Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomf - NHV.nu
Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomf - NHV.nu
Bepalen van stroomlijnen met behulp van de stroomf - NHV.nu
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Bepalen</strong> <strong>van</strong> <strong>stroomlijnen</strong> <strong>met</strong> <strong>behulp</strong> <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie<br />
André Blonk<br />
Momenteel wordt <strong>de</strong> stroming <strong>van</strong> grondwater veelal <strong>met</strong> <strong>nu</strong>merieke <strong>met</strong>ho<strong>de</strong>n<br />
berekend. Het <strong>nu</strong>merieke geweld doet <strong>de</strong> kracht en <strong>de</strong> schoonheid <strong>van</strong> <strong>de</strong> analytische<br />
<strong>met</strong>ho<strong>de</strong>n wel eens vergeten. Deze ‘vergeten hydrologie’ heeft namelijk nog tal <strong>van</strong><br />
onont<strong>de</strong>kte trucjes. Een <strong>van</strong> die trucjes wil ik hier presenteren, namelijk het berekenen<br />
<strong>van</strong> <strong>stroomlijnen</strong> <strong>met</strong> <strong>behulp</strong> <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie.<br />
Allereerst geef ik een korte uiteenzetting <strong>van</strong> <strong>de</strong> algemeen gangbare <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> die<br />
ook in <strong>de</strong> <strong>nu</strong>merieke mo<strong>de</strong>lleerwereld wordt gebruikt. Vervolgens presenteer ik een<br />
alternatieve <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> waarbij complete patronen op een eenvoudige manier kunnen<br />
wor<strong>de</strong>n gegenereerd. Daarbij werk ik eerst <strong>de</strong> algemene <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> uit, waarna ik afsluit<br />
<strong>met</strong> enkele illustratieve voorbeel<strong>de</strong>n.<br />
Algemeen gangbare <strong>met</strong>ho<strong>de</strong><br />
Voor een putonttrekking in een homogeen isotroop watervoerend pakket in het punt<br />
(x put<br />
,y put<br />
) kan <strong>de</strong> grondwatersnelheid in het punt (x,y) wor<strong>de</strong>n berekend <strong>met</strong> <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong><br />
formules:<br />
Met:<br />
D = <strong>de</strong> gemid<strong>de</strong>l<strong>de</strong> pakketdikte (m)<br />
Q = het ontrekkings<strong>de</strong>biet <strong>van</strong> <strong>de</strong> put (m 3 /dag)<br />
μ = <strong>de</strong> porositeit of het doorstroomd poriewatervolume <strong>van</strong> het pakket (-)<br />
Het berekenen <strong>van</strong> een stroomlijn wordt meestal uitgevoerd door een integratie <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong> snelheidsvectoren v x<br />
en v y<br />
in <strong>de</strong> tijd uit te voeren. De meest eenvoudige manier om<br />
een stroomlijn uit te rekenen is <strong>met</strong> <strong>de</strong> predictor <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> <strong>van</strong> Euler. Bij <strong>de</strong>ze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong><br />
moet eerst een startpunt (x 0<br />
,y 0<br />
) wor<strong>de</strong>n gekozen <strong>van</strong>waar <strong>de</strong> stroomlijn vertrekt. Na een<br />
bepaal<strong>de</strong> tijdstap Δt kan het nieuwe punt <strong>van</strong> <strong>de</strong> stroomlijn (x new<br />
,y new<br />
) wor<strong>de</strong>n berekend<br />
door <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> rekenexcercitie uit te voeren:<br />
x<br />
y<br />
new<br />
new<br />
= x<br />
0<br />
= y<br />
0<br />
+ v Δt<br />
x<br />
+ v Δt<br />
y
Door vervolgens het nieuw verkregen punt als startpunt voor <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> tijdstap te<br />
