Het slakkenvermoeden
Het slakkenvermoeden
Het slakkenvermoeden
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Het</strong> <strong>slakkenvermoeden</strong><br />
1 <strong>Het</strong> slakkenprobleem<br />
• De eerste opgave van de wiskunde B-dag 2008 gaat over de beweging<br />
van een speciaal soort slakken : slakken die uit kubusvormige blokjes<br />
bestaan.<br />
De getekende slak bestaat uit 1 + 2 + 1 = 4 blokjes. <strong>Het</strong> meest rechtse<br />
stapeltje noemen we de kop van de slak; het meest linkse de staart. De<br />
lengte van een slak is het aantal stapeltjes en de hoogte van een slak is<br />
het aantal blokjes van de hoogste stapel. De getekende slak is dus een<br />
slak van lengte 3 en hoogte 2.<br />
• We noemen deze slak van het type (4, 3, 2) : 4 blokjes , lengte 3 en<br />
hoogte 2. Algemeen is een slak van het type (M, L, H) als ze bestaat<br />
uit M blokjes, lengte L heeft en een hoogte van H. Merk op dat deze<br />
typering niet eenduidig is want de slak met als staart 2 blokjes, dan<br />
nog 2 blokjes en als kop 3 blokjes en de slak met als staart 1 blokje, dan<br />
3 blokjes en als kop 3 blokjes zijn allebei slakken van het type (7, 3, 3).<br />
1
• In het plaatje zijn ook een start- en finishlijn getekend. De slak gaat<br />
namelijk bewegen. Bij het begin staat de slak met de kop tegen de<br />
startlijn. De beweging van de slak gaat stap voor stap. Een stap<br />
wordt op de volgende manier gezet: van elk stapeltje wordt 1 blokje<br />
weggenomen. Deze blokjes vormen een nieuw stapeltje dat direct voor<br />
de kop wordt gezet. De oorspronkelijke stapeltjes worden daardoor 1<br />
blokje lager en er komt een stapeltje voor met een hoogte die gelijk is<br />
aan het oorspronkelijke aantal stapeltjes. De nieuwe kop is een vakje<br />
verder gekomen; de slak is dus in beweging!<br />
• Omdat een slak tekenen nogal tijdrovend is, gaan we die op een meer<br />
wiskundige manier modeleren. De getekende slak noteren we als (1, 2, 1)<br />
of kortweg 121. De staart staat links ; de slak beweegt zich dus naar<br />
rechts. Rechts van de kop bevindt zich de startlijn en de finishlijn. Dit<br />
kunnen we noteren door 121||.<br />
• De slak kan in de begintoestand ook gaten vertonen. De slak (1, 0, 2, 0, 1)<br />
is ook een slak met 4 blokjes maar ziet er anders uit dan de gegeven<br />
slak. Omdat de slak met de kop tegen de startlijn staat kan het meest<br />
rechtse cijfer nooit 0 zijn.<br />
• De beweging van de slak (1, 2, 1) in deze notatie:<br />
1. De eerste stap : (0, 1, 0, 3). De slak heeft de startlijn overschreden,<br />
maar is er nog niet volledig over. De slak kan ook genoteerd<br />
worden door (1, 0, 3) of 103, want een staart met 0 blokjes kan<br />
worden weggelaten. Als we de start-en finishlijn er bij noteren<br />
wordt dit: 10|3|.<br />
2. De tweede stap : (0, 0, 0, 2, 2). De slak heeft nu volledig de startlijn<br />
overschreden. De verkorte notatie is 22 of met start- en finishlijn<br />
|2|2.<br />
3. De derde stap : (0, 0, 0, 1, 1, 2). Verkort wordt dit 112 of |1|12.<br />
4. De vierde stap : (0, 0, 0, 0, 0, 1, 3) of 13 of ||13. De slak is nu<br />
volledig over de finishlijn.<br />
• We stellen ons volgende onderzoeksvragen :<br />
1. In hoeveel stappen is een slak over de finish?<br />
2. Welke slak is het snelst over de finish?<br />
3. Hoe groot is een slang eenmaal ze over de startlijn is?<br />
4. Welk is de vorm van de slak op de langere duur?<br />
2
2 Hoe snel is de slak over de start- of finishlijn?<br />
• We gaan op verkenning en bestuderen eerst alle slakken bestaande uit<br />
4 blokjes. We veronderstellen dat er geen gaten in de slak zitten. Hiervoor<br />
zoeken we alle partities van het getal 4: dit zijn alle mogelijkheden<br />
om 4 te schrijven als som van natuurlijke getallen:<br />
