Tweetallig stelsel - NIUtec

DIGITAAL TELLEN
15894635
2 8 3 5 4 7 9 6 4 3 9 8 5 7 4 6 2 0 0 4 0 9 7
1 0 3 6 7 0 0 9 8 3 2 9
5789 3167

Blz. 1
Blz. 2
Blz. 3
Tellen
Knikkers tellen
Tientallig stelsel
Talstelsels
Positioneel systeem
Tweetallig stelsel
Digitale revolutie
Flipflop-denken
Terugrekenen
Bits, nibbles, bytes en words
Inhoudsopgave
Blz. 4
Blz. 5
Aanwijzingen bij het gebruik van dit PDF-bestand.
Dit bestand bevat zgn. bookmarks die aangeklikt kunnen worden.
• De bladzijnummers hierboven verwijzen naar de gewenste pagina.
• ‘Tellen’ rechtsboven verwijst naar de inhoudsopgave.
• Afbeeldingen verwijzen (vaak) naar het bronbestand, tenzij het eigen materiaal is.
• Het NIUtec-logo verwijst naar de startpagina van de website.
Terug in de website kan door op de -pijl linksboven in de browser te klikken
(Internet Explorer) of door het gewenste tabblad aan te klikken (Firefox).
Firefox werkt daarbij véél sneller dan Explorer, omdat Explorer het hele bestand weer
opnieuw moet laden, terwijl Firefox dit in het werkgeheugen houdt.
Bij gebruik van Internet Explorer is het aan te raden dit bestand
eerst op de eigen computer op te slaan, alvorens het te gebruiken.
Vanwege auteursrechten is het niet toegestaan dit bestand te bewerken of te printen.
Indien gewenst kan hierover contact opgenomen worden met de auteur,
Let op: vermeld de naam van de website in het onderwerp.
P. Jongejan
Dit bestand maakt deel uit van de website:
Getallen en
programmeren
Microcontroller
Variabelen
Tellen
Hexadecimale stelsel
Word-getallen
10-tallig naar 16-tallig
2-tallig naar 16-tallig
Tip

Tellen
Knikkers tellen
Tellen deden de mensen vroeger met een soort knikkerplankje
waarin kiezelsteentjes, kralen of knikkertjes werden gelegd.
Ook nu nog wordt vaak zo’n manier van rekenen gebruikt in
Zuid-Oost Aziatische landen, waar met een telraam gewerkt wordt.
Om te zien hoe ons getallensysteem in elkaar zit, gaan we zo’n plankje gebruiken.
12
10
11
10
10
10
9
10
Hier staat het volgende:
8
10
7
10
5 knikkers zijn elk 1 punt waard
1 knikker is 10 punten waard
7 knikkers zijn elk 100 punten waard
9 knikkers zijn elk 1.000 punten waard
3 knikkers zijn elk 10.000 punten waard
geen een knikker is 100.000 punten waard
6 knikkers elk 1.000.000 punten waard
1
6
10
6
5
1x10
7x100
9x1.000
3x10.000
0x100.000
6x1.000.000
=
=
=
=
=
=
=
5
10
700
9.000
30.000
0
6.000.000
Tellen
Tientallig stelsel
6.039.715
2 3 4
Het kleine getal rechtsboven bij 10 , 10 , 10 , enzovoort, betekent dat het grote getal
2 4
evenzoveel keer met zichzelf vermenigvuldigd is. Dus 10 =10x10 en 10 =10x10x10x10.
4
In het tientallig stelsel zoals wij dat gebruiken, is 10 dus hetzelfde als 1 met 4 nullen.
4
Je spreekt 10 uit als 10 tot de vierde (macht). Deze bewerking heet machtsverheffen.
Onthoud verder dat elk getal tot de nulde één (1) is, en elk getal tot de eerste gewoon
0 1
dat getal is. Dus 10 =1 en 10 =10.
5
10
0
4
10
3
3
10
9
2
10
7
1
10
1
0
10
5
+

