II skyrius. KOORDINAČIŲ METODAS

28
Angelė Baškienė
ANALIZINĖ GEOMETRIJA
II skyrius
(Medžiaga virtualiajam kursui)
II skyrius. KOORDINAČIŲ METODAS ........................................................................................................................ 29
1. Koordinačių sistema................................................................................................................................................. 29
1.1. Plokštumos afinioji koordinačių sistema. Taško afiniosios koordinatės .......................................................... 29
1.1.1. Plokštumos afinusis reperis ...................................................................................................................... 29
1.1.2. Plokštumos stačiakampė Dekarto koordinačių sistema ............................................................................ 29
1.1.3. Plokštumos taško afiniosios koordinatės.................................................................................................. 29
1.1.4. Uždaviniai ................................................................................................................................................ 30
1.2. Polinė koordinačių sistema............................................................................................................................... 30
1.2.1. Polinės koordinatės................................................................................................................................... 30
1.2.2. Polinių ir Dekarto koordinačių ryšio formulės ......................................................................................... 30
1.2.3. Uždaviniai ................................................................................................................................................ 31
1.3. Erdvės afinioji koordinačių sistema. Taško afiniosios koordinatės.................................................................. 31
1.3.1. Erdvės afinusis reperis.............................................................................................................................. 31
1.3.2. Erdvės stačiakampė koordinačių sistema ................................................................................................. 31
1.3.3. Erdvės taško koordinatės.......................................................................................................................... 31
1.3.4. Taško M(x, y, z) vaizdavimas ................................................................................................................... 32
1.3.5. Uždaviniai ................................................................................................................................................ 32
1.4. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 33
2. Pagrindiniai uždaviniai, sprendžiami koordinačių metodu ...................................................................................... 33
2.1. Vektoriaus AB koordinatės............................................................................................................................. 33
2.2. Trijų tiesės taškų paprastasis santykis.............................................................................................................. 33
2.2.1. Trijų tiesės taškų paprastojo santykio apibrėžimas................................................................................... 33
2.2.2. Atkarpos dalijimas duotu santykiu ........................................................................................................... 33
2.2.3. Atkarpos vidurio koordinatės ................................................................................................................... 34
2.2.4. Trikampio sunkio centro koordinatės ....................................................................................................... 34
2.3. Atstumas tarp dviejų taškų ............................................................................................................................... 34
2.4. Uždaviniai ........................................................................................................................................................ 35
2.5. Savikontrolės klausimai ................................................................................................................................... 36
3. Lygčių, nelygybių ir jų sistemų geometrinė prasmė ................................................................................................ 36
3.1. Lygčių, nelygybių su dviem kintamaisiais bei jų sistemų geometrinė prasmė koordinačių plokštumoje ........ 36
3.1.1. Plokštumos figūros lygties (nelygybės ar jų sistemos) apibrėžimas......................................................... 36
3.1.2. Apskritimo lygtis..................................................................................................................................... 37
3.1.3. Lygčių ir nelygybių su dviem kintamaisiais geometrinė prasmė.............................................................. 37
3.1.4. Lygčių ir nelygybių su dviem kintamaisiais sistemų geometrinė prasmė ................................................ 38
3.1.5. Algebrinės kreivės.................................................................................................................................... 38
3.2. Lygčių, nelygybių su trimis kintamaisiais ir jų sistemų geometrinė prasmė koordinačių erdvėje ................... 38
3.2.1. Erdvės figūros lygties (nelygybės ar jų sistemos) apibrėžimas ................................................................ 38
3.2.2. Sferos ir cilindro lygtys ............................................................................................................................ 39
3.2.3. Lygčių ir nelygybių su trimis kintamaisiais geometrinė prasmė .............................................................. 39
⎧F(
x,
y)
= 0,
3.2.4. Lygties F(x, y, z)⋅G(x, y, z)=0 ir sistemos ⎨
geometrinė prasmė........................................... 39
⎩G(
x,
y)
= 0
3.2.5. Algebriniai paviršiai ................................................................................................................................. 40
3.3. Uždavinių, sprendžiamų koordinačių metodu, pavyzdžiai............................................................................... 40
3.4. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 40
4. Afiniųjų koordinačių transformacijos formulės ....................................................................................................... 41
4.1. Plokštumos ir erdvės orientacija....................................................................................................................... 41
4.2. Afiniosios koordinačių sistemos lygiagretusis postūmis.................................................................................. 41
4.3. Bendrosios afiniųjų koordinačių transformacjos formulės............................................................................... 42
4.4. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos transformacijos formulės........................................................... 43
4.4.1. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pakeitimas, nekeičiant plokštumos orientacijos ................ 43
4.4.2. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pakeitimas, pakeičiant plokštumos orientaciją .................. 44
4.4.3. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos ašių posūkis ....................................................................... 44
4.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys................................................................................................................. 44

1. Koordinačių sistema
II skyrius. KOORDINAČIŲ METODAS
1.1. Plokštumos afinioji koordinačių sistema. Taško afiniosios koordinatės
1.1.1. Plokštumos afinusis reperis
A Plokštumos afiniuoju reperiu, arba afiniąja koordinačių
sistema, vadinamas jos kuris nors taškas (pvz., O) ir plokštumos linealo
L2 (I, 3.5) bazė B={ e1 r , e2 r } (I, 4.1.2).
Žymimas: R=(O, e1 r , e2 r ).
A Taškas O vadinamas koordinačių pradžia, bazės vektoriai e1 r , e2 r
– koordinatiniais vektoriais.
Nubrėžkime kryptinę atkarpą OE 1 , priklausančią vektoriui e1 r , ir
kryptinę atkarpą OE 2 , priklausančią vektoriui e2 r . Gauti taškai E1, E2 kartu
su koordinačių pradžia O vadinami afiniojo reperio viršūnėmis (2.1 pav.). Jos nepriklauso vienai tiesei, nes vektoriai
e r yra nekolinearūs. Reperio viršūnės O, E1, E2 (svarbi jų tvarka) apibrėžia reperį. Todėl reperis R dar žymimas (O,
e1 r , 2
E1, E2).
A Abscisių ašimi, arba Ox ašimi, vadinama tiesė OE1, kurios teigiamą kryptį apibrėžia vektorius e1 r = OE 1 .
A Ordinačių ašimi, arba Oy ašimi, vadinama tiesė OE2, kurios teigiamą kryptį apibrėžia vektorius e2 r = OE 2 .
A Plokštuma, kurioje apibrėžta koordinačių sistema, vadinama koordinačių plokštuma.
1.1.2. Plokštumos stačiakampė Dekarto *) koordinačių sistema
A Jei afiniojo reperio R koordinatiniai vektoriai yra statmeni ir vienetiniai vektoriai,
t. y. jei jo bazė B yra ortonormuotoji bazė { i ,
r r
j }, tuomet afinusis reperis vadinamas
ortonormuotuoju reperiu, arba stačiakampe Dekarto koordinačių sistema.
Žymima: R=(O, i ,
r r
j ) (2.2 pav.).
1.1.3. Plokštumos taško afiniosios koordinatės
Tarkime, jog turime afinųjį reperį R=(O, e1 r , e2 r ), o M yra bet kuris plokštumos taškas (2.1 pav.). Vektorius OM
vadinamas taško M spinduliu vektoriumi.
A Plokštumos taško M afiniosiomis koordinatėmis x, y afiniojo reperio R=(O, e1 r , e2 r ) atžvilgiu vadinamos jo
spindulio vektoriaus OM koordinatės bazės B={ e1 r , e2 r } (I, 4.1.2) atžvilgiu.
Rašoma: M(x, y)R=(O, e1 , e2
r r
). Skaitoma: taško M koordinatės yra x, y reperio R=(O, e1 r , e2 r ) atžvilgiu. Pirmoji
koordinatė (x) vadinama abscise, antroji (y) – ordinate.
2.1 paveiksle taško M abscisė x = 2, ordinatė y = 3, nes OM =2 e1 r +3 e2 r . 2.2 paveiksle taško A koordinatės x = -1,
y = -2, nes OA = - i r -2 j r .
Jei reperis aiškus, jis nerašomas.
Savarankiškai raskite plokštumos afiniojo reperio viršūnių koordinates.
*) R. Dekartas (1596 – 1650) – žymus prancūzų matematikas, sukūręs koordinačių metodą.
y
E2
e2
O e1
E1
x
2.1 pav.
A
e2
B
e1
N
O
j
2.3 pav.
O
A(-1, -2)
2.2 pav.
i
D
C
29

