teorinė elektrotechnika - Vilniaus Gedimino technikos universitetas

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETASZita SAVICKIENĖTEORINĖ ELEKTROTECHNIKAPraktinės užduotys ir metodikos nurodymaiVilnius „Technika“ 2012

Z. Savickienė. Teorinė elektrotechnika: praktinės užduotys ir metodikosnurodymai. Vilnius: Technika, 2012. 124 p. [5,41 aut. l. 2012 06 04].Šis technologijos mokslų srities, elektronikos ir elektros mokslo krypties leidinysskirtas Elektronikos fakulteto pagrindinių nuolatinių ir ištęstinių studijų studentams,studijuojantiems teorinės elektrotechnikos kursą. Jame pateikiamos užduotysir metodikos nurodymai nuolatinės srovės, kintamosios srovės vienfazių ir trifaziųelektros grandinių teorinės elektrotechnikos praktinėms užduotims atlikti. Leidiniugalės naudotis ir kitų fakultetų studentai.Leidinį rekomendavo VGTU Elektronikos fakulteto studijų komitetasRecenzavo:prof. dr. Vygaudas Kvedaras, VGTU Elektrotechnikos katedraprof. habil. dr. Algimantas Juozas Poška, VGTU Automatikos katedraLeidinys parengtas vykdant projektą „VGTU Elektronikos fakulteto I pakoposstudijų programų esminis atnaujinimas“. Leidinio rengimą ir leidybą finansavoVilniaus Gedimino technikos universitetas ir Europos socialinis fondas (sutartiesNr. VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047).VGTU leidyklos TECHNIKA 1324-S mokomosiosmetodinės literatūros knygahttp://leidykla.vgtu.ltRedaktorė Reda AsakavičiūtėMaketuotojas Donaldas PetrauskaseISBN 978-609-457-143-5doi:10.3846/1324-S© Zita Savickienė, 2012© Vilniaus Gedimino technikos universitetas, 2012

TurinysĮvadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41. Nuolatinės srovės grandinių analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.1. Paprastų nuolatinės srovės grandinių analizė . . . . . . . . . . .51.2. Sudėtingų nuolatinės srovės grandinių analizė . . . . . . . . .121.2.1. Sudėtingos grandinės analizė Kirchhofo lygčiųmetodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.2. Sudėtingos grandinės analizė mazgų potencialųmetodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.2.3. Sudėtingos grandinės analizė kontūrų sroviųmetodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.2.4. Sudėtingos grandinės analizė ekvivalentiniošaltinio metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352. Vienfazių kintamosios srovės grandinių analizė . . . . . . . . . . . .452.1. Paprastų kintamosios srovės grandinių analizė . . . . . . . . .452.1.1. Nuoseklios R, L, C grandinės analizė . . . . . . . . . . .452.1.2. Lygiagrečios R, L, C grandinės analizė . . . . . . . . . .552.2. Sudėtingų kintamosios srovės grandinių analizė . . . . . . .652.3. Sudėtingų grandinių su abipusiu induktyvumu analizė . .773. Trifazių grandinių analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.1. Žvaigžde sujungtos trifazės grandinės analizė . . . . . . . . .843.1.1. Žvaigžde sujungtos simetrinės trifazėsgrandinės analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .843.1.2. Žvaigžde sujungtos nesimetrinės trifazėsgrandinės analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .873.2. Trikampiu sujungtos trifazės grandinės analizė . . . . . . . .983.2.1. Trikampiu sujungtos simetrinės trifazėsgrandinės analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .983.2.2. Trikampiu sujungtos nesimetrinės trifazėsgrandinės analizė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101Uždavinių atsakymai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106Literatūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

ĮvadasTeorinės elektrotechnikos praktinių užduočių tikslas – padėtistudentams suvokti teorinę paskaitų medžiagą, įgyti gebėjimų skaičiuotielektros grandines, patikrinti teorijoje nagrinėtus reiškinius,išmokti palyginti teorinius ir skaičiavimų rezultatus, gebėti skaičiuotielektros grandines naudojantis kompiuteriu, suformuluoti išvadas,skatinti savarankiškai dirbti.Kiekvieno skyrelio pradžioje yra pateiktos savarankiško skaičiavimograndinės, grandinių elementų parametrai ir užduotys.Toliau nurodomas skaičiavimo pavyzdys ir skaičiuojamos grandinėsmodelis naudojant kompiuterinę Multisim programą. Taikant šiuosmodelius, galima patikrinti skaičiavimo rezultatus.Praktinių užduočių rinkinyje pateikiamos užduotys nuolatinėsir kintamosios srovės paprastoms ir sudėtingoms grandinėms, taippat trifazėms kintamosios srovės grandinėms skaičiuoti.Užduočių rinkinio pabaigoje yra nurodyti užduočių atsakymai.

NUOLATINĖS SROVĖS GRANDINIŲ ANALIZĖ1. 1. 1. NUOLATINS SROVS GRANDINI ANALIZ1.1. 1.1. 1.1. Paprast Paprastų nuolatins nuolatinės srovs srovės grandini grandinių analizanalizėRasti Rasti Rasti 1.1–1.8 pav. pav. pateiktų pateiktųgrandinių:grandinių:1. 1. 1. a .1. 1. Grandinės 2. atstojamąją varžą atstojamąją varžą R 2. varžą a R.a .a.2.3. 2.2. Šakų3. ŠakųŠakų sroves.3. 3. Įtampą Įtampą tarp tarptarp a ir air irir b Ub ab U ab ab ..3. Įtampą tarp ir ab .ab .1.1–1.8 pav. pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.1 1.11.1 lentelėje.1.1–1.8 pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.1 lentelėje.je. je.R 1 R 1 1 23 41 2 3RR R 3 R 4R 1 R 2 R2 R 33 R 4R 1 R 2 R 32E7EERE7 R 7b bababa aR 4 R 4 45 5R 5 R 75 RR 57 RR 57R 6 R 6 66R 6R 61.1 1.1 1.1 pav. pav. pav. 1.2 1.21.2 pav.pav.pav.aaR 2 R 2 2R 3 R 3 3R 4 R 4 4EEbbR 5 R 5 5R 6 R 6 6R 1 R 1 1R 6 R 6 6R 1 R 1 1EER 7 R 7 7R 2 R 2 32R 3 R 3aa bbR 4 R 4R 54 R 5 5R 7 R 7 71.3 1.3 1.3 pav.pav. 1.41.4 1.4 pav.pav. pav.55

ER 1 1 R 2 2 R 33R 66aabbR 44R 55bR 11ER 4 4 R 6 6 R 55R 2 2 R 33R 77R 771.5 pav. 1.6 pav.aEaaR 4 4 R 55R 11R 33bbR 2 2 R 66ER 1 1 R 33R 5 5 R 22bbaaR 44R 66R 77R 771.7 1.7 pav. pav. 1.8 1.8 pav.pav.1.1 lentel. 1.1–1.8 pav. pateiktų grandinių elementų parametrai1.1 Pav.lentelė. 1.1–1.8 pav. pateiktų grandinių elementų parametraiE, E, V R 1 , 1 , Ω R 2 , 2 , Ω R 3 , 3 , Ω R 4 , 4 , Ω R 5 , 5 , Ω R 6 , 6 , Ω R 7 , 7 , Ωpav.Nr.E, V R 1.1 Nr.1, Ω R 2, Ω R 3, Ω R 4, Ω R 5, Ω R 6, Ω R 7, Ω24 24 1 2 12 12 3 3 4 4 2 2 661.2 1.1 12 12 24 41 4 12 12 2 412 4 1 13 6 6 4 2 2 2 2261.31.2 36 3612 24 244 12 24 24 12 124 12 121 6 6 4 42 202021.3 36 24 24 12 12 6 4 201.4 120 50 50 20 20 5 40 40 20 20 10 10 551.4 120 50 20 5 40 20 10 51.5 60 60 20 20 60 60 15 15 15 15 25 25 10 10 10101.5 60 20 60 15 15 25 10 101.6 1.6 120120 5 5 1010 10 60 6060 40 40 4030 30 307070701.7 180 10 10 10 50 50 50 5 20 20 30 30 30 60 60 60 1515151.8 72 72 5 2 6 12 12 6 6 6 6 6 33366

R47 47⋅⋅R55120 ⋅⋅60Rbd bd= = = 40 Ω..RR + + RR 120 120 ++ 606047 47 47 55ccbbccbbI 1 I 1 R R 11 R R 22R 33R 44 I 5 I 526I 3 R 55I 26 I 26 47 aI 47 I 47 ER 76R 76dI 3 I 3dI 1 I 1 R R 11 26 47 I 26 I 26 R 33I 47 I 47 I 5 I 547547R 526 26I R 47R Ia3326EEdd1.10 pav. 1.11 pav.1.10 1.10 pav. pav. 1.11 1.11 pav.pav.Mazgas b tapo tašku, varžos R 1ir R bdsujungtos nuosekliai(1.12 Mazgas pav.). Jų b b atstojamoji tapo tapo tašku, varža varžos R R 11 ir ir ir R R bd bd bd sujungtos nuosekliai(1.12 (1.12 pav.). pav.). Jų Jų atstojamoji R bd= R varža + Rbd= 20 + 40 = 60 Ω .R R Varžos R 26ir 1bd= R 26 1bdyra11+ Rprijungtosbd bd= 20 + 40 = 60Ω ..prie tos pačios įtampos (prie1bd tų pačiųVaržos mazgųR 26 26 ircirirR 1bdd) yra(1.13 prijungtos pav.) –priejos sujungtos pačios lygiagrečiaiįtampos (prie irtų tųjųpačių pačių mazgų c c ir ir ir d) d) (1.13 (1.13 pav.) pav.) – – jos jos sujungtos lygiagrečiai ir ir ir jų jų at-at-atstojamoji varža Rstojamoji varža varža R R cd cdcd cd cdR1bd⋅⋅R26 2660 ⋅120⋅Rcd cd= = = 40 Ω..RR1bd+ R26 26 60 +120ccbcR R 11II 26 26 R 33I 1 I 126 26 bdI26 3R I bd26 a 3U bdEER R bd bd bdII 26 26 R 33I 1 I 126 26 cdR II 26 3cd26 a 3 U cdEER R 1bd1bddddd1.12 pav. 1.13 pav.88Atlikus tokį pakeitimą, gaunama 1.14 pav. pateikta grandinė.Atstojamoji grandinės varža (1.15 pav.)Ra= R3 + Rcd= 60 + 40 = 100 Ω .

Atlikus tokį pakeitimą, gaunama 1.14 pav. pateikta grandinė.Atstojamoji grandinės varža (1.15 pav.)R aa= R 33+ Rcd cd= 60 60+ 40 40= 100Ω . .ccI 3 I 3R 3 3aaEU cd cdR cd cdaaEI 3 I 3R a adddd1.14 pav. 1.15 pav.2. 2. 2. Pirmiausia galima galima apskaičiuoti srovę srovę I 3 I 3I(1.14 3 (1.14 ir ir 1.15 ir 1.15 pav.). pav.). PagalPagal Omo Omo dėsnį dėsnį uždarai uždarai grandineigrandineiEE 150 150I3I= 3= = = = = 1,5 1,5 aA..RaR00a 100Lygiagrečių šakų varžos R R 26 26 ir ir R 1bdR 1bd (1.12 (1.12 ir ir 1.13 ir 1.13 pav.) pav.) yra yra prijung-prijungtosprie prie įtampos įtampos U cd cdU. . cd Šią . Šią įtampą galima surasti pagal Omo Omo dėsnįdėsnįgrandinės daliai (1.14 pav.)U UcdcdI3⋅ ⋅ cd cd1,5 ⋅ 40 ⋅ 40 60 60 . .cd = I3 ⋅ Rcd= 1,5 ⋅ 40 = 60 V .Lygiagrečių šakų srovės (1.13 pav.)Lygiagrečių šakų srovėsU(1.13 pav.)cd cd 60 60I1I1= = = 11 A; ;UR1cd60I1bd60 = = = A ;URcd 60 60I26I26= cd bd60= = 0,5 A. .UR26 26 120 60I26= cd= = 0,5 a .Lygiagrečių šakų varžos R26R 47 47 ir 20 ir R 5 5 (1.10 ir ir 1.11 pav.) yra prijungtosprie įtampos Lygiagrečių U bd bd . šakų . Šią įtampą varžos galima R surasti pagal Omo dėsnį grandi-47ir R 5(1.10 ir 1.11 pav.) yra prijungtosnės prie daliai įtampos (1.12 U pav.)bd. Šią įtampą galima surasti pagal Omo dėsnį grandinėsdaliai (1.12 pav.) U bd bd= I1I 1⋅ ⋅ Rbd bd= 11⋅ 40 ⋅ 40= 40 40 V. .Ubd= I ⋅ Rbd= 1⋅ 40 = 40 V .99Lygiagrečių šakų srovės (1.11 ir 1.12 pav.)

I47I5U bd40= = = 0,333 a ;R 2047U bd40= = = 0,667 a .R 605Srovių teisingumu galima įsitikinti, patikrinus pirmąjį Kirchhofodėsnį:Mazgui b: I1 − I47 − I5 = 1− 0,333 − 0,667 = 0 a .Mazgui c: I26 − I3 + I1 = 0,5 − 1,5 + 1 = 0 a .Mazgui d: I26 − I3 + I47 + I5 = 0,5 − 1,5 + 0,333 + 0,667 = 0 a .3. Įtampą tarp a ir b galima skaičiuoti dviem būdais:praeinant per c: Uab= I3 ⋅ R3 + I1 ⋅ R1 = 1,5 ⋅ 60 + 1⋅ 20 = 110 V .praeinant per d: U = E − I5 ⋅ R5 = 150 − 0,667 ⋅ 60 = 110 V .abAtsakymas:1. R a= 100 Ω.2. I 3= 1,5 A; I 1= 1 A; I 26= 0,5 A; I 47= 0,333 A; I 5= 0,667 A.3. U ab= 110 V.1.16 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės modelis Multisimaplinkoje. Šiuo modeliu galima patikrinti, ar teisingai išspręstas uždavinys.10

R250 Ohm70 OhmR6A260.500 R1A11.000 AA ++ -20 OhmDC 1e-009OhmDC 1e-009OhmR360 OhmU1110.000 V+ -R440 OhmV1150 VDC 1GOhmR780 Ohm-+1.500 AA3ADC 1e-009Ohm+-0.333 AA47DC 1e-009Ohm1.16 pav. 1.9 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje1.16 pav. 1.9 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje+-0.667 AA5DC 1e-009OhmR560 Ohm11

1.2. Sudėtingų nuolatinės srovės grandinių analizė1.2.1. Sudėtingos grandinės analizė Kirchhofo lygčių1.2. Sudting nuolatins metodu srovs grandini analiz1.2.1. Sudtingos grandins analiz Kirchhofo lygi metoduRasti 1.17–1.24 pav. pateiktų grandinių:Rasti 1.17–1.24 pav. pateiktų grandinių:1. Šakų sroves Kirchhofo lygčių metodu.1. Šakų sroves Kirchhofo lygčių metodu.2.2.ĮtampąĮtampą U ab ab .3. 3. Patikrinti galių balansą.1.17–1.24 pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.2 1.2 lente-lentelėje.aR 1R 3J R 1 R 2a bEER 4bR 2R 4R 3J1.17 pav. 1.18 pav.aR R 31JR 2bER 4bR 1R 2aER 3R 4J1.19 pav. 1.20 pav.12

R 2 EER 1 Ja baR 3R 3JbR 2R 4R 1R 41.21 pav. 1.22 pav.R 1aR 1 R 2E R 2 J R 3R J 3bb aER R 4 41.23 pav. 1.24 pav.1.21.2lentelė.lentel.1.17–1.241.17–1.24 pav.pav.pateiktųpateiktųgrandiniųgrandiniųelementųelementųparametraiparametraiPav.pav. Nr. Nr. E, E, V J, J, AA RR 1 , Ω1, Ω RR 2 , 2, Ω R 3 , 3, Ω R 4 4, Ω1.17 1.17 12 12 1 1 8 8 44 2 51.18 1.18 88 2 2 1 1 44 8 11.19 10 1 8 2 4 41.19 10 1 8 2 1.20 24 2 3 1 8 41.20 24 2 3 1 1.21 32 1 12 5 8 101.21 32 1 12 5 101.22 16 3 4 1 8 11.231.22241613444128 181.24 1.23 30 24 1 1 154 204 25 2 20 81.24 30 1 15 20 25 201313

PavyzdysPavyzdys PavyzdysaR 3aR 3J R 1 R 2J R 1R 2ddR 4R 4bbR 5EEc1.25 pav. Pavyzdžio c grandinė1.25 pav. Pavyzdžio grandinėDuota:Duota:Duota: E = 24 V; J = 4 A; R 1 = 4 Ω; R 2 = 2 Ω; R 3 = 8 Ω; R 4 = R 5 = 3 Ω.E = 24 V; J = 4 A; 24 V; A; R 1 Ω; = 4 Ω; R 2 Ω; = 2 Ω; R 3 Ω; = 8 Ω; R 4 = R 5= 3 Ω.Rasti:Ω.Rasti:Rasti: 1. Šakų sroves Kirchhofo lygčių metodu.1. 2.1.Šakų Įtampą Šakų srovessroves U Kirchhofo lygčių metodu.ab . Kirchhofo lygčių metodu.2. 3. 2.Įtampą Patikrinti Įtampą U ab galių . balansą.3. 3. Patikrinti galių balansą.Sprendimas1. Grandinė yra sudėtinga Sprendimas(joje yra daugiau kaip vienas skirtingose1. šakose Grandinė įjungtas yra sudėtinga šaltinis). (joje Todėl yra yra daugiau laisvai parenkamos kaip kaip vienas vienas skirtingo-grandinės skirtingosešakose srovių šakose įjungtas kryptys įjungtas šaltinis). ir šaltinis). jos pažymimos Todėl Todėl laisvai (1.26 laisvai parenkamos pav.) parenkamos (srovės grandinės I 1 grandinės , I 2 , šakų I 3 , I 4šakųšakų ir srovių I 5 ). srovių kryptys kryptys ir jos pažymimos ir jos pažymimos (1.26 pav.) (1.26(srovės pav.) (srovės I 1, I 2, I 3, I 14 , ir I 2 , I 5I).3 , I 4ir I 5 ).a I 3 R 3 da I 3 R 3 dI2I 4 I 5I I2IJ 1 R 1 R 42R 4 I 5 EIJ 1 R 1 R 2 bRI II4 III EI II b IIIc1.26 1.26 pav. pav. Pavyzdžio Pavyzdžio grandinė, grandinė, pažymėjus pažymėjus c šakų šakų srovių srovių kryptis kryptis ir ir kontūrų kontūrų1.26 pav. Pavyzdžio grandinė, apėjimo apėjimo pažymėjus kryptis kryptis šakų srovių kryptis ir kontūrųapėjimo 14kryptis14 14R 5R 5R 5

Grandinėje yra: mazgų m = 3 (a, c, d); šakų iš viso S = 6; šakųsu elektros srovės šaltiniais S J= 1; nežinomų srovių S – S J= 5.Vadinasi, 5 nežinomoms srovėms apskaičiuoti reikės sudaryti penkiųlygčių sistemą su penkiais nežinomaisiais.Pagal I Kirchhofo dėsnį galima užrašyti m – 1 = 3 – 1 = 2 nepriklausomaslygtis. Iš trijų mazgų (a, c, d) galima pasirinkti bet kuriemsdviem, pvz., mazgams a ir d, kuriuose yra sujungta po mažiaušakų (lygčių sistemos (1) ir (2) lygtys).Pagal II Kirchhofo dėsnį reikia užrašyti likusias lygtis nepriklausomiemskontūrams, kurių grandinėje yra S – S J– (m – 1) = 3.Nepriklausomi kontūrai ir jų apėjimo kryptys parenkami laisvai.Kontūras gaunamas nepriklausomas, jei į jį įeina bent vienas naujaselementas, kurio nebuvo ankstesniuose kontūruose. Į kontūrus negalimaįtraukti šakų su elektros srovės šaltiniais. Pavyzdžio grandinėjevisų trijų kontūrų (I, II, III) (1.26 pav.) apėjimo kryptys yra parinktosprieš laikrodžio rodyklės judėjimo kryptį. Pagal II Kirchhofo dėsnįlygčių sistemoje (3)–(5) lygtys.Taigi, gaunama tokia lygčių sistema:⎧a: J − I1 − I2 − I3= 0; (1)⎪⎪d: I3 − I4 + I5= 0; (2)⎪⎨i: IR − I2R2= 0; (3)⎪⎪ii: I2R2 − I3R3 − I4 ( R4 + R5) = 0; (4)⎪⎩iii:I4 ( R4 + R5) = E.(5)Į gautą lygčių sistemą įrašomi elementų parametrai:⎧I1 + I2 + I3= 4;⎪I3 − I4 + I5= 0;⎪⎨4I − 2R2= 0;⎪2I2 − 8I3 − 6I4= 0;⎪⎪ ⎩6I4 = 24.15

Šią lygčių sistemą galima spręsti kompiuteriu naudojantis programaMathcad.E := 24 J := 4 R1 := 4 R2 := 2 R3 := 8 R4 := 3 R5 := 3 1 1 1 0 0 J 0 0 1 −1 10 R := R1−R2 0 0 0E := 0 0 R2 −R3 −( R4 + R5)00 0 0 0 R4 + R5 0 E 1 1 1 0 0 4 0 0 1 −1 1 0 R = −4 2 0 0 0 E = 0 0 −2 8 6 00 0 0 0 6 0 24 2 4 I := lsolve( R,E)I = −2 4 6 I1 := I 0 I2 := I 1 I3 := I 2 I4 := I 3 I5 := I 4I1 = 2 I2 = 4 I3 = −2I4 = 4 I5 = 6Taigi, kompiuteriu išsprendę šią 5 lygčių sistemą, gauname:Taigi, kompiuteriu išsprendę šią 5 lygčių sistemą, gauname:I = 2 A ; I 2 = 4 a ; I 3 = − 2 A ; I 4 = 4 a ; I 5 = 6 a .I 1 = 2 A ; I 2 = 4 A ; I 3 = − 2 A ; I 4 = 4 A ; I 5 = 6 A .Srovę ISrovę I3 gavome su minuso ženklu. Tai reiškia, kad iš tikrųjų3 gavome su minuso ženklu. Tai reiškia, kad iš tikrųjųšios srovės kryptis yra priešinga (ne iš mazgo a į d, bet iš d į a).šios srovės2. Įtampąkryptistarpyraapriešingair b U(ne iš mazgo a į d, bet iš d į a).abgalima skaičiuoti dviem būdais:2. Įtampą tarp a ir b U ab galima skaičiuoti dviem būdais:praeinantpraeinantperperc:c: UU ab = Iab = I 2 ⋅ R2 ⋅ R 2 − I2 − I 4 ⋅ R4 ⋅ R 5 = 4 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = − 4 V5 = 4 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = − 4 V ;;praeinant per per d: d: Uabab= = I I33⋅ R⋅ R33+ + I I44⋅ R⋅ R44= = ( −( −2 2)⋅ ) 8⋅ 8+ + 44⋅ 3⋅ 3= = − − 44 VV. .Abiem būdais gaunama ta pati 16 įtampa.16

Abiem būdais gaunama ta pati įtampa.Minuso ženklas reiškia, kad mazgo a potencialas yra žemesnisnegu b.3. Pagal galių balanso principą varžų galių suma turi būti lygišaltinių galių sumai.Varžų galia lygi atskirų varžų galių sumai:R( )2( ) ( )2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4 52 2 2P = I ⋅ R + I ⋅ R + I ⋅ R + I ⋅ R + R =2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 + −2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 3 + 3 = 176 W.Šaltinių galia apskaičiuojama kaip elektrovaros šaltinio ir elektrossrovės šaltinio galių suma:P = P + P = E ⋅ I + J ⋅ U .EJ E J 5 acSrovės šaltinio gnybtų įtampa, nukreipta iš pliuso į minusą,TadaUac= I ⋅ R = 2 ⋅ 4 = 8 V .P = 24 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 = 176 W .EJGaunama, kad PR= PEJ.Atsakymas:1. I = 2 A ; I 2 = 4 a ; I 3 = − 2 A ; I 4 = 4 a ; I 5 = 6 a .2. U ab= –4 V.3. P R= P EJ= 176 W.1.27 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės modelis Multisimaplinkoje. Šiuo modeliu galima patikrinti, ar teisingai apskaičiuotossrovės ir įtampa U ab.17

J4 A+-2.000 AR14 OhmR38 OhmA3+ --2.000 ADC 1e-009OhmR43 OhmA1DC 1e-009OhmU1+ --4.000 VDC 1MOhm+-4.000 AA2DC 1e-009OhmR53 Ohm-+R22 Ohm+-4.000 AA4DC 1e-009Ohm1.27 pav. 1.25 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeE24 V6.000 AU6ADC 1e-009Ohm18

1.2.2. Sudėtingos grandinės analizė mazgų potencialųmetodu1.2.2. Sudtingos grandins analiz mazg potencial metoduRasti 1.28–1.35 pav. pateiktų grandinių:Rasti 1.28–1.35 pav. pateiktų grandinių:1.1.ŠakųŠakųsrovessrovesmazgųmazgųpotencialųpotencialųmetodu.metodu.2. Patikrinti galių galių balansą.1.28–1.35 pav. grandinių elementų parametrai pateikti 1.3 1.3 lente-lentelėje.E 1R 5R 4E 6ER 24R 1R 3E 1R E 33R 2R 6R 1R 51.28 pav. 1.29 pav.R 3R 2 E 4R 6E 1R 1R 5R 4R 2R 1E 6E 3R 6R 51.30 pav. 1.31 pav.19

E 1E 6R 4R 2R 5 R 4R 1R 3R 6E 1R 5E 3 E 2R 3R 11.32 pav. 1.33 pav.R 3R 6 E 6R 1R 2 R 4 E 6 R 1 R 2E 2 E 3R 5R 4 R 51.34 pav. 1.35 pav.1.3 lentel. 1.28–1.35 pav. pateiktų grandinių elementų parametrai1.3 Pav. lentelė. E 1 , 1.28–1.35 E 2 , E pav.3 , Epateiktų 4 , E 6 , grandinių R 1 , Relementų 2 , R 3 , parametrai R 4 , R 5 , R 6 ,Pav. Nr. EVV V V V Ω Ω Ω Ω Ω Ω1, E 2, E 3, E 4, E 6, R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6,Nr. 1.28 100 V V– V– V– 50 V 10 Ω 40 Ω 10 Ω 100 Ω 50 Ω – Ω1.281.2910040 15–40– – 50– 1010 40– 141050100305020–1.30 48 – 24 30 15 10 – 40 601.29 40 15 40 – – 10 – 14 50 30 201.31 – 36 24 5 10 – 20 6 121.30 48 – – 24 – 30 15 10 – 40 601.32 100 120 100 40 20 80 50 –1.31 – – 36 – 24 5 10 – 20 6 121.33 50 20 80 – 20 – 30 10 50 401.321.34100– 48– – – 120121006403 820280450 –1.33 1.35 50 – 20 – 80 12 – 24 – 20 4 3 – – 30 210 650 2401.34 – 48 – – 12 6 3 8 2 4 –1.35 – – 12 – 24 4 3 – 2 6 22020

R 6R 7PavyzdysE E 2J8R R3 R4R 2E 51.36 pav. Pavyzdžio grandinėDuota:E 1= 50 V; E 2= 20 V; E 5= 100 V; J 8= 1 A; R 1= 40 Ω;R 2= 20 Ω; R 3= 50 Ω; R 4= 10 Ω; R 6= 10 Ω; R 7= 10 Ω.Rasti:1. Šakų sroves mazgų potencialų metodu.2. Patikrinti galių balansą.Sprendimas1. Pirmiausia laisvai parenkamos ir pažymimos grandinėsšakų srovių kryptys (I 1– I 7) (1.37 pav.). Grandinėje yra 8 šakos(S = 8), viena šaka su srovės šaltiniu (S J= 1). Nežinomų srovių yraS – S J= 8 – 1 = 7. Grandinėje yra 4 mazgai (m = 4). Tokios grandinėsanalizei taikant Kirchhofo lygčių metodą reikėtų sudaryti irspręsti septynių lygčių sistemą (S – S J= 8 – 1 = 7).Lygčių, o kartu ir nežinomųjų skaičių galima sumažinti ikim – 1 = 4 – 1 = 3 taikant mazgų potencialų metodą.21

