Konkrete funktioner

Konkrete funktioner
Potenser
Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et
tal med sig selv et antal gange. Hvis a ∈Rskriver vi
a 2
a 3
a 4
for a · a
for a · a · a
for a · a · a · a
.
Et udtryk p˚a formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi
vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, alts˚a a>0.
Eksempel 1 I datalogi dukker potenser p˚a formen2 n ustandselig op. De
opst˚ar, fordi computere (og dataloger) ofte st˚ar med to valgmuligheder, s˚a
som “sand eller falsk” og “0 eller 1”. Hvis man skal træffe n s˚adanne valg i
træk, bliver det samlede antal valgmuligheder netop 2 n .
En computers arbejdslager best˚ar af en lang række bits som kan have en
af de to værdier 0 og 1 (bit er en forkortelse for BInary digiT). Ved at bruge
flere bits kan man repræsentere mange forskellige værdier:
Bits Forskellige værdier
1 2 1 =2
2 2 2 =4
3 2 3 =8
4 2 4 =16
5 2 5 =32
6 2 6 =64
7 2 7 = 128
8 2 8 = 256
16 2 16 = 65.536
32 2 32 = 4.294.967.296
64 2 64 = 18.446.744.073.709.551.614
Det er almindeligt at bruge 8, 16, 32 eller 64 bits til at repræsentere et heltal.
Af historiske ˚arsager bruger Java navnene byte, short, int og long om disse
repræsentationer. Jo større tal man har brug for, jo flere bits m˚a man afsætte.
Et lønningssystem kan formentlig nøjes med en int, mens finansloven har
brug for en long.
1
(1)

Vi har defineret potensen a n som “det tal man f˚ar ved at gange a med
sig selv n gange”. Det er derfor oplagt at vi har regnereglerne
a m+n = a m · a n
a m·n =(a m ) n
Vi f˚ar brug for at udvide definitionen af potenser til at dække eksponenter
der ikke er positive heltal. Fidusen er at gøre det s˚aledes at de to regneregler
ovenfor stadig gælder (jf. udvidelsen af mængder til multimængder).
Lad os betragte potenser p˚a formena 0 først. Ifølge (2) skal der for alle
n ∈N gælde
a n = a 0+n = a 0 · a n . (4)
Men s˚a era 0 nødt til at være 1. Og det er s˚a vores definition.
Tilsvarende bliver vi tvunget til at definere potenser med negative eksponenter
p˚a enbestemtm˚ade. Ifølge (2) har vi
(2)
(3)
1=a 0 = a n−n = a −n+n = a −n · a n . (5)
S˚a a −n er nødt til at være 1
a n . Og det er s˚a vores definition. Potenser p˚a
formen a m−n er ifølge (2) nu givet ved
a m−n = a −n+m = a −n · a m = 1
an · am = am
. (6)
an Indtil nu har vores eksponenter alle været heltal. Lad n være forskellig
fra 0. Ved brug af (3) f˚ar vi
a = a 1 = a n
n = a 1
n ·n =(a 1
n ) n . (7)
Alts˚a m˚a vi definere a 1
n som det tal, der ganget med sig selv n gange giver
a. Dette tal kaldes den n’te rod af a og skrives n√ a. I tilfældes n =2skrives
blot √ a og dette tal kaldes kvadratroden af a. Tilsvarende kaldes 3√ a for
kubikroden af a. Vi har alts˚a pr. definition at ( n√ a) n = a. Potenserp˚aformen
a m
n er ifølge (3) nu givet ved
a m
1
m·
n = a n =(a m ) 1
n = n√ am . (8)
Vi har hermed defineret potenser a q for alle rationale tal q, dvs.foralle
brøker. En udvidelse til alle relle tal, alts˚a potenserp˚aformena r hvor r ∈R,
er ogs˚a mulig. Lad os betragte a π .Vivedatπ kan skrives som en uendelig
decimalbrøk
π =3,1415926... (9)
2

Vi kan derfor tilnærme π med brøkerne
3
1
, 31
10
, 314
100
, 3.141
1.000
, 31.415
10.000
– og vi definerer a π som grænseværdien af følgen
314.159
, ,... (10)
100.000
a 3
1 ,a 31
10 ,a 314
100 ,a 3.141
1.000 ,a 31.415
10.000 ,a 314.159
100.000 ,... (11)
Detaljerne i denne definition falder uden for dette kursus, men kan findes i
enhver bog om kalkulus. Vi slutter med en opsummering:
Definition af potenser
Lad a ∈Rvære positiv. Vi definerer:
a 0 =1
a n = a · a ···a
n faktorer
a −n = 1
a n
for n ∈N og n>0
for n ∈N og n>0
a m
n = n√ a m for m, n ∈N og n>0
a r = grænseværdien af a q
n˚ar q g˚ar mod r
gennem rationale tal
for r ∈R
Denne definition kan bruges til at bevise regneregler for potenser.
Regneregler for potenser
Lad a, b ∈Rvære positive og r, s ∈R.S˚agælder:
a 0 =1 a −r = 1
a r
a r+s = a r · a s
(a · b) r = a r · b r
a r−s = ar
a s
a r·s =(a r ) s
( a
b )r = ar
br Opgave 1 Lad m, n ∈N. Vis ud fra definitionen at am−n = am
.
an 3

