Logaritmisk derivasjon. - Universitetet i Tromsø

Forelesningsnotater i matematikk.
Logaritmisk derivasjon. Side 1
7. Logaritmisk derivasjon.
Dette er en teknikk som spesielt egner seg til å derivere uttrykk av formen
y = ( f ( x)
) g( x)
.
Du starter da med å ta logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
y = f ( x)
g x
= g x ⋅ f x .
ln ln (( ) ( )
) ( ) ln ( ( ))
Så deriverer du, og bruker kjerneregelen:
1 dg ( x)
⎛ 1 df ( x)
⎞
⋅ y'
= ⋅ ln( f ( x)
) + g( x)
⋅ ⋅
.
y dx ⎜ f ( x)
dx ⎟
⎝
⎠
g x og multiplisere med y, og du har funnet y ' .
Nå gjenstår det bare å derivere f ( x ) og ( )
Eksempel 7.1: Deriver disse funksjonene:
x
a) y = f ( x) = x
b) ( ) ( ) sin
y = f x = cos x
2
c) y = f ( x) = ( x + )
x
−
1 x
Løsning:
ln y = ln
x
x = x⋅ln
x
a)
( )
1 1
⋅ y' = 1⋅ ln x+ x⋅ = ln x+
1
y
x
x
( ) ( )
y' = y lnx+ 1 = x ⋅ lnx+1
b)
( )
sin x
( ) ( )
ln y = ln cos x = sin x⋅ln cos x
2
1 1 sin x
⋅ y' = cos x⋅ ln ( cos x) + sin x⋅ ( − sin x) = cos x⋅ln ( cos x)
−
y cos x cos x
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
sin x
sin x
sin x
y' = y⎜cos x⋅ln ( cos x) − ⎟= ( cos x) ⎜cos x⋅ln ( cos x)
− ⎟
⎝ cos x ⎠ ⎝ cos x ⎠
c)
1 − x
2 2 2
1 ( 1 ) ( 1)
x
2
−
2 x 2
(( ) ) 2 ( )
− x
( ) ( ) ( )
ln y = ln x + 1 =− ⋅ ln x + 1
x −
2 2
y = f x = x + = x + = x +
2
1
1 2 x
1
1 2 x
⋅ y' =− ⋅ ln
2 ( x + 1) − ⋅ ⋅ 2x =− ⋅ ln
2 2 2 ( x + 1)
−
2
y x + 1 x + 1
2 x
2
⎛
1 2 x ⎞
2
−
2
⎛
1 2 x ⎞
y' = y⎜− ⋅ ln
2 ( x + 1) −
2 ⎟= ( x + 1) ⎜− ⋅ ln
2 ( x + 1)
−
2 ⎟
⎝ x + 1⎠ ⎝ x + 1⎠
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

Forelesningsnotater i matematikk.
Logaritmisk derivasjon. Side 2
Logaritmisk derivasjon kan også benyttes når du skal derivere et produkt eller en brøk, selv
om du også kan benytte de vanlige derivasjonsreglene. Se eksemplene nedenfor.
Eksempel 7.2: Deriver disse funksjonene med logaritmisk derivasjon.
2
a) ( ) ( ) 3
y = f x = x −2 ⋅ x+
4
2
cos x
= =
3
1 − sin x
b) y f ( x)
Løsning:
1 1
a)
2
3 3
2 2 2
ln y = ln x −2 ⋅ x+ 4 = ln x − 2 + ln x+ 4 = 3ln
2
x − 2
1
+ ln x+
4
(( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2
( )
1 1
1
1 6x
1
1
⋅ y' = 3⋅ ⋅ 2x+ ⋅ ⋅ 1= + ⋅
2 2 2 2
y x − 2 x+ 4 x − 2 x+
4
⎛ 6x
2
3
1
1 ⎞ ⎛ 6x
1
1 ⎞
y' = y⎜ + ⋅
2 2 ⎟= ( x −2)
⋅ x+ 4⎜ + ⋅
2 2 ⎟
⎝ x − 2 x+ 4⎠ ⎝ x − 2 x+
4⎠
b)
2
⎛ cos x ⎞
ln y = ln⎜
ln cos x ln 1 sin x 2ln cos x ln 1 sin x
3 ⎟= − − = − −
⎝1−
sin x ⎠
2 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 2 −2sin 3sin ⋅cos
⋅ y' = 2⋅ ( −sinx) −
3 ( −3sin x⋅ cosx)
= +
3
y cos x 1 sin x cos x 1 sin x
−
x x x
−
2 2 2
⎛−2sin x 3sin x⋅cos x⎞
cos x ⎛−2sin x 3sin x⋅cos
x ⎞
y'
= y⎜
+
3 ⎟= ⋅
3 ⎜ +
3 ⎟
⎝ cos x 1−sin x ⎠ 1−sin x ⎝ cos x 1−
sin x ⎠
Du ser sikkert at disse svarene kan omformes på mange måter, og kanskje også forenkles litt.
Oppgave 7.1.
Logaritmisk derivasjon kan også brukes til å utlede flere av de generelle derivasjonsreglene på
en forbløffende enkel måte:
Eksempel 7.3: Bruk logaritmisk derivasjon til å vise at disse derivasjonsreglene gjelder:
n
n
a) y = f x = x ⇒ y'
= n⋅x − for alle n ∈ .
( )
1
b) y = f ( x) = u( x) ⋅v( x) ⇒ y' = u'
⋅ v+ u⋅ v'
u( x)
u'
⋅v−u⋅v'
c) y = f ( x)
= ⇒ y'
=
2
v( x) v
Løsning:
y = f x
n
= x ⇔ ln y = ln
n
x = n⋅ln
x
a) ( ) ( )
1 1 1 1 n n−1
⋅ y'
= n⋅ ⇔ y'
= n⋅ ⋅ y = n⋅ ⋅ x = n⋅x
y x x x
Legg merke til at alle overgangene gjelder for alle n ∈ .
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.

) ( ) ( ) ( ) ( )
Forelesningsnotater i matematikk.
Logaritmisk derivasjon. Side 3
y = f x = u x ⋅v x ⇔ ln y = ln u⋅ v = lnu+
ln v
1 1 1
⋅ y' = ⋅ u' + ⋅v'
y u v
⎛1 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞
y' = y⎜ ⋅ u' + ⋅ v' ⎟= u⋅v⎜ ⋅ u' + ⋅ v' ⎟= u'
⋅ v+ u⋅v
'
⎝u v ⎠ ⎝u v ⎠
c)
( )
( )
u x
⎛u
⎞
y = f ( x)
= ⇔ ln y = ln⎜
⎟= lnu−ln
v
v x
⎝v⎠
1 1 1
⋅ y' = ⋅u' − ⋅v'
y u v
⎛1 1 ⎞ u ⎛1 1 ⎞ 1 u u' ⋅ v' −u' ⋅v'
y' = y⋅⎜ ⋅u' − ⋅ v' ⎟= ⋅⎜ ⋅u' − ⋅ v' ⎟= ⋅u' − ⋅ v'
=
2 2
⎝u v ⎠ v ⎝u v ⎠ v v v
Bjørn Davidsen, Universitetet i Tromsø. 2009.