NetiesiniÅ³ lygÄiÅ³ sistemÅ³ sprendimas

Turinys 

Netiesinių lygčių sistemų sprendimas 

Olga Štikonienė 

Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra, MIF VU 

1 Vektorių ir matricų normos 

2 Netiesinių lygčių sistemų sprendimas 

3 Paprastųjų iteracijų metodas 

4 Niutono metodas 

Skaitiniai metodai (MIF VU) Netiesinių lygčių sistemų sprendimas 1 / 36 


matricų normos 

Vektorių ir matricų normos 


‣ Kaip palyginti tarpusavyje daugiakomponentinius 

Kaip palyginti tarpusavyje daugiakomponentinius matematinius 

matematinius dydžius, tokius kaip vektoriai ir matricos 

dydžius, tokius kaip vektoriai ir matricos 

Euklidinė norma (vektoriaus ilgis) trimatėje erdvėje: 

Euklido norma (vektoriaus 

ilgis ) trimatėje erdvėje 

⎛a 

⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

2 2 2 

x = b x a 

= a + b + c 

2 

√ 

⎜c 

⎟ 

⎝x ⎠= 

⎝ b ⎠ , ‖x‖ 2 = a 2 + b 2 + c 2 . 

c 

⎛ 

x 

1 

⎞ 

⎜ ⎟ 

x 

n 

2 2 

x = ⎜ ⎟ x = x 

2 

i 

⎜ ⎟ 

∑ 

Euklido Euklidinė norma norma n-matėje n-matėje erdvėje: erdvėje: M 

i 

= 

1 

⎜ 

⎟ 

⎛ ⎞ 

⎝x n ⎠ 

x 1 

X = ⎜ x 2 

√ 

⎟ 

⎝ · · · ⎠ , ‖x‖ 2 = x1 2 + x 2 2 + · · · + x n 2 . 

x n 


Vektoriaus norma 

Vektoriaus x norma vadinamas skaičius, žymimas ‖x‖. Vektoriaus 

normos savybės: 

1 ‖x‖ > 0, jei x ≠ 0, ir nulinio vektoriaus norma ‖0‖ = 0; 

2 ‖αx‖ = |α| · ‖x‖, čia α - skaičius; 

3 ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖ bet kuriems x ir y. 




Vektoriaus normų pavyzdžiai 


Vektoriaus p-norma 

Dažniausiai taikomos vektoriaus x normos : 

1 Modulių sumos: 

‖x‖ 1 = 

N∑ 

|x k |; 

k=1 

2 Kvadratinė: 

x 

x 2 

1 

x 

2 

x (x 

1,x 2 

) 

Matavimo rezultatas 

Regresijos linija 

y i 

Minėtos vektoriaus normos yra p-normos, apibrėžtos kaip 

( ∑ N 

‖x‖ p = |x k | p) 1 p 

. 

k=1 

( ∑ N 

‖x‖ 2 = |x k | 2) 1 2 

; 

k=1 

x 

x 1 

atskirieji atvejai. 

3 Maksimumo: 

‖x‖ ∞ = max 

1kN |x k|. 




Matricos norma 


Suderintos normos 

Matricos A norma vadinamas skaičius, žymimas ‖A‖, turintis šias 

savybes: 

1 ‖A‖ > 0, jei A ≠ 0, ir nulinės matricos norma ‖O‖ = 0; 

2 ‖αA‖ = |α| · ‖A‖, čia α - skaičius; 

3 ‖A + B‖ ‖A‖ + ‖B‖ bet kuriems A ir B; 

4 ‖AB‖ ‖A‖ · ‖B‖ bet kuriems A ir B. 

Pastaba. 

Vektoriaus x norma vadinamas skaičius, žymimas ‖x‖, turintis 1)-3) 

savybes: 

Apibrėžimas. 

Vektoriaus x norma yra suderinta su matricos A norma, jei 

‖Ax‖ ‖A‖ · ‖x‖. 

