formelsamling till kursen dataanalys och statistik för ekonomer

Högskolan i Gävle
Institutionen för Matematik, Natur- och Datavetenskap
Avdelningen för Statistik
FORMELSAMLING TILL
KURSEN DATAANALYS OCH
STATISTIK FÖR EKONOMER
Tillåtet hjälpmedel vid tentamen/ ht 2008

1
INNEHÅLL
BESKRIVANDE STATISTIK 2
SANNOLIKHETSLÄRA 3
DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 3
KONTINUERLIGA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR 4
APPROXIMATIONER 5
LINJÄRKOMBINATIONER AV TVÅ SLUMPVARIABLER 6
INFERENS 7
ENKEL LINJÄR REGRESSION 9
MULTIPEL REGRESSION 11
UTVÄRDERING AV PROGNOSER 12
EXPONENTIELL UTJÄMNING 13
TABELLER

2
BESKRIVANDE STATISTIK
Aritmetiskt medelvärde:
∑ x
∑
i
fx
i
x = x =
n
n
i
Median:
Vid klassindelat material:
n
− b
md = a +
2
* d
c
där a = undre klassgräns i medianklassen
b = kumulerad frekvens i klassen
före medianklassen (F i-1 )
c = frekvens i medianklassen (f i )
d = klassbredd i medianklassen (w i )
Vid icke-klassindelat material (observationerna ordnade
i storleksordning):
md = det mittersta värdet (om n är udda)
md = medelvärdet av de två mittersta värdena
(om n är jämnt)
Standardavvikelsen:
s =
∑( xi − x) ∑xi −n⋅x
n∑xi − ( ∑xi)
=
=
n − 1 n − 1 nn ( − 1)
2 2 2 2 2
För material i frekvenstabell:
s =
∑fi( xi − x) ∑fx
i i
−n⋅x
n∑
fixi − ( ∑fixi)
=
=
n − 1 n − 1 nn ( − 1)
2 2 2 2 2

3
SANNOLIKHETSLÄRA
P( A) = sannolikheten att händelse A inträffar
P( B) = sannolikheten att händelse B inträffar
P( A ∩ B)
= sannolikheten att både händelse A och händelse B inträffar (snitt)
P( A ∪ B)
= sannolikheten att åtminstone händelse A eller händelse B inträffar (union)
P( A| B) = sannolikheten att händelse A inträffar givet att händelse B har inträffat (betingad sannolikhet)
Additionssatsen
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
Multiplikationssatsen
PA ( ∩ B) = PAB ( | ) ⋅ PB ( ) = PBA ( | ) ⋅ PA ( )
Betingad sannolikhet
P( A| B)
=
P( A∩
B)
PB ( )
Oberoende händelser
två händelser, A och B, är oberoende om och endast om
P( A| B) = P( A)
eller ekvivalent PBA ( | ) = PB ( )
DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR
X är en diskret slumpvariabel och x 1 , x 2 , x 3 ,…….. x n är de olika värden som X kan anta
∑
Medelvärde (förväntat värde): μ = E( X) = x P( x )
n
i=
1
E( X
2 ) = x 2 P( x )
n
∑
i=
1
i
n
Varians: σ 2 2
2 2
= V( X) = [ x − E( X)] ⋅ P( x ) = E( X ) −[ E( X)]
i
∑
i=
1
i
i
i
i

4
Några ofta förekommande diskreta fördelningar
Namn och ev. beteckning
Likformig
fördelning
Hypergeometrisk
fördelning
Hyp( N , n, p)
N1
= N ⋅ p
N = N ⋅( − p)
2
1
Sannolikhetsfunktion
P(x)
Vänte
värde
E(X)
1
N + 1
N för x=1,2…, N 2
N1 N
2
( ) ⋅ ( ) 0 ≤ x ≤ N1
x n−
x
np
där 0 ≤ n− x ≤ N2
N
( ) N = N1 + N2
n
Varians
V(X)
( N 2 − 1)
12
( N − n)
= np (1 − p)
( N −1)
Binomial
fördelningen
B( n, p)
Poisson
x
λ ⋅ e
fördelningen
Po (λ)
x!
n
x
n−x
( ) p ⋅ (1 − p)
för x=0,1…..n np np 1− p
x
−λ
för x=0,1,2,……….. λ λ
( )
KONTINUERLIGA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR
X är en kontinuerlig slumpvariabel som antar värden i ett intervall (ändligt eller oändligt)
Täthetsfunktion
f ( x)
Fördelningsfunktion F( x) = f ( x)
dx
Väntevärde (medelvärde): μ = E( X) = xf ( x)
dx
x
∫
−∞
+∞
∫
∞
∫
−∞
2 2
E( X ) = x f ( x)
dx
Varians σ 2 = V( X) = E( X 2 ) −[ E( X)]
2
−∞

