Een Elektro-Anatomisch Model van de Cochlea - Universiteit ...

Universiteit Antwerpen
Faculteit Wetenschappen
Departement Natuurkunde
Een Elektro-Anatomisch Model van de
Cochlea
een studie van de resistiviteiten en randvoorwaarden met behulp
van eindige elementen analyse
Proefschrift voorgelegd tot het behalen van de graad van
Licentiaat in de Natuurkunde
aan de Universiteit Antwerpen
te verdedigen door
Joris A.M. Soons
Promotor: Prof. Dr. S. Peeters
Copromotor: Dr. F. Vanpoucke
2006-2007

W O O R D V O O R A F
Het schrijven van deze thesis was voor mij de laatste stap in het behalen
van het diploma ‘Licenciaat in de Natuurkunde’. Toen ik 4 jaar geleden aan
deze studie begon, stond ik voor een grote onbekende poort. Veel zweet,
bloed en tranen later en ondertussen ook gekozen om meer de biomedische
en medische fysica te bestuderen, moest er opnieuw een keuze gemaakt
worden, de thesis.
Ik koos voor dit onderwerp, ‘een computermodel van de cochlea’, omdat
het mij wel interessant leek iets ‘toegepast’ te doen, ik kreeg geen ongelijk...
Ik vond het een geweldige ervaring om de theoretische kennis die ik in
de voorbije jaren had opgebouwd, via de computer om te zetten naar iets
‘tastbaars’. Ik vond het in ieder geval zeer boeiend. Ik hoop dat ik U als
lezer dezelfde ervaring kan bezorgen.
Vooraleer we naar de wereld van de cochleaire implantaten vertrekken,
zijn er een aantal mensen die ik graag zou willen bedanken. Vooral eerst
mijn co-promotor, Dr. F. Vanpoucke, die tussen zijn drukke bezigheden als
onderzoeker mij begeleidde met tips, opmerkingen en eventueel interessante
research topics. Hij liet mij echter ook zelfstandig achter oplossingen
zoeken. Mijn promotor, Prof. S. Peeters, die mij dit interessante onderwerp
aanreikte en mij van de noodzakelijke infrastructuur gebruik liet maken.
Verder zou ik ook mijn ouders willen bedanken. Niet alleen omdat ze mij
‘gesubsidieerd’ hebben, maar ook voor hun geweldige steun. Ze stonden
op alle momenten voor me klaar. Ook mijn broers verdienen een bedankje
voor hun aanmoedigingen.
Ten slotte nog een woordje van dank aan allen die ik hierboven ‘vergeten’
ben, klasgenoten, kotgenoten en andere studiegenoten. Zij hielpen mij vaak
verder met studieproblemen, maar dankzij hen zal ik ook altijd terugkijken
naar een geweldige ‘studententijd’.
i
Joris Soons
29 mei 2007
jorissoons@hotmail.com

I N H O U D S O P G AV E
1 Inleiding 1
I Literatuurstudie 4
2 Anatomie en Fysiologie van het oor 5
2.1 Fysica van het geluid 6
2.2 Het Buiten- en Middenoor 6
2.3 Het Binnenoor 7
2.3.1 Vestibulair orgaan 8
2.3.2 Cochlea 9
2.3.3 De zenuwcel 11
2.3.4 Codering en verwerking van de geluidsprikkel 13
2.3.5 Elektrische eigenschappen 14
2.4 Cochleaire Implantaten 14
2.4.1 Korte Geschiedenis 14
2.4.2 Technologie 15
3 Micro-CT 20
3.1 Werking 21
3.2 Data en verwerking 22
3.3 Segmentatie 25
4 Fysica van de elektrische vergelijkingen 27
4.1 Van Maxwell naar PDE 28
4.2 Geometrie 29
4.3 Materiaaleigenschappen, subdomein 30
4.4 Randen en interfaces, de randvoorwaarden 31
5 Eindige Elementen 32
5.1 De Eindige elementen methode 33
5.1.1 Integraalvergelijking 34
5.1.2 Reduceren van de orde 34
5.1.3 Eindige elementen benadering 34
5.1.4 Integreren over de elementen 35
5.1.5 Opstellen algemene vergelijking 36
5.1.6 Randvoorwaarden 38
5.1.7 Oplossing 38
5.1.8 Fluxen 39
ii

Inhoudsopgave
5.2 Interpolatie over de elementen en het maken van een mesh
40
5.2.1 Lineaire basisfuncties 40
5.2.2 Kwadratische basisfuncties 42
5.2.3 Twee en drie dimensionale elementen 42
5.2.4 Hogere orde continuïteit 44
5.2.5 Triangulaire elementen 46
5.3 Eindige Elementen, Uitbreiding 49
5.3.1 Een minder ideale vergelijking 49
5.3.2 Twee en drie dimensionaal 49
5.3.3 Integralen en Gaussische kwadratuur 51
5.3.4 De nauwkeurigheid van FEM 51
5.3.5 Convergentie en numerieke stabiliteit 52
5.3.6 Inverteren van matrices 52
5.3.7 Finite Difference (FDM) 53
5.4 Eindige Elementen Analyse 54
5.4.1 Preprocessing 54
5.4.2 Oplossen 55
5.4.3 Postprocessing 55
5.5 Besluit 56
II Modelleringswerk 57
6 Eenvoudig lineair model 58
6.1 Beschrijving 59
6.1.1 Geometrie 59
6.1.2 Mesh 59
6.1.3 Materiaaleigenschappen en randvoorwaarden 59
6.2 Resultaten en Bespreking 62
6.3 Besluit 67
7 Cilindrisch Activatiemodel 68
7.1 Activatiefunctie 69
7.2 Beschrijving 70
7.2.1 Geometrie 70
7.2.2 Mesh 71
7.2.3 Materiaaleigenschappen en Randvoorwaarden 72
7.3 Resultaten en Bespreking 72
7.3.1 Potentiaalverdelingen 72
7.3.2 Activatiefunctie 73
7.4 Besluit 77
8 Elektro-anatomisch model 78
iii

Inhoudsopgave
8.1 Beschrijving 79
8.1.1 Geometrie 79
8.1.2 Mesh 79
8.1.3 Materiaaleigenschappen en Randvoorwaarden 80
8.2 Experimentele resultaten uit EFI 82
8.3 Resultaten(1) 85
8.3.1 Waarden uit de literatuur 85
8.3.2 Het aanpassen van de parameters 87
8.4 Enkele theoretische aspecten 91
8.4.1 Kleinste kwadraten 91
8.4.2 Minimaliseren 92
8.5 Resultaten(2): fitten van de parameters 93
8.5.1 Situatie 1: drie parameters 93
8.5.2 Situatie 2: drie parameters 94
8.5.3 Situatie 3: zeven parameters 95
8.6 Besluit 96
9 Samenvatting en Besluit 98
III Appendices 101
a Terug projectie 102
b Stroompaden in het lineair model 104
c Praktische Handleiding tot het bekomen van de geometrie van het
elektro-anatomisch model 106
c.1 Voorgaand werk 106
c.2 Hersegmenteren 110
c.3 Loften en importeren 111
d Praktische Handleiding over het verder oplossen van het elektroanatomisch
model 113
d.1 Het aanmaken van een FEM structuur 113
d.2 Het parameteriseren en variëren in matlab 113
e Overzicht oplossingen elektro-anatomisch model 116
e.1 Oplossingen uit subsectie 8.5.1 116
e.2 Oplossingen uit subsectie 8.5.2 119
e.3 Oplossingen uit subsectie 8.5.3 122
f Lijst met Afkortingen 126
iv

I N L E I D I N G
Het doel van deze thesis is om de werking van de elektrische stimulatie
van de gehoorzenuw bij cochleaire implantaten beter te begrijpen 1 . Dit zal
gebeuren door het maken van een wiskundig eindige elementen computermodel.
Hieruit zal dan de elektrische geleiding berekend worden. In
deze thesis zal weinig aandacht besteed worden aan de eigenlijke activatie
van de zenuwen (en de gewaarwording bij het horen). De aandacht zal in
eerste instantie uit gaan naar het opbouwen van een realistische geometrie,
die afkomstig zal zijn uit micro-CT beelden 2 , en het kiezen van de juiste
materiaaleigenschappen en randvoorwaarden in het binnenoor. Uit dit
nauwkeurige volume geleidingsmodel kan men dan in verder onderzoek
de activatie bereken (zie figuur 1.1).
Het uiteindelijke elektro-anatomisch model uit hoofdstuk 8 heeft enkele
Figuur 1.1: Een weergave van het volledige model van de cochleaire stimulatie.
Wij beperken ons (behalve in hoofdstuk 7) tot het bepalen
van een goed volume-geleidingsmodel van de cochlea. (uit [7])
‘vernieuwende’ aspecten ten opzichte van de modellen besproken in de
literatuur (Briaire et al. 2005[5], Frijns et al. 1995[7], Tognola et al. 2007[29],
Whiten 2007 [37]):
• Het is gebaseerd op micro-CT beelden.
• Het model kan patiënt specifiek gemaakt worden door het te ‘kalibreren’
met in vivo resultaten.
1 Deze cochleaire implantaten zorgen bij dove mensen voor een gewaarwording van geluid.
Dit gebeurt door de auditieve zenuwen rechtstereeks te prikkelen. Het resultaat verschilt
vaak per patiënt (al dan niet spraak verstaan). Daarom is verder onderzoek, en het maken
van een wiskundig model, noodzakelijk.
2 Aangezien de geometrie van het model (rechtstereeks) verkregen is uit een echte anatomie,
noemt men dit een elektro-anatomisch model.
1
1

HOOFDSTUK 1. INLEIDING
• Het is een (realistisch) eindige elementen model (snelle berekeningen).
Een goed patiënt specifiek model is zeer nuttig, de resultaten van cochleaire
implantaten blijken immers sterk verschillend te zijn. Wat hier juist
de oorzaken van zijn, is nauwelijks geweten (laat staan dat men dit kan
voorspellen).
Voordat ik tot dit uiteindelijke computermodel in hoofdstuk 8 zal komen,
bespreek ik eerst zaken die ik ’inleidend’ bestudeerd heb. In dit hoofdstuk
geef ik nog even aan hoe de volgende delen in het plaatje van mijn thesis
zullen passen.
Het eerste deel is een literatuurstudie. Dit is een samenvatting van de informatie
die ik in de literatuur heb opgezocht en die min of meer noodzakelijk
is voor het maken van het model. Ze handelt over zowel ’encyclopedische
kennis’ (anatomie, cochleaire implantaten,...) als over ’technische kennis’
(eindige elementen, CT,...). Dit deel bestaat uit de volgende hoofdstukken.
In hoofdstuk 2 wordt de anatomie en fysiologie van het oor besproken. De
anatomie van het oor zal belangrijk zijn, niet alleen omdat dit noodzakelijk
is om op de CT beelden de juiste segmentatie 3 te maken, maar ook om de
juiste randvoorwaarden te kunnen inschatten. De fysiologie zal eerder informatief
bedoeld zijn, ‘Hoe werkt het gehoor in normale omstandigheden?’
Verder bevat dit hoofdstuk ook een inleiding over cochleaire implantaten,
‘Hoe kunnen deze sommige doven terug helpen horen?’
Hoofdstuk 3 zal handelen over CT. Eerst wordt deze hoge resolutie beeldvormende
techniek bondig beschreven. Vervolgens leg ik kort de visualisatie
uit die gebruikt zal worden om de spirale cochlea te segmenteren, namelijk
met dwarsdoorsnedes loodrecht op het labyrinth.
In hoofdstuk 4 zal er een korte inleiding gegeven worden over de fysica
van het elektromagnetisme, en in het bijzonder over die van de geleidende
materialen. Buiten de differentiaalvergelijking wordt er ook aandacht
besteed aan de mogelijke randvoorwaarden en interne interfaces die we
zullen gebruiken bij het maken van een elektrisch model.
Hoofdstuk 5 zal handelen over de eindige elementen methode. Hiermee
kan men numeriek differentiaalvergelijkingen oplossen op complexe geometrieën,
zoals de cochlea. Verder geef ik ook enkele praktische technieken
die men in het oog moet houden bij eindige elementen analyses.
Het tweede deel van dit werk bespreekt enkele zelfgemaakte eindige elementen
modellen.
Hoofdstuk 6, Het lineaire model: dit model is een eerste, eenvoudig voorbeeld
van een eindige elementen modellering. Met lineair wordt bedoeld
3 Segmenteren is de techniek waarbij uit beeldinformatie een geometrie (of meerdere) wordt
opgebouwd. Zo zal men bv in de cochlea, de zenuwkanalen en het perilymph een verschillende
geometrie (subdomein) maken (zie hoofdstuk 3
2

HOOFDSTUK 1. INLEIDING
dat het labyrinth, die normaal een opgerolde slakkenhuis-achtige structuur
heeft, wordt ‘afgerold’ en bestudeerd als een cilinder. Op deze vereenvoudigde
geometrie zal de impact van geleidbaarheden en randvoorwaarden
op de potentiaalverdeling besproken worden.
Hoofdstuk 7, Het activatie model: Dit zal een cilindrisch symmetrische geometrie
zijn met een lijn elektrode en een puntcontact. Er wordt onderzocht
wat de invloed van een tussenliggend laagje bot (tussen het labyrinth en de
modiolus) zal zijn voor de potentiaalverdeling en voor de activatiefunctie.
Deze (zenuw)activatie wordt berekend uit de potentiaalverdeling (figuur
1.1).
Hoofdstuk 8, Het elektro-anatomisch model: In dit laatste model wordt
een realistisch (elektro-anatomisch) model voorgesteld. De geometrie wordt
afgeleid uit gesegmenteerde CT-beelden en de resestiviteiten en randvoorwaarden
uit EFI-metingen. Op deze manier is het mogelijk om een patiënt
specifiek model op te stellen. In dit hoofdstuk beperken we ons voorlopig
op het bepalen van een volume-geleidingsmodel (zie figuur 1.1).
Tenslotte worden de algemene besluiten samengevat in een besluit en
volgen er nog appendices met praktische informatie.
3

Deel I
Literatuurstudie
4

A N AT O M I E E N F Y S I O L O G I E VA N H E T O O R
vooraf
Horen is een alledaags fenomeen waar men niet verder bij nadenkt. Het zintuig
dat zorgt voor deze waarneming, het oor, is heel fascinerend en zit vol fysische
aanpassingen en evolutionaire ‘trucs’ van de natuur. Deze moeten het mogelijke
maken om over een relatief groot spectrum, geluid op te vangen en te verwerken.
In dit hoofdstuk zal een bondige inleiding gegeven worden over de werking van
het oor, dit om de niet vertrouwde lezer toch enige basiskennis mee te geven en om
de randvoorwaarden in de elektrische modellen (hoofdstuk 6, 7 en 8) te kunnen
inschatten. Het horen bestaat uit drie stappen:
1. Opvangen van de geluidsgolven door het buitenoor,
2. Transmissie van de trillingen doorheen het middenoor,
3. Omzetten in zenuwprikkels ter hoogte van het binnenoor.
Het eerste deel zal handelen over het buiten- en het middenoor. Deze bespreking zal
eerder kort zijn. Hun functie wordt namelijk volledig ge-bypassed door cochleaire
implantaten. Het tweede deel zal dan gaan over het binnenoor en de cochlea
in het bijzonder. Hier gebeurt ook de stimulatie van de menselijke zenuwcellen
door cochleaire implantaten. In een laatste deel zal er op de werking van deze
implantaten iets dieper ingegaan worden.
5
2

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
2.1 fysica van het geluid
Geluidsgolven zijn drukschommelingen die zich voortplanten in een medium.
Dit gebeurt met de materiaalafhankelijke geluidssnelheid (332 m/s
in lucht bij 0 ◦ C). Geluidsgolven hebben een frequentie en een amplitude.
De frequentie bepaalt de ‘toonhoogte’ (440 Hz voor A4, La, hoe hoger de
frequentie, hoe hoger de toon), de amplitude de luidheid.
De luidheid, dus de grootte van de druk wordt uitgedrukt in dB SPL (decibel
sound pressure level). Deze schaal is logaritmisch omdat wij geluid ook
zo waarnemen.
geluidsdrukniveau (dB) = 20 · log px
px is de waargenomen druk, p0 = 2 · 10 −5 Pa is de referentiedruk.
Geluid wordt echter niet altijd hetzelfde waargenomen. Een toon van 63
Hz die 30 keer zo luid is als een toon van 1000 Hz, wordt even luid ervaren.
Daarom gebruikt men geluidsterktes. De eenheid is één foon. Men kan
in een Hz-dB SPL diagram isofonen tekenen, dit zijn lijnen met gelijke
geluidsterkte. Bij 1000 Hz is de isofoonschaal per definitie gelijk aan de dB
SPL schaal en bij 2-5 kHz is ons oor het gevoeligste.
[25]
2.2 het buiten- en middenoor
Het buitenoor is het deel van het oor (auris) dat bestaat uit de oorschelp
(pinna), de gehoorgang (3 cm lang) en het trommelvlies (membrana tympani).
Het trommelvlies vormt de scheiding met het middenoor. Verder is er
een linker en rechter oor, om door middel van verschillende aankomsttijden
van de drukgolven van het geluid een idee van richting van de geluidsbron
te krijgen. Het buitenoor heeft dus als belangrijkste functie het geluid op te
vangen (vooral hoge tonen) en naar het middenoor te geleiden, hoewel dit
bij de mens zeer gering is ten opzichte van andere zoogdieren. Daarenboven
beschermt het buitenoor ook het kwetsbaardere binnendeel van het oor.
Tussen het trommelvlies en het ovale venster (fenestra ovalis) bevindt zich
het middenoor. In de trommelholte (cavum tympani) van het middenoor
bevinden zich de gehoorbeentjes (in volgorde van trommelvlies naar ovale
venster):
• hamer (malleus)
• aambeeld (incus)
• stijgbeugel (Stapes)
6
p0

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.1: Een overzicht van het oor [46]
Deze beentje zorgen voor het geluidstransport van het trommelvlies naar
het ovale venster, dit is de hoofdfunctie van het middenoor 1 . Dit hefboomsysteem
2 van kleine beentje zorgt voor een akoestische impedantietransformatie
van het met lucht (lage impedantie) gevulde buitenoor naar het
met vloeistof gevulde binnenoor (hoge impedantie). Indien er alleen een
membraan zou zijn, zou het grootste gedeelte gereflecteerd worden 3 .
De twee kleine spiertjes die aanhechten op de gehoorbeentjes (musculus
tympanicus en musculus stapedius) verzwakken laag frequente trillingen
en andere storingen, zodat alleen het deel van het geluidspectrum overblijft
dat interessant is voor de cochlea (ongeveer 20Hz-20kHz). Zij beschermen
ook bij hoge geluidintensiteit.
Tenslotte bevindt zich in het middenoor ook de buis van Eustachius (tuba
auditiva). Dit kanaal verbindt het middenoor met de keelholte en zorgt
ervoor dat de luchtdruk aan beide kanten van het trommelvlies gelijk blijft.
[4],[9],[25],[19],[36],[41]
2.3 het binnenoor
Het benig labyrinth in het temporale been 4 , waarin zich het binnenoor
bevindt, bestaat uit twee belangrijke delen: het evenwichtscentrum en de
1 De lucht- en beengeleiding in het middenoor zullen een verwaarloosbare rol spelen bij het
dagelijkse horen.
2 De grote zwakke beweging die van uit het buitenoor komt, zal door een complex hefboomsysteem
getransformeerd worden naar een kleine 22x sterkere beweging aan het kleinere
ovale venster
3 Bij een trillingsoverdracht lucht-water: 30dB verlies of 99,9 % gereflecteerd
4 Het temporale been is het deel van de schedel aan het buitenoor [49].
7

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
cochlea (zie figuur 2.2 en 2.1).
2.3.1 Vestibulair orgaan
Het evenwichtscentrum bestaat uit twee componenten. Enerzijds de otolietorganen,
namelijk de sacullus en utriculus die de translatiebewegingen
detecteren. Anderzijds de drie semicirculaire kanalen (anterior, posterior en
horizontaal) om rotaties waar te nemen. Het doorsturen van zenuwprikkels
naar de hersenen gebeurt doordat de ciliae openen en sluiten ten gevolge
van de traagheid ter hoogte van de otoconia (voor het otolietorgaan) en
cupula (voor het semicirculair kanaal). De werking van de ciliae is analoog
als deze in het orgaan van Corti (zie Cochlea, subsectie 2.3.2). In het licht
van cochleaire implantaten zijn de volgende anatomische eigenschappen
van het vestibulair systeem van belang:
Figuur 2.2: De beenderige structuren in het binnenoor. De zenuwen van
zowel de cochlea als het vestibulair orgaan komen samen in één
bundel
• Zowel het benig als het membraneus labyrinth (bevindt zich in het
benige labyrinth) bevinden zich in de cochlea en het evenwichtsorgaan.
Deze twee organen zijn ook gevuld met dezelfde vloeistof; perilymph
in het benig labyrinth en endolymph in het membraneuse. Ter hoogte
van het vestibule is het vestibulair orgaan verbonden met de scala
8

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
vestibuli van de Cochlea en de scala media met het membraneuse
labyrinth van het evenwichtsorgaan (zie figuur 2.6).
• De zenuwen die vertrekken van het perifere vestibulair systeem, vervoegen
de zenuwbundel die van de cochlea komt. Daarenboven bevinden
zich hier ook de faciale zenuwen die een deel van de spieren
van het aangezicht innerveren en van belang zijn bij de smaakperceptie
en bij de parasympathicus. Het belang van deze zenuwen zal
dubbelzijdig zijn in een model. Ten eerste zullen deze zenuwen een
rol spelen bij het elektrisch aarden in het volume-geleidingsmodel
(hoofdstuk 8). Ten tweede wil men er voor zorgen dat het cochleair
implantaat alleen bij de cochleaire zenuwen actiepotentialen afvuurt
(zie sectie 2.3.3), en niet bij de vestibulaire en de faciale zenuwen.
[4],[9],[19],[25],[36],[41]
2.3.2 Cochlea
Het slakkenhuis (Cochlea) is een spiraalvormige holte in het benig labyrinth.
Het bestaat uit twee en een halve winding rond een benige as, de modiolus
(internal auditory meatus, IAM). De modiolus bevat de spirale ganglions
(zie subsectie 2.3.3), gehoorszenuwen en vaatvoorzieningen. De cochlea
loopt over ongeveer 35mm van de basis waar het ovale en het ronde venster
zich bevinden tot de top van de spiraal, de apex (helicotrema). Het labyrinth
van de cochlea wordt in drie evenwijdige kanalen verdeeld door twee
membranen, het twee cellagen dikke Reissner’s membraan en het basilair
membraan (zie figuur 2.3). Het basilair membraan is vastgehegd aan een
benige kam van de modiolus (lamina spiralis ossea). Op dit membraan
bevindt zich het eigenlijke zintuig, het orgaan van Corti.
Tussen deze twee membranen ligt de met endolymph gevulde scala media
(ductus cochlearis). Het met perilymph gevulde benig labyrinth bevat twee
delen. De scala vestibuli die van het ovale venster (waarmee de stijgbeugel
verbonden is) tot de apex loopt waar het in het helicotrema overgaat in het
derde kanaal, de scala tympani, die terugloopt en uitkomt op het ronde
venster. Merk op dat perilymph een hoge concentratie natrium heeft en
een lage concentratie kalium en dat dit bij endolymph net omgekeerd is.
Hierdoor onstaat er een chemische potentiaal van 80mV. Dankzij een Na-K
pomp in de sterk doorbloede stria vascularis wordt de chemische gradiënt
tussen de scala tympani en scala media behouden.
Wanneer er nu trillingen van het trommelvlies, door de gehoorbeentjes overgebracht
worden op het ovale venster, zal deze het perilymph in beweging
brengen. Aangezien vloeistof onsamendrukbaar is, zal het ronde venster in
theorie in tegenfase bewegen. Ook zal de golf niet doorheen heel de cochlea
9

