Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

med oppgavene. Elevenes manglende evne ogvilje til refleksjon i faget er et problem for defleste lærere og flere av dem knytter dette trekketved elevene til oppgavediskursen.Lærerne er også opptatt av at elevene ikkefår utnyttet matematikkfagets muligheter. Dettegjelder spesielt det praktiske. De fleste lærerneønsker at matematikken skal bli «mer praktisk».De ønsker også at elevene skal oppleve faget påen mer helhetlig måte enn hva de gjør gjennomoppgavediskursen. Dilemmaet mellomønsket om å utvikle engasjement og kreativitethos elevene og krav i forbindelse med eksamenkommer ofte til uttrykk.Erik viser hvor dypt dilemmaet kan sitte:«sjøl om du ser at elevane her tenner på ein ting– så kan du ikkje drive for lenge med det altså.For du vil jaga vidare… Det er ikkje til å komeforbi det.» «[…] det er vel og ein forskjell på fagaveit du. Ein får det vel ikkje 100 % likt, men deteg er ute etter er at ein del av dei idéane som ermed og skaper engasjement og kreativitet i denprossessorienterte skriveundervisninga, den kankanskje overførast. Eg syns kanskje at boka, i ogmed at dei har disse finn-ut oppgåvene og desseproblemoppgåvene, er med på det. På andre sidaer boka ganske stringent og strukturert. Du veitakkurat nøyaktig kor du har alle elevane. Foreg har kontrollprøver eg kan ta. Eg tok ein no.Sjokkprøve.»I begynnelsen vektlegger han «engasjement»og «kreativitet». Han har fått dette til i norskundervisningen,og mener her at «den kan kanskjeoverførast.» Han ser muligheten i problemoppgavenei læreboken. Så i neste øyeblikk gir bokaen annen assosiasjon: den er ganske «stringentog strukturert.» Dette leder over til å vite nøyaktighvor «du har alle elevene» i forbindelse medeksamen som så leder til assosiasjonen «sjokkprøve».Bokens stringens og struktur sammenmed Eriks ønske om å vite hvor elevene er fagligsett er knyttet til kravet til matematikklærerenpå ungdomstrinnet: Det eksisterer muligheterfor en eksamen, og som Erik sier det litt senere:«dei vil ikkje sitte som nokre idioter den dagendei er til eksamen. Dei vil ikkje det.»Ole beskriver seg som «forherdet» i forbindelsemed en stadig dårlig samvittighet, ogsnakker også om en «årelang dårlig samvittighet.»Når jeg relaterer dilemmaene og spenningeni lærernes språk til potensialet i deres didaktiskekunnskapsbegrep, er det fordi disse dilemmaeneviser lærernes innsikt i at det er muligå gjøre noe annet i undervisningen enn det devanligvis gjør. En årelang dårlig samvittighetutvikles neppe dersom en ikke hadde ønsket åfå noe mer ut av undervisningen.Nina arbeider også på ungdomstrinnet.Hun vektlegger ikke dilemmaet slik de øvrigelærerne gjør. Hun snakker heller ikke så mye omoppgaveløsing. Hun arbeider under de sammerammebetingelsene som de andre ungdomsskolelærerneog har samme tid til disposisjonsom de andre lærerne til å komme gjennom enbestemt stoffmengde og et visst antall oppgaver.Spørsmålet som blir stående ubesvart her er omlærerne som bor i oppgavediskursen legger forstor vekt på rammebetingelsene, eller om detkan være Nina som undervurderer disse betingelsene.Selv om oppgavediskursen synes urokkelig,vil lærerne selv kunne vurdere i hvilkengrad de vil flytte for godt inn i den, eller omde vil bevare et urolig og utprøvende forholdtil den.LitteraturFoucault, M. (1985). The Archeology of Knowledge.London, Tavistock Publ.Foucault, M. (1986). Power/Knowledge. Brighton,The Harvester Press.Højrup, J. (1989). Varieties of MathematicalDiscourse in Pre-Modern Socio-CulturalContexts: Mesoptamia, Greece and theLatin Middle Ages. Science and Society,XLIX (1).Madsen, P. (1973). Tekst, tegn og betydning.København, Borgen.Mellin-Olsen, S. (1991). Hvordan tenker lærereom matematikkundervisning? Bergen,Bergen lærerhøgskole.tangenten 2/2009 7

Gert Monstad HanaBør det innføresdiktatur i Norge?Om valgordninger og rettferdighetVåre liv preges av de valg vi gjør. Mange av dissegjøres sammen med andre: vennegjengen somskal bestemme seg for hvilken film å se ellerhvilken pizza å bestille. Ofte er vi i en situasjonhvor ikke alle ønsker det samme alternativet,og da dukker følgende problemstilling opp:Hvordan velger vi slik at valget er mest muligrettferdig for de involverte? Det finnes mangemåter en gruppe personer kan velge et alternativpå: alternativet flest ønsker, med vetorett (foreldreovenfor barn), diktatorisk (fotballdommer),ulik vekting (styreleder med dobbeltstemme), uti fra bestemte ytre kriterier (opptak til studie),tilfeldig (loddtrekning) eller mer avansertemetoder (fordeling av plasser ved stortingsvalg).Spørsmålet over har ikke noe enkelt allmenngyldigsvar, og svaret vil variere ut i fra situasjonenrundt valget.Å betrakte en abstrakt struktur for å studeredens egenskaper er sentralt i matematikken. Åse på den matematiske strukturen til valgordningergir innsikt i de mekanismer som styrerdemokratiske prosesser. Bare det å forstå valgordningenved stortingsvalg krever enn vissmatematisk innsikt (Smestad, 2005). For å ikkespenne over for mye, vil jeg holde meg til valg8Gert Monstad Hana, Høgskolen i Bergengmh@hib.nohvor det bare er ett alternativ som skal velges.Hva er problemet?Den valgordningen 1 vi kjenner best til er flertallsvalg:alle stemmer på en kandidat og denkandidaten som får flest stemmer velges. Dettevirker i utgangspunktet som en grei måte åavgjøre et valg på, men det enkle er ikke alltiddet beste, som vi skal se. Tenk at vi skal gjøre etvalg mellom kandidatene A og B hvor syv personerønsker A og tre personer ønsker B. Detvirker da opplagt å velge A. Men hva hvis vi itillegg får vite at de personene som ønsker Aser på B som et akseptabelt alternativ selv omdet ikke er det de helst ønsker, mens de tre somønsker A ser på B som helt uaktuell. Er det fortsattopplagt at vi skal velge A?Det blir svært vanskelig å se på valg genereltdersom vi skal ta denne typen hensyn. Derforgjør vi noen forenklende antakelser slik vi oftegjør i matematikken når vi modellerer en situasjon.Disse antakelsene er med på å gjøre situasjonenmer håndterlig å analysere. Vi antar atalle velgerne har like sterke meninger og at degreier å rangere kandidatene. Med disse antakelseneburde vel flertallsvalg være en ypperligmåte å avgjøre valg på? Ja, hvis det bare er tokandidater. Med en gang vi har flere enn to kandidaterer flertallsvalg problematisk også meddisse antakelsene.Vi lar et eksempel illustrere noe av det som2/2009 tangenten

kan gå galt med flertallsvalg hvis det er tre kandidaterå velge mellom. Matematikere er liteoppfinnsome, så jeg kaller kandidatene for A, Bog C. Nå er som kjent matematikere også late, såjeg innfører notasjon for å slippe å skrive så mye,og skriver A > B dersom A foretrekkes fremforB. (Det går raskere å skrive, samt at god notasjongjør det lettere å se strukturen i situasjonensom studeres.)Preferansene fordeler seg som følger:– 3 personer: A > B > C– 2 personer: B > C > A– 2 personer: C > B > AVi ser at A vil vinne et flertallsvalg med trestemmer. Det er mer enn de to stemmene B ogC får. Men ser vi nøyere på preferansene ser vi atfire av syv foretrekker B foran A, og at fire av syvforetrekker C foran A. Altså blir alle de andrekandidatene foretrukket av flertallet av velgernefremfor A, men allikevel vinner A valget!La oss ta et eksempel til for å vise avhengighetenvalgutfallet kan ha av valgordningen(Saari, 2008). Preferansene fordeler seg somfølger:– 3 personer: A > B > C– 2 personer: B > C > A– 2 personer: A > C > B– 4 personer: C > B > ADersom vi bruker flertallsvalg blir den samlederangeringen A > C > B. Hvis vi i stedet tenkeross en valgordning hvor velgerne stemmer på toav kandidatene så er plutselig rangeringen snuddtil B > C > A. En tredje valgordning kan være atvelgerne gir to poeng til kandidaten de helst vilha og ett poeng til deres kandidat nummer to.Da blir rangeringen C > B > A. Alle de tre kandidatnekan altså vinne valget avhengig av hvilkenvalgordning vi bruker. Saari (2008, s. 448)skriver skarpt at «[…] election outcomes canmore accurately reflect the choice of an electionrule than the voters’ wishes.»Finnes det en rettferdig valgordning?La oss først se på hvilke kriterier det er naturligå kreve at en rettferdig valgordning skal ha. Defølgende kriteriene virker fornuftige (selv om dekan være tunge å trenge inn i og virke krongleteformulert).Valgordningen skal ikke være diktatorisk. Envalgordning er diktatorisk dersom det finnes enbestemt person som avgjør utfallet av valget.Flertallskriteriet. Dersom mer en halvpartenav velgerne rangerer samme kandidat påførste plass, så vinner denne kandidaten valget.(Bordavalg som omtales under er et eksempelpå en valgordning som ikke tilfredsstiller dettekriteriet.)Condorcet-kriteriet 2 . Dersom A > B av et flertallav velgerne, A > C av et flertall av velgerne,A > D av et flertall av velgerne og så videre foralle kandidatene, så vinner A valget. (Eksempleneovenfor viser at flertallsvalg ikke tilfredsstillerCondorcet-kriteriet.)Pareto-kriteriet. Dersom alle velgerne foretrekkerA foran B, så skal valgordningen også plassereA foran B.Valgordningen skal være uavhengig av irrelevantealternativ. Dette vil si at dersom vi gjennomføreret valg på nytt med de samme velgernemed de samme preferansene hvor den enesteendringen er at vi har tatt vekk en av kandidatenesom tapte, så skal vi få samme vinnersom før. (Det første eksempelet ovenfor viser atflertallsvalg ikke tilfredsstiller dette kriteriet.Dersom kandidat C trekker seg, så vil B vinnei stedet for A.)Monotonisitetskriteriet. Hvis en eller flere personerendrer sine preferanser slik at alternativA rangeres høyere, så skal aldri A komme dårligereut i valget. Og motsatt: endres preferanserslik at A rangeres lavere, så skal aldri A kommetangenten 2/2009 9

edre ut i valget 3 . (Valgrunder er et eksempelpå en valgordning som ikke tilfredsstiller dettekriteriet.)De gode nyhetene er at det ikke er vanskeligå finne valgordninger som tilfredsstiller dissekriteriene enkeltvis. Den dårlige er at det ikkefinnes noen valgordning som tilfredsstillerdisse kriteriene samtidig. Et mye omtalt resultati denne retningen er Arrows 4 sats hvis innholdhar gitt tittel til denne artikkelen. Dennesatsen sier at under antakelsene gjort ovenfor ogdersom Pareto-kriteriet er oppfylt og valgordningener uavhengig av irrelevante alternativ, såmå valgordningen være diktatorisk.At det ikke finnes noen valgordning somoppfyller alle kriteriene ovenfor betyr ikke atdet ikke finnes valgordninger som er rettferdige,men det betyr at det ikke finnes noen valgordningsom er rettferdig i alle sammenhenger.En diktatorisk valgordning kan være rettferdigunder en fotballkamp, men er nok ikke likerettferdig som styringsform for et land. Det bliropp til oss å kritisk vurdere hvilke valgordningersom er rettferdige i de situasjonene vi er i.Hvilke valgordninger finnes?I utgangspunktet er det bare fantasien somsetter grenser, men det er klart at fantasien vilkomme opp med forslag av varierende kvalitet.For de fleste er flertallsvalg den valgordningende umiddelbart kommer på, men eksemplenei innledning burde overbevise en om at vi tildaglig faktisk også bruker andre valgordninger.Borda-valg 5 . Her får kandidatene poeng etterhvor høyt de rangeres hos velgerne. Hvis deter fem kandidater får deltakerne fire poeng forhver velger som rangerer de høyest, tre poengfor hver velger som rangerer de nest høyest,… og null poeng når de rangeres nederst. Dentredje valgordningen i eksempelet til Saari er etBorda-valg.10Condorcet-valgordning. Dette er valgordningersom tilfredstiller Condorcetkriteriet. Dersomen kandidat rangeres høyere enn alle andre vedparvise sammenligninger er denne kandidatenen Condorcet-vinner. Det finnes forskjelligeCondorcet-valgordninger som fraviker hverandreetter hvordan de bestemmer vinnerentil et valg uten Condorcet-vinner. Dette sisteskjer når vi har sykler med parvise vinnere: foreksempel A > B av et flertall av velgerne, B > Cav et flertall av velgerne og C > A av et flertallav velgerne.Godkjennelsesvalg. Her gir velgerne stemme tilalle de kandidatene de kan akseptere som vinnerav valget (m.a.o. kandidatene de godkjenner).Velgerne kan stemme på så mange kandidatersom de selv ønsker 6 .Valgomganger. Her gjennomføres først envalgomgang med vanlig flertallsvalg. Hvis ingenkandidat får over halvparten av stemmene såvil kandidater som gjør det dårlig (etter fastsattekriterier) strykes og det gjennomføres enny valgomgang med de gjenværende kandidatene.Dette fortsetter til det bare er en kandidatigjen. Forskjellige former for valgordninger sombruker valgomganger er i bruk. Presidentvalget imange land, deriblant Frankrike, baserer seg pået system med to valgomganger hvor bare de tofremste kandidatene fra første valgomgang gårvidere til andre omgang.Listen med valgordninger kunne vært betydeligforlenget, og det finnes mange forskjelligevarianter av valgordninger som blir brukti praksis ved forskjellige politiske valg. Å se påegenskapene til disse kan være interessant. Foreksempel tilfredsstiller valgordningen som blirbrukt ved presidentvalget i USA bare det førsterettferdighetskriteriet ovenfor.Det er i hovedsak varianter av de valgordningenejeg nevner her som ses på som de mest fornuftigeå bruke i politiske sammenhenger. Flertallsvalganses derimot som lite egnet, og deteneste som ser ut til å tale for den er at metodener enkel og rask.2/2009 tangenten

Ved å se nærmere på valgordninger kan eleverfå øvelse i å studere matematiske strukturer,modellering og å kritisk vurdere matematikkensinnvirkning på våre liv (Skovsmose, 2005).Mulighetene finnes til å se på valg både i dendagligdagse og den politiske sfæren. Samfunnsdebattenrundt valgordninger i Norge har desiste år hovedsakelig dreid seg om utjevningsmandaterog den enkelte velgers mulighet til ågjøre endringer på valglistene. Også hvilke valgordningersom blir brukt under stemme givningi forskjellige politiske organ er av interesse. Nyevalgordninger, som direktevalg på ordførerenkelte steder, dukker opp. Å ha kjennskap tilog evne til å vurdere valgordninger har betydningfor å sikre både nødvendig debatt rundttemaet, samt at den allmenne velger skal kunnedelta i denne.Noter1 En valgordning er her en regel slik atdersom vi kjenner preferansene til velgerneså kan vi avgjøre resultatet av valget.2 Marquis de Condorcet (1743–1794) ønsketseg valgordninger basert på dette kriteriet.3 Dette og det forrige kriteriet har tilknytningtil taktisk stemmegivning hvor en stemmerannerledes enn sine preferanser fordi dettevil gi et mer preferensiert valgutfall (eksempelvisen velger som ikke stemmer på detpartiet hun ønsker fordi partiet ikke harsjanse til å vinne valget uansett). Mye avforskningen rundt valgordninger har handletom å konstruere valgordninger som gjørtaktisk stemmegivning unødvendig.4 Kenneth Arrow (1921–), vinner av Nobelsminnepris i økonomi i 1972, la mye avgrunnlaget for den sosiale valgteorien ogbeviste den mye omtalte satsen sin i 1951.5 Oppkalt etter Jean-Charles de Borda somlaget denne valgordningen i 1770 grunnetsin misnøye med flertallsvalg og fikk densenere i bruk ved valg i det franske vitenskapsakademiet.6 Den årvåkne leser oppdager kanskje atgodkjennelsesvalg bare blir skikkelig interessantsom valgordning hvis antakelsenjeg gjorde over om at alle velgerne har likesterke meninger ikke stemmer.ReferanserSaari, D. (2008). Matematics and Voting. Noticesof the American Mathematical Society,55 (4), 448–455.Skovsmose, O. (2005). Kritisk matematikkundervisning– for fremtiden. Tangenten, 16 (3),4–11.Smestad, B. (2005). I disse valgtider – om matematikkenbak fordelingen av stortingsrepresentantene.Tangenten, 16 (3), 46–48.Matematisk institutt ved Universitetet i Bergenfeirer 60-års jubileum 8. mai 2009. Alle somhar hatt befatning med instituttet er hjerteligvelkomne til å delta på arrangementet. Se merinformasjon påstromme.uib.no/jubileumsinvitasjon.pdftangenten 2/2009 11

Per ØdegårdSpråklige dimensjoneri matematikkoppgaverForholder det seg slik at språk i matematikkoppgaveneer en plagsom uting som burde værtluket ut av faget? Eller er det slik at språket er såtett knyttet til matematikken og matematikkforståelsenat vi bør bestrebe oss på å finne deriktige formuleringene og kontekstene? I denneartikkelen skal jeg prøve å nærme meg noensvar på problemstillingene.Tidsskriftet Nämnaren presenterte en gangen ironisk veiledning til elever om hvordan deskulle forholde seg til matematikklekser. Et avtipsene lød: «Om det er mulig, la være å lesegjennom oppgaven. Å lese oppgaveteksten tarbare tid og avstedkommer bare forvirring».Elevstrategiene har lenge og for mange værtå sile ut tall for deretter å gjette på hvilkenalgoritme som oppgaven mest sannsynlig villekreve. Det har – sett fra elevens side – vært viktigereå gi læreren et raskt svar enn undersøkehva oppgaven egentlig dreier seg om.Som ungdomsskolelærer i matematikkerfarte jeg at elevene ofte oppfattet tekst somunødvendig og forstyrrende for å løse oppgaver.Historien nedenfor er selvopplevd og peker påproblemet med elevenes svarorientering. Detgjelder å svare så raskt som mulig. «Tom ogSusan er på besøk hos besteforeldrene som harPer Ødegård, Nygård skoleper.odegaard@bergen.kommune.no12gård. Det går høns og griser i en innhegning.Tom sier til Susan: «Jeg har sett 18 dyr.» Susansvarer: «Og jeg har talt 52 bein til sammen.»Hvor mange dyr er det av hvert slag?» Overraskendenok kommer svaret fra eleven umiddelbart«70, lærer.» Han har silt ut informasjon ogordene «til sammen» leder eleven til addisjon.Elevenes forståelse av at tekst ofte skjuler ogdekker til en algoritme som de skal bruke forå komme fram til et svar, sitter dypt. Det kankanskje henge sammen med opplæringen somi for stor grad har fokusert på tilegnelsen avalgoritmene og en ørkesløs anvendelse av dem ikontekstløse sammenhenger.Noe av det positive i den nye læreplanen,Kunnskapsløftet – LK06 – er vektleggingen avde grunnleggende ferdighetene. Elevene skal leseog skrive også i matematikk. Dette er en utfordringvi lærere skal ta alvorlig. Fagsynet somsier at matematikk ikke kan skilles fra språk fårdermed vind i seilene. Det er derfor svært gledeligat det i Kunnskapsløftet understrekes atlesing og skriving skal brukes og som det står:«… medvirke til å utvikle fagkompetansen imatematikk.» At elevene skal kunne regne i allefag, betyr også at den språklige dimensjonenstyrkes og utvikles. Vektleggingen av at språker nedfelt i planverket må få betydning for så velopplæringen som for alle de oppgavene – ogsåeksamensoppgavene – de skal arbeide med.Minoritetsspråklige elever utgjør mange2/2009 tangenten

steder en stadig større del av klassen. I voksenopplæringener de den dominerende elevgruppen.Vi har lenge visst at elever med norsk somandrespråk sliter mer med matematikkfaget enndem som har norsk som førstespråk. Mangelærere har ønsket at disse elevene burde få oppgaveruten språklig kontekst, det vi kan kalle«nakne» oppgaver. Ofte er voksne minoritetspråkligeelever, spesielt de som kommer fraAsia og Russland, meget dyktige tallbehandlereog behersker godt de fire regningsartene.Omkvedet blant kollegaer – matematikklæreresom norsklærere – har vært «hvorfor kan ikkedisse elevene få rene regneoppgaver, så vil de fåvist hva de kan slik at de kan få bedre karakterer».«Slutt med alle disse tekstoppgavene.»De minoritetsspråklige elevene møter storeog ofte unødvendige hindre i møtet med tekstoppgaver.Eksempler på hvordan man med enklegrep kan lette alle elevers inngang til oppgavensmatematiske problem presenteres nedenfor.I Sverige har man sett nøyere på og undersøktforholdene mellom matematikk, språk,andrespråk, leseforståelse og kontekstens betydningfor at en elev skal kunne løse en matematikkoppgave.Så viktig har man vurdert dettei Sverige at Myndigheten för skolutveckling(2008) har gitt ut en egen bok som heter «Merän matematikk». Sitater fra denne boken erskrevet i bokser og i parentes gitt sidehenvisning.For at en prøve skal være relevant, er måletat eleven må forstå teksten i oppgavene i den.Elever som sier at matematikk er vanskelig erofte de som ikke forstår teksten – og det gjelderfaktisk enspråklige så vel som tospråklige elever.Det blir også referert i boken at «… den viktigsteoppgaven for matematikklærerne i grunnskolener å hjelpe elevene til å bli gode lesere.»(ibid., s. 11).Er det slik at som mange lærere tror – ellerhar trodd – at det vil gå så mye bedre om vi larelevene få regne på nakne oppgaver. Det viserseg at dette ikke alltid helt holder stikk. La ossbetrakte følgende oppgaveeksempel:Den nakne oppgaven lyder: Regn ut 300,6(s. 15)Gitt i en kontekst: En sekk med tørrfôr veier30 kg. Hvor lenge rekker sekken hvis en valpspiser 0,6 kg hver dag (s. 15)Overraskende nok klarte flere elever oppgavengitt i en kontekst enn den nakne varianten.Altså faller argumentet om at det blir så myebedre om elevene bare skal regne på nakne oppgaveretter tillærte algoritmer de er blitt drilleti. Det viser i alle fall PRIM-gruppens undersøkelseav Äp9 i matematikk 2006 (Skolverket,2006). En god forklaring kan være at i en kontekstsammenhengkan elevene selv velge hvordande vil angripe oppgaven. De behøver ikkevære låst til en algoritme eller en eneste vei framtil løsningen.Selv om kontekstoppgaven har en større løsningsfrekvensenn den nakne, har den likevelet forbedringspotensiale. Setningsbygningensynes enkel og grei nok, men for elever mednorsk som andrespråk kan likevel en ombygningog forandring av enkeltord ytterligereøke løsningsfrekvensen. Trolig vil disse ordenevanskeliggjøre hva oppgaven dreier seg om:«tørrfôr», «rekker» og «valp». Tørrfôr og valpkan de sikkert finne forklaring på med hjelp aven ordbok, men «rekker» kan det være mangetolkningsmuligheter av.Oppgaven presentert i en forandret kontekst:En sekk med hundemat veier 30 kg. En hundspiser 0,6 kg mat hver dag. Hvor man dagerhar hunden mat?Nakne brøkoppgaver har ofte gitt elever, spesieltde som har slitt litt med faget, store problemer.Den følgende oppgaven underbygger dennetangenten 2/2009 13

påstanden. Prøv selv i klassen.1 1Regn ut: :2 10 =Rent instrumentelt skal man altså huske «snuden siste brøken på hodet og sette gange tegn.»Men så var det å huske hvordan man ganget tobrøker med hverandre … Husket man så det,fikk man et svar som var større enn begge tallenei oppgaven. Så dukket neste undring opp:«Kan det stemme da, blir det ikke alltid mindrenår vi deler?»Man kan i stedet gi denne oppgaven i entekstsammenheng:”En flaske brus rommer en halv liter drikke.Hvor mange personer kan få drikke dersomhver av dem skal ha en tidels liter?”De fleste elevene klarte denne oppgaven. Så kanman diskutere om teksten er klar nok, om dener forståelig, om enkeltord burde erstattes ogom halv og tidel skulle vært skrevet på brøkformi oppgaven. Teksten bør dessuten tilpassesden målgruppen oppgaven er tenkt for. I voksenopplæringenda det tidligere bare var norskspråkligevoksne, ble teksten:«Hvor mange slurker blir det av en halvliter øldersom man drikker en desiliter i hver slurk?»Man kan seinere oversette problemstillingen tilmatematikkspråket og kanskje nettopp få dennakne oppgaven. Elevene kjenner svaret og kanoppmuntres til å lage sine egne algoritmer pådenne type brøkregning.Teksten skal være matematisk korrekt slik atman ikke blir kritisert av kollegaer, men samtidigskal teksten være for elever og ikke for kollegaer.Dette er en av utfordringene for alle somskal lage matematikkoppgaver. Jeg mener det er iutformingen av selve teksten forbedringspotensialeter størst. I rammen nedenfor er et eksempelpå en mulig forvirrende bruk av ordene is ogiskrem. Slik konstruktørene har tenkt er iskremdet du kjøper i kiosken mens den inneholderis. På min dialekt kjøper jeg is som inneholderiskrem. Det er også viktig at bilder og strektegningerunderbygger forståelsen og ikke vanskeliggjørinngangen til oppgaven.Oppgaven kan sikkert forsvares slik den erformulert. Det går tydelig fram hva som er hva.Jeg stusset likevel og måtte lese oppgaven flereganger fordi is og iskrem betyr motsatt for meg– og kanskje for mange andre. Kjedeligere er detat 2,0 cm på tegningen ikke tydelig nok tar medEksempeloppgave grunnskolen 2008142/2009 tangenten

