Acrobat 4.0 penkuzd.pdf faile - Matematikos ir Informatikos fakultetas

LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLA
5 tema. OPTIMIZAVIMO UŽDAVINIAI
(2001-2003)
Teorinę medžiagą parengė bei penktąją užduotį sudarė Vilniaus universiteto docentas Antanas Apynis
Matematikos grožis slypi vidinėje šio mokslo harmonijoje.
Daugelį patraukia matematikos filosofiniai aspektai, gi praktiškesni
žmonės ja žavisi dėl plačių matematikos taikymo galimybių.
Labiau įsigilinę suvoktume, kad matematikos žinios dažniausia
taikomos netiesiogiai. Iš pradžių sudaromas problemos matematinis
modelis (tam tikras matematinis uždavinys), kuris toliau nagrinėjamas
naudojantis turimomis matematikos žiniomis.
Spręsdami optimizavimo (geriausių elgesio strategijų, variantų,
sprendimų, paieškos) uždavinius, susipažinsime su tiesinių
funkcijų, tiesinių lygčių bei nelygybių taikymo ūkinėje veikloje
ir, apskritai, ekonomikoje kai kuriais aspektais. Žinoma, tai bus tik
pati pradžia, todėl nesileisime į gilesnius samprotavimus, neformuluosime
apibendrinančių teiginių, neaiškinsime sunkesnių
sprendimo metodų. Išsamesnių žinių moksleiviai galėtų rasti
jiems skirtoje P. Tannenbaumo ir R. Arnoldo knygoje „Kelionės į
šiuolaikinę matematiką“ (Vilnius: TEV, 1995), A. Apynio ir
E. Stankaus knygelėje „Elementarus matematikos taikymas ekonomikoje“
(Vilnius: Presvika, 1997) bei kituose leidiniuose.
1. Tiesinė funkcija ir tiesinė lygtis. Tiesinė vieno kintamojo
x funkcija y Γ f (x)
paprastai užrašoma tiesine lygtimi
y _ mx Μ n (čia m ir n – realieji skaičiai) arba tiesine lygtimi
ax ° by R c ( a , b,
c – realieji skaičiai). Šios funkcijos grafikas
(skaičių porų ( x ; y)
, tenkinančių lygtį, aibė) Dekarto koordinačių
sistemoje yra tiesė. Norėdami ją nubrėžti, turėtume pasirinkti bet
kuriuos du lygties sprendinius, sakykime, ( x← y←)
ir ( x←← ; y←
) ,
pažymėti plokštumoje ir per juos išvesti tiesę.
1 pavyzdys. Tarkime,
kad tiesinės funkcijos y
(-2; 6)
lygtis yra 3x 5 2y
Γ 6 .
Brėždami jos grafiką (žr.
1 pav.), pasirinkime sprendinius
(2; 0) ir (0; 3).
Lengva suvokti, kad
(0; 3)
pasirinkę kitą sprendinių
porą, pavyzdžiui, ( 4; 3)
ir ( 2; 6)
, gautume tą pačią
(2; 0)
tiesę.
Atkreipkime dėmesį į
tai, kad tiesinės lygties
ax ° by R c sprendiniai
yra tiesėje, lygiagrečioje
O
x
(4; -3)
su ordinačių ašimi Oy , kai
1 pav.
koeficientas b lygus nuliui. Ši tiesė lygiagreti su abscisių ašimi
Ox , kai a Ο 0 . Kai laisvasis narys c lygus nuliui, tai tiesė eina
per koordinačių pradžios tašką.
2 pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių lygčių
1) 0 ⎡ x = 3⎡
y Ο 6 , 2) 2 ⎡ x = 0 ⎡ y Ο 8 , 3) 2 ⎡ x = 5 ⎡ y Ο 0
sprendinių aibes.
Sprendimas. Ieškomąsias tieses pažymėkime atitinkamai L 1 ,
L 2 ir L 3 . Joms nubrėžti pasirinkime po du kiekvienos lygties
sprendinius. Tiesę L 1 brėžiame per taškus ( 4; 2)
ir ( 1; 2)
, tiesę
L 2 – per taškus
( 4; 2)
ir
( 4; 0) , o tiesę
L 3 – per taškus
( 0; 0)
ir
(15;
2) (žr.
2 pav.). Tiesė
(-5; 2)
y
(1; 2) (4; 2)
(0; 0) (4; 0)
2 pav.
