Konkrete funktioner

Anvendelse i datalogi
I datalogi anvendes logaritmer, potensfunktioner, eksponentialfunktioner og
fakultet især til analyse af algoritmers ressourceforbrug som funktion af inputtets
størrelse. Ressourcer kan være tid, plads i arbejdslageret, b˚andbredde
p˚a nettet eller antallet af gange algoritmen bruger harddisken.
Generelt betragtes kun voksende funktioner – programmer arbejder sjældent
hurtigere jo mere input de f˚ar! Da inputtets størrelse m˚ales i antallet af
tegn der skal bruges til at skrive inputtet ned, er et programs ressourceforbrug
formelt en voksende funktion fra N til R + . Her gælder
Enhver logaritme vokser langsommere end enhver potensfunktion
som vokser langsommere end enhver eksponentialfunktion. Fakultet
vokser hurtigere end alle de øvrige funktioner.
Formelt gælder for ethvert positivt r ∈R + og ethvert reelt tal a>1:
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ log a n ≤ n r
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ n r ≤ a n
(19)
(20)
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ a n ≤ n! . (21)
Dvs. hvis blot inputstørrelsen n er stor nok, dvs. større end n0, s˚aerlogan mindre end nr . Tilsvarende er nr mindre end an som er mindre end n! for
stort nok n.
Bemærk at dette gælder uanset a og r. F.eks. er en algoritme, hvis
udførelsestid er givet ved n10.000 hurtigere “p˚a distancen” end en tilsvarende
algoritme, hvis udførelsestid er givet ved 1,0001n . Her skal inputstørrelsen n
dog være ret stor for at den første er at foretrække frem for den sidste.
Eksempel 2 Vi vil undersøge for hvor stort input en algoritme med udførelsestid
n3 er hurtigere end en algoritme, hvis udførelsestid er 1,5n :
n n31,5n n n3 1,5n 1 1 1,513 2.197 194,6
2 8 2,314 2.744 291,9
3 27 3,415 3.375 437,9
4 64 5,116 4.096 656,8
5 125 7,6 17 4.913 985,3
6 216 11,4 18 5.832 1.477,9
7 343 17,1 19 6.859 2.216,8
8 512 25,6 20 8.000 3.325,3
9 729 38,4 21 9.261 4.987,9
10 1.000 57,7 22 10.648 7.481,8
11 1.331 86,5 23 12.167 11.222,7
12 1.728 129,7 24 13.824 16.384,1
8