FYSICA en ECONOMIE

FYSICA enECONOMIEJan Ryckebusch29 oktober 2005

???? Fysica en Economie ???? (I)ECONOFYSICA: nieuw multi-disciplinair gegeven van na hetjaar 2000Economisten beter getraind in statistische analyse dan defysiciHeel wat “modern werk” in de sociale wetenschappen(inclusief economie) gaat op zoek naar verschillen(bijvoorbeeld: het verschil tussen de beurs vanTokio en New York)Fysica wordt gedreven door een drang naar universelewettenFysici hebben “alternatieve kijk” op economische gegevensen benadrukken de “gemeenschappelijke kenmerken” eerderdan de “verschillen”

???? Fysica en Economie ???? (II)Heel wat economische gegevens voldoen aan dezelfdewetten als gekende fysische verschijnselenUit die analogie: aanpassen van modellen ontleend aan defysica om bijvoorbeeld de risico’s verbonden aanwelbepaalde financiële investeringen te berekenenEen gekend voorbeeld: theorie van Brownse beweging(Einstein, 1905) vormt de basis van de Black-Scholestheorie van “option pricing” (Nobelprijs economie1997: Robert Merton and Myron Scholes)Na 1905 werd de theorie van Brownse beweging (diffusie,random walk, dronkemansbeweging) door Fysici sterkverfijnd. Deze nieuwe technieken vinden hun weg naar eentak van de Economie gekend als “Financial riskmanagement”.

???? Fysica en Economie ???? (III)Met de komst van de krachtige computers: eensystematische vergelijking van Economische theorieën engegevens lijkt de te volgen strategieFysici zijn gewoon aan deze synergie tussen “theorie” en“experiment”Fysici zijn opgeleid in de “kunst van het benaderen” en hetgebruik van “intuïtie” (de werkelijkheid laat zich niet zogemakkelijk in een paar formules gieten en dikwijls moetenwe het probleem ontdoen van de franjes)Statistische Fysica is een levendig vakgebied dat toelaathet gedrag van complexe systemen bestaande uit zéér veelinteragerende deeltjes te voorspellen.

???? Fysica en Economie ???? (IV)Physics Today, September 2005:

???? Fysica en Economie ???? (V)‘‘We believe that a union of the methods ofphysics and economics, and collaborations betweenphysicists and economists, can add value to thescience of economics. However, overselling thatview has its dangers; econophysics is far fromwell established.’’

???? Fysica en Economie ???? (V)

Structuur van de volgende 80 minutenWat is Brownse beweging (“Fysica”) en wat is decontributie van Einstein?Toepassing van Brownse beweging in de Economie.Beperkingen van Brownse beweging in de Economie en deevidentie voor “machtwetten”.Beperkingen van Brownse beweging in de Fysica en deevidentie voor “machtwetten”.Machtwetten in de FysicaAndere voorbeelden van machtwetten1. Machtwetten van inkomensdistributies2. Machtwetten van oorlogen3. Machtwetten van aarbevingenWaarom water ijs wordt, magneetnaalden zich richten ende beurs crasht?

Het magische jaar 1905Fotoelektrisch effect:“Kwantumtheorie”Speciale relativiteitstheorie:“Relativiteitstheorie”Brownse beweging: “StatistischeFysica” (vanaf 2000:“Complexiteit” en “Econofysica”)ONBEKEND maakt nietnoodzakelijk ONBEMIND:werk rond Brownse bewegingis zijn meest geciteerde1905 werk!

Brownse beweging ...In de zomer van 1827 bestudeerde de Schotse bioloogRobert Brown zeer lichte graantjes opgelost in water.Hij merkte op dat de lichte graantjes opgelost in water weleindeloos in beweging bleven. De beweging was chaotischen leek eindeloos door te gaan.Brown verifieerde dat de graantjes niet leefden (zijn eerstehypothese, hij was tenslotte bioloog) en dat noch licht,noch warmte aan de oorsprong lagen van die chaotischebeweging.Het verschijnsel bleef bijna 80 jaar onverklaard ...

