Reader Natuurkunde new versie 2013.pdf - HRWisAHenme

Reader Natuurkunde
1. Inleiding
Deze reader is bedoeld als materiaal ter voorbereiding op het toelatingsexamen natuurkunde aan de
Hogeschool Rotterdam. Hij kan voor zelfstudie worden gebruikt, of als basis voor een van de
voorbereidingscursussen. In het kader van de cursus wordt de theorie uitgelegd. Verder worden
vraagstukken besproken en gedeeltelijk in groepswerk behandeld.
2. Inhoud en verantwoording
De inhoud van deze reader/cursus is gericht op de vervolgopleidingen. Er is daarom gekozen voor een
selectie van onderwerpen uit de HAVO stof natuurkunde.
• Beweging
• Krachten
• Arbeid en energie
• Trillingen en golven
• Elektriciteitsleer
Er zijn helaas ook havo onderwerpen, zoals warmteleer, magnetisme, optica en moderne fysica die uit
tijdgebrek geen plek hebben gekregen. Deze onderwerpen worden dan ook niet in het
toelatingsexamen getoetst.
De reader bevat een korte uitleg/samenvatting van de belangrijkste theoretische punten. Verder zijn er
voor elk onderwerp een aantal vraagstukken met uitwerkingen.
3. Doelstellingen
De doelen van deze cursus zijn:
• het opfrissen van bestaande kennis van HAVO natuurkunde
• het aanvullen van ‘gaten’ in natuurkunde voor bepaalde studietrajecten
• het voorbereiden op het toelatingsexamen natuurkunde
Het is geen doel van deze cursus om het gehele HAVO curriculum natuurkunde door te nemen. Dit
zou onmogelijk zijn in de tijd die ter beschikking staat. In samenwerking met de opleidingen die een
toelatingsexamen eisen hebben wij de belangrijkste onderdelen uit het school curriculum gehaald en
in de cursus opgenomen.
4. Studielast
Naast de lessen (mits een voorbereidingscursus wordt gevolgd) zal er thuis gestudeerd
moeten worden. Afhankelijk van de vooropleiding en aanleg varieert dit van enkele uren per
week tot maximaal tien uur per week.
(Voor cursisten: de thuisstudie omvat verwerken en voorbereiden van lesstof. Het verwerken
bestaat vooral uit maken van huiswerk dat bij elke les wordt gegeven. Dit huiswerk is
namelijk bedoeld om de doorgenomen onderwerpen en vaardigheden goed te oefenen.)
1

5. Literatuur en leermiddelen
Er zijn, behalve deze reader, geen verplichte leermiddelen voor deze cursus. Wij bevelen wel aan
(vooral voor zelfstudie) om extra materiaal ernaast te gebruiken. Vooral de volgende CD-ROM is
aanbevolen (die via Hintshop te bestellen is) :
CD-ROM: FleXact programma Wiskunde en Natuurkunde, Uitgeverij Betarom
Er zijn bovendien een aantal websites waar je op een (meer of minder leuke) interactieve manier een
aantal onderwerpen kan oefenen. Een hele grote aanrader, als je Engels redelijk goed beheerst is:
www.khanacademy.org
(op deze website kun je kleine youtube filmpjes met uitleg over elk onderwerp bekijken, en
zelfgestuurd oefeningen doen. Erg leuk.
Andere goede websites zijn:
www.natuurkunde.nl
(HAVO examenvragen)
home.kpn.nl/h.bruning/applets.html
(applets voor bepaalde onderwerpen)
6. Toetsing
Het toelatingsexamen duurt 150 minuten. Het bevat ongeveer 34 meerkeuze vragen uit alle
onderwerpen die in de lesreeks behandeld worden.
Een rekenmachine is bij het examen toegestaan.
7. Herkansingsregelen
Je hebt recht op één herkansing per toets per jaar. Wanneer je afwezig bent tijdens een examen zonder
geldige reden, dan kun je alleen nog gebruik maken van je herkansingsmogelijkheid als laatste
toetsmoment. Meer informatie over de regels die gelden binnen het Toelatingstraject 21+ staat in het
Reglement inschrijving en voorbereiding op hogeschoolrotterdam.nl/toelating.
2

8. Opbouw en planning
Deel1:
Lessen 1 + 2: Beweging
FleXact:
Beginscherm “Kinematica”- theorie onderdeel “Rechtlijnige beweging” met bijbehorende
oefeningen (oefenvragen binnen de theorie; en onderwerpen 1 t/m 6 van het oefengedeelte); ook
theorie onderdeel “Valbeweging” (theorie bij “Kinematica”; maar eigen oefengedeelte; hiervan
alleen onderwerp 3)
Deel 2:
Lessen 3 + 4: Krachten
FleXact:
Beginscherm “Krachten” – theorie “Kracht en Druk” (hiervan alleen het eerste gedeelte ‘Krachten’
en daarin alles behalve ‘rollende wrijving’ en ‘momentenwet’) – oefendeel (Krachten ontbinden)
onderwerpen 1 t/m 5 (onderdeel 6 is vrij moeilijk)
Beginscherm “Newton” – theorie zoals boven – oefendeel (kracht en beweging) 1 t/m 4, 7 en 8
Deel 3:
Lessen 5, 6 en 7: Arbeid, Energie en Trillingen
FleXact:
Beginscherm “Energie”; daaronder theorie “Energie” (niet geheel – alleen inleiding en
energievormen); oefeningen 1 t/m 6, en 7 t/m 11 (deze zijn wat moeilijker, maar kijk of je er toch
uitkomt).
FleXact: hoofdscherm “Trillingen”; daaronder theorie “Trillingen”. Er zitten erg goede animaties in
de theorie – zeker bekijken! Oefeningen 1 t/m en 12.
Deel 4:
Lessen 8 en 9: Elektriciteit I
FleXact:
• hoofdscherm “Basis_elektriciteitsleer-2”; met bijbehorende theorie; oefenonderdelen 2
t/m 4
• hoofdscherm “Serieschakelingen”, met bijbehorende theorie (niet: schuifweerstand en
potentiometer); oefenonderdelen 1 en 2
• hoofdscherm “Parallelschakelingen” met bijbehorende theorie; oefenonderdelen 1 t/m 6
• hoofdscherm “Gemengde_schakelingen”, met bijbehorende theorie; oefenonderdelen 1
t/m 4
• hoofdscherm “Veiligheid thuis” met bijbehorende theorie.
3

Grootheden en maten
Introductie natuurkunde
Er zijn grootheden – dingen die je kunt meten. De grootheden hebben standaard afkortingen.
Om in formules ermee te kunnen werken hebben sommige van deze grootheden standaard
maten – zogenoemde basis-, of SI-eenheden. Een eenheid is een waarde die voor een
bepaalde grootheid vastgesteld is en warmee elke meting van deze grootheid wordt vergeleken.
De eenheden hebben ook standaard afkortingen – het is belangrijk dat je niet afkortingen voor
eenheden met afkortingen voor grootheden verwart! Om dit te voorkomen worden de afkortingen
voor de grootheden gebruikelijk cursief geschreven. Samengevat zijn de voor ons belangrijkste
grootheden met SI-eenheden:
Grootheid SI-eenheid
Tijd (t) seconde (s)
Lengte (s) meter (m)
Massa (m) kilogram (kg)
Stroomsterkte (i) Ampére (A)
Temperatuur (T) Kelvin (K)
Er zijn natuurlijk nog andere grootheden in de natuurkunde, maar de eenheden voor deze
andere grootheden zijn geen SI-eenheden. Zij kunnen wel uit deze afgeleid worden,
bijvoorbeeld:
⎛ s ⎞
snelheid (v ) = weg gedeeld door tijd ⎜ ⎟
⎝ t ⎠
m
eenheid
s
⎛ v ⎞
versnelling (a ) = snelheid gedeeld door tijd ⎜ ⎟
⎝ t ⎠
eenheid
m
2
s
kracht (F ) = massa keer versnelling ( m ⋅ a)
kg ⋅ m
eenheid = N (Newton)
2
s
energie (W ) = kracht keer weg ( F ⋅ s)
*
2
kg ⋅ m
eenheid = J (Joule)
2
s
*let op: er zijn ook andere formules voor andere soorten energie, maar alle hebben dezelfde eenheid!
De grootheden zullen wij in de volgende lessen nog terugzien. Van belang hier is dat je ziet hoe
belangrijk de eenheden zelf ook zijn. Het is altijd handig om in al je berekeningen de eenheden
mee te nemen, ook al lijkt dat lastig. Je voorkomt ermee rekenfouten (snelheid van km/h in m/s
om te rekenen bijvoorbeeld), en je kunt soms ook de samenhang tussen grootheden beter
onthouden als je hun eenheden vergelijkt.
4

Eenparige rechtlijnige beweging
Les 1: Rechtlijnige beweging
Wij zijn hier geïnteresseerd in bewegingen waarbij een voorwerp (mens, trein, kogel enzovoort)
een bepaalde afstand in een bepaalde tijd aflegt.
Je kunt in een diagram een grafiek van de afgelegde weg (y-as) met verstreken tijd (x-as)
maken. Zo een diagram zou je een weg/plaats-tijd diagram noemen (x-t diagram):
afstand (m)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x-t diagram
0 20 40 60 80 100
tijd (s)
Als deze grafiek een rechte lijn voorstelt, zoals boven, dan leg je in een bepaald tijdsinterval altijd
dezelfde afstand af. De stijging van de lijn is dus constant (maar kan ook 0 zijn als het voorwerp
zich niet beweegt). In dat geval noemen wij de beweging een eenparige beweging. Voor het
gemak gaan wij hier bovendien ervan uit dat het voorwerp zich in een rechte lijn voortbeweegt.
Dan hebben wij een eenparige, rechtlijnige beweging.
De stijging van de lijn toont dus aan welke afstand je in een bepaald tijdsinterval aflegt.
Dit is natuurlijk niets anders dan de snelheid (v) van het voorwerp.
afgelegde afstand
snelheid ( v)
=
benodigde tijd
Bij een eenparige beweging is deze snelheid steeds hetzelfde. Als je dus voor een rechtlijnige
eenparige beweging een snelheid-tijd diagram (v-t diagram) tekent, dan krijg je een horizontale
rechte lijn:
5

snelheid (m/s)
12
10
8
6
4
2
0
Voor een gegeven tijd kan je dan een soort rechthoek onder de lijn zien – de oppervlakte van
deze rechthoek (dus de oppervlakte tussen x-as en lijn) is de afgelegde afstand in die tijd.
Terug naar de plaats-tijd verhouding. Je kunt voor elk tijdstip de plaats van het voorwerp
aangeven. Bijvoorbeeld kan je zeggen dat aan het begin van de meting (tijd 0) het voorwerp op
plaats 0 stond. Dit kan je ook schrijven als

De verplaatsing is een vector (een rechte lijn met richting) die van beginpunt tot eindpunt loopt.
Als het voorwerp op tijd 0 aan het beginpunt is en op tijd n aan het eindpunt kan je de
verplaatsing ook uitdrukken als het verschil tussen de plaatscoördinaten:
verplaatsing = xeind
− xbegin
(stel je de plaatscoördinaten hierbij voor als bijvoorbeeld GPS coördinaten!)
Je kan voor de verplaatsing ook een snelheid berekenen – deze wordt dan ook de vectoriële
snelheid genoemd.
Snelheid op een tijdstip (niet constante snelheid)
Er zijn in de praktijk maar weinig bewegingen die over hun gehele traject een constante snelheid
hebben. Meestal verandert de snelheid over het traject een aantal keren (je stapt op de fiets, rijdt
een stukje versneld, rijdt een stukje met constante snelheid, en remt aan het einde). Als wij dan
de snelheid over het gehele traject meten, noemen wij de uitkomst de gemiddelde snelheid (je
moet dan wel ook aangeven over welke afstand of over welke tijd werd gemeten).
∆x
gemiddelde snelheid ( v)
=
∆t
Nb: de snelheid kan wel over een gedeelte van het traject constant zijn!
Je kunt ook de gemiddelde snelheid over een bepaald gedeelte van het traject bestemmen als je
voor dat gedeelte weet wat Δx en Δt zijn. De gemiddelde snelheid is in feite gelijk aan de
steilheid van de rechte lijn die je door het begin- en eindpunt van het gewenste traject in de x-t
grafiek trekt.
afstand (m)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
x-t diagram
stijging = gemiddelde snelheid traject
0 20 40 60 80 100
tijd (s)
Als je nu begin- en eindpunt steeds dichter bij elkaar brengt, dan is deze snijlijn eigenlijk een
raaklijn van de (x,t)-grafiek op dat punt. Dus is de gemiddelde snelheid op elk moment van een
traject gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan de (x,t) grafiek van het traject op dat moment.
De momentane snelheid is dus te schrijven als:
∆x
v = lim
∆t→0 ∆t
7

Wat moet je kunnen:
Bij een eenparige rechtlijnige beweging
- het v-t en x-t diagram tekenen/interpreteren.
- van de plaatsfunctie een x-t diagram tekenen.
- tussen v-t en x-t diagram schakelen
- de gemiddelde snelheid bepalen (in m/s – ook omrekenen tussen m/s en km/h)
Het verschil tussen afgelegde weg en verplaatsing uitleggen
Een beschreven beweging tekenen en de afgelegde weg en verplaatsing bepalen
Bij bewegingen met niet-constante snelheid:
- de gemiddelde snelheid berekenen
- het x-t diagram interpreteren (incl. schatten van x(0) en v(0)) en het bijbehorend v-t
diagram schetsen
- weten wat de raaklijn in een x-t diagram betekent
- weten wat de oppervlakte onder de lijn in een v-t diagram betekent
8

Vragen bij les 1: rechtlijnige beweging
1. Een wielrenner heeft op een zeker moment een snelheid van 50 km/h. Reken deze
snelheid om in m/s.
1km = 1000 m, en 1h = 3600s; dus 50km/h = 50x1000/3600 = 13,89 m/s (14 m/s is ook
goed)
2. Bereken hoe lang zonlicht er over doet om de aarde te bereiken. BINAS geeft aan dat de
gemiddelde afstand van aarde tot zon 149,6 x 10 6 km is, en de lichtsnelheid een waarde
van ongeveer 3 x 10 8 m/s heeft.
149,6 x 10 6 km = 149,6 x 10 9 m; 149,6 x 10 9 m/3 x 10 8 m/s = 499 s = 8 minuten 19
seconden
3. Tijdens een onweer constateer je een tijdsverschil van 6s tussen het zien van een bliksem
en het hierna horen van de donder. Op welke afstand speelt het onweer zich af? (BINAS
geeft voor de geluidssnelheid in lucht van 293K een waarde van 0,343 x 10 3 m/s aan). En
waarom hoeft hier alleen rekening te worden gehouden met de geluidssnelheid?
In 6s kan het geluid 6s x 0,343 x 10 3 m/s = 2058 m afleggen. Dus speelt het onweer zich
op ongeveer 2km afstand af. Je hoeft alleen met de geluidssnelheid rekening te houden
omdat de lichtsnelheid dezelfde afstand in een verwaarloosbare tijd aflegt.
4. Fietsend leg je een bepaalde afstand af in dertig minuten. De eerste helft van die tijd rijd je
met een snelheid van 25 km/h, de rest van de tijd met een snelheid van 15 km/h.
a. Hoe groot is je gemiddelde snelheid geweest?
Je rijdt 15 minuten (0,25h) met een snelheid van 25km/h. In die tijd rij je 0,25h x 25 km/h =
6,25 km. Dan rij je 15 minuten (0,25h) met 15 km/h, dus 0,25h x 15 km/h = 3,75 km. De
totale afstand is dan 6,25 + 3,75 = 10 km. Je doet er totaal 30 minuten = 0,5h over, dus
was je (gemiddelde) snelheid over het hele traject 10km/0,5h = 20 km/h. Dit kan je ook
makkelijker berekenen: (25+15)/2 = 20 km/h.
Een klasgenoot legt op de fiets dezelfde afstand af. Hij rijdt de eerste helft van die afstand
met een snelheid van 25 km/h, de rest van die afstand met een snelheid van 15 km/h.
a. Hoe is zónder een berekening te maken al in te zien, dat de gemiddelde snelheid
van je klasgenoot kleiner moet zijn dan die van jou?
b. Bereken zijn gemiddelde snelheid.
a. De klasgenoot rijdt een kortere afstand (5km ipv 6,25km) met de hogere snelheid, en
een langere (5km ipv 3,75km) met de lagere snelheid. De gemiddelde snelheid zal
dus langzamer moeten zijn.
b. De klasgenoot rijdt 5km met 25km/h. Hij doet er dus 5/25 = 0,2h (12 minuten) over.
Hij rijdt dan nog eens 5 km met 15 km/h, en doet er dus 5/15 = 1/3 h over (20
minuten). Bij elkaar is hij dan 32 minuten onderweg, dus zijn gemiddelde snelheid
was 10km/0,53h = 18,75 km/h
9

5. In de onderstaande grafiek is een snelheid-tijddiagram te zien dat hoort bij een rechtlijnige
beweging.
snelheid
(m/s)
a. Waarom is een dergelijk verloop van de snelheid in werkelijkheid niet mogelijk?
b. Welke betekenis heeft de oppervlakte van de donkere rechthoek?
c. Bepaal de afstand die in 50s is afgelegd.
d. Maak een bijbehorend afgelegde weg-tijddiagram.
a. Een dergelijk verloop van de snelheid is in werkelijkheid niet mogelijk omdat de
versnelling hier recht omhoog of omlaag gaat.
b. De donkere rechthoek is de afgelegde weg tussen 25s en 35s.
c. De afgelegde weg is de oppervlakte onder de lijn. Hiervoor kan je rechthoekjes
tellen: het zijn er 66, met elk een oppervlakte van 0,1 x 5 = 0,5 m. Bij elkaar is de
afgelegde weg dan 66 x 0,5 = 33m
d. Het weg-tijddiagram ziet er zo uit:
weg
(m)
35
30
25
20
15
10
5
0
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-10 10 30 50
0 10 20 30 40 50
tijd (s)
tijd (s)
6. Op een rechte weg bevindt zich een auto. Langs deze weg staan de bekende bordjes. De
auto heeft als plaatsfunctie: x( t)
= 45,
8 + 1,
67 ⋅t
(met x in km en t in min).
a. Hoe blijkt uit deze plaatsfunctie dat de auto in beweging is?
b. Welk getal staat op het bordje dat werd gepasseerd op t = 0 min?
c. Hoe blijkt uit deze plaatsfunctie, dat de auto een constante snelheid heeft?
d. Ga na hoe groot die snelheid is (uitgedrukt in km/h).
a. Je kan zien dat de auto in beweging is omdat in de plaatsfunctie de snelheid v =
1,67, dus niet gelijk aan nul.
b. Op t = 0 is x(t) = 45,8km, dus dit staat op het bordje.
10

c. De auto heeft een constante snelheid omdat de afgelegde weg in ieder minuut met
een constante hoeveelheid omhoog gaat.
d. In 60 minuten (een uur) gaat de afgelegde weg met 1,67 x 60 = 100 km omhoog. De
snelheid is dus 100 km/h.
7. In de onderstaande grafiek zie je twee (x, t) functies.
weg
(m)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40
tijd (s)
a. Stel voor A de twee (!) plaatsfuncties op (met vermelding van de bijbehorende
tijdsintervallen).
b. Doe hetzelfde voor B.
c. Teken in één figuur de bijbehorende (v, t) functies.
a. Voor A zijn er twee componenten: in het tijdsinterval [0s, 25s] begint het traject bij
x(0) = 20m, en gaat de afgelegde weg iedere 1s met 2m omhoog; de eerste
plaatsfunctie is dus x(t) = 20 + 2 t; in het tijdsinterval [25s, 40s] begint het traject bij
x(0) = 70m maar het verandert verder niet met de tijd; de tweede plaatsfunctie is dus
x(t) = 70.
b. Voor B zijn er ook twee componenten: in het tijdsinterval [0s, 20s] begint het traject
bij x(0) = 30m maar het verandert verder niet met de tijd; de eerste plaatsfunctie is
dus x(t) = 30; in het tijdsinterval [20s, 40s] begint het traject bij x(0) = 30m, en gaat
de afgelegde weg iedere 1s met 1,5m omlaag; maar om x(t) te vinden moet je nu de
aflopende lijn terugtrekken tot de y-as; daar komt hij bij 60 uit; de tweede
plaatsfunctie is dus x(t) = 60 – 1,5 t.
c. De (v,t) functies van A en B zien er als volgt uit:
snelheid
(m/s)
3
2
1
0
-1
-2
-3
A
A
0 10 20 30 40
B
B
tijd (s)
11