kiezen kan op <strong>de</strong>ze wijze <strong>de</strong> afgeleg<strong>de</strong> weg <strong>van</strong> het grondwater wor<strong>de</strong>n berekend. Tij<strong>de</strong>ns<br />
<strong>de</strong>ze integratie kan <strong>de</strong> tijdstap slim wor<strong>de</strong>n aangepast om <strong>de</strong> stroomlijnberekening<br />
efficiënt maar voldoen<strong>de</strong> nauwkeurig uit te voeren. Nu zijn er meer <strong>met</strong>ho<strong>de</strong>s om zo’n<br />
stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen (Heun, Runge Kutta) maar <strong>de</strong> essentie<br />
<strong>van</strong> <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> <strong>met</strong>ho<strong>de</strong>s is gelijk.<br />
Maar het kan ook an<strong>de</strong>rs<br />
Er is echter nog een an<strong>de</strong>re min<strong>de</strong>r gangbare <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> om een <strong>stroomlijnen</strong>patroon te<br />
genereren.<br />
Deze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> gaat uit <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie <strong>van</strong> een onttrekking. Om <strong>de</strong>ze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong><br />
na<strong>de</strong>r uit te leggen schakel ik even over naar <strong>de</strong> hydrologie in het complexe z-vlak. In<br />
het complexe z-vlak kan een putonttrekking in het punt z put<br />
<strong>met</strong> <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> formule<br />
wor<strong>de</strong>n beschreven:<br />
Q<br />
Ω = ln( z − z )<br />
2π<br />
put<br />
+<br />
C<br />
Met:<br />
Ω = <strong>de</strong> complexe potentiaal in (m 3 /dag)<br />
Q = het onttrekkinsg<strong>de</strong>biet <strong>van</strong> <strong>de</strong> put in m 3 /dag<br />
De complexe potentiaal Ω kan wor<strong>de</strong>n gesplitst in een reëel <strong>de</strong>el (<strong>de</strong> stijghoogte) en<br />
een imaginair <strong>de</strong>el (<strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie) volgens Ω = Φ+ iΨ. Na ver<strong>de</strong>re uitwerking volgt<br />
voor <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie <strong>van</strong> een put <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> vergelijking:<br />
Q<br />
Ψ = bg<br />
2π<br />
tan<br />
y − y<br />
x − x<br />
put<br />
put<br />
Met <strong>de</strong>ze vergelijking ga ik vervolgens aan <strong>de</strong> slag. De waar<strong>de</strong> <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie<br />
in een punt (x,y) door een putonttrekking kan op basis <strong>van</strong> <strong>de</strong>ze functie<br />
variëren tussen 0 en Q. Om <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie waar<strong>de</strong> Ψ in een punt (x,y)<br />
ten gevolge <strong>van</strong> meer<strong>de</strong>re putten (bijvoorbeeld n putten op posities x i<br />
,y i<br />
) uit<br />
te rekenen kunnen <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> bijdragen wor<strong>de</strong>n opgeteld volgens:<br />
Ψ =<br />
i<br />
∑ = n<br />
i=<br />
1<br />
Q<br />
bg<br />
2π<br />
tan<br />
y<br />
x<br />
−<br />
−<br />
y<br />
xi<br />
i<br />
Nu kan voor een bepaald gebied een grid wor<strong>de</strong>n ge<strong>de</strong>finieerd en kan <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie in <strong>de</strong> verschillen<strong>de</strong> gridpunten wor<strong>de</strong>n berekend. Vervolgens kunnen<br />
<strong>van</strong> <strong>de</strong> gridwaar<strong>de</strong>n <strong>met</strong> een willekeurige contourroutine (bijvoorbeeld SURFER) <strong>de</strong><br />
contourlijnen wor<strong>de</strong>n berekend. De bereken<strong>de</strong> contourlijnen noem ik in het vervolg<br />
iso-psi-lijnen.