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.3: Dwarsdoorsnede van de cochlea (uit [47])
tot aan het helicotrema lopen, maar zal het via het basilair membraan ‘vroeger
terugkomen’ zoals geïllustreerd op figuur 2.4. De vloeistofverplaatsing
zal dus een lopende golf op het basilair membraan induceren. Aan de basis
is dit membraan smaller en stijver dan aan de apex. Door deze verschillende
elastische eigenschappen zullen de resonantiefrequenties variëren over
het membraan en zal het werken als een frequentieanalysator. Hierdoor
zal elke plaats in de cochlea met een bepaalde karakteristieke frequentie
overeenkomen (tonotopie). Op basale plaatsen (aan de basis) zullen hogere
frequenties stimuleren en meer apicaal (aan de apex) de lagere frequenties.
Wanneer het basilair membraan op een bepaalde plaats trilt, zal het hier het
orgaan van Corti stimuleren die dan meer zenuwprikkels zal afvuren naar
de auditieve cortex in de hersenen. Het orgaan van Corti bestaat uit één rij
van ±3000 binnenste haarcellen (internal hair cells, IHC) en uit drie rijen
van ±9000 buitenste haarcellen (outer hair cells, OHC). De OHC hangen
ook vast aan het tectoriaal membraan. IHC en OHC hebben een verschillende
vorm en functie. De OHC zullen actief dienst doen als cochleaire
versterker voor zachte geluiden (ze kunnen ook minder versterken om te
beschermen tegen luide prikkels, hiervoor zijn er efferente vezels 5 ). De IHC
zullen vervolgens de prikkel doorgeven. Door beweging van de cilia zullen
de tiplinks opengaan (of sluiten) waardoor er een flux van K + ontstaat en
5 Ook gekend als motor zenuwen. Deze zenuwen voeren een impuls van het centrale
zenuwstelsel weg (om ergens een actie uit te voeren). Het is het tegenstelde van afferente
zenuwen.
10

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.4: Op deze schets wordt aangegeven hoe men een beweging op
het basilair membraan krijgt. De nummering geeft aan hoe het
geluid zich van aan het trommelvlies voortplant naar de cochlea
en ten slotte tot aan het ronde venster.[11]
er meer of minder actiepotentialen worden afgevuurd (hyperpolariseren of
depolariseren) (zie fig 2.5).
Tenslotte zijn er nog enkele anatomische aspecten belangrijk voor het
maken van een elektrisch model. Zoals hierboven beschreven vormen de
cochlea en het vestibulair orgaan één geheel. Er zijn nog enkele belangrijke
verbindingen (zie figuur 2.6). Het perilymf staat in verbinding met liquor
cerebrospinalis (CSF) via de nauwe ductus perilymphaticus (zie p10 in
[9]). Het endolymphe systeem van het membraneuse labyrinth vormt een
gesloten systeem.
[4],[7],[9],[19],[25],[37],[36],[41]
2.3.3 De zenuwcel
In dit deel wordt kort de opbouw en de werking van de zenuwcellen
(neurons) behandeld. Ze bestaan uit een cellichaam en een aantal lange
dunne uitlopers, de axonen (geleidt van cellichaam weg) en de dendrieten
(geleidt (meestal) naar cellichaam). De cellichamen in de cochlea noemt
men de spirale ganglions. Samen vormen ze het Rosenthal kanaal (figuur
2.7).
11

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.5: Schematische voorstelling van de haarcel [36].
Figuur 2.6: De verbindingen in het benig en membraneus labyrint. Men
kan de kanalen zien die de cochlea, het vestibulair systeem en
het hersenvlies (dura mater) met elkaar verbinden. [41]
12

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
De zenuwvezels zullen elektrische signalen geleiden, de zogenaamde
Figuur 2.7: Schematische voorstelling van de haarcel [49].
actiepotentiaal. Dit is echter geen gewone elektrische geleiding. Door
verandering van de potentiaal over het celmembraan zal een front zich
doorheen de vezels bewegen. Verder zorgt het isolerende myeline voor
een snellere geleiding. Myeline is het isolerende omhulsel rond het axon
van de meeste neuronen bij gewervelden. Het zorgt voor een snellere
zenuwgeleiding. Plaatsen waar de vezel niet omringd is, worden knopen
van Ranvier genoemd
[49]
2.3.4 Codering en verwerking van de geluidsprikkel
De volgende geluidseigenschappen worden in de zenuwprikkel gecodeerd:
• Frequentie: door tonotopie. Deze tuning is zeer fijn. Bij ν = 1kHz
bedraagt deze ∆ν = 3Hz, dit is dus een relatieve frequentie onderscheiding
van 0.3%.
• Intensiteit: bij een hogere intensiteit worden er meer actiepotentialen
afgevuurd. Naburige zenuwen worden ook geactiveerd waardoor de
relatieve frequentieonderscheiding zal dalen. De relatieve intensiteitsonderscheidingsdrempel
is veel groter, namelijk 10 %.
Verder worden de volgende geluidseigenschappen nog afgeleid:
• richting: door tijdsverschillen en intensiteitsverschillen
• afstand tot de bron: door demping van hoge frequenties over lange
afstand
Vanaf elke IHC vertrekken 10 tot 20 afferente gemyeliniseerde vezels. De
zenuwen lopen via de benige kam van de modiolus naar hun cellichamen
13

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
in de modiolus. Deze vormen het ganglion spirale (het Rosenthal kanaal).
De centrale uitlopers van deze ganglioncellen vormen de nervus cochlearis
die naar de nucleus cochlearis in de hersenstam loopt. 95% van de afferente
zenuwvezels hebben hun oorsprong in de IHC. In totaal zijn er 30.000
afferente zenuwen.
[4],[9],[25]
2.3.5 Elektrische eigenschappen
Buiten de klassieke anatomische kenmerken die ik hierboven kort besprak,
zullen bij het maken van een elektrisch model (hoofdstuk 6, 7 en 8) ook
de elektrische eigenschappen van belang zijn. Hier gebeurde al heel wat
onderzoek naar, maar de literatuurwaarden zij toch enigszins verschillend.
Tabel 2.1 geeft hier een overzicht van. Merk op dat het grootste verschil in
de verhoudig van bot en perilymph (intracochleair vocht) ligt.
Weefsel Frijns 1995 [7] Whiten 2007 [37]
Perilymph 1.43 2
Bot 0.156 0.02
Modiolus/Zenuwweefsel 0.3 0.33
Endolymph 1.67 2
Stria Vascularis 0.0053
Spiral ligament 1.67
Reissner’s membraan 0.00098
Basilair membraan 0.0625
Orgaan van Corti 0.012
Verbindingsmembraan 0.33
Vezelig intracochleair weefsel 0.33
Middenoor 0
Tabel 2.1: Resistiviteiten van weefsels in het binnenoor volgens de literatuur
(in S
1
m , 1Siemens(S) = Ω )
2.4 cochleaire implantaten
2.4.1 Korte Geschiedenis
Het stimuleren van zenuwvezels kent een verre geschiedenis. Zo ontdekte
Luigi Galvani in de 18de eeuw dat twee verschillende metalen platen
ondergedompeld in een waterachtig bad (een batterij ‘avant la lettre’), de
spieren van een kikker lieten samentrekken. Later in dezelfde eeuw ontdekte
Alessandro Volta dat een grote stroom aan de buitenkant van het hoofd
14

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
wordt waargenomen als een knal gevolgd door gesuis “like a thick boiling
soup”).
In het midden van de 20ste eeuw begon men echt te denken aan het stimuleren
van de gehoorzenuw in de cochlea om een gehoorgevoel te creëren. In
1957 waren Djuorno en Eyries de eersten die het effect van directe stimulatie
bij doofheid beschreven. Natuurlijk was hun experiment een ‘eenvoudig’
begin van een technologie waarin ook vandaag nog zeer veel onderzoek
gebeurt. Merk op dat na de pacemakers, de cochleaire protheses de meest
voorkomende implantaten voor rechtstereekse zenuwstimulatie zijn. Vervolgens
werden er nog experimenten uitgevoerd waarbij men elektrodes
ontwikkelde (die uiteindelijk ook draagbaar werden) die op verschillende
plaatsen in het binnenoor werden gepositioneerd.
Een volgende grote stap kwam er met de doorbraak van de electronica in de
jaren 70 van de vorige eeuw (en later de micro-electronica). Zo werden de
spraakprocessoren (zie subsectie 2.4.2) verbeterd en werd er voor het eerst
een implantaat gecommercialiseerd. In 1984 werd de kwaliteit nogmaals
verbeterd door het introduceren van multichannel devices.
2.4.2 Technologie
Bij het ontwikkelen van cochleaire prothesen zijn er meerdere keuzemogelijkheden
die grote gevolgen kunnen hebben voor de kwaliteit van het
implantaat. Het is hier dat het gebruik van computermodellen hun meerwaarde
kunnen halen. In dit deel zal ik kort bespreken welke onderdelen
er in een implantaat aanwezig zijn en welke keuzes er dienen gemaakt te
worden.
Doofheid is in het meerendeel van de gevallen te wijten aan de afwezigheid
of het afsterven van de haarcellen in de cochlea (orgaan van Corti). De
functie van een cochleair implantaat is het bypassen van deze haarcellen (en
ook de voorliggende delen van het oor) om rechtstereeks de (overgebleven)
zenuwvezels te stimuleren. De natuurlijke fysiologische werking zoals
hierboven beschreven (middenoor tot en met orgaan van Corti), is dus niet
meer van belang.
Een cochleair implantaat bestaat uit de volgende essentiële componenten
(zie figuur 2.8):
1. De microfoon zet geluid, bestaande uit drukgolven, om in elektrische
signalen. Meestal bevindt hij zich in een BTE (behind-the-ear) behuizing.
Een verbetering van de signaal-ruis kan men bekomen door
betere microfonen en microfoonopstelling.
2. De spraakprocessor zet inputsignalen (van de microfoon) om naar
outputsignalen die naar de elektrode gestuurd kunnen worden en hier
voor een optimale stimulatie kunnen zorgen. De gewone auditieve
15

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.8: Overzicht cochleair implantaat, met: 1. Microfoon aan het oor,
2. Spraakprocessor, 3. Zender, 4. Ontvanger/Stimulator, 5.
Elektrode. [28]
stimulatie heeft namelijk andere eigenschappen dan de elektrische. Er
bestaan verschillende strategieën voor deze signaalverwerking. Voor
een goede spraakherkenning zijn 14 tot 19 kritische frequentiebanden
noodzakelijk (fourier analyse). Door micro-elektronica en betere
batterijtechnologie, wordt het geheel ook geminiaturiseerd (eventueel
in BTE behuizing) en verbruikt het ook minder stroom.
3. Zender: dit is de link tussen het buitengedeelte en het binnengedeeltevan
het implantaat. In commerciële implantaten zendt men de
informatie door de huid met een RF signaal. Dit noemt men een transcutane
transmissie-link (de signalen moeten geoptimaliseerd worden
om te verzenden). Een andere methode is met een rechtstereekse
percutane transmissie-link. Het voordeel is dat men de signalen naar
de elektrode kan sturen zonder rekening te houden met de voorwaarden
om het signaal over de RF spoel te sturen. Het grote nadeel is
dat er een opening in de huid ontstaat en er een veel groter risico
op infecties is. Bij een bidirectionale link kan men ook informatie
(intracochleaire opgewekte potentialen) in de andere richting sturen
(uitlezen). Dit is belangrijk voor onderzoek en het afstellen van het
implantaat. In het geval van een percutane transmissie-link zal ook
dit signaal beter zijn.
16

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
4. Ontvanger/Stimulator: deze wordt iets achter en boven de oorschelp
geïmplanteerd zodat er een transmissielink ontstaat met de zender. De
stimulatie is bifasisch. Een grotere frequentie (max 300Hz) betekent
dat er meer actiepotentialen worden afgevuurd en dat een prikkel als
luider wordt ervaren. De stimulatie gebeurt meestal door elektroden
die basale zenuwen stimuleren voor hoge tonen en apicale voor lagere
tonen.
5. Elektrode: een elektrode array is een biocompatibel device dat bestaat
uit de eigenlijke elektrodes en de elektrodedrager. De stimulerende
elektrodes bevinden zich meestal in de scala tympani en worden
binnengeschoven via het ronde venster. De elektrode ligt meestal
eerder basaal. De apex is intern veel moeilijker bereikbaar zonder
schade toe te brengen aan de cochlea. Externe cochleaire implantaten,
die op de cochlea liggen, hebben dit probleem niet. Ze zullen de
apex, die de voor spraak belangrijkere lage en midden tonen codeert,
stimuleren. Het nadeel is wel dat ze minder selectief zijn en ook de
nervus facialis kunnen beïnvloeden. De insertie van een implantaat is
geen triviale chirurgische ingreep. Men moet namelijk de cochlea zo
weinig mogelijk beschadigen. Door de ingreep krijgt men vaak ossificatie(verbening)
en fibrosis(meer bindweefsel) op bepaalde plaatsen
in de cochlea. Dit zorgt ook voor verschillende randvoorwaarden voor
de elektroden bij verschillende patiënten. Men kan er voor kiezen om
de elektrode aan de binnenkant of meer aan de buitenkant van de
scala tympani te leggen (Voor een korte studie hierover, zie hfdst 7).
Intracochleaire elektrodes kunnen monopolair of bipolair gestimuleerd
worden. Bij de monopolaire configuratie zal er telkens één elektrode
gestimuleerd worden, en zal de stroom terugvloeien naar een
grondelektrode. Deze grondelektrode bevindt zich in de musclulus
temporalis of voor sommige implantaten op de ontvanger/stimulator.
Deze bevindt zich vlak op de dura mater (harde hersenvlies, zie figuur
2.9). In de volume geleidende modellen (hoofdstuk 6,7,8) zullen we
dit dus als de elektrische grond beschouwen. Bij de bipolaire configuratie
zal de stroom terugvloeien naar een nabijgelegen elektrode van
de elektrode array.
Een goede stimulatie is afhankelijk van het intact zijn van de zenuwcellen,
de plaats en de configuratie van de elektrodes. Belangrijk is de
selectiviteit van de elektroden. Meerdere elektrodes zijn zinloos als
ze hetzelfde gebied stimuleren. Je kan dit vergelijken met een piano
bespelen met bokshandschoenen. In de meeste implantaten bedraagt
het maximaal aantal elektrodes in een elektrode array niet meer dan
20. Vanaf zes elektroden is er nauwelijks beterschap merkbaar.
Bij het maken van betere cochleaire implantaten is buiten doorgedreven
engeneering ook nog wetenschappelijk onderzoek noodzakelijk. De cochlea
17

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Figuur 2.9: Opbouw van het omhullende van de hersenen, met van buiten
naar binnen: huid, beenvlies, bot, harde, spinneweb en zachte
hersenvlies [49].
is namelijk zeer complex en vele strategieën hebben een verschillende
impact op het resultaat. Dit resultaat verschilt daarenboven ook bij elke
patiënt. Hieruit groeit ook de noodzaak om patiënt specifieke modellen te
maken. In hoofdstuk 8 wordt hier een model voor voorgesteld. Tot slot van
dit hoofdstuk verwijs ik nog naar de samenvattende tabel 2.2 waarin ik de
verschillende keuzes voor een implantaat nog eens samenvat.
[7],[16]
18

HOOFDSTUK 2. ANATOMIE EN FYSIOLOGIE VAN HET OOR
Keuzemogelijkheden Deze thesis uitbreiding thesis
Aantal elektrodes X
Golfvorm stimulus X
Spraakanalyse
Transmissielink
Percutaan
Transcutaan
(maximum stimulus rate, uitlezen)
Elektrodes
Plaats: Extracochleair, intracochleair X
aantal en plaats van de elektrodes X
oriëntatie X
Patiënt
Aantal intacte zenuwen X
Afstand elektrodes tot zenuw hoofdstuk 7
De opgewekte elektrische stromen hoofdstuk 8
Taalkennis
Tabel 2.2: De keuzemogelijkheden bij cochleair implantaten [38]. In de
tweede kolom zijn de keuzes die ik in deze thesis (gedeeltelijk)
zal onderzoeken. In derde kolom zijn de keuzes die door verdere
uitbreiding van het model (in hoofdstuk 8) zouden kunnen
onderzocht worden.
19

M I C R O - C T
vooraf
Aangezien ik in hoofdstuk 8 een elektro-anatomisch model zal maken, is een input
van de anatomie noodzakelijk. Ik zal daarom gebruik maken van hoge resolutie
micro-CT beelden van de cochlea. Naast een korte inleiding over de werking van
CT zal ik ook even dieper ingaan op de segmentatietechniek die ik gebruikte om uit
de tomografische beelden een drie dimensionaal model te krijgen.
20
3

3.1 werking
HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
Bij computer tomografische beeldvorming (CT) heeft men X-stralen nodig.
Deze worden geproduceerd door elektronen van een katode onder hoge
spanning te versnellen naar een anode. Bij botsing komen X-stralen vrij.
Deze X-stralen worden dan door het te onderzoeken object ‘geschoten’.
Door absorptie krijgt men dan als beeld een variatie van veel intenisteit
(weinig geabsorbeerd) of weinig intensiteit (veel X-stralen geabsorbeerd).
Deze intensiteit wordt bij CT gemeten door een snelle (zeer veel beelden
opnemen), doch gevoelige (zo weinig mogelijk straling) opstelling van
scintillators (X-stralen ⇒ zichtbaar licht), fiberoptics (geleiding licht) en
CCD camera (zichtbaar licht ⇒ digitaal signaal).
Zonder verdere manipulaties verkrijgt men op deze wijze de klassieke twee
dimensionale RX opnames (of schaduwbeelden bij CT). Er zijn verschillende
vormen van absorptie en verstrooiing:
• Coherente verstrooiing: de fotonen worden door interactie met atomaire
kernen afgebogen van hun oorspronkelijke baan. Er treedt geen
energieverlies op. Coherente verstrooiing gebeurt alleen bij zachte
X-stralen. Dit zal voor storing zorgen.
• Foto-elektrisch effect: licht dat op een metaaloppervlakte schijnt, kan
elektronen losmaken (energie foton > bindingsenergie elektron). Het
foton verdwijnt volledig. Dit zal voor het gewenste beeldvormend
effect zorgen (E < 100keV). De absorptie is afhankelijk van de werkzame
doorsnede. Die is op haar beurt sterk afhankelijk van het atoomnummer
Z (werkzame doorsnede = µ f = Z 5 /(h f ) 3.5 ). Lood (Z=82)
zal dus afschermen voor X-stralen, bot (Calcium, Z=20) absorbeert
meer licht dan spieren (C,H,O).
• Compton verstrooiing: X-fotonen botsen elastisch op vrije of nauwelijks
gebonden elektronen. De energie (frequentie) van het foton
vermindert.
• Paarvorming: vorming elektron-positron, bij zeer hoge energiën
(+1,022MeV = 2 x rustenergie elektron (2 × me · c 2 )). Dit is echter
onbelangrijk voor CT.
Merk op dat de laatste drie interacties ioniserend en dus schadelijke effecten
op levende organismen kunnen hebben.
Bij RX is het beeld een superpositie van de verschillende lagen. Wanneer
men nu de verschillende lagen afzonderlijk wil bestuderen, kan men gebruik
maken van tomografische technieken (een 2D slice uit een 3D object maken).
Hiervoor moeten er langs verschillende invalshoeken schaduwbeelden (RX
opnames) van een bepaalde slice gemaakt worden. Vervolgens kan men
met een computer (en wiskundige technieken: filtered back projection, zie
21

HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
appendixA) de slice reconstrueren en bepalen hoeveel X-stralen elke plaats
absorbeert.
De bedoeling is dat elke pixel (picture element) de attenuatie 1 (absorptie)
van een voxel (volume element) in het speciem voorstelt. Hoe kleiner de
volumes worden, hoe beter de resolutie zal zijn. Deze resolutie is afhankelijk
van de dikte van de slice (klassiek 0.25mm-0.60mm). In deze thesis worden
beelden gebruikt die afkomstig zijn van de microtomografie-groep van
Declerck en Postnov [18]. De resolutie bedraagt (17.5µm) 3 . Merk ook
op dat met micro-CT de cochlea met voldoende detail zichtbaar gemaakt
kan worden, maar dat dit met klassieke klinische beeldvorming bijna niet
mogelijk is 2 .
[1],[2],[18],[35]
3.2 data en verwerking
Figuur 3.1: Een ongeörienteerde slice gemaakt door een mirco-CT-scan van
de cochlea
Op de hierboven beschreven manier verkrijgt men een 2D slice van het
1 Voor de attenuatiecoëfficient bestaat een arbitraire eenheid, de Hounsfield unit. Hierbij is
water = 0 HU, lucht=-1000 HU en bot=+1000 HU.
2 Merk op dat met model-Image registration toch een mathematisch model kan fitten aan de
lage resolutiebeelden van een gewone CT scan, zoals beschreven in Baker et al. 2005 [2]
22

HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
gescande vlak. Elke pixel heeft een grijswaarde die de attenuatie voorstelt.
Door de ‘window widths’ van de grijswaarden te veranderen, kan men
duidelijkere voorstellingen maken. Wanneer men meerdere vlakken na
elkaar scant, krijgt men dus ook meerdere (aan elkaar aansluitende) slices.
Men kan nu deze data verwerken om andere slices te bestuderen (zie figuur
3.1 voor een willekeurige slice). Dit doet men door de verkregen pixels per
slice (2D) van de aanliggende serie slices(1D) als een tensor van de derde
rang te beschouwen (2D+1D=3D ‘matrix’). Wanneer men hier dan slices
herberekent, krijgt men een nieuw doorsnedebeeld. Standaard heeft men
axiale (standaard beeld), coronale en sagittale doorsneden (zoals te zien
is op de figuur in het begin van dit hoofdstuk). Men moet wel rekening
houden dat de resolutie verschillend kan zijn doordat de voxels (volume
elementen) vaak niet kubisch zijn maar balkvormig.
Men kan ipv deze standaard doorsnedes ook andere snedes definiëren.
Aangezien de cochlea eerder een cilindrische structuur heeft, zal dit een
zeer handige truc zijn bij de studie ervan. Wanneer we de slices namelijk
loodrecht op het kanaal, dat door het benig labyrint gevormd wordt, nemen,
zullen de anatomische onderdelen en vooral de moeilijk zichtbare
membraneuse scheidingen veel duidelijker zichtbaar zijn (zie figuur 3.3).
Hiervoor moeten wel de volgende stappen ondernomen worden:
Figuur 3.2: Het IAC is nu de vertikale z-as. Op de slice staan ook de hoeken,
punten en assenstelsels uit vergelijking 3.1 vermeld.
23

HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
1. Cochlea juist oriënteren volgens een arbitrair afgesproken en duidelijk
assenstelsel. Daaromen nemen we het intern auditory kanaal als
z-as. Als x-as nemen we het ronde venster. We noemen dit het IAC
coördinatenstelsel. Wiskundig gezien bekomt men dit assenstel door
een eenvoudige rotatie en translatie.
2. Een loodrechte doorsnede doorheen het labyrint maken: Als centrale
as nemen we de z-as (IAC), waarrond de cochlea min of meer is
opgedraaid. Nu nemen we ten opzichte van de x-as een bepaalde
hoek waarvan we een slice willen nemen. Aangezien deze slice niet
per definitie loodrecht op het kanaal staat, zullen we de loodrechte
nemen aan de zijkant van het kanaal (zie figuur 3.2). Wiskundig doet
men de volgende transformatie om van het (u,v) lokale stelsel (slice)
over te gaan naar de coördinaten in het gestandariseerde IAC stelsel
(x,y,z) 3 (zie ook figuur 3.2):
⎛ ⎞
x
⎝y
z
⎠ = p0 −
⎛
sin φ − cos φ
⎞
0
⎛ ⎞
u
⎝cos
φ sin φ 0 ⎠ · ⎝0⎠
(3.1)
0 0 −1 v
3. Per x aantal graden een slice nemen: Nu maakt men per x-aantal
graden (in deze thesis om de 30 ◦ [39]) een slice. Een voorbeeld van
het uiteindelijke resultaat wordt in figuur 3.3 getoond.
Opmerking: De techniek die hier beschreven is zal aan de apex niet meer
zo ideaal zijn. Dit komt omdat in het helicotrema de doorsnedes een andere
vorm krijgen en er geen duidelijke centrale as meer zal zijn. Dit zal men
dus handmatig moeten modelleren.
[26],[30]
3 Hier staat de omgekeerde transformatie, omdat in deze thesis de slices (u,v) al berekend
waren en ze terug naar het (x,y,z)-stelsel moesten getransformeerd worden.
24

HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
Rosenthal Kanaal
Labyrinth
Scala Tympani
Scala Vestibuli
Figuur 3.3: Door de juiste snede in de CT te nemen verkrijgt men mooie en
eenvoudiger interpreteerbare dwarsdoorsnedes. Dit is de snede
van 270 graden. Vergelijk met figuur 2.3. Op deze figuur zijn
het rosenthal kanaal, het labyrinth, de scala tymoani en de scala
vestibuli aangeduid.
3.3 segmentatie
Segmenteren is de techniek waarbij uit beeldinformatie een geometrie (of
meerdere) wordt opgebouwd. In dit deel wordt het principe van de segmentatiemethode
uit deze thesis uitgelegd. Deze beschrijving zal kort en
abstract gebeuren. Een volledigere beschrijving i.v.m. de werking van het
programma, dat we voor deze segmentatie ontwikkelden, vindt men in de
handleiding appendix C.
Standaard segmentatie gebeurt meestal in het orthogonale coördinatenstelsel.
Hiervoor worden progamma’s zoals amira [40] gebruikt. In zo’n programma
gaat men door de axiale, coronale en sagitale slices en duidt men hier
telkens de overeenkomstige geometrie aan. Wegens het spirale karakter
van het cochleaire systeem, besloten we om een eigen, cilindrische segmentatie
te ontwikkelen. Dit gebeurt door de hierboven verkregen slices te
segmenteren. Wegens deze natuurlijkere visualisatie kan het segmenteren
nauwkeurig en sneller gebeuren. We duiden de volgende contouren aan
(zie figuur 3.3):
1. Labyrint
25

