Ikke, og, eller, alle, noen og ingen, sannhet og usannhet, tilhørighet ...

Litt om
Ikke, og, eller, alle, noen og ingen, sannhet og usannhet,
tilhørighet, allting og ingenting.
Eller: diskret matematikk for databaser
Sammenhengen mellom databaser og diskret matematikk
Den vanligste formen for databaser i dag, relasjonsdatabaser, bygger fullt ut på diskret matematikk.
• Det viktigste i denne sammenhengen er å forstå begrepene og den grunnleggende tenkningen
bak. Det er mindre viktig å huske alle symbolene.
• Dessuten kan noen regler, f.eks. deMorgans lover, brukes til å forenkle f.eks. spørringer.
• For å forstå videregående databaseteori kan også en del annen matematikk være nyttig.
Om disse sidene
• Oppsettet under er i all hovedsdak stikkord, med selve begrepene og notasjon.
Eksempler, anvendelser etc. må komme i tillegg for å forstå det.
• SQL er satt opp slik at du etter hvert ser sammenhengen mellom logikk, mengdelære og SQL.
• Deler er markert med kursiv og skygge. Det er ting som er mindre viktige i vår sammenheng.
Generelle begrep
• Kommutativitet, for tall gjelder f.eks. x + y = y + x, x•y = y•x, men ikke x - y = y - x.
• Assosiativitet , ” ” f.eks. x + (y+z) = (x+y) + z
• Distributivitet, ” ” f.eks. x (y+z) = xy + xz
• Refleksivitet ” ” f.eks. x = x
• Anti-refleksivitet Eks.: x

Logikk
Beskrivelse (Matematisk) notasjon Notasjon i SQL
Sant s, sann, true, t, 2 TRUE Brukes sjelden direkte, fordi et
Usant u, usann, false, f, FALSE utsagn i seg selv er sant eller usant
Utsagn f.eks. p
og p ∧ q AND
eller p ∨ q OR
eksklusiv eller p ∨ q (evt. p ⊕ q) XOR
ikke ¬p (evt. ~p eller p¯ ) NOT
implikasjon ⇒⇒ eller , hvis – så
ekvivalens ⇔⇔ eller ↔↔, hvis og bare hvis
identisk lik ≡ (bestandig likt), (som et algebraisk uttrykk, ikke en ligning)
Flere av disse har presise betydninger i matematikk som ikke nødv.vis stemmer med dagligspråket.
Sannhetsverditabeller, bl.a.
p ¬p
s u
u s
Sannhetsverditabeller kan brukes for å finne ut av mer kompliserte utsagn, f.eks. (¬p∧q)∨(p∧¬q)
Prioritet av operatorer (”hva binder sterkest sammen”)
logiske operatorer parallell til arimetikk:
4) paranteser paranteser
3) ¬ - som fortegn
2) ∧ •, /
1) ∨, ∨ +, -
• kommuativ lov p ∧ q ≡ q ∧ p, tilsvarende for ∨.
• assosiativ lov p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r, tilsvarende for ∨
• distributiv lov p ∧ (q∨ r) ≡ p∧q ∨ p∧r
• noen andre lover: p ∧ ¬p = u, p∨ ¬p = s, p ∧ u = u, p ∨ u = p m.fl.
• deMorgans lover: ¬ (p∧q) ≡ ¬p∨¬q , ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q
Åpne utsagn (predikater) f.eks. P(x). x er en variabel, P(x) betegner de x hvor P(x) er sann
Alle, det gjelder for alle ∀x: P(x) ALL, FORALL (gjerne underforstått)
Eksistens, finnes minst en ∃x : P(x) EXISTS, i noen sammenhenger ANY,SOME
Ikke-eksistens, finnes ingen ¬∃x : P(x) eller ∄x : P(x) NOT EXISTS
Sammenh. mellom ∀∀ og ∃∃ ∀∀x:P(x) ≡ ¬∃∃(x: ¬ P(x)) dvs.: alle-operatoren er overflødig
2 Noen ganger brukes også binære tall, f.eks. 1 = sann, 0 = usann.
p q p ∧∧∧∧ q p ∨∨∨∨ q p ∨∨∨∨ q p ⇒⇒ q p ⇔⇔ q
s s s s u s s
s u u s s u u
u s u s s s u
u u u u u s s
Om Ikke, og, eller, alle, noen og ingen, sannhet og usannhet, tilhørighet, allting og ingenting © Edgar Bostrøm, Utg. 1.2, 19.01.06 2