2I 1 I 2E 1 E 2R 6R 7J 8RI 61I 7 R 2R 3 I 3R 4 I 43 41E 5 I51.37 pav. Pavyzdžio grandinė, laisvai parinkus ir pažymėjus srovių kryptisir sunumeravus laisvai parinkus mazgus ir pažymėjus srovių kryptis1.37 pav. Pavyzdžio grandinė,ir sunumeravus mazgusŠios grandinės 1, 2, 3 ir 4 mazgų potencialai V 1, V 2, V 3ir V 4.Pasirinkime Šios grandinės vieno grandinės 1, 2, 3 ir 4 mazgo mazgų potencialą, potencialai lygų V 1 , Vnuliui. 2 , V 3 ir Kadangi V 4 . Pasirinkimevienograndinės penktojegrandinėsšakojemazgoyra tikpotencialą,idealus elektrovaroslygų nuliui.šaltinis,Kadangitaireikiagrandinėsprilygintipenktojenuliuišakojekurioyranorstikmazgoidealus(3elektrovarosarba 4), priešaltinis,kuriotaiyrareikia prilyginti nuliui kurio nors mazgo (3 arba 4), prie kurio yraprijungtas šis šaltinis, potencialą. Pvz., Vprijungtas šis šaltinis, potencialą. Pvz., V 4= 0, tada praėjus per šaką4 = 0, tada praėjus per šakąsu idealiu EV šaltiniu Esu idealiu EV šaltiniu 5trečio mazgo potencialas5 trečio mazgo potencialasV 3 = V 4 + E5 = 100 00 V..Vadinasi, lieka nežinomi tik tik dviejų mazgų mazgų potencialai potencialai VV 1 ir 2 .Todėl reikia sudaryti dviejų lygčių sistemą šiems dviem nežinomiemsmazgų potencialams apskaičiuoti:1ir V 2.Todėl reikia sudaryti dviejų lygčių sistemą šiems dviem nežinomiemsmazgų potencialams apskaičiuoti:G11V 1 + G12V 2 + G13V 3 = JM1;⎧G11V 21 1 + G 12V 22 2 + G 13V 23 3 =JM12.;⎨Toliau skaičiuojami ⎩G21V 1laidžiai + G22Vir 2 + mazgų G23V3 srovės. = JM2.Toliau Mazgų skaičiuojami laidžiai (savieji) laidžiai (su vienodais ir mazgų indeksais, srovės. visada teigiami)lygūs Mazgų visų, prie laidžiai atitinkamo (savieji) mazgo (su vienodais prijungtų šakų indeksais, laidžių visada sumai: teigiami)lygūs prie 1-ojo visų, mazgo prie prijungtos atitinkamo 3 mazgo šakos, todėl prijungtų šakų laidžių sumai:2222

prie 1-ojo mazgo prijungtos 3 šakos, todėl= + + = 0 0,2 sR+ R+ ∞= 50 + 10+ = ;G11 G3 G4G J3 4prie 2-ojo mazgo prijungtos 5 šakos, todėl = + + + + = + + + + =R R R R ∞G22 G1 G2 G6 G7G J1 2 6 7 + + + + 0 = 0,275 S.40 20 10 10Mazgų abipusiai laidžiai (su nevienodais indeksais) lygūs atitinkamusmazgus tiesiogiai jungiančių šakų laidžių sumai su minusoženklu:1-ąjį ir 2-ąjį mazgus tiesiogiai jungia viena šaka – šaka su idealiuelektros srovės šaltiniu J 8:G2= G2= − G J = − = 0 s ;∞1-ąjį ir 3-iąjį mazgus tiesiogiai jungia viena šaka – šaka su rezistoriumiR 3: G13 = G31 = − G3= − = − = − 0,02 s ;R3502-ąjį ir 3-iąjį mazgus tiesiogiai jungia dvi šakos – šaka su rezistoriumiR 1ir šaka su rezistoriumi R 6:⎛ ⎞ ⎛ ⎞G23 = − ( G1 + G6) = − ⎜ + ⎟ = − ⎜ + ⎟ = −0,125 S.⎝ R1 R6⎠ ⎝ 40 10 ⎠Mazgų srovės:prie 1-ojo mazgo prijungtų šakų su EV šaltiniais nėra, o yraviena šaka su idealiu elektros srovės šaltiniu J 8, kuris nukreiptas įpirmąjį mazgą, todėl srovę rašome su pliuso ženklu:J = ∑ EG + ∑ J = 0 + J = A ;M1 8(1) (1)23

prie 2-ojo mazgo yra prijungtos dvi šakos su EV šaltiniais irviena su elektros srovės šaltiniu: EV šaltiniai E 1ir E 2yra nukreipti įmazgą, todėl sandaugos EG ir E2G2užrašomos su pliuso ženklu;elektros srovės šaltinis J 8nukreiptas nuo antrojo mazgo, todėl rašomassu minuso ženklu:E EJ = EG + J = E G + E G − J = + − J = 2M 2 ∑ ∑ 1 1 2 2 8 8(2) (2) R R250 20+ − 1 = 1,25 a.40 20Visos apskaičiuotos laidžių ir mazgų srovių vertės įrašomos įlygčių sistemą. Ją išsprendus, randami mazgų potencialai V 1ir V 2:⎧0,12 ⋅V − 0 ⋅V2− 0,02 ⋅ 100 = 1;⎨⎩ − 0 ⋅ V + 0,275 ⋅ V2− 0,125 ⋅ 100 = 1,25.⎧0,12 ⋅ V= 3;⎨⎩0,275⋅ V2= 13,75.Išsprendę gauname:V 1= 25 V;V 2= 50 V.Grandinės šakų srovės apskaičiuojamos pagal Omo dėsnį grandinėsdaliaiUI =II2ababb+ ∑ Ea:RV3 − V2 + E1100 − 50 + 50= = = 2,5 a ;R40V4 − V2 + E20 − 50 + 20= = = −1,5 a;R202V3 −V1100 − 25I3= = = 1,5 a;R 50324

I4V1 −V425 − 0= = = 2,5 a .R 04Penktos šakos srovės pagal Omo dėsnį kol kas negalima apskaičiuoti.Ją bus galima surasti, kai bus apskaičiuotos likusios srovės.V2 −V350 −100I6= = = − 5,0 a ;R 0I76V2 −V450 − 0= = = 5,0 a .R 07Penktos šakos srovę I 5galima apskaičiuoti užrašius I Kirchhofodėsnį 3-iajam arba 4-ajam mazgui. Pvz., jei užrašytume 3-iajam mazgui:− I1 + I6 − I3 + I5 = 0 ,25( )I5 = I1 − I6 + I3 = 2,5 − − 5,0 + 1,5 = 9 a .Srovės I 2ir I 6gautos su minuso ženklu, reiškia jų kryptys yrapriešingos, negu buvo parinktos (1.37 pav.).2. Grandinės varžų galia:2 2 2 2 2 2P = I R + I R + I R + I R + I R + I R =R1 1 2 2 3 3 4 4 6 6 7 7( ) ( )2 2 2 222,5 40 + − 1,5 20 + 1,5 50 + 2,5 10 + − 5,0 10 +25,0 10 = 970 W.Grandinės šaltinių galia:P = P + P = E I + E I + E I + J ( V − V ) =EJ E J1 1 2 2 5 5 8 1 2( )50 ⋅ 2,5 + 20 ⋅ − 1,5 + 100 ⋅ 9 + 1(25 − 50) = 970 W.Gautos varžų ir šaltinių galios yra vienodos: PR= PEJ.Atsakymas:1. I = 2,5 a ; I 2 = − 1,5 a ; I 3 = 1,5 a ; I 4 = 2,5 a ;I 5 = 9 A ; I 6 = − 5 a ; I 7 = 5 a ;2. PR= PEJ= 970 W .1.38 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės modelis Multisimaplinkoje.

R140 OhmA1+ -2.500 A-A2+-1.500 ADC 1e-009OhmDC 1e-009OhmE150 VA6A7--5.000 A ++ -5.000 ADC 1e-009OhmI21 ADC 1e-009OhmR6R710 Ohm10 OhmA3+ -1.500 ADC 1e-009OhmR350 OhmA4+ -2.500 ADC 1e-009OhmR410 OhmE5A5-+9.000 ADC 1e-009Ohm100 V1.38 pav. 1.25 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeE220 VR220 Ohm26

1.2.3. Sudėtingos grandinės analizė kontūrų sroviųmetodu1.2.3. Sudtingos grandins analiz kontr srovi metoduRasti 1.39–1.46 pav. pateiktų grandinių:Rasti 1.39–1.46 pav. pateiktų grandinių:1. Šakų sroves kontūrų srovių metodu.1. Šakų sroves kontūrų srovių metodu.2.2.ĮtampąĮtampą U ab .3. 3. Patikrinti galių balansą.1.39–1.46 pav. grandinių elementų parametrai pateikti pateikti 1.4 1.4 lente-lentelėje.aR 1R 3R 2 R 4 E 5E 1baR 1R 2R 3R 4E 6E 5b1.39 pav. 1.40 pav.R 3a E 2R 1R 1R 2E 4E 5R 6E 3R 5abR 4R 6b1.41 pav. 1.42 pav.27

R 2R E 41 R 5aE 2aR 1R 3R 4R 2E 6E 5bR 3b1.43 pav. 1.44 pav.R 1bR 2E 3R 4aR 5E 6aRE 21E 3R 5R 4R 6b1.45 pav. 1.46 pav.1.4 lentel. 1.39–1.46 pav. pateiktų grandinių elementų parametrai1.4 Pav. lentelė. E 1 , 1.39–1.46 E 2 , E 3 , pav. E 4pateiktų , E 5 , grandinių E 6 , R 1 , elementų R 2 , R 3 , parametrai R 4 , R 5 , R 6 ,Pav. Nr. VE V V V V V Ω Ω Ω Ω Ω Ω1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6, R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6,1.39 16 – – – 24 – 4 2 8 6 – –Nr. V V V V V V Ω Ω Ω Ω Ω Ω1.40 – – – 10 30 20 25 10 60 – –1.39 16 – – – 24 – 4 2 8 6 – –1.41 – 24 12 – 3 6 2 – – 41.40 – – – – 10 30 20 25 10 60 – –1.42 10 20 – – – 25 – – 30 40 801.411.43 –16– –2424–12––636682––12––41.42 1.44 – 10 – – 20 –– 8 – 28 – 24 25 18 – 20 – 3630 – 40 – 801.43 1.45 – 16 – 36 – – 24 –– 12 – 36 66 – 8 2 – 412 ––1.44 1.46 – 10 – 24 – –– – 8 – 28 524 – 18 – 20 336 4 – 8 –1.45 – – 36 – – 12 3 6 – 2 4 –1.46 – 10 24 – – – 5 – – 3 4 82828

PavyzdysR 1E 1E 2E 3R 5R 6R 4R 2baE 41.47 1.47 pav. pav. Pavyzdžio grandinėDuota: Duota:EE 1 = 1= 100 100 V; V; EE 2 2 = = 30 30 V; V; E 33 = 10 10 V; V; E 4 = 6 V; V;RR 1 = 1= 10 10 Ω; Ω; RR 2 = 2= 10 10 Ω; Ω; RR 4 4 = = 77 Ω; Ω; RR 5 5 = = 55 Ω; Ω; RR 6 6 = = 15 15 Ω. Ω.Rasti: Rasti:1. 1. Šakų Šakų sroves sroves kontūrų kontūrų srovių srovių metodu. metodu.2. 2. Įtampą UU ab ab . .3. 3. Patikrinti galių galių balansą.Sprendimas1. 1. Pirmiausia laisvai parenkamos ir ir pažymimos grandinės šakųsrovių kryptys. Grandinėje yra yra 6 šakos (S = 6), šakų su srovės šaltiniainiaisnėra nėra (S (S J = J= 0). 0). Nežinomų srovių yra yra S S – – S JS= J= 6. 6. Grandinėje yra yra 4mazgai 4 mazgai (m (m = 4). = 4). Tokios Tokios grandinės analizei analizei taikant taikant Kirchhofo lygčių lygčiųmetodą reikėtų reikėtų sudaryti sudaryti ir spręsti ir spręsti 6 lygčių 6 lygčių sistemą sistemą S – S Jmetodą S = – 6. S J= 6.Lygčių, o o kartu ir ir nežinomųjų skaičių galima sumažinti ikiSS− −S S −−( m( m− − 1) 1) = = 66− −0 0 −−(4 (4− − 1) 1) = = 33taikant kontūrų srovių metodą.J J29

Pavyzdžio grandinėje yra 3 nepriklausomi kontūrai. Tegul kiek-kiekvienamekontūre teka teka savos savos kontūro srovės srovės I 11 , I 11I 22 , Iir 22Iir 33 I 33(1.48 (1.48 pav.). pav.). Jųkryptys Jų kryptys parenkamos parenkamos laisvai. laisvai. Tarkime, pirmos kontūro srovės II 11 11kryptis kryptis yra yra pagal pagal laikrodžio rodyklės judėjimo kryptį, o antros I 2222ir irtrečios trečios I33 I –33– prieš prieš laikrodžio rodyklės judėjimo kryptį. kryptį.R 1EI 11I 11E 3 ER 2I 3 2 I 2I 4R 6 R 5R 4I 33 aI 22bE 4I 6I 51.48 pav. Pavyzdžio grandinė, parinkus šakų ir kontūrų sroves1.48 pav. Pavyzdžio grandinė, parinkus šakų ir kontūrų srovesLygčių sistema trims nežinomų kontūrų srovėms skaičiuoti:Lygčių sistema ⎧Rtrims nežinomų kontūrų srovėms skaičiuoti:11I11 + R12I22 + R13I33 = E11;⎪11 11 12 13I33 11;⎨R21I11 + R22I22 + R23I33 = E22;⎪21 11 22 22 23 33 22;⎩R31I11 + R32I22 + R33I33 = E33.R31I11 + R32 I22 + R33I 33 = E33.Toliau skaičiuojamos kontūrų varžos, kontūrų bendrosios varžosToliau ir kontūrų skaičiuojamos elektrovaros. kontūrų varžos, kontūrų bendrosios varžosir kontūrų Kontūrų elektrovaros. varžos (su vienodais indeksais) lygios visų atitinkamokontūro Kontūrų varžų varžos sumai (su (visada vienodais teigiamos): indeksais) lygios visų atitinkamokontūro 1-ojo varžų kontūro sumai varža (visada R teigiamos): = R + R2 = 0 + 0 = 20 Ω ;1-ojo 2-ojo kontūro varža varža R11 = R1 + R2 = 10 + 10 = 20 Ω ;22 = R2 + R4 + R5 = 10 + 7 + 5 = 22 Ω ;2-ojo 3-iojo kontūro varža varža R22 R = R2 + R4 + R5 = 10 + 7 + 5 = 22 Ω ;33 = R4 + R6 = 7 + 15 = 22 Ω .3-iojo kontūro varža R33 = R4 + R6 = 7 + 15 = 22 Ω .3030

Kontūrų bendrosios varžos (su nevienodais indeksais) lygiosdviejų kontūrų bendros grandinės dalies varžai, užrašytai su pliusuarba minusu. Kai kontūrų srovių kryptys bendroje varžoje sutampa,rašomas pliusas, o kai priešingos – minusas:1-ojo ir 2-ojo kontūrų bendra varža R2 = R2 = R2 = 0 Ω ;1-ojo ir 3-iojo kontūrų bendra varža R13 = R31 = 0 Ω ;2-ojo ir 3-iojo kontūrų bendra varža R23 = R32 = − R4 = −7Ω .Kontūrų elektrovaros lygios tuose kontūruose esančių elektrovarosšaltinių EV algebrinei sumai. Kai EV kryptis sutampa su kontūrosrovės kryptimi, E rašoma su pliusu, kai kryptys priešingos – suminusu:1-ojo kontūro elektrovaraE11 = E1 − E2 − E3 = 100 − 30 − 10 = 60 V ;2-ojo kontūro elektrovaraE22 = − E2 + E4 = − 30 + 6 = − 24 V ;3-iojo kontūro elektrovaraE33 = −E3 − E4 = −10 − 6 = − 16 V .Į lygčių sistemą įrašę visas apskaičiuotas kontūrų varžų, kontūrųbendrųjų varžų ir kontūrų elektrovarų vertes gauname:⎧20I11 + 10I22 + 0I33= 60;⎪⎨10I11 + 22I22 − 7I33= −24;⎪⎩ 0I11 − 7I22 + 22I33= −16.Pirmąją lygtį galima suprastinti iš 10. Tada gauname:⎧ 2 I11 + I22 + 0 I33= 6;⎪⎨10I11 + 22 I22 − 7I33= −24;⎪⎩ 0 I11 − 7I22 + 22I33= −16.Tokią lygčių sistemą galima spręsti įvairiai. Pvz., taikantKramerio metodą:2 06 1 0D = 10 22 − 7 = 650; D = −24 22 − 7 = 3250 ;0 −7 22−16 −7 2231

222 6 02 1 6D = 10 −24 − 7 = −2600; 3332D = 10 22 − 24 = −1300.0 −16 220 −7 −16Kontūrų srovės:D3250I= = = 5 a ;D 650D22−2600I22= = = − 4 a ;D 650D33−1300I33= = = − 2 A .D 650Grandinės tikros šakų srovės:I = I = 5 a ;( )I2 = −I − I22 = −5 − − 4 = − 1 a ;( )I3 = I11 + I33 = 5 + − 2 = 3 a ;( ) ( )I4 = I22 − I33 = −4 − − 2 = − 2 a ;I5 = − I22 = 4 a ;I6 = I33 = − 2 A .Lygčių sistemą galima spręsti ir naudojant, pvz., programų paketąMathcad:⎡ 2 0 ⎤ ⎡ 6 ⎤R K : =⎢10 22 −7⎥⎢ ⎥; E K : =⎢24⎥⎢− ⎥;⎢⎣0 −7 22⎥⎦⎢⎣−16⎥⎦( )I : = lsolve R ; E ;K K KI K⎡ 5 ⎤: =⎢4⎥⎢− ⎥.⎢⎣−2⎥⎦

Srovės I 2, I 4ir I 6gautos su minuso ženklu, reiškia jų kryptys yrapriešingos, negu buvo parinktos (1.48 pav.).2. Įtampą tarp a ir b U abgalima skaičiuoti dviem būdais:praeinant per R 4, R 2ir E 2:Uab= −I4 ⋅ R4 + I2 ⋅ R2 − E2 = −( −2) ⋅ 7 + ( −1)⋅10 − 30 = − 26 V;praeinant per E 4ir R 5:Uab= −E4 − I5 ⋅ R5 = −6 − 4 ⋅ 5 = − 26 V .Abiem būdais gaunama ta pati įtampa.Minuso ženklas reiškia, kad a potencialas yra žemesnis negu b.3. Grandinės galių balanso tikrinimas:a) grandinės varžų galia:2 2 2 2 2 21 1 2 2 4 4 5 5 6 62 22( ) ( )( )P = I R + I R + I R + I R + I R = 5 10 + − 1 10 +R− 2 7 + 4 5 + − 2 15 = 428 W.b) grandinės šaltinių galia2( )PE= PE= E1I1 + E2I2 − E3I3 + E4I4 = 100 ⋅ 5 + 30 ⋅ −1.−10 ⋅ 3 + 6( − 2) = 428 W.Gautos grandinės varžų ir šaltinių galios yra vienodos PR= PEJ.Atsakymas:1. I = 5 a ; I 2 = − A ; I 3 = 3 a ; I 4 = − 2 A ; I 5 = 4 a ;I 6 = − 2 A .2. U ab = − 26 V .3. P = P = 428 W .RE1.49 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės modelis Multisimaplinkoje.33

R615 OhmR110 OhmE1100 VA15.000 A+ -DC 1e-009OhmU7A3.000 +E3E2R210 OhmDC 1e-009Ohm10 V30 V+A4A-2.000 A DC 1e-009Ohm-R47 OhmU1+ --26.000 VDC 1MOhmA6+ --2.000 AV46 V-A54.000 A +DC 1e-009OhmDC 1e-009Ohm1.49 pav. 1.47 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeA2-1.000 A+ -DC 1e-009OhmR55 Ohm34

1.2.4. Sudėtingos grandinės analizė ekvivalentinio šaltiniometodu1.2.4. Sudtingos grandins analiz ekvivalentinio šaltinio metoduekvivalentinio šaltinio meto-1.2.4. Sudtingos grandins analizduUžduočių grandinės pateiktos 1.50–1.57 1.50–1.57 pav. pav.Užduočių grandinės pateiktos 1.50–1.57 pav.1R 1 3R 34E 43I 35R 56R 62E 2Duota:Duota:E 2 = 9 V; V; E 44 = 12 12 V; V;ER 2 =1 93 V; Ω; E R 4 =5 5 = 12 4 Ω;V; Ω; R 6 6= 6 Ω. Ω.Rasti: R 1 = 3 Ω; R 5 = 4 Ω; R 6 = 6 Ω.Rasti:1. I 3ekvivalentinio šaltinio metodu, metodu,3 ekvivalentinio1. Ikai kai R 3 = 3 0; 2; 0; 2; 4; 4;šaltinio6; 6; 8; 8; 10 10metodu,kai RΩ. Ω.2. Nubraižyti 3 = 0; 2; 4; 6; 8; 10 Ω.priklausomybę2. Nubraižyti I 3 =f(R 3 ). priklausomybęI 33 =f(R =f(R 3 ). 3).1.50 pav.1.50 pav.1 R 21 I 23R 34E 42R 25E 56R 61.51 pav.1.51 pav.1.51 pav.Duota: Duota:4 16 V; 5 V;E 41 = 16 16Ω;V; V; E 5 3 5 = 88 Ω;V; V;6 12 Ω.Rasti:R 1 = 3 Ω; Ω; R 3 3 = = 66 Ω; Ω; RR 6 = 6= 12 12 Ω. Ω.Rasti:1. 2 ekvivalentinio šaltinio meto-1. Idu, 2ekvivalentinio šaltiniokai 2 0; 2; 4; metodu,6; 8; 10metodu,kai kai R 2Ω.2. Nubraižyti R= 2 0; = priklausomybę 2; 0; 2; 4; 4; 6; 6; 8; 8; 10 10 Ω. Ω.2. Nubraižyti 2 f(R 2 ).priklausomybęII 2 f(R 2 ).2= f(R 2).35

2R 22Duota:Duota:Duota:5E 55Rasti:Rasti:3 4Rasti:3 4R R 43 4I 446R 661E 11Duota:E 1 = 15 15 V; V; E 55 = 12 12 V; V;ER 2 15 6 Ω; Ω;V; R 33 412Ω; Ω;V;1 = 15 V; E 5 = 12 V;R 6 6= 5 Ω. Ω.R Ω; Ω; Ω.2 = 6 Ω; R 3 = 4 Ω; R 6 = 5 Ω.1. ekvivalentinio šaltinio metodu, metodu,4 kai ekvivalentinio kai R 4 = 4 0; 3; 0; 3; 6; 6; 9; šaltinio 9; 12; 12; 15 15 meto-Ω. Ω.1.1. I ekvivalentinio šaltinio metodu,kai 2. 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.Nubraižyti du, kai R 4 = 2. Nubraižyti priklausomybępriklausomybę0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.2. Nubraižyti I 4 f(R 4 ).4 f(R f(R ). 4).priklausomybęI 4 = f(R 4 ).1.52 pav.1.52 pav.1 2 1 2 Duota:E 1 R 2 Duota:1 10 V; 3 V;1 = 10 10 V; V; E 3 = 8 V; V;E 2 Ω; 4 Ω; 6 Ω.31 = 10 V; E 2 4 Ω; R 3 = 8 V;4 9 Ω; Ω; R 6= 6 Ω. Ω.E 3 Rasti: R 2 = 4 Ω; R 4 = 9 Ω; R 6 = 6 Ω.3Rasti:Rasti: 1. 5 ekvivalentinio šaltinio meto-1. meto-4 5 5 du, ekvivalentinio šaltinio metodu,1. I 5 ekvivalentinio kai 5 0; 5; šaltinio 10; 15; metodu,kai R 5 = 0; 5; 10; 15; 20;20;R 4 5 5du, kai kai R 5; 10; 15; 20;4 25 Ω. 5= 0; 5; 10; 15; 20; 25 Ω.I R 5 525 Ω.2.2.NubraižytiNubraižyti 25 Ω. priklausomybępriklausomybę62. Nubraižyti priklausomybę62. Nubraižyti I 5 f(R 5 ).5= f(R f(R ).5). priklausomybęR 6I 5 = f(R 5 ).1.53 pav.1.53 pav.4 5 E 4 R 5 2E 21I 11R 16R 63R 31.54 pav.1.54 pav.1.541.54pav.pav.Duota:Duota:2 V; 4 12 V;E V; 12 V;3 2 = 9 Ω; V; E 45 4 = 12 12 Ω; V; V;6 Ω.Rasti:R Ω; Ω; Ω.Rasti: 3 = 2 Ω; R 55 = 44 Ω; Ω; RR 6 = 6= 66 Ω. Ω.Rasti: 1. 1 ekvivalentinio šaltinio meto-kai 1 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.1. ekvivalentinio šaltinio metodu,11. Idu, ekvivalentinio šaltinio metodu, metodu,kai R 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.kai 2. Nubraižyti kai R 1 = priklausomybę0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.2.2.Nubraižyti 1= 0; 3; 6; 9; 12; 15 Ω.priklausomybę2. Nubraižyti 1 f(R 1 ).I f(R ). priklausomybę1 f(R 1 ).I 1= f(R 1).36363636

I 11I 1I 22I 2R 1 R 21 Duota:R 21 R 2Duota:E 4 = 16 V; E 55 = 8 V; V;RDuota:3R 42 16 4 Ω; V; R 3 35 66 Ω; V; Ω; RR 6 = 6= 12 12 Ω. Ω.E3Rasti:4 = 16 V; E2 Ω; 5 = 8 V;E R 3 Ω; 6 12 Ω.34 E R5 Rasti: 2 = 4 Ω; R 3 = 6 Ω; R 6 = 12 Ω.1. I 1ekvivalentinio šaltinio metodu, meto-45Rasti:E 4 E 1. du, 1 kai ekvivalentinio kai R R 1 1= 0; = 3; 0; 3; 6; 6; 9, šaltinio 9, 12, 12, 15 15 metodu,1 ekvivalentinio šaltinio meto-5Ω.1. IΩ.2. 2. Nubraižyti kai 1 priklausomybę0; 3; 6; 9, 12, 15 Ω.R 6 2. Nubraižytidu,I 1 kaif(RR1 ). 1 =I 1= f(R 1).priklausomybę0; 3; 6; 9, 12, 15 Ω.2. Nubraižyti6 1 f(R 1 ).priklausomybęR 6 I 1 = f(R 1 ).1.55 pav.1.551.55E 5 pav.pav. R 41.55 pav.5 4 Duota:E 5 R 4R Duota:3E 1 = 15 V; E 5 = 12 V;Duota:3RE 2 1 = 6 15 Ω; V; R 4E 5 = 5 = 312 Ω; 12 RV;6 = 5 Ω.R 3ERasti:R 1 = 15 V; E 2 6 Ω; R 5 = 12 V;4 4 3 Ω; Ω; R 6 6= 5 Ω. Ω.I 3RER 1Rasti: 2 = 6 Ω; R 4 = 3 Ω; R 6 = 5 Ω.1. I 3 ekvivalentinio šaltinio metodu,kai R 3 = 0; 4; 8; 12; meto-16;2 3Rasti:12I 31. ekvivalentinio šaltinio metodu,ER 1 1. Idu, 3 ekvivalentinio šaltinio metodu,kai R2 20 kai Ω. kai R 3 0; 4; 8; 12; 16;R3= 0; 4; 8; 12; 16; 20 Ω.62. 20 Ω. 3 = 0; 4; 8; 12; 16;2. Nubraižyti 62. Nubraižyti20I 3 Ω.priklausomybęRf(R 3 ). priklausomybę62. Nubraižyti I 3= f(R1.56 pav.3 f(R 3 ). 3). priklausomybęI 3 = f(R 3 ).1.56 pav.1.56 R 2 pav.E 12 R 1 Duota:2 E 1E 3E 1 = 15 V; E 3 = 10 V;Duota: Duota:3 R 41 20 15 V; Ω; R 35 10 5 Ω; V; R 6 = 6 Ω.E 3 ERasti:1 = 15 15 V; V; E4 20 Ω; 33 = 10 10 V; V;5 Ω; 6 Ω.RR 4 Rasti:4 = 20 20 Ω; Ω; R 5 5 = = 55 Ω; Ω; RR 6 = 6= 6 6 Ω. Ω.1. I 2 ekvivalentinio šaltinio meto-Rasti:4 1. du, 2 ekvivalentinio kai R 2 = 0; 2; 4; šaltinio 6; 8; 10 metodu,2RΩ.41. I2. Nubraižyti priklausomybęRekvivalentinio šaltinio metodu, metodu,kai 2 0; 2; 4; 6; 8; 10 Ω.62. Nubraižyti Ikai2 =kaif(RR 2R= 2 ). 2 0; = 2;priklausomybę0; 2; 4; 4; 6; 6; 8; 8; 10 10 Ω. Ω.6R 62. Nubraižyti 2 f(R 2 ).priklausomybę1.57 pav.II 2 f(R 2 ).2= f(R 2).1.57 pav.1.57 pav.373737 37R 55R 5

