ℑ Atstumas tarp dviejų taškų lygus kvadratinei šakniai iš taškų atitinkamų koordinačių skirtumų kvadratų sumos. 2.4. Uždaviniai 1 uždavinys. Atkarpa AC yra tris kartus ilgesnė už atkarpą AB; taškas B yra tarp taškų A ir C (2.15 pav.). Raskime taško C afiniąsias koordinates, jei A(1, 2, 3), B(-2, 0, 4). Sprendimas. Trijų taškų A, B, C paprastojo santykio λ ieškome iš lygybės AC =λ CB . Kadangi vektoriai AC ir CB yra priešpriešiniai, tai λ
1 S= | 2 2 2 2 2 + 2 2 2 2 − 2 2 2 − 2 2 1 | = 2 2 ⋅ 0 − 2 2( 2 − 2 1 ) = (2 2 2 2 -1)= 1 2 − . 2 2S Žinant trikampio plotą, nesunku surasti kitas lygias tarpusavyje trikampio aukštines: h= = MN 2 2 −1 5 − 2 2 . 4 − 2 Ats.: NQ= ; S= 2 1 2 − ; h= 2 2 2 −1 5 − 2 2 . 5 uždavinys. Raskime trikampio ABC plotą, aukštinę BH, pusiaukampinę AL, kampą A, jei A(1, 2), B(-1, 1), C(3, -2). Sprendimas. Randame vektorių AB ir AC koordinates bei jų ilgius. AB {-2, -1}, AC {2, -4}, | AB |= 2 2 ( − 2) + ( −1) = 5 , | AC |= 2 2 2 + ( −4) = 2 1 − 2 5 . Trikampio plotas S= | 2 2 −1 1 | = (8+2)=5, aukštinė − 4 2 2S 10 BH= = = AC 2 5 5 . Pusiaukampinė AL dalija kraštinę BC į dalis, proporcingas trikampio kraštinėms, todėl CL AC 2 5 λ=(CBL)= = = = 2 . LB AB 5 3 + 2⋅ ( −1) 1 −2 + 2⋅1 1 Taikydami (2.5) formulę randame taško L koordinates: x= = , y= = 0 ; L( , 0). 1+ 2 3 1+ 2 3 Pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (2.8) AL= Pagaliau randame kampą A (žr. (1.6) formulę). 1 2 2 ( − 1) + ( 0 − 2) 3 2 = 3 10 . AB ⋅ AC − 2⋅ 2 + ( −1)( −4) cosA= = = 0 ; A=90º. | AB || AC | 5 ⋅ 2 5 2 Ats.: S=5; BH= 5 ; AL= 10 ; A=90º. 3 6 uždavinys ([5], p. 45). Raskite trikampio ABC pusiaukraštinę AM, pusiaukampinę BL, sunkio centrą O, jei A(0, 1, -1), B(-3, 1, 3), C(5, -5, 3). Koordinačių sistema stačiakampė. 296 2 5 Ats.: AM= 26 ; BL= ; O( , − 1, ). 3 3 3 7 uždavinys ([5], p. 41). Atkarpa AB taškais M1, M2, M3, M4 padalyta į 5 lygias dalis. Raskite taškų A ir M4 afiniąsias koordinates, jei M2(1, 0), B(0, -1). 5 1 Ats.: A( , 4); M4( , 0). 3 3 36 2.5. Savikontrolės klausimai 1. Kaip apskaičiuojamos vektoriaus AB koordinatės? 2. Ką vadiname trijų tiesės taškų paprastuoju santykiu? 3. Ką reiškia atkarpą padalyti duotu santykiu? 4. Kaip apskaičiuojamos atkarpos dalijimo taško koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)? 5. Kokios atkarpos vidurio koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)? 6. Kokios trikampio sunkio centro koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)? 7. Kam lygus atstumas tarp dviejų taškų? 3. Lygčių, nelygybių ir jų sistemų geometrinė prasmė 3.1. Lygčių, nelygybių su dviem kintamaisiais bei jų sistemų geometrinė prasmė koordinačių plokštumoje 3.1.1. Plokštumos figūros lygties (nelygybės ar jų sistemos) apibrėžimas
Change language