5
Några ofta förekommande kontinuerliga sannolikhetsfördelningar
Namn och beteckning
Rektangelfördelning
Rab ( , )
Exponential fördelniingen
Exp( λ )
Normalfördelningen
N ( μ, σ )
Täthetsfunktion
f(x)
Vänte
värde
E(X)
Varians
V(X)
1
a+
b
,a< x<
b
b−a
2
12
λe
för x ≥ 0 1
1
λ
1 x−μ
2
1 − ( )
2 σ
e
σ 2π
för
μ σ 2
−∞< x 10
N n
Hyp( N, n, p) ∼ N( μ = np, σ = np( 1−
p) ( − )
N − 1 1 N
där p N1
=
N
N n
np( 1 − p) ( )
N − 1 N
Po( λ ) ∼ N( μ = λ, σ = λ)
om λ > 15
om
1− >10

6
LINJÄRKOMBINATIONER AV TVÅ SLUMPVARIABLER X OCH Y
Om Z = aX + bY så är
E(
Z)
= aE(
X ) + bE(
Y )
V ( Z)
= a
2
V ( X ) + b V ( Y ) + 2ab
⋅Cov(
X , Y )
2
Om Z = aX − bY så är
E(
Z)
= aE(
X ) − bE(
Y )
V ( Z)
= a
2
V ( X ) + b V ( Y ) − 2ab
⋅Cov(
X , Y )
2
där Cov ( X , Y ) är kovariansen mellan X och Y.
Under denna kurs behandlas endast fall där X och Y kan antas vara oberoende, vilket innebär att kovariansen är
noll.

7
Inferens
Konfidensintervall
För skattning av medelvärden och proportioner samt skillnader mellan sådana gäller
under vissa förutsättningar:
(1-α)⋅100 % konfidensintervall för en parameter θ
Generell formel: θ$ ± c ⋅ $ $
σ θ
$θ = punktskattningen av parametern θ
c = ett värde ur den standardiserade normalfördelningen (z) eller ett värde ur
t-fördelningen (t)
σ θ $ = medelfel för skattningen
σ$ θ $ = skattat medefel för skattningen
Under vissa förutsättningar skattas medelfelet enligt nedan:
Parameter (θ) Estimator ( θ $ ) Skattat medelfel för estimatorn ( σ$ θ $ )
_________________________________________________________________
μ
x
2
s
n
n
( 1−
)
N
pˆ(1
− pˆ)
n
p pˆ (1 − )
n N
μ 1 -μ 2 x1 − x2
s
n
2
1
1
2
n1
s2
n
2
( 1− ) + ( 1−
)
N n N
1
2
2
p1 − p 2
ˆ ˆ
1
p2
pˆ
ˆ
ˆ ˆ
1(1
− p1)
n1
p2
(1 − p2
) n2
p − (1 − ) + (1 − )
n N n N
1
1
2
2
Ändlighetskorrektionsfaktorn kan utelämnas om stickprovsstorleken är mindre
än en tiondel av populationsstorleken.

8
Hypotesprövning
Testfunktion:
z = θ$
− θ
eller t = θ$
− θ
σ$
s
0 0
θ$ θ$
Definition av p-värde
Sannolikheten att få det erhållna resultatet eller ett mer extremt givet att
nollhypotesen är sann.
Bestämning av stickprovsstorlek vid dragning enligt OSU ur ändliga populationer
n = den stickprovsstorlek som erfordras
N = antal element i populationen
z = ett värde (en kvantil) i z-fördelningen (N(0,1)-fördelningen)
s och p nedan är uppskattningar av populationens standardavvikelse respektive
populationsandelen. Dessa uppskattningar grundas på förhandsinformation eller
bdömning.
E = felmarginalen = halva konfidensintervallets längd
Parameter μ
2
s
=
E 2 s
( ) +
z N
n
2
Parameter π
p(1 − p)
n =
E 2 p(1 − p)
( ) +
z N
Vanliga värden på z
Konfidensgrad Signifikansnivå Dubbelsidigt Enkelsidigt
90 % 10 % 1,645 1,282
95 % 5 % 1,960 1,645
99 % 1 % 2,576 2,326
99,9 % 0,1 % 3,290 3,090

