Signaler og Linedre Systemer

Signaler og Lineære Systemer 

Preben Alsholm 

4. december 2006 

Preben Alsholm () 01037 4. december 2006 1 / 24

Lineære di¤erentialligninger med konstante koe¢ cienter 

Lineær di¤erentialligning af n’te orden 

a 0 

d n y 

dt n + a 1 

d n 

1 y 

dt n 1 + . . . + a n 1 

dy 

dt + a ny = u (t) , 

t 2 I 




d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny = u (t) , 

Homogene, inhomogene ligninger, struktursætningen, 

karakterligningen. 

d n 

1 y 

t 2 I 




d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny = u (t) , 



Overføringsfunktion for ligning af formen 

d n 

1 y 

a 0 

d n y 

dt n + a 1 

= b 0 

d m u 

dt m + b 1 

d n 

1 y 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny 

d m 

1 u 

dt m 1 + . . . + b m 1 

du 

dt + b mu 

t 2 I 




d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny = u (t) , 




d n 

1 y 

d n 

1 y 

t 2 I 

d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny 

d 

= m u 

b 0 

dt m + b d m 1 u 

1 

dt m 1 + . . . + b du 

m 1 

dt + b mu 

Overføringsfunktionen H (s) bestemmes så påvirkningen u (t) = e st 

giver et svar y (t) = H (s) e st . 




d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny = u (t) , 




d n 

1 y 

d n 

1 y 

t 2 I 

d n y 

a 0 

dt n + a 1 

dt n 1 + . . . + a dy 

n 1 

dt + a ny 

d 

= m u 

b 0 

dt m + b d m 1 u 

1 

dt m 1 + . . . + b du 

m 1 

dt + b mu 

Overføringsfunktionen H (s) bestemmes så påvirkningen u (t) = e st 

giver et svar y (t) = H (s) e st . 

Vi har 

H (s) = b 0s m + b 1 s m 1 + . . . + b m 1 s + b m 

a 0 s n + a 1 s n 1 + . . . + a n 1 s + a n 


Frekvenskarakteristikker 

Betragt tilfældet s = iω, hvor ω 0. Vi kan skrive 

H (iω) e i ωt i(ArgH (iw )+ωt) 

= jH (iω)j e 





= jH (iω)j e 

Amplitudekarakteristikken A er givet ved 

A (ω) = jH (iω)j 





= jH (iω)j e 

Amplitudekarakteristikken A er givet ved 


Fasekarakteristikken φ er givet ved 

φ (ω) = Arg (H (iω)) 


Lineært di¤erentialligningssystem af 1. orden 

Lad A være en kvadratisk matrix med konstante elementer. Betragt 

systemet x = Ax + u (t). 





Det homogene system x = Ax. Egenværdier og egenvektorer. A 

diagonaliserbar, A ikke diagonaliserbar. 







Det inhomogene system: Struktursætningen. Gætning eller løsning 

ved fundamentalmatrix: 

x (t) = Φ (t) c + Φ (t) 

Z t 

t 0 

Φ 1 (τ) u (τ) dτ 







Det inhomogene system: Struktursætningen. Gætning eller løsning 

ved fundamentalmatrix: 

x (t) = Φ (t) c + Φ (t) 

Z t 

t 0 

Φ 1 (τ) u (τ) dτ 

Omskrivning af n’te-ordens di¤erentialligning til førsteordens system. 


Overføringsfunktioner for systemer 

Systemer af formen 

 

x = Ax + bu med y = c T x 




 


x = x (t) er tilstandsvektoren, dens koordinater er tilstandsvariable. 

u = u (t) er den ydre påvirkning på systemet. y = y (t) er svaret. 




 




Med u (t) = e st er H (s) bestemt, så y (t) = H (s) e st er en løsning. 




 





Når s ikke er en egenværdi for A, så er der præcis én løsning nemlig 

H (s) = c T (A sI ) 1 b. 




 





Når s ikke er en egenværdi for A, så er der præcis én løsning nemlig 

H (s) = c T (A sI ) 1 b. 

