1 INNLEDNING - Akademika forlag

Svein Ivar Sørensen
BETONGKONSTRUKSJONER
Beregning og dimensjonering etter Eurocode 2

© Tapir Akademisk Forlag, Trondheim 2010
ISBN 978-82-519-2539-6
2. opplag 2012
Det må ikke kopieres fra denne boka ut over det som er tillatt
etter bestemmelser i lov om opphavsrett til åndsverk, og
avtaler om kopiering inngått med Kopinor.
Grafisk formgivning: Forfatteren
Omslag: Bjørg D. Wik, Tapir Akademisk Forlag
Papir: G-print 90 g
Trykk og innbinding: AIT Oslo AS
Tapir Akademisk Forlag har som målsetting å bidra til å utvikle gode læremidler
og alle typer faglitteratur. Vi representerer et bredt fagspekter, og vi samarbeider
med forfattere og fagmiljøer over hele landet. Våre viktigste produktområder er:
• Fagbøker
• Vitenskapelige publikasjoner
• Sakprosa
Vi bruker miljøsertifiserte trykkerier.
Tapir Akademisk Forlag
7005 TRONDHEIM
Tlf.: 73 59 32 10
E-post: forlag@tapir.no
www.tapirforlag.no
Forlagsredaktør: lasse.postmyr@tapir.no

FORORD
Norsk Standard for Prosjektering av betongkonstruksjoner, NS3473, er ikke lenger gyldig
etter mars 2010.
Prosjekteringsstandarden for betongkonstruksjoner ble da erstattet da av
NS-EN 1992-1-1:2004+NA:2008, eller Eurocode 2.
Eurocode 2 oversatt til norsk, med norsk tillegg var ferdig i november 2008.
Dette har skapt behov for utarbeidelse av ny lærebok for undervisningen i
betongkonstruksjonsfagene ved Institutt for konstruksjonsteknikk, NTNU.
Boka er først og fremst skrevet som lærebok for studenter i fagene Betongkonstruksjoner 1 og
Betongkonstruksjoner 2 ved NTNU, men vil sannsynligvis også kunne være nyttig for
praktiserende konstruktører ved overgang til det felles europeiske regelverket.
Del 1 inneholder beregningsgrunnlaget for slakkarmerte betongkonstruksjoner for faget
Betongkonstruksjoner 1. Del 2 inneholder beregningsgrunnlaget for spennbetong i faget
Betongkonstruksjoner 2.
Det er lagt vekt på en grundig beskrivelse av det teoretiske grunnlaget for beregning og
dimensjonering av de vanligste konstruksjonsdelene i en betongkonstruksjon, med bakgrunn
for forskjellige regelkrav i Eurocode 2.
Praktisk kapasitetsberegning og dimensjonering er illustrert ved et stort antall
regneeksempler.
I denne utgaven er trykkfeil i den første utgaven rettet opp.
Trondheim, desember 2011
Svein Ivar Sørensen

INNHOLD
DEL 1 ARMERT BETONG
1. INNLEDNING........................................................................................3
2. DIMENSJONERING / GRENSETILSTANDER...............................5
2.1 GRENSETILSTANDER.................................................................................5
2.2 KAPASITETSKONTROLL...........................................................................6
3. MATERIALMODELLER....................................................................9
3.1 BETONG – KORTTIDSOPPFØRSEL...........................................................9
3.2 EFFEKT AV LANGTIDSLAST – KRYP.....................................................13
3.3 EFFEKT AV UTTØRKING – SVINN..........................................................16
3.4 ARMERINGSSTÅL........................................................................................18
4. BRUDDGRENSETILSTANDEN........................................................21
4.1 SENTRISK AKSIALKRAFT – KORTE SØYLER.....................................21
4.2 REN BØYNING – BJELKER OG PLATER................................................27
4.2.1 Beregningsgrunnlag................................................................................27
4.2.2 Praktisk bestemmelse av momentkapasitet............................................34
4.2.3 Praktisk dimensjonering av tverrsnitt.....................................................37
4.2.4 Flenstverrsnitt.........................................................................................50
4.3 SKJÆRKRAFT...............................................................................................55
4.3.1 Virkning av skjærkraft på armert betongbjelke......................................55
4.3.2 Skjærkapasitet for bjelker og plater........................................................62
4.4 TORSJON.........................................................................................................78
4.4.1 Grunnlag..................................................................................................78
4.4.2 Dimensjonering for torsjon......................................................................79
side

