II skyrius. KOORDINAČIŲ METODAS

3.2.2. Sferos ir cilindro lygtys
1. Raskime sferos lygtį stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu, jei sferos centras yra
taškas C(a, b, c), o spindulys lygus r (2.23a pav.).
▲ Taškas M(x, y, z) priklauso sferai tada ir tik tada, kai atstumas CM=r. Kadangi pagal
2
2
2
atstumo tarp dviejų taškų formulę (2.8) CM= ( x − a)
+ ( y − b)
+ ( z − c)
, tai lygybę CM=r
galima užrašyti pavidalu
( x − c
Ši lygtis yra ieškoma sferos lygtis. ▲
2
2
2
− a)
+ ( y − b)
+ ( z ) =r arba ekvivalenčiu pavidalu
(x– a) 2 + (y– b) 2 + (z– c) 2 =r 2 . (2.10)
Kai sferos centras yra koordinačių pradžia O(0, 0, 0), lygtis yra paprastesnė:
x 2 +y 2 +z 2 =r 2 . (2.10)′
2. Panagrinėkime lygtį x 2 +y 2 =r 2 . Koordinačių plokštumoje Oxy ji reiškia apskritimą ω,
kurio centras – koordinačių pradžia O, o spindulys lygus r.
Erdvėje ši lygtis reiškia cilindrą, kurio vedamoji kreivė yra apskritimas ω, o sudaromosios
lygiagrečios su Oz ašimi (2.23b pav.).
▲ Ieškokime erdvės figūros S, kurios lygtis yra x 2 +y 2 =r 2 . Taškas P(x*, y*, 0) priklauso
apskritimui ω tada ir tik tada, kai (x*) 2 +(y*) 2 =r 2 . Iš čia išplaukia, jog Oxy plokštumoje
visi apskritimo ω taškai ir tik tokie taškai priklauso figūrai S. Jei taškas P(x*, y*, 0)∈S,
tuomet ir taškas M(x*,y*,∀z)∈S, nes į lygtį x 2 +y 2 =r 2 z neįeina. Taigi visi tiesės PM
taškai priklauso figūrai S . Vadinasi, ieškoma figūra S yra cilindras. ▲
1 pavyzdys. Sferos, kurios centras yra taškas C(1, -2, 3), spindulys r= 5 , lygtis
yra (x - 1) 2 +(y+2) 2 +(z - 3) 2 =5.
2 pavyzdys. Cilindro, kurio vedamoji kreivė yra vienetinis Oxz plokštumos
apskritimas, o sudaromosios lygiagrečios Oy ašiai, lygtis yra x 2 +z 2 =1 (2.24 pav.).
3.2.3. Lygčių ir nelygybių su trimis kintamaisiais geometrinė prasmė
Tarkime, jog turime lygtį ar nelygybę su trimis kintamaisiais (vieno ar dviejų kintamųjų gali nebūti): F(x, y, z)∗0.
Čia ∗ reiškia vieną iš ženklų: =, ≠, >, 0 geometrinė prasmė – atviroji puserdvė, kurios kraštas Oxy plokštuma.
3 pavyzdys. Nelygybės x 2 +y 2 +z 2 –4>0 geometrinė prasmė yra visa erdvė už rutulio, kurio centras – koordinačių
pradžia O(0, 0, 0), o spindulys r=2.
4 pavyzdys. Lygties x 2 +y 2 +z 2 +4=0 geometrinė prasmė yra tuščioji aibė, o nelygybės x 2 +y 2 +z 2 +4>0 – visa erdvė.
3.2.4. Lygties F(x, y, z)⋅G(x, y, z)=0 ir sistemos ⎨
⎩ ⎧F(
x,
y,
z)
= 0,
geometrinė prasmė
G(
x,
y,
z)
= 0
Jei F(x, y, z)=0 yra figūros Φ lygtis, o G(x, y, z)=0 – figūros Γ lygtis, tuomet lygties
F(x, y, z)⋅G(x, y, z)=0 geometrinė prasmė koordinačių erdvėje yra figūrų sąjunga Φ ∪ Γ,
⎧F(
x,
y,
z)
= 0,
o sistemos ⎨
– jų sankirta Φ∩Γ. Įrodoma analogiškai kaip ir plokštumos
⎩G(
x,
y,
z)
= 0
atveju.
1 pavyzdys. Lygties xz=0 geometrinė prasmė yra Oyx ir Ozy plokštumų sąjunga, o
⎧x
= 0,
sistemos ⎨ – plokštumų sankirta (Oy ašis).
⎩ z = 0
x
i
i
z
ω
k
j
i
k
O
j
2.25 pav.
r
M
C
2.23a pav.
k
O
j
2.23b pav.
2.24 pav.
M( x*y , *, z)
B
y
39