Amplitudekarakteristikken og fasekarakteristikken de…neres ved 

H (iω) = A (ω) e i φ(ω) . Altså 


φ (ω) = Arg (H (iω)) 


Stabilitet for homogene systemer 

Systemet x = Ax kaldes stabilt, hvis enhver løsning x (t) er 

begrænset for t 0. 





Systemet x = Ax kaldes asymptotisk stabilt, hvis det er stabilt, og 

hvis det for enhver løsning x (t) gælder, at x (t) ! 0 for t ! ∞. 







Systemet x = Ax er stabilt, hvis enhver egenværdi λ for A opfylder 

Re λ 0 og hvis enhver egenværdi λ med Re λ = 0 har samme 

algebraisk og geometrisk multiplicitet. 










Systemet x = Ax er asymptotisk stabilt, hvis enhver egenværdi λ for 

A opfylder Re λ < 0. 










Systemet x = Ax er asymptotisk stabilt, hvis enhver egenværdi λ for 

A opfylder Re λ < 0. 

Routh-Hurwitz’kriterium. 


Stabilitet for inhomogene systemer 

Systemet x (t) = Ax (t) + u (t) siges at være asymptotisk stabilt, 

hvis det for ethvert u gælder, at vilkårlige to løsninger x 1 og x 2 

opfylder x 1 (t) x 2 (t) ! 0 for t ! ∞. 






Systemet x (t) = Ax (t) + u (t) er asymptotisk stabilt, hvis og kun 

hvis det tilsvarende homogene system er asymptotisk stabilt. 








Systemet x (t) = Ax (t) + u (t) kaldes BIBO-stabilt, hvis enhver 

løsning x (t) , t 2 [t 0 , ∞[ hørende til et begrænset u (t) , t 2 [t 0 , ∞[ er 

begrænset. 








Systemet x (t) = Ax (t) + u (t) kaldes BIBO-stabilt, hvis enhver 

løsning x (t) , t 2 [t 0 , ∞[ hørende til et begrænset u (t) , t 2 [t 0 , ∞[ er 

begrænset. 

Systemet x (t) = Ax (t) + u (t) er BIBO-stabilt, hvis og kun hvis det 

tilsvarende homogene system er asymptotisk stabilt. 


Taylors sætning 

Det n’te Taylorpolynomium P n for funktionen f med udviklingspunkt 

x 0 er givet ved P n (x) = ∑ n k=0 1 k ! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k . 





Taylors sætning: Antag, at f er n + 1 gange di¤erentiabel i et interval 

I indeholdende tallet x 0 . Så …ndes der til ethvert givet x 2 I et tal ξ 

mellem x og x 0 , så 

1 

f (x) = P n (x) + 

(n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 








1 

f (x) = P n (x) + 

(n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 

 

Antag, at f (n+1) (x) C for alle x 2 I . Så gælder for alle x 2 I : 

jf (x) 

P n (x)j 

C 

jx ajn+1 

(n + 1)! 








1 

f (x) = P n (x) + 

(n + 1)! f (n+1) (ξ)(x x 0 ) n+1 

 

Antag, at f (n+1) (x) C for alle x 2 I . Så gælder for alle x 2 I : 

jf (x) 

P n (x)j 

C 

jx ajn+1 

(n + 1)! 

Hvis konstanten C ovenfor kan vælges uafhængig af n (og f i øvrigt 

er vilkårligt ofte di¤erentiabel), så gælder for ethvert x 2 I , at 

P n (x) ! f (x) for n ! ∞ 


Uendelige rækker I 

Ved en uendelig række forstås et udtryk af formen ∑ ∞ n=1 a n . 




Ved rækkens N’te afsnit S N forstås summen S N = ∑ N n=1 a n . 





Rækken siges at være konvergent, hvis der …ndes et tal S, så S N ! S 

for N ! ∞. I så fald skriver vi ∑ ∞ n=1 a n = S. 