Normos yra suderintos, kai matricos A norma yra 

apibrėžiama panaudojant vektoriaus norma: 

‖Ax‖ 

‖A‖ = max 

x≠0 ‖x‖ . 

Norma aprašo didžiausią vektoriaus pailgėjimą, 

atvaizduojant operatoriumi A. 


Skaitiniai metodai (MIF VU) Netiesinių lygčių sistemų sprendimas 8 / 36


Matricų normų pavyzdžiai 

Matricų normos (suderintos su vektoriaus normomis) : 

1 Stulpelių modulių suma p = 1: 


Vektorių ir matricų suderintos normos 

∞-norma: 

N∑ 

‖A‖ 1 = max |a ij |; 

1jN 

i=1 

p = ∞, 

N∑ 

‖A‖ ∞ = max |a ij |, ‖x‖ ∞ = max |x i|. 

1iN 

1iN 

j=1 

2 Kvadratinė p = 2 : 

√ 

‖A‖ 2 = max |λ i(A T A)|; 

1iN 

3 Eilučių modulių suma p = ∞ : 

N∑ 

‖A‖ ∞ = max |a ij |; 

1iN 

j=1 

Matricos ∞-norma suderinta su vektoriaus ∞-norma: 

‖Ax‖ ∞ = max |(Ax) i| = max | ∑ N N∑ 

a ij x j | max |a ij | max |x j| 

1iN 1iN 1iN 1jN 

j=1 

j=1 

= max 

1iN 

( N ∑ 

j=1 

|a ij | ) max 

1jN |x j| = ‖A‖ ∞ ‖x‖ ∞ . 




Vektorių ir matricų suderintos normos 

1-norma: 

p = 1, 

N∑ 

N∑ 

‖A‖ 1 = max 

1jN 

|a ij |, ‖x‖ 1 = |x k |. 

i=1 

k=1 

Matricos 1-norma suderinta su vektoriaus 1-norma: 

N∑ 

N∑ 

N∑ ∣ ∣∣ ∑ N ( ∑ N ) 

‖Ax‖ 1 = |(Ax) i | = ∣ a ij x j max |a ij‖x j | 

1jN 

i=1 

i=1 j=1 

i=1 j=1 

( N∑ N∑ ) 

N∑ N∑ 

max |a ij | |x j | = max |a ij | |x j | = ‖A‖ 1 ‖x‖ 1 . 

1jN 

1jN 

i=1 j=1 

i=1 j=1 


Teiginys simetrinėms matricoms: 

Tegul S yra simetrinė matrica, 

λ 1 , · · · , λ N - jos tikrinės reikšmės, 

e 1 , · · · , e N - jos tikrinių vektorių ortonormuota sistema: 

Se i = λ i e i . 

N∑ 

( ∑ N N∑ ) N∑ 

∀x : x = x i e i ⇒ (Sx, x) = λ i x i e i , x i e i = λ i |x i | 2 . 

i=1 

i=1 

⇒ (Sx, x) max 

1iN |λ i| 

i=1 

N∑ 

i=1 

i=1 

|x i | 2 = max 

1iN |λ i|‖x‖ 2 2 , 

čia x i - vektoriaus x koordinatės. 

Matricos 2-normos suderinamumo su vektoriaus 2-norma 

įrodymui reikalinga nelygybė: A T A yra simetrinė matrica, nes 

(A T A) T = A T (A T ) T = 

A T A, 

⇒ (A T Ax, x) max 

1iN |λ i(A T A)|‖x‖ 2 2 . 




Vektorių ir matricų normų suderinamumas 


2-norma: 

√ 

p = 2, ‖A‖ 2 = max i(A T A)|, 

1iN 

‖x‖ 2 = 

( N ∑ 

k=1 

Matricos 2-norma suderinta su vektoriaus 2-norma: 

‖Ax‖ 2 = √ √ 

(Ax, Ax) = (A T Ax, x) 

√ 

∣ 

max ∣λ i (A T ∣ 

A) ∣‖x‖ 2 

1iN 

2 = ‖A‖ 2‖x‖ 2 . 

|x k | 2) 1 2 

. 