PavyzdysPavyzdys1.58 1.58 pav. pav. pateiktos pateiktos grandinės E 1 E=50 1=50 V; V; E 3 E=120 3 V; V; RR 1 =501 Ω; Ω;R 2 =40 R 2=40 Ω; Ω; R 3 =25 R 3=25 Ω; Ω; R 5 =30 R 5=30 Ω; Ω; R 6 =80 R 6=80 Ω. Ω.Rasti: Rasti:1. Srovę 1. Srovę I 4 , keičiant I 4, keičiant varžos varžos R 4 Rdydį 4dydį po po 10 10 Ω nuo Ω nuo 0 iki 0 iki 500 500 Ω. Ω.2. Nubraižyti 2. Nubraižyti priklausomybę I 4 = I f(R4= f(R 4 ).4).R 1R 2R 3E 1R 6R 5E 3I 4R 41.581.58pav.pav.PavyzdžioPavyzdžiograndinėgrandinėKai reikia apskaičiuoti srovę tik kurioje nors vienoje sudėtingosKai reikia apskaičiuoti srovę tik kurioje nors vienoje sudėtingosgrandinės šakoje, rekomenduojama laikytis tokios darbo tvarkos:grandinės šakoje, rekomenduojama laikytis tokios darbo tvarkos:1. Išskiriama ta šaka, kurios srovė yra skaičiuojama, arba jos dalis.Kita grandinės dalis laikoma aktyviuoju dvipoliu.1. Išskiriama ta šaka, kurios srovė yra skaičiuojama, arba josdalis. Kita grandinės dalis laikoma aktyviuoju dvipoliu.2. Laisvai parenkama ir pažymima ieškomosios srovės kryptis.2. Laisvai parenkama ir pažymima ieškomosios srovės kryptis.3. Aktyvusis dvipolis pakeičiamas ekvivalentiniu EV šaltiniu,3. Aktyvusis dvipolis pakeičiamas ekvivalentiniu EV šaltiniu,kurio elektrovara yra E ekv ir varža R i . EV kryptį patogiausia parinktikurio elektrovara yra Eatsižvelgiant į anksčiau parinktą ekvir varža Rsrovės i. EV kryptį patogiausia parinktikryptį.atsižvelgiant į anksčiau parinktą srovės kryptį.4. Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio EV E ekv . Kuriuo nors4. Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio EV Ežinomu grandinių analizės metodu apskaičiuojama aktyviojo ekv. Kuriuo norsdvipoliotuščiosios veikos įtampa U 0ab . Tuščiosios veikos įtampos kryptisžinomu grandinių analizės metodu apskaičiuojama aktyviojo dvipoliotuščiosios veikos įtampa Uturi atitikti anksčiau parinktą ekvivalentinio 0ab. Tuščiosios veikos įtampos kryptisšaltinio EV E ekv kryptį.turi atitikti anksčiau parinktą ekvivalentinio šaltinio EV E5. Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio varža R i . Iš aktyviojoekvkryptį.5. Apskaičiuojama ekvivalentinio šaltinio varža Rdvipolio pašalinami visi šaltiniai, paliekant jų vidines i. Iš aktyviojovaržas, t. y.dvipolio pašalinami visi šaltiniai, paliekant jų vidines varžas, t. y.3838

aktyvus dvipolis pakeičiamas pasyviuoju, ir apskaičiuojama jo varžagnybtų a ir b atžvilgiu R abaktyvus dvipolis pakeičiamas pasyviuoju, ir apskaičiuojama jo varža.gnybtų a ir b atžvilgiu R ab .6. Grandinėje, kurioje yra ekvivalentinis šaltinis, apskaičiuojamasrovė6. Grandinėje, kurioje yra ekvivalentinis šaltinis, apskaičiuojamasrovėEekvU0 abI = = .RE+ ekvRiRU+ 0 RabI= =ab .R + R R +RSprendimasSprendimas1. Išjungiame šaką su varža (1.59 pav.), likusią grandinės dalį1. Išjungiame šaką su varža R 4 (1.59 pav.), likusią grandinės dalįlaikomelaikome aktyviuojuaktyviuoju dvipoliudvipoliu irir pakeičiamepakeičiame ekvivalentiniuekvivalentiniu šaltiniu,šaltiniu,kurio kurio EV EV yra yra E ekv, o varža i(1.60 pav.). Tada srovė ma ma pagal pagal formulę:Eekv , o varža R i (1.60 pav.). Tada srovė I 4 apskaičiuoja-I ekv4 = E .IRi +4 = ekvR4.Ri+R4R 1 1R 3I 4 aI 3EI 16I 25E 1 E 3R ii R 2 U R 40abRa U 5 0ab bE 2ekvR 6 b1.591.59 pav.pav. Grandinė,Grandinė, atjungusatjungus šakąšaką susu1.60 1.60pav. pav.Grandinė, Grandinė,gauta gautaakty-varža R varža R44vųjį aktyvųjį dvipolį dvipolį pakeitus pakeitus ekvivalentiniuekvivalentiniu šaltiniušaltiniuEkvivalentinio šaltinio EV EEkvivalentinio šaltinio EV E ekvpagal ekvivalentinio šaltinio teoremąlygi aktyviojo dvipolio tuščiosios veikos įtampai:ekv pagal ekvivalentinio šaltinio teoremąlygi aktyviojo dvipolio tuščiosios veikos įtampai:EekvEekv= U= 0Uab0.ab.Šią Šią įtampą galima apskaičiuoti 1.59 pav. grandinėje:U 0 ab = V a − V b= I 16 ⋅ R 6 − I 25 ⋅ R5.U0ab = Va − Vb= I16 ⋅ R6 − I25 ⋅ R5.3939iab

Įtampos skaičiavimo formulėje nežinomos srovės I 16ir I 25. Jasgalima rasti bet kuriuo žinomu grandinių analizės metodu. Gautojigrandinė (1.59 pav.), atjungus šaką su varža R 4, yra sudėtinga, nesjoje yra du skirtingose šakose įjungti EV šaltiniai E 1ir E 3. Šios grandinėssroves I 16ir I 25, pvz., galima apskaičiuoti mazgų potencialųmetodu. 1.59 pav. grandinėje yra 2 mazgai (1 ir 2). Prilyginkime nuliuiantrojo mazgo potencialą V 2= 0. Tuomet lygtis pirmojo mazgopotencialui apskaičiuoti:V ⋅ G = J M ;čia pirmojo mazgo laidis G= 0,0620 SR1 + R + 6 R2 + R + 5 R= 3 50 + 80 + 40 + 30 + 25= ;pirmojo mazgo srovėEE350 120JM= − + = − + = 4,42 a .R1 + R6 R350 + 80 25Įrašę mazgo laidžio ir mazgo srovės vertes, gauname:J 4,42V= M= = 71,2 V .G0,0620Šakų srovės randamos pagal Omo dėsnį grandinės daliai:II163EV − V2 + E71,2 − 0 + 50= = = 0,933 a ;R + R 50 + 80I251 6V −V271,2 − 0= = = 1 , 02 a;R + R 40 + 3032 5V1 −V2 − E371,2 − 0 −120= = = −1,95 a.R25Aktyviojo dvipolio tuščiosios veikos įtampaU0ab= I16 ⋅ R6 − I25 ⋅ R5 = 0, 933⋅80 −1, 02 ⋅ 30 = 44,1 V .Ekvivalentinio šaltinio varžą R abgalima apskaičiuoti remiantisgrandine, kurią gauname iš dvipolio pašalinę visus EV šaltinius ir40

palikę šių šaltinių vidines varžas. Ši schema pateikta 1.61 a pav. Išschemos matyti, kad, norint rasti varžą R ab, varžų jungimą trikampiureikia pakeisti varžų jungimu žvaigžde. Keičiame trikampio R 1, R 3ir reikia R 6varžas pakeisti į varžų Rjungimu 16, R 31ir Ržvaigžde. 63žvaigždę. Keičiame Gautoji trikampio schema Rpateikta1 , R 3 ir1.23 R 6 varžas b pav. į varžų R 16 , R 31 ir R 63 žvaigždę. Gautoji schema pateikta1.23 b pav.a1 R 3R 1R 2bR 6R 5a2a1R 16R 31R 1 1 R 2R 30R 63R 6R 5R 2b2baR 16R 31R 630R 5b2c1.61 pav. Varžų R 1 , R 3 ir R 6 jungimo trikampiu (a, b) pakeitimas varžų R 16 ,1.61 pav. Varžų R 1, R 3ir RR 31 ir 6jungimo trikampiu (a, b) pakeitimas varžų RR 63 jungimu žvaigžde (c)16,R 31ir R 63jungimu žvaigžde (c)Žvaigždės varžos randamos taip:Žvaigždės varžos randamos R1 ⋅ R taip:6 50 ⋅80R16= = = 25,8 Ω ;R R1 + 1R⋅R3 6+ R650 + 5025 ⋅80+ 80R16= = = 25,8 Ω ;R1 + R3 + R650 + 25 + 80R3 ⋅ R125⋅50R31= = = 8,06 Ω ;R + R + R 41 50 + 25 + 801 3 641

RR3163R3 ⋅ R125⋅50= = = 8,06 Ω ;R + R + R 50 + 25 + 801 3 6R6 ⋅ R380 ⋅ 25= = = 2,9 Ω .R + R + R 60 + 30 + 1001 3 6Ekvivalentinio šaltinio varža (1.61, c pav.)iab( R31 + R2 ) ⋅ ( R63 + R5)16( R31 + R2 ) + ( R63 + R5)( 8, 06 + 40) ⋅ ( 12,9 + 30)( 8, 06 + 40) + ( 12,9 + 30)R = R = R + =Ieškomoji srovė I 4:25, 8 + = 46, 5 Ω.Eekv44 1kai R = 0 Ω , I4 0 = 0 909 AR R= ,( )+ 48 5 + 0= , ;,......i4Eekv44,1kai R = 50 Ω , I4( 50)= 0,448 aR + R= 48,5 + 50= ;......iEekv44 1kai R = 500 Ω , I4 500 = 0 08 aR R= ,( )+ 48 5 + 500= , .,i4Kitos srovės I 4vertės pateiktos 1.5 lentelėje.2. Srovės I 4priklausomybė nuo varžos R 4pateikta 1.62 pav.1.63 pav. pateiktas 1.58 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje,kai R 4= 10 Ω.442

1.5 lentelė. Srovės I 4vertės, keičiant R 4dydį po 10 Ω nuo 0 iki 500 ΩR4: = 0,10… 100, Ώi4( r4)0.9090.7540.6440.5620.4980.4480.4060.3720.3430.3180.297=R4: = 100, 110… 200, ΏR4: = 200, 210… 300, Ώr4 := 00, 0..200i4( r4)= i4( r4)0.2970.2780.2620.2470.2340.2220.2110.2020.1930.1850.1770.1770.1710.1640.1580.1530.1480.1430.1380.1340.130.126R4: = 300, 310… 400, Ώ= i4( r4)0.1260.1230.120.1160.1130.1110.1080.1050.1030.1010.098R4: = 400, 410… 500, Ώ= i4( r4)0.0980.0960.0940.0920.090.0880.0870.0850.0830.0820.08=r4 := 0, 0..5000.80.6i4( r4)0.40.200 00 200 300 400 5001.62 pav. Srovės I 4priklausomybė keičiant varžos R 4dydį po 10 Ω nuo0 iki 500 Ω43r4

R1E1R350 Ohm50 V25 OhmR240 OhmR410 OhmA4A+ -0.754 ADC 1e-009OhmR530 OhmR680 Ohm1.63 pav. 1.58 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje, kai R 4= 10 ΩE3120 V44

2. VIENFAZIŲ KINTAMOSIOS SROVĖS GRANDINIŲ2. VIENFAZI KINTAMOSIOS ANALIZĖSROVSGRANDINI ANALIZ2.1. Paprastų kintamosios srovės grandinių analizė2.1. Paprast kintamosios srovs grandini analiz2.1.1. Nuoseklios R, L, C grandinės analizėRasti 2.1–2.8 2.1.1. Nuoseklios pav. pateiktų R, grandinių: L, C grandins analiz1. Rasti Z 1; 2.1–2.8 Z 2; Z; ϕ; pav. u; upateiktų 1; u 2. grandinių:2. 1. Nubraižyti Z 1 ; Z 2 ; Z; ϕ; srovių u; u 1 ; u ir 2 .įtampų vektorių diagramą, parodant visųelementų 2. Nubraižyti įtampas. srovių ir įtampų vektorių diagramą, parodant visųelementų įtampas.3. Nubraižyti u(t) ir i(t) grafikus.3. Nubraižyti u(t) ir i(t) grafikus.4. Patikrinti galių balansą.5. Apskaičiuoti, koks turėtų būti būti L 1 arba arba L 2 , , kad kad grandinėje būtųbūtųįtampų rezonansas.u 1ui R 1 C 1Duota:u R1C1R1u C1i = 2,828 sin(ωt – 30 o ) A;R 1 = R2 L2 1 10 10 Ω; Ω; C 1 = 1 318 318 µF; µF;u R2u L2 R 2 = 5 Ω; L 2 Ω; 2 = 95,5 mH;2 95,5 mH;R 2L 2f = 50 Hz.i = 2,828 sin(ωt – 30 o ) A;f = 50 Hz.u 22.12.1pav.pav.u 1uiL 1R 1 L 1 C 1u R1 L1 R1 u L1 u C1 C1u R2 R2R 2u 22.2 pav.2.2 pav.45Duota:i = 4,243 sin(ωt sin(ωt + + 45 45 o ) o ) A; A;R 1 Ω; 1 38,22 mH;11 =354 2 Ω;µF;L 1= 38,22 mH;C2 1 = 354Ω;µF;f R= 2=50 2Hz.Ω;f = 50 Hz.

uu 1 iL 1Duota:i = 11,31 sin(ωt – 60 o ) A;L 1 = 1 31,8531,85 mH;mH;u R2u L2 u C2R 2 = 4 Ω; L 2 = 25,48 mH;R C 22L 2C 2 = 212 µF;f = 2 50 212Hz.µF;u L1u 2 i = 11,31 sin(ωt – 60 o ) A;R 2= 4 Ω; L 2= 25,48 mH;f = 50 Hz.2.3 pav.2.3 pav.uiu 1 R 1 L 1C 1u R1 u L1 u C1u C2C 2u 2Duota:i = 9,9 sin(ωt + 30 30 o ) o ) A;A;R 1 = 6 Ω; L 1 =1 31,85 mH;C 1 = 1 796 µF;C 2 = 2 227 µF;f = 50 50 Hz.Hz.2.4 pav.2.4 pav.uiu 1 R 1 L 1Duota:u L1i = 5,66 sin(ωt + 60 o ) A;R 1 = 3 Ω; L 1 = 31,85 mH;u R2 u C2 R 2 R 2 C 2= 5 Ω; C 2= 199 µF;2f = 50 Hz.u 2u R1R 2 u 2i = 5,66 sin(ωt + 60 o ) A;R 1= 3 Ω; L 1= 31,85 mH;2.5 pav.2.5 pav.4646

uuu 1 i R 1Duota:u R1R1i = 7,071 sin(ωt – 45 o ) A;R 1 = 1 4 Ω;Ω;u R2 R2 u L2 L2 u C2 C2 R 2 = 2 Ω; L 2 = 31,86 mH;R 2 L 2C 2C 2 = 2 176,8176,8 µF;µF;u 2f = 50 Hz.iu 22.6 pav.2.6 pav.u 1R 1 L 1C 1u R1 R1 u L1 L1 u C1C1u L2L2L 2u 2L 1i = 7,071 sin(ωt – 45 o ) A;R 2= 2 Ω; L 2= 31,86 mH;f = 50 Hz.Duota:i = 8,485 sin(ωt + 30 30 o )A; o )A;R 11 = 20 Ω; L 1 =1 63,69 mH; mH;C 1 =1 318 µF; µF;L 2 = 2 15,9215,92mH;mH;f = 5050 Hz.Hz.2.72.7 pav.pav.uu 1 i C 1Duota:u C1C1i = 12,73 sin(ωt – 60 o ) A;C 1 = 637 µF;u R2 R2 u L2 L2 u C2 C2 R 2 = 6 Ω; L 2 = 79,62 mH;R 2 L 2C 2C 2 = 265 µF;f = 50 Hz.u 22.8 pav.2.8 pav.i = 12,73 sin(ωt – 60 o ) A;R 2= 6 Ω; L 2= 79,62 mH;4747

PavyzdysPavyzdysu 1C 2iR 1 L 1 C 1u R1u L1 u C1uu R2u L2 u C2R 2L 22.9 pav. Pavyzdžio grandinė2.9 pav. Pavyzdžio grandinėDuota:Duota:u = 141,4 sin(ωt – 30u = 141,4 sin(ωt – 30 o o ) V; f = 50 Hz;) V; f = 50 Hz;RR 1= 80 Ω; L1 = 80 Ω; L 1= 318 mH; C1 = 318 mH; 1= 79,5 μF;1 = 79,5 μF;RR22 =120120Ω;Ω;LL22 =6464mH;mH; C11 =39,839,8μF.μF.Rasti: Rasti:1. 1. Z 1 ; 1; Z 2 ; 2; Z; Z; ϕ; ϕ; i; i; u 1 ; 1; u 22 ..2. 2. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą, parodant visųelementų įtampas.3. 3. Nubraižyti u(t) ir ir i(t) grafikus.4. 4. Patikrinti galių balansą.5. 5. Apskaičiuoti, koks turėtų būti L 2 , 1arba L 2, kad grandinėje būtųįtampų įtampų rezonansas.SprendimasSprendimas1. Kampinis dažnis1. Kampinis dažnis13,14 50 314s−ω = 2π f = 2 ⋅3,14 ⋅ 50 = 314s .PirmojoPirmojoimtuvoimtuvovaržos:varžos:induktyviojiinduktyviojiL1 1 −3XL = ω L = 314 ⋅318⋅ 10 = 100 Ω ;48 48u 2

talpinėkompleksinė = = = 40 Ω ;X C ωC−6 314 ⋅ 79,5 ⋅1037 ( L C) 80 (100 40) 80 60 100 j °Z = R + j X − X = + j − = + j = e Ω .Antrojo imtuvo varžos:induktyviojitalpinėkompleksinė49−3X L2 = ω L2 = 314 ⋅ 64 ⋅ 10 = 20 Ω ; = = = 80 Ω ;X C 2ωC−62 314 ⋅39,8 ⋅10j27Z R2 j X L2 XC2j j e − °2 = + ( − ) = 120 + (20 − 80) = 120 − 60 = 134 Ω.Imtuvai sujungti nuosekliai, todėl visos grandinės kompleksinėvarža lygi abiejų imtuvų kompleksinių varžų sumai:Z = Z + Z 2 = 80 + j60 + 120 − j60 = 200 + j0 = 200e j0°Ω .Prijungtos įtampos efektinės vertės kompleksas rodikline ir algebrineformomis:U m jψ 141,4u− j30° − j30°U = e = e = 100e = 86,6 − j50 V .2 2Įtampos efektinė vertėU 141,4U = m= = 00 V .2 2Srovės kompleksinė efektinė vertė apskaičiuojama pagal Omodėsnį:− j30°U 00e− j30°I = = = 0,5e = 0,433 − j0,25 a .Zj0°200eGrandinės įtampos ir srovės fazių skirtumasPirmojo imtuvo įtampaϕ = ψ − ψ = −30 − ( − 30) = 0° .ui

− j30° j37° j7° 0,5 100 50 49,6 5,9 VU = I ⋅ Z = e ⋅ e = e = + j .Antrojo imtuvo įtampa− j30° − j27° − j57°2 2 0,5 134 67 37 55,9 VU = I ⋅ Z = e ⋅ e = e = − j .Patikrinimas pagal II Kirchhofo dėsnį:j30U U U j j j e − °= + 2 = 49,6 + 5,9 + 37 − 55,9 = 86,6 − 50 = 100 V.Srovės i ir imtuvo įtampų u 1, u 2akimirkinės vertės:i = I sin( ωt – ψ ) = 0,5 ⋅ 2 sin(314 t – 30 ) =m0,707 sin(314 t – 30 ) a; muiu = U sin( ωt – ψ ) = 50 ⋅ 2 sin(314 t+7 ) =70,7 sin(314 t+7 ) V;2 2mu2ou = U sin( ωt – ψ ) = 67 ⋅ 2 sin(314t− 57 ) =94,8 sin(314t− 57 ) V.o2. Srovės ir įtampų vektorių diagramos braižymas.Atskirų elementų įtampų kritimų kompleksai:pirmojo imtuvo− j30° − j30°U R = I ⋅ R= 0,5e ⋅ 80 = 40e = 35 − j20 V ;− j30° j60°U L = I ⋅ jX L= 0,5e ⋅ j100 = 50e = 25 + j43 V ;j( ) ( )50o− 30° − j120°C C0,5 40 20 10 17,3 VU = I ⋅ − jX = e ⋅ − j = e = − − j ;antrojo imtuvo− j30° − j30°U R2 = I ⋅ R2= 0,5e ⋅ 120 = 60e = 52 − j30 V ;− j30° j60°U L2 = I ⋅ jX L2= 0,5e ⋅ j20 = 10e = 5 + j8,7 V ;− j30° − j120°U C2 = I ⋅( − jXC2) = 0,5e ⋅( − j80)= 40e = −20 − j35 V .Vektorių diagramą galima braižyti dviem būdais:a. Stačiakampėje koordinačių sistemoje laiko momentu t = 0visi vektoriai atidedami nuo abscisių ašies kampais, lygiais juos atitinkančiosinusinio dydžio pradinei fazei (2.10 pav.).ooo

. Jei dydžių akimirkinės vertės nedomina, vektorių diagramojevisi vektoriai atidedami vieno kurio nors pasirinkto pagrindiniovektoriaus toriaus atžvilgiuatžvilgiu (koordinačių(koordinačių ašiųašių galimagalima netnet nevaizduoti).nevaizduoti). ŠiuoŠiuoatvejuvertinamosatveju vertinamos nene sinusiniųsinusinių dydžiųdydžių pradinėspradinės fazės,fazės, oo jųjų faziųfazių skirtumai(2.11 pav.). Nuoseklaus elementų jungimo atveju pagrindiniuskirtumai(2.11 pav.). Nuoseklaus elementų jungimo atveju pagrindiniuvektoriumi reikia rinktis srovės vektorių.vektoriumi reikia rinktis srovės vektorių.U 1U C1U L120 V0,1 AU R2 U L2 U C2U R1UU 2I2.10 2.10 pav. pav. Vektorių Vektorių diagrama stačiakampėje koordinačių sistemojeU C1U L120 V0,1 AU U L2 R2 U 1 U C2U 2U R1UU 2I2.11 pav. Vektorių diagrama, kai pagrindiniu vektoriumi pasirinktas2.11 pav. Vektorių diagrama, kai pagrindiniu vektoriumi pasirinktas srovėssrovės vektoriusvektorius51

3. Srovės ir įtampos akimirkinių verčių išraiškos:3. Srovės ir įtampos akimirkinių verčių išraiškos:i = 0,707 sin(314t – 30 o ) A; u = 141,4 sin(314t – 30 o ) V.i = 0,707 sin(314t – 30 o ) A; u = 141,4 sin(314t – 30 o ) V.Jų grafikai pateikti 2.12 pav.Jų grafikai pateikti 2.12 pav.150V1001.5 1,5A1u(t)i(t)u(t)50u( t)0i( t)–500.5 0,50–0,5 0.5i(t)–1001–150 –1,5 1.50 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02t, s t2.12 2.12 pav. pav. Srovės Srovės ir ir įtampos įtampos akimirkinių akimirkinių verčių verčių grafikai grafikai4. Galių skaičiavimas:pirmojo imtuvo aktyvioji galia2 2PR1 = 2I ⋅ R1 = 0,5 2P ⋅ 80 = 20W ;R = I ⋅ R = 0,5 ⋅ 80 = 20W ;pirmojopirmojoimtuvoimtuvoreaktyviojireaktyviojigaliagalia2 2Q1 = 2I ⋅( X L1 − XC1) = 0,5 2Q⋅( 100 − 40)= 15var ; = I ⋅( X L − XC) = 0,5 ⋅( 100 − 40)= 15var ;antrojo imtuvo aktyvioji galiaantrojo imtuvo aktyvioji galia2 2PR2 = 2I ⋅ R2 = 0,5 2 ⋅ 120 = 30W ;PR2 = I ⋅ R2 = 0,5 ⋅ 120 = 30W ;antrojo imtuvo reaktyvioji galiaantrojo imtuvo2reaktyvioji galia2Q2 =2I ⋅( X L2 − XC2 ) = 0,52⋅( 20 − 80)= − 15var ;Q2 = I ⋅( X L2 − XC2 ) = 0,5 ⋅( 20 − 80)= − 15var ;visa grandinės imtuvų aktyvioji galiavisa grandinės Pimtuvų R = P aktyviojiR1 + PR2 = 20 galia + 30 = 50W ;visa grandinės PR imtuvų = PR + reaktyvioji PR2 = 20 + 30 galia = 50W ;visa grandinės imtuvų QLC= Qreaktyvioji 1 + Q2 = 15 − galia 15 = 0var .Imtuvų kompleksinė Q galia:LC = Q + Q2 = 15 − 15 = 0var .pirmojoImtuvų kompleksinė galia:2 2pirmojoS Z1 = I ⋅ Z1= 0,5 ⋅ ( 80 + j60)= 20 + j15V ⋅ A ;5252

2 2( )S Z = I ⋅ Z = 0,5 ⋅ 80 + j60 = 20 + j15V ⋅ a ;antrojo2 22( )S Z 2 = I ⋅ Z = 0,5 ⋅ 120 − j60 = 30 − j15V ⋅ a .Abiejų grandinės imtuvų kompleksinė galiaS Z = S Z + S Z 2 = 20 + j15 + 30 − j15 = 50V ⋅ a .Šaltinio aktyvioji galiaPE= UI cosϕ = 100 ⋅ 0,5 ⋅ cos0 = 50W ;šaltinio reaktyvioji galiaooQE= UI sin ϕ = 100 ⋅ 0,5 ⋅ sin 0 = 0var ;šaltinio kompleksinė galia S E = U ⋅ I ∗; čia I ∗ – srovės jungtiniskompleksas.− j30°Jei srovės kompleksas I = 0,5e = 0,433 − j0,25 a , taijungtinis kompleksas skiriasi menamosios dalies, o kartu ir srovės∗j30°argumento ženklu I = 0,5e = 0,433 + j0,25 a .Taigi šaltinio kompleksinė galia∗− j30° j30°S E = U ⋅ I = 100e 0,5e= 50V ⋅ a .5. Grandinėje vyksta įtampų rezonansas, nes įtampa ir srovė sutampafazėmis.Įtampų rezonanso sąlyga X L = XC; ω L = .Rezonansinis induktyvumasω C XCLrez= = .2ω C ωAtsakymas:Z 1= 80 + j60 = 100e j37° Ω; Z 2= 120 – j60 = 134e –j27° Ω; Z = 200e j0° Ω;ϕ = 53°; i = 0,707 sin(314t–30°) A; u 1= 70,7 sin(314t+7°) V;u 2= 94,8 sin(314t–57°) V;P R= P E= 50 W; Q LC= Q E= 0 var; S Z= S E= 50e j0° V ⋅ A.2.13 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės modelis Multisimaplinkoje.53

49.880 V+ -A+ -0.500 AAC 1e-009OhmER180 OhmL1318mHAC 1MOhm100 V50 Hz-30DegR2L2120 Ohm64mHV2+ -67.417 VAC 1MOhm2.13 pav. 2.9 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeC179uFC239uF54

2.1.2. Lygiagrečios Lygiagreios R, L, C grandins grandinės analiz analizėRasti Rasti 2.14 2.14 pav. pav. pateiktos grandinės:1. 1. I 1 ; II 1; 2 ; II 2; 3 ; I I;3; I; ϕ. ϕ.2. 2. i 1 ; ii 1; 2 ; ii 2; 3 ; i i.3; i.3.3.P,P,Q,Q,S.S.4. Nubraižyti vektorių diagramą, parodant visus vektorius ir faziųskirtumą.4. Nubraižyti vektorių diagramą, parodant visus vektorius ir fazių2.14skirtumą.pav. pateiktos grandinės elementų parametrai nurodyti2.1 lentelėje. 2.14 pav. pateiktos grandinės elementų parametrai nurodyti2.1 lentelėje. iui i123R LiC2.14 pav. Skaičiavimų grandinė2.1 2.1 lentel. lentelė. 2.14 2.14 pav. pav. grandinės grandinės elementų elementų parametrai parametraiVar.Var. Nr. u, V u, V R, ΩR, Ω XNr.L X, Ω L, Ω X C,, Ω1133,94 sin(314t +33,94 sin(314t + 20 o 20) o ) 12 6 812 6 822141,4 sin(314t –141,4 sin(314t – 60 o 60) o ) 100 25 50100 25 5033282,8 sin(314t +282,8 sin(314t + 30 o 30) o ) 50 100 20050 100 20044 169,7169,7sin(314tsin(314t– 45– o )45 o ) 40 120 6040 120 6055 70,7170,71sin(314tsin(314t+ 60+ o )60 o ) 25 50 2525 50 256650,9150,91sin(314tsin(314t– 25– o )25 o ) 36361818121277212,1212,1sin(314tsin(314t+ 45+ o )45 o ) 5050757530308842,4342,43sin(314tsin(314t– 30– o )30 o ) 3030101015151 pavyzdys2.14 2.14 pav. grandinės u = 141,4 sin314t V; R = 40 Ω; X L= 50 Ω;X C X= C= 20 20 Ω. Ω.Rasti: 1. 1. Grandinės šakų šakų sroves, fazių skirtumą.2. 2. Patikrinti galių balansą.3. 3. Nubraižyti vektorių diagramą.55