8. Over dezelfde rechte weg rijden Karel en Leo elk op hun brommer en Mark in een oud
autootje. Voor een klein deel van het traject zie je in de onderstaande grafiek hun (x, t)
functies.
weg
(m)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
-10 10 30 50
a. Welke natuurkundige betekenis heeft het snijpunt van twee (x, t) functies?
b. Wie passeren elkaar het eerst?
c. Bepaal wie het hardst rijdt. (Doe dit zónder het maken van berekeningen!)
d. Bepaal de tijdstippen waarop de afstand tussen Karel en Leo 200 m is.
a. Op het snijpunt van twee lijnen hebben allebei de mensen/voorwerpen dezelfde weg
in dezelfde tijd afgelegd. Ze zijn dan op dezelfde plek.
b. Karel en Leo komen elkaar het eerst tegen (in tegenovergestelde richting rijdend).
c. Mark rijdt het hardst (zijn functie heeft de grootste stijging).
d. De plaatsfunctie voor Karel is x(t, K) = 600 – 12 t; de plaatsfunctie van Leo is x(t, L)
= 200 + 10 t. Als de afstand tussen Karel en Leo 200m is dan moet of (600-12t)-
(200+10 t) = 200 = 400 – 22 t, dus 22 t = 200, dus t = 9,1 s; of (600-12t)-(200+10 t) =
- 200 = 400 – 22 t, dus 22 t = 600, dus t = 27,3 s.
9. Uit een raam, 15m boven de grond, gooit iemand een tennisbal recht omhoog. Na 10m
gestegen te zijn, bereikt de bal het hoogste punt van zijn baan.
Ga na hoe groot én de afgelegde weg én de verplaatsing van de bal zijn, gerekend tot aan
het moment dat de bal op de grond komt. Welke richting heeft de verplaatsing?
De afgelegde weg is 10m + 10m + 15m = 35m. De verplaatsing is -15m; en deze is
negatief omdat de bal omhoog gegooid werd maar 15m verder beneden eindigt.
K
M
L
tijd (s)
12

Les 2: Rechtlijnige beweging, versneld
Eenparig versnelde rechtlijnige beweging
Wij hebben al gezien hoe x-t en v-t diagrammen van bewegingen eruit zien als de snelheid over
het traject verandert. Een verandering in snelheid is natuurlijk niets anders dan een versnelling of
vertraging. Als de toename (versnelling) of afname (vertraging) van de snelheid gelijkmatig is
dan noemen wij dat een eenparig versnelde/vertraagde beweging.
De grootte van de versnelling of vertraging bepaald hoe sterk de snelheid per tijdeenheid
veranderd – dit wordt gewoonlijk aangegeven in snelheid/seconde, of (m/s)/s = m/s 2 . Als de
snelheid v van een voorwerp dus per seconde met versnelling a verandert dan is de snelheid na
t seconden:
v( t)
= v(
0)
+ a ⋅ t
Dit is de snelheidsfunctie van een eenparig versnelde rechtlijnige beweging.
Het is een eerstegraads functie in t, wat betekend dat de grafiek van v als functie van t (v-t
grafiek) een rechte lijn is met helling a (de versnelling dus). Het a-t diagram is dan een rechte
lijn evenwijdig aan de x-as.
snelheid (m/s)
v-t diagram
eenparig versnelde beweging
50
30
10
-10
0 50
tijd (s)
100
Als wij nu de verplaatsing in een eenparig versnelde rechtlijnige beweging willen vaststellen
moeten wij ons even de plaatsfunctie herinneren:
Plaatsfunctie: x( t)
= x(
0)
+ ∆x
Wij gaan ervan uit dat x(0) bekend is, maar wat is in dit geval ∆ x ?
De afgelegde weg kan je berekenen uit gemiddelde snelheid en tijdsduur. De tijd (vanuit de
uitgangspositie x ( 0)
) is t – wij moeten dus nu nog de gemiddelde snelheid weten:
Gemiddelde snelheid (van x(0) naar x(t)):
Omdat het v-t diagram een rechte lijn is, is de gemiddelde snelheid gewoon het
gemiddelde van begin- en eindsnelheid, dus
v(
t)
+ v(
0)
v(
0)
+ a ⋅t
+ v(
0)
2v(
0)
+ a ⋅ t 1
v = =
=
= v(
0)
+ a ⋅ t
2
2
2
2
Dit kan je ook grafisch uitbeelden:
versnelling (m/s 2 )
a-t diagram
eenparig versnelde beweging
50
30
10
-10
0 50
tijd (s)
100
13

snelheid (m/s)
70
60
50
40
30
20
10
0
De plaatsfunctie wordt daarom:
1
x(
t)
= x(
0)
+ ( v(
0)
+ a ⋅ t)
⋅ t
2
1 2
x(
t)
= at + v(
0)
t + x(
0)
2
Dit is een tweedegraads functie in t, en de x-t grafiek van een eenparig versnelde rechtlijnige
beweging is daarom een (halve) parabool.
afgelegde weg (m)
300
250
200
150
100
50
0
0 20 40 60 80 100
Als je voor x(0) niet de plaatscoördinaat gebruikt, maar de afgelegde weg, dan is x(0) altijd gelijk
aan 0. Als de beweging vanuit stilstand begint is v(0) ook gelijk aan 0, en vereenvoudigd de
plaatsfunctie tot:
1
x ( t)
= at
2
gemiddelde snelheid
eenparig versnelde beweging
2
tijd (s)
½ a t
v(0)
afgelegde weg
eenparig versnelde beweging
0 20 40 60 80 100
tijd (s)
14

Samenvatting eenparig versnelde rechtlijnige beweging:
• beweging in rechte lijn
• beweging met constante versnelling
• x-t diagram is een parabool, stijging van raaklijn = snelheid
• v-t diagram rechte lijn (evenwijdig aan x-as), helling van de lijn = versnelling (positief
getal) of vertraging/remmen (negatief getal)
• de snelheidsfunctie is v( t)
= v(
0)
+ a ⋅t
• a-t diagram horizontale lijn (evenwijdig aan x-as), oppervlakte onder de lijn is de
snelheidsverandering
1 2
• de plaatsfunctie is x ( t)
= at + v(
0)
t + x(
0)
2
Wat moet je kunnen:
Voor een eenparig versnelde rechtlijnige beweging:
- in een v-t diagram een eenparig versnelde/vertraagde beweging herkennen en interpreteren
- de afgelegde weg berekenen
- in een v-t of x-t diagram twee versnelde bewegingen met elkaar vergelijken
- in een v-t diagram herkennen dat een beweging vanuit stilstand begon
Praktische voorbeelden:
• Remvertraging en remweg (gegeven: vertraging en beginsnelheid)
• Start van een vliegtuig (gegeven afgelegde weg en bereikte snelheid; ook benodigde
startbaan)
• Rijden op veilige afstand (gegeven snelheid en reactietijd)
• Vrije val (dus in een vacuum)! (dit zien wij nog terug bij zwaartekracht)
• Omhoog gooien van bal – x-t diagram is bergparabool; versnelling is g, maar v loopt
eerst tegengesteld aan de versnelling, dan met versnelling mee.
15

Vragen bij les 2: rechtlijnige beweging
10. Een voorwerp beweegt in een rechte lijn met een vertraging van 2,5 m/s 2 .
a. Hoe groot is de afname van de snelheid per seconde?
b. Hoelang duurt het, voordat de snelheid met 30 m/s is afgenomen?
a. Elke seconde neemt de snelheid van het voorwerp met 2,5 m/s af.
b. Daarom duurt het 30/2,5 = 12 s voordat de snelheid met 30 m/s is afgenomen.
11. Een vliegtuig landt met een snelheid van 86 m/s. Neem aan dat de beweging over de
landingsbaan eenparig vertraagd is, met een vertraging van 3,2 m/s 2 .
Bereken de tijd die het vliegtuig nodig heeft om tot stilstand te komen.
Hier gebruik je de snelheidsfunctie. Je wilt weten voor welk t v(t) = 0 is. Je weet dat v(0) =
86 m/s, en a = -3,2 m/s2. Dus de functie wordt: 86 – 3,2 t = 0, of 3,2 t = 86, of t = 26,875 s.
12. Een automobilist rijdt met een snelheid van 54 km/h. Door gedurende 4,0 s eenparig
versneld te rijden, verhoogd hij zijn snelheid tot 90 km/h.
a. Bereken de versnelling (in m/s 2 ).
b. Bereken de gemiddelde snelheid in de 4,0 s. Licht je antwoord toe aan de hand
van een snelheid-tijddiagram.
a. Je gebruikt hier de snelheidsfunctie: v( t)
= v(
0)
+ a ⋅ t met v(t) = 90 km/h = 25 m/s,
v(0) = 54 km/h = 15 m/s, en t = 4 s. Dan wordt
v(
t)
− v(
0)
25 −15
2
a = = = 2,
5 m / s .
t 4
1
b. Je berekent de gemiddelde snelheid met: v = v(
0)
+ a ⋅t
In dit geval is v(0) = 15
2
1
m/s, t = 4s, en a = 2,5 m/s. Dan is dus v = 15 + 2,
5 ⋅ 4 = 20 m / s = 72km
/ h Het
2
snelheid-tijddiagram ziet er als volgt uit:
snelheid (m/s)
30
20
10
½ a t
0 60 120 180 240
tijd (s)
v(0)
16

13. In de onderstaande grafiek zie je twee (v, t) functies.
snelheid
(m/s)
12
10
8
6
4
2
0
a. Stel voor A de twee (!) snelheidsfuncties op. (Geef ook steeds het tijdsinterval
aan.)
b. Doe hetzelfde voor B.
a. Voor A zijn er twee componenten: in het tijdsinterval [0s, 8s] begint het traject bij v(0)
= 0/sm, en gaat de snelheid iedere 1s met 1,5 m/s omhoog; de eerste
snelheidsfunctie is dus v(t) = 1,5 t; in het tijdsinterval [8s, 12s] is de snelheid
constant; de tweede snelheidsfunctie is dus v(t) = 12.
b. Voor B zijn er ook twee componenten: in het tijdsinterval [0s, 6s] is de snelheid
constant; de eerste snelheidsfunctie is dus v(t) = 6; in het tijdsinterval [6s, 12s] kan je
een denkbeeldige lijn doortrekken tot v(0) = 12 m/s, en gaat de snelheid iedere 1s
met 1 m/s omlaag; de tweede snelheidsfunctie is dus v(t) = 12 – t.
14. Bepaal aan de hand van de onderstaande grafiek:
versnelling
(m/s 2 )
a. de snelheidsverandering in het tijdsinterval [0s; 3s].
b. de snelheidsverandering in het tijdsinterval [0s; 5s].
4
2
0
-2
-4
0 4 8 12
tijd (s)
a. In het tijdsinterval [0s; 3s] gaat de snelheid elke seconde met 2 m/s omhoog. Over
het gehele tijdsinterval gaat de snelheid dus met 6 m/s omhoog.
b. In het tijdsinterval [0s; 5s] gaat de snelheid eerst drie seconden lang elke seconde
met 2 m/s omhoog, en dan twee seconden lang elke seconde met 4 m/s omlaag.
Over het gehele tijdsinterval gaat de snelheid dus met 2 m/s omlaag.
15. In de onderstaande grafiek zie je de (v, t) functies van twee motorrijders (A en B) die in
dezelfde richting over een rechte weg rijden.
A
0 1 2 3 4 5
B
tijd (s)
17

snelheid
(m/s)
40
20
0
0 10 20 30 40 50 60 70
Op t = 0 s wordt de een net ingehaald door de ander.
a. Blijkt dit ook uit de grafiek? Licht je antwoord toe.
b. Toon aan dat op t = 70 s A juist weer is ingehaald door B.
c. Waaruit blijkt dat A is ingehaald door B en dus niet B door A?
a. Ja, dit blijkt uit de grafiek, omdat de snelheid van de een (A) op t = 0 groter is dan de
snelheid van de ander (B). Het blijkt uit de oppervlakte onder de functies van A en B.
Deze zijn gelijk aan elkaar zodat we de conclusie moeten trekken dat op het tijdstip
t=0 . A is B op t=0 aan het inhalen.
b. A rijdt eerst 20 s met een snelheid van 40 m/s en legt in die tijd dus 800m af.
Vervolgens remt A over 50 s tot stilstand af, dus zijn versnelling is -0,8 m/s 2 . De
1
gemiddelde snelheid is dan v = v(
0)
+ a ⋅ t = 40 − 0,
4 ⋅ 50 = 20 m / s en hij legt in
2
die tijd dus een weg van 1000 m af. Totaal rijdt A dan 1800m in de 70 seconden. B
rijdt eerst 50 s met een snelheid van 30 m/s en legt in die tijd dus 1500m af.
Vervolgens remt B over 20 s tot stilstand af, dus zijn versnelling is -1,5 m/s 2 . De
1
gemiddelde snelheid is dan v = v(
0)
+ a ⋅ t = 30 − 0,
75⋅
20 = 15 m / s en hij legt in
die tijd dus een weg van 300m af. Totaal rijdt B dus ook 1800m in de 70 seconden,
en komen A en B na deze tijd naast elkaar tot stilstand.
c. De afgelegde weg is het oppervlak onder de lijn in een (v,t) diagram. Het totaal
oppervlak onder de twee lijnen is gelijk, maar A maakt extra meters aan het begin
van het traject (voordat de lijnen elkaar bij ongeveer t = 32 s kruisen), die B daarna
pas begint in te halen. Dus loopt A het geheel traject voor op B.
16. Een jachtluipaard kan een snelheid van 122 km/h bereiken (waarmee hij het snelst
lopende dier is). Vanuit stilstand bereikt hij die snelheid in 18 s. Neem aan dat de start
eenparig versneld verloopt.
a. Bereken de versnelling (in m/s 2 ).
b. Bereken de afstand die in 18 s wordt afgelegd.
a. De snelheid van de luipaard gaat in 18 s met 122/3,6 = 33,89 m/s omhoog. Zijn
versnelling is dus 1,88 m/s 2 .
b. De afgelegde weg bereken je met de plaatsfunctie voor een eenparig versnelde
1 2
beweging: x ( t)
= at + v(
0)
t + x(
0)
In dit geval is v(0) = 0 en x(0) = 0, dus
2
1 2 1
2
x( t)
= at = ⋅1,
88 ⋅18
= 305m
.
2 2
2
B
A
tijd (s)
18

17. Twee auto’s rijden met even grote snelheid achter elkaar aan. Opeens moet de bestuurder
van de voorste auto (A) krachtig remmen, waarna ook de ander (B) dit moet doen. De auto
van B komt op 3m afstand achter die van A tot stilstand:
snelheid
(km/h)
100
80
60
40
20
0
Bepaal aan de hand van de bovenstaande grafiek
a. de reactietijd van B;
b. de beide remvertragingen;
c. de oorspronkelijke afstand tussen de auto’s.
a. Uit de grafiek blijkt dat B pas na 0,75s begint met remmen. Dit is dus zijn reactietijd.
b. Allebei hebben dezelfde beginsnelheid van 80 km/h = 22,22 m/s. A komt binnen 3,25
s tot stilstand; de vertraging van A is dus a = -6,84 m/s2. B komt binnen 3s tot
stilstand; de vertraging van B is dus = 7,41 m/s2.
c. A rijdt 3,25s met een gemiddelde snelheid van 40 km/h = 11,11 m/s; dus hij stopt na
36,11 m. B rijdt eerst 0,75s met 22,22 m/s – dus 16,67m – en daarna rijdt hij 3s met
een gemiddelde snelheid van 11,11 m/s – dus 33,33 m; zijn gehele traject is dan
50m. Het verschil in afgelegde weg is dan 50 – 36,11 = 13,89m, en als zij nu nog 3m
uit elkaar zijn dan was de oorspronkelijke afstand ongeveer 17m.
18. Een voorwerp valt van zodanige hoogte, dat zijn valtijd ruim 5s is. (g = 9,81 m/s 2 )
a. Bereken de snelheidstoename van het voorwerp in de vierde seconde.
b. Bereken de verplaatsing van het voorwerp in de vierde seconde.
A
0 1 2 3 4
tijd (s)
a. Elke seconde gaat de snelheid van het voorwerp met 9,81 m/s omhoog. Dus is de
snelheidstoename van het voorwerp in de vierde seconde ook 9,81 m/s.
1 2
b. De verplaatsing is te berekenen met de plaatsfunctie x ( t)
= at + v(
0)
t + x(
0)
In
2
dit geval is v(0) = 0 en x(0) = 0, dus na 3 seconden is de afgelegde weg
1 2 1
2
x( 3)
= at = ⋅9,
81⋅
3 = 44,
145m
en na 4 seconden
2 2
1 2 1
2
x( 4)
= at = ⋅ 9,
81⋅
4 = 78,
48m
In de vierde seconde is het voorwerp dan
2 2
78,48-44,145 = 34,335m verplaatst.
B
19

19. Op een droge weg met goede banden kan een auto met 5,8 m/s 2 afremmen. Er verstrijkt
wel eerst een ‘reactietijd’ van de bestuurder; normaalgesproken varieert dit van 0,3-1,0 s.
Als deze auto een beginsnelheid van 50 km/h heeft, wat is dan de minimale en de
maximale remweg van deze auto?
De beginsnelheid van de auto in m/s is 50/3,6 = 13,89 m/s.
In de reactietijd rijdt hij dan minimaal 0,3s x 13,89m/s = 4,17m; en maximaal 1,0s x
13,89m/s = 13,89m.
Bij een remvertraging van 5 m/s 2 duurt het remmen van 13,89m/s tot stilstand 13,89/5 =
2,78s; bij een remvertraging van 8 m/s 2 duurt het 13,89/8 = 1,74s.
De gemiddelde snelheid is in allebei de gevallen 25 km/h = 6,94 m/s. Bij een
remvertraging van 5 m/s 2 is de afgelegde weg dan 6,94m/s x 2,78s = 19,29m; bij een
remvertraging van 8 m/s 2 is hij 6,94m/s x 1,74s = 12,06m. Deze afstanden kon je ook
berekenen met
x(1) = 1
2 at 2 = 1
2 ⋅ 5⋅ 2,782 =19,29m en
x(2) = 1
2 at 2 = 1
2 ⋅ 8⋅ 1,74 2 =12,06m .
De minimale remweg is daarom 12,06 + 4,17 = 16,23m; en de maximale remweg is
19,29 + 13,89 = 33,18m.
20

