ). 

Jei BSM yra stabilus, tai U n konverguoja į tikslųjį sprendinį, o 

metodo tikslumo eilė yra p-toji: 

‖U n − u(t n )‖ = O(τ p ). 

Konvergavimas = aproksimavimas + stabilumas. 



Kompiuterių panaudojimas diferencialinių lygčių sprendime 

atskleidė skaitinio nestabilumo reiškinį. 

aproksimavimas + stabilumas=konvergavimas. 

Aproksimavimas - charakterizuoja kiek diskretusis modelis 

skiriasi nuo diferencialinio. Paprastai diskretusis modelis 

priklauso nuo parametro, pvz. τ. Kad diferencialinio 

uždavinio sprendinys tenkintų diskretųjį uždavinį, reikalinga šio 

uždavinio lygtyse ir sąlygose (pradinėse, kraštinėse) pridėti 

papildomas dalis (funkcijas), kurios vadinamos netiktimis. 

Stabilumas - lokalios (vieno žingsnio pagal laiko) paklaidos 

veliau negali išaugti neribotai. 

Konvergavimas - skaitinis sprendinys konverguoja į DL 

sprendinį, kai ∆t → 0, jei nedaroma apvalinimo paklaidu. 



Daugiapakopiai Rungės ir Kutos metodai 

m-pakopis išreikštinis Rungės ir Kutos metodas 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = 

k 3 = 

f (t n + τ n+1 a 2 , U n + τ n+1 b 21 k 1 ) 

f ( t n + τ n+1 a 3 , U n + τ n+1 (b 31 k 1 + b 32 k 2 ) ) 

k m = 

RK metodo matrica 

. 

f 

(t n + τ n+1 a m , U n ∑ ) 

+ τ m 

n+1 j=1 b mjk j 

∑ m 

U n+1 = U n + τ n+1 σ j k j 

j=1 

a 2 b 21 

a 3 b 31 b 32 

(išreikštinė formulė) 

. 

a m b m1 b m2 · · · b m,m−1 

σ 1 σ 2 · · · σ m−1 σ m−1 



Rungės ir Kutos metodų tikslumo eilė 

Prisiminkime, kad 

Metodo tikslumo eilė yra p-toji, jei 

Arba 

max 

n=1,...,N |Un − u(t n )| = O(τ p ). 

‖U n − u(t n )‖ = C(t n , U)τ p + O(τ p+1 ). 

RK metodo aproksimacijos tikslumo eilės priklausomybė nuo 

etapų skaičiaus 

Etapų skaičius m 1 2 3 4 5 6 7 8 

Tikslumo eilė p 1 2 3 4 4 5 6 6 




Dvipakopio Rungės ir Kutos metodo koeficientų nustatymas 



Dvipakopiai Rungės ir Kutos metodai • Bendroji (m=2) schema 

n 

k f( t , U ) 

1 n 

Dvipakopiai Rungės ir Kuto metodai 

 

k2 f( 

tn 

a2 

n1 

U 

 

n 

U 

1 

Pažymėkime f = f (t n , U n ), f t = ∂f 

∂t (t n, U n ), f u = ∂f 

∂u (t n, U n ). 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = f (t n + τa 2 , U n + τb 21 k 1 ) = f + τa 2 f t + τb 21 ff u + O(τ 2 ) 

⇒ U n+1 = U n +τ(σ 1 k 1 +σ 2 k 2 ) = U n ( 

+τσ 1 f +τσ 2 f +τa2 f t +τb 21 ff u +O(τ 2 ) ) 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = f (t n + τa 2 , U n + τb 21 k 1 ) 

⇓ 

U n+1 = U n + τ(σ 1 k 1 + σ 2 k 2 ) 

3 lygtys, 4 nežinomieji 

k 1 

k 2 

σ 1 k 1 + σ 2 k 2 

Pataisytas 

krypties 

koeficientas 

t n t n + τ a 2 t n+1 = t n +τ 

U n+1 = U n + τf (σ 1 + σ 2 ) + τ 2 f t σ 2 a 2 + τ 2 f u f σ 2 b 21 + O(τ 3 ) 

