3. Draudos matematikos modulis

3. Draudos matematikos modulis
Pagrindimas
Draudos matematika nagrinėja matematinius ir statistinius rizikų draudimo (aktuarinius)
uždavinius. Draudimas - viena iš ekonominio stabilizavimo sistemų, kurios dalyviai, mokėdami
draudikams tam tikras įmokas, dalinai ar visiškai kompensuoja savo veikloje patirtas žalas.
Draudos matematika kaip mokslo šaka susiformavo XX a. pirmojoje pusėje po klasikinių F.
Lundbergo ir H. Kramero darbų, nors jos ištakos siekia XVII a. Šiuolaikinė draudos matematika
remiasi tikimybių teorijos, atsitiktinių procesų teorijos, matematinės statistikos ir kitų matematikos
šakų elementais. Ji persipina su ekonometrija, matematine demografija ir finansų matematika. Taigi
studijų programa yra daugiakryptė.
Modulio tikslai, ugdomi gebėjimai ir kompetencijos
Draudos matematikos modulio tikslas: parengti aukštos kvalifikacijos specialistą draudimo
teoretiko-praktiko darbui. Draudos matematikos daktaras sugeba naudotis pagrindiniais draudos
matematikos metodais, gali kurti ir analizuoti naujus draudimo matematinius modelius, vadovauti
draudimo matematinės analizės projektams.
Būtinos žinios (prerekvizitai)
Algebra (4 kr.), matematinė analizė (10 kr.), tikimybių teorija (4 kr.).
Į draudos matematikos modulį įtraukti dalykai (pavadinimas, kreditai)
1. Tikimybių teorijos ribinės teoremos - 5 kr.
2. Atsitiktiniai procesai - 5 kr.
3. Daugiamatė statistika - 5 kr.
4. Laiko eilučių modeliai - 5 kr.
5. Funkcinė analizė - 5 kr.
6. Kompleksinio kintamojo funkcijos - 5 kr.
7. Bendroji (ne gyvybės) draudos matematika - 5 kr.
8. Gyvybės draudos matematika - 5 kr.
9. Finansų matematika - 5 kr.
10. Matematinė demografija - 5 kr.
Mokslinio tyrimo kryptys
1. Baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotika
Pagrindimas
Bankroto tikimybė yra pagrindinis dydis reguliuojantis draudimo įmonės veiklą. Sėkmingam
įmonės darbui reikia kad ši tikimybė būtų kuo mažesnė. Vadinasi, labai svarbu išsiaiškinti
parametrus, kurie tiesiogiai veikia bankroto tikimybę. 1903 m. F. Lundberg pirmą kartą įvertino

ankroto tikimybę tuo atveju, kai žalos tenkina Kramero sąlygą. Po garsaus P. Embrechts ir N.
Veraverbake darbo, atspausdinto 1982 m., paaiškėjo, kad bankroto tikimybės asimptotika iš esmės
skirtinga ,,lengvų“ ir ,,sunkių“ žalų atvejais.
Paprastai nagrinėjama dviejų rūšių bankroto tikimybė. Tai begalinio laiko bankroto tikimybė ir
baigtinio laiko bankroto tikimybė. Minėtas P. Embrechts ir N. Veraverbake darbas skirtas begalinio
laiko bankroto tikimybės tyrimui. Tuo tarpu draudimo įmonę labiau domina bankroto tikimybės
elgesys baigtiniame laike. Šiuo atveju bankroto tikimybė papildomai priklauso nuo laiko. Iš
paskutinių D. Korshunov, Q. Tang, K. W. Ng darbų nesunku pastebėti, kad tiek bankroto tikimybės
pagrindinio nario pavidalas, tiek laiko intervalas, kuriame išskiriamas pagrindinis narys, glaudžiai
susijęs su įvairiais žalų ir laiko tarpų tarp žalų skirstinių parametrais. Iki šio momento yra žinoma
baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotika žaloms iš klasės C. Natūralu tęsti tyrimus šioje
srityje, t.y. ieškoti baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotikos platesnei ,,sunkių“ skirstinių
klasei. Antra vertus, įdomu būtų rasti bankroto tikimybės asimptotiką su liekamaisiais nariais,
baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotiką apibendrintame rizikos modelyje ir panašiai.
