MATE 221 VAC

ONDERWYSWISKUNDE:
INLEIDENDE ALGEBRA
STUDIEGIDS VIR
MATE 221 VAC
*MATE221VAC*
SKOOL VIR OPVOEDINGSWETENSKAPPE
VAALDRIEHOEKKAMPUS

Studiegids saamgestel deur:
A Roux
Hersien deur:
R J van de Venter en A Roux
Taalsorg 2011.
*Bladuitleg deur Santie Pieterse, graphikos.
Hantering van drukwerk en verspreiding deur Departement Logistiek (Verspreidingsentrum).
Gedruk deur The Platinum Press (018) 299 4226.
Kopiereg © 2011-uitgawe. Hersieningsdatum 2012.
Noordwes-Universiteit, Potchefstroomkampus.
Geen gedeelte van hierdie boek mag in enige vorm of op enige manier sonder skriftelike
toestemming van die publiseerders weergegee word nie.
ii

INHOUDSOPGAWE
Woord van verwelkoming ........................................................................................................ iv
Rasionaal ................................................................................................................................. iv
Studiemateriaal ........................................................................................................................ iv
Bibliografie ............................................................................................................................... iv
Hoe om die studiegids te gebruik ............................................................................................. v
Bestudering van inhoude .......................................................................................................... v
Assessering van hierdie module ............................................................................................... v
Studie-ikone ............................................................................................................................. vi
Aksiewerkwoorde .................................................................................................................... vii
Modulebeplanner ................................................................................................................... viii
Module-uitkomste ..................................................................................................................... x
Waarskuwing teen plagiaat ...................................................................................................... xi
Leereenheid 1 Getallestelsels ........................................................................................ 1
Leergedeelte 1.1 Die reële getalle ....................................................................................... 3
Leergedeelte 1.2 Die natuurlike getalle (N) ........................................................................ 13
Leergedeelte 1.3 Die heelgetalle (Z) .................................................................................. 15
Leergedeelte 1.4 Die rasionale getalle (Q)......................................................................... 18
Leergedeelte 1.5 Komplekse getalle (c) ............................................................................. 20
Leereenheid 2 Polinome in een onbepaalde ............................................................... 23
Leergedeelte 2.1 Inleiding tot polinoomfunksies ................................................................ 24
Leergedeelte 2.2 Delingsalgoritme, resstelling, faktorstelling en
polinoomvergelykings ............................................................................. 45
Leergedeelte 2.3 Die rasionale nulpuntstelling .................................................................. 48
Leergedeelte 2.4 Fundamentaalstelling en Komplekse wortels ......................................... 53
Leereenheid 3 Rasionale funksies ............................................................................... 57
Leergedeelte 3.1 Rasionale funksies as algebraïese stelsel ............................................. 58
Leergedeelte 3.2 Parsiële breuke ...................................................................................... 61
Leereenheid 4 Rye en reekse ....................................................................................... 65
Leergedeelte 4.1 Inleiding tot rye en reekse ...................................................................... 66
Leergedeelte 4.2 Rekenkundige rye en reekse .................................................................. 69
Leergedeelte 4.3 Meetkundige rye en reekse .................................................................... 71
Leergedeelte 4.4 Rye wat nie rekenkundig of meetkundig is nie ....................................... 75
Leergedeelte 4.5 Oneindige rye en reekse ........................................................................ 76
Leereenheid 5 Finansiële wiskunde ............................................................................ 83
Leergedeelte 5.1 Saamgestelde rente en kontinu toegevoegde rente ............................... 84
Leergedeelte 5.2 Annuïteite en delgingsfondse ................................................................. 88
Leergedeelte 5.3 Lenings en verbandterugbetalings ......................................................... 92
iii

WOORD VAN VERWELKOMING
Welkom by die eerste Algebramodule MATE 221! Om hierdie spesifieke module suksesvol af
te handel, is dit noodsaaklik dat jy voorbereid na elke klas (kontaksessie) kom en elke
opdrag na die beste van jou vermoë uitvoer. Op hierdie wyse verseker jy sinvolle gesprekke
met jou fasiliteerder en ander leerders tydens kontaksessies.
Hierdie module fokus op die eienskappe van algebraïese getallestelsels, die polinoom- en
rasionaalfunksies as ‘n getallestelsel, en laastens word rye en reekse bespreek. Jou
bestaande kennis van reële getalle word gebruik om die eienskappe van die natuurlike
getalle, die heelgetalle en die rasionale getalle verder te ondersoek. Ons sal ook 'n nuwe
versameling getalle, die komplekse getalle waarin optelling, aftrekking, vermenigvuldiging,
deling en die neem van vierkantswortels vir alle getalle uitgevoer kan word, invoer. MATE
221 is ‘n 16-kredietmodule, wat impliseer dat jy ongeveer 160 ure nodig het om hierdie
module suksesvol te bemeester. Dit sluit in jou voorbereiding vir kontaksessies, bywoning
van kontaksessies, voltooiing van huiswerkopdragte en voorbereiding vir die semestertoets
en eksamen.
RASIONAAL
In hierdie module word die bestaan en die ontwikkeling van verskillende getalstelsels,
polinoom- en rasionaalfunksies, asook rye en reekse ondersoek. Die module in algebraïese
getallestelsels is daarop ingestel om jou voor te berei vir verdere modules in Algebra, wat 'n
verlengde studie van die eienskappe en gedrag van getallestelsels is. Hierdie module
voorsien jou van sinvolle geleenthede om noodsaaklike kennis, begrip en vaardighede ten
opsigte van getallestelsels en rye en reekse te bemeester, sodat jy dit effektief kan toepas en
met vertroue as wiskunde-onderwyser kan onderrig. Jy kry ook die geleentheid om in
klasverband en groepverband die vaktaal aan te leer, sodat jy op ‘n sinvolle manier
wiskundig kan kommunikeer en redeneer.
In hierdie module moet jy egter nie uit die oog verloor dat ons hooffokus is om jou as
Wiskunde-onderwyser voor te berei nie. Daarom moet jy jouself voortdurend afvra hoe jy die
onderrig van ‘n bepaalde onderwerp sal fasiliteer en assesseer (waar dit wel op skoolvlak
aangebied word).
Aangesien jy ‘n voornemende Wiskunde-onderwyser is, is dit van uiterste belang dat jy
voorbereid na elke kontaksessie sal kom. In die kontaksessie bespreek ons, in groepverband
en klasverband, die werk wat jy moes voorberei het. In die klassituasie vind daar verskeie
assesseringstegnieke plaas, en sodoende kry jy dan voorbeelde wat jy self in jou onderrig
kan gebruik (sien ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE).
STUDIEMATERIAAL
Die volgende handboeke word gebruik en is beskikbaar by Van Schaik:
• Cohen, D. 2003. College Algebra. 5th edition. Thomson Brookes/Cole: Pacific Grove.
• Stewart, J. 2006. Precalculus. 5th edition. Thomson Brookes/Cole.
• Pirnot, T.L. 2007. Mathematics all around. 3rd ed. Boston: Pearson. (In Leesbundel)
BIBLIOGRAFIE
Baxter, et al 2001. Pure 1. Functions and calculus, SMP 16 - 19. Cambridge University
Press. Chapter 2.
iv

Exley, LL & Smith, VK 1993. College Algebra and trigonometry. Prentice Hall, Inc.
Murdoch, J, Kamischke, E & Kamischke, E 1998. Advanced algebra through data
exploration. Key Curriculum Press.
Pirnot, T.L. 2007. Mathematics all around. 3rd ed. Boston: Pearson. (In Leesbundel)
HOE OM DIE STUDIEGIDS TE GEBRUIK
Die studiegids bevat instruksies wat jou behoort te help om die handboek doeltreffend te
gebruik. Sekere moeilike gedeeltes word verduidelik en vrae word gestel om jou in staat te
stel om jou kennis en begrip van die leerinhoud te bepaal. Die leer van wiskunde berus in ‘n
groot mate op die doen daarvan. Gevolglik word 'n aantal geleenthede in hierdie studiegids
geskep om jou in staat te stel om wiskunde te doen, te leer en te verstaan.
In die bestudering van MATE 221 moet jy:
• Die uitkomste op alle vlakke (module, leereenheid, leergedeelte) intensief bestudeer;
• die module-organiseerder raadpleeg sodat jy 'n idee kan vorm ten opsigte van die
organisering van leerinhoude en verdeling van tyd;
• die leerinhoude bestudeer volgens die leeruitkomste en die instruksies in die studiegids;
• al die leeraktiwiteite (voorbeelde en oefeninge) van elke leereenheid uitvoer;
• al die selfstudie-opdragte van elke leereenheid voltooi;
• goed voorbereid wees vir kontaksessies; en
• ten volle voltooide opdragte ingee soos aangedui in die module-organiseerder.
BESTUDERING VAN INHOUDE
Indien moontlik, bestudeer leereenhede in groepe van twee of meer studente. Groepwerk
verskaf geleenthede om werk te bespreek en aan mekaar te verduidelik om sodoende die
leerinhoude beter te verstaan. Tydens kontaksessies kan probleme wat deur die groep of
deur die fasiliteerder geïdentifiseer is, bespreek en verduidelik word.
ASSESSERING VAN HIERDIE MODULE
Assessering sal soos volg gedoen word:
Assessering van die inhoud:
• Voltooiing van klasopdragte (in klein groepies) en inhandiging vir evaluering;
• groepevaluering;
• voltooiing van huiswerkopdragte en inhandiging vir evaluering;
• die skryf van onvoorbereide en voorbereide klastoetse; en
• die skryf van ‘n semestertoets (opsioneel sedert 2007).
Selfassessering
• Voltooiing van die selfstudie-opdragte na elke leereenheid/leergedeelte en die nasien
daarvan met behulp van die antwoorde wat agter in die handboek verskyn en die
v

vi
memorandum voorsien deur die dosent, hetsy in die klas of per e-pos of op die e-leerplatform.
Deelnamepunt
• Jy bou 'n deelnamepunt op met behulp van die punte wat behaal is in klasopdragte,
huiswerkopdragte, klastoetse en die semestertoets.
Eksamen
• Jy het toelating tot die eksamen in hierdie module as jy 'n deelnamepunt van 40%
behaal het.
• Aan die einde van die semester word ‘n eksamenvraestel van 3 uur geskryf. Die
subminimum vir die vraestel is 40%.
• Jou modulepunt vir MATE 221 word met behulp van die deelnamepunt en die
eksamenpunt in die verhouding 3:2 bereken. Die slaagsyfer vir die module is 50%.
STUDIE-IKONE
Toets die stand van jou
kennis/insig.
Belangrike inligting.
Geskatte studietyd.
Bestudeer nou die volgende
gedeelte/verduideliking/
bespreking, aandagtig.
Bestudeer die aangetoonde
materiaal in die handboek/
artikel, ens.
Voorbereiding vir die
kontaksessie/
groepbyeenkoms.
Individuele oefening.
Antwoorde/oplossings.
Hersiening.
Powerpoint-skyfiereeks of
Geometer’s Sketchpad-
aktiwiteit.
Uitkomste.
Neem jou antwoorde saam
na die kontakgeleentheid/
groepbyeenkoms vir
bespreking.

AKSIEWERKWOORDE
• Toepas
Om in staat te wees om wat jy in een situasie geleer het, in ‘n ander situasie te kan gebruik.
VOORBEELD: Pas differensiasie toe op maksimeringsprobleme.
• Aflei
Om ‘n reël/eienskap te bewys deur logiese redenering.
VOORBEELD: Lei die eienskap : a.0 = 0 af deur gebruik te maak van die basiese
eienskappe van die reële getalle.
• Definieer
Om presies te sê wat ‘n wiskundige begrip of bewerking beteken.
VOORBEELD: Definieer ‘n funksie.
• Demonstreer
Om jou kennis ten opsigte van ‘n wiskundige bewerking te toon.
VOORBEELD: Demonstreer dat ‘n rasionale getal geskryf kan word óf as ‘n eindige óf as ‘n
repeterende desimale getal.
• Illustreer
Om jou kennis van ‘n begrip of ‘n stelling te demonstreer met behulp van die teken van ‘n
grafiek of ‘n diagram.
VOORBEELD: Illustreer die kontinuïteit van ‘n funksie deur gebruik te maak van die grafiek
van die funksie.
• Voorstel
Om ‘n wiskundige begrip op ‘n ander manier te beskryf.
VOORBEELD: Gee ‘n meetkundige voorstelling van die komplekse getal z = 2 + 2i.
• Stel/noem
Om spesifieke eienskappe neer te skryf sonder bespreking.
VOORBEELD: Stel die assosiatiewe eienskap vir optelling.
• Bereken/bepaal:
Om die antwoord van ‘n bewerking te kry.
2
x + 2x
VOORBEELD: Bereken: lim .
x → 0 x
• Bewys
Om aan te toon dat ‘n bewering waar is.
VOORBEELD: Bewys dat 5 n - 1 deelbaar is deur 4 vir alle natuurlike getalle n.
• Los op
Om ‘n oplossing te verkry vir ‘n gegewe probleem of vergelyking.
VOORBEELD: Ek wil graag ‘n hok bou uit 20 m heiningmateriaal. Wat moet die lengte en
breedte van die hok wees sodat die oppervlakte ‘n maksimum sal wees?
vii