Potensfunktioner
Der er to oplagte m˚ader hvorp˚a man kan lave sig funktioner ud af potenser,
idet man enten holder grundtallet eller eksponenten fast og lader den anden
variere. Ved at fastholde eksponenten f˚ar vi potensfunktioner som alle har
formen
x r hvor r er et fast, reelt tal. (12)
Da vi her kun betragter positive grundtal er alle vores potensfunktioner funktioner
p˚a R + , mængden af alle positive, reelle tal. Dvs. x r : R + →R + .
Figur 1 viser grafen for nogle potensfunktioner.
Opgave 2 Lad xr være en potensfunktion med r = 0.Visatxrer en bijektion
og har invers x 1
r . Hvorfor er potensfunktionen x0 ikke en bijektion?
Hvorfor har den ingen invers funktion?
Bemærk at da x r og x 1
r = r√ x med r = 0 er inverse funktioner har vi to
identiteter som kan bruges til at simplificere udtryk:
r√ x r = x og ( r √ x) r = x for alle x ∈R + og r ∈Rmed r = 0. (13)
Opgave 3 Simplificér udtrykket x9
7√ x 56 .
Eksponentialfunktioner og logaritmer
Ved at fastholde grundtallet i stedet for eksponenten f˚ar vi eksponentialfunktioner
som alle har formen
a x hvor a er et fast, reelt tal, større end 0. (14)
Da a r > 0 for alle r ∈Rhar vi a x : R→R + og enhver s˚adan eksponentialfunktion
med a = 1 er en bijektion.
Opgave 4 Hvorfor er 1 x : R→R + ikke en bijektion? Hvorfor har den ingen
invers funktion?
De inverse funktioner til eksponentialfunktionerne kaldes logaritmer. Videfinerer
simpelthen for a = 1:
– eller med andre ord:
log a x =dettaly ∈Rsom opfylder a y = x (15)
log a x = y ⇐⇒ a y = x. (16)
4

Funktionen loga : R + →Rkaldes logaritmen med grundtal a. Viharigento
identiteter som kan bruges til at simplificere udtryk:
loga(a x )=x for alle x ∈Rog
a loga x = x for alle x ∈R + (17)
.
Vi kan desuden vise følgende regneregler for logaritmer:
Regneregler for logaritmer
Lad a, b ∈Rvære positive og forskellige fra 1 og lad r, s ∈R.S˚agælder:
log a 1=0 log a( 1
r )=− log a r log a( r
s )=log a r − log a s
log a(r · s) =log a r +log a s log a(r s )=s · log a r
log a x = log b x
log b a
Opgave 5 Simplificér følgende udtryk:
log5 125 2 log4 8
log 6 9+log 6 4 (log 4 16) · (log 4 2)
(log a b) · (log b a) log 2(2 n ) 2 log 2 n
4 log 2 n
Opgave 6 Bevis regnereglerne ovenfor ved at bruge regnereglerne for potenser
og (16).
Figur 2 viser grafen for nogle eksponentialfunktioner og logaritmer
Fakultet
Fakultet er en funktion n! :N→N. Den er defineret p˚a denaturligetalsom
følger:
0! = 1 og n! =1· 2 ···n for n ∈N med n>0. (18)
Fakultet optræder ofte i kombinatorik, idet n! er antallet af mulige rækkefølger
af n forskellige objekter. F.eks. findes der 52! forskellige m˚ader at
ordne de 52 spillekort p˚a. Det første kort kan vælges p˚a 52 forskellige m˚ader.
Det næste p˚a 51 forskellige m˚ader, derefter er der 50 muligheder osv. Ved det
næstsidste kort har man 2 muligheder, mens det sidste kort kun kan vælges
p˚a1m˚ade. Dette giver i alt 52 · 51 · 50 ···2 · 1 = 52! muligheder.
Fakultet vokser temmelig hurtigt. F.eks. er 52! omtrent 8,1 · 1067 .Med
andre ord m˚a det betragtes som meget usandsynligt at komme til at blande
et sæt spillekort p˚a samme m˚ade to gange i ens liv (hvis ellers man blander
ordentligt).
5

y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
x
6 7 8 9 10
Figur 1: Nogle potensfunktioner. I rækkefølge fra hurtigst til langsomst voksende:
x3 ,x2 ,x1 = x, x 1
2 = √ x, x 1
3 = 3√ x. Den aftagende funktion (med
punkteret linie) er x−1 = 1
x .
6

y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
Figur 2: Nogle eksponentialfunktioner og logaritmer. I rækkefølge fra hurtigst
til langsomst voksende: 3x , 2x , log2 x, log3 x. De aftagende funktioner (med
punkteret linie) er 1 x 1 = 2 2x og log 1 x.
2
7