4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 2 + 2 = 1 + 3 = 0 + 4.<br />
Dit geeft de slakken 1111, 112, 121, 211, 22, 13, 31, 4.<br />
• Hoe snel zijn deze slakken over de finishlijn?<br />
1111|| ⇒ |4| ⇒ |3|1 ⇒ |2|02 ⇒ |1|012 ⇒ ||13: 5 stappen.<br />
112|| ⇒ 1|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.<br />
121|| ⇒ 10|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.<br />
211|| ⇒ 100|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.<br />
22|| ⇒ 11|2| ⇒ |1|3 ⇒ ||22 : 3 stappen.<br />
13|| ⇒ 2|2| ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 3 stappen.<br />
31|| ⇒ 20|2| ⇒ 10|1|2 ⇒ ||13 : 3 stappen.<br />
4|| ⇒ 3|1| ⇒ 2|0|2 ⇒ 1|0|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.<br />
Noteren we S als het aantal stappen die de slak nodig heeft om over<br />
de finish te geraken.<br />
slak type S<br />
1111 (4, 4, 1) 5<br />
112 (4, 3, 2) 4<br />
121 (4, 3, 2) 4<br />
211 (4, 3, 2) 4<br />
22 (4, 2, 2) 3<br />
13 (4, 2, 3) 3<br />
31 (4, 2, 3) 3<br />
4 (4, 1, 4) 4<br />
• We herhalen ons onderzoek voor alle slakken met 5 blokjes.<br />
We onderzoeken de partities van 5. We kunnen 5 schrijven als<br />
1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+2+2 = 1+1+3 = 1+4 = 2+3 = 0+5.<br />
Dit geeft de slakken :<br />
11111, 1112, 1121, 1211, 2111, 122, 212, 221, 113, 131, 311, 14, 41, 23, 32, 5<br />
3
• Samengevat :<br />
slak type S<br />
11111 (5, 5, 1) 6<br />
1112 (5, 4, 2) 5<br />
1121 (5, 4, 2) 5<br />
1211 (5, 4, 2) 5<br />
2111 (5, 4, 2) 5<br />
122 (5, 3, 2) 4<br />
212 (5, 3, 2) 4<br />
221 (5, 3, 2) 4<br />
113 (5, 3, 3) 4<br />
131 (5, 3, 3) 4<br />
311 (5, 3, 3) 4<br />
14 (5, 2, 4) 4<br />
41 (5, 2, 4) 4<br />
23 (5, 2, 3) 3<br />
32 (5, 2, 3) 3<br />
5 (5, 1, 5) 5<br />
• Welke vermoedens kunnen we hieruit opmaken?<br />
1. De horizontale slak doet er het langst over. <strong>Het</strong> aantal stappen<br />
om over de finishlijn te geraken is 1 meer dan de lengte en dus het<br />
aantal blokjes van de slak.<br />
2. De vertikale slak doet het niet veel beter. Zij doet er evenlang<br />
over als het aantal blokjes.<br />
3. Slakken uit de zelfde partitie reageren even snel.<br />
4. Compacte slakken gaan het snelst.<br />
5. Als L ≥ H dan is S = L + 1; anders is S = H.<br />
• Alle partities blijven opschrijven en dan de bijhorende slakken bestuderen<br />
is veel te tijdrovend. We hebben nood aan een aantal algemene<br />
resultaten.<br />
• Stelling 2.1 Als de slak van het type (M, M, 1) is, dan is S = M + 1<br />
Bij de eerste stap worden alle blokjes weggenomen en op 1 stapel gezet<br />
tussen start- en finishlijn. Dan heb je nog M stappen nodig om de slak<br />
over de finishlijn te krijgen. samen dus M + 1 stappen.<br />
4
• Stelling 2.2 Als de slak van het type (M, 1, M) is, dan is S = M<br />
Na 1 stap is de stapel met 1 blokje verminderd en staat er 1 blokje<br />
tussen start-en finishlijn. Elke volgende stap wordt de eerste stapel met<br />
1 verminderd en staat er niets meer tussen de start-en finishlijn. Je<br />
hebt dus in het totaal M stappen nodig om de slak over de finishlijn te<br />
krijgen.<br />
• Stelling 2.3 Als de slak van het type (M, L, H) is, dan is<br />
S = max(L, H − 1) + 1<br />
Na 1 stap is het deel voor de startlijn nog H −1 blokjes hoog. Tussen de<br />
start-en finishlijn staat dan een stapel van L blokjes. Om dit geheel over<br />
de finishlijn te krijgen zijn L of H − 1 stappen nodig, naargelang welk<br />
van de twee het grootst is. Dus zijn er in het totaal 1 + max(L, H − 1)<br />
stappen nodig.<br />
• Stelling 2.4 Slakken van hetzelfde type gaan even snel.<br />
Vermits het aantal stappen om over de finishlijn enkel afhangt van L<br />
en H is dit vanzelfsprekend.<br />
• Stelling 2.5 Als M = n 2 , dan is S = n + 1. Een slak die er zo snel<br />