• Formuleer
Om ‘n stelling of reël neer te skryf sonder enige bewys.
VOORBEELD: Formuleer die stelling van Pythagoras.
MODULEBEPLANNER
viii
Leereenheid Leergedeelte Studieure
Leereenheid 1:
Getallestelsels
(44 uur)
Leereenheid 2:
Polinoomfunksies
(32 uur)
Leergedeelte 1.1:
Die Reële getalle
Leergedeelte 1.2:
Die Natuurlike
getalle
Leergedeelte 1.3:
Die Heelgetalle
Leergedeelte 1.4:
Die Rasionale
getalle
Leergedeelte 1.5:
Komplekse getalle
Leergedeelte 2.1:
Inleiding tot
polinoomfunksies
Leergedeelte 2.2:
Delingsalgoritme,
res- en
faktorstelling
Leergedeelte 2.3:
Rasionale
nulpuntstelling
Leergedeelte 2.4:
Die fundamentaalstelling
en
Komplekse wortels
Afhandelings/
Inhandigingsdatums
18 Inhandiging van
sekere probleme
uit Opdragte 3, 4
en 8
8 Inhandiging van
Opdrag 11
Studiemateriaal
College Algebra
(Hoofstuk 1 en 2)
College Algebra
(Hoofstuk 9)
6 In Studiegids
4 In Studiegids
8 Inhandiging van
Opdrag 14
College Algebra
(Hoofstuk 7)
6 College Algebra
(Hoofstuk 4)
10 Inhandiging van
Opdrag 16
College Algebra
(Hoofstuk 7)
8 College Algebra
(Hoofstuk 7)
8 Inhandiging van
sekere probleme
uit Opdragte 17,
18 en 19
College Algebra
(Hoofstuk 7)

Leereenheid 3:
Die rasionale
funksies
(22 uur)
Leereenheid 4:
Rye en reekse
(38 uur)
Leereenheid 5:
Finansiële
wiskunde
Voorbereiding
vir assessering
Leergedeelte 3.1:
Rasionale funksies
as algebraïese
getallestelsel
Leergedeelte 3.2:
Parsiële breuke
Leergedeelte 4.1:
Inleiding tot rye en
reeks
Leergedeelte 4.2:
Rekenkundige rye
en reeks
Leergedeelte 4.3:
Meetkundige rye
en reeks
Leergedeelte 4.4:
Rye en reekse wat
nie rekenkundig of
meetkundig is nie
Leergedeelte 4.5:
Oneindige rye en
reekse
Leergedeelte 5.1:
Saamgestelde
rente en kontinu
toegevoegde rente
Leergedeelte 5.2:
Annuïteite en
delgingsfondse
Leergedeelte 5.3:
Lenings en
verbandterugbetalings
8 College Algebra
(Hoofstuk 4)
8 Inhandiging van
sekere probleme
uit Opdrag 21
College Algebra
(Hoofstuk 7)
4 College Algebra
(Hoofstuk 9)
8 College Algebra
(Hoofstuk 9)
8 College Algebra
(Hoofstuk 9)
4 Stewart
4 Inhandiging van
sekere probleme
uit Opdragte 23,
24 en 25
Studiegids
8 Stewart,
bl 334 -336
Leesbundel
8 Stewart, par 11.4,
bl 848 - 851
Leesbundel
8 Stewart, bl 851 -
852
Leesbundel
16
Let wel: Datums van afhandeling/inhandiging sal deur jou dosent verskaf word.
ix

MODULE-UITKOMSTE
Na voltooiing van die module moet die leerder:
• Grondige kennis, begrip en insig demonstreer ten opsigte van getallestelsels,
wiskundige induksie, komplekse getalle, polinoomfunksies, parsiële breukontbinding en
rye en reekse;
• vaardigheid demonstreer ten opsigte van bewerkings met die verskillende
getallestelsels en hul eienskappe, bewerkings met polinoomfunksies, parsiële breukeontbinding,
berekeninge met rye en reekse en om die gedrag van rye en reekse te
beskryf;
• bevoeg wees om die eienskappe van die verskillende getallestelsels te gebruik,
verbande deur middel van wiskundige induksie te bewys, werklikheidsgetroue situasies
deur middel van polinome te modelleer, rekenaarprogrammatuur te gebruik om die
gedrag van polinoomfunksies en rye te ondersoek en om werklikheidsgetroue
probleme deur middel van rye en reekse te modelleer; en
• in staat wees om die geldigheid van wiskundige oplossings binne die konteks van
werklikheidsgetroue situasies te evalueer en om ‘n waardeoordeel uit te spreek
aangaande hoe die verskillende onderwerpe in die module binne die breër raamwerk
van wiskunde pas.
Bogenoemde module-uitkomste is bereik indien die leerder in staat is om die volgende
te doen:
• Teorie (definisies, stellings, kenmerkende eienskappe en verduidelikings) akkuraat en
betekenisvol weer te gee;
• bogenoemde kennis met begrip toe te pas in die uitvoer van korrekte prosedures om
wiskundige oplossings te genereer;
• bogenoemde kennis en vaardighede, asook toepaslike tegnologiese hulpmiddels,
effektief binne werklikheidsgetroue kontekste te kan toepas en fasiliteer; en
• die geldigheid en toepaslikheid van wiskundige oplossings binne die konteks van
werklikheidsgetroue situasies te evalueer en ‘n waardeoordeel uit te spreek aangaande
die plek van die bestudeerde inhoude binne die breër raamwerk van wiskunde.
x

WAARSKUWING TEEN PLAGIAAT
WERKSTUKKE IS INDIVIDUELE TAKE EN NIE GROEPAKTIWITEITE NIE (TENSY DIT
UITDRUKLIK AANGEDUI WORD AS ‘N GROEPAKTIWITEIT)
Kopiëring van teks van ander leerders of uit ander bronne (byvoorbeeld die studiegids,
voorgeskrewe studiemateriaal of direk vanaf die internet) is ontoelaatbaar – net kort
aanhalings is toelaatbaar en slegs indien dit as sodanig aangedui word.
U moet bestaande teks herformuleer en u eie woorde gebruik om te verduidelik wat u
gelees het. Dit is nie aanvaarbaar om bestaande teks/stof/inligting bloot oor te tik en die
bron in 'n voetnoot te erken nie – u behoort in staat te wees om die idee of begrip/konsep
weer te gee sonder om die oorspronklike skrywer woordeliks te herhaal.
Die doel van die opdragte is nie die blote weergee van bestaande materiaal/stof nie, maar
om vas te stel of u oor die vermoë beskik om bestaande tekste te integreer, om u eie
interpretasie en/of kritiese beoordeling te formuleer en om 'n kreatiewe oplossing vir
bestaande probleme te bied.
Wees gewaarsku: Studente wat gekopieerde teks indien sal 'n nulpunt vir die opdrag
ontvang en dissiplinêre stappe mag deur die Fakulteit en/of die Universiteit teen
sodanige studente geneem word. Dit is ook onaanvaarbaar om iemand anders se werk
vir hulle te doen of iemand anders in staat te stel om u werk te kopieer – moet dus nie
u werk uitleen of beskikbaar stel aan ander nie!
xi

xii

1 GETALLESTELSELS
Geskatte studietyd is 44 uur.
Leereenheid 1
Die reële getalle is die grootste getallestelsel waarmee jy op skoolvlak te doen gekry het. In
hierdie leereenheid word dit wat jy reeds weet sistematies uiteengesit om dit meer bruikbaar
te maak vir die eenhede wat volg. Ons gaan in die eerste leergedeelte die reële getalle
bespreek; dit is die grootste getallestelsel waarmee jy tot dusver gewerk het. In die
daaropvolgende leergedeeltes gaan ons die reële getalle opbreek in die getallestelsels
waaruit dit bestaan. Ons gaan dus by die kleinste getallestelsel, naamlik die natuurlike
getalle, begin en die eienskappe daarvan ondersoek. Omdat die natuurlike getalle nie aan
eienskappe soos geslotenheid ten opsigte van aftrekking voldoen nie, gaan ons dit
stelselmatig uitbrei na die heelgetalle, rasionale getalle (asook irrasionale getalle). In die
laaste leergedeelte gaan ons ʼn heel nuwe getallestelsel waarmee jy nog nie voorheen kennis
gemaak het nie, bespreek, naamlik die komplekse getalle (C). Skematies kan dit soos volg
voorgestel word:
N → Z → Q → R → C
Of anders gestel, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C , dus die natuurlik getalle is ʼn deelversameling van
die heelgetalle, wat weer ʼn deelversameling is van die rasionale getalle, en op daardie
manier kan ons dit uitbrei.
1

Leereenheid 1
Na afhandeling van hierdie leereenheid moet jy in staat wees om:
• Die eienskappe van die reële getalle te (kan) identifiseer en te kan gebruik;
• die basiese eienskappe van die natuurlike getalle te kan identifiseer en te kan toepas in
bewerkings waarin natuurlike getalle voorkom;
• die eienskappe van die heelgetalle te ken en te kan gebruik;
• die rasionale getalle te definieer en die eienskappe daarvan te ken;
• die komplekse getalle te definieer, die eienskappe te ken en bewerkings daarmee uit te
voer;
• te kan motiveer hoekom ons van die een getallestelsel na die volgende uitbrei; en
• die uitbreiding van een getallestelsel na die volgende, asook die eienskappe en
bewerkings daarbinne, aan jou klasmaats te kan verduidelik.
2

1.1 DIE REËLE GETALLE
Geskatte studietyd is 18 uur.
Cohen, Hoofstuk 1, par 1.1 - 1.6 en ook Hoofstuk 2, par 2.1 - 2.2 en 2.5.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om:
• Die basiese algebraïese eienskappe van R te kan identifiseer en toepas;
• ordeningseienskappe van R toe te pas;
• met absolute waardes te werk;
• ‘n verskeidenheid van vergelykings oor R op te los;
• reghoekige koördinate te gebruik;
• grafieke en grafiese hulpmiddels te gebruik;
• met die vergelykings van reguit lyne te werk;
• kwadratiese vergelykings te beheer;
• ander tipes vergelykings as lineêr en kwadraties te hanteer; en
• met ongelykhede te werk.
Leereenheid 1
3

Leereenheid 1
Die reële getallestelsel en hoe dit saamgestel is
Bestudeer die tabel bo-aan bl 2 in die boek van Cohen deeglik.
Blaai dan na Appendix A.2 op bl A-4 agter in die boek van Cohen en bestudeer dit deeglik.
Enkele van die bekende algebraïese eienskappe kan afgelei word uit die lys van basiese
eienskappe. Maak seker dat jy weet watter basiese eienskappe gebruik word in die bewys
van die afgeleide eienskappe.
ab ⎛ b ⎞
Voorbeeld: Toon aan dat = a⎜
⎟
c ⎝ c ⎠
Oplossing:
ab 1
Deur die definisie van deling het ons: = ( ab)
⋅ vir c ≠ 0
c c
Deur die assosiatiewe eienskap volg dat )
1 1
( ab) ⋅ = a(
b ⋅
c c
Deur die definisie van deling het ons egter dat
ab ⎛ b ⎞
Dus, = a⎜
⎟ .
c ⎝ c ⎠
4
⎛ ⎞
b ⋅ ⎜ ⎟ =
⎝ c ⎠
1
b
c

Opdrag 1:
Leereenheid 1
1. Watter van die eienskappe van die reële getalle word in elkeen van die volgende
gebruik?
a. 2( x − y)
= ( x − y)
2
b. ( ( x + 5)
+ y = y + ( x + 5)
c.
3
7
= 3⋅
1
7
d. 6 − y = 6 + ( − y)
e. ( − 1)[
−3
+ 4]
= ( −1)(
−3)
+ ( −1)(
4)
f. 2( 3y
) = ( 2 ⋅ 3)
y
a + b
2. Toon aan dat =
c
van die reële getalle.
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
Ordening in die versameling reële getalle
a
c
+
b
c
deur slegs gebruik te maak van die basiese eienskappe
As gevolg van die ordening van reële getalle kan elke reële getal met 'n punt op 'n reguit lyn
geïdentifiseer word. Hersien ook intervalnotasie. Maak seker jy weet wat word bedoel met
oop en geslote intervalle (bl 3 - 4).
5

Leereenheid 1
Opdrag 2:
Cohen, Ex 1.1, bl 4
1, 3, 5, 7, 11, 19, 21, 25, 27, 31, 37, 43, 45, 47, 49, 51 en 57.
Antwoorde verskyn agter in die handboek.
Absolute waardes
Bestudeer paragraaf 1.2 op bl 6 - 10 in die boek van Cohen deeglik.
Opdrag 3:
Cohen, Ex 1.2, bl 10
10, 14, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 32, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58 en 62.
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
6

Leereenheid 1
Die oplos van vergelykings oor die versameling van reële getalle
Bestudeer paragraaf 1.3 op bl 11 - 19 in die boek van Cohen deeglik.
Opdrag 4:
Cohen, Ex 1.3, bl 20
2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 28, 30, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 62, 64, 72,
74, 84 en 86.
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
Reghoekige koördinate en die voorstelling van inligting
Bestudeer paragraaf 1.4 op bl 21 - 29 in die boek van Cohen deeglik.
Opdrag 5:
Cohen, Ex 1.4, bl 29
1, 3, 5, 9, 11 (b), 15, 17 (b), 19 en 23.
7

Leereenheid 1
Antwoorde kan agter in die handboek gevind word.
Grafiese metodes en grafiese hulpmiddels (Geometer’s Sketchpad)
Bestudeer paragraaf 1.5 op bl 35 - 44 in die boek van Cohen deeglik.
In jou eerste studiejaar sou jy deeglik kennis gemaak het met die program Geometer’s
Sketchpad. Hierdie program dien vir ons as grafiese sakrekenaar indien ons dan nie ‘n egte
grafiese sakrekenaar byderhand het nie (grafiese sakrekenaars is redelik duur terwyl GSP
minder as R500 kos; dit is egter so dat egte grafiese sakrekenaars draagbaarheid bied waar
GSP vereis dat ons toegang tot ‘n volwaardige persoonlike rekenaar moet hê).
Opdrag 6:
Cohen, Ex 1.5, bl 20
7, 11, 13, 15, 16 (lees die instruksie bokant nr 15), 17, 19 (jy mag jou berekeninge by 17 en
19 kontroleer deur die funksies elektronies te teken), 21 en 23.
25, 27, 29 (lees die instruksies (a), (b) en (c) vir nr 25 - 30 bokant nr 15), 35 en 43 (doen nr
43 grafies met behulp van GSP).
8