2. Scala Tympani
3. Scala Vestibuli
4. Rosenthal Kanaal
HOOFDSTUK 3. MICRO-CT
Merk op dat scala media niet zichtbaar is omdat het membraan van Reissner
zeer dun is.
Wanneer we deze segmentatie in de verschillende slices gedaan hebben kunnen
we de overeenkomstige punten verbinden en zo vier 3D geometrieën
krijgen. Men moet echter wel op een aantal zaken letten (bv. beperkingen
door eindige elementen). Dit en andere praktische aspecten van deze segmentatietechniek
worden besproken in hoofdstuk 8 en in appendix C.
[40],[42]
26

F Y S I C A VA N D E E L E K T R I S C H E V E R G E L I J K I N G E N
vooraf
In dit hoofdstuk wordt een korte theoretische inleiding gegeven over de fysische
vergelijkingen, van de geleidende materialen (elektrodynamica), die gebruikt zullen
worden in de elektrische modellen (hoofdstuk 6,7 en 8). De fysica op zich is
eigenlijk vrij eenvoudig. De uitdaging van het probleem zal zijn om deze verkregen
vergelijkingen op zeer complexe geometrieën op te lossen (zie hoofdstuk 8). Later
kan deze vergelijking dan eventueel uitgebreid worden zodat men niet-lineaire
effecten (bv. zenuwstimulatie) en tijdsafhankelijke effecten (bv. capaciteiten, zie
zenuwstimulatie hoofdstuk 7) kunnen beschouwd worden. Het oplossen zelf zal
gebeuren met eindige elementen modellering (zie hoofdstuk 5).
We zullen nu uit de algemeen geldende Maxwell vergelijkingen de partiële differentiaal
vergelijking afleiden voor geleidende materialen (in stationaire toestand) die
we verder zullen gebruiken.
27
4

HOOFDSTUK 4. FYSICA VAN DE ELEKTRISCHE VERGELIJKINGEN
4.1 van maxwell naar pde
De bedoeling van dit deel is om een korte theoretische inleiding te geven
over de fysica van het elektromagnetisme die gebruikt zal worden in mijn
cochleair model. In deze sectie vertrekken we van de Maxwell vergelijkingen
waaruit we de partiële differentiaal vergelijkingen (partial differential
equations, PDE) afleiden die noodzakelijk zijn bij het implementeren van
het probleem. De volgende grootheden worden gebruikt:
• Het elektrisch veld E
• De elektrische permittiviteit ɛ
• De overgebleven elektrische verplaatsing Dr
• De diëlektrische verplaatsing D = ɛ · E + Dr
• Het magnetische veld (intensiteit) H
• De magnetische permeabiliteit µ
• De overgebleven magnetische flux densiteit Br
• Het magnetische veld (densiteit) B = µ · H + Br
• De stroomdichtheid J (stroom per oppervlakte eenheid)
• De elektrische ladingsdichtheid ρ
• De geleidbaarheidstensor (conductiviteit) σ zodanig dat R = lengte
σ·Opp
(Met R=weerstand)
Voor elektromagnetisme gelden de Maxwell vergelijkingen:
∇ × H = J + ∂D
∂t
(Maxwell-Ampere) (4.1)
∇ × E = − ∂B
∂t
(Inductiewet van Faraday) (4.2)
∇ · D = ρ (Gauss) (4.3)
∇ · B = 0 (Flux) (4.4)
Verder geldt ook de wet van ohm:
J = σE + Je
(4.5)
Met Je = externe stroomdichtheid
Een eerste belangrijke aanname die ik in het vervolg van dit werk zal gebruiken,
is het feit dat we veronderstellen dat we alleen statische oplossingen
28

HOOFDSTUK 4. FYSICA VAN DE ELEKTRISCHE VERGELIJKINGEN
bestuderen. Dit wil zeggen dat ∂E/∂t = 0 en ∂B/∂t = 0.
Aangezien we dus een conservatief elektrisch veld 1 hebben, geldt het volgende:
E = −∇V (4.6)
en volgens de continuteitsvergelijking geldt dat:
∇J = Qj
∂ρ
Met Qj = stroombron ∂t
Wanneer we deze formules (4.5+4.7) combineren verkrijgen we:
∇(σE + Je) = Qj
samen met 4.6 geeft dit de volgende differentiaal vergelijking:
−∇(σ∇V − Je) = Qj
(4.7)
(4.8)
(4.9)
Dit is de differentiaal vergelijking die opgelost zal worden. Merk op dat er
ook nog randvoorwaarden noodzakelijk zijn.
[6],[22],[23],[34],[43]
4.2 geometrie
Een geometrie is een verzameling van verbonden domeinen. Hierop zal de
differentiaalvergelijking opgelost worden. Bij meerdere domeinen noemt
men ze dan subdomeinen. De subdomeinen worden begrensd door randen.
Randen tussen 2 subdomeinen noemt men interne interfaces. De voorwaarden
op deze randen en interfaces vertellen ons hoe dat de oplossing van
subdomein A (waarin we differentiaalvergelijking opgelost hebben) zich
in subdomein B (waar we willen oplossen) zal ‘gedragen’ (bijvoorbeeld
continu: de waarde van B = de waarde van A).
Vanaf hier zal ik in deze thesis de technische termen gebruiken. Deze zijn
afhankelijk van de dimensie van het domein van het op te lossen probleem.
Een overzicht wordt gegeven in tabel 4.1.
[43]
1 Een conservatief elektrisch veld is een veld waar het magnetisch veld onafhankelijk is van
de tijd. Dus voor de inductiewet van Faraday (in de Maxwell vgln) geldt dat ∇ × E = 0.
29

HOOFDSTUK 4. FYSICA VAN DE ELEKTRISCHE VERGELIJKINGEN
Dim.
Do- Naam Naam Naam Naam
mein in 3D in2D in 1D in 0D
3 Subdomein
2 Boundary Subdomein
(Faces)
1 Edge Boundary Subdomein
(Edges)
0 Vertex Vertex Boundary Subdomein
(Point) (Point)
Tabel 4.1: Technische namen voor het benoemen van domeinen in verschillende
dimensies. Het grootst mogelijke domein noemt steeds
subdomein.
4.3 materiaaleigenschappen, subdomein
Het (sub)domein is het volume (in 3D geval) waarop de differentiaalvergelijking
opgelost wordt. Deze hebben materiaalafhankelijke eigenschappen.
Zo zullen sommige materialen de stroom beter geleiden. Deze parameters
moeten gedefinieerd worden.
In de (theoretische) fysica worden materiaaleigenschappen in eerste instantie
vaak vereenvoudigd. Wanneer men echter realistische problemen
nauwkeurig wil oplossen zal men deze verwaarlozingen liever niet doorvoeren.
Algemeen heeft men de volgende eigenschappen die van het
eenvoudige model afwijken:
• Inhomogeniteit: De parameters zijn niet hetzelfde over heel het domein.
Ze kunnen continu of discreet (overgang 2 subdomeinen)
veranderen.
• Anisotroop: De parameters zijn afhankelijk van de propagatierichting.
Stroom zal bijvoorbeeld in één richting beter vloeien als in de andere.
Voor het beschrijven van de geleiding is dan een 3 × 3 Matrix nodig.
• Niet-lineair: De Permittiviteit en permeabiliteit zijn afhankelijk van
de intensiteit van het ingestuurde elektrische veld (zodanig dat de
wet van Ohm geen rechte meer oplevert). Met niet lineariteit wordt
ook het effect bedoelt dat de parameters afhankelijk zijn van hun
geschiedenis, zo kan men hysteresis effecten krijgen.
• Dispersief: De parameters zijn afhankelijk van de gebruikte golflengte.
• Afhankelijk van een andere parameter: De geleidbaarheid kan bijvoorbeeld
afhankelijk zijn van de temperatuur.
30

HOOFDSTUK 4. FYSICA VAN DE ELEKTRISCHE VERGELIJKINGEN
[43],[22]
4.4 randen en interfaces, de randvoorwaarden
Over de rand heen moet de continuïteitsvergelijking gelden. Er moet
evenveel stroom naar een rand vloeien als er aan de andere kant uitkomt
(plus een eventuele bronterm). Daarom geldt:
n2 · (J1 − J2) = − ∂ρs
∂t
(4.10)
Met ρs de oppervlakte ladingsdichtheid, Ji de stroom per oppervlakteeenheid
op de rand in subdomein i en n2 de (naar buitenwijzende) normaal
op medium 2 (n2 = −n1).
De volgende randvoorwaarden kan men definiëren voor geleiders (zowel
externe als interne randen worden besproken):
• Current Flow: n · J = n · J0. Dit definieert een geïnjecteerde stroom
op de rand (met de normaal componenten).
• Inwaartse (of uitwaartse) stroom: −n · J = Jn. Dit bekomen we door
in de vorige formule enkel de normale component, Jn, te beschouwen.
Wanneer de normaal component Jn positief is, vloeit de stroom
inwaarts.
• Een weerstand: n · J = σ
d · (V − V re f ) of voor een inwendige rand
n(J1 − J2) = σ
d · (V − V re f ). Dit definieert op de rand een geleidende
laag met conductiviteit σ, dikte d en dezelfde oppervlakte als de
boundary. Dit is dus een weerstand R = d
σ·Opp (Ohm). Deze weerstand
wordt dan gebruikt om de stroom te berekenen (Ohm: I = V/R).
• Isolator: n · J = 0. Dit is een speciaal geval van inwaartse stroom.
Door een isolator zal namelijk geen stroom gaan.
• Elektrische potentiaal: V = V0. Dit definieert de potentiaal op een
rand.
• Grond: V = 0. Dit is een speciaal geval van de elektrische potentiaal.
De grond is namelijk gedefinieerd als de plaats waar de potentiaal
per definitie gelijk aan nul is.
• Stroombron: n · (J1 − J2) = Jn. Dit is om bij inwendige randvoorwaarden
een stroombron of stroomlek te definiëren.
• Continu: n · (J1 − J2) = 0. Een speciaal geval van het voorgaande.
Wanneer er geen verlies is, moet de uitgaande stroom in subdomein 1
gelijk zijn aan de ingaande in subdomein 2.
[22],[43]
31

E I N D I G E E L E M E N T E N
vooraf
In dit hoofdstuk wordt kort de werking van de eindige elementen methode (Finite
element method, FEM) uitgelegd. Het voordeel van deze krachtige numerieke
methode om differentiaalvergelijkingen op te lossen, is dat men deze ‘eenvoudig’
kan toepassen op complexe geometrieën. Hierdoor wordt het mogelijk om differentiaalvergelijkingen
‘snel’ en nauwkeurig op te lossen op anatomische ingewikkelde
structuren, zoals de cochlea. Een ander voordeel is dat het ook eenvoudig te implementeren
is in een computerprogramma. Voor de berekeningen in deze thesis wordt
Comsol 3.2 gebruikt (het oude FEMlab [42]). Voor dit programma heeft men in
feite weinig kennis over FEM nodig. In de praktijk blijkt echter dat de software
soms wel eens een steek laat vallen en dat het toch vereist is dat de gebruiker een
basiskennis over eindige elementen heeft om deze problemen te kunnen begrijpen
en op te lossen. Daarom volgt in dit hoofdstuk de principes van eindige elementen
modellering.
In een eerste deel zal ik de wiskundige basisprincipes uitleggen. Dit zal ik doen met
een heel eenvoudige differentiaalvergelijking, met eenvoudige randvoorwaarden en
op een zeer eenvoudige geometrie. Daarna wordt de theorie uitgediept en uitgebreid.
Tenslotte is er nog een deel waarin ik aandacht besteed aan de eindige elementen
analyses en de praktische aspecten hiervan.
32
5

5.1 de eindige elementen methode
HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Kort samengevat komt de techniek van eindige elementen er op neer dat
men een differentiaalvergelijking als een integraalvergelijking schrijft. Vervolgens
splitst men deze dan in elementen (met knooppunten) die men met
basisfuncties gaat benaderen. Wanneer men ze dan terug samenvoegt krijgt
men een stelsel van lineaire vergelijkingen waarvan de oplossingen een
benadering is van de waarden op de knooppunten. Op de elementen wordt
de oplossing benaderend gegeven door de basisfuncties. Wanneer men
deze vergelijking wil oplossen, zal men dus een matrix moeten inverteren.
A · x = y ⇒ x = y · A −1
We zullen de differentiaalvergelijking uit hoofdstuk 4 oplossen:
−∇(σ∇V − Je) = Qj
(5.1)
Voor onze eenvoudigste beschouwing, veronderstellen we nu dat dit probleem
één dimensionaal is en dat de externe stroom Je = 0 (later zullen we
het algemenere probleem bespreken). Dit doen we om het probleem niet te
complex te maken en toch de basisprincipes te begrijpen. We kunnen dan
de poisson vergelijking uit 5.1 schrijven als:
Als randvoorwaarden nemen we:
• V = V0 op Γ1 (Vaste potentiaal)
• −σ dV
dx = jo op Γ2 (Ingaande stroom)
d dV
(σ
dx dx ) + Qj = 0 (5.2)
Γ is de verzameling van de randpunten. In dit één dimensionaal voorbeeld
nemen we voor Γ1 x=0 en voor Γ2 x=1 is. Vergelijking 5.2 heeft een exacte
analytische oplossing, namelijk (als σ constant):
V = − Qj
2 · σ · x2 +
Qj · 1 − jo
σ
· x + V0
(5.3)
Om deze differentiaalvergelijking numeriek op te lossen, gebruikmakend
van de benaderende eindige elementen methode, moeten we volgende
stappen doorlopen [10]:
1. Schrijf de differentiaalvergelijking als een integraalvergelijking
2. Reduceer de orde van de afgeleiden in de integraalvergelijking door
partiële integratie (1D) of door het theorema van Green (2D of 3D)
3. Introduceer de eindige elementen benadering voor de differentiaalvergelijking
met de parameters op de knooppunten (nodal parameters)
en de basisfuncties van de elementen
33

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
4. Integreer over de elementen om de elementstijfheidsmatrix en de
rechterlid vectoren te bekomen
5. Stel de algemene vergelijkingen op door de elementstijfheidsmatrices
te combineren
6. Pas de randvoorwaarden toe
7. Los de algemene vergelijkingen op
8. Evalueer de fluxen
In de volgende delen zullen we dit stap per stap bespreken.
5.1.1 Integraalvergelijking
We vermenigvuldigen eerst de differentiaalvergelijking (5.2) met een gewichtsfunctie
ω(x) en integreren dan over het ganse domein Ω (dit is
0 < x < 1). Op deze wijze krijgen we de gewogen integraalvergelijking:
Ω
Rωdx = 0 met Residue R = d dV
(σ ) + Qj (5.4)
dx dx
Wanneer V de exacte oplossing is op heel het domein, dan zal R overal
gelijk aan nul zijn. We proberen nu een V te vinden waarvoor de residu
(de hoeveelheid waarmee de differentiaalvergelijking niet voldoet in een
punt) gelijk verdeeld is over heel het domein. Dus ω wordt zo gekozen
dat R orthogonaal is in de ruimte van functies die gebruikt wordt in de
benadering van V (eindige elementen ruimte, zie stap 3).
5.1.2 Reduceren van de orde
Het reduceren van de orde in één dimensie gebeurt door partiële integratie:
1
0
(σ dω dV
dx dx − ωQj)dx
= ωσ dV
1 dx 0
(5.5)
Om de orde te reduceren in meerdere dimensies zal men gebruik maken
van het theorema van Green (zie 5.3.2).
5.1.3 Eindige elementen benadering
We verdelen het domein Ω in elementen (mesh elements Ωi) en vervangen
het continue veld V(x) in elk element (lokaal) door een lineaire combinatie.
34

Over de elementen zal dit een benadering van V zijn:
HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
V(ξ) = ∑ φn(ξ)Vn
x(ξ) = ∑ φn(ξ)xn
met bv: φ1(ξ) = 1 − ξ en φ2(ξ) = ξ
(5.6)
φn zijn de lineaire basisfuncties. Men kan ook andere basisfuncties gebruiken
(voor een bespreking hiervan zie sectie 5.2). De ruimte die deze
basisfuncties opspannen noemt men de eindige elementen ruimte.
Vn zijn de knopen (mesh vertices). Dit zijn de parameters die nodig zijn om
V te benaderen (dit wordt ook gezocht). Men noemt ze de vrijheidsgraden
(degrees of freedom, DOF). Het aantal vrijheidsgraden zal de grootte van
de algemene stijfheidsmatrix bepalen en dus ook de complexiteit van het
probleem.
Verder kiezen we ω = φm, dit noemen we de aanname van Galerkin. Deze
aanname zorgt ervoor dat R orthognaal zal zijn in de eindige elementen
ruimte. Hierbij zal R (dus de fout) monotoom kleiner worden als we meer
elementen nemen.We kunnen nu de integraal uit vergelijking 5.5 schrijven
als de som van de integralen over de elementen, zo krijgen we bv voor drie
elementen:
1
0
·dx =
1
3
0
·dx +
2
3
1 3
·dx +
1
2
3
·dx
Elke elementenintegraal wordt dan geschreven in de ξ ruimte:
x2
x1
·dx =
1
0
·Jadξ
met Ja = dx
dξ is de Jacobiaan van de transformatie van de x-coördinaten
naar de ξ-coördinaten.
5.1.4 Integreren over de elementen
De elementenintegraal die uit het linkerlid van vergelijking 5.5 komt, heeft
na de bovenstaande stappen de volgende vorm (in ξ-coördinaten):
1
0
σ dV
dω
− Qjω Jadξ
dx dx
samen met vergelijking 5.6 en de aanname van Galerkin (ω = φm) kunnen
we dit schrijven als:
(5.7)
VnEmn − fm
35

met Emn =
en fm =
1
0
1
0
HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
σ dφm dξ dφn dξ
dξ dx ξ dx Jadξ
Qjφm Jadξ
(Vn = nodal paramaters, Emn = element stijfheidsmatrix en fm = de force
vector)
De matrix Emn en de vector fm zijn exact gekend, terwijl de parameters Vn
de onbekenden zijn. Merk op dat de element stijfheidsmatrix symmetrisch
is.
Voorbeeld:
In dit geval is x = 1
3
ξ, zodat J =
dx
dξ = 1
3
Aangezien φ1(ξ) = 1 − ξ en φ2(ξ) = ξ, is dφ1
We krijgen dus:
5.1.5 Opstellen algemene vergelijking
1 −1
Emn = 3σ ·
−1 1
Qj/6
fm =
Qj/6
dξ
en dx = 3.
dφ2
dξ = −1 en dξ
= 1.
(5.8)
We hebben nu voor elk element een element stijfheidsmatrix opgesteld.
Deze worden dan samengevoegd zoals in figuur 5.1 getoond wordt. Merk
tevens ook op dat door de goed gekozen basisfuncties de matrix zeer
sparse1 is. Dit zal de berekeningen sterk vereenvoudigen (zie sectie 5.4).
Op deze wijze stelt men uit de element stijfheidsmatrices de algemene
stijfheidsmatrix op.
Het rechterlid uit vergelijking 5.5 moet ook nog herschreven worden. We
weten dat:
ωσ dV
= ωσ
dx
dV
− ωσ
dx
dV
dx
Γ
Γ de randen met Γ2: x = 1 en Γ1: x = 0.
Het is duidelijk dat voor de eerste knoop, ω1 verkregen wordt uit de
basisfunctie φ1. Dus [ω1] Γ1 = 1, en buiten dit element is ω1 gelijk aan 0, en
1 Een matrix die grotendeels uit nullen bestaat (behalve op de diagonaal en nevediagonalen),
noemt men een sparse matrix. Het voordeel ten op zichte van normale matrices is dat
er algoritmes bestaan zodanig dat reusachtige sparse matrices toch geïnverteerd kunnen
worden.
36
Γ2
Γ1

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.1: Samenvoegen van de element stijfheidsmatrices naar algemene
stijfheidsmatrix. De rijen worden gevormd door de waarden
van de knopen (nodes) bij de basisfuncties [10].
dus ook [ω1] = 0. Γ2
De bovenstaande vergelijking wordt dan in het eerste knooppunt:
ω1σ dV
= − ω1σ
dx Γ
dV
dx Γ1
= flux die eerste knoop binnenkomt
En op dezelfde manier vinden we in de middelste punten:
ωnσ dV
= 0
dx
Γ
= flux die middelste knopen binnenkomt
En ook voor het laatste knooppunt:
ωendσ dV
= ω
dx
endσ
Γ
dV
dx Γ2
= flux die laatste knoop binnenkomt
De vector die de bovenstaande fluxen bevat, noemt men de ladingsvector.
Nu kunnen we vergelijking 5.5 als een matrixproduct schrijven:
K · V = f
Hierin zijn de algemene stijfheidsmatrix K en de algemene ladingsvector
f gekend. Merk op dat f gelijk is aan de som van de bovenstaande vector
37

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
met fluxen en de force vector uit vgl 5.8. De spanning V (knooppunten)
kan men berekenen door deze matrixvergelijking op te lossen: V = K−1 · f .
Voorbeeld:
Voor de eenvoud stellen we σ = 1 en Qj = 1, dan bekomen we:
⎛
3 −3 0
⎞
0
⎜
⎜−3
⎝ 0
6
−3
−3
6
0 ⎟
−3⎠
0 0 −3 3
·
⎛
⎜
⎝
5.1.6 Randvoorwaarden
V1
V2
V3
V4
⎞
⎟
⎠ =
⎛ ⎞
1/6
⎜
⎜1/3
⎟
⎝1/3⎠
1/6
+
⎛
⎜
⎝
− dV
dx
dV
dx
Als randvoorwaarden van differentiaalvergelijking 5.2 hadden we:
• V = V0 op Γ1
• −σ dV
dx = jo op Γ2
0
0
x=0
x=1
⎞
⎟
⎠
(5.9)
Dit moeten we dus toepassen op de eerste en de laatste knoop (V1 en V end).
In het geval van een dirichlet randvoorwaarde (hier de RVW op Γ1), vervangen
we de betreffende vergelijking door deze voorwaarde. We noemen
ze noodzakelijke randvoorwaarde.
Een andere mogelijkheid is een neumann randvoorwaarde (hier de RVW
op Γ2). In dit geval is de flux gegeven en kunnen we deze invullen. We
noemen ze dan ook de flux randvoorwaarde.
Merk op dat om het probleem op te lossen er minstens één noodzakelijke
randvoorwaarde nodig is. Wanneer men alleen de flux randvoorwaarde
gebruikt, blijven de absolute waarden in de punten onbekend. In ons
voorbeeld geeft dit:
5.1.7 Oplossing
V1 = V0
−3 · V1 + 6 · V2 − 3 · V3 = 0 + 1/3
−3 · V2 + 6 · V3 − 3 · V4 = 0 + 1/3
−3 · V3 + 3 · V4− = −jo + 1/6
(5.10)
Wanneer we ons voorbeeld oplossen krijgen we voor de knooppunten de
volgende waarden (neem j0 = 1 en V0 = 1):
⎛ ⎞
1.0000
⎜
V = ⎜0.9444
⎟
⎝0.7778⎠
0.5000
38

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
In figuur 5.2 vergelijken we de analytische oplossing uit vergelijking 5.1
met onze verkregen waarden.
Figuur 5.2: Analytische oplossing uit vgl 5.1 en de numerieke FEM oplossing
met drie (lineaire) elementen uit vgl 5.10
5.1.8 Fluxen
We beschouwen ons voorbeeld:
Het oplossen van vergelijking 5.10 levert ons de waarden op de knopen.
Het oplossen van vergelijking uit subsectie 5.1.5 levert ons de fluxen (dit
zijn de inwaardse of uitgaande elektrische stromen). Dit levert dan:
⎛
⎜
⎝
− dV
dx
dV
dx
0
0
x=0
x=1
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎞
3 −3 0 0
⎜
⎜−3
6 −3 0 ⎟
⎝ 0 −3 6 −3⎠
0 0 −3 3
·
⎛ ⎞
1.0000
⎜
⎜0.9444
⎟
⎝0.7778⎠
0.5000
−
⎛ ⎞
1/6
⎜
⎜1/3
⎟
⎝1/3⎠
1/6
=
⎛
⎜
⎝
0.8333
0.0000
0.0000
−1.0000
⎞
⎟
⎠
39