SprendimasŠaltinio gnybtų įtampos kompleksinė efektinė vertė (laiko momentut = 0):U m jψ 141,4 uj0 j0°U = e = e = 00 e V .2 2R, L, C elementai yra sujungti lygiagrečiai, t. y. prie tos pačiosįtampos u. Todėl šakų srovių kompleksinės efektinės vertės skaičiuojamospagal Omo dėsnį grandinės daliai:j0°U 00ej0°I= = = 2,5e= 2,5 a ;Z 40j0° j0°U 00e 00e− j90°I = = = = 2e = − j2 A ;2Z902 j50 j °50ej0° j0°U 00e 00ej90°I = = = = 5e = j5 a .3Z903 − j20 − j °20eSrovės I 1efektinės vertės modulis I 1= 2,5 A; srovės argumentas,o kartu ir srovės akimirkinės vertės pradinė fazė ψ i1= 0°; antrosšakos srovės I 2= 2 A, ψ i2= –90°; trečios šakos srovės I 3= 5 A,ψ i3= 90°. Srovių amplitudės:ImI= 2 ⋅ I = 2 ⋅ 2,5 = 3,54 a ;= 2 ⋅ I = 2 ⋅ 2 = 2,83 a ;2m2I= 2 ⋅ I = 2 ⋅ 5 = 7,07 a .3m3Srovių akimirkinės vertės:i = I sin( ω t + ψ ) = 3,54sin314 t a ; mii = I sin( ω t + ψ ) = 2,83sin(314t− 90 ) a ;2 2mi2i3 = I3msin( ω t + ψ i3) = 7,07sin(314t+ 90 ) a .Įėjimo srovės kompleksinė efektinė vertė (I Kirchhofo dėsnis)56j50°I = I1 + I 2 + I 3 = 2,5 − j2 + j5 = 2,5 + j3 = 3,91 e a .Srovės I efektinės vertės modulis I = 3,91 A; srovės argumentas,o kartu ir srovės akimirkinės vertės pradinė fazė ψ i= 50°; amplitudėI = 2 ⋅ I = 2 ⋅ 3,91 = 5,53 a . Akimirkinė vertėm

i = I sin( ω t + ψ ) = 5,53sin(314t+ 50 ) a .miJei reikia apskaičiuoti tik įėjimo srovės efektinės vertės kompleksąI, tai jį galima apskaičiuoti pagal Omo dėsnį lygiagrečiai grandineiiš pradžių apskaičiavus grandinės atstojamąjį kompleksinį laidį Y = Y1 + Y 2 + Y 3 = + + = 0,025 − j0,02 + j0,05=40 j50 − j20j500,25 + j0,03 = 0,0391eS.Srovės kompleksas57j50° j50°I = U ⋅ Y = 100 ⋅ 0,0391e = 3,91ea.Grandinės įtampos ir srovės fazių skirtumasϕ = ψu− ψ i = 0 − 50° = − 50° .2. Galių skaičiavimas:imtuvo aktyvioji galia2 2PR= I R = 2,5 ⋅ 40 = 250 W ;šaltinio aktyvioji galiaPE= UI cosϕ = 100 ⋅3,91⋅ cos( − 50 ° ) = 250 W ;imtuvų reaktyvioji galia2 2 2 2LC L CQ = I2 X − I3 X = 2 ⋅50 − 5 ⋅ 20 = − 300 var ;šaltinio reaktyvioji galiaQE= UI sin ϕ = 100 ⋅3,91⋅sin( − 50 ° ) = − 300 var ;imtuvų kompleksinė galiaZ Z1 Z 2 Z 32 2 21 1 2 2 3 3S = S + S + S = I ⋅ Z + I ⋅ Z + I ⋅ Z =( )2 2 2 j502,5 ⋅ 40 + 2 ⋅ j50 + 5 ⋅ − j20 = 250 − j300 = 391e − ° V ⋅ a;šaltinio kompleksinė galia*− j50° − j50°S E = U I = 100 ⋅ 3,91e = 391e = 250 − j300 V ⋅ a .Taigi gaunamas galių balansasS Z = S E ; PR = PE; QLC = QE.3. Srovių ir įtampos vektorių diagrama pateikta 2.15 pav.Pirmiausia atidedamas įtampos vektorius U. Po to jam lygiagre-

čiai atidedamas srovės I 1vektorius, nes aktyviojoje varžoje įtampair srovė fazėmis sutampa. Srovės I 2vektorius atidedamas žemynnuo fazėmis įtampos sutampa. vektoriaus, Srovės nes I 2 vektorius induktyviojoje atidedamas varžoje žemyn įtampa nuo įtampos pralenkiavektoriaus, srovę kampu nes induktyviojoje π/2 (arba srovė varžoje atsilieka įtampa nuo pralenkia įtampos srovę kampu kampu π/2).Srovės π/2 (arba I 3vektorius srovė atsilieka atidedamas nuo įtampos aukštyn, kampu nes π/2). talpinėje Srovės varžoje I 3 vektorius srovėpralenkia atidedamas įtampą aukštyn, kampu nes π/2. talpinėje Suminis varžoje srovės srovė I vektorius pralenkia gaunamas įtampąsujunguskampu π/2.pirmosSuminissrovėssrovėsvektoriausI vektoriusI 1pradžiągaunamassu trečiosujungusvektoriauspirmosIsrovės vektoriaus I 3viršūne. Fazių skirtumo 1 pradžią su trečio vektoriaus Ikampas ϕ atidedamas nuo srovės 3 viršūne. Faziųlink įtamposskirtumo kampas ϕ atidedamas nuo srovės link įtampos vektoriaus.vektoriaus.I5 V0,1 AI 3UϕI 1I 22.15 2.15 pav. pav. 2.14 pav. grandinės srovių ir įtampos vektorių diagramaAtsakymas:Atsakymas:1. I 1 2,5e j0° A; 2 –j2 2e –j90° A; 3 j5 5e j90° A;1. II 1= 2,5e j0° A; I 2,5 j3 3,91e 2= –j2 = 2e –j90° A; I j50° A; –50°. 3= j5 = 5e j90° A;I = 2,5 + j3 = 3,91e j50° A; ϕ = –50°.2. P R E 250 W; LC E –300 var;2. PS R= PZ S E= 250 W; Q 250 j300 LC= Q 250e E j0° = –300 var;V⋅A.S Z= S E= 250 – j300 = 250e j0° V ⋅ A.2 pavyzdyso2.16 pav. grandinės 2 upavyzdys= 28,28sin(314t+ 15 ) V ; R = 16 Ω;L = 120 mH; C = 39,8 μF.o2.16 pav. grandinės u = 28,28sin(314t+ 15 ) V ; R = 16 Ω;L Rasti: = 1201. mH; Šakų C sroves. = 39,8 μF.2. Prietaisų rodmenis.5858

59Rasti: 1. Šakų sroves.2. Prietaisų rodmenis.3. 3. Patikrinti galių balansą.4. Kokią talpą C rez rez reikėtų jungti, kad grandinėje įvyktų sroviųrezonansas?5. Nubraižyti vektorių diagramą.2.16 pav. Antro pavyzdžio grandinė2.16 pav. Antro pavyzdžio grandinėSprendimas1. Grandinės šakų srovių Sprendimas skaičiavimas.1. Įtampos Grandinės kompleksinė šakų srovių efektinė skaičiavimas. vertėĮtampos Ukompleksinė m jψ 28,28 efektinė vertėuj15° j15°U = U e =m jψ 28,28e = 20e = 19,3 + j5,18 V .uj15° j15°U = 2 e = 2 e = 20e = 19,3 + j5,18 V .Lygiagrečių 2 šakų kompleksinės 2 varžosLygiagrečių šakų kompleksinės varžos − 3 67 16 314 120 10 16 37,7 41 j °Z = R + jω L = + j ⋅ ⋅ = + j = e Ω ;− 3 67Z1 R j L 16 j314 120 10 16 j37,7 41ej °= + ω = + ⋅ ⋅ = + = Ω ;− j90°Z 2 = − j 1 = − j 1 = − j80 = 80eΩ .− j90°Z 2 = − jωC−6= − j314 ⋅39,8 ⋅10= − j80 = 80eΩ .ωC−6314 ⋅39,8 ⋅10Lygiagrečių šakų srovėsLygiagrečių šakų jsrovės15°U 20ej15°− j52°I = U = 20e= 0,488e − j52°= 0,301− j0,385 a ;I1 = Z =j67° 41e= 0,488e = 0,301− j0,385 A ;Zj67°1 41e59

j15°U 20ej105°I = = = 0,25e = − 0,065 + j0,242 a .2Z− j90°2 80eĮėjimo srovės kompleksinė efektinė vertė pagal I KirchhofodėsnįI = I + I = 0,301− j0,385 + − 0,065 + j0,242= 260( )0,236 − j0,143 = 0,276e − ° a.Srovę I galima rasti ir pagal Omo dėsnį, prieš tai apskaičiavusgrandinės atstojamąją kompleksinę varžą 2j67° − j90°Z ⋅ Z 2 41e ⋅80ej46°Z2= = = 72,5e = 50,1+ j52,4Ω;Z + Z 16 + j37,7 + − j80j15°( )U 20e− j31°I = = = 0,276e = 0,236 − j0,143 a .Zj46°2 72,5e2. Srovės ir įtampos matavimo prietaisai yra sugraduoti efektinėmisvertėmis. Jie rodo efektinių verčių modulių vertes. Pirmojoampermetro rodmenys I 1= 0,488 A; antrojo I 2= 0,25 A; grandinėsįėjime įjungto ampermetro I = 0,276 A.Vatmetro rodmenis galima apskaičiuoti pagal formulę:Pj 31( )o o= U I cos ψ − ψ = 20 ⋅ 0,276 ⋅ cos(15 − ( − 31 )) = 3,82W .3. Galių balanso tikrinimas.Imtuvų aktyvioji galia2 2PR= I ⋅ R = 0,488 ⋅ 16 = 3,82W ;imtuvų reaktyvioji galia2 2 2 2QLC = I X L − I2 XC= 0,488 ⋅37,7 − 0,25 ⋅ 80 = 3,99 var .Imtuvų kompleksinė galia2 2 2 j67° 2 − j90°S = I ⋅ Z + I ⋅ Z = 0,488 ⋅ 41e + 0,25 ⋅ 80e=W u iZ 2 2j46°3,82 + j3,99 = 5,52eV ⋅ a.Šaltinio aktyvioji galiaoPE= UI cosϕ = 20 ⋅ 0,276 ⋅ cos 46 = 3,82W ;šaltinio reaktyvioji galiao= UI sin ϕ = 20 ⋅ 0,488⋅ sin 46 = 3,99var ;QE

šaltinio kompleksinė galiašaltinio kompleksinė galiaS E = U ⋅ I ∗;čia I ∗ S E = U ⋅ I ∗;– srovės jungtinis kompleksas.čia − j31°Jei I ∗ srovės – srovės kompleksas jungtinis kompleksas. I = 0,276e = 0,236 − j0,143 a , taijungtinis kompleksas skiriasi menamosios − j31°Jei srovės kompleksas I = 0,276e dalies, = 0,236o − kartu j0,143 ir srovės A , taijungtinis argumento kompleksas ženklu skiriasi menamosios dalies, o kartu ir srovės∗argumento ženkluj31°I = 0,276e = 0,236 + j0,143 a .Taigi šaltinio kompleksinėj31°I = 0,276e = galia 0,236 + j0,143 A .∗∗Taigi šaltinio kompleksinė j15° jgalia31° j46°S E = U ⋅ I = 20e ⋅ 0,276e = 5,52e = 3,82 + j3,99V ⋅ a .∗j15° j31° j46°S E Gavome, = U ⋅ I = 20 kad e imtuvų ⋅ 0,276 ir ešaltinio = 5,52 galios e yra = 3,82 vienodos, + j3,99V galių ⋅ Aba-lansas Gavome, tenkinamas. kad imtuvų ir šaltinio galios yra vienodos, galių balan-.sas tenkinamas. 4. Rezonansinės talpos C rezskaičiavimas.4. Lygiagrečioje Rezonansinės grandinėje talpos C rez vykstantis skaičiavimas. srovių rezonansas yra toksreiškinys, Lygiagrečioje kai įėjimo grandinėje įtampos vykstantis ir srovės srovių pradinės rezonansas fazės sutampa. yra toksreiškinys,Srovių rezonansokai įėjimosąlygaįtamposB L=irBsrovėsC, čia BpradinėsL– induktyvusisfazės sutampa.laidis, BSroviųrezonanso sąlyga B L = B C , čia B L – induktyvusis laidis, B C – tal-C–ωL1talpinis laidis. Šie laidžiai BL= ωL;2 C. Įrašius šiaspinis laidis. Šie laidžiai BL= 2Z ; B2 C = ωC= ω C . Įrašius šias2Z1 Z2išraiškas išraiškas į į srovių srovių rezonanso rezonanso sąlygą sąlygą ir ir išreiškus išreiškus rezonansinę rezonansinę talpą talpąL 0,12Crez= = = 71,6 μF .2 2Z141Tada Tada11− j9090°Z 2rezrez= − j = − j = − j 44,5 Ω = 44,5eΩ.ω C−6rezrez314 ⋅ 71,6 ⋅10Pirmoje šakoje nieko nekeičiame, jos jos varža varža ir srovė ir srovė išlieka išlieka ta pati,pati, o antros o antros šakos šakos srovė srovė rezonanso rezonanso metu metutaj1520j15°j105rezU20e0,45 j105°I 0,116 0,434 A2rez= = j90rez 44,5= 0,45e = − 0,116 + j0,434 a .Z− j90°2rez44,5eĮėjimo srovės kompleksas pagal I Kirchhofo dėsnįĮėjimoI =srovėsI + Ikompleksas= 0,301− pagalj0,385 I Kirchhofo+ − 0,116 +dėsnįj0,434=rez1 2rezj15°0,84 + j0,05 = 0,191e61 A.61( )

2rezj15°( )I = I + I = 0,301− j0,385 + − 0,116 + j0,434=rez0,84 + j0,05 = 0,191ea.Taigi, įėjimo srovės pradinė fazė irgi 15°, kaip ir įtampos.Taigi, įėjimo srovės pradinė fazė irgi 15°, kaip ir įtampos.5. Vektorių diagramos braižymas.5. Vektorių diagramos braižymas.Pirmiausia atidedamas įtampos vektorius U (2.17 pav.). Po toPirmiausia atidedamas įtampos vektorius U (2.17 pav.). Po toatidedami atidedami lygiagrečių šakų srovių vektoriai I 1I 1 ir ir I 2 . I 2 Sudėjus . Sudėjus šiuos šiuosvektorius gaunamas srovės I vektorius. Fazių skirtumo kampas atskaitomasnuo nuo srovės srovės link link įtampos įtampos vektoriaus. vektoriaus. Jis Jis yra yra teigiamas teigiamas (gau-atskaitomas(gaunamas prieš laikrodžio rodyklę) ϕ = ψu− ψ i = 15 ° − ( − 31 ° ) = 46 ° .namas prieš laikrodžio rodyklę) ϕ = ψ − ψ = 15 ° − ( 31 46 .uiI 2U5 V0,1 AϕII 2I 12.17 pav. 2.16 pav. grandinės srovių ir įtampos vektorių diagrama2.17 pav. 2.16 pav. grandinės srovių ir įtampos vektorių diagramaAtsakymas:Atsakymas:1. I 1= 0,488e1. I 1 = 0,488e –j52° = 0,301 –j52° – j0,385 A; I= 0,301 – j0,385 2= 0,25eA; I 2 = j105° = –0,0650,25e j105° + j0,242 A;= –0,065 +I = j0,242 0,276e A; –j31° I = 0,276e 0,236 –j31° – j0,143 = 0,236 A; – j0,143 A;2. I 1 2. = I 10,488 = 0,488 A; A; I 2 I= 2 = 0,25 A; I = 0,276 A; A; PP W W = = 3,82 3,82 W. W.3. P3. R= P R P= EP= E 3,82 = 3,82 W; W; Q LC LC = Q E = 3,99 var;S S Z = S E = 3,82 + j46° ⋅ A.Z= S E= 3,82 + j3,99 = 5,52e j46° V ⋅ A.4. C4. C rez = 71,6 µF.rez= 71,6 µF.2.18 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės (2.14 pav.) modelis, o2.18 pav. pateiktas 1 pavyzdžio grandinės (2.14 pav.) modelis,2.19 pav. – pavyzdžio (2.16 pav.) modelis Multisim aplinkoje.o 2.19 pav. – 2 pavyzdžio (2.16 pav.) modelis Multisim aplinkoje.6262

E100 V50 Hz0DegA+ -3.905 AAC 1e-009OhmR40 OhmL0159.15mH+-2.000 AA2AC 1e-009Ohm+-2.500 AA1AC 1e-009Ohm2.18 pav. 2.14 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje+-C159.15uF5.000 AA3AC 1e-009Ohm63

XWM1A+ -0.276 AV IAC 1e-009OhmE20 V50 Hz45DegR16 OhmL120mH+-C39.8uF0.250 A+-0.488 AA1AC 1e-009Ohm2.19 pav. 2.16 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeA2AC 1e-009Ohm64

2.2. Sudėtingų kintamosios srovės grandinių analizėRasti2.2.2.20–2.27Sudtingpav.kintamosiospateiktų grandinių:srovs grandini analiz1. Šakų 2.2. Sudting srovių kompleksus. kintamosios srovs grandini analizRasti 2.20–2.27 pav. pateiktų grandinių:2.RastiAmpermetrų rodmenis.1. Šakų 2.20–2.27 srovių kompleksus. pav. pateiktų grandinių:3. 1. 2. Voltmetro Šakų Ampermetrų srovių rodmenis. kompleksus. rodmenis.4. 2. 3. Patikrinti Ampermetrų Voltmetro galių rodmenis. balansą.3. 4. Voltmetro Patikrinti galių rodmenis. balansą.4. Patikrinti galių balansą. Duota:E 1 C 1 CDuota:1= 132,5 µF;E 1 C 1 A1RDuota: C 1 132,5 µF;2 50 Ω;A1 CR 2 50 Ω;EVL 1 = 132,5 µF;2 L 2 21,2 mH;R 2R 2L = 50 21,2 Ω; mH;EV2R 3 20 Ω;2 LL 23 = 21,2 20 Ω; mH;R 2 2LR 3 = 50 20 Ω; mH;CL 3 3= 50 80,3 mH;µF;R 3L 3C 3 f Cf = 3 = 60 80,3 Hz;µF;R 3L 3C 3 ef = 1 V;1 60 82,5 Hz; sin(ωt – 59°) V;e 12 = 82,5 sin(ωt – 59°) V; V.2 63,2 sin(ωt + 27°) V.e2.20 pav.2 = 63,2 sin(ωt + 27°) V.2.20 pav.Duota:E 1 R 1 L 1 C 1 RDuota:1 R 1 L C 1= 100 Ω;E 1 11LR 1 100 Ω;1= 136,5 mH;1 VCL 1 136,5 mH;C 2E 21= 94,6 µF;12 94,6 µF;VCA2 C 2E 22= 32,5 µF;23 32,5 120 Ω; µF;RA2L 3= 120 Ω;3 120 54,6 Ω; mH;L f 3 = 70 54,6 Hz;mH;E 3 R 3 L 3 f e= 1 = 70 167,5 Hz; sin(ωt – 32°) V;E 3 R 3 L 3 e 1 2= 167,5 213,2 sin(ωt – + – 42°) 32°) V;V;e 3 141,4 + 90°) V;2= 213,2 sin(ωt + 42°) V. V;e 3 + 90°) V.3= 141,4 sin(ωt + 90°) V.2.21 pav.2.21 pav.65

1 1R 11L 1 C 1R 1L 1 C 1VE 2 2 2 V R 2 C 2E 22 R 2 C 2E 3 L 33 3E 3 L 3 A3A3A32.22 pav.2.22 pav.2.22 pav.1 1E R 11 1L 1E 1L 1L 3 3L 3R 1V2 2C V 2 EA22 R 22EA2 C 2 R 22A23 R 33 C 3R 3 C 32.23 pav.2.23 pav.2.231 1pav.E 11R 1 C 1E 1R 1 C 1A1A1A1V2L 2C 2 E 22 V 2EC 2 2L 2E 3 3R 3L3E 3L33R 3L32.242.24pav.pav.2.24 pav.66666666Duota:Duota:RDuota:1= 150 Ω;150 Ω;LR Duota: 1 1 = 248,7 150 Ω;R mH;L 1 = 248,7 150 Ω; mH;79,6 µF;CL 1 = 248,7 79,6 µF; mH;CR 2 1 100 Ω;2 = 100 79,6 Ω; µF;RC 2 2 = 100 39,8 Ω;µF;LC 3 33 2 = 139,25 39,8 µF; mH;80 Hz;f f L = 3 = 80139,25 Hz; mH;2 339 sin(ωt 45°) V;ef =2 2 80 339Hz;sin(ωt + 45°) V; V;3 282,8 90°) V.e e 2 33 = 282,8339 sin(ωt sin(ωt+–45°) 90°)V;90°) V.eV.3 = 282,8 sin(ωt – 90°) V.Duota:RDuota:RDuota:1= 40 40 Ω; Ω;1 40 Ω;L RL 1 1 = 49,649,6 40 Ω; mH;mH;R L 2 1 = 2 25 49,6 25Ω;Ω; mH;C R 2 2 = 35,4 25 Ω; µF;R C 32 3 3 = 50 35,4 Ω; µF;3 24,8 mH;LR 3 3 = 24,8 50 Ω; mH;L 55,2 µF;3 = 24,8 mH;ff 3 9055,290Hz;µF;C 3 = 55,2 Hz; µF;f ef 1 = 90 116 sin(ωt 41°) V;1 90 116Hz;sin(ωt 41°) V;e e 12 1 70,7 37°) V.2 = 70,7116 sin(ωtsin(ωt– 41°) 37°)V; V;V.e 22 = 70,7 sin(ωt + 37°) V. V.Duota:R Duota: 1 1 1= 200 Ω;R 1 15,9 µF;200 Ω;C C 1= 15,9 µF;2 47,9 mH;21 = 15,9 µF;L 2= 2 47,9 31,8 µF;47,9mH;31,8 mH; µF;C R 23 2= 100 Ω;3 31,8100 µF;Ω;R L 3 95,5 mH;3= 10095,5 Ω;mH;Lf f 100100Hz;33 = 95,5 Hz; mH;f ef = 1 141,4 sin(ωt 45°) V;1 = 100 141,4 Hz;sin(ωt – 45°) V;e e 21 169,7 sinωt V;2 169,7 sinωt V;45°) V;e 1= 141,4 sin(ωt – 45°) V;32 141,4 sin(ωt 37°) V.3 141,4169,7sin(ωtsinωt V;e + 37°) V.e 2= 169,7 sinωt V;3 141,4 sin(ωt 37°) V.e 3= 141,4 sin(ωt + 37°) V.

E 1 R 1 L 1E 1 R 1 L 1VL 2VR C 22L 2C 2C 3 C 3E 3E 3A3A32.25 pav.2.25 pav.R 2.25 pav.1 L 1 C 1R 1 L 1 C 1L 2 E 2L 2 E 2A2A2E V3 VR 3 C E 33R 3 C 32.26 pav.E 1 2.26 pav.C 1E 1 C 1 A1A1L V2 VR C 2L 2 2 C 2E 3C R 33C 3R 3R 2R 2E 32.27 pav.2.27 pav.676767Duota:RDuota:1= 50 Ω;RDuota:1 = 50 Ω;R 52,1 mH;L 1 = 52,1 50 Ω; mH;RL 1 20 Ω;2= 52,1 20 Ω; mH;RL 2 = 34,7 20 Ω;mH;CL 2 = 34,7 30 µF;mH;C 3 2 = 90,2 30 µF; µF;f C = 3 = 110 90,2 Hz; µF;ef 1= 110 100 Hz; sin(ωt + 45°) 45°) V; V;e 3 1 = 63,2 100 sin(ωt + – 45°) 63°) V; V.e 3 = 63,2 sin(ωt –– 63°) 63°) V. V.Duota:R Duota: 1= 60 Ω;L RDuota:1 60 Ω;1 145,5 mH;R CL 1 = 145,5 60 Ω; mH;C 44,6 µF;L 1 = 145,5 44,6 µF;mH;LC 2 1 = 79,6 79,6 44,6 mH;mH; µF;R L 32 = 90 79,6 90 Ω;Ω; mH;CR 3 = 11,05 90 Ω;µF;f C= 3 = 120 11,05 Hz; µF;e f = V;2 120158,1Hz;sin(ωt + 27°) V;e 3 – V.2 = 158,1 sin(ωt + 27°) V;3 282,8 sin(ωt – 53°) V.e 3 = 282,8 sin(ωt – 53°) V.Duota:C Duota: 1 = 15,3 µF;R C 1 15,3 µF;2= 32 Ω;LR 2 32 Ω;L 2= 52,6 mH;2 52,6 mH;C 2= 64,6 µF;3 64,6 Ω;µF;R 3= 3 5050 30,6 Ω;Ω;µF;Cf = 3 = 130 30,6 Hz;µF;f e = 1 = 130 212,1 Hz; sin(ωt – 53°) V;e 1 3 = 212,1 sinωt sin(ωt V.– 53°) V; V;e 3 V.3= 212,1 sinωt V.