Antwoorde kan agter in die handboek gevind word.
Die vergelykings van reguit lyne
Bestudeer paragraaf 1.6 op bl 49 - 58 in die boek van Cohen deeglik.
Hierdie stuk werk is noodsaaklike voorkennis vir die module MATE 321.
Opdrag 7:
Leereenheid 1
Cohen, Ex 1.6, bl 58
1 (a) – (d) (kontroleer jou berekeninge deur die gradiënte van die lynstukke met GSP te
meet), 7, 11, 15, 17 (a) en (c), 19, 25, 31, 33 en 35.
37, 39 en 40.
Antwoord op nr 40 sal deur die dosent voorsien word; die res van die antwoorde kan agter in
die handboek gevind word.
9

Leereenheid 1
Kwadratiese vergelykings
Bestudeer paragraaf 2.1 op bl 85 - 93 in die boek van Cohen deeglik.
Opdrag 8:
Cohen, Ex 2.1, bl 93
2, 8, 14, 18 en 22.
24, 28,
40, 42, 44, 46, 48, 52 en 54.
60.
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
10

Ander tipes vergelykings
Bestudeer paragraaf 2.2 op bl 97 - 105 in die boek van Cohen deeglik.
Opdrag 9:
Cohen, Ex 2.2, bl 106
1, 3, 5, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 33, 35, 53, 55 en 63.
65, 67 en 71.
Antwoorde kan agter in die handboek gevind word.
Ongelykhede
Bestudeer paragraaf 2.5 op bl 130 - 137 in die boek van Cohen deeglik.
Leereenheid 1
11

Leereenheid 1
Opdrag 10:
Cohen, Ex 2.5, bl 137
1, 3, 5, 7, 11 en 25 (by afdeling (b) en (c) moet jy die definisie van ‘n absolute waarde
gebruik).
47.
Antwoorde kan agter in die handboek gevind word.
12

1.2 DIE NATUURLIKE GETALLE (N)
Geskatte studietyd is 8 uur.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om:
Leereenheid 1
• Die basiese eienskappe van N as deelversameling van R te ken en te kan gebruik;
• aan jou klasmaats te verduidelik watter eienskappe van R ook vir N geld;
• wiskundige induksie as bewysmetode te verstaan;
• wiskundige induksie te kan gebruik as bewysmetode vir bewerings waarin natuurlike
getalle voorkom; en
• die taal van wiskunde toepaslik te kan gebruik om aan jou klasmaats die beginsel van
wiskundige induksie te verduidelik.
N is die eerste getallestelsel wat ons teëkom. Hierdie getallestelsel het 1 as beginpunt en
elke daaropvolgende element word verkry deur telkens 1 by die voorafgaande element te tel.
N is ook 'n deelversameling van R.
Laai die PowerPoint-skyfiereeks “4 Eienskappe van die Natuurlike Getalle.ppt” vanaf die
e-leerplatform en werk deeglik daardeur.
13

Leereenheid 1
Cohen, Hoofstuk 9, par 9.1, bl 693 - 698.
Stewart, par 11.5
Hier word die beginsel van wiskundige induksie in detail bespreek en geïllustreer.
Die proses van wiskundige induksie kan die beste aan die hand van 'n eenvoudige voorbeeld
soos die volgende verduidelik word: Veronderstel jy klim met 'n kleuter op die heup 'n hoë
stel trappe uit. Die kleuter is egter in staat om, as jy hom op 'n spesifieke trap neersit, na die
volgende een te klim. Dit beteken dat as jy die kleuter op die eerste trappie neersit, hy na die
tweede een kan klim. Gestel jy tel hom dan op en lig hom na byvoorbeeld die 5de trappie, hy
klim na die 6de een, jy tel hom op die 10de trappie, hy klim na die 11de een, ens. Uiteindelik
sal julle al die trappies uitgeklim het.
Vervang nou die klim van trappies met 'n wiskundige bewering. Gestel 'n spesifieke bewering
is waar vir die natuurlike getal 1, en uit jou veronderstelling dat die bewering waar is vir die
natuurlike getal k, kan ook bewys word dat die bewering waar is vir die daaropvolgende
natuurlike getal k + 1. Hieruit volg dat die bewering waar is vir alle natuurlike getalle.
Opdrag 11:
Cohen, Ex 9.1, bl 698
1, 2, 4, 5, 8, 10, 11 en 14.
Let daarop dat die identiteite in nr 1, 5 en 11 noodsaaklike voorkennis is vir die module
MATE 311.
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
14

1.3 DIE HEELGETALLE (Z)
Geskatte studietyd is 8 uur.
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om:
• Die heelgetalle te definieer en die eienskappe van die heelgetalle te ken;
• die ggd van twee heelgetalle te bepaal met behulp van die delingsalgoritme;
Leereenheid 1
• die delingsalgoritme en die bepaling van die ggd aan medestudente te kan verduidelik;
• die Euklidiese algoritme te gebruik om die ggd van 2 heelgetalle te bepaal;
• die ggd van 2 heelgetalle as 'n lineêre kombinasie van dié 2 getalle te kan skryf; en
• die diofantiese vergelyking ax + by = c, met a, b, c∈Z; a en b positief, op te los.
Alhoewel die beginsel van wiskundige induksie nie vir die heelgetalle geld nie, het die heelgetalle
interessante eienskappe wat uit hierdie leergedeelte duidelik na vore sal kom.
Laai die PowerPoint-skyfiereekse “4 Eienskappe van die Heelgetalle 1.ppt” en ook “4
Eienskappe van die Heelgetalle 2.ppt” vanaf die e-leerplatform en werk deeglik daardeur.
15

Leereenheid 1
Die delingsalgoritme vir heelgetalle kan die beste verstaan word deur na die volgende
voorbeeld te kyk:
As 648 deur 7 gedeel word, is die kwosiënt 92 en die res 4.
Met ander woorde: 648 = 92.7 + 4
a = q.b + r; met a die deeltal, b die deler, q die kwosiënt en r die res; 0≤r

Leereenheid 1
‘n Belangrike toepassing van die Bezout-identiteit word gevind in die oplossing van die
sogenaamde diofantiese vergelyking en wel in die vorm ax + by = c met a, b,
c ∈ Z
Stelling: As a, b, c∈Z met a en b positief, dan het die vergelyking ax + by = c 'n oplossing vir
x en y as en slegs as die ggd van a en b 'n faktor van c is.
Dit beteken dat 'n diofantiese vergelyking opgelos kan word deur die bepaling van 'n ggd.
Opdrag 12:
Bepaal die ggd van die volgende getalle a en b en bepaal telkens die Bezout-identiteit
ggd = ua + vb :
1. 42 en 33
2. 2891 en 1589
3. 216 en 135
Los die volgende diofantiese vergelykings op indien hulle wel oplossings besit:
4. 15x+ 36y = 3
5. 365x+ 72y = 18
Antwoorde sal deur die dosent voorsien word.
17

Leereenheid 1
18
1.4 DIE RASIONALE GETALLE (Q)
Geskatte studietyd is 4 uur.
Na voltooiing van hierdie leergedeelte moet jy in staat wees om:
• Te demonstreer dat 'n rasionale getal as 'n eindige of 'n repeterende desimale getal
geskryf kan word en omgekeerd;
• te bewys dat getalle soos 2 , 3 en 5 nie rasionaal is nie; en
• al bogenoemde te kan verduidelik aan medestudente.
Alhoewel die heelgetalle beter rekenkundige eienskappe as die natuurlike getalle het, het dit
nog die leemte dat die reële kwosiënt a/b vir gegewe heelgetalle a en b nie noodwendig weer
'n heelgetal is nie. Hierdie tekortkoming word nou reggestel deur die invoer van die rasionale
getalle.
Laai die PowerPoint-skyfiereeks “9 Eienskappe van die Rasionale Getalle.ppt” vanaf die eleerplatform
en werk deeglik daardeur.

Werk deeglik deur Cohen, Appendix A.3 op bl A-7 agter in die handboek.
Opdrag 13:
1. Geld al die basiese algebraïese eienskappe van R net so vir Q?
Leereenheid 1
2. Skryf die volgende rasionale getalle as eindige desimale getalle of as repeterende
desimale getalle: 1/9; 2/5; 3/11; 5/8.
3. Verduidelik met behulp van geskikte voorbeelde dat elke eindige en elke repeterende
desimale getal as rasionale getalle geskryf kan word.
4. Kan die volgende oneindige nie-repeterende desimale getal, naamlik 0,513965, as 'n
rasionale getal uitgedruk word? Wat noem ons getalle soos hierdie? Gee nog
voorbeelde van sulke getalle.
5. Hoekom verkies ons om die rasionale getalle te gebruik in die meeste rekenwerk wat
ons doen?
6. Bewys dat 3 ‘n irrasionale getal is.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
19

Leereenheid 1
20
1.5 KOMPLEKSE GETALLE (C)
Geskatte studietyd is 8 uur.
Na voltooiing van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Die komplekse getalle te definieer en die basiese eienskappe daarvan te ken en te kan
bewys;
• die verskillende skryfwyses vir die komplekse getalle te ken en te kan gebruik;
• wortels van n-de graadsvergelykings te kan bepaal;
• komplekse getalle meetkundig voor te stel;
• komplekse getalle te vermenigvuldig, te deel en magsverheffing en worteltrekking toe
te pas;
• al bogenoemde aan medestudente te kan verduidelik; en
• die taal van wiskunde korrek te gebruik om sekere konsepte te verduidelik.
In die vorige leergedeeltes is die ketting N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R bespreek. Ons het gesien dat elkeen
van die eerste drie versamelings in die ketting ‘n bewerking het wat nie uitvoerbaar in die
bepaalde versameling is nie, maar wel uitvoerbaar in die volgende een. Die reële getalle (R)
het ook gebreke, want worteltrekking is nie altyd moontlik nie. Daar bestaan byvoorbeeld
geen reële x waarvoor x 2 = -1 nie. In hierdie leergedeelte ontwerp ons ‘n versameling wat die
reële getalle as deelversameling bevat en waarin worteltrekking altyd uitvoerbaar is.

Cohen. Hoofstuk 7, paragraaf 7.1, bl 560 - 568.
Stewart, par 3.4
Opdrag 14:
Cohen, Ex 7.1, bl 566
2, 4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20, 24, 28, 34, 3642, 44, 56, 58, 62 en 70.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
Leereenheid 1 is hiermee afgehandel.
Leereenheid 1
21

Leereenheid 1
22

2 POLINOME IN EEN
ONBEPAALDE
Geskatte studietyd is 32 uur.
Nadat jy hierdie leereenheid voltooi het behoort jy in staat te wees om:
• Polinome in een veranderlike te definieer;
• bewerkings met polinome uit te voer (uitgesonderd die inverse);
• faktore van polinome te bepaal (waar moontlik);
• polinoomvergelykings op te los;
Leereenheid 2
• die verband tussen polinoomfunksies en algebraïese getallestelsels aan te toon;
• al bogenoemde aan jou klasmaats te verduidelik; en
• die onderrig van polinome op skoolvlak te fasiliteer.
Polinoomvergelykings het wiskundiges sedert die vroegste eeue gefassineer. Die antieke
Babiloniërs kon kwadratiese vergelykings met reële wortels oplos. Dit was egter eers teen
die sestiende eeu wat vooruitgang gemaak is met hoër-orde polinoomvergelykings.
Polinome kom in Wiskunde in verskeie situasies voor en daarom word in meer as een
afdeling van die vak daaraan aandag gegee. Die wyse waarop algebraïese bewerkings met
polinome gedoen word, is deurgaans dieselfde en daar word aanvaar dat jy vertroud is met
die basiese rekentegnieke wat hiervoor nodig is.
23

Leereenheid 2
24
2.1 INLEIDING TOT POLINOOMFUNKSIES
Geskatte studietyd is 6 uur.
Nadat jy die leergedeelte voltooi het behoort jy in staat te wees om:
• ‘n Polinoom in een onbepaalde te definieer;
• die begrippe koëffisiënt, graad van ‘n polinoom, gelyke polinome, konstante
polinoom en konstante term te definieer;
• die som en produk van polinome te definieer en te demonstreer;
• die begrip verskil van polinome te definieer en te demonstreer;
• bewerkings met polinome uit te voer;
• aan te toon dat polinoomfunksies ook as ‘n getallestelsel beskou kan word; en
• die onderrig van polinome te kan fasiliteer.
Cohen, Hoofstuk 4, par 4.6, bl 325 - 336.