Studijuojami dalykai
a) Tikimybių teorijos ribinės teoremos
b) Atsitiktiniai procesai
c) Finansų matematika
d) Kompleksinio kintamojo funkcijos
e) Bendroji (ne gyvybės) draudos matematika.
Pagrindinė literatūra
1. T. Mikosch. Non-Life Insurance Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2004.
2. P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch. Modeling Extremal Events. Springer, Berlin,
Heidelberg, New York, 1997.
Papildoma literatūra
1. Q. Tang. Asymptotics for the finite time ruin probability in the renewal model with consistent
variation. Stoch. Models, 20(3), 281-297, 2004.
2. Q. Tang. Uniform estimates for the tail probability of maxima over finite horizons with
subexponential tails. Probab. Eng. Inf. Sci., 18, 71-86, 2004.
3. D.A. Korshunov. Large-deviation probabilities for maxima of sums of independent random
variables with negative mean and subexponential distribution. Theory Probab. Appl., 46(2), 355-
365, 2002.
4. K.W. Ng, Q.H. Tang, H. Tang. Maxima of sums of heavy-tailed random variables. ASTIN
Bulletin, 32, 43-55, 2002.
5. Q. Tang, C. Su, T. Jiang, J. Zhang. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound
renewal model. Statist. Probab. Lett., 52, 91-100, 2001.
Uždaviniai
Rasti baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotikos pagrindinį narį subeksponentinių žalų atveju.
Rasti baigtinio laiko bankroto tikimybės asimptotikos antrąjį narį reguliarių žalų atveju.
Įvertinti baigtinio laiko bankroto tikimybės elgesį skirtingai pasiskirsčiusių žalų atveju.

2. Diskontuotos Gerber-Shiu baudos funkcijos tyrimas
Pagrindimas
Bankroto tikimybė yra pagrindinis dydis reguliuojantis draudimo įmonės veiklą. 1998 m. H. Gerber
ir E. Shiu pasiūlė vietoj bankroto tikimybės nagrinėti bendresnį dydį, aprašantį būsimo įmonės
bankroto dabartinės vertės vidurkį. Šis dydis nuo to laiko vadinamas diskontuota Gerber-Shiu
baudos funkcija. Atsižvelgiant į šios funkcijos reikšmes galima kurti reikiamo dydžio investicinius
fondus draudimo įmonės veiklos apsaugai.
Antra vertus, kaip matosi iš paskutinių G. Willmot, X. Lin, D. Dickson ir S. Drekic darbų,
diskontuotos baudos funkcijos išraiška leidžia rasti labai įdomaus atsitiktinio dydžio, laiko iki
bankroto, įvairias charakteristikas.
Suformuluotoji tema yra labai nauja. Šia tema parašytų straipsnių labai nedaug. Iš esmės,
išnagrinėtas tik klasikinis F. Lundbergo modelis, kai laiko tarpai tarp pasitaikančių žalų turi
eksponentinį pasiskirstymą, o pačios žalos irgi priklauso eksponentinių skirstinių klasei . Tagi
neišspręstų problemų ratas šioje temoje yra labai platus.
Studijuojami dalykai
a) Tikimybių teorijos ribinės teoremos
b) Atsitiktiniai procesai
c) Kompleksinio kintamojo funkcijos
d) Bendroji (ne gyvybės) draudos matematika
e) Finansų matematika
Pagrindinė literatūra
1. T. Mikosch. Non-Life Insurance Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2004.
2. G.E. Willmot, X.S. Lin. Lundberg Approximations for Compound Distributions with Insurance
Applications. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2001.
Papildoma literatūra
1. H. Gerber, E.S.W. Shiu. On the time value of ruin. North American Actuarial Journal, 2(1), 48-
78, 1998.
2. G.E. Willmot, D.S.M. Dickson. The Gerber-Shiu discounted penalty function in the stationary
renewal risk model. Insurance: Mathematics and Economics, 32, 403-411, 2003.
3. X.S. Lin, G.E. Willmot, S. Drekic. The classical risk model with a constant dividend barrier:
Analysis of the Gerber-Shiu discounted penalty function. Insurance: Mathematics and Economics,
33, 551-566, 2003.
4. S. Drekic, G.E. Willmot. On the density and moments of the time of ruin with exponential
claims. ASTIN Bulletin, 33(1), 11-21, 2003.