INNHOLD, forts.
4.5 MOMENT OG AKSIALKRAFT....................................................................88
4.5.1 Bruddkriterier..........................................................................................88
4.5.2 Kapasitet for kombinasjon av moment og aksialkraft.............................89
4.5.3 Praktisk dimensjonering for kombinert moment og aksialkraft..............98
4.5.4 Aksialkraft og bøyning om to akser.......................................................103
4.6 HEFT OG FORANKRING AV ARMERING.............................................107
4.6.1 Kraftinnføringslengde............................................................................107
4.6.2 Dimensjonerende forankringslengde.....................................................108
4.6.3 Armeringsspenning………………........................................................109
5. BRUKSGRENSETILSTANDEN ………………………………………….113
5.1 GENERELT………………………………………………………..................113
5.2 NEDBØYNINGBEREGNING........................................................................113
5.2.1 Beregningsmodell....................................................................................113
5.2.2 Trykksonehøyde.......................................................................................115
5.2.3 Bøyestivhet EI.........................................................................................116
5.2.4 Risslast og rissmoment.............................................................................122
5.2.5 Virkning av kryp på nedbøyning……......................................................128
5.2.6 Virkning av svinn på nedbøyning……....................................................131
5.2.7 Bøyestivhet for andre tverrsnittsformer...................................................137
5.2.8 Virkning av aksialkraft på nedbøyningen................................................141
5.2.9 Bjelker og plater uten krav til nedbøyningskontroll………..………….146
5.3 RISSKONTROLL.............................................................................................148
5.3.1 Generelt……………................................................................................148
5.3.2 Minimumsarmering..................................................................................149
5.3.3 Risskontroll basert på armeringsspenning................................................150
5.3.4 Risskontroll ved beregning av rissvidder.................................................152
5.4 SPENNINGSBEGRENSNING.........................................................................155
side

INNHOLD, forts.
6. SLANKE KONSTRUKSJONSDELER...............................................157
6.1 FØRSTE OG ANDRE ORDENS LASTVIRKNINGER...............................157
6.2 SLANKHET.......................................................................................................158
6.2.1 Normalisert (lastavhengig) slankhet.........................................................158
6.2.2 Slankhetsgrenser.......................................................................................162
6.2.3 Beregning av 2.ordens moment................................................................165
6.2.4 Knekklengder............................................................................................169
6.2.5 Bestemmelse av dimensjonerende totalmoment.......................................174
side

INNHOLD, forts.
DEL 2 SPENNBETONG
side
1. VIRKEMÅTE FOR SPENNBETONG........................................185
2. FORSPENNINGSMETODER......................................................189
2.1 FØROPPSPENNING...............................................................................189
2.2 ETTEROPPSPENNING..........................................................................191
3. MATERIALER...............................................................................193
3.1 BETONG...................................................................................................193
3.2 SPENNSTÅL.............................................................................................193
4. LASTBALANSERING...................................................................197
4.1 EKVIVALENTE KREFTER LANGS SPENNARMERING...............197
4.2 FORANKRINGSKREFTER...................................................................201
4.3 TOTALE EKVIVALENTE KREFTER PÅ BETONGBJELKE.........202
4.4 EKSEMPLER PÅ LASTBALANSERING.............................................203
4.5 EFFEKT AV ENDEEKSENTRISITETER............................................210
4.6 STATISK UBESTEMTE BJELKER......................................................213
5. TAP AV SPENNKRAFT................................................................223
5.1 HOVEDTYPER AV SPENNKRAFTTAP..............................................223
5.2 TAP AV TØYNINGSDIFFERANSE.......................................................223
5.2.1 Låsetap..............................................................................................224
5.2.2 Friksjonstap.......................................................................................227
5.2.3 Tap på grunn av temperaturdifferanse..............................................233

