OPTIMALISATIE IN INVENTOR - CAD College

- Optimalisatie in Inventor -
6. Steepest-Descent methode
Doordat de halveringsmethode en de kwadratische interpolatie beperkt zijn tot het variëren van één
variabele is er verder gekeken naar technieken waarbij wel meerdere parameters geoptimaliseerd
kunnen worden. Zo gauw er meerdere parameters geoptimaliseerd moeten worden is er geen sprake
meer van een 2D grafiek, maar gaat het om een 3 dimensionaal probleem. De eerste
optimalisatietechniek, waarbij meerdere parameters geoptimaliseerd worden, die in het boek van
Daniels [3] besproken wordt is de Steepest-Descent methode. De Steepest-Descent methode zoekt naar
het minimum van een functie door middel van de gradiënt.
Figuur 7: Schematische weergave heuvellandschap
6.1 Hoe werkt de Steepest-Descent methode?
Om de Steepest-Descent te begrijpen is het handig de functie die geminimaliseerd moet worden voor
te stellen als een heuvellandschap, waarbij de dalen het minimum voorstellen en de pieken het
maximum. In figuur 7 is een heuvel schematisch weergegeven met behulp van zogenaamde
hoogtelijnen. De bedoeling is om het diepste dal te vinden zonder in een lokaal minimum te blijven
hangen. Bij de Steepest-Descent methode is het zo, dat vanuit een bepaalde startpositie heuvelafwaarts
(in de richting tegengesteld aan de gradiënt) wordt gezocht. Allereerst wordt bekeken waar de heuvel
het hardst naar beneden loopt. Er wordt een stap heuvelafwaarts gemaakt die zo groot is dat bij een
nog grotere stap weer heuvelopwaarts zou worden gegaan. Op dit lokale minimum wordt weer de
grootste helling berekent. De procedure bestaat dus eigenlijk uit twee afzonderlijke subprocedures,
namelijk een voor de bepaling van de steilste richting (Steepest-Descent) en de ander voor het zoeken
langs deze richting naar het optimum. Dit laatste gebeurt door middel van kwadratische interpolatie.
Deze iteratieve methoden kan wiskundig geschreven worden in de vorm:
k+
1 k
x = x + α ⋅
S
k
De vector S geeft de richting aan waarlangs gezocht wordt en de grootheid α bepaald de afstand
waarover de richting S moet worden gevolgd. Het superscript k geeft het iteratie nummer weer.
Het proces wordt in figuur 8 getoond. Het proces begint bij startpositie x0. Vervolgens wordt de
richting S bepaald. Dit is dus de richting waar de helling het steilst loopt. Daarna wordt de afstand
bepaald met behulp van de kwadratische interpolatie. Op x1 wordt wederom de steilste helling bepaald.
In de figuur is te zien dat een bepaald bereik opgegeven is. Het bereik waarbinnen een optimum
gevonden moet worden is omlijnd door de schuine arcering. Doordat de richting S1 buiten dit bereikt
dreigt te gaan, wordt op punt x2 opnieuw de steilste helling gezocht. Dit net zolang totdat het minimum
bereikt is.
- Nijmegen - 21