Einstein’s verklaring van Brownse beweging (I)Revolutionair idee: waterbestaat uit minuscule deeltjes(moleculen) die amper0,000000001 meter grootzijnBrownse beweging: stochastischproces waarbij de opgelostegraantjes gaan botsenmet de watermoleculen

Einstein’s verklaring van Brownse beweging (II)De opgeloste graantjes bewegen zich volgens een “randomwalk” (dronkemansbeweging). Basisveronderstellingen:Het graantje beweegt in stappen met een vaste lengte lTussen twee opéénvolgende stappen is er een vasttijdsverschil ∆t.Als het graantje op een rechte beweegt dan is er een gelijkekans om “vooruit” of “achteruit” te gaanDe opéénvolgende stappen zijn onafhankelijk(zoals bij het gooien van een dobbelsteen)

Einstein’s verklaring van Brownse beweging (III)TijdstipMogelijke positiestijd = 0 positie= 0tijd = ∆t positie = −l of +ltijd = 2 ×∆t positie = −2l of 0 of +2ltijd = 3 ×∆t positie = −3l of −l of +l of +3ltijd = 4 ×∆t positie = −4l of −2l of 0 of +2l of +4l

1./y**0.5*exp(-x**2/(2*y))Einstein’s verklaring van Brownse beweging (IV)Probabiliteit om een object te vinden op een positie x optijdstip tp(x, t) = N ]0√ exp[− x2.4πDt 4Dt0.8deeltjesdichtheid0.80.70.60.50.40.30.20.10.70.60.50.40.304131tijd2111-101-505positie100.20.10

Einstein’s verklaring van Brownse beweging (V)ρ 1(x,t)Deeltjes-dichtheid in random-walk systeem10.80.60.40.20t = 6τt = 4τt = 2τt = 1τ-5 0 5positie x (eenheden van l)Brownse beweging geeft aanleidingtot een Gaussische distributieDe p(x, t) is oplossing van diffusievergelijking∂p(x, t)= D ∂2 p(x, t)∂t ∂x 2Transport van deeltjes doorheeneen medium.Brownse beweging:afgelegde afstand ∼ √ tijdIn 1909: Jean Perin beweesdat Einstein’s verklaring vanBrownse beweging correct is(evidentie voor het bestaan vanmoleculen).

Brownse beweging anno 2005Beweging van moleculen in eenvloeistof kan gesimuleerd wordenop een computerDaarbij worden vrij ingewikkeldevergelijkingen miljoenen keer opgelost(film!)Maar ... resultaten verschillen nietzeer veel van wat Einstein voorspelde

Brownse beweging en financiële markten (I)Ecole Normale Supérieure (Parijs) in 1900: Louis Bachelier’sdoctoraatsthesis “Théorie de la spéculation”Gegeven de huidige prijs van financiële activa:wat is de KANS dat een bepaalde prijs optreedt inde toekomst?In die thesis: vele jaren voor Einstein de basisvergelijkingenvan het stochastisch proces gerelateerd aan Brownse bewegingen de diffusievergelijking!!

Brownse beweging en financiële markten (I)Ecole Normale Supérieure (Parijs) in 1900: Louis Bachelier’sdoctoraatsthesis “Théorie de la spéculation”Gegeven de huidige prijs van financiële activa:wat is de KANS dat een bepaalde prijs optreedt inde toekomst?In die thesis: vele jaren voor Einstein de basisvergelijkingenvan het stochastisch proces gerelateerd aan Brownse bewegingen de diffusievergelijking!!Thesis werd lauw onthaald: Fysici vonden het onderwerp“niet wetenschappelijk”.de promotor (Henri Poincaré) was aanvankelijk lauw in zijnappreciatie ... maar putte later heel gretig in de resultatenvan Bachelier.Postume erkenning: In 1964 werd het proefschrift in hetEngels vertaald!

Brownse beweging en financiële markten (II)Een simpele test, kijk naar de tijdsevolutie van indexen...Bovenste paneel: computersimulatievan de waardevan bijvoorbeeld een aandeelals een Brownse beweging(waarbij de positie xmet een prijs/waarde wordtgeassocieerd)Onderste paneel: evolutievan de DAX (Duitse beursindexmet 30 aandelen) tussenjanuari 1975 en mei 1977

Brownse beweging en financiële markten (III)Financiële tijdsseries: men volgt de prijsevolutie vanbepaalde financiële activa (bijvoorbeeld: een aandeel, eenindex (BEL20), waarde van een portofolio, pensioenfonds,...)In de moderne financiële literatuur: relevante grootheid isde “return”. Return δS τ (t) binnen een tijdsinterval τ opeen bepaald tijdstip tδS τ (t) =S(t) − S(t − τ)S(t − τ)≈ ln( S(t))S(t − τ)VOLATILITEIT: een maat voor de variatie van financiëleactiva. Als de volatiliteit klein is, dan zijn deschommelingen op de waarde beperkt, in periodes vangrote volatiliteit zijn de schommelingen groot! (volatiliteitkan geassocieerd worden met de stapgrootte in Brownsebeweging)

