HARMONINĖ ANALIZĖ - Matematikos ir Informatikos fakultetas

HARMONINĖ ANALIZĖprof. Artūras ŠtikonasPaskaitų kursasA.N. Kolmogorovo ir S.V. Fomino vadovėlio„Funkcijų teorijos ir funkcinės analizės elementai“pagrinduMatematikos ir informatikos fakultetasDiferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedraNaugarduko g. 24, LT-03225 Vilnius, LietuvaVilnius universitetas, 2012

Harmoninė Analizėvi

Lentelių sąrašas10.1 Integralinės transformacijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1 skyriusErdvės1. Tiesinės erdvės1.1 apibrėžimas [tiesinė erdvė]. Netuščia aibė L vadinama tiesine arba vektorineerdve L virš skaliarų kūno K, jeigu joje apibrėžta binarioji „sumos“ operacija⊕: L × L → L ir šios aibės elementų daugyba iš skaliaro ⊗: K × L → L, irišpildytos aksiomos:1) x ⊕ y = y ⊕ x, ∀x, y ∈ L (sumos komutatyvumas);2) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z), ∀x, y, z ∈ L (sumos asociatyvumas);3) ∃ 0 ∈ L : x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x, ∀x ∈ L (nulinio elemento egzistavimas);4) ∀ x ∃ − x ∈ L : x ⊕ (−x) = (−x) ⊕ x = 0, ∀x ∈ L (atvirkštinio elementoegzistavimas);5) 1 ⊗ x = x, ∀x ∈ L (daugyba is kūno vienetinio elemento);6) α ⊗ (β ⊗ x) = (α · β) ⊗ x, ∀x ∈ L, α, β ∈ K;7) (α + β) ⊗ x = α ⊗ x + β ⊗ x, ∀x ∈ L, α, β ∈ K;8) α ⊗ (x ⊕ y) = α ⊗ x + α ⊗ y, ∀x, y ∈ L, α ∈ K.Toliau žymėsime + vietoje ⊕ ir · vietoje ⊗ (arba daugybos ženklą praleisime).Tiesinės erdvės poaibis, kuris pats yra tiesinė erdvė, vadinamas tiesine daugdara.1.2 apibrėžimas [pusnormė ir norma]. Tarkime, L yra tiesinė erdvė. Neneigiamafunkcija p: L → R yra vadinama pusnorme, jeigu yra tenkinamos šios aksiomos:1) p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ L, α, ∈ K;2) p(x + y) p(x) + p(y), ∀x, y ∈ L (trikampio nelygybė).Jeigu papildomai tenkinama aksioma:3) p(x) = 0 ⇔ x = 0,tuomet pusnormė vadinama norma ir žymima ||x|| := p(x), o tiesinė erdvė,kurioje apibrėžta norma, vadinama normuotąja erdve.

2.Harmoninė Analizė 22. Metrinės erdvės1.3 apibrėžimas [metrika]. Neneigiama funkcija d: X × X → R yra vadinamametrika (atstumo funkcija) aibėje X ≠ ∅, jeigu yra tenkinamos šios aksiomos:1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y (vienatis);2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X(simetriškumas);3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (trikampio nelygybė).Aibė X, kurioje apibrėžta metrika d, vadinama metrine erdve X := (X, d), oskaičius d(x, y) - atstumu tarp x ir y.1.1 uždavinys. Patikrinkite, kad norma paverčia tiesinę erdvę L metrine erdve, jeigud(x, y) := ||x − y||.1.2 uždavinys. Tarkime, K = R, C. Aibę K [a;b] sudaro visos realiosios (kompleksinės)funkcijos, apibrėžtos intervale [a; b], t.y. funkcijos f : [a; b] → K. Nagrinėkimepoaibį C[a; b] := {f ∈ K [a;b] : f – tolydžioji funkcija}. Įrodykite,kad K [a;b] yra tiesinė erdvė, jei (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) =αf(x), ∀x ∈ [a; b], o C[a; b] – tiesinė daugdara tiesinėje erdvėje K [a;b] .Įrodykite, kad formulė ||f|| C := max x∈[a;b] |f(x)|, ∀f ∈ C[a; b], apibrėžianormą tiesinėje erdvėje C[a; b].1.3 uždavinys. Tarkime, K = R, C. Aibę K N sudaro visos realiųjų (kompleksinių) skaičiųsekos. Nagrinėkime poaibį l 2 := {x = (x n) ∈ K N : ∑ ∞n=1 |xn|2 < ∞}.Įrodykite, kad K N yra tiesinė erdvė, jei x + y = (x n + y n), αx = (αx n),o l 2 – tiesinė daugdara tiesinėje erdvėje K N . Įrodykite, kad formulė||x|| 2 := √∑ ∞n=1 |xn|2 , ∀x ∈ l 2 , apibrėžia normą tiesinėje erdvėje l 2 .Metrinėje erdvėje X aibė A vadinama taško x ∈ X aplinka, jei ∃r > 0,kad atvirasis rutulys S r (x) := {y ∈ X: d(x, y) < r} ⊂ A. Taškas x yra aibėsA ⊂ X vidinis taškas, jei A yra šio taško aplinka. Taškas x yra aibės A ⊂ Xribinis taškas, jei kiekvienoje šio taško aplinkoje yra bent vienas aibės A taškas,nesutampantis su x. Aibė A ⊂ X vadinama atvirąja, jei ji yra kiekvieno savotaško aplinka. Tuščioji aibė laikoma atvira pagal apibrėžimą. Aibė A ⊂ Xvadinama uždarąja, jei jos papildinys X A yra atviroji aibė.1.4 uždavinys. Įrodykite, kad bet kurio skaičiaus atvirųjų aibių sąjunga yra atvirojiaibė ir bet kurio skaičiaus uždarųjų aibių sankirta yra uždaroji aibė.Įrodykite, kad baigtinio skaičiaus atvirųjų aibių sankirta yra atvirojiaibė ir baigtinio skaičiaus uždarųjų aibių sąjunga yra uždaroji aibė.Aibės A ⊂ X uždariniu [A] vadinama mažiausia uždaroji aibė, dengianti A.Aibė A yra uždara tada ir tik tada, kai A = [A]. Tiesinėje erdvėje su metrikauždara tiesinė daugdara vadinama poerdviu.1.5 uždavinys. Įrodykite, kad uždarinį sudaro aibės A taškai ir ribiniai aibės A taškai,nepriklausantys aibei A.

3 1 SKYRIUS. Erdvės [2012 09 5 (11:51)]1.4 apibrėžimas [tirštos aibės]. Metrinės erdvės X poaibis A ⊂ B ⊂ X yratirštas poaibyje B, jei B ⊂ [A]. Atskiru atveju poaibis A ⊂ X yra visur tirštaserdvėje X, jei [A] = X.1.6 uždavinys. Skaitinė seka (x n) vadinama finičiąja, jei jos nelygių nuliui elementųskaičius yra baigtinis. Įrodykite, kad finičiųjų sekų poaibis F ⊂ l 2 ⊂ K Nyra tirštas poaibyje l 2, kai K = R, C.1.1 pavyzdys [Vejerštraso teorema]. Daugianarių aibė P[a; b] yra visur tiršta tolydžiųjųfunkcijų erdvėje C[a; b].1.5 apibrėžimas [separabilioji erdvė]. Metrinė erdvė X vadinama separabiliąja,jei joje egzistuoja skaitus visur tirštas poaibis.1.1 lema [poaibio separabilumas]. Bet kurios separabiliosios metrinės erdvėsX poaibis X yra separabilioji metrinė erdvė.Įrodymas.Tarkime, (y n ) yra visur tirštas poaibis metrinėje erdvėje X ird n = infy∈X d(y n, y). (2.1)Tada bet kuriems n, m ∈ N atsiras toks taškas y nm ∈ X, kadd(y n , y nm ) < d n + 1 m . (2.2)Imkime ε > 0 ir 1 m < ε 3 . Kadangi X ⊂ X, tai ∀x ∈ X ∃y n: d(x, y n ) < ε/3. Kitavertus, d(y n , y nm ) < 2ε/3. Vadinasi, d(x, y nm ) < ε. Aibė {y nm } yra skaiti. ⊓⊔Metrinėje erdvėje svarbi jos elementų sekos (x n ) := (x n ) ∞ n=1 = {x n ∈ X: n ∈N} ribos sąvoka. Seka (x n ) konverguoja į y ∈ X, jeigu lim n→∞ d(x n , y) = 0.Šiuo atveju rašysime x n → y arba lim n→∞ x n = y.1.7 uždavinys. Konverguojanti seka (x n) yra aprėžta ir turi vienintelę ribą.1.6 apibrėžimas [Koši seka]. Metrinės erdvės X seka (x n ) yra vadinama Košiseka, jei lim min(n,m)→∞ d(x n , x m ) = 0.1.8 uždavinys. Įrodykite, kad kiekviena konverguojanti seka (x n) yra Koši seka.1.9 uždavinys. Įrodykite, kad jei Koši seka turi konverguojantį posekį, tai ji pati koverguoja.1.7 apibrėžimas [Pilnoji metrinė erdvė]. Metrinė erdvė X vadinama pilnąja, jeikiekviena jos Koši seka konverguoja.1.10 uždavinys. Įrodykite, kad uždaras pilnosios metrinės erdvės poerdvis X ⊂ X yrapilnoji metrinė erdvė.

2.Harmoninė Analizė 4

2 skyriusIntegruojamųjų funkcijų erdvės1. Matas ir mačiosios funkcijos1.1. MatasTarkime, kad X ≠ ∅ yra bet kuri aibė. Jos poaibių sistema R vadinamaaibių žiedu, jei ji uždara sankirtos (A ∩ B) ir simetrinio skirtumo (A△B :=(A∪B)(A∩B)) atžvilgiu (tada ji uždara sąjungos ir skirtumo atžvilgiu). Aibiųalgebra vadinamas aibių žiedas, kuriam priklauso X. σ-žiedu (atitinkamai δ-žiedu) vadinamas aibių žiedas, uždaras skaičios sąjungos (atitinkamai sankirtos)atžvilgiu, o jeigu toks aibių žiedas yra algebra, tai jis vadinamas σ-algebra ( δ-algebra sutampa su σ-algebra). Jeigu S yra aibės X poaibių sistema, tuometegzistuoja mažiausias aibių žiedas R(S) (atitinkamai σ-žiedas R σ (S), δ-žiedasR δ (S)), kuriam priklauso S aibės. Pora (X, A), sudaryta iš aibės X ir jospoaibių σ-algebros, vadinama mačąja erdve.Aibės X visų poaibių sistema P(X) yra trivialus visų šių aibių žiedų pavyzdys.2.1 pavyzdys [Borelio σ-algebra]. Topologinėje erdvėje T apibrėžta atvirųjų aibių sistemaτ. Paprastai laikoma, kad topologinė erdvė yra Hausdorfo ir lokaliaikompaktinė. Tada R σ(τ) yra σ-algebra ir ji žymima B = B(T). Aibės,priklausančios Borelio algebrai, vadinamos Borelio aibėmis.Galima susilpninti aibių žiedo sąvoką. Pusžiedžiu (atitinkamai pusalgebre) vadinamaaibės X poaibių sistema S, jei ∅ ∈ S (atitinkamai ∅, X ∈ S), ji uždarasankirtos atžvilgiu ir tenkina sąlygą: jeigu A, B ∈ S, tuomet ∃C 1 , . . . , C n ∈ S,kad AB = ∑ nk=1 C k, čia ∑ C k yra tarpusavyje nesikertančių aibių C k sąjunga.2.2 pavyzdys. Tarkime, kad X = R, S sudaryta iš ∅, R ir visų pavidalo (−∞; a),[a; +∞), [a; b) intervalų. Tada S yra pusalgebrė, o jos generuojama(mažiausia) σ-algebra R σ(S) sutampa su Borelio algebra B = B(R). ŠiąBorelio algebrą taip pat generuoja intervalai [a; b) ir jai priklauso visosatvirosios ir uždarosios aibės.Išplėstinės tiesės X = R = R∪{−∞; +∞} poaibių sistemos C, sudarytosiš ∅ ir visų pavidalo [−∞; a), a ∈ R, intervalų, generuojama σ-algebraR σ(C) žymima B.2.1 apibrėžimas. Matu aibės X pusžiedyje S vadinamas atvaizdis µ: S → [0; +∞),tenkinantis aksiomas:

1.Harmoninė Analizė 6a) µ(∅) = 0;b) jeigu (A k ) ⊂ S ir ∑ ∞k=1 A k ∈ S, tuomet µ( ∑ ∞k=1 A k) = ∑ ∞k=1 µ(A k)(σ-adytyvumas).2.1 uždavinys. Parodykite, kad poaibių žiede realiajai adityviajai funkcijai (ϕ(A+B) =ϕ(A) + ϕ(B)) yra ekvivalenčios sąlygos:1) σ-adityvumas: ϕ( ∑ ∞k=1 A k) = ∑ ∞k=1 ϕ(A k);2) pusiautolydumas iš viršiaus: A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 2 . . . ⇒ ϕ ( )∩ ∞ k=1 = limk→∞ ϕ(A k );3) pusiautolydumas iš apačios: A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 2 . . . ⇒ ϕ ( )∪ ∞ k=1 = limk→∞ ϕ(A k );4) tolydumas: ϕ ( lim k→∞ A k)= limk→∞ ϕ(A k ).Aibių seka (A n ) vadinama monotoniškai didėjančia (mažėjančia), jei A n ⊂A n+1 (A n ⊃ A n+1 ), ir žymima lim ↑ A n := ∪ ∞ n=1A n (lim ↓ A n := ∩ ∞ n=1A n ).Poaibių klasė M vadinama monotoniškumo klase, jei ji uždara veiksmų lim ↑ irlim ↓ atžvilgiu. Aibės X poaibių algebra yra σ-algebra tada ir tik tada, kai ji yramonotoniškumo klasė. Dar daugiau, algebros A generuota σ-algebra sutampasu mažiausia monotoniškumo klase, apimančia algebrą A.Matas algebroje vadinamas baigtiniu matu, jei µ(X) < ∞, arba σ-baigtiniumatu, jei X = ∪ ∞ k=1 X k, µ(X k ) < ∞ (galima parinkti arba X = ∑ ∞k=1 X k, arbaX = lim ↑ X n ). Erdve su matu vadinamas trejetas (X), kuriame X yra netuščiaaibė, A – jos poaibių σ-algebra, o µ – matas σ-algebroje A.Tarkime, kad (X, A, µ) – erdvė su matu. Aibė N ⊂ X vadinama nuline(mato µ atžvilgiu), jei ∃A ∈ A, kad µ(A) = 0 ir N ⊂ A. Sakoma, kad erdvėsu matu yra pilna, jei visos nulinės aibės priklauso A. Nepilną erdvę su matuvisada galima papildyti iki pilnos. Pakanka nagrinėti visus galimus poaibiusA ∪ N, A ∈ A, N ∈ N , N – nulinių aibių klasė, ir imti µ(A ∪ N) = µ(A).Svarbi mato savybė yra skaitusis monotoniškumas: jeigu (A k ), A ⊂ S irA ⊂ ∪ ∞ k=1 A k, tuomet µ(A) ∑ ∞k=1 µ(A k).2.3 pavyzdys. Tiesėje R imkime visus intervalus [a; b). Tada jie sudaro pusžiedį. Funkcijaµ([a; b)) = b − a yra matas.2.1 teorema. Tarkime, µ ′ yra matas pusžiedyje S. Tada jis vienareikšmiškaipratęsiamas iki mato µ aibių žiede R(S).2.2 apibrėžimas. Tarkime, kad aibės X poaibių pusžiedyje S apibrėžtas matasµ. Aibės A ∈ P(X) išorinis matas µ ∗ (A) apibrėžiamas lygybe∞∑µ ∗ (A) := inf µ(A k ),k=1∞⋃A ⊂ A k , A k ∈ S.k=1Aibė A ∈ P(X) vadinama mačia Lebego prasme mato µ ažvilgiu (toliau tiesiogmačia), jeigu ∀ε > 0 ∃B ∈ R(S), kad µ ∗ (A△B) < ε.

7 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]2.1 pastaba. Tarkime, kad matas µ apibrėžtas pusalgebrėje, o µ ∗ yra jo apibrėžtasišorinis matas. Aibė A yra mati Lebego prasme tada ir tik tada, kai ji matiKarateodori prasme:∀Z ⊂ X ⇒ µ ∗ (Z) = µ ∗ (Z ∩ A) + µ ∗ (Z A).Jeigu R(S) yra algebra, tuomet teisinga teorema.2.2 teorema [Lebego]. Poaibių sistema L = L(S, µ), kurią sudaro mačiosiosaibės, yra σ-algebra, kurioje µ ∗ yra matas. Erdvė (X, L, µ ∗ ) yra pilna.2.2 pastaba. Matas µ ∗ vadinamas mato µ tęsiniu. Teoremos įrodyme pirmiausiaparodoma, kad µ ∗ aibių žiede R(S) sutampa su matu µ. Jeigu µ(X) < ∞, šiožiedo elementų klasės (A ∼ B ⇔ µ(A△B) = 0) sudaro nepilną metrinę erdvęsu metrika d µ (A, B) = µ∗ (A△B)2µ(X). Tada mačiosios aibės yra šios metrinės erdvėspildinio elementai, o matas µ ∗ yra mato µ tolydusis tęsinys.2.3 pastaba. Jeigu R(S) yra algebra ir A yra mati Lebego prasme aibė, tuomet∀ε > 0 ∃B n , C n ∈ R(S), kad∞∑∞∑B = B n ⊂ A ⊂ C = C n , µ ( C B ) , µ ∗( A B ) , µ ∗( C A ) < ε. (1.1)n=1n=1Aibė vadinama mačia σ-baigtinio mato atžvilgiu (X ∈ R σ (S)), jeigu yramačios visos aibės A ∩ X k , X = ∑ ∞∑ i=1 X k. Tada aibės A matas lygus sumai∞k=1 µ∗ (A ∩ X k ). Šiuo atveju matas gali įgyti reikšmę +∞. Tokios mačiosiosaibės taip pat sudaro σ-algebrą, kurioje apibrėžtas matas µ ∗ . Jeigu matas yraσ-baigtinis, tuomet metrika apibrėžiama formuled µ (A, B) := 1 2∞∑k=1µ ∗ (X n ∩ (A△B))2 k . (1.2)µ(X n )2.4 pavyzdys [Lebego-Styltjeso matas]. Tarkime, kad F : R → R yra nemažėjantifunkcija, tolydi iš kairės. Tada µ F ([a; b)) := F (b) − F (a) apibrėžia matą pusžiedyje S,sudarytame iš intervalų [a; b). Tolydi iš kairės aprėžtosios variacijos funkcija apibrėžiakrūvį pusžiedyje S. Pastebėsime, kad tik besiskiriančios konstanta funkcijos apibrėžiatą patį matą arba krūvį, todėl dažnai dar pridedama papildoma sąlyga F (0) = 0 (arbaF (−∞) = 0 tikimybių teorijoje). Atskiru atveju, kai F (t) = t, matas vadinamasLebego matu tiesėje.Tarkime, kad aibėse X ir Y turime pusžiedžius S X ⊂ P(X) ir S Y ⊂ P(Y ),kuriuose atitinkamai apibrėžti matai µ X ir µ Y . Tada aibėje X × Y poaibiųsistema S X × S Y := {A × B : A ∈ S X , B ∈ S Y } yra pusžiedis, kuriame galimaapibrėžti matą µ X × µ Y formule (µ X × µ Y )(A × B) := µ X (A) · µ Y (B). Šiąkonstrukciją galima apibendrinti bet kokiam skaičiui matų. Jeigu turime dvi σ-algebras A X ir A Y , tuomet pusalgebrės A X ×A Y generuota σ-algebra vadinama

1.Harmoninė Analizė 8σ-algebrų A X ir A Y sandauga ir žymima A X ⊗A Y . Egzistuoja vienintelis matasµ mačioje erdvėje (X × Y, A X ⊗ A Y ), tenkinantis sąlygąµ(A X × A Y ) = µ X (A X ) · µ Y (A Y ), A X ∈ A X , A Y ∈ A Y .Jis vadinamas matų µ X ir µ Y sandauga ir žymimas µ X × µ Y . Erdvė su matu(X × Y, A X ⊗ A Y , µ X × µ Y ) vadinama erdvių su matais (X, A X , µ X ) ir(Y, A Y , µ Y ) sandauga.1.2. Matai su skaičiąja baze2.3 apibrėžimas [matas su skaičiąja baze]. Matas µ vadinamas matu su skaičiąjabaze, jeigu egzistuoja skaiti mačiųjų poaibių sistema B = (B k ) erdvėje(X, A, µ) tokia, kad ∀A ⊂ X ir ∀ε > 0 egzistuoja A k , kad∀ε > 0, ∀A ∈ A ∃B ∈ B : d µ (A, B) < ε.Jeigu B = (B k ) yra mato µ skaičioji bazė, tai poaibių žiedas R(B), kuris yrauždaras baigtinių sąjungų ir sankirtų atžvilgiu, bus mato µ skaičioji bazė. Visadagalima pereiti prie skaičiosios bazės, kurios skirtingos aibės tarpusavyjenesikerta: A ′ k := A k ∪ i 0 egzistuojauždaroji aibė F ir atviroji aibė G tokios, kad F ⊂ A ⊂ G, µ(G F ) < ε.Matas, tenkinantis tokią savybę, vadinamas reguliariuoju.2.4 pastaba. Erdvėje R n imkime aibę C = ∑ ∞n=1 C n, µ ( C A ) < ε, C n –elementarieji stačiakampiai. Kiekvieną C n padenkime atviruoju stačiakampiuc n , kad µ(c n C n ) < ε/2 n . Tada G ε = ∑ ∞n=1 c n bus atviroji aibė ir µ ( G ε A )

9 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]1.4. Mačiosios funkcijosTarkime, kad (X, A X ) ir (Y, A Y ) yra dvi mačiosios erdvės. Atvaizdis f : X → Yyra matus, jei f −1 (A Y ) ⊂ A X . Užtenka šią sąlygą patikrinti poaibių klasei C,kuri generuoja σ-algebrą A Y , nes f −1 (R σ (C)) = R σ (f −1 (C)). Imdami matųjįatvaizdį f : (X, A X ) → (R, B), gautume mačiosios funkcijos apibrėžimą. Mačiojifunkcija, apibrėžta topologinėje erdvėje su Borelio σ-algebra, vadinama Boreliofunkcija.Realioji funkcija yra mati, jei ∀c ∈ R aibė E c (f) := {x ∈ X : f(x) < c} yramati. Jeigu f yra mati, o g : R → R tolydi, tuomet kompozicija g ◦ f yra matifunkcija. Kompleksinė funkcija yra mati, jei mačios yra jos realioji ir menamojidalys. Mačiųjų funkcijų aibė sudaro funkcijų algebrą (tiesinė erdvė su daugybatarp jos elementų ir dalyba iš nenulinės funkcijos).Naudosime žymėjimus:(f ∨ g)(x) := max(f(x), g(x)), (f ∧ g)(x) := min(f(x), g(x)),f + := f ∨ 0, f − := (−f) ∨ 0 (tada |f| := f + + f − , f := f + − f − ).Aibės A ∈ A indikatoriumi ir mačiosios funkcijos f pjūviu vadinamos funkcijos{{1, jei x ∈ A,I A (x) :=0, jei x ∉ A; ; [f] f(x), jei |f(x)| N,N(x) :=0, jei |f(x)| > N.2.4 apibrėžimas [paprastoji funkcija]. Mačioji funkcija f(x) vadinama paprasta,jeigu jos reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji, t.y.∞∑∞∑f(x) = c k I Ak (x), X = A k , A k ∈ A ∀k ∈ N.k=1Paprastoji funkcija vadinama baigtiniareikšme, jeigu jos reikšmių aibė yra baigtinė.k=1Mačiosioms funkcijoms galima apibrėžti sekų konvergavimą:1) tolygus konvergavimas aibėje Xf nX⇒ f :lim sup |f n (x) − f(x)| = 0;n→∞ x∈X2) konvergavimas aibėje Xf nX→ f :lim |f n(x) − f(x)| = 0, ∀x ∈ X.n→∞2.3 teorema. Jeigu (f n ) yra mačiųjų funkcijų seka ir fXn → f, tuomet f matiir funkcijos sup n f n , inf n f n , lim f n , lim f n yra mačiosios.n n

1.Harmoninė Analizė 10Įrodymas.Pasinaudojame lygybėmis:{x ∈ X : f(x) < c} = ∪ ∞ k=1 ∪ ∞ m=1 ∩ n>m {x ∈ X : f n (x) < c − 1 k };{x ∈ X : inf f(x) < c} =n∪∞ k=1{x ∈ X : f n (x) < c}.Taip pat teisinga sup n f n = − inf(−f n ), lim f n = inf n sup mn f m , lim f n =nsup n inf mn f m .⊓⊔2.4 teorema. Kad funkcija f būtų mati būtina ir pakankama, kad ji būtų paprastųjųmačiųjų funkcijų sekos tolygi riba. Jeigu f 0, tuomet galima parinktimonotoninę seką f n (x) f m (x) 0, kai n m. Jeigu f yra aprėžta, tuometseką galima parinkti iš baigtiniareikšmių paprastųjų funkcijų. Jeigu f nėra aprėžta,tuomet galima parinkti baigtiniareikšmių paprastųjų funkcijų seką, tačiauji konverguotų nebūtinai tolygiai.Įrodymas. Pakankamumas gaunamas iš 2.3 teoremos. Būtinumo įrodymui imkimefunkcijasf n (x) = m/n, jeigu m/n f(x) < (m + 1)/n, m ∈ Z, n ∈ N.XVisos sekos funkcijos yra paprastosios ir f n ⇒ f, nes |f(x) − fn (x)| 1/n.Aproksimuojant aprėžtą f 0, baigtiniareikšme paprastąja funkcija pasirenkamef n =n2 n∑i=1i−12 n I {i−12 n f< i2 n } + nI {fn}.Jeigu f 0 yra bet kokia funkcija, tuomet pirmiausia aproksimuojame jos pjūvį[f] n , t.y. randame baigtiniareikšmę funkciją y n : [f] n − 1/n y n [f] n . Tadax n (x) = max n k=1 y k(x) bus ieškomoji funkcija. ⊓⊔Toliau nagrinėsime mačiąsias funkcijas erdvėje (X, A, µ) su σ-baigtiniu matu(tik tokias erdves nagrinėsime), o tokių funkcijų erdvę žymėsime Σ = Σ(X, A, µ).Šioje erdvėje lygybes ir nelygybes suprasime b.v. prasme (pvz. f g ⇔f(x) g(x) b.v.). Užrašas f n ↓ (atitinkamai f n ↑) žymės f m f n (atitinkamaib.v.f m f n ), kai m n; f n ↘ f (f n ↗ f) reikš, kad f n ↓ (f n ↑) ir f n −→ f.Erdvėje Σ(X, A, µ) galima apibrėžti sekų konvergavimus:1) konvergavimas beveik visur (mato µ atžvilgiu)f nb.v.−→ f : µ({x ∈ X : f n (x) ↛ f(x)}) = 0;n2) konvergavimas pagal matąµf n → f :∀δ > 0 limn→∞ µ({x ∈ X : |f n(x) − f(x)| δ) = 0.

11 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]Akivaizdu, kadX Xf n ⇒ f ⇒X b.v.µfn → f ⇒ f n −→ f; f n ⇒ f ⇒ fn → f.Jei µ(X) < ∞, taif nb.v.µ−→ f ⇒ f n → f.2.5 pastaba. Kartais naudojamas lokalusis konvergavimas pagal matąµf n → f :∀δ > 0 limn→∞ µ({x ∈ B : |f n(x)−f(x)| δ) = 0, ∀B ⊂ X, µ(B) < ∞.Tuo tarpu anksčiau apibrėžtas konvergavimas vadinamas globaliuoju. Jeiguµ(X) < ∞, tuomet lokalusis ir globalusis konvergavimas pagal matą sutampa.Tarkime, kad matas yra σ-baigtinis, t.y. X = ∑ ∞k=1 X k, µ(X k ) < ∞. Jeiguµµf n → f kiekvienoje X k , tuomet f n → f lokaliai visoje erdvėje X.2.6 pavyzdys. Intervale (0; 1] kiekvienam k ∈ N apibrėžkime funkcijas h k 1, . . . , h k k:h k i (x) = I ((i−1)/k;i/k] , i = 1, k.Pernumeruokime šias funkcijas iš eilės: (f n : f k(k−1)/2+i = h k i ). Funkcijųµseka f n → 0, tačiau nekonveguoja nei viename intervalo (0; 1] taške.2.7 pavyzdys. Funkcijų seka f n(x) = (−x) n −→ b.v.0 intervale [0; 1], nes ji nekonverguojatik taške x = 1. Funkcijų seka f n(x) = x n → 0 intervale [0; 1) ir f n(1) =1 → 1 taške x = 1, tačiau ji nekonverguoja tolygiai (kodėl?).µb.v.2.1 lema. Tarkime, kad f n → f erdvėje X ir f n −→ g erdvėje X. Tada f = g.2.2 lema. Jeigu mačiųjų funkcijų seka (f n ) yra Koši seka konvergavimo pagalmatą prasme, t.y.∀δ > 0 µ ( {x ∈ X : |f n − f m | δ} )−→m,n→∞ 0,tuomet egzistuoja mačioji funkcija f, įgyjanti baigtines reikšmes, ir posekisb.v.−→ f.f nkĮrodymas. Parinkime seką (ε i > 0): ∑ ∞i=1 ε i < ∞. Pažymėkime δ n := ∑ ∞i=n ε i.∀i parinkime k i (k i < k i+1 ): µ(|f ki+1 −f ki | ε i ) < ε i . Jeigu A n := ∪ ∞ i=n {|f k i+1−f ki | ε i }, tuomet µ(A n ) < δ n , o µ(B) = 0, B := ∩ ∞ n=1A n . Jeigu x ∈ X B,tuomet ∃n: x ∉ A n , t.y. |f ki+1 (x) − f ki (x)| < ε i , ∀i n. Tada∑j−1|f kj (x) − f ki (x)| ε k < δ i , ∀j > i n,k=it.y. |f kj (x) − f ki (x)| −→j,i→∞ 0 ir f k i(x) → f(x).⊓⊔

1.Harmoninė Analizė 12µ2.5 teorema [Ryso]. Jeigu f n → f erdvėje X, tai egzistuoja toks posekis f nk ,b.v.kad f nk −→ f, kai k → ∞.b.v.2.6 teorema [Egorovo]. Jeigu f n −→ f erdvėje X, µ(X) < ∞, tai ∀δ > 0∃X δ ⊂ X, µ(X δ ) < δ, ir f n ⇒f aibėje X X δ .Galima susilpninti tolygaus konvergavimo apibrėžimą:beveik tolygus konvergavimas f nb.t.⇒ f aibėje X:∀δ > 0 ∃X δ ⊂ X, µ(X δ ) < δ, f n ⇒ f, x ∈ X X δ .Kiekviena tolydi kompakte funkcija yra mati. Pasirodo, kad kieviena matikompakte funkcija tampa tolydžia pakeitus ją kiek norima mažoje mato atžvilgiudalyje.2.7 teorema [Luzino]. Tarkime, kad funkcija f yra baigtinė beveik visur kompakteK. Funkcija f yra mati tada ir tik tada, kai ∀ε > 0 egzistuoja uždarojiaibė F ⊂ K, µ(K F ) < ε ir f ∈ C(F ).Įrodymas remiasi Egorovo teorema.2.8 teorema [Frešė]. Tarkime, kad funkcija f yra baigtinė beveik visur kompakteK. Tada egzistuoja tolydžiųjų funkcijų seka (f n ) ⊂ C(K) ir f n −→ fb.v.kompakte K.1.5. Krūvis2.5 apibrėžimas. Tarkime, X – aibė ir R jos poaibių σ-žiedas. Realioji (arbakompleksinė) funkcija ν, apibrėžta žiede R, vadinama krūviu, jeigu ji yra σ-adytivi: (A k ) ⊂ R ir A = ∑ ∞k=1 A k ∈ R ⇒ eilutė ∑ ∞k=1 ν(A k) konverguojaabsoliučiai ir ∑ ∞k=1 ν(A k) = ν(A).Bet kokia σ-adytiviųjų matų tiesinė kombinacija yra krūvis. Toliau nagrinėsimekrūvius σ-algebroje. Aibę A ∈ A vadinsime neigiama (atitinkamaiteigiama) krūvio ν atžvilgiu, jeigu ν(A ∩ B) 0 (atitinkamai ν(A ∩ B) 0)∀B ∈ A. Neigiamų (atitinkamai teigiamų) poaibių poaibių aibę žymėkime A − ν(atitinkamai A + ν ).2.9 teorema [Hano skaidinys]. Jeigu ν yra krūvis, apibrėžtas aibėje X, tuomet∃X + , X − ∈ A, X = X + + X − , X − ∈ A − ν , X + ∈ A + ν .Įrodymas. Tarkime, kad a = inf A∈A−νν(A) ir (A n ) ⊂ A − ν : lim n→∞ ν(A n ) = a.Tada X − := ∪ ∞ k=1 A k ∈ A − ν ir ν(X − ) = a. Pažymėkime X + := X X − .Parodysime, kad X + ∈ A + ν . Tarkime priešingai: ∃C 0 ⊂ X + , C 0 ∈ A irν(C 0 ) < 0. C 0 ∉ A − ν , nes tada prijugtume ją prie X − ir gautume aibę Ā, kuriaiν(A − ν ) < a. Vadinasi, ∃C 1 ⊂ C 0 ir egzistuoja mažiausias k 1 ∈ N, kad ν(C 1 ) 1/k 1 > 0. Toliau aibėje C 0 C 1 rasime aibę C 2 , kad ν(C 2 ) 1/k 2 , k 2 k 1 ,

13 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]ir t.t. Pažymėkime C = C 0 ∪ ∞ i=1 C i. C ≠ ∅, nes ν(C 0 ) < 0, o ν(C i ) > 0.Seka k n → ∞, nes priešingu atveju ν(∪ ∞ i=1 C i) = +∞, bet ∪ ∞ i=1 C i ⊂ C 0 . TodėlC ∈ A − ν , o tai vėl prieštarauja a parinkimui. Vadinasi, X + ∈ A + ν . ⊓⊔Hano skaidinys nėra vienintelis, tačiau jeigu X = X 1 + + X− 1 = X+ 2 + X− 2 ,tuomet ν(A ∩ X 1 + ) = ν(A ∩ X+ 2 ) ir ν(A ∩ X− 1 ) = ν(A ∩ X− 2 ). Vadinasi, krūvisvienareikšmiškai apibrėžia matusν + (A) = ν(A ∩ X + ), ν − (A) = −ν(A ∩ X − ), |ν| = ν + (A) + ν − (A),kurie vadinami krūvio viršutine, apatine ir pilnąja variacija, o pats krūvisir ši išraiška vadinama Žordano skaidiniu.ν = ν + − ν − , (1.3)2.6 pastaba. Šią teoriją galima apibendrinti ir krūviams, kuriems bent vienas išdydžių sup ν(A) ir inf ν(A) baigtinis.Tarkime, kad turime erdvę su matu (X, A, µ). Krūvis vadinamas:a) sutelktu mačioje aibėje A, kuri vadinama krūvio atrama, jeigu ν(B) = 0,∀B ∈ X A;b) tolydžiuoju, jeigu ν({x}) = 0, ∀x ∈ X;c) diskrečiuoju, jeigu jo atrama yra baigtinė arba skaiti;d) absoliučiai tolydžiuoju, jeigu ν(A) = 0, kai tik A ∈ A ir µ(A) = 0;e) singuliariuoju, jeigu jo atramos yra nulinio mato aibė.2.3 lema. Tarkime, kad matas ν yra absoliučiai tolydus mato µ atžvilgiu ir nėratrivialus. Tada ∃n ∈ N ir ∃B ∈ A, µ(B) > 0 ir B ∈ A + ν−µ/n .Įrodymas. Tarkime, kad X = X + n + X − n yra Hano skaidinys, atitinkantis krūvįν − µ/n, n ∈ N. Pažymėkime mačiąsias aibesX − := ∩ ∞ n=1X − n , X + := ∪ ∞ n=1X + n .Tadaν(X − ) − µ(X − )/n 0 ∀n ∈ N,t.y. ν(X − ) = 0 ir ν(X + ) > 0, o tada µ(X + ) > 0. Todėl ∃n, kad µ(X n + ) > 0.Belieka paimti B = X n + . ⊓⊔