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Dit wil zeggen: in het eerste knooppunt zal een stroom binnenvloeien
en in het laatste zal een stroom buitenvloeien (zoals ook gegeven was, nl:
J0 = 1). De uitgaande en ingaande stroom verschillen, omdat er hier een
stroombron Qj = 1 is (continuiteitsvergelijking).
[3], [8], [10], [13]
5.2 interpolatie over de elementen en het maken van een mesh
Vooraleer we in het volgende deel de voorgaande (eenvoudige) theorie
zullen uitbreiden, zullen we eerst iets dieper ingaan op het principe van de
mesh en de basisfuncties. Deze zullen namelijk een belangrijke rol spelen
in de oplosbaarheid van het probleem en in de nauwkeurigheid van de
oplossing.
Een mesh is een collectie vertices en edges, waarmee men een vorm kan
benaderen. Bij eindige elementen wordt de geometrie benaderd door zo’n
mesh. Op de elementen van deze mesh (=elementen hiervoor) zullen
knopen en basisfuncties gedefinieerd worden.
In het voorgaande deel namen we voor deze basisfuncties lineaire functies
(vergelijking 5.6). Dit is correct, maar andere basisfuncties zullen voor een
betere benadering zorgen en dus ook een correctere oplossing opleveren. In
dit deel bespreken we kort enkele basisfuncties die we kunnen gebruiken
bij FEM (zowel in één dimensie als in meerdere).
Een eenvoudige methode om een functie te benaderen is bijvoorbeeld een
kleinste kwadraten fit met polynomen (V(x) = a + b · x + c · x 2 + · · ·). Het
probleem hierbij is dat men bij hogere ordes onaanvaarbaardbare oscillaties
krijgt, zoals men kan zien op figuur 5.3. Wanneer we het voordeel van
eenvoudig integraties van lage graads polynomen willen behouden en toch
een goede benadering willen krijgen, gaan we het gehele domein opsplitsen
en lage graads polynomen gebruiken in kleinere deeldomeintjes (spline
methode). Deze deeldomeintjes noemen we de elementen.
5.2.1 Lineaire basisfuncties
Wanneer het domein onderverdeeld wordt in deeldomeintjes om te fitten,
dan ontstaat het probleem dat de benaderende functie niet meer continu is.
Dit wordt opgelost door onze functies op de volgende manier te kiezen:
V(ξ) = φ1(ξ)v1 + φ2(ξ)v2
Met v1 en v2 de waarden op de uiteinden van dat element (knoop) en
φ1(ξ) = (1 − ξ) en φ2(ξ) = ξ
40

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.3: De data is een rechte met ruis. De tiende graads polynoom gaat
exact door alle datapunten maar is toch geen goede benadering
van de rechte.
41

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
de lineaire basisfuncties. Deze functies variëren tussen 0 en 1. Denk eraan
dat we voor een knoop op een lokale elememt (in het geval van lineair:
begin- en eindpunt) steeds de waarde moeten nemen van de overeenkomstige
algemene knoop (Vn). Een andere manier waarop men dit kan
beschouwen is door deze functies als gewichtsfuncties van de algemene
knoop te beschouwen (zie fig 5.4).
We hebben nu een continue parametrische beschrijving van de benaderende
functie v(ξ). Het enigste wat nu nog noodzakelijk is, is dat we terug onze
oorspronkelijke (fysische) coördinaten gebruiken. We willen namelijk v(x)
vinden. Daarom moeten we een relatie tussen x en ξ voor ieder element
vinden. Dit kunnen we doen door x te beschouwen als een interpolatie van
de waarde op de knooppunten. Dus we hebben:
v(ξ) = ∑ n
x(ξ) = ∑ n
φn(ξ)vn
φn(ξ)xn
Waarbij de tweede vergelijking de waarde van x voor een ξ geeft en zo dus
samen met de eerste vergelijking de waarde voor v in een bepaalde x geeft.
5.2.2 Kwadratische basisfuncties
Het essentiële bij basisfuncties voor FEM is dat ze 1 zijn op de knoop waar
ze geëvalueerd worden, en 0 op alle andere knopen. Dit verzekert niet
alleen de lineaire onafhankelijkheid van de basisfuncties, maar op deze
manier zal men ook sparse stijfheidsmatrices krijgen.
Dit blijft van tel, ook als men hogere graads interpolaties gaat gebruiken. Zo
zijn er kwadratische basisfuncties (kwadratische polynoom op elk element).
Merk wel op dat men dan in één element drie knopen zal nodig hebben.
De kwadratische basisfuncties (met knopen op ξ = 0, ξ = 0, 5 en ξ = 1)
worden getoond in figuur 5.5.
Naast de lineaire en kwadratische basisfuncties worden de kubische, kwartische
en de quintische ook gebruikt. Bij de kubische heeft men bv vier
punten nodig (derde graads op elk element).
5.2.3 Twee en drie dimensionale elementen
Twee dimensionale en drie dimensionale basisfuncties kunnen eenvoudig
geconstrueerd worden door het product te nemen van basisfuncties uit
de eerste dimensie. Zo krijgt men bijvoorbeeld de volgende bilineaire
basisfuncties die het product zijn van de 1D lineaire functies (zie figuur
5.6).
V(ξ) = φ1(ξ1, ξ2)v1 + φ2(ξ1, ξ2)v2 + φ3(ξ1, ξ2)v3 + φ4(ξ1, ξ2)v4
42

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.4: De functie v h kan voorgesteld worden als viφi(x), met lineaire
basisfuncties (gewichtsfuncties: φi(x)) en een bijhorende
gewichtsfactor vi (uit [3])
43

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.5: De drie kwadratische basisfuncties met knooppunten ξ = 0,0.5
en 1.
Met:
φ1(ξ1, ξ2) = (1 − ξ1)(1 − ξ2)
φ2(ξ1, ξ2) = ξ1(1 − ξ2)
φ3(ξ1, ξ2) = (1 − ξ1)ξ2
φ4(ξ1, ξ2) = ξ1ξ2
Merk ook op dat er verschillende combinaties (met verschillend aantal
noodzakelijke knooppunten) mogelijk zijn. Zo kan men bijvoorbeeld
kwadratische-lineaire elementen gebruiken (kwadratisch in ξ1 en lineair in
ξ2) met 6 knooppunten (en dus ook 6 basisfuncties).
Voor de drie dimensionale elementen gaat men ook gewoon de dubbelproducten
nemen. Zo krijgt men 8 trilineaire basisfuncties over 8 knopen, 27
trikwadratische basisfuncties over 27 knopen, ... .
5.2.4 Hogere orde continuïteit
De tot nu toe besproken basissen noemt men Langrange basisfuncties. Over
de elementen (overgang element n naar element n + 1) zijn zij enkel continu
in V (per element is dit dus hun enige randvoorwaarde). Soms is het echter
een goed idee om functies te gebruiken waarvan hogere ordes ook continu
zijn over de elementen. Zo verkrijgen we een smoothere benadering. Men
doet
dit door het definiëren van één extra parameters per knooppunt, nl:
. Zo krijgen we voor 2 knooppunten in het totaal vier parameters
dV
dξ
n
44

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.6: Een 2D bilineair basisfunctie. De andere drie basisfuncties
zien er gelijkaardig uit maar hebben hun φ = 1 op een ander
knooppunt
45

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
per element. Nu kunnen we dus kubische basisfuncties gebruiken op elementen
met slechts 2 knopen (of quintische met maar drie knooppunten).
We noemen ze de hermite basisfuncties (figuur 5.7).
V(ξ) = a + bξ + cξ 2 + dξ 3
dV
dξ
Met de volgende voorwaarden:
= b + 2cξ + 3dξ2
V(0) = a = v1
V(1) = a + b + c + d = v2
dV
dξ (0) = b = v′ 1
dV
dξ (1) = b + 2c + 3d = v′ 2
Aangezien we vier vergelijkingen hebben, kunnen we de vier onbekenden
(a,b,c,d) bepalen. Als we dit uitwerken en herschrijven kunnen we V schrijven
in functie van de vier hermite basisfuncties:
V(ξ) = φ 0 1 (ξ)v1 + φ 1 1 (ξ)v′ 1 + φ 0 2(ξ)v2 + φ 1 2 v′ 2(ξ)
Met de hermite basisfuncties (zie fig 5.7):
φ 0 1 (ξ) = 1 − 3ξ2 + 2ξ 3
φ 1 1 (ξ) = ξ(ξ − 1)2
φ 0 2(ξ) = ξ 2 (3 − 2ξ)
φ 1 2(ξ) = ξ 2 (ξ − 1)
Om bikubische basisfuncties te creëren (2 dimensionaal), heeft men vier
voorwaarden per knoop, namelijk: V, ∂V ∂V , ∂ξ1 ∂ξ2 , ∂2V . In totaal zal men dus
∂ξ1∂ξ2
16 basisfuncties nodig hebben (alle mogelijke dubbelproducten van het 1D
geval).
In de praktijk zullen kubische hermite elementen vaak gebruikt worden
wegens hun natuurlijke vorm.
5.2.5 Triangulaire elementen
Bij driehoekige elementen kunnen we niet zomaar basisfuncties vormen
door het product van de 1D basisfuncties te nemen. We beschouwen daar-
46

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.7: De vier kubische hermite basisfuncties (met slechts twee knopen)
om figuur 5.8.
De verhouding van de oppervlakte van driehoek P23 en de totale oppervlakte
van driehoek 123 is per definitie gelijk aan (zie fig 5.8):
1
x y
L1 = OppervlakteP23
Oppervlakte123
= 1
2
1 x2 y2
1 x3 y3
oppervlakte123
Op exact dezelfde wijze definiëren we L2 en L3 als de verhoudingen van de
oppervlakken van driehoek P13 en P12 ten op zichte van het oppervlakte
van driehoek 123. Dit noemen we de oppervlakte coördinaten. Het is
duidelijk dat L1 + L2 + L3 = 1 en dat 0 ≤ L1 ≤ 1 (als P tussen punten 2 en
3 ligt ⇒ L1 = 0, als P = 1 ⇒ L1 = 1). Hierdoor kan L1 als basisfunctie voor
knoop 1 (van het driehoekig element) gebruikt worden. We kunnen dus
schrijven:
V(x, y) = L1(x, y)v1 + L2(x, y)v2 + L3(x, y)v3
Op deze manier kan men ook de drie dimensionale variant, de tetrahedrale
elementen, construeren. Het voordeel van zo’n elementen is dat ze geometrisch
flexibeler zijn dan de hierboven besproken rechthoekige varianten.
Merk echter wel op dat voor sommige geometrieën triangulaire elementen
47

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.8: Grafische voorstelling triangulaire basisfunctie L1 [10]
in praktijk vaak niet nodig (en nutteloos) zijn.
[3],[10],[13],[44],[52]
48

5.3 eindige elementen, uitbreiding
5.3.1 Een minder ideale vergelijking
HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
In sectie 5.1 bespraken we de oplossing met enkele benaderingen. Zo werd
Je = 0 gesteld. Willen we deze externe stroombron toch meenemen, dan
krijgen we extra termen in de ‘ladingsvector’. Deze zullen alleen aan de
randen een rol spelen (externe stroombron). Dit geeft dan (zonder verdere
berekeningen):
⎛
3 −3 0
⎞
0
⎜
⎜−3
⎝ 0
6
−3
−3
6
0 ⎟
−3⎠
0 0 −3 3
·
⎛
⎜
⎝
V1
V2
V3
V4
⎞
⎟
⎠ =
⎛ ⎞
1/6
⎜
⎜1/3
⎟
⎝1/3⎠
1/6
+
⎛
⎜
⎝
− dV
dx
dV
dx
0
0
x=0
x=1
⎞
⎟
⎠ +
⎛
⎜
⎝
We namen ook voor σ en Qj een constante. Deze kunnen echter ook
afhankelijk zijn van de plaats en/of de spanning. In dit geval zal de
integraal om de stijfheidsmatrix op te lossen, aangepast moeten worden.
5.3.2 Twee en drie dimensionaal
Tot nu toe hebben we enkel problemen in één dimensie opgelost. Deze zijn
echter triviaal en vaak onnuttig bij het beschrijven van reële problemen.
Nu zullen we ook differentiaalvergelijkingen op vlakken en in volumes
bespreken. Het oplossen op zulke complexe geometrieën zal de grootste
troef van FEM modellen zijn. We nemen nu dus vgl 5.1 in drie dimensies
en met Je = 0 en Qj = 0. Verder veronderstellen we nog isotropie (k =
kx = ky = kz). We krijgen dan (zoals in vgl 5.4) de volgende gewogen
integraalvergelijking:
Rωdx = 0 met Residue R = ∇ σ · ∇V
Ω
Nu passen we ipv partiële integratie het theorema van Green-Gauss toe:
f ∇ · ∇g + ∇ f · ∇g dΩ = f ∂g
∂n dΓ
Ω
Dit geeft een gelijkaardige vergelijking als in vgl 5.5, nl:
σ∇V · ∇ωdΩ = σω ∂V
∂n dΓ
Ω
Bij het discretiseren van het probleem kunnen we meshes kiezen zoals in de
voorgaande sectie besproken. De mapping zal niet meer triviaal zijn ( ∂ξ i
∂x k zal
49
Γ
Γ
−Je
0
0
Je
⎞
⎟
⎠

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Figuur 5.9: Boven: elke Ωi wordt gemapped naar het ξ1, ξ2-vlak. Onder:
het samenstellen van de algemene stijfheidsmatrix. [10]
50

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
namelijk vaak niet eenvoudig te berekenen zijn, zie figuur 5.9). Het linkerlid
zal de element stijfheidsmatrix geven, die nu wegens de vier basisfuncties
(in 2D) een 4 × 4 matrix zal zijn. Hieruit kan men dan de algemene
stijfheidsmatrix samenstellen (figuur 5.9). Het rechterlid zal de fluxen
geven (enkel verschillend van nul op de randen of bij stroombronnen).
5.3.3 Integralen en Gaussische kwadratuur
Bij het opstellen van de element stijfheidsmatrix en de ‘ladingsvector’ dient
men een integraal uit te rekenen (zie vgl 5.7). Meestal gebruikt men Gaussische
kwadrature, omdat dit snel de exacte oplossing geeft bij polynomen
(2N − 1):
1
0
f (ξ)dξ =
N
∑ Wi f (ξi)
i=1
Zonder verdere afleiding voor derde graads polynomen (kubische) [17]:
Gewicht W1,2 = 1
2
Gaussische punten ξ1,2 = 1 1
±
2 2 √ 3
In meerdere dimensies zal de oplossing niet meer exact zijn. Ook hoeft de
functie niet meer een polynoom te zijn (bv σ is een exponentiële functie).
Als gaussische punten kiest men dan de knopen.
5.3.4 De nauwkeurigheid van FEM
Fouten in het resultaat kunnen verschillende oorzaken hebben. Een eerste
belangrijke reden voor verschillen tussen het echte en het berekende
resultaat, is een modelleringsfout. Bij het modelleren zijn aannames en
vereenvoudigen noodzakelijk. Als onderzoeker moet men hier de juiste
keuzes maken. Een andere factor zijn fouten op de inputdata.
Deze 2 fouten zijn onvermijdelijk en men zal ze zo klein mogelijk moeten
proberen te houden. In deze sectie zal ik het echter kort hebben over de
computationele fouten. Er zijn twee types.
• Afrondingsfout: fout ten gevolge van de eindige representatie van
getallen bij computerbewerkingen.
• Discretisatiefout: fout ten gevolge van een benadering. Bij eindige
elementen zal men bv maar op een discreet aantal punten uitrekenen.
51

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Belangrijk is dat deze fouten niet groeien bij verder berekeningen. Een
belangrijke oorzaak van verdere aangroei is cancellation error 2 . Wij zijn natuurlijk
geïnteresseerd in een afschatting van de fout bij FEM. Dit probleem
is zeker niet triviaal. Computationele fouten ontstaan bij het invoeren van
discrete elementen, het numeriek benaderen van de integraal en bij het
inverteren van de stijfheidsmatrix K.
Door inverteren zal de precisie van de oplossing (10 −s ) gelijk zijn aan (met
cond = conditiegetal, 10 −t = precisie voor het inverteren):
10 −s ≤ 10 −t · cond(K)
met cond(K) = K K −1
5.3.5 Convergentie en numerieke stabiliteit
Een oplossing is stabiel als kleine veranderingen in de inputdata van het
probleem enkel kleine veranderingen in de oplossing veroorzaken. Anders
noemt men deze oplossing onstabiel of slecht geconditioneerd. Deze onstabiliteit
kan zich bevinden in het fysisch probleem zelf, maar ook in het
discrete model. In een discreet model kan dit gebeuren door fouten die
zullen exploderen. Tips om dit te vermijden, bespreken we in sectie 5.4.
Monotome convergentie betekent dat de oplossing continu beter wordt bij
meerdere elementen. In praktijk wordt dit gecontroleerd door een kleinere
mesh te nemen. Onze basis moet compatibel (smooth en continu over de
elementen) en volledig zijn. Dan zal de oplossing van de integraalvergelijking
die van de differentiaalvergelijking benaderen. De discretisatiefout zal
dus kleiner worden. Merk echter wel op dat bij steeds fijnere meshes de
afrondingsfout groter wordt. Het conditiegetal van de stijfheidsmatrix zal
namelijk groter worden.
5.3.6 Inverteren van matrices
Bij het oplossen van eindige elementen modellen, moet men de stijfheidsmatrix
inverteren. Dit is wegens zijn grootte geen trivialiteit en het zal een
beperkende factor zijn op de complexiteit van het probleem. Er bestaan
verschillende algoritmes voor deze invertering, elk met zijn voordelen. Een
kort overzicht van de keuzes:
• Lineair versus Niet-lineair: lineaire algoritmes werken goed en snel op
lineaire problemen, maar zullen minder accuraat zijn bij niet-lineaire
2 Aftrekken van 2 ongeveer gelijke getallen zorgt ervoor het resultaat veel minder nauwkeurig
wordt.
52

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
problemen. In mijn model zal enkel met eenvoudige lineaire differentiaalvergelijkingen
gewerkt worden. Een voorbeeld van niet lineariteit:
geleidbaarheid is afhankelijk van temperatuur en het domein warmt
op door een stroom.
• Iteratief versus Direct: directe algoritmes zullen (bij eenvoudige problemen)
sneller zijn maar meer geheugen vereisen. Iteratieve methoden
hebben minder geheugen nodig en zijn in 3D vaak sneller als de
directe. Een goede beginschatting is wel noodzakelijk. Aangezien het
model uit hoofdstuk 8 groot zal zijn en de computercapaciteit beperkt,
heb ik gekozen voor een iteratieve berekening.
• symmetrisch versus asymmetrisch: bij symmetrische matrices zal het
algoritme sneller en met minder geheugen werken.
Voor het tijdsonafhankelijke lineair probleem in mijn elektro-anatomisch
model gebruik ik dus de iteratieve ‘conjugate gradients methode’ met als
‘pre-conditioner’ (beginschatting) de ‘algebraic multigrid’.
[8],[10],[13],[17],[37],[44]
5.3.7 Finite Difference (FDM)
De eindige differentie methode (Finite Difference Method, FDM) is een
andere numerieke methode om differentiaalvergelijkingen op te lossen. Het
domein zal hier ook onderverdeeld worden in discrete voxels waarvan men
de uitkomst zal berekenen. Dit zal men doen door de afgeleiden in de differentiaalvergelijkingen
te vervangen door differentie uitdrukkingen. Elke
voxel zal dan berekend kunnen worden door de waarde in de aanliggende
voxels te nemen en hierbij de differenties (flux) op te tellen. Dit probleem
kan men ook als een stelsel/matrix schrijven.
In [37] wordt dit gedaan met een stroommodel. Er zijn voxels waar stroom
binnenvloeit (+1µA, elektrode) en er zijn voxels waar de stroom buitenvloeit
(−1µA, grondelektrode). Op de randen geldt dat er geen stroom
wegvloeit en op elke andere voxel geldt de continuïteitsvergelijking (evenveel
in als uit). In dit model wordt gebruik gemaakt van 20 miljoen voxel
elementen. Dit vraagt een sterke computerkracht.
Er zijn enkele grote verschillen tussen FEM en FDM. FDM is eenvoudiger te
implementeren dan FEM, maar is complexer bij samengestelde geometrieën,
gekromde randen, inhomogeniteiten etc. FEM is dus verkiesbaar bij complexe
domeinen/randen en zal over het ganse domein een evenwaardige
benadering (proberen) te maken. Een ander voordeel van FEM is dat het
niet enkel een benadering maakt op de gridpunten (zoals FDM), maar door
de basisfuncties ook over het ganse element voor een goede benadering
zorgt.
53

5.4 eindige elementen analyse
HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Eindige elementen analyses is een veelgebruikte techniek in ingenieurstoepassingen.
De bedoeling is om met behulp van de eindige elementen
methode problemen te modelleren en hierop een analyse uit te voeren. De
keuze van eindige elementen is voor de hand liggend. We kunnen namelijk
werken op weinig vereenvoudigde geometrieën. Dit zorgt samen met de
moderne rekenkrachtige computers dat problemen op zeer complexe geometrieën
(zoals bv op biologische samples) zonder al te veel toegevingen
kunnen gemodelleerd worden.
We zullen nu de drie grote stappen van zo’n analyse bespreken en deze dan
verduidelijken met praktische gegevens uit Comsol [42] en de gecreeërde
modellen uit deze thesis (zie hoofdstuk 6, 7 en 8).
5.4.1 Preprocessing
Tijdens de fase die voorafgaat op het eigenlijke rekenen dienen een aantal
zaken te gebeuren. Eerst en vooral moet men het probleem specificiëren.
Hierbij zullen de geometrie en de bijhorende differentiaalvergelijking een
belangrijke rol spelen. Deze vergelijking hangt af van het soort probleem
(elektro-magnetisme, elasticiteit, hydrodynamica, thermisch, ...). Vervolgens
wordt het probleem gediscretiseerd. Dit wil zeggen dat we een mesh maken
met slechts een discreet aantal elementen waarop we de oplossing willen
benaderen.
Tenslotte moeten ook de materiaaleigenschappen (subdomain) en de randvoorwaarden
(boundary, edge, point) ingesteld worden. Dit zijn de eigenschappen/beperkingen
die gelden voor elk knooppunt.
In Comsol moet men dus de volgende zaken instellen:
1. Geometrie: men kan ofwel de geometrie aanmaken door hem in een
CAD (computer-aided design) omgeving te tekenen (zie hoofdstuk 6
en 7). Een andere methode is door hem te importeren van buitenaf
(zie hoofdstuk 8).
2. Mesh: voor het maken van een mesh en de basisfuncties zijn er
veel mogelijkheden (zie sectie 5.2). In de berekeningen uit volgende
hoofdstukken wordt gebruik gemaakt van tetrahedrale, lagrange
kubische basisfuncties. Het nemen van fijnere en hogere graads
meshen leidt in het algemeen naar een nauwkeurigere oplossing maar
de rekentijd en de noodzakelijke grootte van het geheugen nemen
toe. Zeer vaak is het noodzakelijk om de nauwkeurigheid doorheen
het object te variëren. Sommige plaatsen hebben namelijk een veel
nauwkeurigere oplossing nodig.
3. Physics: hier stelt men de materiaaleigenschappen, de randvoorwaar-
54

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
den en de brontermen van het systeem in (zie ook hoofdstuk 4). Merk
wel op dat men tenminste één essentiële randvoorwaarde nodig heeft.
5.4.2 Oplossen
Zoals besproken in het begin van dit hoofdstuk, moet men bij het oplossen
van een differentiaalvergelijking met behulp van FEM eerst een element
stijfheidsmatrix creëren en vervolgens hiermee de algemene vergelijking
opstellen. Samen met de nodige randvoorwaarden levert dit een oplosbaar
stelsel van vergelijkingen op. De oplossing kan men dan bekomen door het
inverteren van de sparse matrix.
Vervolgens worden de variabelen berekend (bv spanning). De resultaten
worden dan opgeslagen zodat ze gebruikt kunnen worden bij het postprocessen.
In Comsol wordt de output weggeschreven in een typische
FEM-structuur.
Het voorkomen van slecht geconditioneerde problemen is belangrijk. Daarom
de volgende tips:moet men op de volgende zaken letten:
• In verband met de snelheid:
– Eventuele symmetrieën gebruiken: bv een spiegelvlak reduceert
de complexiteit met factor 2.
– Nutteloze randen en subdomeinen vermijden. Inwendig randen
tussen 2 dezelfde subdomeinen verwijderen. Uitwendige geometrieën
die nodig zijn voor de randvoorwaarden vervangen door
‘formules’. Zo kan men bijvoorbeeld ipv een hele geometrie, een
weerstand aan een rand hangen.
• In verband met de kwaliteit en de oplosbaarheid:
– Kleine details en gaten vermijden: deze zullen namelijk de mesh
soms te klein proberen maken.
– Singulariteiten en degeneratie in de geometrie vermijden: scherpe
hoeken zullen niet alleen fysisch gezien voor moeilijkheden
zorgen, ze zullen ook een slechtere meshkwaliteit opleveren.
Lokale onstabiliteit zal dus ontstaan wanneer men slechte elementen definieert.
Elementen die veel langer zijn dan dat ze breed zijn zullen in het
algemeen slechte resultaten opleveren.
5.4.3 Postprocessing
‘Postprocessing’ slaagt op het weergeven van de resultaten. Voor kleine
eenvoudige problemen kan men snel goede grafieken maken. Voor een 1D
probleem kan men bijvoorbeeld een gewone plot maken (plaats(x)-waarde).
55