kjeksen.Signalord kan lede eleven i feil retning. Noeneksempler:Ole er 8 år og 3 år eldre enn Jens. Hvorgammel er Jens? (s. 20)Akkurat som ordene «til sammen» fikk ledeteleven inn på å summere 18 og 52 for å finnehvor mange dyr det var på gården, leder ordet«eldre» elevene på samme vei – til addisjon.Truls mistet 5 kuler. Han hadde da 12 kulerigjen. Hvor mange hadde han fra startenav? (s. 20)Signalordet «mistet» henspeiler på subtraksjon.Noen ord er tve- eller mangetydige. Spesieltvil dette ha betydning for minoritetsspråklige.Før: Lag en skisse over et kvartal i byen (s. 26)Bedre: Lag en skisse over et område i byen(s. 26)Før: List opp hva de ulike tegnene betyr ogskriv tallet som mangler under det sistebildet. (s. 27)Her presenteres to innskutte bisetninger. Detkan vanskeliggjøre forståelsen.Etter: Se på tegningene. Finn symboletsom er brukt for enere, tiere, hundretall ogtusentall. Hvilket tall viser det siste bildet?(s. 27)Det er spesielt problematisk for minoritetsspråkligeelever når verb kombineres med stedsadverb.Slike språklige konstruksjoner bør manunngå og heller skrive om.Før: En lastebil frakter ca. 15 m³ snø. Hvormange lass går med for å flytte 3000 m³?(s. 23)Etter: En lastebil frakter ca. 15 m³ snø. Hvormange lass trengs for å flytte 3000 m³? (s. 23)Ofte kan en unødig vanskelig setningsbygningforbedres. Teksten i den neste oppgaven henspeilerpå tegningen nederst på siden:I den svenske boken vises det til en rekke andrespråklige elementer det er viktig å vurdere nårman lager matematikkoppgaver. I eksamens-240 4 012 ________tangenten 2/2009 15

oppgavene for voksne – der det som nevnt eroverveiende minoritetsspråklige elever – hararbeidet med å bearbeide oppgavene språklighatt høy prioritet. Tekst og illustrasjoner skalutgjøre en enhet slik at innholdet på best muligmåte skal kunne nå fram til mottakeren. Selvom det alltid har vært stor bevissthet omkringspråklige utfordringer fra alle involverte i prosessen,har den svenske boken økt erkjennelsenom de språklige utfordringene en oppgavekonstruktørstår overfor.Oppgaven som følger (side 17 og 18) er eneksempeloppgave til grunnskoleeksamen forvoksne 2008. I tillegg til alle gode råd bokenhadde å bidra med, er det også lagt vekt på at:– Illustrasjoner skal hjelpe eleven til å forståkonteksten.– Fragmentering er prøvd unngått. Oppgavenhar 6 deloppgaver knyttet til sammeproblemområde.– Matematikken legitimeres gjennom å visetil den samfunnsmessige rammen oppgavenhar.– Ingressen er kun vel en linje, men kan likevelha en motiverende effekt.– Oppgaven fanger opp læreplanens krav omgrunnleggende ferdigheter. Elevene skalskrive også i matematikk.I hvilken grad man har lykkes med å lage enmatematikkoppgave uten at språket skal væreen hindring for å løse den overlates til leseren.Den svenske boken (Myndigheten för skolutveckling,2008, s. 43) tar opp og drøfterlangt flere språklige dimensjoner enn de få jeghar referert her. Den oppsummerer på dennemåten:16Å tenke på når du lager matematikkoppgaver:– Forsikre deg om at elevene forstårbegreper som nylig er blitt introdusert.– Forsikre deg om at elevene forstår atbestemte vanlige ord kan få en annenbetydning når de anvendes i en matematiskkontekst.– Husk at verb pluss stedsadverb kan værevanskelig for andrespråklige elever.– Vær forsiktig med uvanlige ord oguttrykk samt tvetydige ord.– Bygg ut teksten i stedet for å forkorteden.– Pass på at layouten letter forståelsen.– Forstår alle elevene referanserammene ioppgaven.– Gi gjerne oppgaver som kan løses påforskjellige måter slik at elevene fårmuligheter til å formulere og redegjørefor hverandre (husk de grunnleggendeferdigheter).Vi må klare å dreie elevenes forståelse til atspråk er en viktig og nødvendig del av matematikkfaget,og ikke en tilslørende ubehagelighet.Det må jobbes målbevisst med å sette faget inni meningsfulle kontekster. Mengden av nakneoppgaver må reduseres radikalt og elevene måskånes for den hastige jakten på det riktigesvaret. En vei å gå er å arbeide mer bevisst vedutarbeidelsen av de oppgavene vi gir dem. Dakan matematikken kanskje bli mer meningsfullfor langt flere elever.LitteraturlisteMyndigheten för skolutveckling (2008). Mer änmatematik – om språkliga dimensioneri matematikuppgifter. Stockholm, LiberDistribusjon.Skolverket (2006). Resultatredovisning. Ämnesprovårskurs 9, våren 2006. www.primgruppen.se(PRIM: Forskningsgruppen förbedömning av kunnskap och kompetens)I tillegg anbefales: Löwing & Kilborn (2008).Språk, kultur och matematikkundervisning.Lund, Studentlitteratur.2/2009 tangenten

3 B Å LAGE BRO 13 poengDet er viktig å gjøre beregninger over hvordan en bro skal bygges. Hvis det ikke gjøres,kan den bli ødelagt.www.zefrank.comwww.stuff.co.nzDersom en trebro skal kunne bære vekten av en person, er det mange faktorer somvirker inn. I denne oppgaven skal vi se på disse faktorene:Bæreevne (vekten broen skal bære)Lengden av broenTykkelsen av broenBredden av broenv kgl mt cmb cmFormelen nedenfor vise litt forenklet bæreevnen tilen trebro2b ⋅ tv = 2 ⋅ l3.1 2p Vis ved regning om en bro med måleneb = 70, l = 4 og t = 2 vil bære en personpå 70 kg.foto: UDIR3.2 1p Vis at formelen (funksjonsuttrykket) kan skrives som:3 ⋅ bv = når l=3 og t=32tangenten 2/2009 17

3.3 2p Tegn grafen til funksjonen i oppgave 3.2. La b variere mellom 10 og 100.3.4 2p Bruk grafen til å finne:a) Bæreevnen når b = 45.b) Bredden av broen når v = 70.Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom lengden av broen og bæreevnen.3.5 2p Forklar med ord hva du kan lese ut av denne grafen.Tegningen ovenfor viser en skisse av en bro. Strekene som er tegnet med rødt, er wirenetil broen. AB = 100 m, AE = 50 m og DE = EF.3.6 4p Hvor mange meter wire trengs til denne broen?Denne broen har flere wiereenn den du skal regne på ioppgave 3.6 ovenfor.www.flickr.com182/2009 tangenten

Geir MosakerPausen –pinleg eller produktiv?Kven har vel ikkje opplevd det? Å sitje samanmed nokon du kjenner berre litt og prate omeitt og anna, og så stoppar samtalen. Det blirstilt. Det er stille. Ingen seier noko. Men alletenker: Nokon må seie noko. Framleis stille.Skal ikkje nokon snart seie noko? Tida står. «Ogelles …?»Det har kanskje berre gått tre fire sekundar.Men det var pinleg. Det var noko som skjeddepå så kort tid, til våre lange liv å vere, men somlikevel fekk så stor merksemd. Kanskje forlang tid framover. Denne pausen som oppstodbetydde noko. Dei fire sekundane der ingen sanoko var ikkje utan verknad. Vi veit at denneopplevinga ikkje knyter oss nærare saman.Kva har dette med matematikk og matematikklæringå gjere? Forskingsprosjektet Læringssamtaleni matematikkfagets praksis 1 ved Høgskoleni Bergen studerer dei kommunikativevilkåra for at samtalar i matematikkundervisingskal gi læring i faget. Når vi bruker ordet samtaletenker vi oftast på dei orda som blir sagt, uttryktmunnleg, det verbale. Eg vil i denne artikkeleni staden setje eit fokus på dei tidsintervalla i einsamtale der det ikkje blir sagt noko, og prøveå peike på nokre kjenneteikn, eigenskapar ogfunksjonar desse periodane har. Gjennom heileGeir Mosaker, Leirvik Module Technologygeir@sklbb.noArtikkelen er utvikla som ein del av prosjektetLæringssamtalen i matematikkfagets praksis,LIMP: www.hib.no/fou/limp. Prosjektet erstøtta av NFR, og er eit forskingssamarbeidmed UiA, HiBo, HiO, HiST gjennom TeachingBetter Mathematics.teksten har eg klasseromsundervising som kontekst,der aktørane er lærar og elevar.Kva er ein samtalepause?For å forsøke å gi min definisjon på kva einsamtalepause er, vil eg først ta eit lite sidestegtil forskingsfeltet samtaleanalyse (conversationanalysis, CA). I CA er tur-taking eit sentraltomgrep. Ettersom ein samtale utviklar seg, vildet på ulike tidspunkt kreve at aktørane byttarpå å snakke. Når ein aktør snakkar, er det aktørensin tur. Når neste aktør tar ordet, tar aktørenneste tur. Skiftene i kven sin tur det er til åsnakke, kallast tur-taking. Jefferson, Schegloffog Sacks (1974) opererer med tre omgrep (påengelsk) for å skildre opningane i samtalar nåringen snakkar: «gap», «lapse» og «pause». «Gap»er det tidsrommet når tur-taking oppstår. Deter definert som eit kort opphold. Dersom deter stille over lengre tid går «gap» over til å bli«lapse». Ein «pause» er eit «gap» innanfor einaktør sin tur. Nielsen og Nielsen (2005) tarutgangspunkt i desse tre omgrepa, men utvi-tangenten 2/2009 19

der til å bli fem ulike typar pausar med ulikeopphav.Heller enn å gå inn i kva som skiller dei ulikepausane frå kvarandre, ønsker eg i denne tekstenå vise til kva rolle dei kan spele i undervising.Difor blir følgande definisjon av ein samtalepausetenleg for mitt tilfelle: Ein samtalepause erdet stille tidsrommet, lengre enn eitt sekund , somoppstår når turtaking finn eller kunne ha funnestad. I min kontekst vil samtalepausane oppstå itur-takinga mellom lærar-elev og elev-elev.Undersøking av eiga undervisingHausten 2007 gjorde eg eit lydopptak av einundervisingssekvens i matematikkdidaktikkeg hadde med ein klasse allmennlærarstudentar.Då eg i ettertid høyrde gjennom opptaket,vart eg ekstra merksam på samtalepausane somoppstod. Dei var mange, og dei var ofte lange.Eg undrast kvifor det var slik. Kvantitative datafrå sekvensen er som følgjer: I løpet av 16 min30 sek oppstod 27 pausar lengre enn eitt sekund.Pausane samla sett tok 2 min og 35 sek, ellerom lag 15,8 % av tida. Pausane varierer i lengd,frå 1–2 sek opptil 14 sek på det lengste. Det kritiskespørsmålet kom raskt: Var denne undervisingssekvensengod eller dårleg? Eg helte motdet siste.Å stille dette spørsmålet betyr at eg plassererein eigenskap ved samtalepausane: Dei har nokoå seie for kvaliteten på undervisinga. Pausanefortel meg noko om kvaliteten til samtalen. Altetter korleis eg tolkar innhaldet i eller funksjonentil pausane, er desse med på å fortelje omdet som blir sagt.20Kvalitetar ved pausenLengda på pausane, kombinert med korleis deioppstår, får konsekvensar for om vi ser på einsamtale som god eller ikkje. Ein 14 sekundarspause er svært lang og klam for dei fleste dersomdet er reist eit direkte spørsmål til ein bestemtaktør i samtalen (berre prøv!). Som lærar villedet vore ufint å ha late eleven som ikkje får frameit svar sitje så lenge utan at noko blir sagt. Motsetnadentil eit slikt døme er dei situasjonanekor eleven som vil gi si matematiske forklaringpå eit problem knappast får tid til å tenke ogstrukturere språket før vi grip inn og tar ordetmed våre gode presise formuleringar. Er ikkjedet like ufint?Pausefrekvensen er ein annan målbar storleik.Kor ofte dukkar pausane opp – er dei hyppige,eller kjem dei sjeldan? Kva inneber dette?Her er det vanskeleg å generalisere, men mangeføler nok at ein samtale som er god, flyt og drivavgarde utan stans, aktørane avløyser kvarandrekontinuerleg i det verbale språket. Stadigeavbrekk og opphald i ordstraumen vil kunnebremse progresjonen og utviklinga i meiningsutvekslingane,og samtalen vil kjennast litefruktbar.Men: I samtalepausane som oppstår er detpotensiale. Under rette tilhøve kan pausanespele ei viktig rolle for kvaliteten på samtalen.Dei kan vere fruktbare for framdrifta og forinnhaldet i samtalen. Eg meiner pausane kanopne for læring. I Jefferson m.fl. (1974) er det eitstadig uttrykt mål med «minimization of gapsbetween turns», altså med kortast mogleg stillemellom kvar tur. Jefferson har i sine analysar avstore datamateriale kome fram til at ein pausepå eitt sekund er eit standard maksimum for nårpausane byrjar å bli problematiske (se Nielsenog Nielsen, 2005). CA viser altså at desse rommamellom samtaleturar vert forsøkt unngått ellerredusert til eit minimum. Dersom klasseromssamtalarblir prega av tilsvarande kommunikasjonsmønster,trur eg elevar mister viktig tid tilutvikling av tanken. Vi kan ta ifrå dei ein arenafor læring.Kven eig pausane?Difor er mitt fokus som matematikkdidaktikarat vi opnar augene for samtalepausar, ogat pausane blir elevane sine. Eller rettare, atelevane tek kontroll over pausen og gjer den tilsin. Ein eleveigd pause inneber at neste utspel,neste ytring er forventa å kome frå ein elev,og at utsegna er meiningsberande, relatert til2/2009 tangenten

innhaldet i samtalen. Eleveigde samtalepausarbetyr aktive elevar, tenkande elevar, reflekterandeelevar. Og kanskje til og med elevar somlærer. Dette krev ein matematikklærar som hartolmod, som vågar å la det bli stille, som klarerå lage eit undervisingsklima der pausane blirproduktive, ikkje pinlege. Eitt sekund, to, tre,fire … før eleven tar ordet. Slike opplevingarkan knyte oss nærare saman!Ein samtalepause kan jo like gjerne bli lærarensin. Ikkje sjeldan stiller elevar spørsmålsom utfordrar oss. Takk for det! Vi må tenke,vi har ikkje svaret klart, og denne uvissa kanfort bli ukomfortabel. Kor lett er det ikkje å tytil raske, enkle eller avfeiande svar. Er det rartat elevane våre ganske ofte svarer «Veit ikkje»på våre spørsmål? Læraren er ein rollemodellfor elevane, også på dette området.I andre samanhengar tenker vi kanskje i lag,elevane og vi. Pausen er vår. Det kjennest godtå vere i lag om den, vi hjelper kvarandre. Ellerså kan vi oppleve at eigarforholdet i løpet av einsamtalepause skiftar. Det som byrja som eineleveigd pause endar opp som læraren sin. Elevanegir ingen respons, kva skal eg føreta megno?Korleis aktørane oppfattar eigarforholdet tilpausane er med på å styre korleis samtalen utviklarseg. Det er ikkje alltid gitt kven som skaleller bør eige pausen. Dersom ingen aktørar vileige pausen, blir det skapt, tenkt og reflektertlite kring det som genererte pausen. Men deisom grip fatt i sjansen som byr seg, kan verkestimulerande for kva veg samtalen tar, kva innhaldsamtalen får, og difor også for kva læringsom potensielt skjer i klasserommet.AvslutningSom lærarar er vi leiarar for undervisingssituasjonen.Det er ofte vi som set agendaen, det ervi som har planen for det som skal skje og detsom skal bli sagt. Vi har kontroll over innhaldet,i alle fall så lenge det er vi som har ordet. Matematikkdidaktikkenhar dei seinare åra klartå løfte den språklege og kommunikative rollalangt fram, og det pedagogiske læringssynet somer rådande i dag er prega av sosial samhandling.Vi forsøker å få slutt på tida med einvegskommunikasjoni matematikkundervisinga, derlæraren frå tavla fortel korleis noko skal gjerast,og der elevane prøver å kopiere dette over i tilsvarandeproblem i arbeidsbøkene. Dersom vimeiner at læring skjer i ein sosial kontekst, blirsamtalen eit viktig middel for å nå målet ombetre matematikklæring. Då er det også viktigå vite noko om kva som kvalifiserer ein samtalesom ein læringssamtale. Å ha eit blikk for kvarolle pausane spelar, kan bidra til det.LitteraturJefferson, G., Schegloff, E. A. og Sacks, H.(1974). A Simplest Systematics for theOrganization og Turn-taking for Conversation,I Language. Journal of the LinguisticSociety of America. Vol 50.Eller nettsida www.liso.ucsb.edu/Jefferson/Systematics.pdfNielsen, M. E. og Nielsen, S. B. (2005). Samtaleanalyse.Forlaget Samfundslitteratur,Danmark.(fortsatt fra side 1)andre fordi tegningen kan perfeksjoneres slikat en ikke lenger opplever behovet for å konstruere.Dette kan være en alvorlig hindring igeometriundervisningen.Redaktøren støtter fullt ut bruk av digitalehjelpemidler i klasserommet og andre læringsarenaer.Imidlertid ser vi at teknologien ikkebare kommer med velsignelser, men at denogså medfører en del alvorlige ulemper. Når viobserverer slike må vi finne utveier. Vi må brukede digitale hjelpemidlene kritisk. Videre må visørge for at elevene også klarer seg i omgivelserder datamaskiner ikke er tilgjengelig. Vi må læredem å velge hjelpemidler med omhu, men samtidigå kunne stole på sine egne kunnskaper.Når vi og elevene tar kontrollen over detekniske hjelpemidlene vil skadevirkingene blimindre og utbyttet større.tangenten 2/2009 21

Sigbjørn HalsFingermultiplikasjonPå det vellykka sommarstemnet som Lamisarrangerte i Sandnes i august 2008, viste PerInge Torkildsen korleis vi kan multiplisere vedhjelp av fingrane. No tenkjer du kanskje at deter nettopp det vi vil unngå. Elevane bør ikkjetelje på fingrane, men i staden utføre jobben ogpugge den vesle multiplikasjonstabellen. Det erklart at det beste er om multiplikasjon er blittinternalisert kunnskap, slik at ein slepp å tenkjeseg om for å vite at 7×8 = … Ja, kva var no detdå? Lærarar bør ikkje unngå øving og automatiseringav slike tabellkunnskapar, fordi det gjerkvardagen lettare når ein raskt kan finne produktetav to tal når ein treng det. For dei elevanesom har brukt mykje tid og krefter på å læredette, og likevel ikkje hugsar dei skumle kombinasjonanei 6–9 gongane, kan denne enklemetoden vere ein av fleire som kan bidra til ålette innlæringa. Fingermultiplikasjon handlarikkje om å telje seg oppover til svaret. Dennemetoden er langt raskare.For å få til fingermultiplikasjon, må vi gå utfrå dette:• Elevane har 5 fingrar på kvar hand.• Dei har lært gangetabellen opp til og med5×5.• Dei kan 10-gongen.Sigbjørn Hals, Måløy vidaregåande skulesigbjorn.hals@sfj.noLa oss vise framgangsmåten med to eksempel.Først 9×8:9 (fordi 4 + 5 = 9) 8 (fordi 3 + 5 = 8)Adder fingrane som peikar opp: 4 + 3 = 7. Detutgjer tiarane. 7×10 = 70.Multipliser fingrane som er nede: 1×2 = 2.Det utgjer 2 einarar.9×8 = 70 + 2 = 72.Neste eksempel er 6×7:6 (fordi 1 + 5 = 6) 7 (fordi 2 + 5 = 7)Adder fingrane som peikar opp: 1 + 2 = 3. Detblir 3×10 = 30.(fortsetter side 58)222/2009 tangenten

Borghild Kjørstad, Sigbjørn HalsSophus Lies prisSkulane i Sogn og Fjordane vert inviterte til ånominere seg for Sophus Lies pris. Alle steg fråbarneskulen til og med den vidaregåande skulenkan delta.Prisen er gjeven av Sparebanken Sogn ogFjordane. Vinnaren får 25 000 kroner og eindiplom av kunstnaren Elisabeth Steen og bilethandsamarLars Lunde. Formålet med prisener å auke interessa for matematikk og realfag.Prisen vert i år delt ut for tredje året. Haugenskule i Eid kommune fekk prisen i 2006, og i2007 gjekk han til Måløy vidaregåande skule.Prisen vert gjeven til ein skule eller klassesom gjennom idérikdom, samarbeid og målrettaarbeid fremjar interesse for matematikkgjennom elementær dugleik i rekning, talhandsamingog algebra. I tillegg er det viktigå synleggjere bruk av matematikk i andre fag,til dømes fysikk, naturfag, statistikk, økonomiBorghild Kjørstad, Haugen skuleborghild.kjorstad@eid.kommune.noSigbjørn Hals, Måløy vidaregåande skulesigbjorn.hals@sfj.noMeir informasjon om prosjektet «Matematikktil glede og nytte» og Utviklingsplanen i2006/2007 2007/2008 finn du her:www.skuleutvikling.noKontaktperson for prisen er Jan Eide,jaei@online.no, telefon 913 53 295og musikk. Juryen vil også leggje vekt på originalitet,synleggjering i og utanfor skulen, ogengasjement som fører til glede og nytte i matematikkopplæringa.Prisen for 2008 vert dessverre ikkje utdeltpga. få søkjarar.Redaksjonen i Tangenten har utfordra dei totidlegare vinnarane av prisen til å fortelje omarbeidet som førte til at dei vann prisen i 2006og 2007.Haugen skule – Borghild KjørstadDet tar tid å utvikle god undervisning og det ervel satsing over tid som har synt seg å bere frukterogså på Haugen skule?Ja, utviklingsarbeidet i matematikk på skulenvår vart starta i 2004. Tidlegare hadde vi hattprosjekt gåande i fleire fag, særleg innan leseopplæringog data. Men innanfor matematikkundervisningavar lite endra. Det var mykjetavleundervisning og skriving i kladdebøker.Vi ville gjere matematikkfaget levande. Vi villeunngå einsidige læringsmetodar, elevane skullefå sjansen til å oppdage og finne ut av reglarog system sjølve! Læreplanen inviterer til aktivitetarder elevane skal kjenne att og beskrive,der dei skal teikne, lage og utforske figurarog modellar. Elevane skal bruke matematikki praktiske situasjonar og dei skal samtale ogargumentere. Dette tek tid, vil nokon seie. Ja,det tek tid og det er viktig. Det handlar om kvatangenten 2/2009 23

kunnskap vi vil at elevane skal utvikle, og kvavi tenkjer dei skal nytta kunnskapen til. Vi satsapå to vegar for å utvikle undervisninga. Det einevar å lage ein matematikkverkstad, det andrevar uteskule.geometri/brøk. Der er plass til fire elevar påkvar stasjon, men fleire kan vere med på butikken.Matematikkverkstaden, vart den knytt til eit rom,reint fysisk?Ja, det fyrste problemet var faktisk å finne einstad å vere. Vi valde det minste materialrommet.Det var trangt og smalt og fullt av ting. Ryddingmåtte til, noko måtte kastast, noko kunne brukastog resten blei plassert andre stader. Det varikkje så enkelt å utstyre rommet slik vi ønskte.Men vi samla det vi hadde av brukande materiell,så kjøpte vi litt nytt, og så samla vi emballasjemed meir til butikken. Med nye gardiner oglitt dekor på veggane blei det veldig bra! Seinarefekk vi også nye bord og stolar.Ein slik verkstad skal stimulere til ulike aktivitetarfor læring?Ja, det er viktig at det er nettopp det, aktivitetarfor læring. Målet for verkstaden er at elevaneskal kunne byggje opp kunnskap og forståinggjennom eigen aktivitet. Dei skal oppdage reglarog system innan matematikk gjennom arbeidmed konkretar, dei skal lære å stille spørsmål ogfinne svar gjennom eigne erfaringar.Er det organisert for ulike aktivitetar, reintfysisk?Ja, det er laga til fem stasjonar i verkstaden:butikk, mål/vekt/klokke, aritmetikk, spel og24Foto: Borghild KjørstadElevar frå ulike aldersgrupper er på verkstaden?Både skulen og dei eldste i barnehagenbrukar verkstaden. Det meste av materialet kanbrukast av både store og små, men verkstadenvert nok mest nytta i høve dei yngste elevane.Øktene på verkstaden må planleggast nøye, ellesblir det lett kaos. Rydding er ein viktig del avverkstadarbeidet. Alt ein har brukt skal leggjastattende på rett plass slik det låg i øskja, og slikdet stod i hyllene.Det er vel slik at lærarrolla vert ei anna i verkstaden?Vi startar med ei samtale om kva vi skalarbeide med/øve på/lære. Vi har vorte meirbevisste både på å tydeleggjere læringsmåla, ogogså på at elevane sjølve set ord på matematikken.Vi snakkar om matematikk med elevane.Korleis tenkte du? Kan du forklare …? Lærarengår rundt mellom gruppene og blir verande eistund der det trengst. Han får i gang samarbeidmellom elevane i gruppa, set i gang samtaler omdet dei arbeider med, kjem med idéar og framleggnår det trengst, han oppmuntrar og lyttar.Foto: Borghild Kjørstad2/2009 tangenten