Brownse beweging en financiële markten (IV)“Return” genormaliseerd op een nul gemiddelde en eenheidvariantieδS τ (t) − 〈δS τ (t)〉δs τ (t) = √ 〈[δS τ (t)] 2〉 − 〈[δS τ (t)]〉 2De financiële markten gedragen zich als een “Brownsebeweging” op voorwaarde dat de δs τ (t) zich op eenuniversele Gaussische curve gaan plaatsen wanneer menverschillende tijdsvensters neemt (bijvoorbeeld 1970-1980,1980-1990, 1990-2000)Brownse beweging: volatiliteit (stapgrootte) is nietafhankelijk van de tijdFinanciële markten: volatiliteit is afhankelijk van de tijd

Brownse beweging en financiële markten (V)Voorbeeld: distributie vangenormaliseerde returnsvoor Duitse DAX index indrie tijdsvensters◦: 02.01.1975-15.03.1979△: 04.09.1987-02.12.1991⋆: 08.05.2000-31.10.2002In periodes waarin de volatiliteitvrij constant blijft isBrownse beweging een behoorlijkebeschrijving van financiëletijdsreeksen.Maar ... grote schommelingen(grote winsten of verliezen)zijn veel waarschijnlijkerdan wat Brownse bewegingvoorspelt!

Brownse beweging en financiële markten (VI)In een Brownse beweging zijn de verschillendeopéénvolgende stappen statistisch onafhankelijk (extremeonvoorspelbaarheid!)Correlatiefuncties zijn het instrument bij uitstek om uit tezoeken of opéénvolgende gebeurtenissen wel degelijkonafhankelijk zijn (“het geheugen van een systeem”)〈[] []〉δS τ (t) − 〈δS τ (t)〉 δS τ (t ′ ) − 〈δS τ (t ′ )〉C τ (t − t ′ ) = (〈[δS τ (t)] 2〉 − 〈[δS τ (t)]〉 2)Correlatiefuncties veel gebruikt instrument inniet-evenwichts Statistische Fysica! (kort of langgeheugen?)

Voorspelbaarheid en financiële markten

Voorspelbaarheid en financiële marktencorrelatiefunctie10.50-0.5-10 100 200tijdsverschil

Beperkingen van Brownse beweging voor financiëlemarktenBrownse beweging: volatiliteit (= D) is niet afhankelijkvan de tijdFinanciële markten: volatiliteit is afhankelijk van de tijdExtreme situaties (grote winsten of verliezen) zijn VEELwaarschijnlijker dan wat op basis van een Brownsebeweging (of, een Gaussische distributie) zou voorspeldworden.Mochten financiële markten zich gedragen conform met een“Brownse beweging” dan zouden CRASHES nooitvoorkomen!

Beperkingen van Brownse beweging voor financiëlemarktenBrownse beweging: volatiliteit (= D) is niet afhankelijkvan de tijdFinanciële markten: volatiliteit is afhankelijk van de tijdExtreme situaties (grote winsten of verliezen) zijn VEELwaarschijnlijker dan wat op basis van een Brownsebeweging (of, een Gaussische distributie) zou voorspeldworden.Mochten financiële markten zich gedragen conform met een“Brownse beweging” dan zouden CRASHES nooitvoorkomen!Scholes en Merton waren partners van het LTCM(Long Term Capital Management) fonds; in deperiode augustus-september 1998 verloor het fonds90% van zijn waarde of 4.5 miljard dollar

Beperkingen van Brownse beweging in de fysica (I)(1905) Brownse beweging ⇐⇒ Gaussische distributie ⇐⇒diffusievergelijkingBrownse beweging: stappen van gelijke lengte,opeenvolgende stappen zijn statistischonafhankelijk en gebeuren met gelijketussenpozenToepassing: Beweging van een molecule door eenvloeistof, de manier waarop muggen malariaverspreiden, ...(na 1970) Lévy beweging ⇐⇒ Lévy distributie ⇐⇒anomale diffusievergelijkingLévy beweging: de opeenvolgende stappen zijnniet onafhankelijk en gebeuren niet met gelijketussenpozenToepassing: Transport van elektronen inlaserprinters en kopieermachines, de manierwaarop albatrossen (zeevogels) en bacteria zichverplaatsen, ...