HOOFDSTUK 5. EINDIGE ELEMENTEN
Bij 2D en 3D ligt dit vaak al veel moeilijker. Men kan kleurenplots maken,
maar deze zijn vaak moeilijk interpreteerbaar. Het maken van goede plots
uit de verkregen dataset is dus geen triviaal probleem.
Een korte bespreking van enkele mogelijkheden (in 3D):
• Cross-sectie: op een slice (2D) of langs een lijn (1D) wordt de oplossing
gegeven. Men kan werken met een aantal slices op vaste plaatsen of
op bepaalde plaatsen die ons interesseren.
• Punt evaluatie: we kunnen ook de waarde op één punt opvragen.
• Integratie: de oppervlakte- of lijnintegraal van een bepaald vlak of lijn.
Dit is bijvoorbeeld interessant als we willen weten hoeveel stroom er
wegvloeit via een bepaalde rand (bv I(A) = J(A/m 2 )dΓ).
• Isosurface: er worden vlakken getekend met gelijke oplossing.
• Randen: de oplossing op een rand wordt getoond.
• Pijlen: dit is bijvoorbeeld interessant om de stroomrichting te onderzoeken.
• Animatie: een bepaalde parameter wordt gevarieerd en we maken
hiervan een animatie in de tijd.
[13],[44]
5.5 besluit
In dit hoofdstuk werd de theorie van eindige elementen kort uitgelegd. In
de eerste delen werd er een eenvoudige theoretische beschouwing gegeven.
In de laatste delen werden eerder praktische aspecten van complexe eindige
elementen analyses via Comsol besproken. In de volgende hoofdstukken
zal nu de kennis die we in dit en de voorgaande hoofdstukken opgebouwd
hebben, toegepast worden door het maken van elektrische modellen van de
cochlea.
56

Deel II
Modelleringswerk
57

E E N V O U D I G L I N E A I R M O D E L
vooraf
In dit hoofdstuk zullen we een eenvoudig lineair model opstellen. Het doel van dit
hoofdstuk is tweezijdig.
• Enerzijds een korte, praktische kennismaking met eindige elementen modelleringen.
• Anderzijds eenvoudige bevindingen over cochleaire implantaten.
De naam lineair is vooral gekozen omdat we de cochlea zullen ‘afrollen’ en als een
cilinder zullen bespreken. Dit model zal ik zelf ‘tekenen’ (in Computer aided design
interface) en vervolgens de volume geleiding beschouwen. Verder zal besproken
worden hoe de elektrische veldverdeling bij deze eenvoudig modellen van de cochlea
beïnvloed worden door de geometrie, materiaaleigenschappen en randvoorwaarden.
Deze bevindingen zullen we dan in hoofdstuk 8 gebruiken.
58
6

6.1 beschrijving
HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
In dit deel zullen we de opbouw van het model beschrijven. Het ‘preprocessen’
gebeurt, zoals besproken in hoofdstuk 5 in enkele stappen:
6.1.1 Geometrie
Model 1
In figuur 6.1 worden de afmetingen en de opbouw van het eerste model
getoond. Model 1 bestaat uit het afgerolde labyrinth met daarin een elektrodecarrier
(isolator) met één contact. Dit geheel bevindt zich in een benige
cilinder. Het werd gemaakt in de computer aided design (CAD) omgeving
van Comsol, door een 2D slice ‘uit te rekken’ en hierin een vierkant
elektrodecontact te plaatsen.
Verbetering
Na het bekomen van de resultaten in sectie 6.2 werden aan het model de
volgende verbeteringen aangebracht:
1. Het toevoegen van een zenuwgeleiding, de ‘modiolus’
2. Het maken van een scala tympani en scala vestibuli
6.1.2 Mesh
Voor het maken van een mesh werden standaard tetraheders gebruikt.
Wegens de eenvoud van het model levert dit geen problemen op. Al de
volumes en randen zijn namelijk mooi gedefiniëerde geometrieën (cilinders,
vlakken). Er zullen dus geen overlappingen ontstaan of te scherpe driehoekjes.
Kleinere geometrieën krijgen een kleinere mesh. Wanneer we een
resultaat gevonden hebben is het ook goed om dit met een fijnere mesh te
herberekenen (zo is er meer zekerheid over de convergentie). (standaard
nemen we: 35000 volume elementen, 5000 boundary elementen).
6.1.3 Materiaaleigenschappen en randvoorwaarden
Voor de materiaaleigenschappen zullen we de waarden van Frijns [7] en
Whiten [37] invullen (zie tabel 2.1). Bij de randvoorwaarden zullen we
voor de elektrode een stroombron (I) van 1A nemen. We doen dit omdat
dan de verkregen waarden voor de potentiaal (V) gelijk is aan deze van de
weerstand naar de grond (R) (aangezien volgens Ohm: R = V
I ).
59

HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
Figuur 6.1: Schets van het lineaire model1. (A) dwarsdoorsnede, (B) zijaanzicht,
(C) elektrode
met: bot (1), afgerold labyrinth (bestaande uit perilymph)(2) en
elektrode carrier (isolator)(3) met elektrode (C)
Verder zijn de randen Γ1 en 2 aangeduid en zijn de afmetingen
weergegeven (gebaseerd op anatomische schattingen, hoofdstuk
2)
60

Model 1
HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
Verder bestuderen we de (andere) randvoorwaarden en hun invloed op de
oplossing. Deze studieresultaten zullen we gebruiken in hoofdstuk 8. De
volgende situaties zullen we beschrijven (beschouw figuur 6.1):
(a) Alle buitenranden (bot + perilymph 1 ) zijn grond.
(b) Enkel het begin van het labyrinth is grond. Dus op figuur 6.1 is
dit Γ1.
(c) Enkel bot is grond (de mantel van de cilinder en dus niet het
onder- en bovenvlak van deze cilinder).
(d) In het voorgaande was heel het manteloppervlakte van de bot
cilinder grond. In dit geval gaat dit nog maar 1/4 zijn, namelijk
onderaan (Dit is de plaats waar de zenuw de grond zal zijn in
model 2, en op figuur 6.1 aangeduid met Γ2), Γ1 is ook grond.
(e) Idem voorgaande, maar met Γ1 geïsoleerd.
(f) Idem situatie 4, nu ipv een rechtstereekse grond, een grond met
nog een weerstand (en Γ1 nog gewoon grond).
(g) Idem situatie 6, maar nu is er ook een weerstand tussen Γ1 en
de grond.
Verbetering: Zenuwvezels
We nemen als geleidbaarheden deze uit de modellen van Frijns [7] en Whiten
[37]. Deze vindt men terug in tabel 2.1. Aangezien rekenen op te kleine
geometrieën computationeel complexer is, en zenuwvezels zeer dun zijn,
nemen we dikkere vezels, maar compenseren we met een lagere geleidbaar-
Lengte
heid (aangezien: R = σ·oppervlakte ). Als compensatiefactor gebruiken we
1/3. Het einde van de zenuwvezel verlengen we met 5cm (extra weerstand
naar grond).
Verbetering: Kanalen
In het labyrinth komen nu ook twee halve cilinders die de scala tympani
en vestibuli voorstellen. Op deze manier is er een laagje bot tussen de
modiolus en het perilymph en tussen de twee kanalen. Een eventuele
verdere verbetering zou er in bestaan om een echte voorstelling te nemen
(zoals in figuur 2.3), deze ‘uit te rekken’ en rekening te houden met het
conische (kegelvormige) karakter van de cochlea. Dit zou ons lineair model
echter te ver leiden van het opzet van dit hoofdstuk, namelijk het begrijpen
van het resultaat uit een eenvoudig geleidingsmodel.
1 Dit is het afgerolde labyrinth.
61

6.2 resultaten en bespreking
Model 1
HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
We bespreken eerst hoe de resultaten (zie figuur 6.2) beïnvloed worden
door de randvoorwaarden. Vervolgens zal de invloed van de materiaaleigenschappen
besproken worden.
(a) Op positie x = 0 geldt V = 0 (definitie grond). Vandaar dat V
zo snel afneemt. Rechts zal de stroom ongeveer exponentieel
(logaritmische plot) afnemen wegens een ‘verliesstroom’. Dit
wordt aangetoond in figuur 6.3
(b) Het enige pad waarlangs de stroom kan wegvloeien naar de
grond is ter hoogte van het begin van het labyrinth. Al de
andere randen zijn geïsoleerd. Dit wil zeggen dat er geen
stroom doorvloeit (nJ = 0 zie sectie 4.4). Daarom zal er geen
spanningsverschil zijn (wet van Ohm).
(c) Aangezien de aansluiting van het labyrinth nu geïsoleerd is, zal
hier ∂V
∂x = 0 (uit vgl 4.5 en vgl 4.6) en zal men een horizontale
krijgen in het punt x = 0.
(d) Het verschil met 1 is dat de plot iets hoger ligt en de rechte
minder steil is. Het hoogteverschil kan men verklaren door het
feit dat de weerstand naar de grond groter is. Er zijn namelijk
minder paden waarlangs de stroom naar de grond kan vloeien.
Zoals hierboven besproken heeft de spanning dezelfde grootte
als de weerstand naar de grond. Hierdoor zal de verliesstroom
ook kleiner zijn, waardoor de exponentiële afname minder steil
zal zijn.
(e) Op x = 0 geldt ∂V
∂x = 0. Verder zal de spanning hoger liggen
omdat de weerstand groter is.
(f) Hier is de spanning nog groter als in 4 en is de exponentieel
dalende functie minder steil. Dit komt tevens door een hogere
weerstand naar de grond.
(g) Nu is er ook een extra weerstand (≈ 8.5kΩ) aan het begin
van het labyrinth. Hierdoor zal de functie exponentieel blijven
afnemen tot aan de rand (x = 0), ipv al naar V(0) = 0 te gaan.
Wanneer men deze oplossingen (kwalitatief) vergelijkt met de experimentele
resultaten (zie hoofdstuk 8, figuur 8.3), dan blijkt de laatste grafiek
62

HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
(a) RVW1: (b) RVW2:
(c) RVW3: (d) RVW4:
(e) RVW5: (f) RVW6:
(g) RVW7:
Figuur 6.2: De spanning (V) op de elektrodedrager (m) voor verschillende
randvoorwaarden. 63

HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
hier het beste mee overeen te komen 2 . We zullen dan ook deze randvoorwaarden
nemen in hoofdstuk 8. Op figuur 6.2 is de rode plot volgens de
Figuur 6.3: In dit voorbeeld beschouwen we een cilinder (hoogte = 10m,
straal = 1m, geleidbaarheid σ = 1S/m (blauw)), het bovenvlak
is een stroombron van 1A/m 2 en het grondvlak is de grond.
Bij verliesstroom (gestreept) kan er via een rand stroom naar
de grond vloeien (via eventuele weerstand). Wanneer we een
kleindere geleidbaarheid zouden nemen (rood), dan zou de
curve steiler worden (wet van Ohm).
waarden van Frijns en de blauwe plot volgens de waarden van Whiten.
Wat ons opvalt is dat bij de waarden van Frijns de exponentiële curve
steiler is en de oplossing in het algemeen lager ligt. De steilheid komt
door de wet van Ohm (een grotere resistiviteit geeft een snellere afname,
zoals besproken in figuur 6.3), hogere waarden komt omdat bij de
waarden van Frijns de weerstand naar de grond groter is (geleidbaarheid:
1.43 S/m < 2 S/m, 0.3 S/m < 0.33 S/m).
Nu we alle relevante parameters in dit model onderzocht hebben, kunnen
we veranderingen in de geometrie nog onderzoeken. Hierdoor dient men
eigenlijk een nieuw model te creëren (met een nieuwe mesh). We zullen
nog de invloed van ‘zenuwvezels’ en het inbrengen van twee gangen (scala
tympani en scala vestibuli) onderzoeken.
2 Merk op dat de grafiek omgedraait dient te worden. Hier is de basis van het labyrinth gelijk
aan positie x = 0. In hoofdstuk 8 ligt hier elektrode positie nr 16.
64

Verbetering: Zenuwvezels
HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
In figuur 6.4 valt meteen op dat de rollen ten opzichte van figuur 6.2
‘omgedraaid zijn’. Nu zal de plot met de waarden van Frijns het hoogste
zijn. Dit komt omdat de modiolus van Frijns mindergeleidend is. Verder
zal de weerstand naar de grond groter zijn. Dit komt omdat het contact-
oppervlak van de modiolus kleiner geworden is (R = Lengte
σ·oppervlakt ).
Wat ook opvalt is het feit dat de waarden volgens Frijns minder steil zijn als
deze volgens Whiten (zeker in vergelijking met figuur 6.2). Dit is wederom
te verklaren door de weerstand via de modiolus. In de verbetering met de
kanalen, zal dit ook een belangrijke rol spelen (dan zal dit door het laagje
bot komen), daarom verwijs ik er naar (samen met figuur6.6).
Merk verder op dat de geleidbaarheid van het bot hier een veel minder
bepalende factor zal zijn, aangezien de hoeveelheid stroom die via dit
slecht geleidend pad vloeit, mininaal is. In het volgende model zullen
we rand rondom het labyrinth maken, zodanig dat we een overschakeling
perilymph-bot-zenuw krijgen, wat meer aansluit bij het realistische model.
Figuur 6.4: De spanning bij het model: verbetering met zenuwvezels
65

Verbetering: Kanalen
HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
Zie figuur 6.5: door het toevoegen van het bot, rondom de kanalen, wordt
de verliesstroom bij het model met de waarden van Whiten meer tegengehouden,
zodanig dat deze hoger komt liggen (in vergelijking met figuur
6.4).
De curve van Whiten zal hier steiler zijn. Om dit te begrijpen bekijkt men
best de situatie in figuur 6.6. Wanneer de weerstand naar de grond zal
stijgen (een slecht geleidend laagje bot), dan zal de absolute waarde van
de spanning stijgen (weerstand naar de grond). Daarenboven zal ook het
verschil naar de volgende knoop groter worden.
In appendix B worden de stroompaden getoond.
Figuur 6.5: De spanning bij het model: verbetering met kanalen (de waarden
in de legende zijn in S/m, de grootste geleidbaarheid is die
van perilymph, de kleinste die van het bot). Merk op dat blauw
vol = Whiten en rood vol = Frijns.
66

HOOFDSTUK 6. EENVOUDIG LINEAIR MODEL
Figuur 6.6: Het verhogen van de weerstand naar de grond (weerstand bot)
heeft als gevolg dat de waarden van V stijgen en er een snellere
afname zal zijn.
6.3 besluit
In dit hoofdstuk werd een eerste keer kennis gemaakt met een elektrisch
model voor de cochlea met een cochleair implantaat. We beschouwden een
afgerold labyrinth, met hierin één elektrodecontact en onderzochten de spaning
langs de elektrode carrier. Deze situatie zal verder bestudeerd worden
in hoofdstuk 8, maar dan op een realistischere geometrie. We onderzochten
de invloed van verschillende randvoorwaarden en van verschillende
resistiviteiten (Frijns [7] en Whiten [37]). Bij een ‘snelle’ vergelijking met de
waarden in hoofdstuk 8 bleek dat de basis van het labyrinth ook (via een
weerstand) naar de grond gaat. Verder ontdekten we dat het veranderen
van de weerstanden invloed heeft op de grootte van de waarde van de
potentiaal maar ook op de steilheid. Hogere weerstanden in het perilymph
zorgen voor een grotere afname, kleinere weerstanden in het bot tussen
de modiolus en het labyrinth betekent een minder steile afname. Deze
bevindingen zijn nuttige informatie om in de modellering in hoofdstuk 8 te
gebruiken.
67

C I L I N D R I S C H A C T I VAT I E M O D E L
vooraf
In het vorige hoofdstuk bespraken we een lineaire cochlea en zijn potentiaalverdeling.
In dit hoofdstuk gaan we een stapje verder. We zullen één omwenteling
van de cochlea beschouwen. De bedoeling is dan om de potentiaalverdeling te
berekenen en hieruit de activatiefunctie af te leiden. Deze laatste functie bepaalt
waar actiepotentialen afgevuurd zullen worden. Als we dit weten, kunnen we
de neurale respons van een cochleair implantaat berekenen, wat het uiteindelijke
doel zal zijn van een model van de cochlea. In dit hoofdstuk zal, als kennismaking
onderzocht worden hoe deze functies afhankelijk zijn van de plaats van de elektrode,
de geometrie en de geleidingscoëfficienten.
68
7

7.1 activatiefunctie
HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
De activatiefunctie beschrijft de neurale respons. Als input hebben we de
potentiaalverdeling nodig. Die wordt hier berekend door het eindige elementen
model (zie inleiding figuur 1.1). Merk op dat we aannemen dat de
zenuwgeleiding geen rol speelt bij het bepalen van de potentiaalverdeling.
We schetsen kort de theorie. We beschouwen een gemyeliniseerde zenuw
met knopen van Ranvier (n). Deze zenuw kunnen we ook bekijken als een
RC schakeling (Frankenhauser-Huxley), zoals getoond in figuur 7.1.
Met de wetten van Kirchoff, het behoud van stroom en met Vm,n =
Figuur 7.1: RC Voorstelling van de gemyleniseerde zenuwvezel (uit [15]))
Vintern,n − Vout,n krijgt men als uiteindelijk resultaat 1 :
dVm,n
dt
1 1
= (
cm ri · (∆x) 2 (Vm,n−1 − 2 · Vm,n−1 + Vm,n+1 + · · ·
Vout,n−1 − 2 · Vout,n + Vout,n+1) − imI)
of met de definitie van numeriek afleiden (∆x → 0) (zie 7.2):
Met:
dVm,n
dt
1 1 ∂
=
cm ri
2Vm,n ∂x2 + ∂2Vout Vm,n
−
∂x2 rm
• Vm,n: transmembranaire spanning op knoop n
(7.1)
1 Een volledige afleiding valt buiten het doel van deze thesis. Hiervoor verwijs ik naar [15].
69

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
• dVm,n
dt : de verandering van de transmembranaire spanning op knoop
n. Als dit groter dan nul is, dan zal er een actiepotentiaal afgevuurd
worden(zie 2.3.3).
• cm: membraancapaciteit op knoop n
• ri:
intracellulaire weerstand van de zenuw
afstand tussen 2 knopen
• ∆x: de afstand tussen twee knopen van Ranvier (gemyeliniseerde
zenuwen) of een kleine afstand (∆x → 0) voor niet-gemyeliniseerde
zenuwen.
• Vout,n: externe spanning op knoop n (zonder rekening te houden met
de aanwezigheid van de zenuwvezel)
• imI = Vm,n : ionaire stroomcomponent per eenheidslengte
rm
• ∂2 Vm,n
∂x 2 : de partieel afgeleide van Vm,n volgens de richting van de
zenuwvezel
De belangrijke factor in deze vergelijking is ∂2 Vout,n
∂x 2 . Als benadering zal men
aannemen dat deze functie de activatie zal bepalen. Ze wordt dan ook de
activatiefunctie genoemd (Rattay, 1986 [21]). Merk op dat deze afleiding
voor de neurale respons enkel geldt voor een zenuw in rusttoestand en
voor een monofasische puls (zie [7]). Dus bij een stapfunctie zal er activatie
zijn als ∂2Vout,n ∂x2 > 0.
Dus plaatsen met positieve waarden van de activatiefunctie zullen een
stimulus veroorzaken. Wanneer we de stroompuls omkeren zal de activatiefunctie
tegengesteld worden. In werkelijkheid werkt men met bifasische
pulsen (+1A → −1A). Deze zullen volgens deze vergelijking eerst het
positieve deel van de activatiefunctie stimuleren, vervolgens het ‘negatieve’
deel (wat op die moment dus positief geworden is in de activatiefunctie).
Om de actiepotentiaal volledig te beschrijven moet men vgl 7.1 oplossen.
Dit zal niet in deze thesis beschreven worden. In verder onderzoek zou dit
zeker uitgediept kunnen worden. Om een activatie te berekenen zal het
echter wel altijd noodzakelijk zijn om een (goed) volume geleidingsmodel
te hebben (zie figuur 1.1).
[7] [15] [20] [21] [37]
7.2 beschrijving
7.2.1 Geometrie
Dit eenvoudige model is opgebouwd uit een een centrale cilinder die de
modiolus met de zenuwvezels voorstelt. Hierrond bevindt zich bot. We
70

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
beschouwen ook één omwenteling van het labyrinth. In model 1 zullen
we een laagje bot tussen het labyrinth en de modiolus veronderstellen, in
model 2 niet. In model 2 zal het botlaagje, aangeduid op figuur 7.2 als
subdomein Ω, dus deel uitmaken van het labyrinth. Het model met zijn
afmetingen wordt getoond in figuur 7.2.
Het verder uitbouwen van het model is mogelijk door een slice te nemen
(bv figuur 2.3) en deze te roteren rond een centrale as over een hoek van
360 ◦ . Op deze manier krijgt men een rotatiesymmetrisch voorwerp. Dit is
de basis van het model besproken in [7].
Figuur 7.2: Schets van het cilindrische model: (A)bovenaanzicht (doorsnede
op 11mm), (B)zij-aanzicht
7.2.2 Mesh
Het is belangrijk om een zeer fijne mesh te nemen op de plaatsen waar
we een tweede afgeleide als oplossing willen krijgen. Als definitie van de
numerieke tweede afgeleide hebben we immers:
∂2V V(x + h) − 2 · V(x) + V(x − h)
=
∂x2 h2 + O(h 2 ) (7.2)
Hierin is h de stapgrootte. Als we h kleiner willen maken (en de fout O(h 2 )
dus ook kleiner wordt), hebben we een fijnere mesh nodig. Het probleem is
ook dat numeriek afleiden per definitie slecht geconditioneerd is (zie [17]).
Een zeer nauwkeurige oplossing en eventuele smoothers zullen daarom
noodzakelijk zijn.
De hogere nauwkeurigheid nemen we enkel op de plaatsen die ons interesseren.
Om het probleem met voldoende hoge resolutie op te lossen, en
71

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
zodanig mooie plots te krijgen, wordt er gebruik gemaakt van ongeveer
160000 elementen.
7.2.3 Materiaaleigenschappen en Randvoorwaarden
We vullen net zoals in hoofdstuk 6 de waarden van Frijns [7] en Whiten [37]
in. In dit rotatiesymmetrisch model veronderstellen we als enige stroompad
deze naar de basis van de modiolus. Op Γ1 nemen we een weerstand
zodanig dat de modiolus nog 5cm tot aan de grond verder loopt (met
dezelfde oppervlakte en geleidbaarheid, dit geeft voor Whiten 21kΩ en
voor Frijns 24kΩ). Dit is om sterke spanningsveranderingen aan de grond
te vermijden. Al de andere randen hebben Neuman randvoorwaarden
(Isolator). Verder nemen we voor het elektrodecontactpunt een stroombron
van 1A.
7.3 resultaten en bespreking
We zijn geïnteresseerd in de oplossing aan de buitenkant van de modiolus.
Hier bevinden zich de vezels die we willen stimuleren. Op deze manier
kunnen we de selectiviteit van elektrische stroompulsen onderzoeken. Om
duidelijke grafieken te maken, onderzoeken we de potentiaalverdeling en
activatiefunctie op de volgende plaatsen:
1. Vertikale: een rechte in de richting loodrecht op het grondvlak van
de modiolus, op de mantel van de modiolus en het dichtste bij het
elektrodecontact zich bevindt.
2. Cirkel: een cirkel die rond de centrale as, op de mantel van de
modiolus en op de hoogte van de elektrode zich bevindt.
7.3.1 Potentiaalverdelingen
Net zoals in hoofdstuk 6 zal de potentiaal berekend worden bij een stroombron
van 1A. Op deze manier zal de bekomen grootheid, overeenkomen
met de weerstand naar de grond.
De oplossingen volgens de vertikale zijn weergegeven in figuur 7.3. De
waarden van Whiten liggen lager omdat de modiolus hier iets geleidender
is. De waarden bij de ‘zonder bot interface’ zullen weinig afhankelijk zijn
van de afstand tot de elektrode (door geleidend labyrinth). Bij de ‘met bot
interface’, zullen de waarden wel afhankelijker zijn van de positie van de
elektrode. Deze positie is gegeven in de legende als de afstand van het
elektrodecontact (punt) tot de rand van het labyrinth (aan de binnenzijde).
Een elektrode die verder ligt zal namelijk een meer uitgesmeerde en lagere
verdeling geven. Merk ook op dat er in de oplossing zonder bot, een knik
72