Uždaviniai
Rasti baudos funkcijos asimptotiką ,,sunkių“ žalų atveju klasikiniame Lundbergo modelyje.
Rasti baudos funkcijos aproksimacines formules apibendrintame rizikos modelyje.
Įvertinti baigtinio laiko baudos funkcijos elgesį Lundbergo ir apibendrintame rizikos modeliuose.

3. Bankroto tikimybė skirtingai pasiskirsčiusių žalų atveju
Pagrindimas
Bankroto tikimybė yra pagrindinis dydis reguliuojantis draudimo įmonės veiklą. Sėkmingam
įmonės darbui reikia kad ši tikimybė būtų kuo mažesnė. Vadinasi, labai svarbu išsiaiškinti
parametrus, kurie tiesiogiai veikia bankroto tikimybę. 1903 m. F. Lundberg pirmą kartą įvertino
bankroto tikimybę tuo atveju, kai žalos tenkina Kramero sąlygą. Po garsaus P. Embrechts ir N.
Veraverbake darbo, atspausdinto 1982 m., paaiškėjo, kad bankroto tikimybės asimptotika iš esmės
skirtinga ,,lengvų“ ir ,,sunkių“ žalų atvejais.
Paprastai bankroto tikimybė ir jos asimptotika nagrinėjama tuo atveju, kai žalos sudaro vienodai
pasiskirsčiusių nepriklausomų atsitiktinių dydžių seką. Tuo tarpu draudimo įmonė dažniausiai
teikia įvairias draudimo paslaugas. Pavyzdžiui, draudžia automobilius, nekilnojamą turtą, žmonių
sveikatą, ūkininkų pasėlius ir panašiai. Taigi, žalos, kurias patiria draudimo įmonė užsiimanti
daugiaplane draudimine veikla, nėra vienodai pasiskirsčiusios. Vadinasi, reikia mokėti nustatyti
arba įvertinti bankroto tikimybę, kai draudimo įmonės patiriamos žalos nėra vienodai
pasiskirsčiusios, taciau yra nepriklausomos. Iki šio momento tėra keletas darbelių, kuriuose
nagrinėjami draudimo įmonės veiklą aprašantys modeliai esant nepriklausomoms nevienodai
pasiskirsčiusioms žaloms. Šiuose darbuose dažniausiai nagrinėjami tikslieji žalų proseso dideli
nuokrypiai žaloms turinčioms labai reguliarias skirstinių uodegas. Perėjimas nuo minėtų nuokrypių
prie bankroto tikimybės nagrinėjimo toli gražu nėra trivialus. Natūralu tęsti tyrimus šioje srityje.
Viena vertus, reikėtų praplėsti nagrinėjamų skirstinių klasę ieškant tiksliųjų didelių nuokrypių žalų
procesui. Antra vertus, reikėtų pritaikyti šiuos rezultatus įmonės bankroto tikimybės skaičiavimui
arba vertinimui.
Studijuojami dalykai
a) Tikimybių teorijos ribinės teoremos
b) Atsitiktiniai procesai
c) Gyvybės draudos matematika
d) Bendroji (ne gyvybės) draudos matematika
e) Laiko eilučių modeliai.
Pagrindinė literatūra
1. T. Mikosch. Non-Life Insurance Mathematics. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2004.
2. P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch. Modeling Extremal Events. Springer, Berlin,
Heidelberg, New York, 1997.
3. N.L. Bowers et al. Actuarial Mathematics. Itasca. 1980.
Papildoma literatūra
1. Q. Tang. Asymptotics for the finite time ruin probability in the renewal model with consistent
variation. Stoch. Models, 20(3), 281-297, 2004.
2. Q. Tang. Uniform estimates for the tail probability of maxima over finite horizons with
subexponential tails. Probab. Eng. Inf. Sci., 18, 71-86, 2004.
3. D.A. Korshunov. Large-deviation probabilities for maxima of sums of independent random
variables with negative mean and subexponential distribution. Theory Probab. Appl., 46(2), 355-
365, 2002.

4. K.W. Ng, Q.H. Tang, H. Tang. Maxima of sums of heavy-tailed random variables. ASTIN
Bulletin, 32, 43-55, 2002.
5. Q. Tang, C. Su, T. Jiang, J. Zhang. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound
renewal model. Statist. Probab. Lett., 52, 91-100, 2001.
