Nekorektiški matematikos uždaviniai - techmat.vgtu.lt - Vilniaus ...

Skaičiavimo metodų ir matematinio modeliavimoseminaras Nr. 15 (122)Nekorektiški matematikos uždaviniai:specialieji skyriaiRaimondas ČIEGISVilniaus Gedimino technikos universitetas,Saulėtekio al. 11, Vilnius, Lietuvae-mail: rc@fm.vgtu.lt1

Uždavinių klasifikacijaTurime pradinius duomenis u, naudodami pasirinktąjį algoritmąapibrėžiame uždavinio sprendinįv = R(u).Pradiniai duomenys u priklauso metrinei erdvei U, o sprendinysv – metrinei erdvei V .Atstumus tarp dviejų elementų šiose erdvėse žymėsimeρ U (u 1 , u 2 ), ρ V (v 1 , v 2 ).2

1902 metais Ž. Adamaras pateikė korektiškų matematiniųuždavinių apibrėžimą1. Kiekvienam elementui u ∈ U egzistuoja sprendinysv = R(u) ∈ V .2. Toks sprendinys yra vienintelis.3. Uždavinys yra stabilus metrinėse erdvėse (V, U).3

Apibrėžimas. Uždavinys v = R(u) ∈ V , u ∈ U vadinamasstabiliu metrinėse erdvėse (V, U), jei bet kokiamε > 0 egzistuoja toks δ(ε) > 0, kad imdami u 1 , u 2 ∈U, tenkinančius nelygybę ρ U (u 1 , u 2 ) ≤ δ(ε), gaunameįvertį ρ V (v 1 , v 2 ) ≤ ε, čiav 1 = R(u 1 ), v 2 = R(u 2 ), v 1 , v 2 ∈ V.4

Imkime u(x) ∈ C[a, b]. Tirsime integralov =∫ bau(x) dxskaičiavimo uždavinio korektiškumą.Nagrinėkime uždavinio stabilumą. Tarkime, kad atstumastarp pradinių duomenųρ U (u 1 , u 2 ) := maxa≤x≤b |u 1(x) − u 2 (x)| ≤ δ.Tada įvertiname atstumą tarp vaizdų:ρ V (v 1 , v 2 ) :=∫ b∣ a(u1 (x) − u 2 (x) ) dx∣≤∫ ba |u 1(x) − u 2 (x)| dx ≤ (b − a)δ.Integravimo veiksmas yra korektiškas.5

Išvestinės skaičiavimasReikia rasti diferencijuojamos funkcijos u T (t) ∈ C 1 (a, b)išvestinę, kai šios funkcijos reikšmes žinome tik su paklaida.Pažymėkime v T (t) = u ′ T (t) funkcijos u T(t) išvestinę.Tarkime, kad vietoj funkcijos u T (t) turime tik jos artinįu(t) = u T (t) + εsin(ωt), ε, ω > 0.Tolydžių funkcijų metrinėje erdvėje C(a, b), kai atstumasapibrėžiamas taip:ρ C (u 1 , u 2 ) = maxa≤t≤b |u 1(t) − u 2 (t)|,atstumas tarp funkcijų u(t) ir u T (t) yraρ C (u, u T ) ≤ ε.6

Metrinėje erdvėje V naudojame tą pačią metriką C(D).Tada apskaičiuotoji išvestinės reikšmė skiriasi nuo tiksliosišvestinės dydžiuρ C (v, v T ) = maxt∈D|εω cos(ωt)| = εω.Parinkus pakankamai didelį parametrą ω (pvz. ω = 1/ε),šis skirtumas nėra mažas skaičius, kai ε yra mažas skaičius.Taigi išvestinės skaičiavimas tokioje metrinių erdvių poroje(U, V ) yra nekorektiškas uždavinys.7

