Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217) Tentamen ... - ConcepT

1
Kenmerk: TW06/SK/043/kp
Datum: 30-3-2006
Tentamen van Wiskunde B voor CiT (151217)
Tentamen van Statistiek voor BIT (153031)
Donderdag 13 april 2006 van 9.00 tot 12.00 uur
Dit tentamen bestaat uit 7 opgaven, 3 tabellen en 2 formulebladen.
Vermeld ook je studentnummer op je werk en tentamenbriefje.
Opgave 1
In oktober 1994 werd een fout ontdekt in de Pentium microchip van PC’s. De microchip
maakte soms een rekenfout bij een deling van twee getallen. Intel, de fabrikant van de
9
Pentium chip, beweerde aanvankelijk dat zo’n fout slechts optrad in 1 op de 9 * 10
delingen. Voor een gemiddelde gebruiker zou dit neerkomen op eens in de 27000 jaar.
Daarom bood de fabrikant niet meteen aan de chip te vervangen. (Later deed de fabrikant
dit wel.) Neem in de volgende onderdelen aan dat een rekenfout bij een deling optreedt
1
met kans , onafhankelijk van de andere berekeningen.
9
9 * 10
a . Sommige procedures van statistische software pakketten voeren vaak extreem veel
9
delingen uit om de gevraagde output te produceren, 10 delingen in een kort
9
tijdsbestek is niet ongebruikelijk. Laat X het aantal rekenfouten zijn bij 10
delingen. Door welke kansverdeling kan de kansverdeling van X goed
gemodelleerd/benaderd worden? Geef ook de waarde van de bijbehorende parameter.
9
b . Bereken de kans dat bij 10 delingen er tenminste 1 rekenfout optreedt.
Opgave 2
Een kleine brouwerij heeft twee bottelmachines. Machine A vult 75% van de bierflessen
en machine B 25%. Bij machine A wordt 1 op de 400 gevulde flessen afgekeurd en 1 op
de 100 gevulde flessen wordt afgekeurd bij machine B. Beantwoord de volgende vragen
door relevante gebeurtenissen en (voorwaardelijke) kansen te definiëren. Geef ook aan
welke eigenschappen gebruikt worden.
a . Welk percentage gevulde flessen van de brouwerij wordt afgekeurd?
b . Een student opent een fles. Wat is de kans dat machine A deze fles gevuld heeft?
Neem aan dat de fles een willekeurige fles is uit de productie die niet afgekeurd is.
Geef uw antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

Opgave 3
Voor een gepland benzinestation gaat men er vanuit dat de dagelijkse vraag (eenheid:
1000 liter) naar benzine N( 6,
4)
-verdeeld is. Verder neemt men aan dat de vraag voor
verschillende dagen onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn. Het
benzinestation zal eens per week bevoorraad moeten worden. Hoe groot moet de
capaciteit van de tank voor benzine zijn opdat de kans dat de voorraad opraakt (in één
week tijd) 1% is? Geef hierbij een duidelijke afleiding.
Opgave 4
De stochastische variabele X is verdeeld volgens de kansverdeling gegeven door de
2 2
volgende kansdichtheid: f ( x)
= − x als 0 < x < 3,
en f ( x)
= 0 elders.
3 9
Bereken de kans P ( X > 1).
Opgave 5
Onderstaande gegevens betreffen de hoeveelheden (in grammen per mijl) van
milieuverontreinigende stikstofoxiden (NOX), uitgestoten door een aselecte steekproef
van n = 46 vrachtwagens van een bepaald type voor licht gebruik.
NOX-niveaus (reeds geordend)
0.49 0.51 0.57 0.60 0.71 0.72 0.78 0.86 0.95 0.97
1.06 1.08 1.12 1.15 1.16 1.16 1.17 1.20 1.22 1.24
1.26 1.28 1.31 1.31 1.32 1.32 1.33 1.38 1.39 1.44
1.45 1.45 1.47 1.47 1.49 1.51 1.73 1.78 1.79 1.80
1.83 1.87 2.01 2,20 2.27 2.94
steekproefgemiddelde: 1.329
steekproefvariantie: 0.2346
a . Indien we een histogram willen bepalen met 6 klassen en klassengrenzen 0.00, 0.50,
1.00,…,3.00, wat is dan de hoogte van de rechthoek van de klasse met grenzen 0.50 en
1.00? Motiveer uw antwoord.
b . Aannemende dat de normaliteitsveronderstelling voor de NOX-niveaus niet onredelijk
is, bepaal dan het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het verwachte NOX-niveau voor
het bestudeerde type vrachtwagen.
c. Bepaal het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de verdeling
van de NOX-niveaus, (opnieuw) een normale verdeling veronderstellend.
2

Opgave 6
Een standaardgeneesmiddel geneest 70% van de patiënten met een bepaalde hartkwaal.
Een nieuw geneesmiddel voor deze kwaal wordt beproefd op 200 patiënten, in 148
gevallen met succes. Mogen we hieruit concluderen dat het nieuwe middel beter is dan
het standaardmiddel? Voer een toets uit om de vraag te beantwoorden. Neem
onbetrouwbaarheidsdrempel 5% en volg het volgende schema van acht stappen, vermeld
aan het einde van het tentamen.
Opgave 7
Een brandverzekeringsmaatschappij wil het verband vinden tussen het schadebedrag Y (in
duizenden euro's) bij grote branden in een woonwijk en de afstand x (in km) van het
brandende huis tot de dichtstbijzijnde brandweerkazerne. Er wordt een steekproef van 15
recente branden in een grote buitenwijk van een grote stad genomen. De volgende
computer output hebben we verkregen.
Analysis of variance
df SS MS F
Regression 1 841.766358 841.7664 156.8862
Residual 13 69.75097535 5.36546
Total 14 911.5173333
Variables in the equation
B
Standard
Error T
Intercept 10.2779285 1.420277811 7.236562
Afstand 4.91933073 0.392747749 12.52542
Verdere gegevens:
Steekproefgemiddelde van afstand x : 3.280
Steekproefvariantie van afstand x : 2.551
a . Formuleer het model van de enkelvoudige lineaire regressie, in de context van deze
opgave.
b . Bereken de (punt)voorspelling van het schadebedrag bij een grote woningbrand op 3.5
km afstand.
2
c . Bereken R .
d. Bereken het 95%-voorspellingsinterval voor het schadebedrag bij een grote
woningbrand op 3.5 km afstand.
3

Normering.
1a 1b 2a 2b 3 4 5a 5b 5c 6 7a 7b 7c 7d
2 2 2 2 4 2 1 2 3 6 2 1 2 3
Totaal: 34 punten
Schema van acht stappen.
1. Formuleer het kansmodel.
2. Formuleer nulhypothese H 0 en alternatieve hypothese H 1 in termen van de
parameters van het kansmodel.
3. Formuleer een geschikte toetsingsgrootheid in termen van de voorkomende s.v.-en.
4. Geef de kansverdeling van de toetsingsgrootheid onder (het randpunt van) H 0
5. Bereken of geef de waarde van de toetsingsgrootheid.
6. Bepaal de kritieke waarde(n) en geef het kritieke gebied.
of
*
6 . Bereken de overschrijdingskans.
7. Formuleer de conclusie omtrent het al dan niet verwerpen van H0 bij de gegeven
onbetrouwbaarheid(sdrempel).
8. Vermeld de conclusie in “gewone woorden”.
Bijlagen: N( 0,
1)
-tabel, t -tabel,
2
χ -tabel, “Enkele formules” en formuleblad regressie.
4