30
1.1.4. Uždaviniai
1 uždavinys. Raskime lygiagretainio ABCD viršūnių koordinates reperio R=(A, O, B)=(A, AO , AB ) atžvilgiu (2.3
1 1
pav.). Čia O – lygiagretainio simetrijos centras (įstrižainių susikirtimo taškas). Raskime tašką N( , ).
2 2
Sprendimas. A(0, 0), nes AA = 0 {0, 0}; B(0, 1), nes AB =0⋅ AO +1⋅ AB ; AC =2 AO , todėl C(2, 0); AD = BC =
1 1
= AC – AB =2 AO - AB , todėl D(2, -1). Kadangi AN = AO + AB , tai N yra atkarpos BO vidurys (2.3 pav.).
2 2
Ats.: A(0, 0); B(0, 1); C(2, 0); D(2, -1); atkarpos BO vidurys.
2 uždavinys. Raskime taisyklingojo šešiakampio ABCDEF viršūnių koordinates reperio R=(B, e1 r , e2 r ) atžvilgiu.
Čia e1 r = BA , e2 r 1
= BD (2.4 pav.). Raskime tašką M( , 1).
2
Sprendimas. A(1, 0); B(0, 0); D(0, 1); E(1, 1), nes BE = e1 r + e2 r 3
; F( , 1), nes
2
1
BF = BA + BO = BA + BE = e1 2
r 1
+ ( e1 2
r + e2 r 1 1 1
); C(- , ), nes BC = AO = BE -
2 2
2
1
BA = ( e1 2
r + e2 r )- e1 r 1 1
. Tašką M( , 1) rasime iš lygybės BM = e1 2
2
r + e2 r . Sudėję
1
vektorius e1 2
r ir e2 r pagal vektorių sudėties lygiagretainio taisyklę (I, 2.1.2)
gauname, jog M yra atkarpos DE vidurys (2.4 pav.).
1 1 3
Ats.: A(1, 0); B(0, 0); C(- , ); D(0, 1); E(1, 1); F( , 1); atkarpos DE vidurys.
2 2
2
1.2. Polinė koordinačių sistema
1.2.1. Polinės koordinatės
Tarkime, jog turime spindulį p=OE, atkarpos OE ilgis lygus 1 (2.5 pav.).
Spindulys p vadinamas poline ašimi, jo pradžia O – poliumi, taškas E –
vienetiniu tašku. Spindulį p su pažymėtu vienetiniu tašku E vadiname poline
koordinačių sistema.
A Plokštumos taško M poliniu atstumu ρ vadinamas atstumas nuo to
taško iki poliaus: ρ=OM.
A Taško M poliniu kampu ϕ vadinamas kampas EOM tarp polinės ašies ir spindulio OM.
A Polinis atstumas ρ∈[0, ∞) ir polinis kampas ϕ∈[0, 2π) vadinamas taško M polinėmis koordinatėmis.
Rašoma: M(ρ, ϕ). Skaitoma: taško M polines koordinatės yra ρ, ϕ.
π 3π
2.5 paveiksle M(2, ), E(1, 0), N(1, ). Poliaus O polinis atstumas lygus 0, polinis kampas – neapibrėžtas.
6
2
1.2.2. Polinių ir Dekarto koordinačių ryšio formulės
Tarkime, jog turime polinę koordinačių sistemą, t. y. spindulį p=OE. Tuomet kiekvienam plokštumos taškui M,
nesutampančiam su poliumi O, galima priskirti polines koordinates ρ, ϕ.
r r
Papildomai panagrinėkime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą R=(O, i , j ), kurios abscisių ašis eitų per
polinę ašį, o jų kryptys sutaptų. Ordinačių ašį nubrėžkime per tašką O statmenai Ox ašiai (2.5 pav.). Tada taškas M to
reperio R atžvilgiu įgis koordinates x, y.
Iš stačiojo trikampio OMMx
x=ρ cosϕ, y=ρ sinϕ. (2.1)
Pagal Pitagoro teoremą ρ 2 =x 2 +y 2 ,
2 2
Iš (2.1), (2.2) lygybių
cosϕ =
ρ =
x
2
x
x + y . (2.2)
+ y
2
, sinϕ =
x
2
y
+ y
2
. (2.3)
Formules išvedėme taškui M, priklausančiam I ketvirčiui. Kitais atvejais jos taip pat galioja. (2.1), (2.2), (2.3)
išraiškos vadinamos polinių ir Dekarto koordinačių ryšio formulėmis.
M y
j
O
B
y
N
i
ρ
e1
E
C
ϕ
e2
A F
2.4 pav.
M x
D
M( ρϕ , )
2.5 pav.
M
E
p , x

1.2.3. Uždaviniai
π
1 uždavinys. Žinomos taško A polinės koordinatės: ρ=2; ϕ= . Raskime taško A′,
4
simetriško taškui A poliaus atžvilgiu, polines koordinates. Raskime taško A′′,
simetriško taškui A polinės ašies atžvilgiu, polines koordinates (2.6 pav.).
5π 7π
Sprendimas. A′(2; ), nes ϕ′=ϕ+ π , ρ′=ρ. A′′(2; ), nes ϕ′′= 2 π − ϕ , ρ′′=ρ.
4
4
5π 7π
Ats.: A′(2; ); A′′(2; ).
4 4
3π ) Dekarto koordinates; taško N(-3, -4)R=(O, j
2 uždavinys. Raskime taško M(1, i
4
r r
, ) polines koordinates.
Sprendimas. Taikome polinių ir Dekarto koordinačių ryšio formules (2.1), (2.2), (2.3).
3π 2 3π 2
M: x=1⋅cos = - , y=1⋅sin = .
4 2 4 2
2 2
3 4 4
N: ρ= ( − 3)
+ ( −4)
=5, cosϕ= - , sinϕ= - , todėl tgϕ= . Sinusas ir kosinusas neigiami trečiajame ketvirtyje,
5 5
3
4
todėl ϕ=π+arctg .
3
2 2 4
Ats.: M(- , )R; N(5, ϕ=π+arctg ).
2 2
3
1.3. Erdvės afinioji koordinačių sistema. Taško afiniosios koordinatės
1.3.1. Erdvės afinusis reperis
A Erdvės afiniuoju reperiu, arba afiniąja koordinačių
sistema, vadinamas jos taškas (pvz., O) ir erdvės linealo L3 (I,
3.5) bazė B={ e1 r , e2 r , e3 r } (I, 4.1.3).
Žymima: R=(O, e1 r , e2 r , e3 r ). Taškas O vadinamas
koordinačių pradžia, bazės vektoriai e1 r , e2 r , e3 r –
koordinatiniais vektoriais.
Nubrėžkime kryptines atkarpas OE 1 , OE 2 , OE 3 ,
priklausančias atitinkamai vektoriams e1 r , e2 r , e3 r . Gauti taškai
E1, E2, E3 kartu su koordinačių pradžia O nepriklauso vienai
plokštumai (vektoriai e1 r , e2 r , e3 r z
E3
e3
e2
O
e1
E2
E1
y
M(2;3;1)
k M
x
M1
– nekomplanarūs). Jie
2.7 pav.
x
vadinami reperio viršūnėmis (2.7 pav.). Reperio viršūnės apibrėžia reperį, todėl reperis dar žymimas (O, E1, E2, E3).
Analogiškai plokštumos atvejui apibrėžiamos erdvės koordinačių ašys: abscisių ašis Ox, ordinačių ašis Oy,
aplikačių ašis Oz. Pvz., aplikačių ašimi vadinama tiesė OE3, kurios teigiamą kryptį apibrėžia vektorius e3 r .
Plokštumos OE1E2, OE1E3, OE2E3 vadinamos atitinkamai Oxy, Oxz, Oyz plokštumomis.
A Erdvė, kurioje apibrėžta afinioji koordinačių sistema, vadinama koordinačių
erdve.
1.3.2. Erdvės stačiakampė koordinačių sistema
r r r
A Jeigu erdvės afiniojo reperio R bazė yra ortonormuotoji bazė B={ i , j , k },
tuomet reperis R vadinamas ortonormuotuoju reperiu, arba stačiakampe
koordinačių sistema.
r r r r r
Žymima: R=(O, i , j , k ) (2.8 pav.). Primename, jog koordinatiniai vektoriai i , j ,
k r yra poromis statmeni ortai: | i r |=| j r |=| k r |=1, i r ⊥ j r , i r ⊥ k r , j r ⊥ k r .
1.3.3. Erdvės taško koordinatės
O
E
A
A′ A′′
2.6 pav.
k
i O j
A(1, -2, -3) 2.8 pav.
31