L 3
L 1
x
L 1 yra lygiagreti su ašimi Ox , tiesė L 2 lygiagreti su ašimi Oy , o
L 3 eina per koordinačių sistemos pradžios tašką.
Pastaba. Tiesinės lygties su dviem nežinomaisiais narys su
lygiu nuliui koeficientu paprastai praleidžiamas (nerašomas).
Taigi lygtis 0 ⎡ x = 3⎡
y Ο 6 užrašoma tiesiog 3 y _ 6 arba
y _ 2 , o lygtis 2 ⎡ x = 0 ⎡ y Ο 8 keičiama lygtimi 2x
R 8 , arba
x = 4 .
2. Tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais ir jų sistemos.
Nelygybė su dviem nežinomaisiais, tarkime, x ir y , vadinama
tiesine nelygybe, jeigu ją galima užrašyti kuriuo nors iš šių būdų:
ax = by ∝ c , ax = by Ν c , ax = by ⊕ c , ax = by Π c . Bet kurios
tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendinių aibės
geometrinis vaizdas (grafikas) stačiakampėje Dekarto koordinačių
sistemoje yra pusplokštumė. Jos kraštas – tiesė L , kurios
lygtis yra ax = by Ο c . Turėtume atkreipti dėmesį į tai, kad pusplokštumės
kraštas – tiesė L priklauso tiesinės nelygybės
ax = by ∝ c ( ax = by ⊕ c ) sprendinių aibės grafikui. Griežtos
tiesinės nelygybės ax = by Ν c ( ax = by Π c ) sprendinių aibės
grafikui tiesė L nepriklauso.
Apibendrindami suformuluosime tokią tiesinės nelygybės
ax = by ∝ c ( ax = by ⊕ c ) sprendinių aibės (pažymėkime ją X )
grafinio vaizdavimo schemą. Iš pradžių brėžiame tiesę L , kurios
lygtis ax = by Ο c . Paskui pasirenkame bet kurį tašką, tarkime,
( x 0 ; y0
) šalia tiesės
L (žr. 3 pav.). Jei
y
X
ax0 η by0
ψ c , tai
aibė X yra pusplokštumė
(su kraštu
ax+by < c
(ax+by > c)
– tiese L ), kurioje
yra taškas ( x 0 ; y0
) .
O
Jei ax 0 η by0
{ c ,
tai renkamės priešingąją
pusplokštumę.
Kai nelygybė yra griežta ( ax by
(x ; y )
0 0
3 pav.
ax+by > c
(ax+by < c)
= Ν c arba ax = by Π c ), jos
sprendinių aibės grafinio vaizdavimo schema tokia pati. Tik šiuo
atveju prie grafiko neprijungiame pusplokštumės krašto (tiesės
L ).
3 pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių nelygybių
3x = 4y
∝ 12 ir 4x 3y
Π 0 sprendinių aibes.
Sprendimas. Tiesinės nelygybės 3x = 4y
∝ 12 sprendinių
aibė yra pusplokštumė, kurios kraštas yra tiesė, einanti per taškus
( 4; 0)
ir ( 0; 3)
. Pusplokštumei nustatyti (testuoti) tinka koordinačių
pradžios taškas
( 0; 0)
. Jo koordinatės
tenkina nelygybę
y
3x = 4y
Ν12
, todėl
(0; 3)
darome išvadą, jog 3x+4y < 12
tiesinės nelygybės
3x = 4y
∝ 12 sprendinių
aibės grafikas yra (0; 0)
x
(4; 0)
pusplokštumė, kurioje
yra koordinačių sistemos
pradžios taškas
4 pav.
(4 pav. ši pusplokštumė subrūkšniuota).
Kitos tiesinės nelygybės ( 4x
3y
Π 0 ) sprendinių aibę grafiškai
vaizduojame panašiai (žr. 5 pav.). Iš pradžių brėžiame tiesę
L , kurios lygtis 4x 3y
Ο 0 . Ji eina per taškus ( 0; 0)
ir ( 3; 4)
.
L
x

Pusplokštumei testuoti koordinačių
pradžia netinka, todėl renkamės
kitą tašką – ( 0; 4)
, ne-
L
y
(0; 4) (3; 4)
santį tiesėje L . Kadangi
4〈 0 7 3〈
4 Φ 0 , tai darome išvadą,
jog tiesinės nelygybės
4x-3y > 0
4x 7 3y
Η 0 sprendiniai užpildo (0; 0)
priešingą taško ( 0; 4)
atžvilgiu
x
pusplokštumę (5 pav. ji subrūkšniuota).