Als voorbeeld is een randomputtenveld gekozen Voor dit puttenveld zijn <strong>de</strong> isohypsen<br />
en <strong>de</strong> iso-psi-lijnen berekend en in figuur 1 weergegeven.<br />
Figuur 1: Isohypsen en iso-psi-lijnen <strong>van</strong> een random puttenveld<br />
Bij het contouren <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie ontstaan echter ongewenste horizontale banen<br />
die het <strong>stroomlijnen</strong>patroon verstoren. Het is niet moeilijk <strong>de</strong>ze verstoren<strong>de</strong> banen uit<br />
<strong>de</strong> berekening te poetsen als <strong>de</strong> mathematische achtergrond dui<strong>de</strong>lijk is. Deze horizontale<br />
‘meerwaardigheids’ vlaggen wor<strong>de</strong>n namelijk veroorzaakt door <strong>de</strong> <strong>de</strong>finitie <strong>van</strong> <strong>de</strong><br />
bgtan functie.<br />
In figuur 2 is schematisch een gecontour<strong>de</strong> stroomlijn Ψ=200 weergegeven,<br />
Voor het gridpunt Ψ 4<br />
is <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> <strong>van</strong> <strong>de</strong> bgtan functie nagenoeg gelijk aan 0. Voor<br />
het daaron<strong>de</strong>r gelegen punt Ψ 1<br />
is <strong>de</strong> waar<strong>de</strong> <strong>van</strong> <strong>de</strong> bgtan functie om en nabij 2π. Er<br />
vindt dus over <strong>de</strong> betreffen<strong>de</strong> cellen een sprong plaats <strong>van</strong> circa 2π. De stroomlijn <strong>met</strong><br />
<strong>stroomf</strong>unctiewaar<strong>de</strong> 200 vervolgt zijn weg <strong>met</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctiewaar<strong>de</strong> -800. De sprong<br />
is gelijk aan het onttrekkings<strong>de</strong>biet <strong>van</strong> <strong>de</strong> betreffen<strong>de</strong> put.<br />
De stroomlijn <strong>met</strong> <strong>stroomf</strong>unctiewaar<strong>de</strong> -800 veroorzaakt bij het contouren <strong>de</strong> horizontale<br />
baan.
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
Figuur 2: Schematische weergave iso-psi-lijn berekening<br />
De posities <strong>van</strong> <strong>de</strong> vlaggen zijn precies bekend. Door <strong>nu</strong> slim te contouren kunnen <strong>de</strong><br />
horizontale vlaggen wor<strong>de</strong>n voorkomen. Voor elke put kan <strong>de</strong> positie <strong>van</strong> <strong>de</strong> vlag en <strong>de</strong><br />
grootte <strong>van</strong> <strong>de</strong> sprong wor<strong>de</strong>n bepaald door <strong>de</strong> rasterindices en het <strong>de</strong>biet vast te leggen.<br />
Als bij het berekenen <strong>van</strong> <strong>de</strong> iso-psi-lijnen <strong>de</strong> cellen <strong>met</strong> een vlag wor<strong>de</strong>n ‘gecontoured’,<br />
wor<strong>de</strong>n <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctiewaar<strong>de</strong>n in <strong>de</strong> punten 3 en 4 <strong>van</strong> <strong>de</strong> betreffen<strong>de</strong> cel verhoogd<br />
<strong>met</strong> het bij <strong>de</strong> vlag behoren<strong>de</strong> <strong>de</strong>biet. Op <strong>de</strong>ze wijze wordt een conti<strong>nu</strong> <strong>stroomlijnen</strong>patroon<br />
zon<strong>de</strong>r vlaggen verkregen.<br />
Ook samenvallen<strong>de</strong> vlaggen <strong>met</strong> verschillen<strong>de</strong> <strong>de</strong>bieten wor<strong>de</strong>n op <strong>de</strong>ze wijze goed<br />
afgehan<strong>de</strong>ld.<br />
In het algemeen kan wor<strong>de</strong>n gesteld dat elk element dat grondwater onttrekt of infiltreert<br />
een disconti<strong>nu</strong>e iso-psi-lijnen patroon veroorzaakt. Als <strong>de</strong> plaats en <strong>de</strong> grootte <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong> vlag kan wor<strong>de</strong>n vastgesteld kan door het slim contouren een conti<strong>nu</strong> <strong>stroomlijnen</strong>patroon<br />
wor<strong>de</strong>n verkregen. Een constante regionale grondwaterstroming vertoont geen<br />
disconti<strong>nu</strong>ïteit. Een na<strong>de</strong>el <strong>van</strong> <strong>de</strong>ze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> is dat alleen <strong>de</strong> weg <strong>van</strong> het water<strong>de</strong>eltje<br />
kan wor<strong>de</strong>n bepaald. Het bepalen <strong>van</strong> <strong>de</strong> verblijftijd is <strong>met</strong> <strong>de</strong>ze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> niet mogelijk.