Pasirinkę kitą metrinę erdvę U, galime gauti ir korektiškąuždavinį. Pavyzdžiui, tarkime kad u(t) ∈ C 1 (D) yratolydžiai diferencijuojamos funkcijos ir atstumas tarp dviejųfunkcijų apibrėžiamas taip:ρ C 1(u 1 , u 2 ) =maxt∈DKadangi teisingas įvertis(|u1 (t) − u 2 (t)|+ |u ′ 1 (t) − u′ 2 (t)|) .ρ C (v, v T ) ≤ ρ C 1(u, u T ),tai sprendinys v(t) = u ′ (t) tolydžiai priklauso nuo pradiniųduomenų. Taigi išvestinės skaičiavimas yra korektiškasuždavinys, kai turime metrinių erdvių porą(U, V ) = ( C 1 (D), C(D) ) .8

Taigi bazinius matematikos kursus dėstome ... neteisingai?!Pradėti reikėtų nuo paprastesnio skyriaus – integravimo,nes tai korektiškas matematinis uždavinys, o tik tada nagrinėtiišvestinių skaičiavimą, kadangi tai labai netrivialusir nekorektiškas uždavinys.Studentai ir dauguma dėstytojų šių uždavinių sudėtingumąvertina visai kitaip – nes kas gali būti lengviau už diferencijavimą?Bet elementarias funkcijas nesunku išmokti integruotiMaple ir panašiais paketais.O pagrindinės integravimo taisyklės (adityvumo, integravimodalimis ir kitos) labai gražios ir paprastos.9

Įvairūs taikomieji modeliai užrašomi diferencialinėmis lygtimis(matematinės fizikos lygtys, paprastosios diferencialinėslygtys), bet šie uždaviniai dažniausiai yra korektiški(tokia analizė jau Adamaro nuopelnas), nes ... išvestiniųmes neskaičiuojame.SrityjeD = {(x, y) : a < x < b, 0 ≤ y < Y }spręsime dvimatę Laplaso lygtįkai užduotos kraštinės sąlygos∂ 2 v∂x 2 + ∂2 v= 0, (1)∂y2 ∣v(x, y) ∣ = u(x, y).∂DNaudodami maksimumo principą įrodome sprendinio stabilumonelygybę ((1) uždavinys tiesinis):max |v(x, y)| ≤ max(x,y)∈D(x,y)∈∂D |u(x, y)|. 10

Integralinės lygtys dažniausiai apibrėžia nekorektiškus uždavinius.Šiuolaikinė neardomosios diagnostikos, medicinos (tomografijos) aparatūrapadeda gauti svarbią informaciją, kurios negalime tiesiogiai išmatuotiar tirti, o naudojame tik nesunkiai matuojamų pagalbinių charakteristikųar požymių rezultatus.Tokių metodų matematinis modelis aprašomas integralinelygtimiAv :=∫ baK(x, s)v(s) ds = u(x), c ≤ x ≤ d.1 pastaba. Funkcijos u(t) išvestinės skaičiavimo uždavinįirgi galime užrašyti kaip integralinę lygtį∫ t0 v(s) ds = u(t) − u(0). 12

Kai vietoj tikslių pradinių duomenų u T (x) turime tik apytikslius eksperimentiniusduomenis u(x) ∈ U, tai integralinės lygtiesAv = u,u(x) ∈ Usprendinys v ∈ V gali ir neegzistuoti, jei u(x) ∉ AV . Tada neišpildytapirmoji korektiškų uždavinių apibrėžimo sąlyga.Pavyzdžiui, K(x, s) yra tolydžiai diferencijuojama pagal x funkcija, oeksperimente gautoji funkcija u(x) nėra diferencijuojama.Tokiais atvejais negalime taikyti klasikinio sprendinio apibrėžimov = A −1 u,nes toks sprendinys egzistuoja tik tada, kai u(x) išvestinė yra tolydifunkcija.13

Tarkime, kad U = L 2 [c, d] su metrikaρ U (u 1 , u 2 ) =( ∫ dc(u1 (x) − u 2 (x) ) 2dx) 1/2.Imkime apytikslius pradinius duomenis:∫ bu(x) = u T (x)+M K(x, s)sin(ωs)ds, M, ω > 0.aĮvertinsime pradinių duomenų paklaidą[ ∫ d( ∫ b) 2dx]12.ρ U (u, u T ) = M K(x, s)sin(ωs)ds c aIntegruodami dalimis ir pasinaudojęnelygybę∣ ∂K∣∂s∣ ≤ C, gaunameρ U (u, u T ) ≤ CM ω . 14