over doet is de vierkante slak van het type (M, n, n).<br />
Vermits voor deze slak L = H = n, is het aantal stappen nodig om<br />
over de finishlijn te geraken gelijk aan S = 1 + max(n, n − 1) = n + 1.<br />
Voor elke andere slak is ofwel L > n > H ofwel H > n ≥ L. In het<br />
eerste geval zou de slak er dan S > 1 + n stappen over doen en in het<br />
tweede geval S ≥ 1+n+1−1 = n+1. Niemand doet het dus sneller dan<br />
de vierkante slak. Er kunnen wel slakken zijn die het evensnel doen.<br />
Bijvoorbeeld de slak 19999999 van het type (64, 8, 9) doet er even snel<br />
over als de vierkante slak 88888888 van het type (64, 8, 8).<br />
• Stelling 2.6 Als M geen kwadraat is, dan<br />
is S = n + 1 met n het<br />
kleinste gehele getal groter of gelijk aan M + 1 1 − 4 2 .<br />
Voor elke M bestaat er een n zodat n(n−1) < M ≤ n(n+1). Neem een<br />
rechthoek van n bij n + 1. Zet de rechthoek met de n- kant op de grond<br />
voor de startlijn. Pas de M blokjes er in. Benodigde stappen om over de<br />
finishlijn te geraken: n+1. Want ofwel is L = n ofwel is H = n+1. Als<br />
L < n en H < n+1 dan kunnen de M blokjes in een (n−1)×n rechthoek<br />
5
geplaatst worden , wat tegen de gegeven veronderstelling is. Omdat<br />
M ≤ n(n + 1) ⇒ M + 1<br />
4 ≤ n2 + n + 1<br />
4<br />
Hieruit volgt het gestelde.<br />
= (n + 1<br />
2 )2 ⇒<br />
<br />
M + 1 1 − 4 2<br />
≤ n.<br />
• Als een slak eenmaal in beweging is, wordt het aantal vormen dat<br />
een slak kan aannemen beperkt. Zo kan een slak wel de vorm 44444<br />
aannemen maar niet 444444. Want de laatste 4 geeft het aantal stapels<br />
van de vorige fase aan. Voor de eerste slak kan dat dan enkel 5555 zijn.<br />
Voor de tweede slak zouden er ook 4 stapels moeten geweest zijn maar<br />
er 6 stapels en de slak wordt per stap hoogstens 1 vakje langer. Dus<br />
444444 kan nooit ontstaan zijn uit een voorgaande.<br />
Een ander voorbeeld : 333 komt bijvoorbeeld van 144 en die komt<br />
bijvoorbeeld van 1125. Dit zou kunnen komen van 11223 maar deze<br />
heeft geen voorloper !<br />
• Stelling 2.7 Als de slak geheel over de startlijn is ( en dat is zeker zo<br />
na M stappen), is de lengte van de slak beperkt. De slak is dan nooit<br />
langer dan M vakjes<br />
Stel dat de slak de startlijn is gepasseerd en kijk dan naar de staart.<br />
Daar staan b blokjes met 1 ≤ b ≤ M. De resterende M − b blokjes<br />
staan er voor. Deze blokjes zijn daar gekomen door het stappen van de<br />
slak. Er kunnen echter maximaal M − b stappen gedaan zijn om die<br />
blokjes voor de huidige staart te brengen en de slak is op dit moment<br />
dus hooguit M − b + 1 vakjes lang. <strong>Het</strong> maximum hiervan wordt bereikt<br />
als b = 1; dus is de slak hooguit M vakjes lang.<br />
6
3 Op de lange duur...<br />
• We richten het onderzoek nu op de ontwikkeling van de vorm van een<br />
slak op de langere duur. In de notatie van de slak kunnen we nu de<br />
start-en finishlijn weglaten. We gaan eerst wat experimenteren. We<br />
gaan de gevallen M = 3, 4, 5, 6, 7, 8 bestuderen en houden er rekening<br />
mee dat de volgorde van de stapeltjes er voor de start niet toe doet.<br />
• Voor m = 3 heb je enkel de slakken 111, 12 en 3. Dit geeft :<br />
slak type evolutie<br />
111 (3, 3, 1) 3 → 21 → 102 → 12<br />
12 (3, 2, 2) 12<br />
3 (3, 1, 3) 21 → 102 → 12<br />
De slak 12 blijft steeds hetzelfde . We spreken van een stabiele toestand.<br />
De andere slakken evolueren naar 12 en blijven die vorm aanhouden.<br />
Deze slakken zijn op den duur stabiel.<br />
• Voor m = 4 heb je enkel de slakken 1111, 112, 13, 22 en 4. Dit geeft :<br />
slak type evolutie<br />
1111 (4, 4, 1) 4 → 31 → 202 → 1012 → 13 → 22 → 112 → 13<br />
112 (4, 3, 2) 13 → 22 → 112<br />
13 (4, 2, 3) 22 → 112 → 13<br />
22 (4, 2, 2) 112 → 13 → 22<br />
4 (4, 1, 4) 31 → 202 → 1012 → 13 → 22 → 112 → 13<br />