Aan <strong>de</strong> hand <strong>van</strong> een tweetal voorbeel<strong>de</strong>n kunnen <strong>de</strong> resultaten <strong>van</strong> het ‘slim’ contouren<br />
wor<strong>de</strong>n geïllustreerd. In het eerste voorbeeld is gekozen voor het eer<strong>de</strong>r genoem<strong>de</strong><br />
random puttenveld. In figuur 3 is voor dit puttenveld het correcte <strong>stroomlijnen</strong>- en<br />
stijghoogtepatroon gepresenteerd.<br />
Figuur 3: Isohypsen en iso-psi-lijnen <strong>van</strong> een random puttenveld na slim contouren<br />
In het twee<strong>de</strong> voorbeeld is gekozen voor een cirkelvormig meer in een uniforme regionale grondwaterstroming.<br />
In dit voorbeeld wordt <strong>de</strong> regionale grondwaterstroming <strong>met</strong> een onttrekkingsput en<br />
een infiltratieput op grote afstand <strong>van</strong> elkaar gemo<strong>de</strong>lleerd. Het meer wordt vervolgens <strong>met</strong> spiegelputten<br />
gemo<strong>de</strong>lleerd. Een uitleg <strong>van</strong> <strong>de</strong>ze spiegeltechniek is samengevat in het grijs omka<strong>de</strong>r<strong>de</strong><br />
tekst<strong>de</strong>el. Voor het mo<strong>de</strong>lleren <strong>van</strong> een uniforme grondwaterstroming q0 <strong>van</strong> 1 m 2 /dag en een meer<br />
<strong>met</strong> een straal <strong>van</strong> 100 m kunnen <strong>de</strong> volgen<strong>de</strong> putten wor<strong>de</strong>n toegepast:<br />
x (m) y (m) Q (m 3 /d)<br />
-10000 0 31416<br />
10000 0 -31416<br />
-1 0 -31416<br />
1 0 31416<br />
In figuur 4 is het <strong>stroomlijnen</strong>- en stijghoogtepatroon <strong>van</strong> dit voorbeeld gepresenteerd.<br />
De figuur geeft een compleet stromingspatroon te zien. Omdat het interval waarmee <strong>de</strong>
<strong>stroomlijnen</strong> wor<strong>de</strong>n gegenereerd bekend is kan door het tellen <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomlijnen</strong> het<br />
recirculeren<strong>de</strong> <strong>de</strong>biet tussen 2 putten of <strong>de</strong> hoeveelheid drainage/infiltratie <strong>van</strong> het meer<br />
globaal wor<strong>de</strong>n berekend. Een kleiner interval tussen <strong>de</strong> <strong>stroomlijnen</strong> resulteert in een<br />
nauwkeurigere bepaling <strong>van</strong> het <strong>de</strong>biet. Bij het voorbeeld is het <strong>stroomf</strong>unctieinterval<br />
op 40 m 3 /dag gekozen. We zien dat 10 <strong>stroomlijnen</strong> het meer in- en ook weer uitstromen,<br />
wat overeenkomt <strong>met</strong> 400 m 3 /dag). Deze hoeveelheid komt overeen <strong>met</strong> het theoretische<br />
<strong>de</strong>biet <strong>van</strong> 4*q0*R = 400 m 3 /dag.<br />
Figuur 4: Isohypsen en iso-psi-lijnen <strong>van</strong> een cirkelvormig meer in een uniforme<br />
grondwaterstroming, gemo<strong>de</strong>lleerd <strong>met</strong> putten en spiegelputten, <strong>de</strong> netto onttrekking <strong>van</strong> het<br />
meer is 0<br />
Een cirkelvormig meer in een uniforme stroming kan wor<strong>de</strong>n gemo<strong>de</strong>lleerd <strong>met</strong> 4 putten.<br />
De uniforme stroming kan wor<strong>de</strong>n gemo<strong>de</strong>lleerd door een onttrekkingsput en een<br />
infiltratieput op grote afstand (2P) <strong>van</strong> elkaar te plaatsen en een groot <strong>de</strong>biet te kiezen.<br />