Kvotientrækken ∑ ∞ n=0 q n er konvergent netop når jqj < 1 og summen 

er 

1 

1 q . 








er 

1 

1 q . 

n’te-ledskriteriet: Hvis rækken ∑ ∞ n=1 a n er konvergent, så gælder, at 

a n ! 0 for n ! ∞. 








er 

1 

1 q . 


a n ! 0 for n ! ∞. 

Sammenligningskriteriet: Antag, at 0 a n b n for alle n n 0 . Så 

gælder: Hvis ∑ ∞ n=1 b n er konvergent, så er også ∑ ∞ n=1 a n konvergent. 








er 

1 

1 q . 


a n ! 0 for n ! ∞. 

Sammenligningskriteriet: Antag, at 0 a n b n for alle n n 0 . Så 

gælder: Hvis ∑ ∞ n=1 b n er konvergent, så er også ∑ ∞ n=1 a n konvergent. 

Den harmoniske række ∑ ∞ n=1 1 n 

er divergent. 


Uendelige rækker II 

Rækkerne ∑n=1 ∞ a n og ∑n=1 ∞ b n med positive led kaldes ækvivalente, 

a 

hvis grænseværdien lim n n!∞ b n 

eksisterer og er positiv. 




a 



Hvis rækkerne ∑n=1 ∞ a n og ∑n=1 ∞ b n er ækvivalente, så er den ene 

konvergent, hvis den anden er. 




a 





Rækken ∑ ∞ n=1 a n kaldes absolut konvergent, hvis rækken ∑ ∞ n=1 ja n j er 

konvergent. 




a 






konvergent. 

Hvis rækken ∑ ∞ n=1 a n er absolut konvergent, så er den konvergent. 




a 






konvergent. 

Hvis rækken ∑ ∞ n=1 a n er absolut konvergent, så er den konvergent. 

Hvis en række er konvergent, men ikke absolut konvergent, siges den 

at være betinget konvergent. Eksempel. ∑ ∞ n=1 ( 1) n+1 1 

n . 


Uendelige rækker III 

Kvotientkriteriet. Hvis 

 

a n+1 

a n 

! q for n ! ∞ så gælder: 




 

a n+1 

a n 


Hvis q < 1, så er rækken ∑ ∞ n=1 a n absolut konvergent. 




 

a n+1 

a n 



Hvis q > 1, så er rækken ∑ ∞ n=1 a n divergent. 




 

a n+1 

a n 



Hvis q > 1, så er rækken ∑ ∞ n=1 a n divergent. 

Rodkriteriet. Hvis np ja n j ! q for n ! ∞ så gælder de samme 

udsagn som ovenfor. 




 

a n+1 

a n 


Hvis q < 1, så er rækken ∑n=1 ∞ a n absolut konvergent. 

Hvis q > 1, så er rækken ∑n=1 ∞ a n divergent. 



Lad f være kontinuert, aftagende, positiv og de…neret på [1, ∞[. Så 

gælder: ∑n=1 ∞ f (n) er konvergent, hvis og kun hvis R ∞ 

f 

1 

(x) dx er 

konvergent. 




 

a n+1 

a n 








f 

1 

(x) dx er 

konvergent. 

Korollar 4.21: For ethvert q N + 1 gælder 

N Z ∞ 

∑ f (n) + f (x) dx < 

n=q 

N +1 

∞ 

∑ f (n) < 

n=q 

N +1 Z ∞ 

∑ f (n) + f (x) dx 

n=q 

N +1 

Summen ∑ N n=q f (n) skal forstås som nul når q = N + 1. 




 

a n+1 

a n 








f 

1 

(x) dx er 

konvergent. 

Korollar 4.21: For ethvert q N + 1 gælder 

N Z ∞ 

∑ f (n) + f (x) dx < 

n=q 

N +1 

∞ 

∑ f (n) < 

n=q 

N +1 Z ∞ 

∑ f (n) + f (x) dx 

n=q 

N +1 

Summen ∑ N n=q f (n) skal forstås som nul når q = N + 1. 