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
(a) ‘met bot interface’ (b) ‘zonder bot interface’
Figuur 7.3: Potentiaalverdeling volgens de vertikale.
(a) ‘met bot interface’ (b) ‘zonder bot interface’
Figuur 7.4: Potentiaalverdeling rond middelpunt op buitenkant modiolus.
in de potentiaalverdeling is. Dit komt door de scherpe geometrische rand.
Verder beschouwen we nog de oplossing op de cirkel (figuur 7.4). Op 0 ◦ is
deze gelijk aan de oplossing bij z = 0.011m op de vertikale (zelfde punt).
De grafiek zal afnemen wanneer we oplossingen rond de 0 ◦ beschouwen.
7.3.2 Activatiefunctie
We veronderstellen dat de zenuwvezels in de richting volgens de vertikale
liggen. Een andere mogelijkheid is naar het centrum toekijken, of een
combinatie hiervan.
Al de onderstaande figuren zijn bij een katode als input (+1A). Wanneer we
een anode zouden nemen, dan zouden we de tegengestelde oplossing krijgen.
Realistischere stromen (1µA) zullen enkel een factor verschillen in de
uitkomst. Dus als activatie krijgen we de plaatsen waar de activatiefunctie
73

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
een waarde groter dan nul heeft. De waarden die kleiner zijn, zullen bij de
negatieve stroom geactiveerd worden. Bij echte elektrodes gebeurt dit ook
aangezien men daar bifasische pulsen heeft.
Op figuur 7.5 worden de oplossingen van de activatiefuncties gegeven
(over de vertikale). In alle situaties merken we rond de posities 0.01m en
0.012m dat de activatiefunctie verschilt van nul. Dit wordt veroorzaakt
door de scherpe overgang van het labyrinth naar het bot. We laten dit
verder buiten beschouwing. Verder merken we bij de oplossing van de
situatie ‘zonder bot interface’ dat de andere waarden hier nul zijn (dus
geen activatie, zie ook bij oplossing op cirkel). In de situatie dat er wel
een ‘bot interface’ is, krijgt men een scherpe piek (hier naar beneden) met
daarnaast twee kleine tegengestelde piekjes (hier naar boven). Wanneer
de elektrode 0.1mm van de rand ligt, zal dit zeer uitgesproken zijn. Zo
krijgt men dus bij een positieve stroom twee minder selectieve activaties.
Wanneer de afstand elektrode-rand 0.5mm bedraagt, krijgen we enkel nog
maar één (minder scherpe) piek. Wanneer we de afstand nog vergroten tot
1.1mm zal er weer minder selectiviteit zijn en zal de piek nog kleiner zijn.
Op figuur 7.6 wordt de activatiefunctie gegeven rond het middelpunt ter
hoogte van de elektrode. De activatiefunctie bij de ‘met bot interface’ zal
één enkele scherpe piek vertonen het dichtste bij de elektrode (0 ◦ ). Hoe
dichter de elektrode, hoe groter de piek ook zal zijn. Bij de situatie ‘zonder
bot interface’, krijgt men twee pieken en centraal een nulpunt. Merk echter
wel op dat de absolute waarde hier 100× kleiner is. Op figuur 7.6(c) wordt
ter illustratie een vierde van het buitenvlak van de modiolus gegeven (het
is duidelijk dat uit dergelijke figuur nauwelijks iets af te leiden is).
74

(b) ‘met bot interface’ en met waarden
Whiten[37]
HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
(a) ‘met bot interface’ en waarden Frijns [7]
(c) ‘zonder bot interface’
Figuur 7.5: Activatiefunctie volgens de vertikale.
75

HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
(a) met Bot
(b) zonder Bot (c) ter illustratie: 2D overzicht met Bot
Figuur 7.6: Activatiefunctie rond middelpunt op buitenkant modiolus.
76

7.4 besluit
HOOFDSTUK 7. CILINDRISCH ACTIVATIEMODEL
In dit hoofdstuk werd een cilindrisch model besproken en de activatie.
Dit is eigenlijk een ‘zijsprong’ van het echte thesis onderwerp, ‘de volume
geleiding’. Dit hoofdstuk werd gegeven om aan te tonen waarvoor het
volume geleidingsmodel gebruikt kan worden (zie 1.1).
De naam cilindrisch, komt van de opbouw. Rond een centrale cilinder, de
modiolus, is er een ‘vierkante torus’, het labyrinth. Dit geheel ligt in een
benige cilinder. In dit hoofdstuk werd het belang en de gevolgen van het
tussenliggende bot (tussen labyrinth en modiolus) en de positie van de
elektrode geschetst. Hiervoor bespraken we de activatiefunctie ( ∂2 Vout,n
∂x 2 , met
Vout,n de spanning buiten de ge-activeerde zenuw, dit vindt men uit volume
geleidingsmodel), die aangeeft op welke plaatsen de stimulatie gebeurt.
Wanneer de elektrode dichter ligt, zal de activatie sterker zijn (dus kleinere
inputstromen nodig). Het probleem is dat de elektrode niet meer zo selectief
zal zijn (meerdere gebieden stimuleren). Op figuur 7.5(a) is duidelijk
zichtbaar dat de elektrode op 0.1mm bij een bifasische puls (tegengestelde
activatie zal ook plaatsvinden (dit klopt eigenlijk niet helemaal, aangezien
de theorie afgeleid is voor één stroompuls)) een veel groter gebied stimuleert
dan de elektrode op 0.5mm.
Verder blijkt uit figuur 7.6(a,b) dat het bot de selectiviteit op de cirkel rond
de modiolus zal bevorderen.
77

E L E K T R O - A N AT O M I S C H M O D E L
vooraf
In dit hoofdstuk zal de potentiaal berekend worden op een realistiche, anatomisch
correcte geometrie van de cochlea. Deze werd verkregen uit micro-CT beelden. We
spreken dan van een elektro-anatomisch model. Dit is ‘vernieuwend’ en niet meer
zo ‘triviaal’ te modelleren als de problemen uit de vorige hoofdstukken. Eerst zal
kort de opbouw beschreven worden.
Vervolgens zullen enkele analyses uitgevoerd worden. In een eerste deel worden
de literatuurwaarden ingevuld en in een tweede deel zal onderzocht worden wat
de invloed van verschillende parameters zal zijn. In een laatste deel zal er gebruik
gemaakt worden van experimenteel aangelegde patiëntenresultaten uit EFI (electric
field imaging) om het model te kalibreren. Op deze manier zullen we pogen om de
kracht van EFI (patiënt specifiek) en de kracht van het eindige elementen model
(volledige ‘snelle’ analyse, dus bv ook de activatie uitrekenen) te koppelen.
78
8

8.1 beschrijving
8.1.1 Geometrie
HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Dit model zal proberen de anatomische werkelijkheid, zoals beschreven
in hoofdstuk 2 te benaderen. Hiervoor zullen micro-CT beelden gesegmenteerd
worden en als geometrische voorstelling van de cochlea gebruikt
worden. Dit maakt dat de geometrie patiënt specifiek gemaakt kan worden 1 .
In appendix C staat praktisch beschreven hoe men tot de geometrische
voorstelling van het labyrinth, de scala tympani, de scala vestibuli en het
Rosenthal kanaal komt. Merk op dat de edges in dit model lineair zullen
zijn. Gekromde kubische edges, zouden een betere benadering zijn maar
dit zorgt ook voor een hogere complexiteit en meer overlappingen. Een
andere verbetering is het aanbrengen van een anatomisch gesegmenteerde
modiolus. In dit model wordt hiervoor een kegel gebruikt. Het probleem
hiervan is dubbel. Ten eerste zal aan de basis het labyrinth wegdraaien,
zodat hier geen bezenuwing is. Ten tweede zal de modiolus hierdoor ook
zijn echte proporties niet hebben, zodat de geleidbaarheden niet echt overeenkomen.
Verder wordt er voor de apex een ‘top’ als helicotrema toegevoegd. Dit is
noodzakelijk aangezien rond de 690 ◦ (24ste slice) het zeer moeilijk wordt
om op een ‘cilinder symmetrische’ methode verder te werken, aangezien
hier geen centrale modiolus as is. Wegens de meer basale ligging van de
elektrode, zal dit waarschijnlijk ook minder belangrijk zijn. Om te onderzoeken
of de membranen, de andere cellen en het endolymph in en rond
de scala media enige invloed hebben, wordt het onderste deel van de scala
vestibuli een ander subdomein. Achteraf zal dit ook niet zo belangrijk
blijken. Als elektrodecarrier wordt er een lijn genomen. Deze lijn wordt in
het midden van de scala tympani gepositioneerd en bevatte om de 1mm
een contactpunt. Een eventuele verdere verbetering zou eruit bestaan om
een realistischere elektrode te segmenteren zoals in hoofdstuk 6. Ten slotte
zal dit geheel in een benige kubus geplaatst worden.
In totaliteit bestaat dit model uit 1729 vertices, 3353 edges en 1640 faces. De
geometrische beschrijving van dit (semi-)elektro-anatomisch model wordt
in figuur 8.1 getoond en samengevat.
8.1.2 Mesh
Het maken van een mesh voor de geometrie die hierboven beschreven
wordt is niet meer triviaal. Op plaatsen waar twee geometrieën dicht bij
1 Opmerking: hier werden micro-CT beelden gebruikt. Klinische CT-scanners hebben echter
nog niet de mogelijkheid om de cochlea met voldoende resolutie te scannen. Men kan
echter wel een mathematische model fitten aan deze lage resolutie beelden, zie Baker et al.
2005 [2]
79

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur 8.1: De geometrie van het elektro-anatomisch model met de verschillende
subdomeinen. Tussen aanhalingstekens staan de
geometrieën die niet op CT beelden gesegmenteerd worden
(afstanden in mm).
elkaar komen zal men vaak handmatig moeten verfijnen. Wanneer we
een ruwe mesh maken hebben we toch al snel 116000 volume-elementen,
27000 boundary-elementen en 9000 edge-elementen nodig. Deze mesh
zal gebruikt worden bij het minimaliseren. Hier zal de functie veelvuldig
worden uitgerekend.
Men kan deze mesh ook verfijnen om een nauwkeurigere oplossing te
verkrijgen. De algemene stijfheidsmatrix zal hierdoor echter snel een (te)
grote proportie aannemen zodat het inverteren complex wordt.
Het voordeel van eindige elementen zal hier zijn dat de mesh kan gevarieerd
worden over de geometrie. In het omhullende bot is er bv geen nauwkeurige
oplossing nodig en kan men een heel ruwe mesh nemen.
8.1.3 Materiaaleigenschappen en Randvoorwaarden
De volgende subdomeinen krijgen als geleidbaarheid: (zie figuur 8.1):
• Bot: σ bot
• Helicotrema: factor · σ perilymph
• Labyrinth (zonder scala tympani en vestibuli): σ labyrinth
• Scala vestibuli: σ perilymph
• Scala Media: dit is eigenlijk niet strikt het endolymph, maar ook
het basilair membraan, Reisner’s membraan, orgaan van Corti, ... .
80

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Hiervoor zullen we dus in eerste instantie een lagere geleidbaarheid
nemen.
• Scala tympani: σ perilymph
• Rosenthal kanaal: σzenuwen
• Modiolus: σzenuwen
De waarden die we hiervoor zullen kiezen, zijn gebaseerd op deze van Frijns
[7] en Whiten [37] (zie tabel 8.1). Verder zullen we ook zelf geleidbaarheden
zoeken door ons model te ‘fitten’ aan de experimentele gegevens (zie sectie
8.5).
We veronderstellen nu monopolaire stimulatie. Men heeft dus een elektrode
waar men stroom injecteert, een grondelektrode aan de dura mater van het
hersenvlies (zie sec 2.4) en andere elektrodes waar men de spanning kan
opmeten. Als randvoorwaarden (voor deze situatie) nemen we dan:
1. Buitenkant bot: geïsoleerd
2. Basis van de modiolus: de zenuwen zullen naar de grond (dura mater)
lopen. Daarom zullen we hier een weerstand plaatsen die naar de
grond gaat.
3. Basis van de scala tympani (ST) en de scala vestibuli (SV): hier zullen
we ook een weerstand naar de grond maken. Er zijn hier namelijk
enkele mogelijke stroompaden naar de grond.
• Via de vestibulaire zenuw
• Het perilymph via de ductus perilymphaticus (naar CSF, zie
subsectie 2.3.2)
4. Alle andere inwendige interfaces: continu
5. Elektrodecontact: +1A (zo zal de grootte van de spanning gelijk zijn
aan de grootte van de weerstand naar de grond)
In de literatuur zal men RVW 3 niet (echt) gebruiken. Bij Frijns [7] is dit
onmogelijk, aangezien er maar één omwenteling van het labyrinth wordt
beschouwd (zoals in hoofdstuk 7). Bij Whiten [37] segmenteerd men heel
het binnenoor (dus ook vestibulair orgaan) en neemt men de grond bij
het uiteinde van de cochleaire en vestibulaire zenuw. Dit maakt ook een
stroompad naar de basis van het labyrinth mogelijk. De stroom zal hier
dan via de vestibulaire zenuw wegvloeien.
81

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
8.2 experimentele resultaten uit efi
EFI staat voor Electrical Field Imaging (Zie Vanpoucke [32]). De meetopstelling
wordt geschetst in figuur 8.2. Op één elektrode wordt een stroom
ingestuurd. Op de andere kan men de potentiaal uitlezen. In de monopolaire
opstelling is er ook één grondelektrode (returnelektrode) waar
de spanning gelijk aan nul is. We zullen deze opstelling gebruiken. Als
meetresultaten krijgt men de spanning op iedere elektrode (zie figuur 8.3).
Deze experimentele waarden zullen in deze thesis gebruikt worden om
te vergelijken met het elektro-anatomisch model en om parameters in het
model te zoeken. Dit zal gebeuren door in het computermodel deze EFI
meting te simuleren en te vergelijken met de reeële waarden.
De ‘output’ van EFI wordt getoond in figuur 8.3. de pieken zullen rond
10kΩ liggen, de staarten rond 1kΩ. De staarten worden bepaald door het
weefsel. In de basale richting (elektrode 16) zullen dit exponentieel dalende
oplossingen worden, in de apicale richting worden dit horizontale. In
hoofdstuk 6 hadden we gezien dat dit verklaard kon worden door een
verliesstroom via de modiolus, een weerstand naar de grond aan de basale
zijde en een geïsoleerde apicale zijde. Deze bevindingen zullen we dan ook
in ons elektro-anatomisch model gebruiken.
Bij EFI zal men het weefsel modelleren met (discrete) weerstanden (zie
figuur 8.2). Tussen de contacten onderling zal een longitudinale weerstand
geplaatst worden (rL(i) ≈ 100 − 200Ω). Aan elk contact zal er ook een
transversale weerstand naar de grondelektrode zijn (rT(i) > 20kΩ). Dit
eenvoudige model zal de werkelijkheid goed benaderen (90% tot 95%).
Het grote voordeel is dat deze meting ook in vivo kan gebeuren en dus ook
patiënt specifieke waarden oplevert. Met EFI kunnen:
• ‘defecten’ van de cochlea gevonden worden (bv verbening (ossificatie)
door insertie)
• stroompaden van nieuwe elektrodes kunnen onderzocht worden, men
ontdekte bv met EFI dat de nervus facialis eventueel een stroompad
kan zijn [33].
Het nadeel bij EFI is dat men niets te weten komt over de neurale stimulatie.
Een eindig elementen model, zoals in dit hoofdstuk wordt voorgesteld,
kan dit (eventueel) wel (zie hoofdstuk 7). Een model dat een koppeling is
van een geometrie uit CT beelden en resistiviteiten verkregen uit EFI kan
dus een belangrijk stap zijn voor patiënt specifieke analyses. In wat volgt,
zal het begin van zo’n model opgesteld worden. De potentiaalverdeling
zal berekend worden. De activatiefunctie, zoals in hoofdstuk 7 besproken,
zal zeer interessant zijn om (in verder onderzoek) toe te voegen aan dit
elektro-anatomisch model.
[27] [31] [32] [33]
82

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur 8.2: Voorstelling van de EFI meetopstelling (uit [31]).
83

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur 8.3: y-as: weerstand (tot grond) in Ohm (logaritmische schaal), x-as:
elektrodecontact waar gemeten wordt (contact 16 ligt het meest
basaal). Bij een verschillende meting (op ander contact ingaande
stroom), krijgt men een andere kleurenplot.(uit [31]).
84

8.3 resultaten(1)
HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Algemene opmerking: bij het berekenen van de potentialen langs de elektrodes
in het model, zal elektrode 1 niet meegenomen worden. Dit komt
omdat deze te apicaal ligt en dus niet meer in het model ‘past’.
8.3.1 Waarden uit de literatuur
Parameter Frijns [7] Whiten [37]
Bot: σbot 0.156 S/m 0.02 S/m
Helicotrema: factor · σPerilymph 0.3 0.3
Labyrinth: σbot 0.156 S/m 0.02 S/m
Scala Vestibuli: σperilymph 1.43 S/m 2 S/m
Scala Media: σperilymph 1.43 S/m 2 S/m
Scala Tympani: σperilymph 1.43 S/m 2 S/m
Rosenthal kanaal: σmodiolus 0.3 S/m 0.33 S/m
Modiolus: σmodiolus 0.3 S/m 0.33 S/m
Buitenkant Bot geïsoleerd geïsoleerd
Basis Modiolus: R(Ω) = lengte
opp·σmodiolus Basis ST: R(Ω) =
1 cm (3.5kΩ) 1 cm (3.2kΩ)
lengte
opp·σperilymph Basis SV R(Ω) =
geïsoleerd 1 cm (11kΩ)
lengte
opp·σperilymph geïsoleerd 1 cm (7.7kΩ)
Tabel 8.1: De parameters die ingevuld zullen worden in het model. (De
weerstand aan de basis staat ook vermeld in lengte, omdat Comsol
dit zo definieert).
Vooraleer er zelf achter de waarden van de parameters gezocht zal
worden, zullen we eerst de eerder besproken waarden (Frijns [7] en Whiten
[37]) invullen. De waarden die gebruikt zullen worden, vindt men terug in
tabel 8.1. Het is onmogelijk om alle waarden ‘gewoon’ in te vullen (zoals
gegeven in tabel 2.1). Dit komt doordat onze segmentatie niet zo precies is 2
en heel scherpe geometrieën moeten vermeden worden bij FEM.
Resultaten volgens de waarden van Frijns
De resultaten uit tabel 8.1 worden getoond in figuur 8.4, we vergelijken
deze met EFI (fig 8.3):
• De resultaten liggen hoger (enkel stroompad via modiolus en de
weerstand naar de grond is waarschijnlijk te groot).
2 Op CT beelden is de resolutie veel kleiner (bv: Reisner membraan is niet zichtbaar) als bij:
Whiten [37] gebruikt histologische slices, Frijns [7] gebruikt een model slice
85

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
• Er is geen afname naar de basis van scala tympani, er is hier namelijk
geen grond. Er is wel een lichte afname wanneer men hier een grond
maakt (bij stippellijn, enkel aan het einde).
• De oplossing is vrij horizontaal in de staarten. De weerstand naar
de grond zal overal ongeveer even groot zijn. Dit komt door lagere
weerstand bot. (zie fig 6.5 en 6.6).
• Merk op dat er oscillaties zijn. Dit komt door boven elkaar liggende
contacten en door de relatief hoge geleiding van het bot.
Figuur 8.4: Oplossingen op contact 5,8 en 11 met de waarden van Frijns
(tabel 8.1). In stippellijn: Oplossing met RVW ST en SV zoals
bij Whiten. y-as: weerstand (tot grond) in Ohm (logaritmische
schaal), x-as: elektrodecontact waar gemeten wordt (contact 16
ligt het meest basaal).
Resultaten volgens de waarden van Whiten
De resultaten uit tabel 8.1 worden getoond in figuur 8.5. Wanneer we ze
vergelijken met EFI (fig 8.3) en met het voorgaande resultaat, dan lijkt dit
resultaat beter. Verder kunnen we ook de uitgaande stromen op de randen
berekenen, dit geeft bv (in % van de geïnjecteerde stroom, of in cA):
Rand Elektrode 8 Elektrode 2 Frijns
Basis modiolus 64 % 56 % 100 %
Basis ST 15 % 18 % 0 %
Basist SV 21 % 26 % 0 %
Elektrodecontact -100 % -100% -100 %
86

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
We zullen nu onderzoeken hoe elke parameter het resultaat zal beïnvloeden.
Figuur 8.5: Oplossingen op contact 5, 8 en 11 met de waarden van Whiten
(tabel 8.1). y-as: Weerstand (tot grond) in Ohm (logaritmische
schaal), x-as: elektrodecontact waar gemeten wordt (contact 16
ligt het meest basaal).
8.3.2 Het aanpassen van de parameters
Uit figuur 8.4 en 8.5 blijkt dat het veranderen van parameters invloed
heeft op de oplossing. Hier volgt een korte opsomming/samenvatting
van welke implicaties het veranderen van een bepaalde parameter heeft
(de parameters: tabel 8.1). De potentiaalverdeling volgens de elektrode
wordt getoond in figuren 8.6 en 8.7. In elke subfiguur wordt één parameter
gevariëerd en de andere vastgehouden (volgens de waarden van Whiten
[37]). Hieronder worden deze uitkomsten kort besproken:
(a) Geleidbaarheid van bot: wanneer het bot geleidend is zal de
oplossing steiler worden (zoals besproken in figuur 6.6).
(b) De factor van het helicotrema: dit heeft geen invloed op de
oplossing van het model.
(c) Geleidbaarheid van het labyrinth: Deze vlakkere staarten en
lagere toppen hebben we reeds besproken in figuur 6.6.
(d) Geleidbaarheid van het perilymph: een beter geleidend perilymph
zal de weerstand naar de grond kleiner maken (dus
oplossing hoger) en de oplossing steiler (wet van Ohm).
87

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
(a) Bot (b) Helicotrema
(c) Labyrinth (d) Perilymph
(e) Scala Media (f) Modiolus
Figuur 8.6: Het effect van het veranderen van parameters op de potentiaalverdeling
langs de elektrode (voor 1A elektrode 11), op de
x-as het elektrodecontact (16=basis) en op de y-as de uitgelezen
potentiaal (V) (vervolg zie figuur 8.7).
88

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
(a) Basis Modiolus (b) Basis ST
(c) Basis SV
Figuur 8.7: (vervolg fig 8.6) Het effect van het veranderen van parameters
op de potentiaalverdeling langs de elektrode (voor 1A elektrode
11), op de x-as het elektrodecontact (16=basis) en op de y-as de
uitgelezen potentiaal (V).
89

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
(e) Geleidbaarheid van de scala media: het variëren van de geleiding
van de scala media zal weinig effect hebben. Dit komt
omdat er maar een kleine stroom via dit subdomein zal vloeien.
Het in rekening brengen van de scala media zal dus weinig
belang hebben voor het model.
(f) Geleidbaarheid van de modiolus en Rosenthal kanaal: betere
geleiding betekent een lagere ligging.
(a) Weerstand aan basis modiolus: een korte afstand, betekent een
kleine weerstand (herinner: R(Ω) = lengte
opp·σ ) en dus ook een
modiolus
lage oplossing.
(b) Weerstand aan basis ST (scala tympani): de weerstand naar
de grond zal hier weer verschillend zijn. Aan de basis zal de
oplossing ook sterk dalend worden als de weerstand zeer laag
wordt (zeer dicht bij de grond).
(c) Weerstand aan basis SV (scala vestibuli): aangezien er een maar
een klein verschil is, zullen we in snelle analyses de lengte van
scala tympani en vestibuli hetzelfde veronderstellen.
Enkele Opmerkingen:
• De oplossing komt vaak overeen met het lineaire model uit hoofdstuk
6. Merk wel op dat hier links elektrode 2 staat (apicaal), terwijl in het
lineaire model de basis zich daar bevindt (hier elektrode 16).
• Sommige variaties van parameters hebben geen effect op de oplossing
van het model 3 en zullen dus ook niet verder onderzocht worden.
Merk echter op dat dit enkel geldt voor de gegeven standaard parameters
van Whiten [37], bij andere (afwijkende) waarden moet deze
‘onafhankelijkheid’ terug onderzocht worden.
• De oplossing vertoont soms oscillaties. Deze zijn te wijten aan het
spiraalvormige karakter van de cochlea.
Het variëren van parameters heeft dus een grote invloed op de oplossing.
Om een betere oplossing te vinden is het praktisch onmogelijk om deze
parameters ’handmatig’ te blijven aanpassen. We gaan daarom dit model
door de computer laten variëren om zo een optimale oplossing te vinden.
Dit zal gebeuren met de methode van de kleinste kwadraten.
3 Dit zijn de geleiding van de scala media en de factor van het helicotrema. Wegens het
feit dat de scala media weinig invloed heeft, veronderstel ik dat de scala vestibuli ook
weggelaten kan worden. Dit heb ik niet verder onderzocht maar het zou een drastische
vereenvoudiging van het model betekenen.
90

