Het slakkenvermoeden

Het slakkenvermoeden
1 Het slakkenprobleem
• De eerste opgave van de wiskunde B-dag 2008 gaat over de beweging
van een speciaal soort slakken : slakken die uit kubusvormige blokjes
bestaan.
De getekende slak bestaat uit 1 + 2 + 1 = 4 blokjes. Het meest rechtse
stapeltje noemen we de kop van de slak; het meest linkse de staart. De
lengte van een slak is het aantal stapeltjes en de hoogte van een slak is
het aantal blokjes van de hoogste stapel. De getekende slak is dus een
slak van lengte 3 en hoogte 2.
• We noemen deze slak van het type (4, 3, 2) : 4 blokjes , lengte 3 en
hoogte 2. Algemeen is een slak van het type (M, L, H) als ze bestaat
uit M blokjes, lengte L heeft en een hoogte van H. Merk op dat deze
typering niet eenduidig is want de slak met als staart 2 blokjes, dan
nog 2 blokjes en als kop 3 blokjes en de slak met als staart 1 blokje, dan
3 blokjes en als kop 3 blokjes zijn allebei slakken van het type (7, 3, 3).
1

• In het plaatje zijn ook een start- en finishlijn getekend. De slak gaat
namelijk bewegen. Bij het begin staat de slak met de kop tegen de
startlijn. De beweging van de slak gaat stap voor stap. Een stap
wordt op de volgende manier gezet: van elk stapeltje wordt 1 blokje
weggenomen. Deze blokjes vormen een nieuw stapeltje dat direct voor
de kop wordt gezet. De oorspronkelijke stapeltjes worden daardoor 1
blokje lager en er komt een stapeltje voor met een hoogte die gelijk is
aan het oorspronkelijke aantal stapeltjes. De nieuwe kop is een vakje
verder gekomen; de slak is dus in beweging!
• Omdat een slak tekenen nogal tijdrovend is, gaan we die op een meer
wiskundige manier modeleren. De getekende slak noteren we als (1, 2, 1)
of kortweg 121. De staart staat links ; de slak beweegt zich dus naar
rechts. Rechts van de kop bevindt zich de startlijn en de finishlijn. Dit
kunnen we noteren door 121||.
• De slak kan in de begintoestand ook gaten vertonen. De slak (1, 0, 2, 0, 1)
is ook een slak met 4 blokjes maar ziet er anders uit dan de gegeven
slak. Omdat de slak met de kop tegen de startlijn staat kan het meest
rechtse cijfer nooit 0 zijn.
• De beweging van de slak (1, 2, 1) in deze notatie:
1. De eerste stap : (0, 1, 0, 3). De slak heeft de startlijn overschreden,
maar is er nog niet volledig over. De slak kan ook genoteerd
worden door (1, 0, 3) of 103, want een staart met 0 blokjes kan
worden weggelaten. Als we de start-en finishlijn er bij noteren
wordt dit: 10|3|.
2. De tweede stap : (0, 0, 0, 2, 2). De slak heeft nu volledig de startlijn
overschreden. De verkorte notatie is 22 of met start- en finishlijn
|2|2.
3. De derde stap : (0, 0, 0, 1, 1, 2). Verkort wordt dit 112 of |1|12.
4. De vierde stap : (0, 0, 0, 0, 0, 1, 3) of 13 of ||13. De slak is nu
volledig over de finishlijn.
• We stellen ons volgende onderzoeksvragen :
1. In hoeveel stappen is een slak over de finish?
2. Welke slak is het snelst over de finish?
3. Hoe groot is een slang eenmaal ze over de startlijn is?
4. Welk is de vorm van de slak op de langere duur?
2