Les3: Krachten I
Wij hebben tot nu toe de beweging van voorwerpen onderzocht. Maar waarom komt een
voorwerp uit rust in beweging, en hoe kan een bewegend voorwerp van snelheid veranderen?
Wij weten – intuïtief – dat er een kracht nodig is om deze veranderingen in beweging te
bereiken. Het begrip ‘kracht’ in de natuurkunde is altijd te verstaan in samenhang met een
voorwerp waarop deze kracht wordt uitgeoefend. Daarbij kan de kracht twee dingen met het
voorwerp doen:
Kracht kan een voorwerp een snelheidsverandering geven
(bijvoorbeeld spierkracht laat je vooruit komen bij het fietsen, wrijvingskracht leidt ertoe
dat je vertraagt als je ophoudt met trappen)
Kracht kan een voorwerp vervormen (mits het voorwerp niet kan bewegen)
(denk aan het buigen van een duikplank, of het uitrekken van een veer)
De wetten van Newton
Een belangrijk concept bij de relatie tussen rust en beweging (dus bij snelheidsverandering) werd
door Galilei ontrafeld en uiteindelijk door Newton geformuleerd. Dit is de wet van de traagheid,
of
De eerste bewegingswet van Newton:
Elk voorwerp blijft in rust, of blijft in een rechte lijn bewegen met een
constante snelheid, zolang er geen nettokracht op werkt.
Als een voorwerp in beweging is dan is er geen krachtuitoefening nodig om het in eenparige
rechtlijnige beweging te houden. Het voorwerp ‘wil’ eigenlijk blijven bewegen. In de praktijk
vertragen voorwerpen namelijk alleen omdat er wel een vertragende kracht op werkt –
bijvoorbeeld wrijvingskracht. Je moet dus wel kracht uitoefenen om een bewegend voorwerp tot
rust te krijgen.
Omdat het uitoefenen van een kracht op een voorwerp dus versnelling of vertraging veroorzaakt,
is het dus ook van belang om de relatie tussen kracht en versnelling te bepalen. Als je twee keer
zo veel kracht uitoefent, hoe veel groter is dan de versnelling die je bereikt? Ook hier was het
weer Newton die de bijbehorende wiskundige relatie wist te formuleren, in
21

De tweede bewegingswet van Newton:
De versnelling van een voorwerp is rechtevenredig met de nettokracht die
erop werkt en omgekeerd evenredig met de massa van het voorwerp. De
richting van de versnelling is gelijk aan de richting van de nettokracht die
op het voorwerp werkt.
Hoe zwaarder een voorwerp is hoe meer kracht je uit moet oefenen om dezelfde versnelling te
bereiken als voor een lichter voorwerp. En hoe meer kracht je uitoefent hoe groter de versnelling
die je bereikt. Als formule uitgedrukt:
∑F a =
waar ∑ F de vectorsom van alle krachten voorstelt die op het
m
voorwerp werken (zie beneden)
Of als je de vectorsom van alle krachten als resulterende, of ‘nettokracht’ uitdrukt:
= m ⋅ a
F r
De invloed van Newton op het gebied van dynamica wordt dan ook duidelijk in de benoeming
m
van de eenheid voor kracht – dit is namelijk N (newton), waarbij 1 N = 1 kg 2
s
Aan de eenheid zie je ook meteen het lineair verband tussen kracht (N), massa (kg) en
versnelling (m/s 2 ). Kracht wordt trouwens vaak gemeten met behulp van een veerunster
(bijvoorbeeld de kracht die nodig is om een kist aan een touw in beweging te brengen)
In de tweede wet van Newton is sprake van zowel de grootte van een kracht als ook van
richting. Het is niet alleen belangrijk hoe sterk de kracht is die op een voorwerp uitgeoefend
wordt, maar ook hoe de kracht is gericht (denk aan het trappen van een bal). Een kracht kan niet
alleen de snelheid van het voorwerp veranderen, maar ook de richting waarin het voorwerp
beweegt.
Een kracht is dus te begrijpen als een vector. In een diagram wordt de richting van een kracht
door de richting van de vector aangegeven, en de grootte van de kracht door de lengte van de
vector. Het aangrijpingspunt van de kracht is het beginpunt van de vector.
In situaties waarin op een voorwerp meerdere krachten tegelijk werken kan je dus al deze
krachten als vectordiagram uitbeelden en een resulterende kracht (resultante) Fr met behulp
van vectoroptelling berekenen:
Voor krachten die een hoek van 0 of 180 met elkaar maken is dat makkelijk: tegenovergestelde
krachten trek je van elkaar af, krachten die in dezelfde richting werken tel je bij elkaar op. Als de
hoek niet 0 of 180 is dan is het berekenen iets lastiger:
22

Hier werk je dan met een krachtenparallelogram:
Om de resultante te berekenen moet je de grootte en richting van alle samenwerkende krachten
weten. Je kan dan de formules voor diagonalen van een parallellogram gebruiken; maar je kan
ook eerst de krachten F1 en F2 ontbinden. Dat betekent dat je voor elke kracht twee
componenten bepaalt, een horizontale en een verticale:
Als je een kracht op deze manier ontbindt, kan je met Pythagoras de onbekende componenten
berekenen, mits je twee van de vier variabelen kent (krachten F1(v), F1(h), F1, en hoek α):
F1 2 = F1(v) 2 +F1(h) 2
F1(h)/F1 = cos α
F1(v)/F1 = sin α
23

Je telt dan de horizontale en verticale componenten van F1 en F2 bij elkaar op; in het geval
boven:
F1(h) = F1 cos 35° = 100N cos 35° = 81,91 N
F1(v) = F1 sin 35° = 100N sin 35° = 57,36 N
F2(h) = F2 cos 45° = 60N cos 45° = - 42,43 N
F2(v) = F2 sin 45° = 60N sin 45° = 42,43 N
Ftot(h) = F1(h) + F2(h) = 81,91 N - 42,43 N = 39,48 N
Ftot(v) = F1(v) + F2(v) = 57,36 N + 42,43 N = 99,79 N
Nu heb jij twee krachten om de resultante te berekenen, en de hoek die deze resultante met de
horizontale as maakt:
Fr 2 = Ftot(v) 2 + Ftot(h) 2 dus Fr = 107,3 N
Ftot (v)/ Ftot(h) = tan α dus α = 68,41°
Als alle krachten die op een voorwerp werken bij elkaar een resultante hebben die nul is dan blijft
het voorwerp in rust. De krachten zijn in evenwicht - zij heffen elkaar in feite op.
In dit geval (reken het eens na) zijn de horizontale componenten van F2 en F1 even groot, maar
in tegenovergestelde richting. De verticale componenten liggen ook in tegenovergestelde
richting, en F3 werkt ook nog in dezelfde richting als de verticale component van F1. Omdat F2(v)
= F1(v) + F3 is ook hier de resultante gelijk aan nul, en is de gehele constructie in evenwicht.
24

Vragen bij les 3: krachten
1. Een kracht van 65 N wordt langs twee assen, die loodrecht op elkaar staan, ontbonden.
a. Als een van de assen een hoek van 53° maakt met de te ontbinden kracht, hoe
groot is dan de krachtscomponent langs deze as? En die langs de andere as?
(maak een tekening)
b. Als een van de componenten 25 N zou zijn, hoe groot is dan de hoek die deze
component maakt met de te ontbinden kracht? En hoe groot is dan de andere
component?
a. De krachtscomponent F1 langs de as die met de te ontbinden kracht (FR) een hoek van
53° maakt, berekenen je met: F1 = FR × cosα = 65N × cos53 = 39,12N . De component
langs de andere as bereken je met F2 = FR × sinα = 65N × sin53 = 51,91N
b. Als een van de componenten 25N was, dan bereken je de hoek met dezelfde formule als
in a.: cosα = F1 FR = 25N
= 0,3846
65N
⇒ α = 67,38° . De tweede component bereken je
eenvoudig met Pythagoras: F2 =
2 2
FR − F1 =
2 2
65 − 25 = 60N
2. In de figuur hieronder zie je vijf krachten die alle in P aangrijpen. Verder zijn er door P twee
assen gelegd, die loodrecht op elkaar staan. F1 = 27 N; F2 = 75 N; F3 = 52 N; F4 = 34 N; F5
= 36 N; α = 73,7°; β = 22,6°; en γ = 28,1°. Deze krachten gaan wij nu (in gedachten)
ontbinden langs de twee assen.
a. Leg uit waarom de richting van de X-as (en daarmee de richting van de Y-as) in
dit geval ‘handig’ is gekozen.
b. Bereken van elke kracht de X-component en de Y-component. (schrijf je
antwoorden in tabelvorm op)
c. Bereken de resultante van de componenten langs de X-as (Fr,x) en de resultante
van de componenten langs de Y-as (Fr,y).
d. Geef in een tekening Fr,x en Fr,y als vectoren weer.
e. Bereken grootte en richting van de resultante van Fr,x en Fr,y. Dit is dan de
resultante van de oorspronkelijke vijf krachten.
25

a. De richting van de assen is handig gekozen omdat twee van de krachten daardoor op de
assen komen te liggen.
b. Een tabel voor de x- en y-componenten:
Kracht F1 F2 F3 F4 F5
Grootte 27 N 75 N 52 N 34 N 36 N
Hoek met x-as 0° 73,7° 22,6° 28,1° 90°
X-component 27 N 21,05 N - 48,00 N - 30,00 N 0 N
Y-component 0 N 71,99 N 19,98 N - 16,01 N - 36 N
De componenten werden als volgt berekend:
FX = FR × cosα /β/γ
FY = FR × sinα /β/γ
hier kan je of de aangegeven hoek gebruiken en de kracht dan handmatig met het goede
plus- of minteken voorzien, of je kan iedere keer de hoek met de positieve x-as gebruiken
(α blijft 73,7°, β wordt 180-22,6=157,4°, en γ wordt 180+28,1=208,1°).
c. De resultanten zijn eenvoudig uit de tabel te berekenen. Optellen van de x-componenten
geeft Fr,x =-29,95 N, en optellen van de y-componenten geeft Fr,y =39,96 N.
d. In de tekening plaats je een vector van 29,95 N langs de negatieve x-as, en een vector
van 39,96 N langs de positieve y-as.
e. De grootte van de resultante van de vijf krachten kan je nu met Pythagoras berekenen:
2 2 2 2
Fr = Fr,x + Fr,y = 29,95 + 39,96 = 49,94N Deze vector wijst in de negatieve
richting langs de x-as en in de positieve richting langs de y-as (of: schuin omhoog naar
links). De hoek die de vector daarbij met de x-as maakt is
cos −1 ⎛ F ⎞
X
⎜ ⎟ = cos
⎝ ⎠
−1⎛ 29,95⎞
⎜ ⎟ = 53,15° .
⎝ 49,94⎠
F R
3. Gea knoopt drie koordjes in één punt aan elkaar, waarna zij de koordjes spant (zie figuur
hieronder). Omdat Gea maar één krachtmeter heeft, kan zij alleen voor koordje A aflezen
hoe groot de spankracht is. Die is 4,2 N.
a. Ga na hoe Gea de spankrachten in de koordjes B en C tóch te weten is
gekomen. Zijn deze waarden groter of kleiner dan de spankracht in koordje A?
b. Als koordje B plotseling zou losschieten, wat gaat de krachtmeter dan kort
daarna aanwijzen: 4,2 N; meer dan 4,2 N; of minder dan 4,2 N?
26

a. Omdat het systeem in rust is, moet de resulterende kracht van B en C die in de
tegenovergestelde richting van A werkt even groot zijn als de spankracht op touw A.
Allebei de krachten zouden kleiner moeten zijn dan 4,2 N. Om de grootte van deze
krachten precies te bepalen zou Gea de hoek moeten meten die B en C met elkaar
maken. Het raamwerk heeft punten waaruit opgemaakt kan worden wat de hoek is van
koord A, B en C met de horizontale lijn. Tan -1 (3/4)=36,87º, Tan -1 (2/4)=26,57º en Tan -
1 (3/2)=56,31º. We kunnen nu de krachten ontbinden in een vertikaal en een horizontaal
deel. Wanneer we naar rechts positief noemen dan krijgen we de volgende totaal
berekening: 4,2cos36,87º-FBcos26,57º-FCcos56,31º=0 In vertikale richting kunnen we
dit ook doen want ook daar is rust, we nemen voor de richting naar boven positief:
4,2sin36,87º+FBsin26,57º-FCsin56,31º=0. Als we uitrekenen wat we kunnen uitrekenen
dan komen we tot de volgende 2 vergelijkingen: 3,36-0,89FB-0,55FC=0 en 2,52+0,45FB-
0,83FC=0. Na wat rekenwerk komen we op FC=3,8N en FB=1,43N. De spankrachten zijn
kleiner dan in koord A.
b. Als koordje B ineens losschiet, houdt alleen nog koordje C het evenwicht met A. Omdat
C kleiner is dan 4,2 N zou de krachtmeter dan ook een waarde kleiner dan 4,2 N
aanwijzen.Wanneer het losschiet ontstaat er ruimte op het koord (kort na het losschieten,
want we weten de constructie niet hoe e.e.a. is bevestigd) en dus zal de kracht kleiner
zijn.
4. Je staat in een tram en je houdt je niet goed vast.
Bij welke bewegingstoestanden van de tram dreig je dan je gewicht te verliezen?
Bij versnelling, bij vertraging, en bij bochten. In de eerste twee gevallen verandert de tram van
snelheid, maar jij niet. In het derde geval verandert de tram van richting, maar jij niet.
5. Kracht, massa en versnelling:
a. Bereken de resulterende kracht die zou moeten werken op een voorwerp A
(massa 1,6 kg), om aan A een versnelling van 3,0 m/s 2 te geven.
b. Bereken de massa van een voorwerp B als een even grote resulterende kracht
aan B een versnelling van 2,0 m/s 2 kan geven.
c. De onder a. genoemde kracht werkt echter op A en B samen. Bereken de
versnelling die A en B hierdoor hebben.
a. Om een voorwerp van 1,6 kg massa een versnelling van 3 m/s 2 te geven zou een
resulterende (of netto-) kracht van 1,6 x 3 = 4,8 N moeten werken.
b. Als een kracht van 4,8 N een voorwerp B een versnelling van 2,0 m/s 2 kan geven, dan
moet B een massa hebben van 4,8/2 = 2,4 kg.
c. Als een kracht van 4,8 N op twee voorwerpen met een gezamenlijke massa van 2,4 + 1,6
= 4 kg werkt, dan kan deze kracht de voorwerpen een versnelling van 4,8/4 = 1,2 m/s 2
geven.
6. Door 4,0 s lang af te remmen, gaat de snelheid van een auto van 86 km/h naar 50 km/h.
(Hierbij blijft de auto rechtdoor rijden.) Met inzittenden en bagage meegerekend is de
massa 1,2 · 10 3 kg.
a. Bereken de (gemiddelde) resulterende kracht die op de auto werkt in genoemde
tijdsduur.
b. Wat kan je over de richting van deze kracht opmerken?
a. De vertraging van de auto is ((86-50)/3,6)/4 = - 2,5 m/s2. Als de massa van het voertuig
1200 kg is, dan moet een resulterend kracht van 1200 x – 2,5 = - 3000 N werken.
b. De resulterende kracht werkt in de tegenovergestelde richting van de oorspronkelijke
beweging van het voertuig.
27

7. In het figuur hieronder zijn drie krachten getekend die alle op hetzelfde moment op het
karretje zijn gaan werken. Het karretje heeft een massa van 15 kg.
a. Bereken de snelheid die het karretje 10 s later heeft.
b. Bereken de afstand die het karretje in die 10 s heeft afgelegd.
a. Op het karretje werkt een nettokracht van 6+4,5-7,5 = 3 N. Deze kracht geeft een massa
van 15 kg een versnelling van 3/15 = 0,2 m/s 2 . Na 10 seconden heeft het karretje dus
een snelheid van 2 m/s.
b. Het karretje beweegt met een constante versnelling. Zijn gemiddelde snelheid over de 10
seconden is daarom 1 m/s. In 10 s heeft het dan een afstand van 10m afgelegd.
28

Les 4: Krachten II
Er is nog een derde eigenschap van krachten die Newton heeft beschreven. Denk aan de
volgende voorbeelden:
1. het afschieten van een kogel geeft het geweer een ‘terugslag’
2. het springen op de wal vanuit een roeiboot brengt de boot in beweging
3. het afzetten tegen een hek brengt een schaatser in beweging
In deze voorbeelden zie je heel duidelijk hoe het uitoefenen van een kracht ook een beweging in
de omgekeerde richting veroorzaakt. Dus er wordt blijkbaar ook een kracht in de tegengestelde
richting uitgeoefend. Newton heeft dit beschreven in
De derde bewegingswet van Newton:
Oefent een voorwerp A een kracht uit op een voorwerp B, dan oefent B gelijktijdig een
even grote maar tegengesteld gerichte kracht uit op A.
Dit staat ook bekend als de actie=reactie wet: iedere actie heeft een even grote reactie (waarbij
je wel moet onthouden dat er geen sprake is van ‘gevolg’ – de reactie is eigenlijk dus niet echt
een ‘re-actie’, maar meer een ‘co-actie’).
In de voorbeelden
1. oefent het geweer een kracht op de kogel uit die de kogel uitdrijft, maar de kogel oefent
een even grote kracht op het geweer uit die het geweer terug laat slaan
2. oefent het boot een kracht op de springer uit om hem op de wal te krijgen, maar oefent
de springer een even grote kracht op het boot uit die hij in beweging zet
3. oefent de schaatser een kracht op het hek uit (die zelf niet kan bewegen), maar het hek
oefent dan een even grote kracht op de schaatser uit die hem in beweging brengt.
Het is belangrijk om te beseffen dat de krachten elkaar in dit geval niet opheffen, ook al zijn zij
even groot, omdat zij op verschillende voorwerpen werken. Dus bij elke overweging van krachten
moet je altijd goed bepalen op welk voorwerp door welk voorwerp een kracht wordt uitgeoefend.
Zwaartekracht en normaalkracht
De massa van de aarde oefent een aantrekkende kracht op andere voorwerpen uit. Vlak bij het
aardoppervlak is deze aantrekkende kracht ervoor verantwoordelijk dat voorwerpen ‘vallen’. Dit
gebeurd met een karakteristieke vertikaal omlaag gerichte versnelling, g , die een gemiddelde
waarde heeft van 9. 81m
2 (er zit een heel klein beetje variatie in omdat de aarde draait en dus
s
ook nog een middelpuntvliedende kracht werkt die op de evenaar het sterkste en op de polen het
zwakste is; ook is de samenstelling van aarde van invloed).
De aantrekkingskracht wordt bepaald door deze versnelling en de massa van het voorwerp, en
staat bekend als zwaartekracht.
= m ⋅ g
F z
Bij een ‘vrije val’ (in een vacuüm) is er dan ook geen luchtwrijving die deze zwaartekracht
tegenwerkt en vallen alle voorwerpen even snel. Maar ook als een voorwerp al op de grond ligt
werkt de zwaartekracht natuurlijk nog steeds in onverminderde grootte. Omdat het voorwerp in
rust is, moet er nog een tweede kracht werken die de werking van de zwaartekracht opheft (zie
de tweede wet van Newton). Deze kracht wordt dan door de oppervlakte waarop het voorwerp
staat, op het voorwerp uitgeoefend, en heet de normaalkracht, F n .
29

