0pm•Euclides 76/3 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

More documents

Recommendations

Info

n k k 1 114 euclides nr.3 / 2000 Voor de sommatie van de eerste n natuurlijke getallen geldt: n(n 1) 2 n(n 1) 2 invullen voor n k 1 k, en alle termen naar dezelfde kant brengen levert de volgende tweedegraads vergelijking op in de onbekende x: x2 2n2x n3 n(n 1) 2n. 2 x 2 2n 2 x 2n 3 n 2 0 De abc-formule levert twee oplossingen op: x n en x 2n 2 n De eerste oplossing heeft in deze context geen betekenis, maar de tweede oplossing levert ons het bewijs dat er een kwadratenvergelijking bestaat voor elk aantal termen rechts van het gelijkteken. Bijvoorbeeld voor vijf termen rechts moet de beginterm x gelijk zijn aan 55: 55 2 56 2 57 2 58 2 59 2 60 2 61 2 62 2 63 2 64 2 65 2 19855 Opgave 4: Pudding verdelen Er was bijna geen enkele groep die het volle aantal punten behaald had voor deze vraag. Ongeveer de helft van het aantal groepen had wel het volle aantal punten bij vraag a) en b). De oplossing was: A. Deze verdeelregel is niet efficiënt want altijd als P P 1 en P Qw of P Qw , kan de verdeling a b a b voor beide kinderen verbeterd worden door Bart of Ans meer te geven. B. Neem bijvoorbeeld P = #f en P = 1, dan is de a b resulterende verdeling #j voor Ans en $j voor Bart, maar Ans heeft liever $j. C. Als P P 1, dan geef Ans en Bart respectievelijk a b P en P . Anders, geef Ans en Bart respectievelijk a b x min (P , t) en x min (P , t). a a b b Opgave 5: Internet netwerk design Bij deze opgave dachten de meeste groepen wel in de goede richting, maar er was geen enkele groep die de vraag volledig goed beantwoordde. Een mogelijkheid is om het eerst een ondergrens voor het aantal kabels te zoeken. Als we voor iedere gebruiker het maximum van vraag en aanbod nemen, kunnen we de volgende tabel maken: (zie tabel 3). Tabel 3 Instroom Uitstroom Min. Kabels A 4 Gbps 5 Gbps 1 B 6 Gbps 10 Gbps 2 C 13 Gbps 9 Gbps 3 D 4 Gbps 4 Gbps 1 E 6 Gbps 9 Gbps 2 F 7 Gbps 3 Gbps 2 Met een totaal van 1 2 3 1 2 2 11 kabels. Omdat elke kabel twee punten verbindt, zal elke toegelaten oplossing minstens 11/2 = 6 kabels gebruiken. Er is een oplossing met 7 kabels en geen enkele router. Omdat 7 dicht bij de ondergrens ligt, kunnen we er zeker van zijn dat deze oplossing heel dicht bij de optimale oplossing ligt of misschien zelfs wel een optimale oplossing is. De oplossing ziet er dan uit als in figuur 5. Met afgelegde routes per stroom: AEB 3 FEB 1 EFC 3 EF 2 BE 4 AE 2 BC 5 DA 4 CD 4 BEADC 1 FCB 2 EADC 4 CF 5 Vervolg De zevende Mathematische Modelleercompetitie Maastricht zal worden gehouden op zaterdag 20 januari 2001. Men kan zich opgeven bij Karin van den Boorn van het secretariaat Kwantitatieve Economie, Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde, Universiteit Maastricht, Postbus 616, 6200 MD Maastricht (NL), 0(031)43-388 3834 of …3835. Algemene informatie is te verkrijgen bij Dr. Frank Thuijsman van de capaciteitsgroep Wiskunde (…3489) of Prof. Hans Peters van de capaciteitsgroep Kwantitatieve Economie (…3834) en op http://www.math.unimaas.nl/ onder ‘Events’.