2 5
Mengder
7
5
• Elementer, mengder (ofte brukes M, A eller B, men fritt valg) og sekker/bager
• Listeform, f.eks. M = {2,5,7,5}, NB! Ingen rekkefølge, multiplisitet spiller ingen rolle.
• Eksempler på endelige og uendelige mengder, inkl. tallmengder (ℕ,ℤ,ℚ,ℝ).
• Domene-begrepet
• Kardinalitet (antall elementer) for en mengde. Skrives card(A) eller |A|.
• Mengdelikhet, A = B, hvis de inneholder de samme elementene. Mengdeulikhet: ≠.
• Delmengder, A ⊆ B, A ⊇ B. NB: Her kan A og B være like (jf. x ≤ y for tall).
• Ekte delmengder, ikke-delmengde ⊂, ⊃, ⊄. A ⊂ B ≡ (A ⊆ B) ∧ (A ≠ B)
• Universalmengde (Ω eller U), komplementærmengde(∁A eller Ā ).
• Den tomme mengde, ∅. card(∅) = 0.
Beskrivelse Matematisk notasjon Notasjon i SQL
medlemsskap (element i) ∈, f.eks. x ∈ M in (select ….)
ikke-medlemsskap ∉, f.eks. x ∉ M not in (select ….)
mengdebygger {x ∈∈ M || P(x)}
snitt A ∩ B, med i begge A INTERSECT B
union A ∪ B, med i minst en A UNION B
differanse A \ B, mengdedifferanse A DIFFERENCE B, evt. A MINUS B
symmetrisk differanse A ∆ B kan uttrykkes via de andre operatorene
Ofte tegnes mengder og mengdesammenhenger via såkalte Venn-diagram
A
B
A
B
A
A ⊆ B, mer presist A ⊂ B
A ∩ B
Mer kompliserte mengder kan tegnes på samme måte.
Ω / U, hele rektangelet viser universalmengden
Det merkede området viser komplementærmengden ∁A
• Disjunkte mengder = ikke-overlappende mengder
• Potensmengden = mengden av alle delmenger av en mengde, inkl. ∅∅
• Kommuntativ og assosiativ lov gjelder for ∩∩, ∪∪ men ikke for \
• Distributiv lov A ∩∩ (B ∪∪ C) = A∩∩B ∪∪ A ∩∩ C
• deMorgans lover for mengder ∁(A∩∩B) = ∁A ∪∪ ∁B, ∁(A∪∪B) = ∁A ∩∩ ∁B
• Mengdeprodukt (kartesisk produkt), ”alle-mot-alle”.
SQL: Det vi setter opp i FROM-setningen er i utgangspunktet et mengdeprodukt.
A
(Anne,Gundersen)
Anne × Gundersen
= (Berit, Gundersen)
Berit
Hansen
(Anne,Hansen) (Berit,Hansen)
Jensen
(Anne,Jensen) (Berit,Jensen)
Om Ikke, og, eller, alle, noen og ingen, sannhet og usannhet, tilhørighet, allting og ingenting © Edgar Bostrøm, Utg. 1.2, 19.01.06 3
B
A \ B
Prioritet av operatorer
4) paranteser
3) ∁
2) ∩
1) ∪, \
Merk parallelliteten
med logikk

Relasjoner og funksjoner (– tas senere)
• relasjoner
• funksjonsbegrepet
• differensligninger (rekursivt definerte funksjoner)
• determineringer
• en:en, en:mange og mange:mange
Trær og grafer (– tas senere)
• grafer / nettverk
o kanter, noder, vekt
o rettede grafer
o sykliske og ikke-sykliske grafer
o sammenheng mellom matriser og grafer
• trær / hierarkier
o binære trær
o trær og rekursivitet
o traverseringer
Noen nettsider med enkel innføring i diskret matematikk
• Disse sidene inneholder stoffet over pluss en del til, og er midt i blinken som eksempel- og
utdypningsmateriale. Noe er kombinert med hvorledes man søker i databaser på web.
o http://www.jbi.hio.no/bibin/KoG1matte/mengde/sld001.htm
o http://www.jbi.hio.no/bibin/KoG1matte/relasjon/
• http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT-
INF1100/h03/undervisningsmateriale/kap3.pdf
• http://www.hig.no/imt/file.php?id=501
Noen bøker
• Steffen Log: Mathema. Tapir. (Generell, men tar også opp temaene over).
• Per-Even Kleive: Diskret matematikk og lineær algebra. Fagbokforlaget
• Rod Haggarty: Discrete mathematics. Addison-Wesley.
• Lars-Christer Böiers: Diskret matematik. Studentlitteratur.
Om Ikke, og, eller, alle, noen og ingen, sannhet og usannhet, tilhørighet, allting og ingenting © Edgar Bostrøm, Utg. 1.2, 19.01.06 4