Maar let op: zwaarte- en normaalkracht werken op hetzelfde voorwerp – zij zijn dus niet een
actie-/reactiekracht koppel zoals in de derde wet van Newton. De reactiekracht op F n is een
kracht die het voorwerp op de ondergrond uitoefent , F n '.
De reactiekracht op F z is echter en
tegenovergestelde aantrekkingskracht – namelijk een aantrekkingskracht die op de aarde
uitgeoefend wordt door het voorwerp. Daarom werken zwaartekracht en normaalkracht ook niet
altijd in precies tegenovergestelde richting. De zwaartekracht werkt altijd in richting van het
middelpunt van de aarde. De normaalkracht werkt loodrecht op het vlak waarop het voorwerp
zich bevindt.
De normaalkracht hoeft ook niet even groot te zijn als het gewicht van een voorwerp (omdat de
normaalkracht NIET een kracht is die het voorwerp zelf met zijn massa uitoefent). Er zijn
verschillende situaties waarin de normaalkracht die op een voorwerp werkt kan veranderen.
• Als je van boven op het liggend voorwerp drukt
• Als je van boven aan het liggend voorwerp trekt (zonder het te bewegen)
• Als het voorwerp op een helling ligt.
Een voorwerp op een helling
Op een voorwerp op een helling werkt dus een normaalkracht die niet even groot is als de
zwaartekracht die op hetzelfde voorwerp werkt. Hoe groot deze normaalkracht is kan je
berekenen door de zwaartekracht te ontbinden in twee componenten.
30

De component van de zwaartekracht loodrecht op het vlak is even groot als de normaalkracht.
Als het gewicht van het voorwerp bekend is en de hellingshoek α , dan kan je de grootte van de
normaalkracht berekenen als:
F n = F2
= Fz
cosα
(hier negeren wij de richting van de kracht omdat wij alleen de grootte willen
weten)
De tweede component van de zwaartekracht werkt evenwijdig aan het hellende vlak.
F F =
1 z
sinα
Als er geen sprake was van wrijving zou het voorwerp door deze kracht een versnelling ervaren
waardoor het naar beneden zou glijden. De versnelling kan je ook berekenen:
F = m ⋅ a Fz = m ⋅
m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ sinα
a = g ⋅sinα
1 g
Als er wel wrijving is en het voorwerp in rust ligt, dan moet de nettokracht in de
tegenovergestelde richting (wrijving tussen de oppervlaktes en luchtweerstand) even groot zijn
als F 1 (dus 1 F Fw = ). De (statische) wrijvingskracht die een voorwerp in rust houdt is (empirisch)
gerelateerd aan de normaalkracht. Dit wordt uitgedrukt met behulp van de statische
wrijvingscoëfficiënt: Fw ≤ µ s ⋅ FN
. Als je een kracht van een grootte van Fw(max) = µ s ⋅ FN
in
tegenovergestelde richting tot de wrijvingskracht uitoefent dan begint het voorwerp te bewegen.
Als het voorwerp eens beweegt, dan is de wrijvingskracht (als je luchtweerstand even negeert)
gerelateerd aan de normaalkracht door een kinetische wrijvingscoëfficiënt: Fw = µ k ⋅ FN
.
Deze coëfficiënt hangt af van de gebruikte materialen (metaal op ijs zou een lage coëfficiënt
hebben, rubber op steen een hoge). De kinetische is meestal kleiner dan de statische
wrijvingscoëfficiënt – daarom is het meestal moeilijker om een voorwerp in beweging te zetten
dan om het in beweging te houden.
Veerkracht en spankracht
Als je een voorwerp aan een veer hangt dan rekt de veer uit. De veer oefent een veerkracht op
het voorwerp uit in tegenovergestelde richting tot de zwaartekracht die op het voorwerp werkt,
Fv = −Fz
; Voor de grootte van de veerkracht geldt de formule FV = C u, waarin C de
veerconstante is (in N/m) en u de uitrekking van de veer (in m).
31

Als je een voorwerp aan een touw hangt, dan kan het touw niet uitrekken, maar het voorwerp
oefent wel een spankracht ( F s )op het touw uit.
Veerkracht en spankracht zijn krachten die bij het hangend voorwerp in rust de zwaartekracht
opheffen.
Wat je moet kunnen
- de bewegingswetten van Newton weergeven
- bepalen wat voor krachten in een gegeven situatie op een voorwerp werken, op wie en door
wie krachten uitgeoefend worden, en hoe traagheid ‘zichtbaar’ wordt
- berekenen wat voor kracht nodig is om een voorwerp van een gegeven massa een bepaalde
versnelling (vertraging) te geven; wat voor versnelling je bij gegeven massa en kracht kan
bereiken
32

Vragen bij les 4: krachten
8. Met behulp van een tweearmige balans (zie figuur hieronder) kun je massa’s met elkaar
vergelijken. Je maakt dan gebruik van geijkte ‘massastukken’.
Zo’n balans is in evenwicht zodra op elk van de schalen een even grote kracht wordt
uitgeoefend. Dit is het geval als de aarde even hard aan het ‘te wegen’ voorwerp op de
ene schaal trekt als aan de massastukken op de andere schaal. Kortweg gezegd geldt dan
Fz,links = Fz,rechts.
Maak nu duidelijk dat bij gebruik van zo’n balans de grootte van de valversnelling géén rol
speelt (zodat inderdaad massa’s met elkaar worden vergeleken).
De grootte van de valversnelling speelt hier geen rol omdat zij aan allebei de kanten werkt.
Zij kan dan uit de vergelijking weggestreept worden:
F z,links = F z,rechts ⇔ g⋅ m links = g⋅ m rechts
9. Bij windstil weer beweegt een regendruppel met constante snelheid recht omlaag.
a. Welke twee krachten werken op de druppel?
b. Wat kun je opmerken over grootte en richting van deze krachten tijdens
genoemde beweging van de druppel?
a. Er werken zwaartekracht en luchtweerstand op de druppel.
b. De zwaartekracht werkt recht omlaag, de luchtweerstand recht omhoog op de druppel.
Omdat deze naar beneden valt kunnen wij concluderen dat de zwaartekracht groter is
dan de luchtweerstand. Als de snelheid constant is, is de uitkomst van de som van de
krachten in vertikale richting nul. Fz=Fw.
10. Een doos met een massa van 10 kg rust op een glad, wrijvingsloos horizontaal oppervlak.
a. Bereken het gewicht van de doos en de normaalkracht die er door de tafel op
uitgeoefend wordt.
b. Bereken de normaalkracht als je met een kracht van 40 N omlaag op de doos
drukt.
c. Bereken de normaalkracht als je de doos aan een touw met een kracht van 40 N
omhoog trekt.
a. Het gewicht van de doos is 10kg x 9,81 m/s 2 = 98,1N = FZ. Deze kracht werkt vertikaal
omlaag. Omdat de doos in rust is, is de enige kracht die vertikaal omhoog werkt de
normaalkracht die de tafel op de doos uitoefent. Deze is even groot (maar qua richting
tegenovergesteld) als de zwaartekracht, dus 98,1 N. De som van de twee krachten is 0:
FN-FZ = 0
b. Er werken nu drie krachten op de doos: de zwaartekracht, de normaalkracht, en de
kracht die door de druk op de doos uitgeoefend wordt. De doos drukt nu met een gewicht
van de zwaartekracht + 40 N tegen de tafel aan. De tafel moet dus een normaalkracht op
de doos uitoefenen van FZ+40N = FN = 138,1N.
33

c. Het gewicht van de doos is nog steeds 98,1N, en deze zwaartekracht is vertikaal omlaag
gericht. Als je nu van boven met een kracht van 40N aan het voorwerp trekt, dan is de
resulterende kracht die het voorwerp op de oppervlakte van de tafel uitoefent kleiner dan
zijn gewicht, namelijk 98,1 – 40 = 58,1N. De normaalkracht waarmee de tafel ‘terug drukt’
is dan even groot, namelijk ook 58,1N.
11. Iemand staat op een personenweegschaal in een lift die stil hangt. Wanneer de lift in
beweging komt, geeft de weegschaal even aan dat het gewicht van de persoon slechts
75% van diens normaal gewicht is. Bereken de versnelling van de lift en bepaal de richting
van de versnelling.
Bij stilstand van de lift is de kracht die de weegschaal registreert even groot als de
normaalkracht die de weegschaal op de vrouw uitoefent, en deze is even groot als de
zwaartekracht die op de vrouw werkt, dus FZ = FN1 = m g.
Als de lift in beweging komt dan verandert de som van de krachten die op de vrouw
werken. De vrouw ervaart een (onbekende) versnelling a, dus de som van de krachten is
F(som) = FZ-FN2 = m a.
De zwaartekracht FZ blijft echter hetzelfde, want g verandert niet. Maar FN heeft nu nog
maar 75% van zijn oorspronkelijke waarde, dus FN2 = 0,75 FN1.
Je kunt dan voor de som van de krachten schrijven m a = FN1 – 0,75 FN1 = 0,25 FN1 = 0,25
(m g). Dus a = 0,25 g = 2,45 m/s 2 . Deze versnelling heeft hetzelfde teken als g en werkt
dus in dezelfde richting: de lift daalt.
12. Op een sleetje (massa 5,0 kg) gaat een kracht van 20 N werken zoals in het figuur
hieronder weergegeven.
a. Bereken de normaalkracht.
b. Bereken de versnelling die het sleetje krijgt als je wrijving kunt verwaarlozen.
c. De grond oefent op het sleetje echter een wrijvingskracht uit van 14 N. Bereken
opnieuw de versnelling.
a. De normaalkracht werkt recht omhoog op het sleetje. Zij is even groot als de
duwkracht die het sleetje op de grond uitoefent. Deze duwkracht is op een recht
oppervlak even groot als de zwaartekracht die op het sleetje werkt, namelijk
2
Fz = 5kg
⋅ 9,
81m
/ s = 49,
05N
. Maar deze kracht wordt in dit geval echter
verkleind door de verticale component van de trekkracht – deze is
Ft ( v)
= sin 37°
× 20N
= 12N
. De normaalkracht is dan Fn = 49 −12
= 37N
:
b. De component van de kracht F die in de richting van de beweging van het sleetje is
gericht is Fvoorwaarts = F ⋅ cos 37°
= 15,
97N
. Deze kracht kan een gewicht van 5 kg
een versnelling van 15,97/5 = 3,19 m/s 2 geven, als wij wrijving kunnen verwaarlozen.
c. Met een wrijvingskracht van 14 N werkt nog maar een kracht van 15,97-14=1,97 N in
de richting van de beweging van het sleetje. Deze kracht kan het sleetje nog een
versnelling van 1,97/5 = 0,39 m/s 2 geven.
34

13. Het sleetje van de vorige opgave wordt even later op een ‘hellend vlak’ gezet (met een
hellingshoek van 23°). Na loslaten blijkt het sleetje in 10 s een afstand van 20 m af te
leggen.
a. Bereken de versnelling van het sleetje.
b. Bereken de wrijvingskracht die op het sleetje heeft gewerkt.
a. Als het sleetje in 10 s een afstand van 20 m aflegt heeft het een gemiddelde
snelheid van 2 m/s gehad. Bij een beweging met constante versnelling moet de
eindsnelheid dan 4 m/s geweest zijn, en zijn versnelling dus 4/10 = 0,4 m/s 2 .
b. De component van de zwaartekracht die in de richting van de beweging van het
sleetje werkt is F1 = Fz ⋅ sin23° = 49,05N⋅ sin23° =19,17N . Uit de versnelling
kunnen wij concluderen dat de daadwerkelijke kracht langs de helling echter 5 x 0,4
= 2 N was. Er moet dus een wrijvingskracht van 17,17 N in de tegenovergestelde
richting hebben gewerkt.
14. De kabel waaraan een lijft met een massa van 2125 kg hangt heeft een breuksterkte van
21750 N. Hoe groot is de versnelling die de kabel aan de lift kan geven zonder te breken?
Bij een breuksterkte van 21750 N kan de kabel een maximale versnelling van a = F/m =
21750/2125 = 10,24 m/s 2 aan de lift geven. Bij versnellingen groter dan dit zal de kabel
breken.
35

ARBEID
Les5: Arbeid en Energie
Als je kracht inzet om een voorwerp te verplaatsen dan verricht je (uit ervaring, maar ook
natuurkundig) arbeid. Hoe meer kracht je in moet zetten (bijvoorbeeld bij een zwaarder
voorwerp, of bij hogere versnelling) of hoe verder je het moet verplaatsen, hoe meer arbeid je
verricht.
Deze samenhang vind je terug in de natuurkundige definitie van arbeid:
W = F ⋅ s
waarin W (‘work’ – werk) het symbool voor arbeid is en s het symbool voor
verplaatsing (in meter). De eenheid van arbeid is dan ook Nm (newton-meter), of
met zijn eigen naam: joule. ( 1 Nm = 1 J )
Je ziet in deze formule dat de samenhang lineair is – dus als je een voorwerp twee keer zo ver
verplaatst, of als je twee keer zoveel kracht in moet zetten, dan verricht je ook twee keer zoveel
arbeid.
In het voorbeeld boven:
Het mannetje moet een kracht van 20N inzetten om de kist van 10kg te verplaatsen,
maar een kracht van 100N om de kist van 50kg te verplaatsen. De arbeid die hij erbij
over een afstand van 5m verricht is daarom 100J voor de kist van 10kg, en 500J voor de
kist van 50kg.
Een aantal opmerkingen bij de definitie van arbeid:
• Natuurkundig gezien verricht niet een persoon of machine de arbeid, maar de betrokken
kracht (spierkracht of machinekracht)
• Zonder verplaatsing wordt geen arbeid verricht (hoewel een kracht wel zonder
verplaatsing uitgeoefend kan worden)
o Voorbeeld: je staat stil met een zware zak boodschappen. Je oefent dan wel een
kracht uit op de zak, maar op dat moment verricht je geen arbeid op de zak. Je
moest wel arbeid verrichten om de zak omhoog te tillen.
36

• Voor berekenen van arbeid moeten kracht en verplaatsing dezelfde richting hebben. Is
dat niet het geval, dan moet je eerst met behulp van een vectordiagram de component
van de kracht uitwerken die wel in de richting van de verplaatsing ligt. Als de hoek tussen
de krachtvector en de verplaatsingsvector α (alfa) is, dan is dus:
W = ( F ⋅ cosα
) ⋅ s
o Voor een hoek van α = 0°
(dus precies in de richting van beweging) is
cos α = 1 en krijg je de oorspronkelijke formule terug: W = F ⋅ s
o Voor hoeken van 0° < α < 90°
moet je dan de horizontale component
berekenen.
o Loodrechte krachten ( α = 90°
, denk aan bijvoorbeeld de normaalkracht)
verrichten dus geen arbeid bij de verplaatsing ( cos α = 0 ), en een kracht die
tegenover de richting van de verplaatsing werkt, zoals de wrijvingskracht, verricht
negatieve arbeid ten opzichte van de verplaatsing ( 90° < α ≤ 180°
dus
cos α < 0 ).
(Voorbeeld: jij en de zak met boodschappen. Je verricht arbeid op de zak
als je hem optilt, maar niet als je ermee stil staat. Je verricht arbeid op de
zak als je begint te lopen (dus als je versnelt), maar niet als je met
constante snelheid op een vlakke vloer loopt.)
Voorbeeld:
Je gaat met een sleetje een helling af. Arbeid wordt op jou en het sleetje verricht door de
component van de zwaartekracht die evenredig is aan de helling, en door de
wrijvingskracht (dit is negatieve arbeid!). Geen arbeid wordt verricht door de
normaalkracht, omdat deze altijd loodrecht staat op de richting van de beweging.
Zoals wij bij het onderwerp ‘krachten’ al hebben gezien werken op een voorwerp meestal een
aantal krachten. Al deze krachten zouden bij de verplaatsing van een voorwerp arbeid kunnen
verrichten (behalve de normaalkracht dan). De netto arbeid is dan de som van al deze krachten.
Dat betekent onder ander ook dat er geen netto arbeid wordt verricht als bij de verplaatsing van
een voorwerp geen snelheidsverandering plaatsvindt! Het is wel zo dat de arbeid op het
voorwerp door verschillende krachten uitgeoefend wordt – dus iemand die een kist met
constante snelheid trekt moet wel arbeid verrichten, alleen de wrijvingskracht verricht
tegelijkertijd precies zo veel negatieve arbeid, zodat de netto arbeid die op de kist wordt verricht
nul is.
Het is dus belangrijk bij een verplaatsingsproces altijd precies te bepalen:
• door wie wordt arbeid verricht (en hoe veel)?
• op welk voorwerp wordt de arbeid verricht?
• is er sprake van een netto arbeid die op het voorwerp verricht wordt (wordt een netto
kracht uitgeoefend)?
37

Arbeid, zwaartekracht en kromme banen
Als een voorwerp recht omlaag beweegt is de arbeid die door de zwaartekracht verricht wordt
eenvoudig te berekenen:
Wz = Fz
⋅ s ⋅ cos 0°
= m ⋅ g ⋅ h
waarin m de massa is, g de valversnelling, en h het doorlopen hoogteverschil.
Maar als het voorwerp nu op een schuine, of kromme baan naar beneden beweegt?
Gelukkig is ook hier de arbeid vrij eenvoudig te berekenen. In de formule voor arbeid stelt s
namelijk niet de ‘doorlopen baan’ voor, maar echter de verplaatsing (dus een vector):
Het gedeelte van de zwaartekracht dat in de richting van de verplaatsing werkt is F z ⋅ cosα
. De
h
verplaatsing zelf is s = . Dan is de arbeid die bij de verplaatsing door de kromme baan
cosα
h
door de zwaartekracht verricht wordt: Wz = Fz
⋅ cos α ⋅ = m ⋅ g ⋅ h .
cosα
De arbeid die de zwaartekracht bij verplaatsing van een voorwerp op dat voorwerp
verricht is daarom NIET afhankelijk van de baan die het voorwerp erbij doorloopt, maar
alleen van het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt. Er geldt altijd: =
m ⋅ g ⋅ h
W z
38