32
r r r
A Erdvės taško M afiniosiomis koordinatėmis x, y, z afiniojo reperio R=(O, i , j , k ) atžvilgiu vadinamos jo
spindulio – vektoriaus OM koordinatės (I, 4.1.3) bazės B={ e1 r , e2 r , e3 r } atžvilgiu.
Rašoma: M(x, y, z) r r r
R=(O, e1
, e2,
e3).
Suprantama, jog OM {x, y, z }B=(
r r r
e1
, e2,
e3),
t. y. jog OM =x e1 r +y e2 r +z e3 r .
Pirmoji koordinatė (x) vadinama abscise, antroji (y) – ordinate, trečioji (z) – aplikate.
2.7 paveiksle taško M koordinatės yra: x=2; y=3; z=1, nes OM =2 e1 r +3 e2 r + e3 r . 2.8 paveiksle A(1, -2, -3), nes
OA = i r -2 j r -3 k r .
Savarankiškai raskite reperio viršūnių koordinates.
1.3.4. Taško M(x, y, z) vaizdavimas
Tarkime, jog turime erdvėje reperį R=(O, e1 r , e2 r , e3 r )=(O, E1, E2, E3) (2.7 pav.). Bet kurio erdvės taško M
koordinatės x, y, z yra vektoriaus OM koordinatės, kurios gaunamos panaudojus koordinatinę laužtę (I, 4.1.3).
Atvirkščiai, sakykime, turime sutvarkytą skaičių trejetą (x, y, z). Ieškosime taško M, kurio koordinatės reperio R
atžvilgiu yra tie skaičiai.
▲ Vektorių e1 r padauginkime iš skaičiaus x, nubrėžkime vektoriaus x e1 r atstovą OM x . Vektorių e2 r padauginkime
iš skaičiaus y, o vektoriaus y e2 r atstovą atidėkime nuo taško Mx. Gausime tašką M1. Vektoriaus z e3 r atstovą atidedame
nuo taško M1 ir gauname tašką M. Pagal vektorių sudėties daugiakampio taisyklę (I, 2.1.3) OM = OM x + M x M 1
+ M 1 M =x e1 r +y e2 r +z e3 r . Taigi vektoriaus OM , o pagal taško koordinačių apibrėžimą ir taško M, koordinatės yra x, y,
z: M(x, y, z)R. ▲
Vadinasi, turint reperį, tarp erdvės taškų ir sutvarkytų skaičių trejetų egzistuoja tarpusavyje vienareikšmė atitiktis.
1 pastaba. Visi teoriniai samprotavimai buvo atliekami su erdvės objektais. Tuo tarpu 2.7 ir 2.8 paveiksluose
pateiktas reperio, taško, koordinatinės laužtės brėžinys plokštumoje. Turint reperio brėžinį ir žinant taško koordinates,
panaudojus laužtę OMxM1M galima vienareikšmiškai surasti to taško vaizdą plokštumoje. Tačiau turint taško M ir
reperio brėžinį negalima vienareikšmiškai surasti to taško koordinačių, nes nežinoma taško M1∈Oxy vaizdo padėtis
(2.9 pav.). Uždavinys išsprendžiamas, brėžinyje fiksavus tašką M1.
M(2;0;3)
O
e3
e1
e2
M x
M1
M(1;1;2)
O
e3
e1
e2
M 1 = M x
2.9a pav.
2.9b pav.
2.9c pav.
2 pastaba. Koordinatinę laužtę galima naudoti ir plokštumoje. Tuo atveju ji neturi bent vienos grandies. 2.9b
paveiksle pavaizduotas taškas M, esantis Oxz plokštumoje; 2.9a paveiksle pavaizduotas taškas M1, esantis Oxy
plokštumoje, be to, M1(1, 1)R=(O, e1 , e2
r r
); 2.9c paveiksle pavaizduotas Ox ašies taškas Mx. Jo koordinatinė laužtė susideda iš
vienos grandies OMx.
1.3.5. Uždaviniai
1 uždavinys. Raskime gretasienio ABCDA1B1C1D1 viršūnių koordinates reperio
R=(O, A, B, C) atžvilgiu. Čia O – gretasienio simetrijos centras (2.10 pav.).
Sprendimas. A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); C1(-1, 0, 0). Analogiškai A1(0, 0, -1);
D1(0, -1, 0), nes OD 1 = − OB = - e2 r .
Pagal vektorių sudėties ir atimties trikampio taisykles (I, 2.1) OD = OC +CD
= e3 r + BA = e 3 +( e1 r - e2 r ), todėl D(1, -1, 1). Kadangi OB 1 = - OD , tai B1(-1, 1, -1).
Ats.: A(1, 0, 0); B(0, 1, 0); C(0, 0, 1); D(1, -1, 1); A1(0, 0, -1); B1(-1, 1, -1); C1(-1,
0, 0); D1(0, -1, 0).
2 uždavinys. Tetraedro ABCD briaunų AB ir CD vidurio taškai – atitinkamai E ir
F. Raskime viršūnių koordinates reperio (A, E, C, F) atžvilgiu (2.11 pav.).
M x
A1
A
O
e3
e1
A
e2
D1
O
e1 2 e
e1
D
M1
M(-2;3;-1)
1 B
B
e3
D2.10
pav.
e3
e2
F
E
2.11 pav.
B
C
C1
C

Sprendimas. A(0, 0, 0); B(2, 0, 0); C(0, 1, 0). Raskime taško D koordinates. Pagal vektorių sudėties ir atimties
trikampio taisykles (I, 2.1) AD = AC + CD = e2 r +2 CF = e2 r +2( e3 r - e2 r )= - e2 r +2 e3 r . Taigi D(0, -1, 2).
Ats.: A(0, 0, 0); B(2, 0, 0); C(0, 1, 0); D(0, -1, 2).
1.4. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Ką vadiname plokštumos afiniuoju reperiu? Erdvės afiniuoju reperiu?
2. Ką vadiname stačiakampe koordinačių sistema plokštumoje? Erdvėje?
3. Ką vadiname plokštumos taško afiniosiomis koordinatėmis? Erdvės taško afiniosiomis koordinatėmis?
4. Ką vadiname plokštumos taško polinėmis koordinatėmis?
5. Kokios reperio viršūnių koordinatės (plokštumoje ir erdvėje)?
6. Kokios polinių ir Dekarto koordinačių ryšio formulės?
7. Kaip nubrėžiama taško koordinatinė laužtė?
8. Kaip žinant taško koordinatinę laužtę surasti taško afiniąsias koordinates?
9. Kaip žinanat taško koordinates reperio atžvilgiu surasti tašką?
1
10. Nubrėžkite reperio vaizdą plokštumoje. Raskite taškų A(-1, 3, ), B(2, -1, -2), C(0, -1, 2), D(-2, 0, -1) vaizdus.
2
2. Pagrindiniai uždaviniai, sprendžiami koordinačių metodu
2.1. Vektoriaus AB koordinatės
Tarkime, jog erdvėje turime du taškus A(x1, y1, r r r
z1)R==(O, e1
, e2,
e3)
ir B(x2, y2, z2)R. Raskime
vektoriaus AB koordinates bazės B={ e1 r , e2 r , e3 r } atžvilgiu (2.12 pav.).
▲ Pagal vektorių atimties trikampio taisyklę (I, 2.2.1) AB = OB - OA , o pagal taško
koordinačių apibrėžimą (II, 1.3.3) turime, jog OA {x1, y1, z1}B, OB {x2, y2, z2}B. Remiantis
vektorių koordinačių savybe (I, 4.2.2) AB {x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}B. ▲
Pastaba. Analogiškai įrodoma, jog plokštumoje vektorius AB turi tokias koordinates: AB {x2 - x1, y2 - y1}{ e1 , e2
r r
}, jei
e , e
r r
e , e
r r
O
B
A
2.12 pav.
). Įrodykite savarankiškai.
žinomi taškai A(x1, y1)(O, 1 2),
B(x2, y2)(O, 1 2
ℑ Vektoriaus AB koordinatės lygios jo atstovo AB pabaigos ir pradžios atitinkamų koordinačių skirtumams.
2.2. Trijų tiesės taškų paprastasis santykis
2.2.1. Trijų tiesės taškų paprastojo santykio apibrėžimas
A Trijų tiesės taškų M1, M2, M (svarbi jų tvarka) paprastuoju santykiu
vadinamas skaičius λ, su kuriuo teisinga lygybė
M 1 M =λ MM 2 . (2.4)
Žymima: λ=(M1M2M). 2.13 paveiksle λ=(M1M2M)=2, λ1=(M1MM2)= -3, nes
1 2 M M = -3 M M 3
2 , λ2=(M2MM1)= - , nes 2 1
2
M M = - 3
2
M
M 1
2.2.2. Atkarpos dalijimas duotu santykiu
A Padalyti atkarpą 2
M 1M duotu santykiu λ ≠ -1 reiškia rasti tokį tašką M, kuriam galiotų (2.4) lygybė.
Tarkime, jog turime erdvėje du taškus M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2). Taškų koordinatės apibrėžtos afiniojo reperio
atžvilgiu. Reikia rasti tašką M(x, y, z), kuris padalytų atkarpą M1M2 žinomu santykiu λ ≠ -1.
▲ Naudodami 2.1 punkto išvadą randame, jog M 1 M {x - x1, y - y1, z - z1}, MM 2 {x2 - x, y2 - y, z2 - z}. Pagal
vektorių koordinačių savybę (I, 4.2.3) λ MM 2 { λ(x2 - x), λ(y2 - y), λ(z2 - z)}. Vektoriai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų
koordinatės yra lygios (I, 4.2.1), todėl x - x1=λ(x2 - x), y - y1=λ(y2 - y), z - z1=λ(z2 - z). Atlikę elementarius pertvarkius
gauname, jog
x1
+ λx2
y1
+ λy
2 z1
+ λz
2
x= , y= , z= . ▲ (2.5)
1+
λ 1+
λ 1+
λ
.
M 1
M
2.13 pav.
M 2
33