Leibniz’kriterium: Antag at b n # 0 for n ! ∞. Så er rækken 

∑n=1 ∞ ( 1) n+1 b n konvergent. 


Potensrækker 

Rækken ∑ ∞ n=0 c n x n kaldes en potensrække. 


Potensrækker 


For enhver potensrække ∑ ∞ n=0 c n x n …ndes et tal (eller evt. ∞) ρ, så 

rækken er absolut konvergent for jxj < ρ og divergent for jxj > ρ. 


Potensrækker 




Lad f for jxj < ρ være de…neret ved f (x) = ∑n=0 ∞ c n x n . Så er f 

di¤erentiabel og f 0 (x) = ∑n=1 ∞ c n nx n 1 . Konvergensradius for denne 

er også ρ. 


Potensrækker 




Lad f for jxj < ρ være de…neret ved f (x) = ∑n=0 ∞ c n x n . Så er f 

di¤erentiabel og f 0 (x) = ∑n=1 ∞ c n nx n 1 . Konvergensradius for denne 

er også ρ. 

f er dermed vilkårligt ofte di¤erentiabel og dens Taylorrække er den 

givne række. 


Uniform konvergens I 

Rækken ∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent på intervallet I , hvis der 

…ndes en funktion f , så der for ethvert ε > 0 eksisterer et N 0 , så 

jf (x) S N (x)j < ε for alle x 2 I og alle N N 0 . 






En potensrække ∑n=0 ∞ c n x n er uniformt konvergent på ethvert lukket 

og begrænset delinterval af ] ρ, ρ[. 








∑ ∞ n=1 k n kaldes en majorantrække for ∑ ∞ n=1 f n (x) på intervallet I , hvis 

jf n (x)j k n for alle x 2 I og alle n 1. 










Hvis ∑ ∞ n=1 f n (x) har en konvergent majorantrække på intervallet I , så 

er den uniformt konvergent på I . 










Hvis ∑ ∞ n=1 f n (x) har en konvergent majorantrække på intervallet I , så 

er den uniformt konvergent på I . 

Hvis ∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent på intervallet I , så er 

sumfunktionen kontinuert på I . 


Uniform konvergens II 

Lad f n være kontinuert på intervallet I = [a, b] for alle n. Hvis rækken 

∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent på I , så gælder, at 

Z b 

a 

∞ 

∞ Z b 

∑ f n (x) dx = ∑ f n (x) dx 

n=1 

n=1 a 


Uniform konvergens II 

Lad f n være kontinuert på intervallet I = [a, b] for alle n. Hvis rækken 

∑ ∞ n=1 f n (x) er uniformt konvergent på I , så gælder, at 

Z b 

a 

∞ 

∞ Z b 

∑ f n (x) dx = ∑ f n (x) dx 

n=1 

n=1 a 

Lad f n være di¤erentiabel på intervallet I = [a, b] for alle n. Antag, at 

rækken ∑n=1 ∞ fn 0 (x) er uniformt konvergent på I , og at rækken 

∑n=1 ∞ f n (x) er konvergent for et eller andet x 2 I . så gælder, at 

rækken ∑n=1 ∞ f n (x) er uniformt konvergent og at summen er 

di¤erentiabel med 

d 

dx 

∞ 

∑ f n (x) = 

n=1 

∞ 

∑ fn 0 (x) 

n=1 


Fourierrækker I 

Lad f være integrabel på [ π, π]. Fourierrækken for f er 

a 0 

2 

+ ∑n=1 ∞ a n cos nx + b n sin nx. 




a 0 

2 


Fourierkoe¢ cienterne a n og b n er givet ved 

a n = 1 π 

Z π 

π 

f (x) cos nx dx og b n = 1 π 

Z π 

π 

f (x) sin nx dx 




a 0 

2 



a n = 1 π 

Z π 

π 


Z π 

π 


Lad f være periodisk og antag f er stykkevist di¤erentiabel. Så 

konvergerer Fourierrækken for f punktvis for alle x 2 R. 