Vragen bij les 5: arbeid en energie
1. In welke opzichten heeft het woord ‘arbeid’ in het dagelijkse taalgebruik dezelfde betekenis
als de natuurkundige definitie van arbeid? In welke opzichten niet? Geef voorbeelden. Als
er moeite voor wordt gedaan: Het bewegen zonder windje-mee, het ervaren van
energie(arbeids)levering bij een bergbeklimming, kortom als we er moeite(arbeid) voor
moeten verrichten.
2. Tanja glijdt op haar sleetje een helling af die met een ijslaag is bedekt. De helling is 34m
lang en heeft een hellingshoek van 15°. De helling oefent op het sleetje een
wrijvingskracht van 18N uit. Tanja en haar sleetje hebben samen een massa van 22kg.
Bereken de arbeid die zwaartekracht, wrijvingskracht en normaalkracht verrichten op Tanja
en haar sleetje samen (voer een aparte berekening voor elke kracht uit).
Zwaartekracht: het gedeelte van de zwaartekracht dat in de bewegingsrichting werkt
bereken je met F h F
kg m
z ( ) = z sin15°
= 22 ⋅9,
81 2 ⋅ 0,
2588 = 55,
86N
Deze kracht werkt
s
over een afstand van 34m, dus verricht de zwaartekracht een arbeid van
Wz = Fz
⋅ s = 55 , 86N
⋅34m
= 1899,
2Nm
Wrijvingskracht: de arbeid die een wrijvingskracht van 18N over 34m verricht is:
Ww = Fw
⋅ s = 18N ⋅ 34m
⋅ cos180°
= −612Nm
(je moet hier met cos180°
vermenigvuldigen omdat de kracht in de tegenovergestelde richting van de
bewegingsrichting werkt.
Normaalkracht: de normaalkracht verricht géén arbeid omdat deze kracht voortdurend
loodrecht op de richting van verplaatsing staat.
3. Tanja zit nog steeds op haar sleetje, dat in beweging wordt gehouden door haar grote zus
Katja. Het sleetje glijdt met constante snelheid over een horizontale ijsvlakte.
Eerste situatie:
Katja duwt van achteren tegen het sleetje met een horizontaal gerichte kracht van 24N. Zij
houdt dit vol over een afstand van 50m.
a) Bereken de arbeid die Katja’s duwkracht op het sleetje verricht.
b) Bereken de arbeid die de wrijvingskracht op het sleetje verricht.
c) Zijn er nog andere krachten die werken op Tanja en haar sleetje? Zo ja, wordt er
door die kracht(en) dan arbeid verricht? Licht je antwoord toe.
Tweede situatie:
Katja trekt het sleetje aan een touw voort, waarbij dit touw een hoek van 35°maakt met de
ijsvlakte. De trekkracht van Katja bedraagt 27N. Opnieuw wordt met constante snelheid
een afstand van 50m afgelegd.
d) Bereken de arbeid die Katja’s trekkracht op het sleetje verricht.
e) Bereken de arbeid die de wrijvingskracht op het sleetje verricht.
a) Katja duwt in precies de richting van beweging (dus α = 0°
). Haar kracht van 24N
verricht dan over 50m een arbeid van Wd = Fd
⋅ s = 24 N ⋅ 50m
⋅ cos0°
= 1200Nm
b) Omdat het sleetje met constante snelheid glijdt, moet de nettokracht die erop werkt
nul zijn. De wrijvingskracht moet dus even groot als de voorwaarts gerichte kracht
zijn, 24N, en de wrijvingsarbeid over de 50m even groot als de arbeid die Katja’s
duwkracht verricht. Ww = −Wd
= −1200Nm
(met een negatief teken – andere
richting!)
c) Op het sleetje werken nog normaalkracht en zwaartekracht, maar op een horizontale
vlakte staan deze voortdurend loodrecht op de richting van verplaatsing. Zij
verrichten dus geen arbeid op het sleetje.
d) Alleen het gedeelte van Katja’s trekkracht dat in de richting van verplaatsing werkt
kan arbeid verrichten, dus =
F ( h)
⋅ s = 27N
⋅50m
⋅ cos35°
= 1106Nm
Wt t
39

e) Omdat het sleetje nog steeds met constante snelheid glijdt (zie (b)), moet de arbeid
verricht door de wrijvingskracht even groot zijn als de arbeid verricht door de
trekkracht, maar met een minteken, dus = −W
= −1106Nm
Ww t
4. Een zwaar betonblok wordt met behulp van een hijskraan gehesen (zie plaatje). Het blok
dat een massa heeft van 510 kg, gaat met een snelheid van 0,15 m/s omhoog.
a) Bereken de kracht die de kabel op het blok uitoefent.
b) Bereken de arbeid die deze kracht in precies één minuut verricht.
c) Hoeveel arbeid wordt er in dezelfde tijd verricht door de zwaartekracht die op het
blok werkt?
a) Het blok trekt met een kracht met de grootte van de zwaartekracht aan de kabel, dus
moet de kracht die de kabel op het blok uitoefent even groot zijn.
F F m g kg m
t = z = ⋅ = 510 ⋅ 9.
81 2 = 5003,
1N
(De krachten werken natuurlijk in
s
tegenovergestelde richting, zodat een van hen eigenlijk ook een minteken zou
moeten hebben)
b) Bij een snelheid van 0,15 m/s legt het blok in één minuut een weg van 0,15 x 60 =
9m af. Een kracht van 5003,1N verricht over 9m een arbeid van
Wt = Ft
⋅ s = 5003 , 1N
⋅ 9m
= 45028Nm
c) Omdat het blok met constante snelheid beweegt moet er even veel arbeid in
tegenovergestelde richting van de bewegingsrichting verricht worden. De enige
kracht die deze arbeid in dit geval kan verrichten is de zwaartekracht, dus
= −W
= −45028Nm
Wz t
5. Een wandelaar draagt met constante snelheid een 15kg zware rugzak een heuvel op. De
top van de heuvel ligt 85m hoger dan zijn uitgangspunt. Hoeveel arbeid moet de
wandelaar daarvoor op de rugzak verrichten, en hoeveel nettoarbeid wordt op de rugzak
verricht?
De wandelaar oefent een verticale kracht op de rugzak uit die even groot is als de
zwaartekracht die op de rugzak (in tegengestelde richting) werkt:
Fwand = Fz = m⋅ g =15kg⋅ 9.81m 2
s =147,15N
Hij verplaatst deze rugzak met constante snelheid, we veronderstellen dat de horizontale
krachten op de rugzak verwaarloosbaar zijn. De wandelaar verplaatst de rugzak wel in
verticale richting. De arbeid die de wandelaar voor deze verplaatsing inzet is
Wwand = Fwand ⋅ s⋅ cosα (de kracht van de wandelaar werkt in een hoek α met de richting
van de verplaatsing), maar s⋅ cosα = h (de hoogte van de heuvel). Dus is de arbeid die
de wandelaar op de rugzak verricht
Wwand = Fwand ⋅ h =147,1N⋅ 85m =12503,5Nm =12,5kJ . Maar tegelijkertijd verricht de
zwaartekracht precies evenveel arbeid op de rugzak in tegengestelde richting; -12,5kJ. dus
is de nettoarbeid die op de rugzak verricht wordt nul! De energie van de rugzak is op de
top van de heuvel 12,5kJ.
40

6. Een kogeltje wordt bij A tegen de binnenkant van een cirkelvormige goot gehouden (zie
hieronder). Het zwaartepunt van het kogeltje ligt dan op 42cm afstand van M. Het kogeltje
heeft een massa van 31g. Na loslaten doorloopt het kogeltje de goot.
a) Bereken de arbeid die de zwaartekracht daarbij op het kogeltje verricht.
b) Werken er – bij het doorlopen van de goot – nog andere krachten op het
kogeltje? Zo ja, verrichten die krachten dan arbeid op het kogeltje? Licht je
antwoord toe.
a) Het hoogteverschil tussen A en B is h = 0 , 42m
⋅ cos50°
= 0,
27m
. Dan is de arbeid
die de zwaartekracht bij verplaatsing van A naar B verricht:
W m g h kg m
z = ⋅ ⋅ = 0, 031 ⋅ 9,
81 2 ⋅ 0,
27m
= 0,
0821Nm
De zwaartekracht verricht
s
daarbij eerst positieve arbeid (tot het diepste punt van de goot, en daarna negatieve
arbeid (omhoog tot punt B).
b) Op het kogeltje werken nog centrifugaalkracht, wrijvingskracht en normaalkracht. De
normaalkracht verricht geen arbeid, de wrijvingskracht wel (tot het diepste punt werkt
deze in tegenovergestelde richting van de zwaartekracht, daarna in dezelfde
richting). De centrifugaalkracht wordt opgeheven door de normaalkracht en verricht
geen arbeid, omdat de afstand tot het middelpunt gelijk blijft.
41

ENERGIE
Les6: Arbeid en Energie II
Om arbeid te kunnen verrichten is energie nodig. Of andersom uitgedrukt: iets dat arbeid kan
verrichten moet ook energie hebben. Maar wat is energie? Energie komt in heel veel
verschillende vormen voor. De belangrijkste voor ons zijn:
• Kinetische energie
• Zwaarte-energie
• Veerenergie
(er zijn ook nog bijvoorbeeld elektrische energie, magnetische energie, chemische energie,
kernenergie, stralingsenergie en inwendige energie)
Een kleine kanttekening: de ‘mogelijkheid om arbeid te verrichten’ is een niet erg nauwkeurige
definitie van energie die desalniettemin voor onze doelen (en mechanische vormen van energie)
toerijkend is. Het is echter te eenvoudig en is ook niet geldig voor alle soorten energie.
Kinetische energie:
Alles wat in beweging is bezit energie. Denk aan stromend water dat een waterrad beweegt
(stilstaand water kan dat niet), of een luchtstroom (bewegende luchtdeeltjes) die een zeilboot
voortdrijven.
Hoe sneller een voorwerp beweegt en hoe zwaarder het is, hoe meer kinetische energie het
bezit. Dit verband wordt in de volgende formule aangetoond:
U K
=
1
2
m ⋅ v
2
waarin U het symbool voor energie is (vaak wordt ook E gebruikt).
Als de kinetische energie van een voorwerp tijdens een verplaatsing verandert (denk aan
versnelling of vertraging) dan is er netto arbeid verricht op het voorwerp.
Zwaarte-energie:
Als je een bowlingbal van 4kg van 10cm hoogte op je auto laat vallen dan krijg je er een flinke
deuk in. Een steentje van 4g zal van 10cm hoogte geen deuk maken. Maar als je hetzelfde
steentje van 100m hoogte op je auto laat vallen dan is die deuk net zo groot als die van de
bowlingbal. In al deze gevallen werd arbeid verricht (om het metaal te ‘verplaatsen’), dus moeten
de bowlingbal en het steentje energie bezitten. Deze energie is groter naarmate het voorwerp
zwaarder is en zich hoger boven de grond bevindt, en omdat na loslaten de zwaartekracht voor
beweging zorgt, noemen wij deze energie ook zwaarte-energie.
U Z
= m ⋅ g ⋅ h
waarin g de massa van het voorwerp is en h het hoogteverschil dat het voorwerp
kan doorlopen.
Veerenergie:
Stel dat je een horizontale veer indrukt en er een voorwerp tegen aan legt. Als je dan de veer
loslaat, dan oefent de veer bij het ontspannen een kracht op het voorwerp uit die wederzijds het
voorwerp verplaatst. Een ingedrukte veer moet dus energie bezitten.
De kracht die op de veer moet worden uitgeoefend om het in te drukken is te berekenen met
42

F = C ⋅ x
waarin C de veerconstante is (in N/m) en x de uitrekking (in m)
De arbeid die iemand moet verrichten om de veer een afstand x in te drukken of uit te rekken is
te berekenen met:
1 2
W = C ⋅ x
2
(let op: dit is niet te berekenen met W = F.s, omdat in dit geval de benodigde kracht ook
afhankelijk van de grootte van x is, dus toeneemt hoe verder de veer ingedrukt wordt)
De voorbeelden boven maken duidelijk dat er voortdurend processen plaatsvinden waarbij
energie overgedragen wordt. De energie van een voorwerp kan omgezet worden in andere
vormen van energie, en het voorwerp zelf kan energie ontvangen.
OMZETTEN VAN ENERGIE
Allebei de veer- en de zwaarte-energie zijn vormen van energie die afhankelijk zijn van de
verplaatsing van een voorwerp. In feite heb je door de verplaatsing (of vervorming in het geval
van de veer) eerst energie aan het voorwerp gegeven. Deze energie kan dan door loslaten
omgezet worden in beweging, maar voordat je loslaat ‘zit’ de energie in het voorwerp. Deze
vormen van energie noemen wij daarom ook vaak met een verzamelnaam: potentiële energie.
(andere soorten van potentiële energie zijn bijvoorbeeld chemische, elektrische, of kernenergie)
Voorbeeld 1:
Je schiet een kogel vertikaal omhoog. Door het afschieten geef je de kogel kinetische
energie die deze gebruikt om omhoog te vliegen. Daarbij neemt de snelheid geleidelijk af,
en als de kogel zijn hoogste punt heeft bereikt is de gehele kinetische energie omgezet in
zwaarte-energie. Deze potentiële energie wordt dan op de weg naar beneden weer
omgezet in kinetische energie (en als hij de grond bereikt is het deze kinetische energie
die ergens naartoe moet…).
In dit voorbeeld wordt energie omgezet, maar niet overgedragen. De energie verandert
van kinetisch naar zwaarte en weer terug, maar allebei zitten in het kogeltje zelf en
worden niet aan een ander voorwerp overgedragen (tot het kogeltje de grond bereikt).
43

Voorbeeld 2:
Een karretje staat voor een gespannen veer. De veer bezit dan veerenergie, Laat je de
veer los ontspant deze zich, waardoor het karretje wordt weggeschoten. Hier vindt
energie-overdracht plaats (de veer geeft haar energie aan het karretje), en energieomzetting
(veerenergie gaat over in kinetische energie).
Dit brengt ons naar een van de belangrijkste wetten in de natuurkunde:
Wet van behoud van energie
In een willekeurig proces neemt de totale energie nooit toe of af. Energie kan omgezet
worden van de ene vorm naar de andere, en kan van een voorwerp overgedragen worden
op een ander, maar de totale hoeveelheid blijft constant.
44

De kogel in ons voorbeeld heeft dan ook een totale mechanische energie gekregen (door het
schot) die de som is van zijn kinetische en potentiële energie. Als er geen sprake is van contact
met een ander voorwerp waarop deze energie kan worden overgedragen dan zullen kinetische
en potentiële energie gewoon in elkaar veranderen, maar de totale mechanische energie van de
kogel blijft behouden.
In de praktijk neemt de mechanische energie echter geleidelijk af omdat er zogenoemde
dissipatieve krachten zijn, zoals wrijvingskrachten, die de mechanische energie verminderen. De
kogel is namelijk wel in contact met luchtdeeltjes en geeft daardoor een deel van zijn energie aan
deze luchtdeeltjes af. Daarom lokt wrijving ook voelbare warmte uit – dat is dan namelijk energie
van het bewegend voorwerp die in warmte-energie van het stilstaand voorwerp wordt omgezet.
Dit moet je zeker onthouden:
1. Energie bezitten betekent in staat zijn arbeid te verrichten
2. Wordt er arbeid verricht, dan wordt er energie overgedragen en/of omgezet
3. Energie heeft (dan ook) dezelfde eenheid als arbeid: de joule.
45

KINETISCHE ENERGIE EN ARBEID
Als de kinetische energie van een voorwerp verandert, dan moet door één of meer van de
krachten die op het voorwerp werken arbeid verricht worden.
Voorbeeld:
Op een (rechte en vlakke) glijbaan neemt in het begin je snelheid toe. Dit is te danken
aan de component van de zwaartekracht die langs de helling omlaag gericht is. Deze
component is groter dan de wrijvingskracht en daardoor krijg je versnelling. In arbeid
uitgedrukt: de omlaag gerichte kracht verricht positieve arbeid (de kracht heeft dezelfde
richting als je beweging), en meer dan de negatieve arbeid die door de wrijvingskracht
verricht wordt. Dit verschil wordt omgezet in kinetische energie – je kinetische energie (of
snelheid) neemt dan ook toe.
Tegen het einde van de glijbaan wordt de zwaartekracht langs de helling omlaag kleiner.
Daarmee wordt ook de arbeid die door deze kracht verricht wordt kleiner, en kleiner dan
de arbeid die door de wrijvingskracht verricht wordt. Daarmee neemt je kinetische
energie weer af, en vertraagt de beweging.
De samenhang tussen arbeid en kinetische energie kan je ook als formule uitdrukken:
∑
= ( U K ) eind − ( U K ) begin of ∑
W W = ∆U
In woorden: de arbeid die door alle krachten samen op het voorwerp is verricht, is gelijk aan de
verandering in kinetische energie van het voorwerp.
1 2
In het voorbeeld boven: in het begin neemt je snelheid toe. En omdat U K = m ⋅ v wordt je
2
kinetische energie groter. Hoe veel groter je kinetische energie, en daarmee je snelheid, wordt is
evenredig aan de hoeveelheid arbeid die verricht is om je te versnellen.
Als je dus weet welke krachten op een voorwerp werken, en je weet de snelheid aan het begin
van een traject, dan kan je uit deze gegevens vrij eenvoudig de eindsnelheid van het voorwerp
berekenen.
Een bijzonder geval van de bovengenoemde formule (die vaak in toetsvragen voorkomt) is een
beweging waar de wrijvingskrachten verwaarloosd kunnen worden. Dan wordt er uitsluitend
arbeid verricht door de zwaartekracht. Een voorbeeld ervan is het kogelschot recht omhoog
die wij boven al hebben gezien. Maar ook de beweging van een gewicht aan een touw heen en
weer, of de beweging van een bal langs de binnenkant van een goot zijn voorbeelden.
In dit geval is het verlies aan zwaarte-energie gelijk aan de winst aan kinetische energie (en
omgekeerd):
W = ∆U
Z
K
De zwaarte-energie is evenredig aan het hoogteverschil tussen begin en eindpunt van het
voorwerp. Als het eindpunt lager ligt dan het beginpunt, verliest het voorwerp zwaarte-energie
( m ⋅ g ⋅ h ). Een even groot getal wint het aan kinetische energie. Als de kinetische energie aan
1 2
1 2
het begin gelijk is aan ( U K ) A = m ⋅ v A en aan het einde aan ( U K ) B = m ⋅ vB
dan kan je
2
2
de eindsnelheid berekenen (mits je de beginsnelheid kent):
1 2
1
WZ =
( U K ) B − ( U K ) A of m ⋅ vB
= m ⋅ g ⋅ h + m ⋅ v A
2
2
K
2
46

De massa kan je hier gewoon wegstrepen! Dan krijg je dus:
1 2 1
⋅ vB = g ⋅ h + ⋅ v
2
2
2
A
Als je wrijvingskrachten kan verwaarlozen hangt de eindsnelheid van een voorwerp in deze
gevallen dus NIET van zijn massa af. Net als bij de vrije val zou een zwaar voorwerp dan over
hetzelfde traject dezelfde versnelling ondergaan als een lichter voorwerp (maar de kinetische
energie van het zwaarder voorwerp op het eindpunt is wel groter dan die van het lichter
voorwerp).
VERMOGEN
Soms is het niet alleen belangrijk hoeveel arbeid verricht wordt, maar ook in hoeveel tijd deze
arbeid verricht kan worden. Loop je de 1000 meter in 3 of 30 minuten? Heeft een lift 3 of 30
minuten nodig om een lading bakstenen naar de tweede verdieping te tillen?
De snelheid waarmee arbeid verricht wordt in de natuurkunde uitgedrukt als vermogen. Het
vermogen is de hoeveelheid arbeid die in een bepaald tijdsinterval verricht kan worden, of de
hoeveelheid energie die in een tijdsinterval omgezet kan worden.
W
t
P = of P =
U
t
Als je voor dezelfde hoeveelheid arbeid W dan meer tijd t nodig hebt, dan is het vermogen P dus
kleiner. Als je meer arbeid W in dezelfde tijd kan verrichten dan is je vermogen groter.
De eenheid van vermogen is Watt (W), waarbij 1 Watt = 1 Joule / seconde
(hier opletten: arbeid wordt ook afgekort als W, maar de eenheid van arbeid is Joule)
Je komt vermogen tegen in bijvoorbeeld automotoren en gloeilampen (waarbij een gloeilamp
natuurlijk geen mechanische arbeid verricht, maar wel een bepaalde hoeveelheid elektrische
energie per seconde omzet in stralingsenergie en warmte).
47

Vragen bij les 6: arbeid en energie
7. Een honkbal met een massa van 145g wordt door de pitcher geworpen en bereikt een
snelheid van 25 m/s.
a) Hoe groot is de kinetische energie van de honkbal?
b) Hoe groot was de netto verrichte arbeid op de bal om hem zijn snelheid te geven
als de bal aan het begin in rust was?
a) De kinetische energie van de bal na de worp is
Uk = 1
2 m⋅ v 2 = 1
2 0,145kg⋅ 252 m 2
2
s = 45,31J .
b) Omdat de kinetische energie aan het begin (voor de worp) nul was, is de netto
verrichte arbeid op de bal precies gelijk aan de uiteindelijke kinetische energie,
namelijk 45,31J.
8. Een voetbal (massa 0,41kg) raakt een muur met een snelheid van 19 m/s, en kaatst terug
met een snelheid van 17 m/s. Bereken de verandering in kinetische energie van de bal.
De kinetische energie van de bal op het moment dat hij de muur raakte was
Uk,1 = 1
2 m⋅ v 2 = 1
2 0,41kg⋅ 192 m 2
2
s = 74J
De kinetische energie van de bal op het moment dat hij, terugkaatsend, de muur weer
verlaat is:
Uk,2 = 1
2 m⋅ v 2 = 1
2 0,41kg⋅ 172 m 2
2
s ≈ 59J
De verandering in kinetische energie was dus: ∆Uk = 74J − 59J = −15J
9. Je laat een steentje met massa m = 50g vanaf een hoogte van 2,5m vallen. Bereken op
twee manieren de snelheid waarmee het steentje de grond raakt:
a. door gebruik te maken van de formules voor de eenparig versnelde beweging
b. door gebruik te maken van de formules voor kinetische energie
a. Het steentje krijgt een versnelling van 9,81 m/s2 door de zwaartekracht. Wij hebben
nu eerst de tijd nodig die het steentje voor de 2,5m benodigd. Uit
x(t) = x(0) + v(0)t + 1
2 at 2 volgt dan, omdat x(0) = 0 en v(0) = 0,
t = 2x(t)
a
= 2⋅ 2,5m
9,81 m s 2
=
5
= 0,7139s . Na deze tijd met versnelling 9,81m/s2
9,81
te zijn gevallen, heeft het steentje een eindsnelheid van 0,7139 x 9,81 = 7 m/s.
b. Een steentje van 50g heeft 2,5m boven de grond een zwaarte-energie van
U z = m ⋅ g ⋅ h . Voor het moment dat het steentje de grond raakt is al deze energie
omgezet in kinetische energie, en je kunt dus de snelheid op dat moment berekenen
met: Uk = Uz ⇔ 1
2 mv 2 = mgh ⇔ v = 2gh = 2⋅ 9,81⋅ 2,5 = 7 m s
48

