De 4 regneartene.

De 4 regneartene.
1. Barns utvikling av algoritmer.
(Fra Marit Johnsen Høines)
2. Oversikt

Angrepsvinkel.
Utvikling av algoritmer gjennom
problemløsing.
Mål 1: Elevene skal lære de 4 regningsartene.
Mål 2: De skal lære noe om matematikk.
Voksne er ofte svarfikserte.
Ronald Bradal 2

Algoritme
En algoritme er en oppskrift.
I skolen er ordet brukt mest i forbindelse
med løsningsmetoder innenfor de fire
regningsartene.
Det finnes flere standardalgoritmer, spesielt
for multiplikasjon og divisjon.
Ronald Bradal 3

Vår standardalgoritme for
834 : 6 = 139
6
23
18
54
54
0
deling.
Ronald Bradal 4

139
834 6
6
23
18
54
54
0
En annen mye brukt
algoritme
Ronald Bradal 5

139
6 834
6
23
18
54
54
0
”Trappa” (USA)
Ronald Bradal 6

834 : 6 = 139
23
54
Signe, 11 år:
Ronald Bradal 7

Katrine
834: 6 = 5 + 100 + 30 + 3 + 1 = 139
4
200
20
2
Ronald Bradal 8

Hva er forskjellen mellom
ulike algoritmer?
Når vi sammenligner algoritmer,
sammenligner vi
tankeoperasjoner
det skriftlige uttrykket.
Algoritmer kan se like ut selv om utøverne
har tenkt forskjellig – og motsatt.
Samme begrepsinnhold kan ha flere uttrykk.
Samme uttrykk kan symbolisere forskjellig
innhold.
Ronald Bradal 9

Med utgangspunkt i
problemer
Fare ved problemløsing som metode:
Mangel på sammenheng og system.
Problem: å finne lærestoff.
Idé: grubliser. (Se side 175, 176 i MJH.)
Kan gis individuelt.
Kan gis med på veien hjem.
Det er vanskelig for en lærer å fortsette
tradisjonell undervisning etter å ha opplevd
noe annet.
Ronald Bradal 10

Finn ut.
Praktisk organisering
Hvordan tenkte du? Noter ned.
Samarbeid med andre og se om dere har
tenkt litt.
Jeg skal se over hvis jeg får tid.
Problem: Foresattes konservatisme.
Ronald Bradal 11

26- 9 - 8.
Eksempel 1.
1 + 2 + 6 = 9
Ronald Bradal 12

Eksempel 2.
17
9
Ronald Bradal 13

26 17 9
Eksempel 3 og 4.
9 + 8 = 17 + 9 = 26
Det blir 9.
Ronald Bradal 14

260 - 47
To eksempler.
60 – 47 = 13
Det blir 213
100 100
213
Ronald Bradal 15

210 + 3 = 213
26 + 26
50
2 265
213 + 52
20 20 10 2
260 + 5 = 265
5
Ronald Bradal 16

Positive virkninger.
Endring av læringsmiljø.
Konkurransen om å være langt framme i
boka dempes ned.
Prestisjen kan fordeles.
Oppdagelse av løsning på uventede
tidspunkter.
Ronald Bradal 17

Addisjon med tierovergang.
34 + 48
70
50
32
82
34 + 48
8 + 4 = 12 82
Ronald Bradal 18

34
48 40
40
2
82
34 12
48 30
40
82
34 + 48 forts.
34 + 48
82
Ronald Bradal 19

Dagligord for subtraksjon
Subtraksjon starter som regel med
mister
bruker opp
tar vekk
hvor mye mangler
Det mer formelle forskjell kan være
vanskelig.
Subtraksjon oppleves som motsatt addisjon
– fordrer evnen til å reversere.
Ronald Bradal 20

Det drilles for mye.
Variasjon.
Variasjon i tekster er viktig. Eks.: 9 – 6 = 3
Jeg har 9, så tar jeg bort (bruker opp, mister) 6,
det blir 3 igjen.
Jeg har 6 og skal ha 9. Da mangler jeg 3.
Forskjellen mellom 6 og 9 er 3.
Ronald Bradal 21

Grubliser for 7-8-åringer.
35
2
37
72 - 35.
37
7
Ronald Bradal 22

35 - 17
Tar bare fra tieren.
- 17
18
Tar femmeren og så to fra tieren
- 17 = 18
Ronald Bradal 23

35 - 17 forts.
- 17 = 18
Vet det blir igjen 3 når du tar
vekk 7 fra tieren.
Regner i hodet.
Allerede automatisert.
- 17 = 18
Ronald Bradal 24