Leereenheid 2
Ons het die getallestelsels asook die uitbreiding van die reële getallestelsel, naamlik die
komplekse getalle, in Leereenheid 1 bespreek. In hierdie leereenheid sien ons dat
polinoomfunksies ook as ‘n getallestelsel met duidelik onderskeibare eienskappe beskou kan
word.
Opdrag 15:
Cohen, Ex 4.6, bl 337
1, 3 (met GSP), 5, 7, 9, 13, 15 (jy mag by nr 5 – 15 jou antwoorde met GSP kontroleer), 17,
19, 21, 23, 27, 31, 33, 35, 39, 47, 49 en 62.
Asook:
Die volgende vrae het betrekking op die uitkomste wat nie in Oef 4.6 van die boek van
Cohen aangespreek word nie:
1. Skryf ‘n voorbeeld van ‘n polinoom van graad 4 neer in die onbepaalde t wat aan die
volgende voorwaardes voldoen:
Dit moet ‘n konstante term bevat wat ewe en negatief is;
die koëffisiënt van die eerstegraadse term moet nul wees;
die koëffisiënt van die kwadratiese term moet 10 wees; en
die derde- en vierdegraadse terme moet gelyke koëffisiënte hê wat die helfte is
van die konstante term.
Sê ook hoeveel terme die polinoom bevat.
2. Bepaal die waardes van ABC , , en D indien
3. Gestel
( )( ) 2 3
2xx− 1 2x+ 3 + 6x+ 7=
A+ Bx+ Cx + Dx .
1
f ( x) =− 2+ 5x−x
3
f
3.1 Bereken: ( x) + g( x)
3
2 4
en g ( x) 3 5x x 5x
= + + − .
3.2 Bereken: Die som van g ( x) en die teëgestelde van f ( x )
3.3 Toon aan dat die produk van
( ) f x en ( ) g x gegee word deur die polinoom
25 76 5
3 3 3
2 3 4 5 7
− 6+ 5x+ 23x + 4x
+ x − x + x .
25

Leereenheid 2
26
3.4 Bepaal
( ( ) ) 2
f x
4. “Deling deur polinome is nie altyd moontlik nie”.
4.1 Gestel f ( x) x 3
( )
q x
2
= − en h( x) = 2x − 18.
Bestaan daar ‘n polinoom ( )
( )
( )
h x
= ? Motiveer jou antwoord.
f x
(Wenk: Probeer om h( x ) te faktoriseer…)
4.2 Gestel f ( x) x 2
h( x) = f ( x) q( x)
.
3
= − en h( x) = x − 8 . Bepaal ‘n polinoom ( )
q x sodat
q x sodat
(Wenk: Hoe faktoriseer ons die verskil van derdemagte, en hoe lyk die faktore
van h( x ) ?)
2
4.3 Gestel f ( x) = x − 2x + 1 en ( )
h x is ‘n vierdegraadse polinoom.
Bestaan daar enige eerstegraadse polinoom ( )
‘n duidelike rede vir jou antwoord.
q x sodat h( x) = f ( x) ⋅ q( x)
? Gee
Die oplossings van nr 62 en vraag 1 tot 4 in die tweede deel van die opdrag sal deur die
dosent voorsien word; die res van die antwoorde kan agter in die handboek gevind word.
Let wel: Al hierdie inhoude word nie op hierdie stadium in die skoolsillabus ingesluit nie, en
word dus nie op skoolvlak onderrig nie. Dit is egter noodsaaklik om dit te bemeester sodat jy
‘n beter en dieper insig en agtergrond rakende Wiskunde as vakgebied verkry, en sodoende
op ‘n hoër kennisvlak is as die leerders wat jy gaan onderrig.
Kwadratiese polinome (Polinome van graad 2)
Kwadratiese polinome is die tipe polinoom waarmee die meeste op skoolvlak gewerk word.
Aangesien kwadratiese (tweedegraadse) polinome so ‘n belangrike tipe polinoom is, sal ons
nou in diepte na hulle kyk; ons sal spesifiek fokus op hoe kwadratiese polinome in
werklikheidsgetroue kontekste na vore kom en hanteer word.

Leereenheid 2
Bestudeer Stewart (Precalculus):
bl 205 (vanaf Guidelines for Modeling with Functions) - 208
Kwadratiese funksies is wiskundige modelle om onder meer die beweging te beskryf van
enige voorwerp wat teen ʼn hoek die lug in geprojekteer word, bv sokkerballe wat geskop
word, ʼn “baseball” wat gegooi word, ʼn atleet wat verspring, vuurwerke of waterspuitfonteintjies.
Galileo was die eerste persoon wat projektielbeweging akkuraat beskryf het. Hy
het gewys dat ʼn mens die horisontale en vertikale komponente afsonderlik moet beskou.
Verkry Internettoegang en voer die meegaande opdrag uit.
Lees vinnig deur die artikel gevind by die volgende Internetadres en beantwoord dan die
twee vrae:
http://www.bsharp.org/physics/stuff/shotput.html
[Opmerking: Hierdie adres is gevind na die soektog “parabola projectile” op Google.]
1. Hoekom volg die gewig ʼn paraboliese baan? _________________________________
2. Projektielbeweging is die kombinasie van ________________________horisontale
beweging en _________________________as gevolg van gravitasiekrag.
Besoek die volgende webblad:
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/ProjectileMotion/jarapplet.ht
ml
Hier kan jy eksperimenteer met projektielbeweging. Beantwoord ook die volgende vrae wat
op die webblad gebaseer is:
1. Watter invloed het die massa van die projektiel? ______________________________
2. Watter invloed het die snelheid as jy die hoek dieselfde hou? ____________________
__________________________________________________________________________
3. Watter hoek veroorsaak die grootste trefafstand as die snelheid konstant gehou word?
__________________________________________________________________________
27

Leereenheid 2
Bestudeer Precalculus:
bl 193 - 198 (hersiening van skooluitkomste).
VOLTOOI VOORBEELD 1:
Burger Lambrechts het Suid-Afrika gedurende 2004 by die Olimpiese Spele verteenwoordig
in gewigstoot. Die gewig verlaat sy hand op ʼn hoogte van ongeveer 2 m bokant die grond
teen ʼn spoed van 15 m/s en ʼn hoek van 45° met die horisontaal. ʼn Wiskundige model om die
hoogte (y in meter) van die gewig bokant die grond te beskryf is ontwikkel en word gegee
⎛ 1 ⎞ 2
deur: y = − ⎜ ⎟x
+ x + 2 ,
⎝ 20 ⎠
waar x (in meter) die horisontale afstand is wat die gewig beweeg het.
Voltooi die volgende tabel en dui die waardes aan op die gegewe assestelsel.
28
x y
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Stip dan die punte wat jy uit die tabel hierbo verkry op die volgende Cartesiese vlak om die
parabool (grafiek van hierdie kwadratiese vergelyking) te kry.

y
10
8
6
4
2
Beantwoord die volgende vrae:
5 10 15 20
1 2
Leereenheid 2
1. Waarom word y =
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟x
⎝ 20 ⎠
+ x + 2 ʼn kwadratiese vergelyking genoem?
__________________________________________________________________________
2. Die hoogte waarop die gewig Burger se hand verlaat is 2 m. Dui dit met ’n A op die
skets aan en bewys dat die vergelyking die hoogte korrek weergee deur x = 0 in die
vergelyking te vervang:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
3. Gee die hoogte van die gewig as x = 6 m. Dui dit met ʼn B op die skets aan.
__________________________________________________________________________
4. Hoe ver is die gewig van Burger af as die hoogte 6,8 m is? Dui dit met C en D op die
skets aan.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5. Verduidelik wat die betekenis is van enige koördinaat/punt (a; b) in hierdie lewenswerklike
situasie.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6. Trek die simmetrie-as op die skets in.
7. Wat is die vergelyking van die simmetrie-as?
__________________________________________________________________________
x
29

Leereenheid 2
8. Wat is die koördinate van die hoogste punt wat die gewig bereik? Dui dit met E op die
skets aan.
_________________________________________________________________________
9. Watter spesiale naam het hierdie punt?
_________________________________________________________________________
10. Hoe word hierdie punt se koördinate bereken? Gee twee metodes.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
11. Hoe ver stoot Burger die gewig? Dui dit met F op die skets aan. Doen dit grafies en
gee ʼn benaderde waarde.
_________________________________________________________________________
12. Bereken noukeurig hoe ver Burger die gewig stoot.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
30

Voltooi die volgende: (Gebruik ʼn skoolhandboek indien nodig)
Leereenheid 2
1. Die standaardvergelyking van ʼn parabool is:
__________________________________________________________________________
2. Vorm van parabool as a> 0: ______________________________________________
3. Vorm van parabool as a < 0: _____________________________________________
4. Hoe ___________________ die waarde van a, hoe nader kom die bene na mekaar.
5. As b verander, skuif die parabool __________________________________________
6. Die y-afsnit word gegee deur die formule ____________________________________
of deur die koördinaat ( ____; ____ )
7. Die vergelyking van die simmetrie-as: _______________________________________
8. Die formule vir die wortels van ‘n kwadratiese polinoom is: _______________________
9. Die koördinaat van die draaipunt van ‘n parabool is: ( ____; ____ ) en word soos volg
bereken:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
10. Die vergelyking van ’n parabool in wortelvorm:
__________________________________________________________________________
11. Dies vergelyking van die parabool in toppunt (p;q) -vorm:
__________________________________________________________________________
31

Leereenheid 2
VOLTOOI VOORBEELD 2: Maksimum inkomste
Wanneer produkte verkoop word, word die inkomste deur twee faktore beïnvloed:
• Prysverhoging beteken jy ontvang meer geld vir elke item wat jy verkoop (jou totale
inkomste mag styg).
• Prysverhoging beteken ook dat jy minder items sal verkoop (jou totale inkomste mag
daal).
Gestel die aanvraagfunksie om ’n sekere boek te druk is: p = 1000 – 2q
met p die prys in rand en q die aantal boeke wat per dag benodig word.
Dan word die totale inkomste gegee deur I = pq
= (1000 – 2q)q
= 1000q – 2q 2 .
Beantwoord die volgende vrae:
1. Bereken hoeveel boeke per dag verkoop moet word vir maksimum inkomste.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
2. Bereken ook die maksimum inkomste.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
3. Maak ’n rowwe skets van die inkomste as funksie van aantal boeke per dag verkoop.
32

Leereenheid 2
4. Wat gebeur as meer as 250 boeke per dag verkoop word?
__________________________________________________________________________
5. Wanneer sal daar geen inkomste wees nie?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6. Wanneer sal die uitgawes die inkomste oorskry?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Opdrag 16: Kwadratiese polinome
1. ’n Modelvuurpyl word 3 m bokant die grond afgevuur. Die beginsnelheid is 49 m/s.
Aanvaar dat die vuurpyl loodreg opwaarts beweeg en dat gravitasie die enigste krag is
wat dit afwaarts trek. In die metrieke stelsel is die versnelling as gevolg van gravitasiekrag
9,8m/s 2 . Die projektielbeweging word beskryf deur die kwadratiese funksie
h(t) = ½(-9,8)t 2 + 49t + 3.
1.1 Definieer elke veranderlike en gee die eenheid van elkeen in hierdie probleem.
1.2 Wat is die lewenswerklike betekenis van h(0) = 3?
1.3 Watter term in die vergelyking verteenwoordig die versnelling agv gravitasie?
1.4 Hoe weet jy vanuit die vergelyking dat die krag afwaarts werk?
1.5 Skets die parabool en dui alle belangrike punte aan. (Bereken eers die h-afsnit,
wortels, simmetrie-as, vorm en draaipunt.)
1.6 Hoe hoog styg die vuurpyl voordat dit terugval aarde toe?
1.7 Op watter tydstip word die hoogste punt bereik?
1.8 Hoe lank is die vuurpyl in vlug?
1.9 Watter vergelyking moet jy oplos om uit te vind op watter tydstip die vuurpyl
50,5 m hoog is?
1.10 Los bogenoemde vergelyking op tot 3 desimale syfers.
1.11 Dui bogenoemde antwoord(e) aan op jou skets.
1.12 Hoekom is daar twee antwoorde?
33

Leereenheid 2
2. 'n Muntstuk val uit 'n man se sak vanuit ʼn baie hoë toring.
Die muntstuk se hoogte, in meter, na t sekondes word
gegee deur h(t) = -5t 2 + 151,25.
2.1 Bereken h(0) en gee die betekenis hiervan in die
werklike lewe.
2.2 Skets die grafiek.
2.3 Los h(t) = 50 algebraïes en grafies op.
2.4 Beteken bostaande antwoord dat die muntstuk twee
keer op ʼn hoogte van 50 meter bokant die grond is?
Verduidelik jou antwoord.
2.5 Gedurende watter interval is die muntstuk minder as
50 m bokant die grond?
2.6 Wanneer tref die muntstuk die grond? Doen dit algebraïes en toon dit ook grafies
aan.
3. Die pad van ʼn krieketbal nadat dit die kolf getref het, word beskryf deur
y(x) = -0,02(x – 30) 2 + 20, waar x die horisontale afstand in meter en y die vertikale
hoogte in meter beteken. (Die grafiek is die vlug van die bal en nie die bal se hoogte
ten opsigte van tyd nie!)
34
3.1 Bereken y(2) en gee die lewenswerklike betekenis
hiervan.
3.2 Bereken die x-waardes as y(x) = 2 en beskryf die
lewenswerklike betekenis hiervan.
3.3 Hoe hoog is die bal as dit die kolf verlaat?
3.4 Wat is die hoogste punt wat die bal bereik?
3.5 Wat is die horisontale afstand wat die bal beweeg
voordat dit die grond tref?
4. Die kwadratiese vergelyking y = 0,0064x 2 + 0,16x beskryf die verband tussen 'n
voertuig se stopafstand en spoed. In die vergelyking verteenwoordig y die afstand in
meter en x die spoed in km/h.
4.1 Bereken die stopafstand as die voertuig teen 100 km/h beweeg.
4.2 Teen watter spoed sal dit die voertuig 50 m neem om te stop? Gee die
vergelyking en toon die berekening.