Krašto tiesė L grafikui
5 pav.
nepriklauso, todėl ją nubrėšime
punktyrine linija.
Dažnai tenka ieškoti bendrų kelioms (dviems ir daugiau) tiesinėms
lygtims arba nelygybėms sprendinių. Tada sakoma, jog
reikia išspręsti tiesinių lygčių arba nelygybių sistemą. Optimizavimo
uždaviniams spręsti labai praverčia tiesinių nelygybių su
dviem nežinomaisiais sprendinių aibės grafikas.
4 pavyzdys. Pavaizduokime grafiškai tiesinių nelygybių sistemos
⎭x
= y ∝ 5,
x
3y
∝ 3,
2x
y ⊕ 2
sprendinių aibę X .
Sprendimas. Visų trijų tiesinių nelygybių sprendinių aibes
grafiškai vaizduojame
toje pačioje Dekarto
y
L3
koordinačių sistemoje (0;5)
(6 pav.). Gautąsias pusplokštumes
pažymime
B
statmenomis rodyklėmis
prie atitinkamų tiesių (0;2)
L 2
( L 1 , L 2 ir L 3 ), o bendrąją
dalį subrūkšniuo-
(-1;0)
(5;0)
C
jame. Taigi aibės X
(3;0)
x
grafikas yra trikampiu (0;-1)
L 1
A
ABC apribota plokštumos
sritis (su pačiu
6 pav.
kontūru).
3. Optimizavimo uždavinių u
matematiniai modeliai ir grafinis jų
sprendimas.
Ekonominės veiklos dalyvių interesai visada susiję su konkrečiais
tikslais bei ribotomis jų įgyvendinimo galimybėmis. Formuluojant
problemas matematiškai naudojamos sąvokos „tikslo
funkcija“, „leistinoji aibė“, „optimalusis planas“ ir kt. Pabandykime
susipažinti su jomis nagrinėdami konkrečias situacijas.
5 pavyzdys. Firma siuva vyriškas ir moteriškas striukes, gaudama
po 9 Lt pelno už kiekvieną vyrišką striukę ir po 12 Lt pelno
už kiekvieną moterišką striukę. Išlaidos vienai vyriškai striukei
pasiūti lygios 100 Lt, o vienai moteriškai striukei 40 Lt. Vyriškos
striukės reklamai firma išleidžia vieną litą, o moteriškos – tris litus.
Sudarykime didžiausią pelną duosiantį striukių siuvimo planą su
sąlyga, kad firmos išlaidos siuvimui neturi viršyti 50 000 Lt, o
reklamai – nedidesnės už 1800
Lt.
Sprendimas. Pirmiausia problemą užrašykime matematiškai.
Tegu x yra planuojamų siūti vyriškų striukių skaičius, o y – moteriškų
striukių skaičius. Skaičių porą ( x ; y)
pavadinkime striukių
siuvimo planu. Laukiamą pelną pažymėkime z . Pagal sąlygą
z Ο 9 x = 12y
. (1)
Tai dviejų kintamųjų tiesinė funkcija. Šiame uždavinyje ji yra
pelno funkcija ir paprastai vadinama tiesiog tikslo funkcija.
Siekiant kuo didesnio pelno derėtų didinti abi plano ( x;
y)
komponentes. Tačiau išlaidos siuvimui neturi viršyti 50 000 Lt, o
reklamai – 1800
Lt. Taigi galimybės planuoti yra ribotos. Abu
šiuos apribojimus galima užrašyti dviem tiesinėmis nelygybėmis:
100x 5 40y
↑ 50 000 (ji ekvivalenti tiesinei nelygybei
5x 5 2y
↑ 2 500 ) ir x 5 3y
↑ 1800
. Plano komponentės negali
būti neigiamos, todėl turime dar dvi sąlygas: x ⊗ 0 ir y ⏐ 0 . Kol
kas nekreipkime dėmesio į tai, kad pagal uždavinio prasmę abi
plano komponentės turi būti sveikieji skaičiai, nes ši sąlyga būdinga
ne visiems gamybos planavimo uždaviniams, – ją prisiminsime
vėliau.