(shown in a 0.025 ms timeframe) provide evidence for this trapping nature,as shown by the different colours. The long residence times in thesecompartments is thought to be the origin of the anomalous behaviour.Beperkingen Brownse beweging in de fysica (II)4 Superdiffusion in monkey behaviour100 mendstartThe typical trajectories of spider monkeys in the forest of the MexicanYucatan peninsula display steps with variable lengths, which correspond to adiffusive process that is faster than that of normal diffusion. An example ofsuch a trajectory is shown on the left. A magnified part of it is shown on theright; this image looks qualitatively similar to the larger-scale trajectory, whichis an important property of Levy walks. Similar behaviour is found in theforaging habits of other animals, and could mean that anomalous diffusionoffers a better search strategy than that of normal diffusion.Subdiffusion50 musetantureundSupThefarstepthadirethisformnamShlrespmenproUdescanBoslargthe

age, whereas the median divides the distribution such that half the values are highernd half are lower. In the Gaussian distribution (left) the mean and the median coincide,ential distribution (middle) the mean is slightly larger than the median. The tails of bothertytionBeperkingen Brownse beweging in de fysica (III)ons decay very quickly, which means that very large values are highly improbable.eto distribution (right), which describes the distribution of wealth in a population, theefined and there is a non-zero probability for finding very high values.Werking van laserprinters en kopieermachines is gebaseerd opde transport van elektronen in halfgeleiders onder invloed van2 Anomalous diffusion in photocopierseen elektrisch veld.thespeistridomther.difigthsdomhichto aon,thetion.rareion?rise,ick’sh asonalphotocurrenttimeIn the 1970s researchers measured the transient photocurrent in amorphous-thin - -films - :thatklassiekeform thediffusiecore of photocopier(Gaussischemachinesdistributie)(data points). The bluedashed line: anomaleindicates thediffusieexpected(Lévybehaviourdistributie)if this diffusion processfollowed Fick’s equation, which led Scher and Montroll to describe theprocess using distributions with very broad waiting times. Both axes arelogarithmic. This became the best known example of anomalous subdiffusionin nature. From H Scher and E Montroll 1975 Phys. Rev. B 12 2455–2477

Over Gaussische en Lévy distributies (I)Gaussische distributieP G (x) =( )1√ exp (x − m)2−2πσ 2 2σ 2Bij een Gaussische grootheid x zijn extreme evenementen zogoed als onmogelijk (“magere staarten”). Bijvoorbeeld kans opafwijking van gemiddelde waarde vanmeer dan 3σ is 0.2%meer dan 10σ is 0.00000000000000000000002%.Gaussische distributie is enkel geschikt voor fenomenen diegeconcentreerd zijn rond gemiddelde Bijvoorbeelddistributie van de grootte van de mensen in eenbepaald land

Over Gaussische en Lévy distributies (II)Lévy distributieL µ (x) =+∞∑n=1(−1) n+1πn!× an (µπµn)x 1+nµ × Γ (1 + nµ) sin 2Bij een Lévy grootheid x zijn extreme evenementen NIET zoschaars (“vette staarten”). Extreem grote of kleine waardenzijn VEEL waarschijnlijker dan bij een Gaussische variabele.Voor voldoende grote waarden van x krijgen we eenMACHTWET:L µ (x) ∼ µa µ|x| 1+µvoldoende grote waarden van x.

Machtwetten en financiële markten (I)Cumulatieve distributievoor de genormaliseerdereturns van de AmerikaanseS&P 500 aandelenindexDrie regimes:1. Kleine returns: Gaussisch2. Middelmatige returns(0.5 ≤ σ ≤ 2): machtwet3. Grote returns (σ ≥ 3):machtwetPositieve en negatieve returns(winst of verlies) volgendezelfde wetten ...Bron: Physical Review E 60(1999) pagina 5305.

Machtwetten en financiële markten (II)De meer-dan-normale situaties in de “returns” op financiëlemarkten voldoen aan machtwetten! Brownse beweging(klassieke diffusie, Gaussische distributie) is absoluutongeschikt om deze meer-dan-normale situaties temodelleren!Er zijn heel wat verschijnselen in de natuurkunde dievoldoen aan machtwetten (anomale diffusie!).In de fysica komen machtwetten dikwijls op de voorgrondin situaties waarbij systemen bestaande uit zeer veelcomponenten zich extreem goed en op een zeer coherentemanier gaan organiseren (faseovergangen of kritischefenomenen).