Leereenheid 2
5. ʼn Boer wil vir natuurbewaring ʼn gebied teen ʼn rivier afkamp vir bewaringsdoeleindes.
Die ekologievereniging skenk aan hom 2000 m heining. Die boer kamp 'n reghoekige
gebied af met die wal van die rivier een van die sye. (Onthou dat 'n mens nie draad
span langs 'n rivier nie – dit sal wegspoel met 'n vloed of skeef trek – die rivier self
vorm 'n natuurlike grens.)
Rivier
Lengte
Breedte
5.1 Hoeveel heining is oor vir die lengte as die boer 300 m as breedte gebruik? Skets
die situasie. Wat is die oppervlakte?
5.2 As die breedte b meter is, hoeveel heining is oor vir die lengte, l?
5.3 Gebruik die vorige antwoord om 'n vergelyking in wortelvorm te skryf vir die area
van die kamp.
5.4 Toets jou vergelyking met die lengte en breedte van 5.1.
5.5 Gee twee verskillende wydtes waarvoor die area gelyk sal wees aan nul.
5.6 Maak ʼn rowwe skets van die grafiek.
5.7 Watter breedte lewer 'n maksimum area?
5.8 Bereken die maksimum area.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
35

Leereenheid 2
Opdrag 17:
Rekonstrueer die volgende sketse deur middel van GSP. Stel eers die asse soos op die
sketse. Identifiseer die moederfunksie (in “BOLD”). Teken daarna ook die ander grafieke
(beeldfunksies) met behulp van transformasies. Skryf die vergelykings van die grafieke neer
in die studiegids. Benoem ook die tipe translasie(s). Stoor elke skets op jou skyfie.
1. (FIGUUR A)
36
10
5
-6 -4 -2 2 4 6
-5
-10
-15
-20
Moederfunksie: ________________________________
Beeldfunksies: _________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
Tipe transformasie(s): ________________________________________________________
_________________________________________________________________________

2. FIGUUR B
25
20
15
10
5
-6 -4 -2 2 4 6
-5
Leereenheid 2
Moederfunksie: _________________________________
Beeldfunksies: _________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
Tipe transformasie(s): ________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
37

Leereenheid 2
3. FIGUUR C
38
60
50
40
30
20
10
5 10 15 20 25 30
Wenk: Skryf die funksies in toppuntvorm (dit is die sogenaamde (p;q) vorm).
Moederfunksie: ________________________________
Beeldfunksies: _________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
Tipe transformasie(s): ________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

4. FIGUUR D
50
40
30
20
10
Wenk: Skryf die vergelykings in wortelvorm.
5 10 15 20
Moederfunksie: _________________________________
Beeldfunksies: _________________________________
_________________________________
_________________________________
_________________________________
Leereenheid 2
Tipe transformasie(s): ________________________________________________________
39

Leereenheid 2
5. FIGUUR E
(Wenk: wortelvorm)
40
30
20
10
-15 -10 -5 5 10 15
-10
-20
-30
Moederfunksie: ________________________________
Beeldfunksies: _________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
Tipe transformasie(s): ________________________________________________________

Leereenheid 2
6. Beskou die volgende diagram van ʼn sekere radioteleskoop:
Indien die profiel van die
Y
radioteleskoop
gegee word
vergelyking
se antenna
deur die
d
O
2
y = 0,25 x − x,
maak ʼn
netjiese skets van die
profiel en gebruik jou
grafiek om die radius
r en diepte d van die
skottel neer te skryf.
Die eenhede is in meter.
7. Bioloë bestudeer die effek van voeding op rotte op 'n dieet met 10% proteïene. Die
proteïene bestaan uit brouersgis en koringmeel. Deur die persentasie, p, van gis in die
proteïenmengsel te wissel, het die navorsers gevind dat die gemiddelde gewigstoename
(in gram) oor 'n periode gegee kon word deur:
1 2
f ( p)
= − p + 2p
+ 20,
0 ≤ p ≤ 100.
50
r
7.1 Bereken die maksimum gewigstoename.
7.2 Wat is die gewigstoename van 'n rot wat geen gis inkry nie?
7.3 Teken 'n sketsgrafiek. (Jy hoef nie die wortels te bereken nie.)
6m
X
41

Leereenheid 2
8. 'n Klimtol (yo-yo) -maatskappy modelleer die verband tussen totale inkomste en
verkoopprys vir een klimtol soos volg:
42
y
1000
900
800
700
Inkomste
600
in rand
500
400
300
200
100
-100
•
(3,25; 897,8125)
•
A
1 2 3 4 5 6 7
Verkoopprys in rand
8.1 Op watter interval is die funksie stygend?
8.2 Gee die waardeversameling van die funksie in versamelingskeurdernotasie.
8.3 Watter betekenis het die vorm van die grafiek met betrekking tot die verkope van
klimtolle?
8.4 Gee die lewenswerklike betekenis van die toppunt.
8.5 Die verkoopprys moet binne sekere grense gehou word om nie 'n verlies te ly nie.
By watter verkooppryse is die inkomste nul?
8.6 Bereken die vergelyking van die grafiek in wortelvorm
en
8.7 toppunt (p; q) -vorm. [Onthou die beperking op die
definisieversameling]
noukeurig.]
[Werk tot 4 desimale syfers
8.8 Gee ook die vergelyking van die grafiek in standaardvorm.
8.9 Is hierdie ʼn ewe of onewe funksie? Toon alle berekeninge.
•
x
http://office.microsoft.com/clip
art/results.aspx?lc=engb&Scope=MC%2CMM%2C
MP%2CMS&Query=yo-yo

9. Deur die proses van fotosintese gebruik
plante sonenergie, CO2 (kool-suurgas) en
water om hulle eie voedsel te vervaardig en
suurstof vry te stel. Verskeie faktore soos die
ligintensiteit, golflengte van die lig,
koolsuurgas-konsentrasie en temperatuur
beïnvloed die tempo waarteen fotosintese
plaasvind. Die meegaande figuur vertoon die
verband tussen temperatuur en die tempo
van fotosintese vir ʼn spesifieke plant.
(Aanvaar dat al die ander faktore konstant
gehou word.)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-10
•
• B(8; 64)
Temperatuur (°C)
Leereenheid 2
http://www.gfparks.org/images/Autumn%20Trees.jpg
Gedurende die winter verdof die chlorofil en die blare
verander van kleur. Die blare vertoon rooi en pers
omdat glukose in die blare vasgevang word en van
kleur verander deur die blootstelling aan sonlig en
koel nagte.
10 20 30 40 x
9.1 Beskryf die algemene vorm van die grafiek. Watter betekenis het die vorm van
die grafiek met betrekking tot fotosintese?
9.2 Gee ʼn benaderde waarde vir die optimale temperatuur vir fotosintese in hierdie
plant en
9.3 wat is die fotosintese-tempo vir hierdie waarde?
9.4 Die temperatuur moet binne sekere grense gehou word vir fotosintese om plaas
te vind. As dit te warm word, word die ensieme in die chlorofil vernietig en die
fotosintese-proses hou op. As dit te koud word, hou die ensieme ook op om te
funksioneer. By watter temperature is die tempo van fotosintese nul?
9.5 Bereken die vergelyking van die grafiek in wortelvorm.
9.6 Bereken die vergelyking van die grafiek in toppunt (p; q) -vorm. [Onthou die
beperking op die definisieversameling] [Werk tot 3 desimale syfers noukeurig.]
10. Precalculus, Oefening 2.5: 64.
__________________________________________________________________________
•
40
43

Leereenheid 2
11. Precalculus, Oefening 2.6: 34.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
44

2.2 DELINGSALGORITME, RESSTELLING,
FAKTORSTELLING EN
POLINOOMVERGELYKINGS
Geskatte studietyd is 10 uur.
Nadat jy hierdie leergedeelte voltooi het behoort jy in staat te wees om:
• Die langdelingproses vir polinome te demonstreer;
• die begrip polinoomfunksie te definieer;
• polinome in faktore te ontbind deur middel van die delingsalgoritme;
• die begrip nulpunt te definieer en dit te bepaal;
Leereenheid 2
• die resstelling en die faktorstelling toe te pas en grafies voor te stel waar moontlik;
• polinoomvergelykings op te los; en
• die onderrig van die langdelingproses op skoolvlak te kan fasiliteer.
Die res- en faktorstelling is in Graad 11 (St 9) bespreek. As jy dus probleme daarmee
ondervind, of jouself net weer wil opskerp, kan ons aanbeveel dat jy Hoofstuk 1 in die
handboek “Wiskunde vir die klaskamer, St 9” (Laridon et al) bestudeer. Die langdelingproses
vir polinome word aan die hand van ‘n eenvoudige voorbeeld eers verduidelik (bl 91).
45

Leereenheid 2
Cohen, Hoofstuk 7, bl 568 - 582 (par 7.2 en 7.3).
Stewart, par 3.2
Maak seker dat jy die volgende belangrike punte onder beheer het:
• Doen die volgende bewerking en bepaal die kwosiënt asook die res
• x + 2 3x
− 2x
−1
46
4
2
• Probeer jou antwoord skryf in die vorm f ( x)
= q(
x)
g(
x)
+ r(
x)
• Die faktorstelling sê vir ons wanneer is ‘n polinoom
polinoom f (x)
.
g (x)
’n faktor van ‘n
• Jy moet die begrip polinoomfunksie kan definieer.
• Die resstelling gee ‘n maklike metode om die res te bereken wanneer ‘n polinoom
f (x)
deur ‘n polinoom g (x)
gedeel word.
• ‘n Belangrike gevolg hieruit is die faktorstelling. Sorg dat jy dit ken en verstaan.
• Jy moet die begrip nulpunt kan definieer.
• Maak seker dat jy die nulpunte van ‘n polinoom kan bereken deur van die faktorstelling
en landeling of sintetiese deling gebruik te maak.
Met die delingalgoritme, die faktorstelling en die resstelling kan ons die volgende bewerings
as ekwivalent beskou:
Vier ekwivalente stellings omtrent ‘n polinoom Px: ( )
1. r is ‘n wortel van die polinoomvergelyking Px ( ) = 0
2. Pr ( ) = 0. Dit is, r is ‘n wortel van die polinoom Px. ( )
3. x − r is ‘n faktor van Px. ( )
4. Die res wanneer Pxgedeel ( ) word deur x − r is 0.

Opdrag 18:
Deling van polinome: Cohen, Ex 7.2, bl 574
2, 6, 10, 18, 24, 28, 40, 50, 52, 54 en 56.
Res- en faktorstelling: Cohen, Ex 7.3, bl 583
2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18 (GSP), 20, 26, 28, 32 en 34.
Jy is telkens welkom om jou oplossing met behulp van GSP te kontroleer.
Die oplossings sal deur die dosent voorsien word.
Leereenheid 2
In hierdie leergedeelte het ons geleer hoe om polinome in faktore te ontbind met behulp van
die res- en faktorstelling, asook hoe om polinoomvergelykings op te los. Dit is noodsaaklik
dat jy hierdie funksies ook kan toepas. Herhaaldelike inoefening sal jou bedrewe maak in
hierdie vaardigheid.
47

Leereenheid 2
48
2.3 DIE RASIONALE NULPUNTSTELLING
Geskatte studietyd is 8 uur.
Aan die einde van die leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
•
• polinome in priemfaktore oor Q te ontbind deur van die rasionale nulpuntstelling
gebruik te maak; en
• die ontbinding van polinome in priemfaktore oor Q aan jou klasmaats te verduidelik.
• die tekenreël van Descartes te stel en te gebruik.
Die faktorstelling sê eintlik vir ons dat ons die nulpunte van ‘n polinoom te bepaal, dieselfde
is as om die polinoom in lineêre faktore te ontbind. In hierdie leergedeelte gaan ons enkele
algebraïese metodes bespreek wat ons help om die reële nulpunte van ‘n polinoom te
bepaal. Ons weet reeds dat die ontbinding van ‘n natuurlike getal in priemfaktore in ‘n sekere
sin eenduidig is. In die geval van polinome beskou ons faktoriserings van byvoorbeeld
2
1
f ( x) = 2x + 7x + 3 soos f ( x) = ( 2x + 1)( x + 3 ) en f ( x) = 2( x+ 3)(
x + ) as dieselfde
faktore. Ons gaan nou deur ‘n proses om te bepaal watter polinome in Q[x] en R[x]
priempolinome is. Ons begin met die rasionale nulpunte van ‘n polinoom.
2

Cohen, Hoofstuk 7, par 7.5, bl 596 - 601.
Stewart, par 3.3, p. 272- 279
4
Los die vergelyking t − 4t
+ 5t
− 4t
+ 4 = 0 op.
3
2
Leereenheid 2
Oplossing:
Die oplossings van die gegewe vergelyking is die nulpunte van die polinoomvergelyking
4
3
f ( t)
= t − 4t
+ 5t
− 4t
+ 4
As ons ten minste twee rasionale nulpunte kan vind, dan is die probleem gereduseer tot die
oplos van ‘n tweedegraadsvergelyking. Die moontlikhede vir rasionale nulpunte is:
Faktore van die konstante term: ± 1 , ± 2,
± 4
Faktore van die leidende koëffisiënt: ± 1
p
Moontlikhede vir : ± 1 , ± 2,
± 4
q
Nadat ons ± 1 elimineer het, probeer ons sintetiese deling met 2: As 2 wel ‘n wortel is,
probeer 2 weer. Dit mag ‘n veelvoudige wortel wees:
2 | 1 − 4 5 − 4 4
2 − 4 2 − 4
2 | 1 − 2 1 − 2 0
2 0 2
___________________
1 0 1 0
Skryf die oorspronklike vergelyking in gefaktoriseerde vorm: ( t − 2)
( t + 1)
= 0
Die vergelyking is volledig ontbind in priemfaktore in Q[x]
t=2 is ‘n wortel van multiplisiteit 2 (in Q[x])
2
2
2
49

Leereenheid 2
Die grafiese voorstelling daarvan lyk soos volg:
50
6
4
2
-5 5 x
n
n−1
1
Veronderstel ‘n polinoomvergelyking f ( x)
= an
x + an−
1 x + .... + a1x
+ a0
het heelgetalkoëffisiënte
en ‘n rasionale nulpunt r . Dit is, r is ‘n rasionale getal en f ( r)
= 0 . Aangesien
p
r ‘n rasionale getal is, kan ons skryf r = , waar p en q heelgetalle is met geen ander
q
p
gemeenskaplike faktore as ± 1 nie. Dus, f ( ) = 0 .
q
Uit bogenoemde voorbeeld volg die rasionale nulpuntstelling:
n
n−1
As die polinoomvergelyking f ( x)
= an
x + an−
1 x + ... + a1x
+ a0
heelgetalkoëffisiënte het, en
p
r = is ‘n rasionale nulpunt van f (p en q het geen gemeenskaplike faktore nie), dan is:
q
1. p ‘n faktor van die konstante term 0 a
2. q ‘n faktor van die leidende koëffisiënt n a