10. Een kind met een massa van 16kg glijdt van een 2,20m hoge glijbaan omlaag en heeft
onderaan een snelheid van 1,25 m/s. Hoeveel wrijvingsenergie werd bij het glijden
gegenereerd?
Op 2,20m hoogte heeft een kind van 16kg een zwaarte-energie van
U z = m ⋅ g ⋅ h = 16 ⋅ 9,
81⋅
2,
2 = 345,
312J
. Als het beneden aankomt met een
eindsnelheid van 1,25 m/s heeft het een kinetische energie van
1 2 1
2
U k = m ⋅ v = ⋅16
⋅ ( 1,
25)
= 12,
5J
. Het verschil in energie,
2 2
U w = U z −U
k = 345 , 312 −12,
5 = 332,
812J
, werd dan bij het glijden als wrijvingsenergie
gegenereerd. (hoe steiler de glijbaan hoe kleiner de wrijvingskracht, omdat de
normaalkracht dan kleiner is, dus hoe minder verlies aan potentiële energie als
wrijvingsenergie).
Vermogen
11. Hoe lang zal een motor met een mechanisch vermogen van 1750W erover doen om een
piano van 335kg vanaf de grond naar een raam op de vijfde verdieping 16m hoger te
hijsen?
Als een piano van 335kg 16m omhoog getild wordt, neemt zijn zwaarte-energie toe met:
U z = m ⋅ g ⋅ h = 335 ⋅ 9,
81⋅16
= 52581,
6J
≈ 52,
6kJ
. De motor heeft een vermogen van
U
P = 1750 W = 1,
75 kJ
z 52, 6
s . Hij zou dus de piano in t = = ≈ 30s
naar de vijfde
P 1,
75
verdieping kunnen hijsen.
12. Een leeuwerik (massa 125g) stijgt met constante snelheid op. In precies één minuut is hij
al 80m hoog. Bereken het vermogen dat hiervoor nodig is.
De zwaarte energie van de leeuwerik neemt bij het opstijgen toe met:
U z = m ⋅ g ⋅ h = 0 , 125 ⋅ 9,
81⋅
80 = 98,
1J
. Hij stijgt met constante snelheid op, dus moeten
wij geen rekening houden met energie die voor versnelling ingezet wordt. Om deze arbeid
W 98 , 1
in één minuut te leveren is een vermogen nodig van P = = = 1,
635W
.
t 60
13. Een auto rijdt met een snelheid van 120 km/h. Bij deze snelheid ondervindt de auto (als
gevolg van lucht- en rolwrijving), een weerstand van 0,90 kN.
a) Toon aan dat de motor bij deze snelheid een vermogen heeft van 30kW.
b) Als deze motor een maximaal vermogen van 45 kW heeft, mag je dan zeggen
dat de topsnelheid van de auto 180 km/h is? Licht je antwoord toe.
a) De auto heeft een snelheid van 120 km/h en overkomt daarbij een weerstand van
900N. Het daarvoor benodigde vermogen is
W F ⋅ s
120
P = = = F ⋅ v = 900 ⋅ = 30000W
= 30kW
t t
3,
6
b) Nee, je mag niet zeggen dat de topsnelheid 50% groter is als het maximaal
vermogen 50% groter is. Dit zou alleen het geval zijn als lucht- en rolwrijving bij 180
km/h net zo groot zijn als bij 120 km/h, maar dat is onwaarschijnlijk, normaal
gesproken neemt de weerstand kwadratisch toe met de snelheid.
49

TRILLINGEN
Les7: Trillingen
Trillingen zijn heen- en weerbewegingen met bepaalde kenmerken. Wij kijken hier naar
eenvoudige mechanische trillingen om deze kenmerken met de newtoniaanse mechanica te
beschrijven. Dit soort bewegingen wordt ook enkelvoudige harmonische beweging genoemd.
Denk aan een gewicht aan een touwtje of aan een veer. Zonder invloed van buiten zullen deze
systemen in een evenwichtsstand hangen. Als je de veer uitrekt en loslaat, of als je het gewicht
aan het touwtje even opzij trekt en loslaat, dan voeren de voorwerpen een gelijkmatige (of
periodieke) beweging rond deze evenwichtsstand uit.
De beweging ontstaat omdat je een kracht moest uitoefenen om het systeem uit zijn
evenwichtsstand te brengen. Wij hebben darmee (potentiële) energie aan het systeem gegeven,
die bij het loslaten in vorm van een terugdrijvende kracht zichtbaar wordt. Bij de beweging naar
de evenwichtsstand verandert de potentiële energie in kinetische energie, die precies op de
evenwichtsstand maximaal is en het gewicht door de evenwichtsstand heen naar de andere kant
verder drijft. Omdat de beschikbare energie constant blijft kan het gewichtje nu net zo ver naar
de andere kant bewegen – dan is al de kinetische energie weer in potentiële (veer- of zwaarte-)
energie veranderd, dus stopt de beweging en keert het systeem weer om.
Kenmerken van trillingen
Als wij een trilling wetenschappelijk willen beschrijven dan moeten wij een formule vinden
waarmee wij kunnen berekenen hoe ver van de evenwichtsstand het gewicht zich op een
gegeven tijdstip bevindt. De afstand van de evenwichtsstand noemen wij uitwijking (u). Dit kan
positief of negatief zijn, om aan te geven aan welke kant van de evenwichtsstand het gewicht
zich bevindt.
Iedere trilling heeft twee unieke kenmerken:
• De maximale uitwijking; deze heet ook amplitudo (A)
• De trillingstijd, T. Dit is de tijd (in seconden) die het gewicht nodig heeft om een
volledige heen- en weerbeweging uit te voeren.
En ander kenmerk dat je vaak tegenkomt is de frequentie, f. Dit is het aantal trillingen dat het
1
systeem in een seconde doorloopt, en dus het inverse van de trillingstijd, of f = . De eenheid
T
−1
voor frequentie is hertz, afgekort Hz. 1 Hz
= 1 s
50

Voorbeelden:
Een slinger die 2 keer per seconde heen en weer gaat heeft een frequentie van
1
f = 2 Hz . De trillingstijd van deze slinger is dan T = = 0,
5 s
2
Een veer met een trillingstijd van T = 0,
025 s heeft een frequentie van
1
f = = 40 Hz .
0,
025
Hieronder zie je opeenvolgende ‘momentopnamen’ van een slingerbeweging. Daaronder staat
een diagram waarin de uitwijking op elke tijdstip van de slingerbeweging uitgezet is. Dit is een
(u,t)-diagram. Amplitudo en trillingstijd zijn ook in de grafiek aangetoond:
Let op: de kromme die je in het diagram ziet stelt niet de baan van de slinger voor, maar de
uitwijking als functie van tijd. Het heen- en weer van het gewichtje zie je in het op en neer van de
functie in de grafiek terug.
Als de trilling zonder enkele dempende krachten verloopt (dus geen luchtweerstand of interne
wrijving), dan zou zij eindeloos doorgaan, met steeds dezelfde amplitudo A en tijdsduur T. Als er
wel sprake is van demping dan zou de amplitudo van de trilling steeds kleiner worden tot hij
uiteindelijk nul is en de trilling stopt (de invloed van demping op de frequentie is complex – als de
demping klein is, is het effect gering).
51

Dit moet je tot nu toe onthouden:
1. Een trilling is een periodieke beweging om een evenwichtsstand.
2. De uitwijking (u) is de afstand tot de evenwichtsstand (met plus- of minteken).
3. De maximale uitwijking heet amplitudo (A).
4. De amplitudo is constant tenzij de trilling gedempt is. Bij een gedempte trilling neemt de
amplitudo af tot nul.
5. De tijdsduur (in seconden) van één volledige trilling heet periode (T).
6. Het aantal trillingen per seconde is de frequentie (f) van de trilling. De eenheid van
1
frequentie is hertz (Hz). f =
T
DE TRILLINGSVERGELIJKING
Als je de slingerbeweging nog langer volgt krijg je dan een grafiek ongeveer als deze:
Dit is een sinusvormige (of sinusoïde) kromme. De vergelijking die de samenhang tussen
uitwijking en tijd uitdrukt, de trillingsvergelijking, bevat daarom ook een sinus-term:
u = A⋅
ω ⋅ t + α )
sin( 0
Behalve u en t zitten er in deze vergelijking nog drie andere variabelen:
• de amplitudo A
• de hoekfrequentie ω (in rad/s)
• de beginfasehoek α0 (in rad)
De hoekfrequentie is een term waarin de frequentie van de trilling is opgenomen:
ω = 2 ⋅π
⋅ f
(de 2π komen hierin uit de vergelijking met de standaard sinuscurve, die tussen 0 en 2π
rad een volledige periode doorloopt)
De beginfasehoek geeft aan op welke punt van de trilling je begint te meten. Dit kan het
evenwichtspunt zijn – in dit geval is de beginfasehoek α0 = 0. Maar bij een slinger of veer zou je
uitgaanspunt (t=0) ook het moment kunnen zijn waar je het gewichtje loslaat – dus op het punt
van maximale uitwijking. In dat geval schuift de curve boven iets naar links:
52

Om nu de uitwijking op een bepaald tijdstip t te berekenen moet je dus voor deze verschuiving
compenseren. De plek waarop je in een trilling zit wordt ook fase (Ф) genoemd. Aan het begin
(u=0) van de trilling is de fase 0. Op het eerste omkeerpunt (u=A) is de fase 0,25. Bij het
doorlopen van de evenwichtspunt op de terugweg is de fase 0,5 (dan zit je op de helft van één
gehele trilling). Op het tweede omkeerpunt (u=-A) is de fase 0,75. En als de trilling compleet is
en je weer de evenwichtspunt doorloopt (u=0) dan is de fase 1.
Om nu de beginfasehoek in radialen uit te drukken wordt, net als bij de hoekfrequentie, nog met
2π vermenigvuldigd:
α = 2 ⋅π
⋅φ
0
Daarmee zitten in de trillingsvergelijking alle benodigde termen: de maximale uitwijking van de
trilling, de frequentie van de trilling, en een correctie voor het beginpunt van de meting.
Voorbeeld:
Een veer wordt 3 cm omlaag getrokken (dus A = 3cm) en de trilling gemeten vanaf
het loslaten (de beginfase is dus 0,75). De beweging heeft een frequentie van 10
Hz. Wij berekenen eerst de hoekfrequentie en beginfasehoek:
ω = 2 ⋅π
⋅ f = 2 ⋅π
⋅10
= 10 ⋅π
rad / s
α0 = 2 ⋅π
⋅φ
= 2 ⋅π
⋅0,
75 = 1,
5⋅
π rad
De (u,t)-vergelijking van deze beweging is daarom:
u = 3⋅ sin( 20⋅
π ⋅t
+ 1,
5⋅
π )
Op het tijdstip t = 0,02 s is de uitwijking dan
u = 3⋅ sin( 20⋅
π
⋅ 0,
02 + 1,
5⋅
π ) = 3⋅
sin( 1,
9⋅
π ) = −0,
92 cm
Als de trilling op de maximale uitwijking begint (zie grafiek boven), met beginfase 0,25 (of 0,75) ,
dan heb je eigenlijk een cosinus curve. In dat geval kan je de trillingsvergelijking ook schrijven
als:
u = A⋅
cos( ω ⋅t
)
EIGENTRILLINGEN
De eenvoudige trillingen van een slinger die heen en weer gaat, of van een blokje aan een veer
die op en neer gaat, worden ook eigentrillingen genoemd. Anders uitgedrukt is de eigentrilling de
harmonische beweging die de slinger of veer uitvoert nadat en eerste impuls (energietoevoer)
werd gegeven, zonder meer invloed van buitenaf.
De trillingstijden van dit soort eigentrillingen zijn door karakteristieke formules gegeven:
Blokje aan een veer:
T = 2 ⋅π
m
C
waarin m = massa van het blokje
C = veerconstante (N/m)
53

l
Gewicht aan een slinger: T = 2 ⋅π
waarin l = lengte van de slinger
g
g = valversnelling
Met deze vergelijkingen kunnen we de eigenfrequentie van een slinger of een veer berekenen.
Bij de veer moet je daarbij zowel de veerconstante als de massa van het blokje kennen, maar bij
de slinger alleen de lengte van het touw! Hoe langer het touw (of hoe stijver de veer) hoe lager
de frequentie.
REGISTREREN VAN TRILLINGEN
De mechanische trillingen van de veer of slinger zou je kunnen registreren door een pen aan het
gewichtje vast te maken en een papier met constante snelheid er onder of achter langs te
draaien:
Om de trilling van bijvoorbeeld een stemvork weer te geven kan je een oscilloscoop gebruiken.
Een oscilloscoop toont elektrische spanning als een stip op een scherm (afbeelding links). Bij
veranderingen in de spanning zie je dan deze stip op een neer bewegen (afbeelding midden). Op
de horizontale as van het beeldscherm kan je dan nog een tijdbasis instellen, en dan zie je hoe
de spanning over een bepaald tijdsinterval verandert (afbeelding rechts; de hele breedte van de
scherm kan bijvoorbeeld 10 of 100 ms voorstellen). Als je de tijdschaal weet dan kan je op het
scherm aflezen hoeveel tijd nodig is voor een volle trilling, en dus kan je de frequentie van de
trilling berekenen.
54

Sluit je nu een microfoon op de oscilloscoop aan, dan worden de luchttrillingen, veroorzaakt door
de stemvork, omgezet in elektrische spanningsvariaties. Deze zie je dan op het scherm terug. De
curve op het scherm is sinusoïde en daarmee typisch voor een harmonische trilling.
Enkelvoudige tonen zijn harmonische trillingen die aan de omringende lucht ‘doorgegeven’
worden. De frequentie van deze trillingen is gerelateerd aan de waargenomen ‘hoogte’ van de
toon, en de sterkte aan de amplitudo. Hoe hoger de toon, hoe groter de frequentie, en hoe
sterker het geluid hoe groter de amplitudo.
Mensen kunnen alleen geluiden waarnemen met frequenties tussen circa 20 Hz en circa 20 kHz
(honden kunnen iets hogere frequenties nog horen en vleermuizen zelfs frequenties tot 175
kHz).
55

Vraagstukken voor Les7 – Trillingen
1. Als een voorwerp trilt met een frequentie van 1,25 Hz, dan voert het 100 trillingen uit in
a. 12,5 s
b. 125 s
c. 80 s
d. 8 s
Een frequentie van f = 1,25 Hz betekent een trillingstijd van T = 1/f = 1/1,25 s. Voor
honderd trillingen heb je dan 100/1,25 = 80 s nodig.
2. Een bepaalde gitaarsnaar blijkt 162 trillingen per seconde uit te voeren
a. Hoe groot is de frequentie waarmee deze snaar trilt?
b. Bereken de trillingstijd.
De snaar trilt met een frequentie van f = 162 Hz, en de trillingstijd is dan T = 1/f = 1/162 s
(of 0,00617s = 6,2 ms).
3. In de afbeelding hieronder zie je een diagram:
a. Hoe blijkt uit dit diagram dat er sprake is van een trilling?
b. Bepaal de amplitudo, de trillingstijd en de frequentie van deze trilling.
Er is sprake van een trilling omdat er een periodieke beweging rond een evenwichtsstand
plaatsvindt. De amplitudo van deze beweging is 5cm; een volledige trilling duurt 0,1s
(dus T = 0,1 s); de frequentie van de trilling is daarmee f = 1/T = 1/0,08 = 10,0 s -1 .
4. Een stemvork, die aan een van zijn benen een metalen stift heeft, wordt aangeslagen.
Direct hierna wordt de stemvork boven een beroete plaat gehouden en wel zo, dat de punt
van de stift een spoor in het roet trekt.
Vervolgens wordt de plaat met een snelheid van 3,00 m/s onder de stift doorgetrokken. Er
ontstaat dan een sinusvormig spoor. Na afloop worden elf volledige trillingen over een
afstand va 7,50cm geteld.
a. Bereken in hoeveel tijd die elf trillingen door de stift zijn gemaakt.
b. Bereken met welke frequentie de stift dan moet hebben getrild.
Een afstand van 7,5cm (0,075m) op het plaat betekent bij een snelheid van 3 m/s een
tijd van 0,075/3 = 0,025 s. In die tijd zijn elf volledige trillingen waargenomen, dus de
frequentie is f = 11/0,025 = 440 Hz.
56

5. Veert een auto sneller op zijn veren op en neer als hij leeg is of wanneer hij volgeladen is?
De trillingstijd wordt groter als de massa groter wordt (met het wortel van de massa). Als
de trillingstijd groter wordt, dan wordt de frequentie kleiner, dus de auto veert sneller als
hij leeg is.
6. Als de bestuurder van 68 kg achter het stuur van een 1500kg zware auto plaatsneemt,
worden de veren 5,0 mm ingedrukt. Wat zal de trillingsfrequentie worden als de auto over
een hobbel rijdt? (verwaarloos demping)
Een gewichtstoename van 68kg = 68 x 9,81 = 667 N lijdt tot een uitwijking van 5,0mm
(0,005 m) . De veerconstante moet daarom gelijk zijn aan C = 667/0,005 = 133400 N/m.
De trillingstijd van de eigentrilling van deze veer met een gezamelijke massa van auto en
bestuurder van m = 1568kg zou dan zijn: T = 2π m 1568
= 2π = 0,68s en de
C 133400
frequentie van de veerbeweging dus f = 1/T = 1,47 Hz (trillingen per seconde).
57