9
Enkel linjär regression
Sammanfattning av formler
a) Koefficienterna i regressionslinjen y = a + bx
erhålles enligt
b =
∑
∑
∑ ∑
∑
n xy−
x y
=
n x − ( x)
∑
∑
xy −n ⋅x ⋅y
x
−n⋅x
2 2 2 2
respektive
a = y−
bx
b) Residualvariansen och residualspridningen vid
enkel, linjär regression definieras enligt
s
2
e
=
∑e
∑( y−
y$)
=
n − 2 n − 2
2 2
respektive
s
e
=
s
2
e
c) Den lämpligaste definitionen av korrelationskoefficienten
vid uträkning på miniräknare är
r =
=
n∑
xy−
∑ x∑
y
∑ ∑ ∑ ∑
∑ xy −n ⋅x ⋅y
∑ ∑
2 2 2 2
( n x −( x) )( n y −( y) )
2 2 2 2
( x −n⋅x )( y −n⋅y
)
=
d) Vid flera y-observationer för varje x-värde kan
formlerna för regressionslinjens koefficienter
modifieras så här:
b =
nixiyi
∑∑
−n⋅x⋅y
nx
−n⋅x
i
i
a = y - b x
∑
nx
där n = ∑ ni
, x = och y =
n
∑
ny
i i i i
n

10
e) Den sannolikhetsteoretiska modellen. Enligt modellen
följer de betingade populationsmedelvärdena den
räta linjen
μ y/x = α + βx
Den enskilda y-observationen betraktas som bestående
av två komponenter, det betingade medelvärdet och
en slumpkomponent: y = μ y/x + ε. Modellen skrivs då
y = α + βx + ε
Man kan visa att koefficienterna i stickprovets
regressionslinje, a och b, är förväntningsriktiga
skattningar av modellens koefficienter α resp β.
Modellen kan byggas ut med antagande om att residualerna
är normalfördelade och har samma varians, σ ε 2 , efter
hela linjen. Vidare antar man i regel att residualerna
är oberoende av varandra. Dessa antaganden utnyttjas
vid signifikanstest, konfidensintervall och
prognosintervall men inte vid punktskattningarna
av α och β med a resp b.
f) Den "sanna" standardavvikelsen för regressionskoefficienten
b skatts med
$
= s =
s
( x−
x)
s
x −n⋅x
e e
σ b b 2 2 2
∑
=
∑
Antalet frihetsgrader i denna skattning är lika många
som i skattningen av σ ε
2
med s e 2 , dvs n-2.
g) Vid t ex n = 10 erhålles ett 95% konfidensintervall
för den "sanna" riktningskoefficienten b enligt
b ± t
10−−
1 1, 0. 025
⋅ sb
dvs b ± 2.
306⋅
s
b

11
Multipel regression
Sammanfattning av formler
a) Koefficienterna i regressionssambandet
$y = a+ b1x1 + b2x2
erhålls genom lösning av det ekvationssystem som
utgörs av normalekvationerna
∑ ∑ ∑
⎧ a⋅ n+ b1 x1 + b2 x2
= y
⎪
2
⎨a∑x1 + b1∑x1
+ b2∑x1x2 = ∑x1y
⎪
2
⎩a∑x2 + b1∑x1x2 + b2∑x2
= ∑x2y
b) Residualvariansen definieras vid två förklarande
variabler enligt
s
2
e
=
∑ ( yi
− y$ i)
n − 3
2
och utgör en förväntningsriktig skattning av
σ ε 2 med n-3 frihetsgrader.
Vid k förklarande variabler är definitionen
2
y y
2 ∑ (
i
− $
i)
se
=
n−k−1
och antalet frihetsgrader är n-k-1.
c) Determinationskoefficienten (som även kallas
förklaringsgraden) definieras enligt
R
2
= 1−
∑
∑
( y−
y$)
( y−
y)
2
2
R 2
kan i kvadratsummetermer skrivas
R
2
SSE SST − SSE SSR
= 1− =
=
SST SST SST