Pastaba: 

(A T ∣ 

Ax, x) max ∣λ i (A T ∣ 

A) ∣‖x‖ 2 2 

1iN 

(A T Ax, x) = (Ax, Ax) 0 

Jei A simetrinė ⇒ λ i (A T A) = λ i (A 2 ) = λ 2 i (A). 

⇒ ‖A‖ 2 = max 

1iN |λ i(A)| 

⇒ λ i (A T A) 0 

Jei Ax = λ i x ⇒ ‖A‖ · ‖x‖ ‖λ i x‖ = |λ i | · ‖x‖. 

Bet kurios tikrinės reikšmės modulis yra nedidesnis už bet kurią 

simetrinės matricos A normą. 

∀i. 






Netiesinės lygčių sistemos 

Apibrėžimas: 

Simetrinė matrica A yra didesnė arba lygi simetrinei matricai B: 

A B, 

jei ∀ vektoriui x galioja skaliarinių sandaugų nelygybė: 

(Ax, x) (Bx, x). 

f 1 (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = 0 

f 2 (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = 0 

f n (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = 0. 

Vektorinis pavidalas 

x - vektorius: 

⎛ 

x = ⎜ 

⎝ 

x 1 

x 2 

· · · 

x n 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ , 

. 

Pavyzdys 

x 2 1 + 2x 2 2 + 5x 3 = 10 

x 1 x 2 + 5x 2 x 3 = 4 

3x 1 − x 2 + x 3 3 = 2. 

f (x) = 0 

f (x) - vektorinė funkcija: 

⎛ 

f (x) = ⎜ 

⎝ 

f 1 (x 1 , · · · , x n ) 

f 2 (x 1 , · · · , x n ) 

· · · 

f n (x 1 , · · · , x n ) 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 




Pavyzdys - dvejų lygčių sistema 

Dviejų lygčių sistema - pavyzdys 

Paprastųjų iteracijų metodas 


Apskritimas x 2 + y 2 = r 2 

Sprendinys 

f(x,y)=0 

g(x,y)=0 

Elipsė (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 

p y 

priklauso nuo 

pradinio artinio 

parinkimo 

Paprastųjų iteracijų metodas (angl. Fixed-point method): 

f (x) = 0 ⇔ x = S(x). 

Žinomas k-asis vektoriaus x artinys x k ⇒ 

x k+1 = S(x k ) - iteracinis procesas. 

Ar iteracinis procesas konverguoja 

Reikia nustatyti jo konvergavimo sąlygas. 




Spūdinė funkcija 

Apibrėžimas. 

Funkcija S(x) vadinasi spūdine funkcija n-mačių vektorių aibėje 

V , jei egzistuoja toks skaičius q ∈ (0; 1), kad 

∀x, y ∈ V ‖S(x) − S(y)‖ q‖x − y‖. 

Pastaba. Spūdinė funkcija yra tolydžioji. 

Pavyzdys: 

Aibė V = [−0, 5; 0, 5], funkcija S(x) = x 3 . 

x 1 = 0, 1; x 2 = 0, 2; ∆x = 0, 1; 

S(x 1 ) = 0, 001; S(x 2 ) = 0, 008; ∆S(x) = 0, 007; q = 0, 5. 


Paprastųjų iteracijų metodo konvergavimo 

sąlygos 

Teorema. 

Sakykime, kad vektoriaus a aplinkoje Ω δ (a) = {x : ‖x − a‖ δ} yra 

apibrėžta spūdinė funkcija S(x) ir ‖S(a) − a‖ (1 − q)δ. 

Tada aplinkoje Ω δ (a) 

yra vienintelis vektorinės lygties x = S(x) sprendinys x ∗ ; 

paprastųjų iteracijų seka x k+1 = S(x k ) su bet kokiu pradiniu 

artiniu x 0 ∈ Ω δ (a) konverguoja į šį sprendinį; 

k-ojo artinio paklaida įvertinama nelygybe: 

‖S(x k ) − S(x ∗ )‖ 

qk 

1 − q ‖S(x0 ) − x 0 ‖. 