2 Hoe snel is de slak over de start- of finishlijn?
• We gaan op verkenning en bestuderen eerst alle slakken bestaande uit
4 blokjes. We veronderstellen dat er geen gaten in de slak zitten. Hiervoor
zoeken we alle partities van het getal 4: dit zijn alle mogelijkheden
om 4 te schrijven als som van natuurlijke getallen:
4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 2 + 2 = 1 + 3 = 0 + 4.
Dit geeft de slakken 1111, 112, 121, 211, 22, 13, 31, 4.
• Hoe snel zijn deze slakken over de finishlijn?
1111|| ⇒ |4| ⇒ |3|1 ⇒ |2|02 ⇒ |1|012 ⇒ ||13: 5 stappen.
112|| ⇒ 1|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.
121|| ⇒ 10|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.
211|| ⇒ 100|3| ⇒ |2|2 ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.
22|| ⇒ 11|2| ⇒ |1|3 ⇒ ||22 : 3 stappen.
13|| ⇒ 2|2| ⇒ |1|12 ⇒ ||13 : 3 stappen.
31|| ⇒ 20|2| ⇒ 10|1|2 ⇒ ||13 : 3 stappen.
4|| ⇒ 3|1| ⇒ 2|0|2 ⇒ 1|0|12 ⇒ ||13 : 4 stappen.
Noteren we S als het aantal stappen die de slak nodig heeft om over
de finish te geraken.
slak type S
1111 (4, 4, 1) 5
112 (4, 3, 2) 4
121 (4, 3, 2) 4
211 (4, 3, 2) 4
22 (4, 2, 2) 3
13 (4, 2, 3) 3
31 (4, 2, 3) 3
4 (4, 1, 4) 4
• We herhalen ons onderzoek voor alle slakken met 5 blokjes.
We onderzoeken de partities van 5. We kunnen 5 schrijven als
1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+2+2 = 1+1+3 = 1+4 = 2+3 = 0+5.
Dit geeft de slakken :
11111, 1112, 1121, 1211, 2111, 122, 212, 221, 113, 131, 311, 14, 41, 23, 32, 5
3

• Samengevat :
slak type S
11111 (5, 5, 1) 6
1112 (5, 4, 2) 5
1121 (5, 4, 2) 5
1211 (5, 4, 2) 5
2111 (5, 4, 2) 5
122 (5, 3, 2) 4
212 (5, 3, 2) 4
221 (5, 3, 2) 4
113 (5, 3, 3) 4
131 (5, 3, 3) 4
311 (5, 3, 3) 4
14 (5, 2, 4) 4
41 (5, 2, 4) 4
23 (5, 2, 3) 3
32 (5, 2, 3) 3
5 (5, 1, 5) 5
• Welke vermoedens kunnen we hieruit opmaken?
1. De horizontale slak doet er het langst over. Het aantal stappen
om over de finishlijn te geraken is 1 meer dan de lengte en dus het
aantal blokjes van de slak.
2. De vertikale slak doet het niet veel beter. Zij doet er evenlang
over als het aantal blokjes.
3. Slakken uit de zelfde partitie reageren even snel.
4. Compacte slakken gaan het snelst.
5. Als L ≥ H dan is S = L + 1; anders is S = H.
• Alle partities blijven opschrijven en dan de bijhorende slakken bestuderen
is veel te tijdrovend. We hebben nood aan een aantal algemene
resultaten.
• Stelling 2.1 Als de slak van het type (M, M, 1) is, dan is S = M + 1
Bij de eerste stap worden alle blokjes weggenomen en op 1 stapel gezet
tussen start- en finishlijn. Dan heb je nog M stappen nodig om de slak
over de finishlijn te krijgen. samen dus M + 1 stappen.
4