Pavyzdys2.28 pav. pateiktos Pavyzdys grandinės e 1= 28,3 sin(314t) V;e 3= 45,3 2.28 sin(314t) pav. V; pateiktos R 1= 16 grandinės Ω; L 1= 120 e 1 mH; = 28,3 Csin(314t) 1= 100 µF; V;Re 32 =2045,3Ω;sin(314t)C 2= 80 µF;V;RR 13==1016Ω,Ω;f =L50 1 =Hz.120 mH; C 1 = 100 µF;R 2 = 20 Ω; CRasti: 2 = 80 µF; R 3 = 10 Ω, f = 50 Hz.Rasti:1.1.ŠakųŠakųsroviųsrovių kompleksus.kompleksus.2. 2. Ampermetrų rodmenis.3. Voltmetro rodmenis.4. Patikrinti galių balansą.E 1 R 1 C 1C 2L 1R 3A1VR 2E 3A2A32.28 pav. Pavyzdžio grandinė2.28 pav. Pavyzdžio grandinėSprendimasSprendimas−1. Kampinis dažnis ω = 2π f = 2 ⋅3,14 ⋅ 50 =−314 1s .1. Kampinis dažnis ω = 2π f = 2 ⋅3,14 ⋅ 50 = 314 s .Grandinės šakų varžų kompleksai:Grandinės šakų varžų kompleksai:⎛ ⎞ ⎛ −3 ⎞Z = R+ j ⎜ωL ⎛ −1 ⎟ = 16 + j⎞ ⎜314 ⋅120 ⋅10−⎛ −31 ⎞Z1 = R1 + j ⎜ωL1− C−6⎟ =⎝ ω ⎠⎟ = 16 + j⎝⎜314 ⋅120 ⋅10− 314 ⋅100 ⋅10⎠=C−6⎟⎝ ω 1 ⎠o⎝314 ⋅100 ⋅10⎠j2016 + j5,87 = 17 eoΩ;j2016 + j5,87 = 17 e Ω;⎛ ⎞ ⎛ ⎞Z 2 = R2+ j ⎜⎛− 1 ⎟⎞ = 20 + j⎛ 1 ⎞Z 2 = R2+ j ⎜ − c⎜ −−6⎟ =⎝ ω 2 ⎠⎟ = 20 + j − =ωC ⎜⎝314 ⋅10 ⋅10−6⎟⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 314 ⋅10 ⋅10⎠o- j 6320 − j 39, 8 =44,5 e o Ω;- j 6320 − j 39, 8 =44,5 e Ω;oj0Z 3 = R3= 0 = 0 e Ω .6868

ZElektrovaros šaltinių 3 = Refektinių 3 = 10 = 10 e Ω .verčių kompleksai:ElektrovarosEšaltinių efektiniųoomj 28 verčių kompleksai:ψe j 0 j 0E= E e o20eo1mj ψ 28,3= 20 V;e1 j 0 j 0E1= 2 e = e = 20e= 20 V;2 2o3mj 45 e3 j 0E3= E oo3mj ψ45,3e3 j 0 32 j 0E 32 V.3 = e = e = 32e= 32 V.2 2Grandinė yra sudėtinga, todėl laisvai parenkamos ir pažymimosgrandinės šakų srovių I 1, I 2bei I 3kryptys (2.29 pav.). Grandinėjeyra du mazgai (m = 2) ir trys šakos (S (S = = 3). 3).oj0R 1 CI 1a1L 1R 3E 1IR 2Cb I 2 22 1IIE 3I 32.29 2.29 pav. pav. Grandinės Grandinės skaičiavimas skaičiavimas Kirchhofo Kirchhofo lygčių lygčių metodu metodu su pažymėtomisšakų šakų srovių srovių kryptimis kryptimis ir kontūrų ir kontūrų apėjimo apėjimo kryptimis kryptimissupažymėtomisŠakų sroves tokioje grandinėje galima skaičiuoti Kirchhofo lygčiųmetodu, kontūrų srovių metodu arba arba mazgų mazgų potencialų metodu. metodu.lygčiųa. a. Kirchhofo lygčių lygi metodas.Grandinėje yra trys nežinomos srovės, todėl šiuo metodu reikiasudaryti ir spręsti trijų lygčių sistemą: viena lygtis pagal I Kirchhofodėsnį, nes, jei grandinėje yra 2 mazgai, tai nepriklausomų lygčiųm − 1 =2 − 1 = 1, o likusios dvi – nepriklausomiems kontūrams (I (I ir irII). Taigi gaunama tokia lygčių sistema:⎧I1 − I 2 + I 3 = 0;⎪⎨IZ + I 2 Z 2 = E;⎪ 69⎩I2 Z 2 + I 3 Z 3 = −E3.69

I 1 − I 2 + I3=0;− I 2 + I 3 = 0;I 1 Z 1 + I 2 Z 2 =E1;1 1 I 2 2 E1;I 2 Z 2 + I 3 Z 3 = −E3.I 2 Z 2 + I 3Z 3 = −E3.TaiTai Tai trijųtrijų lygčiųlygčių sistemasistema su susu kompleksiniaiskompleksiniais skaičiais.skaičiais. Ją JąJą patogupatogupatoguspręstispręsti kompiuteriu,kompiuteriu, taikanttaikant programųprogramų paketąpaketą Mathcad.Mathcad.1−1−11 0 1 −1 1 0 Z:=:= Z := Z1Z1Z2Z20Z1 Z2 0 E:=:=E :=E1E1E10Z2Z2Z3Z3 −E3−E3 0 Z2 Z3 −E31−11 0 1 −1 1 0 Z= Z = 16 +5.9i20 −39.8i016 + 5.9i 20 39.8i 0 E=E =20 20020 −39.8i10−32 0 20 − 39.8i 10 −321.851 −0.525i 1.851 − 0.525iI:=:=lsolvelsolve ( Z ,E)I := lsolve( Z,E)I=I =− 0.079−0.28i0.079 − 0.28i− 1.93+0.246i −1.93+ 0.246iiI1I1:=:=:=i IiI1I1= 1.8511.8511.851−0.525i0.525i0.525iiI1I1= 1.921.921.92argargarg( iI1I1) =−161616deg0degdegI1 := I I1 = 1.851 − 0.525i I1 = 1.92 arg( I1) = −16deg0i2I2I2:=:=:=i Ii2I2I2= − 0.07880.07880.0788−0.2796i0.2796i0.2796ii2I2I2= 0.290.290.29argargarg( i2I2I2) =−106106106degdegdegI2 := I 1I2 = −0.0788−0.2796i I2 = 0.29 arg( I2) = −106deg1i3I3I3:=:=:=i Ii3I3I3= − 1.931.931.93+0.246i0.246i0.246ii3I3I3= 1.951.951.95argargarg( i3I3I3) =173deg2173deg173degI3 := I I3 = −1.93+ 0.246i I3 = 1.95 arg( I3) = 173deg2Taigi, kompiuteriu išsprendę šią šią lygčių sistemą, gauname tokius tokiussrovių šakų srovių efektinių efektinių verčių verčių kompleksus: kompleksus:Taigi, kompiuteriu išsprendę šią lygčių sistemą, gauname tokiusšakųšakų srovių efektinių verčių kompleksus:o161 85 525 92 − j161 j o16I = 1, 85 − j 0, 525 = 1, 92 e − j aA;A ;o1062 0788 28 29 − j106o106I 2 = − 0, 0788 − j 0, 28 = 0, 29 e − j aA;A ;j173ooj173Ij173A3 = − 1, 93 + j 0, 246 = 1, 95 e a .I 3 = − 1, 93 + j 0, 246 = 1, 95 e A .Patikrinimas pagal I Kirchhofo dėsnį:Patikrinimas I pagal I Kirchhofo dėsnį:1 − I 2 + I 3 = 1, 85 − j 0, 525 − ( − 0,0788 − j 0,28)+I1 − I 2 + I 3 = 1, 85 − j 0, 525 − ( − 0,0788 − j 0,28)+( − 1,93+ j0,246) =0 a.A.( − 1,93+ j 0,246) = 0 A.b. Kontūrų srovių metodas.Lygčių, o kartu ir nežinomųjų 70 skaičių galima sumažinti ikiS – m –1 = 3 – 2 –1 = 2 taikant 70 kontūrų srovių metodą.( ) ( )70

. Kontr srovi metodas.Lygčių, o kartu ir nežinomųjų skaičių galima sumažinti ikiS – Pavyzdžio ( m –1) = 3 –( 2 grandinėje –1)= 2 taikant yra kontūrų du srovių nepriklausomi metodą. kontūrai.Kiekviename Pavyzdžio iš grandinėje jų teka savos yra kontūro du nepriklausomi srovės I 11kontūrai. ir I 22(2.30 Kiekvienamekryptys iš jų parenkamos teka savos kontūro laisvai, srovės tarkime, I 11 ir pagal I 22 (2.30 laikrodžio pav.). Jų rodyklės kryptyspav.).Jųjudėjimo parenkamos kryptį. laisvai, tarkime, pagal laikrodžio rodyklės judėjimokryptį.E 1 R 1 L 1 C 1aI 1I 11R 2Cb I 2 22 1I 22E 3 RI 332.30 2.30 pav. pav. Grandinė kontūrų srovėms skaičiuotiLygčių sistema dviejų kontūrų srovėms skaičiuoti:⎧Z 11 11 12 11I + Z2 I 22 = E;⎨21 11 ⎩Z 2I + Z 22 I 22 = E22.Šioje lygčių sistemoje kontūrų varžoso43Z11 = Z1 + Z 2 16 j 36 49,5 e − j o43Z Ω ; = Z + Z 2 = 16 + j5,87 + 20 − j39,8 = 36 − j33,9 = 49,5 e − j Ω;o− j53Z 22 = Z 2 + Z 3 = 20 j 39, 10 30 39, 49, 8eo− j53Ω .Z 22 = Z 2 + Z 3 = 20 − j 39, 8 + 10 = 30 − j 39, 8 = 49, 8eΩ .Kontūrų bendroji varža užrašoma su minusu, nes kontūrų sroviųKontūrų bendroji varža užrašoma su minusu, nes kontūrų sroviųkryptys bendroje varžoje yra priešingos:kryptys bendroje varžoje yra priešingos:oj117Z12 = Z 21 = − Z 2 = − 20 39 44, 5eoj117Ω .Z2 = Z 2 = − Z 2 = − 20 + j 39, 8 = 44, 5eΩ .Kontūrų elektrovarosKontūrų elektrovarosoj0E11 = E1 = 20 oj0;E = E = 20eV ;oj0E22 = E3 = 32eoV.j0E22 = E3 = 32eV .71Gautas varžų ir elektrovarų kompleksų vertes įrašius į lygčiųsistemą gaunama lygčių sistema:71

Gautas varžų ir elektrovarų kompleksų vertes įrašius į lygčių sistemągaunama lygčių sistema:o o o⎧ − j43 o j117 o jo⎧049,5−e j43 ⋅ I + 44,5ej 117⎪⋅ I 22 = 20 ej0⎪49,5e ⋅ I ;11 + ⋅ I 22 = 20 e ;⎨⎨o o o⎪j117 o − j53 o jo0⎪⎩44,5ej 117⋅ I + 49,8−e j53 ⋅ I 22 = 32 ej0⎩44,5e ⋅ I .11 + 49,8e ⋅ I 22 = 32 e .Ją Ją patogu patogu spręsti spręsti kompiuteriu, naudojant naudojant programų programų paketą paketą Mathcad.Mathcad.⎛ Z11 Z12⎞ ⎛ E11⎞Z := ⎜ ⎟⎠ E := ⎜ ⎟⎝ Z21 Z22 ⎝ E22⎠⎛⎝36 − 33.9i −20+ 39.8i ⎛ 20⎞Z = ⎜⎟ E = ⎜ ⎟−20+ 39.8i 30 − 39.8i ⎝ 32⎠I := lsolve( Z,E)I =72⎛⎜⎝⎞⎠1.851 − 0.525i1.93 − 0.246iI11 := I 0I11 = 1.851 − 0.525i I11 = 1.924 arg( I11) = −16degI22 := I 1I22 = 1.93 − 0.246i I22 = 1.95 arg( I22) = −7degKontūrų srovių kompleksinės efektinės vertės:Kontūrų srovių kompleksinės efektinės vertės: o16I = 1, 85 − j 0, 525 = 1, 92 o16I 11 = 1, 85 − j 0, 525 = 1, 92 e − e − jj a ;A ;oo7I 22 = 1, 93 − j 0, 246 = 1, 95 e − j7I 22 = 1, 93 − j 0, 246 = 1, 95 e − j a .A .Šakų srovės:Šakų srovės:o16I = I = 1, 85 − j 0, 525 = 1, 92 o16I1 = I 11 = 1, 85 − j 0, 525 = 1, 92 e − e − jj a ;A ;I 2 = I − I 22 = 1, 85 − j 0, 525 −( 1, 93 − j 0, 246)= −0, 08 − j 0,279 =I 2 = I11 − I 22 = 1, 85 − j 0, 525 − ( 1, 93 − j 0, 246)= −0, 08 − j 0,279 =oj1060, 29 oj1060, 29 e − e − a;A;oj173I o3 = − I 22 = − 1, 93 + j 0, 246 = 1, 95 ej173 a .I 3 = − I 22 = − 1, 93 + j 0, 246 = 1, 95 e A .c.c.MazgMazgųpotencialpotencialųmetodasmetodas.Grandinėje du mazgai (1 ir 2) (2.30 pav.). Jų potencialai VGrandinėje du mazgai (1 ir 2) (2.30 pav.). Jų potencialai V 1 ir V 1ir2 .PrilyginusV 2. Prilyginus vieno mazgo potencialą nuliui, pvz., Vvieno mazgo potencialą nuliui, pvz., V 2 = 0, 2= 0, lieka tiklieka tik vienasvienasnežinomasnežinomaspotencialaspotencialasV 1 . JamV 1.skaičiuotiJam skaičiuotitereikiatereikiavienosvienoslygties:lygties:V Y72= J M ;⎞⎟⎠

čiaY – pirmojo mazgo laidis; J M= ∑ E ⋅Y– prie pirmojo mazgoprijungtų EV šaltinių elektrovarų ir tų šakų laidžių sandaugų algebrinėsuma. Y= + + = + + =o o oZ j20 j63 j01 Z 2 Z −3 17e 44,5e 10e73( )o−4 j00,165 − j1,41⋅ 10 = 0,165eS; ooj0 j0JM= E1 ⋅ − E3⋅ = 20e ⋅ − 32e⋅ =ooZ j20 j01 Z 3 17e 10eoj169e −− 2,1− j0,404 = 2,14 a.1-ojo mazgo potencialas:o− j169JoM2,14e− j169V= = = 12,9e = −12,7 − j2,46V.oYj0 0,165eŠakų srovių kompleksai pagal Omo dėsnį grandinės daliai:II3( j ) oV2− V+ E0 − −12,7 − 2,46 + 20 16o ,92− j= = = e =Zj2017e1,85 − j0,525 a;I2V o−V 2 −12,7 − j2,46 − 0 − j106= = = 0,29e=oZ− j632 44,5e− 0,0788 − j0,28 a;( j ) oV2−V − E30 − −12,7 − 2,46 − 32 173o 1,95j= = = e =Zj030e− 1,93 + j0,246 a.Visais metodais apskaičiuotos srovės gaunamos vienodos.2. Ampermetrų rodmenys (srovių efektinių verčių moduliai):I 1= 1,92 A; I 2= 0,č9 A; I 3= 1,95 A.3. Voltmetras prijungtas prie taškų a ir b (2.29 pav.). Įtampą U abtarp šių taškų galima apskaičiuoti dviem būdais:

ab− j16( ) ( ) 1 92 ( 37 7 31 8)U = I jX − jX + I − jX = , e j , − j , +arba L C 2 C2oo− j106 j120( )0, 29e − j 39, 8 = − 8, 04 + j 14 = 16, 1 e V, 2 2oj2074oo− j16 − j106U = − I R + E − I R = −1, 92e ⋅ 16 + 20 − 0, 29e⋅ 20 =ab− 8, 04 + j 14 = 16, 1 e V.Voltmetro rodmenys – įtampos U abefektinės vertės modulisU ab= 16,1 V.4. Galių balanso patikrinimas.Nagrinėjamosios grandinės galių balanso lygtis:S Z = S E ;S + S + S = S + S ;1Z 2Z 3Z 1E 3E222SZ = IZ, S 2 Z = I2Z 2 , 3 I3Z 3**SE = EI, S 3E E3 I 3E , E 3 kompleksinės galios.čiaS Z = – varžų Z , Z 2 , Z 3 kom-= − – elektrovaros šaltiniųpleksinės galios;oGalia S 3Eužrašoma su minuso ženklu, nes elektrovaros E 3irsrovės I 3kryptys yra priešingos.Įrašę srovių kompleksų ir kompleksinių varžų vertes, gaunametokias varžų kompleksines galias:oo2 2 j20 j20 oo2 2 − j63 − j632 22 2SZI3 Z 3SZ= I Z = 1,92 ⋅ 17e = 63,1e = 59,2 + j21,7 V⋅ a ;S2Z= I Z = 0,29 ⋅ 44,5e = 3,76e = 1,69 − j3,36 V⋅ a ;3= = 1,95 ⋅ 10 = 37,8 V⋅ a .Visų grandinės varžų kompleksinių galių suma:S + S + S =59,2 + j21,7 + 1,69 − j3,36 + 37,8 =1Z 2Z 3Zoj98,83 + j18,4=100eV⋅a.Elektrovaros šaltinių kompleksinės galios išraiškose srovės* *I ir I 3 yra srovių I ir I 3 jungtiniai kompleksai (jie skiriasi tikmenamosios dalies, o kartu ir komplekso argumento ženklu). Jei

o− j16I = 1,92e = 1,85 − j0,525 a iroj173jtai jų jungtiniai kompleksai I = ,92 e A irTada elektrovaros šaltinių kompleksinės galios3* 16 o* oj0 oj16 oj16 I 3 = 1,95e= − 1,93 + 0,246 a ,* 173 oI 3 = 1,95 e − j a .SE= E I = 20e ⋅ 1,92e = 38,5e = 37 + j10,5 V⋅ a ;* o o oj0 − j173 j73 3SE= − E I = −32e ⋅ 1,95e = 62,3e = 61,8 + j7,86 V⋅aAbiejų elektrovaros šaltinių kompleksinė galiaj oS1E + S3E = 37 + j10,5 + 61,8 + j7,86 = 98,8 + j18,4=100eV⋅a.Iš skaičiavimo rezultatų matyti, kad∑ S Z = ∑ S E.Kompleksinė galia algebrine forma:S = P + jQ = 98,8 + j18,4 V⋅ a .Vadinasi, nagrinėjamosios grandinės aktyvioji galiaP = 98,8 W ;reaktyvioji galiaQ = 17,1 var .Atsakymas:1. I 1= 1,85 – j0,525 = 1,92e –j16° A; I 2= –0,0788 – j0,28 = 0,29e –j106° A;I 3= –1,93 + j0,246 = 1,95 e j173° A.2. I 1= 1,92 A; I 2= 0,29 A; I 3= 1,95 A.3. U ab= 16,1 V.4. P R= P E= 98,8 W; Q LC= Q E= 18,4 var;S Z= S E= 98,8 + j18,4 = 100e j11° V ⋅ A.2.31 pav. pateiktas pavyzdžio grandinės (2.28 pav.) modelisMultisim aplinkoje.75

A11.924 A+ -AC 1e-009OhmE120 V50 Hz0DegR116 Ohm+-16.143 VL1120mHU2AC 1MOhmA20.290 A+ -AC 1e-009OhmR220 OhmC2 80uFA3+ - R31.946 A10 OhmAC 1e-009OhmE332 V50 Hz0DegU4+ -12.936 VAC 1MOhm2.31 pav. 2.28 pav. pateiktos grandinės modelis Multisim aplinkojeC1100uF76

2.3. Sudėtingų grandinių su abipusiu induktyvumuanalizė2.3. Rasti Sudting 2.32 pav. grandini pateiktos grandinės: su abipusiu induktyvumu analiz1. Rasti Šakų 2.32 srovių pav. kompleksus.pateiktos grandinės:2. 1. Ampermetrų Šakų srovių kompleksus. rodmenis.2.32 Ampermetrų pav. grandinės rodmenis. elementų parametrai pateikti 2.2 lentelėje.2.32 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 2.2 lentelėje.R 1C 2L 1E 3R 3E 1L 2L 3C 3I 1I 2I 3A2A1A32.32 2.32 pav. Skaičiavimų grandinė2.2 lentelė. lentel. 2.32 pav. grandinės elementų parametrų lentelėmo nis ryšysVar.1 L1 L2 C2 ,3 , X L3 , X C3 , ωM, Jungi-MagnetinisryšysVar.1 , 3 RNr. E Ω Ω Ω būdas* tarpNr. 1, V E 3, V 1, X L1, X L2, X C2, R 3, X L3, X C3, ωM,moΩ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω1 100 + j50 50 – j80 25 50 30 10 20 10 15 2 būdas* S L 1 ir tarp L 212 100 80 + – j60 j50 50 –j150 – j80 25 15 15 50 20 30 70 10 40 20 20 10 40 15 32 SP LL11 ir ir LL322 80 – j60 –j150 15 15 20 70 40 20 40 3 P L3 20 15 j15 10 20 15 20 15 10 20 4 S L 1ir L2 ir L 33 20 15 + j15 10 20 15 20 15 10 20 4 S L 32ir L 34 30 30 + j40 j50 40 50 30 15 15 20 20 20 20 15 15 33 P LL 1 ir L 2 1ir L 25 –j100 80 50 40 80 30 40 20 20 30 30 22 SS LL 1 1ir ir LL 3 36 80 80 + j60 60 – j80 80 60 70 50 50 50 80 80 70 70 33 P LL 2 2 ir ir LL 3 3* S – suderintojo jungimo atvejis, P –– priešinio jungimo jungimo atvejis. atvejis.PavyzdysPavyzdys2.332.33pav.pav.grandinėsgrandinės E 1 =100100V;V; E 2 =8686V;V; R 1 =5050Ω;Ω; R 3 =8080Ω;Ω;X L1 L1= = 40 40 Ω; Ω; X L3 X L3= 30 = 30 Ω; Ω; X C2 X= C225 = 25 Ω; XΩ; C3 X= C350 = Ω; 50 magnetinis Ω; magnetinis ryšys ryšys tarpLtarp 1ir L 31 , ir ωM L 3 , = ωM 5 Ω; = 5 jungimo Ω; jungimo būdas būdas – priešinis. – priešinis.77

Rasti: 1. Grandinės šakų sroves.Rasti: 2. 1. Prietaisų Grandinės rodmenis. šakų sroves.2. Prietaisų rodmenis.L 1E 2R 1C 2E 1L 3R 3C 3A2A1A32.33 pav. Pavyzdžio skaičiavimo grandinėSprendimas1. 1. Pirmiausia Pirmiausia laisvai laisvai parenkamos ir ir pažymimos grandinės grandinės šakų šakųsrovių srovių kryptys kryptys (2.34 (2.34 pav.). pav.). Ričių Ričių jungimo jungimo būdas būdas priešinis, priešinis, todėl todėl srovėssrovės vienavardžių vienavardžių gnybtų gnybtų atžvilgiu atžvilgiu yra orientuotos yra orientuotos skirtingai. skirtingai. Ši grandinėgrandinė yra sudėtinga, yra sudėtinga, todėl ją todėl skaičiuoti ją skaičiuoti galima galima Kirchhofo Kirchhofo lygčių meto-lyg-Šidu čių arba metodu kontūrų arba srovių kontūrų metodu. srovių Mazgų metodu. potencialų Mazgų potencialų metodo tiesiogiai metodotaikyti tiesiogiai negalima, taikyti nes negalima, srovė atskiroje nes srovė šakoje atskiroje su abipusiu šakoje induktyvumusu abipusiupriklauso induktyvumu ne tik priklauso nuo tos ne šakos tik nuo įtampos tos šakos ir elementų įtampos parametrų, ir elementų bet pa-irametrų,kitų, su bet šia ir šaka nuo kitų, magnetiniu su šia šaka ryšiu magnetiniu susietų, šakų ryšiu srovių. susietų, šakųnuosrovių. Jei grandinei skaičiuoti pasirenkamas Kirchhofo lygčių metodas,tuomet Jei reikia grandinei sudaryti skaičiuoti ir spręsti pasirenkamas trijų lygčių Kirchhofo sistemą. lygčių Rašant metodas,tuomet II Kirchhofo reikia sudaryti dėsnį, įtampos ir spręsti kritimo trijų lygčių abipusiame sistemą. induktyvume Rašant lyg-lygtispagalženklas tis pagal priklauso II Kirchhofo nuo dėsnį, srovės įtampos orientacijos kritimo vienavardžių abipusiame induktyvumeženklas bei kontūro priklauso apėjimo nuo srovės krypties. orientacijos Kai srovės vienavardžių vienavardžių gnybtų gnybtųgnybtų atžvilgiuatžvilgiu atžvilgiu orientuotos bei kontūro vienodai, apėjimo įtampos krypties. kritimo Kai srovės induktyvume vienavardžių ir abipusiamegnybtų atžvilgiu induktyvume orientuotos ženklai vienodai, vienodi, įtampos o kai srovės kritimo orientuotos induktyvume skirtingaiir abipusiame – ženklai induktyvume skirtingi. ženklai vienodi, o kai srovės orientuotosskirtingai Lygčių – sistema ženklai pagal skirtingi. Kirchhofo dėsnius:Lygčių sistema pagal Kirchhofo dėsnius:7878

I1 − I 2 − I 3 = 0; II1 1 ( R− I1 + 2 −jXI 3 = 0;L1 ) + I 2 ( − jXC2) − I 3 jω M = E1 − E2;I −1 ( R 1 j ω1 + jXM −L1 ) + II 2 ( −2 ( − jXjXC2 ) +C2) − I 3 jω M = EI 3 R3 + j ( X L3 −1 − E2; XC3) = E2. − I1 j ω M − I 2 ( − jXC2 ) + I 3 ( R3 + j ( X L3 − XC3))= E2.MMR 1 L 1 L 3 R 3R 1 L 1 L 3 R 3 2I 1 I 22I 3I 1 C 2I 3EE 11 IE 22IIIII CC 33A1 A1A2 A2A3 A32.34 2.34 pav. pav. Skaičiavimo grandinė pažymėjus vienavardžius gnybtus, laisvai2.34 pav. Skaičiavimo grandinė pažymėjus vienavardžius gnybtus, laisvaiparinkus šakų srovių kryptis ir kontūrų apėjimo kryptisparinkus šakų srovių kryptis ir kontūrų apėjimo kryptisTai trijų lygčių sistema su kompleksiniais skaičiais. Ją Ją patoguTai trijų lygčių sistema su kompleksiniais skaičiais. Ją patoguspręsti kompiuteriu, naudojant programų paketą Mathcad.spręsti kompiuteriu, naudojant programų paketą Mathcad.11−1−1 0Z :=R1+ XL1⋅i −( Z R1+ XL1⋅i −( XC2⋅i)−ωM⋅i 0 := ⎡ −− ⎤ E E:=:=E1E1 − −E2E2Z⎢−−ωMωM⋅i⋅i XC2 XC2⋅R3 + ( XL3 −XC3 XC3) ) ⋅i⋅⎛ 0i ⎞:= r + Xl⋅i −( Xc2⋅i)−ωm⋅i⎢ ⎥ e :=⎜ e E2 E2 − e2 ⎣ −ωm⋅i Xc2⋅i r3 + ( Xl3 − Xc3) ⋅i⎦⎜ ⎟1 −1 −1−1 −1 0 ⎝ e2 ⎠Z =⎛ − −50 + 40i −25i −5i⎞50 40i −25i −5iE =⎛0E14⎞14Z =⎜ 50 + 40i −25i −5i −5i 25i 80 − 20ie =⎜14⎜86 −5i 25i 80 20i⎟ ⎜ 86⎟⎝ −5i 25i 80 − 20i ⎠ ⎝ 86⎠ 0.304 − 0.4i I := lsolve( Z,E)I =⎛0.304 − 0.4iIEI−0.47− 0.759i⎞i := lsolve( Z,e)i =⎜0.773−0.47+−0.359i0.759i⎜ ⎟⎝0.773 +0.359i⎠ 7979

i := i 0i = 0.304 − 0.4i i = 0.502 arg( i) = −53degi2 := i i2 = −0.47− 0.759i i2 = 0.893 arg( i2) = −22degi3 := i 2i3 = 0.773 + 0.359i i3 = 0.852 arg( i3) = 25degTaigi, išsprendę kompiuteriu šią lygčių sistemą, gauname:80o53I = 0, 304 − j 0, 4 = 0, 502 e − j a ;o22I 2 = −0, 471− j 0, 759 = 0, 893 e − j a ;oj25I 3 = 0, 773 + j 0, 359 = 0, 852 e a .Patikrinimas pagal I Kirchhofo dėsnį:I1 − I 2 − I 3 = 0, 304 − j 0, 4 − ( − 0,47 − j 0,759) −(0,773+ j 0,359) = 0 a.Grandinę su abipusiu induktyvumu (2.34 pav.) galima pakeistiekvivalentine grandine be abipusio induktyvumo. Tam reikia lygčiųsistemoje pagal Kirchhofo dėsnius iš pirmos lygties išreikšti I 3irįrašyti į antrą lygtį (I kontūrui):I = I − I ;3 1 2( ) ( ) ( )I R + jX + I − jX − I − I jω M = E − E L 2 C2 2 2bei išreikšti I 1ir įrašyti į trečią lygtį (II kontūrui):I1 = I 2 + I 3 ;( )( ) ( ) ( )− I + I jωM − I − jX + I R + j X − X = E .2 3 2 C2 3 3 L3 C32Įrašę į lygčių sistemą ir sutvarkę gauname:⎧I1 − I 2 − I 3 = 0;⎪⎨I( R + jX L − jω M ) + I 2 ( − jXC2+ jω M ) = E − E2;⎪⎪⎩ − I 2 ( − jXC2 + j ω M ) + I 3( R3 + j( X L3 − XC3− j ω M ))= E2.Pagal gautą lygčių sistemą galima nubraižyti grandinės ekvivalentinęschemą, kurioje nebėra abipusio induktyvumo, bet yra papildomosvaržos: pirmoje šakoje varža –jωM (talpa), antroje šakoje

varža jωM (induktyvumas) ir trečioje šakoje varža –jωM (talpa).Gautoji grandinės ekvivalentinė schema pateikta 2.35 pav.–jωMR 1X L1E 21X L3R 3E 1I 2X C2I 1I 3jωMX C3–jωM22.35 2.35 pav. Skaičiavimo grandinės ekvivalentinė schemaGautai grandinei (2.35 pav.) skaičiuoti jau galima tiesiogiai taikytivisus grandinių analizės metodus.Kadangi grandinėje yra du mazgai (1 (1 ir ir 2), 2), tai tai šią šią grandinę pato-patoguskaičiuoti mazgų mazgų potencialų potencialų metodu. metodu. Mazgų Mazgų potencialai potencialai V 1 ir VV 2 .1irVPrilyginus nuliui, pvz., antrojo mazgo potencialą, V 2 = 0, lieka tik2. Prilyginus nuliui, pvz., antrojo mazgo potencialą, V 2= 0, liekatikvienasvienasnežinomasnežinomaspirmojopirmojomazgomazgopotencialaspotencialasV 1 .VJam skaičiuoti tereikiavienos lygties1. Jam skaičiuotitereikia vienos lygties1 11M 1V Y= J M ;čiaY 11 – pirmojo mazgo laidis; J M1= ∑ E ⋅Y– prie pirmojo mazgočiaY – pirmojo mazgo laidis; J M= ( 1∑ ) E ⋅Y– prie pirmojo mazgoprijungtų EV šaltinių elektrovarų ir tų šakų laidžių sandaugų al-( )prijungtų EV šaltinių elektrovarų ir tų šakų laidžių sandaugų algebrinėsuma.gebrinė Grandinės suma. šakų kompleksinės varžos:Grandinės šakų kompleksinės varžos:35Z1 R1 j ( X L1M ) 50 j ( 40 5) 50 j35 61ej °= + − ω = + − = + = Ω ;35 ( ) 50 ( 40 5) 50 35 j90Z 2 = j ( ωM − XC2) = j ( 5 − 25) = − j20 = 20e − 61 j °Z = R + j X L − ω M = + j − = + j = ° e Ω ;Ω ;j90ZZ2 = jR( ω+ Mj − XC2− ) X= j( −5 ω − M25) = 80 − + j20 j = 3020− e50 − − 5° Ω = ;3( L C ) ( )( j17) 80 ( 30 50 5)3 3 3Z 3 = R80 3 + − jj25 X L= 383,8 − XeC− 3 − ° ω ΩM . = + j − − =Tadaj1780 − j25 = 83,8 e − ° Ω.8181

Tada Y = + + = + + =o o oZ 35 90 171 Z 2 Z j − j − j3 61e 20e 83,8e82oj60,70,0248 + j0,0442 = 0,0507eS; oo0 j0JM= E ⋅ + E2⋅ = 100e ⋅ + 86e⋅ =ooZ j35 j90 Z −2 61e 20eoj68,21,34 + j3,36 = 3,62ea.1-ojo mazgo potencialas:oj68,2JoM3,62ej7,5V= 71,4e 70,8 j9,39V.oY= = = +j60,7 0,0507eŠakų srovių kompleksai pagal Omo dėsnį grandinės daliai:I( j ) oV2− V+ E0 − 70,8 + 9,39 + 100− j53= = = 0,502e=oZj3561e0,304 − j0,4 a;I2V o−V 2− E270,8 + j9,39 − 86− j22= = = 0,893e =oZ− j902 20e− 0,47 − j0,759a;V o− V2 70,8 + j9,39 − 0j25I 3 = = = 0,852e=oZ− j173 83,8e0,773 + j0,359 a.2. Prietaisai sugraduoti efektinių verčių moduliais. Todėl ampermetrųrodmenys: I 1= 0,502 A, I 2= 0,893 A, I 3= 0,852 A.Atsakymas:1. I 1= 0,304 – j0,4 = 0,502e –j53° A; I 2= –0,47 – j0,759 = 0,893e –j122° A;I 3= 0,773 + j0,359 = 0,852e j25° A.2. I 1= 0,502 A; I 2= 0,893 A; I 3= 0,852 A.2.36 pav. pateiktas 2.35 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje.