Iš visų keturių tiesinių nelygybių sudarome tiesinių nelygybių
sistemą
⎭5x
= 2y
∝ 2 500,
x = 3y
∝ 1800,
(2)
x ⊕ 0,
y ⊕ 0.
Toliau šią sistemą vadinsime apribojimų sistema, o jos sprendinių
aibę X – leistinąja planų aibe.
Leistinąją aibę pavaizduokime
grafiškai y
(žr. 7 pav.). Aišku, kad ši L
aibė netuščia ir joje yra L 3
2
sveikaskaičių taškų (t.y.
(0;600)
tokių, kurių abi komponentės
yra sveikieji skai-
B
(300;500)
A
čiai).
X
(500;0) L
Jau aiškėja ir matematinė
problema. Aibėje O C
x
4
L 1
X reikia rasti sveikaskaitį
tašką ( x ; y)
, kurio
7 pav.
koordinatės tenkina sąlygą 9x = 12y
Ο max (9x
= 12y)
.
Glaustai uždavinys užrašomas taip:
⎭5x
= 2y
∝ 2 500,
max (9x = 12y)
, kai x = 3y
∝ 1800,
(3)
x ⊕ 0, y ⊕ 0.
Ieškomasis leistinosios aibės X taškas ( x ; y)
vadinamas (3)
uždavinio sprendiniu, arba optimaliu planu.
Taigi sudarėme nagrinėjamojo striukių siuvimo optimalaus
plano sudarymo uždavinio matematinį modelį ir susipažinome su
jo sprendinio sąvoka.
Glaustai aptarkime (3) uždavinio grafinį sprendimo metodą.
Leistinojoje aibėje X pasirinkime kurį nors tašką,
pavyzdžiui, ( 100; 200)
. Tikslo funkcijos reikšmė jame lygi
9b
100 η12b200
ζ 3300 . Sudarykime tiesinę lygtį
9x η12y
ζ 3300 .
Tai tikslo funkcijos z ζ 9x
η12y
lygio lygtis, atitinkanti pelno
lygmenį 3300
. Šios lygties sprendinių aibės grafikas yra tiesė,
einanti per taškus ( 100; 200)
ir ( 0; 275)
(žr. 8 pav.). Šią tiesę
pavadinkime tikslo funkcijos lygio tiese arba tiesiog lygio tiese
(8 pav. prie jos yra
užrašas z ζ 3300
). y
Lygio tiesė plokštumą L
dalija į dvi pusplokštumes.
Rodykle prie A (0;600)
L 3
2 (200;400)
tiesės pažymėkime tą,
(300;500)
Q
kuri atitinka tiesinę
B
(0;275)
nelygybę
N P
(100;200)
z=z L 4
9 x η12y
{ 3300 .
O M C
x
Darome išvadą, jog
z=6600
(500;0)
laužte MNABC apribotoje
aibės X srityje
L 1 z=3300
8 pav.
(be atkarpos MN )
tikslo funkcijos reikšmės didesnės už 3300
Todėl leistinosios
aibės X dalį MON „nupjauname“, nes joje optimalaus taško
tikrai nėra.

Analogiškai elgiamės ir toliau. Srityje MNABC pasirenkame kurį
nors tašką, pavyzdžiui, ( 200; 400)
, apskaičiuojame tikslo funkcijos
reikšmę (gauname z η 6 600 ), sudarome lygio lygtį
9x η12y
η 6 600 ir brėžiame lygio tiesę z η 6 600 . Srityje
PQAB funkcijos z η 9x
ς12y
reikšmės didesnės negu 6 600 ,
todėl leistinosios aibės dalį MNQPC vėl „nupjauname“ (kartu su
atkarpa PQ ).
Atkreipkime dėmesį į tai, kad visos lygio tiesės yra tarpusavyje
lygiagrečios, nes jų lygčių ( 9x = 12y
Ο 3300
,
9x η12y
η 6 600 ir kt.) koeficientai prie nežinomųjų yra tie patys.
Optimalioji lygio tiesė z Ο z (jos lygtis yra 9 x ς12y
η z , z
– nežinomas skaičius) eina per tašką B . Šio taško koordinatės
( 300; 500) yra tiesinių lygčių sistemos
⎭5x
= 2y
Ο 2 500,
x = 3y
Ο 1800
sprendinys, nes šiame taške susikerta tiesės L 1 ir L 2 . Taškas
( 300; 500) yra ieškomasis (3) uždavinio sprendinys – optimalusis
striukių siuvimo planas. Abi jo koordinatės yra sveikieji skaičiai.