Pastaba. Jei turime tašką N(x, y, z=0)(O,
r r r
e1
, e2,
e3),
t. y. ON =x e 1 +y e 2 , tuomet Oxy plokštumoje taškas N turi
koordinates x, y reperio (O, e1 r , e2 r ) atžvilgiu. Atvirkščiai, kiekvieną koordinačių plokštumos Oxy tašką galima laikyti ir
erdvės tašku, kurio aplikatė lygi 0. Todėl plokštumos Oxy atkarpos M1M2 dalijimo taško M koordinatės x ir y
skaičiuojamos pagal (2.5) formulę; trečioji tapatybė 0=0 nerašoma.
Plokštumos atkarpos dalijimo taško formules galima išvesti ir kitokiu būdu. Pabandykite tai padaryti savarankiškai.
1
Pavyzdys. Atkarpą AB padalykime santykiu λ= - ; žinomos taškų koordinatės: A(1, -3), B(2, 0).
2
34
1
1
1−
⋅ 2 − 3 − ⋅0
Sprendimas. x=
2
=0, y=
2
= -6.
1
1
1−
1−
2
2
Ats.: M(0, -6).
2.2.3. Atkarpos vidurio koordinatės
Tarkime, jog taškas M yra atkarpos M1M2 vidurys. Tada M 1 M = MM 2 , ir pagal (2.4) formulę λ=1. Įrašę šią λ
reikšmę į (2.5) formules, gauname erdvės atkarpos vidurio koordinačių išraiškas:
x 1 + x2
y 1 + y 2 z 1 + z 2
x= , y= , z= . (2.6)
2
Atsižvelgiant į šio skyriaus 2.2.2 papunkčio pastabą, gautas formules galima taikyti ir plokštumos taškams (trečioji
tapatybė 0=0 nerašoma).
Atkarpos dalijimo pusiau formules galima išvesti ir kitokiu būdu. Pabandykite tai atlikti savarankiškai.
ℑ Atkarpos vidurio koordinatės yra jos galų atitinkamų koordinačių aritmetiniai vidurkiai.
2.2.4. Trikampio sunkio centro koordinatės
Trikampio sunkio centru vadinamas jo pusiaukraštinių susikirtimo taškas.
Tarkime, jog žinome trikampio viršūnių afiniąsias koordinates: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3,
y3, z3). Rasime sunkio centro M koordinates x, y, z.
B
x 2 + x y 3 2 + y3
▲ Randame atkarpos BC vidurio A1 koordinates pagal (2.6) formulę: A1( , ,
2 2
z 2 + z3
). Iš vidurinės mokyklos geometrijos kurso žinoma, jog taškas M dalija atkarpą AA1 santykiu
2
A
2
1
M
λ=AM:MA1=2:1. Pritaikę (2.5) formules turime, jog
x2
+ x
2.14 pav.
3
x1
+ 2(
)
x=
2 x 1 + x2
+ x3
y 1 + y 2 + y3
z 1 + z 2 + z3
=
, y=
, z=
. ▲ (2.7)
1+
2
3
3
3
Šias formules taikysime ir plokštumoje Oxy esančiam trikampiui; trečiosios koordinatės (z=0) neskaičiuosime.
Jas galima išvesti analogiškai kaip ir erdvės trikampiui. Pabandykite tai atlikti savarankiškai.
ℑ Trikampio sunkio centro koordinatės yra jo viršūnių atitinkamų koordinačių aritmetiniai vidurkiai.
Pavyzdys. Raskime trikampio MNP sunkio centrą S, kai M(2, 1), N(0, 1), P(-5, 6).
2 + 0 − 5
−1+
1+
6
Sprendimas. Pagal (2.7) formulę taško S abscisė x= = −1,
ordinatė y= = 2 .
3
3
Ats.: S(-1, 2).
2.3. Atstumas tarp dviejų taškų
Šiame punkte mes naudosime stačiakampę koordinačių sistemą R=(O, i r , j r , k r ), nes kalbėsime apie metrinę
sąvoką – atstumą.
Tarkime, jog turime du taškus A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Rasime atstumą tarp tų taškų.
▲ Remiantis vektoriaus ilgio apibrėžimu atstumas AB=| AB |=| AB |. Pagal 2.1 punkto išvadą AB {x2 - x1, y2 - y1, z2 -
r r r
z1}{ i , j,
k
}, o pagal vektoriaus ilgio išraišką koordinatėmis (I, 5.4.2) | AB |=
AB=
2
( x − z
2
( x − z
2
2
2
2 − x1
) + ( y 2 − y1
) + ( z 2 1)
. Taigi
2
2
2
2 − x1
) + ( y 2 − y1
) + ( z 2 1)
. ▲ (2.8)
Šią formulę galima taikyti ir plokštumos taškams (trečiasis pošaknio dėmuo lygus 0).
A1
C

ℑ Atstumas tarp dviejų taškų lygus kvadratinei šakniai iš taškų atitinkamų koordinačių skirtumų kvadratų
sumos.
2.4. Uždaviniai
1 uždavinys. Atkarpa AC yra tris kartus ilgesnė už atkarpą AB; taškas B yra
tarp taškų A ir C (2.15 pav.). Raskime taško C afiniąsias koordinates, jei A(1, 2, 3),
B(-2, 0, 4).
Sprendimas. Trijų taškų A, B, C paprastojo santykio λ ieškome iš lygybės
AC =λ CB .
Kadangi vektoriai AC ir CB yra priešpriešiniai, tai λ

1
S= |
2
2
2
2 2
+
2 2
2
2 −
2
2 2
−
2 2
1
| =
2
2
⋅ 0 −
2
2(
2 −
2 1
) = (2
2 2
2 -1)=
1
2 − .
2
2S
Žinant trikampio plotą, nesunku surasti kitas lygias tarpusavyje trikampio aukštines: h= =
MN
2 2 −1
5 − 2 2
.
4 − 2
Ats.: NQ= ; S=
2
1
2 − ; h=
2
2 2 −1
5 − 2 2
.
5 uždavinys. Raskime trikampio ABC plotą, aukštinę BH, pusiaukampinę AL, kampą A, jei A(1, 2), B(-1, 1),
C(3, -2).
Sprendimas. Randame vektorių AB ir AC koordinates bei jų ilgius. AB {-2, -1}, AC {2, -4},
| AB |=
2 2
( − 2)
+ ( −1)
= 5 , | AC |=
2 2
2 + ( −4)
= 2
1 − 2
5 . Trikampio plotas S= |
2 2
−1
1
| = (8+2)=5, aukštinė
− 4 2
2S
10
BH= = =
AC 2 5
5 . Pusiaukampinė AL dalija kraštinę BC į dalis, proporcingas trikampio kraštinėms, todėl
CL AC 2 5
λ=(CBL)= = = = 2 .
LB AB 5
3 + 2⋅
( −1)
1 −2
+ 2⋅1
1
Taikydami (2.5) formulę randame taško L koordinates: x= = , y= = 0 ; L( , 0).
1+
2 3 1+
2 3
Pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (2.8) AL=
Pagaliau randame kampą A (žr. (1.6) formulę).
1 2
2
( − 1)
+ ( 0 − 2)
3
2
=
3
10 .
AB ⋅ AC − 2⋅
2 + ( −1)(
−4)
cosA= =
= 0 ; A=90º.
| AB || AC | 5 ⋅ 2 5
2
Ats.: S=5; BH= 5 ; AL= 10 ; A=90º.
3
6 uždavinys ([5], p. 45). Raskite trikampio ABC pusiaukraštinę AM, pusiaukampinę BL, sunkio centrą O, jei
A(0, 1, -1), B(-3, 1, 3), C(5, -5, 3). Koordinačių sistema stačiakampė.
296 2 5
Ats.: AM= 26 ; BL= ; O( , − 1,
).
3 3 3
7 uždavinys ([5], p. 41). Atkarpa AB taškais M1, M2, M3, M4 padalyta į 5 lygias dalis. Raskite taškų A ir M4
afiniąsias koordinates, jei M2(1, 0), B(0, -1).
5 1
Ats.: A( , 4); M4( , 0).
3 3
36
2.5. Savikontrolės klausimai
1. Kaip apskaičiuojamos vektoriaus AB koordinatės?
2. Ką vadiname trijų tiesės taškų paprastuoju santykiu?
3. Ką reiškia atkarpą padalyti duotu santykiu?
4. Kaip apskaičiuojamos atkarpos dalijimo taško koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)?
5. Kokios atkarpos vidurio koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)?
6. Kokios trikampio sunkio centro koordinatės (erdvėje ir plokštumoje)?
7. Kam lygus atstumas tarp dviejų taškų?
3. Lygčių, nelygybių ir jų sistemų geometrinė prasmė
3.1. Lygčių, nelygybių su dviem kintamaisiais bei jų sistemų geometrinė prasmė
koordinačių plokštumoje
3.1.1. Plokštumos figūros lygties (nelygybės ar jų sistemos) apibrėžimas