We noemen de slak 22 periodiek. De lengte van de periode is 3. De<br />
slakken 112 en 13 zijn ook periodieke slakken met periode gelijk aan<br />
3. Ook slak 4 komt na een tijdje op een patroonsherhaling uit. De<br />
beginvorm 4 komt echter niet meer terug. We zeggen dat zo’n slak op<br />
den duur periodiek is. Wanneer de periode optreedt is afhankelijk van<br />
de slak. De lengte van de periode is ook hier 3. De slak 1111 is ook op<br />
den duur periodiek.<br />
• Voor m = 5 heb je enkel de slakken 11111,1112 113, 122, 14,23 en 5.<br />
Dit geeft :<br />
7
slak type evolutie<br />
11111 (5, 5, 1) 5 → 41 → 302 → 2012 → 10013 → 23 → 122 → 113 → 23<br />
1112 (5, 4, 2) 14 → 32 → 212 → 1013 → 23 → 122 → 113 → 23<br />
113 (5, 3, 3) 23 → 122 → 113<br />
122 (5, 3, 2) 113 → 23 → 122 → 113<br />
14 (5, 2, 4) 32 → 212 → 1013 → 23 → 122 → 113 → 23<br />
23 (5, 2, 3) 122 → 113 → 23<br />
5 (5, 1, 5) 41 → 302 → 2012 → 10013 → 23 → 122 → 113 → 23<br />
Alle slakken zijn periodiek of op den duur periodiek. Alles loopt uit<br />
op 122, 113, 23. De lengte van de periode is 3. Wanneer de periode<br />
optreedt is afhankelijk van de slak.<br />
• Bij M = 6 krijg je ofwel een stabiele slak ofwel een slak die op de lange<br />
duur stabiel is. Je komt altijd uit op 123. Bij M = 7 loopt alles uit op<br />
1123, 124, 133, 223 ( een periode van lengte 4) en bij M = 8 zijn er zelfs<br />
twee cyclussen mogelijk 1223, 1124, 134, 233, van lengte 4 en 1133, 224<br />
van lengte 2.<br />
• Welke vermoedens kunnen we uit dit onderzoek opmaken? Wat valt er<br />
nog te onderzoeken?<br />
1. Sommige slakken zijn stabiel of evolueren naar een stabiele<br />
toestand. Welke slakken zijn dat?<br />
2. Sommige slakken zijn periodiek of evolueren naar een periodieke<br />
toestand. Wanneer die periode bereikt wordt verschilt van slak<br />
tot slak. Kunnen we dat moment bepalen?<br />
3. Voor een zelfde M kan de periode verschillen. Weten we iets over<br />
de lengte van de periode?<br />
4. Elke slak is op de lange duur ofwel stabiel ofwel periodisch.<br />
Kunnen we deze vermoedens nu ook omzetten in stellingen?<br />
• We beschrijven enkele nieuwe begrippen om de redenering beter te kunnen<br />
voeren. Een driehoeksgetal is een getal dat te schrijven is onder de<br />
vorm 1 + 2 + 3 + · · · + n. Zo zijn 3 = 1 + 2 en 6 = 1 + 2 + 3 driehoeksgetallen.<br />
Een slak als 123 heeft, wat we noemen, een driehoeksvorm. We<br />
spreken van een driehoekslak.<br />
8
• Als M geen driehoeksgetal is dan ligt het wel tussen twee opeenvolgende<br />
driehoeksgetallen : a < M < b. We bekijken vormen van M blokjes<br />
waarvoor geldt: de driehoeksvorm met a blokjes past er helemaal in,<br />
en de driehoeksvorm met b blokjes is omvattend. Zo’n vorm noemen<br />
we een kamvorm. In onderstaand voorbeeld met M = 18 heeft de grijs<br />
getekende slak een kamvorm met a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15( witte<br />
driehoek) en b = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 (zwarte driehoek). De drie<br />
blokjes die tussen de kleinere en de grotere driehoek ingeklemd zijn ,<br />
heten de kam.<br />
• Stelling 3.1 Elke slak is op de lange duur periodiek.<br />
Eenmaal over de startlijn kan de slak in alle algemeenheid maar een<br />
eindig aantal vormen aannemen, want de slak kan nooit langer zijn dan<br />
M stapels. De slak kan dus maximaal evenveel vormen aannemen als<br />
er verschillende manieren zijn waarop M gelijke blokjes over M stapels<br />
verdeeld kunnen worden. Dit kan op K = (2M−1)!<br />
M!.(M−1)!<br />
manieren. De slak<br />
neemt dus zeker een eerder voorgekomen vorm aan; op dat moment is<br />
de eerste cyclus een feit, en is het gedrag een herhaling van deze cyclus.<br />
Dit bewijs geeft wel aan dat er een periode moet zijn en begrenst met<br />