MachtwettenEen verschijnsel beschreven door een functie (of wet) f(x)voldoet aan een machtwet indienf(x) = A x α met, α > 0α: coëfficiënt van de machtwetOp een logaritme-logaritme figuur wordt een machtwet eenrechtelog f(x) = log A − α log xVerschijnselen die voldoen aan machtwetten zijn “continuschaalinvariant” (of, f(x) ziet er nog steedshetzelfde uit als men arbitrair inzoomt ofuitzoomt)

Machtwetten op een lineaire en logaritmische schaalf(x)0.80.60.4Machtwetten op lineaire schaal1α=1α=2α=30.200 2 4 6 8 10xlog f(x)Machtwetten op logaritmische schaalα=110 -1 α=210 -2α=310 -310 -410 -51 10 10 2 10 3 10 4log x

Schaalinvariantie (zelfsimilariteit)

Waarkomen demachtwettenvandaan ?

Machtwetten in de fysica (I)Machtwetten zijn in de fysica ook het handelsmerk van“extreme” fenomenen (“kritische fenomenen”)Kritische fenomenen komen voor rond fasetransities1. Water wordt ijs! Water wordt damp!2. Chocolade smelt!3. Magneetnaalden richten zich ! Wanneerde temperatuur te groot wordt verdwijntdie eigenschap.4. Sommige vloeistoffen worden bijlage temperaturen supervloeibaar!(vloeibaar Helium bij 2.17 Kelvin)5. Sommige materialen worden bij afkoelingsupergeleidend!

De machtwetten van de fysica (II)Vloeibaar Helium bij de lambda transitie (superfluïdefasetransitie): machtwetten en schaalinvariantie

De machtwetten van de fysica (III)Fasetransities (waarom wordt water bij 0 o en atmosferischeomstandigheden ijs?) behoren tot de meest moeilijkeproblemen in de fysicaWater bestaat uit onnoemelijk veel watermoleculen (meerdan 1000000000000000000000000 per gram water)In de fasetransitie moeten die gigantische hoeveelheidwatermoleculen zich als één blok op een gecoördineerdemanier anders gaan organizerenDit raadsel werd opgelost binnen de context vanStatistische Fysica (belangrijkste inzichten na 1970)Een belangrijke rol werd hierbij gespeeld door hetbefaamde Ising model (871.000 hits in GOOGLE!!!)

s→agnetischveldHet Ising model (I)Elke positie in het rooster is ofwel“ja” (↑) ofwel “nee” (↓)Er is alleen communicatie tussendichtste naburen.De sterkte van deze communicatiekan geregeld worden.De communicatie is van dien aarddat elke positie in het rooster probeertzijn geburen op hetzelfdeidee te brengen.Er is invloed (tegenwerking) vanbuitenaf en deze invloed probeertwanorde te scheppen (randomiseren).De grootte van deze invloed kangeregeld worden (“Temperatuur”)

Het Ising model (II)Ising systeem werd aanvankelijk ontwikkeld als model omhet spontaan richten van magneetnaalden te verklaren.Thans zeer veel toepassingen in en buiten de Fysica!De wetten van de Statistische Fysica dicteren hoe het Isingsysteem een evenwicht zal vinden tussen de communicatietussen de dichtste naburen (die probeert orde te creëren)en de externe invloeden (die proberen wanorde te creëren).Het probleem is allesbehalve gemakkelijk op te lossen(bijvoorbeeld een 20 bij 20 rooster heeft 400 posities en2 400 verschillende mogelijkheden)Ising model kan toch opgelost worden (belangrijkste bronvan kennis: simulaties op computers!!)

Voorspellingen van het Ising model (III)De fasetransitie treedt op bij welbepaalde waarden van deverhoudingsterkte van de communicatie tussen dichtste naburensterkte van de externe beïnvloedingRond de fasetransitie voldoen de eigenschappen van hetIsing systeem aan machtwetten.De coëfficiënten van de machtwetten zijn universeel!!!Rond de fasetransitie is het systeem schaalinvariant (ziet erhetzelfde uit als men met goede of slechte bril kijkt).Daarbij wordt een welbepaalde techniek gebruikt (de“Renormalizatie Groep Methode”, K. Wilson, NobelprijsFysica 1982). Wiskundige vertaling van: het globaal gedragvan een systeem wordt bepaald door het samenbrengen vaneen aantal subsystemen. Het gedrag van elk subsysteemwordt dan weer bepaald door sub-subsystemen, enz.