93 – 28
93 - 28
63
2 65
Ronald Bradal 25

34
- 16
= 18
34
- 16
= 18
Innføring av
standardalgoritme.
34
- 16
= 18
Ronald Bradal 26

74 : 6
Ei jente med en
nyoppdagelse.
2
6
10 1
2 3
74 : 6 = 12 1/3
Ronald Bradal 27

MJHs prosjekt.
Brukte i starten talltegn som elevene hadde
laget.
Oppgaver ble alltid gitt muntlig i
begynnelsen.
Elevene ble oppfordret til å tegne tallene de
hadde bruk for.
Brukte drillpregede oppgaveark, men de
inneholdt “finn ut”-oppgaver. (Ble merket
med stjerne).
Ronald Bradal 28

MJH forts.
Elevene kunne bli bedt om å foreta
doblinger eller halveringer.
Tallområdet ble også utvidet til desimaltall
(kroner og øre).
Mål: passe vanskegrad for alle.
Elevene fant fram til sine egne algoritmer
innefor subtraksjon med tierovergang: (Se
transparent.)
Ronald Bradal 29

MJH forts.
Etter hvert ble den standardiserte algoritmen
innført.
Men elevenes egne tallsymboler ble fremdeles
brukt – i forbindelse med minnetall (se foran.)
Ronald Bradal 30

Må alle tenke likt?
Kan elever i samme klasse “låne” eller
“veksle” på ulike måter?
Tradisjonen med standardmetoder avvenner
elever med å tenke. De blir kopister.
Les historien om Lise (MJH s. 191, 192).
Ronald Bradal 31

Klare fordeler.
Grubliser utvider rammene.
Etter hvert blir tierovergangene
automatisert.
Dersom ikke tallene beskrev en situasjon,
fant elevene en selv!
Ronald Bradal 32

Klassifisering av addisjon og
subtraksjon
En fullstendig oversikt over mulige
varianter

Sammenføye
Lise har 5 klosser.
Hans ga henne 8 til.
Hvor mange klosser
har Lise alt i alt?
Lise har 5 klosser.
Hvor mange klosser
trenger hun for å få 13
klosser i alt?
Endre
Separere
Lise har 13 klosser.
Hun ga 5 klosser til
Hans. Hvor mange
klosser har hun igjen?
Lise har 13 klosser.
Hun ga bort noen av
dem til Hans. Da
hadde hun igjen 8
klosser. Hvor mange
ga hun til Hans?
Ronald Bradal 34

Sammenføye
Lise hadde en del
klosser. Hans ga henne
5 klosser til. Da hadde
hun 13 stykker. Hvor
mange klosser hadde
Lise til å begynne
med?
Endre forts.
Separere
Lise hadde en del
klosser. Hun ga 5 av
dem til Hans. Da
hadde hun igjen 8
stykker. Hvor mange
klosser hadde Lise til å
begynne med?
Ronald Bradal 35

Lise har 5 røde og 8
blå klosser. Hvor
mange klosser har
hun?
Kombinere
Lise har 13 klosser. 5
er røde og resten er
blå. Hvor mange blå
klosser har Lise?
Ronald Bradal 36

Lise har 13 klosser.
Hans har 5 klosser.
Hvor mange flere har
Lise enn Hans?
Hans har 5 klosser. Lise
har 8 flere enn Hans.
Hvor mange klosser har
Lise?
Lise har 13 klosser. Hun
har 5 klosser mer enn
Hans. Hvor mange
klosser har Hans?
Sammenligne
Lise har 13 klosser.
Hans har 5 klosser.
Hvor mange færre har
Hans enn Lise?
Hans har 5 klosser. Han
har 8 færre enn Lise.
Hvor mange klosser har
Lise?
Lise har 13 klosser.
Hans har 5 færre enn
Lise. Hvor mange
klosser har Hans?
Ronald Bradal 37

Lise har 13 klosser.
Hans har 5 klosser.
Hvor mange klosser
må Hans få for å ha
like mange som Lise?
Hans har 5 klosser.
Hvis han får 8 til, vil
han ha like mange som
Lise. Hvor mange
klosser har Lise?
Utligne
Lise har 13 klosser.
Hans har 5 klosser.
Hvor mange klosser
kan Lise gi bort før
hun har like mange
som Hans?
Hans har 5 klosser.
Hvis Lise mister 8
klosser, vil hun ha like
mange som Hans.
Hvor mange klosser
har Lise?
Ronald Bradal 38

Lise har 13 klosser.
Hvis Hans får 5
klosser, vil han ha like
mange som Lise. Hvor
mange klosser har
Hans?
Utligne forts.
Lise har 13 klosser.
Hvis hun mister 5 av
dem vil hun ha like
mange som Hans.
Hvor mange klosser
har Hans?
Ronald Bradal 39