Datoraritmetik - Institutionen fÃ¶r informationsteknologi

More documents

Recommendations

Info

Informationsteknologi Representation av tal i dator • Alla tal lagras i ett begränsat antal bitar i minnet, vanligen i binär form. Exempel: 0 1 0 1 betyder (01011100) 2 = 0·2 7 + 1·2 6 + 0·2 5 + + 1·2 4 + 1·2 3 + 1·2 2 + 0·2 1 + 0·2 0 = (92) 10 • Lagring i dator Heltal Inga problem. Heltal upp till en viss storlek (beroende på antalet bitar) lagras exakt. Reella tal Kan inte lagras exakt utan måste avrundas. Representationen av reella tal kallas flyttalsrepresentation och talen kallas flyttal. 1 1 0 0 Informationsteknologi Representation av reellt tal Exempel (bas β = 10) • Reella talet x=0.6666 kan skrivas x = 0.06666…= 6.6666…·10 2 = = (6·10 0 + 6·10 -1 + 6·10 -2 + 6·10 -3 + …)·10 2 d 0 d 1 d 2 d 3 β kallas mantissa m bas β Observation 0 ≤ d i < 10 och 1 ≤ |m|< 10 Flyttal – ”flytande” decimalpunkt Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Informationsteknologi Representation av reellt tal Slutsats • Reellt tal x kan skrivas (i exakt representation) x = m·β e där β är den bas som används, e är exponenten och m är mantissan. • För mantissan gäller att m = ±(d 0 .d 1 d 2 … ) = = ±(d 0 β 0 +d 1 β -1 +d 2 β -2 + … ) , 0 ≤ d i < β • Om man flyttar decimalpunkten så att första termen d 0 ≠ 0 kallas detta normaliserad form. Då blir 1 ≤ |m|< β Informationsteknologi Representation av reellt tal • Hur ska reella talet kunna representeras i datorns begränsade antal bitar? Exponenten kan lagras exakt upp till en viss storlek Mantissa måste kapas på något sätt eftersom oändligt antal siffror – görs genom avrundning • När det reella talet x lagras i datorn görs det som flyttal, betecknas fl(x) • Exemplet igen Antag plats för 3 tal i datorns mantissa x=0.6666 ger fl(x) = 6.667 ·10 2 = = (6·10 0 + 6·10 -1 + 6·10 -2 + 7·10 -3 )·10 2 Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Informationsteknologi Representation av reellt tal Slutsats • Ett flyttal fl(x) kan skrivas (i normaliserad form) e fl() x = mˆ ⋅ β , mˆ =± ( d0. d1d 2, …, d p −1) där 1 ≤ di < β, d0 ≠0, l ≤e≤u talet 0 representeras på särskilt sätt • Ett flyttalssystem karaktäriseras av (β,p,l,u) p kallas precision, mantissan rundas av Exponenten e är heltal och lagras exakt inom undre och övre gräns, l och u. ˆm • Lagras: och e. β är fixt och lagras ej. Vanligen β = 2 Informationsteknologi Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem • (β,p,l,u) = (2,3,0,2) Mantissan ˆm kan anta följande positiva värden (motsvarande för negativa tal): (1.00) = 4 (1.01) = 5 (1.10) = 6 (1.11) = 7 4 4 4 4 För olika värden på exponenten e fås då e = 0 4 = 1.0 5 = 1.25 6 = 1.5 7 = 1.75 4 4 4 4 min e = 1 8 = 2 10 = 2.5 12 = 3 14 = 3.5 4 4 4 4 max e = 2 16 = 4 20 = 5 24 = 6 28 = 7 4 4 4 4 Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se 2
Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Informationsteknologi 0 1 2 3 4 5 6 7 +++ + + + + + + + + e=0 underflow e=1 e=2 underflow Flyttalen ej jämnt representerade – större tal ger glesare representation När ett reellt tal ska lagras i datorns minne, avrundas det och hamnar på närmaste linje på tallinjen Informationsteknologi 0 1 2 3 4 5 6 7 + ++ ++ * + + + + * + + * + Några tester 2.2 + 4.5: fl( fl(2.2)+fl(4.5) ) = fl(2.0+4.0) = fl(6.0) = 6.0 Exakt: 6.7 Absolut fel: |6.7-6.0|= 0.7 Relativt fel: |6.7-6.0|/ |6.7|= 0.1045 = 10.45% Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Informationsteknologi 0 1 2 3 4 5 6 7 + ++ ++ + + + + + + + (2.2 + 4.5) - 1.2: fl(fl( fl(2.2)+fl(4.5) ) - fl(1.2)) = fl(6.0 - 1.25) = fl(4.75) = 5.0 Exakt: 5.5 Absolut fel: |5.5-5.0|= 0.5 Relativt fel: |5.5-5.0|/ |5.5|= 0.0909 = 9.09% Informationsteknologi 0 1 2 3 4 5 6 7 + ++ ++ + + + + + + + 2.2 + (4.5 - 1.2): fl( fl(2.2)+fl(fl(4.5) - fl(1.2))) = fl( 2.0+fl(4.0 - 1.25))= fl(2.0+fl(2.75))=fl(2.0+2.5)= = fl(4.5) = 4.0 Exakt: 5.5 Absolut fel: |5.5-4.0|= 1.5 Relativt fel: |5.5-4.0|/ |5.5|= 0.2727 = 27.27% Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Representation av reellt tal Exempel, ett litet flyttalssystem Informationsteknologi 0 1 2 3 4 5 6 7 + ++ ++ + + + + + + + 3.3∗(4.5 - 1.2): fl( fl(3.3) ∗ fl(fl(4.5) - fl(1.2))) = fl( 3.5 ∗ fl(4.0 - 1.25)) = fl(3.5 ∗ fl(2.75))=fl(3.5 ∗ 2.5) = Inf pga overflow Exakt: 10.89 Informationsteknologi • Om man hamnar under min kan man släppa på normaliseringskravet Mantissan ˆm kan anta följande positiva värden (0.01) = 1 (0.10) = 1 (0.11) = 3 4 2 4 0 1 2 + + + subnormala tal • Ger en liten extraskala under min-gränsen, kallas subnormalt tal Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se Institutionen för informationsteknologi | www.it.uu.se 3
Page 1: Från labben Datoraritmetik Beräkn
Page 5 and 6: Informationsteknologi Representatio

Datoraritmetik - Institutionen fÃ¶r informationsteknologi

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?