• Stelling 2.2 Als de slak van het type (M, 1, M) is, dan is S = M
Na 1 stap is de stapel met 1 blokje verminderd en staat er 1 blokje
tussen start-en finishlijn. Elke volgende stap wordt de eerste stapel met
1 verminderd en staat er niets meer tussen de start-en finishlijn. Je
hebt dus in het totaal M stappen nodig om de slak over de finishlijn te
krijgen.
• Stelling 2.3 Als de slak van het type (M, L, H) is, dan is
S = max(L, H − 1) + 1
Na 1 stap is het deel voor de startlijn nog H −1 blokjes hoog. Tussen de
start-en finishlijn staat dan een stapel van L blokjes. Om dit geheel over
de finishlijn te krijgen zijn L of H − 1 stappen nodig, naargelang welk
van de twee het grootst is. Dus zijn er in het totaal 1 + max(L, H − 1)
stappen nodig.
• Stelling 2.4 Slakken van hetzelfde type gaan even snel.
Vermits het aantal stappen om over de finishlijn enkel afhangt van L
en H is dit vanzelfsprekend.
• Stelling 2.5 Als M = n 2 , dan is S = n + 1. Een slak die er zo snel
over doet is de vierkante slak van het type (M, n, n).
Vermits voor deze slak L = H = n, is het aantal stappen nodig om
over de finishlijn te geraken gelijk aan S = 1 + max(n, n − 1) = n + 1.
Voor elke andere slak is ofwel L > n > H ofwel H > n ≥ L. In het
eerste geval zou de slak er dan S > 1 + n stappen over doen en in het
tweede geval S ≥ 1+n+1−1 = n+1. Niemand doet het dus sneller dan
de vierkante slak. Er kunnen wel slakken zijn die het evensnel doen.
Bijvoorbeeld de slak 19999999 van het type (64, 8, 9) doet er even snel
over als de vierkante slak 88888888 van het type (64, 8, 8).
• Stelling 2.6 Als M geen kwadraat is, dan
is S = n + 1 met n het
kleinste gehele getal groter of gelijk aan M + 1 1 − 4 2 .
Voor elke M bestaat er een n zodat n(n−1) < M ≤ n(n+1). Neem een
rechthoek van n bij n + 1. Zet de rechthoek met de n- kant op de grond
voor de startlijn. Pas de M blokjes er in. Benodigde stappen om over de
finishlijn te geraken: n+1. Want ofwel is L = n ofwel is H = n+1. Als
L < n en H < n+1 dan kunnen de M blokjes in een (n−1)×n rechthoek
5

geplaatst worden , wat tegen de gegeven veronderstelling is. Omdat
M ≤ n(n + 1) ⇒ M + 1
4 ≤ n2 + n + 1
4
Hieruit volgt het gestelde.
= (n + 1
2 )2 ⇒
M + 1 1 − 4 2
≤ n.
• Als een slak eenmaal in beweging is, wordt het aantal vormen dat
een slak kan aannemen beperkt. Zo kan een slak wel de vorm 44444
aannemen maar niet 444444. Want de laatste 4 geeft het aantal stapels
van de vorige fase aan. Voor de eerste slak kan dat dan enkel 5555 zijn.
Voor de tweede slak zouden er ook 4 stapels moeten geweest zijn maar
er 6 stapels en de slak wordt per stap hoogstens 1 vakje langer. Dus
444444 kan nooit ontstaan zijn uit een voorgaande.
Een ander voorbeeld : 333 komt bijvoorbeeld van 144 en die komt
bijvoorbeeld van 1125. Dit zou kunnen komen van 11223 maar deze
heeft geen voorloper !
• Stelling 2.7 Als de slak geheel over de startlijn is ( en dat is zeker zo
na M stappen), is de lengte van de slak beperkt. De slak is dan nooit
langer dan M vakjes
Stel dat de slak de startlijn is gepasseerd en kijk dan naar de staart.
Daar staan b blokjes met 1 ≤ b ≤ M. De resterende M − b blokjes
staan er voor. Deze blokjes zijn daar gekomen door het stappen van de
slak. Er kunnen echter maximaal M − b stappen gedaan zijn om die
blokjes voor de huidige staart te brengen en de slak is op dit moment
dus hooguit M − b + 1 vakjes lang. Het maximum hiervan wordt bereikt
als b = 1; dus is de slak hooguit M vakjes lang.
6

