G = 1/R - Stevin.info

4.4 Gevangen in een nanodwangbuis; tunneleffect 7
4.4 Gevangen in een nanodwangbuis; tunneleffect
We krijgen met kwantumverschijnselen te maken
als deeltjes (elektronen bijvoorbeeld) opgesloten
zitten in kleine ruimtes.
Een nanodwangbuis
Bekijk een deeltje dat alleen maar heen en weer
kan bewegen in een dicht buisje met lengte L. Dat
staat model voor een elektron in een langgerekt
molecuul of voor een elektron in een metaaldraadje.
Klassiek kan het elektron zich overal in
de buis tussen 0 en L bevinden en alle mogelijke
snelheden en energieën bezitten. Hoe zit dat in de
kwantumfysica?
De golffunctie ψ moet aan de uiteinden nul zijn,
want anders zou ψ 2 daar niet nul zijn en zou het
deeltje buiten de buis gevonden kunnen worden;
ψ 2 bepaalt immers de kans daarop. Uit deze twee
randvoorwaarden zal volgen dat de snelheid niet
alle waarden kan aannemen en de energie dus ook
niet. Beide blijken gekwantiseerd, beide kunnen
niet alle waarden aannemen.
Stationaire toestanden vind je als je de eis stelt:
L = n·½·λb
Hierin is λb de debrogliegolflengte. Met andere
woorden: een half λb moet een geheel aantal keren
passen op de lengte van de buis L.
Omdat het deeltje niet uit het nanobuisje kan
ontsnappen, tekenen we het als een put met
oneindig hoge en oneindig dikke wanden. De
grafieken van ψ en ψ 2 voor de eerste drie gevallen
gaan er dan zo uitzien:
De energietoestanden in de dwangbuis
Een elektron in zo’n buisje heeft alleen maar
kinetische energie; de potentiële energie mag je
nul kiezen. Dat doen we ook bij een valbeweging,
mgh kies je nul op de grond. Dat komt doordat we
eigenlijk alleen maar geïnteresseerd zijn in
energieverschillen. Denk aan de elektronsprongen
in het klassieke atoommodel.
De kinetische energie kunnen we vinden via de
voorwaarde van het precies passen. Dit betekent:
L = n·(½·h/mv) en dus
nh
v =
2mL
Voor de kinetische energie − en dus ook de totale
energie − van toestand n vind je:
2 2 2
1 2 1 ⎛ nh ⎞ n h
n = 2 n = 2 ⎜ ⎟ = 2
E mv m
⎝ 2mL ⎠ 8mL
1⋅
h
Hieruit volgt: E1
= en
2
8mL
E2 = 4E1 ; E3 = 9E1 ; E4 = 16E1 enz.
2
Een deeltje in een doosje
Stationaire toestanden voor een deeltje in een
nanodoosje (een molecuul bijvoorbeeld), vind je
door te eisen dat λb in drie richtingen x, y en z
past. Dan verandert de uitdrukking voor de
energie in:
E
n
2 2 2 2
h ⎛ n n x y n ⎞
z
= ⎜ + + ⎟
2 2 2
8m
⎜ Lx Ly L ⎟
⎝ z ⎠