Konkrete funktioner

Vi har defineret potensen a n som “det tal man f˚ar ved at gange a med
sig selv n gange”. Det er derfor oplagt at vi har regnereglerne
a m+n = a m · a n
a m·n =(a m ) n
Vi f˚ar brug for at udvide definitionen af potenser til at dække eksponenter
der ikke er positive heltal. Fidusen er at gøre det s˚aledes at de to regneregler
ovenfor stadig gælder (jf. udvidelsen af mængder til multimængder).
Lad os betragte potenser p˚a formena 0 først. Ifølge (2) skal der for alle
n ∈N gælde
a n = a 0+n = a 0 · a n . (4)
Men s˚a era 0 nødt til at være 1. Og det er s˚a vores definition.
Tilsvarende bliver vi tvunget til at definere potenser med negative eksponenter
p˚a enbestemtm˚ade. Ifølge (2) har vi
(2)
(3)
1=a 0 = a n−n = a −n+n = a −n · a n . (5)
S˚a a −n er nødt til at være 1
a n . Og det er s˚a vores definition. Potenser p˚a
formen a m−n er ifølge (2) nu givet ved
a m−n = a −n+m = a −n · a m = 1
an · am = am
. (6)
an Indtil nu har vores eksponenter alle været heltal. Lad n være forskellig
fra 0. Ved brug af (3) f˚ar vi
a = a 1 = a n
n = a 1
n ·n =(a 1
n ) n . (7)
Alts˚a m˚a vi definere a 1
n som det tal, der ganget med sig selv n gange giver
a. Dette tal kaldes den n’te rod af a og skrives n√ a. I tilfældes n =2skrives
blot √ a og dette tal kaldes kvadratroden af a. Tilsvarende kaldes 3√ a for
kubikroden af a. Vi har alts˚a pr. definition at ( n√ a) n = a. Potenserp˚aformen
a m
n er ifølge (3) nu givet ved
a m
1
m·
n = a n =(a m ) 1
n = n√ am . (8)
Vi har hermed defineret potenser a q for alle rationale tal q, dvs.foralle
brøker. En udvidelse til alle relle tal, alts˚a potenserp˚aformena r hvor r ∈R,
er ogs˚a mulig. Lad os betragte a π .Vivedatπ kan skrives som en uendelig
decimalbrøk
π =3,1415926... (9)
2