ELEKTRICITEIT EN STROOM
Les 8: Elektrische Stroom
Het woord ‘elektriciteit’ is afgeleid van het Griekse woord voor barnsteen: elektron. Als je
barnsteen over wol wrijft wordt hij namelijk ‘statisch’. Als je op deze manier statische
elektriciteit opwekt dan doe je eigenlijk niets anders dan energie overdragen. Je verricht
namelijk arbeid (wrijven – mechanische energie) die gebruikt wordt om ladingen te scheiden, en
als je de ladingen gescheiden houdt dan heb je op die manier energie opgeslagen – elektrische
energie. (je kunt trouwens geen netto lading genereren of vernietigen – de som van alle ladingen
in een proces moet altijd nul zijn). Statische ladingen ‘lekken’ in de loop van de tijd weg omdat de
overgedragen elektronen door water in de lucht opgenomen worden.
De eenheid van lading is Coulomb (C), waarbij de lading van één elektron (de
kleinste voorkomende, of elementaire, lading) e = 1,602 x 10 -19 C,
en dus 1 coulomb de lading van 6,25 x 10 18 elektronen is.
De lading tussen twee voorwerpen kan verschillen – je spreekt dan ook van een
‘potentiaalverschil’, of spanning. Als je die twee voorwerpen door een geleider (een materiaal
dat ladingen kan transporteren) met elkaar verbindt, dan ontlaadt zich deze spanning: ladingen
worden van het punt met hoger potentiaal naar het punt met lager potentiaal getransporteerd en
daarbij komt energie vrij die voor andere doelen gebruikt kan worden. Dit noemen wij dan
stroom (het is ook inderdaad een stroom van elektrische ladingen). Elektrische spanning krijgt in
de natuurkunde het symbool V (soms zie je ook U) en de eenheid Volt.
Een spanning van 1V betekent dat er bij het transporteren van een
lading van 1 coulomb van één pool naar de andere 1 joule vrij komt.
Een hogere spanning geeft dus meer energie aan ieder Coulomb aan lading mee (W = Q x V).
Elektrische energie is (relatief) gemakkelijk in andere energievormen om te zetten, en ook
(relatief) gemakkelijk te transporteren. Dit heeft ertoe geleidt dat wij deze vorm van energie in
heel veel praktische toepassingen (apparaten en machines) gebruiken.
Om elektrische energie, of ladingen, te transporteren is wel een geleider nodig. Materialen die
uit atomen met relatief veel ‘vrije’ elektronen bestaan (metalen) zijn goede geleiders.
SPANNINGSBRONNEN EN STROOMKRINGEN
Om elektrische energie praktisch te kunnen gebruiken is een spanningsbron nodig. De eerste
spanningsbron, een voorloper op de batterij, werd door Alessandro Volta uitgevonden (vandaar
ook de naam voor de eenheid van spanning – Volt). In een batterij bevinden zich twee
verschillende metalen met ertussen een zuur. Omdat de twee metalen op verschillende
manieren met het zuur reageren, ontstaat er een overschot aan elektronen in een metaal en een
tekort aan elektronen in het ander metaal (er wordt dus chemische energie omgezet in
elektrische energie). Er zijn batterijen met verschillende spanningen. Een typische ronde cel
heeft een spanning van 1,5V, maar je vindt ook batterijen van 4,5V en zelfs 9V. Om een groter
potentiaalverschil te krijgen kan je meerdere batterijcellen in serie aan elkaar koppelen – dan tel
je de spanningen bij elkaar op (de platte 4,5V batterijen bestaan dan ook uit 3 cellen á 1,5V).
Als je de twee kanten van de batterij door een geleider (bijvoorbeeld draad) met elkaar verbindt
dan bewegen de geladen deeltjes van de ene kant naar de andere – dan heb je een
stroomkring. De batterij kan zo lang een bron van elektrische energie blijven als de
scheikundige reactie in de cel door kan blijven gaan (dus tot de chemische energie ‘op’ is).
58

Een spanningsbron die niet zo snel opraakt is het elektriciteitsnet (het stopcontact). Bij ons
staat er tussen de twee punten van het stopcontact een spanning van 230V. Deze spanning kan
(in een natuurkundepracticum) met behulp van een voedingskastje op een gewenste hoogte
gebracht worden. Maar de elektrische energie die door het elektriciteitsnet geleverd wordt moet
natuurlijk ook eerst op de een of andere manier opgewekt worden (in de centrales).
Zonnecellen worden niet alleen gebruikt om het net met ‘groene’ energie te voeden, maar
kunnen ook – net als batterijen – plaatselijk als spanningsbron dienen (denk aan veel
rekenmachines!). In deze zonnecellen zitten dan materialen die de zonne-energie op elektronen
over kunnen dragen. Er stroomt dan energie zolang als de cel verlicht is.
Om een stroomkring natuurkundig weer te geven worden bepaalde schemasymbolen gebruikt.
De belangrijkste voor onze doelen zijn:
(sommige onderdelen worden pas later in de tekst behandeld)
STROOMRICHTING EN STROOMSTERKTE
De bewegende deeltjes in een stroomkring (elektronen) hebben een negatieve lading en de
‘stroom’ van ladingen gaat dus eigenlijk van de ‘min’-pool (overschot van negatieve ladingen)
naar de ‘plus’-pool (tekort aan negatieve ladingen). Toen stroomkringen voor het eerst ontdekt
en gebruikt werden kende men echter elektronen nog niet. Sterker nog, men nam aan dat het om
een transport van positief geladen deeltjes ging. Daarom werd een afspraak gemaakt dat de
stroomrichting in de geleider van de pluspool naar de minpool gaat, en deze afspraak wordt
ook nu nog gehandhaafd. In de spanningsbron gaat de stroom dan van de minpool naar de
pluspool.
In een gesloten stroomkring is ook nog de stroomsterkte van belang. Dit is de hoeveelheid
lading die een gegeven punt per seconde passeert (je kunt dit vergelijken met een watertap: je
kan meten hoeveel water er per minuut uitstroomt als hij helemaal open staat). Het symbool voor
stroomsterkte is I, en de eenheid is ampère (A).
59

Een stroomsterkte van 1A betekent dat er in 1 seconde 1 coulomb aan
lading door een dwarsdoorsnede van de draad gaat.
(oorspronkelijk werd 1 Coulomb gedefinieerd als de hoeveelheid lading die een dwarsdoorsnede
draad passeert als 1 seconde een stroom van 1 A vloeit, dus Q = I x t).
Als je de stroomsterkte van een stroomkring weet kun je ook berekenen hoeveel ladingen er
gedurende een gegeven tijd beschikbaar zijn.
Voorbeeld:
Een stroom van 7,5 kA gedurende 0,020s (zoals in een bliksemafleider bij een blikseminslag)
3
2
betekent dat er in die tijd 7, 5 ⋅10 A × 0,
02 s = 1,
5⋅10
C aan lading stroomt.
Dit wordt soms ook in ‘ampère-uren’ uitgedrukt (in het bliksemvoorbeeld dan
3
−6
−2
7,
5⋅
10 A × 5,
6 ⋅10
h = 4,
2 ⋅10
Ah ), vooral in het dagelijks leven waar stroom meestal wat
langer beschikbaar moet zijn. Een accu waar ’12 Ah’ op staat zal dan 12 uur lang 1A, of 3 uur
lang 4A kunnen leveren.
DE WETTEN VAN KIRCHHOFF
Als je in een schakeling de leidingen vertakt, dan wordt de hoeveelheid lading op de
verschillende takken verdeeld. De stroomsterkte wordt dan ook over de takken verdeeld:
waarin I = I1 + I2 + I3
Dit is de eerste wet van Kirchhoff, ook wel de stroomwet genoemd:
In een schakeling moet op ieder willekeurig knooppunt de som van alle
stromen naar het knooppunt toe gelijk zijn aan de som van alle stromen van
het knooppunt af
Als je de stroomsterkte in een bepaalde tak wil meten moet je de stroommeter (ofwel
ampèremeter) in serie schakelen.
In een vertakking blijft de spanning op de verschillende takken hetzelfde als de oorspronkelijke
batterijspanning:
waarin V = V1 = V2 = V3
60

Dit is de tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd:
In een willekeurig gesloten lus in een schakeling moet de som van de
potentiaalveranderingen gelijk aan nul zijn.
Om de spanning te meten schakel je de voltmeter parallel.
WEERSTAND EN GELEIDINGSVERMOGEN
De stroomsterkte door een bepaalde geleider hangt van twee dingen af. Ten eerste is de
spanning belangrijk – bij een hoger energieverschil zal er meer lading stromen (als je het weer
met water vergelijkt: als er meer druk op de leiding staat stroomt er meer water per seconde
door). Ten tweede is ook de doorlaatbaarheid van de geleider belangrijk. In de elektriciteitsleer is
dit het ‘geleidingsvermogen’ van bijvoorbeeld een stuk draad, hoewel meestal de omgekeerde
waarde van het geleidingsvermogen gebruikt wordt: de elektrische weerstand. Een geleider met
een lage weerstand laat meer ladingen per seconde stromen dan een geleider met hoge
weerstand (bij dezelfde spanning). Het symbool voor weerstand is R en de eenheid is ohm (Ω).
DE WET VAN OHM
De naam van de eenheid is afkomstig van Georg Simon Ohm, die vaststelde dat de weerstand
van een metalen draad een bepaalde relatie met spanning en stroomsterkte heeft, namelijk een
evenredige verhouding:
Deze formule is “de wet van Ohm”.
V V
R = of I = of V = IR
I R
Je kunt dus een weerstand van een bepaalde grootte ‘maken’ door een bepaalde lengte draad
om een kokertje te wikkelen. Dit kokertje kan je dan in een stroomkring inbouwen:
De stroom die je op de ampèremeter afleest is dan gegeven uit de batterijspanning en de grootte
van de weerstand.
Als je nu een voedingskastje in plaats van een batterij gebruikt, dan zou je de stroomsterkte bij
verschillende spanningen kunnen meten. Als (zoals bij zo’n draadkokertje het geval is) de
stroomsterkte recht evenredig met de spanning is – dus als R een constante waarde heeft – dan
61

zeggen wij dat voor de geleider ‘de wet van Ohm’ geldt, en zo een weerstand wordt dan ook een
‘ohmse weerstand’ genoemd. Dit soort weerstand wordt in schakelschema’s met het
rechthoekje aangeduid.
Andere onderdelen van schakelingen kunnen een weerstand hebben die met de spanning
veranderd. Een lampje bijvoorbeeld zou bij 2V spanning een weerstand van 9Ω kunnen hebben
(I = 0,22 A) en bij 10V spanning een weerstand van 25Ω (I = 0,4 A). Dit hangt ermee samen dat
het lampje bij een hogere spanning ook warmer wordt.
Een variabele weerstand (zie schema-symbolen boven) kan je maken door een schuif- of
glijcontact in de weerstand op te nemen die je langs de wikkeldraad kan verplaatsen. Op die
manier kan je de lengte van de draad binnen de weerstand variëren.
Geleiders zoals draden kunnen in geleidingsvermogen verschillen. Daarbij speelt de doorsnede
en lengte van de draad een rol: een dikkere/kortere draad heeft een hoger geleidingsvermogen
(en dus een lagere weerstand) dan een dunnere/langere draad. Het materiaal waaruit de draad
gemaakt is speelt echter ook een rol. Een koperdraad heeft een hoger geleidingsvermogen dan
een aluminiumdraad van dezelfde lengte en doorsnede. Je kunt deze eigenschap van een
bepaald metaal weergeven als een constante: de soortelijke weerstand (symbool ρ, eenheid
m 2
Ω⋅
, of Ωm).
m
Voor de weerstand van een metaaldraad geldt dan het volgende:
R = ρ ⋅
l
A
Waarin l de lengte van de draad is (in meter) en A de doorsnede van de draad (in m 2 ). Let op
de eenheden en op het verschil tussen diameter en doorsnede in deze samenhang. De diameter
(of dikte) wordt vaak ook ‘doorsnede’ genoemd, maar is een andere grootheid. De samenhang
1 2
tussen diameter (d) en doorsnede (A) is: A = π ⋅ d .
Voorbeeld:
Een koperdraad van 0,26 mm (=0,26 x 10 -3 m) dikte heeft een doorsnede van
1 −3
2
−6
2
A = 4 π ⋅ ( 0,
26 ⋅10
) = 0,
053⋅10
m . Koper heeft een soortelijke weerstand van
−9
17 ⋅10
Ωm
. Een 50 m lang stuk van deze draad zou dan een weerstand hebben van:
−9
50
R = 17 ⋅10
⋅
= 16 Ω .
−6
0,
053⋅10
4
Denk ook aan verlengsnoeren! Het stopcontact levert normaalgesproken 16A bij een spanning
van 220V. Een verlengsnoer (koperdraad) van 30m lang en 1,5mm2 diameter heeft dan een
weerstand van
62

−9
30
R = 17 ⋅10
⋅ = 0,
34 Ω . Dat betekent dat het U = I ⋅ R = 16 ⋅ 0,
34 = 5,
4 V kost
−6
1,
5⋅10
om de stroom door deze kabel te sturen. Aan het eind van de verlengkabel is dan nog maar een
spanning van 215,6 V beschikbaar.
Bij de meeste metalen heeft de temperatuur van een draad ook nog invloed op het
geleidingsvermogen (bij hoger temperatuur neemt de weerstand toe). Voor natuurkundige
proeven die onafhankelijk van temperatuur moeten zijn moet je dan constantaan-draad
gebruiken (Constantaan is een legering van koper, nikkel en mangaan met de eigenschap dat de
weerstand nauwelijks met een temperatuursverschil verandert).
63

Les 8 Elektriciteit: vraagstukken
1. Een waterleidingsbus A splitst zich in twee takken B en C, die uitmonden op buis D (zie
figuur hieronder). D heeft een iets kleinere dwarsdoorsnede dan A.
De stroomsterkte in A is 0,20 l/s, in B echter 0,12 l/s.
a. Bepaal de stroomsterkte in zowel C als D.
b. Is de stroomsnelheid in D groter of kleiner dan die in A? Of is er geen verschil? Licht
je antwoord toe.
De stroomsterkte in A (0,20 l/s) wordt op het vertakkingpunt op buizen B en C verdeeld.
Als in B de stroomsterkte nog 0,12 l/s is, dan moet de stroomsterkte in C dus 0,2-0,12 =
0,8 l/s zijn.
De stroomsterkte in D is weer hetzelfde als de stroomsterkte in A, maar omdat de buis
smaller is moet de stroomsnelheid dan toenemen, om nog steeds dezelfde hoeveelheid
lading per seconde te laten passeren.
2. Door een verbindingsdraad loopt een stroom van 75mA.
a. Bereken de hoeveelheid lading die per minuut een dwarsdoorsnede van deze draad
passeert.
b. Bereken het aantal ‘vrije elektronen’ dat per minuut die dwarsdoorsnede passeert.
a. Een stroomsterkte van 75mA = 0,075A betekent dat per seconde een totale lading
van 0,075C een bepaalde plaats van de draad passeert. In een minuut passeert dan
een lading van 60 s ⋅ 0,
075C
/ s = 4,
5C
een dwarsdoorsnede van de draad.
b. De grootte van de lading op een elektron is ongeveer 1,6 x 10 -19 C. Een lading van
4,
5C
19
4,5C bevat dan = 2,
8125 ⋅10
elektronen .
−19
1,
6 ⋅10
C / elektron
3. Van twee geleiders, A en B, zijn in de onderstaande figuur (I, V) grafieken getekend.
64

a. Waaruit blijkt dat deze geleiders ‘ohmse weerstanden’ zijn?
b. Hoe is te verklaren dat bij toenemende spanning ook de stroomsterkte toeneemt?
c. Houdt het toenemen van de stroomsterkte in, dat het aantal vrije elektronen groter
wordt? Licht je antwoord toe.
d. Leg aan de hand van de figuur uit dat het ‘logisch’ is om de verhouding V/I
‘weerstand’ te noemen (aanwijzing: vergelijk punt P met punt Q).
e. Welke van de twee geleiders heeft dus de grootste weerstand?
4. In de tabel hieronder staan gegevens van vier draden. Al deze draden zijn van hetzelfde
materiaal gemaakt. Bereken de ontbrekende waarden.
draad lengte (m) diameter (mm) R (Ω)
A 5,0 0,20 175
B 0,20 70
C 5,0 28
D 3,0 0,30
Uit de gegevens voor draad A kun je de soortelijke weerstand van het materiaal
l
berekenen: R = ρ ⋅
A
⇔
R ⋅ A
ρ = en daarmee verder rekenen, maar je kunt ook met
l
de veranderingen in de drie gegevens rekenen, omdat de soortelijke weerstand natuurlijk
constant is. Bij draad B is R kleiner geworden, dus
175 ⋅ A 70 ⋅ A
=
5 l B
⇔
70 ⋅ 5
l B = = 2,
0m
. Bij draad C is R ook kleiner, dus
175
175 ⋅ AA
28 ⋅ AC
=
5 5
⇔
175
AC
= AA
. Maar nu moeten wij wel eerst de doorsnede van
28
π 2
A berekenen: AA = d A
4
π 2
= mm
100
⇒
1,
75π
2
AC
= mm
28
⇒ d C = 0,
5mm
. Bij
draad D zijn lengte en diameter veranderd en zijn wij op zoek naar de nieuwe weerstand:
175 π 2 RD π 2
⋅ ⋅ 0,
2 = ⋅ ⋅ 0,
3
5 4 3 4
⇔
2
175 ⋅ 3 ⋅ 0,
2
RD
=
= 46,
67Ω
.
2
5 ⋅ 0,
3
5. Een wasdroger heeft een verwarmingselement met een weerstand van 8,6Ω.
a. Hoe groot is de stroom in het element wanneer het apparaat wordt aangesloten op
240V?
b. Hoeveel lading stroomt er in 50 minuten door het element?
V 240 V
a. Met de wet van Ohm is de stroom in het element I = = = 27,
907A
R 8,
6Ω
b. Een stroomsterkte van 27,907A betekent dat er 27,907 Coulomb per seconde
stromen. In 50 minuten stroomt er dus 50 x 60 x 27,907 = 83.721C.
65

Les 9: Elektriciteit II
WEERSTANDEN IN SERIE; WEERSTANDEN PARALLEL
In een stroomkring kan je ervoor kiezen om weerstanden of apparaten achter elkaar (in serie) of
op aparte takken (parallel) te schakelen. Bij een kerstboomverlichting zijn vaak alle lampjes in
serie geschakeld, maar als er dan een stuk gaat valt meteen de gehele verlichting uit (omdat er
dan geen stroom meer door de kring kan lopen. Bij een vertakte stroomkring moet je rekening
houden dat de stroomsterkte over de takken verdeeld wordt (zie boven).
Serieschakeling
Een belangrijke eigenschap van alle stroomkringen is de volgende:
op een onvertakte geleider is de stroomsterkte op elke plaats gelijk
Als er een weerstand in deze tak zit dan moeten dus op die plek de ladingen sneller stromen (als
je de weerstand als een ‘nauwe’ buis ziet), waarbij zij in de grootste weerstand het snelste
moeten stromen. De batterijspanning in een serieschakeling moet dus, evenredig met de grootte
van de weerstanden, over de weerstanden verdeeld worden:
Voor deze serieschakeling geldt:
• De stroomsterkte I is constant over de gehele geleider en dus ook over de drie
weerstanden (bijvoorbeeld I = 0,1 A)
• De batterijspanning V (bijvoorbeeld V = 6,0 V) moet dan evenredig met de grootte van de
weerstanden over deze verdeeld worden. V1 : V2 : V3 = R1 : R2 : R3
• De deelspanningen kan je berekenen als je de grootte van de weerstanden kent (met V
= R x I). Als bijvoorbeeld R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω en R3 = 30Ω, dan is V1 = 1V, V2 = 2V en
V3 = 3V.
De totale weerstand van de stroomkring, ook vervangingsweerstand genoemd, kan je met de
V
batterijspanning berekenen: Rv = = 60 Ω . Deze waarde kan je ook uit de enkele weerstanden
I
berekenen door deze bij elkaar op te tellen: Rv = R1 + R2 + R3
66