Tarkime, jog plokštumoje apibrėžta afinioji koordinačių sistema R=(O, e1 r , e2 r ). Tada kiekvienas plokštumos taškas
M įgyja afiniąsias koordinates x, y, randamas iš lygybės OM =x e1 r +y e2 r . Atvirkščiai, jeigu turime du realiuosius
skaičius x, y, panaudoję tą lygybę galime surasti vektoriaus OM atstovą OM ir jo pabaigą M. Taigi egzistuoja
tarpusavyje vienareikšmė atitiktis tarp plokštumos taškų ir realiųjų skaičių sutvarkytų porų (x, y). Ši atitiktis leidžia
plokštumos geometrinius objektus pakeisti algebriniais reiškiniais, o taikant algebrą daryti geometrines išvadas.
A Plokštumos figūros Φ lygtimi (nelygybe, jų sistema) vadiname tokią lygtį (nelygybę, jų sistemą) su dviem
kintamaisiais, kurią tenkina kiekvieno taško M, priklausančio figūrai, koordinatės ir netenkina jokio taško N,
nepriklausančio figūrai, koordinatės.
Pastaba. Apibrėžimo pabrauktą dalį galima pakeisti sakiniu: „ ... jei taško koordinatės tenkina lygtį, tai taškas
priklauso figūrai“.
1pavyzdys. Ox ašies lygtis yra y=0, nes taškas M yra Ox ašyje tada ir tik tada, kai OM ir e1 r yra kolinearūs, t. y.
kai OM =x e1 r +0⋅ e2 r (2.18 pav.).
2 pavyzdys. Oy ašies lygtis yra x=0. Abiejų koordinačių ašių lygtis yra
xy=0.
3 pavyzdys. Pusplokštumės, kurios kraštas yra Oy ašis ir kuri eina per
tašką E1, nelygybė yra x≥0. Pirmojo koordinatinio ketvirčio nelygybių
⎧x
> 0,
sistema: ⎨ (2.18 pav.).
⎩ y > 0
3.1.2. Apskritimo lygtis
Rasime apskritimo, kurio centras yra taškas C(a, b), o spindulys – r, lygtį
stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos atžvilgiu.
▲ Paimkime apskritimo tašką M(x, y) ir raskime jo atstumą iki centro C (2.19
2
2
pav.). Panaudoję (2.8) formulę turime, jog CM= ( x − a)
+ ( y − b)
. Pagal
apskritimo apibrėžimą CM=r, todėl
( x − b
2
2
− a)
+ ( y ) =r arba
(x– a) 2 +(y– b) 2 =r 2 . (2.9)
Jei taškas N(x * , y * ) nėra apskritimo taškas (2.19 pav.), tuomet CN≠r,
2 * 2
x − a)
+ ( y − b)
≠ r , (x * – a) 2 +(y * – b) 2 ≠ r 2 .
Matome, jog taško N koordinatės netenkina (2.9) lygties. Pagal plokštumos figūros lygties apibrėžimą (2.9) yra
apskritimo lygtis. ▲
Jei apskritimo centras yra koordinačių pradžia O(0, 0), tuomet apskritimo lygtis supaprastėja:
( *
x 2 +y 2 =r 2 . (2.9)′
3.1.3. Lygčių ir nelygybių su dviem kintamaisiais geometrinė prasmė
Panagrinėkime lygtį ar nelygybę su dviem kintamaisiais x ir y: F(x, y)∗0. Čia ∗ reiškia vieną iš ženklų: =, ≠ , ,
≤, ≥.
A Lygties ar nelygybės su dviem kintamaisiais F(x, y)∗0 (vieno kintamojo gali nebūti) geometrinė prasmė
koordinačių plokštumoje yra figūra Φ, kurios kiekvieno taško M koordinatės tenkina tą lygtį ar nelygybę ir
kuriai nepriklausančių taškų N koordinatės netenkina lygties ar nelygybės (kitaip: jei kurio nors taško P
koordinatės tenkina lygtį ar nelygybę F(x, y)∗0, tuomet taškas priklauso figūrai Φ).
1 pavyzdys. Lygties x=0 (y=0) geometrinė prasmė koordinačių plokštumoje yra Oy (Ox) ašis.
2 pavyzdys. Nelygybės x 2 +y 2 ≤9 geometrinė prasmė yra skritulys, kurio centras sutampa su koordinačių pradžia,
spindulys r=3.
3 pavyzdys. Nelygybės x 2 +y 2 +1>0 geometrinė prasmė yra visa Oxy plokštuma, o x 2 +y 2 +1≤0 – tuščioji aibė.
4 pavyzdys. Nustatykime, ką koordinačių plokštumoje reiškia lygtis x 2 +y 2 +2x–
4y+1=0. Koordinačių sistema – stačiakampė.
Sprendimas. Pertvarkome duotą lygtį, sudarydami pilnus kvadratus:
(x 2 +2x+1)–1+(y 2 –4y+4)–4+1=0; (x+1) 2 +(y–2) 2 x=-y
B1
=4. Iš šios lygties matome, jog
plokštumoje turime apskritimą, kurio centras C(-1, 2), spindulys r=2.
Tarkime, jog lygties F(x, y)=0 geometrinė prasmė yra figūra Φ, o lygties G(x,
O
j
i
y)=0 geometrinė prasmė yra figūra Γ. Tuomet lygties F(x, y)⋅G(x, y)=0 geometrinė
prasmė yra figūrų sąjunga Φ ∪ Γ. Įrodykite savarankiškai.
B2
1 pavyzdys. Lygties xy=0 geometrinė prasmė yra abi koordinačių ašys.
2.20 pav.
j
O
O
e2
E2
e1
2.18 pav.
y
E1
M(, x y)
r
C
i
2.19 pav.
x
N ( x* , y* )
x=y
37

2 pavyzdys. Lygties x(x 2 +y 2 –1)=0 geometrinė prasmė – vienetinio apskritimo, kurio centras –
koordinačių pradžia, ir Oy ašies sąjunga (2.20 pav.).
prasmė
38
3.1.4. Lygčių ir nelygybių su dviem kintamaisiais sistemų geometrinė
Jei F(x, y)=0 yra figūros Φ lygtis, o G(x, y)=0 – figūros Γ lygtis, tuomet sistemos
⎧F
( x,
y)
= 0,
⎨
geometrinė prasmė yra figūrų sankirta Φ∩Γ. Įrodykite savarankiškai.
⎩G(
x,
y)
= 0
⎧x
= 0,
1 pavyzdys. Lygčių sistemos ⎨ geometrinė prasmė koordinačių plokštumoje – koordinačių pradžia O(0, 0).
⎩ y = 0
Nepainiokime su lygtimi xy=0.
2 pavyzdys. Lygčių sistema ⎨
⎩ ⎧ x = 0,
2 2 apibrėžia plokštumoje du taškus: B1(0, 1) ir B2(0, -1) (2.20 pav.). Vėl
x + y −1
= 0
nepainiokime su lygtimi x(x 2 +y 2 -1)=0, kurios geometrinė prasmė – apskritimo ir kirstinės sąjunga.
3 pavyzdys. Lygtis x 2 - y 2 =0 apibrėžia koordinačių plokštumoje dvi tieses: 1) x = y; 2) x = -y (2.20 pav.). Sistema
⎧x
− y = 0,
⎨ apibrėžia jų sankirtą O(0, 0).
⎩ x + y = 0
4 pavyzdys. Sistemos ⎨
⎩ ⎧ x = 5,
2 2 geometrinė prasmė yra tuščioji aibė, nes sistema neturi sprendinio.
x + y − 4 = 0
5 pavyzdys. Sistema ⎨
⎩ ⎧
2.21 pav.
x = 2,
2 2 apibrėžia plokštumoje stygą A1A2 (2.21 pav.).
x + y − 9 ≤ 0
3.1.5. Algebrinės kreivės
A Plokštumos kreivė vadinama algebrine, jei jos lygtis afiniosios koordinačių sistemos atžvilgiu yra F(x,
y)=0, o F(x, y) yra daugianaris, t. y. vienanarių kx m y n suma.
Čia k∈R, m, n – sveikieji neneigiami skaičiai.
A Algebrinės kreivės laipsniu arba eile vadinamas daugianario F(x, y) laipsnis, t. y. maksimalus vienanarių
laipsnis (m+n).
1 pavyzdys. Apskritimas, kurio lygtis (x– a) 2 +(y– b) 2 =r 2 , yra algebrinė antrojo laipsnio kreivė.
2 pavyzdys. Tiesė yra algebrinė pirmojo laipsnio „kreivė“ (tiesių lygčių pavyzdžiai: x=0, y=0, x– y=0).
3 pavyzdys. Apskritimas su kirstine yra algebrinė trečiojo laipsnio kreivė (figūros lygtis yra x(x 2 +y 2 –1)=0).
4 pavyzdys. Figūra, kurios lygtis (x 2 +y 2 ) 2 – 2 xy 5 +3x+π=0, yra algebrinė šeštojo laipsnio kreivė.
5 pavyzdys. Sinusoidė, tangensoidė, logaritminės funkcijos grafikas nėra algebrinės kreivės, nes jų lygtys yra
atitinkamai: y–sinx=0, y–tgx=0, y–lnx=0, o sinx, tgx, lnx nėra vienanariai.
3.2. Lygčių, nelygybių su trimis kintamaisiais ir jų sistemų geometrinė prasmė
koordinačių erdvėje
3.2.1. Erdvės figūros lygties (nelygybės ar jų sistemos) apibrėžimas
Tarkime, jog erdvėje turime afiniąją koordinačių sistemą. Tuomet tarp taškų ir
realiųjų skaičių sutvarkytų trejetų (x, y, z), t. y. taškų koordinačių, egzistuoja tarpusavyje
vienareikšmė atitiktis.
A Erdvės figūros Φ lygtimi, nelygybe ar jų sistema vadinama tokia lygtis,
nelygybė ar jų sistema su trimis kintamaisiais (vieno ar dviejų kintamųjų gali
nebūti), kurią tenkina kiekvieno figūros taško M koordinatės ir netenkina jokio
taško N, nepriklausančio figūrai, koordinatės.
Pabrauktas sakinys gali būti pakeistas taip: jei taško P(x, y, z) koordinatės tenkina tą
lygtį, nelygybę ar jų sistemą, tuomet jis priklauso figūrai Φ.
1 pavyzdys. Oxy plokštumos lygtis yra z=0, nes Oxy plokštumos taškai ir tik tokie
taškai turi aplikatę z=0 (2.22 pav.).
2 pavyzdys. Oyz plokštumos lygtis yra x=0, o Oxz plokštumos lygtis yra y=0.
Nepainiokime su Oy ašies lygtimi ir Ox ašies lygtimi koordinačių plokštumoje Oxy.
3 pavyzdys. Atviros puserdvės, kurios kraštas yra Oxy plokštuma ir kuri eina per tašką E3, nelygybė: z>0
(2.22 pav.).
E1
E3
O
j
O
2.22 pav.
i
A1
A2
E2