6. T. Mikosch, A. V. Nagaev. Large deviations of heavy tailed sums with applications in
insurance. Extremes, 1(1), 81-110,1998.
7. K.W. Ng, Q. Tang, J. Yan, Y. Hailiang. Precise large deviations for sums of random variables
with consistent varying tails. J.Appl. Probab., 41(1), 93-107, 2004.
8. V. Paulauskas, A. Skučaitė. Some asymptotic results for one-sided large deviation probabilities.
Lith. Math. J., 43(3), 318-326, 2003.
9. K.W. Ng, Q. Tang, J. Yan, Y. Hailiang. Precise large deviations for the prospective-loss
process. J.Appl. Probab., 40(2), 391-400, 2003.
10. J. Cai, Q. Tang. On the max-sum equivalence on convolution closure of heavy-tailed
distributions and their applications. J. Appl. Probab., 41(1), 117-130, 2004.
11. N.V. Nagaev. On the asymetric problem of large deviations when the limit law is stable. Th.
Probab. Appl., 28, 670-680, 1984.
Uždaviniai
Rasti žalų proceso tiksliųjų didelių nuokrypių asimptotikos pagrindinį narį reguliarių, nevienodai
pasiskirsčiusių žalų atveju.
Rasti žalų proceso tiksliųjų didelių nuokrypių asimptotikos pagrindinį narį subeksponentinėms
nevienodai pasiskirsčiusioms žaloms.
Rasti bankroto tikimybės asimptotikos pagrindinį narį reguliarių nevienodai pasiskirsčiusių žalų
atveju.
Rasti bankroto tikimybės asimptotikos pagrindinį narį subeksponentinių, nevienodai pasiskirs-
čiusių žalų atveju.
Modulio dalykų aprašai
1. Tikimybių teorijos ribinių teoremų aprašas
1. Skirstiniai ir charakteristinės funkcijos. Atsitiktinio dydžio skirstinys ir pasiskirstymo funkcija.
Atsitiktinio dydžio charakteristinė funkcija. Charakteristinių funkcijų skaičiavimas.
Charakteristinės funkcijos savybės. Charakteristinių funkcijų metodas silpnam atsitiktinių dydžių
sekos konvergavimui tirti. Klasikinės Bernulio, Muavro-Laplaso ir Puasono ribinės teoremos
Bernulio schemoje.
2. Neaprėžtai dalūs skirstiniai. Neaprėžtai dalaus skirstinio savoka. Neaprėžtai dalių skirstinių
pavyzdžiai. Neaprėžtai dalaus skirstinio charakteristinės funkcijos savybės. Neaprėžtai dalaus
skirstinio charakteristinės funkcijos kanoninė išraiška. Levi spektrinė funkcija. Neaprėžtai dalaus
skirstinio su baigtine dispersija charakteristinės funkcijos pavidalas.
3. Nykstamieji atsitiktiniai dydžiai. Nykstamųjų atsitiktinių dydžių serijų seka. Tokios serijų sekos
savybės. Nykstamųjų atsitiktinių dydžių sumų ribinių skirstinių klasė. Nykstamų atsitiktinių dydžių
sumų konvergavimas į konkretų galimą ribinį skirstinį. Konvergavimo į normalųjį ir Puasono
dėsnius sąlygos.
4. Normuotų sumų ribinės teoremos. Skirstinių klasė L. Šios klasės skirstinių charakteristinių
funkcijų savybės. Klasės L skirstinio charakteristinės funkcijos kanoninė išraiška. Normuotų

nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumų ribinių skirstinių klasė. Normuotų nepriklausomų
atsitiktinių dydžių sumų silpnas konvergavimas į normalųjį skirstinį.
5. Stabilieji skirstiniai. Stabilių skirstinių klasė. Stabilaus skirstinio Levi spektrinės funkcijos
savybės. Stabilaus skirstinio charakteristinės funkcijos kanoninė išraiška. Stabilaus skirstinio
traukos sritis. Normalaus skirstinio traukos sritis.
Literatūra
1. M. Loeve. Probability theory. Springer Verlag, 1978.
2. V.V. Petrov . Ribinės teoremos nepriklausomų atsitiktinių dydžių sumoms. Maskva, Nauka. 1987
(rusų kalba).