Parallelschakeling
Wij hebben eerder al gezien wat met de stroomsterkte gebeurd als een geleider vertakt:
op een vertakte geleider is de spanning op elke tak hetzelfde
Als er geen weerstanden op de takken zitten dan wordt de stroomsterkte dus over alle takken
gelijkmatig verdeeld. Als de verschillende takken verschillende weerstanden hebben dan wordt
de stroomsterkte dusdanig verdeeld dat door de kleinste weerstand de meeste stroom loopt. Dus
de verhouding tussen weerstand en stroomsterkte op de verschillende takken is omgekeerd
evenredig. Wij maken dit weer duidelijk in een voorbeeld:
Voor deze parallelschakeling geldt:
• De batterijspanning V is constant over de gehele geleider en dus ook over alle drie
weerstanden (bijvoorbeeld V = 6,0 V)
• De stroomsterkte I (bijvoorbeeld I = 1,1 A) moet dan omgekeerd evenredig met de
grootte van de weerstanden over deze verdeeld worden, waarbij I = I1 + I2 + I3
• De deelstroomsterkte op elke tak kan je berekenen als je de grootte van de
V
weerstanden kent (met I = ). Als bijvoorbeeld R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω en R3 = 30Ω, dan
R
is I1 = 0,6 A, I2 = 0,3 A en I3 = 0,2 A.
De vervangingsweerstand van de stroomkring, kan je ook met de hoofdstroomsterkte
V
berekenen: Rv = = 5,
45 Ω . Deze waarde kan je ook uit de enkele weerstanden berekenen
I
1
door de omgekeerden bij elkaar op te tellen:
Rv 60
R v = = 5,
45 Ω .
11
1 1
= +
R1
R2
1
+
R3
1 1 1 11
= + + = ; dus
10 20 30 60
De vervangingsweerstand is
bij serieschakelingen altijd groter dan de grootste enkele weerstand (en meer weerstanden =
grotere vervangingsweerstand),
bij parallelschakelingen altijd kleiner dan de kleinste enkele weerstand (en meer weerstanden =
kleinere vervangingsweerstand).
67

Gemengde schakelingen
Je vindt vaak (vooral in toetsvragen) schakelingen waarin serie- en parallelschakelingen
gecombineerd voorkomen. In dit soort schakelingen moet je dan de vervangingsweerstand
kunnen berekenen – dit doe je door de vertakkingpunten te bepalen en dan vast te stellen welke
weerstanden (of vervangingsweerstanden) met elkaar parallel en in serie geschakeld zijn. Je
kunt dan, afhankelijk van welke waarden bekend zijn, ook deelspanningen of stroomsterktes in
bepaalde takken berekenen.
ELEKTRISCHE ENERGIE EN ELEKTRISCH VERMOGEN
Wij spreken ervan dat een elektrisch apparaat (een lampje of een koelkast) ‘stroom verbruikt’.
Dat is echter niet waar. De ladingen blijven stromen en de stroom is achter het apparaat net zo
groot als voor de apparaat. Wat wel ‘verbruikt’ wordt is de elektrische energie die de spanning
aan de ladingen meegeeft. Een netspanning van 230V geeft aan elk coulomb lading een energie
van 230V mee. Deze staat dan voor verbruik ter beschikking (bij een lampje bijvoorbeeld wordt
de elektrische energie omgezet in inwendige energie; het draadje wordt heet, en als de
hoeveelheid energie groot genoeg is begint hij te gloeien en straalt dus licht uit).
Energieverbruik van een apparaat:
• Als een apparaat twee keer langer aan staat verbruikt hij twee keer zo veel energie
(omdat in twee keer zoveel tijd twee keer zoveel energie door de spanningsbron
afgegeven wordt)
• Als twee apparaten met hetzelfde verbruik parallel staan, dan moet de spanningsbron
twee keer zoveel stroom leveren (omdat de stroom over de twee takken verdeeld wordt);
in dezelfde tijd wordt dan twee keer zoveel energie verbruikt als bij een enkel apparaat
• Als twee apparaten met hetzelfde verbruik in serie geschakeld zijn dan heb je een twee
keer zo grote spanning nodig om allebei te laten werken (omdat de spanning over de
twee onderdelen verdeeld wordt); in dezelfde tijd wordt dan ook twee keer zoveel energie
verbruikt als bij een enkel apparaat
Dus energieverbruik is evenredig aan tijd en aantal apparaten; waarbij parallel geschakelde
apparaten meer stroomsterkte, en in serie geschakelde apparaten meer spanning nodig hebben.
De formule voor energieverbruik is dan ook:
E e
= V ⋅ I ⋅ t
waarin V de spanning over het apparaat is, I de stroomsterkte in het apparaat en
t de tijd (hoe lang het apparaat is ingeschakeld). De eenheid van elektrische
energie is natuurlijk joule (J) – spanning is immers joule/coulomb en
stroomsterkte is coulomb/sec.
Elektrische energie is een vorm van arbeid, en de hoeveelheid arbeid die in een bepaalde tijd
gebruikt wordt is gedefinieerd als vermogen (P = Ee/t). Het elektrische vermogen van een
apparaat is daarom:
= V ⋅ I
P e
waarin V de spanning over het apparaat is en I de stroomsterkte door het
apparaat. De eenheid van vermogen is watt (W), waarbij 1 W = 1 volt-ampère.
De tijdseenheid die in de formules hierboven gebruikt wordt is seconde. Een vermogen van 2000
W zou dan betekenen dat een apparaat elke seconde die het aanstaat 2000 J aan elektrische
energie verbruikt. Op de meters in je meterkast vind je weliswaar meestal een andere eenheid:
de kilowattuur (kWh). Dat is kilowatt maal uur, niet per uur! Een verbruik van 1 kWh zou dan
68

etekenen dat je één uur (3600 sec) lang één kW (1000W) per seconde aan energie hebt
verbruikt. Dat is dan hetzelfde als 3600 sec x 1000 J/sec = 3,6 x 10 6 J.
OMZETTEN VAN ELEKTRISCHE ENERGIE; RENDEMENT
Elektrische apparaten die je inschakelt zetten de elektrische energie op verschillende manieren
om. In elk apparaat zal daarbij warmteontwikkeling plaatsvinden, die bij sommige apparaten zelfs
de functie bepaald (kookplaat, strijkijzer etc). Het verwarmingselement is daarbij meestal een
grote weerstand, en voor de hoeveelheid warmte geldt:
Q = I ⋅ R ⋅ t
2
(eenheid J).
Andere apparaten zetten de energie in mechanische arbeid of lichtenergie om. Bij bijna elke
energieomzetting treden verliezen op. Een gedeelte van de beschikbare energie gaat in wrijving
en/of warmte op en is daardoor niet meer terugwinbaar. Het percentage geleverde energie die je
daadwerkelijk ‘nuttig’ om kan zetten wordt ook rendement (symbool η) genoemd:
P
η =
P
nuttig
toegevoegd
⋅100%
Soms is het de bedoeling dat alle elektrische energie in warmte omgezet wordt, zoals bij een
elektrische kachel. Die heeft dan een rendement van bijna 100%. Een boiler heeft echter een
lager rendement dan 100%, omdat niet alle warmte in het water blijft zitten (waar het bedoeld is).
Er ontsnapt warmte naar de omgeving zodat het water afkoelt.
Ouderwetse gloeilampen hebben een bijzonder laag rendement. Slechts ongeveer 8% van de
toegevoerde energie wordt werkelijk licht. De rest gaat verloren als warmte. Energiespaarlampen
hebben een hoger rendement – die worden daarom ook minder heet bij gebruik.
Voorbeeld:
Wanneer een gloeilamp 60 W aan vermogen opneemt uit het net en daarvan 3 W omzet
in licht en de andere 57 W omzet in niet bedoelde warmte, dan is zijn rendement 5%,
want 3 is 5% van 60.
Machines die niet met warmte werken hebben gebruikelijk een hoger rendement. Een
elektromotor kan 80-90% van de toegevoerde elektrische energie omzetten in mechanische
energie (de rest wordt warmte).
69

ELECTRICITEIT THUIS
De hoofdkabel van het elektriciteitsnet gaat in ieder huis eerst naar de (verzegelde)
huisaansluitkast en door de elektriciteitsmeter. Achter de meter wordt de kabel dan gesplitst in
een aantal parallelle takken – of ‘groepen’. Iedere groep voorziet een apart bereik van
elektriciteit, en heeft een eigen schakelaar en zekering in de meterkast.
Aan de kabel van elke groep zijn dan een aantal lichtpunten en wantcontactdozen aangesloten –
ook weer in een parallelle schakeling. Daardoor wordt elk apparaat (en lamp) op dezelfde
spanning aangesloten, namelijk de netspanning van 230 V (waarbij wij ervan uitgaan dat de
weerstand van de vertakte kabels te verwaarlozen is).
In de huisinstallatie zijn een aantal veiligheidsmaatregelen opgenomen:
1. Smeltzekering
Als door een draad stroom met een heel grote sterkte loopt, dan kan de draad zo heet
worden dat het isolatiemateriaal smelt. Omdat dit tot brand zou kunnen leiden zitten in de
huisinstallatie zogenoemde ‘smeltzekeringen’ – deze worden ook ‘stop’ genoemd. Een
smeltzekering bestaat uit een houder met een smeltpatroon erin; in het patroon zit een
dun draadje dat bij een bepaalde stroomsterkte doorsmelt (door bijvoorbeeld
‘overbelasting’) - dan ‘slaat de stop door’.
De maximale stroomsterkte op groepskabels is door deze smeltzekeringen op 16 A
beperkt, die op de hoofdkabel op 25 A. Sluit je bijvoorbeeld een kookplaat van 2,0 kW en
de vaatwasser van 2,2 kW op dezelfde groep aan dan heb je met P = 4200 W en U =
230 V een stroomsterkte van I = P/V = 19 A – een overbelasting die de stop eruit zou
slaan.
2. Kortsluiting
Een andere manier waardoor de stroomsterkte op een groep ontoelaatbaar groot kan
worden is door een kortsluiting. Dit gebeurt als de stroom op een tak ineens niet meer
door een apparaat of lamp stroomt, maar rechtstreeks terug naar de groep (als
bijvoorbeeld een kabel dusdanig beschadigd raakt dat de aders met elkaar contact
kunnen maken. Daarmee is de weerstand van het apparaat/de lamp uit de schakeling
genomen waardoor de stroomsterkte heel groot kan worden (100 A of meer). In dit geval
zou dan de smeltzekering ook doorsmelten.
3. Aardleiding
Het aansluitsnoer van de meeste apparaten voert drie draden. Een fasedraad (bruin) die
de spanning van 230 V voert, en nuldraad (blauw) die in de elektriciteitscentrale geaard
is, maar ook nog een aarddraad (geel/groen) die het metalen omhulsel van het apparaat
(denk aan een wasmachine) met de aardleiding van het huis verbindt. Als namelijk per
ongeluk de fasedraad (door bijvoorbeeld beschadiging) met het metalen omhulsel in
contact komt en je die kast aanraakt dan zou de stroom meteen via de aarddraad terug
lopen. Omdat ook hier de weerstand van het apparaat ontbreekt, zal een kortsluiting
ontstaan en de stroomkring meteen verbroken worden. Dit kan dodelijke ongelukken
voorkomen – als namelijk iemand een ongeaarde metalen voorwerp aan zou raken dat in
verbinding met de fasedraad staat dan zou de stroom door diens lichaam naar de aarde
lopen! Alleen dubbel geïsoleerde apparaten (bijvoorbeeld hobbygereedschap) mogen
zonder aarding worden gebruikt.
4. Aardlekschakelaar
Dit is nog een onderdeel van de thuisinstallatie dat het lichaam tegen elektrische
schokken beschermd. De aardlekschakelaar vergelijkt de stroomsterkte tussen fase- en
nuldraad. Als die hetzelfde is dan is er niets aan de hand. Maar als er een verschil is
(dus een hogere stroomsterkte in de fasedraad dan in de nuldraad), dan zou dat kunnen
betekenen dat stroom door een ander voorwerp – bijvoorbeeld je lichaam – naar de
aarde stroomt. Omdat al een stroomsterkte van 40 mA heel gevaarlijk kan zijn, schakelt
de aardlekschakelaar de huisinstallatie al bij een verschil van 30 mA binnen 0,2 s uit.
70

Een korte samenvatting van de belangrijkste punten:
• Een gesloten kring van geleidend materiaal met een spanningsbron erin noem je een
stroomkring.
• Volgens afspraak gaat de stroom in een stroomkring van de pluspool naar de minpool.
• Spanning (V) wordt gemeten in volt (V)
• Stroomsterkte (I) wordt gemeten in ampère (A)
•
V
Weerstand (R) wordt gemeten in ohm (Ω), R =
I
•
l
De weerstand van een metaaldraad is R = ρ ⋅ , waarin ρ de soortelijke weerstand van
•
het metaal is, l de lengte en A de doorsnede van de draad.
Bij een vertakking wordt de stroomsterkte verdeeld: I = I1 + I2 + I3 maar de spanning is
op elke tak hetzelfde: V = V1 = V2 = V3
• In een schakeling meet je stroomsterkte (ampèremeter) in serie en spanning (voltmeter)
parallel; je mag bij alle schakelingen ervan uitgaan dat een stroommeter een te
verwaarlozen weerstand heeft, en dat door een spanningsmeter geen stroom loopt.
• In een serieschakeling is de stroomsterkte constant, de batterijspanning verdeelt zich
over de weerstanden: Vbat = V1 + V2 + V3; de vervangingsweerstand is te berekenen
met Rv = R1 + R2 + R3
• In een parallelschakeling is de spanning constant, de stroomsterkte verdeelt zich over de
weerstanden: I = I1 + I2 + I3; de vervangingsweerstand is te berekenen met
1
Rv 1 1
= +
R1
R2
1
+
R3
• elektrisch vermogen wordt gemeten in watt (1W = 1 volt-ampère); Pe = V ⋅ I
• elektrische energie wordt in de praktijk gemeten in kilowattuur (1 kWh = 3,6 x 10 6 J);
=
V ⋅ I ⋅ t
E e
A
71

Les 9 Elektriciteit: vraagstukken
1. Vier weerstanden, elk van 60Ω, kun je op veel manieren schakelen. Een aantal
schakelingen zijn hieronder aangetoond. Bereken voor elke schakeling de
vervangingsweerstand.
a.
b.
c.
d.
a. Serieschakeling. Rv = 4 ⋅ R = 240Ω
b.
1
Parallelschakeling:
Rv
1 4 1
= 4 ⋅ = =
R 60Ω
15Ω
⇔ Rv
= 15Ω
c. Één weerstand parallel met drie in serie:
1
Rv
1 1 1 1 4
= + = + =
R 3 ⋅ R 60Ω
180Ω
180Ω
⇔ Rv
= 45Ω
d. Die parallelle weerstanden in serie met één weerstand:
60Ω
= + = + 60Ω
= 80Ω
3 3
R
R
Rv e. Twee series van twee weerstanden parallel met elkaar:
1
Rv
1 1
= 2 ⋅ =
2R
60Ω
⇔ Rv
= 60Ω
f. Twee weerstanden in serie met een parallelschakeling van twee:
R 60Ω
Rv = 2⋅
R + = 120Ω
+ = 150Ω
2 2
e.
f.
g.
h.
i.
72

g. Een parallelschakeling van twee enkele weerstanden en een serie van twee:
1
Rv
1 1 5 5
= 2 ⋅ + = =
R 2R
2R
120Ω
⇔ Rv
= 24Ω
h. Een enkele weerstand in serie met een parallelschakeling tussen een enkele
2R 120Ω
weerstand en een serie van twee: Rv = R + = 60Ω
+ = 100Ω
3
3
i.
R
Een parallelschakeling van twee weerstanden ( Rv 1 = = 30Ω
) in serie met een
2
enkele weerstand ( = R + R = 90Ω
) , en dit geheel parallel met een vierde
Rv 2 v1
1 1 1 1 1
weerstand. = + = + ⇔ Rv
= 36Ω
R R R 60Ω
90Ω
v
v2
2. Twee in serie geschakelde weerstanden zijn op een spanningsbron van 6,0V aangesloten:
De stroommeter wijst 40 mA aan, de spanningsmeter 3,4V. Bereken R2.
Als de spanningsmeter 3,4V aangeeft dan moet weerstand R1 zijn: R1 = 3,4V/0,04A =
85Ω. De totale weerstand is Rtot = 6V/0,04A = 150Ω. Omdat de weerstanden in serie
geschakeld zijn is dan R2 = Rtot – R1 = 65Ω.
3. Die in serie geschakelde weerstanden zijn op een spanningsbron van 9,0 V aangesloten:
A
A
V1
R1
V
R2
R1 R2 R3
De stroommeter wijst 0,12 A aan, de bovenste spanningsmeter 4,8 V en de onderste
spanningsmeter 7,2 V.
a. Bereken de vervangingsweerstand (bij gesloten schakelaar)
b. Bereken R2.
c. Wat wijzen de meters aan, nadat de schakelaar is geopend?
V2
73

a. Rtot = 9V/0,12A = 75Ω
b. Uit de spanningen kun je berekenen: R1 + R2 = 4,8V/0,12A = 40Ω
R2 + R3 = 7,2V/0,12A = 60Ω
Het volgt dan: R1 + 2R2 + R3 = 100Ω = Rtot + R2
Dus R2 = 25Ω
c. Nadat de schakelaar is geopend gaat geen stroom meer door V2 (de weerstand van
V2 is heel hoog ten opzichte van de weerstand R3), dus deze meter wijst nul aan. De
stroom gaat van de batterij door zeer hoge weerstand V1-meter , zodat deze meter de
batterijspanning van 9V aangeeft.
4. Drie parallel geschakelde weerstanden zijn op een spanningsbron aangesloten:
A
A
R2 = 20 Ω; R3 = 30Ω.
De ene stroommeter wijst 0,81 A aan, de andere 0,36 A.
a. Bereken de overige twee takstromen.
b. Bereken R1.
R1
R2
R3
a. De stroom wordt omgekeerd evenredig met de weerstanden over de takken verdeeld.
Van de hoofdstroom is nog 0,81 – 0,36 = 0,45A over om te verdelen. Dus I2/I3 = R3/R2 =
3/2. Dan is I2 = 0,27A en I3 = 0,18A.
b. De spanning over de schakeling is 0,18A x 30Ω = 0,27A x 20Ω = 5,4V. Daarmee is de
vervangingsweerstand van de schakeling Rv = 5,4V/0,81A = 6,67Ω. Deze
vervangingsweerstand 1/Rv = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3, dus R1 = 15Ω.
5. Een straalkachel (220 V; 1,60 kW) heeft 3 uur en 15 minuten aangestaan.
Bereken de elektrische energie die de kachel heeft opgenomen. (geef je antwoord zowel in
kWh als in joule op).
Drie uur en 15 minuten zijn 3,25h. De elektrische energie is dan 1,6 x 3,25 = 5,2kWh. Dit
betekent dat je 3,25 uur lang ( = 11700 s) 1,6 kW per seconde verbruikt hebt, dus in totaal 18720
x 10 3 J = 1,87 x 10 7 J.
6. Drie weerstanden zijn geschakeld als in het schema hieronder weergegeven. Ze zijn op
een spanningsbron van 16 V aangesloten. R1 = 20Ω; R2 = 25Ω; R3 = 60Ω.
74

R2
R3
a. Bereken het vermogen dat de spanningsbron afgeeft.
b. Bereken het vermogen dat in elk van de weerstanden wordt omgezet.
a. De vervangingsweerstand van deze schakeling is Rv = 40Ω. Bij een spanning van
16V is het vermogen dan P = V 2 /R = 256/40 = 6,4 W.
b. De stroomsterkte over de schakeling I = 16V/40Ω = 0,4A. Over R2 heb je dan een
spanningsverlies van V2 = I x R2 = 0,4 x 25 = 10V. Over R2 wordt dus een vermogen
van P2 = V2 2 /R2 = 100/25 = 4 W omgezet. De spanning over de andere twee
weerstanden is dan nog 6V. Over R1 wordt dan een vermogen van P1 = 36/20 =
1,8W omgezet, en over R3 een vermogen van P3 = 36/60 = 0,6W.
75