De uniforme stroming tussen <strong>de</strong> putten bedraagt dan q = Q πP<br />
. Het meer <strong>met</strong> een<br />
straal <strong>van</strong> R precies mid<strong>de</strong>n tussen <strong>de</strong> putten kan wor<strong>de</strong>n gemo<strong>de</strong>lleerd door 2 spiegelputten<br />
te kiezen, tegengesteld aan het teken <strong>van</strong> <strong>de</strong> putten <strong>van</strong> <strong>de</strong> uniforme stroming<br />
op een afstand R 2 P uit elkaar. Hoe ver<strong>de</strong>r <strong>de</strong> putten <strong>van</strong> <strong>de</strong> uniforme stroming <strong>van</strong><br />
elkaar staan (en hoe groter het <strong>de</strong>biet) hoe dichter <strong>de</strong> putten in het meer bij elkaar komen<br />
te staan. In het meer onstaat een zogenaam<strong>de</strong> dipool (zie figuur 4).
Iso-psi lijnen voor linesinks<br />
Uit het voorgaan<strong>de</strong> blijkt dat complete stromingspatronen voor putten op een relatief<br />
eenvoudige wijze kunnen wor<strong>de</strong>n berekend. Het principe <strong>van</strong> slim contouren kan bijvoorbeeld<br />
ook wor<strong>de</strong>n gebruikt voor linesinks. Een linesink is niets an<strong>de</strong>rs dan een langs<br />
een lijnstuk geïntegreer<strong>de</strong> onttrekkingsput. Ook bij linesinks treedt het verschijnsel <strong>van</strong><br />
meerwaardigheid <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie op, alhoewel <strong>de</strong> <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> hier wat ingewikkel<strong>de</strong>r<br />
is. Bij linesinks kan <strong>de</strong> positie en <strong>de</strong> oriëntatie <strong>van</strong> <strong>de</strong> meerwaardigheidsvlag wor<strong>de</strong>n<br />
gestuurd door het assenstelsel aan te passen aan <strong>de</strong> ligging <strong>van</strong> <strong>de</strong> linesink. Bij een willekeurig<br />
georiënteer<strong>de</strong> linesink kies ik een nieuw assenstelsel waarbij oorsprong in het<br />
mid<strong>de</strong>n <strong>van</strong> <strong>de</strong> linesink ligt, het assenstelsel wordt vervolgens geroteerd waarbij <strong>de</strong> x-as<br />
evenwijdig <strong>met</strong> <strong>de</strong> linesink ligt. De meerwaardigheidsvlaggen liggen <strong>nu</strong> in het verleng<strong>de</strong><br />
<strong>van</strong> <strong>de</strong> linesink zoals aangegeven in figuur 5.<br />
Figuur 5: Positie <strong>van</strong> <strong>de</strong> meerwaardigheidsvlag bij linesinks
De meerwaardigheidsvlag is in figuur 5 <strong>de</strong> schuine lijn die <strong>de</strong> gridcellen doorsnijdt. Bij<br />
elke doorsnijding <strong>van</strong> die lijn kan <strong>de</strong> positie <strong>van</strong> <strong>de</strong> meerwaardigheid wor<strong>de</strong>n bepaald<br />
(sterretjes in figuur 5). Door een administratie <strong>van</strong> <strong>de</strong> doorsne<strong>de</strong>n gridcellen <strong>met</strong> overeenkomstige<br />
sprongen bij te hou<strong>de</strong>n kan bij het contouren <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie een<br />
conti<strong>nu</strong> <strong>stroomlijnen</strong>patroon wor<strong>de</strong>n gegenereerd. Ter illustratie <strong>van</strong> <strong>de</strong> werking <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong>ze <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> heb ik acht linesinks gekozen als spaken in een wiel, <strong>met</strong> afwisselend een<br />