3 Op de lange duur...
• We richten het onderzoek nu op de ontwikkeling van de vorm van een
slak op de langere duur. In de notatie van de slak kunnen we nu de
start-en finishlijn weglaten. We gaan eerst wat experimenteren. We
gaan de gevallen M = 3, 4, 5, 6, 7, 8 bestuderen en houden er rekening
mee dat de volgorde van de stapeltjes er voor de start niet toe doet.
• Voor m = 3 heb je enkel de slakken 111, 12 en 3. Dit geeft :
slak type evolutie
111 (3, 3, 1) 3 → 21 → 102 → 12
12 (3, 2, 2) 12
3 (3, 1, 3) 21 → 102 → 12
De slak 12 blijft steeds hetzelfde . We spreken van een stabiele toestand.
De andere slakken evolueren naar 12 en blijven die vorm aanhouden.
Deze slakken zijn op den duur stabiel.
• Voor m = 4 heb je enkel de slakken 1111, 112, 13, 22 en 4. Dit geeft :
slak type evolutie
1111 (4, 4, 1) 4 → 31 → 202 → 1012 → 13 → 22 → 112 → 13
112 (4, 3, 2) 13 → 22 → 112
13 (4, 2, 3) 22 → 112 → 13
22 (4, 2, 2) 112 → 13 → 22
4 (4, 1, 4) 31 → 202 → 1012 → 13 → 22 → 112 → 13
We noemen de slak 22 periodiek. De lengte van de periode is 3. De
slakken 112 en 13 zijn ook periodieke slakken met periode gelijk aan
3. Ook slak 4 komt na een tijdje op een patroonsherhaling uit. De
beginvorm 4 komt echter niet meer terug. We zeggen dat zo’n slak op
den duur periodiek is. Wanneer de periode optreedt is afhankelijk van
de slak. De lengte van de periode is ook hier 3. De slak 1111 is ook op
den duur periodiek.
• Voor m = 5 heb je enkel de slakken 11111,1112 113, 122, 14,23 en 5.
Dit geeft :
7

slak type evolutie
11111 (5, 5, 1) 5 → 41 → 302 → 2012 → 10013 → 23 → 122 → 113 → 23
1112 (5, 4, 2) 14 → 32 → 212 → 1013 → 23 → 122 → 113 → 23
113 (5, 3, 3) 23 → 122 → 113
122 (5, 3, 2) 113 → 23 → 122 → 113
14 (5, 2, 4) 32 → 212 → 1013 → 23 → 122 → 113 → 23
23 (5, 2, 3) 122 → 113 → 23
5 (5, 1, 5) 41 → 302 → 2012 → 10013 → 23 → 122 → 113 → 23
Alle slakken zijn periodiek of op den duur periodiek. Alles loopt uit
op 122, 113, 23. De lengte van de periode is 3. Wanneer de periode
optreedt is afhankelijk van de slak.
• Bij M = 6 krijg je ofwel een stabiele slak ofwel een slak die op de lange
duur stabiel is. Je komt altijd uit op 123. Bij M = 7 loopt alles uit op
1123, 124, 133, 223 ( een periode van lengte 4) en bij M = 8 zijn er zelfs
twee cyclussen mogelijk 1223, 1124, 134, 233, van lengte 4 en 1133, 224
van lengte 2.
• Welke vermoedens kunnen we uit dit onderzoek opmaken? Wat valt er
nog te onderzoeken?
1. Sommige slakken zijn stabiel of evolueren naar een stabiele
toestand. Welke slakken zijn dat?
2. Sommige slakken zijn periodiek of evolueren naar een periodieke
toestand. Wanneer die periode bereikt wordt verschilt van slak
tot slak. Kunnen we dat moment bepalen?
3. Voor een zelfde M kan de periode verschillen. Weten we iets over
de lengte van de periode?
4. Elke slak is op de lange duur ofwel stabiel ofwel periodisch.
Kunnen we deze vermoedens nu ook omzetten in stellingen?
• We beschrijven enkele nieuwe begrippen om de redenering beter te kunnen
voeren. Een driehoeksgetal is een getal dat te schrijven is onder de
vorm 1 + 2 + 3 + · · · + n. Zo zijn 3 = 1 + 2 en 6 = 1 + 2 + 3 driehoeksgetallen.
Een slak als 123 heeft, wat we noemen, een driehoeksvorm. We
spreken van een driehoekslak.
8