Het Ising model rond de fasetransitie (IV)✷✷ =⇒ ✷✷✷Herhaalde toepassing van de renormalizatie-groep methodelaat de structuur invariant. Het systeem isschaalinvariant of behoudt dezelfde balans tussen ordeen wanorde. Het systeem is “fractaal”.

Het Ising model weg van de fasetransitie (IV)✷✷ =⇒ ✷✷✷Herhaalde toepassing van de renormalizatie-groep methodelaat de structuur NIET invariant. Het systeemis NIET schaalinvariant en behoudt NIET dezelfde balanstussen orde en wanorde. Het systeem heeft geenfractale structuur.

Fractale kijk op Econofysica ...Benoit Mandelbrot: de grootvadervan Fractale Geometrie en ChaosTheorie.Richard Hudson: Europese editie vande Wall Street Journal“Financial markets do not fluctuatealong a “random walk”.The (Mis)behavour of Marketsis a revolutionary re-evaluationof the standard tools and modelsof modern financial theory. Forthe millions who have been ledto underestimate the real risksof financial markets it will ensurethat they never see thingsin quite the same way again.”

Waarkomenmachtwettennog voor?

Inkomensdistributies en machtwetten (I)In 1897 ontdekte Vilfredo Pareto de eerste machtwet ooitgerapporteerdMachtwet werd gevonden in een macro-economischegrootheid: inkomensdistributieInkomensdistributie bleek enorm breed (enorme klooftussen rijk en arm) en een gemiddelde moeilijk tebepalen.De distributie aan “hoge” inkomens (top 1%!) kanbeschreven worden door een machtwetP r(W > w) ∼ 1w αP r(W > w): kans dan men een inkomen groter heeft dan wα: Pareto coëfficiënt

Inkomensdistributies en machtwetten (II)De distributie aan “lage” en “midden” inkomens wordtbeschreven door een exponentiële( ) w − w0P r(W > w) ∼ exp −βVerbazend hoe inkomensdistributies kunnen beschrevenworden met zo weinig parameters: Pareto coëfficient α, hetscheidingspunt tussen “hoge” en “lage/midden” inkomens,de parameters w 0 , βDeze parameters verschillen van jaar tot jaar en van landtot land, maar de vorm van de inkomendistributie lijktuniverseel

De inkomensdistributie in Japan en de VS (2004)

Inkomensdistributies en machtwetten (III)Maximum-entropie principes (uit de Thermodynamica,Fysica!) kunnen de vorm van de inkomendistributiesreproducerenMaximum-entropie principe: een systeem bestaandeuit veel deelobjecten gaat zich conform deomstandigheden zodanig organiseren dat het eensituatie bereikt die op zeer veel verschillendemanieren kan gerealiseerd worden.Lijkt een vorm van “universaliteit” te suggereren: de bredewaaier aan politieke, economische en sociale mechanismendie de inkomensdistrubutie beïnvloeden middelen uit engenereren “universele” patronenDeze universele patronen worden waargenomen in deFysica.

De machtwetten van de oorlog (I)IraqBodyCount: ongeveer 25000 burgers gedood in hetconflict in Iraq (juli 2005).Gemiddeld 34 slachtoffers per dag: sommige dagen veelmeer, andere dagen (bijna) geen.N. Johnson (fysicus) & en M. Spagat (economist) bewerendat ze een conflict kunnen catalogeren aan de hand van depatronen in het aantal slachtoffers.Bestuderen het aantal slachtoffers per incident en defrequentie van die incidenten.Bevindingen waren verbazend: geen wilde variatie in hetaantal incidenten ... maar een machtwet.