Teoremos įrodymas 

‖x n+1 − x n ‖ ‖S(x n ) − S(x n−1 )‖ q‖x n − x n−1 ‖ q 2 ‖x n−1 − x n−2 ‖ 

· · · q n ‖x 1 − x 0 ‖ = q n ‖S(x 0 ) − x 0 ‖, 

(iš spūdinės funkcijos apibrėžimo). 

Kai l > n 

‖x l − x n ‖ ‖x l − x l−1 ‖ + ‖x l−1 − x l−2 ‖ + · · · + ‖x n+1 − x n ‖ 

q l−1 ‖S(x 0 ) − x 0 ‖ + q l−2 ‖S(x 0 ) − x 0 ‖ + · · · + q n ‖S(x 0 ) − x 0 ‖ 

q n (q l−n−1 + q l−n−2 + · · · + 1)‖S(x 0 ) − x 0 ‖ 

Seka fundamentalioji 

lim 

l→∞ xl = x ∗ : ‖x ∗ − x n ‖ 

qn 

1 − q ‖S(x0 ) − x 0 ‖. 

qn 

1 − q ‖S(x0 ) − x 0 ‖. 

Ar x ∗ yra sprendinys 

x k+1 = S(x k ) ⇒ x ∗ = S(x ∗ ) (perėjome prie ribos ir 

pasinaudojame S tolydumu), t.y. x ∗ yra vektorinės lygties 

x = S(x) sprendinys. 



Teoremos (sprendinio vienaties) įrodymas 

Tarkime, kad lygtis x = S(x) turi du sprendinius x 1 ir x 2 (x 1 ≠ x 2 ). 

Tada 

‖x 1 − x 2 ‖ = ‖S(x 1 ) − S(x 2 )‖ q‖x 1 − x 2 ‖< ‖x 1 − x 2 ‖. 

Prieštaravimas. ⇒ ∃! sprendinys. ✷ 

Pastaba. Kai n = 0 iš 

‖x l − x n ‖ 

qn 

1 − q ‖S(x0 ) − x 0 ‖ ⇒ ‖x l − x 0 ‖ ‖S(x0 ) − x 0 ‖ 

:= δ 

1 − q 

⇒ ∀x l ∈ Ω δ (x 0 ) = {x : ‖x − x 0 ‖ δ} 

Teoremos įrodymas rodo, kad pakankama yra prielaida, kad 

S(x) apibrėžta, kai x ∈ Ω δ (x 0 ) ir ∀x 1 , x 2 ∈ Ω δ (x 0 ) 

‖S(x 1 ) − S(x 2 )‖ q‖x 1 − x 2 ‖, 0 < q < 1. 



Paprastųjų iteracijų metodo privalumai: 


Netiesinių lygčių sistemos perrašymas 

Išreikštinis iteracinis metodas 

Nereikia skaičiuoti dalinių išvestinių 

Tiesinis konvergavimo greitis 

Netiesinių lygčių sistema perrašoma nevienareikšmiškai 

f (x) = 0 ⇔ x = S(x) 

Svarbu: 

S(x) tenkintų konvergavimo sąlygas; 

Konstanta q būtų kuo mažesnė. 

x k+1 − x k 

= f (x k ), 

τ 

čia τ - iteracinis parametras, parenkamas taip, kad iteracinis 

procesas konverguotų greičiausiai. 

Iteracinio metodo funkcija S(x) = x + τf (x). 

Pikaro metodas 

Tegul f (x) = Ax + G(x), 

A - kvadratinė n-osios eilės matrica. 

Iteracinis procesas 

Ax k+1 + G(x k ) = 0 

Iteracinis procesas konverguoja, jei S(x) = A −1 G(x) yra spūdinė 

funkcija. 