Sprendinio pokyčius vertinsime V = C[a, b] metrikoje:ρ C (v 1 , v 2 ) = maxa≤x≤b∣∣∣v 1 (x) − v 2 (x) ∣.Tokiems pradiniams duomenims atstumas tarp sprendiniųρ C[a,b] (v, v T ) = M maxa≤s≤b |sin(ωs)| = Myra kiek norima didelis, jei M didelis skaičius.Sprendinius galime apibrėžti ir L 2 (a, b) metrinėje ervėje.Tada gauname lygybę:( ∫ b) 1/2ρ L2 (v, v T ) = Ma sin2 (ωs) ds( b−a= M2 − 12ω sin ( ω(b − a) ) cos ( ω(b + a) ))1 2= CM.Vėl neišpildyta sprendinio tolydžios priklausomybės nuopradinių duomenų sąlyga.15

Paprasti reguliarizavimo algoritmaiPažymėkime v T (t) = u ′ T(t) tikslią išvestinę. Ją apskaičiuojamenaudodami apibrėžimąu ′ (t) = limh→0u(t + h) − u(t)harba remiantis šia formule įrodytomis išvestinių skaičiavimotaisyklėmis.Vietoj funkcijos u T (t) turime tik jos artinįu(t) = u T (t) + δ(t), |δ(t)| ≤ δ M .Funkcija δ(t) beveik visada nediferencijuojama (reikia apibrėžtiapibendrintąjį sprendinį).Jei ji visgi diferencijuojama, tai toks veiksmas yra nestabiluspradinių duomenų paklaidų atžvilgiu.16

"Gamtoje išvestinių nėra, sutinkame tik baigtiniusskirtumus" (autorius nežinomas).17

Išvestinės artinį skaičiuosime naudodami paprastą skaitiniodiferencijavimo formulęu ′ (t) ≈u(t + h) − u(t).hĮvertinsime gautojo artinio paklaidąu(t + h) − u(t)(∣ − u ′ uT (t + h) − u T (t)hT(t) ∣ = ∣hδ(t + h) − δ(t)∣+ ∣.h)− u ′ T(t)Panaudoję Teiloro skleidinį, įvertiname pirmojo nario paklaidąu T (t + h) − u T (t)h− u ′ T(t) = h 2 u′′ T(t + θh).Apie matavimo paklaidas δ(t) žinome tik kad jos yraaprėžtos, todėlδ(t + h) − δ(t)∣ ∣ ≤ 2δ Mhh → ∞, kai h → 0. 18

Rasime tokį h 0 , kada bendroji aproksimavimo paklaidayra mažiausia.ϕ(h) = Ch2 + 2δ MhSprendžiame lygtįϕ ′ (h) := C 2 − 2δ √MδMh 2 = 0 ⇒ h 0 = 2C .Funkcijos u T (t) išvestinę apskaičiuojame tikslumuϕ(h 0 ) = Ch 02 + 2δ √ √M= 2 Cδ M = O( δ M ).h 019

Imkime centrinių skirtumų formulęu ′ u(t + h) − u(t − h)(t) ≈ .2hPanaudoję Teiloro skleidinį, įvertiname baigtinių skirtumųformulės aproksimacijos paklaidą∣ u T(t + h) − u T (t − h)2h− u ′ T(t) ∣ = h2Bendroji paklaida yra ne didesnė užŠis rėžis yra mažiausias, kai:6 |u′′′ϕ 2 (h) = C 6 h2 + δ Mh .ϕ ′ 2(h) := C 3 h − δ Mh 2 = 0 ⇒ h 0 =( 3δMCT(t + θ 1 h)|.) 1/3= O(δ1/3M ).ϕ 2 (h 0 ) = C 2 h2 0 + δ Mh 0= O(δ 2/3M ). 20