deze getallen K ook heel grof het moment waarop die periode optreedt.<br />
<strong>Het</strong> feitelijk bereiken van de periodiciteit gebeurt in het algemeen veel<br />
sneller dan deze getallen aangeven. Enkele waarden voor K :<br />
M K M K M K<br />
2 3 5 126 8 6435<br />
3 10 6 462 9 24310<br />
4 35 7 1716 10 92378<br />
9
• Stelling 3.2 Elke driehoekslak is stabiel<br />
Een driehoekslak is van de vorm 123...k. Na 1 stap heeft de kop k<br />
blokjes en heeft elk stapeltje 1 blokje minder. Dus is de vorm weer<br />
123...k. De slak is dus stabiel.<br />
<strong>Het</strong> aantal blokjes M van een driehoekslak is steeds een driehoeksgetal.<br />
voor een zekere k.<br />
Dan is M = k(k+1)<br />
2<br />
• Stelling 3.3 De enige stabiele slak is de driehoekslak<br />
Laat a1a2 · · · ak de stabiele vorm zijn met a1 = 0. Geen van de getallen<br />
ai kan 0 zijn. Bovendien moet a1 = 1, want als a1 > 1, dan is de<br />
slak bij de volgende stap een vakje langer en dus niet stabiel. Verder<br />
is aj−1 = aj − 1 voor j = 2, · · · , k. Omdat er geen nulstapeltjes zijn,<br />
ontstaan al de niet-kop stapeltjes door het weghalen van 1 blokje en 1<br />
vakje naar links te schuiven. Dit definieert precies de driehoeksvorm,<br />
ook wel genoteerd door ∆k.<br />
• Tot nu toe heb je de slakken bekeken als echte stapeltjes blokken<br />
en ook als rijtjes getallen. Waarschijnlijk heb je bij de stappen de<br />
meest gemakkelijke weg gevolgd: van elk stapeltje het bovenste blokje<br />
weghalen en die voor de slak opstapelen.<br />
Minder gemakkelijk in het echt uit te voeren, maar op papier wel<br />
voorstelbaar: haal van elke stapel het onderste blokje weg en zet die<br />
in dezelfde volgorde voor de slak. Dit geeft natuurlijk precies hetzelfde<br />
resultaat!<br />
<strong>Het</strong> voordeel van deze manier van werken is dat het mogelijk wordt<br />
om de gang van een individueel blokje te volgen bij de opeenvolgende<br />
stappen.<br />
Als voorbeeld zie je nu een slak met blokjes waarop letters zijn geplakt.<br />
De onderste rij blokjes wordt verwijderd en aan de voorkant rechtop<br />
gezet. Alle blokjes (behalve M) hebben na deze stap een andere positie<br />
in de slak. De onderste rij (R PONM) komt vooraan rechtop te staan.<br />
Alle andere blokjes schuiven een positie naar links en naar onder. Voor<br />
F is dat nog even apart aangegeven.<br />
10
• In deze voorstelling gaan we er dus vanuit dat de kop van de slak op<br />
dezelfde plaats blijft. We werken nu verder met coördinaten voor de<br />
posities van de blokjes. Dit is niet per se noodzakelijk, maar wel heel<br />
handig! <strong>Het</strong> onderste blokje van de kop heeft in dit verhaal positie<br />
(1, 1). Een blokje heeft op grondvakje i bijvoorbeeld hoogte j. De<br />
positie is dan (i, j) zoals hier aangegeven:<br />
<strong>Het</strong> blokje Z heeft positie (2, 5) en gaat bij de volgende stap naar positie<br />
(3, 4). De bewegingsregels voor de blokjes zijn nu deze:<br />
11
1. Als een blokje zich op positie (i, j) bevindt en j > 1, dan gaat het<br />
blokje op de volgende stap naar positie (i + 1, j − 1).<br />
2. Als een blokje zich op positie (i, 1) bevindt, dan gaat het blokje op<br />
de volgende stap naar (1, i ∗ ) waarbij i ∗ ≤ i. <strong>Het</strong> gelijkteken geldt<br />
alleen als op elk van de grondposities (i − 1, 1), (i − 2, 1), ...(1, 1)<br />
een blokje staat.<br />
Samengevat: de som van de coördinaten van het blokje (de waarde van<br />
i + j ) blijft constant als j > 1, en kan alleen dalen als j = 1, dwz. op<br />
het moment dat het blokje van grondblokje naar kopblokje overgaat.<br />
<strong>Het</strong> blokje Z in de voorgaande figuur heeft een vaste waarde voor i + j,<br />
namelijk 7, zolang het blokje niet van grond naar kop gaat.<br />