1 pavyzdys 

Perrašome 

x 2 1 + 50x 1 + x 2 2 + x 3 − 200 = 0 

x 2 1 + 20x 2 + x 2 3 − 50 = 0 

−x 2 1 − x 2 2 + 40x 3 + 75 = 0. 

x 1 = (−x 2 1 − x 2 2 − x 3 + 200)/50 

x 2 = (−x 2 1 − x 2 3 + 50)/20 

x 3 = (x 2 1 + x 2 2 − 75)/40. 

Parenkame pradinį artinį: x 1 = x 2 = x 3 = 0 


1 pavyzdys – skaičiavimo rezultatai 


G = [ (-0.02*x(1)^2 - 0.02*x(2)^2 - 0.02*x(3)^2 + 4) 

(-0.05*x(1)^2 05* (1)^2 - 0.05*x(3)^205* + 2.5) 

(0.025*x(1)^2 + 0.025*x(2)^2 -1.875) ]; 

» x0=[0 0 0]; eps=1.e-6; maxit=100; 

iter.nr. x0(1) x0(2) x0(3) paklaida 

0 0 0 0 

1.0000 4.0000 2.5000 -1.8750 5.0760 

2.0000 3.4847 1.5242 -1.3188 1.2358 

3.0000 3.6759 1.8059 -1.5133 0.3921 

4.0000 3.6187 1.7099 -1.4557 0.1257 

5.0000 3.6372 1.7393 -1.4745 0.0395 

6.0000 3.6314 1.7298 -1.4686 0.0126 

7.0000 3.6333 1.7328 -1.4705 0.0040 

8.0000 3.6327 1.7318 -1.4699 0.00130013 

9.0000 3.6329 1.7321 -1.4701 0.0004 

10.0000 3.6328 1.7321 -1.4700 0.0001 

11.0000 3.6328 1.7321 -1.4701 0.0000 

12.0000 3.6328 1.7321 -1.4701 0.0000 

13.0000 3.6328 1.7321 -1.4701 0.0000 

14.0000 3.6328 1.7321 -1.4701 0.0000 

15.0000 3.6328 1.7321 -1.4701 0.00000000 

Paprastųjų iteracijų metodas konverguoja 



2 pavyzdys 

Perrašome 


x 2 1 + 4x 2 2 + 9x 3 − 36 = 0 

x 1 = 

x 2 = 

x 3 = 

x 2 1 + 9x 2 2 − 47 = 0 

x 2 1 x 3 − 11 = 0. 

√ 

11/x3 

√ (47−x 2 

1 ) 

3 

√ (36−x 2 

1 −4x2 2) 

3 . 

Parenkame pradinį artinį: x 1 = x 2 = 0, x 3 > 0 





G = [ (sqrt(11/x(3))) 

(sqrt(47 - x(1)^2) / 3 ) 

(sqrt(36 - x(1)^2 - 4*x(2)^2) / 3 ) ]; 

x0=[0 0 10]; eps=0.0001; maxit=500; 


0 0 0 10 

1.0000 1.0488 2.2852 2.0000 8.3858 

2.0000 2.3452 2.2583 1.2477 1.4991 

3.0000 2.9692 2.1473 1.0593 0.6612 

4.0000 3.2224 2.0598 0.9854 0.2779 

5.0000 3.3411 2.0170 0.9801 0.1263 

6.0000 3.3501 1.9955 0.9754 0.0238 

7.0000 3.3581 1.9938 0.9916 0.0181 

8.0000 3.3307 1.9923 0.9901 0.0275 

9.0000 3.3332 3332 1.9974 1.0017 0.0129 

0129 

10.0000 3.3139 1.9969 0.9962 0.0201 

11.0000 3.3230 2.0005 1.0037 0.0124 

12.0000 3.3105 1.9988 0.9972 0.0142 

13.0000 3.3213 2.0011 1.0033 0.0126 

14.0000 3.3112 3112 1.9991 0.9973 0.01200120 

15.0000 3.3212 2.0010 1.0028 0.0116 

16.0000 3.3120 1.9992 0.9974 0.0107 

17.0000 3.3209 2.0008 1.0024 0.0103 

18.0000 3.3126 1.9992 0.9977 0.0097 

19.0000 3.3205 3205 2.0007 1.0022 0.00920092 

20.0000 3.3130 1.9993 0.9979 0.0087 

... 