12
Utvärdering av prognoser
I det följande betecknas utfallen med U t och prognosvärdena med P t .
Mean square error = MSE =
∑
t
(U
t
n
− P )
t
2
Root mean square error = RMSE =
Mean absolute deviation = MAD =
∑
t
MSE
U
t
n
− P
t
1 U
t
− Pt
Mean absolute percentage error = MAPE = ⋅∑
n U
t
t
⋅100,
(U
t
> 0)

13
Exponentiell utjämning
Inledning
Exponentiell utjämning är en speciell teknik för att utjämna tillfälliga variationer i
tidsseriedata och för att göra prognoser. Metoden används ofta för att beskriva utveckling av
ekonomiska företeelser. Men den kan användas för att beskriva ett godtyckligt dataset med
upprepade regelbundet tagna observationer.
Flytande medelvärde (Moving average).
Enklaste sättet att jämna ut en tidsserie är att räkna fram ett flytande medelvärde, dvs
medelvärdet av de k senaste k observationerna:
yˆ
t
k −1
∑ y
n 0 t n yt
+ yt−
1
+ yt−2
+ ..... + yt−k
+ 1
= =
= yt−
1
+
k
k
= − t
−
y
k
y
t−k
Valet av antalet observationer k i medelvärdet är godtyckligt. Ett litet k-värde har mindre
utjämnande effekt än ett större. Ett större medför en större kvardröjande effekt (lag) av
tidigare data. En nackdel med tekniken är att den inte kan användas på de k-1 första data i
serien. Tekniken lämpar sig för data som inte har tydlig trend eller säsongsvariation.
Enkel exponentiell utjämning (Single exponential smothing)
Princip: En ny prognos erhålls genom att man väger ihop faktiska utfallet med föregående
prognos. Den nya prognosen blir ett vägt medelvärde av dessa.
yˆ t 1
y
t
(1
)
yˆ
t
α kallas utjämningskonstant (väljs vanligen i intervallet 0,01 – 0,30). Passar för tidsserier
utan tydlig trend och säsongsvariationer. Stora α-värden ger större vikt till senaste
observationen och mindre vikt till tidigare data som senaste prognosen bygger på.
Exponentiell utjämning vid linjär trend (Holt’s teknik) (Double exponential
smothing)
Princip: En ny prognos erhålls genom att man väger ihop en nivåskattning L (level) med en
skattning av trendökningen T. Dessa erhålles först genom formlerna:
L
= α ⋅ y
T = γ ( L − L
t
t
t
t
+ (1 −α)
⋅ ( L
t−1
t−1
) + (1 − λ)
T
+ T
t−1
t−1
)
där
där
0 < α < 1
0 < γ < 1
Därefter erhålles en prognos för h perioder framåt genom formeln:
yˆ
t+
h
= L
t
+ h ⋅T
t
Denna metod passar för tidsserier med trend men utan säsongsvariationer. Stora värden på
konstanterna α och γ innebär att senare observationer får större vikt och tidigare observationer
mindre.

Winters’ metod för exponentiell utjämning med linjär trend och multiplikativ
säsongsseffekt
I exemplet med anställda i privat sektor och liknande skulle det vara intressant att också pröva
en metod som kan ge större vikt åt senare observationer. Vid metoden exponentiell utjämning
uppdaterar man skattningsformlerna med nya observationer då dessa blir tillgängliga.
Winters har utvecklat denna metod för exponentiell utjämning till att också hantera
säsongseffekter.
Princip: För varje ny prognos uppdateras trendnivån L, trendökningstakten T och
säsongseffekten S.
yt
Lt
= α ⋅
St−s
+ (1 − α)
⋅ ( Lt
−1
+ Tt
−1
) där 0 < α < 1
Tt
= γ ( Lt
− Lt
−1
) + (1 − γ ) Tt
−1
där 0 < γ < 1
yt
St
= δ ⋅ + (1 − δ ) St−s
Lt
där 0 < δ < 1
Därefter erhålles en prognos för h perioder framåt genom formeln:
ˆ
y
t+ h
= ( Lt
+ h ⋅Tt
) St−s+
h
(Metoden kan anpassas till additiv modell)