Belieka apskaičiuoti didžiausiąjį pelną z :
z ζ 9 b 300 η 12 b 500 ζ 8700 (Lt).
6 pavyzdys. Verslininkas turi dvi maisto produktų parduotuves,
o duoną perka iš trijų kepyklų: K 1 , K 2 ir K 3 . Verslininko
vidutinės išlaidos (Lt) vienam kilogramui duonos nusipirkti ir atsivežti
į savo parduotuves ( P 1 ir P 2 ) surašytos šioje lentelėje:
P1
P2
K1
2 1,5
K 2
2,8 2,5
K3
2,5 2
Pirmosios parduotuvės užsakymas yra 2 tonos, o antrosios – 3
tonos duonos. Užsakymams įvykdyti iš pirmosios kepyklos nupirkta
viena tona duonos, iš antrosios – 2,5 tonos, o iš trečiosios
– 1,5 tonos duonos. Sudarykime pigiausią duonos paskirstymo
planą ir apskaičiuokime išlaidas jam įvykdyti.
Sprendimas. Pirmiausia sudarykime uždavinio matematinį
modelį. Tegu x ij yra nupirktos duonos kiekis (tonomis) iš kepyklos
K , i ζ 1, 2, 3 , kuris planuojamas gabenti į parduotuvę
i
P j , j ζ 1, 2 . Šių skaičių rinkinį užrašykime lentele (matrica)
⎠ x11
x12
⎤
⎤ x21
x22
⎤
⎥ x31
x32
ir pavadinkime duonos paskirstymo planu.
Pagal uždavinio sąlygą plano komponentės (skaičiai x ij ) turi
tenkinti šias lygybes: x 11 5 x12
Γ1
, x 21 5 x22
Γ 2, 5 ,
x 31 5 x32
Γ 1,5 , x 11 5 x21
5 x31
Γ 2 , x 12 5 x22
5 x32
Γ 3 .
Iš jų, pažymėję x11 Ο x ir x21 Ο y , gauname: x12 η1 Ξ x ,
x22 η 2, 5 Ξ y , x31 η 2 Ξ x Ξ y , x 32 η x ς y Ξ 0, 5 .
Taigi ieškomasis duonos paskirstymo planas yra
x 1″
x
y 2,5 ″ y .
2 ″ x ″ y x ° y ″ 0, 5
Išlaidas šiam planui įvykdyti (pažymėkime z ) galima apskaičiuoti
pagal formulę
z ζ 2 000x
η1500 (1 ϕ x)
η 2800y
η 2 500 (2,5 ϕ y)
η
η 2 500 (2 ϕ x ϕ y)
η 2 000( x η y ϕ 0,5) ζ 11750 ϕ 200y.
Šiame uždavinyje plano komponentės nebūtinai sveikieji
skaičiai, todėl belieka atsižvelgti į jų neneigiamumo sąlygą. Turi
galioti šios nelygybės: x ⊕ 0 , y ⊕ 0 , 2 x y ⊕ 0 , 1 ϕ x ⊕ 0 ,
2,5
y ⊕ 0 , x = y 0,5
⊕ 0 .
Jos ir apibrėžia duonos paskirstymo planų leistinąją aibę.
Uždavinio matematinis modelis toks:
⎭x
= y ∝ 2,
x ∝ 1,
min (11750 200y)
, kai y ∝ 2,5, (5)
x = y ⊕ 0,5,
x ⊕ 0, y ⊕ 0.
Šį uždavinį sprendžiame
grafiniu būdu (žr. 9 pav.) ir gauname
optimalųjį tašką ( 0; 2)
. (0;2,5) (1;2,5) L 3
y L 2
Tikslo funkcijos reikšmė jame (0;2) z=z
lygi 11350
. Gautąsias x ir y
reikšmes įstatome į ieškomojo
(0,5;1) (1;1) z=11550
plano matricą (4). Taigi optimalus
nupirktos duonos paskirstymo
parduotuvėms planas yra
(0;0,5)
(1;0) (2;0)
⎠0
1
⎤
O(0,5;0)
L x
1
⎤2
0,5
,o jo įvykdymo kaina
L
⎤
4
⎥0
1,5
9 pav.
lygi 11350
Lt.