3. J. Kubilius. Ribinės teoremos. VU leidykla, Vilnius, 1998.
2. Atsitiktinių procesų aprašas
1. Kelios tikimybių teorijos sąvokos. Sąlyginė tikimybė. Sąlyginis vidurkis. Sąlyginio vidurkio
savybės. Martingalas. Atsitiktinis procesas. Atsitiktinių procesų pavyzdžiai. Brauno judesys.
Brauno tiltas. Homogeninis Puasono procesas. Sudėtinis Puasono procesas.
2. Atstatymo procesai. Atstatymo proceso sąvoka. Atstatymo proceso savybės. Atstatymo funkcija.
Atstatymo lygtis. Atstatymo funkcijos aproksimacija. Centrinė ribinė teorema atstatymo procesui.
Premijų atstatymo procesas. Premijų atstatymo proceso savybės. Atstatymo amžius ir atstatymo
liekamasis gyvenimas, jų skirstinių išraiškos. Atstatymo lygties sprendimas. Blacwello teorema.
Vėluojantis atstatymo preocesas. Alternuojantis atstatymo procesas.
3. Diskretaus laiko Markovo grandinės. Diskretaus laiko Markovo grandinės sąvoka. Stacionarios
ir neredukuojamos Markovo grandinės. Markovo grandinės stacionarus skirstinys. Grįžtamosios ir
pereinamosios Markovo grandinių būsenos, tokių būsenų kriterijai. Galtono-Vatsono diskretusis
procesas. Pusiau Markovo diskretusis procesas. Atstatymo procesas Markovo grandinėje. Markovo
atstatymo proceso būsenų klasifikacija. Liekamasis perėjimo laikas Markovo atstatymo procesui.
Atsinaujinantys diskretūs procesai.
4. Tolydaus laiko Markovo grandinės. Tolydaus laiko Markovo grandinės sąvoka. Kolmogorovo
lygtys ir ergodiškumo sąlygos tokioms grandinėms. Gimimo ir mirties procesai, tokių procesų
pavyzdžiai. Tolydaus laiko išsišakojantys procesai. Išsišakojančio proceso išsigimimo tikimybės
savybės. Išsišakojančio proceso ribinės teoremos..
5. Klasikiniai difuziniai procesai. Difuzinio proceso sąvoka. Fokerio-Planko lygtis. Brauno judesio
trajektorijų savybės. Ito stochastinis integralas. Difuzinių procesų martingalinė charakterizacija.
Girsanovo teorema.
Literatūra
1. R. Lyons. Course notes for stochastic processes. http://mypage.iu.edu/~rdlyons/pdf/StochProc.
pdf.
2. S. M. Ross. Stochastic processes. New York, Academic press, 1996.
3. S. Karlin. A first course in stochastic processes. New York, Academic press, 1968.
4. A. N. Širiajev. Tikimybė. Maskva, Nauka,1980 ( rusų kalba ).
3. Daugiamatės statistikos aprašas
1. Daugiamatis normalusis skirstinys. Daugiamačio normaliojo skirstinio tankio funkcija,
paiskirstymo funkcija, charekterisrtinė funkcija, momentai, koreliacijos koeficijentai. Daugiamačio
normaliojo skirstinio marginalūs ir sąlyginiai skirstiniai, tiesinių ir kvadratinių formų skirstiniai.

2. Daugiamačio normalaus skirstinio vidurkių vektorius ir kovariacinės matricos įverčiai ir jų
savybės.
3. Višarto skirstinys irjo savybės.
4. Chotelingo T2 statistika ir jos taikymai. Hipotezių apie vidurkių vektoriaus reikšmę
tikrinimas.Vidurkių vektorių palyginimas. Daugiamatė Berenso-Fišerio problema.
5. Kriterijų galios skaičiavimas, necentriniai chi-kvadrato ir Fišerio skirstiniai.
6. Hipotezių apie koreliacijos koeficijentų, dalinių koreliacijos koeficijentų ir suvestinio
koreliacijos koeficijento reikšmes tikrinimas.
7. Hipotezių apie kovariacinių matricų lygybę tikrinimas.
8. Hipotezių apie daugiamačių normaliųjų skirstinių ekvivalentiškumą tikrinimas.
Literatūra
1. T. W. Anderson. An introduction to multivariate statistical analysis. Wiley, New York, London,
1958.