2.Harmoninė Analizė 142. Integralas2.1. Lebego integralasTarkime, kad turime erdvę su matu X = (X, A, µ). Šioje dalyje laikysime, kadvisos funkcijos yra mačios ir beveik visur baigtinės.2.6 apibrėžimas [paprastosios funkcijos integralas]. Paprastoji funkcija vadinamaintegruojama, jeigu konverguoja eilutė∞∑|c k |µ(A k ).k=1Integruojamos paprastosios funkcijos integralu mačioje aibėje A vadinsime skaičių∫∞∑fdµ := c k µ(A ∩ A k ).AIntegruojamų paprastųjų funkcijų aibėje X aibę pažymėkime S(X).2.10 teorema. Teisingi teiginiai:1) S(X) yra tiesinė erdvė;k=12) Atvaizdis f ↦→ ∫ fdµ yra tiesinis funkcionalas erdvėje S(X);A3) Atvaizdis A ↦→ ∫ A fdµ yra krūvis, o atvaizdis A ↦→ ∫ |f|dµ yra matasAσ-algebroje A;4) Funkcija d 1 (f, g) := ∫ |f − g|dµ tenkina visas metrinės erdvės aksiomas,Xišskyrus atskyrimo (vienaties), t.y. yra pseudometrika;5) ∣ ∫ A fdµ − ∫ ∣ ∣∣A gdµ d1 (f, g) ∀ f, g ∈ S(X), ∀ A ∈ A;6) µ({x: x ∈ A ∈ A, |f| c > 0}) 1 c∫A|f|dµ (Čebyšovo nelygybė).Toliau mes erdvėje S(X) įvesime ekvivalentiškumo sąryšį f ∼ g ⇔ d 1 (f, g) = 0,t.y. neneigiamos paprastosios funkcijos h = |f − g| = ∑ ∞k=1 c kI Ak , c k 0,integralas ∫ X hdµ = ∑ ∞k=1 c kµ(A k ) = 0. Jeigu c k > 0, tuomet µ(A k ) = 0,t.y. µ({x: h(x) > 0}) = 0. Vadinasi, ekvivalenčios funkcijos sutampa b.v.Faktorerdvę pagal šį sąryšį žymėkime S(X)/ ∼, kuri jau yra metrinė erdvė sumetrika d 1 , tačiau ji gali būti nepilna. Papildykime metrinę erdvę S(X)/ ∼ ikipilnosios erdvės L 1 (X), kurios elementais būtų ekvivalenčios Koši sekos. Tačiaupatogu naudotis tolimesne išreikštine realizacija.2.7 apibrėžimas [integruojamoji funkcija]. Mati funkcija vadinama integruojama(pagal matą µ), jei egzistuoja funkcijų seka (f n ) ⊂ S(X), kad1) seka (f n ) yra fundamentali pseudometrikos d 1 atžvilgiu;

15 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]b.v.2) f n −→ f mato µ atžvilgiu.Integruojamų funkcijų klasės pagal ekvivalentiškumo sąryšį sudaro erdvę L 1 (X).2.7 pastaba. 2.1 lema, 2.2 lema ir 2.5 teorema leidžia 2) punkte konvergavimąb.v. pakeisti konvergavimu pagal matą.Integruojamai funkcijai f ∈ L 1 (X) galima apibrėžti integralą.2.4 lema. Jeigu (f n ) ir (g n ) yra dvi fundamentaliosios sekos erdvėje S(X), kurioskonverguoja į tą pačią funkciją f ∈ L 1 (X) b.v., tuomet2.1 išvada. Funkcionalas∫I A (f) :=lim d 1(f n , g n ) = 0.n→∞Afdµ, ∀A ∈ A,apibrėžtas erdvėje S(X), tolydžiai pratęsiamas iki funkcionalo visoje L 1 (X), t.y.jeigu f ∈ L 1 b.v.(X), seka (f n ) ⊂ S(X), f n −→ f, tai∫I A (f) := lim f n dµ.n→∞AIš 2.10 teoremos 5) savybės ir 2.4 lemos gauname, kad ši riba nepriklauso nuofundamentaliosios sekos parinkimo ir visada egzistuoja, nes I A (f n ) yra fundamentaliojiseka tiesėje R. Taip apibrėžtas funkcionalas vadinamas Lebego integralupagal aibę A ir žymimas ∫ fdµ. 2.10 teorema lieka teisinga, jeigu jojeApakeistume erdvę S(X) į erdvę L 1 (X) su metrika d 1 .2.8 pavyzdys [Lebego-Styljeso integralas]. Lebego-Styljeso matas (Lebego-Styltjesoprasme mačiųjų aibių σ-algebroje), kurį generuoja funkcija F , apibrėžiaLebego-Styljeso integralą, kuris žymimas∫ ∫fdF, fdν,Ačia ν yra funkcijos F apibrėžtas krūvis. Atskiru atveju, kai F (t) = t,gauname Lebego integralą ∫ fdx tiesėje R.AA2.2. Lebego integralo savybėsb.v.2.11 teorema [Lebego]. Tarkime, kad integruojamų funkcijų seka f n −→ fir egzistuoja tokia integruojama funkcija g, su kuria |f n (x)| g(x) b.v. Tadafunkcija f yra integruojama ir∫ ∫limn→∞Af n dµ =Afdµ, ∀A ∈ A.

2.Harmoninė Analizė 162.8 pastaba. Jeigu matas µ yra σ-baigtinis, tuomet Lebego teoremoje konvergavimąf n −→ f galima pakeisti konvergavimu pagal matą f n → f (tiek globa-b.v.µliuoju, tiek lokaliuoju).2.12 teorema [Beppo Levi]. Tarkime, kad (f n ) yra integruojamų funkcijųseka ir f n (x) f m (x), ∀x, kai n m, ir f(x) = lim n→∞ f n (x), x ∈ X.1) Jeigu ∫ X f ndµ K < ∞, tuomet f yra baigtinė beveik visur aibėje X,integruojama ir∫ ∫lim f n dµ = fdµ.n→∞XX2) Jeigu lim n→∞∫X f ndµ = +∞, tuomet f neintegruojama.2.2 išvada. Jeigu ϕ n (x) 0 ir skaitinė eilutė ∑ ∞∫n=1 A ϕ n(x)dµ konverguoja,tuomet funkcinė eilutė ∑ ∞n=1 ϕ n(x) konverguoja ir∞∑∫n=1A∫ϕ n (x)dµ =∞∑ϕ n (x)dµ.A n=12.13 teorema [Fatu]. Tarkime, kad (f n ) yra neneigiamų integruojamų funkcijųseka ir f n −→ f. Jeigu ∫ X f ndµ K < ∞, ∀n ∈ N, tuomet f yrab.v.integruojama ir ∫ fdµ K.Xb.v.2.9 pastaba. Fatu ir Levi teoremose konvergavimą f n −→ f galima pakeisti (lokaliuojuarba globaliuoju) konvergavimu pagal matą f n →µf.2.14 teorema [Lebego integralo absoliutus tolydumas]. Tarkime, kad f ∈L 1 (X). Tada ∀ε > 0 ∃δ > 0: jei µ(A) < δ, tai ∣ ∣ ∫ A fdµ∣ ∣ < ε.Įrodymas. Nagrinėkime atvaizdį I f : L → R, čia L = (X, A) yra metrinė erdvėsu metrika d µ (A, B), apibrėžta formule I f : A ↦→ ∫ A fdµ. Jeigu f = I A, µ(A) 0 ∃δ > 0, kad kiekvienai mačiajai aibei A ⊂ X, µ(A) < δ,∫|f|dµ < ε, ∀f ∈ F,Atuomet sakysime, kad integralai lygialaipsniškai absoliučiai tolydūs.Pavyzdžiui, jeigu g yra integruojama funkcija ir |f(x)| g(x), ∀f ∈ F, tuometintegralai lygialaipsniškai absoliučiai tolydūs.

17 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]2.15 teorema [Radono–Nikodimo]. Tarkime, kad (X, A) yra mati erdvė, µ– baigtinis matas, ν – krūvis, absoliučiai tolydus mato µ atžvilgiu. Tada ∃f ∈L 1 (X), kad∫ν(A) = fdµ, ∀A ∈ A. (2.1)AFunkcija f = dνdµ, vadinama krūvio išvestine pagal matą µ, apibrėžiama vienareikšmiškai.Įrodymas. Kadangi kievienas krūvis ν = ν + + ν − (Žordano skaidinys), čia ν +ir ν − yra matai, todėl pakanka įrodyti atvejį, kai ν yra matas.Tarkime, kad K := {h ∈ L 1 (X, A, µ): h 0, ∫ hdµ ν(A), ∀A ∈ A} irA∫M := sup hdµ.h∈K XParinkime seką (h n ) ⊂ K, kad lim n→∞ hdµ = M. Tada∫Xg n (x) := max(h 1 (x), . . . , h n (x)) ∈ K,nes A = ∑ nk=1 A k, g n (x) = h k (x) aibėje A k , ∀A ∈ A, ir∫Ag n dµ =n∑∫k=1A kh k dµ n∑ν(A k ) = ν(A).Pažymėkime f(x) := sup n h n (x). Tada f(x) = lim n→∞ g n (x) ir, pagal Leviteoremą,∫∫fdµ = lim g n dµ = M.n→∞XXApibrėžkime absoliučiai tolydųjį matą λ(A) = ν(A) − ∫ A fdµ. Tarkime,λ ≢ 0. Tada, pagal 2.3 lemą, egzistuoja ε > 0 ir B ∈ A, µ(B) > 0, kadk=1εµ(A ∩ B) λ(A ∩ B), ∀A ∈ A.Funkcija h(x) = f(x) + εI B (x) ∈ K, nes ∀A ∈ A∫ ∫∫∫hdµ = fdµ + εµ(A ∩ B) fdµ + fdµ + λ(A ∩ B)AAABA∩B∫= fdµ + ν(A ∩ B) ν(A B) + ν(A ∩ B) = ν(A).TačiauAB∫X∫hdµ =Xfdµ + εµ(B) > M.Gavome prieštarą. Vadinasi, λ ≡ 0, t.y. įrodėme funkcijos f egzistavimą ir (2.1)lygybę.

2.Harmoninė Analizė 18Vienatis. Tarkime, kad ∀A ∈ A teisinga∫ ∫ν(A) = f 1 dµ = f 2 dµ.AAJei A n := {x: f 2 (x) − f 1 (x) > 1/n}, B m := {x: f 1 (x) − f 2 (x) > 1/m}, tuomet∫µ(A n ) n (f 2 − f 1 )dµ = 0 ⇒ µ(A n ) = 0.A nAnalogiškai gauname µ(B m ) = 0. Kadangi{x: f 1 (x) ≠ f 2 (x)} = ( ∪ ∞ ) ( )n=1 A n ∪ ∪∞m=1 B m ,todėl µ({x: f 1 (x) ≠ f 2 (x)}) = 0, t.y. f ( x) = f 2 (x) b.v.⊓⊔2.16 teorema [Vitali]. Tarkime, kad µ(x) < ∞ ir integruojamų funkcijų sekosµ(f n ) integralai lygialaipsniškai absoliučiai tolydūs, f n → f, f yra mati ir beveikvisur baigtinė. Tada f integruojama ir∫ ∫f n dµ = fdµ.limn→∞XĮrodymas. ∀ε > 0 apibrėžkime aibes A k = {x ∈ X : |f k (x) − f(x)| < εµ(X) },B k = X A k . Parinkime δ iš integralų lygialaipsniško absoliutaus tolydumosąlygos. Iš nelygybės ∣ |fk (x)| − |f(x)| ∣ |fk (x) − f(x)| turime, kad |f n | → µ |f|.Tada iš Fatu teoremos∫∫|f|dµ sup |f k |dµ ε, jeigu A ⊂ X, µ(A) < δ.kAAJeigu k pakankamai didelis, tuomet µ(B k ) < δ ir∫|f k − f|dµ B k∫|f k |dµ +B k∫|f|dµ < 2ε.B kIš kitos pusėsGalutinai gauname∫A k|f k − f|dµ ∫XXεµ(X) · µ(A k) ε.|f k − f|dµ < 3ε.Vadinasi, ∫ f k − f integruojama, o tada integruojama ir f bei yra teisinga ribaX f kdµ → ∫ X fdµ. ⊓⊔2.17 teorema [Fubini]. Tarkime, kad f(x, y) integruojama funkcija erdvėje sumatu (X × Y, A X ⊗ A Y , µ X × µ Y ). Tada teisingi teiginiai:

19 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]1) beveik visiems x ∈ X funkcija f(x, y) integruojama erdvėje L 1 (Y, µ Y ) irjos integralas ∫ Y f(x, y)dµ Y yra integruojama funkcija erdvėje L 1 (X, µ X );2) beveik visiems y ∈ Y funkcija f(x, y) integruojama erdvėje L 1 (X, µ X ) irjos integralas ∫ X f(x, y)dµ X yra integruojama funkcija erdvėje L 1 (Y, µ Y );3) teisinga lygybė∫f(x, y)d(µ X × µ Y )X×Y∫ ( ∫ ∫= f(x, y)dµ Y)dµ X =X YY( ∫ f(x, y)dµ X)dµ Y .XTeigiamoms (µ Y × µ Y )-mačioms funkcijoms vieno iš kartotinių integralų egzistavimopakanka, kad f(x, y) būtų integruojama erdvėje L 1 (X × Y, µ X × µ Y ).Lebego matas erdvėje R n gali būti apibrėžtas kaip vienmačių Lebego matųsandauga, ir tada gali būti apibrėžtos erdvės L 1 (R n , dx 1 . . . dx n ).2.3. Kvaziintegruojamos funkcijosTarkime, kad (X, A, µ) erdvė su matu, A(µ) := {A ∈ A: µ(A) < ∞}. Jeigumačioji funkcija f 0 nėra integruojama aibėje A ∈ A(µ), tai laikoma ∫ A fdµ =+∞. Imkime bet kokią f. Jei bent vienas iš integralų ∫ A f + dµ ir ∫ A f − dµ yrabaigtinis, tuomet ∫ ∫ ∫fdµ := f + dµ − f − dµ. (2.2)AAAJeigu A ∈ A, tuomet neneigiamai funkcijai f 0 integralas apibrėžiamas formule∫Afdµ =( ∫ )sup fdµ ,B⊂A,B∈A(µ) Bo po to, kaip ir anksčiau, formule (2.2) bet kokiai funkcijai.2.4. Mačiųjų funkcijų metrinė erdvėTarkime, kad (X, A, µ) yra erdvė su matu, o Σ(X, A, µ) sudaro beveik visurbaigtinės mačiosios funkcijos (tiksliau jų klasės: f ∼ g ⇔ f = g b.v.). Jeigumatas yra σ-baigtinis tuomet erdvę Σ(X, A, µ) galima paversti metrine erdve,kurioje konvergavimas sutaps su konvergavimu pagal matą. Jeigu matas µ yraσ-baigtinis, tuomet X = ∑ ∞k=1 X k, 0 < µ(X k ) < ∞. Apibrėžkime funkciją∞∑ 1ρ(x) :=2 k µ(X k ) I X k(x) (jei matas baigtinis ρ(x) := 1µ(X) ).k=1Tada ρ > 0 ir ∫ ρ = 1. Nesunku patikrinti, kadX∫|f(x) − g(x)|d µ (f, g) :=ρ(x)dµ (2.3)1 + |f(x) − g(x)|yra metrika erdvėje Σ(X, A, µ).X

2.Harmoninė Analizė 202.10 pastaba. Atskiru atveju(palyginti su (1.2)).d µ (I A , I B ) = d µ (A, B), A, B ∈ A2.5 lema. Seka (f n ) ⊂ Σ(X, A, µ) konverguoja pagal metriką tada ir tik tada,kai ji konverguoja pagal matą, t.y. konvergavimas nepriklauso kokią ρ pasirinkomemetrikos apibrėžime.Įrodymas.Būtinumas. Tarkime, kad f n − f µ → 0. Kadangi({ |fn (x) − f(x)|})µ1 + |f n (x) − f(x)| ε µ({|f n (x) − f(x)| ε}),todėl|f n(x)−f(x)|1+|f n(x)−f(x)|µ→ 0. Tada, pasinaudoję Lebego teoremos pastaba, gauname∫d µ (f n , f) =X|f n (x) − f(x)|ρ(x)dµ → 0.1 + |f n (x) − f(x)|Pakankamumas. Tarkime, kad d µ (f n , f) → 0, bet f n − f µ↛ 0, t.y.∃ε > 0, ∃δ > 0 : µ({|f nk (x) − f(x)| ε}) δ, k ∈ N.Jeigu |f nk (x) − f(x)| ε, tuomet|f nk (x) − f(x)|1 + |f nk (x) − f(x)| ε1 + ε ,ir, pažymėję X ε = {|f nk (x) − f(x)| ε}, gauname∫|f nk (x) − f(x)|d µ (f nk , f) =1 + |f nk (x) − f(x)| ρdµ ε ∫ρ(x)dµ > 0.1 + ε X εXVadinasi, d µ (f nk , f)↛0. Gavome prieštarą.⊓⊔2.18 teorema. Σ(X, A, µ) yra pilnoji metrinė erdvė.Įrodymas. Tarkime, kad seka (f n ) yra Koši seka:∫|f n (x) − f m (x)|∀ε > 0 ∃N : m n N ⇒ρ(x)dµ < ε, (2.4)1 + |f n (x) − f m (x)|t.y. d µ (f n , f m ) −→m,n→∞ 0.XTada, pakartoję 2.5 lemos pakankamumo įrodymą,analogiškai gauname, kad seka (f n ) yra Koši seka konvergavimo pagal mata µprasme, t.y.∀δ > 0 µ ( {x ∈ X : |f n − f m | δ} )−→m,n→∞ 0.

21 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]Remiantis 2.2 lema, egzistuoja mačioji funkcija, įgyjanti baigtines reikšmes, ir įb.v.ją konverguojantis posekis f nk −→ f. Pasinaudokime Fatu teorema ir pereikime(2.4) nelygybėje prie ribos, kai k → ∞:∀ε > 0 ∃N : n N⇒∫X|f(x) − f m (x)|ρ(x)dµ ε,1 + |f(x) − f m (x)|t.y. lim m→∞ d µ (f m , f) = 0.⊓⊔2.6 lema. Jeigu metrinė erdvė Σ(X, A, µ) yra separabilioji, tuomet matas yrasu skaičiąja baze.Įrodymas. Tarkime, kad erdvė Σ(X, A, µ) yra separabilioji. Nagrinėkime aibęH = {I A : A ∈ A}, kurią galima sutapatinti su A. Ši aibė, kaip separabiliosioserdvės poaibis, pati yra separabilioji. ⊓⊔2.19 teorema. Tarkime, µ yra baigtinis matas su skaičiąja baze. Tada metrinėerdvė Σ(X, A, µ) yra separabilioji.Įrodymas. Tarkime, kad A 0 yra skaiti visur tiršta aibė erdvėje A. Apibrėžkimeskaičiąją aibę{ ∑m }F := r k I Ak : A k ∈ A 0 , m ∈ N, r k ∈ Q . (2.5)k=1Kaip matėme (2.4 teorema), mačiąsias funkcijas galima aproksimuoti baigtiniamatėmispaprastosiomis funkcijomis, kurios konverguoja b.v., o jas - funkcijomis∑ mk=1 r kI Bk , B k ∈ A. Kadangi matas yra baigtinis, tai iš konvergavimob.v. išplaukia konvergavimas pagal matą. Belieka pasinaudoti lygybed µ (I Bk , I A ) = d µ (B k , A) ir aproksimuoti B k aibėmis iš A 0 . ⊓⊔2.11 pastaba. Jeigu B(X, A, µ) yra poerdvis erdvėje Σ(X, A, µ), kurį sudaro aprėžtosmačiosios funkcijos f: sup X |f| < ∞, tuomet funkcijas iš B(X, A, µ)galima tolygiai (o tada ir pagal matą) aproksimuoti baigtiniareikšmėmis paprastosiomisiš A 0 .3. Integruojamų funkcijų erdvėsAibę L ∞ (X) sudaro beveik visur (mato µ prasme) aprėžtos funkcijos, t.y. ∃C:|f(x)| C b.v. Tikslusis apatinis tokių konstantų C rėžis vadinamas esminiufunkcijos f supremumu ir žymimas ess sup(f). Funkcija d ∞ (f, g) := ess sup(f −g), f, g ∈ L ∞ (X), tenkina metrikos aksiomas, jei erdvės elementais laikysimeekvivalenčių funkcijų klases. Jeigu µ(X) < ∞, tuomet kiekviena f ∈ L ∞ (X)yra integruojama, t.y. L ∞ (X) ⊂ L 1 (X).

3.Harmoninė Analizė 22Kai p ∈ (0; +∞), aibę L p (X) sudaro mačiosios funkcijos (tiksliau tokių funkcijųklasės), kurioms ∫ X |f|p dµ < ∞. Šioje erdvėje metrika apibėžiama formule( ∫ 1/p,d p (f, g) = |f(x) − g(x)| dµ) p kai p 1, (3.1)X∫d p (f, g) = |f(x) − g(x)| p dµ, kai p < 1. (3.2)Jeigu µ(X) < ∞ ir p 1 , p 2 ∈ [1; ∞], tuometXL p2 (X) ⊂ L p1 (X), kai p 1 p 2 . (3.3)Kadangi erdvės yra tiesinės, jose galima įvesti normas, atitinkančias metrikas,kai p ∈ [1; ∞]:‖f‖ p := d p (f, 0).Tada šios erdvės tampa normuotosiomis erdvėmis. Toliau visur p ∈ [1; ∞].Toliau L = (L(X), ‖ · ‖) bus viena iš normuotų erdvių (L p (X), ‖ · ‖ p ), (stiprųjį)konvergavimą šioje erdvėje žymėsime fsn → f arba nurodysime konkrečią erdvę:f n → f erdvėje L 2 ir pan.Tarkime, kad X ⊂ Σ = Σ(X, A, µ) yra tiesinis poerdvis toks, kad iš |y| |x|,y ∈ Σ, x ∈ X, gauname, kad y ∈ X, ir tokie X vadinami idealiosiomis erdvėmis.Norma ‖ · ‖ poerdvyje X vadinama monotonine, jeigu x, y ∈ X, |y| |x| ⇒‖y‖ ‖x‖. Idealioji erdvė su monotonine norma vadinama normuota idealiąjaerdve.2.20 teorema. Jeigu (f n ) yra Koši seka erdvėje L p µ(X), tuomet f n → f ∈Σ(X, A, µ).Įrodymas.Pasinaudokime Čebyšovo nelygybe (p ∈ [1, ∞))µ({x: |f m (x) − f n (x)| c > 0}) = µ({x: |f m (x) − f n (x)| p c p > 0}) 1 ∫c p |f m (x) − f n (x)| p dµ = 1 c p ‖f m − f n ‖ p p.XµKadangi Σ(X, A, µ) yra pilnoji metrinė erdvė (2.18 teorema), todėl f n → f ∈Σ(X, A, µ). Jeigu p = ∞, tuomet naudojamės nelygybe |f m (x) − f n (x)| ‖f m (x) − f n (x)‖ ∞ . ⊓⊔2.3 išvada. Jeigu seka fsn → f erdvėje L p µ(X), tuomet f n → f erdvėje Σ(X, A, µ).3.1. Erdvių L p separabilumasŠioje dalyje nagrinėsime erdves L p (X) , kai 1 p < ∞, nes erdvės L ∞ (X), išskyrusišsigimusius (baigtiniamačius) atvejus, yra neseparabiliosios ir jose normanėra o-tolydi. Galima įrodyti, kad L p (X) yra separabilioji tada ir tik tada, kaimatas µ yra separabilusis ir norma ‖ · ‖ p yra o-tolydi.

23 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]2.9 apibrėžimas. Norma ‖·‖ normuotoje idealiojoje erdvėje vadinama o-tolydžiąja,jeiguf n ↘ 0 ⇒ f ns→ 0. (3.4)2.7 lema. Tarkime, kad X ⊂ Σ = Σ(X, A, µ) ir (X, ‖·‖) yra normuota idealiojierdvė su o-tolydžiąja norma, o µ yra σ-baigtinis matas su skaičiąja baze. Tada(X, ‖ · ‖) yra separabilioji erdvė.Įrodymas. Pakanka parodyti, kad teigiamas funkcijas galima aproksimuoti (2.5)pavidalo funkcijomis. Teigiamoms funkcijoms [f] n (x) ↗ f(x) ⇒ f − f n ↘ 0⇒ fsn → f. Todėl pakanka nagrinėti aprėžtąsias funkcijas. Kadangi matasyra σ-baigtinis, t.y. X = ∪ ∞ k=1 X k, X k ⊂ X k+1 , µ(X k ) < ∞, ir f · I Xn ↗ f⇒ f · IsXn → f, todėl pakanka nagrinėti aprėžtąsias funkcijas, o matą laikytibaigtiniu. Tokioms funkcijoms randame baigtiniareikšmes paprastąsias funkcijasf n ↗ f ⇒ fsn → f. Toliau šias baigtiniareikšmes funkcijas monotoniškaiaproksimuosime tokiomis pat funkcijomis, tačiau su racionaliosiomis reikšmėmis.Belieka prisiminti, kad bet kokią funkciją f galima užrašyti kaip teigiamųfunkcijų skirtumą f = f + − f − . ⊓⊔2.21 teorema. Jeigu matas µ yra σ-baigtinis matas su skaičiąja baze, tuometL p (X) yra separabili.Įrodymas. Tereikia pasinaudoti 2.7 lema, nes normos o-tolydumas gaunamasiš Lebego teoremos:∫f n ↘ 0 ⇒ (|f n | p ↘ 0 ir |f n | p |f 1 | p ) ⇒ lim |f n | p dµ = 0n→∞⇒ ‖f n ‖ p p → 0 ⇒ ‖f n ‖ p → 0 ⇒ f ns→ 0. ⊓⊔2.4 išvada. Topologinėje erdvėje su reguliariuoju σ-baigtiniu matu tolydžiųjųfunkcijų aibė yra visur tiršta erdvėje L p (X).Įrodymas. Kaip matėme (2.7 lemos įrodyme), baigtiniareikšmių paprastųjųfunkcijų aibė yra visur tiršta erdvėje L p (X), ir galime laikyti, kad µ(X) < ∞.Pakanka parodyti, kad kiekvieną indikatorių I A galime priartinti tolydžia funkcija.Naudodamiesi mato reguliarumu, randame F ⊂ A ⊂ G, F – uždaroji aibė,G – atviroji aibė ir µ(G F ) < ε p . Tada funkcijaϕ ε (x) :=d(x, X G)d(x, X G) + d(x, F )yra tolydi, lygi nuliui aibėje XG, lygi 1 aibėje F . Vadinasi, funkcija |I A −ϕ ε | 1 aibėje G F ir lygi 0 šios aibės papildinyje, t.y.∫|I A − ϕ ε | p dµ ε p . ⊓⊔XTolydi funkcija f : R n → R vadinama funkcija su kompaktine atrama , jeiguaibė O f = {x ∈ R n : f(x) ≠ 0} yra aprėžta. Šiuo atveju suppf = [O f ] yrakompaktas, kuris vadinamas funkcijos f atrama.X

3.Harmoninė Analizė 242.5 išvada. Tolydžiųjų funkcijų su kompaktine atrama aibė yra visur tiršta erdvėjeL p (R n , L, µ), p ∈ [1; +∞).Įrodymas. Erdvė R n = ∑ ∞N=1{x: N −1 |x| < N}, todėl 2.4 išvados įrodymegalime laikyti, kad A ⊂ {x: N − 1 |x| < N} ⊂ {x: |x| < N}. Erdvės(R n , L, µ) matas yra reguliarus, ir egzistuoja uždaroji aibė F ir atviroji aibė Ḡ,kad F ⊂ A ⊂ Ḡ. Tada F ⊂ A ⊂ G = Ḡ ∩ {x: |x| < N}. Belieka pakartoti 2.4išvados įrodymą šioms aibėms. ⊓⊔2.8 lema. Jeigu f ∈ L p (R n , L, µ), p ∈ [1; +∞), tuomet f yra tolydi vidurkioprasme, t.y.lim ‖f h − f‖ p = 0, f h (x) := f(x + h).h→0Įrodymas. Tarkime, kad g ∈ C(R n ) ir g = 0, kai |x| R, |h| 1. Tadafunkcija g yra tolygiai tolydi rutulyje |x| R + 1:∀ε > 0 ∃ρ > 0 : |x| R, |h| < ρ ⇒ |g(x+h)−g(x)| 0 ∃N : m n N ⇒ |f n (x) − f m (x)| p dµ < ε p .Remiantis Fatu teorema, galima pereiti prie ribos, kai m → ∞:∀ε > 0 ∃N : n N ⇒ ‖f n (x) − f(x)‖ p ε.Vadinasi, ‖f‖ p ‖f n ‖ p + ε ⇒ f ∈ L p (X) ir fsn → f.

25 2 SKYRIUS. Integruojamųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]nff b.v.nfnff b.v.nfnff b.v.nffnsfffb.t. n ffnsfffb.t. n ffnsfffb.t. n f(a)(b)2.1 pav. Seku˛ konvergavimo diagramos, kai p ∈ [1; ∞):(a) bendrasis atvejis; (b) µ(X) < ∞; (c) (f n) ⊂ L p (X) (f s n → f – konvergavimas ‖ · ‖ pprasme).(c)Jeigu p = ∞, pažymėkime aibes:A nm = {x ∈ X : |f n (x) − f m (x)| > ‖f n − f m ‖ ∞ },B n = {x ∈ X : |f n (x)| > ‖f n ‖ ∞ },∞⋃∞⋃D = A nm ∪ B n .m,n=1 n=1Turime, kad µ(D) = 0. Aibėje X D teisinga|f n (x) − f m (x)| ‖f n − f m ‖ ∞ < ε.Pereidami prie ribos m → ∞, gauname|f n (x) − f(t)| ε ⇒ f ∈ L ∞ (X)ir f n → f erdvėje L p (X).Jeigu konverguoja Koši sekos posekis, tai konverguoja ir pati seka.⊓⊔2.12 pastaba. Kai q ∈ [1; ∞), tuomet L q (X) jungtinė erdvė yra L p (X), 1/p +1/q = 1. Jungtinės erdvės yra pilnosios. Iš čia dar sykį gauname erdvių L p (X),p ∈ (1; ∞], pilnumą.3.3. Konvergavimų diagramos2.1 pav. pateikti apibendrinantys sekų konvergavimo, įvairiomis prasmėmis,rezultatai diagramų pavidalu. Punktyrinės rodyklės nurodo galimybę parinktiposekį.

3.Harmoninė Analizė 26

3 skyriusEuklidinė erdvė1. Euklidinė erdvė3.1 apibrėžimas [skaliarinė daugyba]. Atvaizdis L × L → K = R, C, kurisx, y ∈ L priskiria skaliarą (x, y) ∈ K, yra vadinamas skaliarine daugyba, jeitenkina šias savybes:1) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ L;2) (x, y) 0, ∀x, y ∈ L;3) (x, x) = 0 ⇔ x = 0;4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), ∀x, y, z ∈ L;5) (αx, y) = α(x, y), ∀x, y ∈ L, ∀α ∈ K.Toliau K = R. Tada 1) savybė užrašoma: (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ L.3.2 apibrėžimas [euklidinė erdvė]. Tiesinė erdvė L su joje apibrėžta skaliarinedaugyba (·, ·) vadinama euklidine erdve ir žymima E.3.1 lema. Euklidinėje erdvėje teisinga Koši ir Buniakovskio nelygybė|(x, y)| ‖x‖ · ‖y‖, ∀x, y ∈ E.Įrodymas. Nagrinėkime elemento xλ+y, λ ∈ K, skaliarinę sandaugą su savimi.Tada (xλ + y, xλ + y) 0. Iš čia0 (λx + y, λx + y) = |λ| 2 ‖x‖ 2 + 2Re(λ · (x, y)) + ‖y‖ 2 |λ| 2 ‖x‖ 2 + 2|λ| · |(x, y)| + ‖y‖ 2 , ∀λ ∈ K.Kvadratinio trinario pagal |λ| diskriminantas turi būti neteigiamas. Iš čia|(x, y)| 2 − ‖x‖ 2 ‖y‖ 2 0.⊓⊔3.1 teiginys [norma euklidinėje erdvėje]. Euklidinėje erdvėje E norma yraapibrėžiama formule:‖x‖ = √ (x, x).

2.Harmoninė Analizė 28Įrodymas.1) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖:‖αx‖ = √ (αx, αx) = √ |α| 2 (x, x) = |α| √ (x, x) = |α| · ‖x‖.2) ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖:‖x + y‖ 2 = (x + y, x + y) = ‖x‖ 2 + 2Re(x, y) + ‖y‖ 2 ‖x‖ 2 + 2|(x, y)| + ‖y‖ 2 ‖x‖ 2 + 2‖x‖ · ‖y‖ + ‖y‖ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) 2 .Pasinaudojome Koši ir Buniakovskio nelygybe.3) ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0:‖x‖ = 0 ⇔ √ (x, x) = 0 ⇔ (x, x) = 0 ⇔ x = 0.⊓⊔3.2 teiginys [skaliarinės daugybos tolydumas]. Tarkime, (x n ), (y n ) ir x,y ∈ E, o (λ n ), λ ∈ K. Jeigu x n → x, y n → y, λ n → λ, tai:1) (x n + y n ) → x + y, kai n → ∞;2) λ n x n → λx, kai n → ∞;3) (x n , y n ) → (x, y), kai n → ∞.Įrodymas. 1)‖(x n + y n ) − (x + y)‖ ‖(x n − x) + (y n − y)‖ ‖x n − x‖ + ‖y n − y‖.2) Seka (λ n ) konverguoja, todėl ji aprėžta |λ n | < C ir‖λ n x n − λx‖ = ‖λ n (x n − x) + x(λ n − λ)‖ |λ n | · ‖x n − x‖ + ‖x‖ · |λ n − λ|.3) Analogiškai ‖x n ‖ < C ir|(x n , y n ) − (x, y)| = |(x n , y n − y) + (x n − x, y)| |(x n , y n − y)| + |(x n − x, y)| ‖x n ‖ · ‖y n − y‖ + ‖y‖ · ‖x n − x‖.⊓⊔2. Charakteristinė euklidinių erdvių savybėE yra normuotoji erdvė. Kokias sąlygas turi tenkinti norma, kad E būtų euklidinėervė?3.1 teorema [lygiagretainio taisyklė]. Normuotoji erdvė E yra euklidinėerdvė tada ir tik tada, kai bet kuriems elementams f, g ∈ E teisinga lygybė:‖f + g‖ 2 + ‖f − g‖ 2 = 2‖g‖ 2 + 2‖f‖ 2 .