+-100.000 VU1R1L1127.32mHR350 OhmC2127.3uF80 OhmomegaM636.6uFomegaM215.92mHE1100 V50 Hz0DegE286 V50 Hz0Deg+-86.000 VU2A1+ -0.502 A+-0.893 AA2AAC 1e-009OhmA3+ -0.852 AAC 1e-009OhmAC 1e-009Ohm2.36 pav. 2.35 pav. grandinės modelis Multisim aplinkojeL395.49mHC363.66uFomegaM3636.6uF83

3. TRIFAZIŲ GRANDINIŲ ANALIZĖ3.1. Žvaigžde 3. TRIFAZI sujungtos GRANDINI trifazės grandinės ANALIZanalizė3.1.1. 3.1. Žvaigžde sujungtos simetrinės trifazs grandins trifazės analiz grandinėsanalizė3.1.1. Žvaigžde sujungtos simetrins trifazs grandins analizRasti 3.1 3.1 pav. pateiktos trifazės grandinės:1. I A ; I B ; I C ; I N ; U a;; U b b;; U c; c ; U N, N , kai kai trifazis simetrinis imtuvas(Z a = Z b = Z c = Z) sujungtas žvaigžde. Šaltinis simetrinis, jo jo fazinėįtampa U f f.2. Ampermetrų rodmenis.3. P, Q, S.4. 4. Nubraižyti srovių ir ir įtampų vektorių diagramą, parodant parodant visų visųelementųelementųįtampas.įtampas.3.1 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 3.1 lentelėje.3.1 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 3.1 lentelėje.AA1I AaZ aU aBA2I BbZ bCA3cU bZ c0′I CI NU c0A4S3.1 pav. Žvaigžde sujungtos trifazės grandinės schema3.1 pav. Žvaigžde sujungtos trifazės grandinės schema3.1 lentelė. 3.1 pav. grandinės elementų parametrai3.1 lentel. 3.1 pav. grandinės elementų parametraiVar. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8Var. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8U f , f, V 200 175 150 125 100 75 50 30200 175 150 125 100 75 50 30Z, Ω 120Z, 120++j160j160100100–j100–j1005050––j100j100j200j2006060++j80j80160160––j120j120–j30–j3084

Pavyzdys3.1 pav. grandinės U f= 100 V; Z = 30 – j40 Ω.Rasti:1. I A; I B; I C; I N; U a; U b; U c; U N.2. Ampermetrų rodmenis.3. P, Q, S.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą, parodant visųelementų įtampas.Sprendimas1. Jei trifazis imtuvas simetrinis, tai pakanka apskaičiuoti tikvienos fazės dydžius, nes simetrinėje trifazėje grandinėje visų faziųsrovės ir įtampos yra vienodo dydžio, tik jų fazės skiriasi 120°.Simetrinėje grandinėje nuliniu laidu srovė neteka (I N= 0), šis laidasgrandinės režimui jokios įtakos neturi.Jei žinomas fazinės įtampos dydis U f, tai simetrinio trifazio šaltiniofazinių įtampų kompleksai:j0° j0°2 j20U = U e = 00 e V ; U = a U = 00 e − ° V ;Af85Bj20°U = aU = 00 e V ;CAj20°jčia a = e – fazės daugiklis, a = e − ° .Neatsižvelgiant į tai, ar nulinis laidas yra, ar ne, mazgų 0 ir 0′potencialai yra vienodi, nulinė įtampa UN= U0'− U0= 0 V . Tadašaltinio ir imtuvo atitinkamų fazių įtampos yra vienodos: Ua= UA,Ub= UB, Uc= UC.Fazės A srovė apskaičiuojama pagal Omo dėsnį grandinės daliai:j0 j0A2 20Ua U A U A 00e 00ej53IA= = = = = = 2e = 1,2 + j1,6 a .ZaZaZ 30 − j40 j5350e − Kitos srovės:2 j120 j53 j67I a I e −−= ⋅ = ⋅ 2e = 2e = 0,786 − j1,84 a ;BA j120 j53 j173I = a ⋅ I = e ⋅ 2e = 2e =− 1,986 + j0,24 a .CA

2. Ampermetrų rodmenys: I A= I B= I C= 2 A; I N= 0 A.3. 3. Aktyvioji Aktyvioji galia galia2 2P R = 3P f = 3I f A Re( Zre( a ) = 3⋅ 2 ⋅ 30 = 360 W ;30 360 reaktyvioji reaktyvioji galia galia2 2Q 2 2LC = 3Q LC f = 3I f A Im( ZA im( a ) = 3⋅ 2 ⋅ ( − 40) = − 480 var ;a40) 480 varkompleksinėkompleksinėgaliagalia2 2 − j53 − j53S = 3S 2 2 − j53 − j53f= 3I A ZfAa = 3⋅ 2 ⋅ 50e = 600e = 360 − j480 V ⋅ A .a50 600 360 480 a4. Vektorių diagrama pateikta 3.2 pav.4. Vektorių diagrama pateikta 3.2 pav.25 VI BU A1 AI AU Cϕ Aϕ CI CI Cϕ BU BI B3.2 pav. Vektorių diagrama simetrinės apkrovos atveju3.2 pav. Vektorių diagrama simetrinės apkrovos atvejuAtsakymas:1. I Atsakymas:A= 1,2 + j1,6 = 2e j53° A; I B= 0,786 – j1,84 = 2e –j67° A;I1. I C= –1,99 + j0,24 = 2eA 1,2 + j1,6 = 2e j53° j173° A; IA; I B = 0,786 N= 0 A.– j1,84 = 2e –j67° A;2. II 1= IC –1,99 A=2 A; I+ j0,24 2= I= B= 2 A; I2e j173° A; 3= II C= 2 A; IN = 0 A. 4= I N= 0 A.3. P = 360 W; Q = –480 var; S = 600e –j53° V ⋅ A.2. I 1 = I A =2 A; I 2 I B = 2 A; I 3 = I C = 2 A; I 4 = I N = 0 A.3. P = 360 W; Q = –480 var; S = 600e –j53° V ⋅ A.8686

3.1.2. Žvaigžde sujungtos nesimetrinės trifazės grandinėsanalizėRasti 3.1 pav. pateiktos trifazės grandinės:1. I A; I B; I C; I N; U a; U b; U c; U N, kai imtuvas nesimetrinis ir:a) nulinis laidas įjungtas;b) nulinis laidas išjungtas;c) nutrūkęs vienas linijinis laidas (Z c= ∞), nulinis laidasįjungtas;d) nutrūkęs vienas linijinis laidas (Z c= ∞), nulinis laidas išjungtas;2. Ampermetrų rodmenis visiems atvejams.3. P, Q, S visiems atvejams.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramas visiems atvejams,parodant visų elementų įtampas.3.1 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 3.2 lentelėje.3.2 lentelė. 3.1 pav. grandinės elementų parametraiVar. Nr. Šaltinis simetrinis,U f, VZ a, Ω Z b, Ω Z c, Ω1 200 200 160 – j120 60 + j802 175 80 – j120 –j175 100 + j1503 150 70,7 + j70,7 150 150 – j1004 125 j125 75 + j50 2505 100 80 + j60 75 70,7 – j70,76 75 100 50 – j50 j757 50 25 + j25 50 j758 30 60 25 + j40 30 – j60Pavyzdys3.1 pav. grandinėsU f= 100 V; Z a= 50 + j50 Ω; Z b= 50 Ω; Z c= –j80 Ω.Sprendimas1. a. Kai nulinis laidas įjungtas ir jo varža lygi nuliui (Z = 0),šaltinio ir imtuvo atitinkamų fazių fazinės įtampos yra vienodos:j0 j0U = U = U e = 00 e V ;aAf87

− j2088− j20U = U = U e = 100e= −50 − 86,6 V ;bBfj20j20U = U = U e = 100e= − 50 + 86,6 V .cCfGrandinėje tekančių srovių kompleksai apskaičiuojami pagalOmo dėsnį grandinės daliai:UaU 00 00A− j45IA= = = = = 1,41e = 1 − j a ;ZaZa50 + j50 70,7j45e− j20UbU B 00e− j20IB= = = = 2e = −1−j1,73 a ;Z Z 50bbj20j20UcUC00e 00ej210 − j150IC= = = = = 1,25e = 1,25e=ZcZc− j80 − j9080e−1,08 − j0,625 a.Nulinio laido srovė pagal I Kirchhofo dėsnį( ) ( )I = I + I + I = 1− j + −1− j1,73 + −1,08 − j0,625=N A B Cj108e − −1,08 − j3,36 = 3,53 a.2. Ampermetrų rodmenys: I A= 1,41 A; I B= 2 A; I C= 1,25 A;I N= 3,53 A.3. Aktyvioji galia2 2 2R A B C A a B b C cP = P + P + P = I re( Z ) + I re( Z ) + I re( Z ) =2 2 21,41 ⋅ 50 + 2 ⋅ 50 + 1,25 ⋅ 0 = 300 W;reaktyvioji galia2 2 2LC A B C A a B b C cQ = Q + Q + Q = I im( Z ) + I im( Z ) + I im( Z ) =2 2 21,41 ⋅ 50 + 2 ⋅ 0 + 1,25 ⋅ ( − 80) = −25 var;kompleksinė galia∗ ∗ ∗j45 − j120S = U ⋅ I + U ⋅ I + U ⋅ I = 100 ⋅ 1,41e + 100e⋅A A B B C C j120 j120 j150 − j52e + 100e ⋅ 1,25e = 300 − j25 = 301 e V ⋅ a.

4. Vektorių diagrama pateikta 3.3 pav.1. b. Kai nulinis laidas išjungtas, jo varža Z = ∞, šaltinio ir imtuvoatitinkamų fazių įtampos yra nevienodos. Mazgų 0 ir 0′ potencialainevienodi nevienodi V0≠ V0'.0≠ Todėl V0'. Todėl pirmiausia pirmiausia reikia apskaičiuoti reikia apskaičiuoti imtuvoimtuvo fazines fazines įtampas. įtampas. Jos apskaičiuojamos Jos apskaičiuojamos pagal II pagal Kirchhofo II Kirchhofo dėsnį:dėsnį: Ua = U Aa = − U NA − , UU bN , = U Bb = − U N ,B − Uc N , = UC c = − U N .C − UNulinė N . Nulinė įtampa įtampaNU = UN= U0' − U0'− U0(įtampa tarp imtuvo ir šaltinio nulinių mazgų) ap-0(įtampa tarp imtuvo ir šaltinio nulinių mazgų)apskaičiuojama taip: taip:U AY A a + Ua BY b + Ub CYCYcUcUN =;N = Y ;a + Y b + Y cčiaa b cčia 1 1 1−−jj45YaY= a = = = = = = 0,0141 ee = = 0,01 0,01 − j−0,01 j0,01 S;S;Z Z 50 50 ja a 50 + + j j50 j4570,7e1 1YYbb= = = 0,02 Ss; ;Z b501 1 1 j90Y j90Yc=c = = = = 0,0125e = j0,0125 S .Z= 80= 0,0125e = j0,0125 S .c − jZ 80 j90c − j 80e −j9080e − 25 VU AI A1 AU Cϕ CI Cϕ AI BU BI BI NI C3.3 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nulinis laidas3.3 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nulinisįjungtaslaidas įjungtas8989

UNNulinė įtampaU AY a + U BY b + UCYc= =Y + Y + Y− j113a b c − j45 − j120 j120 j90100 ⋅ 0,0141e + 100e ⋅ 0,02 + 100e ⋅ 0,0125e0,01− j0,01+ 0,02 + j0,0125117e= −45,1 − j108 V.Imtuvo fazinės įtamposj37( )( ) ( )U = U − U = 100 − −45,1 − j108 = 145 + j108 = 181 e V ;a A NU = U − U = −50 − j86,6 − −45,1 − j108 = − 4,9 + j21,5=b B Nj10322,1 e V;j9( ) ( )U = U − U = − 50 + j86,6 − −45,1 − j108 = − 4,9 + j194,6=c C N195 e V.Tada srovių kompleksaij37Ua181e− j8IA= = = 2,56e = 2,53 − j0,37 a;Zaj4570,7ej103Ub22,ej103IB= = = 0,442e = − 0,0981+j0,431 a;Z 50bj9ej1812,43 2,43 0,0613 a .j90e − Uc195ICZc 80= e = − − jPatikrinimas:IA + IB + IC= 2,53 − j0,37 − 0,0981+ j0,431− 2,43 − j0,0613 = 0 .2. Ampermetrų rodmenys:I A= 2,56 A; I B= 0,442 A; I C= 2,43 A; I N= 0 A.3. Aktyvioji galia2 2 2R A B C A a B b C cP = P + P + P = I re( Z ) + I re( Z ) + I re( Z ) =2 2 22,56 ⋅ 50 + 0,442 ⋅ 50 + 2,43 ⋅ 0 = 337 W;90=

eaktyvioji galia2 2 2LC A B C A2 a 2B b 2Q C cLC = QA + QB + QC = I A Im( Z a ) + IB Im( Z b ) + ICIm( Z c ) =2 2 2,56 ⋅ 250 + 0,442 2⋅ 2,4322,56 ⋅ 50 + 0,442 ⋅ 0 + 2,43 ⋅ ( − 80)80)==−−147147var;var;Q = Q + Q + Q = I im( Z ) + I im( Z ) + I im( Z ) =kompleksinė galia∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ j8j8 − j−120S = U j120A A ⋅ IA A+ UB B ⋅ IB B + UCC⋅ I C = 100 ⋅ 2,56 e + 100e ⋅ − j103 − j103 j120 j120 − j 181 − j240,442e + 100e ⋅ 2,43e = 337 − j147 = 368 e − j24V ⋅ A.S = U ⋅ I + U ⋅ I + U ⋅ I = ⋅ e + e ⋅0,442e + 100e ⋅ 2,43e = 337 − j147 = 368 e V ⋅ a.4. 4. Vektorių diagrama pateikta 3.4 pav. pav.25 VU AU a1 A0I AU NU B0′U CI BU cU bI C3.4 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nulinis laidas3.4 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nulinisišjungtaslaidas išjungtas1. c. Jei nutrūkęs vienas linijinis laidas (Z c = ∞), tai I C = 0 A. Nulinis1. c. laidas Jei įjungtas nutrūkęs ir vienas jo varža linijinis lygi nuliui laidas (Z = (Z 0), c= šaltinio ∞), tai ir IimtuvoC= 0 A.Nulinis atitinkamų laidas fazių įjungtas įtampos ir jo yra varža vienodos: lygi nuliui Ua= U(Z A= ; U0), b= šaltinio UB. ir imtuvoatitinkamų Grandinėje fazių tekančių įtampos srovių yra kompleksai vienodos: Ua= UA; Ub= UB.Grandinėje Uatekančių U A 100 srovių kompleksai 100− j45IA= = = = = 1,41e = 1 − j A ;UaZaUZa50 00 + j50 70,7 00j45Ae− j45IA= = = = = 1,41e = 1 − j a ;ZaZa50 + j50 70,7j4591 e91

− j20UbU B 00e− j20IB= = = = 2e = −1−j1,73 a .Z Z 50bbNulinio laido srovė pagal I Kirchhofo dėsnįj90( )I = I + I = 1− j + −1− j1,73 = − j2,73 = 2,73 e − a.N A B2. Ampermetrų rodmenys: I A= 1,41 A; I B= 2 A; I N= 2,73 A.3. Aktyvioji galia2 2 2 2R A B A a B bP = P + P = I re( Z ) + I re( Z ) = 1,41 ⋅ 50 + 2 ⋅ 50 = 300 W;reaktyvioji galia2 2LC A B A a BQ = Q + Q = I im( Z ) + I im( Z ) =2 21,41 ⋅ 50 + 2 ⋅ 0 = 100 var;kompleksinė galiaj120 j18bj45 − j120S = U ⋅ I + U ⋅ I = 100 ⋅ 1,41e + 100e⋅A∗AB∗B2e = 300 + j100 = 316 e V ⋅ a.4. Vektorių diagrama pateikta 3.5 pav.1. d. Jei nutrūkęs vienas linijinis laidas (Z c= ∞) ir nulinis laidasišjungtas, tai I C= 0 A ir I N= 0 A. Šaltinio ir imtuvo atitinkamųfazių įtampos yra nevienodos. Mazgų 0 ir 0′ potencialai nevienodiV0≠ V0'. Todėl pirmiausia reikia apskaičiuoti imtuvo fazines įtampas:Ua = U A − U N , Ub = U B − U N . Nulinė įtampa UN= U0'− U0.Nulinė įtampaUN− j45 − j120A a + B b ⋅ + ⋅U Y U Y 100 0,0141e 100e0,02= = =Y + Y 0,0− j0,0+0,02a b− j7286,4e= 27,3 − j82 V.92

Imtuvo fazinės įtamposj48( )( ) ( )U = U − U = 100 − 27,3 − j82 = 72,7 + j82 = 110 e V ;a A NU = U − U = −50 − j86,6 − 27,3 − j82 = −77,3 − j4,64=b B Nj177e − 77,5 V.25 VU AI A1 Aϕ AI Nϕ B =0U CI BU B3.5 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nutrūkęs3.5 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nutrūkęsvienas linijinis laidas ir įjungtas nulinis laidasvienas linijinis laidas ir įjungtas nulinis laidas1. d. Jei nutrūkęs vienas linijinis laidas (Z c = ∞) ir nulinis laidasTada srovių kompleksaiišjungtas, tai I C = 0 A ir I N = 0 A. Šaltinio ir imtuvo atitinkamų faziųj48įtampos yra Unevienodos. a 0eMazgų 0 j3ir 0′ potencialai nevienodiIV0≠ V0'. A = = = 1,55e = 1,55 + j0,093 a;Todėl pirmiausia Zreikia apskaičiuoti imtuvo fazines įtampas:Ua = U A − U N , Ub = U B − U N . Nulinė įtampa Uaj4570,7eN= U0'− U0.− j177Nulinė Uįtampab 77,5e− j177IB= = = 1,55e = −1,55 − j0,093 a .UZj45 j120AbY a + U 50BY −−b 100 ⋅ 0,0141e + 100e⋅ 0,02U N = = =Gavome, Ykad a + YIbA= − IB. 0,01− j0,01+0,022. Ampermetrų rodmenys: I− j72A= 1,55 A; I B= 1,55 A.86,4e= 27,3 − j82 V.Imtuvo fazinės įtamposj48( )Ua = U A − U N = 100 − 27,3 − j82 = 72,7 + j82 = 110 e V ;U = U − U = ( −50 − j86,6) 93 − ( 27,3 − j82)= −77,3 − j4,64=b B Nj177e − 77,5 V.Tada srovių kompleksai

Za70,7ej45− j177Ub77,5e− j177IB= = = 1,55e = −1,55 − j0,093 A .Z 50bGavome, kad I3. Aktyvioji galiaA = − IB.2. Ampermetrų rodmenys: I2 A = 1,55 A; I2 B = 1,55 A.3. Aktyvioji PR galia = PA + PB = I A re( Z a ) + IBre( Z b ) =2 2 2 2PR = 1,55 PA + P⋅ B50= + I1,55 A Re( Z⋅ 50a ) = + 240 IBRe( W; Z b ) =reaktyvioji galia 2 21,55 ⋅ 50 + 1,55 ⋅ 50 = 240 W;2 2reaktyvioji Q galia = Q + Q = I im( Z ) + I im( Z ) =LC A B A a BLC2A ⋅ B+ 2 2A ⋅ = a2BQ = 1,55 Q + 50 Q = 1,55 I Im( 0Z 120 ) + Ivar;Im( Z ) =2 2kompleksinė 1,55 galia ⋅ 50 + 1,55 ⋅ 0 = 120 var;kompleksinė∗galia∗ − j3 − j120 j177S = U A ⋅ I A+ U B ⋅ I B = 100 ⋅ 1,55e + 100e ⋅ 1,55e=∗ ∗ − j3 − j120 j177S = U A⋅ I A+ UB⋅ I Bj27= 100 ⋅ 1,55e + 100e ⋅ 1,55e=240+ j120 = 268 e V a.j274. 240+ Vektorių j120 = diagrama 268 e pateikta V ⋅ A. 3.6 pav.4. Vektorių diagrama pateikta 3.6 pav.U AU abb25 V1 AI A0U N0′U CU BI BU b3.6 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nutrūkęs3.6 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju, kai nutrūkęsvienas linijinis laidas ir nulinis laidas išjungtasvienas linijinis laidas ir nulinis laidas išjungtas9494

Atsakymas:1.a. I A= 1 – j = 1,41e –j45° A; I B= –1 – j1,73 = 2e –j120° A; I C= –1,08 –j0,625 = 1,25e –j150° A; I N= –1,08 – j3,36 = 3,53e –j108° A.P = 300 W; Q = –25 var; S = 301e –j5° V ⋅ A.1.b. I A= 2,53 – j0,37 = 2,56e –j8° A; I B= –0,0981 + j0,431 = 0,442e j103° A;I C= –2,43 – j0,0613 = 2,43e j181° A.U a= 145 + j108 = 181e j37° V; U b= –4,9 + j21,5 = 22,1e j103° V;U c= –4,9 + j194,6 = 195e j91° V; U N= –45,1 – j108 = 117e –j113° V.P = 337 W; Q = –147 var; S = 368e –j24° V ⋅ A.1.c. I A= 1 – j = 1,41e –j45° A; I B= –1 – j1,73 = 2e –j120° A;I N= –j2,73 = 2,73e –j90° A.P = 300 W; Q = 100 var; S = 316e j18° V ⋅ A.1.d. I A= 1,55 + j0,093 = 1,55e j3° A; I B= –1,55 – j0,093 = 1,55e –j177° A.U a= 72,7 + j82 = 110e j48° V; U b= –77,3 – j4,64 = 77,5e –j177° V;U N= 27,3 – j82 = 86,4e –j72° V.P = 240 W; Q = 120 var; S = 268e j27° V ⋅ A.3.7 pav. pateiktas 3.1 pav. grandinės, kai apkrova nesimetrinė,nulinis laidas įjungtas, o 3.8 pav. – kai apkrova nesimetrinė, nulinislaidas išjungtas, modeliai Multisim aplinkoje.95

UA100.000 V+ -IA1.420 A+ -AC 1e-009mOhmR150 OhmAC 1MOhmUB100.000 V+ -L1159.2mHU141.421 V 50 HzIB2.000 A+ -AC 1e-009mOhmAC 1MOhmUC100.000 V+ -R250 OhmIC1.245 A+ -AC 1e-009mOhmAC 1MOhmC139.678uFIN3.526 A+ -AC 1e-009mOhm3.7 pav. 3.1 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje (apkrova nesimetrinė, nulinis laidas įjungtas)96

Ua180.794 V+ -IA2.566 A+ -AC 1e-009mOhmR150 OhmAC 1MOhmUb22.149 V+ -L1159.2mHU141.421 V 50 HzIB0.443 A+ -AC 1e-009mOhmAC 1MOhmUc194.821 V+ -R250 OhmIC2.431 A+ -AC 1e-009mOhmAC 1MOhmC139.678uFUN117.093 V+ -AC 1MOhm3.8 pav. 3.1 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje (apkrova nesimetrinė, nulinis laidas išjungtas)97

3.2. Trikampiu sujungtos trifazės grandinės analizė3.2. Trikampiu sujungtos trifazs grandins analiz3.2.1. Trikampiu sujungtos simetrinės trifazės grandinės3.2.1. Trikampiu sujungtos simetrins analizė trifazs grandins analizRasti 3.8 pav. pateiktos trifazės grandinės:1. 1. Fazines ir linijines sroves, kai kai trifazis imtuvas simetrinis(Z (Z ab =ab Z bc =bc Z ca =ca Z). Šaltinis simetrinis, jo linijinė įtampa U l .l 2.2.AmpermetrųAmpermetrųirirvatmetrųvatmetrųrodmenis.rodmenis.3. P, Q, S.3. P, Q, S.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą.3.84. Nubraižytipav. grandinėssroviųelementųir įtampųparametraivektorių diagramą.pateikti 3.3 lentelėje.3.8 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 3.3 lentelėje.*A * W1 A1aI abZ abBA2I BbI AZ bcZ caI caA4I bcA6CA5I C c* W2 A3*3.8 3.8 pav. pav. Trikampiu Trikampiu sujungtos sujungtos trifazės trifazės grandinės grandinės schema schema3.3 lentel. 3.8 pav. grandinės elementų parametraiVar. 3.3 Nr. lentelė. 3.8 1 pav. grandinės 2 3 elementų 4 parametrai 5 6 7 8UVar. l , V Nr. 1300 2275 3250 4225 5200 6175 7150 8125Z, Ω 200 – j100 j100 –j250 80 + j140 –j100 80 + j80 200 100 – j25U l, V 300 275 250 225 200 175 150 125Z, Ω 200 – j100 j100 –j250 80 + j140 –j100 80 + j80 200 100 – j25Pavyzdys3.8 pav. grandinės U l = 400 V; imtuvas simetrinisZ ab = Z bc = Z ca = Z = 100 + j300 Ω.98

Pavyzdys3.8 pav. grandinės U l= 400 V; imtuvas simetrinisZ ab= Z bc= Z ca= Z = 100 + j300 Ω.Rasti:1. Fazines ir linijines sroves.2. Ampermetrų ir vatmetrų rodmenis.3. P, Q, S.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą.Sprendimas1. Jei trifazis imtuvas yra simetrinis, tai pakanka apskaičiuotitik vienos fazės dydžius. Simetrinėje trifazėje grandinėje visų faziųsrovės ir įtampos yra vienodo dydžio, tik 120° skiriasi jų fazės.Kai šaltinis simetrinis, jo įtampos:j0° j0°2 j20U = U e = 400 e V ; U = a U = 400 e − ° V ;ABl99BCABj20°UCA= aUAB= 400 e V .Bet kurią fazinę srovę galima apskaičiuoti pagal Omo dėsnį:j0 j0Uab UAB 400e 400e− j72I ab = = = = = 1,26 e = 0,4 − j1,2 a.Z 100 300 j72ab Z + j 316eTada kitos fazinės srovės2 j168°I = a I = 1,26e = − 1,24 + j0,254 a ;bcabj48°I ca = aI ab = 1,26e = 0,839 + j0,946 a .Linijinės srovės− j30° − j102°I = 3I e = 2,19e = −0,439 − j2,15 a ;Aab2 j138°Aj18°AI = a I = 2,19e = − 1,64 + j1,45 a ;BI C = aI = 2,19e = 2,08 + j0,693 a .Patikrinimas:I + I + I = −0,439 − j2,15 − 1,64 + j1,45 + 2,08 + j0,693 = 0 a.A B C

2. Ampermetrų rodmenys:I A= I B= I C= 2,19 A; I ab= I bc= I ca= 1,26 A.Vatmetrų rodmenys:PW = U ABIA cos( ψuAB − ψ iA) = 400 ⋅ 2,19 ⋅ cos(0 − ( − 102 )) = −176 W;P W 2 = U CB IC cos( ψ uCB − ψ iC) = 400 ⋅ 2,19⋅ cos(( − 120 + 180 ) − ( − 102 )) =656 W.Abiejų vatmetrų galiaP W = P W1 + PW2 = − 176 + 656 = 480 W.3. 3. Aktyvioji galia2 2R f ab abP = 3 P = 3 I re( Re( Z) = 3 ⋅ 1,26 ⋅ 100 = 480 W;reaktyvioji galia2 2LC f ab abQ = 3 Q = 3 I im( Im( Z) = 3 ⋅ 1,26 ⋅ 300 = 1440 var;kompleksinė galia2 2 j72 j72ababS = 3 S = 3 I Z = 3 ⋅ 1,26 ⋅ 316 e = 1518 e = 480 + j1440 V⋅⋅aA..f4. 4. Vektorių diagrama pateikta 3.9 pav.I CU AB100 V0,5 AI AI ca-30°ϕ abϕ caI abϕ bcI bcI BU CAU BC3.9 pav. Vektorių diagrama simetrinės apkrovos atvejuAtsakymas:1. I ab = 0,4 – j1,2 = 1,26e –j72° A; I bc = –1,24 + j0,254 = 1,26e j168° A;I ca = 0,839 + j0,946 = 1,26e j48° 100A; I A = –0,439 – j2,15 =2,19e –j102° A; I B = –1,64 + j1,45 = 2,19e j138° A; I C = 2,08 + j0,693 =2,19e j18° A.