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
8.4 enkele theoretische aspecten
8.4.1 Kleinste kwadraten
We beschouwen nu ons model als een functie (systeem) met als variabelen
(input) de parameters uit tabel 8.1 en als oplossing (output) de spanning
op de contacten van de elektrode. Men schrijft:
Fi(xj, Γn) = yij
(8.1)
• Γn: de randvoorwaaden en de geleidbaarheden uit tabel 8.1 als variabelen
van de functie.
• xj: Het elektrodecontact waar de potentiaal wordt uitgerekend.
• Fi: De functie die de oplossing op alle elektrodecontacten (j) uitrekent
bij een inputstroom op de i-de elektrode.
• yij: Uitkomst met j de oplossing op de verschillende contacten en i de
verschillende situaties (voor de verschillende inputstromen).
De oplossing uit EFI (zie fig 8.3) kunnen we nu schrijven als yij. Waarbij
i en j dezelfde betekenis hebben als in vgl 8.1. De bedoeling is dat we de
variabelen van de functie nu zullen kiezen zodat deze functie de EFI oplossingen
het beste benadert. Hiervoor zullen we de methode van de kleinste
kwadraten gebruiken. Men neemt dus de oplossing van het model (yij) en
vergelijkt deze met de oplossing van het experiment (yij). Dit doen we door
het verschil te nemen, te kwadrateren en vervolgens over de verschillende
elektrodes en situaties te sommeren. Merk op dat de waarde van de potentiaal
op de elektrode waar men de stroom injecteert, niet meegenomen zal
worden, aangezien de geïnjecteerde stroom per oppervlakte eenheid zeer
groot is en de weefsel-contact impedantie niet gekend is. Zo krijgt men:
S = ∑
i,j(i=j)
2 zij − zij
(8.2)
Wanneer S = 0 zal de functie door alle meetpunten gaan (en dus volledig
benaderen). Men zal nu proberen S zo klein mogelijk te maken, dan heeft
men een ‘goede fit’ voor de datapunten 4 . Dit gaat men doen door minimalisatie
(zie verder).
4 Aangezien we willen fitten op een logaritmische schaal (fig 8.3), zullen we de datapunten
en de modelpunten ook logaritmisch behandelen bij het nemen van de kleinste kwadraten.
91

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
We willen nu ook een uitdrukking zoeken voor de ‘goodness of fit’.
Hiervoor gebruikt men R 2 5 . Men krijgt de volgende uitdrukking:
met:
SSE = ∑
R 2 = 1 − SSE
SST
i,j(i=j)
SST = ∑
i,j(i=j)
2 zij − zij uit vgl 8.2
zij − z 2
(8.3)
De waarde van R 2 zal een percentage die een maat is voor de ‘goodness
of fit’ (100% = het model gaat exact door alle datapunten). Bv: R 2 = 0.80,
dit zegt ons dat het model 80% van de totale variatie in data rond het
gemiddelde verklaart.
Het is duidelijk wanneer we extra parameters toevoegen R 2 in het algemeen
kleiner wordt. Men gebruikt echter wel meer parameters. Om te onderzoeken
of deze extra parameters ‘nuttig’ zijn, maakt men gebruik van de F-test.
Bij deze test wordt het percentage ‘minder vrijheidsgraden’ vergeleken met
het percentage ‘verbetering bij de kleinste kwadraten’. Wanneer men meer
‘verbetering’ krijgt dan ‘aantal toegevoegde parameters’ (vrijheidsgraden),
dan is deze oplossing beter.
[17] [24] [48]
8.4.2 Minimaliseren
In een poging om de beste oplossing te zoeken moeten we vgl 8.2 zo klein
mogelijk krijgen. Dit gebeurt door S te minimaliseren. Hiervoor wordt de
matlab ([45]) methode f minsearch gebruikt (Nelder-Mead methode). Dit is
een directe methode. Dwz dat de functie geminimaliseerd wordt zonder
een afgeleide te nemen. Merk op dat enkel een lokaal minimum gezocht
wordt. Deze methode heeft de volgende (belangrijke) eigenschappen:
• f un: de functie waarvan het minimum gezocht moet worden (kleinste
kwadraten).
• x0: het beginpunt (schatting parameters), aangezien er enkel naar lokale
minpunten gezocht kan worden, moet dit goed gekozen worden.
5 R 2 is het kwadraat van de correlatie tussen de experimentele waarden en de voorspelde
waarden. Wanneer we de experimentele resultaten uitzetten ten opzichte van de model
resultaten, dan krijgt men in het ideale geval de eerste biscectrice (dan R = 1). Een
scatterplot (experimentel data versus model data) ten opzichte van de eerste biscectrice
geeft info over de ‘goodness of fit’.[45]
92

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
• Aantal functie-evaluaties: aangezien het uitrekenen van deze functie
lang duurt (het eindige elementen model moet steeds uitgerekend
worden), moet men dit zo klein mogelijk houden. Dit doet men door
een goede x0 te kiezen, het aantal te bepalen parameters klein te
houden en de tolerantie op de parameters niet te klein te nemen.
Belangrijke opmerking: de oplossing die men krijgt zal steeds een lokaal
minimum zijn. Het is dus belangrijk dat men verschillende beginwaarden
probeert.
[14],[45]
8.5 resultaten(2): fitten van de parameters
In appendix D wordt praktisch behandeld hoe men deze resultaten kan
bekomen.
Uit subsectie 8.3.2 blijkt dat het helicotrema en de scala media in het gebied
van parameters, waarin wij geïnteresseerd zijn, niet belangrijk zullen zijn.
We laten deze dus buiten beschouwing. Verder bekijken we het minimaliseren
bij drie concrete toestanden. Een eerste geval waarbij we enkel de
geleidbaarheden van bot+labyrinth, perilymph en modiolus zullen parameteriseren.
In een tweede situatie zullen de weerstand aan de basis van de
scala vestibuli+tympani, de weerstand aan de basis van de modiolus en de
geleiding van het labyrinth variëren. Tenslotte zullen alle 7 parameters (zie
subsectie 8.3.2) vrijgelaten worden.
• Opmerking 1: het feit dat het eindige elementen model relatief snel
uitrekenbaar is, zal dit parameteriseren en variëren mogelijk maken.
• Opmerking 2: de waarden die gevonden worden zijn niet per se de
werkelijke waarden. In het eindige elementen model kan een geometrie
groter zijn dan hij in het echt is (bv modiolus, de geleidbaarheid
zal in het echt dan minder zijn).
8.5.1 Situatie 1: drie parameters
Als beginparameters nemen we deze uit Frijns en uit Whiten (zie tabel
8.1). Dit doen we om te zien of de oplossingen naar een zelfde minimum
convergeren. We doen het minimaliseren in meerdere stappen. Eerst wordt
er een ‘snelle’ schatting gedaan. Dit gebeurt door de waarden in te vullen
voor slechts enkele elektrodes met geïnjecteerde stroom ipv alle 15 (bij
slechts drie (verspreide) elektrodes, 5 x sneller). Ook zullen we een grote
tolerantie op de parameters nemen (50%). Met deze snelle schatting merken
we ook dat de waarden van Frijns en Whiten naar dezelfde oplossing
convergeren. Vervolgens zal de uitkomst nauwkeuriger gezocht worden (15
93

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
elektrodes, tolerantie 5%). We krijgen dan met een nauwkeurigheid van 5%:
σ bot+Labyrinth = 0.0050 S/m
σ Perilymph = 2.9 S/m
σ Modiolus = 0.50 S/m
De oplossingen worden getoond in appendix E.
Men krijgt R 2 = 92%. (zie figuur E.2)
Verder worden de waarden van de weerstand en de stromen naar de grond
berekend:
Rand Weerstand Elektrode 8 Elektrode 2
Basis modiolus 2100Ω 0.65A 0.50A
Basis ST 7600Ω 0.16A 0.27A
Basist SV 5300Ω 0.19A 0.21A
Elektrodecontact −1A −1A
Elektrode 2 bevindt zich dichter bij de basis van ST en SV. Daarom zal er
minder stroom via de modiolus wegvloeien. Merk wel op dat de modiolus
in dit model aan de basis niet aanwezig is (door de kegelachtige structuur
die we genomen hebben. Dit kan er voor zorgen dat de weerstanden van ST
en SV te klein zijn (en er in werkelijkheid minder stroom langs hier vloeit).)
8.5.2 Situatie 2: drie parameters
Hier zullen de resistiviteiten die bij Whiten [37] genomen werden, vastgehouden
worden. Enkel de parameters uit ons model die niet duidelijk uit
de literatuur verkregen konden worden, zullen nu gezocht worden:
Basis Modiolus =0.31cm (R = 980Ω)
Basis ST en SV =0.72cm (R = 3300Ω)
σLabyrinth = 5.0mS/m
De oplossingen worden getoond in appendix E.
Men krijgt R 2 = 91% (zie figuur E.4)
We krijgen hier bijna een zelfde (goede) correlatie als in 8.5.1, hoewel de
waarden verschillend zijn (de waarden liggen wel in een realistisch interval).
Dit wijst erop dat de nauwkeurigheid die we moeten bekomen extreem
moet zijn.
Verder berekenen we nog de afzonderlijke waarden voor de weerstand van
ST en SV: RBasis ST = 7900Ω en RBasis SV = 5600Ω.
In de volgende tabel worden enkele waarden van de uitgaande stroom
gegeven (kan ook geschreven worden als percentage). Deze waarden
verschillen per elektrode:
94

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Rand Elektrode 8 Elektrode 2
Basis modiolus 0.77A 0.65A
Basis ST 0.10A 0.20A
Basist SV 0.13A 0.15A
Elektrodecontact −1A −1A
Merk op dat er in dit model meer stroom via de modiolus naar de grond
vloeit (hoewel het model op de elektrodedrager overeenkomstige resultaten
geeft).
8.5.3 Situatie 3: zeven parameters
We gebruiken hier dezelfde methode, maar nu met de 7 parameters vrij.
Dit is aangewezen om een zeer goede nauwkeurigheid te krijgen. Het
probleem is echter dat dit zeer veel rekencapaciteit vraagt. We krijgen met
een nauwkeurigheid van 50%:
σ bot = 0.018 S/m
σ Perilymph = 3.5 S/m
σ Modiolus = 0.10 S/m
σ Labyrinth = 0.0059 S/m
L Basis Modiolus = 0.058 cm
LBasis ST = 1.6 cm
LBasis SV = 0.49 cm
Men krijgt R2 = 95%, zie figuur E.6. Zoals blijkt uit deze figuren (spanning
en correlatie), levert dit model zeer nauwkeurige oplossingen. De parameters
dienen echter met een kleinere relatieve fout berekend te worden,
aangezien de oplossing over het ganse domein op deze wijze niet exact
genoeg gekend is om bijvoorbeeld de activatiefunctie te kunnen berekenen.
Om zo’n nauwkeurigheden te bekomen dient de lokale kalibratie nog beter
te gebeuren (de nood aan rekenkrachtigere computers).
De waarden van de geleidbaarheid van bot en perilymph zijn overeenkomstig
met de literatuurwaarden van Whiten [37]. De modiolus heeft een
lagere geleidbaarheid, dit is te verklaren doordat we deze niet gesegmenteerd
hebben en het oppervlakte groter is (R(Ω) = lengte
opp·σ ).
modiolus
We vergelijken dit met het resultaat uit subsectie 8.5.1. Dit doen we met
de F-test. Het aantal vrijheidsgraden stijgt met 1.93% (van 203 naar 207),
terwijl het kleinste kwadraat stijgt met 34 % (Dit toont aan dat meer vrijheidsgraden
nut hebben).
Voor de weerstanden en de stromen naar de grond vindt men:
95

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Rand Weerstand Elektrode 8 Elektrode 2
Basis modiolus 610Ω 0.63A 0.57A
Basis ST 10000Ω 0.09A 0.16A
Basist SV 2200Ω 0.28A 0.27A
Elektrodecontact −1A −1A
Tenslotte worden in appendix E ter illustratie nog de 3D oplossing van de
potentiaal en de stroom gegeven (bij contactelektrode 8).
8.6 besluit
In dit hoofdstuk bespraken we het elektro-anatomisch model. We verkregen
dit model door een aantal geometrieën van micro-CT beelden te segmenteren
en deze te importeren in een eindig elementen model met elektrische
geleiding (in Appendix C en D vindt men de praktische beschrijving). Eerst
bestudeerden we dit (kwalitatief) door het invullen van literatuurwaarden.
Vervolgens werd er bestudeerd of bepaalde parameters een invloed hebben
op de resultaten (of juist niet hebben). Er bleken 7 parameters belangrijk te
zijn voor de resultaten van het model.
In een tweede deel van dit hoofdstuk werd het resultaat vergeleken met
EFI (Electrical Field Imaging). Dit is een methode die de potentiaalverdeling
langs de elektrode met discrete weerstanden benadert (zie [32]). Ze
levert vrij goede resultaten, maar ze geeft geen informatie over de neurale
stimulatie.
In dit hoofdstuk werd nu besproken hoe we met de experimentele gegevens
uit EFI, ons uit CT-beelden verkregen model kunnen kalibreren. Dit gebeurt
door de uitkomst van het model (langs de elektrode) met een kleinste
kwadraten methode te fitten aan de experimentele waarden (kwantitatief).
Op deze manier wordt het mogelijk om een patiënt specifiek model op te
stellen (geometrie uit CT-beelden, geleidbaarheden en randvoorwaarden uit
EFI). Zo zal men de potentiaalverdeling kunnen uitrekenen en deze gebruiken
als input voor de activatie (neurale respons). Uit de resultaten blijkt
dat ons model een goede benadering is van het experiment (95%), maar
dat verdere verbetering noodzakelijk is aangezien de parameters nog een te
grote relatieve fout hebben (50 %). Deze ‘vrijheid’ zal er voor zorgen dat
de oplossing over het ganse domein onvoldoende gekend is. Er is dus een
zeer nauwkeurige lokale kalibratie noodzakelijk. In verder onderzoek kan
men dit bekomen door met krachtigere computers het minimalisatieproces
uit te voeren (op nauwkeurige modellen).
Hierbuiten zijn er nog een aantal andere zaken die in verder onderzoek
verbeterd dienen te worden. Men zou de modiolus en een elektrode nog
kunnen segmenteren. Verder zou dit model ook met meerdere experimentele
data getest kunnen worden, en hiervoor uitgebreid worden. In dit model
werd namelijk een EFI-grafiek van een niet beschadigde cochlea genomen.
96

HOOFDSTUK 8. ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Men zou ook uit deze potentiaalverdeling de activatie op het Rosenthal
kanaal kunnen berekenen (zoals in hoofdstuk 7), om het uiteindelijk doel
van neurale respons in een patiënt specifiek model te bekomen (en dit op
zijn beurt met het experiment te vergelijken).
97

S A M E N VAT T I N G E N B E S L U I T
In deze thesis beschreef ik het modelleren van de cochlea in het licht van
de elektrische stimulatie bij cochleaire implantaten.
In het eerste inleidende deel, de literatuurstudie, werd theoretische en
technische kennis voor het modelleren beschouwd. Het tweede hoofdstuk
vatte informatie over cochleaire implantaten en de anatomie van het binnenoor
samen. In een derde hoofdstuk werd de beeldvormende techniek
CT en de (cilindrische) segmentatie hiervan besproken. Het daarop volgende
hoofdstuk behandelde de fysica van de elektrische geleiding en in het
laatste hoofdstuk van dit deel werd de techniek van de eindige elementen
analyse wiskundig en praktisch besproken.
In het tweede deel van deze thesis, bestaande uit drie hoofdstukken, beschreef
ik enkele elektrische modellen van de cochlea.
In het eerste model van de cochlea, het lineaire model (hoofdstuk 6), werd
de cochlea als een afgerolde cilinder gemodelleerd. Deze eenvoudige
benadering gaf meer inzicht over de afhankelijkheid van bepaalde materiaaleigenschappen
en randvoorwaarden bij het berekenen van de potentiaal.
Voor deze parameters werden literatuurwaarden gebruikt (Frijns 1995 [7],
Whiten 2007 [37]). Wanneer we de resultaten vergelijken met de experimentele
data uit hoofdstuk 8, bleek dat we de basis van het labyrinth (ST en SV)
niet geïsoleerd mogen veronderstellen. Verder werd er geconcludeerd dat
een hogere resistiviteit van het perilymph zorgt voor een grotere afname in
de potentiaal langs de elektrode. Een kleinere weerstand via de modiolus
naar de grond (resistiviteit bot en modiolus), betekent een minder steile
afname. Deze eenvoudige bevindingen uit dit lineaire model laat ons toe
om de complexere oplossingen uit hoofdstuk 8 beter te begrijpen.
Een tweede elektrisch model, het cilindrische model (hoofdstuk 7), was
eerder een ‘zijsprong’. Er werd namelijk getoond wat het eventuele nut van
een elektrisch model van de cochlea kan zijn. Uit de potentiaal kan men
namelijk de activatie van de zenuwen berekenen. In dit hoofdstuk werd
als voorbeeld de activatiefunctie van een cilindrische geometrie bestudeerd.
Er werd één omwenteling van het labyrinth rond een centrale cilinder, de
modiolus, beschouwd . De invloed van het tussenliggende bot (tussen labyrinth
en modiolus) werd onderzocht. Eerst werd de potentiaal uitgerekend.
Die werd vervolgens gebruikt om de activatiefunctie (volgens Rattay 1986,
[21]) te berekenen. Volgens dit model zal het bot de selectiviteit van de
98
9

elektrode verhogen.
HOOFDSTUK 9. SAMENVATTING EN BESLUIT
In hoofdstuk 8 werd het laatste model besproken. De geometrie van dit model
is gebaseerd op micro-CT beelden van een menselijke cochlea (Zarowski
et al. 2006 [39]). We noemen het dan ook een elektro-anatomisch model. In
het eerste deel werden de parameters (geleidbaarheden en randvoorwaarden)
uit de literatuur gebruikt. Op deze manier werd hun afhankelijkheid
bestudeerd. Uit deze studie bleken zeven parameters een belangrijke invloed
te hebben op de oplossing van het model. De resultaten bleken
kwalitatief overeen te komen met experimentele waarden van EFI (electric
field imaging, Vanpoucke et al. 2004 [32]). In dit in vivo experiment worden
de potentialen gemeten op de elektrode contacten bij een monopolaire
stimulatie.
Tenslotte werd in het laatste deel van deze thesis gezocht naar de waarde
van deze zeven parameters (kwantitatief). Dit gebeurde door een minimalisatie
van de kleinste kwadraten van het experiment en het model. Ik vond
als waarden voor het model (50% nauwkeurig):
σ bot = 0.0050 S/m
σ Perilymph = 3.5 S/m
σ Modiolus = 0.18 S/m
σ Bot tussen modiolus en perilymph = 0.0059 S/m
R Modiolus naar grond = 610 Ω
R Tympani naar grond = 10 kΩ
R Vestibuli naar grond = 2.2 kΩ
Bij het invullen van deze waarden bedraagt de fout van dit model in het
benaderen van de experimentele data 5%. Deze waarde is goed, maar
aangezien de parameters nog een te grote ‘vrijheid’ hebben (50 %), zal men
in verder onderzoek deze waarde nog moeten verkleinen. De grote ‘vrijheid’
zal namelijk geen preciese oplossing over het hele domein geven, hiervoor
is er een zeer nauwkeurige lokale kalibratie (enkel langs de elektrodecarrier)
nodig.
Op deze manier maakte ik een elektrisch model van de cochlea dat gebaseerd
is op CT-beelden. Tenslotte werd dit model gekalibreerd met
patiëntenresultaten uit EFI (minimalisatie hierboven besproken). Op deze
manier worden de grote voordelen van deze drie ‘benaderingen’ gekoppeld:
1. De hoge resolutie van micro-CT beelden, die de anatomie (geometrie)
zichtbaar maakt (Zarowski et al. 2006 [39]).
2. De activatie die berekend kan worden uit het elektrisch model van
99

HOOFDSTUK 9. SAMENVATTING EN BESLUIT
de cochlea (Briaire et al. 2005[5], Frijns et al. 1995[7], Tognola et al.
2007[29], Whiten 2007 [37]).
3. De patiënt specifieke informatie uit EFI (Electrical Field Imaging)
(Vanpoucke et al.2004 [32]).
Het koppelen van deze drie methoden kan in de toekomst misschien een
grote verbetering opleveren voor het maken van patiënt specifieke analyses
bij cochleaire implantaten.
Verder onderzoek is volgens mij nog noodzakelijk.Ten eerste kan dit model
zelf nog verbeterd worden (modiolus en elektrode segmenteren) en zal de
minimalisatie nog nauwkeuriger moeten gebeuren (rekenkrachtige computer).
Ten tweede kan uit dit model de neurale respons nog berekend worden.
Tenslotte moet men deze modellen dan testen op meerdere patiënten, met
al dan niet beschadigde cochlea’s.
100

Deel III
Appendices
101

T E R U G P R O J E C T I E
In deze appendix wordt de wiskundige achtergrond van tomografie geschetst.
Men gebruikt hier terugprojectie voor. Deze algoritmes kunnen
analytisch (direct) of iteratief zijn. De iteratieve methoden beginnen met
een schatting die dan geoptimaliseerd zal worden. Een analytische reconstructiemethode
zal hier bondig en op een intuïtieve manier samengevat
worden.
Uit verschillende hoeken wordt een projectie van het voorwerp genomen
(zie figuur A.1). Dit noemt men de Radontransformatie. Wanneer we nu de
inverse Radontransformatie uitvoeren, wat grafisch overeenkomt met het
uitsmeren van de projectie volgens de bepaalde hoek, dan krijgen we terug
een voorstelling van het oorspronkelijke. Op deze manier is het mogelijk
om met behulp van RX-beelden afkomstig uit verschillende hoeken rondom
een object (schaduwbeelden), een slice doorheen dit object te reconstrueren.
Het enigste probleem is dat er sommige pixels waarden krijgen terwijl zij
deze helemaal niet hebben (zoals in figuur A.1 getoond). Door het nemen
van een goede filter zal dit fenomeen echter niet meer optreden. Dit wordt
getoond in figuur A.1(c).
[12],[35]
102
A

BIJLAGE A. TERUG PROJECTIE
(a) Radontransformatie (b) inverse Radontransformatie, terugtransformatie
(c) Een gefilterde terugprojectie geeft betere resultaten
Figuur A.1: Het principe van terug projectie (uit [12]).
103

S T R O O M PA D E N I N H E T L I N E A I R M O D E L
In deze appendix worden de stroompaden getoond van het lineair model uit
hoofdstuk 6. Op figuur B.1 en B.2 worden de stroompaden in verhouding
weergegeven. Bij RVW 5 gaat alle stroom via Γ2 naar de grond. Bij RVW 4
gaat er nog maar ongeveer 50% langs hier. Door het kleine oppervlakte Γ1
gaat de andere 50%.
(a) RVW5 Voor aanzicht
(b) RVW5 Boven aanzicht (c) RVW4 Voor aanzicht
(d) RVW4 Boven aanzicht
Figuur B.1: De stroompaden voor model 1
104
B

BIJLAGE B. STROOMPADEN IN HET LINEAIR MODEL
(a) verbetering 1 Voor aanzicht
(b) Verbetering 1 Boven aanzicht
Figuur B.2: De stroompaden voor verbetering 1
105