29 3 SKYRIUS. Euklidinė erdvė [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas.Būtinumas.‖f + g‖ 2 + ‖f − g‖ 2 = (f + g, f + g) + (f − g, f − g)= (f, f) + (g, f) + (g, f) + (g, g) + (f, f) − (g, f) − (g, f) + (g, g)= 2‖f‖ 2 + 2‖g‖ 2 .Pakankamumas. Skaliarinę daugybą normuotoje erdvėje apibrėžkime formulerealiosios erdvės atveju ir(f, g) = S(f, g) := 1 4 (‖f + g‖2 − ‖f − g‖ 2 ) (2.1)(f, g) = S(f, g) − ıS(ıf, g) (2.2)kompleksinės erdvės atveju.1) Simetriškumas. (f, g) = (g, f) (akivaizdu).2) (f, f) = ‖f‖ 2 0.3) (f, f) = 0 ⇔ f = 0 (iš 2 savybės).4) Realusis atvejis. Nagrinėkime pagalbinę funkcijąF (f, g, h) = 4((f + g, h) − (f, h) − (g, h)) (2.3)= ‖f + g + h‖ 2 − ‖f + g − h‖ 2 − ‖f + h‖ 2 + ‖f − h‖ 2 − ‖g + h‖ 2 + ‖g − h‖ 2 .Remiantis lygiagretainio taisykle, galioja lygybė‖f + g ± h‖ 2 = 2‖f ± h‖ 2 + 2‖g‖ 2 − ‖f ± h − g‖ 2 .Įstačius jas į funkciją F , gaunameF (f, g, h) = −‖f + h − g‖ 2 + ‖f − h − g‖ 2 (2.4)+ ‖f + h‖ 2 − ‖f − h‖ 2 − ‖g + h‖ 2 + ‖g − h‖ 2 .Imdami lygybių (2.3) ir (2.4) vidurkį, gaunameF (f, g, h) = ‖f+g+h‖2 +‖g+h−f‖ 22− ‖f+g−h‖2 +‖g−h−f‖ 22− ‖g + h‖ 2 + ‖g − h‖ 2= 2‖g+h‖2 +2‖f‖ 22− 2‖g−h‖2 +2‖f‖ 22− ‖g + h‖ 2 + ‖g − h‖ 2 = 0.Todėl (f + g, h) − (f, h) − (g, h) = 0. Realiuoju atveju savybė įrodyta ir S(f +g, h) = S(f, h) + S(g, h). Kompleksiniu atveju(f + g, h) = S(f + g, h) − ıS(ıf + ıg, h)= S(f, h) − ıS(ıf, h) + S(g, h) − ıS(ıg, h) = (f, h) + (g, h).5) Nagrinėkime funkciją ϕ(α) = (αf, g) − α(f, g). Turimeϕ(0) = 1 4 (‖g‖2 − ‖g‖ 2 ) = 0, ϕ(1) = 0.

3.Harmoninė Analizė 30Taip pat 0 = (f − f, g) = (f, g) + (−f, g) ⇒ ϕ(−1) = 0. Tada iš jau įrodytoadytyvumo turime ϕ(n) = 0, n ∈ Z. Jeigu α = m/n ∈ Q, n ≠ 0, n ∈ N, m ∈ Z,tuomet( m n f, g) = m( 1 n f, g) = m n n( 1 n f, g) = m n(f, g),t.y. ϕ(α) = 0, kai α ∈ Q. Funkcija ϕ yra tolydi, ϕ(α) = 0, kai α ∈ R.Kompleksiniu atveju patikriname dar ϕ(ı) = 0. Tada((α + ıβ)f, g) = (αf, g) + (ıβf, g) = α(f, g) + β(ıf, g) = (α + βı)(f, g).⊓⊔3. Ortogonaliosios sistemosIš Koši ir Buniakovskio nelygybės−1 (x, y) 1, x ≠ 0, y ≠ 0,‖x‖ · ‖y‖todėl galima apibrėžti kampą ϕ tarp euklidinės erdvės nenulinių elementųcos(ϕ) =(x, y)‖x‖ · ‖y‖ .3.3 apibrėžimas [ortogonalumo sąvoka]. Euklidinės erdvės elementai x ir y yraortogonalūs, jei (x, y) = 0 (nulinis elementas ortogonalus bet kokiam elementui).Dar sakoma, kad jie yra statmeni.3.4 apibrėžimas [ortogonalioji euklidinės erdvės elementų sistema]. Euklidinėserdvės E nenulinių elementų sistema {x i } ⊂ E, x i ≠ 0, ∀i ∈ I, vadinamaortogonalia, jeigu (x i , x j ) = 0, kai i ≠ j, ∀i, j ∈ I.3.3 teiginys [ortogonaliosios sistemos nepriklausomumas]. Ortogonaliojieuklidinės erdvės elementų sistema yra tiesiškai nepriklausoma.Įrodymas. Elementų sistema yra tiesiškai nepriklausoma, jei nepriklausomasyra bet koks baigtinis tos sistemos poaibis:n∑a j x ij = 0 ⇔ a j = 0, j = 1, n.j=1Tarkime, kad sistema {x ij } yra ortogonalioji sistema. Tada(x ik ,n∑a j x ij ) = 0 ⇒ a ik ‖x ik ‖ 2 = 0 ⇒ a ik = 0, k = 1, n. ⊓⊔j=13.5 apibrėžimas [sistemos pilnumas]. Euklidinės erdvės E elementų sistema {x i }yra vadinama pilna, kai mažiausias uždaras tiesinis poerdvis, kuriam priklausovisi sistemos {x i } elementai, sutampa su E.

31 3 SKYRIUS. Euklidinė erdvė [2012 09 5 (11:51)]3.6 apibrėžimas [bazė]. Pilnoji euklidinės erdvės E nepriklausomų elementųsistema {x i } vadinama baze. Jeigu tokia sistema yra ortogonali, tai ją vadinsimeortogonaliąja baze.3.7 apibrėžimas [ortonormuotoji sistema]. Euklidinės erdvės E elementų ortogonaliojisistema {e i } vadinama ortonormuota, jei{0, kai i ≠ j,(e i , e j ) = δ ij :=1, kai i = j.3.1 pastaba. Jeigu sistema {x i } yra ortogonali, tai { xi‖x i‖} yra ortonormuota.3.1 pavyzdys [baigtinio matavimo erdvė]. R n = {x = (x 1, x 2, . . . , x n): x i ∈ R} suskaliarinė daugyba (x, y) = ∑ ni=1xiyi yra euklidinė erdvė, oe 1 = (1, 0, ..., 0), e 2 = (0, 1, ..., 0), . . . , e n = (0, 0, ..., 1)yra jos ortonormuotoji bazė.3.2 pavyzdys [begalinio matavimo erdvė]. l 2 = {x = (x i): x i ∈ R, ∑ ∞i=1 |xi|2 < ∞}su skaliarinė daugyba (x, y) = ∑ ∞i=1xiyi yra euklidinė erdvė, oyra jos ortonormuotoji bazė.{e j : e j = (δ ji), j ∈ N}3.2 pastaba. Pastebėkime, kad ankstesniuose pavyzdžiuose ortonormuotosios sistemosyra bazės. Iš tikro, jei x ∈ l 2 ir x n = (x 1 , x 2 , ..., x n , 0, 0, ...), tuomet x nyra bazinių elementų e i , i = 1, n, tiesinis darinys. Be to, ‖x n − x‖ → 0, kain → ∞. Baigtinio matavimo erdvėje tai akivaizdu.3.3 pavyzdys. Tolydžių intervale [a, b] funkcijų tiesinę erdvę žymėkime C[a; b]. Jei jojeapibrėžta skaliarinė daugyba(f, g) :=∫ baf(t)g(t) dt,f, g ∈ C[a; b],tai ji tampa euklidine erdve C 2[a; b]. Funkcijų sistema{ 1 2πnt 2πnt, sin , cos2 b − a b − a , n ∈ N}yra ortogonali. Jos pilnumas įrodomas pasinaudojant Vejerštraso teorema(kiekieną tolydžią intervale [a, b] periodinę funkciją f(a) = f(b)galima aproksimuoti trigonometrinių polinomų seka, tolygiai konverguojančiąį f). Kadangi Vejerštraso teoremoje naudojamas konvergavimaspagal normą ‖f‖ C = max t∈[a,b] |f(t)|, tai funkcijų seka konverguos irpagal euklidinės erdvės C 2[a; b] normą ‖ · ‖:‖f‖ 2 =∫ ba|f(t)| 2 dt ∫ bOrtonormuotos bazės intervale [−π; π] pavyzdys:a‖f(t)‖ 2 C dt = ‖f(t)‖ 2 C · |b − a|.{ 1√ , sin(nt) √ , cos(nt) √ , n ∈ N } .2π π π

3.Harmoninė Analizė 323.4 teiginys [ortogonaliosios sistemos skaitumas separabiliojoje euklidinėjeerdvėje]. Jeigu euklidinė erdvė E yra separabili, tai kiekviena ortogonaliojisistema {x i } yra skaiti.Įrodymas. Tarkime, duota ortonormuotoji euklidinės erdvės E sistema {e i }.Tuomet atstumas tarp dviejų sistemos elementų e i ir e j yra‖e i − e j ‖ =√√(e i − e j , e i − e j ) = ‖e i ‖ 2 + ‖e j ‖ 2 = √ 2.Tada kiekvienam sistemos elementui e i , i ∈ I, apibrėžkime rutulį su centru e iir spinduliu r = 1/2: B 1/2 (e i ). Pastebėsime, kad rutuliai nesikerta. Tuomet išE separabilumo turime, kad egzistuoja skaiti aibė A, tiršta erdvėje E. Vadinasi,kieviename rutulyje yra bent vienas aibės A taškas, t.y. rutulių yra ne daugiaunegu aibės A elementų. ⊓⊔3.2 teorema [apie ortogonalizaciją]. Tarkime, kad (x n ) yra tiesiškai nepriklausomųelementų seka euklidinėje erdvėje E. Tada erdvėje E egzistuoja seka(e n ), tenkinanti savybes:1. seka (e n ) yra ortonormuota;2. e n ∈ L({x 1 , . . . , x n }): e n = a n1 f 1 + · · · + a nn f n ir a nn ≠ 0;3. f n ∈ L({e 1 , . . . , e n }): f n = b n1 e 1 + · · · + b nn e n ir b nn ≠ 0.Sekos (e n ) elementai apibrėžiami vienareikšmiškai ±1 tikslumu.Įrodymas. Analogiškas pateikiamam algebros kurse. ⊓⊔3.1 išvada. Separabiliojoje euklidinėje erdvėje E egzistuoja ortonormuota bazė.Įrodymas. Jeigu (x n ) yra skaiti visur tiršta aibė erdvėje E, tuomet iš jos paeiliuiišmetame elementus, kurie yra prieš tai einančių elementų tiesinė kombinacija,ir gautai pilnajai sistemai pritaikome ortogonalizaciją. ⊓⊔

4 skyriusFurjė eilutės euklidinėje erdvėjeTegu E yra n-matė euklidinė erdvė, o (e 1 , e 2 , . . . , e n ) - ortonormuota erdvėsE bazė. Tada bet kurį vektorių x ∈ E galime išreikšti pavidalu1. Furjė eilutėx =n∑c k e k , čia c k = (x, e k ).k=1Toliau nagrinėkime begalinio matavimo euklidinę erdvę E su ortonormuota sistema(e k ). Elementui f ∈ E sudarykime skaičių seką c k = (f, e k ), k ∈ N.4.1 apibrėžimas. Skaičiai c k ∈ K vadinami elemento f ∈ E Furjė koeficientais(koordinatėmis) sistemos (e k ) atžvilgiu, o formali eilutėvadinama elemento f Furjė eilute.∑c k e k (1.1)kAr konverguoja Furjė eilutė?!Pažymėkime dalinę sumą S n = ∑ ni=1 α ke k . Fiksuokime n. Kokius parinktikoeficientus α k , kad atstumas tarp f ir S n būtų mažiausias?‖f − S n ‖ 2 = (f −n∑α k e k , f −k=1= ‖f‖ 2 −= ‖f‖ 2 −= ‖f‖ 2 +n∑α l e l )l=1n∑ᾱ l (f, e l ) −l=1n∑ᾱ k c k −k=1n∑α k (e k , f) +k=1n∑α k¯c k +k=1n∑|α k − c k | 2 −k=1n∑|α k | 2k=1n∑α k ᾱ l (e k , e l )k,l=1n∑|c k | 2 . (1.2)k=1

2.Harmoninė Analizė 34Akivaizdu, kad ‖f −S n ‖ 2 ∑įgyja minimumą, kai dėmuo n (α k −c k ) 2 lygus nuliui,t.y. α k = c k , k = 1, n. Šiuo atveju turime:‖f − S n ‖ 2 = ‖f‖ 2 −k=1n∑|c k | 2 . (1.3)Vadinasi, kai n fiksuotas, n-toji dalinė Furjė eilutės suma yra tiksliausias elementof artinys tiesiniame poerdvyje L({e 1 , . . . , e 2 }). Geometrinė šios savybėsinterpretacija skamba taip:∑4.1 išvada. f − n n∑α k e k yra ortogonalus bet kuriam elementui β k e k tada irk=1tik tada, kai α k = c k , k = 1, n.Įrodymas.k=1k=1n∑ n∑n∑n∑(f − α k e k , β l e l ) = ¯β l (f, e l ) − ¯β l α lk=1 l=1=l=1l=1n∑¯β k (c k − α k ) = 0 ⇔ α k = c k , k = 1, n.k=1⊓⊔2. Beselio nelygybė, uždarosios sistemosKadangi ‖f − S n ‖ 2 0, tai iš lygybės (1.3) gauname, kadn ∑k=1|c k | 2 ‖f‖ 2 .Gautos nelygybės dešinioji pusė nepriklauso nuo n. Kadangi n yra laisvai pasirenkamas,tai eilutė ∑ ∞k=1 |c k| 2 konverguoja ir yra teisinga Beselio nelygybė:∞∑|c k | 2 ‖f‖ 2 . (2.1)k=1Geometrinė šios nelygybės interpretacija reiškia, kad vektoriaus f projekcijų įkoordinatines ašis e n kvadratų suma neviršija paties vektoriaus f ilgio kvadrato.4.2 apibrėžimas [Uždaroji ortonormuota sistema]. Ortonormuota sistema (e n )euklidinėje erdvėje E vadinama uždara, jeigu bet kuriam elementui f ∈ E yrateisinga Parsevalio lygybė:∞∑c 2 k = ‖f‖ 2 . (2.2)k=1Iš lygybės (1.3) gauname, kad sistemos (e n ) uždarumas yra ekvivalentusribos S n → f, kai n → ∞, egzistavimui visiems f ∈ E.4.1 teorema [sistemos uždarumas ir pilnumas separabiliojoje erdvėje].Separabilioje euklidinėje erdvėje E bet kuri ortonormuota sistema (e n ) yra pilnatada ir tik tada, kai ji uždara.

35 4 SKYRIUS. Furjė eilutės euklidinėje erdvėje [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas. Separabiliojoje erdvėje ortonormuota sistema yra skaiti, t.y. ortonormuotojisistema yra (e k ).⇐ Tarkime,kad (e n ) - uždaroji ortonormuota sistema. Tuomet bet kuriamf ∈ E jo Furjė eilutė konverguoja∞ ∑k=1c k e k = f. O tai reiškia, kad tiesinėssistemos (e n ) elementų tiesinės kombinacijos yra tirštos erdvėje E. Vadinasi,sistema (e n ) yra pilna.⇒ Tegu (e n ) - pilna sistema, t.y. bet kurį elementą f ∈ E galima kaipnorima tiksliai aproksimuoti tiesine kombinacija ∑ nk=1 α ke k . Anksčiau parodėme,∑jog neblogesnis aproksimavimas yra gaunamas paėmus Furjė koeficientusnk=1 c ke k . Vadinasi, elemento f Furjė eilutė konverguoja į f, t.y. teisingaParsevalio lygybė.⊓⊔4.1 pastaba. Kadangi separabiliojoje euklidinėje erdvėje ortonormuotos sistemos(e n ) uždarumo ir pilnumo sąvokos sutampa, tai papildomai sistemos uždarumoįrodinėti nebereikia.4.2 pastaba. Tarkime, jog (ϕ k ) - ortogonali sistema. Tada (e k = ϕ k‖ϕ k ‖ ) - ortonormuotasistema. Furjė koeficientai yra lygūsFurjė eilutė užrašoma:k=1c k = (f, e k ) = (f, ϕ k)‖ϕ k ‖ ,∞∑a k ϕ k , a k = (f, ϕ k)∞‖ϕ k ‖ 2 , nes ∑∞∑c k e k =k=1k=1(f, ϕ k )‖ϕ k ‖ ·ϕ k‖ϕ k ‖ ,Beselio nelygybė:∞∑‖ϕ k ‖ 2 |a k | 2 ‖f‖ 2 .k=13. Pilnosios euklidinės erdvės. Ryso ir Fišerio teorema.Toliau nagrinėsime pilnąją separabiliąją euklidinę erdvę E, kurios ortonormuotasistema (e n ) nebūtinai yra pilnoji. Remdamiesi Beselio nelygybe, gauname, kadkiekvieno elemento f ∈ E Furjė koeficientų seka (c k ) ∈ l 2 .4.2 teorema [Ryso ir Fišerio]. Tarkime, (e n ) - ortonormuota sistema pilnojeseparabilioje euklidinėje erdvėje E ir seka (α k ), kur α k ∈ K, tokia, kad∞∑|α k | 2 < ∞. Tada ∃f ∈ E, kadk=1α k = (f, e k ),∞∑|α k | 2 = ‖f‖ 2 .k=1

3.Harmoninė Analizė 36∑Įrodymas. Apibrėžkime seką f n = n α k e k . Tadak=1‖f n+p − f n ‖ 2 = ‖α n+1 e n+1 + . . . + α n+p e n+p ‖ 2 =n+p∑k=n+1|α k | 2 .∑Kadangi eilutė ∞ |α k | 2 konverguoja, tai seka (f n ) yra Koši seka. Erdvė E pilna,k=1todėl ∃f ∈ E toks, kad f n → f erdvėje E. Turime(f, e i ) = (f − f n + f n , e i ) = (f n , e i ) + (f − f n , e i ). (3.1)Pastebėsime, kad, kai n i , dešinės pusės pirmas sumos dėmuo lygus c i , oantras artėja į nulį, kai n → ∞, nes|(f − f n , e i )| ‖f − f n ‖ · ‖e i ‖ = ‖f − f n ‖.Kadangi (3.1) lygybėje kairioji pusė nepriklauso nuo n, gauname(f, e i ) = α i , ∀i ∈ N, (3.2)t.y. α k yra funkcijos f Furjė koeficientai. Tada teisinga lygybėirnes f n → f.‖f − f n ‖ 2 = ‖f −⊓⊔n∑α k e k ‖ 2 = ‖f‖ 2 −k=1∞∑|α k | 2 = ‖f‖ 2 ,k=1n∑|α k | 24.3 teorema. Ortonormuota sistema (e k ) pilnojoje separabiliojoje euklidinėjeerdvėje E yra pilna tada ir tik tada, kai erdvėje E neegzistuoja nenulinis elementas,kuris būtų ortogonalus visiems sistemos (e k ) elementams.Įrodymas.⇒ Tarkime, jog sistema (e k ) yra pilna (todėl ir uždara) ir egzistuoja toksnenulinis elementas g ∈ E, kuris yra ortogonalus visiems sistemos (e k ) elementams.Tada visi elemento g Furjė eilutės koeficientai c k = 0, k ∈ N, ir išParsevalio lygybės gaunamek=1k=1∞∑∞∑‖g‖ 2 = |c k | 2 = 0 2 = 0 ⇒ g = 0.k=1Gavome prieštarą.⇐ Tarkime, jog sistema (e n ) nėra pilna (ir nėra uždara). Tada erdvėjeegzistuoja elementas g ≠ 0 , g ∈ E, toks, kad ‖g‖ 2 ∑> ∞ c 2 n, čia c n = (g, e n ).n=1

37 4 SKYRIUS. Furjė eilutės euklidinėje erdvėje [2012 09 5 (11:51)]Remiantis Ryso ir Fišerio teorema, egzistuoja elementas f ∈ E toks, kad ‖f‖ 2 =∞∑c 2 k irk=1(f − g, e k ) = (f, e k ) − (g, e k ) = c k − c k = 0,t.y. elementas f − g yra statmenas visiems e i , i ∈ N. Tačiau∞∑‖f‖ 2 = |c k | 2 < ‖g‖ 2 ,k=1t.y. f ≠ g. Taigi vėl gavome prieštarą.⊓⊔

3.Harmoninė Analizė 38

5 skyriusHilberto erdvė1. Hilberto erdvė5.1 apibrėžimas [Hilberto erdvė]. Begalinės dimensijos pilnoji euklidinė erdvėvadinama Hilberto erdve.5.1 pastaba. Mes papildomai reikalausime erdvės separabilumo ir Hilberto erdvęžymėsime H.5.2 apibrėžimas [izomorfizmas]. Dvi euklidinės erdvės E ir E 1 vadinamos izomorfinėmis,jeigu egzistuoja bijekcija E ⇄ E 1 irx ↔ x 1 , y ↔ y 1 , x, y ∈ E, x 1 , y 1 ∈ E 1 ,taix + y ↔ x 1 + y 1 ,αx ↔ αx 1 ,(x, y) E = (x 1 , y 1 ) E1 .5.1 teorema [Hilberto erdvių izomorfiškumas]. Bet kurios dvi (separabiliosios)Hilberto erdvės yra izomorfiškos.Įrodymas. Parodysime, kad kiekviena Hilberto erdvė yra izomorfiška erdvei l 2 .Tuo pačiu bus įrodytas ir teoremos tvirtinimas.Tarkime, (e n ) yra pilnoji ortonormuota sistema, f ∈ H yra bet koks elementas,c i = (f, e i ) yra jo Furjė koeficientai sistemos (e n ) atžvilgiu. Kadangi∞∑|c i | 2 = ‖f‖ 2 < ∞,i=1tai seka (c n ) yra erdvės l 2 elementas. Vadinasi, kiekvienam f ∈ H galimapriskirti c = (c n ) ∈ l 2 . Remiantis Ryso ir Fišerio teorema, kiekvienam elementuic ∈ l 2 egzistuoja elementas iš f ∈ H, kurio Furjė koeficientai yra sekos c nariai.Taigi matome, kad egzistuoja bijekcija H ⇄ l 2 .

2.Harmoninė Analizė 40Tarkime, f, g ∈ H ir c, d ∈ l 2 . TadaIš Parsevalio lygybiųturime(f + g, e i ) = (f, e i ) + (g, e i ) = c i + d i ⇒ f + g ↔ c + d;(αf, e i ) = α(f, e i ) = αc ii=1⇒ αf ↔ αc.∞∑∞∑‖f‖ 2 = |c i | 2 ir ‖g‖ 2 = |d i | 2‖f‖ 2 + 2Re(f, g) + ‖g‖ 2 = (f + g, f + g) =i=1i=1i=1i=1∞∑|c i + d i | 2∞∑∞∑ ∞∑∞∑= |c i | 2 + 2Re c i d i + |d i | 2 = ‖f‖ 2 + 2Re c i d i + ‖g‖ 2 .Vadinasi, Re(f, g) = Re ∑ ∞i=1 c id i . Imdami (f +ig, f +ig), analogiškai gautumeIm(f, g) = Im ∑ ∞i=1 c id i . Gauname(f, g) =∞∑c i d i .Taigi parodėme, kad bet kuri Hilberto erdvė H yra izomorfinė erdvei l 2 .Izomorfizmas yra ekvivalentiškumo sąryšis. Todėl bet kurios dvi Hilberto erdvėsyra izomorfiškos. ⊓⊔2. Hilberto erdvės poerdviai5.1 pavyzdys. Tegu H yra realizuota kaip erdvė l 2, t.y. tarsime, jog erdvės H elementaiyra sekos. Tuomet elementai, kurie tenkina sąryšį x i = x j, sudaro erdvėspoerdvį.5.2 pavyzdys. Tegu H yra realizuota kaip erdvė l 2. Tuomet elementai, kurie tenkinasąlygą: x n = 0 , kai n = 2, 4, 6, ..., ir x n bet kokie, kai n = 1, 3, 5, ...,sudaro erdvės H poerdvį.Kiekvienas Hilberto erdvės poerdvis yra arba baigtinės dimensijos, arba patsyra Hilberto erdvė.5.1 išvada [poerdvio ortonormuota sistema]. Kiekviename Hilberto erdvėspoerdvyje H egzistuoja ortonormuota sistema (e n ) tokia, kad [(e n )] = H.5.3 apibrėžimas [ortogonalus papildinys]. Tegu A - Hilberto erdvės poaibis.Poaibio A ortogonaliu papildiniu vadiname aibę elementų h ∈ H, kurie yraortogonalūs visiems elementams a ∈ A, ir žymime A ⊥ .i=1i=1i=1

41 5 SKYRIUS. Hilberto erdvė [2012 09 5 (11:51)]5.1 lema. Tegu a ∈ H. H elementai, kurie yra ortogonalūs elementui a, sudaroerdvės H poerdvį.Įrodymas.1) Tiesiškumas. (h 1 , a) = (h 2 , a) = 0 ⇒ (αh 1 + βh 2 , a) = 0.2) Uždarumas. limn→∞ h n = h ⇒ (h, a) = limn→∞ (h n, a) = limn→∞ 0 = 0.⊓⊔5.2 teorema. Tarkime, kad A ⊂ H. Tada A ⊥ yra poerdvis.Įrodymas.A ⊥ = ∩ a∈A {a} ⊥ ir1) Tiesiškumas. Bet kurio skaičiaus tiesinių daugdarų sankirta yra tiesinėdaugdara.2) Uždarumas. Bet kurio skaičiaus uždarųjų aibių sankirta yra uždaroji aibė.⊓⊔5.3 teorema. Jeigu H ⊂ H yra poerdvis, tai bet kuris elementas h ∈ H išreiškiamasvieninteliu būdu h = f + g, f ∈ H, g ∈ H ⊥ .Įrodymas. Egzistavimas. Kadangi H yra poerdvis, tai jame egzistuoja pilnojiortonormuota sistema (e n ). Tarkime, kad∞∑h ∼ c i e i , c i = (h, e i ).i=1∑Iš Beselio nelygybės turime ∞ c 2 i ‖h‖ 2 , todėl poerdvyje H egzistuoja f =i=1∞∑c i e i ir c n = (f, e n ) (Ryso ir Fišerio teorema poerdvyje H). Imkime g = h−f.i=1Tuomet visiems n turime (g, e n ) = (h, e n ) − (f, e n ) = 0. Vadinasi, (g, y) = 0∑kiekvienam y ∈ H, nes y = ∞ a i e i , kur a i = (y, e i ). Tada h = f + g ir f ∈ H,g ∈ H ⊥ .Vienatis. Tarkime,i=1h = f + g = f 1 + h 1 , f, f 1 ∈ H, g, g 1 ∈ H ⊥ .Tada (f, e n ) = (h, e n ) − (g, e n ) = c n = (h, e n ) − (g 1 , e n ) = (f 1 , e n ), t.y. (f −f 1 , e n ) = 0 kiekvienam n. Tada (f −f 1 , y) = 0 ∀y ∈ H, ir gauname, kad f = f1,g = g 1 . ⊓⊔5.2 išvada. H ∩ H ⊥ = 0.5.3 išvada. H = H ⊕ H ⊥ .5.4 išvada. (H ⊥ ) ⊥ = H.5.5 išvada. Kiekviena ortonormuota sistema gali būti praplėsta iki pilnos sistemoserdvėje H.

2.Harmoninė Analizė 42

6 skyriusTrigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2Erdvė L 2 (X) yra separabilioji Hilberto erdvė (su tam tikrais reikalavimaismatui). Mes šiame skyriuje nagrinėksime erdves su Lebego matu, apibrėžtuintervale X = (a; b) ⊂ R. Šiuo atveju L 2 yra separabiliosios Hilberto erdvėsrealizacija funkcijomis.1. Erdvės L 2 ortogonalios sistemosTegu (ϕ n ) - pilnoji ortogonalioji sistema erdvėje L 2 . Tada bet kokį elementąf ∈ L 2 galima išreikšti Furjė eilutef =∞∑c k ϕ k ,k=1čia c k - Furjė koeficientai, išreiškiami formulėmisc k = 1 ∫‖ϕ k ‖ 2 f(x)ϕ k (x)dµ,X∫‖ϕ k ‖ 2 = |ϕ k (x)| 2 dµ.2. Trigonometrinė sistema ir Furjė eilutėNagrinėkime realiąją L 2 [−π, π] erdvę. Šioje erdvėje funkcijosX1, cos(nx), sin(nx), n ∈ N,sudaro pilną ortogonaliąją sistemą, kuri vadinama trigonometrine. Galima ϕ =1 priskirti prie kosinusų: cos(nx), n ∈ N 0 = {0}∪N. Patikrinsime ortogonalumą:∫ π−π∫ π−πcos(nx) cos(mx)dx = 1 2sin(nx) sin(mx)dx = 1 2∫ π−π∫ π−π(cos((n + m)x) + cos((n − m)x))dx = 0,(cos((n − m)x) − cos((n + m)x))dx = 0,(2.1)(2.2)

2.Harmoninė Analizė 44čia n ≠ m, m ∈ N 0 pirmuoju atveju ir m ∈ N antruoju atveju, o∫ π−πsin(nx) cos(mx)dx = 0, m ∈ N 0 ,nes integruojama nelyginė funkcija simetriniame intervale.Remiantis Vejerštraso teorema, trigonometrinė sistema yra pilna. Atitinkamaortonormuota sistema (remiamės (2.1) ir (2.2), kai m = n) yraFurjė koeficientai užrašomi pavidalu:1√ , cos(nx) √ , sin(nx) √ , n ∈ N.2π π πa n = 1 πb n = 1 π∫ π−π∫ π−πTuomet atitinkama Furjė eilutė yra pavidalof(x) cos(nx)dx, n ∈ N 0 (2.3)f(x) sin(nx)dx n ∈ N. (2.4)∞a 02 + ∑ (an cos(kx) + b n sin(kx) )n=1ir bet kuriai funkcijai f ∈ L 2 konverguoja erdvės L 2 prasme į elementą f.Pažymėkime dalinę Furjė eilutės sumą:S n (x) = a n 02 + ∑ (ak cos(kx) + b k sin(kx) ) .k=1Tuomet vidutinis kvadratinis nuokrypis tarp S n ir f turi pavidalą(‖f − S n ‖ 2 = ‖f‖ 2 − π12 a2 0 +n∑ )(a 2 k + b 2 k) .k=1Toliau pastebėsime, kad iš visų trigonometrinių daugianariųT n (x) = α n02 + ∑(α k cos(kx) + β k sin(kx)),k=1kai n yra fiksuotas, suma S n tiksliausiai aproksimuoja funkciją f.Kadangi trigonometrinė sistema yra pilna, tai ∀f ∈ L 2 yra teisinga Parsevaliolygybė12 a2 0 +∞∑(a 2 k + b 2 k) = 1 πk=1∫ π−πf 2 (x)dx.

45 6 SKYRIUS. Trigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2 [2012 09 5 (11:51)]Vadinasi, kiekvieno elemento f ∈ L 2 Furjė koordinačių kvadratų eilutė konverguoja.Iš kitos pusės, jeigu skaičiai a 0 , a n , b n , n ∈ N, yra tokie, kadtada eilutėa 0∞∑(a 2 k + b 2 k) < ∞,k=1∞2 + ∑(a k cos(kx) + b k sin(kx))k=1taip pat konverguoja erdvėje L 2 ir jos Furjė koeficientai yra a 0 , a n , b n , n ∈ N.Erdvėje L 2 [−l, l] gaunami analogiški rezultatai (pakanka kintamąjį x ∈ [−π, π]tiesiškai pakeisti kintamuoju t ∈ [−l, l] transformacija x = πtl ):a n = 1 lb n = 1 l∫ l−l∫ l−lf(t) cos( nπtl)dt, n ∈ N 0 ,f(t) sin( nπtl)dt, n ∈ N.Tada funkcijos f, apibrėžtos intervale [−l; l], Furjė eilutė yra pavidaloa 02 + ∞∑n=1a n cos nπtl+ b n sin nπtl.3. Trigonometrinės sistemos intervale [0, π]Ortonormuotosios sistemos:a) (cos(nx), n ∈ N 0 ) ir b) (sin(nx), n ∈ N) (3.1)kartu sudaro pilną ortogonalią sistemą erdvėje L 2 [−π, π]. Imkime funkcijąf ∈ L 2 [0, π] ir pratęskime lyginiu būdu į intervalą [−π; π], apibrėždami ją¯f(x) = f(−x), kai x ∈ [−π; 0), ir ¯f(x) = f(x), kai x ∈ [0, π]. Šios funkcijosvisi trigonometrinės Furjė eilutės koeficientai prie sinusų lygūs nuliui(nelyginėsfunkcijos ¯f(x) sin(nx) integralas simetriniame intervale). Vadinasi, kiekvienąfunkciją ¯f ∈ L 2 [−π; π] galima bet kokiu tikslumu priartinti intervale [−π, π],o tada ir funkciją f ∈ L 2 [0; π] intervale [0, π] tiesine (3.1)a) sistemos elementųkombinacija. Tai reiškia, kad (3.1)a) sistema yra pilna.Jeigu funkciją f ∈ L 2 [0, π] pratęsime nelyginiu būdu į intervalą [−π; π], apibrėždamiją ¯f(x) = −f(−x), kai x ∈ [−π; 0), ir ¯f(x) = f(x), kai x ∈ [0, π],tuomet šios funkcijos visi trigonometrinės Furjė eilutės koeficientai prie kosinusųbus lygūs nuliui (nelyginės funkcijos ¯f(x) cos(nx) integralas simetriniameintervale). Vadinasi, (3.1)b) sistema yra pilna.

4.Harmoninė Analizė 464. Kompleksinis Furjė eilutės pavidalasPasinaudodami Eulerio formulėmiscos(nx) = eınx + e −ınx2perrašykime trigonometrinę eilutęa ∞ 02 + ∑ (an cos(nx) + b n sin(nx) )n=1n=1, sin(nx) = eınx − e −ınx,2i= a ∞02 + ∑a n ( eınx +e −ınx2) − ıb n ( eınx −e −ınx2)= a 02 + ∞ ∑=∞∑n=−∞n=1a n−ıb n2e inx +∞∑n=1a n+ıb n2e −ınxc n e ınx , (4.1)čiac 0 = 1 2 a 0, c n = 1 2 (a n − ıb n ), c −n = 1 2 (a n + ıb n ). (4.2)6.1 apibrėžimas [kompleksinė Furjė eilutės forma]. Eilutė∞∑n=−∞c n e ınx , (4.3)kurioje c n apibrėžti (4.2) formulėmis, yra vadinama kompleksiniu trigonometrinėsFurjė eilutės pavidalu.Išreiškime tiesiogines koeficientų c n išraiškas. Turime∫ π−πe ınx e −ımx dx ={0, kai n ≠ m,2π, kai n = m..Tada, funkcijos f kompleksinę trigonometrinę Furjė eilutę∞∑f(x) = c n e ınxpadauginę iš e −imx (m ∈ Z) ir suintegravę intervale [−π, π], gauname∫ π−π−∞f(x)e −ımx dx = 2πc m .

