skyrius 6 Kintamųjų atskyrimo metodas

54 SKYRIUS 7. ŠTURMO IR LIUVILIO UŽDAVINYS
ir kraštines sąlygas:
αX(a) + βX ′ (a) = 0, δX(b) + γX ′ (b) = 0. (7.6)
Pažymėkime (7.5) lygčių konstanta (−λ) ir užrašome diferencialinę lygtį
funkcijai X:
−B(x)X ′′ + D(x)X ′ + F(x)X = λX.
Padauginę abi lygybės puses iš
1
B(x) e− R D
B dx ir pažymėję
p(x) = e − R D
B dx , q(x) = F(x)
B(x) e− R D
B dx ,r(x) = 1
B(x) e− R D
B dx ,
gauname diferencialinę lygtį, priklausančią nuo parametro λ:
L[X] ≡ d (
p(x) dX )
− q(x)X = −λr(x)X. (7.7)
dx dx
Pastebėkime, kad
p(x) > 0, q(x) > 0,r(x) > 0.
7.2 Šturmo ir Liuvilio uždavinys
(7.7), (7.6) uždavinį, kai α 2 + β 2 ≠ 0 ir δ 2 + γ 2 ≠ 0 vadiname Šturmo ir
Liuvilio uždaviniu. Reikia rasti tokias parametro λ reikšmes (jos vadinamos
tikrinėmis), kad uždavinys turėtų netrivialių (nenulinių) sprendinių -
tikrinių funkcijų.