Lyginame su Teiloro eilute 

u(t + τ) = u(t) + τf + τ 2 f t 

2 + τ 2 f uf 

2 + O(τ 3 ) 

4 nežinomieji (σ 1 , σ 2 , a 2 , b 21 ) 

trijų lygčių sistema: 

σ 1 + σ 2 = 1 

σ 2 a 2 = 1 2 

σ 2 b 21 = 1 2 

σ 1 + σ 2 = 1 

σ 2 a 2 = 1 2 

σ 2 b 21 = 1 2 

Heun’s method σ = 1 2 

1 1 

1 

2 

1 

2 

parametras 

σ 2 = σ 

Bendroji schema 

1 

2σ 

1 

2σ 

1 − σ σ 

Midpoint method σ = 1 

1 

2 

1 

2 

0 1 





Dvipakopiai Rungės ir Kutos metodai n 

k f( t , U ) (m=2) 

Heun’s method 

σ = 1 2 

1 1 

1 

2 

1 

2 

Midpoint method 

σ = 1 

1 

2 

1 

2 

0 1 

Ralston’s Method 

3 

4 

3 

4 

1 

3 

2 

3 

Dvipakopis Rungės ir Kuto metodas 

1 n 

n 

k 

Heun’s method: σ 2 = σ 1 = 1/2, a 2 = 1, b 2 f( t , 

21 = 1 n 

U 

n1 

n 

U U 

( k k 

k 2 

Dvipakopis k 1 

Rungės ir Kuto metodas 

n 

k f( t , U ) 

1 n 

Midpoint method 

 

( , 

n 

 

k f t U k 

pasirinkome t σ 2 = 1 t = σt n+τ 1 = 0, a 2 = 1/2, b 21 = 1/2 2 

n1 

2 n 

2 

n 

n+1 

U 

n 

U 

k2 

k 1 

k 2 

1 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = f (t n + τ, U n + τk 1 ) 

U n+1 = U n + τ 2 (k 1 + k 2 ) 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 

k 2 = f (t n + τ 2 , Un + τ 2 k 1 f( tn, U ) 

1) 

3 

U n+1 n 3 

Ralston’s Method k 

• Antros eilės Rungės ir Kuto metodas = U n 2 f( ti , U k1 

) 

4 4 + τk 2 

n1 

n 1 2 

• σ 2 = 2/3 σ 1 = 1/3, a 2 = bU 21 = 3/4 

U ( k1 k2) 

 

3 3 

t n t n+1/2 t n+1 = t n+τ 

k 2 

k 1 

k 1/3 + 2k 2/3 

t n t n+3τ/4 t n+1 = t n+ τ 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = f (t n + 3 4 τ, Un + 3 4 τk 1) 

U n+1 = U n + τ( 1 3 k 1 + 2 3 k 2) 



Pavyzdys - dvipakopis RK metodas σ 2 = 1 

Dvipakopis Rungės ir Kuto metodas σ 2 = 1 

[0 pi] tau=0.05*pi; 

step t y 

1 0.0000000000 1.0000000000 

2 0.1570796327 0.8675816988 

3 0.3141592654 0.7767452235 

4 0.4712388980 0.7206165079 

5 0.6283185307 0.6927855807 

6 0.7853981634 0.6872735266 

7 0.9424777961 0.6985164603 

8 1.0995574288 0.7213629094 

9 1.2566370614 0.7510812520 

10 1.4137166941 0.7833740988 

11 1.5707963268 0.8143967658 

12 1.7278759595 0.8407772414 

13 1.8849555922 0.8596353281 

14 2.0420352248 0.8685989204 

15 2.1991148575 0.8658156821 

16 2.3561944902 0.8499586883 

17 2.5132741229 0.8202249154 

18 2.6703537556 0.7763257790 

19 2.8274333882 0.7184692359 

20 2.9845130209 0.6473332788 

21 3.1415926536 0.5640309524 

dy 

y sin( t) 

dt 

y( 

0) 