47 6 SKYRIUS. Trigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2 [2012 09 5 (11:51)]Vadinasi,c m = 12π∫ π−πf(x)e −ımx dx, m ∈ Z. (4.4)(4.3) eilutė yra kompleksinės funkcijos Furjė eilutė kompleksinėje L 2 (−π; π)erdvėje ortogonaliosios sistemos {e ımx : m ∈ Z} atžvilgiu, o (4.4) formulė apibrėžiajos Furjė koficientus. Pakeitus funkcijas e ınx į e ınx/l , viską galima perneštiį kompleksinių funkcijų erdvę L 2 (−l; l).5. Ležandro daugianariaiDaugianarių sistemos(x n , n ∈ N 0 ) ⊂ L 2 [a; b] (5.1)tiesinis apvalkalas yra visų daurianarių tiesinė daugdara P [a; b] (kuri nėra poredvis).Kiekvieną funkciją f ∈ L 2 [a; b] kokiu norime tikslumu galima aproksimuotitolydžiomis funkcijomis erdvės L 2 [a; b] normoje. Remiantis Vejerštrasoteorema apie tolydžios funkcijos aproksimaciją daugianariais tolygioje normoje(o tada ir L 2 normoje), gauname, kad [L((x n , n ∈ N 0 ))] = [P [a; b]] = L 2 [a; b],t.y. (5.1) daugianarių sistema yra pilna. Ji yra bazė, nes sistemą sudaro nepriklausomosfunkcijos.Ortogonalizuodami (5.1) sistemą intervale [−1, 1] skaliarinės sandaugos(f, g) =∫ 1−1f(x)g(x)dxatžvilgiu, gausime ortogonalių daugianarių sistemą(Q n , n ∈ N 0 ), (5.2)kurioje elementas Q n yra n-tojo laipsnio daugianaris. Įsitikinsime, kad kiekvienąpolinomą Q n galima apibrėžti pastovaus daugiklio tikslumu formuleR n (x) = dndx n (x2 − 1) n .Funkcijos R n yra daugianariai. Tegu n m . Kadangid kdx k (x2 − 1) n ∣∣∣∣x=−1=dkdx k (x2 − 1) n ∣∣∣∣x=1= 0, k = 0, n − 1,

6.Harmoninė Analizė 48tai, integruodami dalimis, turime∫ 1−1R m (x)R n (x)dx =∫ 1−1R m (x)d dn−1dx n−1 (x2 − 1) n = R m (x) dn−1dx n−1 (x2 − 1) n ∣ ∣∣∣1∫ 1d m+1−dx m+1 (x2 − 1) m dn−1dx n−1 (x2 − 1) n dx = . . .−1∫1= (−1) n (x 2 − 1) n dm+ndx m+n (x2 − 1) m dx. (5.3)−1Iš čia, jeigu m < n, (5.3) lygybėje gauname nulį, t.y. daugianarių sistema (R n )yra ortogonali. Visi daugianariai R n yra n-tojo laipsnio ir priklauso poerdviui,kuris yra generuotas pirmųjų n + 1 (5.1) sistemos elementų. Todėl sistemos(R n ), (Q n ) yra ortogonalios ir priklauso poerdviui, generuotam pirmųjų (n + 1)(5.1) sistemos elementų. Bet tuo pačiu šios savybės vienareikšmiškai konstantostikslumu apibrėžia sistemų (R n ) ir (Q n ) elementus. Apskaičiuokime elementųR n normas. Kai n = m, turime∫ 1−1∫1Rndx 2 = (−1) n= (2n)!−1∫ 1−1√Daugianario R n norma yra lygi 2 n n n dx−1(1 − x 2 ) n dx = (n!)22n+1 22n+1 . (5.4)22n+1 . Tada sistema 12 n n!√2n+12R n (x)yra ortonormuota. Dažniausiai naudojama yra Ležandro daugianarių sistema,užrašoma Rodrigeso formuleIš ankščiau minėtų savybių turime∫ 1−1P n = 1n!2 n d ndx n (x2 − 1) n . (5.5)P n (x)P m (x)dx =Kiekviena f ∈ L 2 [−1, 1] yra skleidžiama Furjė eilutef(x) =∞∑n=0c n P n (x), c n = 2n + 1222n + 1 δ nm. (5.6)∫ 1−1f(x)P n (x)dx.

49 6 SKYRIUS. Trigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2 [2012 09 5 (11:51)]6. Ortogonaliosios sistemos erdvių sandaugojeTegu aibėse X ′ ir X ′′ yra apibrėžti matai µ ′ ir µ ′′ ,o L ′ 2 ir L ′′2 yra funkcijų,integruojamų kvadratu, erdvės , atitinkamai apibrėžtos aibėse X ′ ir X ′′ su mataisµ ′ ir µ ′′ . Nagrinėsime funkcijų erdvę L 2 , kurioje kiekviena funkcija yra apibrėžtaaibėjeX = X ′ × X ′′su matu µ = µ ′ ⊗ µ ′′ .6.1 teorema [ortogonali erdvės L 2 sistema]. Jeigu (ϕ m ) ir (ψ n ) - pilnosiosortogonaliosios sistemos atitinkamai erdvėse L ′ 2 ir L ′′2, tada funkcijų sistemayra pilna ir ortogonali erdvėje L 2 .Įrodymas.f mn (x, y) = ϕ m (x)ψ n (y)Remiantis Fubinio teorema, turime∫∫ ( ∫fnm(x, 2 y) = ϕ 2 m(x) ψndµ 2 ′′) dµ ′ = 1.X ′′XX ′Be to, jeigu m ≠ m 1 , tai, vėl remiantis Fubinio teorema,∫∫( ∫f mn (x, y)f m1n 1(x, y)dµ = ψ n (y)ψ n1 (y) ϕ m (x)ϕ m1 (x)dµ ′) dµ ′′ = 0,X ′XX ′′nes f mn (x, y)f m1n 1(x, y) yra dviejų kintamųjų funkcija, integruojama aibėje X.Kitu atveju, kai m 1 = m, bet n 1 ≠ n, tada∫∫ ( ∫f mn (x, y)f m1n 1(x, y)dµ = ϕ 2 m(x) ψ n (y)ψ n1 (y)dµ ′′) dµ ′ = 0.X ′′XX ′Įsitikinsime sistemos (f mn ) pilnumu. Tegu f ∈ L 2 yra ortogonali kiekvienamsistemos (f mn ) elementui. Pažymėkime∫F m (y) = f(x, y)ϕ m (x)dµ ′ .X ′Akivaizdu, kad F m (y) yra funkcija, integruojama kvadratu. Todėl funkcijaF m ψ n (y) su ∀n ∈ N yra integruojama. Vėl pritaikydami Fubinio teoremą,gauname ∫X ′′ ∫XF m (y)ψ n (y)dµ ′′ = f(x, y)f mn (x, y)dµ = 0.Kadangi sistema (ψ n ) pilna, tai funkcija F m (y) = 0 b.v. Bet tada beveik kiekvienamy yra teisinga lygybė∫X ′ f(x, y)ϕ m (x)dµ ′ = 0

7.Harmoninė Analizė 50su visais m ∈ N. Kadangi sistema (ϕ m ) yra pilna, tada gauname, kad beveik visiemsy aibė, tokių x, kad f(x, y) = 0, yra nulinio mato aibė. Tuomet, remiantisFubinio teorema, turime, kad funkcija f(x, y) = 0 b.v. aibėje X. ⊓⊔6.1 pavyzdys. Nagrinėkime funkcijų, apibrėžtų intervale −π x, y π ir integruojamųkvadratu, erdvę. Tuomet šioje erdvėje pilnąją ortogonaliąją sistemąsudaro dviejų ortogonalių sistemų(1, cos(nx), sin(nx), n ∈ N) ir (1, cos(ny), sin(ny), n ∈ N)tiesioginė sandauga:(1, cos(mx), sin(mx), cos(ny), sin(ny), cos(mx) sin(ny), cos(mx) cos(ny),sin(ny) sin(mx), cos(ny) sin(mx), n ∈ N, m ∈ N).Atitinkama Furjė eilutė yra šiek tiek gremėzdiška, todėl naudosime kompleksinįpavidalą:Tokią bazę atitinka Furjė eilutėsu Furjė koeficientaise ımx e ıny = e ı(mx+ny) , n, m ∈ Z.f(x, y) =c mn = 14π 2∫π−π −π∞∑m,n=−∞∫ πc mne ı(mx+ny)f(x, y)e −ı(mx+ny) dxdy.6.2 pavyzdys. Funkcijų, apibrėžtų kvadrate −1 x, y 1, erdvėje Ležandro daugianariaisudaro pilnąją ortonormuotąją sistemą, sudarytą iš daugianarių√(2m + 1)(2n + 1) d mQ mn(x, y) =m!n!2 m+n+1 dx m (x2 − 1) dndx n (y2 − 1) n .Šie rezultatai lengvai apibendrinami kelių kintamųjų atveju.7. Daugianariai, ortogonalūs tam tikro svorio atžvilgiuLežadro daugianarius gavome ortogonalizuodami sistemą (x n ) erdvėje L 2 suskaliarine daugyba(f, g) =∫ 1−1f(x)g(x)dx,kuri yra apibrėžiama erdvėje L 2 [−1, 1]. Jeigu intervale [−1, 1] apibrėšime matątaip, kad funkcijos x n būtų nepriklausomos erdvėje L 2 su skaliarine daugyba(f, g) µ =∫ 1−1f(x)g(x)dµ,

51 6 SKYRIUS. Trigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2 [2012 09 5 (11:51)]tada po (x n ) sistemos ortogonalizavimo proceso gausime kitą ortogonaliąją sistemą(Q n (x)), kuri priklausys nuo mato µ pasirinkimo.Tarkime, kad turime matą µ, kuris yra apibrėžtas Lebego prasme mačiuoseintervalo [−1, 1] poaibiuose:∫µ(E) = ρ(x)dx, (7.1)Ečia ρ > 0 yra fiksuota integruojama Lebego prasme funkcija, kuri vadinamasvorine funkcija arba svoriu. Tada skaliarinę daugybą ir normą galima apibrėžtiformulėmis(f, g) ρ :=∫ 1−1f(x)g(x)ρ(x)dx, ‖f‖ 2 ρ := (f, f) ρ =∫ 1−1|f(x)| 2 ρ(x)dx.Tokią erdvę žymėsime L 2 ([−1, +1]; ρ). Esant svoriniam matui, sakome, kaddaugianarių sistema (Q n (x)), tenkinanti sąlygą (Q n , Q m ) ρ = δ nm ‖Q n ‖ 2 ρ, yraortogonali svorio ρ(x) atžvilgiu.6.3 pavyzdys. Tarkime,ρ(x) =1√1 − x2 .Tada atlikę ortogonalizaciją šio svorio atžvilgiu, gausime daugianarius,kurie pastovaus daugiklio tikslumu sutampa su Čebyševo daugianariais.Čebyševo daugianariai yra apibrėžiami formulėmis:T n(x) = cos(n arccos x), n ∈ N 0.Šie daugianariai yra plačiai taikomi interpoliavimo uždaviniuose. Šiųdaugianarių ortogonalumas svorio √ 1 atžvilgiu yra lengvai patikrinamas:1−x 2∫ 1−1T m(x)T n(x)√ dx =1 − x2 (x=cosθ)∫ π0cos(mθ) cos(nθ)dθ = π 2 δnm.8. Ortogonaliosios bazės erdvėse L 2 (−∞, ∞) ir L 2 (0, ∞)Iki šiol nagrinėjome erdves su baigtiniu matu, t.y. matu, apibrėžtu baigtiniomato aibėje.Tarkime, begalinis matas apibrėžtas R. Šiuo atveju nei daugianariai, neitrigonometrinės funkcijos nesudarys ortogonaliosios sistemos, nes jie nepriklausoerdve L 2 (R).Tiesėje R nagrinėkime matą µ, kurio svoris yra e −x2 . Tadadµ = e −x2 /2 dx.

9.Harmoninė Analizė 52Tai - baigtinis matas. Integruojamų kvadratu funkcijų erdvėje šio mato atžvilgiuyra gaunama tokia skaliarinė sandauga(f, g) =∫ ∞−∞f(x)g(x)e −x2 /2 dx.Sistema (f n (x)) yra ortogonalioji erdvėje L 2 ((−∞, +∞); e −x2 /2 ) tada ir tik tada,kai (f n (x)e −x2 /4 ) yra ortogonalioji sistema erdvėje L 2 (−∞, +∞). Daugianariųsistema (x n ) ⊂ L 2 ((−∞, +∞); e −x2 /2 ).6.1 pastaba. Fizikoje naudojamas matas su svoriu e −x2 .Atlikę ortogonalizacijos procesą, gauname Ermito daugianarius He n (x), n ∈N 0 ,He n (x) = (−1) n e x2 /2 dn e −x2 /2dx n , (8.1)arba daugianarius H n (x) := 2 n/2 He n ( √ 2x) = (−1) n e x2 d n e −x2dx, jei svoris yrane −x2 . Iš lygybių∫ ∞−∞He m (x)He n (x)e −x2 dx = √ 2πn!δ nm ,∫ ∞−∞H m (x)H n (x)e −x2 dx = √ π2 n n!δ nmgauname, kad abiejų tipų Ermito daugianariai sudaro ortogonaliąsias sistemas.Remiantis ortogonalizacijos teorema, egzistuoja vienintelė pastovaus daugikliotikslumu sistema (P n (x)), čia P n (x) yra n-ojo laipsnio daugianaris.Analogiškai Lagero daugianarių sistemayra ortonormuota erdvėje L 2 ((0, ∞); e −x ).L n (x) = ex d nn! dx n (xn e −x ) (8.2)9. Ortogonalūs daugianariai su diskrečiu svoriuSkirtingiems tiesės R n+1 taškams x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n yra priskirti teigiami svoriaiir apibrėžtas matasp 0 , p 1 , p 2 , . . . , p nµ(E) = ∑x k ∈EPastebėsime, jog visi tiesės poaibiai yra mačiosios aibės, kurių matas priklausonuo poaibiui priklausančių taškų x k skaičiaus. Aibės, kuriose nėra svoriniųtaškų, yra nulinio mato. Tuomet funkcijos f integralas yra lygus∫ ∞−∞f(x) dµ =p k .n∑p k f(x k ),k=0

53 6 SKYRIUS. Trigonometrinės eilutės ir Furjė eilutės erdvėje L 2 [2012 09 5 (11:51)]skaliarinė daugyba yra(f, g) =n∑p k f(x k )g(x k ).k=0Akivaizdu, kad funkcijos f ir g yra ekvivalenčios mato µ atžvigiu tada ir tiktada, kaif(x k ) = g(x k ), ∀x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n .Šiuo atveju geriausio aproksimavimo uždavinys yra ekvivalentus funkcijoskuri minimizuoja reiškinįk=0c 0 ϕ 0 + c 1 ϕ 1 + ... + c m ϕ m ,n∑m∑2,p k(f(x k ) − c i ϕ i (x k ))radimui, t.y. interpoliuojame mažiausių kvadratų metodu. Pastebėsime, kadsistema(1, x, x 2 , ..., x n ) (9.1)yra tiesiškai nepriklausoma apibrėžto mato atžvilgiu, nes skaliarinė sandaugayra apibrėžiama formule(x r , x s ) =i=0n∑k=0p k x r+sk,ir Gramo determinantas yra lygus∑ ∑ ∑ pk pk x k pk x 2 ∑k... pk x n k∑ ∑ pk x k pk x 2 ∑k pk x 3 ∑ k... pk x n+1k... ... ... ... ...=∣ ∑pk x n ∑k pk x n+1 ∑k pk x n+2 ∑ k... pk x 2n ∣k√ √ √ √ 2p0 p1 p2 ... pn√ √ √ √ =p0 x 0 p1 x 1 p2 x 2 ... pn x n... ... ... ... ...=∣ √p0 x n √0 p1 x n √1 p2 x n √ 2 ... pn x n ∣n∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 ... 1x= p 0 p 1 ...p 0 x 1 x 2 ... x nn ... ... ... ... ...≠ 0.x n 0 x n 1 x n 2 ... x n ∣nFunkcijos x s , kai s > n, tiesiškai priklauso nuo (9.1) sistemos funkcijų, neserdvės L 2 dimensija yra n + 1. Todėl ortogonalizacijos proceso metu gaunametik baigtinę ortonormuotą daugianarių sistemą(P 0 , P 1 , ..., P n )

9.Harmoninė Analizė 54diskrečiojo mato atžvilgiu∑pk P r (x k )P s (x k ) = δ s k.Kiekviena funkcija f yra skleidžiama eilutekurios Furjė koeficientai lygūsc r =f ∼n∑c r P r ,r=0n∑p k P r (x k )f(x k ).k=0Taškuose x k yra tenkinamos lygybėsf(x k ) =n∑c r P r (x k ), k = 0, n,r=0t.y. visa eilutės suma tiesiog yra Lagranžo interpoliacinis daugianaris. Dalinėssumosm∑Q m = c r P r , m < n,r=0yra m-tojo laipsnio daugianariai, aproksimuojantys funkciją f taškuose x k tiksliausiai,t.y.reiškinysn∑p k (f(x k ) − Q m (x k )) 2k=0įgyją mažiausią reikšmę su daugianariu Q m negu su bet kuriuo kitu m-tojolaipsnio daugianariu.

7 skyriusFurjė eilutės konvergavimas taške1. Periodinės funkcijosTrigonometrinių funkcijų sistema(1, cos(nx), sin(nx), n ∈ N) (1.1)yra pilna ir ortogonali erdvėje L 2 [−π, π], todėl kiekvienos funkcijos ∀f ∈ L 2 [−π, π]Furjė eilutėa ∞ 02 + ∑ (ak cos(kx) + b k sin(kx) ) , (1.2)k=1čia funkcijos f Furjė koeficientai yra∫ πa k = 1 f(t) cos(kt)dt,π−π∫ πb k = 1 f(t) sin(kt)dt, (1.3)π−πkonverguoja į f erdvės L 2 [−π, π] prasme. Tačiau, norint šias matematines žiniastaikyti fizikos ir kitiems uždaviniams spręsti, yra svarbu išsiaiškinti, kada Furjėeilutė konverguoja pataškiui, visur arba net tolygiai.Jeigu f(−π) ≠ f(π), tuomet f pakeisime ekvivalenčia funkcija, tenkinančiasąlygą: f(−π) = f(π). Tada vietoje funkcijų, apibrėžtų vien tik intervale[−π, π], nagrinėsime visoje tiesėje R apibrėžtas funkcijas, kurios yra periodinėssu periodu 2π, nes bet kurią funkciją, apibrėžtą intervale, galime periodiškaipratęsti.Trigonometrinės funkcijos yra aprėžtos, todėl (1.3) išraiškos, apibrėžiančiosFurjė koeficientus, yra prasmingos su kiekviena integruojama funkcija f ∈˜L 1 (R) := {f : R → R|f(x + 2π) = f(x), ∀x ∈ R, f ∈ L 1 [−π; π]}.∀f ∈ ˜L 1 (R) atitinka Furjė eilutėf ∼ a ∞ 02 + ∑ (ak cos(kx) + b n sin(kx) ) .k=1

2.Harmoninė Analizė 562. Pakankamos Furjė eilutės konvergavimo sąlygosTarkime, x yra taškas, kuriame nagrinėsime funkcijos f(x) ∈ ˜L 1 (R) Furjė eilutėskonvergavimą. Pažymėkime dalinę sumąSn(x) f = a n 02 + ∑ (ak cos(kx) + b k sin(kx) ) . (2.1)k=1Įstatome (1.3) Furjė koeficientų išraiškasS f n(x) = 1 π= 1 π∫ π−π∫ π−π( n1f(t)2 + ∑ ( ) )cos(kx) cos(kt) + sin(kx) sin(kt) =k=1( n1f(t)2 + ∑cos ( k(t − x) )) dt.k=1Pasinaudodami gerai žinoma formule122n+1sin(2u)+ cos u + cos(2u) + cos(3u) + ... + cos(nu) =sin u , (2.2)2kuri gaunama susumavus lygybesturėsimesin u 2 = 1 2 · 2 sin u 2 ,sin 3u 2 − sin u 2 = cos u · 2 sin u 2 ,. . .sin (2n+1)u2− sin (2n−1)u2= cos(nu) · 2 sin u 2 ,S f n(x) = 1 π∫ π−πf(t) sin ( 2n+12(t − x) )2 sin t−x dt.2Gauta išraiška vadinama Dirichlė integralu. Pakeiskime kintamąjį x = t − z.Pointegralinė funkcija yra periodinė, todėl integralas bet kokiu 2π ilgio intervaluturi ta pačią reikšmę. Tada gauname kitą Dirichlė integralo išraiškąS f n(x) = 1 π∫ π−π2n+1sin(2z)f(z + x)2 sin z dz.2FunkcijaD n (z) = 1 sin( 2n+12z)2π sin z 2(2.3)

57 7 SKYRIUS. Furjė eilutės konvergavimas taške [2012 09 5 (11:51)]yra vadinama Dirichlė branduoliu. Laikome, kad D n (0) = (2n + 1)/(2π). TeisingaformulėS f n(x) =∫ πIš (2.2) lygybės galime pastebėti, kad0(f(x + z) + f(x − z))Dn (z)dz. (2.4)Užrašysime skirtumą:∫ π−πD n (z)dz = 1.S f n(x) − f(x) =∫ π−π(f(x + z) − f(x))Dn (z)dz. (2.5)Vadinasi, uždavinį, susietą su S f n(x) konvergavimu į f(x) taške x, suvedėme įuždavinį apie integralo (2.5) konvergavimą į nulį.7.1 lema [Rymano lema]. Jeigu funkcija ϕ integruojama intervale [a, b],tuometlimp→∞∫ baϕ(x) sin(px)dx = 0.Įrodymas. Jeigu ϕ - tolydžiai diferencijuojama funkcija, tuomet, integruodamidalimis, gauname∫ baϕ(x) sin(px) dx = −ϕ(x) cos(px)p∣ b +a∫ baϕ ′ (x) cos(px) dx −→ 0. (2.6)p p→∞Tarkime, ϕ ∈ C 1 [a; b]. Kadangi tolydžiai diferencijuojamos funkcijos yravisur tirštos erdvėje L 1 [a, b], tai reiškia, kad ∀ε > 0 ∃ϕ ε ∈ C 1 [a; b] tokia, kadĮvertiname∫ ba|ϕ(x) − ϕ ε (x)| dx < ε 2 . (2.7)∣∫ baϕ(x) sin(px)dx∣ ∣∫ ba∫ ba(ϕ(x) − ϕε (x) ) sin(px)dx∣∣ +|ϕ(x) − ϕ ε (x)|dx + ∣∫ ba∣∫ ba∣ϕ ε (x) sin(px)dx∣.ϕ ε (x) sin(px)dx∣

2.Harmoninė Analizė 58Pastebėsime, kad pirmasis sumos dėmuo yra mažesnis už ε 2remiantis (2.7) nelygybe,o antrasis dėmuo artėja prie nulio, kai p → ∞, pagal jau įrodytą atvejį.⊓⊔7.1 apibrėžimas. Funkcija f ∈ ˜L 1 (R) tenkina Dini sąlygas taške x 0 , jeigu1. ∃ lim x→x0−0 f(x) = f(x 0 − 0), ∃ lim x→x0+0 f(x) = f(x 0 + 0);2. ∃δ > 0, kad egzistuoja integralai:∫ δ0f(x 0 − z) − f(x 0 − 0)dz,z∫ δ0f(x 0 + z) − f(x 0 + 0)dz.z7.1 teorema [Furjė dalinių sumų konvergavimas taške]. Tarkime, f ∈˜L 1 (R) tenkina Dini sąlygas taške x. Tada dalinės Furjė eilutės sumos S f n koverguojataške x į f(x−0)+f(x+0)2.Įrodymas.Išskaidykime skirtumą ( ∫ π0 D n(z)dz = 1/2)S f n(x) − f(x−0)+f(x+0)2==∫ δ0∫ πf(x−z)−f(x−0)2π sin z 2∫ π0(f(x + z) + f(x − z))Dn (z)dz − f(x−0)+f(x+0)2sin ( 2n+12z ) dz +f(x−z)+2π sin z sin ( 2n+12z ) dz +δ 2− ( f(x − 0) + f(x + 0) ) ∫ πIntervale [δ; π] funkcijosδf(x−z)sin z 2∫ πδ12π sin z 2∫ δ0f(x+z)−f(x+0)2π sin z 2f(x+z)2π sin z sin ( 2n+12z ) dz2, f(x+z) 1sin, z2 sin z 2sin ( 2n+12z ) dzsin ( 2n+12z ) dz = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 .∈ L 1 [δ; π],ir, pagal Rymano lemą, I 3 → 0, I 4 → 0, I 5 → 0, kai n → ∞. Funkcijosf(x−z)−f(x−0) zz·sin z ,2f(x+z)−f(x+0)z·z2 sin z 2ir, pagal Rymano lemą, I 1 → 0, I 2 → 0, kai n → ∞.⊓⊔∈ L 1 [0; δ],7.1 pastaba. Dini konvergavimo sąlygos yra iš dalies išpildytos, jeigu funkcija fduotame taške x yra tolydi ir turi baigtines išvestines iš kairės ir išdešinės.7.2 pastaba. Diriclė branduolys D n (z) yra funkcija, kurios reikšmė takške z =2n+10 yra lygi2π, o, augant n, didėja funkcijos svyravimo dažnis.Remiantis šiomis savybėmis, galime pastebėti, jog integralo∫ π−πf(x + z)D n (z)dz

59 7 SKYRIUS. Furjė eilutės konvergavimas taške [2012 09 5 (11:51)]apskaičiavimas dideliems n yra naudingas tik mažoje taško x aplinkoje.Funkcijų, kurios tenkina Dini sąlyga, kai n → ∞, nagrinėjamasintegralas konverguoja į funkciją f(x). Galime teigti, kadDirichlė branduoliai D n generuoja tam tikrą funkcionalų seką, kuritam tikra prasme konverguoja į δ funkciją, apibrėžtą Furjė eiluteskleidžiamų funkcijų aibėje.7.3 pastaba. Dini sąlygą galime pakeisti kitomis sąlygomis, bet tiesiogiai jos atmestinegalime. Egzistuoja tokios tolydžios funkcijos, kurių Furjėeilutės tam tikruose taškuose diverguoja. Tarp integruojamų funkcijųegzistuoja tokios funkcijos, kurių Furjė eilutės diverguoja visur.Matematikoje kilo klausimas: Ar egzistuoja tokios funkcijos erdvėjeL 2 , kurių Furjė eilutės diverguoja teigiamų matų atžvilgiu? Buvoparodyta, kad tokių funkcijų nėra.Egzistuoja tokios tolydžios funkcijos, kurių Furjė eilutės tam tikruosetaškuose diverguoja. Visų pirma pastebėsime, kad∫ π−π|D n (z)|dz −→n→∞∞. (2.8)Funkcionalų D n normos tolydžių funkcijų erdvėje yra aprėžtos. Bettada, remiantis funkcionalų silpnojo konvergavimo teorema, ši integralųseka negali būti silpnai konverguojanti tolydžių funkcijųerdvėje, t.y. egzistuoja tokios tolydžios funkcijos f, kadneegzistuoja.limn→∞∫ π−πD n (x)f(x)dx3. Furjė eilutės tolygaus konvergavimo sąlygosVisų pirma pastebėsime, kad jeigu funkcija f(x) kažkuriame taške yra trūki, taišios funkcijos Furjė eilutė negali konverguoti į funkciją f(x), nes tolygių funkcijųtolygiai konverguojančios eilutės suma visada yra tolydi. Todėl funkcijostolydumas yra būtinoji Furjė eilutės tolygaus konvergavimo sąlyga.7.2 teorema [tolygus Furjė eilutės konvergavimas]. Jeigu funkcija f yra2π-periodinė, absoliučiai tolydi, o jos išvestinė f ′ ∈ L 2 [−π, π], tai funkcijos fFurjė eilutė tolygiai konverguoja į f visoje tiesėje.Įrodymas. Tarkime, kad a ′ n ir b ′ n yra funkcijos f ′ Furjė koeficientai. Kadangif yra absoliučiai tolydi, tai integraluia n = 1 π∫ π−πf(x) cos(nx)dx

4.Harmoninė Analizė 60galime taikyti integravimo dalimis formulę:a n = 1 π∫ π−πanalogiškai gaunameNagrinėkime eilutęf(x) cos(nx)dx = f(x) sin(nx)πn|a 0 |2 + ∞ ∑n=1Ši eilutė konverguoja, neso eilutėb n = 1 π∫ π−π∣∣ π −π− 1nπ∫ π−πf(x) sin(nx) dx = a′ nn .(|an | + |b n | ) = |a 0|2 + ∞ ∑|b ′ n|n 1 (b ′ 2n + 1 ),2 n 2∞∑n=1n=1f ′ (x) sin(nx) = − b′ nn ;( |b′n |)n + |a′ n|. (3.1)n|a ′ n|n 1 (a ′ 2n + 1 ),2 n 2b ′ 2n + a ′ 2n < ∞pagal Beselio nelygybę. Tada skaitinė eilutė (3.1) yra funkcijos f Furjė eilutėsmažorantė ir, remiantis Vejerštraso tolygaus konvergavimo požymiu, funkcijos fFurjė eilutė tolygiai konverguoja. Belieka parodyti, jog elemento f Furjė eilutėssuma yra lygi elementui f. Tarkime, kad ϕ yra elemento f Furjė eilutės suma.Tada ϕ turi tuos pačius Furjė koeficientus kaip ir elementas f. Kadangi abifunkcijos yra tolydžios, tai f = ϕ. ⊓⊔7.3 teorema [tolygus Furjė eilutės konvergavimas]. Tarkime, aibėje E ⊂[−π, π] integruojama funkcija f yra aprėžta ir tolygiai tenkina Dini sąlygą, t.y.∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∫ δ|f(x + z) − f(x)|dz < ε|z|−δsu visais x ∈ E. Tada funkcijos f Furjė eilutė tolygiai konverguoja į f.Įrodymas.Analogiškas 7.1 teoremos įrodymui.4. Fejerio teoremaTarkime, f ∈ C(R) yra 2π-periodinė funkcija. Ši funkcija yra vienareikšmiškaiapibrėžiama Furjė eilutea 0∞2 + ∑a n cos(nx) + b n sin(nx). (4.1)n=1

61 7 SKYRIUS. Furjė eilutės konvergavimas taške [2012 09 5 (11:51)]Tarkime, f 1 , f 2 ∈ C(R), kurių Furjė koeficientai yra vienodi. Tada funkcijosf 1 − f 2 ∈ C(R) Furjė koficientai lygūs nuliui. Iš Parsevalio lygybės gauname,kad funkcija f 1 − f 2 = 0 b.v., o dėl funkcijos tolydumo - tapatingai lygi nuliui.Tačiau bendru atveju ne kiekvienos tolydžios funkcijos Furjė eilutė konverguojaį tolydžią funkciją, kuri generuoja tą eilutę. Jei turime Furjė koeficientus, tai,sumuodami Furjė eilutę, negalime atstatyti pradinės funkcijos. Vis dėlto Fejerisaprašė metodą, kaip turint funkcijos f Furjė eilutę, atstatyti pačią funkciją f.Tarkime, kadyra dalinės f Furjė eilutės sumos, oS f k (x) = a k∑02 + a j cos(jx) + b j sin(jx)j=1yra aritmetinis S f k vidurkis.σ f n(x) = Sf 0 (x) + Sf 1 (x) + ... + Sf n−1 (x)n7.2 apibrėžimas. Suma σ f n(x) vadinama funkcijos f Fejerio eilute.Užrašykime Furjė dalinių sumų integralinę išraiškąJą įsistatome į (4.2):S f k (x) = 1 πσn(x) f = 1 ∫ π2nπ −π∫ π−π2k+1sin(2z)f(x + z)2 sin( z 2 ) dz.{ n−1}∑ sin( 2k+12z)sin( z k=0 2 ) f(x + z)dz.(4.2)Pasinaudojame formule (įrodykite)n−1∑sin((2k + 1)u) = sin2 (nu)sin uk=0ir išvedame Fejerio integralo formulęσ f n(x) = 12nπ∫ π−πsin 2 nz2sin 2 z 2f(x + z)dz. (4.3)ReiškinysΦ n (z) = 1 sin 2 nz22πn sin 2 z (4.4)2yra vadinamas Fejerio branduoliu. Tada (4.3) formulę galime perrašyti tokiupavidaluσ f n(x) =Fejerio branduolio savybės:∫ π−πf(x + z)Φ n (z)dz. (4.5)

4.Harmoninė Analizė 621) Φ(z) 0;2) ∫ π−π Φ z(z)dz = 1;3) jei δ > 0, tai ∫ −δ−π Φ n(z)dz = ∫ πδ Φ n(z)dz = η n (δ) → 0, n → ∞.Pirma savybė yra akivaizdi. Antra savybė gaunama iš (4.5) lygybės, kaif(x) ≡ 1. Tuomet σ n (x) ≡ 1, ∀n ∈ N. Jeigu δ < z π, tai sin( z 2 ) 2δπirsin 2 nz2sin 2 z 2 π24δ 2 .Iš čia išplaukia trečia savybė.7.4 teorema [Fejerio teorema]. Tarkime, f ∈ ˜L 1 (R) yra tolydi intervale I =[a; b] ⊂ [−π; π]. Tada seka (σ f n) konverguoja į funkciją f tolygiai intevale I.Įrodymas.Kadangi f ∈ C(I), tai ji yra aprėžtair kiekvienam ε > 0 ∃δ > 0, kad∃M : |f(x)| M, ∀x ∈ I, (4.6)|f(x + t) − f(x)| < ε , kai |t| < δ, ∀x ∈ I. (4.7)2Teisinga lygybė (2 Fejerio branduolio savybė):čia x ∈ I irJ − =J 0 =f(x) − σ f n(x) =∫ −δ−π∫ δ−δ∫ π−π(f(x) − f(x + z))Φn (z)dz = J − + J 0 + J + ,(f(x) − f(x + z))Φ n (z)dz, J + =(f(x) − f(x + z))Φ n (z)dz.Iš (4.6) ir (4.7) tiesiogiai išplaukia tokie įverčiai|J 0 | ε 2∫ δ−δΦ n (z)dz < ε 2 ;∫ −δ|J − | + |J + | η n (δ)(2M +∫ π η n (δ)(M + |f(z)|dz).−π−π∫ πδ|f(x + z)|dz +(f(x) − f(x + z))Φ n (z)dz,∫ πδ|f(x + z)|dz)