Talstelsels
Positioneel systeem
Over de hele wereld wordt gewerkt met een positioneel cijfersysteem.
Dat betekent dat de waarde van een cijfer afhangt van de plaats die het inneemt in een getal.
Daarbij beginnen we rechts met de laagste positie.
De cijfers die het meest rechts staan, hebben gewoon de waarde die het cijfer weergeeft.
De tweede positie van rechts worden de cijfers opeens 10x zoveel waard als het cijfer
weergeeft.
En in de derde positie 100x, enzovoort.
We hebben het nu over het talstelsel met het grondtal 10.
Tweetallig stelsel
Er zijn echter ook vele talstelsels met een ander grondtal mogelijk.
Tot voor kort gebruikte men in engels-sprekende gebieden het 12-tallig stelsel, en er zijn ook
volkeren bekend die het 5-tallig of zelfs het 60-tallig stelsel hebben gebruikt.
En computers gebruiken een talstelsel dat het eenvoudigste van alle lijkt, het 2-tallig systeem.
12
2
11
2
10
2
9
2
8
2
1
7
2
0
Toch bedriegt de schijn een beetje. Dat het meest rechtse knikkertje ook echt één (1) knikker
is, is nog wel te begrijpen. Al wat moeilijker is het voor het tweede vakje.
Die knikker vertegenwoordigt de waarde twee. En niet tien! Dan volgt er een leeg vak,
3
dus nul. Maar wat moeten we met het gevulde vak onder 2 ? Daarvoor moet je uitrekenen
wat 2x2x2 (twee tot de derde) is. Dat is 8. Die knikker is dus 8 punten waard.
5 6 8
En zo moet je dat ook uitrekenen voor de knikkers in 2 , 2 en 2 .
Er staat dus vanaf rechts gelezen het volgende:
1 knikker in vak 1 is 1 punt waard
1 knikker in vak 2 is 2 punten waard
geen knikker in vak 3 is 0 punten waard
3
1 knikker in vak 4 is 2 is 8 punten waard
geen knikker in vak 5 is 0 punten waard
5
1 knikker in vak 6 is 2 punten waard
6
1 knikker in vak 7 is 2 punten waard
geen knikker in vak 8 is 0 punten waard
8
1 knikker in vak 9 is 2 punten waard
Dus het getal 101101011 is in het tientallig stelsel het getal 363!
(2)
2
6
2
1
5
2
1
4
2
0
3
2
1
1
2
0
8
0
32
64
0
256
363
deze 2 tussen haakjes geeft aan dat hier het tweetallig systeem wordt gebruikt
2
2
0
+
1
2
1
Tellen
0
2
1

Digitale revolutie
Het tweetallig stelsel wordt gebruikt bij het programmeren van alles wat met computers
en elektronica te maken heeft. Het wordt daar het digitale stelsel genoemd, naar het engelse
‘digit’, dat vingerkootje betekent. Computers werken dus door het op hun vingers na te tellen . . .
Flipflop-denken
Waarom tellen apparaten maar tot 2 en niet gewoon tot 10?
Dat komt omdat het in wezen hele domme dingen zijn, die alleen maar kunnen zien of iets
aan of uit staat. Een computer is in principe niets anders dan een gigantische hoeveelheid
piepkleine schakelaartjes flipflops,
die elk maar twee toestanden kennen, aan of uit .
( klik hier voor meer info, kijk op blz. 3) En als je maar genoeg van die dingen combineert, dan
kan je er alles wat je maar wilt mee onthouden, tekst, muziek, film, robotinstructies, je kan het
zo gek niet bedenken
Je kunt rustig stellen dat onze maatschappij tegenwoordig volledig overgeleverd is aan de
nullen en enen van de computers en het digitale stelsel; een sluipende revolutie!
Terugrekenen
Hoe reken je nu een getal uit het tientallig stelsel om naar het tweetallig stelsel?
Dat doe je door het steeds door twee te delen en te kijken wat de rest is. Een voorbeeld:
363 is het om te rekenen getal.
10
363:2 = 181 rest 1
181:2 = 90 rest 1
90:2 = 45 rest 0
45:2 = 22 rest 1
22:2 = 11 rest 0
11:2 = 5 rest 1
5:2 = 2 rest 1
2:2 = 1 rest 0
Op de NIUtec-site staat een Excel-programma waarmee je een 10-tallig getal kunt
omrekenen in een getal uit het 2,3,4 . . .16-tallig stelsel. Klik op:
Omreken
Er is ook een blad voor optellen:
Optellen
Bits, nibbles, bytes en words
deze 1 is de laatste ‘rest’.
In programmeertalen wordt nooit gesproken over cijfers en getallen.
In plaats daarvan wordt gezegd dat 1=HIGH (spanning) is en 0=LOW (geen spanning) .
Verder is één cijfer een bit, een getal van 4 cijfers een nibble, 8 cijfers een byte
en 16 cijfers een word.
Waarom 4, 8 en 16? Dat heeft te maken met de structuur van het tweetallig stelsel;
3
1
0
Onthoud:
1
1
0
1
0
1
1 = high
0 = low
1 cijfer = bit
4 cijfers = nibble
8 cijfers = byte
16 cijfers = word
1
Tellen