M. Riemersma Epsilon Uitgaven, Utrecht, 1994 176 pag.; prijs fl. 37,50; ISBN 90504100383 Iedereen die zich altijd al afgevraagd heeft wat klassieke constructieproblemen met getallen te maken hebben, vindt in dit boek het antwoord op die vraag: algebra. Het is daarom niet verwonderlijk dat in het achttien hoofdstukken tellende boek de eerste vijftien gewijd zijn aan uitleg over allerlei zaken die te maken hebben met getaltheorie. We worden binnengeleid in de grondbeginselen van de elementaire getaltheorie, maar al snel zitten we in de sneltrein langs ringen en lichamen, restklassenlichamen, algebraïsche en transcendente getallen en irreducibiliteitsonderzoek. We eindigen in hoofdstuk vijftien dat de titel ‘Het paradijs van Cantor’ draagt. Nu kunnen potlood, liniaal en passer uit de kast gehaald worden: het construeren kan beginnen. Op een duidelijke manier worden de spelregels daarvan uit de doeken gedaan. Oefeningen te over en ook bewijzen van een en ander komen aan de orde. In hoofdstuk 17 komen we terecht bij het verband tussen constructies en algebra. Hierbij komt veel van de in de eerste vijftien hoofdstukken behandelde stof weer naar voren en dat maakt dit hoofdstuk tot zeker niet de makkelijkste van het boek. In het laatste hoofdstuk van het boek passeren de klassieke constructieproblemen de revue. Eerst komen we de verdubbeling van de kubus tegen. Zijn we hier uit, krijgen we de kwadratuur van de cirkel op ons bord geschoven. Vervolgens kunnen we onze energie kwijt aan de driedeling van een hoek. Als laatste van het hoofdstuk is er nog ruimte voor regelmatige veelhoeken, waarbij we nog even Boekbespreking Algebra, de brug tussen getallen en meetkunde M. Riemersma [Roelof Datema] een uitstapje maken naar de priemgetallen van Fermat. Qua opbouw is het boek erg duidelijk gehouden. Ieder hoofdstuk is rijkelijk geïllustreerd met voorbeelden en opgaven. Definities zijn duidelijk aangegeven en goed onderbouwd en uitgelegd. Ieder hoofdstuk wordt afgesloten met verwerkingsopgaven. Hiervan staan achterin antwoorden met hier en daar een enkele hint om zelf tot de oplossing te komen. Op de achterzijde van het boek wordt als ingangsniveau havo/vwo met wiskunde B en enige kennis van complexe getallen samen met basisbegrippen uit de algebra voldoende geacht. Mijns inziens is dat iets te mager. Je moet erg veel moed en doorzettingsvermogen hebben om dan het hele boek tot een goed einde te brengen. De doelgroep wordt omschreven als studenten aan hogeschool en universiteit en leraren wiskunde. Op zich een goede omschrijving, al moet dit boek zeker niet gezien worden als een boek dat je rustig voor het haardvuur op je vrije zondagmiddag ‘even’ doorleest. 115 euclides nr.3 / 2000
Page 1 and 2: november 2000 ~ nr 3 ~ jaargang 76
Page 3 and 4: 109 Kees Hoogland Van de redactieta
Page 5 and 6: eantwoordt Barbara deze vraag van A
Page 7: Opgave 2: Heimelijk verliefd Op 3 g
Page 11 and 12: J. Grasman Epsilon Uitgaven, Utrech
Page 13 and 14: Tweede Fase[Kees Havo B1 en B12 All
Page 15 and 16: en wiskunde: Alternatieven Een twee
Page 17 and 18: Wintersymposium van het Wiskundig G
Page 19 and 20: vergissing De millenniumkwestie Nu
Page 21 and 22: Zebra 6 [door Frits Beukers] We heb
Page 23 and 24: verdeling gebruik van de tabellen a
Page 25 and 26: J.A. Paulos ‘Wiskunde en de aller
Page 27 and 28: Ook het opdienen van de maaltijd in
Page 29 and 30: praktijk. In heel veel lessen wordt
Page 31 and 32: 40 jaar geleden Aankondiging in Euc
Page 33 and 34: conifeer de bocht gevlogen. ‘Domm
Page 35 and 36: Conferentie ICT in het wiskundeonde
Page 37 and 38: In het speciale nulnummer stond een
Page 39 and 40: Advertentie VU

0pm•Euclides 76/3 - Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?