50.0000 3.3159 1.9999 0.9996 0.0017 

... 

102.00000000 3.3166 3166 2.0000 1.0000 0.0001 

0001 

103.0000 3.3167 2.0000 1.0000 0.0001 

Paprastųjų iteracijų metodas konverguoja 


Niutono metodas 


Viena netiesinė lygtis 

Teiloro skleidinys 

f (x k+1 ) ≈ f (x k )+f ′ (x k )(x−x k ) 

n netiesinių lygčių sistema 

Komponentės f i Teiloro skleidinys 


x k+1 = x k − f (x k) 

f ′ (x k ) 

n∑ 

f i (x k+1 ) ≈ f i (x k ∂f i 

) + (x k )(x k+1 

∂x j − xj k ) 

j 

j=1 

Išvestinės skaičiuojamos taške x k = (x k 1 , · · · , x k n ). 


x k+1 = x k − J(x k ) −1 f (x k ). 



Pavyzdys - dviejų kreivių sankirta 

1.5 

1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

−1 −0.5 0 0.5 1 


Pažymėkime ∆x k+1 = x k+1 − x k 

x 2 1 + x 2 2 − 1 = 0 

x 2 1 − x 2 = 0 

f 1 (x 1 , x 2 ) = x 2 1 + x 2 2 − 1 

f 2 (x 1 , x 2 ) = x 2 1 − x 2 

⇒ Jakobio matrica 

( ∂f1 ) ∂f 1 

∂x 

J = 1 ∂x 2 

∂f 2 ∂f 2 

∂x 1 ∂x 2 

x k+1 = x k − J(x k ) −1 f (x k ). 

( ) 

2x1 2x 

= 

2 

2x 1 −1 

J(x k )∆x k+1 = −f (x k ) ⇒ x k+1 = ∆x k+1 + x k . 



Pavyzdys - dviejų kreivių sankirta: skaičiavimo 

rezultatai 

Apskritimo ir parabolės sankirta 

funkcijos 

Jakobianas 

f = [(x(1)^2(1)^2 + x(2)^2 -1) 

df = [2*x(1) 2*x(2) 

(x(1)^2 - x(2)) ]; 

2*x(1) -1 ] ; 

x 0 = (0,505) 

0,5) – pradinis artinys 

» x0=[0.5 0.5]; eps=1.e-6; maxit=100; 

iter.nr. x0(1) x0(2) paklaida 

0 0.5000 0.5000 

1.0000 0.8750 0.6250 0.3953 

2.0000 0.7907 0.6181 0.0846 

3.0000 0.7862 0.6180 0.0045 

4.0000 0.7862 0.6180 0.00000000 

5.0000 0.7862 0.6180 0.0000 

Niutono metodas konverguoja 



Trijų netiesinių paviršių sankirta 

Pavyzdys - triejų netiesinių paviršių sankirta 

Trijų netiesinių paviršių sankirta Jakobio Jakobio matrica matrica 

x1 2 + x 2 2 + x 3 2 − 14 = 0 ⎛ ∂fdf = [ 1 ∂f 2*x(1) 1 ∂f2*x(2) ⎞ 2*x(3) 

1 ⎛ 

⎞ 

x1 2 + 2x 2 2 − 9 = 0 

∂x 1 ∂x 2*x(1) 2x(1) 2 ∂x4*x(2) 4x(2) 3 

0 

2x 1 2x 2 2x 3 

f = [ (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14) 

x 1 − 3x2 2 + x 3 2 = 0 J = ⎜ ∂f 2 ∂f 2 1 ∂f -6*x(2) 2 ⎟ 

⎝ ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ⎠ = 2*x(3) ] ; 

⎝ 2x 1 4x 2 0 ⎠ 

(x(1)^2 + 2*x(2)^2 - 9) 

(x(1) ( - 3*x(2)^2 + x(3)^2) ) ]; 