Leereenheid 2
7 7
Is die polinoom x −1
ontbindbaar in Q[x]? Wel laat f ( x)
= x −1
. Deur inspeksie sien ons
dat f ( 1)
= 0 , dus is x −1
‘n faktor van f (x)
. Deur langdeling of sintetiese deling kan ons die
ander faktor(e) bepaal. Probeer nou eers self!
Die faktorisering behoort soos volg te lyk: f ( x)
= ( x −1)(
x + x + x + x + x + x + 1)
Kyk of jy die rasionale nulpuntstelling van toepassing kan maak op hierdie voorbeeld.
Om ‘n langdradige proses in die soeke na moontlik rasionale wortels uit te skakel, het Rene
Descartes die volgende reël ontwikkel:
Die tekenreël van Descartes
Let op wat bedoel word met die begrip tekenvariasie. Bestudeer Stewart, p, 275 en werk
deur voorbeeld 4
Bestudeer ook Cohen, p. 607-608 en werk noukeurig deur vb 4 tot 6.
Nog ‘n nuttige hulpmiddel wat gebruik kan word in die bepaling van die moontlike rasionale
wortels, is die onder- en bogrensstelling
Onder- en bogrensstelling
Bestudeer in hierdie verband Cohen, p. 598, en werk deur voorbeeld 2. In aansluiting hierby,
kan jy ook Stewart, p. 276 bestudeer en noukeurig werk deur voorbeeld 5 en 6
Opdrag 19:
Cohen, Ex 7.5, bl 601
2, 4 (jy moet GSP by nr 4 gebruik), 6, 8, 12, 14, 28 en 54.
Stewart, Oef 3.3: Oefening sal deur die dosent verskaf word.
6
5
4
3
2
51

Leereenheid 2
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
52

Leereenheid 2
2.4 FUNDAMENTAALSTELLING EN KOMPLEKSE
WORTELS
Geskatte studietyd is 8 uur.
Nadat jy hierdie leergedeelte voltooi het behoort jy in staat te wees om:
• Die grondstelling van die Algebra te stel en toe te pas;
• Die toegevoegde nulpuntstelling te stel en te gebruik;
• polinome in priemfaktore te kan ontbind in R en C.
Cohen, Hoofstuk 7, par 7.4
Stewart, par 3.5
Die grondstelling van die Algebra volgens die boek van Cohen
Beskou die volgende vergelyking:
3
x − x + 25x
− 25 = 0
Bepaal die wortels van hierdie vergelyking in C[x], dit wil sê, faktoriseer die linkerkant van die
vergelyking totdat dit uit slegs lineêre faktore bestaan en pas dan die nulprodukstelling toe.
9 2
Het elke polinoomvergelyking nulpunte? Hoe lyk bogenoemde vergelyking se faktore? Dit lei
ons uiteindelik na die grondstelling (ook genoem die fundamentaalstelling) van die Algebra.
53

Leereenheid 2
Cohen, Hoofstuk 7, par 7.4, bl 585 - 591.
Gee spesifieke aandag aan die bewoording van die lineêre faktore-stelling (bl 586) en
ook die bewys van die grondstelling van die Algebra (bl 588). Let daarop dat die lineêre
faktore-stelling as hulpstelling dien vir die bewys van die grondstelling.
• As ‘n wortel van multiplisiteit k, k keer getel word, dan het ons presies n wortels. Daar
is geen ander wortels nie, want as r enige getal ongelyk aan r i is, dan is
f (r)
= a x − r )( x − r )....( x − r ) ≠ 0 . Dus het ‘n n-de graadspolinoom presies n
54
n(
1 2
n
komplekse wortels, waarvan sommige herhaal mag word.
• Dit lei tot die volgende stelling:
• Elke polinoom van graad n ≥ 1 het presies n wortels as ‘n wortel van multiplisiteit k, k
keer getel word.
Werk noukeurig deur voorbeeld 1 tot 5 in Stewart, p. 292-295.
Opdrag 20:
Cohen, Ex 7.4, bl 592
2, met behulp van GSP: 4, 6, 8, 26
34, 36 en 40.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.

Leereenheid 2
Die komplekse wortels van polinoomfunksies met reële koëffisiënte kom in toegevoegde
pare voor. Dit beteken as ‘n komplekse wortel is, dan is sy toegevoegde, ook’n
wortel.
Bestudeer voorbeeld 6 in Stewart, p. 296. Voorbeeld 7 is ook ‘n illustrasie van hoe Descartes
se tekenreël gebruik kan word om die reële en imaginêre nulpunte te bepaal.
Opdrag 21:
Cohen, Ex 7.6, bl 609
2, 4, 6, 16, 18, 20, 22 (met behulp van GSP), 24, 26 en 30.
Stewart, Oef 3.5. Oefeninge sal deur die dosente verskaf word.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
Hiermee is hierdie leereenheid dan ook afgehandel.
55

Leereenheid 2
56

3 RASIONALE FUNKSIES
Geskatte studietyd is 16 uur.
Aan die einde van die leereenheid behoort jy:
• Te verduidelik wat rasionale funksies is;
• aan te toon waarom rasionale funksies ‘n algebraïese getallestelsel vorm;
• rasionale funksies in parsiële breuke te ontbind;
• vergelykings op te los waarin rasionale funksie voorkom; en
Leereenheid 3
• die onderrig rakende die oplos van vergelykings en die vereenvoudiging van rasionale
uitdrukkings op skoolvlak te kan fasiliteer.
Hierdie leereenheid verskaf voorkennis wat noodsaaklik is vir die module MATE 311.
57

Leereenheid 3
58
3.1 RASIONALE FUNKSIES AS ALGEBRAÏESE
STELSEL
Geskatte studietyd is 8 uur.
Aan die einde van die leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Die som en produk van rasionale funksies te kan definieer en te bereken;
• die algebraïese eienskappe van R(x) te kan opnoem;
• vergelykings op te los waarin breuke voorkom; en
• die onderrig rakende die oplos van rasionale vergelykings en die vereenvoudiging van
rasionale uitdrukkings te kan fasiliteer.
Cohen, Hoofstuk 4, par 4.7, bl 342 - 351.
Stewart, par 3.6

Leereenheid 3
x − 2x
+ 1
Jy is reeds bekend met rasionale funksies wat jy op hoërskool teëgekom het, bv
.
x −1
Elke polinoom is ‘n rasionale uitdrukking, maar daar is rasionale uitdrukkings wat nie
7 3 2
polinome is nie, soos bv
8 5 2
x +
. Ons noem dit dan rasionale polinoomkwosiënte. Net
− x− x
soos ons polinome as funksies kan interpreteer, interpreteer ons dikwels rasionale polinoomkwosiënte
as funksies en noem hulle dan rasionale funksies. R(x) is die standaardsimbool
vir die versameling van alle rasionale funksies oor R, dit wil sê:
⎧ f ( x)
⎫
Rx ( ) = ⎨ | f( x), gx ( ) ∈ Rx [ ], gx ( ) ≠ 0⎬
⎩ gx ( ) ⎭
Bestudeer ook par 3.6 in Precalculus (Stewart).Maak seker dat jy die volgende werk
bemeester ter voorbereiding van die kontaksessie:
• Jy moet weet wat met die begrippe rasionale uitdrukking en rasionale funksie bedoel
word.
• Daar bestaan ‘n groot mate van ooreenkoms tussen die algebraïese eienskappe van
die getallestelsel Z en die algebraïese eienskappe van die stelsel R[x] van alle reële
polinome. Jy moet die som en produk van rasionale funksies kan definieer en bereken,
asook die tien algebraïese eienskappe van R(x) kan noem. Vergelyk hoe dit
ooreenstem met die algebraïese eienskappe van die reële getalle.
Daar sal ‘n bespreking aangaande bogenoemde twee sake in die kontaksessie wees. Jy kan
jou eie aantekeninge daaruit saamstel.
Opdrag 22:
Cohen, Ex 4.7, bl 351
1, 3, 5, 11, 19, 21, 25, 35 en 38.
2
59

Leereenheid 3
Die oplossing van nr 38 sal deur die dosent verskaf word; die res van die antwoorde kan
agter in die handboek gevind word.
60

3.2 PARSIËLE BREUKE
Geskatte studietyd is 8 uur.
Aan die einde van die leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Ontbinding van ‘n rasionale funksie in parsiële breuke te definieer;
Leereenheid 3
• te kan bewys dat enige rasionale funksie onder sekere voorwaardes as die som van
rasionale funksies geskryf kan word;
• rasionale funksies in parsiële breuke te kan ontbind; en
• bogenoemde vir jou medestudente te kan verduidelik.
f ( x)
Dit is soms nodig om ‘n gegewe rasionale funksie te herskryf as die som van rasionale
gx ( )
funksies, onder andere by die integrasie van rasionale funksies wat jy in MATE 311 bespreek
sal word. Ons gaan nou tegnieke ontwikkel om die optellingsbewerking “om te keer” in die
sin dat ‘n rasionale funksie geskryf word as die som van eenvoudiger rasionale funksies, bv
2
x + 1 1 5 1 13 5
= +
x − 1 x + 1 2x + 3 x − 1 x 1 2x 3
− / /
+
( )( )( )
+ +
Ons noem dit ‘n ontbinding in parsiële breuke.
61

Leereenheid 3
• Die rede waarom dit nodig mag wees om ‘n gegewe rasionale funksie te skryf as die
som van rasionale funksies (ontbinding in parsiële breuke) is omdat dit soms makliker
is om sekere bewerkings uit te voer, soos om onder andere die som van die funksies te
integreer (in die derde jaar in WSKH 312) as die oorspronklike rasionale funksie. Sorg
dat jy die rasionaal hieragter verstaan.
• Ontbinding in parsiële breuke is nie altyd uitvoerbaar nie. Daar is sekere voorwaardes
wat moet geld alvorens so ‘n ontbinding gedoen kan word.
1. Beskou die volgende voorbeeld van optelling van breuke:
62
6 5 7
+ + 2
x − 3 x + 2 ( x + 2)
Tel nou self hierdie breuke bymekaar deur die KGV van die noemers te bepaal.
Die KGV is
( x − 3)(
x +
2
2)
Jy behoort ‘n antwoord te kry van
11x
2
+ 26x
− 27
( x − 3)(
x + 2)
t(
x)
• Daar bestaan ‘n manier waarop die rasionale funksie 2
2
( x + x + 2)
parsiële breuke ontbind kan word.
2
nog verder in
As jy kyk na die noemer van jou antwoord ( x − 3)(
x + 2)
, dan is die faktore daarvan
2
( x − 3),
( x + 2)
en ( x + 2)
. Die graad van elke term in die noemer is dus 1, en die
graad van die tellers is elkeen nul.
As ons dus vanaf die antwoord terugwerk, lyk die parsiële ontbinding soos volg:
2
11x
+ 26x
− 27 A B C
= + +
2
( x − 3)(
x + 2)
( x − 3)
( x + 2)
( x + 2)
Vermenigvuldig weerskante met die KGV:
Deur die oplos van gelyktydige vergelykings behoort jy te kry dat A = 6 , B = 5,
C = 7
2. Wat gebeur in die geval waar die graad van die noemer nie meer 1 is nie, maar dalk 2?
Beskou die volgende voorbeeld:
x(
x
4
x
+ 1
2
+ 1)
2
=
A Bx + C Dx + E
+ + 2
2 2
x x + 1 ( x + 1)
2
2

Leereenheid 3
Let op dat die teller se graad telkens een kleiner is as die noemer in die parsiële
ontbinding:
Gebruik gelyktydige vergelykings om hierdie onbekendes op te los:
• Let wel: die noemer moet eers volledig gefaktoriseer word alvorens parsiële ontbinding
gedoen word (kyk voorbeeld 1 in hierdie verband).
Gaan kyk gerus na die webadres: http://www.sosmath.com/algebra/pfrac/pfrac.html om meer
uit te vind aangaande parsiële breuke.
Laat ons nou na die boek van Cohen terugkeer en ondersoek instel na sy hantering van
hierdie onderwerp.
Cohen, Hoofstuk 7. par 7.7 en 7.8, bl 610 - 625.
Opdrag 23:
Cohen, Ex 7.7, bl 616
2, 8, 20, 24 en 26.
Cohen, Ex 7.8, bl 626
2, 4, 6, 10, 14, 38 en 40.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
63

Leereenheid 3
Hiermee is ook hierdie leereenheid dan nou afgehandel.
64

4 RYE EN REEKSE
Jy gaan ongeveer 28 uur benodig om hierdie leereenheid te bemeester.
Aan die einde van die leereenheid behoort jy:
• Lewenswerklike probleme te kan oplos aan die hand van rye en reekse;
• die som van eindige rekenkundige en meetkundige reekse te kan bepaal;
• intuïtief te kan bepaal of ‘n ry konvergent of divergent is; en
• die onderrig van rye en reekse op skoolvlak te kan fasiliteer.
Leereenheid 4
Rye is ‘n bepaalde soort versameling of ordening van getalle of waardes volgens ‘n sekere
reël of formule. Die waarde van elke element van die versameling is gekoppel aan sy plek in
die versameling – sodoende kan ons ‘n ry as ‘n soort funksie beskou en wel as ‘n funksie
waarvan die definisieversameling die natuurlike getalle, of ‘n deelversameling van die
natuurlike getalle met kleinste waarde 1 is. Die waardeversameling bestaan uit reële getalle.
‘n Reeks is die som van die elemente van ‘n ry.
65

Leereenheid 4
66
4.1 INLEIDING TOT RYE EN REEKSE
Jy gaan ongeveer 4 uur nodig hê om hierdie leergedeelte te bemeester.
Aan die einde van die leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Getalpatrone as rye en reekse te kan skryf;
• die terme van ‘n ry te kan bereken en grafies te kan voorstel;
• rekursief gedefinieerde rye te kan definieer;
• die sigmanotasie te kan gebruik in toepassings;
• die parsiële som van ‘n ry te kan bereken; en
• onderrig- en leerstrategieë wat toepaslik is om hierdie uitkomste te bereik, te
identifiseer, te motiveer en te demonstreer.
Bestudeer Cohen, Hoofstuk 9, par 9.3, bl 709 - 717.
Stewart, Hoofstuk 11, par 11.1, bl 821 - 832.