INNHOLD, forts.
side
6. BEREGNING AV SPENNBETONG
I BRUKSGRENSETILSTANDEN............................................235
6.1 BEREGNINGSMETODE OG REGELVERK...................................235
6.2 SPENNINGSBEREGNING VED URISSET BETONG,
STADIUM I............................................................................................236
6.3 TIDSAVHENGIGE EFFEKTER,
KRYP, SVINN OG RELAKSASJON..................................................243
6.3.1 Kryp...............................................................................................243
6.3.2 Svinn..............................................................................................245
6.3.3 Relaksasjon av spennstål...............................................................248
6.3.4 Samlet virkning av kryp, svinn og relaksasjon..............................250
6.3.5 Forenklet metode for beregning av tidsavhengige tap...................251
6.4 SPENNINGSBEREGNING VED OPPRISSET BETONG,
STADIUM II...........................................................................................252
6.4.1 Beregningsmodell for kombinert M-N-virkning...........................252
6.4.2 Spennkraftendring pga langtidseffekter........................................258
7. BRUDDGRENSETILSTANDEN...............................................261
7.1 KAPASITET OG DIMENSJONERING FOR BØYEMOMENT....261
7.1.1 Alternative beregningsmetoder.....................................................261
7.1.2 Kapasitetsberegning for gitt tverrsnitt...........................................263
7.1.3 Dimensjonering av tverrsnitt.........................................................269
7.1.4 Kontroll av oppspenningstilstanden..............................................272
7.2 KONTROLL AV SKJÆRKRAFTKAPASITET................................276
7.2.1 Beregningsprinsipp........................................................................276
7.2.2 Konstruksjonsdeler uten beregningsmessig behov
for skjærarmering..........................................................................277
7.2.3 Konstruksjonsdeler med beregningsmessig behov
for skjærarmering..........................................................................280
APPENDIKS A
DIMENSJONSLØSE M-N DIAGRAM……………………….283
LITTERATUR.....................................................................................289

1
DEL 1
ARMERT BETONG

1 INNLEDNING
Armert betong er et av de viktigste bygningsmaterialene som brukes i konstruksjoner.
Økonomi, anvendbarhet, formbarhet og bestandighet av materialet armert betong gjør det
attraktivt for en rekke konstruktive anvendelser.
Den lave strekkstyrken av betongen kompenseres av armeringsstål, som tåler store
strekktøyninger. Den relativt høye kostnaden av stål kompenseres av at betongen erstatter
stål i områder med trykkpåkjenning og lite påkjente områder. Slike lite påkjente områder
kan f.eks. være vegger, hvor betongen også har en romdelende funksjon.
Armeringsstålet i betongen begrenser rissvidder og gir konstruksjonen en duktil oppførsel.
Betongen på sin side representerer både korrosjon- og brannbeskyttelse av armeringsstålet.
Forspenning med bruk av høyfaste stål som spennarmering muliggjør f.eks. meget lange
bjelkespenn ( fritt frambyggbruer i Norge ca 300 m ).
Riktig bruk av armert og forspent betong forutsetter kunnskaper om materialet og
samarbeid blant alle som er involvert i et prosjekt. Dette gjelder konstruktør,
materialleverandør, entreprenør og betongarbeider.
Denne boka omhandler bare en liten del av dette kunnskapsområdet, konstruktørens
grunnlag for beregning og dimensjonering av konstruksjonselementer etter felles europeisk
regelverk, Eurocode.
Dersom en armert betongkonstruksjon skal være vellykket, må den tilfredsstille
forventningene både hos eieren og brukeren :
Konstruksjonen må være sterk og sikker.
Riktig anvendelse av grunnleggende ingeniørprinsipper for beregning, og anvendelse
av materialene må resultere i en tilstrekkelig sikkerhetsmargin for å unngå
sammenbrudd under mulig overbelastning.
Konstruksjonen må oppføre seg som forventet under bruk.
Deformasjoner og rissutvikling må ligge innenfor akseptable grenser.
3
Konstruksjonen må være bestandig.
Materialer må være valgt slik at konstruksjonen kan motstå påkjenninger fra
omgivelser eller bruk som kan føre til nedbryting av betongen.

4
Konstruksjonen må være økonomisk.
En erfaren konstruktør vet at en økonomisk betongkonstruksjon ikke er avhengig av
finregning på hvert eneste konstruksjonselement, men heller skyldes en
totalvurdering av hele bygget, hvor det må legges stor vekt på selve
byggeprosessen.
Forskaling må kunne brukes om igjen flere steder, samtidig som det må vurderes
hvordan betongen kan plasseres og komprimeres.
Boka konsentrerer seg om det rene beregningsgrunnlaget for bestemmelse av nødvendige
betongdimensjoner, armeringsmengder og armeringsplassering basert på regler i Eurocode.
Dette skulle ta vare på de tre første punktene - styrke/sikkerhet, brukbarhet og
bestandighet, mens økonomiske forhold ikke blir behandlet.