Elevane løyser oftast først oppgåver lærarenhar gjeve dei, og så arbeider dei vidare medmaterialet med oppgåver dei finn på sjølve.Stundom skriv og teiknar dei om det dei hargjort og funne ut, eller dei demonstrerer, viserog fortel for dei andre gruppene eller for andreklasser. Det er viktig for oss å erfare at bådeelevar og lærar endrar rolla si ved å vere i verkstaden.Erfaringane frå uterommet vert det et supplementtil dette?Ja, og vi trudde først at det var begrensa kormykje matematikk ein kunne få til i uteområdetpå ein naturleg måte. Erfaringa har vist at det erheller mangelen på tid som set grenser.Kva tema arbeider de med ute?Oppgåver om tid høver godt ute. Til dømeskan ein ta tida når ein elev spring rundt skulehusetog etterpå kan han prøve å springe påakkurat same tida ein gong til. For å opplevelengda på eit minutt, kan ein elev hoppe oppog ned og så stanse når han trur minuttet erFoto: Borghild KjørstadFoto: Borghild Kjørstadgått. Ein annan elev tek tida og så kan dei byteroller.Å tippa kor mykje og å måle; er det ein arbeidsmåtesom vert brukt vidare?Ja, det er eit godt læringsprinsipp. Målingav avstand høver også godt ute. Det er greitt åstarte med meter. Elevane kan klippe ein trådsom dei trur er ein meter før dei målar med eitmålband. Så kan dei tippe diverse avstandar førdei målar lengda. Seinare kan dei prøve å gå 100meter, og så vidare. Lange avstandar er det greittat læraren har målt opp på førehand. Kvar eleveller kvar gruppe kan lage sin eigen meterstavav ein kjepp som dei brukar til å måle diverseavstandar på skuleområdet. Resultata kan deiskrive opp på ei skisse som dei har teikna avskuleområdet. Så lagar dei kart der ein meter iterrenget blir ein cm på papiret.Elevane kan og bruke einingar dei finn påsjølve i staden for ein meter. Det kan vere eitpapirark, ei bok, ei kongle, eit stykke bork, eifjør, ein stein eller kva som helst. Dei kan ogbruke kroppsdelar, ein fot, ein tomme, ei famnosv.Å tippa og måle, ved bruk av ulike einingar i uterommetforstår vi at de kan nytta i ulike emne?Ja, utrekning av areal høver også godt ute.Elevane kan måle areal og omkrins av bygningar,gjerde, parkeringsplass, sandkasse osv. Seinarekan ein bruke desse opplysningane når einlagar kart.Har de andre arrangement de vil løfte fram?Heilt sidan 2004 har vi kvart år arrangertMatematikkens dag på skulen. Då har vi gjernehatt aldersblanda grupper og lagt vekt på mykjefysisk aktivitet og leik med matematikk. Vi harbrukt både uteområdet, gymsalen, matematikkverkstadenog klasseromma. Heile skulen og deieldste i barnehagen er med, og vi gjer eit grundigforarbeid for at dagen skal bli så vellukkasom mogeleg.Vi veit at det er tema på foreldremøte?tangenten 2/2009 25

Matematikk er ikkje berre eit skulefag. Matematikker ein del av kvardagen, og mange av deidaglege gjeremåla våre kan hjelpe barna til å fåeit betre forhold til matematiske emne som tildømes måleeiningar. Aktivitetar som innkjøp,matlaging, forming, handarbeid og sport erfulle av reknestykke. Vi oppmodar difor foreldratil gå på jakt etter matematikken i dessesituasjonane. For mange er det meir spennandeå rekne slike meiningsfulle oppgåver enn deiferdig oppstilte oppgåvene i matematikkboka.Godt språk er god hjelp i matematikk. Språkog matematikk høyrer saman. Talforståingbyggjer på nokre grunnleggjande omgrep, tildømes alle, mange, få (mengdeomgrep), først,sist, føre, etter (rekkjefølgjeomgrep), lang, kort,stor, større, liten, mindre, høg, låg (relasjonsomgrep),sirkel, kvadrat, rektangel (formomgrep)Vi oppmodar foreldra til å bruke desseomgrepa.Så de er konkrete og gjer råd til heimen?Ja, vi formulerer råda så klart og konkret viklarer, som til dømes:– Oppgåver kan løysast på ulike måtar. Gjebarnet tid til å utforske forskjellige framgangsmåtarfor å løyse eit problem.– La barnet fortelje korleis det tenkjer.– Gje ikkje frå deg svaret med ein gong! Finnfyrst ut om barnet skjønar oppgåva og alleorda som er brukte. Gje nokre hint slik atbarnet sjølv finn fram til ei løysing.– Finn fram konkrete ting som kan vere tilhjelp, slik som litermål, klossar, knappar,utklipte figurar osv.– Nokre oppgåver må ein streve litt med førein får dei til. Men blir leksene jamt forvanskelege, må ein ta kontakt med lærarenslik at leksene kan tilpassast betre.Skal ein bli flinkare til å lese, må ein lese mykje.Skal ein bli flinkare til å rekne, må ein reknemykje, tenkjer vi.Har de ei heilt anna undervisning nå, enn før?26Framleis er det slik at vi for det meste undervisermatematikk i klasserommet. Men faget erblitt mykje meir enn boka. Elevane trivst medden utvida forståinga av kva matematikk er, deistiller fleire spørsmål til seg sjølve og til læraren,dei har meir glede av faget, dei har blitt genereltflinkare også når det gjeld å løyse oppgåvene ilæreboka. Men vi har også lært at god planleggingog gode rutinar er essensielt. Lærarane mådifor heile tida evaluere arbeidet med faget ogendre på det som ikkje fungerer. Utviklingsarbeideti matematikk har såleis også vore sværtlærerikt for lærarane.Måløymodellen – Sigbjørn HalsEg tek for meg arbeidet som førte til at klasse1STA ved Måløy vidaregåande skule (MVS)vann Sophus Lies pris for 2007.Det heile starta våren 2006 då underteiknaog dei dyktige og engasjerte kollegaene mineKjellrun Breidalen og Per Magne Løken fekkvite at vi ville få ein stor del av timetalet i klasse1STA neste skuleår. Vi var leie av raskt skiftandepedagogiske vindar og ville byggje ei stødigpedagogisk plattform for arbeidet vårt. Detteresulterte i «Måløymodellen» som blei viktig forplanlegging og gjennomføring av opplæringaskuleåret 2006/2007.Visjonen ved MVS er «Din vekst vår utfordring»og vi ville ta dette på alvor i alle deipedagogiske vala våre. Pedagogikken byggjeròg på Ausubel sine ord: «Dersom eg skal kokeall pedagogikk ned til ei setning, så må det blidenne: Skaff deg greie på kva eleven kan ogundervis deretter.»Ut frå dette lagde vi ein plan for året, der vistarta med ei kartlegging av fagleg bakgrunnog læringspreferansar. Dette gjennomførte vi iløpet av dei to første vekene i skuleåret. Til kartleggingav fagleg bakgrunn i matematikk bruktevi verktøyet M9. I dag ville vi nok ha brukt Alleteller frå Matematikksenteret, men vi var ikkjenok kjende med dette verktøyet då. I tillegg tilfagleg bakgrunn testa vi òg elevane sine læringspreferansar.Det har vore reist mykje kritikk2/2009 tangenten

mot læringsstilsteoriane til Dunn & Dunn, ogvi var ikkje tilhengarar av at kvar elev skal fåskreddarsydde opplegg som dei så skal haldeseg strengt til heile tida. Vi gjennomførte testenfor å bevisstgjere elevane og oss sjølve om at vier svært ulike og at dei innlæringsmetodanesom fungerer best varierer sterkt frå person tilperson.Konklusjonen på granskinga var ikkje 30 individuelleopplegg, men at vi måtte etterstrebevarierte arbeidsmetodar slik at vi kunne treffeeit større spekter av elevane.Etter testane og ein dialog med kvar elev,hadde vi eit innleiande kurs der elevane fekkprøve ut ulike læringsstrategiar. Vi knytte dessemetodane til repetisjon av basiskunnskapar i deiulike faga, før vi tok til på nye læringsmål. Vedarbeidet med dei nye måla prøvde vi å realisereinnhaldet i akronymet VIKTIG, som står forVariasjon, Inspirasjon, Klare og konkrete mål,Tilpassa opplæring, Individet i fokus og Grundigog hardt arbeid (av både lærarar og elevar).Dette kan høyrest ut som uforpliktande flosklar,men spørjegranskinga som vi gjennomførte påslutten av året viste at elevane opplevde dettesom reelt vektlagt og verdifullt. Vi hadde variertetypar testar etter kvart læringsmål. Førstvar det ein eigenevalueringstest der elevane fekkinnsikt i kor mykje dei faktisk hadde lært omemnet. Denne testen vart det ikkje sett karakterpå, og han kunne takast fleire gonger. Sliketestar lagde vi m.a. med gratisverktøyet HotPotatoes, med testverktøyet i Fronter eller medmultimediaprogramma Mediator og Multimedialab.Vi lagde testane slik at dei var i samsvarmed dei varierte innlæringsmåtane.Spesielt om matematikkopplæringaVi bestemte oss for at elevane ikkje skulle hagrafiske lommereknarar, men kjøpe/lease eigneberbare datamaskiner i staden. Det gjekk ei tidfør vi fekk maskinene på plass for dei som leasadesse. Det fungerte betre for dei som kjøpteeigne maskiner eller hadde slike frå før. Bortsettfrå nokre små tekniske startvanskar fungerte detveldig greitt med dei berbare datamaskinene.Eg sakna aldri grafiske kalkulatorar, men vikjøpte inn små lommereknarar av typen SharpEL-506. Desse vart valde fordi ein enkelt kanløyse andregradslikningar med dei, og det vartvurdert som viktig for dei som seinare skulleha Kjemi 1 og Kjemi 2. Av programvare valdevi GeoGebra, Graph 4.3 og Derive 6. Graph 4.3brukte vi eigentleg berre til regresjon, men notreng ein ikkje dette programmet lenger fordialle aktuelle typar regresjon er innebygde i Geo-Gebra 3.2. I denne nye versjonen er det òg eitintegrert rekneark. Vi brukte Derive til størresymbolske operasjonar i slutten av samansetteproblemløysande oppgåver og unngjekk brukav symbolreknande programvare før elevanehadde forstått og meistra rekneoperasjonaneutan hjelpemiddel.Derive er ikkje lenger i produksjon frå TexasInstruments. Mange skular brukar no i stadengratisprogrammet wxMaxima, som kan lastastned frå www.moglestu.vgs.no/maxima og dekkjersaman med GeoGebra alt vi treng av programvarefor vgs bortsett frå romgeometrien i R2.Til romgeometrien brukar vi no programmetAutograph. Sjå www.autograph-maths.com/ ellerwww.alfasoft.no/produkt/autograph/autograph.htmlAlle prøvene var todelte og har ein del utanog ein del med hjelpemiddel. Dette førte til at(fortsetter side 50)tangenten 2/2009 27

Peer AndersenLottotrekningen i ExcelMange leverer ukentlig inn sin lottokupong ihåp om å vinne den store gevinsten. Men forde aller fleste blir den store gevinsten bare enuoppnåelig drøm. En kan regne ut sjansen for åvinne de ulike gevinstene. En måte å illustrerevinnersjansene i Lotto på er å bruke Excel til åsimulere lottotrekningen. Vi skal i denne artikkelenførst se på hvordan en kan beregne sjansenfor å vinne de ulike gevinstene og deretter skalvi se på hvordan Excel kan brukes til å simuleretrekningen.Peer Andersen, Høgskolen i Telemarkpeer.andersen@hit.no28Teoretisk beregning av sannsynlighetenfor å vinne i LottoLotto er et pengespill som går ut på at en trekkerut 7 tall blant 34 tall. Disse 7 tallene kallesvinnertallene og disse avgjør hvem som fårførste premien. Trekningen foregår uten tilbakelegging,og rekkefølgen tallene trekkes i er derforuten betydning. I tillegg til de 7 vinnertallenetrekkes det også ut 3 tilleggstall. Disse harbetydning i forhold til tre av de andre premiene.Førstepremien går til dem som har tippetalle 7 vinnertallene riktig. Første premien er somoftest på minst en million og kan komme heltopp i 20 millioner. Andrepremien går til spilleresom har 6 vinnertall pluss ett tilleggstall. Tredjepremiengår til dem som har 6 rette vinnertall.Fjerdepremien går til dem som har 5 riktige vinnertall.Merk her at en kun får fjerdepremie selvom en i tillegg til de 5 vinnertallene også harett eller to tilleggstall riktig. Femtepremien gårtil de spillerne som har 4 rette vinnertall plussminst ett tilleggstall (Lysø 2005, s. 139–140).Vi skal nå se på hva sjansen er for å vinne deulike premiene. Vi bruker en uniform sannsynlighetsmodellder vi for hver av premiegruppeneser på hvor mange vinnerrekker det er i forholdtil det totale antall lottorekker det er mulig åtrekke ut. I Lotto er det slik at hvert tall kantrekkes kun en gang og rekkefølgen kulene blirtrukket ut har ingen betydning. Det er medandre ord et uordnet utvalg uten tilbakelegging.I Lysø (2006, s. 88–90) er det gitt en merdetaljert beskrivelse av hvordan en kan regne utantall kombinasjoner for et uordnet utvalg utentilbakelegging. Når vi skal trekke ut 7 kuler av⎛34⎞ 34 så kan det gjøres på ⎜ ⎟ = 5379616 måter.⎝ 7 ⎠For å vinne førstepremie så kreves det at enhar alle 7 tallene riktig. Sjansen for at det skalinntreffe blir daP(1. premie) =15379616 = 0,000000186Når vi skal beregne de andre gevinstene, er dethensiktsmessig å dele de 34 tallene inn i 3 grup-2/2009 tangenten

per, en med vinnertallene som består av 7 tall,en med tilleggstallene som består av 3 tall og enmed de øvrige 24 tallene.For å vinne andrepremie kreves det at en har6 av de 7 hovedtallene riktig samt ett av tilleggstalleneriktig. Sjansen for å vinne andrepremieblir daP(2. premie) =⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛24⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜⎟⎝6⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ = 0,000003904⎛34⎞⎜ ⎟⎝ 7 ⎠For å vinne tredjepremie må en ha 6 av hovedtalleneriktig, men ingen av tilleggstallene. Detbetyr at 6 av tallene må komme fra gruppenmed vinnertall, mens det siste må komme fragruppen med de øvrige tallene. Sjansen for atdet skal skje erP(3. premie) =⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛24⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜⎟⎝6⎠ ⎝0⎠ ⎝ 1 ⎠ = 0,000031229⎛34⎞⎜ ⎟⎝ 7 ⎠For å vinne fjerdepremie må en ha 5 rette. Dethar ingenting å si om en har ett eller flere tilleggstallriktig. Vi slår derfor sammen gruppenmed tilleggstall og de øvrige tallene til engruppe på 27 tall. For å få fjerde premien måvi ha 5 av de 7 vinnertallene riktig, mens de tosiste kommer fra gruppen på 27 tall. Sjansen forat vi vinner fjerde premie blir daP(4. premie) =⎛7⎞ ⎛27⎞⎜ ⎟⋅⎜⎟⎝5⎠ ⎝ 2 ⎠ = 0,001370172⎛34⎞⎜ ⎟⎝ 7 ⎠Til slutt skal vi se hva sjansen er for å få5. premie. For å vinne 5. premie kreves det aten har 4 av hovedtallene og minst ett av tilleggstallenerett. Dette blir litt mer komplisertå beregne enn de foregående gevinster fordi enmå se på sjansen for 4 rette og 1 tilleggstall, 4rette og 2 tilleggstall og til slutt 4 rette og 3 tilleggstallhver for seg og så legge dem sammentil slutt. Sjansen for at det skal skje er:⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛24⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜⎟4 1 2P(5. premie) =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+⎛34⎞⎜ ⎟⎝ 7 ⎠⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛24⎞ ⎛7⎞ ⎛3⎞ ⎛24⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝4⎠ ⎝2⎠ ⎝ 1 ⎠ 4 3 0+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛34⎞ ⎛34⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠= 0,005861943Legger vi sammen sannsynligheten for å vinnede ulike premiene så finner vi sannsynlighetenfor å vinne i Lotto på en enkelt rekke. Den blirda 0,00726743. Statistisk sett vil en med andreord vinne i Lotto ca. hver 138. uke om en spilleren rekke i uken.Simulering i ExcelExcel regneark er et kraftig verktøy som kanbrukes til mye forskjellig innen matematikk. IAndersen (2007) er det gitt eksempler på ulikeExcel øvelser til bruk i matematikkundervisningen.Her er også lottotrekningen beskrevet.En detaljert beskrivelse av hvordan en kan lageet regneark som simulerer lottotrekningen erlagt ut på: www.caspar.no/tangenten/2009/lotto.pdf. Fremstillingen er basert på Andersen(2007 s. 124–129). En arbeidsbok som simulererlottotrekningen er lagt ut på www.caspar.no/tangenten/2009/lotto.xls. Du kan laste den nedpå din egen maskin. Arbeidsboken består av toregneark. Det ene har jeg kalt for Lottotrekning(figur 1) hvor selve simuleringen foregår, og detandre har jeg kalt Statistikk (figur 2) der visamler statistikk over alle trekningene vi gjennomfører.Når du skal spille lotto så åpner duregnearket Lottotrekning. Du kan enten fylleut 10 enkeltrekker selv, eller trykke på Autofyllknappen og la maskinen gjøre det. Når du harfylt ut kupongen så kan du velge hvor mangetangenten 2/2009 29

PremieRelativfrekvensTeoretiskverdi1. premie 0,0000010 0,00000022. premie 0,0000050 0,00000393. premie 0,0000290 0,00003124. premie 0,0013690 0,00137025. premie 0,0059440 0,0058619IngenpremieTabell 10,9926520 0,9927326uker du vil spille denne kupongen. Jeg har lagetknapper fra 1 til 10000 uker. Prøv gjerne ågjennomføre 1 trekning noen ganger for å se atregnearket fungerer som det skal. Hvor mangeganger tar det før du vinner din første premie?Simuleringen er ganske ressurskrevende, og destørste trekningene tar det forholdsvis lang tidTabell 21. premie 0,001862. premie 0,039043. premie 0,312294. premie 13,70175. premie 58,6194Ingen premie 9927,32å kjøre. Prøv deg frem med 10 trekninger før degår videre med de større trekningene.OppsummeringDet mest interessante ved å bruke Excel til åsimulere lottotrekningen er at en kan få utførtmange forsøk på kort tid. Uten bruk av Exceleller andre dataprogrammer vil det i praksisvære umulig å simulere et større antall medlotto trekninger. Regnearket åpner for flere interessanteforsøk som en kan gjøre.Figur 1302/2009 tangenten

Figur 2Det ene er at en kan se på hvordan de teoretiskeverdiene vi fant i første delen samsvarermed simuleringene som vi gjør med regnearket.Jeg har gjennomført 100 000 trekninger med en10 rekkers kupong slik at jeg til sammen har fått1 million enkelttrekninger. Resultatet er vist itabell 1.Vi ser det er bra samsvar med resultatet avmin simulering og de teoretiske verdiene, bortsetti fra 1. premiekategorien. Jeg var heldig åfå 7 rette en gang på en million forsøk. Statistiskskal jeg bare få 7 rette en gang på 5 379 616forsøk. Dette gjør at den relative frekvensen blirbetydelig større enn den teoretiske verdien fordenne premiegruppen.De store talls lov sier at hvis vi i løpet av enserie uavhengige forsøk utført under identiskeforhold fortløpende registrerer andelen av etbestemt utfall så vil denne andelen etter hvertstabilisere seg og nærme seg et bestemt tall.Dette tallet definerer vi som sannsynlighetenfor utfallet (Lysø 2006, s. 38). Et forsøk som jeghar gjort er å simulere 20 serier med 100 trekningerog deretter fortløpende regne ut denrelative frekvensen. I figur 3 ser vi hvordan denrelative frekvensen for 5. premien har utvikletseg i løpet av disse 20 forsøkene.I starten så ligger andelen 5. premier noehøyere enn den teoretiske verdien, men etterhvert så stabiliserer den seg nært den teoretiskeverdien.En simulering i Excel åpner også for andreinteressante forsøk. Jeg har blant annet kjørtgjennom 10 serier hver med 1000 trekninger ogkartlagt antall premier på de ulike forsøkene.I og med at vi bruker en kupong på 10 rekkerfår vi 10 000 enkeltresultater per forsøk. Antallpremier vi kan forvente per forsøk er stilt oppi tabell 2.Ikke overraskende fikk jeg ingen første- ellerandrepremier i mitt forsøk. Vi ser ut fra tabellenat vi kan forvente å få tredjepremie ca. på hverttredje forsøk. Jeg fikk tredjepremie på 5 av forsøkene,med andre ord noe mer enn det teorienskulle tilsi. Antall fjerdepremier varierte en delfra forsøk til forsøk. Det minste antall fjerdepremiervar 10, mens det største antallet var 18.Snittet på de 10 forsøkene mine var 13,6 fjerde-tangenten 2/2009 31

Figur 3premier. Vi ser at selv om det er litt variasjonerfra forsøk til forsøk så er gjennomsnittsverdiennært opp til den teoretiske verdien. Hvis vi serpå antall femtepremier så varierer resultateneder fra 49 til 71. Snittverdien på mine forsøker på 58,1 som er ganske nært den teoretiskeverdien på 58,62.De fleste er klar over at sjansen for å vinne iLotto er ganske liten. Det er likevel mange somblir overrasket når de ser regnearket og ser hvorfå ganger en faktisk vinner, og spesielt hvor sjeldenen oppnår premier som virkelig monner ilommeboken. En ting er å lese at sjansen for åvinne er en viss prosent. Dette blir for mangebare et tall. Det er noe annet for å se resultatetav f. eks 1000 trekninger, som tilsvarer ukentligspill i drøye 19 år, og se at en bare har vunnet10–15 4. premier og 50–70 5. premier. Å spilleen 10 rekkers kupong i 1000 uker vil med dagenspris på 4 kroner per rekke koste 40 000 kroner.Premiebeløpet for 5. premie ligger på ca. 50kroner, mens 4. premien er på ca. 200 kroner.Hvis en f. eks på 1000 trekninger vinner 4.premie 15 ganger og 5. premie 60 ganger, så vildet bare resultere i ca. 6000 kroner i premie.LitteraturAndersen, P. (2007). Excel-øvelser i matematikk.Eureka forlag, Tromsø.Lysø, K. O. (2005). Sannsynlighetsregning – enfagdidaktisk innføring. Caspar Forlag AS,Bergen.Lysø, K. O. (2006). Sannsynlighetsregning ogstatistisk metodelære. Caspar Forlag AS,Bergen.322/2009 tangenten