1 





Tripakopiai Rungės ir Kutos metodai (m=3) 

Bendroji schema 

k 1 = f (t n , U n ) 

a 2 b 

k 2 = f (t n + τa 2 , U n + τb 21 k 1 ) 

Tripakopiai 21 

Rungės ir Kuto 

a 3 b 31 b 

k 3 metodai = f ( t n + τa 3 , U n + τ(b 31 k 1 + b 32 k 2 ) ) 

32 

⇓ 

σ 1 σ 2 σ 3 

• Bendroji schema 

U n+1 = U n + τ(σ 1 k 1 + σ 2 k 2 + σ 3 k 3 ) 

k 1 

k 2 

k 3 

Pataisytas 

krypties 

koeficientas 



Tripakopiai Rungės ir Kutos metodai (m=3) 

Klasikinis 

1 1 

2 2 

1 −1 2 

1 

6 

4 

6 

1 

6 

Nearly Optimum Method 

1 1 

2 2 

3 3 

4 0 4 

2 1 

9 3 

4 

9 

Simpsono formulės analogas 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = 

k 3 = 

f (t n + τ 2 , Un + τ 2 k 1) 

f ( t n + τ, U n + τ(−k 1 + 2k 2 ) ) 

U n+1 = U n + τ 6 (k 1 + 4k 2 + k 3 ) 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = 

k 3 = 

f (t n + τ 2 , Un + τ 2 k 1) 

f ( t n + 3 4 τ, Un + 3 4 τk ) 

2 

U n+1 = U n + τ 9 (2k 1 + 3k 2 + 4k 3 ) 

t n t n +a 2 τ t n +a 3 τ t n+1 = t n +τ 

Nystrom Method 

2 2 

3 3 

2 2 

3 0 1 3 

4 8 

3 

8 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = 

k 3 = 

f (t n + 2 3 τ, Un + 2 3 τk 1) 

f ( t n + 2 3 τ, Un + 2 3 τk ) 

2 

U n+1 = U n + τ 8 (2k 1 + 3k 2 + 3k 3 ) 





4-pakopiai Rungės ir Kutos metodai 

Pavyzdys 



4-pakopis Rungės ir Kuto metodas 

2 pavyzdys 

k 1 = f (t n , U n ) 

k 2 = f (t n + 1 2 τ, Un + 1 2 τk 1) 

k 3 = f ( t n + 1 2 τ, Un + 1 2 τk ) 

2 

k 4 = f ( t n + τ, U n ) 

+ τk 3 

U n+1 1 

( k 

= U n + τ 1 2k2 

 

6 (k 2k3 

k4 

4-pakopiai Rungės ir Kuto 6 metodai 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 

k 1 

k 2 

k 3 

k 4 

) 

t n t n + τ/2 t n + τ 

[0 pi] tau=0.05*pi 

step t y 

1 0.0000000000 1.0000000000 

2 0.1570796327 0.8663284784 

3 0.3141592654 0.7745866433 

4 0.4712388980 0.7178375776 

5 0.6283185307 0.6896194725 

6 0.7853981634 0.6839104249 

7 0.9424777961 0.6951106492 

8 1.0995574288 0.7180384347 

9 1.2566370614 0.7479364401 

10 1.4137166941 0.7804851708 

11 1.5707963268 0.8118207434 

12 1.7278759595 0.8385543106 

13 1.8849555922 0.8577907953 

14 2.0420352248 0.8671448731 

15 2.1991148575 0.8647524420 

16 2.3561944902 0.8492761286 

17 2.5132741229 0.8199036965 

18 2.6703537556 0.7763385417 

19 2.8274333882 0.7187817811 

20 2.9845130209 0.6479057500 

21 3.1415926536 0.5648190301 

dy 

y sin( t) 

dt 

y( 

0) 

1 



Pavyzdys 



PDL sistemos 

Aukštesnės eilės PDL ir PDL sistemos 

Metodų tikslumo palyginimas 

dy 

y sin( t 

0 ≤ t ≤ π. 

dt 

Eulerio 

Midpoint 

Predikt-Korekt. 

