CEVA-DRIEHOEKEN

CEVA-DRIEHOEKEN
Eindwerk wiskunde 2010
Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi
Soetemans Dokus

HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
2

HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
Inhoud
1. Inleiding .............................................................................................................................................................. 4
1.1. Info over Giovanni Ceva ............................................................................................................................. 4
1.2. Wat zijn Ceva-driehoeken? ........................................................................................................................ 4
1.3. Enkele voorbeelden ................................................................................................................................... 4
1.3.1. P buiten de driehoek? ........................................................................................................................ 4
1.4. In dit werk .................................................................................................................................................. 6
2. Onderzoek .......................................................................................................................................................... 7
2.1. P in zwaartepunt ........................................................................................................................................ 7
2.1.1. Willekeurige driehoek ........................................................................................................................ 7
2.2. P in hoogtepunt .......................................................................................................................................... 9
2.2.1. Gelijkzijdige driehoek ......................................................................................................................... 9
2.2.2. Gelijkbenige driehoek ........................................................................................................................ 9
2.2.3. Rechthoekige driehoek .................................................................................................................... 12
2.2.4. Willekeurige driehoek ...................................................................................................................... 12
2.3. P in deelpunt ............................................................................................................................................ 13
2.3.1. Gelijkzijdige driehoek ....................................................................................................................... 13
2.3.2. Gelijkbenige driehoek ...................................................................................................................... 13
2.3.3. Rechthoekige driehoek .................................................................................................................... 15
2.3.4. Willekeurige driehoek ...................................................................................................................... 15
3. De stelling van Ceva ......................................................................................................................................... 16
3.1. Stelling van Ceva ...................................................................................................................................... 16
3.2. Bewijs van de stelling van Ceva................................................................................................................ 16
3.2.1. Bewijs in één richting ....................................................................................................................... 16
3.2.2. Bewijs in de andere richting ............................................................................................................. 18
3

1. Inleiding
HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
1.1. Info over Giovanni Ceva
Giovanni Ceva was een Italiaans wiskundige uit de 17 e eeuw. Hij werd geboren in 1647 te Milaan en
werd alom bekend door zijn beroemde stelling, namelijk de stelling van Ceva. Hij kreeg zijn
opleiding in een Jezuïeten klooster en studeerde later af aan de universiteit van Pisa. Uiteindelijk
werd hij professor aan de universiteit van Mantua, waar hij de rest van zijn leven zou werken. Ceva
bestudeerde meetkunde voor het grootste deel van zijn leven. Naast de stelling van Ceva,
herontdekte en publiceerde hij ook de stelling van Menelaos. Uiteindelijk stierf hij ten gevolge van
een hartkwaal in 1734.
1.2. Wat zijn Ceva-driehoeken?
De Ceva-driehoek van een willekeurig punt P ten opzichte van een driehoek ABC is de driehoek
gevormd door de snijpunten van de lijnen door P en de hoekpunten van ABC met de zijden van ABC.
ABC noemen we de basisdriehoek
1.3. Enkele voorbeelden
In driehoek ABC ligt punt P, de snijpunten D,E en
F van de rechten e, f en d met de zijden van de
driehoek ABC, vormen een nieuwe driehoek, dit
is de Ceva-driehoek van ABC met punt P.
1.3.1. P buiten de driehoek?
Wat nu als P buiten de driehoek ligt? Ook hier passen we dezelfde regels toe, met dit verschil, dat
we voor de snijpunten met de zijden van driehoek ABC, nu de rechten gaan nemen, gedragen door
de zijden van de driehoek ABC.
e
d
D
f
4

HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
1.3.1.1. Enkele voorbeelden
Neem het punt P buiten de driehoek ABC en pas de werkwijze toe. Het snijpunt van AP met BC is F.
Het snijpunt van CP met AB is D; en het snijpunt van BP met AC is E. DEF is nu de Ceva-driehoek van
ABC met P.
Ceva-driehoeken volledig buiten de basisdriehoek
Ceva-driehoek gedeeltelijk binnen de basisdriehoek
Er zijn gevallen waar de Ceva-driehoek
niet bestaat. Dit is namelijk zo als P
zodanig gekozen is dat een van de
snijpunten niet bestaat. Dus als
bijvoorbeeld de rechte BP evenwijdig is
aan de rechte AC.
Nu bestaat het snijpunt F, en dus ook de
driehoek DEF, niet.
5

HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
1.4. In dit werk
De bedoeling hier is om te zoeken welke regelmaat er in Ceva-driehoeken te vinden zijn. Als we
voor het punt P een speciale positie kiezen (vb: P=zwaartepunt,P=hoogtepunt,…), welke
overeenkomsten vinden we dan tussen de originele driehoek en de Ceva-driehoek?
Om hiertoe te komen, stellen we eerst vermoedens vast, bewijzen we ze voor een aantal speciale
(gemakkelijkere) driehoeken, en proberen we dan iets te bewijzen voor een willekeurige driehoek.
Als afsluiter vermelden we nog de stelling van Ceva en het bewijs van deze stelling.
6

2. Onderzoek
2.1. P in zwaartepunt
HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
Een zwaartelijn in een driehoek is de rechte, gedragen door een hoekpunt van die driehoek en het
midden van zijn overstaande zijde. Er zijn dus drie zwaartelijnen in elke driehoek. Alle zwaartelijnen
van een driehoek snijden elkaar in een punt in deze driehoek, dit snijpunt is het zwaartepunt van
de driehoek.
Ons eerste speciaal geval dat we gaan onderzoeken is als P in het zwaartepunt ligt.
Iets wat we vaker gaan gebruiken bij dit deeltje zijn middenparallellen. Dit zijn lijnstukken die de
middens van twee zijden van een driehoek met elkaar verbinden.
Eigenschappen: - een middenparallel is evenwijdig aan de derde zijde van de driehoek (die zijde
die niet snijdt met de middenparallel).
- de lengte van een middenparallel is precies de helft van de lengte van de derde
zijde.
2.1.1. Willekeurige driehoek
2.1.1.1. Vermoeden
De Ceva-driehoek met P in het zwaartepunt van een gelijkbenige driehoek ABC is gelijkvormig aan
deze driehoek en heeft als oppervlakte ¼ van de oppervlakte van ABC en als omtrek de helft van de
omtrek van ABC. We vermoeden dit, aangezien zwaartelijnen altijd de zijden halveren en als alle
afstanden van een vlakke figuur gehalveerd worden, wordt de oppervlakte vier keer kleiner.
2.1.1.2. bewijs
Gegeven: driehoek ABC
Punt P in het zwaartepunt van driehoek ABC
Ceva-driehoek DEF van driehoek ABC met punt P in
het zwaartepunt
Te bewijzen: DEF = gelijkvormig aan ABC
Opp DEF = ¼ opp ABC
Omtrek DEF = ½ omtrek ABC
Bewijs:
Aangezien P in het zwaartepunt van ABC ligt geldt dat: |AF| = |FB|; |CE| = |EA| en
|CD| = |DB| |FE|; |DE| en |FD| zijn middenparallellen van de driehoek ABC.
½ |BC| = |FE| ; ½ |AB| = |DE| en ½ |AC| = |FD|
Je krijgt dus een driehoek waarvan elke zijde overeenkomt met de helft van een zijde van de
driehoek ABC driehoek DEF is gelijkvormig aan driehoek ABC met factor ½.
7

HDC 6WeWIi Soetemans Dokus
2010 Eindwerk Ceva-driehoeken
Hieruit volgt dat de omtrek van DEF de helft is van de omtrek van ABC en dat de oppervlakte van
DEF vier keer kleiner is dan die van ABC.
En het te bewijzen is aangetoond.
2.1.1.3. Besluit
De Ceva-driehoek van een driehoek ABC met P in het zwaartepunt van deze driehoek, is
gelijkvormig aan deze driehoek met factor ½.
8