3.2.2. Sferos ir cilindro lygtys
1. Raskime sferos lygtį stačiakampės koordinačių sistemos atžvilgiu, jei sferos centras yra
taškas C(a, b, c), o spindulys lygus r (2.23a pav.).
▲ Taškas M(x, y, z) priklauso sferai tada ir tik tada, kai atstumas CM=r. Kadangi pagal
2
2
2
atstumo tarp dviejų taškų formulę (2.8) CM= ( x − a)
+ ( y − b)
+ ( z − c)
, tai lygybę CM=r
galima užrašyti pavidalu
( x − c
Ši lygtis yra ieškoma sferos lygtis. ▲
2
2
2
− a)
+ ( y − b)
+ ( z ) =r arba ekvivalenčiu pavidalu
(x– a) 2 + (y– b) 2 + (z– c) 2 =r 2 . (2.10)
Kai sferos centras yra koordinačių pradžia O(0, 0, 0), lygtis yra paprastesnė:
x 2 +y 2 +z 2 =r 2 . (2.10)′
2. Panagrinėkime lygtį x 2 +y 2 =r 2 . Koordinačių plokštumoje Oxy ji reiškia apskritimą ω,
kurio centras – koordinačių pradžia O, o spindulys lygus r.
Erdvėje ši lygtis reiškia cilindrą, kurio vedamoji kreivė yra apskritimas ω, o sudaromosios
lygiagrečios su Oz ašimi (2.23b pav.).
▲ Ieškokime erdvės figūros S, kurios lygtis yra x 2 +y 2 =r 2 . Taškas P(x*, y*, 0) priklauso
apskritimui ω tada ir tik tada, kai (x*) 2 +(y*) 2 =r 2 . Iš čia išplaukia, jog Oxy plokštumoje
visi apskritimo ω taškai ir tik tokie taškai priklauso figūrai S. Jei taškas P(x*, y*, 0)∈S,
tuomet ir taškas M(x*,y*,∀z)∈S, nes į lygtį x 2 +y 2 =r 2 z neįeina. Taigi visi tiesės PM
taškai priklauso figūrai S . Vadinasi, ieškoma figūra S yra cilindras. ▲
1 pavyzdys. Sferos, kurios centras yra taškas C(1, -2, 3), spindulys r= 5 , lygtis
yra (x - 1) 2 +(y+2) 2 +(z - 3) 2 =5.
2 pavyzdys. Cilindro, kurio vedamoji kreivė yra vienetinis Oxz plokštumos
apskritimas, o sudaromosios lygiagrečios Oy ašiai, lygtis yra x 2 +z 2 =1 (2.24 pav.).
3.2.3. Lygčių ir nelygybių su trimis kintamaisiais geometrinė prasmė
Tarkime, jog turime lygtį ar nelygybę su trimis kintamaisiais (vieno ar dviejų kintamųjų gali nebūti): F(x, y, z)∗0.
Čia ∗ reiškia vieną iš ženklų: =, ≠, >, 0 geometrinė prasmė – atviroji puserdvė, kurios kraštas Oxy plokštuma.
3 pavyzdys. Nelygybės x 2 +y 2 +z 2 –4>0 geometrinė prasmė yra visa erdvė už rutulio, kurio centras – koordinačių
pradžia O(0, 0, 0), o spindulys r=2.
4 pavyzdys. Lygties x 2 +y 2 +z 2 +4=0 geometrinė prasmė yra tuščioji aibė, o nelygybės x 2 +y 2 +z 2 +4>0 – visa erdvė.
3.2.4. Lygties F(x, y, z)⋅G(x, y, z)=0 ir sistemos ⎨
⎩ ⎧F(
x,
y,
z)
= 0,
geometrinė prasmė
G(
x,
y,
z)
= 0
Jei F(x, y, z)=0 yra figūros Φ lygtis, o G(x, y, z)=0 – figūros Γ lygtis, tuomet lygties
F(x, y, z)⋅G(x, y, z)=0 geometrinė prasmė koordinačių erdvėje yra figūrų sąjunga Φ ∪ Γ,
⎧F(
x,
y,
z)
= 0,
o sistemos ⎨
– jų sankirta Φ∩Γ. Įrodoma analogiškai kaip ir plokštumos
⎩G(
x,
y,
z)
= 0
atveju.
1 pavyzdys. Lygties xz=0 geometrinė prasmė yra Oyx ir Ozy plokštumų sąjunga, o
⎧x
= 0,
sistemos ⎨ – plokštumų sankirta (Oy ašis).
⎩ z = 0
x
i
i
z
ω
k
j
i
k
O
j
2.25 pav.
r
M
C
2.23a pav.
k
O
j
2.23b pav.
2.24 pav.
M( x*y , *, z)
B
y
39

2 pavyzdys. Lygtis (y–1)(x 2 +y 2 +z 2 –1)=0 koordinačių erdvėje apibrėžia vienetinės sferos ir jos liečiamosios
⎧
plokštumos taške B(0, 1, 0) sąjungą, o sistema ⎨ 2
⎩x
y = 1,
– tašką B (2.25 pav.).
2 2
+ y + z = 1
⎧y
= 0,
⎧x
= 0,
3 pavyzdys. Ox ir Oz ašių lygčių sistemos yra atitinkamai ⎨ ir ⎨ . Pastaroji
⎩ z = 0 ⎩ y = 0
sistema koordinačių plokštumoje Oxy apibrėžia tašką O(0, 0).
4 pavyzdys. Lygties z=2 geometrinė prasmė – plokštuma, einanti per tašką C(0, 0, 2) ir
lygiagreti Oxy plokštumai. Lygtis x 2 +y 2 +z 2 =8 apibrėžia sferą, kurios centras yra koordinačių
pradžia O, o spindulys r= 8 (2.26 pav.). Lygtis x 2 +y 2 C
k
ω
i
O
j
=4 koordinačių erdvėje apibrėžia cilindrą.
Jo vedamoji kreivė – apskritimas ω, o sudaromosios lygiagrečiom Oz ašim. (2.26 pav.). Sistema
⎧ z = 2,
⎧ z = 2,
⎨
ekvivalenti sistemai
2 2 2
⎨
apibrėžia apskritimą ω, kurio centras
2 2
⎩x
+ y + z = 8,
⎩x
+ y = 4,
2.26 pav.
⎧
z = 4,
C(0, 0, 2), o spindulys r= 2 (2.26 pav.). Sistemos ⎨
geometrinė prasmė – tuščioji aibė.
2 2 2
⎩x
+ y + z − 8 = 0
40
3.2.5. Algebriniai paviršiai
A Paviršius vadinamas algebriniu, jeigu jo lygtis erdvės afiniosios koordinačių sistemos atžvilgiu yra F(x, y,
z)=0, o F(x, y, z) yra daugianaris, t. y. vienanarių kx m y n z p suma.
Čia k∈R, m, n, p – sveikieji neneigiami skaičiai.
A Algebrinio paviršiaus laipsniu arba eile vadinamas daugianario F(x, y, z) laipsnis, t. y. maksimalus
vienanarių laipsnis (m+n+p).
Sfera yra algebrinis antrojo laipsnio paviršius, nes jos lygtis yra (x–a) 2 +(y–b) 2 +(z–c) 2 – r 2 =0. Plokštuma yra pirmojo
laipsnio paviršius. Plokštumos lygčių pavyzdžiai: x=0, y–1=0, z–2=0, ...
Sfera su liečiamąja plokštuma yra trečiojo laipsnio algebrinis paviršius, nes figūros lygtis yra (y–1)(x 2 +y 2 +z 2 –1)=0.
Paviršius, kurio lygtis yra xyz–ln2⋅x+z 4 –1=0, yra algebrinis ketvirtosios eilės paviršius. O figūros, kurias apibrėžia
lygtys:
xyz
1) x + sin y − ln z + e −1
= 0 ;
nėra algebriniai paviršiai. Kodėl?
1
3 5
1
2) xy + + 3 cos x + π = 0 ,
2
3.3. Uždavinių, sprendžiamų koordinačių metodu, pavyzdžiai
1 uždavinys ([4], p. 26). Įrodykite, kad atkarpos, jungiančios tetraedro priešingų briaunų vidurius, susikerta
viename taške, kuris dalija tas atkarpas pusiau.
2 uždavinys ([4], p. 27). Įrodykite, kad bet kurios uždaros erdvinės
laužtės A1A2A3A4 grandžių A1A2, A2A3, A3A4, A4A1 viduriai atitinkamai P, Q, S,
T sudaro lygiagretainį.
3 uždavinys ([4], p. 28). Raskime aibę T visų plokštumos taškų, vienodai
nutolusių nuo duotų dviejų taškų A ir B.
Sprendimas. Tarkime, jog atstumas tarp duotų taškų yra 2a. Nustatykime
plokštumoje stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą (O, i r , j r ) taip, kad
Ox ašis eitų per taškus A, B, o koordinačių pradžia būtų atkarpos vidurys A-a
(2.27 pav.).
Tada taškai A ir B įgyja tokias koordinates: A(-a, 0), B(a, 0). Tarkime, jog
taškas M(x, y) yra bet kuris ieškomos figūros T taškas. Tuomet AM=MB.
2
2
Pritaikę atstumo tarp dviejų taškų formulę (2.8) gauname, jog ( x + a)
+ ( y − 0)
= ( y −
2
2
x − a)
+ ( 0)
. Pakėlę
abi puses kvadratu, turime lygybę x 2 +2ax+a 2 +y 2 =x 2 – 2ax+a 2 +y 2 , kuri ekvivalenti lygčiai 4ax=0 arba x=0.
Vadinasi, kiekvienas figūros T taškas M priklauso Oy ašiai. Atvirkščiai, tarkime, jog taškas P priklauso Oy ašiai.
Tada taško P koordinatės yra x=0, y*. Atstumai PA=
( y
Vadinasi, ieškoma figūra T yra Oy ašis, t. y. tiesė, einanti per atkarpos AB vidurį O ir statmena tiesei AB.
Ats.: T – atkarpos AB vidurio statmuo.
3.4. Savikontrolės klausimai ir užduotys
2 2
a + (y*)
ir PB=
y
P (0, y* )
M(, x y)
( , 0) O Ba ( , 0)
2.27 pav.
2 2
− a ) + ( *) yra lygūs, todėl P∈T.
x