Janneke TangenSkriftlig eksamen i matematikkfor grunnskolen våren 2009Det har i de siste årene vært hyppige endringer iform og innhold på sentralt gitte skriftlig eksameneri matematikk. Også årets skriftlige eksamenfor grunnskolen har vært gjennom en delstore endringer. Hva består disse endringene iog hvilke utfordringer og muligheter gir dette?I forhold til Nasjonale prøver i regning,der grunnleggende ferdigheter i regning i allefag testes, er det kompetansemålene som skalprøves ved vurdering av skriftlig eksamen.Eksamensoppgavene i kunnskapsløftet skalutformes på bakgrunn av kompetansemålene ilæreplanene.Utdanningsdirektoratet definerer kompetansesom «evne til å møte komplekse utfordringer»,hva man gjør og får til i møte medutfordringene. Noe av utfordringen til eksamener å gjenspeile den komplekse virkeligheten somogså læreplanmålene uttrykker, slik at elevenekan prøves i henhold til målene. En av de storeendringene for eksamen våren 2009 er at eksamenfølger en modell uten forberedelsesdag.Dette er samme ordning som gjennomføres påvideregående opplæring i matematikk. Eksamenhar derfor heller ikke noe forberedelseshefte.Dagen før eksamen er skoledag for elevene ogskolene anbefales å arrangere forberedelsesdagJanneke Tangen, Bergen kommunejanneke.tangen@bergen.kommune.noetter faglærers opplegg.Den andre store endringen er todelingen aveksamen. Del 3 er borte, på del 1 er bare skrivesaker,passer, linjal og vinkelmåler tillatt og pådel 2 er alle ikke-kommuniserbare hjelpemidlertillatt (med unntak av internett og andre kommunikasjonsverktøy).Eksempler på hjelpemidlerer kalkulator, elevbok/regelbok, lærebok ogoppgavebok. Elevene må ha tilgang til datamaskinmed regneark siden bruk av regnearkvil være en obligatorisk del av eksamen. Eleversom har brukt dynamisk geometriprogrami opplæringen, kan også bruke dette på eksamen.Når hjelpemidler forsvinner fra del 1, kandet tenkes at elevene ser noe mindre nytte avegenproduserte elevbøker. Samtidig kan kanskjenoen elever motiveres til å lære mer hoderegningog gode strategier, slik at de blir mindreavhengige av hjelpemidler som for eksempelkalkulator. Kanskje kan elevene oppnå en merkritisk tilnærming og konstruktiv bruk av hjelpemidler?Alle delprøvene skal fremdeles deles ut samtidig,men nå skal del 1 leveres inn innen totimer. Etter dette tillates andre hjelpemidlersom digitale verktøy på resten av de fem timenesom eksamen varer. En elev kan da ikke få utlevertdel 1 igjen etter at denne er levert inn. Del1 skal prøve bredt blant kompetansemålene ilæreplanen og den skal inneholde oppgaver fraalle hovedområder. Del 1 er mer omfattendetangenten 2/2009 33

enn tidligere og er ikke bygget på økende vanskegrad.Det betyr at det gjennom hele del 1 eroppgaver av ulik vanskegrad, men på en formsom gjør at besvarelsen skal, som tidligere, førespå oppgavearkene med penn (med blyant forkonstruksjon). Del 1 har fremdeles kortsvarsoppgaver,men har også en del flervalgsoppgaverder elevene krysser av for rett alternativ eller tarstilling til fremsatte påstander. De oppgavenesom ikke krever at elevene viser utregning, erplassert på del 1. I tillegg er det noen stederregneruter der elevene skal vise beregninger oghvordan de er kommer frem til løsningene.Del 2 er todelt og oppgavene knyttes til problemløsendeoppgaver både i en hverdagsligkontekst og til slutt i et matematikkfaglig tema.Her skal det være stigende vanskegrad med entil dels lav inngangsterskel for flere av oppgavene.Minst en oppgave skal være en obligatoriskregnearkoppgave med formelutskrift. Før vardel 2 en stor del enkeltstående problemløsendeoppgaver innen både ulike kontekster og matematisketema. Nå er oppgavene organisert somen større temaoppgave innenfor en hverdagsligramme f. eks. tivoli med ulike innfallsvinklerpå ulike matematiske tema. Resten av del 2 erproblemløsende oppgaver innenfor et smalerematematisk tema f. eks. Phytagoras. Det er noket håp om at denne tematankegangen skal væreen hjelp og være tidsbesparende for elevene.Samtidig er det fremdeles ulike matematisketema som blir prøvd på hver deloppgave.Endringen med å ha to delprøver i stedetfor tre, har medført at valgdelen er forsvunnet.Denne delen gav ofte de elevene som strevde imatematikk mulighet til å vise at de behersketnoe. På den andre siden trenger ikke elevenelenger å gjøre seg kjent med en stor mengdeoppgaver, før de gjør sine valg. Nivådelingen påenkeltoppgave er også tatt bort. Alle elever skalgjøre alle oppgavene. Det kan bli spennende å sehvordan dette vil slå ut på resultatet på vårenseksamen. Noen av oss vil savne elevenes mulighettil valg og selvvurdering i den nye eksamensmodellen.De fleste elever er vant til selv å velge34nivå og min erfaring er at de ofte har en godoversikt over hvilket nivå de bør velge.I dette skoleåret er det publisert to eksempeloppgaverfor denne nye prøveformen på dennelenken: www.udir.no/templates/udir/TM_Artikkel.aspx?id=3797. Skolene har fått brukernavn ogpassord tilsendt.I tillegg til eksempeloppgavene er det publiserten vurderingsveiledning for å støtte opp omog styrke vurderingskompetansen generelt.Jeg mener det er flott at elevene på forsidenav eksamenssettet får vite kriterier for hvordankarakteren blir fastsatt etter en samlet vurderingpå grunnlag av del 1 og del 2.Sensor skal vurdere i hvilken grad elevenviser regneferdigheter og matematisk forståelse,hvordan man gjennomfører logiske resonnement,ser sammenhenger i faget, er oppfinnsommeog kan anvende fagkunnskap i ulikesituasjoner. Ellers vurderes bruk av hjelpemidler,om svarene er rimelige, om eleven har forklartfremgangsmåter og begrunnet svarene. Til sluttvurderes oversiktlighet og nøyaktighet i føringog om tilstrekkelige utregninger og benevningerer brukt og hvordan grafiske fremstillingerer behandlet. Alle disse kriteriene er det viktigat eleven er godt kjent med på forhånd og ikkebare må lese seg frem til selv. Å diskutere kriterienepå forhånd, eksemplifisere dem medpositive eksempler og anvende dem, kan gjøreelevene mer bevisst på hva som forventes at deskal vise til eksamen i matematikk.Når det gjelder vurderingen skal elevenskompetanse fastsettes til ett av de ulike karakternivåenesom er beskrevet i vurderingsveiledningen.Ved vurderingen av besvarelsen skalkompetansen tallfestes etter karakterskalaenfra 1 til 6.Som en hjelp til sensors faglige skjønn ikarakterfastsettelsen er det utarbeidet kjennetegnpå måloppnåelse ved sentralt gitt skriftligeksamen i grunnskolen, med veiledende karakterbeskrivelser.Disse kjennetegn på måloppnåelsekan brukes aktivt av lærerne til å dra elevenemer med i eget vurderingsarbeid underveis i2/2009 tangenten

opplæringen. Her kan lærere og elever sammendiskutere innhold og jobbe med bevissthet omgrad av måloppnåelse. Hvilke kompetanserhar eleven nå, hva må til for å komme videreog hvilke utfordringer har eleven i sitt viderearbeid?Tabellen viser et utdrag fra kjennetegn påmåloppnåelse på området problemløsningSensuren av eksamensoppgavene skal fremdelesvære positiv. Det er viktig at det skalvurderes hva eleven kan, framfor å finne uthva eleven ikke kan. Sensor skal ikke «trekke»for det elevene ikke har prestert, men heller gi«uttelling» for det eleven har vist av kompetanse.Det er derfor av verdi dersom eleven løseroppgaven på en annen måte enn det oppgaveni utgangspunktet spør om, selv om svaret dagjerne ikke betraktes som fullgodt. Hvis oppgavenikke spesifiserer noen metode, står elevenfritt til å velge metode selv. Originalitet og kreativiteti oppgaveløsningen skal telle positivt ivurderingen.Alle endringer som er gjort tyder på at dethar vært både diskusjoner og drakamper. Disseblir i liten grad synliggjort. Som lærere får viikke alltid tak i begrunnelsene for de valg somgjøres. Mange og hyppige endringer kan føre tilat færre engasjerer seg i diskusjonen rundt eksamen.I en travel hverdag vil det være lett å ventetil det blir fattet et nytt vedtak og deretter ta taki de vedtatte endringene. Det hadde vært ønskeligom diskusjonene og begrunnelsene kom merfram i lyset slik at lærere som vil engasjere segfår muligheten til å engasjere seg mer i den fagligedebatten rundt skriftlig eksamen, en debattsom helt sikkert vil fortsette videre.Kompetanse Karakter 2Beskrivelse av«låg» kompetanseProblemløsningEleven:Kan ta utgangspunkti tekster,figurer mm.og løse enkleproblemstillinger.Kan i noengrad anvendefagkunnskappå et problemog i noen gradplanleggeløsningsmetoder.Kan avgjøre omsvar er rimelige ienkle situasjoner.Karakter 3 og 4Beskrivelse av«nokså god»/«god»kompetanseEleven:Kan i varierende gradta utgangspunkt itekster, figurer mm. oganalysere og anvendefagkunnskap i ulikesituasjoner.Kan se noensammenhenger iulike problemstillingerog modeller ogkan planlegge flereløsningsmetoder i fleretrinn.Kan som regelbegrunne svar ogvurdere om svar errimelige.Karakter 5 og 6Beskrivelse av «mykjegod»/«framifrå»kompetanseEleven:Kan ta utgangspunkt itekster, figurer mm. ogutforske og analysereproblemstillinger, stilleopp mate matiskemodeller og løseproblemer med flereinnfallsvinkler.Ser faglig dyperesammenhenger, viserkreativitet og originalitet;og kan planlegge sikkertløsningsmetoder i fleretrinn.Kan på en sikker måtebegrunne og vurdereom ulike svar er rimeligeog reflekterer over omløsningsmetoden erhensiktsmessig.tangenten 2/2009 35

Thomas Lingefjärd, Per JönssonMatematiska undersökningarmed fria programvarorMed den växande tillgången till fria programvarorså kan varje matematiklärare idag enkeltillustrera matematiska förlopp via dator ochdessutom låta elever göra egna undersökningarhemma på egen dator. Vi tänkte visa hur fyraolika datorprogram kan samverka i denna typav undersökningar.Exempel 1. Låt oss säga att vi vill åskådliggörahur heltalsaritmetik går till med hjälp av pilarpå tallinjen. Det kan göras med programmetGeoGebra, se figur 1. För grundläggande informationom Geogebra hänvisar vi till Nämnarennr 4, 2008 eller till Geogebras wiki och publikationerpå www.geogebra.org/en/wiki/index.php/Publications.Exempel 2. Många elever strävar efter att förståatt vinkelsumman i en triangel alltid är 180°. Ettvanligt sätt uppnå detta är att låta elever rita entriangel, klippa av hörnen och pussla ihop demtill en rät linje. Varför inte låta eleverna göradetta med en dynamisk konstruktion i GeoGebraistället? Se figur 2.Thomas Lingefjärd, Göteborgs Universitetthomas.lingefjard@ped.gu.sePer Jönsson, Malmö högskolaper.jonsson@mah.se36Figur 1: GeoGebra illustrerar heltalsaritmetik påtallinjen. De olika talen i subtraktionen kan ändrasgenom att man drar i punkterna (glidarna) på de tvålinjerna ovanför tallinjen.Figur 2: GeoGebra visar att vinkelsumman i en triangelär 180°. Triangelns form kan ändras genom att dra inågot av de markerade hörnen A, B, C.Exempel 3. Att undersöka hur en parabel påverkasav ingående parametrar i ett uttryck avtypen f(x) = a(x − h) 2 + k är en viktig övningi skolan. GeoGebra tillåter att vi placerar en2/2009 tangenten

Figur 8: Visualisering av en enkel differentialekvation iGraphmatica.Figur 6: Maxima tar först fram det exakta värdet somett rationellt tal. Vi kan sedan få fram ett närmevärdemed kommandot «float»dy = 3x + y {0, 4}dy = 3x + y {0, -2}dy = 3x + y {3, 1}i Graphmatica och vi får resultatet i figur 8.Figur 7: Graph är lätt och intuitivt att använda.Exempel 5a. En värdefull egenskap hos datorprogramär att lösningar till differentialekvationerkan åskådliggöras. Om vi har en differentialekvationdy/dx = f(x, y) och om vi väljeren godtycklig punkt (x, y), så har lösningen tilldifferentialekvationen genom denna punkt enlutning som ges av f(x, y). Ett riktningsfält ärrepresentationen av lutningen hos alla lösningartill en specifik differentialekvation.Det är till exempel möjligt att rita riktningsfältetför differentialekvationen dy/dx = 3x + ygenom att mata in dy = 3x + y i Graphmatica. Vikan också rita in flera lösningar över riktningsfältetgenom att specificera initiala lösningar. Vikan ange att x = 0, y = 4, respektive x = 0, y = −2och x = 3, y = 1 genom att skriva38Exempel 5b. Samma exempel i Maxima kräverett annorlunda arbetssätt. Först måste vi laddain det grafiska paketet plotdf genom kommandotload(«plotdf»). Därefter räcker det medkommandot plotdf(3*x + y, [trajectory_at,0, 4], [x, -10, 6], [y, -10, 10]) för att få endynamisk graf som den i figur 9. Dynamikenligger i det faktum att vi kan få nya lösningarinritade bara genom att klicka på en punkt iriktningsfältet.Exempel 6. Olikheter av skilda slag möter eleverredan i grundskolan och därefter dyker de uppdå och då under elevers matematikstudier pågymnasiet och på högskolan. Såväl Grahpmaticasom Graph ritar olikheter som matas in på vanligtsätt. Graphmatica kan dessutom rita obegränsatantal olikheter i samma grafiska dokumentet.Figur 10 visar olikheterna x 2 + y 2 < 9och |x + y| > 4 uppritade i samma fönster.Vi har i den här artikeln försökt visa på hurman enkelt och säkert kan använda datorer föratt illustrera och undersöka matematiska förlopp.De matematiska exempel som vi har valtatt ta upp har i första hand gällt undervisning igrundskola och gymnasium. Men oavsett vilka(fortsetter side 44)2/2009 tangenten

går lenger i utviklingen av integralbegrepet enndet jeg gjør her. Jeg har plukket rosinene frahans fremstilling.Fermats første metodeMetoden med ekvidistante rektangler, altså denførste metoden som Fermat utviklet, går kortfortalt ut på følgende. Oppgaven er å beregnearealet under en potensfunksjon y = x k mellomfor eksempel x = 0 og x = a. Fermat deler såintervallet [0, a] inn i n like lange delintervallerav samme lengde a/n. I hvert av disse delintervallenetegner han så et rektangel som «rekkerså vidt opp» til funksjonen og ett som når opptil funksjonens høyeste punkt i dette intervallet.Ved å summere rektangelarealene underog over funksjonen oppnår han en øvre og ennedre skranke for arealet under funksjonen. Itilfellet y = x 2 ser det slik ut:Figur 1Summen av rektangelarealene under funksjonen:40Summen av rektangelarealene over funksjonen:Ved å benytte formelen 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + n 2 =(2n 3 + 3n 2 + n)/6 får man etter litt regning:3 3 2 3 3 2a (2n − 3 n + n) a (2n + 3 n + n)⋅ < A < ⋅3 33 2⋅n3 2⋅nNå skal disse ulikhetene være gyldige for alleverdier av n og dermed er det bare en verdi forA som er mulig, nemlig3aA =3Ved å undersøke funksjonen y = x 3 med densamme metoden og ved å bruke formelen 1 3 +2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n(n + 1)) 2 /4 følger noksånaturlig at arealet under en tredjegradskurveover intervallet [0, a] er A = a 4 /4. Tilsvarendekan metoden utvides til å omfatte alle potensfunksjonery = x k med heltallseksponent ogak + 1k aman får ∫ xdx= , forutsatt at man hark0 + 1nok informasjon om summen 1 k + 2 k + 3 k + …+ n k . Men denne informasjonen er ikke lett åfinne. Den nevnte summen kan være noksåvrien å beregne. I tillegg er metoden begrensettil positive heltallsverdier for k.Fermats andre metodeFermat foreslår selv en ny metode i sin upubliserteTreatise on Quadrature som ikke lider avdisse mangler (se Burn 1999).2/2009 tangenten

måtte gjøre bruk av stadig nye summeformler.Fermat viser også hvordan man med få forandringerfår metoden til å fungere for potensfunksjonermed negative heltallseksponentereksponenter y = x k når k < –1. Også integraletav logaritmefunksjonen kan beregnes slik. Senettutgaven av artikkelen på www.nettutgave.caspar.no.Bemerkning om Fermats andre metodeFermats andre metode har noen opplagte ulemperi forhold til metoden med ekvidistante partisjoner.Her er det to grenseprosesser som måtil i stedet for en for å beregne arealet. Førsten uendelig sum som svarer til en geometriskrekke og så må faktoren r gå mot én. Dette erselvsagt en begrepsmessig ekstrautfordring somikke er nødvendig når vi benytter ekvidistanteintervall inndelinger. Samtidig har metoden denfordelen at den kan brukes for atskillig flerefunksjoner og har dermed et større potensialesom forklaring.Den tredje metodenIngen av metodene virker for k = –1. Hyperbeleny = 1/x viser seg å være en hard nøtt. En av Fermatssamtidige, Gregory of St. Vincent (Katz,1993, s. 449–450) har noen reddende idéer her.Han foreslår at vi sammenlikner arealet i intervallet[a, b] under hyperbelen y = x –1 med dettilsvarende arealet for intervallet [ta, tb]. Triksethans er å se på oppdelinger av intervallenei mindre intervaller, slik at et delingspunkt t 0i intervallet [a, b] svarer til delingspunktet tt 0i intervallet [ta, tb]. Så sammenlikner han detilhørende rektanglene. Rektangelet over intervallet[t 0, t 1] med a ≤ t 0< t 1≤ b har areal A = (t 1–t 0)/t 0mens det tilsvarende rektangelet i intervallet[ta, tb] har areal B = (tt 1– tt 0)/tt 0= (t 1– t 0)/t 0.Rektanglene har altså like stort areal.Når delene parvis har samme areal vil ogsåde samlede arealene i grensetilfellet der vi gårfra rektangler til selve arealet under hyperbelenmåtte stemme overens og vi har:ellerb∫adx=xtb∫tadxxab a ab a bdx dx dx dx dx= + = +x x x x x∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 1 a 1 1Dette er den «logaritmiske egenskapen» vedadxfunksjonen ∫ . Kaller vi funksjonen for1xln(x) så har vi vist ln(ab) = ln(a) + ln(b).I hver av de to tilnærmingene Fermat pre-Figur 3422/2009 tangenten

senterte måtte man investere noe kunnskap fraet annet område, enten det var kunnskap omformler for potenssummer eller om geometriskerekker. I alternativet som Gregory of St. Vincentadxvalgte i forbindelse med ∫ investeres ingen0xting. Denne måten viser seg å være ytterst effektivogså i andre sammenhenger. Arealet undergrafen over et intervall blir bare sammenliknetmed arealet under den samme grafen over etannet intervall. Dette «trikset» – viser det seg– er generelt anvendbart også for mange andrefunksjonstyper enn hyperbelen f(x) = 1/x. Laoss se hvordan dette arter seg:Vi ser først på potensfunksjoner y = x kx1⋅x1k k k+ 1 k k+1∫ ∫ ∫x dx = x dx = x x dx = C ⋅x0 0⋅x0der1kx dxC = ∫ er en konstant, nemlig arealet0under kurven mellom 0 og 1.Argumentet fungerer også når vi betrakterlogaritmefunsjonen, altså for å vise atx∫0ln( xdx ) = Cx+xln( x), se igjen nettversjonenav artikkelen på www.nettutgave.caspar.no.Metoden kan faktisk også brukes på eksponentialfunksjoner.Her er idéen å sammenliknearealet over et intervall med arealet over et forskjøvetintervall. Vi sammenlikner nå arealeneover [a, b] og [a + t, b + t], og innenfor disseintervallene ser vi på stripene [t 0, t 1] og [t 0+ t,t 1+ t].Her får vi A = (t 1– t 0)e t 1for det første stripearealetmens det andre («forskjøvete») stripe-Figur 4Arealet i den lille stripen over [t 0, t 1] i intervallet[a, b] sammenliknes med det tilsvarende arealetav stripen over [tt 0, tt 1] i intervallet [ta, tb]. Detførste arealet er A = (t 1– t 0)t 1kmens det andrearealet er B = (tt 1– tt 0)(tt 1) k = t k + 1 A, altså bareet multiplum av A. Det samme må da gjelde forhele arealet over [ta, tb] sammenliknet medarealet over [a, b]. Derfor kan vi uten videreskriveFigur 5tangenten 2/2009 43

arealet er B = ((t 1+ t) – (t 0+ t))e t 1 + t= e t (t 1– t 0)e t 1= e t A. Igjen er altså det nye arealet bare et multiplumav det gamle. Det samme gjelder da forforholdet mellom arealene over intervallene[a + t, b + t] og [a, b], ikke bare for småstripeneog vi kan skrive(fortsatt fra side 38)x0+x0x x x x x∫ ∫ ∫e dx = e dx = e e dx = Ce−∞ −∞+ x−∞der440xe dx−∞C = ∫ igjen er en konstant, dennegangen arealet under kurven mellom –∞ og 0.Slik får vi – ved å bruke Fermats idé forhyperbelintegralet – en rekke integrasjonsformlerpå en konstant nær. På den måten får vi i allefall et kvalitativt inntrykk av disse integralene,selv om den eksakte formelen (med konstantensverdi) krever noe mer. Fordelen med dennesiste tilnærmingen er at vi ikke investerer «noesom helst annen kunnskap» for å få resultatene.Metoden med å sammenlikne to figurersareal ved å sammenlikne «tynne striper» somtil sammen «utgjør» figurene ble beskrevet avBonaventura Cavalieri (1598–1647). Han kallerstripene for «indivisibiles» (de udelelige) oganser dem nesten som «atomene» som figurenbestår av. Han viser hvordan en kan brukeindivisibiles til å regne med og beregner på denmåten selv en rekke med arealer (og volumen)av hittil ukjente figurer.LitteraturBurn, R. P. (1999). «Integration, a genetic introduction»,NOMAD nr. 1, 1999.Katz, V. J. (1993). A history of mathematics. NewYork, Harper-Collins.Figur 9: Visualisering av en enkel differentialekvationi Maxima. Lösningskurvor fås genom att klicka påpunkter i riktningsfältet.Figur 10: Visualisering av olikheterna x 2 + y 2 < 9 och|x + y| > 4 i Graphmatica.matematiska exempel man ger, så är det ettfaktum att lärare på alla nivåer bör låta elevernafå veta att dessa datorprogram finns tillgängligaatt hämta via Internet för användning även påelevernas egna datorer.ReferenserJönsson, P. (2008). Matematik med datoralgebrasystem.Lund, Studentlitteratur.Lingefjärd, T. (2008). Samspelet mellan algebraoch geometri, Nämnaren 4, sid. 28–31.2/2009 tangenten

yArealet under parabelen fra x 1til x 2blir vedintegrasjonAMy = x 2Bx22 3 32= ∫ =2−13x11A x dx ( x x )Dermed blir arealet areal(APB) av parabelsegmentet:A 1 P B 1 xFigur 2dermedy −y x −xk x x2 22 1 2 11= = =2+1x2 −x1 x2 −x1Siden M er midtpunktet av segmentet AB, harM x-koordinat (x 1+ x 2)/2 og det samme harP. Den deriverte til funksjonen (1) er y' = 2x.Derfor blir stigningstallet til tangenten til parabeleni P likx + xk = 2⋅ = x + x21 22 1 2Altså er k 1= k 2, og parallelliteten er bevist.Vi skal avslutte med et «moderne» bevis forArkimedes’ resultat4areal( APB) = areal( ΔAPB)3La oss så regne ut arealet til ΔAPB. Vi delerdenne trekanten opp i to deler, ΔAPM og ΔPMB.Disse trekantene har en felles «grunnlinje» PMog summen av høydene er x 2– x 1, såSiden M er midtpunktet av segmentet AB , måy-koordinaten til M være middelverdien av2 2y-koordinatene til A og B, dvs. ( x2 + x1)/2Dermed er2 2x2 + x1 ⎛x2 + x1⎞PM = − ⎜ ⎟2 ⎝ 2 ⎠2(Her betegner APB parabelsegmentet og ΔAPBtrekanten.) Vi beregner først arealet av parabelsegmentetsom differensen mellom arealettil trapeset ABB'A' og arealet under parabelen.Trapeset ABB'A' har arealog vi får1= ( x − 2 x x + x )41 (2= x2 −x1)42 2 22 2 1 1462/2009 tangenten

