plaatje - SVAT Astatine - Universiteit Twente

De Rubik’s Cube
Speelgoed uit Hongarije
In 1974 werd, wat later bleek, de meest populaire
puzzel aller tijden uitgevonden: de Rubik’s Cube.
Zijn uitvinder was de Hongaar Ernő Rubik. Rubik was
professor in de architectuur aan de universiteit van
Boedapest en ontwikkelde de kubus in eerste instantie
voor zijn studenten om ze een beter inzicht te geven in
3D-objecten. In 1975 nam hij een octrooi op de kubus
binnen Hongarije en in de jaren daarop werden er
testmodellen geproduceerd voor de speelgoedmarkt.
In 1980 maakte de Rubik’s Cube zijn internationale
debuut en won gelijk, in dat zelfde jaar, de prestigieuze
“Spiel des Jahres” prijs. In 2005 vierde de kubus zijn
25-jarige jubileum en vanaf begin 2009 zijn er al
350 miljoen puzzels verkocht, waarmee het de best
verkochte puzzel is. De kubus heeft sinds de jaren
tachtig weinig aan populariteit verloren; wat maakt
deze puzzel toch zo intrigerend?
De puzzel
De Rubik’s Cube is een kubus opgebouwd uit 26 kleinere
kubusjes (33-1, omdat de kubus van binnen hol
is). Ieder vlak van de kubus heeft een bepaalde kleur
en ieder vlak kan om zijn eigen as draaien. Door aan
de vlakken te draaien gaan de kleuren van de kubus
door elkaar en de uitdaging is dan ook om op alle vlakken
weer dezelfde kleur te krijgen. Simpel toch? In de
praktijk blijkt dit toch een heel karwei.
De simpelste oplossing is het slopen van de kubus
en hem weer goed in elkaar zetten. Dit is misschien
een flauwe methode, maar vaak wel de manier waar
menig kubist mee begint. Als je de kubus uit elkaar
haalt, krijg je een goed inzicht in het mechanisme. Zo
blijken de 6 centra met elkaar verbonden te zijn en kun
je ze niet ten opzichte van elkaar verplaatsen, je weet
dus gelijk al welk vlak welke kleur heeft. Verder zijn er
12 ribben met ieder twee verschillende kleuren, deze
passen maar op één plaats en maar op één manier
georiënteerd. Hetzelfde geldt voor de 8 hoeken: iedere
hoek heeft drie kleuren en past maar op één manier in
de kubus. Verder blijkt ieder blokje uniek gekleurd te
zijn en is er dus maar één oplossing. Maar hoe komen
we aan die oplossing?
De wiskunde achter de kubus
Men vraagt zich nu misschien af in hoeveel verschillende
posities die Rubik’s Cube zich kan bevinden.
Laten we allereerst kijken naar de hoeken. Om
6
Jeroen van den Berg
de eerste hoek op te vullen hebben we in totaal 8
verschillende hoekblokjes. Als we de eerste hoek
hebben opgevuld met een bepaald blokje blijven er
voor de volgende hoek maar 7 blokjes over, voor die
daarop 6 etc. Dus het aantal posities van de hoeken is
8x7x6x5x4x3x2x1=8! .
Nu kan ieder hoekblokje op eenzelfde plek op 3 manieren
georiënteerd zijn. Dit geldt voor alle 8 de hoeken,
dus het aantal posities van de hoeken waarbij ook
rekening gehouden wordt met de oriëntatie is 38 x 8! .
Hetzelfde kunnen we doen voor de ribben. Er zijn 12
ribben die op eenzelfde plek op 2 manieren georiënteerd
kunnen worden. Dit geeft dus 2 12 x 12! posities.
In het totaal zijn er dus 38 x 8! x 212 x 12! =
519.024.039.293.878.272.000 mogelijke posities
waarin een Rubik’s Cube kan verkeren! Gelukkig voor
de geschrokken lezer is het niet mogelijk om alle posities
te verkrijgen door alleen aan de kubus te draaien.
Sloop de kubus maar eens en zet alles weer goed op
één hoekje na, dat verkeerd georiënteerd is. Je kunt
nu draaien wat je wilt, maar je zult de kubus nooit opgelost
krijgen.
Er zijn dus wat regeltjes, namelijk dat de oriëntatie van
het laatste hoekje afhangt van de rest, hetzelfde geldt
voor de oriëntatie van de laatste ribbe. Verder blijkt het
niet mogelijk om twee blokjes van plaats te laten ver-