• Als M geen driehoeksgetal is dan ligt het wel tussen twee opeenvolgende
driehoeksgetallen : a < M < b. We bekijken vormen van M blokjes
waarvoor geldt: de driehoeksvorm met a blokjes past er helemaal in,
en de driehoeksvorm met b blokjes is omvattend. Zo’n vorm noemen
we een kamvorm. In onderstaand voorbeeld met M = 18 heeft de grijs
getekende slak een kamvorm met a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15( witte
driehoek) en b = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 (zwarte driehoek). De drie
blokjes die tussen de kleinere en de grotere driehoek ingeklemd zijn ,
heten de kam.
• Stelling 3.1 Elke slak is op de lange duur periodiek.
Eenmaal over de startlijn kan de slak in alle algemeenheid maar een
eindig aantal vormen aannemen, want de slak kan nooit langer zijn dan
M stapels. De slak kan dus maximaal evenveel vormen aannemen als
er verschillende manieren zijn waarop M gelijke blokjes over M stapels
verdeeld kunnen worden. Dit kan op K = (2M−1)!
M!.(M−1)!
manieren. De slak
neemt dus zeker een eerder voorgekomen vorm aan; op dat moment is
de eerste cyclus een feit, en is het gedrag een herhaling van deze cyclus.
Dit bewijs geeft wel aan dat er een periode moet zijn en begrenst met
deze getallen K ook heel grof het moment waarop die periode optreedt.
Het feitelijk bereiken van de periodiciteit gebeurt in het algemeen veel
sneller dan deze getallen aangeven. Enkele waarden voor K :
M K M K M K
2 3 5 126 8 6435
3 10 6 462 9 24310
4 35 7 1716 10 92378
9

• Stelling 3.2 Elke driehoekslak is stabiel
Een driehoekslak is van de vorm 123...k. Na 1 stap heeft de kop k
blokjes en heeft elk stapeltje 1 blokje minder. Dus is de vorm weer
123...k. De slak is dus stabiel.
Het aantal blokjes M van een driehoekslak is steeds een driehoeksgetal.
voor een zekere k.
Dan is M = k(k+1)
2
• Stelling 3.3 De enige stabiele slak is de driehoekslak
Laat a1a2 · · · ak de stabiele vorm zijn met a1 = 0. Geen van de getallen
ai kan 0 zijn. Bovendien moet a1 = 1, want als a1 > 1, dan is de
slak bij de volgende stap een vakje langer en dus niet stabiel. Verder
is aj−1 = aj − 1 voor j = 2, · · · , k. Omdat er geen nulstapeltjes zijn,
ontstaan al de niet-kop stapeltjes door het weghalen van 1 blokje en 1
vakje naar links te schuiven. Dit definieert precies de driehoeksvorm,
ook wel genoteerd door ∆k.
• Tot nu toe heb je de slakken bekeken als echte stapeltjes blokken
en ook als rijtjes getallen. Waarschijnlijk heb je bij de stappen de
meest gemakkelijke weg gevolgd: van elk stapeltje het bovenste blokje
weghalen en die voor de slak opstapelen.
Minder gemakkelijk in het echt uit te voeren, maar op papier wel
voorstelbaar: haal van elke stapel het onderste blokje weg en zet die
in dezelfde volgorde voor de slak. Dit geeft natuurlijk precies hetzelfde
resultaat!
Het voordeel van deze manier van werken is dat het mogelijk wordt
om de gang van een individueel blokje te volgen bij de opeenvolgende
stappen.
Als voorbeeld zie je nu een slak met blokjes waarop letters zijn geplakt.
De onderste rij blokjes wordt verwijderd en aan de voorkant rechtop
gezet. Alle blokjes (behalve M) hebben na deze stap een andere positie
in de slak. De onderste rij (R PONM) komt vooraan rechtop te staan.
Alle andere blokjes schuiven een positie naar links en naar onder. Voor
F is dat nog even apart aangegeven.
10

• In deze voorstelling gaan we er dus vanuit dat de kop van de slak op
dezelfde plaats blijft. We werken nu verder met coördinaten voor de
posities van de blokjes. Dit is niet per se noodzakelijk, maar wel heel
handig! Het onderste blokje van de kop heeft in dit verhaal positie
(1, 1). Een blokje heeft op grondvakje i bijvoorbeeld hoogte j. De
positie is dan (i, j) zoals hier aangegeven:
Het blokje Z heeft positie (2, 5) en gaat bij de volgende stap naar positie
(3, 4). De bewegingsregels voor de blokjes zijn nu deze:
11