1. Ką vadiname plokštumos (erdvės) figūros lygtimi, nelygybe ar jų sistema?
2. Kokia lygčių, nelygybių ar jų sistemų su dviem kintamaisiais (su trimis kintamaisiais) geometrinė prasmė
koordinačių plokštumoje (erdvėje)?
3. Ką vadiname algebrine kreive ir algebriniu paviršiumi? Pateikite pavyzdžių.
4. Kokias figūras apibrėžia žemiau pateiktos lygtys, nelygybės ar jų sistemos koordinačių plokštumoje arba
koordinačių erdvėje? Pateikite brėžinius.
1) x+2=0; 2) 2y–10; 5) ⎨
6) y(z+1)=0; 7) ⎨
2
⎩ y = 0;
⎩ x = 0;
8) 3x 2 +3y 2 +3z 2 +6z–1=0.
4. Afiniųjų koordinačių transformacijos formulės
4.1. Plokštumos ir erdvės orientacija
A Plokštumos arba erdvės reperis vadinamas dešiniuoju (kairiuoju), jei jo bazė yra dešinioji (kairioji)
(I, 4.1.4).
r r r r
2.28a paveiksle plokštumos reperiai (O, i , j ) ir (O, e1
, e2
) yra dešinieji, o 2.28b paveiksle reperis yra kairysis.
r r r r r r
2.28c paveiksle reperiai (O, i , j,
k ) ir (O, e1
, e2
, e3
) yra dešinieji, o 2.28d paveiksle reperis yra kairysis.
j
O
i
e1
e2
e1
e2
O
e3
2.28a pav. 2.28b pav.
2.28c pav. 2.28d pav.
A Visų plokštumos (erdvės) dešiniųjų reperių aibė vadinama dešiniąja plokštumos (erdvės) orientacija; visų
kairiųjų reperių aibė – kairiąja orientacija.
A Jei plokštumoje (erdvėje) pasirinkta viena iš dviejų galimų orientacijų (pvz., nubrėžtas dešinysis reperis),
tuomet plokštuma (erdvė) vadinama orientuota, pasirinktoji orientacija (pvz., dešinioji) yra teigiama, likusioji
(kairioji) – neigiama orientacija.
Kurią orientaciją pasirinkti – susitarimo reikalas. Kompiuterio ekrane (2.29 pav.) pasirinkta kairioji orientacija,
todėl ji yra teigiama, o dešinioji – neigiama orientacija. Vidurinėje mokykloje paprastai pasirenkama dešinioji
orientacija, todėl ten ji yra teigiama, o kairioji neigiama.
Orientuotoje plokštumoje kampas (pvz., ABC) nuo vieno spindulio BA iki kito BC taip pat yra orientuotas:
teigiamas, jei reperis (B, A, C) priklauso teigiamai orientacijai (2.29a pav.), ir neigiamas, jei reperis (B, A, C) priklauso
neigiamai orientacijai (2.29b pav.).
O i A
O i C
j
B
2.29a pav.
30
C
4.2. Afiniosios koordinačių sistemos lygiagretusis postūmis
k
i
O
e2
j
e1
j
B
e2
e3
O
30
2.29b pav.
r r r
Panagrinėkime du erdvės reperius: R=(O, e1
, e2
, e3
) ir R′ =
r r r
(O, e1
, e2
, e3
), kurių koordinatiniai vektoriai yra tie patys, skiriasi tik
koordinačių pradžios (2.30 pav.). Reperį R vadinsime „senuoju“
z
e3
( x , y,
z)
R
M ( x , y , z ) R′
e3
reperiu, R′ - „naujuoju“ reperiu.
Pastebime, jog „senojo“ reperio koordinačių ašys Ox, Oy, Oz
atitinkamai yra lygiagrečios „naujojo“ reperio koordinačių ašims O′x′,
O
e2
y
O′y′, O′z′, todėl sakysime, jog reperis R lygiagrečiai perkeltas į tašką
O′.
Pakeitus reperį R reperiu R′ pasikeičia kiekvieno taško afiniosios
koordinatės. Tarkime, jog M – bet kuris erdvės taškas, jo koordinatės
reperio R atžvilgiu yra x, y, z, o reperio R′ atžvilgiu - x′, y′, z′.
e1
x
2.30 pav.
O
e1
x
e2
Sakykime, žinome taško O′ padėtį R atžvilgiu: O′(x0, y0, z0)R. Raskime formules, kuriomis bet kurio erdvės taško M
„senosios“ koordinatės x, y, z išreiškiamos „naujosiomis“ to paties taško koordinatėmis x′, y′, z′.
A
e1
41
y

▲ Pagal taško koordinačių apibrėžimą (II, 1.3.3) OM{
x,
y,
z}
r r r
B=
{ e1
e2
e3}
, O O′
{ x0
, y0
, z 0}
B , O ′ M{
x′
, y′
, z′
} B , o
r r r
r r r
pagal vektoriaus koordinačių apibrėžimą (I, 4.1.3) OM = xe1
+ ye2
+ ze3
, OO′
= x0e1
+ y0e
2 + z 0e3
, O′M = x e1
r
′ +
r r
+ y′
e2
+ z′
e3
. Pritaikę vektorių sudėties trikampio taisyklę (I, 2.1.1) turime, jog OM = OO′
+ O′
M . Taigi
r r r r r r r r r r r r r r r
xe1
+ ye2
+ ze3
= x0e1+
y0e
2 + z 0e
+ x′
e1
+ y′
e2
+ z′
e3
arba xe1
+ ye2
+ ze3
= ( x′
+ x0
) e1
+ ( y′
+ y0
) e2
+ ( z′
+ z 0 ) e3
. Čia
panaudojome veiksmų su vektoriais savybes: komutatyvumą ir distributyvumą. Kadangi lygių vektorių koordinatės tos
pačios bazės atžvilgiu yra lygios, gauname, jog
42
x x′
+ x
y y′
+ y
= 0 , = 0 , 0
z = z′
+ z . ▲ (2.11)
Gautos formulės vadinamos afiniosios koordinačių sistemos lygiagrečiojo postūmio formulėmis.
Jos galioja ir lygiagrečiai perkeliant plokštumos Oxy afinųjį reperį R=(O, e1, e2
r r
) į tašką O ′ ( x0
, y0
) R (2.31 pav.).
Trečioji tapatybė (0=0) nerašoma.
Iš (2.11) formulių išplaukia išvados.
ℑ Bet kurio taško „senosios“ afiniosios koordinatės lygios atitinkamų jo
„naujųjų“ koordinačių ir „naujosios“ koordinačių pradžios „senųjų“ koordinačių
sumai.
ℑ Bet kurio taško „naujosios“ afiniosios koordinatės lygios atitinkamų jo
„senųjų“ koordinačių ir „naujosios“ koordinačių pradžios „senųjų“ koordinačių
skirtumui.
Pavyzdys. Kaip pasikeis apskritimo lygtis (x+1) 2 +(y - 2) 2 O
O e1
e1
2.31 pav.
r r
=1, jei reperį R=(O, i , j ) lygiagrečiai perkelsime į
apskritimo centrą C(-1, 2)R?
Sprendimas. Parašome koordinačių sistemos lygiagretaus postūmio formules
x = x′
−1,
y = y′
+ 2 arba x ′ = x + 1,
y ′ = y − 2 .
Įrašę jas į apskritimo lygtį reperio R atžvilgiu, gauname apskritimo lygtį „naujosios“ koordinačių sistemos R′=(C,
r r
i , j ) atžvilgiu:
2 2
Ats.: ( x ′ ) + ( y′
) = 1 .
2 2
( x ′ ) + ( y′
) = 1 .
4.3. Bendrosios afiniųjų koordinačių transformacjos formulės
r r r
Tarkime, jog reperį R=(O, e1
, e2
, e3
) pakeitėme „naujuoju“ reperiu
r r r
R ′ = ( O′
, e′
1,
e′
2 , e′
3 ) , t. y. pakeitėme koordinačių pradžią ir koordinačių
ašių kryptis (2.32 pav.). Mūsų tikslas – išreikšti kiekvieno erdvės taško M
„senąsias“ koordinates x, y, z „naujosiomis“ koordinatėmis x′, y′, z′. Tam
tikslui turime žinoti „naujojo“ reperio R′ padėtį „senojo“ reperio
atžvilgiu. Tarkime, jog „naujoji“ pradžia yra taškas O ′ ( x0
, y0
, z 0 ) R , o
r
„naujieji“ koordinatiniai vektoriai - e′
1{ c11,
c21,
c31}
r r r
B=
{ e1
, e2
, e3}
,
e 2 { c12
, c22
, c32}
B
′
r
, e 3 { c13
, c23
, c33}
B
′
r
.
Galima įrodyti (žr. [4]), kad ieškomos formulės yra
x=c11x′+c12y′+c13z′+x0,
y=c21x′+c22y′+c23z′+y0, (2.12)
z=c31x′+c32y′+c33z′+z0.
Matome, jog bet kurio taško „senosios“ koordinatės yra išreikštos „naujosiomis“ koordinatėmis tiesiškai,
nehomogeniškai. Matricos C T ⎛ c11
c12
c13
⎞
⎜
⎟
= ⎜c
21 c22
c23
⎟ , sudarytos iš koeficientų prie „naujųjų“ koordinačių, stulpeliai –
⎜
⎟
⎝c
31 c32
c33
⎠
r r r
„naujųjų“ koordinatinių vektorių e ′ 1 , e′
2 , e′
3 „senosios“ koordinatės, laisvieji nariai – „naujosios“ koordinačių pradžios
r r r
„senosios“ koordinatės. Kadangi vektoriai e ′ 1 , e′
2 , e′
3 nekomplanarūs (sudaro bazę), tai matrica C T yra neišsigimusi, t. y.
|C T |≠0.
Pastabos. 1. Matrica C T r r r r r r
yra perėjimo iš bazės { e1
, e2
, e3
} į bazę { e ′ 1 , e′
2 , e′
3 } matricos C transponuotoji matrica.
2. Oxy plokštumoje visų taškų aplikatės lygios 0. Jei reperį (O, e1, e2
r r
) keičiame reperiu (O′, e 1, ′ e′
2
r r
e3
e2
e1
O
O
e1
2.32 pav.
e2
e3
), formulės (2.12)
įgyja pavidalą (z=z′=z0=0 nerašome):
x=c11x′+c12y′+x0,
y=c21x′+c22y′+y0. (2.13)
e2
e2