63 7 SKYRIUS. Furjė eilutės konvergavimas taške [2012 09 5 (11:51)]Fiksuokime δ > 0. Parinkime n 0 tokį, kad∫ πη n (δ)(M + |f(z)|dz) < ε−π2 , kai n n 0.Tada|f(x) − σ f n(x)| < ε 2 + ε 2 = ε.Kadangi ε buvo pasirinktas laisvai, tai gauname teoremos įrodymą.⊓⊔7.1 išvada. Tarkime, ϕ ∈ ˜L 1 (R) yra tolydi taške x = 0. Tada∫ πlim ϕ(z)Φ n (z)dz = f(0).n→∞−π7.5 teorema [Fejerio teorema erdvėje L 1 ]. Tarkime, f ∈ L 1 [−π; π]. Tadaseka (σ f n) konverguoja į funkciją f erdvėje L 1 [−π; π].Įrodymas.Įvertiname‖f(x) − σ f n(x)‖ 1 ∫ π−πFunkcija ϕ(z) := ‖f(x) − f(x + z)‖ 1 = ∫ πtolydi taške z = 0 (įrodykite). Vadinasi,‖f(x) − f(x + z)‖ 1 Φ n (z)dz.−π|f(x) − f(x + z)|dx yra aprėžta ir∫ πlim ‖f(x) −n→∞ σf n(x)‖ 1 lim ϕ(z)Φ n (z)dz = ϕ(0) = 0.n→∞−π⊓⊔5. Trigonometrinės sistemos pilnumasRemiantis Fejerio teorema, bet kokia tolydi funkcija f yra tolygiai konverguojančiųtrigonometrinių daugianarių σn f riba. Lieka pastebėti, kad tolydžios funkcijosyra visur tirštos erdvėje L 2 . Fejerio teoremą taip pat galime nagrinėti,kaip sustiprintą Vejerštraso teoremą apie tolydžių funkcijų aproksimavimą trigonometriniaisdaugianariais: bet kurią tolydžią periodinę funkciją galima tolygiaiaproksimuoti trigonometrinių daugianarių seka tolygioje normoje, ir Fejerioteorema nurodo konkrečią seką, kuri turi šią savybę.Iš šios Vejerštraso teoremos išplaukia ir antroji Vejerštraso teorema: bet kuriątolydžią funkciją intervale [a, b] galima aproksimuoti algebriniais daugianariais.Iš tikro, jeigu f(x) yra tokia funkcija, tai pažymėję t = x−at(b−a)b−aπ, t.y. x =π+a, gausime funkciją ϕ(t), apibrėžtą intervale [0, π]. Pratęskime šią funkciją įintervalą [−π, 0] taip, kad ϕ(−t) = ϕ(t), ir toliau periodiškai visoje tiesėje.Sudarome trigonometrinį daugianarį T n , kuris tenkina sąlygą|ϕ(t) − T n (t)| < ε , ∀t ∈ R.2

5.Harmoninė Analizė 64Kiekvienas trigonometrinis daugianaris yra skleidžiamas Teiloro eilute, kuri tolygiaikonverguoja kiekviename baigtiniame intervale. Tarkime, P m dalinė Teiloroeilutės suma tokia, kadTada|T n − P m | < ε , kai 0 t π.2|ϕ(t) − P m (t)| < ε, kai 0 t π.Tuomet atlikę atvirkštinį kintamujų pakeitimą t = x−ab−aπ, gausime daugianarįQ m (x), kuris tenkina savybę|f(x) − Q m (x)| < ε, kai a x b.7.6 teorema [Vejerštraso]. Jeigu f ∈ C k [a, b], tuomet galima aproksimuotidaugianariais erdvėje C k [a, b].Įrodymas. Jeigu f ∈ C 1 [a; b], tuomet f ′ galime tolygiai aproksimuoti dugianariup n tolygioje normoje. Tada f = ∫ xf(t)dt + f(a) tolygiai aproksimuosimeadaugianariu p n+1 = ∫ xa p n(t)dt + f(a) ir p ′ n+1 = p n . ⊓⊔7.2 lema. Kiekviena funkcija erdvėje L 1 [−π; π] vienareikšmiškai apibrėžiamasavo Furjė koeficientais.Įrodymas. Tarkime, kad turime dvi funkcijas f 1 , f 2 ∈ L 1 [−π; π], kurių Furjėkoeficientai sutampa. Tada funkcijos f = f 1 − f 2 visi Furjė koeficientai lygūsnuliui. Vadinasi, lygios nuliui ir visos Fejerio sumos. Tada jų riba erdvėjeL 1 [−π; π] bus nulinė (b.v.) funkcija, kuri, pagal Fejerio teoremą, šioje erdvėjesutampa su f 1 − f 2 (b.v.), t.y. f 1 = f 2 b.v. ⊓⊔

8 skyriusFurjė transformacija ir integralasAnksčiau aptarėme, kokioms sąlygoms esant, periodinė funkcija gali būtiišskleista Furjė eilute. Dabar analizuosime neperiodines funkcijas. Pastebėsime,jog vietoj skleidinio Furjė eilute atsiras naujas matematinis objektas - Furjėintegralas.1. Furjė integralo apibrėžimasTarkime, kad f kiekviename baigtiniame intervale tenkina sąlygas, kurios leidžiašią funkciją išskleisti Furjė eilute. Pavyzdžiui, tarsime, kad f yra integruojamakiekviename baigtiniame intervale ir kiekviename taške tenkina Dini sąlygą.Nagrinėdami funkciją intervale [−l, l], mes galime parašyti šios funkcijos Furjėeilutęf(x) = a ∞ 02 + ∑a k cos kπx + b k sin kπx . (1.1)llk=1Vietoje a k ir b k įsistatykime Furjė koeficientų išraiškas:a 0 = 1 lGauname∫ l−lf(t)dt, a k = 1 lf(x) = 1 2l∫ l∫ l−lf(t) cos kπ l tdt, .b k = 1 l−lf(t)dt + 1 π∞∑k=1Papildykime reikalavimus funkcijai f dar vienu∫ +∞−∞∫π lcos kπ l −l l∫ l−lf(t) sin kπ l tdt.(t − x)dt. (1.2)|f(t)|dt < ∞. (1.3)Lygybėje (1.2) formaliai pereikime prie ribos, kai l → ∞. Remiantis (1.3),f(t)dt → 0, kai l → ∞, o sumą (1.2) formulėje nagrinėkime kaip funkcijos12l∫ l−lF (λ) = 1 π∫ l−lf(t) cos ( λ(t − x) ) dtintegralo ∫ +∞F (λ)dλ integralinę sumą. Tada formalus perėjimas prie ribos,0kai l → ∞, (1.2) lygybę paverčia lygybef(x) = 1 π∫ +∞0dλ∫ +∞−∞f(t) cos ( λ(t − x) ) dt. (1.4)

1.Harmoninė Analizė 66Ši lygybė yra vadinama Furjė formule. Jeigu pažymėsimea λ = 1 π∫ +∞−∞f(t) cos λtdt,tai (1.4) lygybę galime perrašyti pavidaluf(x) =∫ +∞0b λ = 1 π∫ +∞−∞(a λ cos λx + b λ sin λx)dλ.f(t) sin λtdt,8.1 teorema [Furjė formulė]. Jeigu funkcija f ∈ L 1 (R) taške x tenkina Dinisąlygą, tai yra teisinga lygybėĮrodymas.Pažymėkimef(x − 0) + f(x + 0)2= 1 π∫ +∞0dλ∫ +∞−∞Dešinioji Furjė formulės pusė lygi1π∫ +∞0J(A, x) = 1 πdλ∫ A0∫ +∞0dλf(t) cos ( λ(t − x) ) dt. (1.5)(f(x − z) + f(x + z))cos(λz)dz.∫ +∞0(f(x − z) + f(x + z))cos(λz)dz. (1.6)Mums reikia parodyti, kad lim A→+∞ J(A) egzistuoja ir yra lygi kairiajai Furjėformulės pusei. Kadangi f(x) ∈ L 1 (R), tai (1.6) vidinis integralas konverguoja,o dvigubas integralas konverguoja absoliučiai. Tuomet, pasinaudodami Fubinioteorema, pakeisime integravimo tvarką (1.6) išraiškoje:J(A, x) = 1 π= 1 π∫ +∞0∫ +∞0∫( ) Af(x − z) + f(x + z) dz cos(λz)dλ( )sin(Az)f(x − z) + f(x + z) dz.zPasinaudosime matematinės analizės kurse įrodyta lygybeTada∫ +∞J(A, x) − f(x−0)+f(x+0)= 1 π+ 1 π∫ N0∫ +∞N20f(x−z)−f(x−0)zf(x−z)z− f(x−0)+f(x+0)πsin(Az)dz = π , kai A > 0.z 2sin (Az)dz + 1 πsin (Az)dz + 1 π∫ +∞Nsin(Az)dz.z∫ +∞N∫ N0f(x+z)z0f(x+z)−f(x+0)zsin (Az)dzsin (Az)dz

67 8 SKYRIUS. Furjė transformacija ir integralas [2012 09 5 (11:51)]Trečias, ketvirtas ir penktas integralai konverguoja, todėl kiekvieną iš jų galimapadaryti mažesnį už ε/3, kai N pakankamai didelis. Fiksuokime tokį N. Pirmiejidu integralai artėja į nulį, kai A → +∞ (taikome Rymano lemą ir Dinisąlygas). Gauname, kadf(x−0)+f(x+0)lim J(A, x) =A→∞2. ⊓⊔2. Furjė formulės kompleksinis pavidalasIntegralinėje Furjė formulėje (1.5) vidinis integralas yra lyginė funkcija kintamojoλ atžvilgiu, o tai leidžia formulę perrašyti pavidaluf(x − 0) + f(x + 0)2= 12π∫ +∞−∞dλ∫ +∞−∞Iš funkcijos f absoliutaus konvergavimo seka, kad integralas∫ +∞−∞f(t) sin(t − x)dtegzistuoja ir yra nelyginė λ atžvilgiu funkcija. Todėl12π∫ N−Ndλ∫ +∞−∞f(t) cos ( λ(t − x) ) dt. (2.1)f(t) sin ( λ(t − x) ) dt = 0. (2.2)Tada prie (2.1) pridėję (2.2), padaugintą iš −1 · ı, gausimearbaf(x − 0) + f(x + 0)2f(x − 0) + f(x + 0)21= limN→+∞ 2π= 12π∫ +∞−∞∫ N−Ndλdλ∫ +∞−∞∫ +∞−∞f(t)e −ıλ(t−x) dt,f(t)e −ıλ(t−x) dt, (2.3)suprasdami išorinį integralą Koši prasme. (2.3) lygybė vadinama Furjė formulėskompleksiniu pavidalu. Analogiškai galima įrodyti formulęf(x − 0) + f(x + 0)2= 12π∫ +∞−∞dλ∫ +∞−∞Integralinę Furjė formulę galime iškaidyti į dvi lygybes:g(λ) =∫ +∞−∞f(x − 0) + f(x + 0)2f(t)e ıλ(t−x) dt.f(t)e −ıλt dt, (2.4)= 12π∫ +∞−∞Simetriškesnis pavidalas gautųsi, jeigu imtume ˆf :=kai kurias savybes, patogu naudotis funkcija g.g(λ)e ıλx dx. (2.5)g √2π. Tačiau, įrodinėjant

3.Harmoninė Analizė 683. Furjė transformacijaPastebėsime, kad (2.4) lygybė turi prasmę su bet kuria absoliučiai integruojamafunkcija f. Todėl ∀f ∈ L 1 (R) galime gauti atitinkamą funkciją g, apibrėžtąvisoje realiųjų skaičių tiesėje.8.1 apibrėžimas [Furjė transformacija]. Funkcijos f ∈ L 1 (R) Furjė transformacijavadiname funkciją:F[f](x) := ˆf(x) = √ 1 ∫ +∞f(t)e −ıxt dt. (3.1)2π8.2 apibrėžimas [Furjė integralas]. Funkcijos f ∈ L 1 (R) Furjė integralu vadinamefunkciją:f(t) ∼ F −1 [ ˆf](x) := √ 1 ∫ +∞ˆf(x)e ıxt dx. (3.2)2π8.1 pastaba. Jeigu f ∈ L 1 (R) ir kieviename taške tenkina Dini sąlygą, tuomet−∞−∞F −1 [F[f]](x) = f(x−0)+f(x+0)2.Jeigu, be to, f yra tolydi, tuomet F −1 [F[f]](x) = f(x), t.y. F −1 ◦F = id. Įrodykite, kad F ◦ F −1 = id.8.2 pastaba. Formulės (3.1) ir (3.2) iš esmės yra skirtingos. Integralas (3.1) egzistuojaįprasta prasme, o (3.2) integralas egzistuoja tik pagrindinėsreikšmės prasme (Koši prasme). Toliau pastebėsime, kad (3.1) integralasyra funkcijos g apibrėžimas, tuo tarpu (3.2) integralas - taiteiginys, kuris yra teisingas tada, kai be funkcijos f integruojamumodar yra pateikiamos papildomos sąlygos(kad ir Dinio sąlyga).8.3 pastaba. Apibrėžėme kiekvienai funkcijai f ∈ L 1 (−∞, ∞) funkciją g ir parodėme,kad funkcija f gali būti išreikšta per atvirkštinę Furjė transformaciją,jeigu f kiekviename taške tenkina Dini sąlygą ir yratolydi. Pastebėsime analogiją su Furjė eilute. Žinome, kad Furjėkoeficientaic n = 12π∫ π−πf(x)e −ınx dxyra apibrėžti kiekvienai f ∈ L 1 [−π, π], tačiau eilutės∞∑n=−∞c n e ınxkonvergavimą galime garantuoti tik esant papildomoms sąlygoms.8.1 lema. Kiekviena funkcija erdvėje L 1 (R) vienareikšmiškai apibrėžiama savoFurjė transformacija.

69 8 SKYRIUS. Furjė transformacija ir integralas [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas.Tarkime, f ∈ L 1 (R) ir∫ +∞−∞f(x)e −ıtx dt ≡ 0.Parodysime, kad f(x) ≡ 0 beveik visur.Iš paskutnės lygybės išplaukia, kad ∀z, x ∈ RApibrėžkime naują funkciją∫ +∞−∞ϕ(t) =f(t + z)e −ıtx dt = 0.∫ ξ0f(x + z)dz,čia ξ laisvai pasirinktas fiksuotas realus skaičius. Tuomet, pasinaudoję Fubinioteorema, galime lengvai pastebėti, kadϕ ∈ L 1 (R) ir∫ +∞−∞ϕ(t)e −ıtx dt = 0visiems t ∈ R. Pastebėsime, kad funkcija ϕ yra absoliučiai tolydi kiekvienamebaigtiniame intervale, todėl ji yra diferencijuojama beveik visur. Todėl šifunkcija beveik visur tenkina Dini sąlygą ir, remiantis (2.3) Furjė formule, nagrinėjamafunkcija lygi nuliui beveik visur, nes jos Furjė transformacija tapatingailygi nuliui. Iš čia seka, kad su ∀ξTodėl f(x) = 0 beveik visur.∫ ξ0f(t)dt = 0 ∀ξ ∈ R.⊓⊔8.1 pavyzdys. Tegu f(t) = e −γ|t| . Raskime šios funkcijos Furjė transformaciją. TurimeF[e −γ|t| ] = √ 1 ∫ +∞e γ|t| e −ıtx dt = 1 ∫ +∞√ e −γ|t|( cos(tx) − ı sin(tx) ) dt2π 2π−∞= √ 2 ∫ +∞2π8.2 pavyzdys. Rasime funkcijos (a > 0)Furjė transformaciją:0F[f] = 1 √2π∫ a−a−∞e −γt cos(tx)dt = 2 √2π·f(t) ={1, kai |t| a0, kai |t| a.γx 2 + γ 2 ∉ L1(R).e −ıtx dt = √ 1 e ıax − e −ıax= 2 sin(ax)√ ∉ L 1(R).2π ıx 2π x

4.Harmoninė Analizė 708.1 uždavinys. Rasti funkcijosFurjė transformaciją.f(t) =1t 2 + a 2 , a > 0.8.3 pavyzdys. Rasime funkcijos f(t) := √ 2πe −t2 /2 Furjė transformaciją:F[f](x) =∫ +∞−∞e −t2 /2 e −ıtx dt = 2∫ ∞0e −t2 /2 cos(tx)dt.Kadangi ∫ +∞0te −t2 /2 dt = 1, tai, remiantis Vejerštraso tolygiojo konvergavimopožymiu, netiesioginis integralas∫ ∞0e −t2 /2 cos(tx)dtkonverguoja tolygiai tiesėje R, yra C 1 (R) klasės funkcija irF[f] ′ = −2∫ ∞0te −t2 /2 sin(tx)dt = −xF[f].Čia paskutinę lygybę gavome integruodami dalimis. Gavome diferencialinęlygtį, kurios bendrasis sprendinysSkaičiuojame Furjė integraląF[f](x) = Ce −x2 /2 ∈ L 1(R).F −1 [F[f]] = √ 1 ∫ +∞Ce −x2 /2 e ıtx dx =C ∫ +∞√ e −x2 /2 e −ıtx dx2π 2π−∞−∞= √ C F[f] = √ C2e −t2 /2 = C22π 2π 2π f ⇒ C2 = 2π ⇒ C = √ 2π.GaunameF[e − t2 2 ] = e− x22 . (3.3)4. Pagrindinės Furjė transformacijos savybėsRemiantis (3.1) (arba (2.4)) formule, kuri apibrėžia Furjė transfomaciją, gaunamekeletą šios transformacijos savybių. Pirmiausia F : L 1 (R) → F yra tiesinisoperatorius, kuris generuoja Furjė transformacijas kiekvienam elementui išerdvės L 1 (R), čia F mačiųjų funkcijų tiesėje aibė. Pastebėsime, kad funkcijosf ∈ L 1 (R) vaizdas nebūtinai priklauso L 1 (R).8.1 teiginys. Jeigu seka (f n ) ⊂ L 1 (R) konverguoja erdvės L 1 prasme, tai šiųfunkcijų Furjė transformacijų seka ˆf n = F [f n ] konverguoja tolygiai visoje tiesėje.

71 8 SKYRIUS. Furjė transformacija ir integralas [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas. Turime įvertį (g n = √ 2π ˆf n ):|g n (x) − g m (x)| ∫ +∞−∞|f n (t) − f m (t)|dt = ‖f n − f m ‖ 1 .Kievienam x ∈ R seka g n (x) yra Koši seka, t.y. ji konverguoja. Jeigu f n −→L1f,tuomet|g n (x) − ˆf(x)| ‖f n − f‖ 1 ,o tai įrodo tolygų konvergavimą.⊓⊔8.2 teiginys. Jeigu f ∈ L 1 (R), tuomet f ∈ C(R) ∩ B(R), t.y. tolydi ir aprėžtafunkcija, artėja į nulį, kai |x| → ∞.Įrodymas.Iš tikro funkcijos F [f] aprėžtumas išplaukia iš įverčio|g(x)| ∫ +∞−∞|f(t)|dt = ‖f‖ 1 .Toliau, jeigu f yra yra charakteristinė intervalo (a, b) funkcija, tai jaig(x) =∫ bae −itx dt = ı e−ıxb − e −ıxa.xŠi funkcija yra tolydi ir artėja į nulį, kai |x| → ∞. Kadangi operatorius F ,funkcijai f priskiriantis funkciją g, yra tiesinis, tai iš čia seka, jog bet kurioslaiptinės funkcijos Furjė transformacija yra tolydi funkcija, artėjanti į nulį, kai|x| → +∞. Laiptinės funkcijos yra visur tirštos erdvėje L 1 (R). Vadinasi, jeiguf ∈ L 1 (R), tai egzistuoja laiptinių funkcijų seka (f n ), kuri konverguoja įf ∈ L 1 (R). Tuomet, remiantis 8.1 teiginiu, funkcijos ˆf n = F[f n ] konverguojatolygiai visoje tiesėje į funkciją ˆf = F[f]. Bet tada ribinė funkcija ˆf yra tolydiir artėja į nulį, kai |x| → ∞. ⊓⊔8.2 uždavinys. Parodykite, kad funkcijos f ∈ L 1(R) Furjė trasformacija yra tolygiaitolydi funkcija visoje R.8.4 pastaba. Tolygiai tolydžių visoje R ir artėjančių į nulį begalybėje funkcijųtiesinę erdvę pažymėkime C 0 (R). Tada F : L 1 (R) → C 0 (R).8.3 teiginys. Jeigu f absoliučiai tolydi kiekviename baigtiniame intervale irf, f ′ ∈ L 1 (R), tai yra teisinga lygybėF[f ′ ] = ıxF[f]. (4.1)Įrodymas. Kiekviena absoliučiai tolydi kiekviename baigtiniame intervale funkcijagali būti užrašyta pavidaluf(t) = f(0) +∫ z0f ′ (z)dz.

4.Harmoninė Analizė 72Iš f ′ ∈ L 1 (R) gauname, kad f(t) turi ribas, kai x → −∞ ir x → +∞. Šiosribos yra lygios nuliui, nes priešingu atveju f nebūtų (absoliučiai) integruojamatiesėje. Pasinaudodami integravimo dalimis formule, gaunameF[f ′ ](x) = √ 1 ∫ +∞f ′ (t)e −ıxt dt2π−∞= 1 √2πf(x)e −ıxt ∣ ∣∣+∞−∞+ 1 √2πıx∫ +∞−∞f(t)e −ıxt dt = ıxF[f](x).⊓⊔Taigi funkcijos diferencijavimas atitinka jos Furjė transformacijos daugybą iš ıx.8.5 pastaba. Jeigu f tokia, kad f (k−1) absoliučiai tolydi kiekviename baigtiniameintervale ir f, f (1) , ..., f (k) ∈ L 1 (R), tuomet, remiantis analogiškaissamprotavimas, gauname:F[f (k) ] = (ıx) k F[f]. (4.2)8.1 išvada. Jeigu išpildytos 8.5 pastabos sąlygos, tuomet( 1)|F[f]| = o|x| k , kai x → ∞. (4.3)Įrodymas.(4.2) nelygybę padalinkime iš (ıx) k|F[f]| = |F[f (k) ]||x| kir prisiminkime, kad Furjė transformacija visuomet artėja į nulį begalybėje. Vadinasi,F[f] mažėja begalybėje greičiau negu 1 . Taigi kuo daugiau išvestinių|x| kturi f erdvėje L 1 , tuo greičiau mažėja jos Furjė transformacija begalybėje. ⊓⊔8.2 išvada. Jeigu f, f ′ , f ′′ ∈ L 1 (R) egzistuoja ir f ′ absoliučiai tolydi kiekvienamebaigtiniame intervale, tai F[f] ∈ L 1 (R), t.y. Furjė integrale Koši integralassutampa su Lebego (arba Rymano netiesioginiu) integralu.Įrodymas. Iš tikrųjų, kai yra išpildytos nurodytos sąlygos, F[f] ∈ C(R) yraaprėžta, mažėjanti begalybėje greičiau negu 1|x|. ⊓⊔ 2Parodėme (8.1 išvada), kad kuo daugiau funkcija turi išvestinių, tuo greičiaujos Furjė transformacija artėja į nulį. Teisingas atvirkščias teiginys: kuo greičiaumažėja f, tuo glodesnė yra jos Furjė transformacija.8.4 teiginys. Tarkime,kad funkcijos f(t), tf(t) ∈ L 1 (R). Tada funkcija ˆf =F[f] ∈ C 1 (R) ir(F[f]) ′= F[−ıtf(t)]. (4.4)

73 8 SKYRIUS. Furjė transformacija ir integralas [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas.Diferencijuodami integralągausimeg(x) =∫ +∞−∞∫ +∞−∞f(t)e −ıtx dt,−ıtf(t)e −ıtx dt,kuris, remiantis funkcijos tf(t) absoliučiu integruojamumu , konverguoja tolygiaipagal x. Vadinasi, egzistuoja funkcijos g išvestinė g ′ ir teisinga (4.4) lygybė. ⊓⊔8.3 išvada. Tarkime, kad funkcijos f(t), tf(t), . . . , t p f(t) ∈ L 1 (R). Tada funkcijaˆf = F[f] ∈ C p (R) ir(F[f]) (k)= F[(−ıt) k f(t)], k = 0, p. (4.5)Jeigu pareikalausime, kad funkcija f dar greičiau mažėtų realiųjų skaičiųtiesėje, tai ˆf bus dar glodesnė funkcija. Tarkime, kad t p f(t) ∈ L 1 (R) visiemsp, tai gausime ˆf ∈ C ∞ (R). Jeigu e δ|t| f(t) ∈ L 1 (R) su tam tikru δ > 0, tadaF[f](x) ∈ C ω (R) yra analizinė funkcija, ir ją galima praplėsti iš realiųjų skaičiųtiesės į kompleksinę plokštumą z = x + ıy, |y| < δ, nes integralas∫ +∞−∞f(t)e −ıtz dtkonverguos, kai |y| < δ, ir apibrėš tolydžią funkciją, sutampančia su ˆf realiojetiesėje. Gautos funkcijos analiziškumas įrodomas kaip ir diferencijuomumas 8.4teiginyje. ⊓⊔5. Ermito ir Lagero funkcijų sistemų pilnumasPasinaudoję praeito skyrelio savybėmis, galime įrodyti tokį teiginį.8.5 teiginys. Tarkime, f yra mačioji funkcija intervale (a, b), čia −∞ a 0,tuomet funkcijų sistema (t n f(t), n ∈ N 0 ) yra pilna erdvėje L 2 (a, b).Įrodymas. Tarkime, kad sistema (f n ) nėra pilna erdvėje L 2 (a, b). Tada egzistuojanenulinė funkcija h ∈ L 2 (a; b) ir∫ bat n f(t)h(t)dt = 0, n ∈ N 0 .

5.Harmoninė Analizė 74Toliau laikysime, kad f ir h yra apibrėžtos visoje tiesėje (pratęsiant nuliu, jeigubūtina). Aišku, kad fh ∈ L 1 (R) ir e δ1|t| fh ∈ L 1 (R), ∀δ 1 < δ. Tarkime, g yrafunkcijos fh Furjė transformacija, t.y.g(x) = √ 1 ∫ +∞f(t)h(t)e −ıtx dt.2π−∞Remiantis ankščiau paminėtais faktais, funkcija g yra analizinė juostoje |Imz|

9 skyriusFurjė transformacija kitose erdvėse1. Erdvė S ∞Tarkime, S ∞ = S ∞ (R) yra aibė tokių funkcijų f ∈ C ∞ (R), kad ∀f egzistuojakonstantų, priklausančių nuo f, p ir q, rinkinys C pq , kad|t p f (q) (t)| < C pq . (1.1)Tarkime, f ∈ S ∞ . Iš (1.1) su visais p ir q yra teisinga nelygybė|t p f (q) (t)| C p+2,qt 2 .Vadinasi, funkcija t p f (q) (t) mažėja ne lėčiau negu 1 t 2 . Iš čia seka, jog funkcijaF[f] turi visų eilių išvestines. Iš sąlygos f (q) (t) ∈ L 1 (R) (q ∈ N) gauname, kadˆf = F[f] mažėja begalybėje greičiau negu 1|x| q . Toliau nagrinėkime funkcijas(ıx) q ˆf (p) (x) = (−ı) q F[(t p f(t)) (q) ].Kiekviena iš šių funkcijų kaip Furjė transformacija yra aprėžta tam tikra konstantaD pq . Vadinasi, jeigu f ∈ S ∞ , tai ir ˆf = F[f] ∈ S ∞ . Dabar tarkimeatvirkščiai, kad ˆf ∈ S ∞ . Tuomet, remiantis jau įrodytu faktu, funkcijaf ∗ (t) = 1 √2π∫ +∞−∞ˆf(x)e −ıtx dxpriklauso S ∞ . Apibrėžkime funkciją f(t) = f ∗ (−t). Akivaizdu, kad f ∈ S ∞ .Kita vertus, iš Furjė formulės turimeˆf = √ 1 ∫ +∞f ∗ (t)e ıtx dt = 1 ∫ +∞√ f(t)e −ıtx dt.2π 2π−∞9.1 lema. Furjė transformacija erdvę S ∞ atvaizduoja į erdvę S ∞ , ir šis atvaizdisyra bijekcija.2. Funkcijų sąsūka−∞9.1 apibrėžimas. Tarkime, kad f 1 , f 2 ∈ L 1 (R). Funkcija(f 1 ∗ f 2 )(x) =∫ +∞−∞f 1 (ξ)f 2 (x − ξ)dξ

3.Harmoninė Analizė 76yra vadinama funkcijų f 1 ir f 2 sąsūka.9.2 lema. Sąsūka f 1 ∗ f 2 yra apibrėžta beveik kiekvienam x ir f 1 ∗ f 2 ∈ L 1 (R).Įrodymas.Dvilypis integralas∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞|f 1 (ξ)f 2 (η)|dξdη =∫ +∞−∞|f 1 (ξ)|dξ ·egzistuoja, todėl egzistuoja ir integralas (Fubini teorema)∫ +∞−∞⊓⊔f 1 ∗f 2 dx =∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞f 1 (ξ)f 2 (x−ξ)dξdx =∫ +∞−∞∫ +∞ ∫ +∞−∞−∞|f 2 (η)|dηf 1 (ξ)f 2 (η)dξdη.Apskaičiuosime dviejų funkcijų iš erdvės L 1 (R) sąsūkos Furjė transformaciją.Remdamiesi Fubinio teorema ir pasižymėję x − ξ = η, gauname∫ +∞−∞t.y. gavome, kad(f 1 ∗ f 2 )(t)e −ıtx dt ====∫ +∞−∞∫ +∞−∞∫ +∞−∞∫ +∞−∞( ∫ +∞−∞( ∫ +∞f 1 (ξ))f 1 (ξ)f 2 (t − ξ)dξ e −ıtx dt−∞f 1 (ξ)e −ıxξ( ∫ +∞f 1 (ξ)e −ıxξ dξ ·)f 2 (t − ξ))e −ıtx dt dξ−∞∫ +∞−∞)f 2 (η)e −ıxη dη dξf 2 (η)e −ıλη dη,F[f 1 ∗ f 2 ] = √ 2π · F[f 1 ] · F[f 2 ]. (2.1)Taigi sąsūkos transformacija sąsūkos operaciją perveda į sandaugos operaciją.3. Kelių kintamųjų funkcijos Furjė transformacijaPažymėkime x := (x 1 , . . . , x n ) ir x · y := x 1 y 1 + · · · + x n y n .9.2 apibrėžimas [kelių kintamųjų funkcijos Furjė transformacija]. Tarkime,f(x) ∈ L 1 (R n ). Jos Furjė transformacija vadinsime funkciją∫1F[f](x) =f(t)e −ıx·t dt. (3.1)(2π) n/2 R nAkivaizdu, kad šis integralas egzistuoja, nes funkcija f yra integruojama. Tuomet,remiantis Fubinio teorema, tą patį integralą galime užrašyti kartotiniointegralo pavidalu:F[f](x) = √ 1 ∫ +∞2π−∞(. . .∫1 +∞√2π−∞)f(t 1 , . . . , t n )e −ıx1x1 dt 1 . . . e −ıxntn dt n .

77 9 SKYRIUS. Furjė transformacija kitose erdvėse [2012 09 5 (11:51)]Kitaip sakant, n kintamųjų funkcijos Furjė transformaciją gausime taikydamif transformaciją kiekvienam kintamajam paeiliui. Norėdami gauti atvirkštinęFurjė transformaciją, atliekame atvirkštines transformacijas su kiekvienu kintamuojupaeiliui. Tada Furjė integralas apibrėžiamas∫1f ∼F[f](x)e ıx·t dx. (3.2)(2π) n/2 R nKadangi funkcija F[f](x) nebūtinai yra integruojama erdvėje R n , tai aptarsimekuria prasme yra suvokiamas integralas (3.2) ir kokias sąlygas turi tenkintifunkcija f.9.1 teorema. Tarkime, kad funkcija f ∈ L 1 (R n ) ir tenkina tokias sąlygas:|f(x 1 + t 1 , x 2 , . . . , x n ) − f(x)| C|t 1 | a ,|f(x 1 , x 2 + t 2 , . . . , x n ) − f(x)| C(x 1 )|t 2 | a ,. . . (3.3)|f(x 1 , x 2 , ..., x n + t n ) − f(x)| C(x 1 , ..., x n−1 )|t n | a ,čia 0 a 1,∫∫C(x 1 )dx 1 < ∞, . . . , C(x 1 , x 2 , . . . , x n−1 )dx 1 . . . dx n−1 < ∞.R 1 R n−1Tuomet (3.2) integralas egzistuoja, jeigu jį suprantame Koši prasme:∫ N1 ( ∫ Nn)lim . . . lim F[f](x)e ıxntn dx n . . . e ıx1x1 dx 1 ,N 1→∞ −N N 1 n→∞ −N nir yra teisinga Furjė formulė:∫1(2π) n/2R n F[f](x)e ıx·t dx = f(x). (3.4)Įrodymas. Kadangi f ∈ L 1 (R n ), tai, remiantis Fubinio teorema, ji yra integruojamapagal kintamajį x 1 beveik su visais t 2 , t 3 , . . . , t n . Tada funkcijaf 1 (x 1 , t 2 , . . . , t n ) =∫ +∞−∞f(t 1 , t 2 , . . . , t n )e ıx1t1 dt 1 .egzistuoja. Pastebėsime, jog iš teoremos sąlygų seka, kad funkcija f(t 1 , . . . , t n )tenkina Dini sąlygas ir todėlPažymėkimef(t 1 , t 2 , . . . , t n ) =limN 1→∞f 2 (x 1 , x 2 , t 3 , . . . , t n ) =1√2π∫ N1∫ +∞−∞−N 1f 1 (x 1 , t 2 , . . . , t n )e ıt1x1 dx 1 .f 1 (x 1 , t 2 , . . . , t n )e −ıt2x2 dt 2 .

4.Harmoninė Analizė 78Tada iš teoremos sąlygų yra teisinga atvirkštinė formulėirf 1 (x 1 , t 2 , . . . , t n ) =f(t 1 , t 2 , . . . , t n )∫1N1 (= lim √N 1→∞ 2π −N 1limN 2→∞limN 2→∞1√2π∫ N2−N 2f 2 (x 1 , x 2 , . . . , t n )e ıt2x2 dx 2 ,∫1N2)√ f 2 (x 1 , x 2 , . . . , t n )e ıt2x2 dx 2 e ıt1x1 dx 1 .2π −N 2Analogiškai apibrėžę funkciją f 3 ir taip toliau, galiausiai gausime (3.2) formulę.⊓⊔4. Furjė transformacija erdvėje L 2 (R)Imkime intervale [−π, +π] pilną ortogonaliąją sistemą (e ınx , n ∈ Z). Funkcijaif ∈ L 1 [−π, π] apibrėžiame jos Furjė koordinačių sekąc n = 1 ∫ πf(x)e −ınx dx, n ∈ Z.2π −πJeigu f ∈ L 2 [−π, π], tai jos Furjė koordinatės tenkina Parsevalio lygybę2π+∞∑n=−∞|c n | 2 =∫ π−π|f(x)| 2 dx, (4.1)t.y. perėjimas nuo integruojamų kvadratu funkcijų į jos Furjė koordinates yratiesinis atvaizdis iš L 2 [−π, π] į l 2 .9.2 teorema [Planšerelio teorema]. Kiekvienai funkcijai f ∈ L 2 (R) integralasˆf N (x) = √ 1 ∫ Nf(t)e −ıtx dt2πsu kiekvienu N yra funkcija (x atžvilgiu), priklausanti erdvei L 2 (R). Kai N →∞, funkcija ˆf N konverguoja erdvės L 2 (R) prasme į ˆf, be to,∫ +∞−∞| ˆf(x)| 2 dx =−N∫ +∞−∞|f(t)| 2 dt. (4.2)Jeigu f ∈ L 1 (R), tai ˆf sutampta su įprasta Furjė transformacija.Šią funkciją vadinsime funkcijos f ∈ L 2 (R) Furjė transformacija ir žymėsimeF[f].

