Matematisk statistikk - UMB

Betingede sannsynligheter
–
Fra spøkefull Monty Hall til
alvorsfull kreftdiagnostikk
Solve Sæbø
IKBM, UMB

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Innhold
The Monty Hall game – Vinner du bilen eller geita?
Den statistiske begrunnelsen for riktig strategi i spillet
Betingede sannsynligheter og Bayes regelen.
Sykdomsdiagnostikk – P(brystkreft | mammografi).
Ny blodbasert test lanseres – et viktig supplement til
mammografi?
Statistiske utfordringer i utviklingen av en blodbasert test
for brystkreft.
www.umb.no

The Monty Hall game
www.umb.no
UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
The Monty Hall game
Illustrasjon: http://www.math.ucsd.edu/~crypto/Monty/monty.html
Hvilken strategi lønner seg i det lange løp?
- Bytte dør?
- Har ingen betydning?
www.umb.no

Datasimulering i R
www.umb.no
UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Litt sannsynlighetsteori
La A og B betegne ”hendelser” som inntrer med
(totale/ubetingende) sannsynligheter P(A) og P(B).
La A c og B c betegne de komplementære hendelsene (dvs,
ikke-A, ikke-B).
Vi kan illustrere dette med et ”Venn-diagram”:
B c
B
A
A c
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Den betingede sannsynligheten for A gitt B, P(A|B), kan
uttrykkes ved Bayes regel :
P(A|B) = P(A,B)/P(B) der
P(A,B) er sannsynligheten for både A og B (snittet).
Dette gir at for snittet gjelder:
P(A,B) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A)
Videre er den totale (ubetingede) sanns for A gitt ved
P(A) = P(A,B) + P(A,B c ) = P(A|B)P(B)+P(A|B c )P(B c )
B c
B
A
A c
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Den statistiske begrunnelsen for riktig strategi
La subskript 1 betegne først valgte dør og subskript 2
betegne tilbudt dør.
La
være sannsynligheten for at det er en bil
bak først valgte dør. Rimelig nok er
Dersom det virkelig er en bil bak den valgte døra vil
og
Dersom det er en geit bak den valgte døra vil
og
siden programverten allerede har åpnet den andre døra
med en geit bak.
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Så den totale sannsynligheten P(Bil 2 ) for at det er en bil
bak den tilbudte døra er:
Det vil med andre ord lønne seg i lengden å bytte til den
tilbudte døra siden det er 2/3 sjanse for at bilen befinner
seg der (og dermed 1/3 sjanse for bil-gevinst om man
velger ikke å bytte)
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Mammografi og brystkreft
Anta to hendelser, S og M, definert ved
– S (Syk) = En gitt person har brystkreft.
– M (Mammografi) = En mammografitest viser positivt
resultat, dvs ”syk”.
Begge hendelser vil inntreffe med viss sannsynligheter
P(S) og P(M) dersom en vilkårlig person plukkes ut til en
test.
En god test bør gi positivt utslag med høy sannsynlighet
dersom en pasient er syk, dvs P(M|S) ~ 1
(høy sensitivitet)
Samtidig bør den med høy sannsynlighet vise negativt
resultat dersom personen er frisk, dvs P(M c |S c ) ~ 1
(høy spesifisitet)
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Men for en pasient er det kanskje mer interessant å vite
hva sannsynligheten er for at man er syk dersom testen
slår ut! Mao hva er P(S|M)?
Bayes regel sier oss at
Og dersom vi bruker uttrykket for total sannsynlighet for
M:
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Et raskt søk på nettet gir følgende opplysninger om
mammografi:
– Sensitivitet : 0.7-0.9 = P(M|S)
– Spesifisitet : 0.94-0.97 = P(M c |S c )
– Prevalens : ca 0.01 = P(S) (i screening-populasjonen)
Dette gir
Mao, sannynligheten for at en kvinne med positiv
mammografitest i et screeningprogram faktisk har
brystkreft er omlag 0.15.
(Praktisk oppgave i matematikk?)
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Fra populasjon til utvalg...
Fra utvalg til populasjon...
Tallene i mammografi-eksemplet er basert på estimerte
(anslåtte) sannsynligheter. De er estimert utfra store kliniske
studier der man prøver ut testen på et utvalg av personer med
kjent helsetilstand.
– ”Fra utvalg til populasjon”
I Monty Hall eksemplet kjenner man de populasjonsmessige
sannsynlighetene for å velge dør med bil og geit og kan utfra
det anslå sannsynligheten for ulike utfall
– ”Fra populasjon til utvalg”
Sistnevnte del av statistikken belyses mest i videregående
skole, men er grunnlaget for...
...den del av statistikken som er mest i bruk i praktisk forskning
hvor sannheten (populasjonssannsynlighetene) er ukjent.
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Aktuell forskning!
Ny test under utvikling
Oppslag i Dagbladet
25.09.2008
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Et supplement til mammografi
Anta at en ny test i første omgang er ment som et
supplement til mammografi for kvinner med suspekt
mammogram (positiv test).
Mao for denne populasjonen er prevalensen P(S)=0.15
Anta følgende for ny test (D)
– Sensitivitet : P(D|S) = 0.87
– Spesifisitet : P(D C |S C ) = 0.76
Dette gir for en kvinne med suspekt mammogram:
www.umb.no

UNIVERSITETET FOR MILJØ- OG BIOVITENSKAP
Kvinner
40-59 år
To-stegs diagnostikk:
Mammografi
M
M c P(M C )=0.95
P(M) = 0.05
P(S|M) = 0.15
Ny test D c P(D C |M )=0.33
D
P(D|M )=0.67
P(S|D,M)=0.39
www.umb.no