Leereenheid 4
Op skool het jy al so ‘n bietjie met rekenkundige en meetkundige rye en reekse kennis
gemaak. Ons gaan hersien wat ons nou nodig het en verdere konsepte en begrippe aan die
hand van voorbeelde ontdek en leer ken.
1. Wat neem jy waar in die bostaande figure?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Hierdie figure is ‘n visuele voorstelling van die ry ______________________________
3. Hoe sou jy ‘n ry definieer?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
4. Wat is die algemene term van hierdie ry? ____________________________________
5. Wat sal die 35ste term van die ry wees? _____________________________________
Sierpinski (1882 - 1969) het belangrike bydraes tot die getalteorie en versamelingsteorie
gelewer. Hy was ‘n hooffiguur in die wiskundegemeenskap in Pole wat vooruit gegaan het in
die tydperk tussen die twee wêreldoorloë. Hierdie figuur word na verwys as die Sierpinskidriehoek.
Tel die aantal donker driehoekies in elke fguur. Hoeveel donker driehoekies sal in
die twintigste figuur wees?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
67

Leereenheid 4
Bestudeer ook deeglik Voorbeeld 4 op bl 825 (Stewart) waar die Fibonacci-ry as ‘n rekursief
gedefinieerde ry beskryf word.
Vir elkeen van die volgende rye: Skryf die eerste vyf terme neer en bepaal ook die twintigste
term.
1. T is die ry gedefinieer deur t1 = 4 en ti+1 = ti + 9
_________________________________________________________________________
2.
68
t
1
= −5
en t = t + 2
i+
1 i
_________________________________________________________________________
3.
1 = t
3
en t
i+
1
1
t
=
i
_________________________________________________________________________
Opdrag 24:
Cohen, Ex 9.3, bl 717
1, 3, 5, 7, 15, 19 en 21.
Met behulp van GSP: 23, 25, 35, 37, 41, 43, 47, 51 en 63.
Opdragte sal ook uit Stewart gegee word.

4.2 REKENKUNDIGE RYE EN REEKSE
Jy gaan ongeveer 8 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Berekeninge met rekenkundige rye en reekse uit te voer; en
Leereenheid 4
• rekenkundige rye en reekse te gebruik om werklikheidsgetroue probleme op te los.
Bestudeer Cohen, Hoofstuk 9, par 9.4, bl 720 - 724.
Stewart, Hoofstuk 11, par 11.2, bl 833 - 838.
Rekenkundige reeks:
‘n Motor rem vanuit ‘n spoed 20 m/s. In die eerste sekonde beweeg dit 8 m. In die tweede
sekonde beweeg dit 4 m. In die derde sekonde beweeg dit 2 m. In die vierde sekonde
beweeg dit 1 m. As hierdie patroon aanhou, sal die totale afstand afgelê
_________________________________________________________ wees.
‘n Ry van getalle wat bymekaargetel word, word ‘n reeks genoem. Om die eerste tien terme
bymekaar te tel is nie te moeilik nie, maar ‘n algebraïese tegniek kan net nuttig wees.
As 9-jarige skoolseun het die Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) ‘n
eenvoudige verband raakgesien toe hy gevra is om die som van die eerste 100 getalle te
bepaal
1 + 2 + 3 + 4 +…….+ 98 + 99 + 100
69

Leereenheid 4
Sy oplossing: Hy het die reeks onder mekaar neergeskryf (die tweede een van groot na
klein) en opgemerk dat elke kolom dieselfde antwoord het:
Doen dit nou self:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Die som van elke kolom is 101. Daar is _______ kolomme. Dus, die som van die heelgetalle
100 × 101
1 tot 100 is . Hoekom deel ons deur 2?
2
Kan u nou ‘n formule aflei vir die som van ‘n rekenkundige reeks?
_________________________________________________________________________
Sigma-notasie
Kom ons gaan terug na die voorbeeld van die motor wat versnel. Die reeks kan soos volg
lyk: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +….+ 99.
Sulke uitdrukkings kan baie lank wees om uit te skryf, en daarom gebruik ons die sigmanotasie.
Sigma, geskryf as Σ , is ‘n Griekse letter wat beteken “die som van”.
In bogenoemde reeks is die algemene term (2i + 1), en daar is 49 terme in die reeks.
Hoekom? Verduidelik dit vir jou medestudent.
Die reeks kan nou soos volg daar uitsien: ∑ ( 2i
+ 1)
i=
Opdrag 25:
Cohen, Ex 9.4, bl 724
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 24 en 26.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
70
49
1

4.3 MEETKUNDIGE RYE EN REEKSE
Jy gaan ongeveer 8 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Berekeninge met meetkundige rye en reekse uit te voer; en
Leereenheid 4
• meetkundige rye en reekse te gebruik om werklikheidsgetroue probleme op te los.
Bestudeer Cohen, Hoofstuk 9, par 9.5, bl 726 - 730.
Stewart, Hoofstuk 11, par 11.3, bl 838 - 847.
Meetkundige reeks:
Mnr Skat Ryk deponeer R2 000 in ‘n bank wat 7% rente jaarliks betaal. Hoe kan jy die balans
aan die einde van die eerste jaar bereken?
Voltooi nou die tabel hieronder:
Tydsverloop
(jaar)
Balans
0 1 2 3 6
71

Leereenheid 4
Wat is die balans na 10 jaar? __________________________________________________
Skryf nou die boonste reeks in sigma-notasie: _____________________________________
Hierdie reeks is ‘n voorbeeld van meetkundige progressie waarin elke term toeneem met ‘n
konstante veelvoud of verhouding – in hierdie geval 1,07.
Ons kan ook die som van ‘n meetkundige reeks bepaal, maar dit is nie so voor-die-handliggend
soos die sommering van ‘n rekenkundige reeks nie.
Om dit te vereenvoudig, ignoreer die 2000 en beskou die som van die reeks
72
S
=
2 3
1 , 07 + 1,
07 + 1,
07 + .... +
1,
07
Vermenigvuldig beide kante met die verhouding 1,07, dit is
2 3 4
1 , 07S
= 1,
07 + 1,
07 + 1,
07 = ... +
10
1.
07
en trek dan die oorspronklike reeks af daarvan:
1,
07
0,
07
S =
S =
1,
07
1,
07
+ 1,
07
S = −1,
07
2
2
+ 1,
07
+ 1,
07
3
3
+ 1,
07
+ 1,
07
4
4
11
+ ... + 1.
07
+ ... + 1,
07
10
10
+ 1,
07
1,
07
Maak S nou die onderwerp van die formule:
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
In die algemeen, vir ‘n meetkundige reeks met eerste term a en konstante verhouding r, geld
dat:
n
n
i−1
⎛ r −1⎞
ar = a⎜
⎟
⎝ r −1
⎠
Opdrag 26 A:
∑
i=
1
Cohen, Ex 9.5, bl 730
2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 24, 26 en 30.
11
11

Opdrag 26 B:
1. Bepaal die som van die volgende reekse:
(a) 4 + 9 + 14 + 19 +….+199
(b) 8 + 4 + 2 + 1 + ½ +… (10 terme)
Leereenheid 4
2. ‘n Terras langs die skool se rugbyveld bestaan uit ‘n reeks van 15 trappe wat 50 m lank
is en van soliede sement gebou word. Elke trap het ‘n hoogte van ¼ meter en ‘n
loopvlak van ¾ meter. Deur die area onder die trap uit werk, en sodoende ‘n reeks te
vorm, bereken die totale volume sement wat nodig is om die terras te bou.
3. Volgens ‘n legende het die Sjah van Iran ‘n beloning aangebied aan die burger wat
hom aan skaak bekend gestel het. Al wat die landsburger gevra het, was ‘n aantal
korrels rys volgens die reël:
1 korrel op die eerste blokkie, 2 korrels op die tweede blokkie, 4 korrels op die derde
blokkie, 8 korrels op die vierde blokkie, ensovoorts.
(a) Hoeveel korrels rys het hy gevra?
(b) As elke korrel rys 0,02 g weeg, wat is die gewig van die rys wat hy gevra het?
4. In 'n sekere Bosbou-kamp word die stompe gevorm uit afgekapte bome só opgestapel
dat daar in elke laag van die stapel een stomp minder is as in die daaropvolgende laag:
laag 2
laag 3
laag 1
4.1 Indien jy gevra word om die totale aantal stompe in die stapel te bereken, sou jy
van 'n meetkundige reeks of van 'n rekenkundige reeks gebruik maak?
Motiveer jou antwoord.
4.2 Gestel daar is 19 lae in die stapel. Bereken die totale aantal stompe in die stapel
deur van 'n toepaslike formule gebruik te maak.
4.3 Indien die stapel 136 stompe bevat het, bepaal hoeveel lae die stapel sou hê.
5. 'n Rubberbal word laat val en word toegelaat om te bons totdat dit tot stilstand kom.
Die bal bons die eerste keer 90 cm hoog, en met elke opeenvolgende bons hop dit
terug tot 'n driekwart van die hoogte wat dit die vorige keer bereik het.
5.1 Toon aan of ons hierdie situasie met 'n rekenkundige of met 'n meetkundige ry
kan voorstel. Motiveer jou antwoord duidelik.
__________________________________________________________________________
5.2 Bere ken die hoogte wat die bal bereik gedurende die 4de bons.
__________________________________________________________________________
73

Leereenheid 4
74
5.3 Bereken hoeveel keer die bal bons voordat dit 'n hoogte van 16,018 cm bereik.
_________________________________________________________________________
5.4 Bereken die totale afstand wat dit afgelê het as dit tien keer gebons het.
_________________________________________________________________________
5.5 Bereken die totale afstand wat die bal beweeg totdat dit tot stilstand kom.
_________________________________________________________________________
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.

4.4 RYE WAT NIE REKENKUNDIG OF
MEETKUNDIG IS NIE
Jy gaan ongeveer 4 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
Leereenheid 4
• Rye waar daar nie ‘n konstante verskil of konstante verhouding voorkom nie, te kan
identifiseer en die algemene term daarvan te kan bepaal.
Bestudeer Stewart, bl 847 - 848.
‘n Addisionele klasopdrag sal ook voorsien word.
75

Leereenheid 4
76
4.5 ONEINDIGE RYE EN REEKSE
Jy gaan ongeveer 4 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Aan die einde van die leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• ‘n Oneindige ry te herken en te definieer;
• die limiet van die ry intuïtief te kan bepaal;
• rye grafies te kan voorstel;
• te kan bepaal of rye monotoon is, stygend of dalend is, of dit bo- of onder begrens is;
en
• oneindige meetkundige reekse te herken en hul konvergensie te kan bepaal.
Studiegids.
Die limietbegrip
Die aantal driehoeke in Sierpinski se driehoek, ‘n bankbalans waarby die rente maandeliks
toegevoeg word en stygende rye en reekse het terme wat groter en groter word. Is daar ‘n
limiet vir hoe hoog ‘n boom kan groei? Kan mense aanhou om vinniger en vinniger te
hardloop en hoër te spring? As jy byvoorbeeld die temperatuur van jou “hot chocolate” in
een-minuut intervalle neem, sal hierdie “ry” van temperature die temperatuur van die kamer
nader. Rye wat stadig ophou om te verander, sê ons het limiete. Teken ‘n grafiek van hoe jy
dink die temperatuur geleidelik sal afneem. Ons sê die temperatuur “konvergeer” na ‘n
bepaalde temperatuur – in hierdie geval kamertemperatuur.

Leereenheid 4
Let ook op na die verduideliking van die konsep limiet wat met behulp van voorbeelde op bl
740 verduidelik word. Jy het hierdie konsep al op verskeie ander terreine van die wiskunde
mee kennis gemaak.
Die volgende diagram illustreer die oneindige meetkundige reeks:
(a) Bepaal die som van die meetkundige reeks ___________________________________
(b) Hoe kan jy die resultaat direk uit die diagram waarneem?
Let op: As | r | < 1,
dan is daar ‘n som tot oneindigheid van
a
1−
r
As | r | ≥ 1,
dan divergeer die reeks, en kan die som dus nie bepaal word nie.
77

Leereenheid 4
Die definisie van die limiet van ‘n ry word op bl 739 (Stewart) gegee.
Beskou bostaande figure. Sien jy die verband tussen ‘n ry wat ‘n limiet het en ‘n ry wat
konvergeer? Skryf hierdie verband neer – in jou eie woorde as jy kan. Vergelyk jou
beskrywing met dié van die ander lede van jou studiegroep. As julle probleme het, bring dit
saam na die volgende kontaksessie vir bespreking.
Werk deur die verduideliking en grafiese voorstelling van limiete op bl 739 - 740.
Hier is nog enkele grafiese voorstellings van oneindige rye:
• Konvergente rye:
A
78

Die waardes kom nader en nader aan ‘n vaste waarde.
B.
Leereenheid 4
Die waardes van hierdie konvergente ry ossilleer heen en weer rondom ‘n bepaalde
waarde.
Divergente rye:
A.
Die ry divergeer na ∞
+ . Die waardes groei in grootte, en word uiteindelik oneindig
groot.
79

Leereenheid 4
80
B.
Die ry is beide ossillerend en divergent.
C.
Hierdie ry is periodies. ‘n Stel waardes word herhaal met gereelde intervalle.