79 9 SKYRIUS. Furjė transformacija kitose erdvėse [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas.∫ +∞−∞∫ +∞=1) Tarkime, f 1 , f 2 ∈ S ∞ . Gauname−∞f 1 (t)f 2 (t)dt =∫ +∞−∞( 1√2π∫ +∞−∞( ∫1 +∞)ˆf1 (λ) √ f 2 (t)e −ıtx dt dx =2π−∞)ˆf 1 (x)e ıtx dx f 2 (t)dt∫ +∞−∞ˆf 1 (x) ˆf 2 (x)dx.Pastebėsime, kad integravimo tvarkos pakeitimas yra teisėtas, nes funkcijaˆf 1 (x)f 2 (t)e ıtxyra integruojama plokštumoje (t, x). Imdami f 1 = f 2 = f ( ˆf 1 = ˆf 2 = ˆf),gausime, kad formulė (4.2) yra teisinga bet kuriai funkcijai f ∈ S ∞ : ‖f‖ = ‖ ˆf‖.2) Tarkime, kad f ∈ L 2 (R) ir yra lygi nuliui intervalo (−a, a) išorėje. Tadafunkcija f ∈ L 1 (−a, a) ir f ∈ L 1 (R). Todėl jai apibrėžiama Furjė transformacijaˆf(x) = √ 1 ∫ +∞f(t)e −ıtx dt.2π−∞Tarkime, kad visos sekos (f n ) ⊂ S ∞ funkcijos įgyja nulinę reikšmę intervalo(−a, a) išorėje ir seka konverguoja erdvės L 2 (R) prasme į funkciją f. Kadangi fir f n nelygios nuliui tik baigtiniame intervale, tai seka (f n ) konverguoja į funkcijąf ir erdvės L 1 prasme. Tada seka ˆf n konverguoja tolygiai į elementą ˆf visojerealių skaičių teisėje. Be to, ˆf n yra Koši seka erdvėje L 2 (R), nes ˆf n − ˆf m ∈ S ∞ .Todėl, remiantis jau įrodytu 1) punktu,‖ ˆf n − ˆf m ‖ = ‖f n − f m ‖.Vadinasi, ši seka konverguoja erdvėje L 2 į funkciją ˆf. Seka (f n ) į ˆf taip patkonverguoja tolygiai. Todėl lygybėje‖f n ‖ = ‖ ˆf n ‖galime prieiti prie ribos, kai n → ∞. Gavome, jog (4.2) lygybė yra teisinga betkuriai funkcijai f ∈ L 2 , kuri nelygi nuliui tik baigtiniame intervale.3) Tarkime, f ∈ L 2 (R). Apibrėžkime funkciją{f(x), kai |x| N,f N (x) =0, kai |x| > N.Akivaizdu, kad‖f − f N ‖ → 0, N → ∞.Funkcija f N ∈ L 1 (R), todėl jai egzistuoja įprasta Furjė transformacija:ˆf N (x) = √ 1 ∫ +∞2π−∞f N (t)e −ıtx dt = 1 √2π∫ N−Nf(t)e −ıtx dt.

5.Harmoninė Analizė 80Kadangi, remiantis 2) įrodymo dalimi,‖ ˆf N − ˆf M ‖ = ‖f N − f M ‖,tai funkcijos ˆf N konverguoja erdvėje L 2 (R) į tam tikrą funkciją ˆf ∈ L 2 (R).Todėl lygybėje‖ ˆf N ‖ = ‖f N ‖galime pereiti prie ribos, kai N → ∞. Iš čia gauname (4.2) lygybę bet kuriaif ∈ L 2 (R).4) Jeigu f ∈ L 2 (R) ∩ L 1 (R), tai funkcijai f egzistuoja Furjė transformacijaF[f](x) = √ 1 ∫ +∞f(t)e −ıtx dt2πįprasta prasme. Be to, funkcijos f N konverguoja į f erdvėje L 1 (R), o tai reiškia,kad Furjė transformacijos ˆf N konverguoja tolygiai į F[f]. Mes parodėme, kadfunkcijos ˆf N konverguoja erdvės L 2 (R) prasme į tam tikrą elementą ˆf. Iš čiaseka, kad funkcijos ˆf ir F[f] sutampa. ⊓⊔9.1 išvada. Iš lygybės (4.2) išplaukia, kad bet kurioms f 1 , f 2 ∈ L 2 (R) yra teisingalygybė:(f 1 , f 2 ) = ( ˆf 1 , ˆf 2 ). (4.3)9.2 išvada. Atvaizdis F : L 2 (R) → L 2 (R) yra izomorfizmas ir norma ‖F‖ = 1.5. Ermito funkcijosPlanšerelio teorema parodo, kad Furjė transformaciją galime suprasti kaip aprėžtątiesinį operatorių F, atvaizduojantį erdvę L 2 į ją pačią. Jeigu parinksimekokią nors pilną ortonormuotą erdvės L 2 sistemą, tai operatorių F galime užrašytibegalinės matricos pavidalu. Matricos pavidalas, aišku, priklauso nuoparinktos bazės. Papraščiausių pavidalų matricos gaunamos, kai bazė yra parenkamaiš operatoriaus F tikrinių funkcijų. Tada matrica būna diagonaliniopavidalo. Patikrinsime, ar egzistuoja tokia bazė operatoriui F.Pastebėsime, kad lygtį−∞d 2 fdx 2 − x2 f = µf (5.1)Furjė transformacija perveda į tokią pačią lygybę. Todėl yra naudinga ieškotioperatoriaus F tikrinių reikšmių tarp (5.1) diferencialinės lygties sprendiniųpavidaluf = we − x22 ,čia w yra daugianaris. Įstatę šį pavidalą į (5.1) lygtį gauname lygtį daugianariuiw:w ′′ − 2xw ′ = (µ + 1)w.

81 9 SKYRIUS. Furjė transformacija kitose erdvėse [2012 09 5 (11:51)]Įstatę daugianarįw = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n , (5.2)į šią lygtį, gauname lygybę(2a 2 + 3 · 2 · a 3 x + . . . + n(n − 1)a n x n−2 ) − 2x(a 1 + 2a 2 x + . . . + na n x n−1 )= (µ + 1)(a 0 + a 1 x + ... + a n x n ).Sulyginę koeficientus prie atitinkamų x laipsnių, gauname lygtis−2na n = (µ + 1)a n ,−2(n − 1)a n−1 = (µ + 1)a n−1ir t.t., o bendru atvejuk(k − 1)a k − 2(k − 2)a k−2 = (µ + 1)a k−2 . (5.3)Kadangi koeficientą a n prie didžiausio x laipsnio laikome nelygiu nuliui, taiµ = −(2n + 1) ir a n−1 = 0.Taigi µ turi būti nelyginis neigiamas skaičius. Visi daugianario w koeficientaiyra apibrėžiami (5.3) formule pastovaus daugiklio tikslumu. Be to, koeficientai,kurių indekso lygumas/nelygumas skiriasi nuo skaičiaus n, yra lygūs nuliui.Kiti koeficientai, kurių lygumas/nelygumas sutampa su n, yra apskaičiuojamirekurentine formule:k(k − 1)a k−2 =2k − 2n − 4 a k.Tokiu būdu gauname daugianario w formulę:w n (x) = a n(x n −n(n − 1)x n−2 +4Sukonstravome funkcijų sistemąn(n − 1)(n − 2)(n − 3))x n−4 − . . . .4 · 8ϕ n (x) = w n (x)e −x22 , n ∈ N0 .Akivaizdu, jog kiekviena iš šių funkcijų priklauso L 2 (R). Be to, šios funkcijosyra poromis ortogonalios. Iš tikro, remiantis spręsta diferencialine lygtimi,gauname, kadϕ ′′ n(x) − x 2 ϕ n (x) = −(2n + 1)ϕ n (x),ϕ ′′ m(x) − x 2 ϕ m (x) = −(2n + 1)ϕ m (x).Padauginę pirmą lygybę iš ϕ m , o antrą iš ϕ n ir atėmę antrą lygybę iš pirmos,gaunameϕ ′′ n(x)ϕ m (x) − ϕ ′′ m(x)ϕ n (x) = 2(m − n)ϕ m ϕ n .

5.Harmoninė Analizė 82Jeigu m ≠ n, tai interguodami gautą lygybę, turėsime∫ +∞−∞∫ +∞1ϕ n (x)ϕ m (x)dx =[ϕ ′2(m − n)nϕ m − ϕ ′ mϕ n ] ′ dx−∞1=2(m − n) [ϕ′ nϕ m − ϕ ′ mϕ n ] ∣ +∞= 0.−∞Ortogonalumas įrodytas. Kiekvienas elementas ϕ n , gautas ortogonalizacijosmetodu, yra n-tojo laipsnio daugianaris, padaugintas iš e − x22 . Todėl šios funkcijosturi sutapti su Ermito funkcijomis skaitinio daugiklio tikslumu. Ermitofunkcijas gavome ortogonalizuodami funkcijų sekąe − x22 , xe− x22 , . . . , x n e − x22 , . . .erdvėje L 2 (R). Parodysime, kad ϕ n yra Furjė operatoriaus tikrinės funkcijos,t.y.Fϕ n = c n ϕ n . (5.4)Tai gauname iš tokių teiginių:1) (5.1) lygtis yra invariantiška Furjė operatoriaus atžvilgiu.2) (5.1) lygtis su kiekvienu n turi vienintelį pastovaus daugiklio tikslumusprendinį P n (x)e − x22 , čia P n yra n laipsnio daugianaris.3) Furjė transformacija funkciją x n e − x22 transformuoja į(i d ) ne− x22 = Qn (x)e −x22 ,dxo Q n yra n-tojo laipsnio daugianaris.Tada, remiantis (5.4) lygybe, gauname, kad su kiekvienu kF k ϕ n = c k nϕ n .Tačiau Furjė transformacija, pritaikyta keturis kartus, kiekvieną funkciją pervedaį save pačią . Todėl c 4 = 1, t.y. c n įgauna tik šias reikšmes: ±1 ir ±ı.Vadinasi, Furjė transformacija yra tiesinis operatorius, kuris bazėje, sudarytojeiš Ermito funkcijų, užrašomas kaip diagonali matrica su elementais pavidalo ±1ir ±ı.

10 skyriusLaplaso ir Furjė–Stiltjeso transformacijos1. Laplaso transformacijaTarkime, kad funkcija f (bendruoju atveju neintegruojama tiesėje) yra tokia,kad ją padauginus iš e −γt , čia γ ∈ R, gaunama integruojama funkcija. Tadaintegralasg(z) =∫ +∞−∞f(t)e −ızt dt =∫ +∞−∞f(t)e tµ e −ıtλ dtkonverguoja kai kuriems kompleksiniams z = λ+ıµ. Atskiru atveju šis integralaskonverguoja tiesėje µ = −γ. Šioje tiesėje integalas yra funkcijos √ 2πf(t)e −γtFurjė transformacija.Taikymuose svarbiausias atvejis (kai išpildytas funkcijos f(t)e −γt integruojamumas)yra:{|f(t)| < Ce σt , kai t 0,(1.1)f(t) = 0, kai t < 0,čia σ ir C yra konstantos. Tada integralasg(z) =∫ +∞−∞f(t)e −ızt dt =∫ +∞0f(t)e −ızt dt (1.2)egzistuoja visiems z = λ + ıµ tokiems, kad µ < −σ, t.y. pusplokštumėje, aprėžtojetiese Im z = −σ, ir atitinka funkcijos f(t)e µt Furjė transformaciją. Pastarojifunkcija gali būti gauta panaudojus funkciją g ir atvirkšinę transformacijosformulę (su sąlyga, kad teisinga Furjė formulė)Iš čia gaunamef(t) = 12πf(t)e µt = 12π∫ ıµ+∞ıµ−∞∫ +∞−∞g(z)e ıλt dλ.g(z)e ızt dz, z = λ + ıµ. (1.3)Kadangi funkcija f(t)e µt , kai µ < −σ, mažėja kaip eksponentė, tai jos Furjėtransformacija g, o kartu ir g(z)e ızt yra analizinės funkcijos pusplokštumėjeIm z < −σ.

1.Harmoninė Analizė 84Formulėse (1.2) ir (1.3) pakeiskime kintamąjį s = ız. Pažymėję Φ(s) :=g(−ıs), gaunameL[f] := Φ(s) =∫ +∞0f(t) = 12πf(t)e −st dt, (1.4)∫ −µ+ı∞−µ−ı∞st dsΦ(s)e = 1ı 2πı∫ −µ+ı∞−µ−ı∞Funkcija Φ yra apibrėžta ir analizinė pusplokštumėje Re s > σ.Φ(s)e st ds. (1.5)10.1 apibrėžimas [Laplaso transformacija]. Funkciją, apibrėžtą (1.4) formule,vadinsime funkcijos f Laplaso transformacija. Atvirkštinę Laplaso transformacijąapibrėžia formulėL −1 [Φ] = 12πı∫ −µ+ı∞−µ−ı∞Φ(s)e st ds.Funkcija f vadinama originalu, o funkcija Φ – vaizdu.Laplaso transformacija savo savybėmis beveik nesiskiria nuo Furjė transformacijos,tačiau klasė funkcijų, kurioms yra apibrėžta Laplaso transformacija,skiriasi nuo klasės L 1 (R), kurioms egzistuoja Furjė transformacijos.1.1. Laplaso transformacijos savybėsApibrėžkime vienetinę Hevisaido funkciją u(t) (ji taip pat žymima H(t), betoperaciniame skaičiavime dažniau u(t)):u(t) = 0, kai t < 0; u(t) = 1, kai t 0.Toliau kiekvieną funkciją f laikysime sandauga f · u ir nagrinėsime tiktai intervale[0; +∞).10.1 pavyzdys. L[u] = ∫ +∞u(t)e −st dt = ∫ +∞e −st dt = 1 , Re s > 0.0 0 s10.2 pavyzdys. L[e at ] = ∫ +∞e at e −st dt = ∫ +∞e at−st dt = 1 , Re s > Re a.0 0 s−a10.1 savybė [tiesiškumas]. L[αf 1 + βf 2 ] = αL[f 1 ] + βL[f 2 ].10.3 pavyzdys. L[cos(ωt)] = L[ 1 2 (eıωt + e −ıωt )] = 1 2 (L[(eıωt ] + L[e −ıωt )])= 1 ( 1+ 1) = s ; L[sin(ωt)] = ω , Re s > 0;2 s−ıω s−(−ıω) s 2 +ω 2 s 2 +ω 2L[ch (ωt)] =s ; L[sh (ωt)] = ω ,s 2 −ω 2 s 2 −ω 210.2 savybė [panašumas]. L[f(αt)] = 1|α| L[f]( sα), α ≠ 0.10.3 savybė [postūmis]. L[e αt f(t)] = L[f](s − α).Re s > |ω|.10.4 savybė [vėlavimas]. L[u(t − τ)f(t − τ)] = e −sτ L[f](s).

85 10 SKYRIUS. Laplaso ir Furjė–Stiltjeso transformacijos [2012 09 5 (11:51)]10.4 pavyzdys. Jeigu δ h := (u(t) − u(t − h))/h, h > 0. TurimeL[δ h (t)] = L[u(t)]−L[u(t−h)]h= 1sh − eshsh ;lim L[δ h(t)] = lim ( 1 − esh ) = limh→+0 h→+0sh shh→+0 e−sh = 1.10.5 savybė [periodinis originalas]. Jeigu f(t + T ) = f(t), tuomet∫1 TL[f] =1−e −sT 0 f(t)e−st dt.10.6 savybė [originalo diferencijavimas].L[f ′ ] = ∫ +∞f ′ (t)e −st dt0∣= f(t)e −st ∣∣+∞+ s ∫ +∞f(t)e −st dt = sL[f](s) − f(0).00L[f (n) ] = s n · L[f](s) − s n−1 f(0) − s n−2 f ′ (0) − · · · − f (n−1) (0)).10.7 savybė [Borelio teorema (originalų sąsūka)]. Jeigu f ir g tenkina originalamskeliamus reikalavimus, tuomet(f ∗ g)(t) =taip pat juos tenkins. TadaL[(f ∗ g)(t)] ==∫ +∞ ∫ t0∫ +∞00∫ +∞−∞f(ξ)g(t − ξ)dξ =f(ξ)g(t − ξ)dξe −st dt =∫ t0∫ +∞0f(ξ)g(t − ξ)dξf(ξ)f(ξ)e −sξ L[g](s)dξ = L[f](s)L[g](s).10.1 išvada. L [ ∫ t0 f(τ)dτ] = L[u ∗ f] = L[f](s)s.10.5 pavyzdys. L [ ] [ ∫ ][u(t) tnt n−1n! = Lτu(τ) dτ = L 0 (n−1)!10.1 uždavinys. Įrodykite Diuamelio formules:L [ f(0)g(t) +L [ g(0)f(t) +∫ t0∫ t0u(t) tn−1(n−1)!s∫ +∞f ′ (τ)g(t − τ)dτ ] = sL[f]L[g];g ′ (τ)f(t − τ)dτ ] = sL[f]L[g].10.6 pavyzdys. Turime L[e at ] = 1 . Tadas−a[1= (s−a)(s−b) L[eat ∗ e bt ] = L e ∫ ]bt t0 e(a−b)t dξ10.8 savybė [vaizdo diferencijavimas ir integravimas].(L[f]) ′ (s) = −∫ +∞0tf(t)e −st dt ⇒ L[tf(t)] = −(L[f(t)]) ′⇒ L[t n f(t)] = (−1) n (L[f(t)]) (n) ;∫ +∞s∫ +∞=0L[f](p)dp =∫ +∞∫ +∞sf(t)e −st dt ⇒ L[f(t)/t](s) =t0f(t)e −pt dtdp =∫ +∞s]ξ[= L∫ +∞0g(t − ξ)e −st dtdξ= L[u(t)]s n = 1s n+1 .]e at −e bt.a−bf(t)L[f](p)dp.∫ +∞se −pt dpdt

1.Harmoninė Analizė 861.2. Laplaso transformacijos taikymas sprendžiant diferencialines lygtisTarkime, kad duota tiesinė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientaisir pradinės sąlygosy (n) + a 1 y (n−1) + . . . + a n y = b(t) (1.6)y(0) = y 0 , y ′ (0) = y 1 , . . . , y (n) = y n−1 . (1.7)Funkcijos y Laplaso transformaciją pažymėkime Y (s) = L[y]. Taikome Laplasotransformaciją (1.6) lygčiai:L[y (n) ] + a 1 L[y (n−1) ] + . . . + a n L[y] = L[b(t)] = B(s).Pasinaudojame Laplaso transformacijos 10.6 savybe ir lygtį transformuojame įalgebrinę lygtįQ(s) + R(s)Y (s) = B(s),čia Q yra n − 1 laipsnio daugianaris pagal kintamąjį s, priklausantis nuo lygtieskoeficientų ir pradinių sąlygų, oR(s) =n∑a n−k s k , a 0 = 1,k=0yra (1.6) lygties charakteristinis daugianaris. Iš gautos algebrinės lygties randameB(s) − Q(s)Y (s) = . (1.8)R(s)Tada sprendinys y randamas naudojant atvirkštinę Laplaso transformacijąy(t) = 12πı∫ −µ+ı∞−µ−ı∞B(s) − Q(s)e st ds.R(s)Jeigu tiesinės lygties koeficientai yra daugianariai kintamojo t atžvilgiu, taiLaplaso transformacija diferencialinę lygtį transformuoja į diferencialinę lygtį.10.7 pavyzdys. Rasime Koši uždavinio y ′′ − y = 1, y(0) = 0, y ′ (0) = 0 sprendinį.Taikome Laplaso transformacijąs 2 Y (s) − Y (s) = 1 s ⇒ Y (s) = 1s(s 2 − 1) = ss 2 − 1 − 1 ⇒ y(t) = ch t − 1.s10.8 pavyzdys. Rasime Koši uždavinio y ′′ −y = 1ch t , y(0) = 0, y′ (0) = 0 sprendinį. Tiesiogiaiišspręsti nepavyksta, nes nežinome funkcijos 1/ch t vaizdo. PasinaudosimeDiuamelio formule. Iš pradžių sprendžiame lygtį su b 1 = u(t)ir iš praeito uždavinio turime sprendinį g(t) = ch t − 1, g ′ (t) = sh t. Abipradinės sąlygos lygios nuliui, todėl iš (1.8) turime lygybęR(s) = B(s)Y (s) = B1(s)Y = 1 ⇒ Y (s) = sG(s)B(s).1(s) sG(s)

87 10 SKYRIUS. Laplaso ir Furjė–Stiltjeso transformacijos [2012 09 5 (11:51)]Vadinasi,y(t) =∫ t0= sh t∫1tsh τch (t − τ) dτ =∫ t0dz − ch t∫ t00sh (t − z) 1ch z dτsh zdz = tsh t − ch t · ln ch t.ch z10.2 uždavinys. Raskite Koši uždavinio ty ′′ +y ′ −ty = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0 sprendinį.2. Furjė–Stiltjeso transformacijaGrįžkime prie Furjė transformacijos erdvėje L 1 (−∞, +∞):F[f](x) = 1 √2π∫ ∞−∞e −ıtx f(t)dt.Šią formulę galime perrašyti Rymano–Stiltjeso integralo pavidalučiaF[f](x) = √ 1 ∫ +∞e −ıxt dF (t), (2.1)2πF (t) =∫ t−∞−∞f(t)dt (2.2)yra absoliučiai tolydi funkcija su aprėžta variacija ∫ +∞|f(t)|dt. Tačiau (2.1)−∞lygybė teisinga ne tik (2.2) pavidalo funkcijoms, bet ir bet kuriai funkcijai F ∈BV (R) su aprėžta variacija visoje realių skaičių tiesėje.10.2 apibrėžimas. IntegralasS[F ](x) =∫ +∞−∞e −ıxt dF (t),F ∈ BV (R)yra vadinamas funkcijos F Furjė ir Stiltjeso transformacija.Jeigu F yra absoliučiai tolydi ir F ′ ∈ L 1 (R), tuomet S[F ] = √ 2πF[F ′ ].2.1. Furjė–Stiltjeso transformacijos savybėsFurjė ir Stiltjeso transformacija išlaiko daugelį Furjė transformacijos savybių,pvz., funkcija F[F ], apibrėžta formule (2.1), yra tolydi ir aprėžta visoje tiesėje:|S[F ](t 1 )−S[F ](t 2 )|∫ N−N|e −ıt1t − e −ıt2 |dF (t) + 1 √2π∫|t|>N|e −ıt1t − e −ıtx2 |dF (t),nes antrąjį sumos dėmenį galima padaryti kiek norima mažą (iškart visiems t 1ir t 2 ) pakankamai dideliam N, o pirmasis dėmuo (esant fiksuotam N) artėja įnulį, kai t 1 − t 2 → 0.

2.Harmoninė Analizė 8810.9 pavyzdys. Funkcija ū(t) = 1 − u(−t) yra aprėžtos variacijos funkcija (ū ∉ L 1(R),ū ′ = 0 b.v., tolydi iš kairės funkcija). Jos Furjė–Stiltjeso transformacijaFunkcijaS[H](x) =∫ +∞−∞e −ıxt dH(t) = 1.S[H(t − 1)](x) =yra periodinė funkcija.∫ +∞−∞e −ıxt dH(t − 1) = e −ıx = cos x − ı sin xVadinasi, bendruoju atveju Furjė–Stiltjeso transformacija neartėja į nulį, kai|x| → ∞.Jeigu funkcija F (t) yra šuolių funkcija, t.y. taškuose n ∈ Z funkcija F (t)turi pokyčius a n ir ∑ n |a n| < ∞, o kitur yra pastovi, tuometS[F ] =∫ +∞−∞e −ıxt dF (t) =+∞∑n=−∞a n e −ınx .Gauname 2π-periodinę funkciją. Jeigu F turi a n ( ∑ n |a n| < ∞) dydžio šuoliustaškuose t n , tai funkcijos F Furjė–Stiltjeso transformacija yra lygiS[F ](x) = ∑ na n e −ıtnx ,o tai yra beveik periodinės funkcijos.2.2. Sąsūka erdvėje BVFunkcijoms f 1 , f 2 ∈ L 1 (R) apibrėžėme sąsūką:Tarkime,F (x) =∫ xf(t) = (f 1 ∗ f 2 )(t) =f(t)dt, F 1 (x) =∫ x∫ +∞−∞f 1 (t − τ)f 2 (τ)dτ. (2.3)f 1 (t) dt, F 2 (x) =∫ x−∞−∞−∞Integruodami (2.3) lygybę, gaunameF (x) ==∫ x−∞∫ ∞ ∫ tf(t)dt =∫ xGavome formulęF (x) =dt∫ ∞−∞ −∞f 1 (t − τ)dt f 2 (τ)dτ =f 1 (t − τ)f 2 (τ)dτ∫ ∞−∞ −∞−∞∫ ∞−∞F 1 (t − τ)dF 2 (τ),f 2 (t)dt.F 1 (t − τ)dF 2 (τ).

89 10 SKYRIUS. Laplaso ir Furjė–Stiltjeso transformacijos [2012 09 5 (11:51)]kuri kiekvienai funkcijai F 1 ir F 2 priskiria funkciją F . Tačiau gauto reiškiniodešinės pusės integralas egzistuoja kaip Lebego–Stiltjeso integralas ne vien tikabsoliučiai tolydžioms funkcijoms, bet ir F 1 , F 2 ∈ BV .10.3 apibrėžimas. Integralą∫ +∞−∞F 1 (x − ξ)dF 2 (ξ), F 1 , F 2 ∈ BV (R), (2.4)vadinsime funkcijų F 1 ir F 2 sąsūka ir žymėsime F 1 ∗ F 2 .Parodysime, kad F 1 ∗ F 2 ∈ BV (R). Iš tikro, jei F 1 ∈ BV (R), tai ji yra matipagal Borelį, todėl (2.4) integralas egzistuoja su visais x. Iš įverčiogaunameTaigi F ∈ BV (R).|F (x 1 ) − F (x 2 )| = ∣∫ +∞−∞∫ +∞−∞(F1 (x 1 − t) − F 1 (x 2 − t) ) dF 2 (t)∣∣|F 1 (x 1 − t) − F 1 (x 2 − t)|dV t −∞(F 2 )V +∞−∞ (F ) V +∞−∞ (F 1 ) · V +∞−∞ (F 2 ).10.1 teorema [apie sąsūką]. Jeigu F 1 , F 2 ∈ BV (R), tuomet teisinga lygybėS[F 1 ∗ F 2 ] = S[F 1 ] · S[F 2 ]. (2.5)Įrodymas.Tarkime, F = F 1 ∗ F 2 ira = t 0 , t 1 , . . . , t n = byra tam tikras intervalo [a; b] skaidinys. Tada su kiekvienu x∫ batuomete −ixt dF (t) == limmax △t k →0∫ balimn∑max ∆t k →0k=1∫ ∞−∞k=1e −ıxt dF (t) =e −ıxt (k F (tk ) − F (t k−1 ) )n∑e −ıx(t k−τ) ( F 1 (t k − τ) − F 1 (t k−1 − τ) ) e −ıxτ dF 2 (τ),∫ ∞−∞( ∫ b−τa−τ)e −ıxt dF 1 (t) e −ıxτ dF 2 (τ).Pereidami prie ribos, kai a → −∞ ir b → +∞, gauname∫ ∞−∞e −ıxt dF (t) =∫ ∞−∞∫ ∞e −ıxt dF 1 (t) e −ıxτ dF 2 (τ).−∞⊓⊔

3.Harmoninė Analizė 902.3. Charakteristinės funkcijos tikimybių teorijojeJeigu X yra atsitiktinis dydis, o F X - jo pasiskirstymo funkcija, tuomet atsitiktiniodydžio X matematine viltimi arba matematiniu vidurkiu vadinamasdydisŠią formulę galima apibendrintiE[X] =E[g(X)] =∫ +∞−∞∫ +∞−∞Atsitiktinio dydžio X charakteristine funkcijaϕ X (t) := E[e ıtX ](t) =∫ +∞−∞xdF X .g(x)dF X .e ıtx dF X = S[F X ](−t).Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių X ir Y sumos X + Y pasiskirstymofunkcija yra F X+Y = F X ∗F Y . Tada (2.5) formulė charakteristinėms funkcijomsperrašoma pavidaluϕ X+Y = ϕ X · ϕ Y . (2.6)Perėjimas nuo pasiskirstymo funkcijų prie charakteristinių funkcijų leidžia sudėtingąsąsūkos operaciją pakeisti daugyba.10.3 uždavinys. Įrodyti, kad Furjė–Stiltjeso transformacija tenkina vienaties sąlygą:jeigu F yra tolydi iš kairės ir jos S[F ] ≡ 0, tuomet F ≡ const.10.4 uždavinys. Įrodyti, kad sąsūkos operacija aprėžtosios variacijos funkcijoms yrakomutatyvi ir associatyvi.3. Integralinės transformacijosMatematikoje naudojamos įvairios transformacijos, kurių bendra formulė yraT [f](x) =∫ t2Kai kurioms iš jų apibrėžta atvirkštinė transformacijaf(t) =∫ x2t 1K(t, x)f(t)dt. (3.1)x 1K −1 (x, t)T [f](x)dx. (3.2)Dažniausiai naudojamos integralinės transformacijos, pateiktos 10.1 lentelėje.

91 10 SKYRIUS. Laplaso ir Furjė–Stiltjeso transformacijos [2012 09 5 (11:51)]10.1 lentelė Integralinės transformacijos.transformacija žymuo K t 1 t 1 K −1 x 1 x 2FurjėFe −ıxt√2π−∞ +∞e ıxt√2π−∞ +∞Sinus F s2 sin(xt)√2π0 +∞Kosinus F c2 cos(xt)√2π0 +∞2 sin(xt)√2π0 +∞2 cos(xt)√2π0 +∞HartlioHsin(xt)+cos(xt)√2π−∞ +∞ sin(xt)+cos(xt)√2π−∞ +∞MelinoL t x−1 0 +∞ t−x2πı σ − ı∞ σ + ı∞Laplaso L e −xt 0 +∞dvipusė Laplaso B e −xt −∞ +∞VejerštrasoHilbertoAbelioWHilAe −(x−t)2 /4√4π−∞ +∞1π(x−t) −∞ +∞√ 2t x +∞t 2 −x 2e xt2πı σ − ı∞ σ + ı∞e xt2πı σ − ı∞ σ + ı∞e (x−t)2 /4ı √ 4πσ − ı∞σ + ı∞1π(x−t) −∞ +∞√ 2tt +∞x 2 −t 2Hankelio J tJ ν(xt) 0 +∞ xJ ν(xt) 0 +∞

3.Harmoninė Analizė 92

11 skyriusGlodžiųjų funkcijų erdvėsJeigu uždavinyje iš anksto nežinomas sprendinių glodumas, tuomet naudojamosbe galo diferencijuojamų funkcijų erdvės. Jos yra lokaliai iškilos, betdažniausiai nėra normuotosios ir net metrizuojamos.Tarkime,kad Ω ⊂ R n yra sritis, o Ω = [Ω] - jos uždarinys. Erdvės elementusžymėsime x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , normą - |x| = √ x 2 1 + · · · + x2 n, metriką -d(x, y) = |x − y| ir naudosime multiindeksus i = (i 1 , . . . , i n ) ∈ I n , I = N 0 ,x i := x i11 . . . xin n , ∂ i := , |i| = i 1 + · · · + i n .∂ |i|∂x i 11 ...∂x innNorėdami paprasčiau pateikti apibendrintų funkcijų sąvokas, pavyzdžiusdažniausiai imsime iš erdvės R 1 , o Ω ⊂ R, ‖x‖ = |x|, d(x, y) = |x − y|.C l [Ω] žymėsime aibę funkcijų, turinčių tolydžias dalines išvestines iki l-osioseilės srityje Ω ir ∂ i f, |i| l, pratęsiamas iki aprėžtų tolydžių funkcijų srityje[Ω]. Šioje tiesinėje erdvėje įveskime normąpaversdami šią erdvę Banacho erdve.‖f‖ Cl [Ω] := sup |∂ i f(x)|,x∈[Ω]|i|l1. Lokaliai iškilosios ir skaičiai normuotosios erdvėsTopologinė vektorinė erdvė T yra lokaliai iškila (t.y. kievienoje nulio aplinkojeegzistuoja iškila nulio aplinka) tada ir tik tada, kai egzistuoja tą topologijągeneruojanti pusnormių šeima. Lokaliai iškila topologinė erdvė yra metrizuojamatada ir tik tada, kai ji yra Hausdorfo ir joje egzistuoja skaiti topologijągeneruojanti pusnormių šeima. Šiuo atveju metrika apibrėžiama formuled(x, y) =∞∑k=12 −k p k (x − y), x, y ∈ L. (1.1)1 + p k (x − y)Ši metrika pasižymi savybe: d(x + z, y + z) = d(x, y).Išskirsime skaičiai normuotų erdvių klasę. Tarkime, kad tiesinėje erdvėjeL apibrėžtos dvi normos ‖ · ‖ 1 ir ‖ · ‖ 2 . Jos vadinamos suderintomis, jeigukiekvienai sekai (x k ) ⊂ L, kuri yra Koši seka pagal kiekvieną šių normų, teisinga:x k −→ x ∈ L ⇔ x k −→ x ∈ L.‖·‖1‖·‖211.1 apibrėžimas [skaičiai normuotoji erdvė]. Skaičiai normuotąja erdve vadinamatiesinė erdvė L, kurioje duota skaičioji poromis suderintų normų sistema(p k (·) = ‖ · ‖ k , k ∈ N).