De machtwetten van de oorlog (II)Kans dat er bij een incident een hoeveelheid slachtoffers (= W )vallen groter dan w (P r(W > w))

De machtwetten van de oorlog (III)Machtwet wordt gekarakteriseerd door een coëfficiënt α. Hoekleiner α hoe groter de kans dat er veel slachtoffers vallen bijeen incident.Oude oorlogen (1816-1980): α =1.80Terrorisme (1968-nu) in G7-landen: α = 1.70Terrorisme (1968-nu) buiten G7-landen: α = 2.50Oorlogen in Colombië en Irak lijkennaar α = 2.50 te evolueren

De machtwetten van de oorlog (IV)N. Johnson en M. Spagat vroegen zich af “waaromproduceren de moderne oorlogen zoals ze woeden in Irak enColombië een gedrag dat zich in een machtwet laat gietenen waarom evolueren ze naar een machtwet met coëfficiëntα = 2.5 ?Binnen de context van Statistische Fysica is men eringeslaagd om het gedrag van zéér complexe systemen inrelatief eenvoudige wetten te gieten (“entropieprincipes”)Dikwijls op basis van modellen (dit is een vereenvoudigingvan de werkelijkheid, waarin toch de basismechanismen enprincipes overgehouden worden).Modellering in Statistische Fysica gaat uit van het idee datmen geen volledige informatie over de individuelecomponenten van een systeem moet bezitten om hetglobaal gedrag van het volledig systeem te begrijpen.

De machtwetten van de oorlog (V)Ze maakten een model voor de oorlog beschreven in “From oldwars to new wars and global terrorism” (Juni 2005,http://xxx.lanl.gov/physics/0506213)‘‘Our model bears some similarity of herding byCont and Bouchaud and is a direct adaption of theEguiluz-Zimmerman model of herding in financialmarkets.’’In een moderne (guerilla)oorlog bestaat het “leger” uit eencollectie van onafhankelijke opererende slageenheden.Elke slageenheid bezit een welbepaalde slagkracht die hetgemiddeld aantal slachtoffers bepaalt in een incident als dieslageenheid in actie komt.Naarmate de tijd vordert zullen de slageenheden met eenzekere waarschijnlijkheid samensmelten met andereslageenheden of opbreken in kleinere slageenheden.

De machtwetten van de oorlog (VI)Kan in een vergelijking samengevat worden∂n s∂t = −νsn sN+1 − νN 2∑s−1s ′ =1s ′ n s ′(s−s ′ )n s−s ′− 2 (1 − ν) sn sN 2+∞ ∑s ′ =1s ′ n s ′n s : aantal slageenheden dat s slachtoffers per incidentveroorzaaktResultaat1: distributie aan incidentenmet s slachtoffers volgt eenmachtwetResultaat2: na voldoende langetijd is er een evenwicht enn s ∼ 1 of, α = 2.5s2.5

De machtwetten van aardbevingenLogaritme-logaritme figuur van het aantal aardbevingen tegenhet zogenaamd seismisch moment (ongeveer evenredig met dehoeveelheid energie die vrijkomt in een aardbeving)(Gutenberg-Richter law)

Waarom de beurs crasht? (I)Waarom crashen de beurzen geregeld?Zijn crashes het eindpunt van speculatievezeepbellen?Zijn crashes het equivalent van fasetransitiesin de fysica?Zijn crashes voorspelbaar?Zijn aardbevingen voorspelbaar?(D. Sornette is een geofysicus)Kan de sterkte van crashes gemetenworden (zoals de Richterschaal de sterkte van aardbevingenaangeeft)

Waarom de beurs crasht? (II)D. Sornette beweert dat crashes tot op zeker hoogtevoorspelbaar zijn. Daarbij baseert hij zich vooral op sterke“analogieën” tussen fenomenen in de fysica en crashes.Oorzaak moet gezocht worden in een periode van de jarendie aan de crash voorafgaan.Een “bubble” gaat de crash vooraf. Er is een gradueleopbouw van coöperativiteit door de communicatie tussende investeerders. Daardoor gaan de prijzen in een steedssneller tempo stijgen.Machtwetten en schaalinvariantie zijn de handtekeningenvan extreme evenementen (hoge inkomens, aardbevingen,oorlogen en ... fasetransities in de fysica).Naast het fenomeen van continue schaalinvariantie is er ookeen fenomeen van discrete schaalinvariantie (ondermeergebruikt in theorieën die nagaan hoe materialen breken).Theorie van discrete schaalinvariantie is toegepast voor hetvoorspellen van aardbevingen en crashes.