2 DIMENSJONERINGSPRINSIPP
2.1 GRENSETILSTANDER
Dimensjonering av konstruksjoner gjennomføres ved at det påvises at konstruksjonen
tilfredsstiller dimensjoneringsreglenes krav i forskjellige såkalte grensetilstander.
Grensetilstandene er:
- bruddgrensetilstanden
- bruksgrensetilstanden
- ulykkesgrensetilstanden
- utmattingsgrensetilstanden
Disse er definert i NS-EN 1990 /1/.
Her vil bare brudd- og bruksgrensetilstanden bli behandlet, siden dette er de mest aktuelle
tilstandene for vanlige bygg.
Bruddgrensetilstanden
I denne tilstanden bestemmes konstruksjonsdelenes kapasitet mot brudd ved beregning på
grunnlag av materialenes tøyningsegenskaper og dimensjonerende fastheter.
De aktuelle lastvirkningene bøyemoment, aksialkraft, skjærkraft og torsjonsmoment, samt
kombi-nasjoner av disse, er behandlet i kapittel 4, mens forankring av armering er behandlet i
kapittel 6.
Bruksgrensetilstanden
5
I denne tilstanden skal det påvises at konstruksjonen, for sin brukstid, tilfredsstiller krav knyttet
til dens bruk og formål. Krav til bruksgrensetilstanden skal også sikre konstruksjonens
bestandighet.
Aktuelle krav gjelder opprissing av betong, deformasjoner av konstruksjoner og tetthet mot
væskeinntrengning.
Her er bruksgrensetilstanden behandlet i kapittel 5, og hovedvekten er lagt på rissutvikling og
deformasjonsberegninger.

2.2 KAPASITETSKONTROLL
Kapasitetskontroller går ut på å påvise at konstruksjonens motstand for en bestemt lastvirkning er
større enn påkjenningen pga ytre laster mht den samme lastvirkningen.
For å kunne vurdere dette må en, i tillegg til å kjenne til aktuelle beregningsmetoder, vite noe om
laster og materialenes styrke (fastheter).
LASTER
NS-EN 1991 /2/ angir karakteristiske verdier for forskjellige belastningstyper, som f.eks.
nyttelast, snølast, vindlast osv.
Disse karakteristiske lastene representerer verdier, hvor sannsynligheten for at de overskrides er
mindre enn bestemte grenser. Verdiene i NS-EN 1991 er basert på erfaring og målinger, som
f.eks. for snølast, hvor Meteorologisk Institutt har observasjoner fra et stort antall målestasjoner
over hele landet for en lang tidsperiode.
Slike måledata har selvsagt en spredning, og kan framstilles med en statistisk fordeling, som vist i
figur 2.1.a.
F Fk Ff = f Fk
STATISK
BEREGNING
m k f = fk
LAST
PÅKJENNING
FIG. 2.1 Karakteristisk og dimensjonerende last og påkjenning
6
a) LASTER
b) PÅKJENNINGER
Pga usikkerhet i lastfastsettelsen, legger reglene inn en sikkerhet ved at de karakteristiske lastene
multipliseres med lastkoeffisienter, f 1.0 . Lastkoeffisienter for forskjellige lasttyper og
kombinasjoner av disse er gitt i NS-EN 1990. Vanlig for egenlast g = 1.2 og for nyttelast
p = 1.5 .
Ved en statisk beregning av en aktuell konstruksjon for lastene i figur 2.1.a, kan f.eks. en
dimensjonerende påkjenning bestemmes. Dette er illustrert ved spenningen f = fk i
figur 2.1.b.

FASTHETER
Den dimensjonerende spenningen f pga ytre last i fig. 2.1.b må videre sammenlignes med
styrken av materialet, her representert ved spenning eller fasthet.
NS-EN 1992 1-1, med NA:2008 /3/ Tabell 3.1 angir karakteristiske verdier for fasthet for trykk-
og strekkspenninger, fk. NS-EN 1992 1-1 med NA:2008 refereres til videre som ”EC2”
(Eurocode2).
Punkt NA.3.1.2 gir definerer forskjellige fasthetsklasser, B20 – B95 for "normalbetong" og LB12
- LB75 for betong med lett tilslag.
Trykkfasthet
Tallet i fasthetsklassebetegnelsen tilsvarer den karakteristiske 28-døgns sylindertrykkfasthet, fck,
i tabell 3.1.
Ved dimensjonering tas det hensyn til at virkning av langtidslast reduserer trykkfastheten, og
ugunstige virkninger som er en følge av måten lasten påføres ved å multiplisere sylinderfastheten
med en faktor αcc = 0,85 (se NA.3.1.6 (1)P) .
Disse karakteristiske fasthetene er verdier som ikke underskrides med 95% sannsynlighet, og
som fastlegges ved standardiserte prøvningsmetoder.
Ved å dividere fk med materialkoeffisient, m 1.0 , finnes den dimensjonerende fasthet fd som
vist i figur 2.2.
fd = fk / m
Fig. 2.2 Karakteristisk og dimensjonerende fasthet
Materialkoeffisienter for betong og armeringsstål finnes i EC2, Tabell NA.2.1N . Mest vanlig er
c = 1,5 (betong) og s = 1,15 (armering).
Dimensjonerende trykkfasthet blir da etter EC2 :
fcd = αcc·fck / γc = 0,85fck / 1,5 = 0,567fck (2.1)
Tilstrekkelig kapasitet er betinget av at
fk
FASTHET
fd f (2.2)
7
fm