P R A K T I S C H E H A N D L E I D I N G T O T H E T B E K O M E N VA N
D E G E O M E T R I E VA N H E T E L E K T R O - A N AT O M I S C H
M O D E L
c.1 voorgaand werk
Voor het maken van het geometrisch model kon ik vertrekken van een
segmentatie die voor een andere studie was gemaakt door Zarowski et
al.[39]. In deze sectie leg ik kort uit hoe men hier te werk moet gaan met
de reeds bestaande segmentatie software.
MprViewer
Men gebruikt het matlab programma MprViewer (zie figuur C.1). Deze zal
eerst de CT-beelden inladen en op een standaard manier tonen (zoals ook
beschreven in hoofdstuk 3). Men kan hier subsampelen (minder punten om
te besparen op geheugen) en een interesse gebied (ROI, region of interest)
instellen (om nutteloze randen te verwijderen).
Vervolgens gaan we een standaard assenstelsel definiëren. Dit doen we
door de cochlea zo te reslicen (roteren), dat het interne gehoorkanaal (IAC,
intern auditory canal) loodrecht door de axiale slices gaat (rechts onder).
Nu kiezen we de z-as volgens het IAC en de x-as in de richting van het
ronde venster. Op deze manier kan elke cochlea op een gelijkaardige manier
georiënteerd worden.
Ten slotte worden er slices gemaakt doorheen het labyrinth. Wij kozen
ervoor dit te doen om de 30 ◦ . Aangezien een slice, vertrekkende van het
middelpunt, geen loodrechte doorsnede door het labyrinth zal zijn, zal de
software (met behulp van de grijswaarde gradiënt) een loodrechte doorsnede
nemen (zoals besproken in hoofdstuk 3). Deze kunnen dan geëxporteerd
(of opgeslagen) worden in een ‘structure’ in matlab.
Meas2D
Deze ‘structure’ kunnen we vervolgens openen met Meas2D (matlab, zie
figuur C.2). Hierin zoomen we dan in op het juiste deel van de cochlea. 0 ◦ is
aan het ronde venster (basaal), een slice die 360 ◦ verder ligt zal hier ongeveer
boven liggen (Apicaler). In dit programma kunnen bepaalde contouren
en bepaalde punten aangeduid worden. Vooral de contouren zullen ons
interesseren. We duiden het labyrinth, scala tympani, scala vestibuli en
106
C

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur C.1: Screenshot matlab programma: MprViewer (uit [39])
Rosenthal kanaal aan. Vervolgens kunnen we dit weer exporteren en de
‘structure’ zal ook de punten van de contour bevatten.
ProcessAllBones
Zarowski et al.[39] gebruikte dit om afstanden binnen de cochlea te meten.
In deze thesis zal het echter de bedoeling zijn om een goede geometrische
input voor het eindige elementen programma Comsol te verkrijgen. Dit
matlab programma (processAllBones) berekent en maakt wel een 3D plot
van de nodige punten (zie figuur C.3). Het probleem zal echter zijn dat
er geometrieën elkaar gaan overlappen. Dit is niet echt realistisch (scala
tympani ligt in het labyrint) en bovendien ontstaan er scherpe hoeken die
zeer nefast zijn voor een eindige elementen analyse. Daarom moet er een
hersegmentatie gebeuren met de output file (S.mat) van processAllBones.
107

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur C.2: Screenshot matlab programma: Meas2D (uit [39])
108

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur C.3: 3D plot zonder hersegmentatie: men kan duidelijk zien dat de
(blauwe) scala tympani en de (rode) scala vestibuli, buiten het
(gele) labyrinth vallen. Daarom moet men hersegmeteren. (uit
[39])
109

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
c.2 hersegmenteren
De overlappingen in de 3D geometrie worden vooral veroorzaakt door twee
problemen:
• In de 2D slice is een overlapping.
• Twee opeenvolgende slices hebben een sterk verschillende segmentatie,
hierdoor zal er tussen de slices een overlapping ontstaan door
‘kruising’.
We zullen dit oplossen door een hersegmentatie. Hiervoor zullen we de
slices terug overlopen. We doen dit met het matlabprogramma slicePerslice
(zie figuurC.4). We importen een bestand (S.mat uit processAllBones) en
zullen deze slice per slice doorlopen. Dit gebeurt voor het labyrinth, scala
tympani, scala vestibuli en rosenthal canal.
We bespreken even de hersegmentatie van het labyrinth. Wanneer men op
Figuur C.4: Screenshot van slicePerslice, programma om te hersegmenteren
‘doorloop slices’ drukt, zal er een slice op het grote plot gedeelte komen (dit
is de vierde slice). Dit zal de ‘mal’ zijn. We duiden een eenvoudig ‘herkenbaar’
beginpunt aan en een aantal punten waarop we zullen segmenteren
(bv.: labyrinth: 21, scala tympani: 14, scala vestibuli: 17, rosenthal canal:
110

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
11). Het laatste segmentatiepunt duiden we aan met rechtse muisklik.
Bij de volgende slice duidt men het beginpunt aan. De mal zal als hulpmiddel
te voorschijn komen en men kan zo slice per slice (gelijkaardig)
segmenteren. Merk op dat men rechts de volledige oorspronkelijke segmentatie
kan zien (boven) en de nieuwe segmentatie van de vorige slice (onder).
Op dezelfde manier maakt men een segmentatie van de scala tympani en de
scala vestibuli. Hier zal in het plotvenster de volledige contour van de reeds
gesegmenteerde objecten komen, en de vorm van het niet gesegmenteerde
object. Merk hier echter wel op dat men overlappingen moet vermijden.
Het is dus aangeraden om punten van deze geometrieën, die dicht bij
punten van het labyrinth liggen, zo te kiezen dat ze op de lijn liggen van het
middelpunt van het labyrinth naar het betreffende punt van de segmentatie
van het labyrinth (zal dus ook geplot worden). Ten slotte zal men ook het
rosenthal kanaal moeten segmenteren.
c.3 loften en importeren
Wanneer alle slices opnieuw gesegmenteerd zijn, zoals hierboven beschreven,
zullen we ze ‘verbinden’ om zo een 3D volume object te maken. Dit
gebeurt met deze loft functie uit comsol. De volgende zaken moeten
gedefinieerd worden bij de loft functie:
• De 2D objecten die verbonden moeten worden. Deze moeten opgebouwd
zijn uit evenveel hoekpunten (vertices). Dit bekomt men door
een vast aantal punten per slice aan een object te geven.
• Werkvlak: de 2D objecten zullen een plaats in het 3D vlak moeten
krijgen. Daarom moeten we voor elke slice een werkvlak hebben,
voorgesteld door een 3x3 matrix. Deze vekrijgt men door de volgende
drie punten:
– Het middelpunt van de slice in xyz coördinaten (zie vgl 3.1)
– Het punt p0 (zie figuur 3.2)
– Een punt dat bekomen wordt door het middelpunt van de slice
in de positieve z-richting te transformeren
• Vertex volgorde: tenslotte moeten we ook weten welk hoekpunt met
welk hoekpunt verbonden wordt (tussen de slices), met andere woorden
waar de edges zullen komen. Dit gebeurt door de volgorde van
punten bij het segmenteren op te slaan en hiermee een permutatievector
op te stellen (bv: punt 5 van object 1 naar punt 12 van object 2,
punt 12 van object 2 naar ...).
Merk op dat men eigenlijk ook de buitenvlakken moet definiëren. Wanneer
men echter loft goed gebruikt, zal men steeds vierhoeken krijgen tussen
111

BIJLAGE C. PRAKTISCHE HANDLEIDING TOT HET BEKOMEN VAN DE
GEOMETRIE VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
de edges. Verder kan me bij loft een bi-cubische variant nemen. Hier
kiezen we echter, net zoals in het vlak, voor een lineaire techniek. Dit
om de complexiteit van het probleem niet te groot te maken en eventuele
overlapping te vermijden.
Wanneer we op loft klikken, zullen de vier 3D objecten aangemaakt worden
en opgeslagen worden. Deze kunnen dan in de workplace van matlab terug
geladen worden en vervolgens in comsol ingevoerd via import-geometry.
Hier moet het model dan nog geschaald worden naar zijn realistische
grootte (factor 10 −5 ). Men krijgt dan een geometrie zoals op figuur 8.1.
112

P R A K T I S C H E H A N D L E I D I N G O V E R H E T V E R D E R
O P L O S S E N VA N H E T E L E K T R O - A N AT O M I S C H M O D E L
d.1 het aanmaken van een fem structuur
De volgende stap na het invoeren van deze objecten is het maken van de
niet gesegmenteerde geometrieën. Voor het bot neemt men een balk (of
cilinder) waar de cochlea inpast. Vervolges definieert men de modiolus
als een kegel. Uit deze kegel snijden we dan het labyrinth uit (met de
‘geometry composite’ tool).
Na het definiëren van een geometrie is de volgende stap het maken van
een mesh. Wanneer de geometrie niet goed is krijgt men hier direct een
foutmelding (er zijn bijvoorbeeld toch nog te veel overlappingen). We
kiezen bij meshparameters een ‘coarser’ mesh. Bij eventuele problemen op
boundary’s of edge’s worden hier (plaatselijk) fijnere meshes geïnitialiseerd.
Ten slotte moet men nog de ‘physics’ aan het probleem toevoegen. Men
noteert de nummers (zie sectie D.2) van de subdomeinen, de boundary’s
en de punten die een bepaalde eigenschap krijgen. De geleidbaarheden en
de randvoorwaarden worden besproken in hoofdstuk 8. Voor het oplossen
van het probleem nemen we bij ‘solver parameters’ de iteratieve ‘conjugate
gradients’ methode (stationair lineair) met als preconditioner ‘algebraic
multigrid’.
Wanneer het probleem opgelost is, gebruiken we ‘domain plot’ om de oplossing
langs de elektrode lijn te bekomen. We noteren deze ‘edge’ nummers
van de elektrode lijn (zie sectie D.2). We kunnen dit nu naar de typische
FEM structuur in matlab exporteren.
d.2 het parameteriseren en variëren in matlab
Hierboven werd het probleem opgelost voor één situatie (één bepaalde elektrode
met een geïnjecteerde stroom, één stel geleidbaarheden en randvoorwaarden).
Daarom wordt dit probleem in matlabfuncties geïmplementeerd,
een overzicht:
• Solve.m: heeft als input een FEM structuur 1 (zie voorgaand), de elektrodenummer
waar de stroom geïnjecteerd wordt en de parameters
1 Deze FEM structuur bevat alle informatie over het eindige elementen model (type analyse,
geometrie, mesh, physics, oplossingen, ...). We zullen deze structuur steeds herbruiken,
hierdoor moet de mesh maar éé keer gemaakt worden.
113
D

BIJLAGE D. PRAKTISCHE HANDLEIDING OVER HET VERDER
OPLOSSEN VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
die variabel zijn (geleidbaarheden en randvoorwaarden). Als output
krijgt men een vector met de potentiaalverdeling langs de elektrode.
In deze functie dienen soms enkele zaken aangepast te worden. Bijvoorbeeld
de zaken die hierboven werden neergeschreven. We zullen
namelijk verschillende waarden onderzoeken, deze moet men dan in
het ‘script’ kunnen aanpassen. Verder moet men de juiste edges uit
lezen (elektrodedrager).
• my f un.m: heeft als input de variabelen die getest dienen te worden.
In de functie worden verder ook de FEM structuur van het te onderzoeken
model en de experimentele waarden gebruikt. Met de functie
‘Solve.m’ zal de oplossing uitgerekend worden 2 . Deze wordt dan met
behulp van de methode van de kleinste kwadraten vergeleken met
de experimentele waarden (we vergelijken de logaritmische waarden).
Dit verschil is de output van deze functie.
• search.m: Als input geeft men de begin variabelen. In de functie
wordt met behulp van ‘fminsearch.m’ 3 naar een lokaal minimum
gezocht. De functie zorgt er ook voor dat het resultaat bijgehouden
wordt in een logfile. Wanneer de parameters ‘gevonden’ zijn, wordt
de potentiaalverdeling op alle contacten met elk contact als stroombron
uitgerekend. Als output krijgt men dan deze oplossing (in een
matrix 4 ), de gevonden parameters en enkele waarden in verband met
de convergentie van de minimalisatie.
2 Men kan er voor kiezen om slechts enkele elektrodes te selecteren waarop men de uitkomst
zal uitrekenen. Hierdoor zal het algoritme sneller, maar minder nauwkeurig zijn.
3 Parameters van deze functie staan besproken in subsectie 8.4.2
4 Merk op dat niet iedere edge van de elektrode evenveel punten bevat. Bij het vergelijken
met de experimentele waarden is een herschaling dus noodzakelijk
114

BIJLAGE D. PRAKTISCHE HANDLEIDING OVER HET VERDER
OPLOSSEN VAN HET ELEKTRO-ANATOMISCH MODEL
Figuur D.1: Screenshot van de eindige elementen software Comsol ([42])
115

O V E R Z I C H T O P L O S S I N G E N E L E K T R O - A N AT O M I S C H
M O D E L
e.1 oplossingen uit subsectie 8.5.1
Dit zijn de oplossingen bekomen in situatie 1 (subsectie 8.5.1). Merk op dat
de spanning op het contact van de inputstroom niet wordt gezocht.
(a) overzicht model
(b) overzicht experiment
116
E

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
(c) oplossing voor elektrode 16 (d) oplossing voor elektrode 14
(e) oplossing voor elektrode 12 (f) oplossing voor elektrode 10
(g) oplossing voor elektrode 8 (h) oplossing voor elektrode 6
(i) oplossing voor elektrode 4 (j) oplossing voor elektrode 2
Figuur E.1: ‘Volle lijn’: oplossing model, ‘+’: waarden experiment
117

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
Figuur E.2: Correlatie van experiment vs model
118

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
e.2 oplossingen uit subsectie 8.5.2
Dit zijn de oplossingen bekomen in situatie 2 (subsectie 8.5.2). Merk op dat
de spanning op het contact van de inputstroom niet wordt gezocht.
(a) overzicht model
(b) Vergelijking met situatie 1
119

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
(c) oplossing voor elektrode 16 (d) oplossing voor elektrode 14
(e) oplossing voor elektrode 12 (f) oplossing voor elektrode 10
(g) oplossing voor elektrode 8 (h) oplossing voor elektrode 6
(i) oplossing voor elektrode 4 (j) oplossing voor elektrode 2
Figuur E.3: ‘Volle lijn’: oplossing model, ‘+’: waarden experiment
120

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
Figuur E.4: Correlatie van experiment vs model
121

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
e.3 oplossingen uit subsectie 8.5.3
Dit zijn de oplossingen bekomen in situatie 3 (subsectie 8.5.3). Merk op dat
de spanning op het contact van de inputstroom niet wordt gezocht.
(a) overzicht model
(b) Vergelijking met situatie 1
122

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
(c) oplossing voor elektrode 16 (d) oplossing voor elektrode 14
(e) oplossing voor elektrode 12 (f) oplossing voor elektrode 10
(g) oplossing voor elektrode 8 (h) oplossing voor elektrode 6
(i) oplossing voor elektrode 4 (j) oplossing voor elektrode 2
Figuur E.5: ‘Volle lijn’: oplossing model, ‘+’: waarden experiment
123

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
Figuur E.6: Correlatie van experiment vs model
Figuur E.7: 3D overzicht van de potentiaalverdeling
124

BIJLAGE E. OVERZICHT OPLOSSINGEN ELEKTRO-ANATOMISCH
MODEL
(a) Het stroomverloop: Boven-aanzicht
(b) Het stroomverloop: Voor-aanzicht
125

L I J S T M E T A F K O RT I N G E N
bte: Behind-the-ear
cad: Computer aided design
csf: Cerebrospinal fluid
ct: Computer Tomografie
db spl: Decibel sound pressure level
dof: Degrees of freedom
fdm: Finite Difference Methode
fem: Finite elements method
efi: Electric Field Imaging
iac: Intern Auditory Canal (=IAM)
iam: Intern Auditory Meatus (=IAC)
ihc: Intern haircells
ohc: Outern haircells
pde: Parial Differential Equation
rf: Radio Frequency
roi: Region of interest
rvw: Randvoorwaarde
rx: Röntgen X-straling
s: Siemens (= 1
Ω )
st: Scala Tympani
sv: Scala Vestibuli
126
F

B I B L I O G R A F I E
[1] P. Armstrong, M.L. Wastie, ‘A.G. Rockall, Diagnostic Imaging’, Blackwell
Publishing 2004
[2] G. Baker, N. Barnes, ‘Model-Image Registration of Parametric Shape Models’,
Department of Computer Science en Software Engeneering, University of
Melbourne, Australia 2005
[3] Eric B. Becker, Graham F. Carey, J. Tinsley Oden, ‘Finite Elements, an
introduction Volume 1’, Texas Institute for Computional Mechanics, 1981 by
Precntice-Hall Inc
[4] J.J. Bray, ‘human physiology’, 4th edition, Blackwell Sience, p171 ev
[5] J.J. Briaire, J.H.M. Frijns, ‘Unraveling the electrically evoked compound
action potential’, Leiden University Medical Center, Hearing Research 205
(2005) 143-156
[6] R.P. Feyman, 1The Feyman Lectures on physics: part II mainly electromagnetism
and matter, chapter 6: The Electric Field in Various Circumstances’,
Addison-Wesley publishing company, California 1977
[7] J.H.M. Frijns, 1Cochlear Implants a modelling approach’, Leiden 1995
[8] D. Henwood, J. Bonet, 1Finete Elements, a Gentle Introduction’, Macmillan
press LTD, London 1996
[9] E.H. Huizing, G.B. Snow, 1Leerboek keel-, neus- en oorheelkunde’,Bohn
Stafleu van Loghum, 2de herziene druk Houten 2005
[10] prof P. Hunter, prof A. Pullan, 1FEM/BEM notes’, Department of engineering
science the university of Auckland New Zealand, Febr 21 2001
[11] T. Jacob, http://www.cf.ac.uk/biosi/staff/jacob/teaching/sensory/ear.html
[12] F. Jacobs, ‘Nucleair Geneeskundige Instrumentatie’, cursus 2de lic Fysica
Univeristeit Antwerpen, Kliniek voor Radiotherapie en Kerngeneeskunde
Universitair Ziekenhuis Gent, oktober 2006
[13] V. N. Kaliokin, ‘Introduction to Approximate Solution Techniques, Numerical
Modeling, and Finite Element Methods’, Univerisity of Delaware, 2002 New
York by Marcel Dekker Inc
127

Bibliografie
[14] J.C. Lagarias, J.A. Reeds, M.H. Wright, P.E. Wright, ‘convergence properties
of the Nelder-Mead simplex method in low dimensions’, Society for Industrial
and Applied Mathematics Vol. 9, No. 1, pp. 112-147
[15] J. Malmivuo, R. Plonsey, Biolectromagnetism, ‘Princicples and Applications
of Bioelectric and Biomagnetic Fields, chapter 21: Functional Electric
Stimulation’, Oxford university press, New York 1995
[16] J.K. Niparko, K.I. Kirk, N.K. Mellon,A.M. Robbins, D.L. Tucci, B.S. Wilson,
‘Cochlear Implants principles and practices’, Lippincott Williams and
Williams, Philadelphia 2000
[17] B. Partoens, ‘Numerieke Methoden’, cursus 1ste lic Fysica Univeristeit Antwerpen,
Universiteit Antwerpen 2005-2006
[18] A. Postnov, A. Zarowski, N. Declerck, F. Vanpoucke, F.E. Offeciers, D. Van
Dyck, S. Peeters, ‘High resolution micro-CT scanning as an innovative tool
for evaluation of the surgical positioning of cochlear implant electrodes’, Acta
Otolaryngol. 2006 May;126(5):467-74.
[19] R. Putz, R. Pabst, Sobotta, ‘Atlas van de menselijke anatomie’, Bohn Stafleu
Van Loghum, Houten 2001
QM L. Ramdas Ram-Mohan, ‘Finite Element and Boundary Element Applications
in Quantum Mechanics’, Worcester Polytechnic Institute
[20] F. Rattay, S. Resatz, P. Lutter, K. Minassian, B. Jilge, M.R. Dimitrijevic, ‘Mechanisms
of Electrical Stimulation with Neural Prostheses’, Neuromodulation,
Volume 6, Number 1, 2003 4256
[21] F. Rattay, ‘Analysis of models for external stimulation of axons’, IEEE Trans.
Biomed. Eng. BME-33:(10) 974-7, 1986
[22] B.E.A. Salehm M.C. Teich, ‘Fundamentals of Photonics’, John Wiley & Sons
Inc, New York 1991
[23] P. Scheunders, ‘Theoretische Fysica IV: klassieke veldvergelijkingen’, cursus
2de kan Fysica Univeristeit Antwerpen, Universiteit Antwerpen 2004-2005
[24] D.Schrijvers, ‘Experimentele Fysica I: deel1’, cursus 1ste Kan Fysica Universiteit
Antwerpen, Universiteit Antwerpen 2003-2004
[25] S. Silbernagl, A. Despopoulos, ‘Atlas van de fysiologie’, Sesam 1981,p362 ev
[26] M.R.Spiegel, ‘Mathematical Handbook of Formulas and Tables’, Schaum’s
Outline Series, McGraw-Hill 1968
[27] G.S. Stickney, P.C. Loizou, L.N. Mishra, P.F. Assmann, R.V. Shannon, J.M.
Opie, ‘Effects of electrode design and configuration on channel interactions’,
Hearing Research 211 (2006) 3345
128

Bibliografie
[28] H. Tobin, ‘Rehabilitation Research and Development
Service, Practical Hearing Aid Selection and Fitting’,
http://www.rehab.research.va.gov/mono/ear/contear.htm
[29] G. Tognola, A. Pesatori, M. Norgia, M. Parazinni, L. Di Rienzo, P. Ravazanni,
S. Burdo, F. Grandori, C. Svelto, ‘Numerical Modeling and Experimental
Measurements of the Electric Potential Generated by Cochlear Implants in
Physiological Tissues’, Proceedings of the IEEE Volume 2, Issue , 16-19 May
2005 Page(s): 1388 - 1391
[30] D. Van Dyck, ‘beeldverwerking’, cursus 2de lic Fysica Univeristeit Antwerpen,
Universiteit Antwerpen 2006-2007
[31] F. Vanpoucke1, A. Zarowski, S. Peeters, ‘Electrical Field Imaging: modeling
the cochlear current spread: modeling, in vivo results, impact of the positioner’,
presentation Los Angeles, 15 April 2003
[32] F. Vanpoucke, A. Zarowski, S. Peeters, ‘Identification of the impedance model
of an implanted cochlear prosthesis from intracochlear potential measurements’,
IEEE Trans Biomed Eng. 2004 Dec;51(12):2174-83
[33] F. Vanpoucke, A. Zarowski, J. Casselman, J. Frijns, S. Peeters, ‘The facial
nerve canal an important current path in monopolar stimulation revealed by
Clarion Electrical Field Imaging’, Otol Neurotol. 2004 May;25(3):282-9
[34] G. Van Tendeloo, ‘Algemene Fysica III: Elektromagnetisme’, cursus 2de kan
Fysica Univeristeit Antwerpen, Universiteit Antwerpen 2004-2005
[35] M. Verhoye, J.V. Goethem, J. Gielen, P. Parizel, ‘Biomedische Beeldvormingstechniek
met klinische toepassingen’, cursus 2de lic Fysica Univeristeit Antwerpen,
Universiteit Antwerpen 2006-2007
[36] T. Vilis,‘The Physiology of the Senses,Transformations for Perception
and Action’, University of Western Ontario, Canada 2007,
http://www.physpharm.fmd.uwo.ca/undergrad/sensesweb/
[37] D.M. Whiten, D.K. Eddington, M.L. Gray, ‘Electro-anatomical models of the
cochlear implant’, Harvard-MIT Division of Health Science and Technology
2007
[38] B.S. Wilson, D.T. Lawson, M. Zerbi, ‘Advances in coding strategies for
cochlear implants’, Adv Otolarygnol Head Neck Surg 1995
[39] Zarowski A., Vanpoucke F., Postnov A., De Clerck N., Somers T., Offeciers
E., Peeters S. , ‘Micro-CT anatomical study of human cochleae’, oral 9th Int.
Conf. CI, Vienna, 14-17 June 2006.
[40] Amira, http://www.amiravis.com/, Mercury Computer Systems, San Diego
1999-2006
129

[41] ‘Atlas of hearing and balance organs’,uitgeverij Springer 1999
[42] Comsol Multiphysics version 3.2 september 2005, Users’s Guide
Bibliografie
[43] Comsol Multiphysics version 3.2 september 2005, Modeling Guide, Electromagnetics
p.67 e.v., Geometry Modeling and CAD Tools p.29 e.v.
[44] Comsol Multiphysics version 3.2 september 2005, Users’s Guide, Understanding
the Finite Element Method p.542 e.v.
[45] Matlab7, the language of Technical Computing, (c) Mathworks Inc 1984-
2004,’minimalisation’,’Evaluating the Goodness of Fit’
[46] http://www.health.state.ny.us/nysdoh/antibiotic/ear.gif
[47] http://pages.cpsc.ucalgary.ca/ hill/papers/conc/images/dh12.jpg
[48] http://www.graphpad.com/curvefit/2models 1dataset.htm
[49] http://www.wikipedia.org: ‘Axon’, ‘cochlear implants’,‘cochlea’, ‘dura mater’,‘ear’,‘myelin’,
‘temporal bone’,‘vestibular organs’
[50] http://www.wikipedia.org: ‘Tomographic reconstruction’,‘Computed tomography’
[51] http://www.wikipedia.org: ‘electric potential’,‘maxwell equations’,‘Interface
conditions for electromagnetic fields’
[52] http://www.wikipedia.org:‘Finite element method’, ‘Finite element Analysis’,
‘Finite difference’
130