De mogelijke posities voor i + j = 7 vormen een schuine lijn. Door<br />
naar andere mogelijke waarden voor i + j te kijken, delen we de slak<br />
(of de ruimte waarin de slak leeft)in schuine lagen in. In onderstaande<br />
illustratie zijn enkele van die lagen aangegeven. <strong>Het</strong> kortste en laagste<br />
laagje is 1 vakje groot en heeft (i + j) waarde 2 bij zich.<br />
<strong>Het</strong> bewegingsgedrag van een blokje kan nu zo beschreven worden: elk<br />
blokje doorloopt van boven naar beneden de laag waar het in zit en<br />
begint dan aan het begin van dezelfde of een lagere laag.<br />
• Stelling 3.4 Is een slak in kamvorm, met kern ∆k voor een zekere k,<br />
dan blijft de slak in kamvorm, met dezelfde k-waarde.<br />
Omdat alle laagjes van de kerndriehoek ∆k gevuld zijn, kan er bij een<br />
slak in kamvorm nooit een blokje dat in deze driehoek zit naar een lagere<br />
laag gaan. De blokjes in deze lagen keren dus steeds in hun eigen laag<br />
terug. De kern ∆k is dus stabiel. De blokjes die in de laag met waarde<br />
k+2 zitten, dus juist een laag boven de driehoek zelf, blijven ook in hun<br />
12
eigen laag omdat alle grondposities bezet zijn. Kortom: kamvorm blijft<br />
kamvorm.<br />
• Stelling 3.5 De kam zelf, die bestaat uit r blokjes met r < k+1, maakt<br />
een cyclische beweging over de k + 1 vakjes vanaf de kop.<br />
Elke blokje van de kam schuift door de hele kamlaag en begint weer<br />
vooraan. <strong>Het</strong> patroon in de beweging van de kam is dus cyclisch, het<br />
wordt herhaald na k + 1 stappen.<br />
Omdat er na k + 1 stappen dus herhaling optreedt, is de periode altijd<br />
een deler van k + 1.<br />
Hieruit volgt nog dat het niet zo is, dat de periode alleen afhangt van<br />
het aantal blokjes M! Dat is een weliswaar een voor de hand liggend<br />
vermoeden, maar we weten nu waar we de tegenvoorbeelden moeten<br />
zoeken: bij de getallen M met een k waarbij k + 1 geen priemgetal<br />
is. De eerste waarde van k waarbij dat mogelijk is, is k = 3. Bij<br />
M = 8 zijn twee kamvormen mogelijk; hier is k = 3 en r = 2. De<br />
twee kamblokjes lopen cyclisch over de kam van lengte 4. De twee<br />
mogelijkheden starten bijvoorbeeld met aaneengesloten kamblokjes of<br />
kamblokjes met steeds een gaatje ertussen: 1223 en 1133. Hier zijn<br />
de kammen zelf: 1100 en 1010. De eerste slak heeft periode 4 en de<br />
tweede slak heeft periode 2. We vinden dus voor eenzelfde waarde van<br />
M slakken met een verschillende periode.<br />
Maar het is ook zo dat niet met elke deler d van k + 1 er een slak met<br />
periode d bestaat. Voor de slak 223 van type (7, 3, 3) is k + 1 = 4 en er<br />
geen slak met M = 7 die periode 2 heeft. Nochtans is 2 een deler van<br />
k + 1.<br />
• Stelling 3.6 Elke slak komt uiteindelijk in een een stabiele vorm of<br />
kamvorm terecht.<br />
Als de slak periodiek is geworden, kan nooit meer een blokje bij de<br />
grond-naar-kop overgang van zijn eigen laag naar een lagere laag gaan,<br />
omdat dat dan oneindig vak zou moeten gebeuren, terwijl alle blokjes<br />
nooit lager komen dan in de laag van het blokje op positie (1, 1).<br />
Dus: elke blokje blijft in het periodiek deel van het slakkenleven altijd in<br />
dezelfde laag. Veronderstel nu dat er een laag is, die niet geheel gevuld<br />
is en daar direct boven nog een laag waarin minstens 1 blokje in zit.<br />
Als we bewezen hebben dat dit niet mogelijk is in de periodieke toestand,<br />
dan zijn we klaar; want als dit geval is uitgesloten, zijn alle onderste<br />
lagen van de slak vol en er is slechts een toplaag die eventueel niet vol<br />
13
is: de stabiele driehoeksvorm of eventueel de kamvorm is een feit.<br />
Welnu, de laag met het gat heeft een lengte en dus periode van zeg h<br />
en de laag erboven met het blokje dus een lengte en periode van h + 1.<br />