2. Rao S.R. Tiesiniai statistiniai metodai. Nauka, Maskva, 1961 (rusų k.).
3. M. Kendall. Multivariate analysis. London, Charles Griffin Ltd, 1980.
4. Kompleksinio kintamojo funkcijų aprašas
1. Kompleksinio argumento kompleksinė funkcija. Funkcijos riba, tolydumas, išvestinė. Košy-
Rymano sąlygos. Analizinės funkcijos. Išvestinės argumento ir modulio geometrinė prasmė.
Konforminiai atvaizdžiai. Elementarios kompleksinio argumento funkcijos.
2. Kompleksinės funkcijos integralas. Integralo apibrėžimas ir savybės. Integralo glodžiąja kreive
skaičiavimas. Košy integralinė teorema. Moreros teorema. Harmoninių funkcijų integralinės
išraiškos.
3. Kompleksinių funkcijų eilutės. Tolygiai konverguojančios funkcijų eilutės, jų savybės.
Laipsninės eilutės kompleksinių eilučių aibėje, jų savybės. Lorano eilutės, jų savybės. Analizinės
funkcijos reiškimas laipsnine eilute, Lorano eilute.
4. Rezidiumai. Analizinės funkcijos ypatingi taškai ir jų klasifikacija. Funkcijos reziduumai, jų
skaičiavimas. Reziduumų taikymas integralams skaičiuoti. Sveikosios ir meromorfinės funkcijos, jų
savybės.
5. Kelios kompleksinio argumento funkcijų transformacijos. Laplaso ir Melino transformacijos, jų
savybės. Atvirkštinės transformacijos, jų radimas.
Literatūra
1. S.G. Krantz. Handbook of Complex Variables. Birkhauser, Boston, 1999.
2. A.I. Markuševič. Analizinių funkcijų teorija, I, II. Nauka, Maskva, 1967-1968 (rusų k.).
3. Z.C. Motteler. Functions of Complex Variables. New York, 1975.
4. A. Nagelė, L. Papreckienė. Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija. Žara, Vilnius, 1996.
5. Bendrosios (ne gyvybės) draudos matematikos aprašas
1. Statiniai draudimo aspektai. Kolektyvinės rizikos sistema. Rizikų portfelis. Statinis draudimo
modelis. Draudimas ekonominės elgsenos teorijos požiūriu. Įmokų nustatymo principai.

2. Dinaminiai draudiko atsargų raidos modeliai. Tolydžiojo ir diskrečiojo laiko draudiko rizikos
procesai. Kramero-Lundbergo, atstatymo ir atsitiktinio klajojimo rizikos procesų modeliai.
Investiciniai rizikos procesai.
3. Ieškinių skaičiaus modeliai. Puasono, Kokso ir atstatymo procesai. Mišrusis Puasono ir Poja
procesai.
4. Ieškinių sumos. Mažieji ir didieji ieškiniai. Subeksponentiniai ieškiniai. Ieškinių sumos ir
sudėtiniai atsitiktiniai dydąiai. Panjero rekursinė schema. Įmokų srauto nustatymo principai.
5. Bankroto tikimybė. Lundbergo nelygybė. Martingaliniai bankroto tikimybės vertinimo būdai.
Bankroto ir išlikimo tikimybių lygtys. Kramero-Lundbergo modelio bankroto tikimybės
asimptotika mažųjų ir subeksponentinių ieškinių atvejais.
6. Rizikų perdraudimas. Perdraudimas ekonominės elgsenos teorijos požiūriu. Perdraudimo įtaka
bankroto tikimybei. Draudikų sąjungos ir rizikų pasidalijimas. Bendrojo rizikų portfelio
perdraudimas.
Literatūra
1. P. Embrechts, C. Klüppelberg, and T. Mikosch. Modelling Extremal Events for Insurance and
Finance. Springer, Berlin, 1997.
2. J. Grandel. Aspects of Risk Theory. Springer, New York, 1991.
3. H. Pragarauskas. Draudos matematika. Vilnius, 2007 .
4. E. Straub. Non-life Insurance Mathematics. Springer, Berlin, 1988.
6. Gyvybės draudos matematikos aprašas
1. Išgyvenamumo analizė. Išgyvenimo funkcija, mirtingumo galia, mirties kreivė. Likusio
gyvenimo trukmė, jos charakteristikos. Analizinės išgyvenimo funkcijos. Mirtingumo lentelė, jos
struktūra. Klasikinės išgyvenimo funkcijos aproksimavimo taisyklės.