Atsakymas:1. I ab= 0,4 – j1,2 = 1,26e –j72° A; I bc= –1,24 + j0,254 = 1,26e j168° A;I ca= 0,839 + j0,946 = 1,26e j48° A; I A= –0,439 – j2,15 =2,19e –j102° A; I B= –1,64 + j1,45 = 2,19e j138° A; I C= 2,08 + j0,693= 2,19e j18° A.2. I 1= I ab= 1,26 A; I 2= I bc= 1,26 A; I 3= I ca= 1,26 A;I 4= I A= 2,19 A; I 5= I B= 2,19 A; I 6= I C= 2,19 A;P W1= –176 W; P W2= 656 W.3. P = 480 W; Q = 1440 var; S = 1518e j72° V ⋅ A.3.2.2. Trikampiu sujungtos nesimetrinės trifazėsgrandinės analizėRasti 3.8 pav. pateiktos trifazės grandinės:1. Fazines ir linijines sroves, kai trifazis imtuvas nesimetrinis.Šaltinis simetrinis, jo linijinė įtampa U l.2. Ampermetrų ir vatmetrų rodmenis.3. P, Q, S.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą.3.8 pav. grandinės elementų parametrai pateikti 3.4 lentelėje.3.4 lentelė. 3.8 pav. grandinės elementų parametraiVar. Nr. Šaltinis simetrinis,U l, VZ ab, Ω Z bc, Ω Z ca, Ω1 125 100 25 – j45 30 + j602 150 25 + j25 50 j753 175 100 50 – j50 j1754 200 80 + j100 175 70,7 – j70,75 225 j125 75 + j50 2506 250 70,7 + j70,7 150 150 – j1007 275 80 – j120 –j175 100 + j1508 300 200 160 – j120 60 + j80Pavyzdys3.8 pav. grandinės U l= 160 V; šaltinis simetrinis,Z ab= 150 – j100 Ω; Z bc= 50+j150 Ω; Z ca= 100 Ω.101

Rasti:1. Fazines ir linijines sroves.2. Ampermetrų ir vatmetrų rodmenis.3. P, Q, S.4. Nubraižyti srovių ir įtampų vektorių diagramą.Sprendimas1. Kai šaltinis simetrinis, jo įtamposj0° j0°j20U = U e = 160 e V ; U = 160 e − ° V ;ABlUCAj20°BC= 160 e V .Jei linijos laidų varža lygi nuliui, imtuvo ir šaltinio įtampos yralygios. Imtuvo fazinės srovės apskaičiuojamos pagal Omo dėsnį:IIabbcj0 j0Uab UAB 160e 160ej34= = = = = 0,888 e =Z 150 100 j34ab Z ab − j −180e0,738+ j0,492 a;− j20− j20UbcUBC 160e 160e− j92= = = = = ,0 e =Z 50 150 j72bc Z bc + j 158e− 0,991+ j0,203 a;j20UcaUCA 160ej20I ca = = = = 1,6e = −0,8+ j1,39 a.Z Z 00cacaLinijinės srovės apskaičiuojamos pagal I Kirchhofo dėsnį:I = I − I = 0,738 + j0,492 − ( − 0,8 + j1,39) = 1,54 − j0,893=A ab caj30e − °1,78 a;I = I − I = − 0,991+ j0,203 − (0,738 + j0,492) = −1,73 − j0,289=B bc abj171e − °1,75 a;I = I − I = − 0,8 + j1,39 − ( − 0,991+ j0,203) = 0,191+ j1,18=C ca bcj81°1,2 e a.102

Patikrinimas:I A + I B + I C = 1,54 − j0,893 + ( −1,73 − j0,289) + 0,191+ j1,18 = 0 a.2. Ampermetrų rodmenys:I 1= I ab= 0,888 A; I 2= I bc= 1,01 A; I 3= I ca= 1,6 A;I 4= I A= 1,78 A; I 5= I B= 1,75 A; I 6= I C= 1,2 A;Vatmetrų rodmenys:PW = U ABIA cos( ψuAB − ψ iA) = 160 ⋅1,78⋅ cos(0 − ( − 30 )) = 246 W ;PW 2 = UCBIC cos( ψuCB − ψ iC ) = 160 ⋅1,2⋅Abiejų vatmetrų galia cos(( − 120 + 180 ) − 81 ) = 179 W.PW = PW + PW2 = 246 + 179 = 425 W .3. Aktyvioji galia2 2 2R ab bc ca ab ab bc bc ca caP = P + P + P = I re( Z ) + I re( Z ) + I re( Z ) =2 2 20,888 ⋅ 150 + 1,01 ⋅ 50 + 1,6 ⋅ 100 = 425 W;reaktyvioji galia2 2 2LC ab bc ca ab ab bc bc ca caQ = Q + Q + Q = I im( Z ) + I im( Z ) + I im( Z ) =2 2 20,888 ⋅ ( − 100) + 1,01 ⋅ 150 + 1,6 ⋅ 0 = 74,8 var;kompleksinė galia∗ ∗ ∗ab bc ca AB ab BC bc CA caS = S + S + S = U ⋅ I + U ⋅ I + U ⋅ I = − j34 − j120 − j168 j120 − j120160 ⋅ 0,888e + 160e ⋅ 1,01e + 160e ⋅ 1,6e=j0425 + j74,8 = 432 e V ⋅ a.4. Vektorių diagrama pateikta 3.10 pav.103

o o o o o− j34 − j120 − j168 j120 − j120160⋅ 0,888e + 160e ⋅ 1,01e + 160e ⋅ 1,6e=oj10425 + j74,8 = 432 e V ⋅ A.4. Vektorių diagrama pateikta 3.10 pav.U AB40 V0,5 AI abI Aϕ abI Bϕ bcI caI bcU CAI CU BC3.10 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atveju3.10 pav. Vektorių diagrama nesimetrinės apkrovos atvejuAtsakymas:1. I ab= 0,738 + j0,492 = 0,888e j34° 103 A; I bc= –0,991 + j0,203 =1,01e –j192° A; I ca= –0,8 + j1,39 = 1,6e j120° A; I A= 1,54 – j0,893= 1,78e –j30° A; I B= –1,73 – j0,289 = 1,75e –j171° A;I C= 0,191 + j1,18 = 1,2e j81° A.2. I 1= I ab= 0,888 A; I 2= I bc= 1,01 A; I 3= I ca= 1,6 A;I 4= I A= 1,78 A; I 5= I B= 1,75 A; I 6= I C= 1,2 A;P W1= 246 W; P W2= 179 W.3. P = 425 W; Q = 74,8 var; S = 432e j10° V ⋅ A.3.11 pav. pateiktas 3.8 pav. grandinės, kai apkrova nesimetrinė,modelis Multisim aplinkoje.104

U226.27 V 50 HzA11.779 A+ -AC 1e-009OhmR1150 OhmC131.83uFA21.755 A+ -+-0.874 AA4AC 1e-009OhmAC 1e-009OhmR250 OhmL1477.5mHA31.198 A+ -+-1.012 AA5AC 1e-009OhmAC 1e-009Ohm3.11 pav. 3.8 pav. grandinės modelis Multisim aplinkoje (apkrova nesimetrinė)+-R3100 Ohm1.600 AA6AC 1e-009Ohm105

UŽDAVINIŲ ATSAKYMAI1.1.1.1. R a= 4 Ω; I E= 6 A; I 14= 3 A; I 25= 2 A; I 3= 1 A; I 67= 3 A;U ab= –16 V.1.2. R a= 4,12 Ω; I E= 2,91 A; I 17= 1,14 A; I 2= 0,571 A;I 35= 1,2 A; I 46= 1,71 A; U ab= 2,06 V.1.3. R a= 20 Ω; I E= 1,8 A; I 1= 0,9 A; I 2= 0,9A; I 3= 0,6 A;I 4= 0,6 A; I 5= 1,2 A; I 67= 0,6 A U ab= 28,8 V.1.4. R a= 20 Ω; I E= 6 A; I 16= 1 A; I 2= 3 A; I 357= 2 A; I 4= 3 A;U ab= –80 V.1.5. R a= 20,6 Ω; I E= 2,91 A; I 16= 1,14 A; I 2= 0,571 A;I 357= 1,2 A; I 4= 1,71 A; U ab= –16,3 V.1.6. R a= 62,9 Ω; I E36= 1,91 A; I 12= 1,28 A; I 4= 0,514 A;I 5= 0,771 A; I 7= 0,624 A; U ab= –62,8 V.1.7. R a= 20 Ω; I E= 9 A; I 12= 3 A; I 3= I 7= 6 A; I 4= 3 A; I 5= 2 A;I 6= 1 A; U ab= 0 V.1.8. R a= 12 Ω; I E17= 6 A; I 2= 4 A; I 36= 2 A; I 4= 1,33 A;I 5= 2,67 A; U ab= –4 V.1.2.1.1.17. I 1= 0,483 A; I E2= 2,03 A; I 34= 0,552 A; U ab= –9,24 V;P EJ= P R= 20,6 W.1.18. I E14= 0,571 A; I 2= 1,71 A; I 3= 0,857 A; U ab= 7,43 V;P EJ= P R= 18,3 W.1.19. I 14= 0,35 A; I 2= 2,1 A; I E3= 1,45 A; U ab= 8,6 V;P EJ= P R= 18,7 W.1.20. I 12= 0,4 A; I E3= 2,8 A; I 4= 0,4 A; U ab= –22,8 V; P EJ= P R=64 W.1.21. I 1= 1,52 A; I 24= 1,21 A; I E3= 1,73 A; U ab= 19,9 V;P EJ= P R= 73,5 W.1.22. I E1= 2 A; I 24= 4 A; I 3= 1 A; U ab= 12 V; P EJ= P R= 56 W.1.23. I E14= 1,9 A; I 2= 0,3 A; I 3= 0,6 A; U ab= 16,4 V;P EJ= P R= 44,4 W.106

1.24. I 14= 0,602 A; I E2= 0,446 A; I 3= 0,843 A; U ab= –17,95 V;P EJ= P R= 34,5 W.1.2.2.1.28. I 1= 2,1 A; I 2= 1,52 A; I 3= 1,83 A; I 4= 0,317 A; I 5= 0,58 A;I 6= 0,264 A; P R= P E= 197 W.1.29. I 1= 0,5 A; I 2= 1 A; I 3= 0,5 A; I 4= 0,4 A; I 5= 0,6 A;I 6= 0,1 A; P R= P E= 25 W.1.30. I 1= 1,02 A; I 2= 1,16 A; I 3= 0,133 A; I 4= 1,33 A;I 5= 0,133 A; I 6= 1,2 A; P R= P E= 81,1 W.1.31. I 1= 1,09 A; I 2= 2,42 A; I 3= 3,5 A; I 4= 1,53 A; I 5= 1,97 A;I 6= 0,441 A; P R= P E= 137 W.1.32. I 1= 0,2 A; I 2= 1 A; I 3= 2 A; I 4= 1 A; I 5= 0,8 A; I 6= 1,8 A;P R= P E= 236 W.1.33. I 1= 0,86 A; I 2= 1,87 A; I 3= 1,01 A; I 4= 1,28 A; I 5= 0,592 A;I 6= 0,42 A; P R= P E= 86,6 W.1.34. I 1= 4,86 A; I 2= 6,29 A; I 3= 1,43 A; I 4= 6 A; I 5= 1,43 A;I 6= 4,57 A; P R= P E= 357 W.1.35. I 1= 0,25 A; I 2= 4,83 A; I 3= 5,08 A; I 4= 5,5 A; I 5= 0,417 A;I 6= 5,25 A; P R= P E= 187 W.1.2.3.1.39. I 1= 2 A; I 2= 4 A; I 3= 2 A; I 4= 4 A; I 5= 6 A; U ab= –8 V;P R= P E= 176 W.1.40. I 1= 1,37 A; I 2= 0,105 A; I 3= 1,26 A; I 4= 0,667 A;I 5= 1,93 A; I 6= 2,03 A; U ab= –30 V; P R= P E= 80,4 W.1.41. I 1= 2 A; I 2= 1 A; I 3= 3 A; I 4= 3 A; I 5= 0 A; I 6= 3 A;U ab= –18 V; P R= P E= 72 W.1.42. I 1= 0,252 A; I 2= 0,954 A; I 3= 1,21 A; I 4= 0,456 A;I 5= 0,75 A; I 6= 0,204 A; U ab= 16,3 V; P R= P E= 33,7 W.1.43. I 1= 2,06 A; I 2= 0,606 A; I 3= 1,45 A; I 4= 3,45 A; I 5= 2 A;U ab= 27,6 V; P R= P E= 92,6 W.1.44. I 1= 0,95 A; I 2= 0,289 A; I 3= 0,66 A; I 4= 1 A; I 5= 1,66 A;I 6= 1,95 A; U ab= –28 V; P R= P E= 67,9 W.1.45. I 1= 4 A; I 2= 2 A; I 3= 6 A; I 4= 6 A; I 5= 3 A; I 6= 3 A;U ab= 24 V; P R= P E= 180 W.107

1.46. I 1= 2,05 A; I 2= 11 A; I 3= 13,1 A; I 4= 4,58 A; I 5= 8,5 A;I 6= 2,53 A; U ab= 20,3 V; P R= P E= 424 W.1.2.4.R1.50 3, Ω 0 2 4 6 8 10I 3, A 2,25 0,9 0,563 0,409 0,321 0,2651.511.521.531.541.551.561.57R 2, Ω 0 2 4 6 8 10I 2, A 9,33 4,67 3,11 2,33 1,87 1,56R 4, Ω 0 3 6 9 12 15I 4, A 10,6 3,74 2,27 1,63 1,27 1,04R 5, Ω 0 5 10 15 20 25I 5, A 5 1,62 0,968 0,69 0,536 0,458R 1, Ω 0 3 6 9 12 15I 1, A 10,8 3,4 1,96 1,38 1,06 0,864R 1, Ω 0 3 6 9 12 15I 1, A 8,67 3,85 2,48 1,82 1,44 1,20R 3, Ω 0 4 8 12 16 20I 3, A 3,6 0,947 0,545 0,383 0,295 0,24R 2, Ω 0 2 4 6 8 10I 2, A 1,0 0,556 0,385 0,294 0,238 0,202.1.1.2.1. Z 1= 10 – j10 = 14,1e –j45° Ω; Z 2= 5 + j30 = 30,4e j81° Ω;Z = 15 + j20 = 25e j53° Ω; U = 46 + j20 = 50e j23° V;u = 70,7 sin(314t + 23°) V; ϕ = 53°;u 1= 40 sin(314t – 75°) V; u 2= 86 sin(314t + 51°) V;P = 60 W; Q = 80 var; S = 100e j53° V ⋅ A.L rez= 31,86 mH.2.2. Z 1= 2 + j3,02 = 3,62e j56° Ω; Z 2= 2 = 2e j0° Ω;Z = 4 + j3 = 5e j37° Ω; U = 2,1 + j14,9 = 15e j82° V;u = 21,2 sin(314t + 82°) V; ϕ = 37°;u 1= 15,4 sin(314t + 101°) V; u 2= 8,49 sin(314t+45°) V;P = 36 W; Q = 27,1 var; S = 45e j37° V ⋅ A.L rez= 28,62 mH.108

2.3. Z 1= j10 = 10e j90° Ω; Z 2= 4 – j7 = 8,1e –j60° Ω;Z = 4 + j3 = 5e j37° Ω; U = 36,8–j15,7 = 40e –j23° V;u = 56,6 sin(314t – 23°) V; ϕ = 37°;u 1= 113 sin(314t + 30°) V; u 2= 91,3 sin(314t – 120°) V;P = 256 W; Q = 192 var; S = 320e j37° V ⋅ A.L 12rez= 47,79 mH.2.4. Z 1= 6 + j6 = 8,5e j45° Ω; Z 2= –j14 = 14e –j90° Ω;Z = 6 – j8 = 10e –j53° Ω; U = 64,4 – j27,6 = 70e –j23° V;u = 99 sin(314t – 23°) V; ϕ = –53°;u 1= 84,1 sin(314t + 75°) V; u 2= 138,8 sin(314t – 60°) V;P = 294 W; Q = –393 var; S = 491e –j53° V ⋅ A.L rez= 57,36 mH.2.5. Z 1= 3 + j10 = 10,4e j73° Ω; Z 2= 5 – j16 = 16,8e –j73° Ω;Z = 8 – j6 = 10e –j37° Ω; U = 36,8 + j15,7 = 40e j23° V;u = 56,6 sin(314t + 23°) V; ϕ = –37°;u 1= 59,1 sin(314t + 133°) V; u 2= 94,9 sin(314t – 13°) V;P = 128 W; Q = –95,9 var; S = 160e –j37° V ⋅ A.L rez= 50,92 mH.2.6. Z 1= 4 = 4e j0° Ω; Z 2= 2 – j8 = 8,2e –j76° Ω;Z = 6 – j8 = 10e –j53° Ω; U = –7,1 – j49,4 = 50e –j98° V;u = 70,7 sin(314t – 98°) V; ϕ = –53°;u 1= 28,3 sin(314t – 45°) V; u 2= 58,2 sin(314t – 121°) V;P = 150 W; Q = –200 var; S = 250e –j53 V ⋅ A.L rez= 57,31 mH.2.7. Z 1= 20 =20e j0° Ω; Z 2= j5 = 5e j90° Ω;Z = 20 + j5 = 20,6e j14° Ω; U = 88,9 + j86 = 124e j44° V;u = 175 sin(314t + 44°) V; ϕ = 14°;u 1= 170 sin(314t + 30°) V; u 2= 42,4 sin(314t + 120°) V;P = 720 W; Q = 180 var; S = 742e j14° V ⋅ A.L 12rez= 31,86 mH.2.8. Z 1= –j5 = 5e –j90° Ω; Z 2= 6 + j13 = 14,6e j65° Ω;Z = 6 + j8 = 10e j53° Ω; U = 89,4 – j10,7 = 90e –j7° V;u = 127 sin(314t – 7°) V; ϕ = 53°;109

u 1= 63,6 sin(314t – 150°) V; u 2= 182 sin(314t + 5°) V;P = 486 W; Q = 649 var; S = 811e j53° V ⋅ A.L rez= 54,14 mH.2.1.2.1 var. I 1= 1,88 + j0,684 = 2e j20° A; I 2= 1,37 – j3,76 = 4e –j70° A;I 3= –1,03 + j2,82 = 3e j110° A; I = 2,22 – j0,256 = 2,24e –j7° A;ϕ = 27°;i 1= 2,83 sin(314t + 20°) A; i 2= 5,66 sin(314t – 70°) A;i 3= 4,24 sin(314t + 110°) A; i = 3,17 sin(314t – 7°) A;P = 48 W; Q = 24 var; S = 53,7e j27° V ⋅ A.2 var. I 1= 0,5 – j0,866 = e –j60° A; I 2= –3,46 – j2 = 4e –j150° A;I 3= 1,73 + j = 2e j30° A; I = –1,23 – j1,87 = 2,24e –j123° A;ϕ = 63°;i 1= 1,41 sin(314t – 60°) A; i 2= 5,66 sin(314t – 150°) A;i 3= 2,83 sin(314t + 30°) A; i = 3,17 sin(314t – 123°) A;P = 100 W; Q = 200 var; S = 224e j63° V ⋅ A.3 var. I 1= 3,46 + j2 = 4e j30° A; I 2= 1 – j1,73 = 2e –j60° A;I 3= –0,5 + j0,866 = e j120° A; I = 3,96 + j1,13 = 4,12e j16° A;ϕ = 14°;i 1= 5,66 sin(314t + 30°) A; i 2= 2,83 sin(314t – 60°) A;i 3= 1,41 sin(314t + 120°) A; i = 5,83 sin(314t + 16°) A;P = 800 W; Q = 200 var; S = 824e j14° V ⋅ A.4 var. I 1= 2,12 – j2,12 = 3e –j45° A; I 2= –0,707 – j0,707 = e –j135° A;I 3= 1,41 + j1,41 = 2e j45° A; I = 2,83 – j1,41 = 3,16e –j27° A;ϕ = –18°;i 1= 4,24 sin(314t –45°) A; i 2= 1,41 sin(314t – 135°) A;i 3= 2,83 sin(314t + 45°) A; i = 4,47 sin(314t – 27°) A;P = 360 W; Q = –120 var; S = 379e –j18° V ⋅ A.5 var. I 1= 1 + j1,73 = 2e j60° A; I 2= 0,866 – j0,5 = e –j30° A;I 3= –1,73 + j = 2e j150° A; I = 0,134 + j2,23 = 2,24e j87° A;ϕ = –27°;i 1= 2,83 sin(314t + 60°) A; i 2= 1,41 sin(314t – 30°) A;i 3= 2,83 sin(314t + 150°) A; i = 3,17 sin(314t + 87°) A;110

P = 100 W; Q = – 50 var; S = 112e –j27° V ⋅ A.6 var. I 1= 0,906 – j0,423 = e –j25° A; I 2= –0,845 – j1,81 = 2e –j115° A;I 3= 1,27 + j2,72 = 3e j65° A; I = 1,33 + j0,484 = 1,41e j20° A;ϕ = –45°;i 1= 1,41 sin(314t – 25°) A; i 2= 2,83 sin(314t – 115°) A;i 3= 4,24 sin(314t + 65°) A; i = 2 sin(314t + 20°) A;P = 36 W; Q = –36 var; S = 50,9e –j45° V ⋅ A.7 var. I 1= 2,12 + j2,12 = 3e j45° A; I 2= 1,41 – j1,41 = 2e –j45° A;I 3= –3,54 + j3,54 = 5e j135° A; I = j4,24 = 4,24e j90° A;ϕ = –45°;i 1= 4,24 sin(314t + 45°) A; i 2= 2,83 sin(314t – 45°) A;i 3= 7,07 sin(314t + 135°) A; i = 6 sin(314t + 90°) A;P = 450 W; Q = –450 var; S = 636e –j45° V ⋅ A.8 var. I 1= 0,866 – j0,5 = e –j30° A; I 2= –1,5 – j2,6 = 3e –j120° A;I 3= 1 + j1,73 = 2e j60° A; I = 0,366 – j1,37 = 1,41e –j75° A;ϕ = 45°;i 1= 1,41 sin(314t – 30°) A; i 2= 4,24 sin(314t – 120°) A;i 3= 2,83 sin(314t + 60°) A; i = 2 sin(314t – 75°) A;P = 30 W; Q = 30 var; S = 42,4e j45° V ⋅ A.2.2.1 var.1. I 1= –2,17 – j0,375 = 2,2 e –j170° A; I 2= –1,26 – j0,066 = 1,26e –j177° A;I 3= 0,905 + j0,309 = 0,957e j19° A.2. I 1= 2,2 A; I 2= 1,26 A; I 3= 0,957 A.3. U ab= –6,98 + j33,3 = 34e j102° V; U ab= 34 V.4. S Z= S E= 97,9 – j96,9= 138e –j45° V ⋅ A.2 var.1. I 1= 0,584 + j0,493 = 0,764e j40° A; I 2= 0,483+j2,46 = 2,51e j79° A;I 3= –0,101 + j1,97 =1,97e j93° A.2. I 1= 0,764 A; I 2= 2,51 A; I 3= 1,97 A.3. U ab= 131 + j79 = 153e j31° V; U ab= 153 V.4. S Z= S E= 524 – j326= 617e –j32° V ⋅ A.111

3 var.1. I 1= –0,779 + j0,451 = 0,9e j150° A; I 2= 1,93 + j2,76 = 3,37e j55° A;I 3= –2,71 – j2,31 =3,56e –j140° A.2. I 1= 0,9 A; I 2= 3,37 A; I 3= 3,56 A.3. U ab= 286 + j102 = 304e j20° V; U ab= 304 V.4. S Z= S E= 1260 + j401= 1320e j18° V ⋅ A.4 var.1. I 1= 1,12 – j0,657 = 1,3e –j30° A; I 2= 0,771 + j0,391 = 0,864e j27° A;I 3= –0,353 + j1,05 =1,11e j109° A.2. I 1= 1,3 A; I 2= 0,864 A; I 3= 1,11 A.3. U ab= –2,29 + j11,3 = 11,5e j101° V; U ab= 11,5 V.4. S Z= S E= 147,7 – j11,8= 148e –j5° V ⋅ A.5 var.1. I 1= 0,773 + j0,303 = 0,831e j21° A; I 2= 2,71 + j0,284 =2,72e j6° A;I 3= 1,93 – j0,0194 =1,93e –j1° A.2. I 1= 0,831 A; I 2= 2,72 A; I 3= 1,93 A.3. U ab= –29,2 + j193 = 196e j99° V; U ab= 196 V.4. S Z= S E= 511 + j7,25= 511e j1° V ⋅ A.6 var.1. I 1= 1,01 + j0,925 = 1,37e j42° A; I 2= 1,47 + j0,138 =1,47e j5° A;I 3= 0,451 – j0,788 = 0,908e –j60° A.2. I 1= 1,37 A; I 2= 1,47 A; I 3= 0,908 A.3. U ab= 2,62 – j31,4 = 31,5e –j85° V; U ab= 31,5 V.4. S Z= S E= 137,5 + j2,13 = 138e j1° V ⋅ A.7 var.1. I 1= –0,1 – j0,793 = 0,8e –j97° A; I 2= 1,76 – j0,709 = 1,9e –j22° A;I 3= 1,86 + j0,084 = 1,86e j3° A.2. I 1= 0,8 A; I 2= 1,9 A; I 3= 1,86 A.3. U ab= –77 + j266 = 277e j106° V; U ab= 277 V.4. S Z= S E= 350 – j149 = 542e –j23° V ⋅ A.8 var.1. I 1= 2,18 – j0,321 = 2,2e –j8° A; I 2= 3,13–j0,649 = 3,19e –j12° A;I 3= 0,949 – j0,328 = e –j19° A.2. I 1= 2,2 A; I 2= 3,19 A; I 3= 1 A.112

3. U ab= 77 – j158 = 176e –j64° V; U ab= 176 V.4. S Z= S E= 377 – j183 = 419e –j26° V ⋅ A.2.3.1 var.1. I 1= 0,77 + j0,223 = 0,801e j16° A; I 2= 0,2 – j4,2 = 4,2e –j87° A;I 3= 0,57 – j4,42 = 4,46e –j97° A.2. I 1= 0,801 A; I 2= 4,2 A; I 3= 4,46 A.3. P = 413 W; Q = 283 var; S = 501e j34° V ⋅ A.2 var.1. I 1= 3,79 + j1,35 = 4,03e j20° A; I 2= 2,8 + j0,895 = 2,94e j18° A;I 3= –0,991 – j0,457 = 1,09e –j155° A.2. I 1= 4,03 A; I 2= 2,94 A; I 3= 1,09 A.3. P = 291 W; Q = –187 var; S = 346e –j33° V ⋅ A.3 var.1. I 1= 0,598 – j0,851 = 1,04e –j55° A; I 2= 1,07 + j0,408 = 1,14e j21° A;I 3= 0,469 + j1,26 = 1,34e j70° A.2. I 1= 1,04 A; I 2= 1,14 A; I 3= 1,34 A.3. P = 37,9 W; Q = 5,17 var; S = 38,2e j8° V ⋅ A.4 var.1. I 1= 0,673 – j0,282 = 0,73e –j23° A; I 2= 1,64 + j0,85 = 1,84e j27° A;I 3= 0,963 + j1,13 = 1,49e –j50° A.2. I 1= 0,73 A; I 2= 1,84 A; I 3= 1,49 A.3. P = 65,5 W; Q = 83,6 var; S = 106e j52° V ⋅ A.5 var.1. I 1= –1,26 – j0,986 = 1,59e –j143° A; I 2= –0,07 – j0,514= 0,519e – j98° A; I 3= 1,2 + j0,45 = 1,28e j21° A.2. I 1= 1,59 A; I 2= 0,519 A; I 3= 1,28 A.3. P = 192 W; Q = 90,7 var; S = 212e j25° V ⋅ A.6 var.1. I 1= 0,638 + j0,0525 = 0,64e j5° A; I 2= 0,919 – j1,9 = 2,11e –j64° A;I 3= 0,281 – j1,95 = 1,97e –j82° A.2. I 1= 0,64 A; I 2= 2,11 A; I 3= 1,97 A.3. P = 227 W; Q = 129 var; S = 261e j30° V ⋅ A.113