Vanwege het beschreven gedrag van de blokjes in een laag, beweegt ook<br />
het gat cyclisch door de laag waar het in zit, maar met periode h, het<br />
aantal vakjes van die laag. Gevolg is dat het gat per ronde 1 vakje inloopt<br />
op het blokje in de laag erboven. Er komt dus zeker een moment<br />
dat blokje en gat tegelijk op de grondverdieping van de slak zijn. Dan<br />
valt het blokje bij de grond-kopovergang in het gat. Precies dat kon in<br />
de periodieke staat van de slak echter niet gebeuren: de veronderstelling<br />
van zoëven kan niet optreden en de slak heeft dus in de periodieke staat<br />
zeker een kamvorm.<br />
• Uit deze stelling volgen vanzelfsprekend volgende twee resultaten :<br />
Stelling 3.7 Een slak met M = ∆k is op den duur stabiel.<br />
Stelling 3.8 Een slak met ∆k+1 < M < ∆k is op den duur periodisch<br />
met periode een deler van k + 1.<br />
• In het voorgaande is bewezen dat het op-den-duur gedrag van de slak<br />
door de kamvormstructuur en bijhorende periodiciteit kan worden beschreven.<br />
<strong>Het</strong> is ook gemakkelijk nu vanuit het blokkenaantal M de<br />
juiste waarde van k te bepalen en daarom een indicatie van de periode:<br />
deler van k + 1. Wat we niet weten is :<br />
– Hoe uit een gegeven startsituatie de precieze kamvorm snel kan<br />
worden voorspeld.<br />
– Hoelang vanaf de start het duurt voor de periodiciteit bereikt<br />
wordt.<br />
De antwoorden op die vragen voor een specifieke startvorm van de<br />
slak zijn alleen door uitvoeren van de slakkegang te bepalen. Voor de<br />
hoeveelheid stappen die nodig is om de periodieke staat te bereiken,<br />
hebben we alleen een heel ruwe schatting, gebaseerd op de getallen<br />
K = (2M−1)!<br />
M!.(M−1)! .<br />
• We passen vorige resultaten toe op een paar voorbeelden :<br />
1. M = 1<br />
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 1.<br />
14
2. M = 2<br />
k = 1 en r = 1. Er zijn 2 kamvormen 11 en 2. De periode is altijd<br />
gelijk aan 2.<br />
3. M = 3<br />
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 12 en de andere<br />
slakken zijn op de lange duur stabiel.<br />
4. M = 4<br />
k = 2 en r = 1. Er zijn 3 mogelijke kammen : 100, 010 of 001. Alle<br />
slakken komen terecht in de kamvorm 112, 22 of 13. De periode<br />
is altijd 3.<br />
5. M = 5<br />
k = 2 en r = 2. Er zijn 3 mogelijke kammen : 110, 101 of 011. Alle<br />
slakken komen terecht in de kamvorm 122, 113 of 23. De periode<br />
is altijd 3.<br />
6. M = 6<br />
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 123 en de andere<br />
slakken zijn op de lange duur stabiel.<br />
7. M = 7<br />
k = 3 en r = 1. Er zijn 4 mogelijke kammen : 1000, 0100, 0010 of<br />
0001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1123, 223, 133<br />
of 124. De periode is altijd 4. Alhoewel de periode een deler moet<br />
zijn van 4 is er geen slak met periode 2.<br />
8. M = 8<br />
k = 3 en r = 2. Er zijn 6 mogelijke kammen : 1100, 0110, 1010, 1001,<br />
0101 of 0011. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1223, 233,<br />
1133, 1124, 224 of 134. De periode een deler moet zijn van 4 . De<br />
slakken die terecht komen in 1133 of 224 hebben periode 2 , al de<br />
andere hebben periode 4.<br />
9. M = 9<br />
k = 3 en r = 3. Er zijn 4 mogelijke kammen : 1110, 1101, 1011<br />
of 0111. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1233, 1224 ,<br />
1134 of 234. De periode is altijd 4. Alhoewel de periode een deler<br />
moet zijn van 4 is er geen slak met periode 2.<br />
10. M = 10<br />
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 1234 en de andere<br />
slakken zijn op de lange duur stabiel.<br />
11. M = 11<br />
k = 4 en r = 1. Er zijn 5 mogelijke kammen : 10000, 01000, 00100,<br />
15
00010 of 00001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 11234,<br />