(iteracinis) 

RK4 

du 

dt = −u + sin t, u 0 = 1, 

) ; y( 

0) 

1 

τ = 0,1 

Metodų tikslumo palyginimas y sin( t) ; 

Eulerio 

Midpoint 

Predikt-Korekt 

(iteracinis) 

RK4 

dy 

y( 

0) 

1 

dt 

τ = 0,05 

Koši uždavinys: 

n-osios eilės PDL 

y (n) = f ( t, y, y ′ , . . . , y (n−1)) , 

y(t 0 ) = a 1 , y ′ (t 0 ) = a 2 , · · · , y n−1 (t 0 ) = a n . 

pirmos eilės PDL sistemai 

dy 1 

dt = f 1 (t, y 1 , y 2 , · · · , y n ), 

dy 2 

dt = f 2 (t, y 1 , y 2 , · · · , y n ), 

. . 

dy n 

dt = f n (t, y 1 , y 2 , · · · , y n ), 

y 1 (t 0 ) = a 1 , 

y 2 (t 0 ) = a 2 , 

. 

y n (t 0 ) = a n . 



PDL sistemos 

PDL sistemos - Vektorinis pavidalas 

Vektorinis pavidalas 

PDL sistemos 

Skaitiniai metodai 1-os eilės PDL sistemai 


x n+1 = x n + τf (t n , x n ), 

čia t n = t 0 + nτ. 

m-pakopis Rungės ir Kutos metodas 

x - vektorius: 

⎛ 

x = ⎜ 

⎝ 

x 1 

x 2 

· · · 

x n 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

y ′ = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 

f(x) - vektorinė funkcija: 

⎛ 

f(x) = ⎜ 

⎝ 

f 1 (x 1 , · · · , x n ) 

f 2 (x 1 , · · · , x n ) 

· · · 

f n (x 1 , · · · , x n ) 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

čia 

∑ m 

x n+1 = x n + τ n+1 σ j k nj , 

j=1 

k n1 = f(t n , x n ) 

k n2 = 

k n3 = 

f(t n + τ n+1 a 2 , x n + τ n+1 b 21 k n1 ) 

f ( t n + τ n+1 a 3 , x n + τ n+1 (b 31 k n1 + b 32 k n2 ) ) 

k nm = 

. 

f 

(t n + τ n+1 a m , x n ∑ ) 

+ τ m 

n+1 j=1 b mjk nj 



PDL sistemos 

Eulerio metodas 1-os eilės PDL sistemai 

PDL sistemos 

Išspręskime PDL sistemą taške t = 0, 2: 


Eulerio metodas vienai lygčiai 

U n+1 = U n + τf (t n , U n ) 

Eulerio metodas dviejų lygčių PDL sistemai 

U n+1 

1 = U1 n + τf 1(t n , U1 n, Un 2 ) 

U n+1 

2 = U2 n + τf 2(t n , U1 n, Un 2 ) 


x ′ = x − 4y 

y ′ = −x + y 

x(0) = 1, y(0) = 0 

Eulerio metodas: (bendra formulė) 

X n+1 = X n + τf 1 (t n , X n , Y n ) 

Y n+1 = Y n + τf 2 (t n , X n , Y n ) 

Skaitinis sprendinys(žingsnis τ = 0, 1): 

X 1 = 1 + 0, 1(1 − 4 · 0) = 1, 1 

Y 1 = 0 + 0, 1(−1 + 0) = −1 

X 2 = 1, 1 + 0, 1(1, 1 − 4 · (−0, 1)) = 1, 1 + 0, 15 = 1, 25 

Y 2 = −0, 1 + 0, 1(−1, 1 − 0, 1) = −0, 1 − 0, 12 = −0, 22. 


x(0, 2) = 1, 3204248 

y(0, 2) = −0, 25084701. 

uždaviniui 

x(t) = e−t +e 3t 

2 

y(t) = e−t −e 3t 

4 

X n+1 = X n + τ(X n − 4Y n ) 

Y n+1 = Y n + τ(−X n + Y n ) 

Eulerio metodo paklaida 

∆x ≈ 0, 0704 (5, 3%) 

∆y ≈ 0, 0308 (12, 3%) 


PDL sistemos 

Aukštesnės eilės PDL pavyzdys (tęsinys) 

PDL sistemos 

Aukštesnės eilės PDL pavyzdys. Rezultatų analizė. 