Audun HolmeMatematikkloftet: Allan TuringGenial matematiker,kodeekspert og homofil martyrDa den andre verdenskrig brøt ut, ble Turingtrukket inn i arbeidet med kryptografi, altsåkodeteori eller vitenskapen om hemmelig skrift.Tyskerne hadde en legendarisk kodemaskinsom de hadde kalt Enigma, eller Gåten (Holme,2009). Men Enigma viste seg å være mindregåtefull enn tyskerne hadde trodd. Det er nemligmange ting å ta hensyn til i slike saker!Det hadde seg slik at denne kodemaskinen,som var i bruk under den første verdenskrig,etter freden ble forvaltet og videreutviklet av etkontor i Berlin, Schiffrierstelle eller Kodekontoret.Her arbeidet det en underbetalt kontoristved navn Hans Thilo Schmidt, som ble stadigmer fortvilet over de vanskelige kår som tyskernehadde i denne tiden. I november 1931 tokSchmidt toget til Belgia. Han hadde med segto bøker. Det var Gebrauchsanweisung für dieSchiffriermachine Enigma, og Schlüsselanleitungfür die Schiffriermaschine Enigma, altså bruksanvisningenog nøkkelveiledningen for kodemaskinen.Vel fremme i Belgia solgte han disseto topphemmelige dokumentene til franskmennene.Etter seieren i den første verdenskrig med deAudun Holme, tidligere Universitetet i Bergenholme@math.uib.no48harde fredsvilkårene Tyskland hadde fått, medKeiserens abdikasjon og et nytt regime på plass iTyskland, følte franskmennene seg rimelig sikre.De gjorde ikke noe særlig med hele Enigmasaken. Men polakkene visste bedre. I Polen varman temmelig sikker på kruttet måtte holdestørt! Så da Frankrike tilbød Polen å kjøpe deto hemmelige dokumentene som den tyske forræderenhadde solgt dem, bladde de villig oppog sikret seg bøkene! Polakkene arbeidet medkodemaskinen med noen av sine beste matematikerepå saken.Tyskerne lå imidlertid ikke på latsiden. Daden andre verdenskrig brøt ut, hadde de videreutvikletkodemaskinen. Den grunnleggendekonstruksjonen var nok den samme som før,men de hadde gjort den mye mer innviklet ogvanskelig å finne ut av.Da Polen ble angrepet, sørget de polske myndighetenefor at alt de visste ble stilt til rådighetfor britene. De allierte hadde dessuten fått tak inoen eksemplarer av selve maskinen og haddenå nok kunnskap om Enigma til å bygge enkopi av maskinen. I februar 1940 fant de alliertedessuten tre kodehjul fra Enigma på en erobrettysk ubåt. I tillegg fikk de tak i annet materialeom maskinens konstruksjon.Men dette skulle ikke være noen katastrofefor tyskerne. Det er et grunnleggende prinsippved all kryptografi at en må basere en kodessikkerhet på den muligheten at fienden har full2/2009 tangenten

kjennskap til selve koden: Sikkerheten må heletiden ligge i den hemmelige nøkkelen.Selv om de allierte hadde en kopi av maskinen,var arbeidet med å dekode en kodet meldingen formidabel oppgave. Denne oppgavenvar ikke mulig ved kjent teori eller teknologi, enmåtte utvikle helt nye arbeidsredskaper.Ved å ta utgangspunkt i sine idéer omTuring-maskinen, som lå bak hans epokegjørendeløsning på Entscheidungsproblemet (seogså Gjone, 2008, s. 2–6), kunne Turing ledekonstruksjonen av gigantiske mekaniske datamaskiner.Så her gikk han sikkert i Charles Babbagesfotspor (se artikkelen om koder i Holme,2009, s. 52–54). Disse datamaskinene ble kaltfor Bombere.Turing arbeidet ved det legendariske etterretningssentereti Bletcheley Park i Buckinghamshire.Ved hjelp av Bomberne kunne de søke systematisketter den riktige nøkkelen til de kodedemeldingene som var blitt avlyttet. Når en harfanget opp en kodet melding, er det som vi harsett en rekkefølge av tilsynelatende meningsløsebokstaver, eller andre tegn. Dekodingen består iå bruke en resept, eller en nøkkel, som gjør detmulig å velge den rette av enormt mange muligeoppskrifter for å erstatte tegnene i den kodedemeldingen med andre tegn, som gir meldingenmening. For å sette sammen en mulig nøkkelmå en foreta mange intelligente gjetninger og seom en da får meningsfylte ord og setninger. Daer det flere muligheter å velge mellom, og dissemulighetene må vektlegges ulikt, avhengig avhva en har funnet ut tidligere. I valget mellomflere mulige hypoteser, må en ta hensyn til atselv om de alle er mulige, er deres grad av troverdighetforskjellig. Her benyttet Turing noesom i dag kalles Bayesiansk statistikk. I dennemetoden ligger det at etter hvert som den innsiktenen finner øker, må vektleggingen justeresfortløpende. Den innsikten en har vunnet inn,betraktes rent statistisk som en bibetingelse. Statistikkmed bibetingelser styres av det såkalteBayes’ teorem, derav navnet «bayesiansk» statistikk.Metoden er ikke ukontroversiell, fordien kommer galt ut dersom en har for bastanteforutinntatte meninger, før det er foretatt noenundersøkelser i det hele tatt. Men i andre situasjonerkan metoden være vellykket, og dette varen av disse heldige situasjonene.Turings arbeid var helt avgjørende for at deallierte kunne vinne krigen i Atlanterhavet, fordidet ble mulig å lese den tyske ubåttrafikken. Dakrigen sluttet, hadde Turing dessuten planeneklare for en elektronisk datamaskin. Fremtidenså lovende ut for Turing, selv om hans arbeidmed kodemaskinen ble holdt hemmelig til 1970-tallet. En datamaskin etter hans idéer ble byggetved Manchester University, og han startet arbeidetpå et helt nytt fagfelt som han grunnla, detvi i dag kaller kunstig intelligens.I 1950 publiserte han en artikkel i tidsskriftetMind, om datamaskiner og intelligens. Det er herhan foreslår den berømte Turing-testen for intelligens:Anta at et menneske og en programmertdatamaskin blir stilt spørsmål av en person vedtekstmeldinger. Dersom det ikke er mulig forintervjueren å avgjøre hvem som er menneskeog hvem som er datamaskin, da er det urimeligå ikke ville si at datamaskinen er intelligent,skriver Turing.I 1951 ble han valgt til et fellowship i the RoyalSociety, altså vitenskapsakademiet. Ved sluttenav 1951 hadde han dessuten avsluttet sitt arbeidom matematisk biologi, det er et arbeide som harblitt klassisk. Fremtiden så lys ut for Turing.Men så rammet katastrofen ham: I 1952var det et innbrudd i Turings leilighet. Da hananmeldte dette til politiet, fortalte han ganskenaivt at han hadde en homofil venn boende hosseg. Dermed mistet politiet interessen for innbruddstyvene,og arresterte i stedet Turing fordenne grove krenkelsen av den offentlige moralen!Han ble tiltalt for Gross indecency contraryto Section 11 of the Criminal Law AmendmentAct 1885. Turing ble offentlig skandalisert ogydmyket. Hans sikkerhetsklarering ble trukkettilbake, og han ble tvunget til å gå til behandlinghos en psykiater for å få bukt med sin homofilelegning. Han måtte ta injeksjoner av østrogen.tangenten 2/2009 49

Dette gjorde ham impotent og overvektig. Hanfikk en alvorlig depresjon, og alt gikk i svart forham. 7. juni 1954 smurte han et eple inn medcyanid, og spiste nok av det til at han døde. I enalder av førtito år begikk et av de største genieri forrige århundre selvmord.Mer informasjon om Allan Turing finnerdu i Gjone (2008), Holme (2007) og Teuscher(2004).LitteraturGjone, G. (2008). Alan Mathison Turing, Tangenten19 (3). Caspar Forlag AS, Bergen.Holme, A. (2007). Da matematikken ble til.Cappelen Damm, Oslo.Holme, A (2009). Koder, Tangenten 20 (1). CasparForlag AS, Bergen.Teuscher, C. (2004). (Red.) Allan Turing. Life andLegacy of a Great Thinker. Springer Verlag.(fortsatt fra side 27)elevane faktisk måtte lære basiskunnskapane ifaget, då dei ikkje hadde noko «elevbok» ellerformelsamling å støtte seg til i del 1.GeoGebra er godt eigna til utforskande oppgåver.Anne-Mari Jensen har ein fin presentasjonav slike oppgåver i Tangenten nr. 3 2008. Vijobba med denne oppgåvetypen i 1STA skuleåret2006/2007, og det gav eit godt grunnlagnår vi seinare kombinerte forskjellige verktøy iulike representasjonar av matematiske samanhengar.På www.geogebra.no er det konkrete eksempelpå undervisningsopplegg som byggjer påmodellen på figuren nedanfor.Både eigne erfaringar og seinare studiar harstyrka trua på at dette kan vere ein av fleirebrukbare modellar for vellukka bruk av IKT imatematikkopplæringa.502/2009 tangenten

Monica Iren HaugsbakkStatistikk er alfaog omega for ossElevers møte med statistikk gjennomoffshoreindustriens brillerSamarbeidet mellom skole og bedrift fikk fagligansats da bedriftslederen innledet samarbeidetmed niendeklassingene ved å si: «Statistikker alfa og omega for oss, uten den famler vi iblinde.»Vi var en gruppe matematikkstudenter vedHøgskolen i Bergen som fikk lov til å delta i ennoe spesiell praksis. I løpet av tre uker skulle viundervise elever på 9. trinn. De skulle arbeidemed matematikk i en praksisnær kontekst. Elevenesamarbeidet med en lokal bedrift som lå iforholdsvis kort avstand fra skolen. For oss vardet viktig å arbeide med et matematisk emnesom kunne brukes i den praktiske kontekstenlæringen skulle knyttes til. Det var også viktigat emnet var mye brukt og hadde nytteverdi ibedriften vi samarbeidet med. Statistikk vartema i studiet vårt denne perioden og nettoppdette emnet var nært knyttet til praksis. Medpraksisnær kontekst mente vi ikke at elevenenødvendigvis skal jobbe i bedriften, men deskulle arbeide med reelle matematiske situasjonerog materiale fra bedriftens virkelighet ogpraksis. For at elevene skulle få erfaringer medMonica Iren Haugsbakk, student vedHøgskolen i Bergenh114476@stud.hib.noArtikkelen er skrevet på bakgrunn avsamarbeid med Lisa Steffensen, Tove MetteAmundsen og Inger Elin Lilland (veileder).Arbeidet er knyttet til skoleutviklingsprosjektetPraksisnær undervisning i Fjell kommune(www.godesirklar.no) og forskningsprosjektetLæringssamtalen i matematikkfagets praksis(LIMP) ved Høgskolen i Bergen (www.hib.no/fou/limp).matematikkens betydelige rolle i dagens samfunn,måtte de eksponeres for arenaer der dekan få oppleve dette. Vi ville at elevene skulleføle at arbeidet de gjorde var reelt og at dethadde nytteverdi. Fra vår korte erfaring medundervisning i skolen var vi kjent med at elevertil stadighet spør hvorfor de skal lære om ulikeområder innenfor matematikken, hva de skalbruke den til. Ledelsen ved bedriften møtteelevene ved å fremheve statistikkens betydning.De ga konkrete eksempler på områder hvorbedriften brukte statistikk daglig og hvordanden ble brukt. Slik la de grunnlag for elevenesog vår motivasjon for arbeid med matematikk.En av våre intensjoner med å prøve ut denneformen for praksis var at elevene skal opplevenytteverdien i arbeidet sitt. De skulle kjenne påat de visste hvorfor vi jobbet med det vi gjorde.De skulle få oppleve at deres matematiske kunnskaperfikk konsekvenser.tangenten 2/2009 51

For at våre intensjoner med prosjektet skulleha en mulighet til å lykkes, måtte vi ha et samarbeidmed bedriften som fungerte for alleparter. Vi ønsket ikke å være en byrde i en ellerstravel driftshverdag. Oppdraget måtte værereelt og av betydning, og derfor var vi avhengigeav et funksjonelt samarbeid. I samtaler medbedriftsledelsen kom vi studenter frem til ulikeområder som både bedriften og vi syntes kunnevære nødvendig å få oversikt over og interessantå belyse statistisk. De fortalte at de burdehatt bedre sortering og oversikt over produserteventiler og over metall som ble brukt. Elevenefikk kopi av oversikten over «ordrereserven» forå få muligheter til å jobbe litt med materialetfør de skulle møte bedriften. Slik kunne de ogsåforberede spørsmål de ønsket å stille. Klassenskulle bare ha ett møte med bedriften, og viville at elevene skulle ha bakgrunnskunnskapfør dette møtet. For at oppgavene skulle opplevessom hensiktsmessige, informerte ledelsenelevene om sine ønsker og behov på dette møtet.Det var her vi så at elevene skjønte hensiktenmed oppdraget. Det blir fremhevet hvor viktigstatistikk over produserte ventiler var for åopprettholde lagerbeholdningen og i forhold tilvidere innkjøp av råvarer. I løpet av dette møtetble elevene informert om at dersom arbeidet bletilfredsstillende utført skulle de få betalt en sumtil klassekontoen. Måpende konkluderte elevenemed at dette måtte være et viktig arbeid. Vi varopptatt av å formidle at vi skulle på møte medbedriften, ikke på «bedriftsbesøk». Dette skulleikke være liksom-virkelighet, men virkelig-virkelighet.Bedriften hjalp oss med det.Bedriften driver med ventilproduksjon forbruk i offshoreindustrien. Som studenter var vibekymret for at dette kunne være en kontekstsom lå for langt fra elevens dagligliv og at dettekunne redusere interessen og elevens mulighetertil å jobbe matematisk med oppgavene defikk. Vi var redde for at spriket mellom elevenesvirkelighet og bedriftens virke var så stortat matematikken kunne bli instrumentell fordielevene ikke ville klare å reflektere kritisk over52sammenhengen mellom den matematikken debrukte og konteksten den inngikk i.Noen elever jobbet med utgangspunkt iordrereserven fra bedriften. Ordrereserveninneholdt oversikt over alle produserte ventilerde siste 14 måneder med opp imot 1600 enheter.Selv om de belyste ulike sider av informasjonenreserven inneholdt, klarte de å hjelpe hverandrebåde i sorteringsprosessen og i de grafiskefremstillingene. Dette ga elevene erfaringer medat samme matematiske metode ofte blir bruktselv om det er ulik ikke-matematisk informasjonen jobber ut i fra. Arbeidet med sorteringenforegikk ved hjelp av Excel regneark. For de allerfleste var dette et hjelpemiddel de ikke haddebrukt i en slik sammenheng før. For at eleveneskulle erfare hvor godt hjelpemiddel Excel er,var det av stor betydning at datamaterialet varså stort og uoversiktlig at de ikke hadde mulighetfor å gjøre dette manuelt innenfor en korttidsperiode. Det er ikke lett å forstå hensiktenmed å sortere noe når en enkelt kan se hvilkenvariabel det er mest av.For å understreke betydningen av elevenesarbeid ble det lagt vekt på at prosjektet skullemunne ut i et produkt som elevene skulleformidle til bedriften og få respons på. Det åformidle sine funn og resultater ville vi skullefremme en følelse av at det arbeidet de gjordevar av betydning. Det kan ikke ha noen nytte forbedriften at klassen belyser deres ordrereservedersom elevene ikke formidler sine funn tilbaketil bedriften. Vi mener at en ofte legger opp til atelever skal finne ut av ting, gjerne i en praktiskkontekst, for deretter bare å konstatere at arbeideter gjort. Da kan vi imidlertid spørre oss:Hvorfor gjør vi akkurat dette? Hvilken betydninghar det at vi finner ut slik og slik? Heleklassen jobbet med emnet statistikk, men medulike deler av den. Det ville si at elevene fikkulike erfaringer innenfor emnet, og det gjorde atalle fikk mulighet til både å formidle og ta imotinformasjon. Resultatene elevene kom fram tilvar viktige, fordi ingen andre hadde funnet utdet samme. Dette ser vi fordeler med. Elevene2/2009 tangenten

fikk mulighet til å informere både bedriftenog medelever om sine unike resultater. Samtidigerfarte vi at elevene hadde fått god innsikti emnet statistikk, og utviklet et grunnlag for åsette seg inn i og ta imot hele eller deler av deninformasjonen medelever formidlet.Den ikke-matematiske kunnskapen harinnvirkning på hvordan du velger å angripeet problem matematiskLena valgte å se på hvor stort antall det produseresav hver type ventil. I ordrereservenvar de ulike typer ventiler beskrevet med mereller mindre kryptiske benevnelser som verkenelever eller vi studenter hadde forutsetningerfor å forstå. Vi visste ingenting om denne typenventiler og deres funksjoner. Lena sorterte rentinstrumentelt etter benevnelsene på ventiltypen.Hun kom opp med en frekvenstabell sominneholdt alle de variabler som ordrereservenbesto av. Hun viste frem en frekvenstabell med20 variabler. Det viste seg imidlertid at noe varført opp som reservedeler. Hun kom fram til aten oversikt over produserte ventiler ikke skulleinneholde reservedeler, fordi de ikke var ventiler.Dette ledet til at hun stilte seg spørrende tilom det var flere «ting» i reserven som ikke varventiler. For å finne ut av dette, søkte Lena hjelphos bedriften. Lena måtte kontrollere sin matematiseringopp mot den virkeligheten som denbeskrev. Dette var erfaringer elever fikk ved åjobbe i en praksisnær kontekst. Den komplisertevirkeligheten måtte forenkles og irrelevante faktorermåtte «skrelles» bort. I sin søken om hvasom var ventiler og hva som eventuelt ikke varventiler, tok Lena med seg sin foreløpige frekvenstabelltil en av bedriftens ansatte. Her fikkhun nødvendig informasjon om de variablenehun hadde sortert etter. Det viste seg at sammeventiltype var ført opp med ulike benevnelser,og Lena fikk en innføring i hvilke ventilersom var av samme type. Hun noterte flittig ogdro rett tilbake til skolen og gjorde om på sinfrekvenstabell. I den bearbeidde frekvenstabellenredusertes antallet variabler fra tjue tilsyv. Det var en merkbar forskjell på Lenas ogmange andre elevers pågangsmot og motivasjonfør og etter dette møtet. Etter hvert somelevene fikk kunnskap om produktene de haddesom arbeidsgrunnlag, jobbet de mer selvstendigog spurte hverandre om hjelp. Vi studenterble nesten litt overflødige. Dette fikk oss til åreflektere over hvilke ikke-matematiske kunnskaperen må råde over for å kunne sortere dataog bestemme hensiktsmessige variabler. I vårttidligere arbeid med statistikk hadde verkenelevene eller vi blitt stilt ovenfor situasjoner somkunne fremprovosert slike refleksjoner. Alleoppgavene i lærebøkene til elevene inneholderkjente og forutsigbare kontekster. Denne opplevelsenforteller oss noe om at dersom eleverskal kunne matematisere virkeligheten, må deha kunnskaper om eller muligheter for å skaffeseg kunnskaper om relevant ikke-matematiskeforhold som det aktuelle matematiske problemetrepresenterer. Dette fikk Lena når hun gikktil bedriftens ansatte for å få hjelp til å definerehensiktsmessige variabler og fikk informasjonom essensielle kriterier ved ventilene som varavgjørende for sorteringen. Hun hadde på forhåndikke noe kunnskap på dette området, menhun visste hvor hun kunne finne det. En slikevne til å søke nødvendig informasjon ser visom viktig grunnlag for videre læring.Hva stimulerer til refleksjoner i matematikk?Hva er motiverende for elever i arbeidet medmatematikk?Når det matematiske problemet er for innvikleteller rett og slett for enkelt virker det som omdet ikke er motiverende på elever. Det som erfor komplisert kan elevene avskrive for eksempelved å ikke engang prøve seg. Eller elevenekan gjøre en instrumentell matematisk handlingsom de ikke er i stand til å vurdere om erhensiktsmessig slik vi så Lena sorterte førstegangen. Det kan også være motsatt, at det heleer så banalt enkelt at det ikke krever noe dypererefleksjon. Vi var redde for at vi hadde havnetpå det første. Men det viste seg at så lenge elev-tangenten 2/2009 53

ene visste hvor de skulle gå for å hente informasjon,virket konteksten vi knyttet oss til stimulerendepå arbeidet. Parallelt med at de jobbetmed statistikk, satte de seg også inn i de aktuelleområdene ved bedriften. Vi så at vi i utgangspunktethadde undervurdert elevenes evne tilå jobbe med matematikk i en så pass ukjent oglite begripelig kontekst. Vi så også at elevene tokjobben på alvor. Det var ingen løse gjetninger,og elevene stilte høye krav til arbeidet sitt. Det atde skulle få betalt for godt utført jobb la føringerfor at arbeidet skulle være av god kvalitet. Hervar det ikke om å gjøre å bli (fort) ferdig, menå få gjort en god nok jobb. Før praksisperiodenhadde vi fått spørsmål fra veilederen vår om hvavi ønsket å oppnå i vår praksis, hva som villevære vår «ideelle situasjon». Vi hadde et brennendeønske om at elevene skulle bli revet medi prosjektet og nesten få «stjerner» i øynene. Vifølte at det var dette som var i ferd med å skjeetter hvert som arbeidet skred fremover. Det toklitt tid før vi så at det tentes noen gnister, og vilurte på om vi hadde gått på en liten smell. Menetter hvert så vi at arbeidsmoralen til flere eleverendret seg drastisk. De arbeidet i friminutter,elever møtte tidlig opp til undervisning, stiltespørsmål og var nysgjerrige. De var til og medvillige til å ofre klassens time for å evaluere prosjektet.På denne evalueringen kom det fram atelevene mente det var viktigere å kunne brukematematikken enn å regne i bøker.Tidsaspektet ved praksisnær matematikkDet lå mange utfordringer tidsmessig ved åskulle samarbeide med bedriften. Selv om detteer en lokal bedrift, tok det lang tid å forflyttehele gruppen fra skolen til bedriften. Skullehele klassen møte samtidig måtte vi beregneen liten dag. Dette løste vi med at vi hadde etfelles møte med bedriften der vi fikk informasjonom bedriften og deres behov for vår hjelp,en omvisning og anledning til å stille spørsmål.Det er også krevende for bedriften om detblir for mange møter. En travel arbeidsdag harknapt timer til det vanlige arbeidet. Det som ble54løsningen for oss var at vi jobbet som et «konsulentfirma»for bedriften. Vi jobbet for dem,men arbeidsplassen vår var på skolen. Viderekommunikasjon foregikk ved hjelp av e-post ognoen elever dristet seg til å bruke telefon (detteer skummelt). Selv om vi var på skolen, jobbetvi i en praksisnær kontekst. Vi mener at løsningenpå problemet med tidsbruk kan ligge her.Det er ikke nødvendigvis slik at vi må være uteav skolens område for at det skal være praksisnærtarbeid.Praksisnær undervisning kan anta ulikeformer, og ingen av dem må nødvendigvis værebedre enn de andre. Våre erfaringer viser oss atpraksisnær undervisning i statistikk er et flottsupplement til den tradisjonelle matematikkundervisningen.Denne erfaringen tar vi medoss ut i skolene vi skal jobbe i, og det blir definitivtikke siste gang vi kommer til å jobbe pådenne måten.(fortsatt fra side 62)Hopmann, S.T., Brinek, G. & Retzl, M. (Eds.)(2007) PISA zufolge PISA – PISA Accordingto PISA. LIT VERLAG, Berlin.Lie, S. (2008). En oppgaveenhet i PISA. Tangenten19 (4), s. 50–53Lindenskov, L. (2005). Præciseringer om PISA,Debatindlæg 29 marts 2005 på www.folkeskolen.dkNiss, M. (2005). I Haarder, B. ”Svar på spørgsmål21 af 29. marts 2005 fra Folketingetsuddannelsesudvalg.” www.ft.dk/samling/20042/almdel/UDU/spm/21/svar/endeligt/20050426/163240.PDFWedege, T. (2006). ”Påskud – påstand – postulat?”MONA. Matematik- og naturfagsdidaktik:tidsskrift for undervisere, forskere ogformidlere, 2006–1, s. 91–93.Öberg T., Karsznia A., Öberg, K. (1993). ”Basicgait parameters: Reference data for normalsubjects, 10-79 years of age.” Journal ofRehabilitation Research and Development.Vol 30, nr. 2:210–223.2/2009 tangenten

Matematikkdidaktikk ilærerutdanningaAsle SlettenAsle Sletten, tidligere Høgskolen i Tromsøasl-slet@online.noMan kan spørre seg om realfaga og matematikkeni særdeleshet er kommet i vanry i dagensnorske samfunn? For egen del kan jeg forstå denpolitiske bekymring som følger av den negativeholdning media og noen fagmiljøer viser.Egentlig er jeg dypt uenig i hestekuren somman i disse dager legger opp til i den offentligeskolen, tilsynelatende med større vekt på puggog mindre vekt på forståelse. Men, kanskje erden likevel til en viss grad nødvendig for å fåen skakk-kjørt opinion til å besinne seg og økeforståelsen for realfaga.Jeg har erfaring med skolematematikken fravel 20 år i grunnskolens ungdomstrinn og voksenopplæring,samt vel femten år i matematikkundervisningi lærerutdanninga. Slik jeg serdet, burde innhold, organisering og intensjonerha gitt de ønskede resultater. De nye styrkingstiltakenemener jeg egentlig bare kan ses sompresisering av intensjonene i eksisterende læreplaner.Virkningen av reformene vil forhåpentligvisendre opinionen i en positiv retning ogmotivere skolen til sterkere realfaglig innsats.Dette notatet skriver jeg mest på grunnlag avegne erfaringer med studenter og medlærerei lærerutdanninga i Tromsø omkring århundreskiftet.Påstander som jeg kommer med erhovedsakelig satt fram for å provosere og fåfram spontane motforestillinger hos meningsberettigedekolleger.I praksis opplever vi forskjellige og ofte motstridendeoppfatninger av begrepene «didaktikk»,«fagdidaktikk» og «undervisningsmetodikk».Den ulike begrepsforståelsen kan innbytil merkelige misforståelser; jeg har opplevdå møte både faglærere og studenter som ikkeklarer å se at kunnskaper i faget har noe medfagdidaktikk å gjøre. Jeg har møtt studenter somspør om hvorfor det skal være nødvendig forlæreren å kunne mer matematikk enn elevenede kommer til å møte. De kan være uforståendetil hvorfor lærerstudenter må venne seg til å seog akseptere andre løsninger på et matematiskproblem enn den ene som lærebok og faglærermåtte foretrekke.tangenten 2/2009 55