1. Als een blokje zich op positie (i, j) bevindt en j > 1, dan gaat het
blokje op de volgende stap naar positie (i + 1, j − 1).
2. Als een blokje zich op positie (i, 1) bevindt, dan gaat het blokje op
de volgende stap naar (1, i ∗ ) waarbij i ∗ ≤ i. Het gelijkteken geldt
alleen als op elk van de grondposities (i − 1, 1), (i − 2, 1), ...(1, 1)
een blokje staat.
Samengevat: de som van de coördinaten van het blokje (de waarde van
i + j ) blijft constant als j > 1, en kan alleen dalen als j = 1, dwz. op
het moment dat het blokje van grondblokje naar kopblokje overgaat.
Het blokje Z in de voorgaande figuur heeft een vaste waarde voor i + j,
namelijk 7, zolang het blokje niet van grond naar kop gaat.
De mogelijke posities voor i + j = 7 vormen een schuine lijn. Door
naar andere mogelijke waarden voor i + j te kijken, delen we de slak
(of de ruimte waarin de slak leeft)in schuine lagen in. In onderstaande
illustratie zijn enkele van die lagen aangegeven. Het kortste en laagste
laagje is 1 vakje groot en heeft (i + j) waarde 2 bij zich.
Het bewegingsgedrag van een blokje kan nu zo beschreven worden: elk
blokje doorloopt van boven naar beneden de laag waar het in zit en
begint dan aan het begin van dezelfde of een lagere laag.
• Stelling 3.4 Is een slak in kamvorm, met kern ∆k voor een zekere k,
dan blijft de slak in kamvorm, met dezelfde k-waarde.
Omdat alle laagjes van de kerndriehoek ∆k gevuld zijn, kan er bij een
slak in kamvorm nooit een blokje dat in deze driehoek zit naar een lagere
laag gaan. De blokjes in deze lagen keren dus steeds in hun eigen laag
terug. De kern ∆k is dus stabiel. De blokjes die in de laag met waarde
k+2 zitten, dus juist een laag boven de driehoek zelf, blijven ook in hun
12

eigen laag omdat alle grondposities bezet zijn. Kortom: kamvorm blijft
kamvorm.
• Stelling 3.5 De kam zelf, die bestaat uit r blokjes met r < k+1, maakt
een cyclische beweging over de k + 1 vakjes vanaf de kop.
Elke blokje van de kam schuift door de hele kamlaag en begint weer
vooraan. Het patroon in de beweging van de kam is dus cyclisch, het
wordt herhaald na k + 1 stappen.
Omdat er na k + 1 stappen dus herhaling optreedt, is de periode altijd
een deler van k + 1.
Hieruit volgt nog dat het niet zo is, dat de periode alleen afhangt van
het aantal blokjes M! Dat is een weliswaar een voor de hand liggend
vermoeden, maar we weten nu waar we de tegenvoorbeelden moeten
zoeken: bij de getallen M met een k waarbij k + 1 geen priemgetal
is. De eerste waarde van k waarbij dat mogelijk is, is k = 3. Bij
M = 8 zijn twee kamvormen mogelijk; hier is k = 3 en r = 2. De
twee kamblokjes lopen cyclisch over de kam van lengte 4. De twee
mogelijkheden starten bijvoorbeeld met aaneengesloten kamblokjes of
kamblokjes met steeds een gaatje ertussen: 1223 en 1133. Hier zijn
de kammen zelf: 1100 en 1010. De eerste slak heeft periode 4 en de
tweede slak heeft periode 2. We vinden dus voor eenzelfde waarde van
M slakken met een verschillende periode.
Maar het is ook zo dat niet met elke deler d van k + 1 er een slak met
periode d bestaat. Voor de slak 223 van type (7, 3, 3) is k + 1 = 4 en er
geen slak met M = 7 die periode 2 heeft. Nochtans is 2 een deler van
k + 1.
• Stelling 3.6 Elke slak komt uiteindelijk in een een stabiele vorm of
kamvorm terecht.
Als de slak periodiek is geworden, kan nooit meer een blokje bij de
grond-naar-kop overgang van zijn eigen laag naar een lagere laag gaan,
omdat dat dan oneindig vak zou moeten gebeuren, terwijl alle blokjes
nooit lager komen dan in de laag van het blokje op positie (1, 1).
Dus: elke blokje blijft in het periodiek deel van het slakkenleven altijd in
dezelfde laag. Veronderstel nu dat er een laag is, die niet geheel gevuld
is en daar direct boven nog een laag waarin minstens 1 blokje in zit.
Als we bewezen hebben dat dit niet mogelijk is in de periodieke toestand,
dan zijn we klaar; want als dit geval is uitgesloten, zijn alle onderste
lagen van de slak vol en er is slechts een toplaag die eventueel niet vol
13