2.Harmoninė Analizė 94Seka (x k ) skaičiai normuotoje erdvėje yra Koši seka (1.1) metrikos atžvilgiutada ir tik tada, kai ji yra Koši seka kiekvienos normos atžvilgiu, ir konverguojaį x metrinėje erdvėje tada ir tik tada, kai konverguoja pagal kiekvieną normą,t.y. skaičiai normuotoji erdvė yra pilnoji metrikos atžvilgiu, jei konverguojakiekviena seka, kuri yra Koši seka kiekvienos normos atžvilgiu.11.1 pavyzdys. Erdvėje C ∞ [a; b] skaičioji normų sistema yra‖f‖ k =supx∈[a;b]l=0,k|f (l) (x)|, k ∈ N 0,erdvėje S ∞ (R) skaičioji normų sistema yra‖f‖ k =∑|(1 + |x| s )f (l) (x)|, k ∈ N 0. (1.2)supx∈Rp+q=kl=0,p,s=0,qSkaičiai normuotoje erdvėje galime laikyti, kad ‖x‖ k ‖x‖ m , kai k < m(kitu atveju parinktume ‖x‖ ′ k = sup(‖x‖ 1, . . . , ‖x‖ k )). Papildę skaičiai nuomuotąjąerdvę kievienos normos atžvilgiu, gausime Banacho erdvių sistemą (B k ) irB k ⊃ B m , kai k < m. Tada L ⊂ ∩ ∞ k=1 B k. Erdvė L yra pilnoji tada ir tik tada,kai L = ∩ ∞ k=1 B k.2. Pagrindinių funkcijų erdvės2.1. Erdvė E11.2 apibrėžimas [erdvė E]. Erdvę E = E(Ω) sudaro funkcijos iš C ∞ (Ω), otopologiją apibrėžia pusnormių šeimap Ki (f) := maxx∈K |∂i f(x)|, K yra kompaktas srityje Ω, i ∈ I n . (2.1)11.1 teorema. Erdvė E(Ω) yra skaičiai normuota (o tada ir metrizuojama) irpilna.Įrodymas.Apibrėžkime kompaktusK m := {x ∈ Ω: d(x, ∂Ω) 1 m, d(x, 0) m}, m ∈ N. (2.2)Tada K m ⊂ ˚K m+1 ⊂ K m+1 , ∪ ∞ m=1K m = Ω. Apibrėžkime normų šeimąp m (f) := sup |∂ i f(x)|, m ∈ N.x∈Km|i|mPusnormių sistema {p Ki } ir normų sistema {p m } apibrėžia tą pačią topologiją,nes p m (f) ∑ ml=0 p K ml(f), ir p Ki (f) p m (f), jei 1/m < min d(x, ∂Ω), m >x∈Kmax d(x, 0), |i| m .x∈KJeigu (f k ) yra Koši seka, tada ji yra fundamentalioji seka kiekvienoje normojep m , t.y. f k | Km → F m ∈ C m (K m ) ir F m+1 | Km = F Km . Tada ∃f, sutampantisu F m kompakte K m , ir p m (f k − f) → 0, kai k → ∞. Gavome, kad f ∈ E(Ω) irf k → f erdvėje E(Ω). ⊓⊔

95 11 SKYRIUS. Glodžiųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]2.2. Erdvė D11.3 apibrėžimas [funkcijos atrama]. Jeigu funkcija f yra tolydi, tuomet uždarojiaibė suppf := [{x ∈ Ω: f(x) ≠ 0}] vadinama funkcijos f atrama.11.4 apibrėžimas [finičioji funkcija]. Funkcija, kurios suppf yra kompaktas,vadinama finičiąja funkcija srityje Ω.Tolydžių finičiųjų srityje Ω, turinčių visas išvestines funkcijų aibę žymėsime˚C∞ (Ω). Pastebėsime, kad ˚C ∞ (Ω) yra tiesinė erdvė įprastų funkcijų sumos irdaugybos iš skaliaro operacijų atžvilgiu, tačiau šioje erdvėje negalime įvestinormos (ir net metrikos), atitinkančios visas glodumo ir finitumo savybes.Apibrėžkime erdvę D(Ω) := {f ∈ E(Ω): supp f yra kompaktas srityje Ω}.Nesunku patikrinti, kad D(Ω) nėra uždara erdvėje E(Ω), t.y. D(Ω) nėra pilnatopologijos E(Ω) atžvilgiu.Tarkime, kad K yra kompaktas srityje Ω. Tada D K (Ω) := {f ∈ E(Ω): supp f ⊂K} bus pilnoji skaičiai normuotoji erdvė su joje indukuota erdvės E(Ω) topologija.Erdvėje D(Ω) apibrėžkime stipresnę topologiją negu indukuota erdvės E(Ω)topologija: iškiloji aibė V ⊂ D(Ω) yra atvira (uždara), jeigu V ∩ D K (Ω) yraatvira (uždara) kiekvienam kompaktui K ⊂ Ω. Šią topologiją galima užrašytipusnormių šeima:p α (ϕ) =∞∑α m supx∈KmKm=1m−1|i|αm|∂ i ϕ(x)|, (2.3)čia kompaktai K m apibrėžti (2.2) formule, K 0 = ∅, o α = (α m ), α m ∈ N 0 seka.Pastebėsime, kad konkrečiai funkcijai ϕ ∈ D(Ω) (2.3) formulės dešinėje pusėjesuma yra sudaryta tik iš baigtinio nenulinių narių skaičiaus.11.2 teorema. Seka ϕ k → ϕ erdvėje D(Ω) tada ir tik tada, kai1) ϕ k → ϕ erdvėje E(Ω);2) ∃K: supp ϕ k ⊂ K ⊂ Ω.Įrodymas. Sąlygų 1) ir 2) pakankamumas, taip pat sąlygos 1) būtinumas yraakivaizdūs.2) sąlygos būtinumas. Tarkime, seka (ϕ k ) yra tokia, kad supp ϕ nepriklausovienam fiksuotam kompaktui ir ϕ k → 0 erdvėje D(Ω). Galima laikyti, kadsupp ϕ m ⊄ K m ir taškas x m ∉ K m , bet ϕ(x m ) ≠ 0. Nagrinėkime aibę V :={ϕ ∈ D(Ω): |ϕ(x m )| < |ϕ m (x m )|/m, m ∈ N}. Aibė V yra absoliučiai iškila(iškila ir subalansuota), todėl jos Minkovskio funkcionalas p V = sup ∣ mϕ(xm)∣mϕ m(x m)yra pusnormė. Kiekviename kompakte K yra tik baigtinis skaičius taškų x m ,todėl V ∩D K (Ω) yra atvira aibė erdvėje D(Ω), t.y. V yra nulio aplinka. Vadinasi,p V yra tolydi pusnormė. Turime, kad p V (ϕ m ) m, ir seka ϕ m ↛ 0. ⊓⊔11.3 teorema. Erdvė D(Ω) yra pilna (sekų prasme) ir nemetrizuojama.

3.Harmoninė Analizė 96Įrodymas. Tarkime, kad (ϕ k ) yra Koši seka, t.y. kiekvienai nulio aplinkai V∃N toks, kad, jei k, m N, tai ϕ k − ϕ m ∈ V , ir ši seka nepriklauso vienamfiksuotam kompaktui. Tada, pakartoję 12.2 įrodymą, gautume p V (ϕ m ) m,t.y. seka (ϕ k ) negali būti Koši seka. Vadinasi, visa seka priklauso vienai pilnajaierdvei D K (Ω) ir šioje erdvėje turi ribą.Tarkime, kad D(Ω) yra metrizuojama. Parinkime seką (ϕ m ), kad supp ϕ m ⊄K m . Kiekvienam m parinkime δ m : d(0, δ m ϕ m ) < 1/m. Tada δ m ϕ m → 0 erdvėjeD(Ω), ir supp(δ m ϕ m ) = supp ϕ m priklausytų vienam kompaktui, o taip nėra.⊓⊔2.3. Erdvė SNagrinėdami Furjė transformaciją, mes jau susidūrėme su erdve S = S ∞ (R).Erdvės S = S ∞ (R n ) topologija apibrėžiama skaičiąja pusnormių šeimap ij (f) := supx∈R n |x i ∂ j f(x)|, i, j ∈ I n . (2.4)11.1 uždavinys. Parodykite, kad (2.4) pusnormių sistema yra ekvivalenti (1.2) normųsistemai, t.y. erdvė skaičiai normuota, o tada ir metrizuojama.Seka (ϕ k ) ⊂ S konverguoja į ϕ(x), jeigux i ∂ j ϕ k (x) ⇒R n x i ∂ j ϕ(x), k → ∞, ∀i, j ∈ I n .Kai Ω = R n , žymėsime D := D(R), E := E(R). Teisingos tolydžiosios įdėtysD ⊂ S ⊂ E.11.1 pastaba. D S (e −x2 /2 ∈ S(R), e −x2 /2 ∉ D(R)); S E (1 ∈ E(R),1 ∉ S(R)).Tiesinės erdvės E, D ir S vadinamos pagrindinių funkcijų erdvėmis, o jųelementai vadinami pagrindinėmis funkcijomis.3. Pagrindinių funkcijų savybėsTolesnis pavyzdys rodo, kad erdvėje D egzistuoja nenulinės funkcijos.11.2 pavyzdys. Apibrėžkime funkcijąω 0 1(x) ={e − 11−x 2 / ∫ 1−1 e− 1−x 2 dx, kai |x| < 1,0, kai |x| 1.ω1(x) 0 ∈ D(R) ir ∫ +∞−∞ ω0 1(x)dx = 1. Tada funkcijos ωρ 0 := c nω1(|x|/ρ) 0 ∈D(R n ), ρ > 0, c −1n = ∫ ωR ρ(x)dx, atrama yra |x| ρ.n

97 11 SKYRIUS. Glodžiųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]Tarkime, ω ρ ∈ D(R n ) yra tokia, kad ω ρ (x) > 0, kai |x| < ρ, ir ω ρ (x) = 0,kai |x| ρ, ir ∫ ωR n ρ (x)dx = 1, čia ρ > 0.Jeigu funkcija u ∈ L 1 (Ω), tuomet funkcija∫u ρ := ω ρ ∗ u = ω ρ (x − y)u(y)dy (3.1)Ωvadinama funkcijos u vidutine funkcija, kuri apibrėžta visiems x ∈ R n , supp u ρ ⊂[Ω + ρU 1 (0)], čia U 1 (0) - vienetinis rutulys su centru taške x = 0. Jeigu Ω yraaprėžta, tuomet u ρ ∈ D(R n ). Kartais funkcija u pratęsiama į visą R n laikant,kad u ≡ 0, kai x ∉ Ω. Tada galima laikyti, kad Ω = R n .11.1 lema. Tarkime, kad ϕ ∈ C l (R n ) ir yra finiti, u ∈ L 1 (R n ). Tada sąsūkaS(ϕ)u = ϕ ∗ u :=∫ϕ(x − y)u(y)dy =R n ∫ϕ(y)u(x − y)dy = u ∗ ϕR n (3.2)yra tolydus tiesinis operatorius iš L 1 (R n ) į C l (R n ), ir‖S(ϕ)u‖ C l (R n ) = ‖ϕ ∗ u‖ C l (R n ) ‖u‖ L1(R n )‖ϕ‖ C l (R n ). (3.3)Įrodymas.Parodysime, kad teisinga lygybė∂ i S(ϕ)u = S(∂ i ϕ)u arba ∂ i (ϕ ∗ u) = (∂ i ϕ) ∗ u. (3.4)Akivaizdu, jog pakanka patikrinti šią lygybę dalinei išvestinei ∂ j :∫∂ j (ϕ ∗ u) = limu(y)dyt→0∫= limt→0R nϕ(x + e j t − y) − ϕ(x − y)R tnϕ(y + e j t) − ϕ(y)u(x − y)dy.tKadangi ϕ finiti, tai ϕ(y+ejt)−ϕ(y)t⇒ ∂ j ϕ ir integrale galima pereiti prie ribos:∫∂ j (ϕ ∗ u) = ∂ j ϕ(y)u(x − y)dy = u ∗ (∂ j ϕ) = (∂ j ϕ) ∗ u.R nBelieka pasinaudoti įverčiu∫‖S(ϕ)u‖ C(R n ) = ‖ϕ ∗ u‖ C(R n ) sup |ϕ(y)| · |u(x − y)|dyx∈R n R∫n sup |ϕ(y)| sup ·|u(x − y)|dy ‖ϕ‖ C(Rn )‖u‖ L1(R n ). ⊓⊔y∈R n x∈R n R n11.1 išvada. u ρ ∈ E(R n ).Tarkime, kad K ⊂ Ω ⊂ R yra kompaktas, todėl jį galima padengti baigtiniuskaičiumi rutulių U rk (x k ) ⊂ Ω, k = 1, N. Parinkime 0 < ˜r k < r k , kad rutuliaiU˜rk (x k ) taip pat padengtų K. Apibrėžkime funkcijas h k := I U¯rk (x k ), ¯r k =

3.Harmoninė Analizė 98(r k + ˜r k )/2, čia I A yra aibės A indikatorius, t.y. I A (x) = 1, kai x ∈ A, irI A (x) = 0 kitiems x. Jei ρ < (r k − ˜r k )/2, tai funkcijos e k (x) :=h k ρ (x) ∑ Nk=1 hk ρ (x),supp e k ⊂ U rk (x k ), sudaro kompakto K vieneto skaidinį, nes kiekvienam x ∈ Kegzistuoja h k ρ 1, ir ∑ Nk=1 ek = 1, kai x ∈ K.11.2 pastaba. Vieneto skaidinys leidžia daugelį įrodymų kompakte K ⊂ Ω pakeistiįrodymais rutuliuose U ˜rk (x k ) ⊂ U rk (x k ), ir net U 1−ε (0) ⊂U 1 (0), kai ε > 0 pakankamai mažas.Jeigu ϕ ∈ E(Ω), K ⊂ Ω, tuomet ϕ k = ϕ · e k ∈ D(Ω) ir ϕ(x) = ∑ Nk=1 ϕ k(x),kai x ∈ K.11.2 lema. Tarkime, kad u ∈ L p (Ω), p ∈ [1, ∞]. Tada‖u ρ ‖ Lp(Ω) ‖u‖ Lp(Ω). (3.5)Įrodymas.Kai p = 1, integruojame nelygybę∫|u ρ (x)| ω ρ (x − y)|u(y)|dy (3.6)Ωir įvertiname∫∫ ∫|u ρ (x)|dx ω ρ (x − y)|u(y)|dydxΩ∫ΩΩ|u(y)|∫ +∞∫ω ρ (x − y)dxdy =Ω −∞Ω|u(y)|dy.Kitais atvejais (p ∈ (1; ∞)) įrodyme reikėtų pasinaudoti Helderio nelygybe.⊓⊔11.3 lema. Tarkime, kad u ∈ L p (Ω), p ∈ [1, ∞). Tada‖u ρ − u‖ Lp(Ω) → 0, kai ρ → 0. (3.7)Įrodymas.Kai p = 1, integruojame nelygybę∫|u ρ (x) − u(x)| = ∣ ω ρ (x − y)u(y) − ω ρ (x − y)u(x)dy∣Ω∫ ω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dy (3.8)Ω

99 11 SKYRIUS. Glodžiųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]ir įvertiname∫‖u ρ − u‖ L1(Ω) ∫∫ΩΩΩ∫∫ supΩω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dydxx−Ωω ρ (z)|u(x + z) − u(x)|dzdx∫ω ρ (z)dzdxsup |u(x + z) − u(x)||z|

3.Harmoninė Analizė 10011.5 lema. Tarkime, kad u ∈ L p (Ω), p ∈ [1, ∞). TadaĮrodymas.ir įvertiname∫‖u ρ − u‖ L1(Ω) ∫∫‖u ρ − u‖ Lp(Ω) → 0, kai ρ → 0. (3.10)Kai p = 1, integruojame nelygybę∫|u ρ (x) − u(x)| = ∣ ω ρ (x − y)u(y) − ω ρ (x − y)u(x)dy∣Ω∫ ω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dy (3.11)ΩΩΩ∫∫ supΩΩω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dydxx−Ωω ρ (z)|u(x + z) − u(x)|dzdx∫ω ρ (z)dzdxsup |u(x + z) − u(x)||z|

101 11 SKYRIUS. Glodžiųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]Funkcijos χ N (x) := χ 1(x/N) ∈ D ir χ Nsupp χ N = [−2N; 2N]. Pastebėsime, kad≡ 1 intervale [−N; N], irt.y. teisingas įvertis11.7 lema. D(R n ) tiršta erdvėje S(R n ).|(χ N − 1) (k) (x)| = ∣ ∣ 1N k (χ 1 − 1) (k) ( x N )∣ ∣ C k ,sup |(χ N − 1) (k) (x)| C k . (3.12)x∈RĮrodymas. Norėdami išvengti techninių detalių, įrodysime tik atveju n = 1.Tarkime, ϕ ∈ S(R). TadaFunkcija χ N ϕ ∈ D(R) ir|x m ϕ (k) (x)| p m+1,k(ϕ)|x|p mk (χ N ϕ − ϕ) = sup |x m (χ N ϕ − ϕ) (k) (x)|x∈R= supx∈Rk∑j=0 1 N|x m k∑j=0( kj)p m+1,j (ϕ)Nk∑j=0 p m+1,k(ϕ), kai |x| N.N( k)j ϕ (j) (χ N − 1) (k−j) (x)|sup |(χ N − 1) (k−j) (x)|x∈R( k)j pm+1,j (ϕ)C k−j 1 C(k, m, ϕ) → 0, kai N → 0. ⊓⊔N11.8 lema. Tarkime, kad funkcija p ∈ P n yra daugianaris (polinominė funkcija,priklausanti nuo n kintamųjų x 1 , . . . , x n ) rutulyje U R (0), o jo išorėje lygi nuliui,u ∈ L 1 (R n ), supp u ⊂ U r (0), r < R. Tada sąsūkos∫p ∗ u := p(x − y)u(y)dyR natrama supp p∗u ⊂ U R+r (0), o sąsūka sutampa su daugianariu rutulyje U R−r (0).Įrodymas.Atramos savybė akivaizdi, nes∫∫p ∗ u := p(x − y)u(y)dy = p(y)u(x − y)dy (3.13)|y|r|y|Rir p(x − y) = 0, jei x ∉ U R+r (0). Diferencijuodami (3.13) pagal x rutulyje|x| < R − r, gauname ∂ i (p ∗ u) = ∂ i p ∗ u. Kadangi p daugianaris, tai ∃α:∂ α p = 0, o tada ir ∂ α (p ∗ u) = 0 rutulyje |x| < R − r. ⊓⊔

3.Harmoninė Analizė 10211.4 pavyzdys. Apibrėžkime funkciją{(R 2 − |x| 2 ) k / ∫ |x|Rp k (x) =(R2 − |x| 2 ) k dx, kai |x| < R,0, kai |x| R.p k (x) yra daugianaris rutulyje U ∫ R(0), pR n k (x)dx = 1, supp p k ⊂ U R(0),p k (x) 0 ir∫p k (x)dx → 0, kai k → ∞, ∀δ > 0.|x|δ11.4 teorema [Vejerštraso]. Tarkime, kad K ⊂ R n yra kompaktas. Tadakiekviena funkcija u ∈ C l (K), k ∈ N 0 , tolygiai aproksimuojama daugianariuerdvėje C l (K).Įrodymas. Pasinaudodami kompakto vieneto skaidiniu, randame finičiąją funkcijąU ∈ D(R n ), kurios siaurinys kompakte yra funkcija u. Dėl finitumo funkcijos∂ i U, |i| l, yra tolygiai tolydžios funkcijos visoje R n ir ‖U‖ C l (R n ) M.Apibrėžkime funkcijasu k = U ∗ p k =∫U(y)p k (x − y)dy =R n ∫p k (y)U(x − y)dy.R nĮvertiname∫∫|U(x) − u k | = ∣ p k (y)U(x)dy − p k (y)U(x − y)dy∣R n R∫n p k (y)|U(x) − U(x − y)|dyR∫n ∫ p k (y)|U(x) − U(x − y)|dy + p k (y)|U(x) − U(x − y)|dy∫|y|δ|y|δδ|y|1p k (y)dy sup |U(x) − U(x − y)| + 2M|y|δ∫δ|y|1p k (y)dy.Analogiškas įvertis yra teisingas ir išvestinėms. Kadangi ∫ |y|δ p k(y)dy 1, tai‖U(x) − u k ‖ Cl (R n ) ∫sup ‖U(x) − U(z)‖ Cl (R n ) + M p k (y)dy.|x−z|δδ|y|1Pirmąjį dešinės pusės dėmenį galime padaryti mažesnį už ε/2 (tolygus tolydumas),o antrasis (kai δ fiksuotas) artėja į nulį, kai k → ∞, t.y. u k → U erdvėjeC l (R n ), o tada u k → u erdvėje C l (K).Jeigu supp U priklauso rutuliui U r (0), tuomet funkcijos p k apibrėžime paimkimeR = 2r. Tada, remiantis 11.8 lema, rutulyje U r (0), o tuo labiau kompakteK, sąsūka u k = U ∗ p k bus daugianaris. ⊓⊔11.9 lema. Daugianarių erdvė P(Ω) yra tiršta erdvėje E(Ω).

103 11 SKYRIUS. Glodžiųjų funkcijų erdvės [2012 09 5 (11:51)]Įrodymas. Tarkime, ϕ ∈ E(Ω) ir p Ki yra erdvės E(Ω) pusnormė. Parinkimetokią kompakto K atvirąją, aprėžtą aplinką V : K ⊂ V ⊂ [V ] ⊂ Ω. Tadaϕ| [V ] ∈ C (|i|) [V ] ir, pagal Vejerštraso teoremą, rasime daugianarį Q ∈ P n : ‖ϕ −Q‖ C |i| [V ] < ε. Kadangi p Ki (ϕ − Q) ‖ϕ − Q‖ C |i| [V ], tai Q yra ieškomasisdaugianaris. ⊓⊔11.3 išvada. Tarkime, kad kompaktas K ⊂ Ω ⊂ R n , ϕ ∈ D K (Ω), f ∈ D(Ω)ir f ≠ 0 kompakte K. Tada egzistuoja daugianarių seka (Q k ) ⊂ P n tokia, kadQ k f → ϕ erdvėje D(Ω).Įrodymas. Nagrinėkime funkciją ϕ/f, kai x ∈ K, kuri priklauso D K (Ω) ⊂E(Ω). Parinkime funkcijų seką (Q k ) ⊂ E(Ω), kuri konverguoja į šią funkcijąerdvėje E(Ω). Funkcija f ∈ D(Ω), todėl Q k f ∈ D(Ω) ⊂ E(Ω) ir seka Q k f → ϕerdvėje E(Ω). K f = supp f irgi yra kompaktas ir K ⊂ K f . Funkcija ϕ ∈ D K ⊂D Kf ir seka (Q k f) ⊂ D Kf . Vadinasi, funkcijų seka Q k f → ϕ erdvėje D(Ω).⊓⊔4. Kitos pagrindinių funkcijų erdvės→ ϕ (k) apskritime. Kadangi argumento aibė yra aprėžta, tai funkcijųfinitumo reikalavimas savaime atkrenta .Galima nagrinėti be galo diferencijuojamas finičiąsias funkcijas, kurios įgyjakompleksines reikšmes: t.y. ϕ = ϕ x (x)+ıϕ y (x), ϕ x , ϕ y ∈ K = E(Ω), D(Ω), S(R n ).Kartais yra naudinga nagrinėti apibendrintas funkcijas, kurios yra apibrėžtosvirš tam tikros aprėžtos aibės. Paprasčiausias atvejis, kai funkcijos yra apibrėžtosapskritimo S 1 taškuose. Pagrindinių funkcijų erdve laikysime tiesinę erdvęC ∞ (S 1 ). Seka ϕ n −→ ϕ šioje pagrindinių funkcijų erdvėje, jeigu ∀k ∈ N 0 sekosϕ (k)n

4.Harmoninė Analizė 104

12 skyriusApibendrintosios funkcijosJeigu uždavinyje iš anksto nežinomas sprendinių glodumas, tuomet naudojamosbegalo diferencijuojamų funkcijų erdvės. Jos yra lokaliai iškilos, bet kaiptaisyklė, nėra normuotosios ir net metrizuojamos. Tarkime Ω ⊂ R n sritis, oΩ = [Ω] jos uždarinys. Norėdami paprasčiau pateikti apibendrintų funkcijųsąvokas, dažniausiai imsime n = 1, o Ω ⊂ R, ‖x‖ = |x|, d(x, y) = |x − y|.1. Lokaliai iškilosios ir skaičiai normuotosios erdvėsTopologinė vektorinė erdvė T yra lokaliai iškila (t.y. kievienoje nulio aplinkojeegzistuoja iškila nulio aplinka) tada ir tik tada kai egzistuoja tą topologijągeneruojanti pusnormių šeima. Lokaliai iškila topologinė erdvė yra metrizuojamatada ir tik tada, kai ji yra Hausdorfo ir joje egzistuoja skaiti topologijągeneruojanti pusnormių šeima. Šiuo atveju, metrika apibrėžiama formuled(x, y) =∞∑n=12 −n p n (x − y), x, y ∈ L. (1.1)1 + p n (x − y)Ši metrika pasižymi savybe d(x + z, y + z) = d(x, y).Išskirsime skaičiai normuotų erdvių klasę. Tarkime, tiesinėje erdvėje L apibrėžtosdvi normos ‖ · ‖ 1 ir ‖ · ‖ 2 . Jos vadinamos suderintomis, jeigu kiekvienasekai (x n ) ⊂ L, kuri yra Koši seka pagal kievieną šių normų, teisinga:x n −→ x ∈ L ⇔ x n −→ x ∈ L.‖·‖1‖·‖212.1 apibrėžimas [skaičiai normuotoji erdvė]. Skaičiai normuotąją erdve vadinamatiesinė erdvė L, kurioje duota skaičioji poromis suderintų normų sistema(p n (·) = ‖ · ‖ n , n ∈ N).Seka (x n ) skaičiai normuotoje erdvėje yra Koši seka (1.1) metrikos atžvilgiutada ir tik tada, kai ji yra Koši seka kiekvienos normos atžvilgiu, ir konverguojaį x metrinėje erdvėje tada ir tik tada, kai konverguoja pagal kiekvieną normą,t.y. skaičiai normuotoji erdvė yra pilnoji metrikos atžvilgiu, jei konverguojakiekviena seka, kuri yra Koši seka kiekvienos normos atžvilgiu.Erdvėje C ∞ [a; b] skaičioji normų sistema yra‖f‖ n =sup |f (k) (x)|, n ∈ N,x∈[a;b]k=0,n

2.Harmoninė Analizė 106erdvėje S ∞ (R) skaičioji normų sistema yra‖f‖ n =∑|(1 + |x| l )f (k) (x)|, n ∈ N. (1.2)supp+q=nx∈Rk=0,p,l=0,qSkaičiai normuotoje erdvėje galime laikyti, kad ‖x‖ n ‖x‖ m , kai n < m(kitu atveju parinktume ‖x‖ ′ n = sup(‖x‖ 1 , . . . , ‖x‖ n )). Papildę skaičiai nuomuotąjąerdvę kievienoje normoje, gausime Banacho erdvių sistemą (B n ) irB n ⊃ B m , kai n < m. Tada L ⊂ ∩ ∞ k=1 B n. Erdvė L yra pilnoji tada ir tik tada,kai L = ∩ ∞ k=1 B n.2. Pagrindinių funkcijų erdvės12.2 apibrėžimas [erdvė E]. Erdvę E = E(Ω) sudaro funkcijos iš C ∞ (Ω), otopologiją apibrėžia pusnormių šeimap Kn (f) := maxx∈K |f (n) (x)|, n ∈ N 0 , K yra kompaktas srityje Ω. (2.1)12.1 teorema. Erdvė E(Ω) yra skaičiai normuota (o tada ir metrizuojama) irpilna.Įrodymas.Apibrėžkime kompaktusK m := {x ∈ Ω: d(x, ∂Ω) 1 m, d(x, 0) m}. (2.2)Tada K m ⊂ ˚K m+1 ⊂ K m+1 , ∪ ∞ m=1K m = Ω. Apibrėžkime normų šeimąp m (f) := sup |f (x) (t)|, m ∈ N.x∈Kmk=0,mPusnormių sistema {p Kn } ir normų sistema {p m } apibrėžia tą pačią topologiją,nes p m (f) ∑ mi=0 p K ml(f), ir p Kl (f) p m (f), jei 1/m < min d(x, ∂Ω) irx∈Km > max d(x, 0).x∈KJeigu (f n ) yra Koši seka, tada ji yra fundamentalioji seka kiekvienoje normojep m , t.y. f n | Km → F m ∈ C m (K m ) ir F m+1 | Km = F Km . Tada ∃f sutampantisu F m kompakte K m ir p m (f n − f) → 0, kai n → ∞. Gavome, kad f ∈ E(Ω) irf n → f erdvėje E(Ω). ⊓⊔12.3 apibrėžimas [funkcijos atrama]. Jeigu funkcija f yra tolydi, tuomet uždarojiaibė suppf := [{x ∈ Ω: f(x) ≠ 0}] vadinama funkcijos f atrama.12.4 apibrėžimas [finičioji funkcija]. Funkcija, kurios suppf yra kompaktas,vadinama finičiąja funkcija srityje Ω.Aibę tolydžių, finičiųjų srityje Ω, turinčių visas išvestines, funkcijų žymėsime˚C∞ (Ω). Pastebėsime, kad ˚C ∞ (Ω) yra tiesinė erdvė, įprastų funkcijų sumos ir

107 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]daugybos iš skaliaro operacijų atžvilgiu, tačiau šioje erdvėje negalime įvestinormos (ir net metrikos), atitinkančios visas glodumo ir finitiškumo savybes.Apibrėžkime erdvę D(Ω) := {f ∈ E(Ω): supp f yra kompaktas srityje Ω}.Nesunku patikrinti, D(Ω) nėra uždara erdvėje E(Ω), t.y. nepilna topologijosE(Ω) atžvilgiu.Tarkime K yra kompaktas srityje Ω. Tada D K (Ω) := {f ∈ E(Ω): supp f ⊂K} bus pilnoji skaičiai normuotoji erdvė su joje indukuota erdvės E(Ω) topologija.Erdvėje D(Ω) apibrėžkime stipresnę topologiją negu indukuota erdvės E(Ω)topologija: iškiloji aibė V ⊂ D(Ω) yra atvira (uždara), jeigu V ∩ D K (Ω) yraatvira (uždara) kiekvienam kompaktui K ⊂ Ω. Šią topologiją galima užduotipusnormių šeima:p α (ϕ) =∞∑α m supx∈KmKm=1m−1k=0,αm|ϕ (k) (x)|, (2.3)čia kompaktai K m apibrėžti (2.2) formule, K 0 = ∅, o α = (α m ), α m ∈ N 0 seka.Pastebėsime, kad konkrečiai funkcijai ϕ ∈ D(Ω) (2.3) formulės dešinėje pusėjesumoje yra tik baigtinis nenulinių narių skaičius.12.2 teorema. Seka ϕ n → ϕ erdvėje D(Ω) tada ir tik tada, kai1) ϕ n → ϕ erdvėje E(Ω);2) ∃K: supp ϕ n ⊂ K ⊂ Ω.Įrodymas. Sąlygų 1) ir 2) pakankamumas akivaizdus, kaip ir sąlygos 1) būtinumas.2) sąlygos būtinumas. Tarlime seka (ϕ n ) tokia, kad supp ϕ nepriklausovienam fiksuotam kompaktui ir ϕ n → 0 erdvėje D(Ω). Galima laikyti, kadsupp ϕ m ⊄ K m ir taškas x m ∉ K m , bet ϕ(x m ) ≠ 0. Nagrinėkime aibę V :={ϕ ∈ D(Ω): |ϕ(x m )| < |ϕ m (x m )|/m, m ∈ N}. Aibė V yra absoliučiai iškila (iškilair subalansuota), todėl jos Minkovskio funkcionalas p V = sup ∣ mϕ(xm)∣ yramϕ m(x m)pusnormė. Kiekviename kompakte K yra tik baigtinis skaičius taškų x m , todėlV ∩ D K (Ω) yra atvira aibė erdvėje D(Ω), t.y. V yra nulio aplinka. Vadinasi,p V yra tolydi pusnormė. Turime, kad p V (ϕ m ) m, ir seka ϕ m ↛ 0. ⊓⊔12.3 teorema. Erdvė D(Ω) yra pilna (sekų prasme) ir nemetrizuojama.Įrodymas. Tarkime (ϕ n ) yra Koši seka, t.y. kiekvienai nulio aplinkai V ∃Ntoks, kad, jei n, m N, tai ϕ n −ϕ m ∈ V ir ši seka nepriklauso vienam fiksuotamkompaktui. Tada, pakartoję 12.2 įrodymą, gautume p V (ϕ m ) m, t.y. seka(ϕ n ) negali būti Koši seka. Vadinasi, visa seka priklauso vienai pilnajai erdveiD K (Ω) ir šioje erdvėje turi ribą.Tarkime, D(Ω) metrizuojama. Parinkime, seką (ϕ m ), kad supp ϕ n ⊄ K m .Kiekvienam m parinkime δ m : d(0, δ m ϕ m ) < 1/m. Tada δ m ϕ m → 0 erdvėje

2.Harmoninė Analizė 108D(Ω), ir supp(δ m ϕ m ) = supp ϕ m priklausytų vienam kompaktui, o taip nėra.⊓⊔Nagrinėdami Furjė transformaciją, mes jau susidūrėme su erdve S = S ∞ (R).Šios erdvės topologija apibrėžiama skaičiąja pusnormių šeimap km (f) := sup |x m f (k) (x)|, k, m ∈ N 0 . (2.4)x∈R12.1 uždavinys. Parodykite, kad (2.4) pusnormių sistema yra ekvivalenti (1.2) normųsistemai, t.y. erdvė skaičiai normuota, o tada ir metrizuojama.Seka (ϕ n ) ⊂ S konverguoja į ϕ(x), jeigux m ϕ (k)n (x) ⇒ x m ϕ (k) (x), n → ∞, ∀k, m ∈ N 0 .RKai Ω = R, žymėsime D := D(R), E := E(R). Teisingos tolydžiosios įdėtysD ⊂ S ⊂ E.12.1 pastaba. D S (e −x2 /2 ∈ S, e −x2 /2 ∉ D); S E (1 ∈ E, 1 ∉ S).Tiesinės erdvės E, D ir S vadinamos pagrindinių funkcijų erdvėmis, o jųelementai vadinami pagrindinėmis funkcijomis.Sekantis pavyzdys rodo, kad erdvėje D egzistuoja nenulinės funkcijos.12.1 pavyzdys. Apibrėžkime funkciją{e − 1ω1(x) 0 1−x=2 / ∫ 11−1 e− 1−x 2 dx, kai |x| < 1,0 kai |x| 1.ω 0 1(x) ∈ D ir ∫ +∞−∞ ω0 1(x)dx = 1. Tada funkcijos ω 0 ρ := 1 ρ ω0 1(x/ρ), ρ > 0,atrama lygi [−ρ; +ρ].Tarkime ω ρ ∈ D yra tokia, kad ω ρ (x) > 0, kai |x| < ρ, ω ρ (x) = 0, kai |x| ρir ∫ +∞−∞ ω ρ(x)dx = 1, čia ρ > 0.Tarkime funkcija u ∈ L 1 (Ω). Funkcija∫u ρ := ω ρ ∗ u = ω ρ (x − y)u(y)dy (2.5)Ωvadinama funkcijos u vidutine funkcija, kuri apibrėžta visiems x ∈ R, u ρ ∈ E,supp u ρ ⊂ [Ω + ρU 1 (0)], čia U 1 (0) = (−1; 1) vienetinis rutulys su centru x = 0.Jeigu Ω yra aprėžta, tuomet u ρ ∈ D. Kartais funkcija pratęsiama į visą tiesę Rlaikant, kad u ≡ 0, kai x ∉ Ω. Tada galima laikyti, kad Ω = R.Tarkime K ⊂ Ω = (a; b) ⊂ R yra kompaktas, todėl jį galima padengtibaigtiniu skaičiumi intervalų (x k − r k ; x k + r k ) ⊂ Ω, k = 1, N. Parinkime 0

109 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]I A (x) = 1, kai x ∈ A, ir I A (x) = 0 kitiems x. Jei ρ < (r k − ¯r k )/2, tai funkcijose k (x) :=hk ρ∑ (x)N sudaro kompakto K vieneto skaidinį, nes kiekvienam x ∈ Kk=1 hk ρ (x)egzistuoja h k ρ 1, ir ∑ Nk=1 e k = 1, kai x ∈ K. Tada ϕ k = ϕ·e k ∈ D(x k −r k ; x k +r k ) ir ϕ(x) = ∑ Nk=1 ϕ k(x), kai x ∈ K.12.1 lema. Tarkime u ∈ L p (Ω), p ∈ [1, ∞], Ω = (a; b) ⊂ R. TadaĮrodymas.‖u ρ ‖ Lp(Ω) ‖u‖ Lp(Ω). (2.6)Kai p = 1, integruojame nelygybę∫|u ρ (x)| ω ρ (x − y)|u(y)|dyir įvertiname∫∫|u ρ (x)|dx Ω∫ΩΩ∫Ω|u(y)|Ωω ρ (x − y)|u(y)|dydx∫ +∞−∞∫ω ρ (x − y)dxdy =Ω|u(y)|dy.Kitais atvejais (p ∈ (1; ∞)) įrodyme reikėtų pasinaudoti Helderio nelygybe.⊓⊔12.2 lema. Tarkime u ∈ L p (Ω), p ∈ [1, ∞), Ω = (a; b) ⊂ R. TadaĮrodymas.ir įvertiname∫‖u ρ − u‖ L1(Ω) ∫‖u ρ − u‖ Lp(Ω) → 0, kai ρ → 0. (2.7)Kai p = 1, integruojame nelygybę∫|u ρ (x) − u(x)| = ∣ ω ρ (x − y)u(y) − ω ρ (x − y)u(x)dy∣Ω∫ ω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dy (2.8)∫ΩΩΩ∫∫ supΩΩω ρ (x − y)|u(y) − u(x)|dydxx−Ωω ρ (z)|u(x + z) − u(x)|dzdxsup |u(x + z) − u(x)||z|