Jeg tar gjerne utgangspunkt i et meget enkeltmatematisk problem for å vise hva jeg mener:Hvor mange får vi når vi trekker 3 fra 31?Læreren vil selvfølgelig forvente at eleveneinnser at man ikke kan trekke 3 enere fra denene eneren som vi har på enerplass i tallet 31. Åtrekke 3 fra 1 går ikke, sier vi. Derfor må manlåne 1 tier, eller 10 enere, fra de tre tierne manhar i 31-tallet. Den kompetente fagdidaktikervil derimot vite at eleven godt kan finne på åtelle seg nedover fra 31 til 28. I et slikt tilfelle vileleven sannsynligvis bare bli mer forvirret avlærerens ellers så velvillige og enkle forklaring.Selv om eleven klarer å avkode låneprosessen(lærerens enkle forklaring) kan forvirringenlikevel oppstå i neste trinn. Den gode fagdidaktikervet nå at eleven kan komme fram til riktigsvar på mange ulike måter. For eksempel ved åtrekke tre enere fra de ti enerne man alleredehar lånt og deretter legge til den ene eneren somman har på enerplass i tallet 31. Den gode matematikkdidaktikervet også at eleven godt kantenke slik: «Jeg låner ti enere, dvs. at jeg låner enav de tre tierne som jeg har i tallet 31 og leggerdem til den ene eneren som jeg har fra før. Dahar jeg 11 enere og to tiere. Så trekker jeg 3 enerefra de 11 enerne og finner at jeg sitter igjen med2 tiere og 8 enere. Svaret er 28.» Det kan tilog med tenkes at eleven tenker som følger: «Åtrekke 3 fra 1 går ikke, jeg får trukket fra 2 enerefor lite. Derfor må jeg låne 10 enere og trekkede 2 manglende enerne fra de ti enerne som jeghar lånt. Da sitter jeg igjen med åtte enere og totiere. Svaret er altså tjueåtte.»Alle de fire eksemplene på løsningsmetodefor dette enkle problemet forekommer ikkeså rent sjeldent hos elever i grunnskolen, og vimatematikkdidaktikere vet at det ennå fins flereløsningsmetoder for dette enkle problemet. Detsamme kan man si om alle matematiske problemstillinger,også om de mer avanserte ogkompliserte matematiske problemstillinger. Detfins flere veier til målet. Den gode fagdidaktikermå derfor være så trygg i faget at ingen uvant veimot målet vil overraske. Fagdidaktikeren vil da56kunne samtale med eleven og kunne avdekkeeventuelle logiske brister i elevens resonnement.Nå ser det ut til at man ønsker å reduseretidsbruken til slik problemløsning på den måtenat man bestemmer seg for å prioritere en av løsningsmetodene.Dette skjer uavhengig av denindividuelle forståelsen og uten at man brukertida på å drille inn andre prioriterte løsningsmetoderpå et høyere nivå. Fornuftige fagfolkvil kalle dette «puggeskole» og avsverge det hele.Fornuftige fagfolk vil derimot innse at fagkompetanseer en viktig del av fagdidaktikken. Studenterog faglærere som etterlyser fagdidaktikkfordi det brukes for mye tid på faglige spesialiteter,er derfor på villspor.De tre enkle spørreordene hva, hvordan oghvorfor, kan være en god ledesnor for mangefagdidaktikere in spe. Hva som er objektet i detmatematikkdidaktiske området er lett å se. Vihar for øvrig allerede vært inne på denne problemstillingeni det foregående. Matematikkfagligkompetanse er tingen. En lærer som skalformidle kunnskap må selv være trygg i faget.Lærerstudenter som mener de ikke behøverå kunne mer matematikk enn det som står ielevenes lærebøker, gjør en skjebnesvanger feil.Dessverre innser de ikke dette før de står overforen elev som tenker litt utradisjonelt og løsermatematiske oppgaver på en måte som avvikerfra det som står i læreboka. Matematikklærerenkan da feilaktig komme til å avvise elevens løsningsmetodesom gal, selv om det skulle værelæreren som ikke klarer å oppdage logikken ien tilsynelatende ulogisk framstilling. På denmåten kan læreren i ren ubetenksomhet, ellerpå grunn av sviktende fagkunnskap, kommetil å svekke elevens egen mestringsevne. Dengode fagdidaktiker vil derimot kunne følgeelevens utradisjonelle tankeprosess og få elevenmed på en vurdering av den «nye» løsningsmetoden.Kanskje kan de to i samarbeid kommefram til at den løsningsmetoden som lærebokabruker kan være lønnsom å bruke i det langeløp. Eller man kan bli enige om at eleven kan2/2009 tangenten

enytte sin egen løsningsmetode så lenge denviser seg å være hensiktsmessig.Å avvise en brukbar løsningsmetode kan viseseg å være mer ødeleggende enn en svekket selvtillithos eleven, selv om det er ille nok. I «verstefall» kan eleven ha inspirasjonen til sin utradisjonelleløsningsmetode fra hjemmet, og da villærerens avvisning kunne bli oppfattet som enuberettiget kritikk av elevens hjem. Hva det kanføre til kan vi bare tenke oss.For å konkretisere problemstillinga noevidere, kan jeg ta et annet eksempel fra egenundervisning i grunnskolen. Unge elever harlett for å ty til bruk av uekte brøk når de skalregne med brøk eller forklare løsningsmetoder.Eldre elever (f. eks. foreldregenerasjonen påvoksenopplæringa) har derimot lettere for å tytil blanda tall i stedet for uekte brøk. Begge delerkan føre fram til løsningen på en enkel måte,men av og til viser den ene metoden en enklerevei til målet. Derfor er det viktig for læreren åbeherske begge fullkomment.Når lærerstudenten beklager seg over manglendefagdidaktisk undervisning i lærerutdanninga,er det som regel fagmetodikk somsavnes. Dvs. at studenten ikke oppfatter denanalytiske drøfting av ulike løsningsmetodersom ledd i en viktig fagdidaktisk utviklingsprosess.Fortrolighet med ulike algoritmer eller løsningsmetoderer jo egentlig matematikkdidaktikerensviktigste undervisningskompetanse,selv om studentene og ofte mange faglærere ilærerutdanninga ikke oppfatter fagkunnskapensom en del av fagdidaktikken.Mange lærerstudenter spør seg om hvorforde skal arbeide videre med grunnleggendematematikk i lærerutdanninga når de fra egenskolegang allerede skal kunne minst like myesom de elevene de kommer til å undervise.Lærerskolens problem blir altså å få studentenemed på forståelsen av at en grunnleggende ogbred faglig forståelse vil være fagdidaktikerensviktigste undervisningskompetanse. Denne fagdidaktiskekomponenten er muligens den somer dårligst ivaretatt i dagens lærerutdanning, oggrunnen til dette er innlysende.Når man spør seg om hvorfor matematikkfagetskal være en så viktig del av den obligatoriskelærerutdanninga, så kan man nemlig få deunderligste svar i fagmiljøene. Noen få av vårekollegaer ser på matematikken som en arvtakeretter latinen. Dvs. at matematikkundervisningaskal gi dem en mulighet til å lære elevene åbygge logiske modeller som for øvrig ikke behøverå ha noen praktisk betydning. Riktignok vilmatematikken i grunnskole og videregåendeskole kunne danne grunnlaget for videre utviklingav ren matematikk på universitetsnivå, menjeg oppfatter ikke dette som målsetningen formatematikkundervisningen på det grunnleggendenivået i lærerutdanninga.Jeg sverger heller ikke til en religiøs motivering.At elevens matematikklæring skal være endel av Guds vilje med oss her på jorden. Dennemotiveringen har nok hatt noen tilhengere ogsåi skoleverket, men er heldigvis i dag et tilbakelagtstadium, og brukes ikke lenger av noensom argument overfor elever som har vanskermed å lære gangetabellen utenat (det at Gud blirlei seg).I fare for å komme skikkelig på kant medkolleger som sverger til den rene matematikkensom det eneste saliggjørende, tillater jeg meg åhevde at motivet for å lære matematikk i grunnskolen,er i hovedsak matematikkens anvendelighetnår det gjelder å forenkle og forklaresammenhengen mellom ulike konkrete fysiskestørrelser. Dette kan konkretiseres ved ett enkelteksempel. At de fysiske størrelsene vei, fart ogtid for eksempel forholder seg til hverandre påen eller annen måte, det får elevene relativttidlig erfare. For eksempel oppdager man fort atvei og tid kan være proporsjonale størrelser. Jolengre skolevei, dess lenger tid tar det å kommeseg til skolen. At tid og fart kan være omvendtproporsjonale størrelser, det kan være like lett åoppdage. Jo fortere man kjører mellom hjem ogskole dess kortere tid tar det.Hvordan disse erfaringene skal konverterestil et enkelt og forståelig matematisk uttrykk, setangenten 2/2009 57

det må derimot bli matematikklærerens hodepineå finne ut av sammen med sine elever. Erdet imidlertid en god matematikkdidaktikerburde oppgaven være overkommelig. Elevensmotivasjon for å tilegne seg skolematematikkenog videreutvikle de matematiske modeller, kanopplagt koples mot anvendt matematikk. Dvs.at eleven får sansen for å beskrive komplisertefysiske sammenhenger i omgivelsene i enklematematiske relasjoner.HVA, HVORDAN OG HVORFOR? Matematikklæreresom er forberedt på å kunne besvarede tre enkle spørsmålene, vil også være godematematikkdidaktikere.Hva skulle vi derfor forvente at lærerstudenteretterspør i sin egen utdanning? Først ogfremst faglig kompetanse. Dvs. allsidig tryggheti faget. Ikke nødvendigvis evnen til å møteethvert problem med en fasttømret løsningsmetode.Sannsynligvis er denne type fagkunnskapegnet til å imponere de fleste elever. Lærerstudentenmå imidlertid også være forberedtpå å møte noen utradisjonelle tenkemåter hoselever og dermed være forberedt på å vurdereutradisjonelle løsningsmetoder.Dernest må studenten utvikle didaktiskeevner. En brukbar matematikkdidaktiker måselvsagt både kunne føle seg trygg på sin fagligekompetanse og beherske resten av didaktikken.Kanskje blir dette for omfattende i et ordinærtheltidsstudium, og kanskje er det riktig ådifferensiere siste del av undervisninga mellomlærerstudenter som ønsker å utøve sitt fag påbarnetrinnet og lærerstudenter som ønsker åsøke seg til ungdomstrinnet eller til videregåendeskole.Kanskje spesielt fordi matematikkdidaktikkener så stemoderlig behandlet ved noen avlærerutdanningsinstitusjonene, så anbefaler jeggjerne en artikkelsamling som professor BarbroGrevholm har stått for. Boka ble gitt ut på Fagbokforlageti 2003 under Tittelen «Matematikkfor skolen». Det er inspirerende lesning.Multipliser fingrane som er nede: 4×3 = 12.6×7 = 30 + 12 = 42.(fortsatt fra side 22)Vi kan lett teste alle kombinasjonane og sjå atdet stemmer, men kvifor fungerer denne metoden?Det kan vi sjekke med litt enkel algebra.Vi kallar fingrane som stikk opp på venstrehanda for v. Fingrane som er nede på venstrehanda er då 5 – v. Fingrane som stikk opp påhøgre handa kallar vi h. Fingrane som er nedepå høgre handa er 5 – h.Algoritmen vi brukar er10(v + h) + (5 – v)(5 – h) = 10v + 10h + 25 –5v – 5h + vh = 25 + 5v + 5h + vh.Korleis stemmer så dette med dei tala vi faktiskskal multiplisere med kvarandre?Dersom det stikk opp 2 fingrar, symbolisererdette talet 7 (= 5 + 2). Generelt blir det på venstrehand 5 + v og på høgre hand 5 + h.(5 + v)(5 + h) = 25 + 5v + 5h + vh.Mange blir forbløffa når dei ser fingermultiplikasjonførste gong. Reaksjonane er ofte: Stilig!Kult! Systemet er raskt å lære, og dersom detkan føre til at fleire lukkast med utrekningar ikvardagen, er det vel verdt å prøve for dei somikkje får til å lære multiplikasjonstabellen på«gamlemåten».Redaksjonens kommentar: Les også ChristophKirfels artikkel om dette i Tangenten 8(4).582/2009 tangenten

Gang – igen, igenInge HenningsenI sit debatindlæg i Tangenten 4/2008 om PISAopgavenGang uddeler Svein Lie røde og gulekort til forskellige personer, der efter hansmening har kritiseret opgaven på en urimeligmåde. Disse kritikere har bl.a. hævdet at enformel der angav omvendt snarere end direkteproportionalitet mellem skridtlængde og skridthastighed,var den rimeligste, når man villemodellere mænds gang. Mens Svein Lie menerat den direkte proportionalitet giver en «sværtrealistisk» beskrivelse.Svein Lies debatindlæg illustrerer to centralespørgsmål i forbindelse med PISAs håndteringaf matematisk modellering– Er opgaverne realistiske– Hvis nej, gør det så noget?Opgaven GangDer burde måske være grænser for det antalsider man kan bruge på en enkelt opgave. Enrelativt detaljeret gennemgang kan imidlertidvære nødvendig for at kunne diskutere de tospørgsmål ovenfor. I PISA-opgaven hedder detInge Henningsen, Københavns universitetinge@math.ku.dkFor menn gir formlen n/P = 140 et tilnærmetforhold mellem n og P hvor n = antallskritt pr. minutt og P = skrittlengde i meter.Den uenighed, som Svein Lies debatindlæghandler om udspringer i første række af forskelligeopfattelser af hvilken situation formleni opgaven forsøger at modellere. Er det enpopulationsmodel der beskriver strukturelle(gennemsnitlige) sammenhænge mellem skridtlængdeog hastighed i en bestemt gruppe personer,eller skal formlen beskrive ændringer ienkeltpersoners gang?Man kan måske blive lidt klogere ved at læsehvad professor Mogens Niss, der er medlem afdet internationale PISA-konsortiums ekspertgruppei matematik, skriver om opgaven Gangstilblivelse:Opgaven har en «ældgammel» historie iPISA. I det oprindelige forslag fra opgavekonstruktørerneblev det nævnt, atden omhandlede ligning (n/P = 140) skalbetragtes som en empirisk fremfundet«ligevægtsmodel», der beskriver en sammenhængfor en stor skare af mennesker,der går i deres normale tempo […]. Denresulterende opgavepræsentation giverimidlertid anledning til en helt anden –tangenten 2/2009 59

60og misvisende fortolkning af modellen,nemlig som en model, der gælder for DENENKELTE ved alle mulige skridtlængder oghastigheder, og ikke kun i en ligevægtssituation,men ved større afvigelser er modellensimpelthen meningsløs […] (Niss 2005)Svein Lie er tydeligvis tilhænger af den sidstebeskrivelse, efter hvilken modellen udsigernoget om enkeltpersoners gang, mens hans kritikere(mig selv inklusive) har læst opgaven somet forsøg på at formulere en «ligevægtsmodel»og har kritiseret formlen derudfra.En alternativ opgaveFør man begynder diskussionen om hvad der erden rimeligste fortolknin, må man konstatere,at det i sig selv er et alvorligt problem at opgavener så upræcis, at der kan opstå stor uenighedom, hvad den egentlig handler om, særligt daopgaven rimeligt let kunne reformuleres, så denfremstod med et fornuftigt præcisionsniveau.Den kunne f.eks. have set sådan her ud:Harald følger sin lillebror Bjarte til skole.Drengenes gang kan tilnærmet beskrivesved formlen, P = 80/n, hvor P er længden afet skridt målt i meter og n er antal skridt pr.minut. Drengene går med jævn hastighed ogmed regelmæssige skridt.Harald tager 125 skridt i minuttet. Hvor langeskridt tager Harald?Bjartes skridtlængde er 40 cm. Hvor mangeskridt tager Bjarte i minuttet? Hvor hurtigt gårdrengene? Angiv resultatet både i m/minut ogkm/time.Denne version af opgaven relaterer til en velkendt,snævert afgrænset situation. De to drengefølges ad og går altså med samme hastighed.Man kunne vælge en illustration der gjordedet naturligt at regne med regelmæssige skridt.Formlen i opgaven (med omvendt proportionalitet)svarer til erfaringen hos børn der harprøvet at gå sammen med en voksen, nemligat den med de korteste skridt må tage de flesteskridt. Opgaven ville essentielt teste det sammesom den oprindelige opgave, men den havdenæppe givet anledning til diskussion mellemnaturfagsdidaktikere.Præcis og realistisk?Vender vi tilbage til PISAs opgave Gang, kan vibegynde med at konstatere, at der også er uenighedom tolkningen af opgaven inden for PISAmiljøet.Niss mener, at hensigten med opgavenvar at lave en populationsmodel, at tolkningenom at den gælder for en enkelt person er «misvisende»og at «ved større afvigelser er modellensimpelthen meningsløs.» Australian Council forEducational Research, et af de fire uddannelseskonsortierder er hovedansvarlige for PISA,«løser» problemerne på en anden måde, nemligved at læse opgaven som om den givne formelfaktisk medfører omvendt proportionalitetmellem skridtlængde og skridthastighed, somfølgende citat fra den australske PISA rapportviserStudents needed to recognize that as thepace length increases, so the number of stepsper minute will decrease, and in order togain credit for this item needed to carry outthe actual calculation. (Thomson 2004,s. 64, min udhævning)Den tyske PISA gruppe har følgende kommentartil opgavenHverdagserfaringer med gang handler ofteom at gå flere sammen. Her synes formlenn/P = 140 at modsige erfaringen og fremkalderfaktisk ofte afvisning. Derfor skalman altid – og det ville også have væretbedre hvis det var sket i opgaven Gang –nøje beskrive den situation som opgavenhandler om. (Beispielaufgaben PISA 2003,min oversættelse)2/2009 tangenten

Svein Lie mener på sin side at den «givne formeler svært realistisk,» ideterfaring kombinert med refleksjon tilsier(for én og samme person) at når vi økerfarten, så gjør vi det ved å øke både frekvensog skrittlengde samtidig. (Lie 2008,s. 51)At Svein Lie ikke altid har opfattet opgavensådan fremgår imidlertid af den norske rapportom PISA 2003 (Kjærnsli, Lie m.fl., 2004), hvorman konstaterer at det «formlen uttrykker, ernemlig ikke helt intuitivt, snarere tvert imod.»Her er man også helt opmærksom på problemernemed den upræcise formulering.Noe av problemet skyldes en manglendepresisering i oppgaven. Det man gjernetenker på når man leser oppgaven , er atden kan brukes til å sammenlikne personer,for eksempel en høy og en lav person, somgår ved sida av hverandre. I dette tilfelletvil en sammenlikning mellom disse personerselvsagt vise at lange skritt svarer tillavere takt eller frekvens altså en omvendtproportionalitet. Denne formlen gjellerimidlertid for én mand, og den beskriverhva som skjer når denne mannen endrer sinskittlengde eller takt […] Når det gælderautenticiteten af den konkrete problemstillingmå svaret være, at den er i nogen gradkonstrueret. Det er vanskeligt at tænke sig,at nogen skulle have behov for at benytteakkurat denne formel. (Kjærnsli, Lie, m.fl.2004, s. 89, min udhævning)I dag mener Svein Lie imidlertid at der er taleom en «rimelig god modell» hvad man kanindse «ved at studere og reflektere over sin egengang (med variabel fart!).» (Lie 2008, s. 51).Lena Lindenskov fra det danske PISA-konsortiumtilsvarende forsvarer opgaven ved at sige«Det passer nu meget godt for min måde at gåpå» (Lindenskov 2005).Men er det overhovedet acceptabelt at enmodel for mænds gang skal vurderes ud fra,hvordan forskellige personer selv synes at degår? Strukturelle sammenhænge mellem hvorlange skridt en person tager, og hvor mangeskridt personen tager per minut under forskelligeomstændigheder, er indgående behandlet iden videnskabelige litteratur, hvor der arbejdesbåde med populationsmodeller og med modellerfor enkeltpersoner. (For en oversigt se f.eks.Öberg m.fl., 1993). Det er beskæmmende, atforskningsresultater overhovedet ikke synes atspille nogen rolle i diskussionerne om PISAsopgaver. Kan den matematikdidaktiske verdenseriøst mene at det er i orden at konstruere enopgave hvor man postulerer en sammenhænguden hensyn til den eksisterende viden på feltet,for derefter at bede eleverne om at sætte ind iden formel, man nu tilfældigvis har fundet påog som nogen synes passer med deres erfaringer(mens andre synes noget andet)?Realistisk – under nogen omstændigheder?Illustrationerne i PISA er tit meningsforstyrrende(se f.eks. Henningsen 2005 og Wedege2006), og billedet i Gang er ingen undtagelse.For at præcisere hvad der menes med skridtlængdeer vist aftryk af to skridt i sand. Mendesværre har man valgt et billede, hvor de toskridt ikke er lige lange.Formlen n/P = 140 kan i forvejen være lidtsvær at forholde sig til, fordi man skal kombinere,P, længden af et enkelt skridt, med nogetfrekvensagtigt, nemlig antal skridt pr. minut.De fleste ville umiddelbart sætte sig ud overdette ved at regne med, at alle skridt var ligelange og at skridtfrekvensen var konstant. Mennu viser illustrationen så tydeligt, at skridteneikke behøver at være lige lange, så hvad skal denopmærksomme elev da gøre?Det er betegnende for den lejrmentalitet derpræger PISA at Svein Lie også mener at han måforsvare illustrationen.[…] skrittlengden øker på figuren, noe sometter min mening i hvert fall i prinsippeter uproblematisk. Det står jo ingen stedertangenten 2/2009 61

62at farten og skrittlengden er konstante.Figuren kan gi et signal nettopp om at dissestørrelsene varierer, og at opgavene handlerom nettopp dette. (Lie 2008, s. 51)Men hvis skridtlængden ikke er konstant, bliverdet så ikke svært at svare på opgavens spørgsmål1? Hvad er Haralds skridtlængde, hvis længdenaf hans skridt varierer? Jeg skulle gerne sesvaret på det spørgsmål, hvis opgaven virkelighandlede om, at farten og skridtlængden varieredesådan som Svein Lie eksplicit siger. (Manskal her bemærke at de sædvanlige grænsebetragtningerman f.eks. bruger for at definerekm/timen for en bil ikke kan bruges på grund afden diskretisering som skridt repræsenterer.)Helt bizart bliver det, når Svein Lie afslutningsvisindrømmer både at opgaven er dårligtformuleret og at hans egen læsning for at værefornuftig forudsætter en helt anden formel:[…] kunne være formulert bedre, foreksempel ved at premissene for formelengjennom begrepet ”måten at gå på” blespesifisert litt bedre, og at det kom tydeligerefram, at konstanten i formlen ikke er densamme for alle personer. (Lie 2008, s. 53,min udhævning)Opgaveteksten specificerer klart og tydeligt atkonstanten i formlen (med værdien 140) er densamme for alle mænd. At lave en model hvorkonstanten i formlen varierer, som Lie foreslår,er ikke et spørgsmål om at tydeliggøre nogetsom helst, men om at konstruere en helt andenmodel.AmatørmodelleringOpgaven Gang er desværre ikke enestående.Den illustrerer tværtimod den amatørisme, derpræger meget af modelleringen i PISA. Andreeksempler kan findes i Henningsen (2005),Wedege (2006) og Hopmann m.fl. (2007). Vi harikke adgang til alle PISA-opgaver, men mangeaf de offentliggjorte opgaver går helt på tværs afmatematikundervisningens erklærede bestræbelserpå at vise modellering som en seriøs aktivitet– ikke som noget der bagefter klistres påen bestemt formel. I virkelige anvendelser vilen matematiseringsproces bygge på et detaljeretkendskab til det problem man er i gang medat modellere. Yderligere vil det i modelleringsprocessen– undtagen i de mest trivielle tilfælde– være nødvendigt at træffe valg mellem forskelligemodeller, der alle kan være adækvate, mensom kan føre til forskellige konklusioner. Detbetyder, at en realistisk matematiseringsprocesaltid redegør for de gjorte antagelse. I PISAsopgaver forsvinder dette træk imidlertid fuldstændigt.Der opereres som om resultaterne afmatematiseringsprocesser er entydigt bestemte(svar skal f.eks. ofte gives ved afkrydsningblandt et antal mulige svar) og problemerne erofte ufuldstændigt og/eller misvisende formuleret.Trods intentionerne om det modsatte bliveranvendelserne banale ”lege”-problemer, hvorden refleksive praksis der kendetegner virkelighedensmatematiske anvendelser, forsvinderhelt ud af billedet.Selvfølgelig kan opgaverne i PISA ikkebeskrive komplicerede modelleringsprocesser.Men det er trods alt ikke uoverkommeligt atfinde enkle situationer at modellere og at giveen nogenlunde præcis beskrivelser af disse. Oggivet PISAs ressourcer, samt den betydningresultaterne tilskrives, burde det være et krav, atPISA benytter opgaver af rimelig kvalitet. Udensådanne opgaver er det i hvert fald svært at tropå, at elevernes evne til at anvende matematikpå reelle problemer har sammenhæng med derespræstationer i PISA.ReferencerBeispielaufgaben PISA 2003. pisa.ipn.ubi-kiel.deHenningsen, I. (2005). PISA – et kritisk blik.MONA. Matematik- og naturfagsdidaktik:tidsskrift for undervisere, forskere og formidlere,2005–1. 24–44(fortsetter side 54)2/2009 tangenten

Nasjonalt senterfor matematikki opplæringenRealfagbygget A4, NTNU7491 TrondheimTelefon: +47 73 55 11 42Faks: +47 73 55 11 40merete.lysberg@matematikksenteret.noNorsk GeoGebrainstitutt,www.geogebra.noAnders Sanne, Universitetslektor,Program for lærerutdanning, NTNUMatematikksenteret har i samarbeid medProgram for lærerutdanning NTNU etablertNorsk GeoGebra institutt (NGI). NGI er denoffisielle norske delen av International GeoGebraInstitute. NGI arbeider for å utvikle gratisGeoGebra-ressurser, tilby kurs og verkstederfor lærere ved å bygge opp et nasjonalt nettverkav ressurspersoner. NGI skal utvikle GeoGebravidere og bidra til nasjonalt og internasjonaltsamarbeid om matematikkdidaktisk forskningpå bruk av GeoGebra og andre digitale verktøyi undervisningen.GeoGebra er en åpen, gratis matematikkprogramvarelaget for skolen. I motsetning til kommersielleprogrammer, har ikke GeoGebra enlønnet stab som kan tilby brukerstøtte og hjelp.GeoGebra baserer seg i stedet på at entusiastiskelærere i høy grad er i stand til å hjelpe hverandreved å dele undervisingsopplegg og gjennom etåpent brukerforum på nettet. Forskning viserimidlertid at det er krevende for lærere å ta ibruk digitale verktøy i egen undervisning, ogMatematikksenteret ønsker derfor å støtte oppunder lærere som ønsker å utvikle sin kompetanseinnen bruk av digitale verktøy. GeoGebrahar i løpet at kort tid slått an blant norskelærere, og det er derfor naturlig for Matematikksenteretå engasjere seg i GeoGebra.RessurspersonerMange av Matematikksenterets ressurspersonerog ansatte har i vinter blitt kurset i GeoGebra,og målet med opplæringen har vært sertifiseringsom GeoGebra-instruktører. I tillegg harNorsk GeoGebra institutt rekruttert en del nyeressurspersoner med spesiell interesse for brukav teknologi i matematikkundervisningen. Vihar nå et nettverk med ressurspersoner somstår klare til å holde GeoGebra-kurs rundt omi hele Norge. På våre nettsider www.geogebra.no finner du et kart med oversikt over alle våresertifiserte kursholdere.KurstilbudMatematikksenteret tilbyr kurs på bestilling tilskoleeiere, og våre ressurspersoner kan holdeflere typer GeoGebra-kurs:– GeoGebra-kurs som består av to kursdagermed nettbasert opplæring mellom.Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 63