2234, 1334, 1244 of 1235. De periode is altijd 5.<br />
12. M = 12<br />
k = 4 en r = 2. Er zijn 10 mogelijke kammen : 11000, 01100, 00110,<br />
00011, 10100, 10010, 10001, 00101, 01010 of 01001. Alle slakken komen<br />
terecht in de kamvorm 12234, 2334, 1344, 1245, 11334, 11244,<br />
11235, 1335, 2244 of 2235. De periode is altijd 5.<br />
13. M = 13<br />
k = 4 en r = 3. Er zijn 10 mogelijke kammen : 00111, 10011, 11001,<br />
11100, 01011, 01101, 01110, 11010, 10101 of 10110. Alle slakken komen<br />
terecht in de kamvorm 1345, 11245, 12235, 12334, 2245, 2335,<br />
2344, 12244, 11335 of 11344. De periode is altijd 5.<br />
14. M = 14<br />
k = 4 en r = 4. Er zijn 5 mogelijke kammen : 01111, 10111, 11011, 11101<br />
of 11110. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 2345, 11345,<br />
12245, 12335 of 12344. De periode is altijd 5.<br />
15. M = 15<br />
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 12345 en de andere<br />
slakken zijn op de lange duur stabiel.<br />
16. M = 16<br />
k = 5 en r = 1. Er zijn 6 mogelijke kammen : 100000, 010000, 001000,<br />
000100, 000010 of 000001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm<br />
112345, 22345, 13345, 12445, 12355 of 12346. De periode is altijd<br />
6.<br />
17. M = 17<br />
k = 5 en r = 2. Er zijn 15 mogelijke kammen : 110000, 101000, 100100,<br />
100010, 100001, 011000, 010100, 010010, 010001, 001100, 001010, 001001,<br />
000110, 000101 en 000011. Alle slakken komen terecht in de kamvorm<br />
122345, 113345, 112445, 112355, 112346, 23345, 22445, 22355,<br />
22346, 13445, 13355, 13346,12455, 12446 en 12356. De periode een<br />
deler moet zijn van 6 . De slakken die terecht komen in 112445,<br />
22355 of 13346 hebben periode 3 , al de andere hebben periode 6.<br />
• In deze voorbeelden hebben we nog een aantal merkwaardigheden ontdekt.<br />
Kunnen die ook algemeen in een stelling worden gegoten? In de<br />
onderstaande stellingen veronderstellen we dat M geen driehoeksgetal<br />
is.<br />
16
• Stelling 3.9 <strong>Het</strong> aantal kamvormen dat een slak van M blokjes en<br />
kern ∆k kan aannemen is C r k+1 =<br />
het aantal elementen op de kam.<br />
(k + 1)!<br />
r!.(k + 1 − r)!<br />
met r = M − k(k+1)<br />
2<br />
Als er r elementen in de kam zitten en er zijn k + 1 plaatsen dan<br />
kunnen die op Cr k+1 manieren geplaatst worden.<br />
<strong>Het</strong> aantal mogelijke kamvormen van een slak van M blokjes kan dus<br />
worden teruggevonden in de driehoek van Pascal.<br />
• <strong>Het</strong> probleem van het bepalen van de periode is eigenlijk het plaatsen<br />
van r elementen 1 in een rij van k+1 elmenten zodanig dat door cyclisch<br />
te permuteren de rij overgaat in zichzelf. Een voorbeeld : 1001 heeft 4<br />
verplaatsingen nodig om terug in dezelfde positie te komen, maar 1010<br />
heeft maar 2 verplaatsingen nodig<br />
Stelling 3.10 Een slak van M blokjes en kern ∆k heeft als periode<br />
het aantal elementen op de kam.<br />
k + 1 of k+1<br />
ggd(r,k+1)<br />
met r = M − k(k+1)<br />
2<br />
Uit vroegere resultaten weten we dat de periode een deler moet zijn<br />
van k + 1. Als r onderling ondeelbaar is met k + 1, dan gaan we zeker<br />
k + 1 verplaatsingen nodig hebben. De periode is dan steeds k + 1. Een<br />
voorbeeld : als we de r enen vooraanzetten, gevolgd door k + 1 − r<br />
nullen.<br />
Als ggd(r, k + 1) = d = 1 verdelen we de k + 1 plaatsen in d groepjes<br />
van r<br />
d<br />
k+1<br />
k+1−r<br />
enen gevolgd door d nullen. <strong>Het</strong> patroon herhaalt zich na<br />
. Ook andere slakken<br />
stappen. Er is dus een slak met periode d k+1<br />
d<br />
kunnen die periode hebben. Maar er is geen enkele slak die een periode<br />
heeft verschillend van k + 1 of k+1<br />
d .<br />
17