Konkrete funktioner

Potensfunktioner
Der er to oplagte m˚ader hvorp˚a man kan lave sig funktioner ud af potenser,
idet man enten holder grundtallet eller eksponenten fast og lader den anden
variere. Ved at fastholde eksponenten f˚ar vi potensfunktioner som alle har
formen
x r hvor r er et fast, reelt tal. (12)
Da vi her kun betragter positive grundtal er alle vores potensfunktioner funktioner
p˚a R + , mængden af alle positive, reelle tal. Dvs. x r : R + →R + .
Figur 1 viser grafen for nogle potensfunktioner.
Opgave 2 Lad xr være en potensfunktion med r = 0.Visatxrer en bijektion
og har invers x 1
r . Hvorfor er potensfunktionen x0 ikke en bijektion?
Hvorfor har den ingen invers funktion?
Bemærk at da x r og x 1
r = r√ x med r = 0 er inverse funktioner har vi to
identiteter som kan bruges til at simplificere udtryk:
r√ x r = x og ( r √ x) r = x for alle x ∈R + og r ∈Rmed r = 0. (13)
Opgave 3 Simplificér udtrykket x9
7√ x 56 .
Eksponentialfunktioner og logaritmer
Ved at fastholde grundtallet i stedet for eksponenten f˚ar vi eksponentialfunktioner
som alle har formen
a x hvor a er et fast, reelt tal, større end 0. (14)
Da a r > 0 for alle r ∈Rhar vi a x : R→R + og enhver s˚adan eksponentialfunktion
med a = 1 er en bijektion.
Opgave 4 Hvorfor er 1 x : R→R + ikke en bijektion? Hvorfor har den ingen
invers funktion?
De inverse funktioner til eksponentialfunktionerne kaldes logaritmer. Videfinerer
simpelthen for a = 1:
– eller med andre ord:
log a x =dettaly ∈Rsom opfylder a y = x (15)
log a x = y ⇐⇒ a y = x. (16)
4