Leereenheid 4
Bestudeer die volgende twee voorbeelde aangaande oneindige meetkundige rye en reekse
aandagtig:
∑ ∞
n 1−n
2 ⋅3
1. Beskou die reeks n=
1
1.1 Kan hierdie as 'n meetkundige reeks beskou word?
Indien wel, skryf die algemene term in die standaardvorm vir die algemene term
van 'n meetkundige reeks.
∞ ∞ n 1 ∞
n 1−n
2 ⋅ 3 ⎛2⎞ ∑2 ⋅ 3 = ∑ = 3
n ∑ ⋅⎜ n 1 n 1 3 n 1 3
⎟
= = = ⎝ ⎠
∞
n−1
2⎛2⎞ = ∑ 3 ⋅
n 1 3
⎜
3
⎟
= ⎝ ⎠
∞ n−1
∞
⎛2⎞ = ∑2⎜ en dit is die vorm a r
n= 1 3
⎟
∑ ⋅
⎝ ⎠
n=
1
∴Dit
is ' n meetkundige reeks
1.2 Konvergeer hierdie reeks? Gee 'n rede vir jou antwoord.
n
2
Ja. r = en dit is kleiner as 1. Per definisie konvergeer die reeks dus.
3
1.3 Bepaal die som van hierdie reeks.
Vir konvergente oneindige meetkundige reekse geld : s
2
∴ s∞
=
2
1− 3
= 2× 3
=
6
∞
a
=
1−
r
n−1
81

Leereenheid 4
‘n Klasopdrag sal in die klas voorsien word.
Die oplossings sal deur die dosent verskaf word.
82

5 FINANSIËLE WISKUNDE
Jy gaan ongeveer 24 uur nodig hê om hierdie leereenheid te bemeester.
Leereenheid 5
Aan die einde van die leereenheid behoort jy in staat te wees om jou kennis
van meetkundige reekse toe te pas ten einde:
• Saamgestelde rente en kontinu toegevoegde rente te kan bereken;
• die waarde van n te kan bereken in die formule ( 1 ) n
A= P ± i deur van logaritmes
gebruik te maak;
• annuïteite te kan bereken;
• terugbetaling van lenings te kan bereken;
• delgingsfondse te kan bereken; en
• amorteriseringskedules te kan uitwerk deur onder ander van MS Excel gebruik te
maak.
Pirnot, T.L Hoostuk 11 (Sien bylaag);
Stewart, par 4.1 en 11.4.
83

Leereenheid 5
84
5.1 SAAMGESTELDE RENTE EN KONTINU
TOEGEVOEGDE RENTE
Jy gaan ongeveer 8 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Enkelvoudige, saamgestelde rente en kontinu toegevoegde rente te kan bereken;
• die begrip saamgestelde rente uit te brei na die berekening van effektiewe koers; en
• renteprobleme te kan oplos wat die toepassing van logaritmes vereis.
Bestudeer Leesbundel (Pirnot) par 11.2
Stewart, bl 334 - 336.
Bestudeer eers deeglik die volgende twee voorbeelde as ‘n direkte toepassing van
meetkundige rye:
VOORBEELD 1
Gestel Samuel deponeer R2 000 in 'n spaarrekening teen 'n jaarlikse rentekoers van 8%.
Bereken hoeveel geld hy na 10 jaar sal hê indien hy geen onttrekkings maak of deposito’s
byvoeg nie.

Leereenheid 5
Ons kan y = ab x of die bekende formule vir saamgestelde rente gebruik:
S = A(1 + r) n = 2000(1 + 0,08) 10 = 4317,85
Hoeveelhede wat teen 'n konstante persentasie groei, soos in 'n spaarrekening, het
eksponensiële groei.
Rente as Eksponensiële groei:
Enige konstante persentasie groei agv saamgestelde rente kan deur die vergelyking:
y = A(1 + r%) x -------------(1)
gemodelleer word, met A die beginwaarde, r die rentekoers, x die aantal tydperiodes verloop
en y die finale waarde.
r
Met ander woorde, b = 1 + r% = 1 + is die groeifaktor.
100
Let wel: Die formules se simbole kan van handboek tot handboek verskil. In die algemeen
gebruik die Engelse handboeke die formule , waar
VOORBEELD 2
A = aangegroeide bedrag na t jaar
P = begin- of aanvangsbedrag
r = rentekoers per jaar
t = aantal jaar
Veronderstel rente word nie jaarliks toegevoeg nie, maar bv maandeliks, kwartaalliks ens.
Veronderstel jy belê R500 in ‘n spaarrekening teen 6% rente jaarliks, en rente word
kwartaalliks toegevoeg:
Aan die einde van die eerste 3 maande het jy _____________rente.
Jy begin dus die volgende 3 maande met: ____________________
Aan die einde van die tweede kwartaal het jy __________ rente.
Om ‘n patroon te kry, kyk hoe jy uitkom by R 507,50:
500 + 500(0.015) = = 500(1+ 0.015) = 500(1,015) na die eerste kwartaal.
Deur die berekening te herhaal vir die tweede kwartaal:
500(1,015) + 500 (1,015)(0,015) = _________________
Jy kry dus eintlik ‘n meetkundige reeks met eerste term 500 en ‘n gemene verhouding van
1,015:
500, 500(1,015), 500(1,015) 2 , 500(1,015) 3 , ________________
Na 10 jaar sal die bedrag dus wees: __________________
Die reeks divergeer dus, aangesien die gemene verhouding groter is as 1. Hierdie feit is
nuttig in die werklike lewe, aangesien dit bankiers bewus moet maak van geld wat in
dormante rekenings gehou word. As die $500 wat deur George Washington in die bank belê
is die jaar toe hy dood is, 1799, sou sy erfgename meer as $106 000 000 in 2005 kon eis!!!
85

Leereenheid 5
Bogenoemde formule verander nou na:
86
, waar die simbole dieselfde betekenis het as bo, en n =aantal kere per jaar
wat rente toegevoeg word.
Bestudeer Voorbeeld 9 in Stewart, bl 335.
Sien jy wat gebeur as n onbepaald toeneem? Kies bv die waardes10,100,1000,10 000 ens.
vir
Dis reg, die hoeveelheid nader die getal , dus die bedrag nader die waarde
Werk nou ook deur Voorbeeld 9 in Stewart, bl 336.
Enkele definisies/ begrippe
Rente
Rente is die geld wat uitbetaal word op ‘n belegging of spaargeld
Enkelvoudige rente: of [Beskou dus ]
Hier word ‘n vaste bedrag rente elke jaar by die kapitaal, of beginbedrag bygevoeg. Geen
rente word dus op die vorige jaar se rente verdien nie.
Saamgestelde rente:
Aan die einde van die elke jaar (of tydperk)word rente by die beginbedrag van die vorige jaar
gevoeg. Daar word dus elke jaar (of tydperk) rente op die vorige jaar se rente verdien
Verklaring van simbole
A: die eindbedrag voor (of soms F vir Future value)
P: die beginbedrag wat geleen of belê word
: die rentekoers as ‘n desimale waarde bv as die rentekoers ,dan is
, terwyl in die tweede formule r as 6 gebruik word.
tydperk in jare ( kan ook aantal saamgesteld periodes wees)
Waardevermindering
Masjinerie,voertuie en toerusting se waarde verminder jaarliks as gevolg van gebruik en
sallater vervang moet word. Hierdie daling in die waarde van ‘n bte word
waardevermindering genoem. Depresiasie of waardevermindering kan op twee maniere
geskied
Reguitlyn depresiasie (Straight line depreciation): Enkelvoudige negatiewe groei formule
Met hierdie metode word die waarde van die bate elke jaar met dieselfde bedrag verminder
totdat dit ’n boekwaarde van nul het

Leereenheid 5
Waardevermindering op die verminderde saldo-metode/ Depreciation on a reducing
balance method
Huidige waarde
Om die huidige waarde van ‘n belegging te bereken: Bestudeer voorbeeld 3 en voorbeeld 6,
Leesbundel par 11.2 (Pirnot).
Effektiewe koers
As P rand vir ‘n jaar belê word teen ‘n nominale koers van 10% rente, maandeliks
toegevoeg, sal die aanvanklike bedrag meer as 10% verdien.
Die saamgestelde rente word bereken as die verskil tussen die aangegroeide bedrag en die
aanvangsbedrag:
Wat ongeveer 10,38% van P is. Dit beteken 10,38% is die benaderde rentekoers wat jaarliks
toegevoeg word en wat in werklikheid verdien word. Dié koers word genoem die effektiewe
rentekoers. In die algemeen is die effektiewe rentekoers net die koers van enkelvoudige
rente wat oor ‘n periode van ‘n jaar verdien word.
Opdrag 27:
Stewart: Oefening 4.1, nr 76a, 78b, 80 en 81.
Leesbundel, Oef 11.2 nr 9, 18, 20,24.
87

Leereenheid 5
88
5.2 ANNUÏTEITE EN DELGINGSFONDSE
Jy gaan ongeveer 8 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Die konsep van ‘n annuïteit te kan verduidelik;
• ‘n meetkundige reeks toe te pas in die modellering van huidige en toekomstige waarde
van annuïteite; en
• paaiemente te bepaal wat in ‘n delgingsfonds gestort word.
Bestudeer Leesbundel par 11.4 (Pirnot)
Stewart, par 11.4.
Daar is heelwat finansiële transaksies wat gereelde paaiemente behels, bv: As jy ‘n huis
koop, wat behoort jou maandelikse paaiement te wees ten einde die huis oor 20 jaar af te
betaal? Sodanige situasie behels die som van ‘n ry getalle, en dus maak ons van
Leereenheid 4 gebruik om hierdie tipe vrae te beantwoord.

Annuïteite
Wat is ’n annuïteit?
Leereenheid 5
‘n Annuïteit is ‘n bedrag geld wat in gereelde paaiemente betaal word. Alhoewel die woord
annuïteit (annuity) ’n jaarlikse paaiement veronderstel, kan dit ook halfjaarliks, kwartaalliks of
maandeliks gedoen word. Die bedrag van ‘n annuïteit is die som van al die individuele
paaiemente oor die tydperk, ingesluit die rente. Die begrip van ‘n annuïteit berus op die
beginsel van ‘n meetkundige reeks (sien leergedeelte 4.3).
‘n Toekomstige waarde annuïteit is wanneer gereelde gelyke paaiemente in ‘n belegging of
spaarrekening gemaak word om sodoende kapitaal op te bou. Saamgestelde rente word
betaal op die fondse. Die waarde van die fonds aan die einde van ‘n spesifieke tydperk
( kan bepaal word deur
Hierdie formule word ook ín sommige handboeke gebruik as
Kyk of jy die ooreenkomste tussen die twee formules kan sien.
Bestudeer Voorbeeld 1 en 2 in Stewart, bl 848 om die toekomstige waarde van ‘n annuïteit te
bepaal, asook Voorbeeld 2, Leesbundel par 11.4.
Die huidige waarde van ‘n annuïteit
In hierdie geval word geld terugbetaal deur gereelde, gelyke paaiemente. Die lening sowel
as die rente word gelyktydig terugbetaal. Hierdie metode word gebruik by lenings soos
huislenings waar die rente bereken word op die verminderde saldo. Die huidige waarde ( )
van die lening kan bepaal word deur
89

Leereenheid 5
Bestudeer Stewart, bl 850 - 851 asook Voorbeeld 3 sodat jy vir jou klasmaat kan verduidelik
hoe om die huidige waarde van ‘n annuïteit te bepaal.
Verkry toegang tot die internet en bestudeer die volgende:
www.mathsandscience.com/G%2012%20Maths%20samples/G%2012%20Maths%20Power
Point%20sample.ppt
Delgingsfondse
‘n Delgingsfonds is ‘n fonds wat daargestel word om ‘n bate aan die einde van sy leeftyd te
vervang. ’n Bate se boekwaarde is die waarde nadat waardevermindering in berekening
gebring is. Die boekwaarde van ‘n bate aan die einde van sy bruikbare leeftyd word die
sloopwaarde/ skrootwaarde (scrap value) genoem. Maandeliks word ’n sekere bedrag belê
totdat die bate aan die einde van sy leeftyd vervang kan word.
Begin dus vroegtydig ‘n gereelde paaiement te spaar om voorsiening te maak van nuwe
toerusting in die toekoms.
Bereken x in die Toekomstige waardeformule
Werk noukeurig deur voorbeeld 3 (par 11.4) in die Leesbundel
90

Opdrag 28:
Stewart, Oef 11.4 nr 2, 5, 8, 10
Leesbundel Oef. 11.4 nr 14, 18, 20, 22, 24, 26, 36, 40
‘n Klasopdrag sal ook in die klas gedoen word
Leereenheid 5
91

Leereenheid 5
92
5.3 LENINGS EN VERBANDTERUGBETALINGS
Jy gaan ongeveer 8 uur nodig hê om die leergedeelte te bemeester.
Na afhandeling van hierdie leergedeelte behoort jy in staat te wees om:
• Die terugbetaling van huislenings te bepaal; en
• amorteriseringskedules op te stel met behulp van MS Excel.
Bestudeer die Leesbundel, par 11.5
Stewart, bl 851 - 852.
Amortisering
Die proses van die betaling van ‘n lening, bv ‘n huislening, staan bekend as amortisering, en
sodanige lening staan bekend as ‘n amortiseringslening. As jy geld by die bank leen om ’n
motor te koop, kan ons op twee maniere daarna kyk:

Leereenheid 5
Die bank beskou dit as ‘n toekomstige waarde probleem: Hulle leen vir jou R100 000 om ’n
motor te koop. Vir hulle is jy ‘n “belegging” wat rente verdien oor sê bv 4 jaar: Die
toekomstige waarde van die belegging is dus
Van jou kant: Jy kan (vir die oomblik) die kwessie van maandelikse paaiemente ignoreer en
kies om die bank in een paaiement aan die einde van die 4 jaar terug te betaal. Ten einde dit
te doen, moet jy geld in ‘n delgingsfonds stort om die geld aan die einde van die 4 jaar
beskikbaar te hê.
Dus: of
Om die maandelikse paaiement te bereken:
Bestudeer Voorbeeld 4, 5 en 6 in Stewart asook Voorbeeld 1, par 11.5 (Leesbundel)
Opdrag 29:
Leesbundel Oef 11.5 nr 6, 12, 16 en 18
Daar sal ook gedurende die kontaksessie ‘n amorteriseringskedule opgestel word met
behulp van MS Excel. Bestudeer in hierdie verband Voorbeeld 2 en 3, par 11.5 (leesbundel)
93

Leereenheid 5
Baie sterkte vir die eksamen.
Ons hoop dat jy hierdie module aangenaam en verrykend gevind het.
Ten slotte: Indien jy enige aanbevelings het ten opsigte van hoe ons hierdie studiegids beter
sou kon maak, kan jy dit gerus aanstuur na die dosent se e-posadres.
Enige ander kommentaar oor die kursus MATE 221 is ook baie welkom.
Dit was ’n plesier om die module met jou mee te maak.
Met komplimente en beste wense vir die res van jou studies.
Die skrywers.
94