2. Gyvybės draudimas. Būsimosios išmokos dabartinė vertė. Vienkartinė grynoji įmoka. Išmokos
dabartinės vertės ir vienkartinės grynosios įmokos išraiškos įvairioms draudimo rūšims. Ryšys tarp
vienkartinių grynųjų įmokų tolydaus ir diskretaus draudimų atvejais. Rekursinės lygtys tolydžioms
ir diskrečioms vienkartinėms įmokoms.
3. Gyvenimo anuitetai. Tolydieji ir diskretieji įmokų srautai. Būsimųjų įmokų aktuarinė vertė, šios
vertės išraiškos įvairių įmokų srautų atvejais. Anuitetų, mokamų m kartų per metus aktuarinės
vertės išraiškos.
4. Grynosios įmokos. Ekvivalentumo principas įmokoms skaičiuoti. Visiškai tolydžios ir visiškai
diskrečios įmokos. Tokių įmokų išraiškos įvairioms draudimo rūšims. Pusiau tolydžios įmokos ir
įmokos mokamos m kartų per metus. Tokių įmokų išraiškos įvairioms draudimo rūšims.
5. Matematiniai atidėjimai. Matematinio atidėjimo sąvoka. Matematinių atidėjimų išraiškos
įvairioms gyvybės draudimo rūšims. Ryšys tarp matematinių atidėjimų tolydžioms įmokoms ir
matematinių atidėjimų diskrečioms įmokoms.
6. Pensijų planai. Kelių veiksnių išgyvenamumo modelis. Metinių išmokų koeficientas. Įvairios šio
koeficiento išraiškos. Aktuarinė būsimų pensinių išmokų vertė kelių veiksnių modelyje.
7. Pensijų fondai. Populiacijos tankio funkcija. Populiacijų rūšiavimas pagal šios funkcijos
pavidalą. Pensijų fondo charakteristikos aktyviems nariams. Fondo charakteristikos pasyviems
fondo nariams. Apibendrintos pensinio fondo charakteristikos. Šių charakteristikų skaičiavimas.
Literatūra

1. B. Benjamin, J.H. Pollard. The Analysis of Mortality and Other Actuarial Statistics. Butterworth-
Heinemann. 1980.
2. N.L. Bowers et al. Actuarial Mathematics. Itasca. 1980.
3. H.U. Gerber. Life Insurance Mathematics. Springer. 1995.
4. G.I. Falin, A.I. Falin. Actuarial Mathematics in Exercises. Moscow. 2003 (in Russian).
7. Finansų matematikos aprašas
1. Finansų rinka. Pagrindiniai ir išvestiniai vertybiniai popieriai. Veiksmingosios rinkos hipotezė.
2. Investicinis portfelis. Portfelio vidurkinė dispersinė analizė. Portfelio diversifikavimas.
Vertybinių popierių kainodaros modelis.
3. Arbitražas. Nearbitražinis vertybinių popierių kainodaros modelis.
4. Diskrečiojo laiko dinaminiai finansų rinkos modeliai. Investicinės strategijos. Finansavimosi
portfelis. Martingalinis rinkos arbitražo nebuvimo ir pilnumo apibūdinimas.
5. Binominis diskrečiojo laiko finansų rinkos modelis. Pasirinkimo sandorių vertės nustatymas,
Kokso-Roso-Rubinšteino formulė.
6. Tolydžiojo laiko dinaminiai finansų rinkos modeliai. Investicinės strategijos. Finansavimosi
portfelis. Martingalinis rinkos arbitražo nebuvimo ir pilnumo apibūdinimas.
7. Bleko-Šoulzo finansų rinkos modelis. Pasirinkimo sandorių vertės nustatymas. Bleko-Šoulzo
formulė.
8. Obligacijų rinka. Arbitražas ir pilnumas. Palūkanų normų struktūra. Difuzinių modelių analizės
Hyto-Džerou-Mortono metodika.
9. Išankstiniai sandoriai. Išankstinių sandorių vertės nustatymo formulė.
10. Nepilnosios rinkos. Išvestinių vertybinių popierių kainodara. Rizikos minimizavimas.
11. Optimalusis investavimas. Mertono modelis.
Literatūra
1. M. Avelaneda, P. Laurence. Quantitative Modeling of Derivative Securities. Chapman &
Hall/CRC, Boca Raton, 2000.