a 0 

2 



a n = 1 π 

Z π 

π 


Z π 

π 




Hvis f er kontinuert i x, så er Fourierrækkens sum f (x) ellers er 

summen 1 2 

lim x #a f (x) + lim x "a f (x) . 




a 0 

2 



a n = 1 π 

Z π 

π 


Z π 

π 





summen 1 2 


Fourierrækken er uniformt konvergent på ethvert lukket 

kontinuitetsinterval. 




a 0 

2 



a n = 1 π 

Z π 

π 


Z π 

π 





summen 1 2 




Antag, at ∑ ∞ n=1 ja n j + jb n j er konvergent. Så er den rækken 

a 0 

2 

+ ∑ ∞ n=1 a n cos nx + b n sin nx uniformt konvergent på R og den er 

Fourierrækken for sin sum f (x). f er kontinuert. 




a 0 

2 



a n = 1 π 

Z π 

π 


Z π 

π 





summen 1 2 




Antag, at ∑ ∞ n=1 ja n j + jb n j er konvergent. Så er den rækken 

a 0 

2 

+ ∑ ∞ n=1 a n cos nx + b n sin nx uniformt konvergent på R og den er 

Fourierrækken for sin sum f (x). f er kontinuert. 

Der gælder, at jf (x) S N (x)j ∑ ∞ n=N +1 ja n j + jb n j. 


Fourierrækker II 

Fourierrækken for f er a 0 

2 

+ ∑ ∞ n=1 a n cos nx + b n sin nx. Den kan også 

skrives på kompleks form ∑ ∞ n= ∞ c n e inx . 




2 



Med b 0 = 0 er oversættelsen 

1 

c n = 2 (a n ib n ) for n 0 

1 

2 (a n + ib n ) for n < 0 




2 




1 

c n = 2 (a n ib n ) for n 0 

1 

2 (a n + ib n ) for n < 0 

Rækken er konvergent, hvis lim N !∞ ∑ N n= 

N c n e inx eksisterer. 




2 




1 

c n = 2 (a n ib n ) for n 0 

1 

2 (a n + ib n ) for n < 0 

Rækken er konvergent, hvis lim N !∞ ∑ N n= 

R 

c n = 1 π 

2π π f (x) e inx dx. 

N c n e inx eksisterer. 


Cesaro-summabilitet. De…nition 

Lad afsnittene for rækken ∑ ∞ n=1 a n være s N = ∑ N n=1 a n for N 1. 




Dan gennemsnittene t N = 1 N (s 1 + s 2 + . . . + s N ). 



Lad afsnittene for rækken ∑n=1 ∞ a n være s N = ∑ N n=1 a n for N 1. 


Hvis talfølgen (t N ) ∞ N =1 

er konvergent med grænseværdien t, så siges 

rækken ∑n=1 ∞ a n at være Cesaro-summabel (C1) med sum t. 








Hvis rækken ∑ ∞ n=1 a n er konvergent med sum s, så er rækken 

Cesaro-summabel med sum s. 








Hvis rækken ∑ ∞ n=1 a n er konvergent med sum s, så er rækken 

Cesaro-summabel med sum s. 

Hvis ∑ ∞ n=1 a n er Cesaro-summabel, så gælder a n 

n 

! 0 og s n 

n 

! 0 for 

n ! ∞. 


Indre produkt og norm i vektorrum 

Indre produkt h, i i et (komplekst) vektorrum. Normen svarende til 

h, i er givet ved kf k = p hf , f i. 





Lad (e k ) n k=1 

være en ortonormal basis for V . Så gælder: Enhver 

vektor f 2 V kan skrives f = ∑ n k=1 hf , e k i e k . 








De…nition af Hilbertrum. 









En ortonormalbasis i et uendelig-dimensionalt Hilbertrum H er en 

følge (e k ) ∞ k=1 

af indbyrdes ortogonale vektorer af længde 1. 