PENKTOJI UŽDUOTIS
1. Plokštumoje pavaizduokite taškų ( x ; y)
, tenkinančių tiesines
nelygybes 2 x y ⊕ 4 , x = 2y
∝ 0 ir x ∝ 3 , aibę X.
(1 taškas)
2. Naudodamiesi tiesinių nelygybių sistemos
⎭5x
= 2y
⊕ 10,
5x
= 7y
Ν 35,
y Π 1
sprendinių aibės X grafiku, parašykite visų šios sistemos
sprendinių su abiem sveikosiomis koordinatėmis aibę.
(1 taškas)
3. Įmonė gamina dviejų rūšių detales: D 1 ir D 2 . Vienai D 1
detalei pagaminti reikia išleisti 40 Lt žaliavoms ir 10 Lt darbo
užmokesčiui, o vienai D 2 detalei – 30 Lt žaliavoms ir 20 Lt
darbo užmokesčiui. Pardavusi detales, įmonė gauna 13 Lt
pelną už kiekvieną D 1 detalę ir 17 Lt pelną už kiekvieną D2
detalę. Žaliavoms įmonė gali išleisti iki 3200
Lt, o darbo užmokesčiui
– iki 1300
Lt.
3.1. Sudarykite gamybos planų leistinąją aibę ir pavaizduokite
šią aibę plokštumoje.
(1 taškas)
3.2. Parašykite pelno skaičiavimo formulę ir subrūkšniuokite
tą leistinosios planų aibės dalį, kurioje pelnas nemažesnis
(lygus arba didesnis) už 663 Lt.
(1 taškas)
3.3. Raskite didžiausią pelną duosiantį detalių D 1 ir D2
gamybos planą.
(1 taškas)

4. Verslininkas turi tris degalines ( D 1 , D 2 , D 3 ) ir perka benziną
iš dviejų bazių ( B 1 , B 2 ). Visų degalinių rezervuarų talpa
vienoda – po 30 tonų. Vidutinės išlaidos (tūkst. litų) vienai tonai
benzino pirkti ir nugabenti į degalines yra šioje lentelėje:
D1
D2
D3
B1
0,8 0,8 1
B2
0,75 0,9 0,8
Tarkime, kad iš pirmosios bazės nupirkta 40 tonų benzino, o
iš antrosios – 50 tonų.
4.1. Sudarykite nupirkto benzino paskirstymo degalinėms
pigiausio (mažiausiai kainuosiančio) plano radimo uždavinio
matematinį modelį.
(1 taškas)
4.2. Raskite optimalų (pigiausią) nupirkto benzino paskirstymo
degalinėms planą.
(1 taškas)
4.3. Apskaičiuokite, kiek daugiausia pinigų galima prarasti
paskirstant nupirktą benziną degalinėms atsitiktinai.
(1 taškas)
5. Nustatykite, ar tiesinio optimizavimo uždavinys
⎞2x
5 y ↑ 4,
⎤
max(3x 5 4y)
, kai ⎟3x
7 2y
↑ 3,
⎤
⎠5x
5 2y
⏐ 10
turi sveikaskaitį sprendinį, t.y. optimalųjį tašką su sveikosiomis
koordinatėmis. Atsakymą pagrįskite.
(1 taškas)
6. Dviejų tipų gyvenamieji namai statomi iš dviejų rūšių detalių.
Pirmojo tipo name yra 12 butų, o antrojo tipo name – 16 butų.
Pirmojo tipo namui pastatyti reikia 100 pirmos rūšies ir
110 antros rūšies detalių, o antrojo tipo namui – 200 pirmos
rūšies ir 90 antros rūšies detalių. Kiek vieno ir kito tipo namų
galima pastatyti turint 1400 pirmos rūšies ir 990 antros rūšies
detalių, kad bendras butų skaičius būtų didžiausias
(1 taškas)
Penktosios užduoties sprendimus prašome išsiųsti iki
2002 m. spalio 21 d. mokyklos adresu: Lietuvos jaunųjų mate-
matikų mokykla, Matematikos metodikos katedra, VU matemati-
kos ir informatikos fakultetas, Naugarduko g. 24, LT–2600 Vilnius,
Mūsų mokyklos interneto svetainės adresas:
http://www.maf.vu.lt/ljmm/
LIETUVOS JAUNŲJŲ MATEMATIKŲ MOKYKLOS TARYBA