Getallen en programmeren
Microcontroller
Hieronder vind je een tabel uit de handleiding die bij de PBASIC-programmeertaal
gegeven wordt. Met PBASIC ( free download)
kan je kleine minicomputertjes
programmeren, die microcontrollers worden genoemd. (zie ook: Parallax.com)
Je hoeft het natuurlijk niet helemaal te begrijpen, maar het is interessant om eens even
te kijken wat er nou eigenlijk staat.
Een variabele is een doosje met daarin een ‘knikkerplankje’.
Dat knikkerplankje kan 4 verschillende maten hebben, 1, 4, 8 en 16 knikkers groot.
Het doosje met het 1 knikkerplankje wordt een bit genoemd.
Het doosje met het 4 knikkerplankje wordt een nibble genoemd.
Het doosje met het 8 knikkerplankje wordt een byte genoemd.
Het doosje met het 16 knikkerplankje wordt een word genoemd.
In het werkgeheugen (RAM, Random Access Memory) van de microcontroller is plaats
voor maximaal 16 doosjes met elk een plankje voor 16 knikkers.
Maar je mag het ook anders indelen:
in plaats van 1 doosje met 16 knikkers, 2 doosjes van 8. Of vier doosjes van 4.
Of 3 doosjes van 4 en 4 doosjes van 1.
Variabelen
De variabelen hebben soms een naam, INC, of OUT10 of B7.
Die kan je in het programma opvragen en kijken wat het getal is dat ze bevatten.
OUT10 is een bit-variabele, dus een doosje met een 1 knikkerplankje.
Daar kan wel of niet een knikker in zitten, die is dus 0 of 1. Een schakelaarstand bv.
B7 is een byte-variabele en kan dus een getal van 8 knikkers bevatten.
Kijk je daarin, dan zie je misschien 11010001. Dat is in het 10-tallig stelsel het
getal 209. Dat kan misschien betekenen dat er 209 seconden gewacht moet worden.
Of dat iets 209 gram weegt. Of dat pin 0, 4, 6 en 7 een spanning van 5 Volt moeten
hebben. Het is maar net wat je het programma laat doen en wat er op je microcontroller
is aangesloten!
Word-naam Byte-namen Nibble-namen Bit-namen Speciale Betekenis
INS INL, INH
INA, INB
INC, IND
IN0 – IN7
IN8 – IN15
Input pins
OUTS OUTL, OUTH
OUTA, OUTB
OUTC, OUTD
OUT0 – OUT7
OUT8 – OUT15
Output pins
DIRS DIRL, DIRH
DIRA, DIRB
DIRC, DIRD
DIR0 – DIR7
DIR8 – DIR15
I/O pin direction control
W0 B0, B1
W1 B2, B3
W2 B4, B5
W3 B6, B7
W4 B8, B9
W5 B10, B11
W6 B12, B13
W7 B14, B15
W8 B16, B17
W9 B18, B19
W10 B20, B21
W11 B22, B23
W12 B24, B25
4
1 word
is 2 bytes
is 4 nibbles
is 16 bits
Tellen
Opbouw van het
32-byte RAM geheugen
van de BASIC Stamp 2

Hexadecimale stelsel
Word-getallen
Omdat grote getallen in het tweetallig stelsel zo ontzettend lang worden,
wordt hier vaak het 16-tallige of hexadecimale stelsel voor gebruikt.
Hieronder zie je het 16-tallige knikkerplankje.
Het getal dat er ligt is 16B (16) . De getallen 10 t/m 15 worden met de letters
A t/m F weergegeven, die mogen immers niet uit twee tekens bestaan!
Hier staat het volgende:
B (=11) knikkers in rij 1 zijn 11 punten
6 knikkers in rij 2 zijn 6x16=96 punten
2
1 knikker in rij 3 is 16 =256 punten
11+96+256=363 (10) , hetzelfde getal als
op pagina 2 met het 2-tallig stelsel staat.
Je ziet dat er nu in plaats van 9 cijfers, slechts 3
nodig zijn om hetzelfde getal weer te geven.
10-tallig naar 16-tallig
Omrekenen van een decimaal getal (= getal uit
tientallig stelsel) naar een hexadecimaal getal gaat
net als bij omrekenen naar het tweetallig stelsel;
steeds delen door 16, en de rest steeds vanaf
rechts invullen, net zolang totdat het getal niet meer
te delen is door 16 met een uitkomst groter dan 1.
2-tallig naar 16-tallig
Omrekenen van een tweetallig getal naar een 16tallig
is nog makkelijker;
Neem vanaf rechts steeds en groep van 4 getallen
(dat is maximaal 1111 (2) , dus 15 (10) ), en reken die om
naar een hex-getal.
Dat is voor bv. voor 1111 het getal F.
Test het maar eens uit op dat getal 101101011 van
bladzij 2.
Een tweetallig getal van16 cijfers kan je zo
omwerken naar een hex-getal van maar 4 cijfers.
Dat spaart geheugen in een computer!
Tip.
Wist je dat je op een rekenapparaat vaak
getallen zó kunt omzetten van het ene
naar het andere talstelsel?
Er staat er zelfs een op je computer.
Kijk maar eens bij:
start>programma’s>bureau-accessoires
Je moet hem wel even op de
wetenschappelijke
stand zetten! (onder menu beeld)
(2)
5
3
16
2
16
16
1
Tellen
F
E
D
C
B
A
9
8
7
6
5
4
3
2
1