4-pakopis 

Rungės ir Kutos 

metodas (RK4): 

uždaviniui (žingsnis τ = 0, 2): 

( ) ( ) 

f1 (1; 0) 1 

k 01 = 

= 

f 2 (1; 0) −1 

( 

f1 (1, 1; −0, 1) 

k 02 = 

f 2 (1, 1; −0, 1) 

( 

f1 (1, 15; −0, 12) 

k 03 = 

f 2 (1, 15; −0, 12) 

( 

f1 (1, 326; −0, 254) 

k 04 = 

f 2 (1, 326; −0, 254) 

k n1 = f(t n , x n ) 

k n2 = f(t n + τ/2, x n + (τ/2)k n1 ) 

k n3 = f ( t n + τ/2, x n + (τ/2)k n2 ) ) 

k n4 = f ( t n + τ, x n + τk n3 ) ) 

x n+1 = x n + τ 6 (k n1 + 2k n2 + 2k n3 + k n4 ). 

) ( 1, 5 

= 

−1, 2 

) 

= 

) 

= 

) 

( 1, 63 

−1, 27 

) 

( 2, 342 

) 

−1, 580 

Skaitinis sprendinys 

X 1 = 1 + 0,2 

6 · 9, 602 = 

1, 3200667 

Y 1 = 0 + 0,2 

6 · (−7, 52) = 

−0, 25066667. 


x(0, 2) = 1, 3204248 

y(0, 2) = −0, 25084701. 

RK metodo paklaida 

∆x ≈ 0, 000358 (0, 027%) 

∆y ≈ 0, 000180 (0, 071%) 


x(0, 2) = 1, 3204248 

y(0, 2) = −0, 25084701. 

Skaitinis sprendinys Eulerio 

metodu 

X 2 = 1, 25 

Y 2 = −0, 22. 

Eulerio metodo paklaida 

∆x ≈ 0, 0704 (5, 3%) 

∆y ≈ 0, 0308 (12, 3%) 

Skaitinis sprendinys RK4 

metodu 

X 1 = 1, 3200667 

Y 1 = −0, 25066667. 

RK metodo paklaida 

∆x ≈ 0, 000358 (0, 027%) 

∆y ≈ 0, 000180 (0, 071%) 

Šis pavyzdys rodo tikslesnių metodų taikymo privalumus. 

RK4 metodas - du kartus daugiau funkcijų reikšmių 

apskaičiavimų, nei skaičiuojant Eulerio metodu, bet jo paklaida 

šiam uždaviniui yra apie 200 kartų mažesnė nei Eulerio metodo 

paklaida. 



PDL sistemos 

Pavyzdys: Lotkos ir Volteros modelis 

Pirmosios eilės PDL sistema yra 

Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teoriją - pavyzdžiai 

Pavyzdžiai 

Sprendinio egzistavimas apibrėžiamas funkcijos f savybemis: 

DL, sritis D, sprendinys ϕ(x), apibr. sritis. I 

y ′ 1 = (a − by 2 )y 1 , 

y ′ 2 = (−c + dy 1 )y 2 . 

y 1 (t), y 2 (t) - aukų ir grobuonių populiacijų dydis, t ∈ [t 0 , T] - laikas. 



Įvadas į kokybinę paprastųjų DL teoriją - pavyzdžiai 

Integralinių kreivių kokybinį vaizdą pilnai nusako DL dešinioji pusė. 

Kartais pavaizduotos integralinės kreivės yra panašios (1.2 ir 1.6 

pav.). Tokios integralinių kreivių šeimos yra kokybiškai ekvivalenčios. 

1.7 ir 1.8 pav. nėra sprendinio vienaties.

2paskaita

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?