skyrius 3 Stygos svyravimo lygtis - techmat.vgtu.lt

4.2. ŠILUMOS LAIDUMAS STRYPE 29
4.2.2 Diferencialinė lygtis
C(x)ρ(x) S(x) ∂u
∂t = ∂ (
k(x)S(x) ∂u )
− κ(x)p(x)(u − f(t,x)).
∂x ∂x
Kai visi modelio parametrai yra konstantos (vienalytė medžiaga ir vienodas
skerspjūvis),
∂u
∂t = a2 ∂2 u
− b(u − f(t,x)),
∂x2 √
k
a =
Cρ , b = κp
CρS .
Jei strypas yra izoliuotas (κ = 0), gauname homogeninę lygtį
∂u
∂t = a2∂2 u
∂x 2.
Šilumos sklidimas esant šilumos šaltiniui
Kai strypas yra izoliuotas ir veikia šilumos šaltinis, tai strypo temeratūrai
galioja nehomogeninė lygtis
∂u
∂t = a2 ∂2 u
+ h(t,x). (4.3)
∂x2 4.2.3 Šilumos laidumas erdvėje
Tarkime, kad ρ(x,y,z) – kūno tankis, C(x,y,z) – specifinė šiluma, k(x,y,x)
– šilumos laidumo koeficientas. Kūno temperantūrai u(t,x,y,z) galioja šilumos
laidumo lygtis
Cρ ∂u = div(k grad u). (4.4)
∂t
Kai parametrai ρ, C, k yra konstantos (homogeninis kūnas) gauname lygtį
čia a =
u t = a 2 ∆u,
√ k
ρC , ∆ ≡ ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
– Laplaso operatorius.
∂z2