is: de stabiele driehoeksvorm of eventueel de kamvorm is een feit.
Welnu, de laag met het gat heeft een lengte en dus periode van zeg h
en de laag erboven met het blokje dus een lengte en periode van h + 1.
Vanwege het beschreven gedrag van de blokjes in een laag, beweegt ook
het gat cyclisch door de laag waar het in zit, maar met periode h, het
aantal vakjes van die laag. Gevolg is dat het gat per ronde 1 vakje inloopt
op het blokje in de laag erboven. Er komt dus zeker een moment
dat blokje en gat tegelijk op de grondverdieping van de slak zijn. Dan
valt het blokje bij de grond-kopovergang in het gat. Precies dat kon in
de periodieke staat van de slak echter niet gebeuren: de veronderstelling
van zoëven kan niet optreden en de slak heeft dus in de periodieke staat
zeker een kamvorm.
• Uit deze stelling volgen vanzelfsprekend volgende twee resultaten :
Stelling 3.7 Een slak met M = ∆k is op den duur stabiel.
Stelling 3.8 Een slak met ∆k+1 < M < ∆k is op den duur periodisch
met periode een deler van k + 1.
• In het voorgaande is bewezen dat het op-den-duur gedrag van de slak
door de kamvormstructuur en bijhorende periodiciteit kan worden beschreven.
Het is ook gemakkelijk nu vanuit het blokkenaantal M de
juiste waarde van k te bepalen en daarom een indicatie van de periode:
deler van k + 1. Wat we niet weten is :
– Hoe uit een gegeven startsituatie de precieze kamvorm snel kan
worden voorspeld.
– Hoelang vanaf de start het duurt voor de periodiciteit bereikt
wordt.
De antwoorden op die vragen voor een specifieke startvorm van de
slak zijn alleen door uitvoeren van de slakkegang te bepalen. Voor de
hoeveelheid stappen die nodig is om de periodieke staat te bereiken,
hebben we alleen een heel ruwe schatting, gebaseerd op de getallen
K = (2M−1)!
M!.(M−1)! .
• We passen vorige resultaten toe op een paar voorbeelden :
1. M = 1
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 1.
14

2. M = 2
k = 1 en r = 1. Er zijn 2 kamvormen 11 en 2. De periode is altijd
gelijk aan 2.
3. M = 3
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 12 en de andere
slakken zijn op de lange duur stabiel.
4. M = 4
k = 2 en r = 1. Er zijn 3 mogelijke kammen : 100, 010 of 001. Alle
slakken komen terecht in de kamvorm 112, 22 of 13. De periode
is altijd 3.
5. M = 5
k = 2 en r = 2. Er zijn 3 mogelijke kammen : 110, 101 of 011. Alle
slakken komen terecht in de kamvorm 122, 113 of 23. De periode
is altijd 3.
6. M = 6
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 123 en de andere
slakken zijn op de lange duur stabiel.
7. M = 7
k = 3 en r = 1. Er zijn 4 mogelijke kammen : 1000, 0100, 0010 of
0001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1123, 223, 133
of 124. De periode is altijd 4. Alhoewel de periode een deler moet
zijn van 4 is er geen slak met periode 2.
8. M = 8
k = 3 en r = 2. Er zijn 6 mogelijke kammen : 1100, 0110, 1010, 1001,
0101 of 0011. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1223, 233,
1133, 1124, 224 of 134. De periode een deler moet zijn van 4 . De
slakken die terecht komen in 1133 of 224 hebben periode 2 , al de
andere hebben periode 4.
9. M = 9
k = 3 en r = 3. Er zijn 4 mogelijke kammen : 1110, 1101, 1011
of 0111. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 1233, 1224 ,
1134 of 234. De periode is altijd 4. Alhoewel de periode een deler
moet zijn van 4 is er geen slak met periode 2.
10. M = 10
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 1234 en de andere
slakken zijn op de lange duur stabiel.
11. M = 11
k = 4 en r = 1. Er zijn 5 mogelijke kammen : 10000, 01000, 00100,
15