3.1.1.1 var.1. I A= 0,6 – j0,8 = e –j53° A; I B= –0,993 – j0,12 = e –j173° A;I C= 0,393 + j0,92 = e j67° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 1 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 360 W; Q = 480 var; S = 600e j53° V ⋅ A.2 var.1. I A= 1,75 A; I B= –0,875 – j1,52 = 1,75e –j120° A;I C= –0,875 + j1,52 = 1,75e j120° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 1,75 A; I 2= I B= 1,75 A; I 3= I C= 1,75 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 919 W; Q = 0 var; S = 919e j0° V ⋅ A.3 var.1. I A= j1,5 = 1,5e j90° A; I B= 1,3 – j0,75 = 1,5e –j30° A;I C= –1,3 – j0,75 = 1,5e –j150° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 1,5 A; I 2= I B= 1,5 A; I 3= I C= 1,5 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 0 W; Q = –675 var; S = 675e –j90° V ⋅ A.4 var.1. I A= 0,5 + j = 1,12e j63° A; I B= 0,616 – j0,933 = 1,12e –j57° A;I C= –1,12 – j0,067 = 1,12e –j177° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 1,12 A; I 2= I B= 1,12 A; I 3= I C= 1,12 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 188 W; Q = –375 var; S = 419e –j63° V ⋅ A.5 var.1. I A= –j0,5 = 0,5e –j90° A; I B= –0,433 + j0,25 = 0,5e j150° A;I C= 0,433 + j0,25 = 0,5e j30° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 0,5 A; I 2= I B= 0,5 A; I 3= I C= 0,5 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 0 W; Q = 150 var; S = 150e j90° V ⋅ A.6 var.1. I A= 0,45 – j0,6 = 0,75e –j53° A; I B= –0,745 – j0,0897 =0,75e –j173° A; I C= 0,295 + j0,69 = 0,75e j67° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 0,75 A; I 2= I B= 0,75 A; I 3= I C= 0,75 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 101 W; Q = 135 var; S = 169e j53° V ⋅ A.7 var.1. I A= 0,2 + j0,15 = 0,25e j37° A; I B= 0,03 – j0,248 = 0,25e –j83° A;114

I C= –0,23 + j0,098 = 0,25e j157° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 0,25 A; I 2= I B= 0,25 A; I 3= I C= 0,25 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 30 W; Q = –22,5 var; S = 37,5e –j37° V ⋅ A.8 var.1. I A= j = e j90° A; I B= 0,866 – j0,5 = e –j30° A;I C= –0,866 – j0,5 = e –j150° A; I N= 0 A.2. I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 1 A; I 4= I N= 0 A.3. P = 0 W; Q = –90 var; S = 90e –j90° V ⋅ A.3.1.2.1 var.1.a. I A= 1 A; I B= 0,12 – j0,99 = e –j83° A;I C= 0,366 + j1,37 = 1,41e j75° A; I N= 1,49 + j0,373 = 1,53e j14° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 1,41 A; I 4= I N= 1,53 A.P = 560 W; Q = 80 var; S = 566e j8° V ⋅ A.1.b. I A= 0,5 – j0,205 = 0,54e –j22° A; I B= –0,158 – j1,46 = 1,47e –j96° A;I C= –0,34 + j1,66 = 1,7e j102° A; I N= 0 A;U a= 99,7 – j41 = 108e –j22° V; U b= –200 – j214 = 293e –j133° V;U c= –200 + j132 = 240e j147° V; U N= 100 + j41 = 108e j22° V.I 1= I A= 0,54 A; I 2= I B= 1,47 A; I 3= I C= 1,7 A; I 4= I N= 0 A.P = 690 W; Q = 30 var; S = 691e j2° V ⋅ A.1.c. I A= 1 A; I B= 0,12 – j0,99 = e –j83° A; I N= 1,12 – j0,993 = 1,5e –j42° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 1,5 A.P = 360 W; Q = –120 var; S = 379e –j18° V ⋅ A.1.d. I A= 0,606 + j0,683 = 0,91e j48° A; I B= –0,606 – j0,683 = 0,91e –j132° A;U a= 121 + j137 = 183e j48° V; U b= –179 – j36,6 = 183e –j168° V;U N= 78,9 – j137 = 158e –j60° V.I 1= I A= 0,91 A; I 2= I B= 0,91 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 300 W; Q = –100 var; S = 316e –j18° V ⋅ A.2 var.1.a. I A= 0,67 + j1,01 = 1,21e j56° A; I B= 0,87 – j0,5 = e –j30° A;I C= 0,43 + j0,87 = 0,971e j64° A; I N= 1,97 + j1,38 = 2,4e j35° A.I 1= I A= 1,21 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0,971 A; I 4= I N= 2,4 A.P = 212 W; Q = –210 var; S = 299e –j45° V ⋅ A.115

1.b. I A= 0,503 – j0,232 = 0,55e –j155° A; I B= 0,627 – j1,89= 1,99e –j72° A; I C= –0,125 + j2,12 = 2,12e j93° A; I N= 0 A;U a= –68 + j41,8 = 79,8e j148° V; U b= –331 – j110 = 348e –j162° V;U c= –331 + j193 = 383e j150° V; U N= 243 – j41,8 = 247e –j10° V.I 1= I A= 0,55 A; I 2= I B= 1,99 A; I 3= I C= 2,12 A; I 4= I N= 0 A.P = 476 W; Q = –53,1 var; S = 479e –j6° V ⋅ A.1.c. I A= 0,67 + j1,01 = 1,21e j56° A; I B= 0,87 – j0,5 = e –j30° A;I N= 1,54 + j0,51 = 1,62e j18° A.I 1= I A= 1,21 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 1,62 A.P = 118 W; Q = –352 var; S = 371e –j71° V ⋅ A.1.d. I A= –0,254 + j0,959 = 0,99e j105° A; I B= 0,254 – j0,959 = 0,99e –j75° A;U a= 94,7 + j107 = 143e j49° V; U b= –168 – j44,4 = 174e –j165° V;U N= 80,3 – j107 = 134e –j53° V;I 1= I A= 0,99 A; I 2= I B= 0,99 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 78,7 W; Q = –290 var; S = 301e –j75° V ⋅ A.3 var.1.a. I A= 1,06 – j1,06 = 1,5e –j45° A; I B= –0,5 – j0,866 = e –j120° A;I C= –0,746 + j0,369 = 0,832e j154° A; I N= –0,19 – j1,56 = 1,57e –j97° A.I 1= I A= 1,5 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0,832 A; I 4= I N= 1,57 A.P = 413 W; Q = 90 var; S = 423e j12° V ⋅ A.1.b. I A= 1,59 – j0,416 = 1,65e –j15° A; I B= –0,553 – j0,312 = 0,635e –j151° A;I C= –1,04 + j0,728 = 1,27e j145° A; I N= 0 A;U a= 142 + j83,1 = 165e j30° V; U b= –83 – j47 = 95,3e –j151° V;U c= –83 + j213 = 229e j111° V; U N= 8 – j83,1 = 83,5e –j84° V.I 1= I A= 1,65 A; I 2= I B= 0,635 A; I 3= I C= 1,27 A;I 4= I N= 0 A.P = 493 W; Q = 30,6 var; S = 494e j4° V ⋅ A.1.c. I A= 1,06 – j1,06 = 1,5e –j45° A; I B= –0,5 – j0,87 = e –j120° A;I N= 0,561 – j1,93 = 2,01e –j74° A.I 1= I A= 1,5 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 2,01 A.P = 309 W; Q = 159 var; S = 348e j27° V ⋅ A.1.d. I A= 1,1 + j0,238 = 1,12e j12° A; I B= –1,1 – j0,238 = 1,12e –j168° A;U a= 60,7 + j94,3 = 112e j57° V; U b= –164 – j35,6 = 168e –j168° V;116

U N= 89,3 – j94,3 = 130e –j47° V.I 1= I A= 1,12 A; I 2= I B= 1,12 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 277 W; Q = 88,9 var; S = 291e j18° V ⋅ A.4 var.1.a. I A= –j = e –j90° A; I B= –1,24 – j0,61 = 1,39e –j154° A;I C= –0,25 + j0,433 = 0,5e j120° A; I N= –1,49 – j1,18 = 1,9e –j142° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1,39 A; I 3= I C= 0,5 A; I 4= I N= 1,9 A.P = 207 W; Q = 221 var; S = 303e j47° V ⋅ A.1.b. I A= 0,784 – j1,07 = 1,32e –j54° A; I B= –0,566 + j0,24 = 0,615e j157° A;I C= –0,218 + j0,825 = 0,85e j105° A; I N= 0 A;U a= 133 + j97,9 = 165e j36° V; U b= –54 – j10 = 55,4e –j169° V;U c= –54 + j206 = 213e j105° V; U N= –8,1 – j97,9 = 98,3e –j95° V.I 1= I A= 1,32 A; I 2= I B= 0,615 A; I 3= I C= 0,85 A; I 4= I N= 0 A.P = 210 W; Q = 237 var; S = 317e j48° V ⋅ A.1.c. I A= –j = e –j90° A; I B= –1,24 – j0,61 = 1,39e –j154° A;I N= –1,24 – j1,62 = 2,04e –j128° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1,39 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 2,04 A.P = 144 W; Q = 221 var; S = 264e j57° V ⋅ A.1.d. I A= 0,911 – j0,681 = 1,14e –j37° A; I B= –0,911 + j0,681 = 1,14e j143° A;U a= 85,2 + j114 = 142e j53° V; U b= –102 + j5,6 = 103e j177° V;U N= 39,8 – j114 = 121e –j71° V.I 1= I A= 1,14 A; I 2= I B= 1,14 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 97 W; Q = 226 var; S = 246e j67° V ⋅ A.5 var.1.a. I A= 0,8 – j0,6 = e –j37° A; I B= –0,67 – j1,15 = 1,33e –j120° A;I C= –0,966 + j0,259 = e j165° A; I N= –0,833 – j1,5 = 1,71e –j119° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1,33 A; I 3= I C= 1 A; I 4= I N= 1,71 A.P = 284 W; Q = –11 var; S = 284e –j2° V ⋅ A.1.b. I A= 1,36 – j0,376 = 1,41e –j15° A; I B= –0,25 – j0,468 = 0,531e –j118° A;I C= –1,11 + j0,844 = 1,39e j143° A; I N= 0 A;U a= 131 + j50,5 = 141e j21° V; U b= –19 – j35 = 39,8e –j118° V;U c= –19 + j138 = 139e j98° V; U N= –31,3 – j51,5 = 60,2e –j121° V.I 1= I A= 1,41 A; I 2= I B= 0,531 A; I 3= I C= 1,39 A; I 4= I N= 0 A.P = 318 W; Q = –18,1 var; S = 318e –j3° V ⋅ A.117

1.c. I A= 0,8 – j0,6 = e –j37° A; I B= –0,674 – j1,15 = 1,33e –j120° A;I N= 0,133 – j1,75 = 1,76e –j86° A.I 1= I A= 1 A; I 2= I B= 1,33 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 1,76 A.P = 213 W; Q = 60 var; S = 222e j16° V ⋅ A.1.d. I A= 1,03 + j0,16 = 1,04e j9° A; I B= –1,03 – j0,16 = 1,04e –j171° A;U a= 72,8 + j74,6 = 104e j46° V; U b= –77,2 – j12 = 78e –j171° V;U N= 27,2 – j74,6 = 79,4e –j70° V.I 1= I A= 1,04 A; I 2= I B= 1,04 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 168 W; Q = 65,2 var; S = 180e j21° V ⋅ A.6 var.1.a. I A= 0,75 A; I B= 0,275–j1,02 = 1,06e –j75° A;I C= 0,866 + j0,5 = e j30° A; I N= 1,89 – j0,525 = 1,96e –j16° A.I 1= I A= 0,75 A; I 2= I B= 1,06 A; I 3= I C= 1 A; I 4= I N= 1,96 A.P = 113 W; Q = 18,7 var; S = 114e j9° V ⋅ A.1.b. I A= –0,212 + j0,102 = 0,24e j154° A; I B= –0,79 – j1,88 = 2,04e –j113° A;I C= 1 + j1,78 = 2,05e j61° A; I N= 0 A;U a= –21,2 + j10,2 = 23,5e j154° V; U b= –134 – j54,8 = 145e –j158° V;U c= –134 + j75,1 = 153e j151° V; U N= 96,2 – j10,2 = 96,8e –j6° V.I 1= I A= 0,24 A; I 2= I B= 2,04 A; I 3= I C= 2,05 A; I 4= I N= 0 A.P = 214 W; Q = 105 var; S = 239e j26° V ⋅ A.1.c. I A= 0,75 A; I B= 0,275 – j1,02 = 1,06e –j75° A;I N= 1,02 – j1,02 = 1,45e –j45° A.I 1= I A= 0,75 A; I 2= I B= 1,06 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 1,45 A.P = 113 W; Q = –56,3 var; S = 126e –j27° V ⋅ A.1.d. I A= 0,545 + j0,615 = 0,822e j48° A; I B= –0,545 – j0,615= 0,82e –j132° A;U a= 54,5 + j61,5 = 82,2e j48° V; U b= –58–j3,48 = 58,1e –j177° V;U N= 20,5 – j61,5 = 64,8e –j72° V.I 1= I A= 0,822 A; I 2= I B= 0,822 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 101 W; Q = –33,8 var; S = 107e –j18° V ⋅ A.7 var.1.a. I A= 1 – j = 1,41e –j45° A; I B= –0,5–j0,866 = e –j120° A;I C= 0,577 + j0,333 = 0,667e j30° A; I N= 1,08 – j1,53 = 1,87e –j55° A.118

I 1= I A= 1,41 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0,667 A; I 4= I N= 1,87 A.P = 100 W; Q = 83,3 var; S = 130e j40° V ⋅ A.1.b. I A= 0,493 – j0,118 = 0,506e –j13° A; I B= –1,19 – j0,679 = 1,37e –j150° A;I C= 0,702 + j0,797 = 1,06e j49° A; I N= 0 A;U a= 15,3 + j9,37 = 17,9e j32° V; U b= –59,7 – j33,9 = 68,7e –j150° V;U c= –59,7 + j52,7 = 79,6e j139° V; U N= 34,7 – j9,37 = 36e –j15° V.I 1= I A= 0,506 A; I 2= I B= 1,37 A; I 3= I C= 1,06 A; I 4= I N= 0 A.P = 101 W; Q = 91 var; S = 136e j42° V ⋅ A.1.c. I A= 1 – j = 1,41e –j45° A; I B= –0,5–j0,866 = e –j120° A;I N= 0,5 – j1,87 = 1,93e –j75° A.I 1= I A= 1,41 A; I 2= I B= 1 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 1,93 A.P = 100 W; Q = 50 var; S = 112e j27° V ⋅ A.1.d. I A= 1,07 + j0,22 = 1,1e j12° A; I B= –1,07 – j0,22 = 1,1e –j168° A;U a= 21,3 + j32,3 = 38,7,2e j57° V; U b= –53,7 – j11 = 54,8e –j168° V;U N= 28,7 – j32,3 = 43,2e –j48° V.I 1= I A= 1,1 A; I 2= I B= 1,1 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 90 W; Q = 30 var; S = 94,9e j18° V ⋅ A.8 var.1.a. I A= 0,5 A; I B= –0,636 – j0,0223 = 0,636e –j178° A; I C= –0,446 –j0,0268 = 0,447e –j177° A; I N= –0,582 – j0,0491 = 0,584e –j175° A.I 1= I A= 0,5 A; I 2= I B= 0,636 A; I 3= I C= 0,447 A; I 4= I N= 0,584 A.P = 31,1 W; Q = 4,18 var; S = 31,4e j8° V ⋅ A.1.b. I A= 0,773 – j0,0603 = 0,775e j4° A; I B= –0,387 – j0,276 = 0,475e –j145° A;I C= –0,386 + j0,215 = 0,442e j151° A; I N= 0 A;U a= 46,4 + j3,62 = 46,5e j4° V; U b= 1,35 – j22,4 = 22,4e –j87° V;U c= 1,35 + j29,6 = 29,6e j87° V; U N= –16,4 – j3,62 = 16,7e –j168° V.I 1= I A= 0,775 A; I 2= I B= 0,475 A; I 3= I C= 0,442 A; I 4= I N= 0 A.P = 47,5 W; Q = –2,68 var; S = 47,6e –j3° V ⋅ A.1.c. I A= 0,5 A; I B= –0,636 – j0,0223 = 0,636e –j178° A;I N= –0,136 – j0,0223 = 0,137e –j171° A.I 1= I A= 0,5 A; I 2= I B= 0,636 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0,137 A.P = 25,1 W; Q = 16,2 var; S = 29,9e j33° V ⋅ A.1.d. I A= 0,551 + j0,0463 = 0,553e j5° A; I B= –0,551 – j0,0463 = 0,553e –j175° A;119

U a= 33,1 + j2,78 = 33,2e j5° V; U b= –11,9 – j23,2 = 26,1e –j117° V;U N= –3,07 – j2,78 = 4,14e –j138° V.I 1= I A= 0,553 A; I 2= I B= 0,553 A; I 3= I C= 0 A; I 4= I N= 0 A.P = 26 W; Q = 12,2 var; S = 28,7e j25° V ⋅ A.3.2.1.1 var.1. I ab= 1,2 + j0,6 = 1,34e j27° A; I bc= –0,08 – j1,34 = 1,34e –j93° A;I ca= –1,12 + j0,739 = 1,34e j147° A; I A= 2,32 – j0,139 = 2,32e –j3° A;I B= –1,28 – j1,94 = 2,32e –j123° A; I C= –1,04 + j2,08 = 2,32e j117° A.2. I 1= I ab= 1,34 A; I 2= I bc= 1,34 A; I 3= I ca= 1,34 A;I 4= I A= 2,32 A; I 5= I B= 2,32 A; I 6= I C= 2,32 A.P W1= 696 W; P W2= 384 W.3. P = 1080 W; Q = –540 var; S = 1207e –j27° V ⋅ A.2 var.1. I ab= –j2,75 = 2,75e –j90° A; I bc= –2,38 + j1,37 = 2,75e j150° A;I ca= 2,38 + j1,37 = 2,75e j30° A; I A= –2,38 – j4,12 = 4,76e –j120° A;I B= –2,38 + j4,12 = 4,76e j120° A; I C= 4,76 = 4,76e j0° A.2. I 1= I ab= 2,75 A; I 2= I bc= 2,75 A; I 3= I ca= 2,75 A;I 4= I A= 4,76 A; I 5= I B= 4,76 A; I 6= I C= 4,76 A.P W1= –655 W; P W2= 655 W.3. P = 0 W; Q = 2269 var; S = 2269e j90° V ⋅ A.3 var.1. I ab= j = e j90° A; I bc= 0,866 – j0,5 = e –j30° A;I ca= –0,866 – j0,5 = e –j150° A; I A= 0,866 + j1,5 = 1,73e j60° A;I B= 0,866 – j1,5 = 1,73e –j60° A; I C= –1,73 = 1,73e j180° A.2. I 1= I ab= 1 A; I 2= I bc= 1 A; I 3= I ca= 1 A;I 4= I A= 1,73 A; I 5= I B= 1,73 A; I 6= I C= 1,73 A.P W1= 217 W; P W2= –217 W.3. P = 0 W; Q = –750 var; S = 750e –j90° V ⋅ A.4 var.1. I ab= 0,692 – j1,21 = 1,4e –j60° A; I bc= –1,39 + j0,0062 = 1,4e j180° A;I ca= 0,703 + j1,21 = 1,4e j60° A; I A= –0,0108 – j2,42 = 2,42e –j90° A;I B= –2,09 + j1,22 = 2,42e j150° A; I C= 2,1 + j1,2 = 2,42e j30° A.120

2. I 1= I ab= 1,4 A; I 2= I bc= 1,4 A; I 3= I ca= 1,4 A;I 4= I A= 2,42 A; I 5= I B= 2,42 A; I 6= I C= 2,42 A.P W1= –2,42 W; P W2= 470 W.3. P = 467 W; Q = 818 var; S = 942e j60° V ⋅ A.5 var.1. I ab= j2 = 2e j90° A; I bc= 1,73 – j = 2e –j30° A;I ca= –1,73 – j = 2e –j150° A; I A= 1,73 + j3 = 3,46e j60° A;I B= 1,73 – j3 = 3,46e –j60° A; I C= –3,46 = 3,46e j180° A.2. I 1= I ab= 2 A; I 2= I bc= 2 A; I 3= I ca= 2 A;I 4= I A= 3,46 A; I 5= I B= 3,46 A; I 6= I C= 3,46 A.P W1= 346 W; P W2= –346 W.3. P = 0 W; Q = –1200 var; S = 1200e –j90° V ⋅ A.6 var.1. I ab= 1,09 – j1,09 = 1,55e –j45° A; I bc= –1,49 – j0,4 = 1,55e –j165° A;I ca= 0,4 + j1,49 = 1,55e j75° A; I A= 0,693 – j2,59 = 2,68e –j75° A;I B= –2,59 + j0,693 = 2,68e j165° A; I C= 1,89 + j1,89 = 2,68e j45° A.2. I 1= I ab= 1,55 A; I 2= I bc= 1,55 A; I 3= I ca= 1,55 A;I 4= I A= 2,68 A; I 5= I B= 2,68 A; I 6= I C= 2,68 A.P W1= 121 W; P W2= 453 W.3. P = 574 W; Q = 574 var; S = 812e j45° V ⋅ A.7 var.1. I ab= 0,75 = 0,75e j0° A; I bc= –0,375 – j0,65 = 0,75e –j120° A;I ca= –0,375 + j0,65 = 0,75e j120° A; I A= 1,12 – j0,65 = 1,3e –j30° A;I B= –1,12 – j0,65 = 1,3e –j150° A; I C= j1,3 = 1,3e j90° A.2. I 1= I ab= 0,75 A; I 2= I bc= 0,75 A; I 3= I ca= 0,75 A;I 4= I A= 1,3 A; I 5= I B= 1,3 A; I 6= I C= 1,3 A.P W1= 169 W; P W2= 169 W.3. P = 338 W; Q = 0 var; S = 338e j0° V ⋅ A.8 var.1. I ab= 1,18 + j0,294 = 1,21e j14° A; I bc= –0,334 – j1,17 = 1,21e –j106° A;I ca= –0,843 + j0,872 = 1,21e j134° A; I A= 2,02 – j0,578 = 2,1e –j16° A;I B= –1,51 – j1,46 = 2,1e –j136° A; I C= –0,509 + j2,04 = 2,1e j104° A.2. I 1= I ab= 1,21 A; I 2= I bc= 1,21 A; I 3= I ca= 1,21 A;121

I 4= I A= 2,1 A; I 5= I B= 2,1 A; I 6= I C= 2,1 A.P W1= 252 W; P W2= 189 W.3. P = 441 W; Q = –110 var; S = 455e –j14° V ⋅ A.3.2.2.1 var.1. I ab= 1,25 = 1,25e j0° A; I bc= 1,25–j2,08 = 2,43e –j59° A;I ca= 1,03 + j1,56 = 1,86e j57° A; I A= 0,223 – j1,56 = 1,57e –j82° A;I B= –1,36 ⋅ 10 –3 – j2,08 = 2,08e –j90° A; I C= –0,222 + j3,64 = 3,64e j93° A.2. I 1= I ab= 1,25 A; I 2= I bc= 2,43 A; I 3= I ca= 1,86 A;I 4= I A= 1,57 A; I 5= I B= 2,08 A; I 6= I C= 3,64 A;P W1= 27,9 W; P W2= 380 W.3. P = 408 W; Q = –57 var; S = 412e –j8° V ⋅ A.2 var.1. I ab= 3 – j3 = 4,24e –j45° A; I bc= –1,5 – j2,6 = 3e –j120° A;I ca= 1,73 + j = 2e j30° A; I A= 1,27 – j4 = 4,2e –j72° A;I B= –4,5 + j0,402 = 4,52e j175° A; I C= 3,23 + j3,6 = 4,84e j48° A.2. I 1= I ab= 4,24 A; I 2= I bc= 3 A; I 3= I ca= 2 A;I 4= I A= 4,2 A; I 5= I B= 4,52 A; I 6= I C= 4,84 A;P W1= 190 W; P W2= 710 W.3. P = 900 W; Q = 750 var; S = 1172e j40° V ⋅ A.3 var.1. I ab= 1,75 = 1,75e j0° A; I bc= 0,641 – j2,39 = 2,47e –j75° A;I ca= 0,866 + j0,5 = e j30° A; I A= 0,884 – j0,5 = 1,02e –j29° A;I B= –1,11 – j2,39 = 2,64e –j115° A; I C= 0,225 + j2,89 = 2,9e j86° A.2. I 1= I ab= 1,75 A; I 2= I bc= 2,47 A; I 3= I ca= 1 A;I 4= I A= 1,02 A; I 5= I B= 2,64 A; I 6= I C= 2,9 A;P W1= 155 W; P W2= 458 W.3. P = 613 W; Q = –131 var; S = 626e –j12° V ⋅ A.4 var.1. I ab= 0,976 – j1,22 = 1,56e –j51° A; I bc= –0,571 – j0,99 = 1,14e –j120° A;I ca= –1,93 + j0,518 = 2e j165° A; I A= 2,91 – j1,74 = 3,39e –j31° A;I B= –1,55 + j0,23 = 1,56e j172° A; I C= –1,36 + j1,51 = 2,03e j132° A.2. I 1= I ab= 1,56 A; I 2= I bc= 1,14 A; I 3= I ca= 2 A;I 4= I A= 3,39 A; I 5= I B= 1,56 A; I 6= I C= 2,03 A;122

P W1= 582 W; P W2= 125 W.3. P = 707 W; Q = –39 var; S = 708e –j3° V ⋅ A.5 var.1. I ab= –j1,8 = 1,8e –j90° A; I bc= –2,24 – j1,11 = 2,5e –j154° A;I ca= –0,45 + j0,779 = 0,9e j120° A; I A= 0,45 – j2,58 = 2,62e –j80° A;I B= –2,24 + j0,694 = 2,34e j163° A; I C= 1,79 + j1,89 = 2,6e j47° A.2. I 1= I ab= 1,8 A; I 2= I bc= 2,5 A; I 3= I ca= 0,9 A;I 4= I A= 2,62 A; I 5= I B= 2,34 A; I 6= I C= 2,6 A;P W1= 101 W; P W2= 569 W.3. P = 670 W; Q = 717 var; S = 981e j47° V ⋅ A.6 var.1. I ab= 1,77 – j1,77 = 2,5e –j45° A; I bc= –0,833 – j1,44 = 1,67e –j120° A;I ca= –1,24 + j0,615 = 1,39e j154° A; I A= 3,01 – j2,38 = 3,84e –j38° A;I B= –2,6 + j0,325 = 2,62e j173° A; I C= –0,41 + j2,06 = 2,1e j101° A.2. I 1= I ab= 2,5 A; I 2= I bc= 1,67 A; I 3= I ca= 1,39 A;I 4= I A= 3,84 A; I 5= I B= 2,62 A; I 6= I C= 2,1 A;P W1= 753 W; P W2= 394 W.3. P = 1147 W; Q = 250 var; S = 1174e j12° V ⋅ A.7 var.1. I ab= 1,06 + j1,59 = 1,91e j56° A; I bc= 1,36 – j0,79 = 1,57e –j30° A;I ca= 0,676 + j1,37 = 1,53e j64° A; I A= 0,382 + j0,219 = 0,44e j30° A;I B= 0,303 – j2,37 = 2,39e –j83° A; I C= –0,68 + j2,15 = 2,26e j108° A.2. I 1= I ab= 1,91 A; I 2= I bc= 1,57 A; I 3= I ca= 1,53 A;I 4= I A= 0,44 A; I 5= I B= 2,39 A; I 6= I C= 2,26 A;P W1= 105 W; P W2= 419 W.3. P = 524 W; Q = –519 var; S = 737e –j45° V ⋅ A.8 var.1. I ab= 1,5 = 1,5e j0° A; I bc= 0,179 – j1,49 = 1,5e –j83° A;I ca= 1,18 + j2,76 = 3e j67° A; I A= 0,322 – j2,76 = 2,78e –j83° A;I B= –1,32 – j1,49 = 1,99e –j132° A; I C= 1 + j4,25 = 4,36e j77° A.2. I 1= I ab= 1,5 A; I 2= I bc= 1,5 A; I 3= I ca= 3 A;I 4= I A= 2,78 A; I 5= I B= 1,99 A; I 6= I C= 4,36 A;P W1= 96 W; P W2= 1254 W.3. P = 1350 W; Q = 450 var; S = 1423e j18° V ⋅ A.123

LITERATŪRABartkevičius, S. ir kt. 1996. Teorinė elektrotechnika. II d. Kaunas:Technologija. 446 p.Boylestad, R. L. 1996. Introductory circuit analysis. 8/e. Prentice Hall.1136 p.Elektrotechnikos terminų žodynas 1999. Moksl. red. Smilgevičius, A.,Žebrauskas, S. Kaunas: Technologija. 871 p.Gerdžiūnas, P., Plakys, V. 2005. Bendrieji akademinių darbų įforminimoreikalavimai. Vilnius: Technika. 75 p.Masiokas, S. 1994. Elektrotechnika. Kaunas: Candela. 432 p.Pukys, P., Stonys, J., Virbalis, A. 2004. Torinė elektrotechnika. Elektrosgrandinių teorijos pagrindai. Kaunas: Technologija.Pukys, P. 2000. Teorinė elektrotechnika. I d. Kaunas: Technologija. 275 p.Richard C. Dorf, James A. Svoboda. 2011. Introduction to Electric Circuits(8th Edition). Wiley, 880 p.Savickienė, Z. 2010. Teorinė elektrotechnika: laboratorinių darbų metodikosnurodymai. I d. Vilnius: Technika. 100 p.Sveikata, J. 2004. Tiesinių grandinių teorija. Kaunas: Technologija.269 p.www.electronicsworkbench.comБессонов, Л. А. 2001. Теоретические основы электротехники.Электрические цепи. Mосква: Гардарики. 638 с.124