Strekkfasthet
EC2, Tabell 3.1 gir tre forskjellige strekkfasthetsverdier:
fctm = middelverdi av sentrisk strekkfasthet ved 28 døgn
fctk, 0.05 = karakteristisk, sentrisk strekkfasthet med 5 % sannsynlighet for underskridelse
fctk, 0.95 = karakteristisk, sentrisk strekkfasthet med 5 % sannsynlighet for overskridelse
Midlere strekkfasthet antas å kunne bestemmes som funksjon av trykkfastheten:
Fasthetsklasser ≤ B50 :
fctm = 0,3·(fck) 2/3 (2.3)
Fasthetsklasser > B50 :
fctm = 2,12·ln(1+(fcm/10)) (2.4)
De karakteristiske fasthetene finnes som :
fctk, 0.05 = 0,7·fctm (2.5)
fctk, 0.95 = 1,3·fctm (2.6)
Dimensjonerende strekkfasthet bestemmes som
fctd = ct· fctk, 0.05 /c = 0,85· fctk, 0.05 / fctk, 0.05 (2.7)
Hvor koeffisienten ct er gitt i NA.3.1.6 (2)P
Dersom strekkfastheten bestemmes ved spaltestrekkprøver kan, ifølge EC2, 3.1.2 (8) ,
aksialstrekkfastheten tilnærmes som
fct = 0,9·fct,sp (2.8)
8

3 MATERIALMODELLER
3.1 BETONG - KORTTIDSOPPFØRSEL
For å kunne beregne f ut fra Ff i figur 2.1 må en ha kjennskap til materialenes
tøyningsegenskaper. Dette betyr at en må vite noe om det aktuelle materialets spenningtøyningsforløp.
Som kjent fra tidligere fag i bygningsmaterialer, framviser betong en fullstendig ikkelineær
spenning-tøyningsoppførsel i trykk, samt en meget lav fasthet for strekk sammenlignet med
trykk. Figur 3.1 viser typiske spenning-tøyningskurver for betongprøvestykker med forskjellig
trykkfasthet under enakset trykkpåkjenning.
c = P/A
fc
0
0
210 -3
HØY
FASTHET
BRUDD
LAV FASTHET
c = L / L
Fig. 3.1 Typiske spenning-tøyningskurver for betong i trykk
9
Figuren viser at betong med lav fasthet (f.eks. fasthetsklasse B20) framviser en relativt seig
oppførsel, mens betong med høy fasthet (f.eks. fasthetsklasse B85) er sprøere, med mindre
tøyningsverdi ved brudd.
Toppunktet for alle kurvene ligger imidlertid ved tilnærmet samme tøyning, c = 210 -3 .
EC2, 3.1.7 (1) angir spenning- tøyningssammenheng i trykk som kan benyttes for kapasitetsberegninger
i bruddgrensetilstanden , se figur 3.2.
L
A
L
P

c
f ck
f cd
0 0
c2
Fig. 3.2 Idealisert spenning-tøyningskurve for betong
Spenning- tøyningsforløpet for dimensjonering er gitt av
n
c
c = fcd 11
c2
for 0 ≤ εc ≤ εc2
c = fcd for εc2 ≤ εc ≤ εcu2
(3.1)
Parametrene n, c2 og cu2 finnes for de forskjellige fasthetsklassene i EC2, Tabell 3.1, mens
fcd er dimensjonerende trykkfasthet etter lign. (2.1).
For normalt benyttete fasthetsklasser i Norge, med betegnelser etter NA.3.1.2 blir
dimensjonerende trykkfasthet, tøyningsverdier og eksponent n som vist i tabell 3.1.
Tabell 3.1 Dimensjonerende trykkfasthet, tøyninger og eksponent
10
B20 B25 B30 B35 B40 B45 B55 B65 B75 B85 B95
fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 55 65 75 85 95
fcd (MPa) 11,3 14,2 17,0 19,8 22,7 25,5 31,2 36,8 42,5 48,2 53,8
n 2 2 2 2 2 2 1,75 1,53 1,43 1,4 1,4
c2 (‰) 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,2 2,35 2,45 2,55 2,6
cu2 (‰) 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,1 2,8 2,65 2,6 2,6
cu2
c