2.Harmoninė Analizė 110Kitais atvejais (p ∈ (1; ∞)) įrodyme reikėtų pasinaudoti Helderio nelygybe.Kadangi u ∈ L p yra tolydi L p prasme, todėl‖u ρ − u‖ Lp(Ω) sup ‖u(x + z) − u(x)‖ Lp(Ω) → 0, kai ρ → 0.|z| N ir uθ N ∈ L p (R).Belieka pastebėti, kad (uθ N ) ρ ∈ D ir pasinaudoti 12.2 lema. ⊓⊔Pateiksime, dar vieną funkciją iš D.12.2 pavyzdys. Apibrėžkime funkcijąχ 1(x) =∫ x−∞(ω1/2 (t + 3/2) − ω 1/2 (t − 3/2) ) dt.Funkcija χ 1 ∈ E, supp χ 1 = [−2; 2], t.y. χ 1 ∈ D, χ 1 ≡ 1 intervale [−1; 1].Funkcijos χ N (x) := χ 1(x/N) ∈ D ir χ Nsupp χ N = [−2N; 2N]. Pastebėsime, kad≡ 1 intervale [−N; N] irt.y. teisingas įvertis|(χ N − 1) (k) (x)| = ∣ ∣ 1N k (χ 1 − 1) (k) ( x N )∣ ∣ qleCk ,sup |(χ N − 1) (k) (x)| C k . (2.9)x∈R12.3 lema. D tiršta erdvėje E (o tada ir [S] = E).Įrodymas. Tarkime ϕ ∈ E. Tada funkcija χ N ϕ ∈ D. Jeigu K yra kompaktastiesėje, tuomet ∃N, kad K ⊂ [−N; N]. Tadap Kk (χ N ϕ − ϕ) = maxx∈K |(χ N ϕ − ϕ) k | = 0,kai N pakankamai didelis. Vadinasi, χ N ϕ → ϕ erdvėje E.⊓⊔12.4 lema. D tiršta erdvėje S.Įrodymas.Tarkime ϕ ∈ S. Tada|x m ϕ (k) (x)| p m+1,k(ϕ)|x| p m+1,k(ϕ), kai |x| N.N

111 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]Funkcija χ N ϕ ∈ D irp mk (χ N ϕ − ϕ) = sup |x m (χ N ϕ − ϕ) (k) (x)|x∈R= supx∈Rk∑j=0 1 N|x m k∑j=0( kj)p m+1,j (ϕ)Nk∑j=0( k)j ϕ (j) (χ N − 1) (k−j) (x)|sup |(χ N − 1) (k−j) (x)|x∈R( k)j pm+1,j (ϕ)C k−j 1 C(k, m, ϕ) → 0, kai N → 0. ⊓⊔N12.5 lema. Daugianariai erdvė P(Ω) yra tiršta erdvėje E(Ω).Įrodymas. Tarkime ϕ ∈ E(Ω) ir p Kn yra erdvės E(Ω) pusnormė. Parinkimetokią kompakto K atvirąją aprėžtą aplinka V : K ⊂ V ⊂ [V ] ⊂ Ω. Tada ϕ| [V ] ∈C (n) [V ], ir pagal Vejerštraso teorema rasime daugianarį p n : ‖f − p n ‖ C m [V ] < ε.Kadangi p Kn (f − p n ) ‖f − p n ‖ Cm [V ], tai p n ieškomasis daugianaris. ⊓⊔12.2 išvada.2.1. Pagrindinių funkcijų erdvė C ∞ (S 1 )Kartais yra naudinga nagrinėti apibendrintas funkcijas, kurios yra apibrėžtosvirš tam tikros aprėžtos aibės. Paprasčiausias atvejis, kai funkcijos yra apibrėžtosapskritimo S 1 taškuose. Pagrindinių funkcijų erdve laikysime tiesinę erdvęC ∞ (S 1 ). Seka ϕ n −→ ϕ šioje pagrindinių funkcijų erdvėje, jeigu ∀k ∈ N 0 sekosϕ (k)n ⇒ ϕ (k) apskritime. Kadangi argumento aibė yra aprėžta, tai funkcijųfinitumo reikalavimas atkrenta savaime.2.2. Kelių kintamųjų funkcijosNagrinėkime erdvėje R k funkcijas su kompaktine atrama ϕ ∈ ˚C ∞ (R k ), kuriosturi visas dalines išvestines pagal visus argumentus. Erdvė ˚C ∞ (R k ) yra tiesinėerdvė, kurioje galime įvesti konvergavimą: ϕ n → ϕ, jeigu egzistuoja kompaktasK ⊂ R k toks, kad suppϕ n ⊂ K ∀n ∈ N irD α ∂ |α| ϕ nϕ n :=∂x α11 . . . ⇒ D α ϕ∂xα kkkompakte K, kiekvienam fiksuotam multiindeksui α := (α 1 , . . . , α n ), α k 0(|α| := α 1 + . . . + α k ).

3.Harmoninė Analizė 1122.3. Kompleksinės funkcijosImkime pagrindinėmis funkcijomis begalo kartų diferencijuojamas finičiąsiasfunkcijas tiesėje, kurios įgyja kompleksines reikšmes: t.y. ϕ = ϕ x (x) + ıϕ y (x),ϕ x , ϕ y ∈ ˚C ∞ (R).3. Apibendrintosios funkcijos3.1. Funkcionalai skaičiai normuotosiose erdvėseNagrinėkime skaičiai normuotąją erdvę D, kurioje ‖x‖ 1 . . . ‖x‖ n . . . . Tarkime,D ∗ n yra tiesinių funkcionalų erdvė tolydžių normos ‖ · ‖ n atžvilgiu, o D ∗visi tiesiniai tolydieji funkcionalai erdvėje D. TadaD ∗ 1 ⊂ · · · ⊂ D ∗ n ⊂,D ∗ = ∞ ∪n=1D ∗ n. (3.1)Jeigu f ∈ D ∗ , tai jo eile vadinamas mažiausias n toks, kad f ∈ D ∗ n. Iš (3.1)gauname, kad kiekvienas funkcionalas f ∈ D ∗ turi baigtinę eilę.Erdvėje D ∗ galima apibrėžti silpnąją topologiją:f n → f erdvėje D ∗ ⇔ f n (x) → f(x) ∀x ∈ D. (3.2)3.2. Apibendrintos funkcijos erdvėje ˚C ∞ (R)Grižkime prie skaičiai normuotųjų funkcijų erdvių. Apibendrintosios funkcijossąvoką pasiaiškinsime erdvėje D = ˚C ∞ (R).12.5 apibrėžimas [apibendrintoji funkcija]. Apibendrintąja funkcija vadinamastiesinis tolydusis funkcionalas f, apibrėžtas pagrindinėje erdvėje D. Jei ϕ ∈ D,tai funkcionalo reikšmę žymėsime 〈f, ϕ〉. Visų apibendrintųjų funkcijų erdvęžymėsime D ∗ .Funkcionalo f tolydumas yra suprantamas taip: jeigu ϕ n −→ ϕ erdvėje D,tai 〈f, ϕ n 〉 → 〈f, ϕ〉. Konvergavimas erdvėje D ∗ suprantamas kaip 〈f n , ϕ〉 →〈f, ϕ〉 ∀ϕ ∈ D (silpnosios topologijos prasme).Apibendrintoji funkcija f = 0 srityje G ⊂ R, jei 〈f, ϕ〉 = 0, ∀ϕ: supp ϕ ⊂ G.12.6 lema. Apibendrintoji funkcija f = 0 srityje G tada ir tik tada, kai ji lyginuliui kiekvieno taško aplinkoje srityje G.Įrodymas. Būtinumas akivaizdus. Įrodysime pakankamumą. Tarkime suppϕ ⊂G. Atrama supp ϕ yra kompaktas, todėl jį galima padengti baigtiniu skaičiumiintervalų (x k − r k ; x k + r k ) ⊂ G, k = 1, N. Parinkime 0 < ¯r k < r k ,kad intervalai (x k − ¯r k ; x k + ¯r k ) ir padengtų supp ϕ. Apibrėžkime funkcijash k (x) := ξ[x k − ˜r k ; x k − ˜r k ], ˜r k = (r k + ¯r k )/2. Jei ρ < (r k − ¯r k )/2, tai funkcijose k (x) :=h k ρ (x) ∑ Nk=1 hk ρ (x)sudaro kompakto supp ϕ vieneto skaidinį, nes kiekvienamx ∈ supp ϕ egzistuoja h k ρ 1, ir ∑ Nk=1 e k = 1, kai x ∈ supp ϕ. Tada

113 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]ϕ k = ϕ · e k ∈ D(x k − r k ; x k + r k ) ir ϕ(x) = ∑ Nk=1 ϕ k(x), kai x ∈ supp ϕ.Vadinasi,N∑ N∑N∑〈f, ϕ〉 = 〈f, ϕ k 〉 = 〈f, ϕ k 〉 = 0 = 0, ∀ϕ ∈ D: supp ϕ ⊂ G. ⊓⊔k=1k=1k=1Jeigu f ∈ D ∗ , tuomet visų sričių, kuriose f = 0, sąjunga O f vadinamanuline aibe, o supp f := R O f apibendrintosios funkcijos atrama. Jeigu supp fkompaktas, tuomet f vadinama finičiąja.Pastebėkime, kad kiekviena lolaliai integruojama (integruojama kiekvienamebaigtiniame intervale) funkcija f(x), generuoja tam tikrą apibendrintą funkciją:〈f, ϕ〉 =∫ ∞−∞f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D, (3.3)nes taip apibrėžtas funkcionalas yra tiesinis ir tolydus erdvėje D.12.6 apibrėžimas [reguliarios ir singuliarios apibendrintosios funkcijos]. Apibendrintosfunkcijos apibrėžtos (3.3) formule yra vadinamos reguliariosiomis, ojeigu apibendrinta funkcija nėra užrašoma pavidalu (3.3), tai ji yra vadinamasinguliariąja.12.7 lema [du Bois-Reymond lemma]. Reguliarioji apibendrintoji funkcijaf = 0 srityje G tada ir tik tada, kai ji lygi nuliui srityje G b.v.Įrodymas. Pakankamumas akivaizdus. Įrodysime būtinumą. Tarkime a ∈ G,o atkarpa (a − ε; a − ε) ⊂ G, kuriame apibendrintoji funkcija f = 0. Funkcijaψ k (x) = e ık x ε ωε (x − a) ∈ D(G), ∀k ∈ Zir∫〈f, ψ k 〉 =f(x)ω ε (x − a)e ık x ε dx = 0.Funkcija f(x)ω ε (x − a) ∈ L 1 (f(x)ω ε (x − a)) ir 〈f, ψ〉 jos Furjė koeficientai pagalsistemą e ık x ε . Visi jie lygūs nuliui, todėl f(x)ω ε (x − a) = 0 b.v., o tada irf(x) = 0 b.v. intervale (a − ε; a − ε). Kadangi intervalas yra bet koks, gaunamef(x) = 0 b.v. ⊓⊔12.3 pavyzdys. Funkcija e x ∈ L loc1 (R) apibrėžia reguliariąją apibendrintąją funkciją〈exp, ϕ〉 =∫ +∞−∞e x ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D.12.4 pavyzdys [Hevisaido funkcija]. Apibrėžkime Hevisaido funkciją{0, kai x < 0,H(x) :=1, kai x > 0.

3.Harmoninė Analizė 114Funkcija H ∈ L loc1 (R), todėl ji apibrėžia reguliariąją apibendrintąją funkciją〈H, ϕ〉 =∫ +∞−∞H(x)ϕ(x)dx =∫ +∞0ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D.12.5 pavyzdys [Dirako funkcija]. Apibrėžkime apibendrintą funkciją〈δ, ϕ〉 = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D.Akivaizdu, δ ∈ D ∗ ir supp δ = {0}. Tarkime δ yra reguliarioji apibendrintojifunkcija ir egzistuoja f ∈ L loc1 (R) tokia, kad∫f(x)ϕ(x)dx = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D.Tada xϕ(x) ∈ D, fx ∈ L loc1 (R) ir∫〈xf, ϕ〉 = f(x)xϕ(x)dx = 〈δ, xϕ〉 = xϕ(x) ∣ x=0= 0.Iš du Bois-Reymond lemos gauname, kad xf(x) = 0 b.v., t.y. f(x) = 0b.v. Gauname prieštarą, nes ∫ f(x)ω 1dx = 0, o 〈δ, ω 1〉 = ω 1(0) ≠ 0.Parodysime, kad erdvėje D ∗ ω ρ → δ, ρ → +0. (3.4)Teisingas įvertis∫|〈ω ρ − δ, ϕ〉| = ∣ ω ρ(x)(ϕ(x) − ϕ(0))dx∣∫ sup |ϕ(x) − ϕ(0)| ω ρ(x)dx = sup |ϕ(x) − ϕ(0)|.|x|

115 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]Pirmasis integralas egzistuoja, nes po integralu tolydi funkcija, o antrasisegzistuoja Koši prasme. Apibrėžkime tiesinį funkcionalą〈P 1 ∫ ∫ϕ(x)x , ϕ〉 := − ϕ(x)dx = limdx. (3.5)xε→+0 x|x|>εŠio funkcionalo tolydumas gaunamas įvertinant|〈P 1 x , ϕ〉| ∣ ∣∣ −∫ R−R∫ R−Rϕ(0) + xϕ ′ (ξ(x))xdx∣|ϕ ′ (ξ(x))|dx 2R max |ϕ ′ (x)|,|x|Rnes ϕ n −→ 0 ⇒ max|x|R |ϕ′ n(x)| ⇒ 0, kai n → ∞. Apibendrintoji funkcijaP 1 sutampa su 1 , kai x ≠ 0.x x12.3 uždavinys. Įrodykite Sochockio formules:čia1:= limx+ı0 ε→+01x + ı0 = −ıπδ(x) + P 1 x ; 1x − ı0 = ıπδ(x) + P 1 x ,1, 1:= limx+ıε x−ı0 ε→+01x−ıε .Apibrėžėme apibendrintąsias funkcijas kaip tiesinius tolydžiuosius funkcionaluserdvėje D, pavyzdžiui ˚C ∞ . Reikalaudami finitiškumo ir begalinio diferencijavimosąlygų, visų pirma gavome užtektinai daug apibendrintųjų funkcijų. Iškitos pusės, erdvė ˚C ∞ nėra siaura. Tai reiškia, kad erdvėje ˚C ∞ yra pakankamaidaug elementų, kad galėtume atskirti dvi tolydžiąsias funkcijas.Jeigu f 1 , f 2 ∈ C(R) yra dvi skirtingos funkcijos, tuomet egzistuoja tokiafunkcija ϕ ∈ ˚C ∞ , kad∫ ∞∫ ∞f 1 (x)ϕ(x)dx ≠ f 2 (x)ϕ(x)dx. (3.6)−∞Iš tikro, tarkime f(x) = f 1 (x) − f 2 (x). Jeigu f(x) ≢ 0, tai egzistuoja tokstaškas x 0 , kad f(x 0 ) ≠ 0. Tada f(x) išlaiko ženklą tam tikrame intervale (α, β),kuriam priklauso taškas x 0 . Nagrinėkime funkciją{e − 1(β−x)(x−α) , kai α < x < β,ϕ(x) =0, visiems kitiems x.Ši funkcija lygi nuliui intervalo (α, β) išorėje ir teigiama intervalo viduje, ji turivisų eilių išvestines, todėl ϕ ∈ ˚C ∞ . Be to, yra akivaizdu∫ ∞−∞f(x)ϕ(x)dx =∫ βα−∞f(x)ϕ(x)dx ≠ 0.Taigi parodėme, jog ˚C ∞ yra užtektinai didelė, kad galėtume atskirti bet kokiasdvi tolydžiąsias funkcijas.

4.Harmoninė Analizė 1163.3. Kitos apibendrintųjų funkcijų erdvėsa) Kelių kintamųjų apibendrintosios funkcijos. Apibendrintąja n kintamųjųfunkcija yra vadinamas bet kuris tolydus tiesinis funkcionalas apibrėžtaserdvėje C ∞ 0 (R n ).Bet kuri n kintamųjų lokaliai integruojama funkcija f(x) apibrėžia reguliariąjąapibendrintąją funkciją:∫〈f, ϕ〉 = f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C0 ∞ (R n ).R nb) Kompleksinės apibendrintosios funkcijos. Imkime pagrindinių funkcijųkompleksinę erdvę ˚C ∞ . Tiesiniai funkcionalai apibrėžti erdvėje ˚C ∞ vadinamikompleksinėmis apibendrintomis funkcijomis. Kompleksinėje tiesinėjeerdvėje egzistuoja tiesiniai ir jungtiniai tiesiniai funkcionalai: 〈f, αϕ〉 =α〈f, ϕ〉 ir 〈f, αϕ〉 = α〈f, ϕ〉, atitinkamai. Jeigu f(x) įprasta kompleksinėfunkcija, apibrėžta tiesėje, tai ją atitinka du funkcionalai, apibrėžti erdvėje˚C∞ :〈f, ϕ〉 1 =∫ ∞−∞f(x)ϕ(x)dx, 〈f, ϕ〉 2 =∫ ∞−∞f(x)ϕ(x)dx. (3.7)Šiai funkcijai f(x) taip pat galime pateikti jungtinius tiesinius funkcionalus:1〈f, ϕ〉 =∫ ∞−∞f(x)ϕ(x)dx, 2〈f, ϕ〉 =∫ ∞−∞f(x) ϕ(x)dx. (3.8)c) Apibendrintosios funkcijos apskritime. Tiesinius tolydžiuosius funkcionaluserdvėje C ∞ (S 1 ) mes pavadinsime apibendrintomis funkcijomis apskritime.Kiekvieną įprastą funkciją apskritime galime nagrinėti kaip periodinęfunkciją, apibrėžtą tiesėje. Galima susieti apibendrintąsias funkcijasapibrėžtas apskritime ir periodines apibendrintąsias funkcijas apibrėžtastiesėje ir tenkinančias sąlygą〈f(x), ϕ(x − a)〉 = 〈f(x), ϕ(x)〉kiekvienai pagrindinei funkcijai ϕ. Pavyzdžiui, tokia yra periodinė apibendrintojifunkcija yra∞∑cos nx.n=1d) Erdvė (S ∞ ) ∗ . Pagrindinėmis funkcijomis galėtume paimti, kaip be galokartų diferencijuojamas funkcijas visoje tiesėje, mažėjančias kartu su savoišvestinėmis greičiau negu bet kuris 1|x| laipsnis, t.y. S∞ .Kadangi ˚C ∞ ⊂ S ∞ , todėl (S ∞ ) ∗ ⊂ (˚C ∞ ) ∗ . Funkcija f(x) = e x yratolydus tiesinis funkcionalas erdvėje ˚C ∞ , bet nėra toks erdvėje S ∞ .

117 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]4. Veiksmai su apibendrintomis funkcijomisApibendrintoms funkcijoms, t.y. tolydiems, tiesiniems funkcionalams apibrėžtiemserdvėje ˚C ∞ , apibrėžiami šie veiksmai:sudėties ir daugybos iš skaliaro.Reguliarioms, apibendrintoms funkcijoms sudėtis sutampa su įprastos funkcijųsudėties operacija.12.8 apibrėžimas [perėjimas prie ribos]. Tarsime, kad seka (f n ) konverguoja įfunkciją f, jeigu kiekvienam ϕ ∈ ˚C ∞ yra išpildyta sąlyga(f n , ϕ) → (f, ϕ).Kitaip tariant, apibendrintų funkcijų sekos konvergavimą įvardijame, kaip šiossekos konvergavimą)kiekviename elemente iš erdvės ˚C ∞ . Tokią erdvę pažymėsime∗. (˚C∞12.2 pastaba. Jeigu α - begalo kartų diferencijuojama funkcija, tai akivaizdžiaireiktų apibrėžti apibendrintos funkcijos f daugybos iš α operaciją:(fα, ϕ) = (f, αϕ)(pastebėsime, kad dešinės pusės reiškinys turiprasme, nes αϕ ∈˚C∞ ). Visos šios operacijos - sudėtis, daugyba iš skaičiaus ir daugybaiš begalo daug kartu diferencijuojamos funkcijos - tolydžios.Daugybos dviejų apibendrintų funkcijų neivesime, nes reikalaujant,kad ši operacija būtų tolydi, o reguliarių apibendrintų funkcijų daugybabūtų analogiška įprastų funkcijų daugybai, galima įrodyti,kad tai yra neimanoma.12.9 apibrėžimas [apibendrintų funkcijų diferencijavimas]. Tarkime T - funkcionalasapibrėžtas tolydžiai diferencijuojamos funkcijos f erdvėje ˚C ∞ :T (ϕ) =∫ ∞−∞Šio funcionalo išvestine laikysime užrašą:dTdx (ϕ) =∫∞−∞f(x)ϕ(x)dx.f ′ (x)ϕ(x)dx.Integruodami dalimis ir prisiminę, kad ϕ(x) lygi nuliui tam tikro baigtinio intervaloišorėje, gaunamedTdx (ϕ) =∫∞−∞f ′ (x)ϕ(x)dx =∫ ∞−∞f(x)ϕ ′ (x)dx.

4.Harmoninė Analizė 118Taigi išvestine dTdxapibendrintos funkcijos T yra vadininas funkcionalas apibrėžiamasformule:dTdx (ϕ) = −T (ϕ′ ).Akivaizdu, kad funkcionalas apibrėžtas tokia formule yra tiesinis ir tolydus, t.y.gautas funkcionalas taip pat yra apibendrinta funkcija.12.1 teiginys [Be galo kartų dif-ma]. Kiekviena apibenrinta funkcija yrabegalo kartų diferencijuojama.12.2 teiginys. Jeigu apibrintų funkcijų seka (f n ) konverguoja į apibendrintafunkciją f, tai apibendrintų funkcijų išvestinių seka (f ′ n) konverguoja į atitinkamaapibendrintą funkciją f ′ . Tai yra teisinga visų eilių išvestinėms.Tai yra ekvivalentu teiginiui, jog apibendrintų funkcijų sekos narius galimadiferencijuoti kiek norima kartu panariui arba kitaip sakant po ribos ženklo.12.3 pastaba. Pastebėkime, jog jeigu f - reguliari funkcija, kurios išvestinė egzistuojair yra tolydi, tai jos išvestinė kaip apibendrintos funkcijossutampa su jos išvestine įprasta prasme.12.7 pavyzdys. Teguf(x) ={1, kaix > 0,0, kaix 0taip apibrėžta funkcija yra vadinama Hevisaido funkcija ir apibrėžia tiesinįfunkcionalą(f, ϕ) =∫ ∞0ϕ(x)dx.Prisiminę apibendrintų funkcijų išvestinės apibrėžimą gauname, kad(f ′ , ϕ) = −(f, ϕ ′ ) =∫ ∞0ϕ ′ (x)dx = ϕ(0),nes begalybės taške ϕ funkciją įgyja reikšmį lygia nuliui.12.8 pavyzdys. Iš 12.3 pastabos ir 12.7 pavyzdžio galime padaryti išvadą, kad jeigufunkciją f kuri taškuose x 1, x 2, x 3, . . . turi šuolius h 1, h 2, h 3, . . . ir yradiferencijuojama visuose kituose taškuose, tai išvestinė nuo jos kaip nuoapibendrintos funkcijos yra suma funkcijos f įprastos išvestinės taškuosekur ji egzistuoja ir reiškinys pavidalo∑h iδ(x − x i).i12.9 pavyzdys. Nagrinėkime eilutę∞∑n=1sin(nx). (4.1)n

119 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]Šios eilutės suma yra periodo 2π funkcija ir apibrėžiama intervale [−π, π]formule⎧π−x⎪⎨ , kai 0 < x π,2f(x) = − π+x , kai − π x < 0,2⎪⎩0 , kai x = 0.Išvestinė, nuo šios funkcijos kaip nuo apibendrintos funkcijos yra lygi− 1 2 +∞∑k=−∞δ(x − 2kπ) (4.2)gavome, tam tikrą apibendrintą funkciją. Iš kitos pusės diferencijuodami(4.1) eilutę panariui gausime diverguojančią eilutę∞∑cos(nx).k=1Tačiau apibendrintų funkcijų prasme ši eilutė konverguoja į (4.2) pavidalofunkciją.5. Funkcijos atstatymas naudojant išvestines. Diferencialinėslygtys apibendrintų funkcijų klasėjeNagrinėkime papraščiausia dif-lygties atvejįy ′ = f(x),f(x) - apibendrinta arba įprasta funkcija. Šios lygties sprendimas yra funkcijosatstatymo pagal išvestines uždavinio sprendimas. Tarkime f(x) ≡ 0.12.4 teorema [Funkcijos konstantos]. Tik konstantos yra sprendiniai lygtiespavidaloy ′ = 0. (5.1)Įrodymas.Lygtis (5.1) reiškia, kad(y ′ , ϕ) = (y, −ϕ ′ ) = 0 (5.2)bet kuriai pagrindiniai funkcijai ϕ ∈ ˚C ∞ . Nagrinėkime visuma tų pagrindinių) (1),funkcijų(˚C∞ kur kiekviena gali būti išreikšta kaip išvestinė kokios nors(˚C∞) (1)pagrindinės funkcijos. Akivaizdu, kad yra tiesinis poerdvis ˚C∞ erdvės.) (1),Tarkime ϕ 1 = −ϕ ′ (x); funkcija ϕ 1 įgyja visas reikšmes iš aibės(˚C∞ kai ϕįgyja visas reikšmes iš aibės ˚C ∞ . (5.2) lygybė apibrėžia funkcionalą y erdvėje) (1). (˚C∞

5.Harmoninė Analizė 120t.y.Pastebėkime, kad pagrindinė funkcija ϕ priklauso∫ ∞−∞) (1) (˚C∞ yra funkcionalo∫∞−∞) (1) (˚C∞ tik tada, kaiϕ(x)dx = 0, (5.3)ϕ(x)dxbranduolys. Iš tikro, jeigu ϕ(x) = ψ ′ (x), taiAtvirkštinis, reiškinys∫ ∞−∞ϕ(x)dx = ψ(x)| ∞ −∞= 0. (5.4)ψ(x) =∫ x−∞ϕ(t)dt (5.5)yra begalo kartų diferencijuojama funkcija. Jeigu (5.3) yra išpildyta, tai ψ(x)- finiti funkcija, o jos išvestinė yra lygi ϕ(x). Tuomet bet kurią pagrindinęfunkciją ϕ ∈ ˚C ∞ galime išreikšti pavidaluϕ = ϕ 1 + cϕ 0 , ϕ 1 ∈(˚C∞ ) (1),kur ϕ 0 yra fiksuota pagrindinė funkcija, nepriklausantisąlygą∫ ∞−∞ϕ 0 (x)dx = 1.Tam, kad gauti šią sąlygą pakanka tarti, kadc =∫ ∞−∞ϕ(x)dx,ϕ 1 (x) = ϕ(x) − cϕ 0 (x).) (1) (˚C∞ ir tenkinantiIš čia seka, jog jeigu f-nalo y reikšmes apibrėžtume panaudodami funkciją ϕ 0 (x),tai tuo pačiu funkcionalas y bus apibrėžtas visoje erdvėje ˚C ∞ . Tarę, kad(y, ϕ 0 ) = α, gausime(y, ϕ) = (y, ϕ 1 ) + c(y, ϕ 0 ) = α∫ ∞−∞ϕ(x)dx =∫ ∞−∞αϕ(x)dx.Taigi y apibendrinimas yra konstanta α, o tai ir reikėjo įrodyti.⊓⊔

121 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]12.5 teorema. Lygtisy ′ = f(x) (5.6)(˚C∞) ∗ (˚C∞) ∗.su kiekviena f ∈ turi sprendinį priklausantįĮrodymas.(5.6) lygtis reiškia, kad(y ′ , ϕ) = (y, −ϕ ′ ) = (f, ϕ) (5.7)bet kuriai pagrindinei funkcijai ϕ ∈ ˚C ∞ . Ši lygybė apibrėžia funkcionalo y) (1):reikšmę kiekvienai pagrindinei funkcijai ϕ 1 iš erdvės(˚C∞⎛⎞Toliau remiantis(y, ϕ 1 ) = ⎝f, −∫ x−∞ϕ = ϕ 1 + cϕ 0 ,ϕ 1 (ξ)dξ⎠ .kur ϕ ∈ ˚C ∞ ir tarę, kad (y, ϕ 0 ) = 0, apibrėšime funkcionalą y visoje ˚C ∞ erdvėje:⎛⎞(y, ϕ) = (y, ϕ 1 ) = ⎝f, −∫ x−∞ϕ 1 (ξ)dξ⎠ .Gautas f-nalas yra tiesinis ir tolydus. Be to tenkina (5.6) lygtį. Iš tikro, kiekvienamϕ ∈ ˚C ∞ ⎛⎞∫ x(y ′ , ϕ) = (y, −ϕ ′ ) = ⎝f, − ϕ ′ (ξ) ⎠ dξ = (f, ϕ).Taigi kiekvienai apibendrintai funkcijai turi pirmykštę funkcija. Remiantis pirmateorema, toji pirmykštė yra apibrėžiama funkcija f(x) iki konstantos dedamojovertės. Gatas rezultatas yra lengvai performuluojamas tiesinėms sistemoms.Nagrinėkime homogenišką n-tos eilės sistemą su n nežinomų funkcijųn∑y i ′ = a ik (x)y k , i = 1, 2, ..., n, (5.8)k=1kur a ik - yra be galo kartų diferencijuojamos funkcijos. Tokia sistema turi tamtikrą kiekį klasikinių sprendinių. Ir galima parodyti, jog nėra daugiau negu tamtikras fiksuotas kiekis sprendinių.Nehomogeniškoms sistemoms pavidalon∑y i ′ = a ik y k + f i , (5.9)k=1kur f i - apibendrintos, o a ik įprasto be galo kartų diferencijuojamos funkcijos.Tokioms sistemoms sprendinys egzistuoja apibendrintų funkcijų klasėje irapibrėžiamas su tikslumu iki (5.8) lygties sprendinio.−∞

6.Harmoninė Analizė 1226. Apibendrintų funkcijų Furjė transformacijaTegu S ∞ aibė begalo daug kartų diferencijuojamų funkcijų visoje tiesėje ir mažėjančiosbegalybėje kartu su savo išvestinėmis greičiau negu bet kuris funkcijos1|x| laipsnis.Imdami S ∞ kaip pagrindinę erdvę nagrinėkime atitinkama apibendrintųfunkcijų erdvę - (S ∞ ) ∗ . Apibrėžkime Furjė transformaciją. Pradžioje prisiminkime,kad erdvė S ∞ panaudojus Furjė transformaciją pervedama į save pačią,jeigu ϕ ∈ S ∞ , tai F [ϕ] ∈ S ∞ , be to F - bijekcija tarp erdvių S ∞ ir S ∞ .Remiantis šiais teiginiais, gauname sekantį apibrėžimą.12.10 apibrėžimas [apibendritų funkcijų Furjė transformacija]. Apibendrintosfunkcijos f ∈ (S ∞ ) ∗ Furjė transformacija vadinsime f-nalą g ∈ (S ∞ ) ∗ , kurisapirbėžiamas taip:Yra galimas ir kitoks užrašymas(g, ψ) = 2π(f, ϕ), kur ψ = F [ϕ]. (6.1)(F f, ψ) = 2π(f, ϕ) = 2π(f, F −1 ψ).Taigi funkcionalo f ∈ (S ∞ ) ∗ Furjė transformacija, tai funkcionalas, kuriskiekviename elemente ψ ∈ S ∞ priskiria reikšmę, kuri lygi reikšmei pradiniof-nalo f elemente ϕ = F −1 [ψ], kur F −1 - atvirkštinė Furjė transformacija.Kadangi ψ = F [ϕ] pereina visas erdvės S ∞ reikšmes, kai ϕ įgyja visas erdvėsS ∞ reikšmes, tai (6.1) lygybė iš tikro apibrėžia f-nalą visoje erdvėje S ∞ .Tiesiškumas ir tolydumas yra tiesiogiai patikrinami.Tarp (S ∞ ) ∗ elementų yra visos absoliučiai integruojamos funkcijos. Jomsaukščiau suformuluota Furjė transformacija sutampa su įprasta Furjė transformacija.Iš tikro pritaikę Planšerėlio teoremą gauname, kai f ∈ S ∞ , ϕ ∈ S ∞ ,g = F [f] ir ψ = F [ϕ], tai2π(f, ϕ) = (g, ψ). (6.2)Be to duotai f egzistuoja tik viena, su ekvivalentumo tikslumu, funkcija g,kuri tenkina duotą nelygybę su visais ϕ ∈ S ∞ . Tada panaudojus perėjimąprie ribos, visai nesudėtingai galima parodyt, kad (6.2) yra teisingas ir visomsf ∈ L 1 (−∞, ∞).12.10 pavyzdys. Tegu f(x) = c - const. Tada2π(f, ϕ) = 2π∫ ∞−∞cϕ(x)dx = 2πcψ(0),ψ = F [ϕ].Taigi konstantos Furjė transformacija lygi šiai konstantai padaugintai iš2π ir δ funkcijos.12.11 pavyzdys. Tegu f(x) = e iax . Tada2π(f, ϕ) = 2π∫ ∞−∞e −iax ϕ(x)dx = 2πψ(−a).

123 12 SKYRIUS. Apibendrintosios funkcijos [2012 09 5 (11:51)]Taigi funkcijos e iax Furjė transformacija yra pastumta δ funkcija δ(x+a),padauginta iš 2π.12.12 pavyzdys. Tegu f(x) = x 2 . Tada iš lygybėsψ ′′ (λ) = −∫ ∞−∞x 2 ϕ(x)e −iλx dxtarę, kad λ = 0 ir padauginę iš 2π, gauname2π(x 2 , ϕ(x)) = −2πψ ′′ (0).Taigi funkcijos x 2 Furjė transformacija yra antra delta funkcijos išvestinėpadauginta iš −2π.

Literatūra[1] H.P. McKean H. Dym. Fourier Series and Integrals. New York, London,Academic Press, 1972.[2] E. Misevičius. Matematinė Analizė. 1d. Vilnius:VU L., 1098.[3] E. Misevičius. Matematinė Analizė. 2d. Vilnius:VU L., 2001.[4] E.M. Stein. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions.Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1970.[5] E.M. Stein. Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, andOscillatory Integrals. Princeton, New Jersey, Princeton University Press,1993.[6] E.M. Stein, G. Weiss. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces.Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1971.[7] A. Zygmund. Trigonometric series, Vol. I. Cambridge Mathematical Library,Cambridge University Press, 2002.[8] A. Zygmund. Trigonometric series, Vol. II. Cambridge Mathematical Library,Cambridge University Press, 2002.[9] В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. Наука, 1988.[10] А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функциональногоанализа. Наука, 1989.