G = 1/R - Stevin.info

Je weet dat een steen met massa m op de hoogte h
de zwaarte-energie mgh bezit. Als die steen valt,
neemt de zwaarte-energie af en de kinetische
energie toe.
Gravitatie-energie
Als we de steen niet over een kleine hoogte laten
vallen, maar over een zeer grote, dan kunnen we
deze formule niet gebruiken, want g heeft bij zo’n
val geen constante waarde. Voor die gevallen
gebruiken we deze formule voor de gravitatieenergie
(zie voor de afleiding Extra):
Eg G
r
=− Mm
1.2 Gravitatie-energie 3
1.2 Gravitatie-energie
gravitatie-energie
Dat minteken ziet er op het eerste gezicht raar uit,
maar het is wel handig. Bij zwaarte-energie en
gravitatie-energie mag je het nulpunt leggen waar
je wilt. Als je bijvoorbeeld in Amsterdam een
valproef doet boven een tafel, dan kies je daar
Ez = 0. Iemand in Almere of in Maastricht zal haar
eigen tafel als nulpunt kiezen.
Met de formule Eg =−G M m
gebruikt iedereen
r
hetzelfde nulpunt, namelijk bij r = ∞. Het gaat
immers alleen om verschillen in potentiële
energie. Het minteken geeft aan dat een massa in
de buurt van de aarde gevangen zit en dat je
energie moet toevoeren om die massa aan de
aarde te laten ontsnappen.
Steeds verder schieten
Als we een kogel afschieten, krijgen we
een parabolische baan. Dan beschouwen
we het aardoppervlak als plat. Bij hoge
snelheden moet je rekening houden met
de kromming van de aarde. Newton
bewees al dat de baan dan een ellips is.
Bij precies 7,9 km/s ontstaat een
cirkelbaan en bij snelheden tussen
7,9 km/s en 11,2 km/s weer een ellips,
De ontsnappingssnelheid
Als je een ruimtecapsule naar een andere planeet
wilt sturen, moet er voldoende kinetische energie
aanwezig zijn om hem van de aarde los te maken.
Die energie wordt door de stuwraketten geleverd,
maar die zijn op betrekkelijk kleine hoogte al
uitgewerkt. We kunnen daarom stellen dat de
capsule op zeeniveau (bij r = R) al de
ontsnappingssnelheid vo moet hebben.
(Ek + Eg) zeeniveau = (Ek + Eg)oneindige ⇒
1 2 mM 1 2
mv − G = mv 0 0
2 2 ∞ + ≥ ⇒
R
v >
2GM
R
ofwel v0= 2GM
R
= 2gR
Geostationaire banen
TV-satellieten (op ongeveer zeven aardstralen van
het middelpunt van de aarde, dus r 2 = 49 keer zo
groot) ondervinden daar een aantrekkingskracht
die maar 1
49
is van de aantrekkingskracht vlakbij
de aarde. De waarde voor g is daar 9,8
49 = 0,2 m/s2 .
Als je die waarden voor r en g gebruikt in
2
mv
mg = , vind je voor de omlooptijd de
r
gewenste 24 uur. Dan lijken deze satellieten stil te
staan ten opzichte van de draaiende aarde.
maar nu staat de aarde in het andere
brandpunt. Bij 11,2 km/s gaat de ellips
‘open’ en is de baan een parabool, de kogel
verdwijnt in de ruimte. Bij nog grotere
snelheden is de baan een hyperbool.
Die 11,2 km/s geldt overigens alleen voor
een raket die kort brandt, voor een schot
dus. Als je genoeg brandstof hebt, kun je
ook met kleinere snelheden van start gaan.