Kurset gir en grundig innføringi programmet GeoGebra,og deltakerne vil få tilbud omå sertifisere seg på GeoGebraetter avsluttet kurs.– Digitale verktøy i undervisningen. Dettekurset tar for seg ulike typer digitale verktøysom regneark, dynamisk programvareog symbolbehandlende verktøy. Kurset gisi samarbeid med Program for lærerutdanningNTNU, og GeoGebra inngår som enviktig komponent.– Skreddersydde opplegg der GeoGebrautgjør en del av en større kurspakke fraMatematikksenteret.Som omtalt i Tangenten 1/2009, har LAMISinngått et samarbeid med NGI. I løpet av 2009vil det bli holdt GeoGebra-kurs i samarbeid medlokallagene i Bergen og omegn, Bodø, Follo,Innherred, Nedre Buskerud, Oslo/Akershus,Rogaland, Vestfold, Østfold og Øvre Romerike.Dessuten vil NGI bidra på LAMIS sommerkurspå Hafjell i august. En oversikt over planlagtekurs finner du på moodle.geogebra.no.Aktuelle konferanser for lærereNKUL – Nasjonal konferanse om bruk av IKTi utdanning og læring, Trondheim 13.–15. mai.Tema for årets konferanse er Digital kompetansei de grunnleggende ferdighetene. Nytt av året erat NKUL vil tilby kurs i engelsk, norsk og matematikki forbindelse med konferansen. NorskGeoGebra institutt er ansvarlig for matematikkkurseti samarbeid med NTNU og Høgskolen iSør-Trøndelag. Les mer om NKUL på www.nkul.ntnu.no/2009De blå søylene viser antall besøkende på www.geogebra.org i februar 2009 fra forskjellige land. Vi ser at det ermange treff fra store land som Frankrike, Tyskland og USA. De røde punktmarkeringene viser antall besøkendei forhold til innbyggertall, og vi ser at Norge skiller seg merkbart ut med høye besøkstall. Vi tror programmetspopularitet i Norge kan skyldes Kunnskapsløftets fokus på digital kompetanse, tidlig norsk oversettelse avGeoGebra, relativ høy PC-tetthet i norsk skole, og det at mange norske lærebøker har eksempler med GeoGebra.64Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

The First International GeoGebra Conference2009, Linz 14.–15. juli. Den første internasjonaleGeoGebra-konferansen holdes påHagenberg slott i nærheten av Linz i Østerrike.GeoGebra-konferansen vil finne sted rett etterkonferansen Computer Algebra and DynamicGeometry Systems in Mathematics Education(CADGME 2009), og kan med fordel kombineresmed denne. NGI vil lede arbeidsgruppen omGeoGebra og e-læring. Begge konferansene retterseg mot forskere, utviklere og lærere. Les mer påwww.risc.uni-linz.ac.at/about/conferencesLAMIS sommerkurs. Matematikk i tid ogutvikling – matematikk og teknologi 6.–9. august2009, Hafjell. Årets sommerkurs setter fokus påmatematikk og teknologi. Hva har matematikkhatt å si for den teknologiske utviklingen før,nå og hvilken betydning har det for fremtiden?NGI er ansvarlig for flere av verkstedene påsommerkurset. Mer info på www.lamis.noVeiledning tillæreplanene imatematikkIngvill Stedøy-JohansenMatematikksenteret har fått i oppdrag avUtdanningsdirektoratet å lede utvikling av veiledningertil læreplanene i matematikk. Veiledningenskal vise eksempler på tolkning av kompetansemålenepå alle trinn i grunnskolen, ogfor den obligatoriske matematikken i videregåendeskole.Den skal gi forslag til fordelingav mål på klassetrinn, samteksempler på innhold og konkretiseringav undervisning somskal føre elevene mot læringsmålene.Veiledningen skal dessuten vise hvordanlærer kan integrere arbeid med de grunnleggendeferdighetene i matematikkundervisningen,og hvordan arbeidsmåtene kan varieres.Videre skal veiledningene vise hvordanundervisningen kan legges opp for tilrettelagtopplæring. Vurdering er en viktig del avlæringsprosessen, samtidig som den er et målpå grad av måloppnåelse. Det vil bli gitt eksemplerpå vurdering underveis i læringsprosessen,og sluttvurdering.Veiledningen vil også inneholde artikler omvurdering, grunnleggende ferdigheter, kompetanseri matematikk, og tilpasset opplæring.Disse artiklene vil gi en overordnet oversiktover disse temaene, slik at lærerne kan ta hensyntil dette når de skal legge opp undervisningeninnenfor andre temaer enn det veiledningen gireksempler på.For at veiledningene skal vise progresjongjennom skoleløpet fra 1. trinn i grunnskolen tilVg2 i videregående skole, har faggruppen valgtå vise eksempler på hvordan læreplanen kantolkes innenfor områder Tall og algebra. Dettevil gi lærere ideer til og eksempler på hvordande kan arbeide på tilsvarende måte med andrehovedområder og emner i matematikk.Veiledningen skal publiseres på nettsidene tilUtdanningsdirektoratet 15.06.2009.Faggruppen som arbeider med veiledningene,ledes av faglig leder Ingvill M. Stedøy-Johansenved Matematikksenteret, og består dessuten avMarianne Maugesten ved Høgskolen i Østfold,Tone Dalvang ved Sørlandet kompetansesenter,Vivi Pedersen ved Universitetet i Oslo og KristianRanestad ved Universitet i Oslo.Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen 65

Sammenhengmellom lærerskompetanse og eleverslæringLill SørensenRessursperson for matematikksenteret oglærer ved Alsvåg barne- og ungdomsskole.Kunnskapsdepartementet har fått utført et forskningsprosjektfor å undersøke hvilke lærerkompetansersom kan øke elevenes læring.Dette er altså ikke en rapport som utelukkendeser på matematikkfaget. Rapporten kom i 2008og heter: Lærerkompetanser og elevers læring iførskole og skole (Nordenbo, 2008). Den byggerpå analyse av forskning som er gjennomført desiste årene, og bruker materiale både fra Norgeog andre deler av verden.Jeg vil i korte trekk vise til funn fra rapportenav generell karakter i forholdet mellomlærers kompetanse og elevers læring, og spesieltdet som berører matematikkfaget. Det er ikkemitt primære formål i denne artikkelen å drøfteresultatene, men jeg håper at den kan inspireretil akkurat dette fremover.Læring hos elever er ikke bare definert sommålbare resultater, men på et bredere grunnlagsom også ivaretar sosiale ferdigheter.Personalets kompetanse betraktes som«[…] en kombinasjon av noe man har (kunnskaper),hva man gjør i klasserommet (ferdigheter)og hvilke verdier man legger til grunn forundervisningen (holdninger).»Læreradferd og elevers læringForskerne påpeker at lærerne lettes i utøvelseav sine undervisningshandlinger når klassensnivåspredning ikke er for stor. De viser ogsåtil at når lærernes undervisning fører til bedre66læring vil dette også medføre en større ulikhetmellom enkeltelevers prestasjoner, større nivåspredningi klassen. De fant altså en sammenhengmellom dyktige lærere og stor nivåspredningi klassen, men peker på at det er mulig ågjøre denne nivåspredninga mindre og samtidigbeholde det høye læringsnivået. Her trekker defrem organisering av undervisninga og personligtilbakemelding til enkeltelever som viktigefaktorer, og lister opp følgende momenter sombør være i fokus for å oppnå både bedre læringog mindre forskjeller:Detaljert planlegging: Når undervisningsmaterielleter tilrettelagt og minimal tid brukes tilå komme i gang økes elevenes læring.Klare undervisningsmål: Lærere som harklare mål både for den enkelte time, periodenog faget, og gjennom dette har eksplisitte målfor undervisningen oppnår bedre læring.Elevstøttende ledelse: Når elevene trekkes medi for eksempel valg av aktiviteter og får mulighettil å ta ansvar, økes elevlæringen. Elevsentrertlærerpraksis som støtter elevene gjennom elevstøttendeatferd bidrar til elevenes læring, ogkan i enkelte undersøkelser se ut til å ha størrebetydning enn faglig nivå og og undervisningserfaring(småskole).Elevaktivering og elevmotivering: Læreradferdenhar stor betydning for elevenes utviklingav indre motivasjon. Dersom læreren er dominerendeog i liten grad innstilt på samarbeidfører dette generelt sett til at elevene utviklerlav motivasjon og svak selvtillit. Lærere som erkognitivt orientert oppnår en høyere grad avselvregulert adferd (indre motivasjon) og detser ut til at gutter profiterer bedre på denne typeklasseledelse.Organisering av aktiviteter og læring«En undersøkelse viser at effektive lærere i matematikkofte starter og slutter undervisningen iplenum. I begynnelsen av timen gir den effektivelærer elevene innsikt i strukturering av timen oglæringsmålene. I avslutningen skaper læreren etoverblikk over det som var mål for timen.»Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Dette var spesielt i forholdet til matematikkfaget,men generelt kan man si noe om hvordanorganisering av aktiviteter kan fremme læringi alle fag.Synlig ledelse: En klar og tydelig ledelse avlæringa, er ikke motsatsen til elevaktiv og elevstøttendelæring.Relasjon til elevene: En lærer som er støttendeog tolerant overfor elevens egne initiativ, fremmerelevenes læring.Regelledelse: Støtte + regler = Læring. Ensynlig lærer som positivt oppfordrer til ønsketadferd, er i forkant og kan avverge situasjonerog er klar og tydelig på hva som er ønskelig elevadferd/elevaktivitet.Videre fant forskerne at metoder som byggerpå å trekke elevene aktivt inn i undervisningen,gjerne gjennom undervisning av hverandre så uttil å øke elevenes læring. Lærere som beherskerog anvender flere undervisningsmetoder og somoppfordrer elevene til metakognisjon bidrar tiløkt elevlæring. Elever som får mulighet til åtenke gjennom hva de gjør og velge ulike strategierfor å komme frem til løsningen, vil ogsåkunne delta mer aktivt i eget læringsarbeidet.Gjennom et læringsklima som gir rom for ulikevalg kan flere elever få bedre innsikt i både hvorforde selv velger som de gjør, og hvordan andretenker. Forutsetningen for effektiv undervisningi et fag er at den befinner seg innenfor eleveneslæringspotensiale, og lærere som har forberedtalternative tilnærminger og forklaringer fremmerlæring.Lærere som anvender problemorientertundervisning i stedet for utenatlæring av algoritmisketeknikker fremmer læring. Helklasseundervisningfremmer elevenes læring bedre enngruppe og prosjektarbeidet i faget matematikk.Lærebokbasert undervisning ser ut til å fremmebedre testresultat i dette faget, og lærere somkun gir gode karakterer for gode prestasjonerøker elevenes læring («streng karaktergiving»).Oppdagelsesorientert undervisning i matematikk,der elevene skal oppdage metoder ogfremgangsmåter, ser ikke ut til å fremme læring.Heller ikke en undervisning derelevene skal beherske en rekkeberegningsmetoder og rutinerser ut til å fremme læring. Derimotser det ut til at det som best fremmer læringi matematikk er en undervisning der man relatererinnholdet til mange forskjellige sammenhenger.Hvordan kan resultatet av forskningen fåkonsekvenser for undervisning i matematikk?Med bakgrunn i de funnene som er dokumenterther fremkommer det at matematikkhar mye felles med øvrige fag, men på enkelteområder bør undervisningen i dette faget væreannerledes enn i andre fag.– Lærer bør i større grad lede læringsarbeidetgjennom felles start og felles oppsummering.– Variasjon i metode og tilnærming ervesentlig for å nå flest mulig elever.– Det faglige innholdet bør i størst muliggrad relateres til mange forskjellige sammenhenger.– Helklasseundervisning der elevene fårbidra med innspill og samtidig får personligoppfølging og tilbakemelding gir positivlæringseffekt.– Bruk av læreverk ser ut til å kunne ha ensentral plass i undervisninga.Felles for alle fag er en klar og tydelig ledelsebåde av arbeidet og ikke minst klare og tydeligemål for læringsarbeidet.Hvilken kompetanse hos læreren fremmerlæring hos eleven?Forskerne konkluderer med at det er tre kompetanserhos lærer som fremmer læring hoselevene:RelasjonskompetanseRegelledelseskompetanseDidaktikkompetanseUt fra kompetansebegrepet som lå til grunnfor denne rapporten vil det si at lærerne må haNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 67

kunnskaper, ferdigheter og holdninger innenfordisse tre områdene for å utføre/praktisereen undervisning som fremmer god læring forelevene.Rapporten viser til at oppdagelsesorientertundervisning i matematikk ikke ser ut til åfremme læring, men derimot har problemorientertundervisning positiv effekt. Slik jegforstår dette skal elever forske og undre seg,prøve seg frem og finne ut av ting, men detteskal settes inn i en faglig sammenheng gjennomfelles oppsummering og kvalitetssikres av lærer.Det er når elevene blir overlatt til seg selv og påegenhånd skal konkludere at vi får mangelfulllæring.Et annet element som jeg gjerne vil kommentereer den svake vektleggingen av lærers fagligekompetanse i rapporten. Men selv om det ikkespesifikt er nevnt fagkompetanse her viser rapportentil at det er lærere som er faglig dyktigesom bidrar til forbedret elevlæring.Jeg oppfordrer dere til å lese rapporten ogkom gjerne med kommentarer og skrive leserinnleggtil Tangenten.LitteraturNordenbo, S. E. (2008). Lærerkompetanser ogelevers læring i førskole og skole: et systematiskreview utført for Kunnskapsdepartementet,Oslo : teknisk rapport. København,Dansk clearinghouse for uddannelsesforskning.68Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

Kenguru og dominoAnne-Gunn SvorkmoKengurukonkurransen er ment å være enmorsom og litt annerledes matematikkonkurranseog ikke en prøve eller test på hva eleverkan eller skal kunne. Hensikten med oppgaveneer at de først og fremst skal vekke nysgjerrighetog skape interesse for matematikk.For å lette arbeidet med å registrere elevenesresultater på nett, har vi i år oppjustert og forenkletregistreringssidene. Resultatsidene erforbedret med tanke på personvern.Blant årets oppgaver finnes denne:Et dominospill består av 28 brikker. Brikkeneinneholder alle mulige kombinasjoner avprikker mellom 0 og 6. Det finnes også brikkermed det samme antall prikker på begge sider.Hvor mange prikker er det til sammen på allede 28 brikkene?(A) 84 (B) 105 (C) 126 (D) 147 (E) 168Den brikken med flest prikker (øyne) er herdobbel 6, den brikken med færrest prikker erdobbel 0. Tabellen nedenfor viser en oversiktover alle de 28 brikkene satt i et system:kengurusidene0–0 0–1 0–2 0–3 0–4 0–5 0–61–1 1–2 1–3 1–4 1–5 1–62–2 2–3 2–4 2–5 2–63–3 3–4 3–5 3–64–4 4–5 4–65–5 5–66–60 3 9 18 30 45 63Sum antall prikker (øyne)Til sammen er det 0 + 3 + 9 + 18 + 30 + 45 + 63= 168 prikker (øyne) på et dominospill beståendeav 28 brikker.Hver dominobrikke er sammensatt av tokvadrater med et likt eller ulikt antall prikker.Dersom vi sorterer brikkene etter kvadratermed samme antall prikker, er det kanskje endaenklere å finne hvor mange prikker det er tilsammen. Det er 8 kvadrater med 0 prikker, 8kvadrater med 1 prikk, 8 kvadrater med 2 prikkerosv. Antall prikker blir da: 8 · 0 + 8 · 1 + 8 · 2+ 8 · 3 + 8 · 4 + 8 · 5 + 8 · 6 = 8 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6) = 8 · 21 = 168.Jeg har på disse sidene tidligere kommetmed tips til hvordan det kan arbeides videremed enkelte av kenguruoppgavene. Oppgavenovenfor kan utvides ved å tenke seg etdominospill hvor brikken med høyest verdi erdobbel 8. Hvor mange brikker har dette spillet?Hvor mange brikker har et spill med brikkerNasjonalt senter for matematikk i opplæringen 69

70opp til dobbel 9? Finnes det ensammenheng slik at det er muligå si hvor mange brikker det er iet dobbel n-spill? Hvor mangeprikker har de ulike spillene? La elevene selvutforske og lete etter mønster og sammenhengeri dominobrikkene.Vi kan kjøpe eller eventuelt lage dominospillmed brikker opp til dobbel 9, dobbel 12,dobbel 15 og dobbel 18. Veldig få jeg har snakketmed kjenner til spillereglene for domino kalt«Fido-varianten». Spillet kan spilles av 3 – 7 personer,og deltakerne må både addere, dividereog vurdere hvilken brikke det lønner seg å leggefor å kapre flest mulig poeng. Domino blir da etspill med mye matematikk! Det er her ikke bareom å kvitte seg med alle brikkene!Jeg forklarer her spillereglene ut fra at vi spillermed brikker opp til dobbel 9, dvs. vi har ialt 45 brikker. 3 spillere trekker 13 brikker hverog holder disse skjult for motspillerne. Brikkenesom er til overs er i reserve. Reglene er få ogforholdsvis enkle.Spillerne legger brikker på bordet etter tur.Spillet starter med at dobbel 9-brikken blir lagtpå bordet. Dersom ingen har denne brikken,starter spilleren som har dobbel 8. Hvis ingenhar denne brikken starter spillet med dobbel 7osv. Når startbrikken er lagt, legger spillerne uthver sin brikke etter tur. Endene må alltid passesammen, for eksempel 3 mot 3, 6 mot 6 osv.Andremann må alltid legge sin brikke på startbrikkenslangside. Han eller hun åpner dermeden ny ende. Det er om å gjøre at summen avalle åpne ender på bordet er delelig med 5. Detgir poeng!Dersom førstemann legger ut dobbelt 9er summen av åpne ender lik 18. 18 er ikke i5-gangen, og førstemann får ingen poeng.Dersom andremann har 9–2 brikken, ersummen av åpne ender lik 9 + 9 + 2 = 20.20 : 5 = 4 og andremann får fire poeng. Poengenenoteres ned. Tredjemann kan legge sinbrikke enten på langsida eller på enden av forrigebrikke. (Dersom vedkommende har brikken2–7 som vist på tegningen under, vil det gien sum lik 25 som igjen gir 5 poeng).Dobbeltbrikker skal alltid legges på tvers.Dersom en av spillerne ikke kan legge ut enbrikke, må vedkommende trekke en fra reservebrikkene,og turen går til neste spiller.Spillet fortsetter på sammen måte helt til enav spillerne er kvitt alle brikkene sine. Da måhver av de andre spillerne trekke summen avantall øyne på de brikkene de sitter igjen medfra sin oppnådde poengsum. Hvis en spiller foreksempel sitter igjen med 5–2 brikken, får vedkommendesju poeng i minus.Last ned mer informasjon på home.no.net/vidaas/dominoregler.html. Her finnes spillereglerfor flere spillere, spill med andre typer brikkersamt eksempler på spill. Elever og lærere kanselvfølgelig justere spillereglene eller lage egneregler.Lykke til med å spille DOMINO!Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen

LAMISLandslaget for matematikk i skolenv/Randi HåpnesNTNU, Realfagbygget, A47491 Trondheimpost@lamis.no · www.lamis.noBankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103Fra formålsparagrafenDet overordnede målet forLands laget for matematikk iskolen er å heve kvaliteten påmatematikk undervisningen igrunnskolen, den videregåendeskole og på universitet/høyskole.Landslaget skal stimulere tilkontakt og samarbeid mellomlærere på ulike utdannings nivåerog mellom lærere og andre somer opptatt av matematikk.Styret for LAMISFra barnetrinnetTine Foss Pedersen,DrammenTherese Hagfors, KirkenesFra ungdomstrinnetGrete Tofteberg, VålerRonny Birkeland, RomerikeFra videregående skoleAnn-Mari Jensen, MeløySidsel Ødegård, Hundvåg(leder)Fra høyskole/universitetLisbeth Karlsen, VestfoldAnders Sanne, TrondheimSommerkurs og årsmøteMedlemskontingentSkole/institusjon 580,–Enkeltmedlem 330,–Husstandsmedlem 150,–Studenter 200,–Tangenten inngår i kontingenten.(Gjelder ikke husstandsmedlemmer.)OrganisasjonssekretærAnja Glad von Zernichowanja@lamis.no eller anja.glad.zernichow@matematikksenteret.no. Telefon 93295547Vi minner om sommerkurset 2009 på Quality Hotell Hafjell 6.–9. august 2009.Tema: MATEMATIKK I TID OG UTVIKLING – matematikk og teknologi.Påmelding via nettside til LAMIS: Se www.lamis.no. Påmeldingsfrist 15. mai 2009.Konferanseavgift: kr 2000. Det inkluderer: Dagpakke på hotellet med alle foredrag, parallellsesjonerog lunsj torsdag–søndag, middag torsdag og fredag, festmiddag lørdag, utflukt til Hafjelltoppen ogT-skjorte. Påmeldingen er registrert og gyldig når beløpet er betalt inn på kontonummer: 18223276667v/Gerd Nilsen. Ved innbetaling må det oppgis hvem betalingen gjelder for.Årsmøtet i LAMIS blir avviklet under sommerkurset, fredag 7. august klokken 17–19.Årsmøtepapirene legges ut på nettsidene.Landslaget for matematikk i skolen 71

Lederen har ordetSidsel ØdegårdDet går nå mot slutten av et nyttskoleår. De aller fleste er midtoppe i planlegging av avslutningenmed både prøver og eksamener.Dette er en spennende tidbåde for lærere og elever. Utfordringerstår i kø. I vår digitalisertehverdag er det en evig diskusjonom hvordan prøver og eksamenerskal avvikles uten at eleveneskal jukse. I Nord Trøndelag harman nå tatt i bruk et dataprogramsom skal avsløre juks på prøverog innleveringer. Programmet erinstallert på den enkeltes pc ogfungerer slik at elevene selv måaktivere programmet foran enprøve eller eksamen. Ved mistankeom juks, kan læreren fåinnsyn i loggen til den enkelteelev. Fylkeskommunen har fåtttillatelse av datatilsynet, mendatatilsynet er noe skeptisk tilbruken.Like sikkert som at vårenkommer, så kommer diskusjonenom eksamen før eller etter russefeiringen.Det er store aksjonerpå Facebook og opposisjonspolitikernehar også vistinteresse for saken, og stilt etskriftelig spørsmål om dette tilkunnskapsminister Solhjel. I årstarter sentralgitte eksamenerallerede 19. mai, så la oss håpedet demper noe av feiringen ogikke demper forberedelsene tileksamen. Vi følger uansett diskusjonenmed interesse, sammenmed alle de elevene som detgjelder, selv om løpet alleredeer lagt for årets elever.På skolene er man alleredegodt i gang med å planleggeneste år, både når det gjelderfag- og timefordeling og nårdet gjelder personalsituasjonen.Dette er ingen enkel kabal. Sliksituasjonen har vært i de sisteårene, har det ikke vært heltenkelt å få ansatt nok kvalifisertelærere. Vi hører om stillinger somer ubesatte og om stillinger derman ansetter ukvalifiserte. Detteer ikke en situasjon noen ønsker,så hva skal da til for å snu dennetrenden? Skolen har ikke lengermange virkemiddel for å framståsom en attraktiv arbeidsplass.Lønningene kan ikke konkurreremed lønninger i næringslivet.Fleksibiliteten går ned, samtidigsom fleksible løsninger øker iandre yrker. De lange feriene tillærerne blir noe spist opp ettersom mer tid er bundet på skolen.Og statusen til yrket er som kjentikke lenger hva den var. Så hvaskal til for å øke rekrutteringentil yrket? Dessverre har ikke jegsvarene på dette, men det erviktig å stille disse spørsmåleneog få en diskusjon rundt dette.Året som har vært har i verdenvært preget av store overskrifterog finanskriser. Antagelig vil dårligeretider i næringslivet bidra tiløkt rekruttering til skolen. Det vilda hjelpe på situasjonen på kortsikt, men uansett bør det arbeidesfor at skolen blir en attraktivarbeidsplass uansett gode ellerdårlige tider. Da kan vi som alleredeer i skolen og trives godtmed det være med å snakkevarmt om et yrke som både giross utfordringer og gleder i hverdagen.72Landslaget for matematikk i skolen

Bruk av MIO – et observasjonsmateriellfor barnehagerTone Dalvang, Hilde Skaar Davidsen”Barnehagen skal støtte barnsutvikling ut fra deres egne forutsetningerog gi det enkelte barnog barnegruppen utfordringer.Den skal gi et individuelt tilpassetog likeverdig tilbud.” (Kunnskapsdepartementet,2006,s.15)MIO er et observasjonsmateriellsom kan være en hjelp tilå foreta systematiske observasjonerav både personalets ogbarnas matematikkompetanse.Navnet MIO er bygd opp av initialenei matematikken, individetog omgivelsene, som har sinbasis i Faktor-samspill-modellen(Magne, 1998). Materielletbestår av et observasjonsark ogen håndbok. Observasjonsarketer delt inn i forhold til aldersgruppene2–3 år, 3–4 år og 4–5 år,plassert i ringer om en sirkel.MIO-sirkelen er videre delt itre hovedområder: problemløsning,geometri og telling ogantall. Innenfor problemløsningobserveres matematisk språk ogresonnering, innenfor geometriobserveres form og posisjon, ogmønster og orden. Og innenfortelling og antall observeres tall,tallrekke og telling, og antall.Arbeidet med MIO har pågåtthelt siden høsten 2000. Det hargjennom hele prosessen værtgrundige drøftinger mellom fagpersonenefra Sørlandet kompetansesenter,Senter for adferdsforskningog Senter for lese- ogskriveforskning som har utvikletmateriellet. Spørreundersøkelseromkring temaet barn og matematikkhar vært gjennomførtblant barnehagepersonaler ogstudenter i førskolelærerutdanningflere steder i Norge. En rekkeførskolelærere og til sammen ca.1000 barn har vært med gjennomto utprøvinger av materiellet. Ogendelig ble Aschehoug forlagmed på samarbeidet, og det vartid for å sette sluttstrek og gi utMIO våren 2008.Hva vil vi med MIO? I artikkelenvelger vi å understreke detre kulepunktene på håndbokasbakside. Kulepunktene sier myeom våre intensjoner og prioriteringer.Vi vil gå inn i hvert avpunktene og beskrive nærmerehva som er tenkt, og gi noeneksempler på hvordan vi ser foross arbeidet.«MIO er et observasjonsmaterielltil bruk i barnehagen for å– støtte arbeidet med matematikkeni rammeplanen (Personalet)– legge til rette for god matematiskutvikling hos alle (Barnegruppen)– fange opp barn som trengermer oppfølging (Individet)»(Davidsen, m.fl., 2008)Landslaget for matematikk i skolen 73