Čia x, y – bet kurio plokštumos taško „senosios“ koordinatės, x′, y′ - to paties taško „naujosios“ koordinatės, x0, y0 –
e′
r
r „senosios“ koordinatės. Kadangi
„naujosios“ koordinačių pradžios O′ „senosios“ koordinatės, c11, c21 – pirmojo „naujojo“ koordinatinio vektoriaus 1
„senosios“ koordinatės, c12, c22 – antrojo „naujojo“ koordinatinio vektoriaus e′ 2
vektoriai e′ 1
r ir e′ 2
r yra nekolinearūs, matricos (C T )= ⎟ ⎛ c11
c12
⎞
⎜ determinantas nelygus 0.
c21
c22
⎝ ⎠
Formulės (2.12) ((2.13)) vadinamos bendrosiomis erdvės (plokšumos) afiniųjų koordinačių transformacijos
formulėmis.
r r r
r r r
Pavyzdys. Reperis R=(O, e1
, e2
, e3
) pakeistas reperiu R ′ = ( O′
, e′
1,
e′
2 , e′
3 ) . Žinomas taškas O′(1, -1, 2)R ir vektoriai
r
e1′
{ 1,
0,
−1}
r r r
B=
{ e1,
e2
, e3}
, e 2 { 0,
0,
2}
B ′
r
r
, e 3′
{ 0,
2,
−1}
B . Kaip pasikeitė taško M(1, 1, 1)R koordinatės? Kaip pasikeitė Oxz
plokštumos lygtis?
Sprendimas. Parašome koordinačių transformacijos formules:
x = x′+1,
y = 2z′–1,
z = –x′+2y′–z′+2.
Oxz plokštumos lygtis reperio R atžvilgiu yra y=0, todėl reperio R′ atžvilgiu tos plokštumos lygtis bus 2z′–1=0.
Taško M „naująsias” koordinates x′, y′, z′ rasime iš sistemos:
⎧ 1 = x′
+ 1,
⎪
⎨ 1 = 2z′
−1,
⎪
⎩ 1 = −x′
+ 2y
′ − z′
+ 2.
Išsprendę sistemą gauname x′=0, y′=0, z′=1.
Ats.: M(0, 0, 1)R′, 2z′–1=0.
4.4. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos transformacijos formulės
Ateityje mums bus reikalingos koordinačių transformacijos formulės, kada reperiai R ir R′ yra ortonormuotieji.
r r
r r
Paprastumo dėlei panagrinėkime plokštumos du ortonormuotuosius reperius R=(O, i , j ) ir R′=(O′, i ′ , j ′ ).
Ortonormuotasis reperis yra atskiras afiniojo reperio atvejis, kada koordinatiniai vektoriai yra statmeni ir vienetiniai.
r r
r r
Keičiant reperį (O, i , j ) „naujuoju“ reperiu (O′, i ′ , j ′ ), transformacijos formulės turės (2.13) pavidalą, tik
koeficientai prie „naujųjų“ koordinačių bus konkretūs.
Čia turime skirti du atvejus.
4.4.1. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pakeitimas, nekeičiant plokštumos
orientacijos
r r
r r
Tarkime, jog reperiai R=(O, i , j ) ir R′=(O′, i ′ , j ′ ) yra vienodai orientuoti, pvz., abu dešinieji (2.33 pav.).
j
x
j i
x
j
i
j
O
O
i
i
O i
x
j
2.33 pav.
2.34 pav.
Orientuotą kampą nuo „senosios” abscisių ašies Ox iki „naujosios“ abscisių ašies O′x′ pažymėkime α.
Įrodysime, jog (2.13) formulėse c12= - cosα.
r r r r
▲ Kadangi j ′ { c12
, c22}
r r , tai pagal vektoriaus koordinačių apibrėžimą (I, 4.1.3) j′
= c i c j
{ i , j}
12 + 22 . Lygybės abi
puses skaliariškai padauginame iš vektoriaus i r r r r r r
2
. Tada j ′ ⋅i
= c12i
+ c22
j ⋅i
= c12
, nes vektoriai i r , j r yra statmeni ir
r r r ∧r
vienetiniai. Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą (I, 5.1.1) c12
= | j′
| | i | ⋅ cos( i , j′
) =1⋅1cos(90°+α)=–sinα. ▲
Analogiškai įrodykite, jog c11=cosα, c21=sinα, c22=cosα.
Vadinasi, keičiant ortonormuotąjį reperį (O, i r , j r ) tos pačios orientacijos ortonormuotuoju reperiu (O′, i ′
r , j r )
koordinačių transformacijos formulės yra
x=x′cosα– y′sinα +x0,
y=x′sinα +y′cosα +y0. (2.14)
43

Čia x, y – bet kurio plokštumos taško „senosios“ koordinatės, x′, y′ – to paties taško „naujosios“ koordinatės, x0, y0
– „naujosios“ koordinačių pradžios „senosios“ koordinatės, α – orientuotas kampas nuo Ox ašies iki O′x′ ašies.
4.4.2. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pakeitimas, pakeičiant plokštumos
orientaciją
44
r r
r r
Tarkime, jog ortonormuotieji reperiai R=(O, i , j ) ir R′′=(O′′, i ′ ′ , j ′ ′ ) priklauso skirtingoms orientacijoms, pvz.,
R yra dešinysis reperis, R′′ – kairysis reperis (2.33 pav., 2.34 pav.).
r r
r r
Analogiškai įrodoma, jog reperį R=(O, i , j ) keičiant reperiu R′′=(O′′, i ′ ′ , j ′ ′ ) koordinačių transformacijos
formulės yra
x=x′cosα +y′sinα +x0,
y=x′sinα–y′cosα +y0. (2.15)
Čia vėl α yra orientuotas kampas nuo „senosios“ abscisių ašies Ox iki „naujosios“ abscisių ašies O′′x′′, x, y – bet
kurio plokštumos taško „senosios“ koordinatės, x′, y′ – to paties taško „naujosios“ koordinatės, x0, y0 – „naujosios“
koordinačių pradžios „senosios“ koordinatės.
4.4.3. Stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos ašių posūkis
r r
Panagrinėkime atskirą stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos R=(O, i , j )
pakeitimo atvejį, kada koordinačių ašys pasukamos kampu α, o koordinačių pradžia
nekeičiama (2.35 pav.).
y
j
y
j
i
x
Šiuo atveju bet kurio plokštumos taško M „senosios“ koordinatės x, y išreiškiamos
„naujosiomis“ to taško koordinatėmis x′, y′ pagal (2.14) formules, kuriose laisvieji
nariai lygūs 0:
x=x′cosα -y′sinα,
O
i
2.35 pav.
x
y=x′sinα +y′cosα. (2.16)
▲ Iš tikro, sukant reperį apie tašką O, jo orientacija nekinta. Be to, O′=O(0, 0)R, todėl x0=y0=0. ▲
(2.16) formulės vadinamos stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos ašių posūkio formulėmis.
Pavyzdys. Kaip pasikeis figūros Φ lygtis x 2 - y 2 =1, jei koordinačių ašis pasuksime 45° kampu?
Sprendimas. Parašome koordinačių transformacijos formules:
2 2 2 2
x = x′
− y′
, y = x′
+ y′
.
2 2 2 2
x, y reikšmes įrašome į figūros Φ lygtį:
2
2
⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎢ ( x ′ − y′
) ⎥ − ⎢ ( x′
+ y′
) ⎥ = 1 .
⎢⎣
2 ⎥⎦
⎢⎣
2 ⎥⎦
Pertvarkę reiškinį gauname figūros lygtį „naujosios“ koordinačių sistemos atžvilgiu: 2x′y′-1=0.
Ats.: 2x′y′-1=0.
4.5. Savikontrolės klausimai ir užduotys
1. Kokį reperį vadiname kairiuoju, kokį dešiniuoju?
2. Ką vadiname dešiniąja (kairiąja) orientacija?
3. Kokia orientacija vadinama teigiama (neigiama) orientacija?
4. Parašykite afiniosios koordinačių sistemos lygiagretaus postūmio formules ir išaiškinkite jose esančių simbolių
geometrinę prasmę.
5. Parašykite bendrąsias afiniųjų koordinačių transformacijos formules ir išaiškinkite jų simbolių geometrinę
prasmę.
6. Parašykite stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos posūkio formules, išaiškinkite jose esančių simbolių
geometrinę prasmę.