13 Paskaita MATLAB Interpoliavimas (pdf)

Kubinis splainasSplainaiSplainaiLygčiu sistema su triįstrižaine matrica1 Interpoliavimo ir tolydumo sąlygos2N lygčių:S i (x i )=y i , i = 0, 1, ..., N − 1S i (x i+1 )=y i+1 , i = 0, 1, ..., N − 1.2 Išvestinių tolydumo sąlygos2(N − 1) lygtis:S i−1(x ′ i )=S i(x ′ i ), i = 1, ..., N − 1S i−1(x ′′i )=S ′′i (x i ), i = 1, ..., N − 1.3 Papildomos sąlygos (natūraliosios kraštinės sąlygos)2 lygtysS ′′0 (x 0 )=0, S N−1(x ′′ N )=0.⎛⎜⎝1 0h12h0+h1. .. . .. . ..h0h0+h1hi−1hi−1+hihi2hi−1+hi. .. . .. . ..⎛=⎜⎝hN−2hN−2+hN−10f (y 0 , y 1 , y 2 ).f (y i−1 , y i , y i+1 ).f (y N−2 , y N−1 , y N )020 1⎞⎟⎠hN−1hN−2+hN−1⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝g 0g 1. .g i.g N−1g N⎞⎟⎠MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 72 / 116MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 73 / 116SplainaiKubinio splaino lygtis:S 3 i (x) =y i +e i (x−x i )+G i (x−x i ) 2 +H i (x−x i ) 3 , i = 0, 1, ..., N −1.e i = y i+1 − y i h i− g i+1h i 6 − g iG i = g i2 ,H i = g i+1 − g i.6h ih i3 ,SplainaiKubinio splaino paklaidaTeoremaJei funkcija y(x) ∈ C 4 [a, b], tai kubinio splaino S 3 (x) paklaidair jo išvestinių S 3′ (x), S 3′′ (x) paklaida įvertinama nelygybe:|y (k) (x) − S 3(k) (x)| M 4 h 2−k( h 2 + max(|y ′′ (a) − S 3′′ (a)|, |y ′′ (b) − S ′′ (b)|) ) ,k = 0, 1, 2.Kai y ′′ (a) =S 3′′ (a), y ′′ (b) =S 3′′ (b)|y (k) (x) − S 3(k) (x)| M 4 h 4−k , k = 0, 1, 2.Kai y ′′ (a) ≠ S 3′′ (a), y ′′ (b) ≠ S 3′′ (b), pvz., natūraliosios kraštinėssąlygos|y (k) (x) − S (k) (x)| M 4 h 2−k , k = 0, 1, 2.MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 74 / 116MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 75 / 116SplainaiKubinis splainas: pavyzdysDuoti taškai:Raskite f (4).x i 0 2 5 6y i 4 −2 19 58Tikslus sprendinys: f (x) =x 3 − 5x 2 + 3x + 4, f (4) =0.S 3′′ (0) =S 3′′ (3) =0 (natūralusis splainas)h 0 = 2 − 0 = 2 f (x 0 , x 1 )= y 1 − y 0= −2 − 4 = −3h 0 2h 1 = 5 − 2 = 3 f (x 1 , x 2 )= y 2 − y 1= 19 + 2 = 7h 1 3h 2 = 6 − 5 = 1 f (x 2 , x 3 )= y 3 − y 2h 2=58 − 191= 39.MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 76 / 116SplainaiKubinis splainas: pavyzdysTriįstrižainė lygčių sistema Naturaliosios kraštinės sąlygos: g 0 = 0, g 3 = 0.( )( ) ( ) ( )10 3 g1 60 g1= ⇒ =3 8 g 2 192 g 2( −1, 3521124, 50704MIM (MIF VU) MATLAB programavimas 2010-11-30 77 / 116).