00010 of 00001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 11234,
2234, 1334, 1244 of 1235. De periode is altijd 5.
12. M = 12
k = 4 en r = 2. Er zijn 10 mogelijke kammen : 11000, 01100, 00110,
00011, 10100, 10010, 10001, 00101, 01010 of 01001. Alle slakken komen
terecht in de kamvorm 12234, 2334, 1344, 1245, 11334, 11244,
11235, 1335, 2244 of 2235. De periode is altijd 5.
13. M = 13
k = 4 en r = 3. Er zijn 10 mogelijke kammen : 00111, 10011, 11001,
11100, 01011, 01101, 01110, 11010, 10101 of 10110. Alle slakken komen
terecht in de kamvorm 1345, 11245, 12235, 12334, 2245, 2335,
2344, 12244, 11335 of 11344. De periode is altijd 5.
14. M = 14
k = 4 en r = 4. Er zijn 5 mogelijke kammen : 01111, 10111, 11011, 11101
of 11110. Alle slakken komen terecht in de kamvorm 2345, 11345,
12245, 12335 of 12344. De periode is altijd 5.
15. M = 15
M is een driehoeksgetal. Er is 1 stabiele slak : 12345 en de andere
slakken zijn op de lange duur stabiel.
16. M = 16
k = 5 en r = 1. Er zijn 6 mogelijke kammen : 100000, 010000, 001000,
000100, 000010 of 000001. Alle slakken komen terecht in de kamvorm
112345, 22345, 13345, 12445, 12355 of 12346. De periode is altijd
6.
17. M = 17
k = 5 en r = 2. Er zijn 15 mogelijke kammen : 110000, 101000, 100100,
100010, 100001, 011000, 010100, 010010, 010001, 001100, 001010, 001001,
000110, 000101 en 000011. Alle slakken komen terecht in de kamvorm
122345, 113345, 112445, 112355, 112346, 23345, 22445, 22355,
22346, 13445, 13355, 13346,12455, 12446 en 12356. De periode een
deler moet zijn van 6 . De slakken die terecht komen in 112445,
22355 of 13346 hebben periode 3 , al de andere hebben periode 6.
• In deze voorbeelden hebben we nog een aantal merkwaardigheden ontdekt.
Kunnen die ook algemeen in een stelling worden gegoten? In de
onderstaande stellingen veronderstellen we dat M geen driehoeksgetal
is.
16

• Stelling 3.9 Het aantal kamvormen dat een slak van M blokjes en
kern ∆k kan aannemen is C r k+1 =
het aantal elementen op de kam.
(k + 1)!
r!.(k + 1 − r)!
met r = M − k(k+1)
2
Als er r elementen in de kam zitten en er zijn k + 1 plaatsen dan
kunnen die op Cr k+1 manieren geplaatst worden.
Het aantal mogelijke kamvormen van een slak van M blokjes kan dus
worden teruggevonden in de driehoek van Pascal.
• Het probleem van het bepalen van de periode is eigenlijk het plaatsen
van r elementen 1 in een rij van k+1 elmenten zodanig dat door cyclisch
te permuteren de rij overgaat in zichzelf. Een voorbeeld : 1001 heeft 4
verplaatsingen nodig om terug in dezelfde positie te komen, maar 1010
heeft maar 2 verplaatsingen nodig
Stelling 3.10 Een slak van M blokjes en kern ∆k heeft als periode
het aantal elementen op de kam.
k + 1 of k+1
ggd(r,k+1)
met r = M − k(k+1)
2
Uit vroegere resultaten weten we dat de periode een deler moet zijn
van k + 1. Als r onderling ondeelbaar is met k + 1, dan gaan we zeker
k + 1 verplaatsingen nodig hebben. De periode is dan steeds k + 1. Een
voorbeeld : als we de r enen vooraanzetten, gevolgd door k + 1 − r
nullen.
Als ggd(r, k + 1) = d = 1 verdelen we de k + 1 plaatsen in d groepjes
van r
d
k+1
k+1−r
enen gevolgd door d nullen. Het patroon herhaalt zich na
. Ook andere slakken
stappen. Er is dus een slak met periode d k+1
d
kunnen die periode hebben. Maar er is geen enkele slak die een periode
heeft verschillend van k + 1 of k+1
d .
17