Støtte arbeidet med matematikkeni rammeplanen –utvikle praksisteoriMIO er utviklet ut fra et sosiokultureltperspektiv på læring(Dysthe, 2001). Det bygger pået konstruktivistisk teorigrunnlag,som innebærer at barnetkonstruerer sin kunnskap fragrunnen av, og at prosessenskjer i aktivt samspill med omgivelsene.Det handler om bådesamspillet mellom voksne ogbarn, samspillet mellom barn,og samspillet mellom de voksnenår de skal gjøre seg kjent medMIO. Når innholdet i håndbokaog observasjonsarket drøftes irelasjon til rammeplan og temahefteom antall, rom og form(Reikerås, 2008a) kan personaletutvikle felles bevissthet omsin praksisteori, og opparbeidekunnskap om barnas matematiskeutvikling. I håndboka s. 48(Davidsen m.fl., 2008) har vi forslagtil ytterligere litteratur somkan danne et fundament for enlærende prosess om observasjonog matematikklæring i etpersonale.For å arbeide i retning avmålene i rammeplanen skalpersonalet blant annet være lyttendeog oppmerksomme i forholdtil den matematikken barnetuttrykker gjennom lek, samtalerog hverdagsaktiviteter, og værebevisst egen begrepsbruk ommatematiske fenomener (ibid.).Magne (2003) uttrykker at detmatematiske språket inneholderen rekke abstrakte begrepersom må kobles til barnas egetspråk for å forstå dem. I håndbokaskriver vi at dersom voksneer lydhøre og støtter barna iutviklingen, vil barna gå overfra kroppslige og nonverbaleytringer til å ta i bruk ord for åuttrykke seg og påvirke menneskerrundt seg. Det er viktig åvære gode til å lytte og se, menogså å være gode rollemodellerfor det matematiske språket.«Kommunikasjon er en prosessder en deler erfaring slik at deten deler, blir felleseie.» (Dewey iDysthe, 2001).De voksne i barnehagen trengertid og prosesser sammensom støtter dem i å utvikle sinbevissthet i forhold til sitt egetmatematiske språk og sin egenmatematiske kompetanse.Deltagende observatørerMIO kan gi støtte til hva en kanvære oppmerksom på, og hva enkan lytte/se etter når en observerer.Observasjonspunktene i MIOer viktige, men hver for seg erde eksempler innenfor områdersom rommer så veldig mye mer.Observasjonene i MIO har aldrivært tenkt å skulle foretas på enkjølig avstand, men i samspillmed barna. I håndboka henviservi til Linden (1992) som beskriverhvordan barna utvikler matematikkengjennom sine aktiviteter.Barna har egne mål for sineaktiviteter og ifølge Vygotsky erdisse vesentlige. Det er gjennomselvutfoldelse og lek at barnetuttrykker sine følelser, erfaringerog kunnskaper.Du kan bli kjent med barnasmange små og store prosjektergjennom å følge deres handlingeri barnehagen. Barnet harsatt seg noen mål, det er det somgir handlingene mening. Du kanfølge handlingene, og det kanvære fort gjort å trekke slutningerut fra din egen verden. Menbarn har ofte oppdaget andremønster enn det vi voksne haddei tankene. Det å finne ut hva somer barnas eget mål innebærer atdu inngår i aktivitetene på barnaspremisser. Du kan for eksempellytte når barna resonnerer, oppmuntrenår barnas kunnskaperer uferdige og legge til nymatematisk kunnskap i et herog-nå-perspektiv.Det skal ikkekonstrueres noe nytt for å gjørebruk av MIO, observasjoneneer dynamiske, de tar utgangspunkti naturlige situasjoner ogaktiviteter som allerede skjer ibarnehagen, der de voksne erdeltagende observatører. Deter også viktig å understreke atobservasjonene ikke er tenktsom engangstilfeller, men skjerover tid, i mange ulike aktiviteter,og av flere voksne. Dette utgjørtil sammen en vesentlig forskjellfra testkulturen, som ofte handlerom konstruerte situasjoner, derbarnet testes på et avgrensettidspunkt, og ofte uten støtte fraandre personer.Legge til rette for god matematiskutvikling hos alle– inspirere til utforskning ogdialogEn ting er å drøfte matematikkog matematisk språk med kollegaer.En annen utfordring erdet når det en har snakket omog tenkt på skal brukes i arbei-74Landslaget for matematikk i skolen

det sammen med barna, nårmange andre utfordringer ogsåskal takles, og de daglige rutinenekrever sitt. I MIO tenker viat det er nettopp i slike dagligeaktiviteter at matematikken ogobservasjonene kan ta plass. Vikan tenke oss flere ulike måterMIO-materiellet kan støtte oghjelpe personalet å legge til rettefor en god matematisk utviklinghos alle barna i gruppen.MIO-sirkelen med utgangspunkti matematikkens oppdelingav ulike områder kan spilleen rolle i flere sammenhenger.Er for eksempel barnehagensfysiske miljø lagt til rette på enslik måte at barna inspireres til åutforske og bruke matematikkensulike områder? Har barnehagenleker, utstyr og materiell som kanog vil inspirere barnegruppa tillek og utforskning?Og hvordan viser matematikkenseg i dagliglivet? Personaletkan gå på leit etter den matematikkensom viser seg i samhandlingog lek mellom barna,og i lek og aktiviteter som devoksne også er delaktige i. Nårde observerer spor av matematikki barnehagen, kan de noteredette ned. Ved å fargelegge dehandlingene som fremkommer iobservasjonene vil de få et inntrykkav matematiske områdersom blir mest fokusert. Og devil også på bakgrunn av observasjonenelettere se om barn igruppen deltar i og bruker matematikki sine aktiviteter.Matematikk i lek og aktiviteterAktiviteter kan være satt i gangav personalet. Vi viser et eksempeli håndboka og har referansertil annen litteratur som gir flereidéer. Men ikke minst er de dagligesituasjonene som kan inneholdemye matematikk viktigeå utnytte. Det tror vi er lettereå få til når personalsamlingerhar løftet frem matematikken,og diskutert eksempler på ulikeaktiviteter. Ved å bruke MIO ogsette seg inn i materiellet menervi at en slik bevisstgjøring kanvokse frem. MIO kan være fin åha fremme ved planlegging avvoksenstyrte aktiviteter.Aktiviteter og leker blir velså ofte initiert av barna, og debruker sin matematiske kompetanse.De voksne kan deltai samspill med barna, flette sittspråk og sine forslag inn i aktiviteter,og samtale og reflekteresammen med barna om hva somhar foregått. Det handler om degylne matematikkøyeblikk! Personaletsmatematikkunnskap erviktig for å kunne se og bruke«øyeblikkene». Hvor mye matematikkmå personalet kunne?Barnehagepersonaler vi er ikontakt med uttrykker at jo mermatematikk de kan, jo lettere erdet å få øye på og utnytte matematikkensom fins i og mellombarna.MIO kan brukes som et planleggingsverktøyfor tilretteleggingav matematikkaktiviteter og brukav aktuelt utstyr, leker og materielli tilknytning til det. Observasjonspunktenekan benyttessom en faglig dokumentasjonpå matematikkhandlinger somkommer til uttrykk i barnegruppen.I tillegg er annen dokumentasjonav barnas lek og læringi matematikk nyttige redskaperfor personalet til å kunne vurderebarnehagens virksomhet. Detkan for eksempel være fagligerefleksjoner og samtaler knyttettil barnas tegninger og fotografierav leke- og aktivitetssituasjoner.Barnehagens arbeid skal bl.a.vurderes på en planlagt og systematiskmåte (Kunnskapsdepartementet,2006). At personaletutvikler og tar i bruk sin matematikkunnskapog legger til rettefor barnas matematikkutvikling erviktig. Dette må også gjenspeileseg i barnas lek og hverdagsaktiviteterfor at barnehagen kanvære en god læringsarena formatematikk.ForebyggingRammeplanen fremhever at personaleti barnehagen må ha etaktivt forhold til barnas læringsprosesser,og at personalet skalta utgangspunkt i barnas nysgjerrighet,interesser og forutsetningernår de tilrettelegger for deulike fagområdene/prosessmålenei rammeplanen. Noen barner mer aktive enn andre til å oppsøkenye situasjoner, utforske ogeksperimentere. Personalet haret særlig ansvar for å vekke interessenhos de barna som sjeldenoppsøker nye situasjoner.Matematikken er viktig for barnehagebarnetsliv her og nå, hvormatematikken er et redskap forå håndtere og beskrive virkeligheten.Barna trenger matematiskkompetanse for å kunne orientereseg i verden, kommunisereLandslaget for matematikk i skolen 75

med andre mennesker, foretahensiktsmessige handlinger ogvære i lek og samspill med andre.Barnehagen har en unik mulighetfor å støtte barnas utvikling pådet matematiske området.I håndboka henviser vi tilundersøkelser som viser at ihvor stor grad barn er opptatt av,og fokuserer på tall og telling itidlig alder henger sammen medsenere regneferdigheter i skolen(Hannula, 2005). For barn somhar et svakere utgangspunktfremhever Kreisman (2003) atdet gir gode resultater å arbeidemed matematikk i tidlig alder.Når personalet observerer barnsom ikke er opptatt av tallord ogtelleaktiviteter, og som unngårsituasjoner der slike aktiviteterpågår og velger bort f.eks. uliketall/telle-spill, har personalet «etsærlig ansvar for å forebyggevansker og å oppdage barn medsærskilte behov» (Kunnskapsdepartementet,2006, s. 18).Fange opp barn som trengermer oppfølging – et etisk perspektivI rammeplanen blir det poengtertat et etisk perspektiv må leggestil grunn når barnas lek og læringdokumenteres skriftlig. Vi er ikkeav den oppfatning at alle barn ibarnehagen til enhver tid skaldokumenteres med et observasjonsarkfra MIO. Personalet skalførst arbeide for en god matematiskutvikling for alle. De skalfølge opp barn som sjelden søkeraktiviteter knyttet til «Antall, romog form» slik at de kan utviklesin matematikk. Personalet haret særskilt ansvar for å følge oppobservasjoner knyttet til enkeltebarn, og som vi har påpekt tidligerehar barnehagen et ansvarfor å forebygge vansker.Det kan finnes barn personaletvil være usikre på i forholdtil deres matematiske utvikling.Det er først når personalet observerermer systematisk at de vilfå en mer eksakt informasjon.Flere førskolelærere som deltok iutprøvingsarbeidet av MIO fortellerom overraskelser de fikk nårde observerte at enkelte barnikke mestret observasjonspunkt,som de i utgangspunktet haddeantatt at de ville mestre. Noen avdisse barna blir beskrevet sombarn som «henger med» andre,og tilsynelatende ser det ut somom de deltar og er mer aktive ennde faktisk er.Når et enkelt barn skal observeresog observasjonene dokumenterespå observasjonsarketskal foreldrene bli informert oggodkjenne at det gjøres. Påarkets bakside er det en rubrikkfor at foreldre/foresatte kanskrive under. Foreldrene måfå god mulighet til å inngå i etsamarbeid med barnehagen.Dersom det skal settes oppspesifikke mål for enkeltbarn,må det ha en begrunnelse, ogmålene må settes i samarbeidmed foreldrene og eventuellesamarbeidsparter utenfor barnehagen.Denne type informasjoner underlagt taushetsplikt.Tilrettelagt tilbudFor barn som får spesialpedagogiskhjelp i barnehagen etterOpplæringsloven § 5, mener viat observasjonspunktene i MIOkan være til god hjelp når denindividuelle opplæringsplanenskal utarbeides. Observasjonspunkteneer konkrete, de kanogså deles opp ytterligere ogknyttes til aktiviteter som er endel av barnehagedagen.Det kan også dreie seg ombarn som ikke har et enkeltvedtak, men som barnehageni samarbeid med foreldrenebestemmer at de skal være spesieltoppmerksom på. Det kanvære i forhold til ulike aspekterav matematikken som blir synligegjennom observasjoner avbarnet, og hvor observasjonspunktenekonkretiseres i spesielltilrettelegging for barnet (se kap.om Individet i MIO-håndboka).Samarbeid og sammenhengmellom barnehage og skoleBarnehagen skal, i samarbeidmed skolen, legge til rette forovergangen fra barnehage tilskole for alle barna. Dette skalskje i samarbeid med foreldrene(Kunnskapsdepartementet,2006). I 2008 ga departementetut veilederen «Fra eldst tilyngst» som først og fremst skalgi retningslinjer og anbefalingeri arbeidet med samarbeid ogsammenhengen mellom de toinstitusjonene (Kunnskapsdepartementet,2008). Vi mener at personaleti barnehager og skolermå kjenne til hverandres fagligearbeid. Det er av betydning forlærerne på 1. trinn i skolen åkjenne til fagområdet «Antall, romog form» som barnehagen arbei-76Landslaget for matematikk i skolen

der med, og at førskolelærernekjenner til kompetansemålene iKunnskapsløftet. Flere kommunerprosjektet – Det lærende barnet»,som er et samarbeid mellom Stavangerkommune og Universiteopmentof Early MathematicalSkills. Turku,Finland: University ofdriver felles utviklingsarbeid tet i Stavanger (Reikerås, 2008b).Turkufor barnehager og skoler hvor Flere skoler har også hatt utbytteKreisman, M.B. (2003). Evaluatingacademic outcomesbarnas matematikklæring er av MIO. Det har vært i forhold tilof Head Start: an applicationof general growthhovedfokus og hvor også kunnskapom MIO inngår.tikken de første årene, og hvorelever som strever med matema-mixture modelling. EarlyDersom skolen skal ha informasjonom enkeltbarn, skal det sjon om barnets matematikk-læreren har fått nyttig informa-Childhood ResearchQuarterly, 18(2), 238–254.formidles i samarbeid med foreldrene.Å gi et utfylt MIO-obser-en hjelp til bedre tilpassing avutvikling ved å bruke MIO somKunnskapsdepartementet(2006). Rammeplan forvasjonsark trenger nødvendigvis undervisningen. Andre skolerbarnehagens innhold ogikke å være et hensiktsmessig har opplevd at MIO er en støtteoppgaver. Oslo: Kunnskapsdepartementetdokument for lærerens tilretteleggingav undervisningen i skolen.for matematikklæringen til barnmed bl.a. Downs syndrom, hvor KunnskapsdepartementetDerimot kan barnets mestring observasjonspunktene brukes (2008). Veileder. Fra eldstog de generelle læringsforutsetningenesom fremkommer gjennomMIO-arbeidet formidles i enpedagogisk rapport eller i møtemellom barnehagen og skolen.AvslutningMIO kan benyttes på ulike måter.I en artikkel i Spesialpedagogikk(Davidsen, 2006) stilte vi spørsmåletom MIO kan bli et redskapfor barnehagepersonalets kompetanseutviklingi matematikk.som målformuleringer i barnetsopplæringsplan.Vi har inngått samarbeid medfagmiljøer i Danmark og Sverigesom arbeider med å oversette ogprøve ut MIO i deres respektiveland.ReferanserDavidsen, H.S. (2006). Matematikki barnehagen– utvikling av observasjonsverktøyetMIOtil yngst. Samarbeid ogsammenheng mellombarnehage og skole. Oslo:KunnskapsdepartementetLinden, N. (1992). Stillaser ombarnas læring. Bergen:Caspar ForlagMagne, O. (1998). Att lyckasmed matematikk igrundskolan. Lund: StudentlitteraturMagne, O. (2003). Barn oppdagermatematikk. Aktiviteterfor barn i barnehageDette trenger vi litt mer tid på (Matematikken mellomfor å kunne besvare grundig, Individet og Omgivelsene).Spesialpedagogikk, Forlagog skole. Klepp: Info Vestmen fra MIO kom ut i juni 2008og frem til i dag begynner vi å få nr. 4, s. 16–20.Reikerås, E. (2008a). Temaheftegode tilbakemeldinger på dette.Davidsen, H.S., I.K. Løge, O.om antall, rom og form iLunde, E. Reikerås ogbarnehagen. Oslo: KunnskapsdepartementetFlere barnehager mener at MIOT. Dalvang (2008). MIO.har bidratt til en faglig utviklingMatematikken – Individet– Omgivelsene. Oslo: vangerprosjektet – DetReikerås, E. (2008b). Sta-i personalgruppa, som igjenhar bidratt til at de har stimulertAschehoug Forlaglærende barnet – matematikkdelen.I: Rapportbarna i forhold til fagområdetsDysthe (2001). Dialog, samspillprosessmål og at de lettere kanog læring. Oslo: Abstrakt fra Landskonferanse «Hvisfølge opp barn i her-og-nå-situasjoner.Observasjonsmateriel-Forlagdet ikke er dyskalkuli, hvaHannula, M.M. (2005). SpontaneousFocusing onmestring III. Kristiansand:er det da?» Fra vanske tillet blir også benyttet i et størreforskningsprosjekt, «Stavanger-Numerosity in the Devel-Sørlandet kompetansesenterLandslaget for matematikk i skolen 77

Abelprisen, en av våre nærmestesamarbeidspartnereGrete N. ToftebergNiels Henrik Abels minnefondble opprettet 01.01.2002.Hovedformålet med å oppretteNiels Henrik Abels minnefonder å tildele en internasjonal prisfor fremragende vitenskapeligarbeid i matematikk. Prisen skalbidra til å heve matematikkfagetsstatus i samfunnet og stimulerebarn og unge til å bli interesserti matematikk.Fondet forvaltes av Utdannings-og forskningsdepartementet,og det er opprettet etAbel-styre som har ansvaret forå fordele avkastningen og forarrangementer i tilknytning tilprisutdelingen. Abel-styret, somer knyttet til Vitenskapsakademiet,har i sin tur oppnevnt eteget barne- og ungdomsutvalgsom har i oppgave å innstilletiltak i forhold til fordeling av defondsmidlene som direkte knyttestil barne- og ungdomsarbeid.Leiv Storsletten fra Abel-styret erleder av barne- og ungdomsutvalget.Øvrige medlemmer erMona Røsseland (Matematikksenteret),Gro Persson (Vitensenteret,Sandnes), Grethe Ravlo(Matematikksenteret), TorsteinPedersen (Forskningsrådet) ogGrete N. Tofteberg (rektor, Kirkebygdenskole, Våler). Abel-prisenholder også barne- og ungdomsutvalgetmed et sekretariat.Abelprisens barne- og ungdomsutvalgmøtes to gangerper år. På novembermøtet foretashovedinstillingen i forholdtil prioriteringer av kommendeårs tiltak, men det holdes tilbakenoen midler med tankepå søknader som kommer innpå nyåret. Det avholdes også etmøte i mars, der det utarbeidesen innstilling over fordeling av desiste midlene. De senere årenehar tre større tiltak blitt prioritert.Dette er Abelkonkurransen,Kapp Abel-konkurransen ogLAMIS med sine to tiltak, matematikkensdag og sommerkursfor lærere. Disse tre hovedtiltakeneer godt utprøvd, og Abelprisensbarne- og ungdomsutvalganser det som forsvarlig å yteårlige tilskudd til drift av disse tiltakene.Likevel er det et sentraltprinsipp for Abelprisens barneogungdomsutvalg at en god delav de tilgjengelige midlene skalvære katalysatormidler. Det vilsi at det ytes støtte til iverksettingog utprøving, og ikke til drift.Dermed vil det være naturlig atdet blir nye tiltak som prioritereshvert år. Barne- og ungdomsutvalgetmener det er viktig å presiseregjenbruksverdien når maninnvilger søknader.I 2009 har matematikk.orgi samarbeid med LAMIS ogSophus Lies konferansesenter,fått midler til å arrangere sommerleirfor ungdom. Abelprisenesbarne- og ungdomsutvalgser det som viktig å høste erfaringermed en slik sommerleir.For mer informasjon om dennesommerleiren vises til LAMIS’hjemmeside, www.lamis.no.For oss i LAMIS er midlene fraAbelfondet svært viktige for å fårealisert våre aktiviteter.Mer informasjon om Abelprisenog Abelfondet finner du påwww.abelprisen.no.78Landslaget for matematikk i skolen

Lokallagseminar på Lillestrøm6.–8. februarAnja Glad von ZernichowDet var godt og vel 70 entusiastiskedeltakere fra lokallag overdet ganske land som skulle tilbringehelgen litt nord for hovedstadenfor å være med på lokallagsseminar.På lørdag var vi så heldige å haKjersti Wæge hos oss. Hun holdtforedrag om «Elevenes motivasjonfor å lære matematikk ogundersøkende matematikkundervisning»,som var en kortversjonav hennes doktorgradsavhandling.Vi fikk høre om hvordanelevenes motivasjon påvirkes avforskjellige faktorer som verdier,erfaringer, selvoppfatning, forestillinger,forventninger og behov,og om hvor viktig tilretteleggingav læringssituasjonen er for elevensmotivasjon for å lære faget.Kjersti snakket om hvordanmange elever oppfatter matematikksom om «det handler om ålære regler og formler utenat», ogat elevene kan være mer motivertfor å huske regler og formler enntil å utvikle begrepsmessig forståelse,samt se sammenhengeri matematikken.Kjersti Wæge fortalte omsitt forskningsstudie (et såkaltDesign-studie) som tok for seg1. Utvikling og utprøving avundervisningsopplegg og2. Forskning i klasserommet.Elevene var 16-åringer pågrunnkurset i videregående skole.Kjersti laget undervisningsoppleggene,og hadde dialog medlæreren. Læreren skulle gå fratradisjonell matematikkundervisningtil undersøkende matematikkundervisning.Basisen iden undersøkende matematikkundervisningenvar– Lete etter og utforske mønsterog systemer.– Matematisk resonnement– Problemløsning– Relasjonell forståelse (hva,hvordan og hvorfor for åutvik le kognitive skjema)– Se sammenhenger mellommatematikk og dens anvendelser.Undervisningsoppleggene skulleha lav inngangsterskel slik atdet var mulig for alle elevene åarbeide med problemet, samtat det var mulig å arbeide påde ulike nivåene. Temaet skulleenten være kjent for elevene frafør, eller så måtte det være muligå beskrive det med ikke-matematisketermer. Temaet skulle haen verdi i seg selv. Det var ogsåslik at arbeidet med temaet skullekunne bidra til økt relasjonell forståelsehos elevene, utvikling avderes matematikkferdigheter ogevne til å anvende matematikken.Elevene arbeidet i grupperfor selv å finne ut teorien/regler.Læreren gikk rundt, gav hint ogstilte gode spørsmål. Deretter vardet oppsummering og refleksjoni samlet klasse med: hvordantenkte du, hvorfor, hva hvis?Sentralt i motivasjonsteorienstår behovet for autonomi.I matematikkundervisningenspraksis vil det si å ha følelse avå ta matematiske avgjørelser oggjøre matematiske vurderinger.Kjersti viste oss en teoretiskramme for elevenes motivasjoni matematikk (se tabell).Hovedfunnene i Kjerstisavhandling er at:– Elevenes motivasjon for ålære matematikk, selv omden betraktes som stabil,Landslaget for matematikk i skolen 79

Fire motivasjonsvariabler1. Fokus på læring og forståelse av matematiskebegreper, i tillegg til å få riktige svar.2. Glede og relaterte positive og negative følelserom matematikk.3. Villighet til å ta risker og gå i gang med utfordrendeoppgaver4. Selvtillit i matematikkBehov og målEksempler på mål i– Behov for kompetanse:Mål om relasjonell forståelse i matematikkMål om innflytelse i gruppearbeid– Behov for autonomi:Mål om å bruke egne tanker og idéerMål om å finne egne strategierkan påvirkes av endringer imatematikkundervisningen.– Tilfredsstillelse av behovet forkompetanse, i form av forståelse,er et sentralt aspekt vedelevenes motivasjon.– Elevenes følelse av kompetanseer høyere når de oppleverrelasjonell forståelsei matematikk, enn når deopplever instrumentell forståelse.– Det er en nær sammenhengmellom behovet for kompetanseog behovet for autonomii matematikk.– Prestasjonsmål og mestringsmålbør ikke betraktessom motsetninger (gjensidigutelukkende)Som Kjersti sa: Kompetanse,motivasjon og selvtillit er viktigog henger sammen. Vi takkerhenne for et inspirerende foredrag,samt for å åpne veien fornye strategier rundt matematikkundervisningen.Deretter presenterte sentralstyretog valgkomiteen seg.Etterpå var det satt av tid tilerfaringsutveksling mellomlokallagene. Den siste økten førmiddagen var det lokallagsmøterog samarbeid mellom lokallag.Klokken 19 ble det servert endeilig 3-retters middag. Underveisble Svein Torkildsen megetvelfortjent tildelt både ros ogpåskjønnelse for sitt arbeid somorganisasjonssekretær.Søndagens innhold var blantannet parallelle arbeidsøkter,handlingsplanen (gjennomgangog innspill) samt informasjonom Sommerkurset på Hafjell2009. Her er der mye å se fremtil. Følg med på www.lamis.no.Påmeldings- og betalingsfrister 15. mai. Vi fikk også en litensmakebit av sommerkurset 2010,som skal være i Sandefjord 5.–8.august 2010. Temaet er «Matematikk– nå snakker vi». Vi gledeross.80Landslaget for matematikk i skolen