2. J.Y. Campbell, A.W. Lo, A.C. MacKinley. The Econometrics of Financial Markets. Princeton
University Press, Princeton, 1997.
3. D. Duffie. Dynamic Asset Pricing Theory. Princeton University Press, Princeton, 1996.
4. A.N. Širiajev. Stochastinės finansų matematikos pagrindai. 1, 2 tomai. Fazis, Maskva, 1998
(rusų k.).
8. Matematinės demografijos aprašas
1. Populiacijos raida. Tiesinis, eksponentinis ir logistinis raidos modeliai. Populiacijos raidos
trendas. Tiesinis ir netiesinis trendai bei jų nustatymo būdai.
2. Populiacijos amžiaus struktūra. Asmens išgyvenimo funkcija, mirtingumo galia, mirties kreivė.
Asmens būsimojo gyvenimo trukmė ir jos charakteristikos. Analizinių išgyvenimo funkcijų
pavyzdžiai. Populiacijos mirtingumo lentelė ir jos struktūra. Klasikinės išgyvenimo funkcijos
aproksimavimo taisyklės.
3. Populiacijos tankis. Leksiso diagrama. Gimstamumo tankis ir populiacijos tankis. Kohortos
mirtingumo galia. Populiacijos tankio ir mirtingumo galios sandaugos interpretacijos. Populiacijos
atstatymo lygtis. Moters vaisingumo norma. Stabilioji ir stacionarioji populiacijos. Populiacijos
stabilumo priklausomybė nuo moters vaisingumo normos.

4. Populiacijos tankio statistinė analizė. Populiacijos mirtingumo normos įvertiniai ir prognozė. Li-
Karterio metodas.
Literatūra
1. B. Benjamin, J.H. Pollard. The Analysis of Mortality and Other Actuarial Statistics. Butterworth-
Heinemann, 1980.
2. N.L. Bowers et al. Actuarial Mathematics. Itasca, 1980.
3. R. Lapinskas. Trumpas matematinės demografijos kursas. VU leidykla, Vilnius, 1998.
4. R.D. Lee, L. Carter. Modelling and forecasting the time series of US mortality. J. Amer. Stat.
Asoc., 87, 659-671, 1992.
5. E. Pitacco. Survival models in a dynamic context: A survey. Insurance: Mathematics and
Economics, 35, 279-298, 2004.
6. C. Vanderchück. The Lexis diagram, a misnomer. Demog. Res., 4(3), 97-124, 2001.
9. Laiko eilučių analizės aprašas
1. Stacionarios laiko eilutės. Stacionarumo sąvoka. ARMA procesai. Kovariacinės funkcijos
skaičiavimo metodai.
2. Stacionarių procesų spektrinė reprezentacija. Herglotz‘o teorema. Ortogonalių prieauglių
procesai ir stacionarių procesų spektrinė reprezentacija. Apvertimo formulė.
3. Stacionarių procesų prognozavimas. Prognozės lygtis. Rekurentiniai metodai (Durbin‘o-
Levinson‘o ir inovacijų algoritmai). ARMA procesų prognozė. Wold‘o dekompozicija ir
Kolmogorovo formulė.
4. ARMA parametrų vertinimas. ARMA proceso vidurkio ir kovariacijos įverčiai. ARMA
parametrų vertinimas. Didžiausio tikėtinumo metodas.
5. Spektro vertinimas. Periodograma. Periodogramos asimptotinės savybės. Suglodinta
periodograma. Spektrinės pasiskirstymo funkcijos vertinimas.
6. Daugiamatės laiko eilutės. Stacionarios daugiamatės laiko eilutės. Daugiamačiai ARMA
procesa. Daugiamačių ARMA modelių parametrų vertinimas. Vienetinė šaknis ir kointegruoti
modeliai.
7. Sąlyginio heteroskedastiškumo modeliai. ARCH modeliai, jų savybės. GARCH modeliai, jų
savybės.
8. Stochastinio kintamumo modeliai ir netiesiniai laiko eilučių modeliai: sąvokos, savybės.
9. Tolimos priklausomybės laiko eilutės: pagrindinės savybės, pavyzdžiai.
Literatūra
1. P.J. Brockwell, R.A. Davis. Time Series: Theory and Methods. Springer-Verlag, New York,
1996.
2. J.D. Hamilton. Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994.