Hvis H har en ortonormalbasis (e k ) ∞ k=1 

, så kan enhver vektor f 2 H 

skrives f = ∑k=1 ∞ hf , e k i e k . 















Parsevals sætning kf k 2 = ∑k=1 ∞ jhf , e k ij 2 . 
















I vektorrummet H = L 2 ( π, π) de…neres et indre produkt ved 

hf , gi = 

Z π 

π 

f (x) g (x)dx 
















I vektorrummet H = L 2 ( π, π) de…neres et indre produkt ved 

hf , gi = 

Z π 

π 

f (x) g (x)dx 

Hermed er L 2 ( 

π, π) et Hilbertrum. 


Det trigonometriske ortonormalsystem 

En ortonormalbasis i L 2 ( 

(e k ) ∞ k=1 = 1 p 

2π 

, 

1 

p π 

cos () , 

π, π) er givet ved: 

1 

p π 

sin () , 

1 

p π 

cos (2) , 

1 

p π 

sin (2) , . . . 




(e k ) ∞ k=1 = 1 p 

2π 

, 

1 

p π 

cos () , 


1 

p π 

sin () , 

Fourierrækken for f er konvergent med sum f : 

1 

p π 

cos (2) , 

f = a ∞ 

0 

2 + ∑ a n cos (n) + b n sin (n) 

n=1 

1 

p π 

sin (2) , . . . 




(e k ) ∞ k=1 = 1 p 

2π 

, 

1 

p π 

cos () , 


1 

p π 

sin () , 


1 

p π 

cos (2) , 

f = a ∞ 

0 

2 + ∑ a n cos (n) + b n sin (n) 

n=1 

Dette betyder: kf s N k 2 = R ππ jf (x) s N (x)j 2 dx ! 0 for 

N ! ∞. 

1 

p π 

sin (2) , . . . 





(e k ) ∞ k=1 = 1 p 

2π 

, 

1 

p π 

cos () , 

1 

p π 

sin () , 

1 

p π 

cos (2) , 

1 

p π 

sin (2) , . . . 


f = a ∞ 

0 

2 + ∑ a n cos (n) + b n sin (n) 

n=1 

Dette betyder: kf s N k 2 = R ππ jf (x) s N (x)j 2 dx ! 0 for 

N ! ∞. 

Parsevals sætning: 

Z 

1 π 

jf (x)j 2 dx = 1 2π π 

4 ja 0j 2 + 1 ∞ 

2 

∑ 

ja n j 2 + jb n j 2 

n=1 


Eksponentialmatricen 

Lad A være en kvadratisk matrix. Eksponentialmatricen e A de…neres 

som 

e A 1 

= 

k! Ak 

∞ 

∑ 

k=0 




som 

e A 1 

= 

k! Ak 

∞ 

∑ 

k=0 

Rækken er konvergent for enhver kvadratisk matrix A. 




som 

e A 1 

= 

k! Ak 

∞ 

∑ 

k=0 


Lad A være en diagonaliserbar matrix. Så eksisterer der en invertibel 

matrix P og en diagonalmatrix Λ så A = PΛP 1 . Og så har vi 

e A = Pe Λ P 1 . 




som 

e A 1 

= 

k! Ak 

∞ 

∑ 

k=0 


Lad A være en diagonaliserbar matrix. Så eksisterer der en invertibel 

matrix P og en diagonalmatrix Λ så A = PΛP 1 . Og så har vi 

e A = Pe Λ P 1 . 

Lad A være en kvadratisk matrix. Så har vi 

d 

dt eAt = Ae At . 


Potensrækkeløsning om ordinært punkt 

En funktion f kaldes analytisk i et punkt a, hvis den er summen af en 

potensrække i en cirkelskive med centrum i a. 





Betragt di¤erentialligningen y 00 + p (t) y 0 + q (t) y = 0. 






Hvis p og q er analytiske i punktet a siges a at være et ordinært 

punkt for di¤erentialligningen. 








Di¤erentialligningen har da to lineært uafhængige analytiske løsninger 

i a. Disse …ndes ved indsættelse af y (t) = ∑ ∞ n=0 c n (t a) n . 








