Project Optimalisatie Spanningsdeler

Spanningsdeler
Project Optimalisatie
Department of Electrical Engineering
Project 3
Dit project gaat over het meten van de overdrachtsfunctie H van een spanningsdeler als functie van de verplaatsing
x van de loper, of de verdraaïng van de potmeter. In onderstaande figuur staan twee situaties geschetst, links de
onbelaste spanningsdeler, rechts de belaste met een belastingsweerstand Rg.
+
U1
❤
R ✛
R1
R2
xmax
❤+
U2
− ❤
❤−
x
+
U1
❤
✛
R
R1
R2
x
xmax
Rg
❤+
U2
− ❤
❤−
Figuur 1: Onbelaste en belaste spanningsdeler
Het contactpunt van de loper verdeelt de totale weerstand R van de spanningsdeler in twee delen: R1 en R2
waarbij R = R1 + R2. Verder is de spanningsdeler lineair, zodat R2 = pR, waarin p de relatieve positie van het
contactpunt is, gedefinieerd door
p = x
.
xmax
Beschouw eerst het geval dat de spanningsdeler onbelast is. Een nauwkeurige meting van de spanningsdeler geeft
de uitkomsten zoals vermeld in Tabel 1.
p 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
H .022 .087 .205 .299 .420 .513 .598 .676 .816 .897 .991
Tabel 1: Meetwaarden onbelaste spanningsdeler
De overdrachtsfunctie is gedefinieerd als het quotient van de uitgangsspanning U2 en de ingangsspanning U1:
H = U2
.
U1
1. Bepaal voor het geval dat de spanningsdeler onbelast is een expressie voor de overdrachtsfunctie H uitgedrukt
als functie van de relatieve positie p.
2. Bepaal de best passende rechte van de vorm H(p) = a0 + a1p door de meetpunten van Tabel 1. Definieer
hiertoe voor ieder meetpunt (pi, Hi) uit Tabel 1 de modelfout ei = H(pi) − Hi en introduceer als kostenfunctie
f(a0, a1) = m i=1 e2i , de som van de kwadraten van alle modelfouten. De best passende rechte
minimaliseert f en geeft de optimale richtingscoefficient a1 en optimale offset a0.
Beschouw vervolgens het geval dat de spanningsdeler belast is met een weerstand Rg zodanig dat R/Rg is voldoende
klein. In deze situatie leveren metingen van p en H de uitkomsten zoals vermeld in Tabel 2
1

p 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
H .015 .105 .161 .191 .260 .348 .418 .479 .617 .733 .993
Tabel 2: Meetwaarden belaste spanningsdeler
3. Toon aan dat in de situatie met belasting het verband tussen H en p niet lineair is, en geef de overdrachtsfunctie
H als functie van de positie p van de loper.
4. Gebruik uw antwoord in item 3 door de niet lineaire functie H(p) te benaderen door de polynomen (in
p) H1(p), H3(p) en H5(p) van de graad 1,3 en 5, resp. Gebruik hiervoor uw antwoord van item 3 en de
meetkundige reeks
1
1 + u = 1 − u + u2 − u 3 + · · ·
die geldt voor alle u met |u| < 1. Gebruik deze reeks door een geschikte u te kiezen uit uw antwoord bij
item 3.
5. Bepaal met Matlab de beste polynomen (in p) van de graad 1, 3 en 5 die de meetpunten van Tabel 2 benaderen.
Gebruik hiertoe wederom een kleinste kwadraten criterium zoals in item 2.
6. Bepaal op grond van de optimale coefficienten uit de vorige opgave een schatting van R/Rg. Gebruik deze
schatting om de gevonden krommen te vergelijken met de grafieken van H1, H3 en H5 uit item 5.
7. Bereken voor elk van de drie gevonden polynomen (uit item 6) de som van de kwadraten van de afwijkingen
t.o.v. de meetpunten en bepaal daaruit welk polynoom het beste model levert.
2