∂f 3 ∂f 3 ∂f 3 1 −6x 2 2x 3 

∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 

» x0=[1 1 1]; es=1.e-6; maxit=100; 


0 1 1 1 

1.0000 1.6667 2.1667 4.6667 3.9051 

2.0000 1.5641 1.8407 3.2207 1.4858 

3.0000 1.5616 1.8115 2.8959 0.3261 

4.0000 1.5616 1.8113 2.8777 0.01820182 

5.0000 1.5616 1.8113 2.8776 0.0001 

6.0000 1.5616 1.8113 2.8776 0.0000 

Niutono metodas konverguoja 



Niutono-Rafsono metodas 


Įšaldytasis Niutono metodas 


J(x k ) xk+1 − x k 

τ k 

= −f (x k ). 

Iteracinis parametras yra minimumo uždavinio sprendinys 

min ‖f (x k − τJ(x k ) −1 f (x k ))‖ = ‖f (x k − τ k J(x k ) −1 f (x k ))‖. 

τ 

Šį uždavinį galima išspręsti ir netiksliai: 

min ‖f (x k+1 )‖ ‖f (x k )‖. 

τ 

Metodas konverguoja platesnėje pradinių artinių aibėje. 


x k+j = x k+j−1 − J(x k ) −1 f (x k+j−1 ), j = 1, . . . , m. 

Jakobio matrica perskaičiuojama kas m-ąją iteraciją (n 2 

dalinių išvestinių). 

Metodas konverguoja lėčiau. 

Jei f (x) sudėtingo pavidalo vietoj dalinių išvestinių galima 

naudoti baigtinius skirtumus 

J ij (x k ) = f i(x k 1 , · · · , x k 

j + h, · · · , x k n ) − f i (x k 1 , · · · , x k n ) 

h 




Netiesiniai iteraciniai metodai 

Paprastųjų iteracijų (Jakobio) metodo apibendrinimas 

f 1 (x k+1 

1 , x2 k, · · · , x n k ) = 0 

f 2 (x1 k, x k+1 

2 , · · · , xn k ) = 0 

· · · 

f n (x1 k, x 2 k, · · · , x n k+1 ) = 0 

Skaičiuojant vieną artinį reikia išspręsti n nepriklausomų netiesinių 

lygčių. 

Zeidelio metodo apibendrinimas 

f 1 (x k+1 

1 , x2 k, · · · , x n k ) = 0 

f 2 (x k+1 

1 , x k+1 

2 , · · · , xn k ) = 0 

· · · 

f n (x k+1 

1 , x k+1 

2 , · · · , xn k+1 ) = 0 

Kiekvienoje lygtyje naudosime jau apskaičiuotas artinio 

komponentes. 



Netiesiniai iteraciniai metodai 

Sistemos suskaldymas mažesnės eiles blokais 

Pvz., dviejų poromis susijusių nežinomųjų atveju: 

f 1 (x k+1 

1 , x k+1 

f 2 (x k+1 

1 , x k+1 

2 , x3 k, x 4 k, · · · , x n k ) = 0 

2 , x3 k, x 4 k, · · · , x n k ) = 0 

f 3 (x k+1 

1 , x k+1 

2 , x k+1 

3 , x k+1 

4 , x5 k, · · · , x n k ) = 0 

f 4 (x k+1 

1 , x k+1 

2 , x k+1 

3 , x k+1 

4 , x5 k, · · · , x n k ) = 0 

· · · 

f n (x k+1 

1 , x k+1 

2 , x k+1 

3 , x k+1 

4 , x k+1 

5 , · · · , xn k+1 ) = 0 

Sprendžiama 1-oji lygtis + 2-oji lygtis, 

po to su jau apskaičiuotuomis artinio komponentėmis x 1 ir x 2 3-oji 

lygtis + 4-oji lygtis 

ir t.t.

NetiesiniÅ³ lygÄiÅ³ sistemÅ³ sprendimas

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

NetiesiniÅ³ lygÄiÅ³ sistemÅ³ sprendimas