Anvendelse i datalogi
I datalogi anvendes logaritmer, potensfunktioner, eksponentialfunktioner og
fakultet især til analyse af algoritmers ressourceforbrug som funktion af inputtets
størrelse. Ressourcer kan være tid, plads i arbejdslageret, b˚andbredde
p˚a nettet eller antallet af gange algoritmen bruger harddisken.
Generelt betragtes kun voksende funktioner – programmer arbejder sjældent
hurtigere jo mere input de f˚ar! Da inputtets størrelse m˚ales i antallet af
tegn der skal bruges til at skrive inputtet ned, er et programs ressourceforbrug
formelt en voksende funktion fra N til R + . Her gælder
Enhver logaritme vokser langsommere end enhver potensfunktion
som vokser langsommere end enhver eksponentialfunktion. Fakultet
vokser hurtigere end alle de øvrige funktioner.
Formelt gælder for ethvert positivt r ∈R + og ethvert reelt tal a>1:
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ log a n ≤ n r
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ n r ≤ a n
(19)
(20)
∃n0 ∈N.∀n ∈N.n>n0 =⇒ a n ≤ n! . (21)
Dvs. hvis blot inputstørrelsen n er stor nok, dvs. større end n0, s˚aerlogan mindre end nr . Tilsvarende er nr mindre end an som er mindre end n! for
stort nok n.
Bemærk at dette gælder uanset a og r. F.eks. er en algoritme, hvis
udførelsestid er givet ved n10.000 hurtigere “p˚a distancen” end en tilsvarende
algoritme, hvis udførelsestid er givet ved 1,0001n . Her skal inputstørrelsen n
dog være ret stor for at den første er at foretrække frem for den sidste.
Eksempel 2 Vi vil undersøge for hvor stort input en algoritme med udførelsestid
n3 er hurtigere end en algoritme, hvis udførelsestid er 1,5n :
n n31,5n n n3 1,5n 1 1 1,513 2.197 194,6
2 8 2,314 2.744 291,9
3 27 3,415 3.375 437,9
4 64 5,116 4.096 656,8
5 125 7,6 17 4.913 985,3
6 216 11,4 18 5.832 1.477,9
7 343 17,1 19 6.859 2.216,8
8 512 25,6 20 8.000 3.325,3
9 729 38,4 21 9.261 4.987,9
10 1.000 57,7 22 10.648 7.481,8
11 1.331 86,5 23 12.167 11.222,7
12 1.728 129,7 24 13.824 16.384,1
8

Det sker s˚aledes for n>23. Betragt en moderne 3GHz pc som alts˚a kan
foretage 3 milliarder simple beregninger pr. sekund. Hvis n 3 og 1,5 n angiver
antallet af s˚adanne simple beregninger vil et input af størrelsen 500 tage den
kubiske algoritme ca. 4 hundrededele af et sekund, mens den eksponentielle
algoritme skal bruge mindst 3,7·10 78 sekunder – et astronomisk tal, i omegnen
af antallet af elementar-partikler i det synlige univers!
Eksempel 3 Logaritmiske udførelsestider opst˚ar typisk i situationer, hvor
en algoritme i hvert trin kan se bort fra halvdelen af input. Da et naturligt
tal n ∈N kun kan halveres ca. log 2 n gange før vi n˚ar ned p˚a 0 eller 1, vil
s˚adanne algoritmer have udførelsestid ca. log 2 n.
Et klassisk eksempel er “binær søgning” hvor et bestemt element søges
i en sorteret liste – elementet kan være et bestemt navn og listen kan være
en telefonbog. Hvis vi starter med at kigge midt i listen, vil vi (1) finde det
søgte element, (2) finde et element der er for stort, eller (3) finde et element
der er for lille. I de to sidste tilfælde kan vi se bort fra hhv. den øvre og den
nedre del af listen, hvorefter vi kan fortsætte søgningen p˚a samme m˚ade med
det midterste element i den resterende liste.
Da logaritmer med grundtal 2 optræder s˚a ofte i datalogi, forkorter man
tit log 2 n til log n. I andre sammenhænge (matematik, fysik, teknik, p˚a de
fleste lommeregnere) betyder log n derimod log 10 n, s˚apasp˚a!
Eksempel 4 Eksponentielle udførelsestider optræder typisk i situationer,
hvor en algoritme er nødt til at undersøge alle valgmuligheder. Et klassisk
eksempel er en algoritme, der skal afgøre om et givent udsagnslogisk udtryk
er en tautologi. Her kender vi essentielt set ikke nogen bedre algoritme end
at opstille sandhedstabellen for udsagnet (se Martin, afsnit 1.2.1). Hvis udtrykket
har n booleske variabler, har tabellen 2 n rækker, en for hvert muligt
valg af sandhedsværdi til hver variabel.
Eksempel 5 Udførelsestider p˚a formen n! optræder typisk i situationer,
hvor en algoritme er nødt til at undersøge alle mulige rækkefølger af n elementer.
Et klassisk eksempel er en algoritme, der skal afgøre om en givent
vejkort med n byer har en “Hamiltonvej”, dvs. en vej, der besøger samtlige
n byer netop én gang. Igen kender vi ingen bedre algoritme end essentielt set
at prøve alle mulige rækkefølger af byer fra en ende af. Og der er n! s˚adanne
rækkefølger.
9