infiltratie- en ontrekkings<strong>de</strong>biet. In figuur 6 is voor dit voorbeeld het <strong>stroomlijnen</strong>patroon<br />
weergegeven.<br />
Figuur 6: Isohypsen en iso-psi-lijnen voor 8 line-sinks<br />
Iso-psi lijnen voor doublets<br />
Bij <strong>de</strong> techniek <strong>van</strong> analytische elementen kunnen gebie<strong>de</strong>n <strong>met</strong> een an<strong>de</strong>re doorlatendheid<br />
wor<strong>de</strong>n gemo<strong>de</strong>lleerd <strong>met</strong> zogenaam<strong>de</strong> line-doublets. Met <strong>de</strong>ze line-doublets<br />
kunnen potentiaalsprongen wor<strong>de</strong>n gemo<strong>de</strong>lleerd. Een line-doublet kan wor<strong>de</strong>n gemaakt<br />
door een dipool te integreren over een lijnstuk. De orientatie <strong>van</strong> <strong>de</strong> dipool wordt<br />
daarbij loodrecht op het lijnstuk gekozen. Op <strong>de</strong>ze manier kan een line-doublet wor<strong>de</strong>n<br />
gemaakt <strong>met</strong> een lineair verlopen<strong>de</strong> potentiaalsprong. Door het vervolgens aaneenrijgen<br />
<strong>van</strong> doublets kan een gebied <strong>met</strong> een an<strong>de</strong>re doorlatendheid wor<strong>de</strong>n on<strong>de</strong>rschei<strong>de</strong>n. Het<br />
bijzon<strong>de</strong>re <strong>van</strong> een line-doublet is dat <strong>de</strong>ze geen water onttrekt of infiltreert. Dit element<br />
heeft dan ook geen meerwaardigheidsvlag. In figuur 7 is een voorbeeld gepresenteerd<br />
<strong>van</strong> line-sinks in combinatie <strong>met</strong> een inhomogeniteit. De doorlatendheid binnen<br />
<strong>de</strong> inhomogeniteit is een factor 10 groter dan in het overig <strong>de</strong>el <strong>van</strong> het watervoerend<br />
pakket. De inhomogeniteit is gemo<strong>de</strong>lleerd <strong>met</strong> 46 lineair verlopen<strong>de</strong> line-doublets.
Figuur 7: Isohypsen en iso-psi-lijnen voor line-sinks in combinatie <strong>met</strong> een inhomogeniteit<br />
Conclusies<br />
Het genereren <strong>van</strong> complete stroomlijnpatronen op basis <strong>van</strong> <strong>de</strong> <strong>stroomf</strong>unctie is zon<strong>de</strong>r<br />
meer mogelijk.<br />
Een conti<strong>nu</strong> stromingspatroon kan wor<strong>de</strong>n gegenereerd door het administreren <strong>van</strong><br />
<strong>de</strong> locaties en <strong>de</strong> grootte <strong>van</strong> <strong>de</strong> meerwaardigheidssprongen. In dit verhaal heb ik volstaan<br />
<strong>met</strong> stromingspatronen <strong>van</strong> putten en linesinks in combinatie <strong>met</strong> doublets en<br />
een uniforme stroming. Maar <strong>de</strong>ze techniek kan natuurlijk ook wor<strong>de</strong>n toegepast op<br />
an<strong>de</strong>re analytische elementen.<br />
Hoewel het toekennen <strong>van</strong> verblijftij<strong>de</strong>n aan <strong>de</strong> op <strong>de</strong>ze wijze bereken<strong>de</strong> <strong>stroomlijnen</strong><br />
niet mogelijk is, geeft <strong>de</strong> beschreven <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> naar mijn i<strong>de</strong>e een aardig inzicht in het<br />
stromingspatroon. De <strong>met</strong>ho<strong>de</strong> is dus meer ter lering en vermaak dan praktisch toepasbaar.