A posteriori voorspellingen van aardbevingen (I)Op basis van argumenten gebaseerd op “discrete”schaalinvariantie en kennis van “hoe materialen breken”(modellen die variaties zijn van het Ising model) werd devolgende vorm vooropgezet voor de spanning die langzaamopgebouwd wordt en vrijkomt bij een aardbeving)ɛ(t) = A + B |t f − t|(1 µ + C cos [ω ln |t f − t| + φ]Machtwet met logaritme-periodische oscillaties.A, B, t f , µ, C, ω, φ: parameters die a-priori niet gekend zijn.t f is het ogenblik waarop de aardbeving plaats grijpt.Alleen voorspellen op basis van gegevens i.v.m. ɛ(t)‘‘Het is moeilijk te voorspellen, vooral in detoekomst’’

A posteriori voorspelling van aardbevingen (II)Toegepast op de aardbeving nabij Loma Preta(Noord-Californië) op 8/10/1989 geeft dit ...predictie: t f =1989.9±0.8

Voorspellingen van beurscrashes (I)Voorspellingen van beurscrashes gebeuren op dezelfde manierals bij aardbevingen. Vervang de “spanning” ɛ(t) door de“return” S(t). De voorspelling is dan dat in de periode vooreen crash de “returns” (of indexen) aan een machtwet metlogaritme-periodische oscillaties voldoen ...)S(t) = A + B |t f − t|(1 µ + C cos [ω ln |t f − t| + φ]Ook hierin 7 parameters die niet a-priori gekend zijn. t f is hetogenblik waarop de verhoogde kans op de crash zich voordoet.

Voorspellingen van beurscrashes (II)S&P index in zeven jaren voor de crash van 1987...

Voorspellingen van beurscrashes (III)Dow Jones index in de acht jaren voor de crash van1929 ...

Voorspellingen van beurscrashes (IV)Het model van D. Sornette voorspelt ook “anti-bubbles” dieaan dezelfde wetten voldoen ...Nikkei index in de 11 jaren na de ‘‘all-timehigh’’ van 31 december 1989D. Sornette / Physics Reports 378 (2003) 1–9810.810.610.4Log (Nikkei)10.2109.89.69.490 92 94 96 98 100Date

Fysica en Economie: Besluit (I)Fysica: Brownse beweging (Einstein, 1905) is een goedmodel voor veel transportverschijnselen.Fysica: Er is een betere theorie (1970-) die een veel grotereklasse aan transportverschijnselen modelleert (Lévybeweging). Het verschil met Brownse beweging zit hemvooral ... in de staarten waar machtwetten optreden.

Fysica en Economie: Besluit (I)Fysica: Brownse beweging (Einstein, 1905) is een goedmodel voor veel transportverschijnselen.Economie: Brownse beweging verklaart veel aspecten vanfinanciële tijdsreeksen.Fysica: Er is een betere theorie (1970-) die een veel grotereklasse aan transportverschijnselen modelleert (Lévybeweging). Het verschil met Brownse beweging zit hemvooral ... in de staarten waar machtwetten optreden.Economie: Extreme gebeurtenissen op financiële marktenvragen om een model gebaseerd op machtwetten.

Fysica en Economie: Besluit (II)Fysica: Extreme gebeurtenissen zijn kenmerkend voor veelfysische systemen bestaande uit heel veel componenten(bijvoorbeeld water wordt ijs).Fysica: Het is behoorlijk begrepen (1970-) hoe in complexesystemen deze extreme gebeurtenissen ontstaan. Er is eenvorm van extreme coördinatie en organisatie tussen deverschillende individuele deeltjes mee gemoeid. Dit geeftaanleiding tot schaalinvariantie en UNIVERSELEmachtwetten voor de observabelen.

Fysica en Economie: Besluit (II)Fysica: Extreme gebeurtenissen zijn kenmerkend voor veelfysische systemen bestaande uit heel veel componenten(bijvoorbeeld water wordt ijs).Economie: extreme gebeurtenissen en machtwetten zijnniet alleen kenmerkend voor financiële markten, maar ookvoor inkomensdistributies, slachtofferdistributies inoorlogen, ... .Fysica: Het is behoorlijk begrepen (1970-) hoe in complexesystemen deze extreme gebeurtenissen ontstaan. Er is eenvorm van extreme coördinatie en organisatie tussen deverschillende individuele deeltjes mee gemoeid. Dit geeftaanleiding tot schaalinvariantie en UNIVERSELEmachtwetten voor de observabelen.Economie: Er zijn (gecontesteerde) modellen op dewetenschappelijke markt die “crashen” beschouwen als eenextreme gebeurtenissen in een complex systeem.