Di¤erentialligningen har da to lineært uafhængige analytiske løsninger 

i a. Disse …ndes ved indsættelse af y (t) = ∑ ∞ n=0 c n (t a) n . 

Rekursionsformel. 


Potensrækkeløsning om regulært singulært punkt 

Betragt igen di¤erentialligningen y 00 + p (t) y 0 + q (t) y = 0. 




Hvis p og/eller q ikke er analytiske i punktet a siges a at være et 

singulært punkt for di¤erentialligningen. 






Hvis dog (t a) p (t) og (t a) 2 q (t) begge er analytiske i a, så 

siges a at være et regulært singulært punkt. 








Di¤erentialligningen har mindst én rækkeløsninge af formen 

y (t) = ∑ ∞ n=0 c n (t a) n+r . 









y (t) = ∑ ∞ n=0 c n (t a) n+r . 

Indeksligningen. 









y (t) = ∑ ∞ n=0 c n (t a) n+r . 

Indeksligningen. 

Rekursionsformel. 


Fourierrækkemetoden for systemer 

Vi betragter systemer af formen x = Ax + bu med y = c T x, hvor det 

antages, at egenværdierne for A har negativ realdel. 













H (s) = c T (A sI ) 1 b og y (t) = H (s) e st . 








Antag, at u er 2π-periodisk, kontinuert og stykkevist di¤erentiabel: 

u (t) = ∑ ∞ n= ∞ c n e int . 









u (t) = ∑ ∞ n= ∞ c n e int . 

Svaret på u er da y (t) = ∑ ∞ n= ∞ c n H (in) e int . 









u (t) = ∑ ∞ n= ∞ c n e int . 


Med u (t) = a 0 

2 

+ ∑ ∞ n=1 a n cos nt + b n sin nt fås 

y (t) = a 0 

2 A (0) + 

∞ 

∑ A (n) a n cos (nt + φ (n)) + A (n) b n sin (nt + φ (n)) 

n=1 









u (t) = ∑ ∞ n= ∞ c n e int . 


Med u (t) = a 0 

2 

+ ∑ ∞ n=1 a n cos nt + b n sin nt fås 

y (t) = a 0 

2 A (0) + 

∞ 

∑ A (n) a n cos (nt + φ (n)) + A (n) b n sin (nt + φ (n)) 

n=1 

hvor A og φ er amplitudekarakteristikken og fasekarakteristikken 

henholdsvis. 


Approksimation i e¤ekt 

R 

E¤ekten de…neres ved P (f ) = 1 π 

2π π jf (t)j2 dt. 



E¤ekten de…neres ved P (f ) = 1 

Parseval giver: P (f ) = ∑ ∞ n= 

2π 

 

∞ 

cn 

2 

R π 

π jf (t)j2 dt. 

= a2 0 

4 

+ 1 2 ∑∞ n=1 

 

ja n j 2 + jb n j 2 . 





P (S N ) = ∑ N n= 

N 

2π 

 

∞ 

cn 

2 

c 

2 

n 

= a2 0 

4 

+ 1 2 ∑N n=1 

R π 


= a2 0 

4 

+ 1 2 ∑∞ n=1 

 

ja n j 2 + jb n j 2 . 

 

ja n j 2 + jb n j 2 . 





P (S N ) = ∑ N n= 

N 

2π 

 

∞ 

cn 

2 

c 

2 

n 

= a2 0 

4 

+ 1 2 ∑N n=1 

R π 


= a2 0 

4 

+ 1 2 ∑∞ n=1 

 

ja n j 2 + jb n j 2 . 

Ønskes N bestemt, så P (S N ) δP (f ) skal vi vælge N, så 

 

∑ 

jnjN +1 

c 2 n 

 

ja n j 2 + jb n j 2 . 

= 1 ∞ 

2 

∑ ja n j 2 + jb n j 2 (1 δ) P (f ) 

n=N +1

Signaler og Linedre Systemer

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?