Preliminära svar till tentamen TNE052 2007-05-29

(c T BB −1 =−1 0 2⎛)⎜⎝(−(c 3 − c T B B−1 a 3 )=−1+1 3 00 1 11 2 0⎞1 1 0⎟⎠ =(⎛)⎜⎝1 1 0211⎞⎟⎠ =2)(c T B B−1 b =1 1 0⎛)⎜⎝1534⎞⎟⎠ =18, B −1 b =⎛⎜⎝1 3 00 1 11 2 0⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝1534⎞⎟⎠ =⎛⎜⎝24721⎞⎟⎠Optimaltablån:Basvar z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6¯bz 1 0 0 2 1 1 0 18x 2 0 0 1 5 1 3 0 24x 6 0 0 0 2 0 1 1 7x 1 0 1 0 4 1 2 0 21(ii) (1p) Skuggpriserna är v 1 =1, v 2 =1ochv 3 =0.(iii)(2p) x 3 är icke-basvariabel. Den reducerade kostnaden för x 3 blir⎛ ⎞( ) 3¯c 3 = c 3 − c T B B−1 ⎜ ⎟a 3 =4− 1 1 0 ⎝ 2 ⎠ = −1 < 01vilket indikerar att nuvarande baslösning är fortfarande optimal.(maxproblem)(iv) (1p) Nej, ty den aktuella lösningen ((x 1 ,x 2 ,x 3 ) = (21, 24, 0)) är inte tillåten med avseendepå det nya villkoret x 1 +4x 3 ≤ 9Uppgift 4 (6p)Variabeldefinition:x i = Antal poliser som börjar ett 12-timmarspass pass i, i =1,...,4y i = Antal poliser som börjar ett 18-timmarspass pass i, i =1,...,4Modell:min z = 1200(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 2100(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 )då x 1 + x 4 + y 1 + y 3 + y 4 ≥ 12 (00 : 00 − 06 : 00)x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + y 4 ≥ 8 (06 : 00 − 12 : 00)x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≥ 6 (12 : 00 − 18 : 00)x 3 + x 4 + y 2 + y 3 + y 4 ≥ 15 (18 : 00 − 24 : 00)x i , y i ≥ 0, i =1,...4, heltal.2

Uppgift 5(i) (4p) Billigaste väg: 1-2-4-6. Kostnad: -5.(ii) (2p) Skicka 2 enheter enligt vägen i (i). Ny billigaste väg: 1-3-4-6. Skicka 2 enheter.Totalkostnad är -16 (2(-5) + 2(-3) = -16).Uppgift 6(a). (3p)c 1a 1=0.5, c 2a 2=0.6, c 3a 3=1.25, c 4a 4=2.~ (0)~ (0)x = (1,1, 0.25, 0), z = 5.25~ (1)^x = (1, 0.4, 1,0)~ (1)z = 7.21x = 0x = 1 220x = 1x = 03 34x = 0x = 1 44~x(4)= (1, 1, 0, 0.33),~ (4)z = 62 x~3 x~ (2)x = (0,1,1,0) ~ (3)x = (1, 0, 1, 0.67)~ (2)z = 8 (UBD) ~ (3)z = 10 > 85 x~ (5)x =(1, 0.6, 0, 1)~ (5)z = 8.8 > 86xinfeasibleOptimallösningen: x ∗ =(0, 1, 1, 0),z ∗ =8(b). (3p)Gomorysnittet som hör ihop med första ek: 2x 1 +2x 2 +3x 3 ≤ 5Gomorysnittet som hör ihop med andra ek: 2x 1 + x 2 +2x 3 ≤ 3Uppgift 7(i) (2p) Lagrangefunktionen till detta problem ärL(x,v)=3x 1 +7x 2 +10x 3 +v(7−x 1 −3x 2 −5x 3 )=(3−v)x 1 +(7−3v)x 2 +(10−5v)x 3 +7vDuala problemet:maxv≥0h(v)därh(v) = max (3 − v)x 1 +(7− 3v)x 2 + (10 − 5v)x 3 +7vdå x j ∈{0, 1} i =1, 2, 3.(ii) (2p) v = 8 3⇒ x =(0, 1, 1) ⇒ h(v) = 433(LBD)x =(0, 1, 1) är tillåten, z =17 (UBD) ⇒ 43 3 ≤ z∗ ≤ 17.3

(iii) (2p)Interval x =(x 1 ,x 2 ,x 3 )0 ≤ v ≤ 2 x =(0, 0, 0)2 ≤ v ≤ 7 3x =(0, 0, 1)73≤ v ≤ 3 x =(0, 1, 1)3 ≤ v x =(1, 1, 1)Duala funktionen blir⎧⎪⎨h(v) =⎪⎩7v om 0 ≤ v ≤ 22v + 10 om 2 ≤ v ≤ 7 3−v + 17 om 7 3 ≤ v ≤ 3−2v + 20 om 3 ≤ vOptimallösningen i det duala problemet är v ∗ = 7 3 ,ochh(v∗ )= 443 .4